Blatt07

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Blatt07
Prof. Dr. T. de Jong
M. Pauly
7. Übung zur Vorlesung
„Computeralgebra“
im Sommersemester 15
Aufgabe 1: (2+2+3 Punkte)
Sei f (x) := x5 − 5x4 + 7x3 − 2x2 + 1. Wir wollen f mit Hilfe des Kronecker Algorithmus
faktorisieren. Gehen Sie dabei wie folgt vor:
(a) Berechnen Sie die drei Polynome f0 , f1 , f2 ∈ Q[X] vom Grad 2 mit fi (j) = δij .
(b) Bestimmen Sie die Menge E := {e := (e0 , e1 , e2 ) | ei teilt f (i)}.
(c) Bestimmen Sie einen echten Faktor von f .
Hinweis: Betrachten Sie Elemente aus E mit e1 = 2.
Aufgabe 2: (3+1 Punkte)
Sei p ≥ 3 prim.
(a) Zeigen Sie, dass a ∈ Z/pZ genau dann ein Quadrat ist, wenn a(p−1)/2 ≡ 1 mod p.
Hinweis: Wenden Sie den Berlekamp-Algorithmus auf X 2 − a ∈ Fp [X] an.
(b) Für welche p ist −1 ein Quadrat in Fp ?
Aufgabe 3: (2+4 Punkte)
Sei p eine Primzahl und f ∈ Fp [X] ein quadratfreies, normiertes Polynom. Zeigen Sie:
i
(a) ggT(X p − X, f ) ist das Produkt aller irreduziblen Faktoren von f , deren Grad i teilt.
(b) Wie kann man den Teil (a) nutzen um f in Faktoren gi zu zerlegen, sodass die irreduziblen Faktoren von gi alle Grad i haben.
Aufgabe 4: (2+3+2 Punkte)
(a) Sei p ≥ 3 prim, a ∈ Fp [X] beliebig, g ∈ Fp [X] irreduzibel mit deg(g) = d.
Zeigen Sie: a
pd −1
2
≡ 0 oder ± 1 mod g.
(b) Sei f ∈ Fp [X] quadratfreies, s ≥ 2 und f1 , ..., fs die irreduziblen Faktoren von f , die
alle Grad d haben. Sei a ∈ Fp [X] mit a
Polynome ggT(a
pd −1
2
pd −1
2
6≡ 0, ±1 mod f . Zeigen Sie, dass eines der
+ c, f ) für c = 0, 1, −1 ein echter Teiler von f ist.
Hinweis: Benutzen Sie Teil (a) und den chinesische-Restsatz-Isomorphismus
Φ : Fp [X]/(f ) −→ Fp [X]/(f1 ) × · · · × Fp [X]/(fs ).
(c) Nutzen Sie die 3b) und 4b) um das Polynom f := x7 − x6 + x5 − x3 − x2 − x + 1 ∈ F3 [x]
in irreduzible Faktoren zu zerlegen.
Abgabe am Donnerstag den 11.6. um 12 Uhr.

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