Nichtlineare Finite Elemente
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Nichtlineare Finite Elemente
Nichtlineare Finite Elemente – Vorlesungsunterlagen WS 05/06 – JP Dr.–Ing. habil. Ellen Kuhl Kaiserslautern, Januar 2006 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik 1.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Deformationsabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Deformationsgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Verzerrungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Spannungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Hyperelastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Bilanzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Massenbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Impulsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Drehimpulsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Prinzip der virtuellen Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Prinzip der virtuellen Arbeit (materiell) . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Prinzip der virtuellen Arbeit (räumlich) . . . . . . . . . . . . . 1.5 Richtungsableitung – Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Linearisierung kinematischer Größen . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Linearisierung des Prinzips der virtuellen Arbeit ( materiell ) 1.5.3 Linearisierung des Prinzips der virtuellen Arbeit (räumlich) . 1.6 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens . . . . . . . . . . . . . 2 Finite Element Methode – Elastizität 2.1 Räumliche Diskretisierung mit Finiten Elementen . . . 2.1.1 Diskretisierung kinematischer Größen . . . . . . 2.1.2 Beispiel: Diskretisierung kinematischer Größen 2.2 Diskretisierung der schwachen Form (materiell) . . . . 2.2.1 Diskretisierung des Residuums . . . . . . . . . . 2.2.2 Linearisierung des Residuums . . . . . . . . . . 2.3 Diskretisierung der schwachen Form (räumlich) . . . . 2.3.1 Diskretisierung des Residuums . . . . . . . . . . 2.3.2 Linearisierung des Residuums . . . . . . . . . . 2.4 Diskretisierung in Matrix–Vektor–Notation . . . . . . . 2.4.1 Diskretisierung des Elementresiduums . . . . . 2.4.2 Linearisierung des Elementresiduums . . . . . . 2.5 Stabelement im 2D Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 4 5 8 10 10 12 16 16 16 17 18 19 19 22 24 25 26 28 31 . . . . . . . . . . . . . 38 38 38 40 44 44 45 48 48 49 51 54 55 57 Inhaltsverzeichnis 2.6 2.7 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens . . . . . . . . . . . . . . Algorithmische Umsetzung mit MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Hauptprogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Elementlastvektor und Elementsteifigkeitsmatrix . . . . . . . . 2.7.3 Gleichungslöser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.4 Zusammenbau Systemsteifigkeitsmatrix und Systemlastvektor 2.7.5 Plot der materiellen und räumlichen Konfiguration . . . . . . . 3 Lösungsverfahren 3.1 Newton–Raphson Verfahren (Lastkontrolle) . . . . . . . . . . . 3.1.1 Newton–Raphson Verfahren – Algorithmus . . . . . . 3.1.2 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens . . . . 3.2 Modifiziertes Newton Verfahren (Lastkontrolle) . . . . . . . . 3.2.1 Modifiziertes Newton Verfahren – Algorithmus . . . . 3.2.2 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens . . . . 3.3 Gedämpftes Newton Verfahren (’line search’) . . . . . . . . . . 3.3.1 Gedämpftes Newton Verfahren – Algorithmus . . . . . 3.4 Newton–Raphson Verfahren (Verschiebungskontrolle) . . . . . 3.5 Bogenlängenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Bogenlängenverfahren – Algorithmus . . . . . . . . . . 3.5.2 Bogenlängenverfahren – mögliche Nebenbedingungen ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 66 67 69 71 72 73 . . . . . . . . . . . . 74 74 75 76 78 78 79 83 85 86 88 91 92 Literaturverzeichnis [1] Bathe, K. J. [1995]. Finite Element Procedures. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. [2] Bathe, K. J. [2000]. Finite–Element–Methoden. Springer Verlag, Berlin. [3] Belytschko, T., W. K. Liu & B. Moran [2000]. Nonlinear Finite Element Analysis for Continua and Structures. John Wiley & Sons. [4] Bonet, J. & R. D. Wood [1997]. Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis. Cambridge University Press. [5] Crisfield, M. A. [1996]. Non–linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. John Wiley & Sons. [6] Holzapfel, G. A. [2000]. Nonlinear Solid Mechanics: A Continuum Approach for Engineering. John Wiley & Sons. [7] Hughes, T. J. R. [2000]. The Finite Element Method – Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. [8] Wriggers, P. [2001]. Nichtlineare Finite–Element–Methoden. Springer Verlag, Berlin. [9] Zienkiewicz, O. C. & R. L. Taylor [2000]. The Finite Element Method, Volume I: The Basis. Butterworth Heinemann, fifth edition. [10] Zienkiewicz, O. C. & R. L. Taylor [2000]. The Finite Element Method, Volume II: Solid Mechanics. Butterworth Heinemann, fifth edition. 1 Literaturverzeichnis 2 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik FEM I (bisher): lineare FEM, Gleichgewicht am unverformten System • Verzerrungen als lineare Funktion der Verschiebungen u • Spannungen als lineare Funktion der Verzerrungen lineares Gleichungssystem der Form int ext fI − fI = 0 mit int fI = nnd ∑ KI J u J J =1 nnd 1 ext direkt lösbar für unbekannten Knotenvektor u J = − ∑ K− JI f I I =1 FEM II (jetzt): nichtlineare FEM, Gleichgewicht am deformierten System • Verzerrungen als nichtlineare Funktion der Deformation es gibt unterschiedliche Verzerrungsmaße primäre Unbekannte J = X J + u J • Spannungen als nichtlineare Funktion der Verzerrungen es gibt unterschiedliche Spannungsmaße nichtlineares Gleichungssystem der Form ext f int I − fI = 0 mit int f int I = fI ( J) nur iterativ lösbar für unbekannten Knotenvektor 3 J 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik 1.1 Kinematik Lehre der Bewegung und Deformation ohne Bezug zur Ursache 1.1.1 Deformationsabbildung raumlichekonfiguration materiellekonfiguration F(X,t) F X x B0 Bt f f(x,t) Abbildung 1.1: Deformationsabbildung und Deformationsgradient Bewegung des Körpers B mathematisch beschreibbar durch die Deformationsabbildung ( X, t ) bzw. ( x, t ) • materielle Deformationsabbildung x= ( X, t ) : von B0 nach Bt B0 × R → Bt Lagrange’sche Betrachtungsweise, beschreibt das Verhalten eines materiellen Punktes X, üblich in der Festkörpermechanik • räumliche Deformationsabbildung X= ( x, t ) : von Bt nach B0 Bt × R → B0 Euler’sche Betrachtungsweise, beschreibt das Verhalten an einem räumlichen Punkt x, üblich in der Fluidmechanik 4 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik im folgenden: Lagrange’sche Betrachtungsweise • Verschiebungsvektor u u = x−X = −X 1.1.2 Deformationsgradient • materieller Deformationsgradient F Tangentenabbildung von T B0 nach T Bt ∂ = ∇X ∂X ∂ i FiJ = = ∇XJ ∂X J F = mit FiJ = ∂ 1 ∂X1 ∂ 2 ∂X1 ∂ 3 ∂X1 ∂ 1 ∂X2 ∂ 2 ∂X2 ∂ 3 ∂X2 : T B0 → T Bt i ∂ 1 ∂X3 ∂ 2 ∂X3 ∂ 3 ∂X3 zentrale Größe zur Beschreibung finiter Deformationen, beschreibt die relative räumliche Position zweier benachbarter Partikel nach ihrer Deformation als Funktion ihrer relativen materiellen Position vor der Deformation, Zweifeldtensor F = ∇X FiJ = ∇X J = ∇X [ X + u ] = I + ∇X u i = ∇X J [ Xi + ui ] = • Jacobi Determinante J J = det( F ) 5 iJ + ∇ X J ui 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik • Transformation von Linienelementen dx = ∇X dxi = ∇X J · dX i dX J dx = F · dX dxi = FiJ dX J raumlichekonfiguration materiellekonfiguration F(X,t) dA B0 X Bt dX dV da F f x dx dv f(x,t) Abbildung 1.2: Transformation von Linien-/ Flächen- und Volumenelementen • Transformation von Volumenelementen materielles Volumenelement dV dV = dX 1 · [ dX 2 × dX 3 ] = det( [ dX 1 , dX 2 , dX 3 ] ) 6 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik räumliches Volumenelement dv dv = dx1 · [ dx2 × dx3 ] = det( [ dx1 , dx2 , dx3 ] ) = det( [ F [ dX 1 , dX 2 , dX 3 ] ] ) = det( F ) det( [dX 1 , dX 2 , dX 3 ] ) dv = J dV • Transformation von Flächenelementen materielles Flächen- und Volumenelement dA und dV dV = dX · dA dA = N dA N ... Einheitsnormale des materiellen Flächenelements dA räumliches Flächen- und Volumenelement da und dv da = n da dv = dx · da n ... Einheitsnormalen des räumlichen Flächenelements da mit dx = F · dX = dX · F t und dv = J dV dv = dx · da = dX · F t · da = dX · J dA = J dV Nanson’s formula da = J F −t · dA dai = J FiJ−t dA J 7 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik 1.1.3 Verzerrungsmaße Vergleich des Skalarproduktes des materiellen Linienelementes dX mit dem zugeörigen räumlichen Linienelement dx dx · dx − dX · dX = F · dX · F · dX − dX · dX dxk dxk − dX I dX I = FkI dX I FkJ dX J − dX I dX I ausklammern ergibt dx · dx − dX · dX = dX · [ F t · F − I ] · dX t dxk dxk − dX I dX I = dX I [ FIk FkJ − IJ ] dX J • Deformationstensoren rechter Cauchy–Green Deformationtensor C C = Ft · F t C I J = FIk FkJ rein materielle Größe, es gilt: dx · dx = dX · [ F t · F ] · dX = dX · C · dX linker Cauchy–Green Deformationtensor (Fingertensor) b b = F · Ft bi j = FiK FKt j rein räumliche Größe, es gilt: dX · dX = dx · [ F −t · F −1 ] · dx = dx · b−1 · dx • Verzerrungstensoren Green–Lagrange Verzerrungstensor E 1 1 E = [ Ft · F − I ] = [ C − I ] 2 2 1 t 1 E I J = [ FIk FkJ − I J ] = [ C I J − I J ] 2 2 8 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik rein materielle Größe es gilt mit F = ∇X x = ∇X [ X + u ] = I + ∇X u 1 E = [ I + ∇tX u ][ I + ∇X u ] − I ] 2 1 = [ I + ∇X u + ∇tX u + ∇tX u · ∇X u − I ] 2 1 = [ ∇X u + ∇tX u + ∇tX u · ∇X u] 2 vergleiche mit geometrisch linearer Theorie (FEM I) 1 = [ ∇u + ∇t u ] 2 Euler–Almansi Verzerrungstensor e 1 1 e = [ I − F −t · F −1 ] = [ I − b −1 ] 2 2 1 1 −t ei j = [ i j − FiK FK−j1 ] = [ i j − bi−j 1 ] 2 2 rein räumliche Größe es gilt mit F −1 = ∇ x X = ∇ x [ x − u ] = I − ∇ x u 1 e = [ I − [ I − ∇tx u ][ I − ∇ x u ] ] 2 1 = [ I − I + ∇x u + ∇tx u − ∇tx u · ∇x u ] 2 1 = [ ∇x u + ∇tx u − ∇tx u · ∇x u] 2 vergleiche mit geometrisch linearer Theorie (FEM I) 1 = [ ∇u + ∇t u ] 2 es gilt push forward e = F −t · E · F −1 −t ei j = FiK EKL FL−j1 9 pull back E = F t · e · F t E I J = FIk ekl Fl J 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik 1.2 Spannungen 1.2.1 Spannungsmaße e3 dp dP t n e2 dN dn dA da B0 Bt e1 Abbildung 1.3: Definition der Spannungen • Cauchy Spannungstensor t =n · = ti = n j ji = t t ij t ·n nj j... erster Index: Normale auf die Fläche i... zweiter Index: Richtung betrachte Kraftelement dp der räumlichen Konfiguration dp = t da = t · n da physikalische Interpretation dp = t · da Cauchy Spannungstensor liefert Beziehung zwischen Kraftelement dp der räumlichen Konfiguration und Oberflächenelement da der räumlichen Konfiguration, rein räumliche Größe 10 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik • 1. Piola–Kirchhoff Spannungstensor t (vergl. Literatur: P) betrachte Kraftelement dp der räumlichen Konfiguration t dp = t da = t · n da = · da = J t · F −t · dA = t · dA Zusammenhang t =J t =J iJ t · F −t t FkJ−t ik = J F −1 · Ji = J FJk−1 ki physikalische Interpretation dp = t · dA erster PK liefert liefert Beziehung zwischen Kraftelement dp der räumlichen Konfiguration und Oberflächenelement dA der materiellen Konfiguration, Zweifeldtensor • 2. Piola–Kirchhoff Spannungstensor t (vergl. Literatur: S) betrachte Kraftelement dP der materiellen Konfiguration dP = F −1 · dp = F −1 · t · dA = J F −1 · t · F −t · dA = t · dA Zusammenhang t = F −1 · t = FIk−1 IJ t = J F −1 · t = J FIk−1 kJ t · F −t t Fl−J t kl physikalische Interpretation dP = t · dA zweiter PK liefert liefert Beziehung zwischen Kraftelement dP der materiellen Konfiguration und Oberflächenelement dA der materiellen Konfiguration, rein materielle Größe 11 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik es gilt push forward 1 = F · J 1 t = FiK ij J t t t · Ft KL FLt j pull back t = J F −1· t· F −t t = J FIk−1 IJ t kl Fl−J t 1.2.2 Hyperelastizität • Elastizität: Spannungszustand ist allein eine Funktion des aktuellen Deformationszustandes • Hyperelastizität: Spannungszustand ist pfadunabhängig und läßt sich als Funktion der gespeicherten Verzerrungsenergie darstellen ∂ ∂ t = ( F ( X ), X ) ˙ = : Ḟ = t : Ḟ := ∂F ∂F ∂ ∂ ∂ t = ( E ( X ), X ) ˙ = : Ė = t : Ė := =2 ∂E ∂E ∂C Zusammenhang zwischen materiellem Spannungszuwachs ∆ t und materiellem Verzerrungszuwachs ∆E ∂ t ∂2 ∂2 ∆ = IL : ∆E mit IL = = =4 2 ∂E ∂E2 ∂C IL ... vierstufiger Lagrange’scher Elastizitätstensor IE ... vierstufiger Euler’scher Elastizitätstensor t 12 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik es gilt push forward IE Ei jkl pull back IL 1 ¯ F ] : IL ¯ F t] = [F ⊗ : [ Ft ⊗ J 1 = FiI FjJ L I JKL FKk FLl J ¯ F −1 ] : IE ¯ F −t ] = J [ F −1 ⊗ : [ F −t ⊗ L I JKL = J FIi FJ j FkK Ei jkl FlL Beispiel: St. Venant–Kirchhoff Material ( materiell) Verzerrungsenergiefunktion des St. Venant–Kirchhoff Materials 1 [ E : I ]2 + 2 ... Lamé Parameter kir , ( E) = E:E zugehörige Spannungen und Materialoperator kir t IL kir ∂ kir ( E) = = [ E : I ] I +2 ∂E ( E) = ∂ kir t ∂E = E I ⊗ I +2 IIsym I ... zweistufiger Einheitstensor [ I I J ] = I J IIsym ... symmetrischer vierstufiger Einheitstensor sym IIsym = 21 [ I ⊗ I + I ⊗ I ] bzw. [I I JKL ] = 21 [ IK vergleiche FEM I, Hooke’sches Gesetz, E ← 13 JL und + IL ← JK ] 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik Beispiel: Neo–Hooke Material (materiell) dazu: Invarianten der Deformationstensoren C:I IC = I IC = 21 [ tr2 (C ) − tr(C 2 ) ] = det(C ) I I IC = b:I = 1 2 2 [ tr ( b ) = J2 = = Ib − tr(b2 ) ] = I Ib det(b) = I I Ib partielle Ableitung der Invarianten ∂IC ∂Ib = I = I C b ∂I IC ∂I Ib = tr(C ) I − C t = tr(b) I − bt C b ∂I I Ib ∂I I IC = det(C ) C −1 = J 2 C −t = det(b) b−1 = J 2 b−t C b Verzerrungsenergiefunktion des Neo–Hooke Materials [ IC − 3 ] − ln( J ) + [ ln( J ) ]2 2 2 mit: √ √ ∂ ln( J ) 1 ∂ ln( I I IC ) 1 ∂ I I IC 1 1 I I IC −1 √ C = C− = =√ =√ ∂C ∂C 2 I I IC ∂C I I IC 2 I I IC 2 ∂ ln ( J ) 1 = 2 ln( J ) C −1 = ln( J ) C −1 ∂C 2 zugehörige Spannungen und Materialoperator neo (C ) = neo t IL neo =2 ∂ =2 ∂ neo ∂C = neo t ∂C =[2 [ I − C −1 ] + ln( J ) C −1 ∂C −1 − 2 ln( J ) ][ − ] + C −1 ⊗ C −1 ∂C ∂C −1 = − 1 C −1 ⊗C −1 + C −1 ⊗C −1 2 ∂C −1 h i ∂C I J −1 −1 −1 −1 1 [ ] = − 2 CIK C JL + CIL C JK ∂C KL 14 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik Beispiel: Neo–Hooke Material (räumlich) push forward des Spannungstensors und des Materialtensors 1 ln( J ) F · neo t · F t = [ b − I ] + I J J J 1 ¯ F ] : ILneo : [ F t ⊗ ¯ Ft ] = ∗ I ⊗ I + 2 = [ F⊗ J neo t = IEneo ∗ sym ii Materialparameter ∗ = ∗ J = − ln( J ) J I ... zweistufiger Einheitstensor [ Ii j ] = i j iisym ... symmetrischer vierstufiger Einheitstensor sym sym 1 1 ii = 2 [ I ⊗ I + I ⊗ I ] bzw. [ii jkl ] = 2 ik jl + vergleiche FEM I, Hooke’sches Gesetz, J ← 1, 15 ∗ il jk ← , ∗ ← 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik 1.3 Bilanzgleichungen zeitliche Änderung der Bilanzgröße {•}0 , {•}t bilanziert mit Oberflächenfluß {}, {♦} und Volumenquelltermen {◦}0 , {◦}t • materiell, auf raumfestem materiellem Gebiet B0 Dt {•}0 = Div {} + {◦}0 • räumlich, auf zeitveränderlichem räumlichem Gebiet Bt Dt {•}t = div ({♦}) + {◦}t dt {•}t = div ({♦} − {•}t ⊗ v) + {◦}t 1.3.1 Massenbilanz ”Die zeitliche Änderung der Masse m, der materiellen Volumendichte 0 im materiellen Gebiet B0 , bzw. der räumlichen Volumendichte t im räumlichen Gebiet Bt ist identisch zu Null.” • materiell Dt 0 =0 kein Fluß– & Quellterm, konstante Massendichte 0 = const. • räumlich Dt t = − t div (v) dt t = div (− t v) vergleiche Kontinuitätsgleichung der Strömungsmechanik 1.3.2 Impulsbilanz ”Die zeitliche Änderung des Impulses I, der mit der materiellen bzw. räumlichen Volumendichte 0 bzw. t gewichteten Geschwindigkeit v̇ = Dt = ¨ im materiellen bzw. räumlichen 16 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik Gebiet B0 bzw. Bt entspricht der Summe aus Kräften aus dem Oberflächenfluß t , und den Volumenkräften 0 b, t b (z.B. Gravitation).” • lokale Form, materiell 0 Dt v = Div ( t )+ 0 b 1. Cauchy’sche Bewegungsgleichung • räumlich t Dt v = div ( t ) + t b t dt v = div ( t − t v ⊗ v) + t b vergleiche Strömungsmechanik 1.3.3 Drehimpulsbilanz ”Die zeitliche Änderung des Drehimpulses L = r × I, entspricht der Summe aus dem Drehimpuls verursacht durch Oberflächenkräfte r × t und dem Drehimpuls verursacht durch Volumenkräfte r × b.” • materiell F· = t · Ft = t 1. Piola–Kirchhoff Spannungstensor nicht symmetrisch, aber 2. Piola–Kirchhoff Spannungstensor ist symmetrisch • räumlich = t Symmetrie des Cauchy Spannungstensors 17 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik 1.3.4 Energiebilanz ”Die zeitliche Änderung der (inneren) Energie I0 Entropie S0 entspricht der Summe aus Wärmeänderung durch den Oberflächenfluß Q, q und den Volumenquellterm Q0 , Qt plus der inneren mechanischen Leistung t : Dt F, : ∇ x v.” • materiell, energie–basiert t Dt I0 = Div (− Q) + Q0 + • materiell, entropie–basiert mit I0 = 0 + S0 und Dt 0 : Dt F t = : Dt F − S0 Dt folgt Dt S0 = Div (− Q) + Q0 • räumlich, energie–basiert Dt It = div (−q) + Qt + t : ∇x v ( wobei ∇ x v = Dt F · F −1 = l) • räumlich, entropie–basiert mit It = t + St und Dt t = Dt St = −div (−q) + Qt dt It = div (−q − It v) + Qt + t : ∇ x v − St Dt folgt dt St = div (−q − St v) + Qt 18 t :∇ 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik 1.4 Prinzip der virtuellen Arbeit 1.4.1 Prinzip der virtuellen Arbeit (materiell) • Kinematik E • Gleichgewicht 0 • Konstitutives Gesetz • Dirichlet RB • Neumann RB 1 t [F ·F−I] 2 ¨ = Div t + 0 b ∂W t = ∂F ¯ = in B0 in B0 in B0 auf ∂B0 · N = T̄ auf ∂B0 = T t = 0. Ausgangspunkt: lokale materielle Form der Impulsbilanz − 0 ¨ + Div − 0 ¨i + t + 0 b =0 t + 0 bi = 0i iJ,J 1. Skalarmultiplikation mit Testfunktion i ·[− 0 ¨ + Div [− 0 ¨i + t + 0 b ]=0 t + 0 bi ] = 0 iJ,J 2. Integration über das materielle Gebiet B0 − − Z · Z B0 B0 i 0 ¨ dV + 0 ¨ i dV + Z · Div Z B0 B0 t t i dV + iJ,J dV + Z · Z B0 B0 i 0 b dV = 0 0 bi dV =0 3. partielle Integration des Divergenzterms Z · Div Z B0 B0 i t t iJ,J dV = dV = Z Z B0 · Div [ [ i B0 19 t t ] dV − iJ ],J dV − Z Z B0 B0 ∇X : i,J : t dV t dV iJ 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik 4. Gauss’scher Integralsatz Z Z B0 t · Div [ [ t iJ ],J i B0 ] dV = dV = Z · Z ∂B0 i ∂B0 t · N dA t N J dA iJ 5. Randbedingungen = ¯ auf ∂B0 i = ¯ i auf ∂B0 Z · Z ∂B0 T= t · N = T̄ auf ∂B0 = 0i auf ∂B0 Ti = iJ t · N J = T̄i auf ∂B0 · N dA = t i ∂B0 t i = 0 auf ∂B0 iJ N J dA = Z t · Z ∂B0 t i ∂B0 · N dA + iJ N J dA + Z · T̄ dA Z ∂B0 i ∂B0 T̄i dA • schwache Form Z · Z B0 B0 i 0 ¨ dV + 0 ¨ i dV + bzw. mit ∇X Z · Z B0 B0 i 0 ¨ dV + 0 ¨ i dV + : Z Z B0 B0 Z ∇X Z B0 dV − t iJ dV − ]sym : i,J ] sym : 20 Z · T̄ dA− Z ∂B0 ∂B0 i T̄i dA− Z · 0 b dV =0 Z B0 B0 0 bi dV = 0 i = [ F t · ∇X ]sym : = ∇X : F · [ F t ·∇X [ FIit : i,J : B0 t t dV − t I J dV − Z · T̄ dA− Z ∂B0 ∂B0 i T̄i dA− Z · 0 b dV =0 Z B0 B0 i 0 bi dV = 0 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik Interpretation als Prinzip der virtuellen Arbeit mit ← ... virtuelle Verschiebung dyn W0 = W0 + W0int − W0ext = 0 mit dyn W0 int W0 = = W0ext = Z · Z B0 Z B0 ∂B0 ∇X 0 : · T̄ ¨ dV t dV = dA + Z Z B0 B0 E: · dV 0 b dV wobei E = [ F t · F ]sym ... virtueller Verzerrungstensor 21 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik 1.4.2 Prinzip der virtuellen Arbeit (räumlich) • Kinematik b • Gleichgewicht t Bt in Bt ¨ = div + t b in ∂W 2 b· in = J ∂b ¯ = auf • Konstitutives Gesetz • Dirichlet RB • Neumann RB F · Ft = t t = Bt ∂Bt · n = t̄ auf ∂Bt 0. Ausgangspunkt: lokale räumliche Form der Impulsbilanz − t ¨ + div − t ¨i + i j, j + t b =0 + t bi = 0i 1. Skalarmultiplikation mit Testfunktion ·[− t ¨ + div [− t ¨i + i i j, j + t b ]=0 + t bi ] = 0 2. Integration über das räumliche Gebiet Bt − − Z · Z Bt Bt i t ¨ dv + t ¨ i dv + Z · div Z Bt Bt dv + i j, j dv + i Z · Z Bt Bt t b dv = 0 t bi dv = 0 i 3. partielle Integration des Divergenzterms Z · div Z Bt Bt i dv = i j, j dv = Z Z Bt Bt · div [ [ i 22 ] dv − i j ], j dv − Z sym Z Bt Bt ∇x sym i, j : dv : i j dv 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik 4. Gauss’scher Integralsatz Z Z Bt · div [ [ i j ], j dv = i Bt ] dv = Z · · n da Z ∂Bt i ∂Bt n j da ij 5. Randbedingungen = ¯ auf ∂Bt i = ¯ i auf ∂Bt Z · · n da = Z ∂Bt i ∂Bt i n j da = ij = 0 auf ∂Bt t= = 0i auf ∂Bt ti = Z · · n da + Z ∂Bt i ∂Bt ij n j da + · n = t̄ auf ∂Bt ij · n j = t̄i auf ∂Bt Z · t̄ da Z ∂Bt t̄i da i ∂Bt • schwache Form Z Z · t ¨ dv+ ∇x Z Bt Bt sym i t ¨ i dv+ Z Bt sym i, j Bt : dv− : i j dv − Z ·t̄ da− Z ∂Bt ∂Bt i t̄i da− Z · t b dv=0 Z Bt Bt i t bi dv = 0 Interpretation als Prinzip der virtuellen Leistung mit ← v ... virtuelle Geschwindigkeit dyn Wt = Wt + Wtint − Wtext = 0 mit dyn Wt int Wt = = Wtext = Z Z Bt Z Bt ∂Bt sym wobei d = ∇ x v· sym ∇x t ¨ dv v: dv = v · t̄ da + Z Z Bt Bt d: v· dv t b dv v ... virtueller Deformationsratentensor 23 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik 1.5 Richtungsableitung – Linearisierung Problem: nichtlineare Kontinuumsmechanik führt auf nichtlineares Gleichungssystem, i.a. gelöst mit Newton–Raphson Verfahren, dazu Linearisierung des nichtlinearen Gleichungssystems erforderlich allgemeine Definition der Richtungsableitung von F ( x) an der Stelle x0 in Richtung von ∆x d ∆F ( x0 ) = D∆x F ( x0 ) · ∆x := [ F ( x0 + ∆x) ] d =0 Bemerkung: Die Richtungsableitung D∆x F ( x0 ) · ∆x liefert die Änderung der Funktion F aufgrund einer kleinen Änderung ∆x ihres Argumentes x0 . D∆x F ( x0 ) · ∆x ist dabei immer linear in ∆x, so daß die Richtungsableitung auch als Linearisierung ∆F ( x0 ) von F bezüglich ∆x verstanden werden kann. Bemerkung: Häufig findet man auch die folgende Darstellung. ∆F ( x0 ) = ∂F ( x0 ) · ∆x ∂x0 mit D∆x F ( x0 ) = ∂F ( x0 ) ∂x0 hier: primäre Unbekannte Deformationsabbildung , Linearisierung des Residuums r an der Stelle in Richtung von ∆ ∆r ( ) = D∆ r ( ) · ∆ d := [ r ( + ∆ ) ] d 24 =0 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik 1.5.1 Linearisierung kinematischer Größen • Linearisierung von F an der Stelle in Richtung von ∆ d [ F ( + ∆ ) ]| d d = [∇X + ∇X [ ∆ ]]| d d = [∇X + ∇X [∆ ]]| d = ∇X ∆ | ∆F = D∆ F ( ) · ∆ = • Linearisierung von E an der Stelle ∆E= D∆ d = d d 1 = d 2 d 1 = d 2 =0 =0 =0 =0 = ∇X ∆ in Richtung von ∆ E( ) · ∆ [ E ( + ∆ )]| =0 [[∇tX + ∇tX [ ∆ ]] · [∇X + ∇X [ ∆ ]] − I ]| =0 [∇tX · ∇X + ∇tX · ∇X ∆ + ∇tX ∆ · ∇X + 2 ∇tX ∆ · ∇X ∆ − I ]| =0 1 [∇tX · ∇X ∆ + ∇tX ∆ · ∇X ] = [∆F t · F ]sym 2 alternative Herleitung = d 1 t [ F ( + ∆ ) · F ( + ∆ ) − I ]| d 2 1 = [ ∆F t · F + F t · ∆F ] 2 = [ ∆F t · F ]sym ∆E = D∆ E( ) · ∆ = 25 =0 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik 1.5.2 Linearisierung des Prinzips der virtuellen Arbeit ( materiell ) Bemerkung: hier Linearisierung der kontinuierlichen Gleichungen, dann Diskretisierung mit Finiten Elementen, alternativ: Diskretisierung, dann Linearisierung (insbesondere bei Strukturelementen) Problem: nichtlineares Gleichungssystem der Form Z · B0 0 ¨ dV + − Z Z B0 [∇tX · F ]sym : · T̄dA − ∂B0 Z · B0 dV 0 bdV = 0 allgemeine Form W0 ( + ∆ ) = 0 iterative Lösung mit Hilfe des Newton–Raphson Verfahrens Taylor Reihenentwicklung mit Abbruch nach dem linearen Term W0 ( + ∆ ) = W0 ( ) + ∆ W0 ( ) = 0 mit W0 = dyn + dyn + ∆ W0int − ∆ W0ext W0 ∆ W0 = ∆ W0 W0int − 26 W0ext 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik und dyn W0 = dyn ∆ W0 = W0int = ∆ W0int = + W0ext = ∆ W0ext = Z · Z B0 Z B0 Z B0 Z B0 ¨ dV ∂¨ ·∆ 0 ∂ dV [∇tX · F ]sym : dV · Z B0 0 [∇tX · ∇X ∆ ]sym: dV geom. Anteil [∇tX · F ]sym: IL : [ F t · ∇X ∆ ]sym dV mat. Anteil · T̄dA + Z ∂B0 0 ∂B0 Z dA + · ZB0 ∂B0 0 b 0 dV dV Interpretation als Prinzip der virtuellen Arbeit ← mit ... virtuelle Verschiebung int W0 = ∆ W0int = + Z Z B0 Z B0 E : IL : E dV ∆E : IL : E dV geometrischer Anteil E : IL : ∆E dV materieller Anteil B0 wobei ... ∆ ... Variation Linearisierung (formal gleiche Herleitung) mit F = ∇X ∆ F = ∇X ∆ E = [ F t· F ]sym ∆ E = [ ∆F t · F ]sym ∆ E = [ F t · ∆F ]sym 27 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik 1.5.3 Linearisierung des Prinzips der virtuellen Arbeit (räumlich) Problem: nichtlineares Gleichungssystem der Form Z · Bt t ¨ dv + Z sym Bt ∇x : dv − Z · t̄da − ∂Bt Z · Bt t bdv allgemeine Form Wt ( + ∆ ) = 0 iterative Lösung mit Hilfe des Newton–Raphson Verfahrens Taylor Reihenentwicklung mit Abbruch nach dem linearen Term Wt ( + ∆ ) = Wt ( ) + ∆ Wt ( ) = 0 mit Wt = dyn + dyn + ∆ Wtint − ∆ Wtext Wt ∆ Wt = ∆ Wt Wtint − Wtext Bemerkung: Linearisierung auf bewegtem Gebiet Bt nicht ohne weiteres durchführbar, deshalb: push forward der materiellen Form aus 1.5.2 dazu dA = 1 t F · da J und dV = 28 1 dv J 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik also dyn Wt = dyn ∆ Wt = Wtint = ∆ Wtint = + Wtext = ∆ Wtext = Z · Z Bt ¨ t dv ∂¨ ·∆ t ∂ sym ∇x : · Z Bt Z Bt dv dv [∇tx · ∇x ∆ ]sym : Z Bt sym ∇x Z Bt sym : IE : ∇ x ∆ dv · t̄da + Z ∂Bt 0 ∂Bt dv geometrischer Anteil Z da + · ZBt ∂Bt t materieller Anteil b dv 0 dv Interpretation als Prinzip der virtuellen Leistung mit ← v ... virtuelle Geschwindigkeit int Wt = ∆ Wtint = + Z Z Bt Z Bt d: dv [∇tx v · ∇x ∆ ]sym : dv geometrischer Anteil d : IE : Bt dv materieller Anteil vergleiche mit geometrisch linearer Theorie (FEM I) sym d = ∇x v sym = ∇x und 29 u 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik Bemerkungen: • Generell liefern materielle und räumliche Formulierung identische Ergebnisse, es können also auch einzelne Integralausdrücke materiell und andere räumlich ausgewertet werden. sym • Die Beziehung zwischen d = ∇ x v und v hat formal die sym gleiche Struktur wie die Beziehung zwischen = ∇x u und u der linearen FEM. • Der materielle Anteil aus der Linearisierung der räumlichen Formulierung nimmt eine analoge Struktur an, wie der entsprechende Term der linearen FEM, deswegen wird häufig die räumliche Form bevorzugt. • Materielle formulierte Stoffgesetze (St. Venant Kirchhoff) motivieren eine materielle Formulierung, räumliche Stoffgesetze (Neo–Hooke) eine räumliche. • Bei richtungsabhängigen Lasten, z.B. aus Wasserdruck, der immer senkrecht zur Oberfläche wirkt, ist die Linearisierung der externen Lasten nicht Null, ∆ W ext 6= 0. 30 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik 1.6 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens materiellekonfiguration raumlichekonfiguration fext fext L EA l H u H−u B B B B Abbildung 1.4: Dreigelenkrahmen: undeformierte & deformierte Konfiguration Annahme homogener Deformationszustand → lineare Deformationsverteilung über Stablänge → konstanter Deformationsgradient Kinematik Geometrie des undeformierten Systems p p 2 2 L= B +H l = B2 + 2 Deformationsgradient (’stretch’) F F= aktuelle Länge l = Ausgangslänge L J = det( F ) = Verzerrungsmaße 31 l L 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik Green–Lagrange Verzerrungstensor E 1 1 t 1 l 2 − L2 = [ E = [F F−1] = 2 2 L2 2L2 linearer Verzerrungstensor = ∆l L mit ∆l = u sin ; sin = 2 − H2 ] H L → = Hu L2 Linearisierung / Variation kinematischer Größen Längenänderung d [ l ( + ∆ ) ] | =0 d d 2 2 1/2 = B +[ + ∆ ] =0 d 1 = 2 ∆ + 2 ∆ 2 =0 2l 1 = ∆ l Deformationsgradient d 1 1 ∆F = D∆ F ( ) = [ l ( + ∆ ) ] = ∆ d L L l =0 1 d 1 [l( + ) ] = F = D F( ) = d L =0 L l d 1 ∆ F = D∆ F ( ) = [ + ∆ ] d Ll( + ∆ ) =0 2 1 1− 2 ∆ = Ll l Green–Lagrange Verzerrungstensor d 1 2 = 1 ∆ ∆E = D∆ E ( ) = [ l ( + ∆ ) − 1 ] 2 d 2 L2 =0 L ∆l = D∆ l ( ) = 32 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik 1 2 d = 1 [ l ( + ) − 1 ] E = D E( ) = 2 d 2 L2 =0 L Bemerkung: Linearisierung der Green–Lagrange Verzerrungen liefert ∆ E → X = H,∆ →u → ∆ E = D∆ d E( ) = d 1 [ L2 = 1∆ 2 =0 L + ∆ ] lineare Verzerrungen =D d (u) = d u H[u+ L2 u ] = =0 H u L2 Hyperelastisches Stoffgesetz vom St. Venant Kirchhoff Typ kir = Emod E Prinzip der virtuellen Arbeit am halben System Beschränkung auf symmetrischen Versagenszustand W ( ) = W int ( ) − W ext ( ) = 0 W( ) = = L Z Z0 L 0 = L Z 0 = E Emod EA dX − f ext 1 1 mod E [ 2 − H 2 ] A dX − 2 2 L 2L mod E A 3 2 ext − H dX − f 4 2Lmod E A 3 − H 2 − f ext = 0 ∀ 3 2L Newton–Raphson Verfahren (a) direkte Lösung der nichtlinearen Gleichung W( +∆ ) = 0 33 ∀ f ext 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik Taylor Reihenentwicklung W ( + ∆ ) = W ( ) + ∆ W ( ) + ... = 0 mit W( ) = E mod A 3 2L3 − H 2 − f ext d [ W ( + ∆ )]| =0 d mod E A = 3 2 − H2 ∆ 3 2L ∆ W( ) = Iterationsvorschrift für Newton–Raphson Verfahren ∆ 2L3 = mod E A [3 2 − H 2 ] Emod A ext f − 2L3 3 − H ( 2 b) allgemeine Linearisierung des Prinzips der virtuellen Arbeit Lösung der nichtlinearen Gleichung W( +∆ ) = 0 Taylor Reihenentwicklung W ( + ∆ ) = W ( ) + ∆ W ( ) + ... = 0 34 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik mit W( ) = L Z E Emod E A dX − 0 f ext Emod A 3 ext 2 − f ] − H [ 3 2L {z } | = := f int ∆ W( ) = = + Z L Z L ∆E A dX + ∆ E Emod E A dX 0 1 1 mod E ∆ A dX 2 2 L L 1 1 mod 2 2 ∆ E [ − H ] AdX L2 2 L2 Emod A Emod A 2 2 2 [ 2 [ − H ]]∆ + 3 3 2L 2L | {z } | {z } :=Kmat :=Kgeo EE Z0 L Z 0L 0 = mod Iterationsvorschrift für Newton–Raphson Verfahren = [Kmat + Kgeo ] ∆ −1 f ext − f int interne Kräfte und Steifigkeit für St. Venant–Kirchhof Material Emat A f = 3 2L mat E A Kmat = 2 3 2L Emat A geo K = 2L3 int 3 − H2 2 2 −H 2 35 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik Vergleich mit linearer Theorie (FEM I) Z L Emod A dX − u f ext Z0 L H H = u A dX − u f ext u 2 Emod 2 L L 0 mod E A 2 = u[ H u − f ext ] = 0 ∀ u 3 L | {z } : =K direkte Lösung der linearen Gleichung W (u) = u = K−1 f ext Gleichung linear in u → keine Iteration erforderlich 36 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik Last–Verschiebungskurve / Kurvendiskussion virtuelle Arbeit W( ) = Emod A 2 L3 3 − H 2 − f ext = 0 ∀ Bestimmung der kritischen Last / Traglast des Systems 2 L3 ext = mod f = E A Nullstellen 1 =H Extrema mit 3 1 2 2 3 − =0 H2 = 3 [ + H][ −H] = −H − H2 = 0 1 = −√ H 3 2 1 = +√ H 3 500 geom. nichtlinear geom. linear 400 300 fext 200 100 0 −100 −200 −300 0 0.2 0.4 0.6 u 37 0.8 1 1.2 2 Finite Element Methode – Elastizität 2.1 Räumliche Diskretisierung mit Finiten Elementen • ’isoparametrisches Konzept’: gleiche Ansätze für Geometrie X und unbekannte Deformationsabbildung • ’Bubnov–Galerkin Technik’: gleiche Ansätze für Unbekannte und Testfunktionen ( alternativ: oder v ) • Zerlegung des Gebietes B0 in nel Elemente B0e B0 = nel [ B0e e=1 2.1.1 Diskretisierung kinematischer Größen • (elementweise) Approximation der Geometrie X nen X= ∑ Ni X i i =1 nen ... Anzahl Knoten pro Element N ... hier: Lagrange’sche Formfunktionen, vergl. FEM I • (elementweise) Approximation der Deformationsabbildung 38 2 Finite Element Methode – Elastizität , der Beschleunigung ¨ und der Testfunktion nen = nen ∑ Ni ∑ Ni ¨ = i i =1 nen = (bzw. ∑ Ni ¨i ∑ Ni i i =1 nen i = bzw. i =1 i =1 • Gradient der Testfunktionen und der Deformation nen ∇X = ∑ i ⊗ ∇X Ni ∑ i ⊗ ∇X Ni i =1 nen ∇X = i =1 • Deformationsgradient nen F= nen ∑ i ⊗ ∇X Ni FjJ = bzw. i =1 ∑ ji ⊗ ∇X J Ni i =1 mit Ni = Ni ( ) → Kettenregel −t ∂X ∂Ni ∂Ni ∂ ∂Ni ∇X Ni = = · = · ∂X ∂ ∂X ∂ ∂ • Deformationstensoren t C = F ·F = b = F · Ft = nen nen ∑∑ [ i · j] ∇X Ni ⊗ ∇X N j i =1 j=1 nen nen ∑∑ [∇X Ni · ∇X N j ] i =1 j=1 • Deformationsratentensor 1 nen d = ∑ ˙ i ⊗ ∇ x Ni + ∇ x Ni ⊗ ˙ i 2 i =1 mit Ni = Ni ( ) → Kettenregel −t ∂Ni ∂Ni ∂ ∂x ∂Ni ∇x Ni = = · = · ∂x ∂ ∂x ∂ ∂ 39 i ⊗ j ) 2 Finite Element Methode – Elastizität 2.1.2 Beispiel: Diskretisierung kinematischer Größen 3 2 X2,x2 f c2 c1 1 3 c2 1 T1 T4 T7 T2 T5 T8 T3 T6 T9 X1,x1 c1 2 Abbildung 2.1: Diskretisierung kinematischer Größen • isoparametrische Koordinaten X1 = 3 1 3 0 ∂X = ∂ X2 = 2 2 0 2 −t ∂X 1 2 = ∂ 6 0 • Ansatzfunktionen und deren Gradienten −1 ∂N(1) ∂N(1) 1 2 N(1) =1 − 1 − 2 = = ∂ ∂X 6 0 −1 +1 ∂N(2) ∂N(2) 1 2 N(2) = 1 = = ∂ ∂X 6 0 0 0 ∂N(3) ∂N(3) 1 2 = = N(3) = 2 ∂ ∂X 6 0 +1 40 0 3 0 −1 2 = − 1 6 3 3 −1 0 +1 2 = 1 6 0 3 0 0 0 0 = 1 6 3 3 +1 2 Finite Element Methode – Elastizität • Deformationsgradient 3 F= ∑ 3 i ⊗ ∇X Ni FjJ = bzw. i =1 ∑ ji ⊗ ∇X J Ni i =1 F11 = 1(1) ∇1 N(1) + 1(2) ∇1 N(2) + 1(3) ∇1 N(3) F12 = 1(1) ∇2 N(1) + 1(2) ∇2 N(2) + 1(3) ∇2 N(3) F21 = 2(1) ∇1 N(1) + 2(2) ∇1 N(2) + 2(3) ∇1 N(3) F22 = 2(1) ∇2 N(1) + 2(2) ∇2 N(2) + 2(3) ∇2 N(3) 4 7 = − + +0=1 3 3 4 4 = − +0+ =0 2 2 4 7 = − + +0=1 3 3 7 3 4 = − +0+ = 2 2 2 Annahme: Ebener Verzerrungszustand 1 F=1 0 0 3 2 0 0 0 1 • rechter Cauchy–Green Deformationstensor 1 C = Ft · F = 0 0 1 3 2 0 0 0 1 41 1 1 0 2 3 2 0 0 3 2 0 3 2 9 4 0 0 0 1 0 0 = Ct 1 2 Finite Element Methode – Elastizität • linker Cauchy–Green Deformationstensor / Fingertensor 1 1 0 0 32 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 b = F · F t = 1 23 0 1 19 0 = bt 0 0 1 0 0 1 • Green–Lagrange Verzerrungstensor 1 3 0 2 4 1 E = [ F t · F − I ] = 43 58 0 = Et 2 0 0 1 • Jacobi Determinante 1 J = det F = det 1 0 0 3 2 0 0 3 0= 2 1 • Kontrolle: Flächeninhalte der Dreieckselemente dV = 1 2·3 = 3 2 dv = 1 3 · 3 = 4.5 2 es gilt dv = J dV = 3 3 = 4.5 2 √ 42 2 Finite Element Methode – Elastizität • Kontrolle: Transformation von Linienelementen 3 3 1 0 = dX (1−2) = dx(1−2) = 0 0 1 23 0 0 1 0 = dX (1−3) = dx(1−3) = 2 2 1 23 43 3 3 0 3 √ √ 2 Finite Element Methode – Elastizität 2.2 Diskretisierung der schwachen Form (materiell) 2.2.1 Diskretisierung des Residuums kontinuierliche schwache Form Z W0 = · Z B0 − 0 ¨ dV + · T̄dA − ∂B0 Z skalare Gleichung [∇tX · F ]sym: B0 Z · B0 0 bdV = 0 diskretisierte schwache Form nel W0 = A i e=1 Z ·[ Ni e Z B0 − 0 skalare Gleichung ¨ dV + dA − Ni T̄ ∂B0e dV Z e Z B0 ∇X Ni · [ F · B0e Ni 0 b ] dV dV ] = 0 bzw. nel W0 = A e=1 h i dyn · fi int ext + fi − fi i =0 ∀ i nel A ... Zusammenbau aller i = 1, .., nen Elementknotenbeiträge e=1 zu globalen Knotenbeiträgen I = 1, .., nnp diskretes Gleichgewicht dyn r I := f I vektorwertige Gleichung ext + f int I − fI = 0 ∀ I = 1, .., nnp 44 2 Finite Element Methode – Elastizität dyn ext mit Residuum r I und diskreten Knotenkräften f I , f int I , fI dyn fI nel = A Z ¨ dV ∇X Ni · [ F · ] dV Ni e=1 nel e Z B0 e=1 nel e Z B0 e=1 nel e Z ∂B0 e=1 B0e f int = A I f ext = A I + A 0 Ni T̄ Ni 0 b dynamische Kräfte interne Kräfte dA externe Oberflächenkräfte dV externe Volumenkräfte 2.2.2 Linearisierung des Residuums konsistente Linearisierung des Residuums r I an der Stelle n + 1 Taylor Reihenentwicklung . r I kn++11 = r I kn+1 + ∆r I = 0 ∀ I = 1, .., nnp mit Linearisierung des Residuums ∆r I nnp ∆r I ( J) = nnp ∑ D∆ J r I ( J) · ∆ J = J =1 ∂r I ( ∑ ∂ J =1 J) ·∆ mit inkrementellem Update des Lösungsvektors ∆ nnp ∆r I = ∑ KI J · ∆ J KI J = J =1 ∂r I ( ∂ J) J J J ∀ I = 1, .., nnp J Steifigkeitsmatrix K I J aus Linearisierung des Residuums r I dyn geo K I J = K I J + K I J + Kmat IJ ∀ I, J = 1, .., nnp 45 2 Finite Element Methode – Elastizität mit Anteilen der Steifigkeitsmatrix K I J dyn nel geo e=1 nel e Z B0 e=1 nel e Z B0 e=1 B0e KI J = A KI J = A Kmat IJ = A Z Ni ∇tX Ni · ∂¨ Nj I 0 ∂ · ∇X N j dV dyn. Anteil I dV geom. Anteil [∇tX Ni · F ]sym· IL · [ F t · ∇X N j ]sym dV mat. Anteil zu lösendes Gleichungssystem nnp ∆ J = ∑ K−J I1 · ∆r I ∀ I, J = 1, .., nnp I =1 Bemerkungen: • Alternativ kann auch zunächst kontinuierliche schwache Form W0 ( ) bezüglich der kontinuierlichen Verschiebungen linearisiert und die linearisierte schwache Form . W0 ( + ∆ ) = W0 ( ) + ∆ W0 ( ) = 0 dann diskretisiert werden. Für Kontinuumselemente erhält man formal gleiche Ausdrücke wie bei der hier vorgestellten Vorgehensweise. Insbesondere für Strukturelemente können sich beide Verfahren jedoch erheblich unterscheiden, nur das hier vorgestellte liefert dann die richtigen Tangentenoperatoren. • Die Summe aus dynamischen, internen und externen Kräften wird als Elementresiduum r i ∀i = 1, .., nen bzw. als globales Residuum r I ∀ I = 1, .., nnp bezeichnet. Das Residuum ist eine nichtlineare Funktion der unbekannten Deformation J . Mit Hilfe des Newton–Raphson Verfahrens wird das globale Residuum an der Stelle n + 1 iterativ zu Null . berechnet, so daß r I n+1 = 0 ∀ I = 1, .., nnp . 46 2 Finite Element Methode – Elastizität • Die Integralausdrücke über das materielle bzw. räumliche R R Elementgebiet B e ...dV bzw. B e ...dv werden üblicherweise t 0 im Rahmen der FEM mittels numerischer Integration ermittelt. nip Z B0e (•)dV ≈ ∑ (•)( I ) wI bzw. I =1 nip Z Bte (•)dv ≈ ∑ (•)( I ) wI I =1 Dazu erfolgt eine Auswertung an I = 1, .., nip Integrationspunkten und eine anschließende Gewichtung mit den jeweiligen Gewichten w I , vergleiche FEM I (Gauss–Legendre oder Newton–Cotes Quadratur). • Aufgrund der komplizierten Darstellung der materiellen Form wird i.a. häufig die räumliche Form bevorzugt, die im folgenden näher betrachtet wird. 47 2 Finite Element Methode – Elastizität 2.3 Diskretisierung der schwachen Form (räumlich) 2.3.1 Diskretisierung des Residuums kontinuierliche schwache Form Wt = Z · Bt ¨ dv + t Z skalare Gleichung t ∇x : dv − Z Bt ∂Bt · t̄da − diskretisierte schwache Form nel Wt = A i e=1 ·[ − Z Ni e Z Bt ∂Bte Z · Bt t b dv = 0 skalare Gleichung t ¨ dV + Ni · t̄ da − Z e Z Bt Bte ∇tx Ni dv Ni t ∀ i b dv ] = 0 bzw. nel Wt = A e=1 h i dyn · fi int ext + fi − fi i =0 nel A ... Zusammenbau aller i = 1, .., nen Elementknotenbeiträge e=1 zu globalen Knotenbeiträgen I = 1, .., nnp diskretes Gleichgewicht dyn r I := f I vektorwertige Gleichung ext + f int I − fI = 0 ∀ I = 1, .., nnp 48 2 Finite Element Methode – Elastizität dyn ext mit Residuum r I und diskreten Knotenkräften f I , f int I und f I dyn fI nel = A Z Ni e=1 nel e Z Bt e=1 nel e Z Bt e=1 nel e Z ∂Bt e=1 Bte f int = A I f ext = A I + A t ¨ dv dynamische Kräfte ∇x Ni · dv interne Kräfte Ni t̄ da externe Oberflächenkräfte Ni t b dv externe Volumenkräfte 2.3.2 Linearisierung des Residuums konsistente Linearisierung des Residuums r I an der Stelle n + 1 Taylor Reihenentwicklung . r I nk++11 = r I kn+1 + ∆r I = 0 ∀ I = 1, .., nnp mit Linearisierung des Residuums ∆r I nnp ∆r I ( J) = nnp ∑ D∆ J r I ( J) · ∆ J = J =1 ∂r I ( ∑ ∂ J =1 J) ·∆ mit inkrementellem Update des Lösungsvektors ∆ nnp ∆r I = ∑ KI J ·∆ J KI J = J =1 ∂r I ( ∂ J) J J J ∀ I = 1, .., nnp J Steifigkeitsmatrix K I J aus Linearisierung des Residuums r I dyn geo K I J = K I J + K I J + Kmat IJ ∀ I, J = 1, .., nnp 49 2 Finite Element Methode – Elastizität mit Anteilen der Steifigkeitsmatrix K I J dyn nel geo e=1 nel e Z Bt e=1 nel e Z Bt e=1 Bte KI J = A KI J = A Kmat IJ = A Z Ni t ∇tx Ni · ∂¨ Nj I ∂ dv dynamischer Anteil · ∇x N j I dv geometrischer Anteil ∇tx Ni · IE · ∇x N j dv materieller Anteil • zu lösendes Gleichungssystem nnp ∆ J = ∑ K−J I1 · ∆r I ∀ I, J = 1, .., nnp I =1 Bemerkung: einzelne Anteile von Residuum und Steifigkeitsmatrix können je nach Problemstellung materiell oder räumlich ausgewertet werden 50 2 Finite Element Methode – Elastizität 2.4 Diskretisierung in Matrix–Vektor–Notation Bemerkung: Bei der Implementierung wird häufig die Voigt’sche Darstellung / Matrixnotation verwendet, für die sich die Darstellung der Tensoren und Vektoren erheblich vereinfacht, vergleiche FEM I hier: Matrixnotation am Beispiel der räumlichen Formulierung, vergleiche 2.3 • Unbekanntenvektor - Inkrement der Verschiebungen ∆ [3×1] =[∆ 1, ∆ 2, ∆ 3 ] nen t mit ∆ [3×1] = ∑ Ni ∆ i =1 • Testfunktion =[ 1, 2, 3 ] nen t = mit [3×1] ∑ Ni [3×1] i i =1 Ni ... isoparametrische Formfunktionen • räumlicher Gradient des Unbekanntenvektors ∇x ∆ =[∆ [6×1] 1,1 , 2,2 , ∆ 3,3 , ∆ ∆ 1,2 , ∆ mit nen ∇x ∆ = [3×1] ∑ Bit · ∆ i [ 3 × 1 ] [ 6 × 3 ] i =1 • räumlicher Gradient der Testfunktionen ∇x = [ 1,1 , 2,2 , 3,3 , 1,2 , [6×1] mit nen ∇x = [6×1] ∑ Bit · i [ 3 × 1] i =1 [6×3] 51 2,3 , 3,1 ]t 2,3 , ∆ 3,1 ]t i 2 Finite Element Methode – Elastizität Bi ... B-Matritzen, vergleiche FEM I ∂Ni ∂Ni 0 0 0 ∂x1 ∂x 2 ∂N ∂N i ∂Ni i Bi = 0 0 ∂x2 ∂x1 ∂x3 [6×3] ∂Ni ∂Ni 0 0 0 ∂x3 ∂x2 ∂Ni t ∂x3 0 ∂Ni ∂x1 • Beschleunigungsvektor ¨ = [ ¨ 1 , ¨ 2 , ¨ 3 ]t [3×1] • Spannungstensor in Voigt’scher Notation [6×1] =[ 11 , 22 , 33 , 12 , 23 , • Spannungssvektor t̄ = [ t̄1 , t̄2 , t̄3 ]t [3×1] • Volumenlastvektor b = [ b1 , b2 , b3 ]t [3×1] 52 31 ]t 2 Finite Element Methode – Elastizität • räumlicher Materialtensor 2 E1111 2 E1122 2 E1133 2 E2222 2 E2233 2 E3333 1 D = [6×6] 2 sym. E1112 + E1121 E1123 + E1132 E1131 + E E2212 + E2221 E2223 + E2232 E2231 + E E3312 + E3321 E3323 + E3332 E3331 + E E1212 + E1221 E1223 + E1232 E1231 + E E2323 + E2332 E2331 + E E3131 + E Beispiel: räumlicher Materialtensor des Neo–Hooke Materials IE [3×3×3×3] ∗ , , ∗ ∗ I ⊗ I +2 [3×3] [3×3] ... Materialparameter mit i [3×3×3×3] ∗ = ... Lamé Parameter mit = E, ∗ = J und = ∗ = − ln J J E [1 + ][1 − 2 ] E 2[1 + ] ... Elastizitätsmodul, Querkontraktion • Materialtensor des Neo–Hooke Matrerials ∗ ∗ ∗ +2 ∗ 0 ∗ ∗ ∗ +2 ∗ 0 ∗ ∗ ∗ +2 ∗ 0 D = ∗ [6×6] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 53 0 0 0 0 0 0 0 0 ∗ 0 0 ∗ und 2 Finite Element Methode – Elastizität 2.4.1 Diskretisierung des Elementresiduums • diskretisierte schwache Form pro Element skalare Gleichung Wte = t i [1×3] dyn · [fi + f iint − f iext ] = 0 dyn [3×1] i [3×1] • diskretes Elementgleichgewicht r i := f i ∀ vektorwertige Gleichung + f iint − f iext = 0 [3×1] [3×1] ∀ i = 1, .., nen dyn mit Elementresiduum r i und Elementknotenkräften f i , f iint , f iext dyn fi = [3×1] f iint = [3×1] f iext = Z Be Z t Be Z t ∂Bte [3×1] + Z Bte Ni ¨ dv dynamische Kräfte Bit · dv interne Kräfte Ni t̄ da externe Oberflächenkräfte dv externe Volumenkräfte t [3×1] [3×6] [6×1] [3×1] Ni t b [3×1] • Kontrolle am Beispiel der internen Knotenkräfte Z ... in Tensornotation f iint = [3×1] Bte ∇x Ni · [1×3] 11 int f i = [ Ni,1 Ni,2 Ni,3 ] 12 13 21 22 23 31 32 33 54 [3×3] dv Ni,1 = Ni,1 Ni,1 11 Ni,2 21 Ni,3 31 12 Ni,2 22 Ni,3 32 13 Ni,2 23 Ni,3 33 2 Finite Element Methode – Elastizität ... in Matrix- / Vektor-Notation int fi [3×1] nel = A e=1 Z Bit · Bte [3×6] [6×1] dv 11 Ni,1 0 0 Ni,2 0 f iint= 0 Ni,2 0 Ni,1 Ni,3 0 0 Ni,3 0 Ni,2 Ni,3 0 Ni,1 22 Ni,1 33 = Ni,1 12 Ni,1 23 11 Ni,2 12 Ni,3 31 23 12 Ni,2 22 Ni,3 31 Ni,2 23 Ni,3 31 2.4.2 Linearisierung des Elementresiduums konsistente Linearisierung des Elementresiduums r i an der Stelle n + 1, Taylor Reihenentwicklung . r i kn++11 = r i kn+1 + ∆r i = 0 ∀ i = 1, .., nen Elementsteifigkeitsmatrix Ki j aus Linearisierung des Elementresiduums r i dyn geo Ki j = Ki j + Ki j + Kimat j ∀i, j = 1, .., nen 55 33 2 Finite Element Methode – Elastizität • mit Anteilen der Elementsteifigkeitsmatrix Ki j dyn Ki j = Z Bte [3×3] geo Ki j = Z [3×3] ∇tx Ni · Bte [1×3] [3×3] Kimat j = Ni Z t ∂¨ Nj ∂ [3×3] dv I [3×3] · ∇x N j dv I [3×3] [3×1] Bit · D · B j dv Bte [3×6] [6×6] [6×3] dynamischer Anteil geometrischer Anteil materieller Anteil Bemerkung: Der geometrische Anteil der Tangentenmatrix läßt sich in geschlossener Form besser in Tensornotation darstellen. Ein wirkliche Vereinfachung erhält man nur für die internen Kräfte f int und den materiellen Anteil der Tangentenmatrix Kmat . 56 2 Finite Element Methode – Elastizität 2.5 Stabelement im 2D Raum 2 phi L B0 l F N Y 1 2 Bt n Xxi X xxi 1 Ll xim1 xi 1 y xip1 2 Abbildung 2.2: Nichtlineares Stabelement im 2d-Raum Annahmen: • einaxialer Spannungszustand 11 = 6= 0 ij = 0 ∀i j 6= 11 • lineare Ansatzfunktionen u linear, ∇X u konstant, F konstant, E konstant, konstant 1 1 N(1) = [ 1 − ] N(2) = [ 1 + ] 2 2 • isoparametrischer Gradient der Formfunktionen 1 1 1 1 ∇ N(2) = + ∇ Ni = − ; + ∇ N(1) = − 2 2 2 2 • materieller und räumlicher Gradient der Formfunktionen 1 1 2 ∇X N(1) = − N ∇X N(2) = + N ∇X Ni = N ∇ Ni L L L 1 1 2 ∇x N(1) = − n ∇x N(2) = + n ∇x Ni = n∇ Ni l l l 57 x 2 Finite Element Methode – Elastizität • Diskretisierung der Geometrie und Deformation 2 X= 2 ∑ Ni ( ) Xi = i =1 ∑ Ni ( ) i i =1 also gilt 1 [ 1 − ] X(1) + [ 1 + ] X(2) 2 [ 1 − ] Y(1) + [ 1 + ] Y(2) X= und damit X (1) = X(1) Y(1) X (2) = X(2) Y(2) • materielle und räumliche Länge 2 L = || X (2) − X (1) || = || ∑ 2 X i ∇ Ni || i =1 2 l = || (2) − (1) || = || ∑ 2 i∇ Ni || i =1 • materielle und räumliche Normale X (2) − X (1) ∑i2=1 2 X i ∇ Ni N= = L L n= (2) − l (1) = ∑i2=1 2 i∇ 2 ∑ X i ∇ Ni = i =1 2 Ni ∑ l i ∇ Ni = i =1 • materieller und räumlicher Jacobi-”Vector” 2 N ∇ {•} L 2 = N L 2 n∇ {•} l 2 = n l ∇X {•} = ∇x {•} = ∇X ∇x 58 LN 2 ln 2 2 Finite Element Methode – Elastizität • Deformationsgradient 2 F= ∑ 2 i ⊗ ∇ X Ni = i =1 ∑ i =1 l 2 ⊗ N = n⊗N ∇ N i i L L alternative Darstellung l F = F n⊗N L Interpretation als Tangentenabbildung von T B0 nach T Bt F= dx = F · dX bzw. ñ = F · N Stretch F = l / L und Rotation der materiellen Normalen N l l n⊗N·N = n L L • Green–Lagrange Verzerrungstensor ñ = 1 1 l 2 − L2 E = [F F−1] = 2 2 L2 E = EN⊗N vergleiche Dreigelenkrahmen • (eindimensionales) konstitutives Gesetz:Neo-Hooke Material 1 W0neo = Emod [ F 2 − 1 − 2 ln( F ) ] 4 neo dW 1 1 0 neo t = = Emod F − = n⊗N dF 2 F 1 1 1 neo neo = F = Emod F − = n⊗n F 2 F d2W0neo d neo 1 mod 1 = = E 1+ 2 dF 2 dF 2 F • (eindimensionales) konstitutives Gesetz: St.–Venant Kirchhoff Material 1 W0kir = E Emod E 2 59 2 Finite Element Methode – Elastizität 1 = Emod E = Emod [ F2 − 1] 2 t = F· t = F·N⊗N 1 kir = F kir = Emod [ F3 − F ] 2 kir t = N⊗N t = F n⊗N t = n⊗N d2W0kir d kir d kir 1 mod = =E = Emod 3 F2 − 1 dE dE dF 2 • Vergleich Neo–Hooke und St. Venant–Kirchhoff Spannungen neo = 1 F2 kir kir = F2 neo • innere Kräfte nel f int = I A = e=1 nel e Z B0 e=1 nel e Z B0 e=1 Bte A = Z A ∇X Ni · F · dV ...materiell ∇X Ni · dV ...materiell ∇x Ni · dv ...räumlich mit ∇X Ni = 2 N ∇ Ni L 2 ∇x Ni = n ∇ Ni l und dV = 1 ALd 2 nel f int I = A ∇ Ni 2 e=1 dv = 1 Ald 2 nel A ne = A ∇ Ni 2 e=1 60 A ne 2 Finite Element Methode – Elastizität • Linearisierung nel d[∇ Ni 2 d f int A ne ] I KI J = = A e=1 d J d j nel nel dne d dF A A + = ∇ Ni 2 A ∇ Ni 2 A ne ⊗ e=1 dF d J e=1 d j {z } | {z } | materiellerAnteil geometrischerAnteil Linearisierung des Stretches F = l / L dF 1 dl 1 d|| ∑i2=1 2 i ∇ Ni || = = d j Ld j L d j " # 2 11 1 2 ∑ 2 i ∇ Ni 2 ∇ N j = L 2 || ∑i2=1 2 i ∇ Ni || i =1 dF 2 = ne ∇ N j d j L Linearisierung der räumlichen (Einheits-)normale ne 1 d[∑i2=1 2 i ∇ Ni ]/ F dne = d j L d j 1 1 d[∑i2=1 2 i ∇ Ni ] 1 2 dF −1 = + [ ∑ 2 i ∇ Ni ] LF d j L i =1 d j 2 2 = I ∇ Nj − ne ⊗ ne ∇ N j FL FL 2 = [ I − ne ⊗ ne ] ∇ N j l 61 2 Finite Element Methode – Elastizität • materielle Steifigkeitsmatrix nel Kmat IJ = A e=1 nel = A [∇X Ni · F ] B0e Z Bte e=1 mat d [ F t · ∇X N j ] dV dF d ∇x N j dv ∇x Ni dF Z ...materiell ...räumlich Ad ∇ Ni ne ⊗ ne ∇ N j L dF nel KI J = A 4 e=1 • geometrische Steifigkeitsmatrix geo nel KI J = A e=1 nel e ZB0 e=1 Bte = A geo Z nel KI J = A 4 e=1 ∇X Ni A l ∇X N j dV I ...materiell ∇x Ni ∇x N j dvI ...räumlich ∇ Ni [ I − ne ⊗ ne ] ∇ N j 62 2 Finite Element Methode – Elastizität 2.6 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens materiellekonfiguration raumlichekonfiguration fext fext L l 2 EA H u 2 1 1 B H−u B B X B x Abbildung 2.3: Dreigelenkrahmen: undeformierte & deformierte Konfiguration • materielle und räumliche Normale p 1 t N = [ B, H ] L = B2 + H 2 L p 1 t l = n = [ B, ] B2 + 2 l • Deformationsgradient √ l B2 + H 2 F= = √ L B2 + 2 F = Fn⊗N • Green–Lagrange Verzerrungstensor 1 2 − H2 1 l 2 − L2 E= = 2 L2 2 L2 • Neo–Hooke Material 1 1 1 neo = Emod F − = Emod 2 F 2 63 E = EN⊗N 2 − H2 Ll t = n⊗N 2 Finite Element Methode – Elastizität d dF neo 1 1 = Emod 1 + 2 2 F • St. Venant–Kirchhoff Material kir t kir 1 mod 2 − H 2 =E E= E 2 L2 = F· t = F·N⊗N mod l = L kir 1 l[ = Emod 2 2 − H2] L3 t = N⊗N t = l n⊗N L t = n⊗N d kir 1 mod 2 d kir = E 3F −1 = Emod dF 2 dE • Vergleich Neo–Hooke und St. Venant–Kirchhoff Spannungen neo L2 = 2 l kir 1 = 2 F kir kir l2 = 2 L neo = F2 neo • innere Kräfte f int I = ∇ Ni 2 1 1 mod neo f int = + 2 E (2) y 2 2 1 1 mod l [ kir 2 E f int = + (2) y 2 2 A ne 2 − H2 1 Emod A A = [ 2 Ll l 2Ll 2 − H2] 1 Emod A A = [ L3 l 2L3 3 −H ] 3 −H ] • materielle Steifigkeit Kmod IJ neo K(mat 2) y(2) y neo K(mat 2) y(2) y kir K(mat 2) y(2) y A d ∇ Ni ne ⊗ ne ∇ N j L dF A d 1 1 1 1 = 4 L dF 2 l l 2 Emod A 1 2 = 1 + 2l 2 L F2 Emod A 2 2 = 3F − 1 2l 2 L = 4 64 2 Finite Element Methode – Elastizität • geometrische Steifigkeit A ∇ Ni [ I − ne ⊗ ne ] ∇ N j l 1 1 1 1 A geo [1 − ] K( 2 ) y ( 2 ) y = 4 l 2 2 l 2l mod E A 1 geo neo K( 2 ) y ( 2 ) y = F− 1− 2 2l F l mod 2 E A 3 geo kir K( 2 ) y ( 2 ) y = F −F 1− 2 2l l geo KI J = 4 • Iterationsvorschrift für Newton–Raphson Verfahren = ∆ ext 1 int f − f K mod + K geo interne Kräfte und Steifigkeit für St. Venant–Kirchhof Material Emod A 3 2 f = − H 2L3 2 mod L 2 E A 2 3 − Kmod + Kgeo = 2L3 l 2 2 Emod A 2 2 1− 2 + l − L 2L3 l mod E A 2 2 = 3 −H 2L3 vergleiche kontinuierliche Formulierung Dreigelenkrahmen 1.6 int 65 2 Finite Element Methode – Elastizität 2.7 Algorithmische Umsetzung mit MATLAB 2 phi L B0 l F N Y 1 Bt n Xxi X 2 xim1 xxi 1 Ll xi 1 xip1 2 Abbildung 2.4: Nichtlineares Stabelement im 2d-Raum 66 y x 2 Finite Element Methode – Elastizität 2.7.1 Hauptprogramm %----------------------------------------------------------------% nonlinear elastostatics %----------------------------------------------------------------%----------------------------------------------------------------clear all initialization [ q0,edof,bc,F ext,emod,area,nel,node,ndof ] = frame 2; % input of discretization, geometry, material data j = 1; % init time index time(1)= 0; % init time tol = 1e-8; % tolerance of newton iteration % init material coordinates e mat = extr dis(edof,q0); q2 = q0; % init spatial coordinates n gp = 2; % number of integration points dt = 1; % init load increment %----------------------------------------------------------------%----------------------------------------------------------------for im=1:1000 % loop over keyboard inputs macro = input(’macro:’,’s’); [ir,ic] = size(macro); if ic<4 disp(’@ least 4 letters needed’) % wrong keyboard input else %----------------------------------------------------------------if (strcmp(macro(1:4),’step’) == 1); % apply load in n increments [ir,ic] = size(macro); if ic==4 nsteps = 1; else nsteps = str2num(macro(7:ic)); end for is = 1:nsteps; % loop over all load increments j = j+1; time(j) = time(j-1) + dt; iter=0; residuum=1; while residuum > tol % global newton-raphson iteration iter=iter+1; if iter>20 % no convergence disp(’no convergence after 20 iterations’) return else R = zeros(ndof,1); % initialization of global residuum Kt = zeros(ndof,ndof); % initialization of global stema 67 2 Finite Element Methode – Elastizität e spa = extr dis(edof,q2); % extract global displacements for ie = 1:nel % loop over all elements [Ke,Fe] = truss(e mat(ie,:),e spa(ie,:),emod,area); [Kt,R] = assm sys(edof(ie,:),Kt,Ke,R,Fe); end R = R - time(j)*F ext; % add external load to righthand side residuum=res norm(R,bc) % norm of residual including bc’s q2 = solve nr(Kt,R,q2,bc); % solution and update end end % end of global newton iteration end % end of load incrementation loop %----------------------------------------------------------------%----------------------------------------------------------------elseif (strcmp(macro(1:4),’pmat’) == 1); % plot mat config figure(1) elnum = edof(:,1); plot mat(e mat,elnum) %----------------------------------------------------------------%----------------------------------------------------------------elseif (strcmp(macro(1:4),’pspa’) == 1); % plot spat config figure(1) e spa = extr dis(edof,q2); plot spa(e spa) %----------------------------------------------------------------%----------------------------------------------------------------elseif (strcmp(macro(1:4),’quit’) == 1); % quit return %----------------------------------------------------------------%----------------------------------------------------------------else % displace possible keyboard inputs disp(’step ... apply one load step’) disp(’step,,n ... apply n load steps’) disp(’pmat ... plot material configuration’) disp(’pspa ... plot spatial configuration’) disp(’quit ... quit fe analyses’) %----------------------------------------------------------------end end % end of keyboard input loop end % end of main programme %----------------------------------------------------------------- 68 2 Finite Element Methode – Elastizität 2.7.2 Elementlastvektor und Elementsteifigkeitsmatrix %----------------------------------------------------------------function [ed] = extr dis(edof,a) %----------------------------------------------------------------% extract displacements from global vecto %----------------------------------------------------------------[nie,n] = size(edof); t = edof(:,2:n); for i = 1:nie ed(i,1:(n-1)) = a(t(i,:))’; end %----------------------------------------------------------------%----------------------------------------------------------------function [Ke,fe] = truss(e mat,e spa,emod,area,e b) %----------------------------------------------------------------% geometrically nonlinear isoparametric truss element % two noded element, analytical integration, material formulation %----------------------------------------------------------------% input: e mat = [ X 1 Y 1 X 2 Y 2 ] ... material coord % e spa = [ x 1 y 1 x 2 y 2 ] ... spatial coord % emod = 2 * mue ... young’s modulus % area ... cross section area % e b = [ bx; by ] ... volume force vector %----------------------------------------------------------------% output: Ke = [ 4 x 4 ] ... element stiffness matrix % fe = [ fx 1 fy 1 fx 2 fy 2] ... element load vector %----------------------------------------------------------------fe = [ 0; 0; 0; 0]; % init load vector unit = eye(2); % init identity if nargin==4 b=zeros(2,1); else b=e b; end % init volume forces indx =[1;3]; indy =[2;4]; ex mat=e mat(indx); ey mat=e mat(indy); ex spa=e spa(indx); ey spa=e spa(indy); % indices of x coordinates % indices of y coordinates % material x coordinates of 1/2 % material y coordinates of 1/2 % spatial x coordinates of 1/2 % spatial y coordinates of 1/2 69 2 Finite Element Methode – Elastizität dx dy dx dy mat mat spa spa = = = = ex ey ex ey mat(2)-ex mat(2)-ey spa(2)-ex spa(2)-ey mat(1); mat(1); spa(1); spa(1); % material % material % spatial % spatial length length length length l mat = sqrt( dx mat*dx mat + dy mat*dy mat ); l spa = sqrt( dx spa*dx spa + dy spa*dy spa ); n mat = n spa = dNx ref dNx mat dNx spa [ [ = = = in in in in x y x y direction direction direction direction % material length % spatial length dx mat; dy mat ] / l mat; dx spa; dy spa ] / l spa; [ -1/2; +1/2 ]; % referential gradient of N1/N2 [ -n mat(1); -n mat(2); +n mat(1); +n mat(2) ]; [ -n spa(1); -n spa(2); +n spa(1); +n spa(2) ]; F mat = l spa / l mat; % material deformation gradient P = emod/2 * ( F mat - 1/F mat ); % 1st pk stress / cauchy stress dPdF = emod/2 * ( 1 + 1/F mat/F mat ); % linearization of 1st pk lin1 = dPdF / l mat - P / l spa; lin2 = P / l spa; for i=1:2 indx=[2*i-1; 2*i]; fe(indx)=P*n spa*dNx ref(i)*2*area; for j=1:2 jndx=[2*j-1, 2*j]; Ke(indx,jndx)=dNx ref(i)*lin1*n spa*n spa’*dNx ref(j)*4*area... +dNx ref(i)*lin2* unit *dNx ref(j)*4*area; end end %----------------------------------------------------------------- 70 2 Finite Element Methode – Elastizität 2.7.3 Gleichungslöser %----------------------------------------------------------------function ug = solve nr(K,f,ug,bc) %----------------------------------------------------------------%----------------------------------------------------------------if nargin==3 ; % no dirichlet boundary conds ug = ug - K \ f ; % solve and update vector of unknowns elseif nargin==4; % dirichlet boundary conds to be included [nd,nd] = size(K); fdof = [1:nd]’; pdof = bc(:,1); dp = bc(:,2); fdof(pdof) = []; % extract load vector of non-dirichlet nodes s =- K(fdof,fdof) \ f(fdof); % solve reduced system ug(fdof) = ug(fdof) + s; % update vector of unknowns end %----------------------------------------------------------------%----------------------------------------------------------------function residuum = res norm(f,bc) %----------------------------------------------------------------% norm of residual %----------------------------------------------------------------if nargin==1 % no dirichlet bc’s residuum = norm(f); elseif nargin==2 % dirichlet bc’s [nr,nc] = size(f); fdof = [1:nr]’; pdof = bc(:,1); fdof(pdof) = []; residuum = norm(f(fdof)); % residual without reaction forces end %----------------------------------------------------------------- 71 2 Finite Element Methode – Elastizität 2.7.4 Zusammenbau Systemsteifigkeitsmatrix und Systemlastvektor %----------------------------------------------------------------function [K,f] = assm sys(edof,K,Ke,f,fe) %----------------------------------------------------------------% assemble element contributions to global stiffness and force %----------------------------------------------------------------% input: edof = [ elem X1 Y1 X2 Y2 ] ... incidence matrix % Ke = [ ndof x ndof ] ... element stiffness matrix % fe = [ ndof x 1] ... element load vector %----------------------------------------------------------------% output: K = [ 4 x 4 ] ... element stiffness matrix Ke ... element load vector fe % f = [ fx 1 fy 1 fx 2 fy 2] %----------------------------------------------------------------[nie,n] = size(edof); t = edof(:,2:n); for i = 1:nie K(t(i,:),t(i,:)) = K(t(i,:),t(i,:))+Ke; if nargin==5 f(t(i,:)) = f(t(i,:))+fe; end end %----------------------------------------------------------------- 72 2 Finite Element Methode – Elastizität 2.7.5 Plot der materiellen und räumlichen Konfiguration %----------------------------------------------------------------function plot mat(e mat,elnum) %----------------------------------------------------------------% plot of material configuration (2d frame structures) %----------------------------------------------------------------indx=[1;3]; ex mat=e mat(:,indx);a=size(ex mat); indy=[2;4]; ey mat=e mat(:,indy);b=size(ey mat); if(a-b)==[0 0] nel=a(1);nen=a(2); else disp(’error in input of geometry’) end s1 = ’-’; s1 = [s1,’k’]; s2 = ’ko’; x0 = sum(ex mat’)/nen; x = ex mat’; xc = [x ; x(1,:)]; y0 = sum(ey mat’)/nen; y = ey mat’; yc = [y ; y(1,:)]; axis(’equal’) hold on plot(xc,yc,s1) plot(x, y, s2) for i=1:nel h=text(x0(i),y0(i),int2str(elnum(i))); set(h,’fontsize’,8); end xlabel(’x’);ylabel(’y’); hold off %----------------------------------------------------------------%----------------------------------------------------------------function plot spa(e spa) %----------------------------------------------------------------% plot of spatial configuration (2d frame structures) %----------------------------------------------------------------indx=[1;3]; ex spa=e spa(:,indx); indy=[2;4]; ey spa=e spa(:,indy); s1 = ’--’; s1 = [s1,’k’]; s2 = ’ko’; x=ex spa’; xc = [x; x(1,:)]; y=ey spa’; yc =[y; y(1,:)]; axis(’equal’) hold on plot(xc,yc,s1) plot(x, y, s2) hold off %----------------------------------------------------------------- 73 3 Lösungsverfahren 3.1 Newton–Raphson Verfahren (Lastkontrolle) Bemerkung: Das Newton–Raphson Verfahren ist ein iteratives dyn ext Verfahren, das das Residuum r I = f I + f int I − f I , den “Fehler im Käftegleichgewicht”, zu Null iteriert. • Problem: nichtlineare Gleichung der Form . rI( J + ∆ J) = 0 ∀ I = 1, .., nnp • Taylor Reihenentwicklung . r I nk++11 = r I kn+1 + ∆r I = 0 ∀ I = 1, .., nnp mit Linearisierung des Residuums ∆r I nnp ∆r I = ∂r I ∑ ∂ J ·∆ J =1 KI J = J ∂r I ∂ J ∀ I = 1, .., nnp folgt nnp r I kn++11 = r I kn+1 + ∑ KI J ·∆ . =0 J ∀ I = 1, .., nnp J =1 • Iterationsvorschrift für das Newton–Raphson Verfahren nnp ∆ J 1 k = − ∑ K− J I · r I n+1 ∀ J = 1, .., nnp I =1 74 3 Lösungsverfahren Bemerkung: Obwohl es theoretisch möglich wäre, die äußere Last f ext I in einem einzigen Schritt aufzubringen, ist es im allgemeinen üblich, die Last inkrementell zu steigern, so daß in jedem Lastschritt n eine Teillast ∆ f ext In mit nstep f ext I = ∑ ∆ f ext In n=1 aufgebracht wird. Man spricht von einem inkrementell iterativen, lastkontrollierten Verfahren. 3.1.1 Newton–Raphson Verfahren – Algorithmus 1. Schleife über alle Lastschritte n = 1..nstep ext ext f ext In+1 = f In + ∆ f I 2. Schleife über alle Iterationsschritte i = 1..imax a) Berechne Residuum dyn r I ( in+1 ) = f I ( in+1 ) + f int I ( i n+1 ) b) Berechne Tangentenmatrix dyn geo K I J ( in+1 ) = K I J ( in+1 ) + K I J ( − f ext In+1 i n+1 ) + Kmat IJ ( c) Berechne Inkrement der Verschiebungen nnp ∆ J = − ∑ I =1 K J I ( in+1 )−1 · r I ( in+1 ) d) Update i +1 i J n+1 = J n+1 + ∆ J e) Konvergenztest ≤ TOL goto 1. ||r I ( in++11 )|| > TOL goto 2. 75 i n+1 ) 3 Lösungsverfahren 3.1.2 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens fext L H EA B T1 = T5 E1 T2 = T6 E2 T3 = T7 E3 T4 = T8 E4 B Abbildung 3.1: Durchschlagproblem: Geometrie und Abmessungen Newton–Raphson Algorithmus, Beispiel Durchschlagproblem ext ext f next +1 = f n + ∆ f 1. Lastschrittschleife, n = 1..nstep 2. Iterationsschleife, i = 1..imax a) Residuum r( b) Tangente i n+1 ) d) Update ||r( 76 3 2 −H EA i k( n+1 ) = 2L3 3 = c) Inkrement der Deformation ∆ e) Konvergenztest EA 2L3 − f next 2 2 −H i −1 r( in+1 ) n+1 ) i +1 i n+1 = n+1 + ∆ = −k( i n+1 )|| ≤ TOL goto 1. > TOL goto 2. 3 Lösungsverfahren • Iterationsverlauf Iteration i Residuum ||r(uin )|| 1 2 3 4 5 1.0000E+02 1.1722E+01 2.5643E-01 1.3295E-04 3.5811E-11 Inkrement totale Verschiebg ∆u [m] uin [m] 4.0150E-02 6.1222E-03 1.4003E-04 7.2684E-08 1.9576E-14 4.0150E-02 4.6272E-02 4.6412E-02 4.6412E-02 4.6412E-02 • qualitative Darstellung des Iterationsverlaufes Bemerkungen: • Das Newton–Raphson Verfahren ist das gebräuchlichste Verfahren zur Lösung des aus der FE Diskretisierung resultierenden nichtlinearen Gleichungssystems. • Vorteil: Das Newton–Raphson Verfahren zeichnet sich durch quadratische Konvergenz in der Nähe der Lösung aus, vergleiche Durchschlagproblem. • Nachteil: In jedem Iterationsschritt muß die Tangentenmatrix neu aufgestellt und invertiert werden, vergleiche 2.(b). 77 3 Lösungsverfahren 3.2 Modifiziertes Newton Verfahren (Lastkontrolle) Bemerkung: Das modifizierte Newton Verfahren stellt eine Vereinfachung des Newton–Raphson Verfahrens dar, bei der die Tangentenmatrix pro Lastschritt nur einmalig aufgestellt und invertiert wird. 3.2.1 Modifiziertes Newton Verfahren – Algorithmus 1. Schleife über alle Lastschritte n = 1..nstep ext ext f ext In+1 = f In + ∆ f I Berechne (und invertiere) Tangentenmatrix geo dyn K I J ( n+1 ) = K I J ( n+1 ) + K I J ( n+1 ) + Kmat IJ ( n+1 ) 2. Schleife über alle Iterationsschritte i = 1..imax a) Berechne Residuum dyn r I ( in+1 ) = f I ( in+1 ) + f int I ( b) c) d) e) i n+1 ) − f ext In+1 Berechne Tangentenmatrix (entfällt) Tangentenmatrix wird einmalig vor Beginn der Schleife initialisiert Berechne Inkrement der Verschiebungen nnp ∆ J = − ∑ I =1 K J I ( n+1 )−1 · r I ( in+1 ) Update i +1 i J n+1 = J n+1 + ∆ J Konvergenztest ≤ TOL goto 1. ||r I ( in++11 )|| > TOL goto 2. 78 3 Lösungsverfahren 3.2.2 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens • Iterationsverlauf Iteration i Residuum ||r(uin )|| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.0000E+02 1.1722E+01 2.8623E+00 7.4478E-01 1.9673E-01 5.2170E-02 1.3848E-02 3.6771E-03 9.7644E-04 2.5929E-04 6.8855E-05 1.8284E-05 Inkrement totale Verschiebg ∆u [m] uin [m] 4.0150E-02 4.7066E-03 1.1492E-03 2.9903E-04 7.8989E-05 2.0946E-05 5.5602E-06 1.4763E-06 3.9204E-07 1.0410E-07 2.7645E-08 7.3412E-09 • qualitative Darstellung des Iterationsverlaufes 79 4.0150E-02 4.4856E-02 4.6005E-02 4.6304E-02 4.6383E-02 4.6404E-02 4.6410E-02 4.6411E-02 4.6412E-02 4.6412E-02 4.6412E-02 4.6412E-02 3 Lösungsverfahren Newton–Raphson Verfahren – Durchschlagproblem Iteration i 1 2 3 4 5 Residuum ||r(uin )|| 1.0000E+02 1.1722E+01 2.5643E-01 1.3295E-04 3.5811E-11 Inkrement totale Verschiebg ∆u [m] uin [m] 4.0150E-02 4.0150E-02 6.1222E-03 4.6272E-02 1.4003E-04 4.6412E-02 7.2684E-08 4.6412E-02 1.9576E-14 4.6412E-02 Modfiziertes Newton Verfahren – Durchschlagproblem Iteration i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Residuum ||r(uin )|| 1.0000E+02 1.1722E+01 2.8623E+00 7.4478E-01 1.9673E-01 5.2170E-02 1.3848E-02 3.6771E-03 9.7644E-04 2.5929E-04 6.8855E-05 1.8284E-05 Inkrement totale Verschiebg ∆u [m] uin [m] 4.0150E-02 4.0150E-02 4.7066E-03 4.4856E-02 1.1492E-03 4.6005E-02 2.9903E-04 4.6304E-02 7.8989E-05 4.6383E-02 2.0946E-05 4.6404E-02 5.5602E-06 4.6410E-02 1.4763E-06 4.6411E-02 3.9204E-07 4.6412E-02 1.0410E-07 4.6412E-02 2.7645E-08 4.6412E-02 7.3412E-09 4.6412E-02 80 3 Lösungsverfahren Durchschlagproblem – Last–Verschiebungskurve 300 200 fext 100 0 −100 −200 −300 0 0.2 0.4 0.6 u 0.8 1 1.2 Benötigte Iterationen bei unterschiedlichen Lastinkrementen Kraft f ext [kN ] Verschiebung un [m] Newton Raphson modifizierter Newton 40 80 120 160 200 240 0.016908 0.035892 0.057824 0.084414 0.120120 – 4 4 5 5 6 – 12 17 24 35 59 – 81 3 Lösungsverfahren Die Traglast des gewählten Systems bei den angenommenen ext Material– und Geometriedaten liegt bei f max = 239.6 kN, so daß ext beide Verfahren für f max = 240 kN versagen. Bemerkungen: • Vorteil: Die Tangentenmatrix K I J ( n ) wird zu Beginn der Iteration aufgestellt und muß nur einmalig invertiert werden. • Nachteil: Die quadratische Konvergenz des Newton– Raphson Verfahrens geht verloren, die Konvergenz des modifizierten Newton Verfahrens is lediglich linear. • Wird die Tangentenmatrix nur ein einziges Mal vor Beginn der Berechnung aufgestellt und invertiert, so spricht man vom elastischen Anfangssteifigkeits-Verfahren. Die Konvergenz dieses Verfahrens ist jedoch extrem schlecht. • Das modifizierte Newton Verfahren wird i.a. nur bei schwach linearen Nichtlinearitäten verwendet. 82 3 Lösungsverfahren 3.3 Gedämpftes Newton Verfahren (’line search’) Bemerkung: Ein Nachteil des Newton–Raphson Verfahrens ist sein eingeschränkter Konvergenzradius. Es liefert nur ”in der Nähe der Lösung” quadratische Konvergenz, erfordert also einen guten Startwert 0n . Alternativ kann die Last inkrementell in mehreren Schritten ∆ f ext aufgebracht werden oder ein I gedämpftes Newton–Raphson Verfahren (”line search”) verwendet werden. Dabei erfolgt der Update aus 2(d) mit i +1 n+1 mit 0 ≤ = i n+1 + i ∆ i n+1 = + i K− 1 ( i n+1 ) · rI( i n+1 ) ≤ 1 ... line search Parameter Bedingung für i : Reduktion des Residuums in jedem Iterationsschritt ||r I ( i +1 n+1 )|| ≤ ||r I ( i n+1 + i i n+1 )|| ∆ )|| ≤ ||r I ( dazu Minimierung der Energie Π( i ) des Systems Π( i ) → min daraus folgt r( i ) := ∂Π ∂Π = ·∆ ∂ i ∂ in+1 = rI( i n+1 + i ∆ )·∆ =0 nichtlineare Gleichung in i → iterative Bestimmung von i mit ”regula falsi” Verfahren (Newton Verfahren auch möglich, aber zu aufwendig) 83 3 Lösungsverfahren 2.(d) Schleife über alle Iterationsschritte k = 1..kmax i. Berechne Inkrement des line search Parameters i k − ki −1 i ∆ =− r ( ) k r( ki ) − r( ki −1 ) ii. Update i i k+1 = k + ∆ iii. Konvergenztest ||r( i k+1 )|| ≤ 0.8 ||r(0)|| goto 2.(e) > 0.8 ||r(0)|| goto 2.(d) 84 3 Lösungsverfahren 3.3.1 Gedämpftes Newton Verfahren – Algorithmus 1. Schleife über alle Lastschritte n = 1..nstep ext ext f ext In+1 = f In + ∆ f I 2. Schleife über alle Iterationsschritte i = 1..imax a) Berechne Residuum dyn r I ( in+1 ) = f I ( in+1 ) + f int I ( i n+1 ) b) Berechne Tangentenmatrix dyn geo K I J ( in+1 ) = K I J ( in+1 ) + K I J ( − f ext In+1 i + Kmat I J ( n+1 ) c) Berechne Inkrement der Verschiebungen nnp ∆ J = − ∑ I K J I ( in+1 )−1 · r I ( in+1 ) d) Schleife über alle Iterationsschritte k = 1..kmax i. Berechne Inkrement des line search Parameters i i k − k−1 i ∆ =− r ( ) k r( ki ) − r( ki −1 ) ii. Update i i k+1 = k + ∆ iii. Konvergenztest ≤ 0.8 ||r(0)|| goto 2.(e) i ||r( k+1 )|| > 0.8 ||r(0)|| goto 2.(d) e) Update i +1 J n+1 = i J n+1 + i∆ J f) Konvergenztest ≤ TOL goto 1. i +1 ||r I ( n+1 )|| > TOL goto 2. 85 i n+1 ) 3 Lösungsverfahren 3.4 Newton–Raphson Verfahren (Verschiebungskontrolle) Bemerkung: Obwohl die line search Technik den Konvergenzradius des Newton–Raphson Verfahrens verbessert, können mit dem lastgesteuerten Verfahren sogenannte ”limit points” des Gleichgewichtspfads nicht überschritten werden. Abhilfe schafft ein verschiebungsggesteuertes Verfahren, das durch vorgegebene Verschiebungen an einem ausgewählten Knoten einen Spannungszustand in der Probe erzeugt, aus dem Knotenkräfte an dem verschiebungskontrollierten Knoten resultieren. Vorgehen: Partitionierung (Umsortieren) des Lösungsvektors ∆ in tatsächliche Freiheitsgrade ∆ f und vorgeschriebene Werte ∆ p = [∆ ∆ f, ∆ p ] zu lösendes Gleichungssystem int ff fp K K ∆ f 0 f fI = − int pf pp K K ∆ p 0 f pI mit ∆ ip=0 gegeben und ∆ 1. Iterationsschritt ∆ 1 f i >0 p = −Kff −1 · [ Kfp · ∆ 0 P =0 0 + f int f I ] i. Iterationsschritt ∆ i +1 f i = −Kff −1 · [ f int f I] Bemerkung: Bei verschiebungskontrollierten Verfahren wird ein reduziertes Gleichungssystem mit veränderter rechter Seite 86 3 Lösungsverfahren gelöst. Die reduzierte Iterationsmatrix Kff besitzt i.a. einen kleineren Spektralradius als K. Verschiebungskontrollierte Verfahren liefern also i.a. stabilere Lösungen als lastkontrollierte Verfahren, vergleiche Durchschlagproblem. Durchschlagproblem – Last–Verschiebungs Kurve 500 Lastkontrolle Verschiebungskontrolle 400 300 fext 200 100 0 −100 −200 −300 0 0.2 0.4 0.6 u 87 0.8 1 1.2 3 Lösungsverfahren 3.5 Bogenlängenverfahren Bemerkung: Ist man am Verhalten einer Struktur im überkritischen Bereich interessiert, so benötigt man ein stabiles Verfahren zur vollständigen Verfolgung des nichtlinearen Gleichgewichtspfades. Sowohl mit dem lastkontrollierten, als auch mit dem verschiebungskontrollierten Verfahren können bestimmte ”limit points” LL bzw. LV nicht überschritten werden. Abhilfe schafft das Bogenlängenverfahren (”arc length control”), das die inkrementelle Last mittels eines Lastparameters über eine zusätzliche Nebenbedingung bestimmt. äußere Last zum Zeitpunkt tin f ext in = i n f̄ ext ... Lastparameter, bisher = 1/nstep = const., jetzt bestimmt aus Nebenbedingung f ( , ) = 0 variabel, erweitertes Gleichungssystem r̄ ( ¯ ) = 0 mit r( , ) 0 = f( , ) 0 mit ¯ = Newton–Raphson Verfahren zur Lösung des erweiterten Gleichungssystems, dazu Linearisierung, Newton–Raphson Iterationsvorschrift K̄( ¯ ) · ∆ ¯ = −r̄ 88 3 Lösungsverfahren mit ∂r ∂r r ∂ ∆ ∂ = − · ∂f ∂f f ∆ ∂ ∂ Linearisierung der Gleichgewichtsgleichung ∂r = K ∂ ∂r = K ∂ ...standard Tangentenmatrix = − f̄ ext ...externe Last Linearisierung der Nebenbedingung ∂f = K ...abhängig von der Wahl der NB f ( , ) = 0 ∂ ∂f = K ...abhängig von der Wahl der NB f ( , ) = 0 ∂ linearisiertes Gleichungssystem ext K − f̄ I ∆ rI = − · f ∆ K K Bemerkung: Da die Iterationsmatrix des erweiterten Systems t unsymmetrisch ist, K̄ 6= K̄ , wird das Gleichungssystem üblicherweise mittels Partitionierungstechniken gelöst, um die Symmetrie der Tangentenmatrix, K = Kt , auszunutzen. erste Gleichung K · ∆ − f ext · ∆ = −r ∆ = −K−1 · r + K−1 · ∆ f̄ ext 89 3 Lösungsverfahren mit ∆ ∆ : = −K− 1 · r =∆ und ∆ := K−1 · f̄ ext +∆ ∆ • zweite Gleichung K · ∆ + K ∆ = −f + [K · ∆ + K ]∆ = −f f +K ·∆ ∆ =− K ·∆ +K K ·∆ Wagner [1991], Wriggers [2001] 90 3 Lösungsverfahren 3.5.1 Bogenlängenverfahren – Algorithmus 1. Schleife über alle Lastschritte n = 1..nstep a) Prädiktorschritt ext ∆ = K−1 ( n ) · f̄ I ±∆s ∆ = entsprechend Nebenbedigung f ( D n , ||∆ || 0 n+1 = n + ∆ n) 2. Schleife über alle Iterationsschritte i = 1..imax a) Berechne Residuum dyn r I ( in+1 , ni +1 ) = f I ( i n+1 ) + f int I ( b) Berechne Tangentenmatrix K( in+1 ) = Kdyn ( in+1 ) + Kgeo ( c) Berechne ∆ und ∆ ∆ = −K−1 ( in+1 ) · r I ( ext ∆ = K−1 ( in+1 ) · f̄ I i n+1 , i n+1 ) i n+1 ) − ext i n+1 f̄ I + Kmat ( i n+1 ) i n+1 ) d) Berechne inkrementellen Lastparameter & Deformation f ni + K · ∆ ∆ =− ∆ =∆ +∆ ∆ K ·∆ +K e) Update i +1 i +1 i i n+1 + ∆ n+1 + ∆ n+1 = n+1 = f) Konvergenztest ||r I ( i +1 n+1 , i +1 n+1 )|| ≤ TOL goto 1. > TOL goto 2. 91 3 Lösungsverfahren 3.5.2 Bogenlängenverfahren – mögliche Nebenbedingungen Standard Newton–Raphson Verfahren Lastkontrolle f( , ) = − daraus folgt bzw. p =∂ f =0 K ∆ ≡0 und ∆ und A − =∂ f =1 = −K− 1 · r = ∆ vergleiche 3.1 Batoz & Dhatt [1979] Verschiebungskontrolle f( , ) = K p A mit A... kontrollierter Freiheitsgrad, daraus folgt K = ∂ f = [ 0, 0, .., |{z} 1 , .., 0, 0 ] und K =∂ f =0 A-te Komponente bzw. ∆ = − A − K p A +K ·∆ ·∆ +0 =− 1 n− n ]·[ i +1 n − 1 n] p A − ∆ +∆ A A vergleiche 3.4 Riks [1972] Iteration auf fixer Normalenebene f( , ) = [ A + 92 2 [ n1− i +1 1 ext ext n ][ n − n ] f I · f I − ∆s2 3 Lösungsverfahren daraus folgt K 1 n =∂ f = − n und K =∂ f = 1 n − n • ältestes Pfadverfolgungsverfahren • ... Wichtungsfaktor • ∆s ... Bogenlänge • f linear in in+1 und ni+1 • f beschreibt Normalenebene zum ersten Tangentenvektor an die Kurve Ramm [1981] Iteration auf Normalenebene i n− f( , ) = [ daraus folgt K n ]·[ i +1 n − =∂ f = i n] + i n 2 [ ni − − n ext ext i i +1 n ][ n − n ] f I · f I und K =∂ f = i n − − ∆s2 n • f linear in in+1 und ni+1 • f beschreibt Normalenebene zum aktuellen Tangentenvektor an die Kurve Crisfield [1981] Iteration auf Kugelfläche f( , ) = [ • • • • i +1 n − i n ]·[ i +1 n − i n] + 2 [ i +1 i i +1 i ext ext n − n ][ n − n ] f I · f I f quadratisch in in+1 und ni+1 f beschreibt Kugelfläche um letzten Gleichgewichtspunkt ∆s ... Radius zwei Schnittpunkte mit dem Gleichgewichtspfad 93 − ∆s2 3 Lösungsverfahren Bemerkung: Bogenlängenverfahren sind i.a. robuster als das Standard Newton–Raphson Verfahren, jedoch sind sie nicht global stabil, so daß sie möglichst nur in Kombination mit line search Techniken eingesetzt werden sollten. 94