The Design for Composite Action of Brickwork Walls on Steel Beams

Berechnungsverfahren für die Verbundwirkung von Ziegelmauerwerkswanden auf Stahlbalken
B. Stafford Smith,
J. R. Riddington, Department of
Kurzfassung :
Der Beitrag befaBt sich mit einer Berechnungsmethode fUr Verbundkonstruktionen aus Stahltragern und Mauerwerkswanden. In solchen Konstruktionen kommt es haufig vor, daB sich in
den Wanden eine StUtzlinie ausbildet.
Infolgedessen treten an den Auflagern
der Wande Spalll1ungskonzentrationen
auf. AuBerdem ist das maximale Biegemoment klein im Verhaltnis zu dem
Wert, den man unter der AllI1ahme
gleichmaBiger Lastenverteilung erhalt.
Die Spalll1ungskonzentrationen in den
Wanden und die Biegemomente in den
Balken, die nach dieser Methode bemessen werden, liegen in einem sicheren
Bereich. Es werden auch Kurven gezeigt, mit deren Hilfe dieses iterative
Bemessungsverfahren aIs direkte Bemessungsmethode angewandt werden
kalll1.
I.
Civil Engineering, University of Southampton, GB
The Design for Composite Action
of Brjckwork Walls on Steel Beams
A design method is developed for wall
on steel beam structures. The wall
tends to arch across the span with the
result that stress concentrations develop
in the wall elose to the supports. AIso,
the maximum beam bending moment is
small compared with the value obtained
by considering the load distributed
uniformly over the span. The design
method ensures that the stress concentrations in the wall and the bending
stresses in the beam are within safe
limits. Curves are presented which
convert this basically iterative design
situation into a direct design method.
Conception prévoyant l'action
composite des murs de maçonnerie
sur des poutres en acier
On développe une méthode de calcul
pour les structures comportant des murs
sur poutre d'acier. Le mur a tendance à
se vou ter au-dessus de la portée et en
conséquence des concentrations de
tensiom se développent dans le mur
dans le voisinage des supports. De
même, le moment de flexion maximal
de la poutre est faible par comparaison
aux chiffres obtenus à l'hypothese de
charge uniformément répartie sur toute
la portée. La méthode de calcul et de
conception a pour but d'assurer que les
concentrations de tensions dans le mur
et les tensions de cintrage dans la poutre
restent dans les limites de sureté. Les
courbes présentées convertissent cette
méthode de calcul essentiellement itérative en une méthode de conception
directe.
Einleitung
Eine Wand, die auf einem Balken aufliegt, neigt dazu - wie in
Abb. 1 dargestellt -, zwischen den Auflagern aIs Gewéilbe zu
tragen. Die vertikale Belastung des Balkens durch die Wand
druckt den Balken im mittleren Bereich der Spalll1weite von
der Wand weg . Im Falle einer schweren Belastung kéilll1en
durch diese Wechselwirkung horizontale Risse und sogar eine
sichtbare Trennung des Balkens von der Wand auftreten.
Die Gewéilbewirkung schafft Konzentrationen der vertikalen
Druckspalll1ungen lmd der horizontalen Schubspalmlmgen in
der Wand Uber den Lagern. Die Umlagerung der vertikalen
Last auf dem Balken hin zu den Lagern verursacht ein viel
kleineres Biegemoment im Balken, aIs welll1 die gleiche
Wandlast gleichmaBig uber die Spalll1weite verteilt ware. Der
Horizontalschub des Gewéilbes wird durch die Zugbandwirkung des Balkens aufgenommen, der deshalb zusatzliche
Langszugspalll1ungen erhalt.
Das Berechnungsverfahren sieht einen Balken vor, bei dem
sichergestellt ist, daB die Spannungen in der Wand und im
Balken sowie die Durchbiegungen in annehmbaren Grenzen
bleiben. Es wurden schon frUher Bereelmungsverfahren entwickelt, die der Gewéilbewirkung Rechnung getragen haben.
Die Verfasser glauben, daB das hier vorgelegte Verfahren Einfachheit mit einem vemUnftigen Genauigkeitsgrad verbindet
und damit ein wirklichkeitsnaheres praktisches Verfahren
liefert, aIs bisher zur VerfUgung stand.
282
Der Balken wird aul Zug und
Biegung beansprucht
Beam acts in tension
and in bending
Abb. 1: Zusammenwirken der Kralt in der Wand aul einem Balken
Fig. 1: Composite Action 01 Wall on Beam
V
4
6
K =
3
EwtL
EI
.. [2]
Hierin sind Ew und t der Elastizitatsmodul bzw. die Wanddicke und EI die Biegesteifigkeit des Balkens. Die A.hnlichkeit
zwischen K und dem in der Theorie des Balkens auf elastischer
Bettung benutzten Parameter zeigt die A.hnlichkeit der Probleme. Es ist zu bemerken, daB die Hohe der Wand nicht vom
Para meter erfaBt wird. Green und Burhouse haben gezeigt,
daB bei Wandhohen liber 0.6 L Veranderungen in der Spannungsverteilung in der Nahe des Balkens unbedeutend sind.
Aus diesem Grund, aber auch um ein hohes Gewolbe zu gewahrleisten und damit ein NachauBengleiten der Wand auf
dem Balken zu vermeiden, ist eine Beschrankung auf Wande
húher ais 0.6 L in dem Berechnungsverfahren inbegriffen. In
einem der Versuche von Burhouse, bei dem die Wandhohe
0.33 L war, trat ein Gleiten in der Grenzfuge ein.
Die Verfasser fUhrten eine Reihe von Versuchen durch an
Modeilen mit Wanden aus zahnmedizinischem Gips auf einfach gelagerten Stahlbalken mit Rechteckquerschnitt, um die
Beziehung der Gleichung (1) zu ermitteln. Balken mit drei
unterschiedlichen Steifigkeiten wurden für gleich groBe Wande
verwendet. Eine gleichformig verteilte Last wurde auf die
Wand aufgebracht. Dehnungen in den Ecken der Wand wurden mit Huggenberger MeBgebem gemessen, uhd die Kontaktlange wurde mit Hilfe von ReiBlack, der liber die Grenzfuge zwischen Wand und Balken gestrichen war, verfolgt. In
ailen Fallen trat das Versagen durch Zerdrlicken des Kittes ein;
die Bruchlast wurde in jedem Fali notiert.
Es war moglich, aus jedem Versuch drei verschiedene Werte
der Konstanten B abzuleiten:
4
2
o~~----------------------~~
Abb. 2 a : Verteil ung der vertikalen Druckspannung
Fig. 2 a : Vertical Compressive Siress Distribution
1·0
0·5
O~--L_---------_-.J._~
Abb. 2 b: Horizontale Verteilung der Scherspannung
Fig. 2 b: Horizontal Shear Stress Distribution
lK
L
D ie Verfasser glauben, daB dies auf eine Überschatzung der
wirklichen Werte hinauslauft, weil es schwierig war, die volle
RiBlange festzusteilen:
b) aus der berechneten groBten Wandspannung fb mit
a) aus der abgelesenen Kontaktlange mit B
c
L
Abb. 2c: Ungefiihre Spannungsverteilung
Fig.2c: Approximated Stress Distribution
B
Theoretische Grundlage
Das AusmaB der Gewolbewirkung und die daraus resultierende
Spannungsverteilung im Wand/Balken-System ist von ihren
relativen Steifigkeiten abhangig. Mit Veranderung der Balkensteifigkeit von sehr steif zu sehr flexibel verandert sich das
Gesa mttragverhalten von dem eines gleichmaBig belasteten
Biegebalkens zu dem eines Bogens mit Zugband. Das wÍrtschaftlichste Berechnungsverfahren ist das, welches den leichtesten Balken ergibt und dabei die Wand- und Balkenspannungen sowie die Durchbiegungen des Balkens innerhalb der zulassigen Grenzen halt.
2.
Wenn eine Gewolbewirkung eintritt und sich der Balken im
mittleren Bereich der Stützweite von der Wand lost, nimmt
die Verteilung der Schubspannungen und der vertikalen Spannungen in der Berührungsflache zwischen Wand und Balken
die in den Abb. 2 a und 2 b gezeigte typische Form ano Beide
Verteilungen kúnnen sinnvoil durch Dreiecksverteilungen angenahert welden, die typisch - aber in unterschiedlichen MaBstaben - in Abb. 2 c dargestellt sind.
In Abb. 2 c wird die Kontaktlange ,,1" durch die relative
Steifigkeit von Wand und Balken bestimmt, denn je steifer der
Balken ist, desto grúBer ist die Kontaktflache. Die Unge "I"
kann ausgedrUckt werden durch das Verhaltnis
I
B
L
K
.. [1]
wobei B eine Konstante und K ein dimensionsloser Para meter
der relativen Steifigkeit isto
=
Ww·K
fb· tL
-;;----::-
=
-
. . [3]
c) aus der Bruchfestigkeit der Wand wf unter der Annahme,
daB das Versagen eintrat, wenn die dreieckig verteilte Druckspannung die Druckfestigkeit des Kittes fbu erreichte
B = Wwc · K
fbu· t
.. [4]
Es ist zu vermuten, daB die Gleichungen (3) und (4) B zu niedrig
einschatzen, wegen der in Abb. 2 (a) gezeigten Form der
Spannungsvertei1 ungskurve . .
Tabelle 1 zeigt die Werte von B, die aus den Ergebnissen der
Modellversuche nach den oben angeflihrten drei Verfahren
ermittelt wurden. Weitere Werte von B sind in Tabeile 2 angegeben; die beiden ersten stammen von halbgroBen Wanden,
hergestellt aus normal groBen Ziegeln auf Stahlbetonbalken;
sie wurden an der Universitat Southampton gemessen [5]. Die
letzten beiden Ergebnisse in Tabelle 2 stammen von normal
groBen Ziegelmauerwerkswanden auf einbetonierten Stahlbalken; sie wurden von der Building Research Station geprlift.
Auf der Grundlage der in den Tabeilen 1 und 2 angegebenen
Ergebnisse wurden Werte von B für das Bemessungsverfahren
angenommen, die libliche Schatzungen fiir die verschiedenen
betrachteten Spannungen liefem sollen. B wird zu 0.75 für die
Berechnung der hochsten vertikalen Wandspannung angenommen, zu 1.5 EUr das Biegemoment im Balken, zu 1.0 flir die
Schubspannung in der Fuge zwischen Wand und Balken. Der
letztgenannte Wert ist wegen der in den Abb. 2 (a) und (b)
gezeigten unterschiedlichen Spannungsverteilungen groBer ais
der für die vertikale Wandspannung.
283
Tabelle 1 : Modell-Versuchsergebnisse /Model Test Results
Versuchf
Test
Balkenhühef
Beal11
depth
(mm)
E
(KNf
mm2)
Geschatzter B-Wertf
Estimated B value
I
(1)
(2)
Ver(3)
Spanbund- nungsVerlangef spitzef sagenf
Contact Peak
Failure
length
stress
i
K
I
1
2
3
4
,
I
18
12
6
12
16.3
16.1
13.5
13.5
I
I
I
I 11.2
1.02
1.16
1.21
1.09
15.1
24.2
14.4
0.90
0.77
1.28
0.98
I
I
I
0.78
0.96
1.02
0.90
Tabelle 2: Ergebnisse von Versuchen an MauerwerkfBrickwork
Test Resu!ts
I
I
K
Geschatze B-Wertef
I
Estimated B value
(2)
(1)
SpanVerbund(3)
nungslangef
Versagen f
spitzef
Con tact
Failure
Peak
length
stress
I
R.-C.-BalkenfR. C.
Beal11s
Ul11mantelte BalkenfEncased Beams
10.46
15.35
-5.93
8.63
1.16
1.28
1.26
1.08
I
-
I
-
1.16
I
-
1.23
1.10
3. Ableitung der Bemessungsforme1
3 (i) Hochste vertikale Wandspannung
Wenn man das vertikale Gleichgewicht in der Fuge zwischen
Wand llnd Balken betrachtet und eine dreieckige Spannungsverteilung annimmt, ist
fb ·lt
Unter der Annahme
=
Ww
0.75
K
L
ist
.. [5]
Setzt man K aus Gleichung (2) ein
Balken-Problemen haben ergeben, daB die Wirkung dieser
Verbundspannungen insgesamt von geringerer Bedeutung ist
als die Spannungen aus den vertikalen Kraften allein. Deshalb
wird die einfachere herkommliche Naherung unter Berlicksichtigung der Balkenbiegung allein unter der Einwirkung der
vertikalen Wechselkrafte angenommen. Es ist zu beachten,
daB die obigen Ausflihrungen liber Spannungen fUr Ba1ken
mit symmetrischen Querschnitten wie Z. B . Walzprofile gelten.
Die Ausflihrungen treffen nicht notwendigerweise flir asy mmetrische Querschnitte wie Z. B. solche aus Stahlbeton zU. Die
Berechnungen haben auch gezeigt, daB die Wirkung des Einbetonierens des Stahlquerschnitts darin liegt, daB sowohl die
Wand- und die Balkenspannungen als auch die Balkendurchbiegung abgemindert werden und daB die Druckspannungen
in der Betonummantelung gering gegenliber den gewohnlichen Betonfestigkeiten sind.
Daher ist unter der Annahme der dreiecksformigen Spannungsverteilung das Biegemoment im mittleren Bereich der Spannweite
Wwl
M = -6
Nimmt man flir Biegung
I
1.5
K
L
an, so ergibt sich
· . [7]
Damit ist die Spannungsspitze im Balken
WwL
fst = 4KZ
Versuche in natlirlichem MaBstab haben immer gezeigt, daB
die Balkendurchbiegungen auBerordentlich klein sind; daher
wurde kein spezielles Durchbiegungskriterium in das Bemessungsverfahren aufgenommen. Es wurde jedoch spater eine
Bedingung fUr die kleinste Balkenhohe aufgestellt, um die
Durchbiegung aus Eigenlast bei sehr leichten Balken zu beschranken.
3 (iii) Schubspannungsspitze in der Grenzfuge zwischen Wand
und Balken
Es ist eine ausreichende Schubfestigkeit der Wand und der
Balkenummantelung erforderlich, um den l horizontalen
Gewolbeschub aus der Wand in den aIs Zugb~nd wirkenden
Stahlbalken einzuleiten. Green [3] bat die Methode der finiten
Elemente flir die Schatzung der horizontalen Kraft zu etwa
W w /4 benutzt und Wood [7] hat unte r Berlicksichtigung einer
parabolischen Stlitzlinie einen Wert von W w /4.4 geschatzt.
Nimmt man einen Wert von W w /4 an, dreiecksformig liber
eine herkommliche Lange verteilt, von
4
fb
=
W
W
0.75Lt
und nimmt man an E;
=
.
;0'
VE
so ergibt sich fb
0.75
L
EI
so ist
Ww
hk
' Sc1lU bspannungsspltze
.
un dd le
,
.. [6]
,tL
2
4
d. h. flir Ziegelmauerwerk/Stahl
3 (ii) Hochste Biegespannung und Durchbiegung des Balkens
Die wechselseitig wirkenden vertikalen Druck- und horizontalen Schubkrafte verursachen im Balken Biegung mit Achszug. Die auswarts gerichtete Schubkraft wirkt ausmittig auf
den Balkenquerschnitt und verursacht daher eine betrachtliche
Abminderung der Biegespannungen aus Vertikalkraft. Der
nach auswarts gerichteten Schubkraft wird durch die Kraft im
Zugband das Gleichgewicht gehalten, wodurch sich die Zugspannungen vergroBem und die Druckspannungen vermindemo Berechnungen flir einen weiten Bereich von Wand284
1.0
K
3
w' t L
4
Ww
· . [8]
=
WwK
~
· . [9]
Ein Sclútzwert flir die Grenzschllbfestigkeit des Ziegelmauerwerks 's ist gegeben durch 'u = 'bs + [Lf e
.. [10]
wobei 'bS die Haftschubfestigkeit, [L der Beiwert der inneren
Reibung llnd fb die Druckspannung normal zur Schubflache
sind.
Ein herkommlicher Schatzwert flir f.1. zwischen Ziegelmauerwerk llnd der Betonummantelung ist 0.5 llnd bei fehlender
Ummantelung 0.3 [8] zwischen Ziegelmauerwerk und dem
Stahlbalken.
Damit ergibt sich flir einen ummantelten Balken
'u
=
'bs
+ 0.5fe
. . [11 ]
ulld für eillell nicht ul11l11antelten Balken, bei dem die Haftung
zwischen Ziegelmauerwerk und Stahlunzuverlassig ist,
"u = O.3fc
.. [12]
Die Schubsparulungsspitze tritt llahe dem Auflager auf, wo der
Wert VOll fb durch Gleichung (5) gegebell ist zu
WwK
fb = 0.75 Lt
Da mit Silld die erreichbarell Festigkeitell:
für einell ul11l11antelten Balkell
WwK
"u = "bs + 0.67 ----rt
ulld für eillellllicht Uml11allteltcll Balkell
O.4WwK
Lt
· . [13]
· . [14]
W enll l11all die Gleichullgen (9) ulld (13) für ummantelte Balken ulld die herkol11l11lichen Annahmen für die Schubspallllungsverteilullg sowie [.L betrachtet, scheillt es vemünftig, eill
Schubversagen ais Grellzzustand auBer acht zu lassen. Dell
Verfassem Silld keine Falle VOll Schubversagen bei Versuchell
all Wandell mit eiller Héihe gtéiBer aIs 0.6 L bekallnt. Wenn
l11all jedoch die Gleichungen (9) und (14) für llicht ummantelte
Q uerschnitte beachtet, kann die Schubspannung leicht die
Schubfestigkeit übersteigen; daher sind die llichtummantelten
Balken aus dem Bemessullgsverfahren ausgenommen, es sei
delln, daB besondere MaBllahmen für die seitliche Einspannung
dcr Wand vorgesehen werdell.
4. Formulierung des B'e messungsverfahrens
4 (i) Wandspannungen aIs bestimmendes Bemessungsmerkmal
D ie Gleichung (6) kann so umgeformt werden, daB das Traghcitsmorncnt des Balkens - das notwendig ist, damit die Spannungsspitze ihren zulassigen Wert Pb nicht überschreitet gegeben ist durch
oder
,
Ww
1 >= - - - - .9.5 Lt 3 Pb 4
· . [15]
Gleichung (15) führt zu einem Balken, der die Wandspannungsbedingung erfüllt; sie genügt aber nicht unbedingt der für die
Stahlbiegespannung gegebenen Bedingung. Deshalb ist eine
Pt üfung der Stahlspannungen erforderlich.
Unter Verwendung der Gleichung (8) und Hinzufügung des
W iderstandsmoments Zs, das fiir das Balkeneigengewicht etfo rderlich ist, ergibt sich
WwL
Z> = - - + Zs
4Kpst
.. [16]
In bestimmten Fallen, bei dellen die Belastung sehr gering und
das Ziegelmauerwerk sehr fest ist, besteht die Méiglichkeit, nach
diesem Verfahren einen Balken mit so kleinem Querschnitt zu
bemessen, daB seine Durchbiegung unter Eigengewicht unannehmbar groB isto Die von den Verfassem untersuchten Eigengewichtsdurchbiegungen führten dazu, eine begrenzte kleinste
Balkenhéihe von L/25 zu empfehlen. Damit ist sichergestellt,
daB die gesamte Balkendurchbiegung illfolge Wandlast ulld
Eigengewicht nicht L/300 überschreitet.
Wiederholte Bereclmungen zeigtell, daB die Begrenzung der
Balkenhéihe eine bedeutellde Nebenwirkullg hat, die darin
liegt, daB eine Balkenbemessung nach Walldspannungen gemaB Gleichung (15) automatisch die Bedingullg für die Balkenbiegespannullg nach Gleichullg (17) erfüllt, wenn die zulassige
Ziegelmauerwerksspannung kleiller ais 6000 KN /m2, die
Wanddicke kleiller aIs 340 mm und die Balkenhéihe nicht
kleiner aIs L/25 isto Deshalb kann der Balken nur nach der
Grellzbedingullg für das Ziegelmauerwerk bemessen werdell,
ulld zwar, falls erforderlich, bis zu L/25 ohne irgendeine Prüfung der Balkellspannung.
Wenn die zulassige Ziegelmauerwerksspannung gréiBer ist ais
6000 KN / m2, ist es notwelldig, die Balkenspannung unter Verwendung der Gleichung (17) zu prüfen. Diese Prüfung muB
vorweg durchgeführt werden vor irgelldeiller VergréiBerung
der Hohe auf L/25, da Gleichung (17) voraussetzt, daB die
Walldspannung gleich ihrem zulassigen Wert ist und dies nicht
mehr der Fall ware, wenn die Balkenhéihe wachst.
4 (ii) Balkellbiegespannullgell aIs bestimmendes Bemessullgsl1lerkl1lal
Wenn die Balkenbemessung llach Gleichullg (15) nicht den
Anforderungen der Gleichung (17) entspricht, sind nur die
Wandspannungen eingehalten, und es ist eine emeute Bemessung der Balken notwelldig, um die Stahlspalmullgsbedingung
zu erfüllen.
Die Bemessung sollte nun nach Gleichung (16) erfolgcn. Es ist
zu beachtell, daB es falsch ware, den Balken zunachst unte r
Vemachlassigung des Eigengewichts zu bemessen und dann
einell Zuschlag von Zs zur Berücksichtigung des Eigengewichts
vorzunehmen. Das ware faIsch, weil mit dem Steiferwerden des
Balkens im Hinblick auf das Eigengewicht sich der Wert K
andem würde und dies zu einer Verschiebung der Wand-/
Balkell-Wechselkrafte zur Mitte der Spannweite führen würde.
Die Gesamtwirkung ware, daB das Balkenmoment den Bemessungswert überschreiten würde.
W enn der Balken nach Gleichung (15) bemessen ist und auch
Gleichung (17) erfü11t, bleiben sowohl Wand- aIs auch die
Balkenspannungen unter ihren zulassigen Werten.
Das Problem muB llun iterativ geléist werdell, illdem eill
Querschnitt gewahlt wird, K nach Gleichung (2) berechnet ulld
dann der erforderliche Wert VOll Z nach Gleichung (16) bestimmt wird. Dieser wird mit dem gewahlten Z des Balkens
verglichen. Mit eillem verbesserten Z ist schlieBlich die Berechnullg zu wiederholell, bis die beidell Werte von Z hinreichelld llahe beieillander liegen. Das Problem wurde untersucht unter Bellutzullg des HEWLETT-PACKARD-PROGRAMM-RECHNERS für Kombillatiollen VOll drei Spannweitell, drei Wanddicken ulld zwei Stahlfestigkeitell. Bei jeder
Berechnung wurde eill gewahlter Querschllitt mit verschiedellell Spannweiten, Wand- ulld Stahl-Daten kOl1lbiniert. Werte
hir K ulld Zs wurdell erreclmet zusammell mit der maximalen
Wandlast W w, die das System tragen kéillnte.
Es ist zu beachten, daB die Gleichung (17) nur verwendet werden so11, um die nach Gleichung (15) bemessenen Balken zu
prüfen. Es ist keine allgemeine Bemessungsgleichung, weil sie
ungültig wird, wenn die Ziegelmauerwerksspannung nicht
gleich Pb isto
Die Ergebllisse zeigen eine Beziehung zwischen K und der
Belastungsintellsitat Ww /L für jede Wallddicke und Stahlfestigkeit.
Die Ergebnisse für eine Kombinatioll Silld in Abb. 3 dargestellt.
Wenn die Wand bis zu ihrem zulassigen Wert beansprucht
wird, ist K durch die Gleichung (5) gegeben; diese liefert:
· . [17]
285
1·0 , . . - - - - - - - - - - - - _
3Sr-------------------------------~
30
20
.6
15
"õ
"
:l
<ii
SQ;
10
3:
"
.3
5
·2
o
~o
100
150
W/L
250
200
·1
KN/m
Abb. 3: Verhãltnis zwischen K und W/L lür Stahl 50 und Wanddicke 225 mm
Fig. 3: Relation between K and W/L lar Grade 50 Steel and Wall Thi ckness 01 225 mm
o
20
40
60
~s)
Abb. 4: Verhãltnis von (1 _
Fig.4:
Auf diese Weise wurde eine Kurvensehar für K in Abhangigkeit von Ww/L konstruiert, indem die zuverlassigsten Punkte,
d. h. diejenigen mit dem kleinsten K, für einen bestimmten
Ww /L Wert angenOl11men wurden. Diese sind in Abb. 5
gezeigt.
DieErgebnisse zeigten aueh eine engeAbhangigkeit vonZs /Z
und W w/L2, wie in Abb. 4 gezeigt wird. Diese ist im wesentliehen unabhangig von der Wanddieke und der Stahlfestigkeit.
Z
Eine zuverlassige Kurve für log (1 - ~) in Ablúngigkeit zu
W w/L2 wurde konstruiert - siehe Abb. 6.
Der dimensionslose Ausdruek (I -
~) wird aIs eine Verander-
liehe C festgesetzt.
I · hung (16) Z - Zs ;;::: -WwL
Aus Gele
4Kpst
and W/L'
Zs
Relation between (1-Z) and W/L'
Weml erforderlieh, sollte die Quersehnittshohe - wie vorgenannt - auf L/25 erhoht werden, um sieh gegen Eigengewiehtsdurehbiegung abzusichem.
5. ZusalI11l1enfassung des Bemessungsverfahrens
Wenn man die oben besehriebenen Bemessungsbedingungen
und femer andere offensichtliche Beschrankungen beachtet,
wie z. B. die Vermeidung von Üffnungen im Mauerwerk, das
aIs Gewolbe wirkt, oder von starken ausmittigen Lastverteilungen auf der Wand, ware das folgende Bemessungsverfahren
vorzuschlagen:
Verfahren I:
Weml die zulassige Ziegelmauerwerksspannung Pb für die
Bemessung 6000 KN / m2 nicht übersehreitet, gilt:
1. Wahl eines Stahlquersehnitts unter Verwendung von
I>
-
W
w
9.5Lt 3p'
.. [19]
b
4K(1-s)Pst
Z
. . [18]
Damit ist es moglieh, einen Stahlquersehnitt unmittelbar für
die Stahlspannungsbedingung unter Verwendung der Abb. 5
und 6 sowie Gleiehung (18) zu bemessen. Für Wanddieken, die
zwisehen denen in Abb. 4 angegeben liegen, konnen zuverlassige Werte dureh direkte Interpolation gefunden werden.
286
100
,
. I1 dI
ergl'bt sle
a ler Z ;;::: -W"L
Z
--
WwL
o der Z ;;::: 4KCpst
80
2. Wenn erforderlieh, ist die Hohe auf L/25 Zl1 vergroBem, um
sicherzustellen, daB das Tragheitsmoment I nieht kleiner ist,
aIs nach Gleichung (19) gegeben.
3. Priifung des Vertikalschubes .
Verfahren lI:
Wenn die zulassige Ziegelmauerwerksspannung Pb 6000
KN/ m2 überschreitet, gilt:
1. Wahl eines Stahlquerschnitts unter Verwendung der Gleiehung (19) wie nach Verfahren I.
35r-r---~------------------------~
\
\
'·0
V-
GRADE
43 STEEL
I
3 O I--t--'---f-
P = 222 MN 1m2
25
GRADE 50 STEEL
P ,=308 MN/m 2
0·8
V
st
u
.,
V
0 ·(;
/
õ
//
~
~ 0·4
st
---
/
Ú
0·2
--
I
o
1
---
2
3
4
6 8 10
20
W I L2 KN/m 2
30 40
60 80 100
Abb. 6 : Wert von C ais Funktion von W/L 2
Fi9: 6: Value of C as a Function of WjL2
-5~-----+------~------r------+------1
o
50
100
150
WI L
KN/m.
250
200
Abb. 5: Steilheit (Parameter K) ais Funktion der Aullast
Fig. 5 : Value 01 Stiffness Parameter K as a Function 01 Loading Intensity
2. Prüfen, ob das gewahlte Widerstandsmoment der Gleichung
.. [20]
genügt.
Wenn die Gleichung (20) erfüllt ist, wird zu den Schritten 2 und
3 des Verfahrens I übergegangen. Wenn nicht, wird der nachstehende Schritt 3 ausgeführt.
3. Verwende die Abb. 5 und 6, um Werte der dimensionslosen
GroBen K bzw. C zu bestimmen. Falls erforderlich, ist zu
interpolieren. Auswahl eines zweiten Querschnitts unter Verwendung der Gleichung
z>
-
WwL
4KCPst
.. [21]
Dallli übergehen zu den Schritten 2 und 3 des Verfahrens L
6. Zusammenfassung
Das hier vorgelegte Verfahren hat - wie im Nachfolgenden
ausgeführt - gewisse Vorteile gegenüber den anderen bekannten Bemessungsverfahren für Wand- oder Balkenkonstruktionen.
1. Versuche haben gezeigt, daB vertikale Spall11ungskonzentrationen in der Wand einen Hauptfaktor der Bemessung darstellen. Sie werden bei diesem Verfahren berücksichtigt, dagegen bei den meisten anderen Verfahren vernachlassigt.
2. In vielen Fallen führt dieses Verfahren zu wirtschaftlicheren
Bemessungen ais andere Verfahren. Die Bemessungsergebnisse
sind noch vorsichtig angesetzt, besonders im Hinblick auf die
Balkenspannungen.
3. Die Bemessungskurven erlauben die direkte Bemessung des
Balkens ohne Iterationsschritte.
BEMERKUNGEN fNOTATION
L
Spannweitefspan length
I
Verbundlangefcontact length
t
W anddickefwall thickness
D
Hóhe des Stahlquerschnittsfdepth of steel section
Ew
Elastizitats1110dul der Wandfmodulus of elasticity of wall
E
Elastizitatsmodul des Balkensfmodulus of e1asticity of beam
I
Tragheitsmoment des Balkensf2nd moment of area of beam
Z
Widerstandsmoment des Balkensfsection modulus of beam
Zs
Erforderliches Widerstandsl11ol11ent des Balkens, um das Eigengewicht zu tragenfreq uired section modulus of beam to'
carry its self weight
Ww Wandeigengewicht + Verkehrslast auf der Wandfwall self
weight + superimposed loading on the wall
Wwf Wert von W w bei Versagenfvalue of W w at failure
K
Dimensionsloser Parameter, der das Biegesteifigkeitsverhaltnis von Wand zum Balken angibtfnon-dimensional param eter representing relative wall to beam flexural stiffness
B
Konstante fcons tant
7j
Reibungsbeiwertfcoeffi cient of friction
P st
Zulassige Stahlspannungfpermissible steel direct stress
Pb
Zulassige Wandspannungfperl11issible wall direct stress
IT u
Schubfestigkeit der W and fshear strength of wa ll
1tbs Haftschubfestigkeit in der Wandfbond shear strength in wall
fst
Stahlspannllngsspitze im Balkenfpeak steel stress in beam
fc
Vertikale Spannllng in der Wandfvertical stress in wall
fb
Vertikale Spaunungsspitze in der W and fpeak vertical stress
in wall
fbu
Wert VO ll fb bei Versagenfva lue of fb at failure
't'
Gró!3te Schubspannung in der Fuge zwischen Wand und
Balkenfpea k shear stress on wall-beam interface
M
Gró!3tes M Ol11ent il11 Balkenfpeak moment in beam
LITERA TURHINWEISE Seite 290
287
The Design for Composite Action of Brickwork
Walls on Steel Beams
lo Introduction
A wall resting on a beam tends to arch between the beam
supports as shown in Fig. 1. The verticalloading of the wall on
the beam pushes the beam away from the wall in the mid-span
reglOn.
In cases of heavy loading, horizontal cracking, and even visible
separation of the beam away from the wall, can result from this
interaction effect.
The arching behaviour produces concentrations of vertical
compressive and horizontal shear stresses in the wall above the
supports. The shift towards the supports of verticalload on the
beam produces a much lower bending moment in the beam
than if the same wallload were distributed uniformly over the
span. The horizontal reaction of the arching is resisted by the
tying action of the beam which is therefore subjected to
additional axial tensile stresses.
The design method provides a beam which will ensure that the
wall stresses and the beam stresses and deflections are kept
within acceptable limits . Methods of design which account for
the arching effect have been developed before. The present
authors believe that the method presented here combines
simplicity with a rational approach to give a more consistent
practical method than has previously been available.
Theoretical Basis
The extent of the arching effect and the resultant stress distribution in the wallfbeam system is dependent on their relative
stiffness. With changes in beam stiffness from very stiff to very
flexible, so the composite behaviour changes from a uniformly
loaded beam in bending to that of a tied arch. The most
economical design will be that which gives the lightest beam
whilst retaining the wall and beam stresses and beam deflections
within the design limits.
When arching occurs and the beam separates from the wall in
the mid-span region, the shear and vertical stress distributions
at the interface of the wall and beam take the form shown
typically in Figs 2(a) and 2(b). Both distributions can be
reasonably approximated by triangular distributions shown
typically, but to different scales, in Fig. 2(c).
In Fig. 2(c) the "length of contact" I is governed by the relative
stiffness of the wall and beam, the stiffer the beam the larger
the length of contact. The length I may be expressed by the
rela ti onshi p
The authors conducted a series of tests on models consisting of
dental plaster walls on simply supported rectangular section
steel beams to investigate the relationship of Equation (1),
Beams of three different stiffnesses were used for identical
sized walls. A uniformly distributed load was applied to the
wall. Strains in the corners of the wall were measured by
Huggenberger gauges and lengths of contact were observed
with the aid of brittle lacquer painted over the wallfbeam
interfaces. In all cases, failure occurred by crushing of the
plaster; the failure load was noted for each case.
It was possible to derive from each test three different values of
the constant B.
a) from the observed length of contact, using
B
=
IK
L
The authors believe that this tended to give an overestimate of
the true value because of the difficulty in observing the full
length of the crack.
b) fro m the caIculated peak wall stress fb using
B = WwK
~ . (3]
fbtL
c) from the wall crushing strength WWf assuming that failure
occurred when the triangularly distributed compressive stress
reached the compressive strength of the plaster fbu.
B = Wwf·K
f bu . t
2.
..
[4]
it is suspected that Eqs. (3) and (4) underestimate B because of
the shape of the stress distribution curve shown in Fig. 2(a).
Table 1 shows the values of B as derived from the model test
results by the above three methods. Further values of B are
given in Table 2; the first two of these are from haIf-size walls
constructed of full-size bricks on reinforced concrete beams
and tested at Southampton University (5]. The last two result~
in Table 2 are from full size brickwork walls on encased steel
beams tested at the Building Research Station.
On the basis of the results in Tables 1 and 2 values of B were
adopted for the design method to give conserva tive estimates
for the various considered stresses. Bis taken as 0.75 in caIculating the peak vertical wall stress, 1.5 for the bending moment
in the beam, and 1.0 in the shear stress along the wallfbeam
interface. The last value is greater than for the vertical wall
stress because of the differing stress distributions shown in
Figs. 2(a) and (b).
3. Derivation of design formulae
. . (1]
in which B is a constant and K a non-dimensional relative
stiffness para meter (1] where
V
3 (i) Peak vertical wall stress.
Considering the vertical equilibrium at the wallfbeam interface
and assuming a triangular stress distribution
4
K=
fb·h
EwtL3
EI
I
. . (2 ]
in which Ew and t are the elastic modullls and thickness of the
wall, respectively and EI is the fIexural rigidity of the beam.
The similarity between K and the para meter used in beam on
elastic foundation theory (2] reflects the similarity in the nature
of the problems. It will be noted that the height of the wall has
not been inclllded in the para meter. Green (3] and Burhouse (4]
have shown that for wall heights exceeding 0.6L there are
negligible variations in the stress distribution close to the beam.
Partly on this account, but also to ensure a high arch and thus
to avoid outward slip of the wall on the beam, a restriction of
the design method to walls higher than 0.6L is included. In one
of Burhouse's tests in which the height of the waIl was 0.33L,
slip along the interface occurred.
288
=
Ww
0.75
K
Assumlllg
. -LI
I
tlen
0.75 fbLt
K
Ww
. . [5]
substituting for K from Eq. (2)
3
Ew tL
EI
d
. Ew
an assumlllg T
3~ , i.e. for brickworkfs teel
4
then fb =
Ww
0.75
V
1
. . [6]
3 (ii) Peak bending stress and deflection of beam.
The vertical compressive and horizontal shear interaction forces
cause the beam to act in bending and direct tension. The outw ards shear force on the beam is eccentric with respect to the
beam section and therefore causes a substantial reduction in the
vertical force bending stresses. The outwards shear force is also
resisted by a tie force in the beam which increases the tensile
stresses and reduces the compressive stresses. Calculations for a
wide range of wall /beam problems have shown the overall
effect of these combined stresses to be less severe than the
stresses calculated from the vertical forces only. Therefore the
si mpler conservative approach of considering bending of the
beam only under the action of vertical interactive forces is
adopted. Note that the above comments about stresses apply to
beam sections symmetric about their axis of bending, such as
rolled steel sections; the comments are not necessarily true for
asy mmetrical sections such as of reinforced concrete. The
calculations have shown also that the effect of encasing a steel
beam section is to reduce both wall and beam stresses as well as
the beam deflection, and that the compressive stresses in the
concrete encasement are low relative to usual concrete strengths.
Therefore, assuming the triangular stress distribution, the
bending moment in the mid-span region
M
Wwl
6
I
1.5
Ass uming for bending T
K
WwL
M
4K
Therefore the peak beam stress is given by
fst
WwL
4KZ
. . [7]
3 (iii) Peak shear stress on wall/beam interface.
T he shear strength of the wall and the beam encasement must
be adequate to transfer the horizontal arching force from the
wall to the steel beam which acts as a tie. Green [3] has used
finite element analyses to estimate the horizontal force to be
approximately W w/4 and Wood [7], by considering a parabolic
line of thrust estimated a value of W w/4.4. Assuming a conservative value of W w/4, distributed triangularly over a length
given by
1.0
L
K
Ww
" tL
then - - - = - - 4
2
WwK
peak shear stress " = 2tL
.. [9]
An estimate of the ultimate shear strength of brickwork "s is
given by
"u = "bs + [Lfe
.. [10]
in which "bs is the bond shear strength, [L the coefficient of
internaI friction and fb the compressive stress normal to the
shearing plane.
A conservative estimate of [L between the brickwork and
concrete encasement is 0.5 and, when unencased, between the
brickwork and the steel beam 0.3 [8].
Therefore, for an encased beam
=
"bs
+ 0.5fe
fb
~wK
=
0.75Lt
therefore the available strengths are:
for an encased beam
WwK
"u = "bs + 0.67 - - Lt
.. [13]
0.4 WwK
and for an unencased beam "u
Lt
.. [14]
Considering Eqs (9) and (13) for the encased beam and the
conservative assumptions for shear stress distribution and [L, it
appears reasonable to neglect shear failure as a limiting state.
No cases of shear failure are known to the authors for tests on
walls of height greater than 0.6L. However, considering
Eqs (9) and (14) for unencased sections, the shear stress is likely
to exceed the shear strength, therefore unencased beams are
exduded from the design method unless special means for
lateral restraint of the wall are provided.
I ;;::
Ww•
-,;;,-;:;-;;-,---,--,~;:---c--­
(0.75)4 30 Lt 3 Pb 4
or
•
. . [8]
Full scale tests [4] have always shown beam deflections to be
extremely small, therefore no specific deflection criterion has
been induded in the design method. However, a minimum
beam depth condition is imposed later to restrict the selfweight deflection of very light beams.
"u
"u = 0.3f e
.. [12]
The peak shear stress occurs dose to the support at which point
the value of fb is given by Eq. (5) as
4. Formulation of the design method
4 (i) When wall stresses govern the designo
Equation (6) can be rearranged so that the I of the beam necessary to ensure that the peak wall stress does not exceed its
permissible value Pb, is given by
=
=
and for an unencased beam where bond between the brickwork
and steel cannot be relied upon
.. [11]
Ww
9.5 LrJ Pb 4
•• [15]
Whilst Eq. (15) provides a beam which satisfies the wall stress
condition it does not necessarily satisfy the steel bending stress
condition. Therefore it is necessary to check the steel stresses.
Using Eq. (8) and adding the section modulus tequired for the
beam self weight, Zs
WwL
Z ;;:: -4K
+ Z,
Pst
.. [16]
As the wall is stressed to its permissible value, K is given by
Eq. (5) giving
I ;;::
2
Ww
+ Zs
3pstPb t
.. [17]
If the beam designed by Eq. (15) aIs o satisfies Eq.(17), then both
wall and beam stresses are within their permissible values.
Note that Eq. (17) must only be used to check beams designed
by Eq. (15). It is not a general design equation because it is
invalidated when the brickwork stress is not equal to Pb.
In certa in cases of light loading with strong brickwork it is
possible to design by this method a beam of such a small section
that its self-weight deflection is unacceptably large. The
authors' examination of self-weight deflections has led to the
recommendation of a minimum beam depth restriction of
L/25. This ensures that the total beam deflection due to wall
loading and self weight should not exceed L/300.
Repeated calculations showed that the beam depth restriction
has an important side-effect in that if the permissible brickwork
stress is less than 6000 KN / m2 , the wall thickness less than
340 mm., and the beam depth not less than L/25, then a beam
design for wall stresses by Eq. (15) automatically satisfies the
beam bending stress condition of Eq. (17). Therefore, the beam
can be designed only on the brickwork limit and, if necessary,
increased to L/25 without any check on the beam stress.
Z >
289
When the permissible brickwork stress is greater than 6000
KN / m 2 it is necessary to check the beam stress using Eq. (17).
This check must be made before any increase of depth to L /25
as Eq. (17) assumes the wall stress equal to its permissible value
which would not be the case when the beam depth is increased.
For wall thickness between those given in Fig. 4, conservative
values may be found by direct interpolation. If necessary the
section depth should be increased as previously to L/25, to
safeguard against self-weight deflection.
4 (ii) When beam bending stresses govern the designo
5. Summary of design method
Subject to observing the various conditions mentioned
previously, plus other obvious restrictions such as not allowing
holes in the arching region or highly eccentric load distributions
on the wall, the following procedure is proposed as a method
of designo
M ethod L
When the brickwork permissible design stress Pb does not
exceed 6000 KN / m2.
1. Select a steel section using
If the beam design by Eq. (15) does not meet the requirement
of Eq. (17), only the wall stresses are satisfied and it is necessary
to redesign the beam to meet the steel stress condition.
The design should now be based on Eq. (16). Note that it
would be incorrect to design the beam by first n eglecting its
self-weight, and then increasing the bea m by Z s to account for
the self-weight. It would be incorrect because if the beam were
stiffened to account for self weight, the K value would change,
resulting in a spread of the wall/beam interaction forces
towards the centre of the span. The overall effect would be to
increase the beam moment to above the design value.
The problem must now be solved iteratively by choosing a
section, calculating K from Eq. (2), and then determining the
required value of Z from Eq. (16). This is compared with the
chosen beam Z which is then adjusted and the calculation
repeated until the two values of Z are reasonably dose. The
problem W2S studied using a Hewlett Packard programmable
calculator for combinations of three spans, three wall thicknesses and two steel strengths. Each calculation involved
choosing a section and co mbining with the span, wall and steel
data. The value of K and corresponding Zs were computed,
together v.:ith the maximum wallloading, W w, that the system
could carry.
The results revealed a relationship between K and the intensity
of loading W w/L2 for each wall thickness and steel strength
combination. The results for one combination are demonstrated
in Fig. 3. A set of curves was thus constructed for K against
W w/L taking the most conservative points i.e. those w ith the
least K for a particular W w/L value. These are shown in Fig. 5.
The results also indicated a dose relationship between Z s/Z
and W w/L2 as shown in Fig. 4; this is virtually independent of
wall thickness and steel strength. A conservative curve for
log
(~) against W w/L2 was constructed,
as Fig. 6. The non-
,
w
I>
W
-
9.5Lt 3p'
.. [19]
b
2. If necessary increase depth of section to L /25 , ensuring that
I is not less than given by Eq. (19).
3. C heck for vertical shear.
M ethod lI.
When the brickwo rk permissible design stress Pb exceeds
6000 KN/ m2.
1. Select a steel section using Eq. (19) in M ethod I .
2. C heck that the section modulus of the chosen section satisfies
. . [20]
If Eq. (20) is satisfied proceed to steps 2 and 3 in M ethod I. If
not, proceed to step 3 below.
3. Use Figs. 5 and 6 to determine values of dimensionless
numbers K and C, res pectively, interpolating if necessary,
select an alternative section using
Z>
W~~
- 4KCPst
Then proceed to steps 2 and 3 in Method I.
.. [21]
dimensional term (- ), w ill be defined as a variable C.
Zs
6. Conclusions
T he design method as presented has certain advantages over
other known methods of design for wall or beam structures,
na mely:
WwL
Zs > - - 4Kpst
1. T ests have sl:iown the vertical stress concentration in the wall
Zs
Z
From Eq. (16) Z -
to be a major design factor. It has been induded in this method
but neglected in most other methods.
WwL
therefore Z ;::: - Z
--
or Z ;:::
2. In many cases more economical designs are given by this
method than with other methods. The resulting designs are
still conserva ti ve, especially in regard to the bea m stresses.
4K (~s)Pst
Z
WwL
4KCPst
.. [18]
3. The design curves allow the direct design of the beam without
an y iteration processo
It is now possible to design a steel section directly for the steel
stress condition using the curves in Fig. 5 and 6 and Eq. (18).
REFERENCES
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Frames" . The Proceedings of a Symposium on Tall B uildings,
Southampton 1966.
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Mi chigan Studi es, Scientific Series, Vol. XVI (1946).
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290
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[7] R. H. Wood and L. G. Simms: " A T entative Design M ethod for
the Composite Action of Heavily Loaded Brick Pane! Walls
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CP 26 /29, Building Research.
[8] Private communication w ith Mr. A. L. Randall, Redpath Dorman Long Lilllitcd.