Lösungshinweise - Didaktik der Mathematik

TUM School of Education
Heinz Nixdorf-Stiftungslehrstuhl
Didaktik der Mathematik
Lösungshinweise
zum Staatsexamen in der Fachdidaktik Mathematik für das Lehramt Gymnasium
Frühjahr 2010, Thema I
Allgemeiner Hinweis: Diese Ausarbeitung stellt keinen vollständigen Lösungsvorschlag dar. Stattdessen werden allgemeine
Hinweise zum Bearbeiten der Aufgaben gegeben und es wird stichpunktartig auf deren mögliche Ausarbeitungen
eingegangen.
1. Beschreiben Sie verschiedene Methoden zum Lösen von Extremwertaufgaben. Denken Sie dabei
insbesondere an formale, graphische oder numerische Lösungen.
2. Erörtern Sie inner- und außermathematische Situationen, die im Analysisunterricht auf
Extremwertaufgaben führen können, unter didaktischen Gesichtspunkten.
3. Im Unterricht soll folgende Aufgabe behandelt werden:
„Eine Firma stellt Verpackungen für Getränke her. Sie erhält den Auftrag, für einen Limonadenhersteller
eine Packung von 1 Liter zu entwickeln.“
Beschreiben Sie einen möglichen Unterrichtsverlauf und begründen Sie wesentliche Schritte aus
didaktischer Sicht.
1. Aufgabe
Strategische Hinweise:
Es kann hilfreich sein, wenn Sie zuerst für sich (und den Korrektor) klären, was Sie unter Extremwertaufgaben
verstehen. Beispiele können helfen, Ihr Verständnis dieses Begriffs zu transportieren.
Der zweite Satz der Aufgabenstellung zeigt auf, dass Sie mindestens die drei genannten Gruppen von
Lösungsmethoden behandeln sollen.
Definition: „Unter Extremwertaufgaben versteht man Textaufgaben, bei denen eine Größe unter Beachtung
einer Nebenbedingung maximiert bzw. minimiert werden soll. Die Aufgaben sind in der Regel so geartet, dass
man eine Funktion von zwei Veränderlichen unter Benutzung einer Gleichung für die Nebenbedingung in eine
Funktion einer Veränderlichen umwandelt, für die man dann die Extremstellen bestimmt.“ (Tietze 2000)
(z.B. Ein Rechteck mit Umfang 25 cm soll maximalen Flächeninhalt haben. Wie lang sind seine Seiten?)
Verschiedene Lösungsmethoden
a.
Heuristische Lösungsmethoden

Einsatz elementarer Methoden zur Lösung des Extremwertproblems
Beispiele:
- Ablesen der Lösung aus einer geometrischen Veranschaulichung des Problems
- Identifizierung des gesuchten Extremwerts durch systematisches Ausprobieren von
Werten in einer Tabelle (strategisches Probieren), eventuell nach vorheriger
funktionaler Modellierung des Problems)
b. Graphische Lösungen


c.
Das Extremwertproblem wird funktional modelliert und der Graph der Funktion gezeichnet;
die Abszisse des Extremwerts/des Scheitelpunkts wird abgelesen; Einsatz von DGS möglich
Eventuell weitere Rückführung auf Nullstellen- oder Schnittpunktproblem (das dann durch
Ablesen gelöst wird) möglich
Formale Lösungen


Bei polynomialer Modellierung: Bestimmung der Nullstelle-/des Scheitelpunkts/ des
Extremwerts mit Hilfe algebraischer Methoden (z.B. über quadratische Ergänzung)
Analytisch: Extremwert über Nullstellen der Ableitung bestimmen (z.B. bei polynomialen
Funktionen mit Grad größer als 1)
d. Numerische Lösungen



Newtonverfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen
Intervallschachtelungen zur näherungsweisen Bestimmung von z.B. lokalen Extrema
Eventuell unter Einsatz von Tabellenkalkulation oder CAS
2. Aufgabe
Strategische Hinweise:
Der Plural „Situationen“ zeigt an, dass Sie mehrere Situationen pro Kategorie erörtern sollen.
„Erörtern“ meint, dass zunächst der Sachverhalt ausführlich dargestellt wird, falls möglich Vor- und Nachteile
abgewogen werden und gegebenenfalls ein eigenes Fazit gezogen wird.
„Erörtern unter didaktischen Gesichtspunkten“ impliziert, dass die Erörterung auf die Frage bezogen sein sollte,
ob es für den mathematischen Lernprozess der Schülerinnen und Schüler hilfreich ist.
Dabei können Sie zum Beispiel folgende Aspekte berücksichtigen:
- Warum ist die beschriebene Situation geeignet, um im schulischen Kontext die Behandlung einer
Extremwertaufgabe anzustoßen?
- Gibt es mathematische oder lernprozessbezogene Probleme/Schwierigkeiten, die sich aus der Situation
ergeben?
- Bieten sich aus der Situation unterschiedliche Zugangsmöglichkeiten?
- Bietet es sich an, andere mathematische Inhalte aufzugreifen?
- Gibt es didaktische Gründe, warum die Situationen in einer bestimmten Reihenfolge verwendet werden
sollten?
- Ergeben sich aus der Situation Möglichkeiten der Differenzierung?
- Sehen Sie wichtige didaktische Argumente für oder gegen den Einsatz (bestimmter) inner- oder
außermathematischer Aufgaben?
2
Innermathematische Situationen (Beispiele)
 Isoperimetrische Probleme (bei festem Umfang soll der Flächeninhalt maximiert werden)
 Analoge Probleme mit festem Flächeninhalt und der Frage nach maximalem/minimalem Umfang
 „Einbeschreibungsaufgaben“
(z. B. Einbeschreiben eines Dreiecks mit vorgegebenen Seitenverhältnissen in ein gegebenes Dreieck)
Außermathematische Situationen (Beispiele)
 Einbettungen von isoperimetrischen Problemen in Sachsituationen: Flächeninhalt
maximieren/minimieren (z.B. Rasenfläche soll maximiert werden, damit Meerschweinchen satt
werden)
 Lineare Optimierungsprobleme unter Nebenbedingungen: Umsatz maximieren, Kosten minimieren
(z.B. bei Preis und Stückzahl als lineare Funktion, Kapazität als Nebenbedingung)
 Wahrscheinlichkeit maximieren/minimieren (z.B. Urne füllen und Verteilung für max. Wk eines
Ereignisses bestimmen)
 Wurf- und Durchhängeprobleme: z.B. höchsten Punkt beim Wurf bestimmen, tiefsten Punkt einer
Telefonleitung bestimmen
3. Aufgabe
Strategische Hinweise:
Es handelt sich bei der Verpackungsaufgabe um Aufgabenstellung, die zu sehr unterschiedlichen
Unterrichtsverläufen führen kann. Allerdings handelt es sich um eine so klassische Aufgabe, dass Sie
Hintergrundinformationen auch in der Literatur finden (s.u.).
Erwartet werden bei einer vollständigen Bearbeitung dieser 3. Teilaufgabe:



Entscheiden Sie sich: In welcher Unterrichtsphase möchten Sie diese Aufgabe einsetzen? Welche
speziellen Lernziele sollen erreicht werden?
Diese Entscheidungen können explizit dargelegt werden, müssen aber auf jeden Fall implizit deutlich
sichtbar werden!
Tabellarische Übersicht über den Unterrichtsverlauf (vgl. Leitfaden)
Didaktische Begründung wesentlicher Entscheidungen und Schritte (s.o. Hinweis zu „unter didaktischen
Gesichtspunkten“)
Sie finden zu folgenden Varianten der Aufgabe eine Ausarbeitung in der Literatur:

Material einer zylinderförmigen Verpackung minimieren.
Danckwerts, R. & Vogel, D. (2006). Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg:
Spektrum Akademischer Verlag. 170-173.
Hinrichs, G. (2008). Modellierung im Mathematikunterricht. Heidelberg: Spektrum
Akademischer Verlag. 20-29.

Material einer quaderförmigen Verpackung mit quadratischer Grundfläche minimieren.
Tietze, U.-P. & Klika, M. & Wolpers, H. (2000). Mathematikunterricht in der Sekundarstufe
II. Band 1. Fachdidaktische Grundfragen – Didaktik der Analysis. Braunschweig: Vieweg
Verlag. 306-308.
Hinrichs, G. (2008). Modellierung im Mathematikunterricht. Heidelberg: Spektrum
Akademischer Verlag. 248-261.
3
Literatur



4
Danckwerts, R. & Vogel, D. (2006). Analysis verständlich unterrichten. Heidelberg: Spektrum Akademischer
Verlag.
Tietze, U.-P. & Klika, M. & Wolpers, H. (2000). Mathematikunterricht in der Sekundarstufe II. Band 1.
Fachdidaktische Grundfragen – Didaktik der Analysis. Braunschweig: Vieweg Verlag.
Hinrichs, G. (2008). Modellierung im Mathematikunterricht. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.