V5.2_Multiplizieren und Dividieren

Vorlesung zur Arithmetik
• V1 18./19.04.
• V2 -./26.04.
•
V3
02./03.05.
•
V4
09./10.05.
•
V5
16./17.05.
•
V6
23./24.05.
•
•
•
•
V7
V8
V9
V10
30.05./31.05.
06./07.06.
20./21.06.
27./28.06.
•
•
•
V11 04./05.07.
V12 11./12.07.
V13 18. 07.
Arithmetik in der Grundschule
Die Entwicklung des Zahlbegriffs
beim Kind/Konzepte für den
Anfangsunterricht
Natürliche Zahlen im
Anfangsunterricht
Die Grundrechenoperationen Addition
und Subtraktion
Die Grundrechenoperationen
Multiplikation und Division
Natürliche Zahlen und ihre
Eigenschaften
Rechengesetze und Rechenstrategien
Rechenfakten automatisieren
Schriftliche Rechenverfahren
Rechenschwäche und
Rechenbegabung
Aufgabenformate und Übungsangebote
Zusammenfassung und Überblick
Klausur
1
Vorerfahrungen zum Teilen zu Schulbeginn
Max
Justin
Auf welchen Voraussetzungen bauen die Kinder
Ihre Fähigkeiten zum Teilen auf?
2
Joyce
Auf welchen Voraussetzungen bauen die Kinder
Ihre Fähigkeiten zum Teilen auf?
Justin
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V 5.2 Multiplizieren und Dividieren
• 1 Kleines Einmaleins
– 1.1 Vorkenntnisse und informelle Lösungsstrategien
– 1.2 Wege zum Multiplizieren und Dividieren in Kl. 2
• 2 Halbschriftliches Multiplizieren und Dividieren
– 2.1 Vorerfahrungen
– 2.2 Üben
• 3 Division mit Rest
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1 Kleines Einmaleins
1.1 Vorkenntnisse
1.2 Wege zum Multiplizieren und
Dividieren in Klasse 2
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1.1 Vorkenntnisse
1) Vorkenntnisse im Zusammenhang mit Sachsituationen
• 80% - 100% der Kinder lösten folgende Aufgaben richtig
(Material konnte genutzt werden) :
– Der Riese Trampel isst an einem Tag 3 ganze Brote. Wie viele
Brote isst er in einer Woche?
– In einer Packung sind 3 Kerzen. Martin kauft 4 Packungen. Wie
viele Kerzen hat er insgesamt?
vgl. Padberg, S. 114
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2) Vorkenntnisse im Zusammenhang mit Rechensätzen
Kennst du schon Malaufgaben? Schreibe alle auf, die
du kennst. Vielleicht weißt du ja auch schon
Geteiltaufgaben? (Kl. 2, November)
Juliane
7
Marie
8
Thomas
9
Pascal
Carolin
10
Fazit
• Schüler kennen einzelne Aufgaben des Kleinen Einmaleins
schon.
• Sie knüpfen mit ihrem bisherigen Wissen Analogien und
gelangen so zum Multiplizieren von Zehnerpotenzen bzw.
deren Vielfachen (häufig noch fehlerhaft), auch zum
Malnehmen mit 2 über das Verdoppeln.
• Sie versuchen, Regeln anzuwenden (Multiplizieren mit 1
und 0).
• Divisionsaufgaben treten nur selten auf.
– Diese Aufgaben werden von den Schülern häufig anders
notiert (in Anlehnung an die vertraute additive Sicht: 10: 5 =5,
im Sinne von 10=5+5), als es die konventionelle Schreibweise
vorgibt.
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1.2 Wege zum Multiplizieren und Dividieren in
Klasse 2
Vorgehen in den Schulbüchern:
1) Operation Multiplikation herleiten
2) Multiplikationsaufgaben anschaulich gewinnen
3) Malreihen zusammenstellen
4) Malreihen lernen
5) Operation Division herleiten
6) Divisionsaufgaben als Umkehraufgaben der Multiplikation
gewinnen; Aufgaben mit Rest
Zahlenbuch, Matheprofis, Leonardo, ...
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Zu bedenken, Division rutscht mitunter zu weit nach
hinten - deshalb:
• 1) Multiplikation und Division in enger
zeitlicher Nähe erarbeiten
• 2) Multiplikations- und Divisionsaufgaben
gemeinsam anschaulich gewinnen
• 3) Malreihen zusammenstellen und lernen - in
Verbindung damit auch die Divisionsaufgaben
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Erarbeitungsmodell (im Rahmen des Projekts „mathe
2000“ entworfen)
Konzept in: Wittmann/Müller (1990), weiterentwickelt von Selter
(1995)
• Schritt 1: Einstieg (basierend auf Vorerfahrungen)
– Mal- und Geteiltaufgaben aufschreiben lassen, die Kinder schon
kennen
– mit Plättchenmengen Malaufgaben, Aufteil- und Verteilaufgaben legen
und notieren
– Sachsituationen nutzen
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Schritt 2: Malaufgaben in der Umwelt entdecken
lassen
• Setze die Malbrille auf...
– Die Umwelt durch die Malbrille betrachten und Malaufgaben zuordnen.
• Einmaleins - Detektive (Detektiv-Berichte)
– Klasse, Schulhaus, Einkaufsstraße, ... nach Mal- und Geteiltaufgaben
absuchen
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Malaufgabenforscher unterwegs
Im Supermarkt gab es 8
Überraschungseierpaletten
übereinander. Auf jeder
Palette gab es 8 Reihen. In
jeder Reihe sind 12
Überraschungseier. 24 Eier
fehlen.
Quelle: Insa Hubben, Grundschulunterricht
1/2008
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Schritt 3: Mal- und Geteiltaufgaben an Rechteckmodellen
und linearen Modellen darstellen und aufsuchen
Rechteckmodelle
• Malaufgaben mit Quadraten bzw. Punkten legen
• Malaufgaben am Hunderterpunktefeld (mit Abdeckwinkel) zeigen
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Malplan
(Zahlenbuch)
lineare Modelle
Anmerkung: Der Löwe springt das Zweifache seiner Körperlänge, deshalb wird er der
Zweierreihe zugeordnet. Der Hirsch springt das Fünffache seiner Körperlänge, also
passt er zur Fünferreihe und so wurde jeder Reihe ein Tier, das von seiner Sprungkraft
her passt, zugeordnet (s. Zahlenbuch).
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Schritt 4: Systematisierung zu Einmaleinsreihen:
Das Kleine Einmaleins
• Verwandte Malreihen werden jeweils in enger Verbindung zueinander
eingeführt, z. B.:
Quelle:
Matheprofis/Oldenbourg
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Malmühle für die Viererreihe
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Achterreihe
Falte Quadrate
in 8 gleichgroße
Dreiecke.
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24
25
Weitere Ideen zum Kleinen Einmaleins
Start mit dem 1 · 1 - Express
Kinder notieren Malaufgaben, die sie schon kennen auf Zettel und schieben
diese in die Waggons des Zuges.
Quelle: Heidrun Ertel, Grundschulunterricht
1/2009
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Anschauliches Darstellen von Malaufgaben
Quelle: Heidrun Ertel, Grundschulunterricht
1/2009
27
Repräsentation der Zweierreihe in den Heften der Schüler
Quelle: Heidrun Ertel, Grundschulunterricht
1/2009
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1 · 1 - Netze
Quelle: Heidrun Ertel, Grundschulunterricht
1/2009
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Welche Reihen ergeben die gleichen Sterne?
Quelle: Atlas Mathematik 2
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Die Malmühle
• Sage die Malreihe mit der 8
auf und kennzeichne die
Ergebnisse an der
Malmühle.
• Beschreibe das Muster.
• Probiere es mit anderen
Malreihen.
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• Beim Lernen der Malreihen sollten vielfältige
Beziehungen bewusst werden.
• Man unterscheidet Kern- oder Stützaufgaben
und davon abgeleitete Aufgaben.
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Beziehungen bewusst machen: Kernaufgaben
und abgeleitete Aufgaben
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Schritt 5: Lernen mit Malplänen und Maltafeln
Ziel: Erwerben des „Einmaleinspasses“
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Das Pythagoreische Zahlenfeld
Ein Stück Geschichte für Schüler:
• Pythagoras erfand die MalRechentafel.
• Ihm zu Ehren wird sie auch das
Pythagoreische Zahlenfeld
genannt.
• Pythagoras lebte ungefähr 500
vor Christus in Griechenland.
Lehrbuch: Matheprofis
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Wie findest du Divisionen in der Einmaleins-Tabelle?
12:2=6; 12:3=4; 12:4=3; 12:6=2
Quelle: Atlas
Mathematik 2
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2 Halbschriftliches Multiplizieren
und Dividieren in Klasse 3
Im Anschluss an das Kleine Einmaleins sollen
Schüler lernen, unter Ausnutzung von
Rechengesetzen auch größere Zahlen
verständnisvoll zu multiplizieren bzw.
Divisionen auszuführen.
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Literatur
Quellen: Wittmann/Müller,
Handbücher I, II
Padberg (2005), S. 173-178
Radatz/Schipper/Dröge/Ebeling: Handbuch Kl. 3
38
Ein Blick auf Schülerdokumente
Halbschriftliches Multiplizieren, Kl. 3
39
Halbschriftliches Dividieren und Multiplizieren, Kl. 3
40
2.1 Vorerfahrungen zum halbschriftlichen
Multiplizieren und Dividieren in Kl. 2
Erfassen der Vorerfahrungen mit
offenen Aufgaben
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Kl. 2: Schreibe Malaufgaben auf, die du schon kannst. (Mai)
Josephine
Schüler wählen schon einzelne Aufgaben des „Großen Einmaleins“,
hier über das Verdoppeln.
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Schüler gelangen zu Aufgaben des
„Großen Einmaleins“ über die
Fortsetzung der Einmaleinsreihe.
43
Kevin
Fortsetzung der Einmaleinsreihe
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Kl. 2 (Mai): Schreibe Geteiltaufgaben, die du schon kannst.
Das gleiche Vorgehen
(Fortsetzen der
„Einmaleinsreihen“)
können leistungsstarke
Schüler auf die Division
übertragen.
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Lösungswege, die Kinder zum halbschriftlichen Dividieren
im Rahmen der Erarbeitungsstunde selbst entdeckten (Kl. 3)
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2.2 Üben des halbschriftlichen
Multiplizierens und Dividierens
Ziffernkarten
• Wähle 3 Ziffernkärtchen, z. B. 4, 6, 7.
• Bilde daraus eine zweistellige Zahl und
multipliziere sie mit der dritten Ziffer.
– Welches ist das größte Resultat, das du erreichen
kannst?
– Welches ist das kleinste?
– Begründe.
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Multiplizieren mit dem Malkreuz
130
+
52
140
+
42
= 182
48
Die Ägypter rechneten vor etwa 4000 Jahren so:
Sie nutzten Doppeltes und Hälfte.
aus einem Schulbuch, Kl. 3
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• Rechenpäckchen: Wie hängen die Aufgaben
zusammen? Beginne mit der leichtesten.
9·18
5 ·19
13 ·14
10 ·18
9 ·19
10 ·14
11 ·18
14 ·19
12 ·14
20 ·18
19 ·19
14 ·14
22 ·18
4 ·19
2 ·14
vgl. auch Einführungsvorlesung
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Hundertertafel
14 15
24 25
• Wähle ein 2x2-Feld.
• Addiere die Zahlen in den
gegenüberliegenden Ecken.
• Was stellst du fest?
• Multipliziere dann die Zahlen
miteinander.
• Was stellst du fest?
• In höheren Klassenstufen (5,6)
ähnliche Übungen auch am 3x3Feld möglich.
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3 Division mit Rest
• Das Teilen mit Rest sollte den Lernenden schon in Kl. 1 im
Rahmen von Sachsituationen (beim Sachrechnen)
begegnen, auch beim Operieren mit Plättchen bzw. bei dem
Thema „gerade/ungerade Zahl“.
• Bei der Betrachtung der Stoffgebiete zur Division sollte es
durchgängig eine Rolle spielen – also nicht, wie oft in den
Lehrbüchern, „hinten angehängt“ werden.
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Üben
•
•
•
•
an realen Situationen
mit Plättchen (Aufteilen und Verteilen)
an der Hundertertafel (Muster)
auf formaler Ebene:
– Bilde Divisionsaufgaben mit Rest.
– Suche mehrere Aufgaben mit dem Rest 4.
• Wie findest du solche Aufgaben?
• Versuche es auch mit anderen Resten.
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Zahlenbuch, Kl. 2
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Zahlenbuch, Kl. 2
55
Schreibweise
Zerlegungsschreibweise
• 25=6·4+1
Restschreibweise
• 25:4=6 Rest 1
25:4=6 R 1
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Durch 3 teilbare Zahlen im
Hunderterfeld
„Was geschieht, wenn du
die Zahlen, die
dazwischen liegen, durch
3 teilst?“
Teile durch 3:
34, 63, 21, 29, 87, 51, 95.
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