Blutkreislauf

DER SYSTEMISCHE BLUTKREISLAUF VON SÄUGETIEREN
Hans U. Fuchs
Abteilung Mathematik und Physik, Departement T
Zürcher Hochschule Winterthur, 2006
1
Einführung
2
1.1
1.2
1.3
1.4
A little bit of history
A heart, two pumps, and two circuits
Blood pressure along the systemic circuit
Understanding systolic and diastolic pressure
2
Bilanz von Flüssigkeitsmengen
5
3
Druck und Druckdifferenzen in Stromkreisen
6
4
Stromcharakteristiken
7
5
Flüssigkeitsspeicher und Druck
9
6
Pumpen und Druck
10
6.1 Prozessdiagramm einer Pumpe
6.2 Charakteristik von Pumpen mit kontinuierlichem Strom
6.3 Verdrängerpumpen: Das Herz als Pumpe
Anhang
A.4 Hydraulik
A.5 Bilanzieren allgemein
12
14
Blutkreislauf
1 Einführung
Unser Blutkreislauf ist ein interessantes und wichtiges System, an dem es viele physikalische
Prozesse zu entdecken gibt. Der auffälligste Prozess ist ein hydraulischer: Eine Flüssigkeit wird
durch “Leitungen” gepumpt. Neben neuen physikalischen Zusammenhängen geht es hier um
die Fähigkeiten, die Sie in den ersten beiden Themen erarbeitet haben: Umgang mit zeitlich und
örtlich variablen Daten.
1.1
A little bit of history
Today it is common knowledge that mammals such as humans have a heart and large and small
vessels throughout the body. The heart pumps our blood, and the vessels carry it. As clear as
this hydraulic interpretation may seem, it is relatively recent. The Arab scientist Ibn Nafis described the circulatory system in the 13th century, but his work was not rediscovered in Europe
until 1924. Therefore, in the scientific world, credit for “discovering” the proper role of the cardiovascular system is credited to William Harvey who described it in 1628. The Reverend Stephen Hales measured blood pressure of a horse in 1733. The physicist Thomas Young expressed
his belief that the flow of blood belonged to the domain of hydraulics; this was in 1809. The
medical doctor and physicist J. P. Poiseuille studied blood flow and derived the relation between flow and pressure differences for laminar flow in circular tubes. Finally, toward the end
of the 19th century, Otto Frank described the circulatory system in terms of electric circuits and
demonstrated the importance of the windkessel model for understanding the flow of blood in
the bodies of mammals.
1.2
A heart, two pumps, and two circuits
Briefly said, the circulatory system consists of two separate circuits with the heart with its two
chambers at their centers (Fig. 1).
Pulmonary
circuit
Capillaries
Heart
(right)
Arteries
Heart (left)
Veins
Systemic
circuit
Capillaries
Figur 1:
Our cardiovascular system consists of the heart and two circuits. The heart is like two pumps combined. The “piping” consists of large vessels and very small ones (capillaries). The pulmonary circuit
goes through the lungs. The systemic circuit contains several branches for the trunk, the limbs, and the
head.
The right side of the heart pumps the blood through the lungs (the pulmonary circuit) where it
is replenished with oxygen. From there it flows to the left side of the heart into the atrium and
then into the main chamber called the left ventricle. From there the blood is pumped through
arteries through the body. There are several branches of this body circuit (called the systemic
2
Blutkreislauf
circuit) going through the torso with its organs, through the legs and arms, and through the
head. After the blood has brought oxygen, nutrients, water, and heat to body parts and has taken
up waste products, it flows back through the veins toward the right ventricle of the heart. Between the arteries and the veins, there is a system of very fine vessels called capillaries.
The systemic circuit. This is the distribution system for oxygenated blood for all parts of the
body (Fig. 2), plus the collection system that brings back the depleted blood into the right side
of the heart. It starts at the left ventricle of the heart which is responsible for setting up the pressure so the blood can flow through the torso, the limbs, and the head. The “pipe” leading away
from the heart is called the aorta which branches off into arteries, which branch into finer vessels and capillaries.
Artery
Aortic arch
Left ventricle
Heart
Artery
Aorta
Figur 2:
1.3
Drawing of the beginning part of the systemic circuit (left) and angiogram of the aortic arch (right)
with arteries branching off toward the arms and the head. The aorta is the first and main artery which
starts from the left ventricle of the heart. It is separated from the left ventricle by the aortic valve. In
humans it arches up and then leads down through the torso from where arteries take off into various
other parts of the body.
Blood pressure along the systemic circuit
120
250
100
200
80
150
Flow / ml/s
Pressure / mmHg
We’ve probably all had our blood pressure measured at one time or another. An air filled cuff
is put around our upper arm. The pressure of the air is increased until the cuff fits tightly. Then
the pressure is slowly decreased and the doctor listens for changes of sound and then reports
something like “130 over 80.” The upper value is called the systolic pressure, the lower one is
the diastolic pressure (Fig. 3).
60
40
20
50
0
0
-50
0
Figur 3:
100
0.25
0.5
Time / s
0.75
1
0
0.25
0.5
Time / s
0.75
1
Blood pressure (left) and blood flow (right) measured in a sheep, as functions of time. The pressure
curve that changes between about 110 mmHg and less than 20 mmHg was taken inside the left ventricle. The second pressure curve (with values between 50 and 90 mmHg) was measured in the aorta
near the heart. The flow is negative for short periods indicating that the blood is flowing back toward,
but not into, the heart.
3
Blutkreislauf
First, we have to remember that the values reported are typically given in units of mmHg (millimeters of mercury column, i.e., the pressure that supports a column measuring so many mm
of mercury; 1 bar correspond to about 760 mmHg). Second, a value of zero means “ambient”
pressure, i.e., the average pressure in the body which is close to ambient air pressure.
Pressure as a function of time and position. Obviously, the pressure of the blood in the arm’s
artery changes as a function of time. Fig. 3 shows the blood pressure in an animal at two different points (in the left ventricle and in the aorta) as functions of time. Another useful piece of
information concerns the pressure along the systemic circuit from the left ventricle, through the
aorta and the arteries, through the capillaries and back through the veins to the right side of the
heart (Fig. 4).
Pressure
Systolic pressure
Diastolic
pressure
Aorta Artery
Capillaries
Vein
Right atrium Position
Left atrium
Arteriole
Venule
Vena Cava
Figur 4:
Qualitative sketch of blood pressure in the systemic circuit as a function of position from the left ventricle to the right atrium. In the ventricle, and in the region occupied by aorta, arteries, and arterioles,
the pressure oscillates in the course of time. There is hardly any pulse in the capillaries and the veins.
The values of the systolic and diastolic pressure change during activity (see below), but they
also change slowly over long periods of time as a response to changes in our bodies. Older persons typically have higher values of blood pressure than younger ones. We can influence these
values with our diet, exercise, and drugs.
Heart rate and blood pressure control mechanism. We all know from personal experience that
the heart rate (the number of heart beats or cardiac cycles per second or minute) changes with
our activity. If we exert ourselves, or if we are excited, the heart rate goes up. We can feel that
the pressure goes up as well. When we relax, the pressure and the heart rate go down again over
the course of a minute or so. Apparently, human and animal bodies posses an intricate automatic control system that takes care of such changes. If we want to understand this system, we
have to look to electric and chemical activity rather than just the hydraulic aspects.
1.4
Understanding systolic and diastolic pressure
Why are there two values reported in blood pressure measurements? Why isn’t the second lower value simply zero or close to zero, considering that the pressure in the left ventricle reaches
a value close to zero at some point in the cardiac cycle?
Let us take a close look at the systemic circuit. Oxygenated blood flows from the left atrium at
very low pressure into the left ventricle which then contracts and raises the pressure of the
blood. At some point, the aortic valve opens and the blood contained in the ventricle is squeezed
into the aorta. As the quantity of blood in the heart diminishes, the pressure decreases and the
valve closes.
The aorta and its properties are responsible for much of what follows from a hydraulic view4
Blutkreislauf
point. The aorta is a flexible vessel, in contrast to arteries, capillaries, and veins. This means
that the aorta functions not only as a pipe but also as a storage vessel—very much like a balloon
or a membrane accumulator. It stores the blood that comes from the left ventricle for some time
and releases it relatively steadily into the rest of the circuit, i.e., into the arteries and capillaries.
These basically work as simple pipes that let the blood pass. Their function is described by stating that they set up a resistance to the flow of the relatively viscous blood. The blood pressure
measured at the doctors office is close to the pressure measured in the aorta. This quantity varies
rhythmically between a high value (somewhat lower than the maximum pressure in the heart)
and a low one. Since there always is blood in the aorta, this lower (systolic) value is never close
to zero.
In summary, the left ventricle is the intermittent pump for the systemic circuit, the aorta is a
windkessel, and the rest of the blood vessels serve as a (branching) pipe (see Fig. 5). Between
the pump and the windkessel there is the aortic valve which must make sure that blood does not
flow back into the left ventricle.
Aorta
Left
ventricle
Arteries and
capillaries
Aortic
valve
Figur 5:
The windkessel model of the systemic circuit. It consists of a pump that takes liquid from the environment (left), a short pipe with a valve, a container, and a (long) pipe leading back to the environment.
2 Bilanz von Flüssigkeitsmengen
Bilanzen von Mengen verschiedenster Arten (auch ganz abstrakter Mengen) gehören zu den
Grundzusammenhängen, mit denen wir Menschen Prozesse beschreiben. In der Hydraulik ist
das besonders einfach zu sehen: Hier schlagen wir uns mit Bilanzen der Mengen von Flüssigkeiten herum. Speicher lassen Flüssigkeiten zu- und abfliessen, und als Resultat ändert sich die
Menge der Flüssigkeit im Speicher. Der Zusammenhang zwischen Prozessen (Zu- und Abflüssen von Flüssigkeit) und der Änderung des Flüssigkeitsinhalts eines Speichers ist hier besonders einfach.
Grössen, die bei einer Bilanz eine Rolle spielen. Um eine Mengenbilanz von Flüssigkeiten machen zu können, braucht man zuerst ein Mengenmass. Man kann Masse, Stoffmenge oder Volumen wählen. Für die Hydraulik nehmen wir das Volumen V. Vom Volumen werden dann
Volumenänderung ∆V und Volumenänderungsrate dV/dt abgeleitet (siehe Thema 1: Zeitliche
Muster).
Um Prozesse beschreiben zu können, führen wir den Volumenstrom IV ein. Vom Volumenstrom
wird dann das transportierte Volumen Ve abgeleitet (siehe Thema 1: Zeitliche Muster).
Momentane Bilanz. Man kann die Bilanz einer Flüssigkeitsmenge für jeden Moment gültig mit
Hilfe der Änderungsrate des gespeicherten Volumens und mit den Strömen in Bezug auf ein
System schreiben. Die Volumenänderungsrate muss gleich der Summe der zu- und abfliessenden Volumenströme sein:
5
Blutkreislauf
dV
= IV 1 + IV 2 + IV 3 + …
dt
(1)
Man kann das Problem der Bilanzierung von Volumen bildlich darstellen (Fig. 6). Um eine Bilanz aufstellen zu können, muss man einen Speicher wählen und alles Ströme in Bezug dazu
finden.
Pipe 3
Tank 1
V1
Tank 2
IV1
Pipe 2
IV4
V2
Pipe 1
IV2
Figur 6:
IV3
Zwei (gekoppelte) Tanks mit gespeicherten Mengen und mit Zu- und Abflüssen. Rechts sieht man eine
abstrakte Darstellung der Aufteilung in Speicher und Flüsse (Ströme).
Die Bilanz kann auch für eine Zeitspanne dargestellt werden. Dann ist die Änderung des gespeicherten Volumens gleich der zu- und abgeführten Volumina:
∆V = Ve1 + Ve 2 + Ve 3 + …
(2)
3 Druck und Druckdifferenzen in Stromkreisen
Der Druck der Flüssigkeiten, die wir bei hydraulischen Vorgängen betrachten, spielt eine wichtige Rolle. Druckdifferenzen zwischen verschiedenen Punkten sind so etwas wie Antriebe für
hydraulische Prozesse (Fig. 7).
Flow
Level / mm
150
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
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X
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X
X
[
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[
[
[
[
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[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
100
50
0
0
100
200
300
400
Time / s
Figur 7:
Eine Flüssigkeit fliesst aus einem Behälter durch ein Rohr in einen anderen, so lange es eine Niveaudifferenz in den Gefässen, d.h., eine Druckdifferenz über dem Rohr gibt (zum Druck in Flüssigkeitssäulen siehe auch Thema 2: Erdatmosphäre).
Den Druck selber können wir uns als hydraulisches Niveau vorstellen. In einem hydraulischen
System gibt es also “Höhen” und “Tiefen”, und wenn man herumgeht, so geht man meistens
“aufwärts” oder “abwärts” wie in einer Landschaft (Fig. 8). Geht man einmal im Kreis herum,
6
Blutkreislauf
so ist man wieder am gleichen Ort, also beim gleichen Druck. Das bedeutet, dass sich alle
Druckunterschiede entlang einem geschlossenen Kreis zu Null addieren müssen.
Tank
Circuit
C
∆pCD
D
D*
Pump
B
A
Figur 8:
p
pa
Position
∆pBC
A B
C
D
D*
∆pAB
In einem hydraulischen System gibt es so etwas wie eine “Drucklandschaft” mit “Höhen” und Tiefen”.
Niveaus ändern sich von Ort zu Ort (und in dynamischen Systemen natürlich auch noch mit der Zeit).
In einem geschlossenen Stromkreis ist die Summe aller Druckdifferenzen gleich Null.
∆ p1 + ∆ p2 + ∆ p3 + … = 0
(3)
4 Strom-Charakteristiken
Damit eine Flüssigkeit durch ein (horizontales) Rohr fliesst, braucht es wegen der immer auftretenden Reibung eine Druckdifferenz. Der Druck nimmt in der fliessenden Flüssigkeit in
Fliessrichtung ab (Fig. 9).
102
BB
Pressure / kPa
101
A
G
D
C
100
B
E
B
99
F
98
B
B
A
B
G
97
B C
D
E
F
0
0.4
0.8
1.2
1.6
Depth / m
Figur 9:
In einer fliessenden Flüssigkeit nimmt der Druck in Fliessrichtung wegen des Strömungswiderstandes
in Strömungsrichtung ab. Anders gesagt, es braucht eine Druckdifferenz, damit die Flüssigkeit durch
ein horizontales Rohr fliesst.
Um die reibungsbehaftete Strömung zu beschreiben, misst man aus, wie gross der Strom bei
verschiedenen Druckdifferenzen ∆pR ist (der Index R steht hier, um den Bezug zur Flüssigkeitsreibung klarzustellen). Den Zusammenhang IV(∆pR) nennt man die Strömungscharakteristik
(Fig. 10). Allgemein gilt sicher, dass der Strom mit der Druckdifferenz zunimmt. Aber wie er
das tut, das hängt von der Art der Strömung ab.
Es gibt zwei verschiedene Arten der Strömung, laminare und turbulente. Bei laminarer Strömung (die für gegebene Verhältnisse bei kleinen Strömungsgeschwindigkeiten auftritt) bleiben
zwei benachbarte Flüssigkeitsteile bei der Strömung weiter benachbart. Bei Turbulenz hingegen wirbelt alles durcheinander. Turbulenz tritt (wenn alle anderen relevanten Werte festgehalten werden) ab einer bestimmten Strömungsgeschwindigkeit auf. Laminare und turbulente
7
Blutkreislauf
Strömung haben ganz verschiedene Charakteristiken. Die laminare Charakteristik ist linear,
eine turbulente Charakteristik ist näherungsweise eine Wurzelfunktion (Fig. 10).
6E-5
4E-5
3E-5
2E-5
[
[[
[[
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[
[
2E-5
IV / m3/s
5E-5
IV / m3/s
2E-5
[
[
[
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[
[
[
[
[
[
[
[
1E-5
5E-6
1E-5
0E+0
0E+0
0
1000
2000
delta p / Pa
3000
0
1000
2000
delta p / Pa
3000
Figur 10: Bei laminarer Strömung (links) braucht es eine doppelte Druckdifferenz, um einen doppelten Volu-
menstrom zu erhalten. Bei turbulenter Strömung muss man die Druckdifferenz vervierfachen, um den
Strom zu verdoppeln (rechts).
Man kann die beiden Strömungscharakteristiken auch formal beschreiben. Für laminare Strömung haben wir eine lineare Charakteristik (der Strom ist proportional zur Druckdifferenz):
IV = GV ∆pR
1
IV =
∆pR
RV
(4)
Man nennt den Faktor GV den Leitwert der Strömung, seinen Kehrwert RV nennt man Strömungswiderstand. Im Falle einer turbulenten Strömung nähert man die Charakteristik durch
IV = k ∆pR
(5)
Hier nennt man k den Strömungsfaktor. Bei der Strömung von Blut durch die Aortaklappe eines
Schafes (siehe Daten in Fig. 3) erhält man eine Charakteristik, die beide Strömungsverhalten
zeigt (Fig. 11).
3.0E-4
B
B
2.5E-4
Flow / m^3/s
Sqare root
2.0E-4
B
BB
BB
BB
1.5E-4
B
B
BB
B B
BB
B
B
B
B
B
1.0E-4
B
5.0E-5
0.0E+0
B
B
B
B
B
B
B
B
Linear
B
B
0
1000
2000
Pressure / Pa
3000
4000
Figur 11: Charakteristik für die Strömung von Blut durch die Aortaklappe eines Schafes (mit den Daten aus
Fig. 3 berechnet). Man sieht, dass die Strömung für niedrige Werte der Druckdifferenz linear ist und
für höhere Werte turbulent wird.
8
Blutkreislauf
Strom IV und Strömungsgeschwindigkeit v sind durch die Querschnittsfläche A, durch die der
Strom geht, miteinander verbunden:
IV = Av
(6)
5 Flüssigkeitsspeicher und Druck
Wichtige Beispiele von Flüssigkeitsspeichern für Hydraulik, Medizin, Energietechnik usw.
sind Membran- und Blasenspeicher, Aorta, Schädel (mit Gehirn), Auge, (Stau)Seen, (offene)
Gefässe, und weitere. Für das Verständnis der Funktion von Speichern muss man nur eines wissen: Wie sich der Druck mit dem gespeicherten Volumen ändert. Was sicher ist: Wenn das Volumen zunimmt, so wird der Druck steigen. Man stellt den Druck-Volumen-Zusammenhang als
kapazitive Charakteristik dar (Fig. 12). Verschiedene Speicher haben verschiedene kapazitive
charakteristische Kurven.
p
Pressure vessel
pa
Vo
∆pC
V
V
∆pC
∆pC
∆pC
V
V
A(h)
V
Figur 12: Kapazitive Charakteristiken verschiedener Speicher. Typisches Druckgefäss (oben) und verschieden
geformte offene Gefässe (unten). Die charakteristische Kurve zeigt uns, wie der Druck mit der Menge
der gespeicherten Flüssigkeit steigt.
Die kapazitive Charakteristik beantwortet die Frage, wieviel Volumen man dazugeben muss,
um eine bestimmte Druckerhöhung zu erreichen:
∆V = CV ∆pC
(7)
Der Faktor CV, den man hydraulische Kapazität nennt, beschreibt also diesen Zusammenhang
(in dieser Form gilt der Zusammenhang nur für kleine Änderungen, ausser die Charakteristik
sei linear; siehe Fig. 12). Die Kapazität ist gleich dem Kehrwert der Steigung einer Tangente
an die charakteristische Kurve in einem Punkt.
9
Blutkreislauf
6 Pumpen und Druck
Pumpen sind dazu da, Fluide zu fördern und den Druck des Fluids zu erhöhen. Es gibt ganz
verschiedene Typen von Pumpen. Dynamische Pumpen, z.B. Zentrifugal-oder Axialpumpen,
liefern einen mehr oder weniger kontinuierlichen Fluidstrom. Verdrängerpumpen, z.B. Kreiselpumpen und Kolbenpumpen nehmen eine fixe Menge Fluid auf, erhöhen den Druck und stossen das Fluid dann aus. Sie arbeiten intermittierend.
6.1
Prozessdiagramm einer Pumpe
In sogenannten Prozessdiagrammen stellen wir wichtige Aspekte eines Prozesses symbolisch
dar. Der hydraulische Prozess bei einer Pumpe besteht darin, dass ein Strom einer Flüssigkeit
von einem Punkt bei tieferem Druck zu einem Punkt bei höherem Druck gezwungen (gepumpt)
wird (Fig. 13).
PUMPE
ELEKTRISCH
HYDRAULISCH
IV
angetriebener
Vorgang
Strom von tief
zu hoch
antreibender
Vorgang
p2
p1
Figur 13: In einem Prozessdiagramm wird ein Prozess durch die beiden Grundgrössen, nämlich Menge (oder
Mengenstrom) und Niveau (oder Niveaudifferenz) dargestellt. Bei einer Pumpe fliesst ein Fluid von
einer Stelle tiefen Drucks zu einer Stelle mit höherem Druck. Bei einer elektrischen Wasserpumpe ist
der elektrische Prozess (hier nicht gezeigt) der antreibende Prozess. Der hydraulische Vorgang ist der
angetriebene Prozess. Der Strom der Flüssigkeit wird durch eine Linie, die von einem tieferen zu einem höheren Niveau geht, symbolisiert.
6.2
Charakteristik von Pumpen mit kontinuierlichem Strom
Bei dynamischen Pumpen können wir einen Zusammenhang zwischen dem kontinuierlichen
(Volumen)Strom und der Druckerhöhung erwarten, den man wieder in einem charakteristischen Diagramm darstellt (Fig. 14).
Pressure head / m
30
É
ÉÉÉ
É É
É
É
20
ÉÉ
É
É
É
É
É
É
ÉÉ
É
É
É
É
É
É
É
10
0
0
2
4
6
Flow / l/s
Figur 14: Reale Pumpencharakteristik. Die Druckdifferenz (vertikale Achse im Diagramm), die eine Pumpe auf-
baut, hängt von der Stärke des Volumenstroms ab (horizontale Achse). Für nicht zu grosse Volumenströme ist die Druckdifferenz ungefähr konstant. Je höher der Strom wird, desto mehr nimmt sie ab.
10
Blutkreislauf
6.3
Verdrängerpumpen: Das Herz als Pumpe
Die Funktionsweise einer intermittierend arbeitenden Pumpe wird oft in einem Druck-Volumen Diagramm dargestellt (nicht in einer Druck-Strom Charakteristik). Man beschreibt den
Zusammenhang zwischen momentaner Menge Flüssigkeit in der Pumpe (in einer Herzkammer) und dem dazugehörigen Druck der Flüssigkeit. Da die Pumpe zyklisch arbeitet, ergibt
sich das Diagramm eines pV-Zyklus (Fig. 15, rechts). Es ergibt sich aus einem Druck-Zeit Diagramm und dem Volumen-Zeit Diagramm (Fig. 15, links), enthält aber die Information über
den Zeitablauf nicht mehr.
Figur 15: Typischer pV-Zyklus für das Blut in der linken Herzkammer. Man kann das Diagramm aus Messungen
des Drucks und des Volumens als Funktionen der Zeit (rechts) bestimmen. Man sieht vier mehr oder
weniger klar getrennte Phasen. Zwei Prozesse bei konstantem Volumen (kein Zu- und Abfluss, die
Herzklappen sind geschlossen) zeigen Druckerhöhung, wenn sich der Herzmuskel zusammenzieht,
und Druckabfall, wenn er sich entspannt. Dazwischen liegen zwei Phasen, bei denen sich das Volumen
ändert, der Druck aber nur relativ wenig. In der einen nimmt das Herz Blut aus dem rechten Vorhof
(Atrium) auf, in der anderen wird das Blut in die Aorta gepumpt.
11
Blutkreislauf
Anhang
A.1
Hydraulik
1.
Durch ein Rohr, dessen Querschnitt sich von 20 cm2 auf 40 cm2 erweitert, fliesst Öl mit
einem konstanten Volumenstrom von 0.0020 m3/s. Die Dichte des Öls beträgt 900 kg/m3.
a. Wie gross ist der Wert des Massenstroms?
b. Was müssen Sie wissen, um den Stoffmengenstrom zu bestimmen?
c. Wie gross sind die Werte des Volumenstroms im engen und im weiten Teil des Rohres?
d. Wieviel Öl fliesst in 200 s durch einen Querschnitt mit 30 cm2?
2.
Betrachten Sie das Rohr in Aufgabe 1 als System. Wie gross sind die Volumenstromstärken beim engen Eintritt und beim weiten Austritt?
3.
Der Volumenstrom in Aufgabe 1 wächst innerhalb der ersten 100 s gleichmässig von
0.0020 m3/s auf 4.0 l/s und bleibt dann konstant. Wieviel Öl fliesst in den ersten 120 s
durch das Rohr?
4.
In der Figur betragen die Werte der Volumenströme IV1 = 10 l/s und IV2 = 15 l/s.
System
IV2
IV3
IV1
a. Wie gross ist IV3? Welches Gesetz braucht man zu dieser Bestimmung?
b. Bestimmen Sie die Volumenstromstärken der drei Volumenströme an der Systemgrenze (d.h., berücksichtigen Sie die Vorzeichen).
c. Der Volumenstrom IV1 fällt in 100 s gleichmässig von 10 l/s auf 4 l/s. Wieviel Öl
fliesst in dieser Zeit durch das dritte Rohr?
5.
Wasser fliesst durch ein Rohr in einen Brunnentrog, und durch zwei Rohre hinaus. Der
Zustrom ist konstant 5.0 l/s, der eine Abfluss misst 2.0 l/s.
a. Wieviel Wasser fliesst mit den beiden Strömen in 10 min hinein oder heraus? Kann
man aus diesen Zahlen ausrechnen, um wieviel sich das Wasservolumen im Brunnen
in der Zeitspanne geändert hat?
b. Die Änderungsrate des Volumens im Trog beträgt 2.0 l/s. Wie gross ist der zweite Abfluss?
c. Berechnen Sie die Änderung des Volumens innerhalb von 10 min zuerst mit Hilfe der
Änderungsrate und dann mit Hilfe der drei durch die Ströme transportierten Mengen.
6.
Die Änderungsrate des Volumens von Öl in einem Tank geht in 60 s linear von 0.0010 m3/
s auf – 0.0020 m3/s zurück. Der Tank hat einen Zufluss und einen Abfluss.
a. Bestimmen Sie die Formel für den Nettostrom als Funktion der Zeit.
b. Der Zufluss misst konstant 2.0 l/s. Bestimmen Sie die Stromstärke des Abflusses als
Funktion der Zeit.
12
Blutkreislauf
c. Bestimmen Sie die mit dem Abfluss in 60 s ausgetauschte Ölmenge.
d. Anfänglich hat es 100 l Öl im Tank. Wie gross ist der Inhalt als Funktion der Zeit?
7.
Durch ein Rohr fliesst Wasser mit einem konstanten Volumenstrom. Am Eintritt misst
man einen Druck von 2.5 bar, am Austritt einen von 1.2 bar. Das Rohr ist 200 m lang.
a. Wie gross ist die Druckdifferenz über dem Rohr?
b. Wie gross ist das Druckgefälle (Druckgradient)?
c. Wie gross ist der Druck 60 m vom Eintritt entfernt?
8.
Ein Rohr, durch das Öl fliesst, verzweigt sich an einer Stelle. Etwas weiter kommen die
beiden Rohre wieder zusammen. Wie gross sind die Druckdifferenzen über den beiden
parallelen Rohrteilen im Vergleich zueinander?
9.
Welches Vorzeichen hat die Druckdifferenz in einer Pumpe in Richtung des Volumenstroms?
10.
Eine Pumpe holt Wasser aus einem flachen zur Luft hin offenen Gefäss und pumpt es
nacheinander durch ein weites und durch ein enges Rohr. Dann tritt das Wasser wieder an
die Luft aus.
a. Zeichnen Sie den Druckverlauf vom Gefäss bis zum Austritt des Wassers in einem
Diagramm.
b. Die Druckdifferenzen im ersten und im zweiten Rohrteil betragen – 0.30 bar und
– 8.0·104 Pa. Um wieviel muss der Druck in der Pumpe erhöht werden?
11.
Man misst bei einem Rohr, durch das Olivenöl fliesst, dass der Druckabfall über dem
Rohr linear mit dem Volumenstrom steigt.
a. Zeichnen Sie die Charakteristik der Strömung (das Volumenstrom-DruckdifferenzDiagramm).
b. Was lässt sich über den hydraulischen Widerstand der Strömung im Rohr sagen?
12.
Die drei Rohre in der Figur von Aufgabe 4 haben hydraulische Widerstände von 50.0·106
Pa·s/m3, 20.0·106 Pa·s/m3, und 30.0·106 Pa·s/m3, wenn ein bestimmtes Öl durch sie
fliesst. (Der Druck ist bei den Eintritten der Rohre 1 und 3 gleich.)
a. Wie gross ist der Gesamtwiderstand der Anlage?
b. Der Volumenstrom durch Rohr 1 ist 0.0020 m3/s. Bestimmen Sie die Druckdifferenz
über Rohr 1.
c. Wie gross ist der Volumenstrom durch Rohr 3?
d. Bestimmen Sie die Druckdifferenz über Rohr 2.
13.
Wieviel Wasser müssen Sie in einem geradwandigen Tank dazugeben, damit der Druck
des Wassers am Boden um 0.020 bar steigt? Die Querschnittfläche des Tanks beträgt 0.30
m2. Wie lautet die Antwort, wenn die Querschnittfläche zweimal so gross ist? Wenn er
zweimal so klein ist?
14.
In einem geradwandigen Tank mit einer Grundfläche von 0.050 m2 hat sich das Volumen
von Olivenöl um – 500 l geändert. Um wieviel hat sich der Druck des Öls am Boden geändert?
15.
Man fügt mehr von einer Flüssigkeit in einen geradwandigen Tank. Weshalb ist das Ver-
13
Blutkreislauf
hältnis von Volumenänderung zu Druckänderung am Boden konstant? Wie ist das bei einem Gefäss mit schrägen Wänden?
16.
Bestimmen Sie die hydraulische Kapazität folgender geradwandiger Gefässe (mit SI-Einheit):
a. Ein Erdöltank mit einem Durchmesser von 15 m.
b. Ein Quecksilberrohr mit einem Radius von 0.50 cm.
17.
Ein konisches Gefäss hat unten einen Radius von 10 cm, und 1.0 m höher einen solchen
von 40 cm. Es speichert Wasser.
a. Zeichnen Sie den Druck als Funktion der Füllhöhe.
b. Zeichnen Sie die hydraulische Kapazität als Funktion der Füllhöhe.
c. Zeichnen Sie den Druck als Funktion der Kapazität.
d. Bestimmen Sie graphisch mit Hilfe des dritten Diagramms (p-CV) die Änderung des
Volumens, wenn sich die Füllhöhe von 50 cm auf 1.0 m ändert.
A.2
Bilanzieren allgemein
18.
Die Zahl der Personen, die in einer Stadt leben, fällt in 5 Jahren gleichmässig von 400000
P auf 350000 P. Die Nettogeburtenrate in der Stadt 2000 P/Jahr (P: Personen).
a. Wie gross ist die Änderungsrate der Einwohner?
b. Wie gross ist die Änderung der Einwohnerzahl vom Anfang des zweiten bis zum Ende
des dritten Jahres?
c. Wie gross ist der Zu- oder Abwanderungsstrom?
d. Wieviele Personen sind in 5 Jahren zu- oder abgewandert?
19.
Die Änderungsrate der Zahl der Fische in einem See verhält sich nach der Gleichung
F ( t ) = at + b
a = −200 Stück Jahr 2 , b = 2000 Stück Jahr
Anfänglich waren 0.50·105 Stück Fisch im See.
a. Wie gross ist die Änderungsrate nach 5 Jahren?
b. Wann wird die Änderungsrate gerade Null?
c. Bestimmen Sie die Zahl der Fische im See für die ersten 20 Jahre.
d. Welche Eigenschaft hat die Zahl der Fische in dem Moment, in dem die Änderungsrate gerade Null ist?
e. Die Nettogeburtenrate der Fische beträgt 5000 Stück/Jahr. Mit welcher Rate wird bei
0, 2, 4 Jahren gefischt?
20.
In einem Gebiet beträgt die Sterberate von Kaninchen konstant – 1500 F/Monat (F:
Fuchs). Die Geburtenrate verhält sich nach der Formel
ΠK ( t ) = aebt
wobei die Zahlenwerte von a und b 800 und 0.1 sind. Zeiteinheit ist 1 Monat.
a. Was ist die Einheit der Zahl der Kaninchen? Bestimmen Sie die Einheiten der Grös-
14
Blutkreislauf
sen a und b.
b. Zeichnen Sie die Sterberate und die Geburtenrate als Funktionen der Zeit für die ersten 20 Monate.
c. Zeichnen sie die Nettogeburtenrate.
d. Wann ist die Nettogeburtenrate Null?
e. Wieviele Kaninchen sind in den 20 Monaten gestorben?
f. Wieviele Kaninchen sind in den ersten 10 Monaten geboren worden und gestorben?
21.
In Aufgabe 20 gibt es keine Wanderung der Kaninchen. Anfänglich gibt es 105 F Kaninchen im Gebiet.
a. Wie gross ist die Änderungsrate der Zahl der Kaninchen im Laufe der ersten 20 Monate?
b. Wie gross ist die Zahl der Kaninchen nach 20 Monaten?
c. Eine Zählung ergibt, dass es nach 20 Monaten 10 Prozent weniger Kaninchen hat, als
aufgrund der Geburten und des Sterbens zu erwarten ist. Wie gross ist der konstante
Wanderungsstrom?
22.
Formulieren Sie für die folgenden Fälle die Bilanzgleichungen (als mathematische Gleichungen) in dynamischer, d.h. momentaner, Form. Die konstitutiven Gesetze für die Prozesse müssen Sie nicht formulieren. Erklären Sie, was Sie tun.
a. Mäuse in einem wohldefinierten Gebiet.
b. Sie haben zwei Bankkonten. Eines ist ein Sparkonto, das zweite ein Privatkonto ohne
Zins. Bilanzieren sie die Geldmengen auf den beiden Bankkonten.
c. Das Wasser des Toten Meeres (es hat nur einen Zufluss: Jordan, aber keinen Abfluss).
23.
Formulieren Sie die folgenden integrierten Bilanzgesetze.
a. Bilanz für Ihr Konto bei der XY Bank im letzten Jahr.
b. Bilanz der Holzmenge in einem Wald.
c. Bilanz der Mehlmenge in Ihrer Küche.
24.
Wie lautet die momentane Form des Bilanzgesetzes für die Grösse X (a) im allgemeinen
stationären Fall; (b) wenn es weder Ströme noch Quellen gibt; (c) wenn X einen Erhaltungssatz erfüllt; (d) wenn es nur Ströme gibt?
25.
Betrachten Sie zwei benachbarte Gebiete (1 und 2) in einem grösseren Gebiet. Überall
leben Füchse, die wandern, sich fortpflanzen und sterben.
1
2
Umgebung
a. Formulieren Sie das Bilanzgesetz für die Zahl der Füchse für Gebiet 1.
b. Formulieren Sie das Bilanzgesetz für die Zahl der Füchse für Gebiet 2.
15
Blutkreislauf
c. Gibt es Zusammenhänge zwischen den in den beiden Bilanzgleichungen auftauchenden Strömen oder Geburts- und Sterberaten?
d. Wie lautet das Bilanzgesetz für beide Gebiete zusammen?
26.
Formulieren Sie die folgenden momentanen Bilanzgesetze (dynamische Form) möglichst
allgemein. Machen Sie klar, welche Prozesse Sie berücksichtigen.
a. Allgemeine Bilanz für grosse Gebäude auf einem Stadtgebiet.
b. Bilanz von Lastwagen für ein Strassentunnel.
c. Bilanz für Zucker (oder Stärke) in einem Blatt einer Pflanze. Dem Blatt werden Wasser, CO2 und Licht zugeführt.
27.
Wie lautet die momentane Form des Bilanzgesetzes für Menschen der Altersgruppe 5 - 9
in einem Land? Gibt es eine Beziehung von Grössen in Ihrem Bilanzgesetz zu den Grössen im Bilanzgesetz für die 10 - 12-Jährigen?
16