As aventuras do Geodetetive 1: A circunferência da Terra Série

As aventuras do Geodetetive 1: A
circunferência da Terra
Série Matemática na Escola
Objetivos
1. Apresentar o método de Eratóstenes (276 –
194 a.C.) para o cálculo da circunferência da
Terra. Este é um exemplo de como a
observação, raciocínio lógico e
experimentação são importantes para
resolver problemas e para o desenvolvimento
da ciência.
As aventuras do
Geodetetive 1: A
circunferência da
Terra
Série
Matemática na Escola
Sinopse
Sinopse
Conteúdos
Geometria da Terra: a
circunferência da Terra.
Duração
Aprox. 10 minutos.
Objetivos
Apresentar o método de
Eratóstenes para o cálculo da
circunferência da Terra. Este é
um exemplo de como a
observação, raciocínio lógico
e experimentação são
importantes para resolver
problemas e para o
desenvolvimento da ciência.
Arnaldo é um jovem muito
curioso e sempre está à procura
de conhecimento. À noite
mergulha nos livros, assume uma
nova identidade e se transforma
no Geodetetive. Em uma dessas
noites, Eratóstenes aparece para
ajudá-lo a entender como fez
para determinar, há mais de dois
mil anos, a medida da
circunferência da Terra.
Material relacionado
Áudios: O tamanho da Terra;
Vídeos: As aventuras do
Geodetetive 2, 3, 4, 5 e 6; A
dança do Sol.
Introdução
Sobre a série
A série Matemática na Escola aborda o conteúdo de matemática do
ensino médio através de situações, ficções e contextualizações. Os
programas desta série usualmente são informativos e podem ser
introdutórios de um assunto a ser estudado em sala de aula ou
fechamentos de um tema ou problema desenvolvidos pelo professor.
Os programas são ricos em representações gráficas para dar suporte
ao conteúdo mais matemático e pequenos documentários trazem
informações interdisciplinares.
Sobre o programa
A série Geodetetive é formada por seis programas com temas sobre a
geometria da Terra e alguns fenômenos naturais relacionados.
Arnaldo, o protagonista dos seis programas, é um jovem muito
curioso que sempre está à procura do saber. À noite, mergulha nos
livros, contempla as estrelas, assume nova identidade se
transformando no Geodetetive e conta com a colaboração de seu
assistente Sagan em suas investigações.
No programa Geodetetive 1 é apresentada a maneira como, há mais de
dois mil anos, Eratóstenes determinou a medida da circunferência da
Terra com grande precisão.
Neste vídeo, certa noite o personagem Eratóstenes aparece para ajudar
Arnaldo a entender de que forma ele conseguiu fazer este cálculo.
Um pouco da história
Eratóstenes nasceu no século 276 a.C. em Cirene, no norte da África
(nos dias de hoje Shahhat, Líbia), e morreu em 194 a.C. em Alexandria,
Egito. Iniciou seus estudos em Cirene e depois passou alguns anos
estudando em Atenas, Grécia. Por volta de 240 a.C. foi para
Alexandria, no Egito, tornando-se mais tarde diretor da famosa
Biblioteca de Alexandria.
No livro de história da matemática: A History of Greek Mathematics, T.
L. Heath comenta que Eratóstenes era reconhecido por seus
contemporâneos como tendo grande distinção em muitas áreas do
conhecimento (filosofia, matemática, astronomia, geografia e poesia),
embora não fosse considerado o mais destacado em cada uma dessas
áreas. Ele era chamado de senhor Beta ou Pentatlo, no sentido de que
era um campeão considerando-se um conjunto de atividades.
Eratóstenes foi contemporâneo de Arquimedes (considerado o maior
matemático desse período), com quem mantinha constante contato
por meio de cartas.
O cálculo que Eratóstenes fez da medida da circunferência da Terra é
um exemplo de como o conhecimento em várias áreas e um espírito
inquiridor são importantes na descoberta de resultados. Além deste
cálculo, Eratóstenes fez diversas outras contribuições muito
significativas para o progresso da ciência.
O cálculo de Eratóstenes
Como é comentado no vídeo, a investigação de Eratóstenes partiu de
seu conhecimento, através de leituras, de que na cidade de Siena havia
um dia do ano em que o sol ao meio-dia não produzia sombra (ficava
“a pino”), algo que nunca ocorria em Alexandria.
A precisão do cálculo de Eratóstenes para a medida da circunferência
da Terra (erro em torno de dois por cento) partiu de um pressuposto
por ele de que a cidade de Siena ficava aproximadamente ao sul de
Alexandria e, portanto, aproximadamente no mesmo meridiano que
esta. Como consequência, o meio-dia solar das duas cidades ocorria
no mesmo instante com sombras diferentes (veja a Atividade 5 no final
e o vídeo Geodetetive 2 que também aborda este assunto).
Eratóstenes primeiramente determinou experimentalmente qual o
ângulo que os raios de sol ao meio-dia faziam com uma vareta vertical
no mesmo dia do ano em que o sol ficava a pino em Siena.
Considerando a linha da sombra da vareta como um segmento, temos
um triângulo retângulo cujos catetos são a vareta e o segmento da
sombra no chão. O ângulo que o raio de incidência do sol faz com a
vareta é um dos ângulos do triângulo. Eratóstenes verificou que este
ângulo correspondia a um cinquenta avos de uma volta completa, ou
seja, media 7,20.
Podemos representar o grande círculo determinado pelo meridiano
que aproximadamente passa pelas duas cidades, e desenhar a
incidência dos raios de sol ao meio-dia do dia em que Siena tem o sol
a pino, como na ilustração a seguir.
Assumindo que os raios de sol incidem paralelamente, observamos
que o ângulo formado pelos segmentos que partem do centro da Terra
e terminam nas duas cidades é o mesmo que o determinado por
Eratóstenes, pois são ângulos alternos internos.
Eratóstenes então concluiu que a medida da circunferência da Terra
era, portanto cinquenta vezes a distância entre Alexandria e Siena
(medida de um arco de circunferência). A partir do conhecimento de
que esta medida era cerca de 5000 estádios (medida de comprimento
então usada), estimou a medida da circunferência como 250.000
estádios. Não há um consenso sobre a conversão de um estádio para
metros. Alguns autores consideram um estádio igual a 157,2 metros.
Assumindo este valor, a estimativa de Eratóstenes tem um erro de
menos de dois por cento em relação a uma circunferência média da
Terra, como considerada hoje em torno de 40.072 km.
No vídeo, a medida usada por Eratóstenes para a distância de 5.000
estádios entre Alexandria e Siena foi considerada 800 km, o que
corresponderia a um valor de 160 metros para um estádio.
Como pode ser notado, não foi utilizada nos cálculos acima a
informação de que o dia quando o sol fica a pino em Siena é 21 de
junho. Isto ocorre porque Siena fica no hemisfério norte,
aproximadamente sobre o Trópico de Câncer. Este fato pode ser
melhor compreendido assistindo o Geodetetive 3.
Sugestões de atividades
Antes da execução
1. Explicar o porquê do comprimento de um arco de circunferência
ser proporcional ao ângulo determinado por este arco.
2. Verificar que se a distância de um plano ao centro da esfera de raio
R e centro O é igual a d com d, menor do que R, a intersecção do
plano com a superfície da esfera é uma circunferência de raio igual
. Quando d=0, as circunferências assim obtidas são
a
chamadas circunferências máximas da esfera e têm o mesmo
centro e o mesmo raio que a esfera.
Depois da execução
Atividade 3
a) Assumindo a medida da circunferência da Terra dada no
vídeo, qual o valor do raio da Terra?
b) Se a esfera representa a Terra e os pontos N e S representam
as intersecções do eixo de rotação da Terra com a superfície
esférica, a semicircunferência máxima ligando N e S é
chamada um meridiano. Note que o raio de um meridiano é
igual ao raio da circunferência do Equador, que é o raio da
Terra.
O segmento que liga a cidade de Porto Alegre ao centro da Terra faz
um ângulo aproximadamente de 30o com o plano do equador (isto é, a
latitude de Porto Alegre é 30o). Se você for de avião saindo de Porto
Alegre em direção norte até o equador e acompanhando o meridiano
(semicircunferência que passa por Porto Alegre e pelos Polos Norte e
Sul), que distância terá percorrido?
Atividade 4
Pesquisa a ser proposta aos alunos: saber mais sobre Eratóstenes e
sobre Alexandria.
Atividade 5
Uma maneira experimental de se determinar a direção geográfica
Leste-Oeste é a partir da observação da sombra de uma vareta
colocada verticalmente em relação ao solo. Marcando duas posições de
manhã e à tarde, onde as sombras têm o mesmo comprimento, a
direção obtida ligando-se as extremidades destas sombras é LesteOeste e a perpendicular a esta é a direção Norte-Sul - este assunto é
abordado no vídeo A dança do sol do Projeto M3. Será que Eratóstenes
usava um método parecido para saber que Siena ficava ao sul de
Alexandria?
Método para determinar a direção Leste-Oeste
a) Por que o fato de Siena ficar aproximadamente ao sul de
Alexandria, e, portanto, aproximadamente no mesmo meridiano, é
suficiente para afirmar que as duas cidades junto com o centro da
Terra determinam uma circunferência de raio máximo, que é o raio
da Terra?
b) Procure justificar as seguintes afirmações:
- Se Siena ficasse a Leste ou a Oeste de Alexandria no dia em que o
sol estivesse a pino em Siena, também em Alexandria não se
observariam sombras ao meio-dia solar.
- Se Siena ficasse a sudoeste ou a sudeste de Alexandria, um
cálculo como o de Eratóstenes forneceria um diâmetro para a Terra
maior do que o real.
Sugestões de leitura
ALVES, Sérgio. A Geometria do Globo Terrestre. Apostila 6. OBMEP,
2009. (disponível em www.obmep.org.br/prog_ic_2008/apostila2008.html acessado em 04/04/2011.)
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. 4ª. ed. Campinas:
Editora da Unicamp, 2004.
HEATH, T. L.. A History of Greek Mathematics. Vol. 1. Oxford, 1921.
O´CONNOR, J. J. e ROBERTSON, E. F.. Eratosthenes of Cyrene. Artigo
disponível em www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Eratosthenes.html
(acessado em 04/04/2011).
LIMA, Elon Lages, CARVALHO, PAULO C. P., WAGNER, Eduardo,
MORGADO, Augusto C.. A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. Coleção
do Professor de Matemática, 3a edição, Coleção do Professor de Matemática.
Rio de Janeiro: SBM, 2000.
LIMA, Elon Lages. Medida e Forma em Geometria. Coleção do Professor
de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 1991.
OLIVEIRA, Samuel R.. A dança do sol. Vídeo – Projeto M3 – disponível no
portal do MEC. 2010.
Ficha técnica
Autoras: Sueli I. R. Costa e Claudina Izepe Rodrigues.
Revisor: Roberto Limberger
Coordenador de audiovisual Prof. Dr. José Eduardo Ribeiro de Paiva
Coordenador acadêmico: Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Caio José Colletti Negreiros
Vice-diretor Verónica Andrea González-López