Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona
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Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona
Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona Von GEORG WIDMER, Zürich Inhaltsverzeichnis I. Integralgleichungen für die Elektronendichte der Korona 1. Problemstellung 2. Voraussetzungen und physikalische Grundlagen 3. Differentialformeln 4. Integralformeln 5. Berechnung der Kernfunktionen 6. Integralgleichungen H. Analytische Lösung der Integralgleichungen 1. Anwendung von VoLTERRAschen Operatoren 2. Darstellung als Differentialgleichung 3. Lösung der Differentialgleichung 4. Diskussion der Lösungen IH. Numerische Behandlung 1. Auswahl der Methode 2. Umwandlung der analytischen Formeln 3. Numerische Berechnung der Elektronendichte 4. Numerische Berechnung des Polarisationsgrades 5. Analytische Kontrolle der numerischen Rechnung 6. ALGOL-Programm und Organisation der Rechnung IV. Ausgeführte Berechnungen 1. Kontrollrechnungen 2. Berechnungen an der Korona von 1954 3. Diskussion der Resultate 106 106 106 107 108 108 110 111 111 112 113 114 115 115 115 117 118 119 120 124 124 128 137 Abstract A new method is developed for the determination of electron density distributions in a rotationally symmetric solar corona. Under this assumption, taking into consideration anisotropic scattering and limb darkening, the integral equations are derived for each heliographic latitude and for different cases of polarisation. The equations themselfs just as their analytically feasible inverse transformations are of the VOLTERRA-type. Computations of densities are worked out using the explicit formula by numerical integrations over brightness distributions on different cuttings perpendicular to the solar axis. An ALGOL program has been written to be used by a computer, which allows future calculations for any distribution of measured points and for each case of polarisation. Density distributions are given for the minimum corona of 1954 and represented in an isoelectron density map. 106 Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich 1963 I. Integralgleichungen für die Elektronendichte der Korona 1. Problemstellung Die Berechnung der räumlichen Dichteverteilung in der Sonnenkorona beruht auf der Auswertung ihrer nach aussen abfallenden Helligkeit, welche zusammengesetzt ist aus dem ursprünglich von der Sonne herkommenden Streulicht aller in cinem Sehstrahl liegenden Elektronen. Die beobachtbare Grösse stellt somit an jedem Punkt ein Integral dar, in dessen Integranden die unbekannte Funktion vorkommt in Verbindung mit einer Streufunktion. Ihr zweidimension al er Verlauf liefert daher in Form einer Integralgleichung die Information über die gesuchte dreidimensionale Dichteverteilung, sofern man für diese eine geeignete Symmetrieannahme trifft. In Erweiterung der auf Kugelsymmetrie beruhenden Arbeiten von SCHWARZSCHILD [1], MINNAERT [2], BAUMBACH [3] und V. D. HULST [4] soll das Problem hier rotationssymmetrisch auf verschiedenen heliogr. Breiten behandelt und dabei für jeden Polarisationsfall explizit gelöst werden unter Berücksichtigung anisotroper Streuung an den Elektronen. 2. Voraussetzungen und physikalische Grundlagen Wir treffen folgende Voraussetzungen: 1. Als einzige Streuzentren in der Korona sind nur freie Elektronen vorhanden (K-Korona) mit einer bezüglich der Sonnenachse rotationssymmetrischen Dichteverteilung. 2. Die sekundäre Streuung wird vernachlässigt. 3. Die Entfernung Korona-Beobachter wird als sehr gross angenommen im Vergleich zur Ausdehnung der Korona. 4. Die Beobachtungsrichtung steht senkrecht zur Sonnenachse. 5. Elektronendichte und Helligkeit verschwinden an einem genügend grossen Abstand 1, welcher als die obere Grenze der Korona betrachtet wird. Mit 1 und 3 kann für die Streuung von Licht an einem Elektron die Theorie des Hertzschen Oszillators in der Wellenzone verwendet werden (Thompsonstreuung). Nach Fig. 1 wlrd die von einem Oberflächenelement dF in A von der Sonne ausgehende Strahlung am Ort Q von einem Elektron auf dicse Art gestreut und gelangt dann auf ein Flächenelement dF' am Beobachtungsort P'. Die nur vom Winkel a gegen die Normale abhängige Intensität der Sonnenoberfläche hat die Form I (a) = Iof (a) = I0 (a+b cos a), (1) wobei Io die Intensität in Richtung der Normalen bedeutet und f(a) die Randverdunklung beschreibt [5]. Sie wird in die beiden senkrecht und parallel zur Ebene AQ P schwingenden Anteile Ii=12= 2 I (a) (2) Jahrgang 108 G. WIDMER. Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona 107 zerlegt. Die Thompsonstreuung an einem Elektron liefert dann für die beiden .am Ort P auf dF' fallenden Leistungen dLl = 2Jof(a)adwdw', dL 2 = 2Jof (a) adcodw'cos26 (3) e2 2 mit dem Streukoeffizienten a = m C2 und den Raumwinkelelementen dw bzw. dw', welche zu Einfalls- und Streurichtung gehören, die ihrerseits den Winkel einschliessen. Fig. l. Zur Ableitung der Glelchungen in Kap. I. 3. Differentialformeln Zur Erfassung der variablen Dichteverteilung der Elektronen errichten wir über dF' längs der Beobachtungsrichtung y eine zylindrische Säule (Sehstrahl), welche alle Elektronen enthält, die durch Streuung einen Beitrag an das Flächenelement dF' liefern. Sie wird in die Volumenelemente dF' dy eingeteilt mit je NdF' dy Elektronen, wenn N(y) die längs des Sehstrahles y variable Elektronendichte bedeutet. Die beiden linear polarisierten Anteile der Streustrahlung aus einem Volumenelement ergeben somit in P': dLl = z Io f ( cc)adw du/ N(y)dF'dy, (4) dL2 = Z 'of (a)oa du) dw'cos2iN(y)dF'dy. Wegen Voraussetzung 3 kann für verschiedene Orte Q innerhalb der Korona der Abstand QP' als konstant betrachtet und gleich dem Abstand SonnenzentrumBeobachter gesetzt werden, was auch für die dazugehörigen Raumwinkelelemente gilt. Die vom Zentrum der Sonnenscheibe direkt eingestrahlte Leistung beträgt dann d Lo= lodw'dF'. (5) 108 Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich 1963 Mit der auf das Zentrum bezogenen relativen Intensität 1= LILo, welche in Zukunft immer verwendet wird, erhalten wir die Differentialformeln: d Ji = z .f (a) cr N (y) dw dy , dJ2 = z.f (a)0-N(y)cos2.19'du,dy. (6) 4. Integralformeln Für die weitere Behandlung benützen wir entsprechend Vor. 3 und 4 ein rechtwinkliges Koordinatensystem xyz mit z als Sonnenachse und einer in die xz-Ebene projizierten Koronaaufnahme. Die mit der nachfolgenden Integration verbundene Lageänderung der Ebene AQ P bewirkt eine Änderung der Schwingungsrichtungen von dJi und dJ2. Aus diesem Grunde werden die bezüglich der Sonnenscheibe radiale und die dazugehörige tangentiale Richtung als feste Bezugsrichtungen r und t in P gewählt. Die Projektionen von dJi und dJ2 auf letztere ergeben mit ν als dem Winkel zwischen den Ebenen OQP und A Q P dJc = dJi cos2 ν+dJ2 sin2 ν, dJ,. = dJlsin2ν+dJ2cos2ν, (7) wenn berücksichtigt wird, dass die Projektion der Intensität quadratisch durchzuführen ist. Unter Verwendung von (6) erhält man dJc = z f (a)oN(y)(cos2 ν+sin2vcos2,5)dwdy, dJ,.= z f (a) a N (y)(sin2 ν +cos2 νcos2 dwdy. (7a) Für den festen Punkt Q ist vorerst die Integration über alle Raumwinkelelemente dw auszuführen, die innerhalb eines die Sonne einschliessenden Kegels mit dem Raumwinkel Q liegen: 12 (xyz) f d Jc = 2 uN(y)[ f f (a)(cos2ν+sin2νcos29)dw]dy, w 0 (8) S2 (xyz) f dJ,.= 2QN(y)[ff (a)(sin 2 v+cos2 νcos 2 9) dad dy. 0 w Die weitere Integration über dy kann aus Symmetriegründen mit Vor. 5 zweimal von 0 bis V 12 —x2 erstreckt werden. Sie führt auf den Beitrag aller Volumenelemente in einem Sehstrahl und somit auf die beobachtbaren, nur von x und z abhängigen Intensitäten in tangentialer und radialer Richtung: V12_xa jc(xz) _ ^ 0f N(xyz)Oc(xyz)dy, Jt (xz) = 0 2_xa Q f N(xyz)Φ,.(xyz)dy. (9) 0 Zur Abkürzung sind die Raumwinkelintegrale aus Gl. (8) mit Φ 1 und Φ,, bezeichnet worden. 5. Berechnung der Kernfunktionen Die ortsabhängigen Funktionen c und Or liefern einen Beitrag zu den Kernfunktionen in den endgültigen Integralgleichungen. Ihre Integration wird mit d w = sin e d 8 d e in eine solche über d8 von 0 bis 27r und in eine weitere über d e von Jahrgang 108 G. WIDMER. Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona 109 0 bis Eo zerlegt, wobei Eo den zum Raumwinkel Ω gehörenden ebenen Winkel bedeutet. Mit Hilfe der aus Fig. 1 ersichtlichen Beziehungen sin sin E sin ν = sine cos 0= cos y cos Ed-sin y sin E cos ^, cos y = (10) schreiben sich die Funktionen zunächst E 02 7r Φ 1 = f f (a) f(l—sin2isin2E)sin E d 8 dE , 0 o E 02 7r Or =ff (a) f (cos20+sin20'sin2E)sin E d5 de. o o Die Integration über d8 liefert: E0 = 7T f Y^. mit R = f (a)(l+cos2E)sinEd€, 7T f f =V (12) (a)(2-2cos2 e)sm Ede+ 7 2 7T f f a) (-1+3cos2 E)sin Ed ( (13) .x2+y2+z2. Für die Integration über dE verwenden wir das in Gl. (1) mitgeteilte Randverdunklungsgesetz, und mit den weiteren aus Fig. 1 abzulesenden Bcziehungen cos a = V 1—R2 sm2 E, cos E0 = V 1 —l/R2 , (14) in welchen der Sonnenradius gleich 1 gesetzt wird, erhalten die in (12) und (13) vorkommenden Integrale eine je durch ganzzahlige Parameter p und q bestimmte, sonst aber gemeinsame Form: eo (R) k(p,q,R) = f (a+b V 1 —R2 sin2 E) (p i gcos 2 E)sin ed€.(15) 0 Eine erste Substitution t= cos E führt mit h=V1-l/R 2 auf den Ausdruck: 1 I k(p,q,R) =1 a(p+g t2)dt+f bR Vt 2— h 2 (p+gt 2)dt, (16) dessen zweiter Anteil mit der weiteren Substitution t = Cos u in Ar Cos (1/h) (17) f bRh 2 Sin 2 u(p+qh 2 Cos 2 u)du Ar Cos (1) übergeht. Die nun ausführbare Integration liefert nach einiger Rechnung: (18) k (p , q, R) = pki(R)+gk2(R) mit ki(R) = a (l—Vl-l/R 2)+2 (1_R[l_1/R2] 2logR+1), (19) a 2 1c (R) = 3 (l— Vl-1/R2)+ 8 (1—R[l-l/R9 2 2log R+ 1 + R). 2 110 Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich 1963 Die gesuchten Funktionen Φ, und O r hangen nur von R und y ab und heissen schliesslich : ^t = 7r[kl(R)+k2 (R)] (20) = 7r [2 kl(R)-2k2(R)]+ R2 [—kl(R)+3k2 (R)]. Ir 6. Integralgleichungen Die Integralformeln (8) werden erst zu Integralgleichungen, wenn nun die in Vor. 1 mitgeteilte Bedingung der Rotationssymmetrie verwendet wird. Mit der neuen, dieser Symmetrie entsprechenden Variablen p = Vx2 +y 2 (21) geht N(xyz) auf jeder Höhe z über in Nz (p), und die Funktionen (R,y) werden zu z (p,x). Für tangential und radial polarisierten Anteil (Fall 1 und 2) heissen die Integralgleichungen dort (n. Gl. (9)): Jt(x)=a JN (P)0t(P,x)V p=x p2 x2 dp, J,•(x) pafN(P)Φ,•(P,x) ^p2 P x2 dp. (22) Die entsprechenden Gleichungen für die totale Intensität (Fall 3) Jt+,• = Jt --J,. (23) •t_,. = Jt—J,• (24) und für die Differenz (Fall 4) schreiben sich sofort als Jt+r = a p f N (P) q5 t+r ( 1 p=x bzw. Jt = a] P=x N (25) P,x) (P) O t (P, x) p 2-x2 P dp d p mit t ( _,. l/p2-x2 _ Ot —O,.. (26) Unter Verwendung von (20) und (21) ergibt sich mit den Abkürzungen Fi (p) = g l k l(P)+ h l k 2(p), F2(p) = g 2 k 1(0+ h 2 k 2( p ) (27) die allen vier Polarisationsfällen gemeinsame Form der Integralgleichung für die Elektronendichte der Korona: J(x) = a7 f N(P) [Vp 2x2 Fi(P) + P2+Z2 2 F2(P),d p. (28) Sie ist eine Volterra'sche Integralgleichung erster Art mit singulärem Kern, gültig für jede Höhe z, die je als konstanter Parameter auftritt in den Funktionen J, N, Fi und F2. Die in (27) eingeführten Parameter, welche die vier Polarisationsfälle beschreiben, sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt: Jahrgang 108 G. WIDMER. Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona Fall t r t+r t—r gl. hi g2 h2 (l) 1 1 0 0 (2) (3) 2 3 (4) —l —2 —1 3 —l —1 1 3 3 —3 111 (28 a) Die verschiedenen Gleichungen (28) reduzieren sich am Äquator (z = 0) auf den von V. D. HULST [4] verwendeten, auf einer Rechnung von MINNAERT [2] beruhenden kugelsymmetrischen Fall. Zu der ursprünglich von SCHWARZSCHILD [l] und später von BAUMBACH [3] ebenfalls bei Kugelsymmetrie, aber ohne Anisotropie der Streuung benützten Form gelangt man, wenn in unserer Gleichung ausserdem noch g1 8 = und h1= ga=h2=0 gesetzt werden. Neben dieser Verallgemeinerung unterscheidet sich die vorliegende Arbeit hauptsächlich durch die im folgenden Kapitel beschriebene Lösungsmethode von denjenigen der erwähnten Autoren. II. Analytische Lösung der Integralgleichungen 1. Anwendung von Volterra'schen Operatoren Ausser einem Satz über die Eindeutigkeit der Lösung von Gleichungen dcr Art .f (x) = f T (x, P) p (P) d p (29) ist bei KOWALEWSKI [6] eine auf VOLTERRA [7] zurückgehende Operatorenschreibwcisc zu finden (30) f (x) = T (x, P) p (P) wobei T(x, p) ein linearer Operator darstellt, welcher die Zuordnung von p)(p) zu f(x) vermittelt und T(x, p) die zur Integralgleichung gehörende Kernfunktion bedeutet. Zwei hintereinander ausgeführte gleichartige Operationen 0(u) = V (u,x) f (x) = V (u, x)T (x, p) p(p) (31) 0(u) = W (u,p)99(p) (32) sind einer einzigen äquivalent, wobei formal geschrieben werden kann: W (u, p) = V (u, x) T (x, p) . (33) Die zum neuen Operator W gehörendc Kernfunktion wlrd aus den beiden anderen durch die Beziehung W(u,p) =f V(u,x)T(x,p)dx (34) Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich 112 1963 gebildet. Die Integralgleichung (28) lautet nun in Operatorenform: — J (x) = P 1 (x, P) [N (P) P F1(P)]+ P 2 (x, P) [N(p) 22 F2 (P) Q7r Pl (x, p) = p mit V 2 1x 2 (35) und P 2 (p) = V p2— x2. Die Anwendung eines Operators S(u, x) x S (u, x) = Vx2—u2 mit auf Gl. (35) führt auf die neuen Operatoren S ( u , x) P i( x ,P) = Mi( u ,P) und S ( u , x) P 2(x ,p) = M2(u,P), (36) deren Kernfunktionen sich auf Grund der allgemeinen Relation J (P2—x2)2-1(x2—u2)D-lxdx =- 2 (p2—u2)V+4-1 N(p,g) (37) angeben lassen. ß(p,g) bedeutet die Euler'sche Betafunktion, welche mit der Gammafunktion durch r , = P (P,q) r(p) r(q) r(p+q) (38) verbunden ist. Dies liefert auf Gl. (36) angewendet: Mi( u ,P) =— , M2(u,P) =-2(p 2—u2) 2 , (39) und Gl. (28) wird zu einer Integralgleichung, in welcher die Singularität nicht mehr in Verbindung mit der unbekannten Funktion auftritt: r r l dx (40) [2 PFl(P)+ 2+Z2 F2 (P)(P2—u2)Jdp. 4 JV U U 2. Darstellung als Differentialgleichung Der Parameter u kann nun auf der rechten Seite der neuen Integralgleichung (40) durch differenzieren nach u vor das Integral gebracht werden: u J... =—N(u)2uFi(u) -2u J u (41) u Das Integral auf der linken Seite wird vorerst einer. partiellen Integration unterworfen: f J(x)Vx2x—u2 dx=J(l)Vl 2 —u 2 —fJ'(x)Vx 2 —u 2 dx; ^^ (42) Jahrgang 108 G. WIDMER. Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona 113 dabei verschwindet mit Vor. 5 der an der oberen Grenze entstehende Ausdruck J(1)1/ 1 2 —u 2 . Die Ableitung nach u ergibt dann: r r d C J ^x) x 2 dx = 2u J vx u it ^ 2 (x) Vx u 2 dx (43) Mit den Bezeichnungen = ?U c 77 2 und G(u) = —c ^ J erhalten wlr somit nach Anwendung der Operation ^ (x) dx '/ y x2—u2 2u du (44) auf Gl. (40) die parameter- freie Integralgleichung G (u) = N ( u) Fi(u)+$ N (P) P 2+ z2 F2(P) dp , (45) welche als Differentialgleichung erkannt wlrd und durch nochmaliges Differenzieren nach u sofort in einc solche übergeht: z2 F2 (u)• u2 G '(u) = [N(u)Fi(u)]'—N(u)^ (46) Mit den günstiger gewählten Grössen H(u) = N(u)Fi(u) (47) als unbekannte Funktion und mit u F2 (u) B(u) u2 +z2 Fl (u) schreibt sie sich in der Form: H' (u)—B(u)H(u)—G' (u) = 0. (48) (49) Dic dazugehörige Anfangsbedingung ergibt sich zusa mmen mit Vor. 5 unmittelbar aus Gl. (45) durch Einsetzen an der oberen Grenze u=l zu: H(l) = G(l) = 0. (50) 3. Lösung dcr Differentialgleichung Dcr unter «Variation der Konstanten» bckannte Ansatz führt auf die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichung (49) B(w)dwdv, H(u) =— f G' (v) 2f (51) wobci die Integrationskonstante uo als obere Grenze auftritt. Durch partielle Integration erhalten wir ein von der Ableitung G' freies Resultat, aus welchem in Verbindung mit (42) und (44) ersichtlich ist, dass die Integrationskonstante uo der ursprünglichen oberen Grenze 1 gleichzusetzen ist: Vierteljahrsschrift der NaturfoIschenden Gesellschaft in Zürich 114 H(u) = G(u)— B(v)e „ B(w)dw G(v)dv. 1963 (52) 11 Diese Lösung stellt wiederum eine Volterra'sche Integralgleichung dar und schreibt sich mit dem auf G(v) wirkenden Operator L(u,v) mit L(u,v) = B(v)e zf B(w)dw H (u) = G(u)—L (u, v)G(v). in der Form: (53) Sie erfüllt die parameterfreie Integralgleichung (45), wie man sich leicht überzeugen kann, durch Anwendung der Operatorenregel (34). Wenn nach (44) auch G(u) mit Hilfe der Operatorfunktion E (u, x) = Vx2 c ue (55) geschrieben wird, erhalten wlr ebenfalls eine Volterra'sche Integralgleichung, deren Operatoren nun auf die Ableitung J (x) wirken: H(u) = E(u,x)J'(x)—L(u,v)E(v,x)J'(x). (56) 4. Diskussion der Lösungcn Als Ausgangspunkt für die spätere numerische Behandlung schreiben wir Gl. (52) wieder in der Form: G(u) e t(4) (V) u N() = Pl (u) F1(u) B(v)e^G(v)dv mit v F2(v) B(v) = v2 z2 Fi(v), A (v) = J B(w)dw, G(u) (57) = —cl u V J (x) dx. V x2—u2 Sie stellt die Lösung dar für die Fälle 2 und 3, d. h. für die Bestimmung der Elektronendichte aus J,. oder Jt+,.. Für den Fall 1 (J1) reduziert sie sich wegen F2= 0 auf N(u) = G(u) , FI(u) (58) was dem Spezialfall der aufgelösten Abel'schen Integralgleichung entspricht, welcher formal von BAUMBACH [3] für die totale Intensität Jt+,. benützt wurde. F2 Fall 4 (J1_,.) ergibt mit = -1 die einfachere Auflösungsformel: ( N(u) F i(u) 1 + Fi (u) Vu2 v Fz2 Vv2+z2 G(V)dV. (59) Jahrgang 108 G. WIDMER. Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona 115 III. Numerische Behandlung 1. Auswahl der Methode Da die bis jetzt als analytische Funktion betrachtete Helligkeitsverteilung in Form diskreter Messpunkte vorliegt, ist eine numerische Behandlung des Problems unumgänglich, welche in Anbetracht des Aufwandes am besten mit einem Computer zu bewältigen ist. An die gewählte Methode muss die Forderung gestellt werden, dass sie neben minimalem Aufwand und bestmöglicher Genauigkeit universell anwendbar ist für jede Höhe und Polarisation verschiedener Koronaaufnahmen. Prinzipiell ist jedc der in Kap. II abgeleiteten Gleichungen zwischen J und N für eine direkte oder indirekte Berechnung von N geeignet. Die für den numerischen Prozess typischen Schwierigkeiten, näm li ch das Auftreten von Singularitäten und das Vorkommen der Ableitung einer emplrisch gegebenen Funktion, erscheinen bei den verschiedenen Gleichungen immer in irgend einer Form. Das Naheliegendste wäre eine geeignete Approximation des jeweiligen Helligkeitsverlaufes mit einer Summe analytischer Funktionen. Es wurden verschiedene Versuche in dieser Richtung unternommen. Sie haben sich aber in bezug auf Genauigkeit, Aufwand und gleichzeitige Verwendbarkeit für alle Kurven als ungünstig erwiesen (s. auch Bemerkung darüber in Kap. IV). Aus den gleichen Gründen musste auch die in solchen Fällen übliche Zerlegung einer Integralgleichung in ein System von endlich vielen linearen Gleichungen wieder fallen gelassen werden. Nach Prüfung solcher Möglichkeiten an den verschiedenen Gleichungen von Kap. II hat sich gezeigt, dass die explizite analytische Auflösungsformel (57) auch von der numerischen Seite her am einfachsten zu behandeln ist, und zwar durch eine direkte numerische Integration. 2. Umwandlung der analytischcn Formeln in numerische Vorschriften Die Behandlung von Gl. (57) verlangt neben der trivialen Berechnung gegebener Funktionen an jedem Punkt cine solche für die drei Integrale G(v), A(v) f B(v)ed(v) G(v)dv, und (60) deren Auswertung am besten mit der einfachen Trapezregel geschieht, sofern genügend Stützpunkte gewählt werden. Die genauere Simpson'sche Regel belastet das Problem unnötig durch die Forderung (mindestens teilweiser) Äquidistanz. Es ist dann auch ohne Komplikationen möglich, N an dcn gleichen Ste llen zu berechnen, wie sie durch die Helligkeitsverteilung vorgegeben werden. Einer vorherigen Bearbeitung bedarf lediglich der Ausdruck für G(u) (Gl. (44)), da das Auftreten der Ableitung einer empirisch gegebenen Funktion in Verbindung mit der Singularität an der Stelle x=u empfindliche Schwankungen crzeugen kann. Er wird deshalb in die beiden Anteile (u+du Gn (u) =— c r J u '/ V J (x) x2-u2 dx (61) 116 Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich G 2 (u) =—c und zerlegt. Die Integration von wegen J(1)=0: G2 dx J' (x) J ll +d 1963 (62) vx2—u2 Z6 erfolgt besser über die Variable dJ und lautet dann G2 (u) = J(u+d u) dJ J y x 2 (J)—u2 (' c (63) Eine Abschätzung zeigt, dass G1 , obschon nur aus einem einzigen Intervall d u herrührend, wegen des steilen Abfalles von J' und '/vx 2 1— u2 einen beträchtlichen Beitrag zum Ganzen liefern kann. Die übliche lineare Approximation in der Form u-I -d n Gi (u) =—c d JI 1 J u j/x2— u2 dx (64) hat sich denn auch als ungenügend erwiesen bei einer analytischen Kontrollrcchnung (s. Kap. III, 5). Stellt man hingegen im jeweiligen Intervall die Funktion J(x) in der Form (65) J(x) = ae- bx dar, wlrd dadurch der Veränderung von J besser Rcchnung getragen und Gi(u) schreibt sich als u +du ae^' Gi(u) = be u y x2 .u2 (66) dx. Es wlrd dann ae- linearisiert, d. h. auf die Form a+ßx gebracht, was wegen Gl. (65) einfach der linearen Interpolation von J(x) entspricht mit bx = Jl I J1 — J2 x2 —x1 (67) xl Jl—J2 (68) ß X2— X1' wenn die Indizes 1 und 2 die an Anfang und Ende dcs betr. Intervalles liegenden Werte bezeichnen. Die für die Ableitung massgebende Grösse b ergibt sich ebenfalls aus Gl. (65) zu log T. b = (69) x2—xl Damit wlrd Gl genauer approximiert in der Form u+d u +du u Gi (u) = be[ccj 1 U dx+ß j/ x 2 —ul 2V x x2— ZZ u2 dx - (70) Jahrgang 108 G. WIDMER. Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona 117 mit den analytisch auswertbaren Integralen u+du dx = log [(u+zlu)2+V(u+zJu)2—u21 1 Vx2—u2 U 2u (71) u +d u x dx = l^(u+®u)2— '/ V x2—u2 u2 , (72) was durch die Kontrollrechnung auch bestätigt wurde. Ausserdem hat man mit Rücksicht auf die weitere Integration den offensichtlichen Vorteil, dass jeweils nur zwei Stützpunkte benötigt werden. 3. Numerische Berechnung der Elektronendichte Mit den analytischen Umformungen des vorhergehenden Abschnittes sind die Grundlagen gegeben für eine Übersetzung der Formeln (57)—(59) in eine numerische Vorschrift. Das Integrationsgebiet wird in n (nicht notwendig äquidistante) Stützstellen eingèteilt, welche durch die Indizes k oder ν markiert werden. Die bis jetzt unterschiedenen Variablen x, p, u, v, w erhalten deshalb durchwegs die Bezeichnungen xk oder x,,. Dasselbe gilt auch für die zu berechnenden Grössen Nk und für die dazugehörigen Zwischenwerte, deren Bedeutung aus der folgenden Zerlegung ersichtlich ist. uu) e- 21( ")) G(u) B(v)ea(v)G(v)dv. N (u) _ (73) Fi( )Fi (u 5 JJ Nk Mk ek Qk Nach der zu verwendenden Trapezregel werden alle hier auftretenden Integrale von der Form n-1 durch Summen S k = 2 (fv+fv+i.) (xvF1—xv) (74) v=1c angenähert, wobei u und 1 den Stellen x k und x9z entsprechen. Dem obersten Index n wird der Wert S1z =0 zugeordnet. Die im ALGOL-Programm (Abschn. 6) unter «Berechnung der Elektronendichte» im einzelnen angegebenen Schritte führen auf dic Berechnung von Nk (in Anzahl Elektronen pro cm3) an den Stellen k= 1 bis n, wobei die folgenden Eingangswerte verwendet werden: 1. Stützstellen: x, für k=1... n, d. h. horizontale Abstände auf einer bestimmten Höhe z, in Elnheiten des Sonnenradius R0. 2. Helligkeiten: Jh an den Stellen xk für einen bestimmten Polarisationsfall in Einheiten der Zentralhelligkeit der Sonne. 118 Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gese ll schaft in Zürich 1963 3. Parameter: a, b z nach Randverdunklungsgesetz Gl. (1). Höhe über dem Äquator in Einheiten wie xk. 71 Anzahl der Werte für einen horizontalen Schnitt. = u Ro = I korrigierter Streukoeffizient mit 6 nach Gl. (3) und R 0 0,547 . 10- 14 cm 3 l Sonnenradius, damit man N als Anzahl/cm 3 erhält. g1, h 1 , g 2 , h 2je nach Polarisationsfall nach (28a). = '4. Numerische Berechnung des Polarisationsgrades Im Anschluss an die Berechnung von N aus JI+,. kann noch der Polarisationsgrad P JI_,. (75) JI-kr bestimmt werden, indem aus den bereits erhaltenen Werten N mit Hilfe der ursprünglichen Integralgleichung (28) zuerst JI _, • berechnet wird unter Verwendung der zu Fall 4 gehörenden Koeffizienten nach (28a). Der analytische Ausdruck für P(u) lautet dann: P(u) = J N (p) F(p)p [ / r1 +2•p 1 u mit F(p) V p2—u2 1 u2 21 p2+z2 d p = —kt(p)+3 k 2 (p)• (76) (77) Aus dem gleichen Grunde wie bei der numerischen Berechnung von N wlrd das Intervall von u bis u+d u für sich behandelt, innerhalb welchem N(p) F(p) p linear interpoliert wird. Im übrigen erfolgt die Rechnung auf die gleiche Art wie bei der schon durchgeführten von Nk (Trapezregel), wobei die dort gebildeten Ausdrücke zum Teil wieder benützt werden können. Nach der folgenden Zerlegung 1 f ... u+d u = f N(P)F (P)P ^p2 1 1 z S1 — N (p) F(p) —u2 dp P2 + 22 ^p 2 —u2 d p S2 p1/ 2 _ x2 f 1 ++ ^ f N(p)F(p)p (78) dp -vS3 wird auf das ALGOL-Programm (Abschn. 6) verwiesen, in welchem unter «Berechnung des Polarisationsgrades» die einzelnen Anweisungen enthalten sind 1. P k wird an den Stellen k=1 bis 11 berechnet unter Verwendung von Eingangswerten und Resultaten der vorangehenden Berechnung der Nk bei Fall 3. 1 Dort werden Si , Sz und Si mit der dynamischen Variablen S bezeichnet. Jahrgang 108 G. WIDMER. Besti mmung der Elektronendichte der Sonnenkorona 119 5. Analytische Kontrolle der numerischen Rechnungen Da die Bestimmung N aus J und auch deren Umkehrung nur auf numerischem Wege möglich ist, kann eine analytische Kontrolle der Genauigkeit — vor allem bedingt durch die Auswahl der Stützstellen — nicht ohne weiteres erfolgen. Dies ist auch dann nicht der Fall, wenn für N oder J ein analytischer Ansatz, z. B. in der Form 'P gemacht wlrd, weil die Ausdrücke zusammen mit den Kernfunktionen nicht integrierbar sind. Da es sich hier lediglich um die Prüfung der Methode, insbesondere um die günstigste Auswahl der Stützstellen bei gegebenem Helligkeitsabfall handelt, ist es nicht nötig, dabei die exakten Funktionswerte lci (p) und k2(p) zu benützen. Sie werden deshalb ersetzt durch die Funktionen ( k (p) = a bl 1 a b) 1 p_2_ 2 und Ic2 (p) = 3 + , 4 p2 ( +J 79 ) welche nur im Punkt p=1 bei z=0 mit ki (p) und k2(p) übereinstimmen, im übrigen aber nur ihren ungefähren Verlauf wiedergeben. Es ist dann auf einfache Art möglich — allerdings nur am Äquator — zu einer analytisch angenommenen Elektronendichte von der. Form N* (p) =P (in ganzzahlig) (80) für alle vier Polarisationsfälle den dazugehörigen Verlauf der Helligkeit anzugeben, sofern, im Gegensatz zum numerischen Prozess, die Integration bis naeh oo erstreckt wird. Die Integralgleichung (28) liefert unter diesen Bedingungen mit der Substitution p = x für den analytischen Helligkeitsverlaufe cos m J* (x) mit = (81) 1 d = air y [(gik (l)+h i k (l))Em,+(g2k (l)+h 2 0 (1))(Em—Em+2)] (82) wiz wobei Ein = ,f (cos (p)npdcp 0 1 3 5... 2,„ 1 für gerades in 2.4.6...2,„ 2.4.6...2m für ungerades in. 1 .3.5...2„, +1 7r 2 (83) Der dazugehörige Polarisationsgrad P* wird in diesem Falle konstant und ergibt mit (76) und (80): [31c2* (1)-0(1)]Em+2 (84) P* — (1)±4 (l)] (l)-3 14 ( 1 )1 Em +2 • 2 [ki Wird nach Gl. (80) eine willkürliche Verteilung von N* an einer bestimmten Folge 2 Im ALGOL-Programm werden die verschiedenen Funktionswerte k1 (p), k2 (p) bzw. kt (p), kl (l ) bzw. /cz (p) mit den dynamischen Varlablen K1 bzw. K2 bezeichnet. Die speziellen Werte kZ (l) erhalten dort die Bezeichnungen Kl1 bzw. K21. 120 Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich 1963 xk von Stützstellen vorgegeben und werden die daraus resultierenden analytischen Helligkeitswerte dann als Eingangsgrössen unserer numerischen Rechnung benützt — natürlich ebenfalls mit den abgeänderten Funktionen kl und k2 —, so stellen die auf diese Art berechneten numerischen Resultate Nk und P k im Vergleich mit den Zahlen Ng und P/, ein empirisches Mass für die Genauigkeit dar. In Kap. IV werden hiezu für verschiedene Fälle (Wahl von in und y) die relativen Fehler Nk = Nk /Ng und d Pk = Pk/P% berechnet. N/ wird dabei an den gleichen Stellen so gewählt, dass der Verlauf von J^^ einem in Wirklichkeit gemessenen im grossen und ganzen entspricht, damit das Fehlermass auch verbindlich wlrd für die nichtkontrollierbare Rechnung mit empirischen Daten. Hat sich damit bei z=0 ein tragbarer Fehler ergeben, so darf dieser in der Grössenordnung auch für Höhen z> 0 angenommen werden, um so mehr als dort alle auftretenden Funktionen schwächer abfallen. Die Möglichkeit dieser Kontrollrechnung ist unter «analytische Kontrolle» ebenfalls im ALGOL-Programm (Abschn. 6) eingebaut. Sie kann wahlweise ausgeführt werden unter Verwendung derselben Eingangswerte wie bei «Berechnung der Elektronendichte» mit Ausnahme der Helligkeiten , welche in diesem Falle nach Eingabe der zu wählenden Parameter y und in vorerst berechnet werden. Die konsequente Weiterführung dieses Gedankens könnte im Prinzip noch auf eine andere Lösungsmethode unseres eigentlichen Hauptproblemes führen. Dabei müssten in jedem Fall (auch bei z> 0) sowohl die Helligkeit J als auch die Kernfunktionen kl und k2 durch einen Ansatz von der Form cm/x"' approximiert werden. N wäre dann einfach durch einen analytischen Ausdruck von ähnlicher Form bestimmt. Die Hauptarbeit würde in der jeweiligen Bestimmung der Koeffizienten c," für die verschiedenen Funktionen bestehen, was mit der Durchführung vieler Integrationen und ausserdem mit der Auflösung von Gleichungssystemen verbunden wäre. Eine Vereinfachung würde dabei die Verwendung eines orthogonalen Funktionensystems (zu erhalten durch Orthogonalisierung der Folge 1/x ?") mit sich bringen. Im Vergleich zu der von uns gewählten Methode wird der hiezu benötigte Aufwand aber nicht geringer, abgesehen von den unkontrollierbaren Schwankungen, welche notwendigerweise bei jedem Approximationsprozess auftreten. 6. ALGOL-Programm und Organisation der Rechnung Die Rechenvorschriften wurden in einem für die ERMETH (Elektronische Rechenmaschine an der ETH [8], [9]) bestimmten allgemeinen Programm gespeichert in der Absicht, zukünftige und ältere Koronaaufnahmen mit beliebiger Verteilung der Messpunkte für jede Polarisation immer nach der gleichen Methode möglichst rasch zu verarbeiten. Das nachfolgende ALGOL-Programm [14] enthält sämtliche Informationen über die Rechnung und deren Organisation. Ausserdem erlaubt diese Darstellung eine direkte Durchführung derselben Rechnungen an denjenigen Instituten, welche einen Algol-Übersetzer besitzen. Zusammen mit den bereits erwähnten Daten wird noch ein ganzzahliger Parameter p mit den Werten 1 bis 4 eingegeben, der den automatischen Ablauf des gewünschten Polarisationsfalles bewirkt. Jahrgang 108 G. WIDMER. Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona 121 Die Rechnung läuft dann je nach Einstellung vor Beginn — als eigentliche Rechnung mit empirischen Daten oder als analytische Kontrollrechnung (choice (1)) mit einem vorgegebenen Ansatz. Dasselbe gilt für den Polarisationsgrad, welcher, ebenfalls wahlweise (choice (2), im Anschluss an die Elektronendichte noch berechnet werden kann. ALGOL- Programm 3 begin comment Es wird vorausgesetzt, dass die Grössen real a,b,SIGMAO,z,GAMMA,Em,Emplus2, n,m,p, integer array X,J,N,P,DELTAN,DELTAP [l:n] 1 beim Eintritt in diesen Block bereits deklariert sind, wobei den Eingabegrössen a,b,SIGMAO,z,GAMMA,Em,Emplus,n,m,p,X, J, bereits Zahlenwerte zugeordnet sind. Ferner wlrd vorausgesetzt, dass die beiden Prozeduren choice (l) und choice (2) die folgende Wirkung haben: choice(1) hat den Wert true, wenn der Wahlschalter z an der ERMETH eingeschaltet ist. Dasselbe gilt für choice (2) mit dem Wahlschalter zz; real cl,c2,g1,h1,g2,h2,K11,K21,d,PSTERN,BO,PHIO,A,THETA,Xm, NSTERN,LO,R3,R4,R,PHIl,K1,K2,Fl,Bl,W,G,M,A2,PSI,Q,F,S; k,NUE; integer array Y,X2,R2,DELTAN,DELTAP,L,DELTAX,DELTAJ [l:n]; cl:= SIGMAOx3.14159; c2:=l/(3.14159xcl); then if = 1 begin gl:=l; hl:=1; g2:=0; h2:=0; goto 2 end; if =2 then begin gl:=2; hl:=-2; g2:=-l; h2:=3; goto 2 end; ifp = 3 then begin gl:=3; hl:=-l; g2:=-l; h2:=3; goto 2 end; if = 4 then begin gl: =-1; hl : =3; g2:=l; h2:=-3; end; 2: if choice(1) then 3 Die in diesem Programm vorkommenden Namenpaare n,N; p,P; b0, BO sind als verschieden zu betrachten. 122 Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich 1963 begin comment Analytische Kontrolle der Elektronendichte; Kll : = a+b/2; K21: = a/3+b/4; d: =clx GAMMA x((gl xKll+hl xK21)xEm+ (g2 x K 11-+2 x K21) x (Em—Emplus2)); if choice (2) then begin comment Analytische Kontrolle der Polarisation; PSTERN: = (3 x K21-1(11) x Emplus2/ (2 x (KI l+K21) x Em+(K11-3 x K21) x Emplus 2) end end; 3: BO: =PH10:=A:= THETA: =O; N[n]:=Y[n]:=P[n]:=0; 4: for k : = n step —l until 1 do begin comment Berechnung der Elektronendichte; X2[k] : = X[k] x X[k] ; R2[k] : = X2[k]+z x z; R: = sqrt(R2[k]); if choice(1) then begin comment Analytische Kontrolle; Xm : = X[k] t m; J[k] : = d/(Xm x X[k]) ; NSTERN: = GAMMA/Xm; K1: = K11/X2[k]; K2:=K21/X2[k] end else begin = 0.5 x (R+l)/(R— 1) ; R3 : = l-l/R2[k]; R4: = sqrt(R3); Kl: = ax(l—R4)+ b/2x(l—RxR3xL0); K2:= a/3x(l—R4t3) +b/8 x (l—R x R3 t 3 x LO+ 1/R2[k]) L0: end; 6: 7: 8 : 9 : F1:=gl xKl+hl x K2; if p =l A p = 4 then goto 6; Bl: = BO; BO: = X[k] x (g2 x Kl +h2 x K2)/(R2[k] x Fl) if k = n then goto 14; DELTAX[k]: =X[k+1]—X[k]; DELTAJ[k]: =J[k]—J[k+l); for NUE: = n step —1 until k+ 1 do L[NUE]: = sqrt(X2[NUE]—X2[k]); W: = ln((X[k+1]+L[k+1])/X2[k]); G: = 2/DELTAX[k] x ln(J[k]/J[k+ l]) x (J[k] x W+ DELTAJ[k]/DELTAX[k] x (W—L[k+l]); for NUE: = k+ 1 step 1 until n-l do G: = G+DELTAJ[NUE] x (l/L[NUE]+ +1/L[NUE+l]); Jahrgang 108 G. WIDMER. Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona 10: 11: 123 G:=c2xG; M:=G/Fl; if p = 1 then N [k] : = M else begin 12: if p = 4 then begin BO: = —X[k]/R2[k] ; A2: = R end else begin A: = A+DELTAX[k] x (B0+B1); A2: = exp(A/2) end; 13: 14: PSI: = l/(A2 x Fl); PH11: = PHIO; PHIO:=BOxA2xG; THETA : =THETA+ DELTAX[k] x (PHI1 +PHIO); THETA : =THETA/2; Q: = PSI x THETA; N[k] : =M—Q; end; comment Analytische Kontrolle; if choice(1) then DELTAN[k] : = N[k]/NSTERN; 15: 16: 17: 18: 19: 20: 21: 22: 23: end if not choice(2) then goto 22; comment Berechnung des Polarisationsgrades; if k = n then goto 21; F:=—Kl+3xK2; Y[k]:=N[k]xFxX[k]; 5: = 2 x ((Y[k+l]—Y[k])/DELTAX[k] x (L[k+l]—X[k] x W)+ Y[k] x W); for NUE: = k+1 step 1 until n-1 do S : = S—DELTAX [NUE] x (Y[NUE]/L[NUE]+ Y[NUE+l]/L[NUE+1]); L[k] : = 0; for NUE: = k step 1 until n-1 do S: = S—DELTAX[NUE] x (Y[NUE] x L[NUE]/R2 [NUE]--Y[NUE+l] x L[NUE+I]/R2 [NUE+l]); P[k] : = cl x S/J[k] ; comment Analytische Kontrolle if choice(1) then DELTAP[k] : = P[k]/PSTERN; end k; comment Hier sind die Resultate der Rechnung array N,DELTAN,P,DELTAP [l:n] verfügbar; Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich 124 1963 IV. Ausgeführte Berechnungen N*(p) l. Kontrollrechnungen Die in Kap. III beschriebene analytische Kontrollrechnung wurde nach GI. (108) mit = 108 pmn für die drei Exponenten m= 3, 5 und 15 durchgeführt, um den Einfluss verschiedener Gradienten zu untersuchen. Die dabei verwendeten Stützstellen sind dieselben wie bei der im nächsten Abschnitt berechneten Korona von 1954 am Äquator. Tabelle I gibt Auskunft über die erhaltenen Resultate mit ihren Fehlern d N= N/N* und ZI P = P/P*. Deren Mittelwerte betragen in % ausgedrückt: Für m= 3: m= 5: m= 15: ® N= 2,8 % Z1P=5,l 0,5 % 7,5 8,3 % 27 (bei 33 Punkten) (bei 31 Punkten) 10-8 )0 7 104 10 IMAM =KU II EMT 10-11 0 20 Fig. 2. Vergleich von analytisch angenommenen Helligkeitsverteilungen mit Korona 1954 am Äquator. Abstand von 0 bis 1 linear, von 1 bis 20 logarithmisc. Tabelle d Resultate der analytischen Kontrollrechnung m=3 X J* N* P* 30,0.100 25,0 20,0 18,0 16,0 14,0 12,0 10,0 9,00 8,00 7,00 6,00 5,50 5,00 4,50 4,00 3,50 3,00 2,80 2,60 2,40 2,20 2,00 1,90 1,80 1,70 1,60 1,50 1,45 l,40 1,35 l,30 l,25 1,20 l,15 1,10 1,05 2.227.10-12 4.618 l.127.10-11 l.718 2.730 4.696 8.700 1.804.10-10 2.749 4.404 7.514 l.392.10-9 l.971 2.886 4.399 7.047 1.202.10-° 2.227 2.935 3.948 5.438 7.701 l.127.10-7 I.384 l.718 2.160 2.753 3.563 4.081 4.696 5.431 6.317 7.390 8.700 l.031.10-6 l.232 l.484 3.703.103 6.400 1.250.104 l.714 2.441 3.644 5.787 1.000.10° l.371 l.953 2.915 4.629 6.010 8.000 l.097.106 l.562 2.332 3.703 4.555 5.689 7.233 9.391 1.250.107 1.457 l.714 2.035 2.441 2.962 3.280 3.644. 4.064 4.551 5.120 5.787 6.575 7.513 8.638 1.016.10-1 ! N AN P 1.190.104 1.676 2.397 3.601 5.739 0.994.10° l.371 1.943 2.899 4.604 6.032 7.976 l.093.106 1.555 2.321 3.684 4.608 5.689 7.219 9.366 1.246.107 1.473 1.718 2.036 2.441 2.961 3.326 3.663 4.077 4.563 5.131 5.798 6.587 7.525 8.651 9.525.10-1 9.774 9.819 9.881 9.917 9.941 9.999 9.949 9.945 9.946 l.003 9.971 9.960 9.955 9.951 9.949 1.011 1.000 9.980 9.973 9.968 l.010.10° 1.002 l.000 l.000 9.996 1.014 1.005 l.003 1.002 l.002 1.002 l.001 l.001 1.001 9.322.10-2 l.021.10-1 l.071 1.109 1.115 l.086 1.085 1.096 1.107 l.077 l.071 l.074 l.082 1.096 l.126 l.080 1.066 l.062 1.062 l.083 1.060 l.052 l.049 1.049 1.070 l.052 1.045 l.042 l.041 l.040 l.040 AP 0.9167.10° l.004 l.054 1.091 l.096 l.068 l.067 1.078 l.089 l.059 l.053 1.056 l.064 l.077 1.107 l.062 l.048 l.044 l.044 1.065 1.043 1.035 l.032 1.031 1.052 l.035 l.028 l.025 l.023 l.023 l.022 M rn 8Z01 LZO'I LZ0'I LZO' I LZO'I 6Z0'1 Z£0'I 0170'1 Z901 0170'I 0170'I £1701 I50'I 080'I 17901 0901 Z901 LLO' I 9£1'I 0£I'I £011 980' I LLO' T 0801 L I I' 1 0£I'I 9011 0011 L£ 1 . 1 OLI'I ZZI'I 8L01 o0I'L00'I dV 8ZI'I 8ZI1 LZI'I al' I 8ZI'1 6ZI1 ££1'T ZbVI S9T'I Z17I'1 I17I'I 171711 175I'I 58 VI 89I1 £911 59I' I £811 L7Z'I 07Z'I I TZ1 Z611 Z81'1 581'i 9ZZ' I I17Z'I 171Z'I LOZ'I 87Z' I 178Z1 Z£Z'I £811 T-01'90T'I d 1001 ZO0'I Z001 ZOO' I ZO0'I Z001 Z001 17001 £101 I00'I I00'I 1001 ZOO'I 6001 Z001 I001 0001 000'1 8001 £101 8001 g00.1 £00'I 1001 17001 £101 LOO'I 1700'1 £001 'Mr I ZI0'I 900'T o0I'0001 T-01'656'6 o0I'OZO'I NV 058'L IZZ'9 Z8617 LZO17 178Z'£ OOL'Z 9£Z7 L98'I 085'I L0T'8T£'I L17S'6 ISO'L £0£'5 SL0'17 Z£ I'£ £1761 90I'95Z' 1 ZZ7'8 L58'S 69117 616I 901186'0 5£17'S 50Z'£ 5661 v0T'Z0£'1 966'S b90'£ 6691 o0I'TZ0'I 69017 7.,011L81 I175•6 OLZ'S TOT '06I'£ N 5=w 5£8'L 60Z'9 IL617 8I0'17 9LZ'£ £697 0£Z7 6S81 0951 L 01'91£'I 9£S•6 Z1707. Z6Z'S 8£0'17 17ZI'£ 01761 90 T'SSZ' I 9I17'8 OT8'S s OUST Ft' T-0I'L60'I £061 59L'6 6117'S 00Z'£ 9861 TOU98Z'I 6176'S T50•£ £69' I c0I'000'I 81017 90I.6581 9£5'6 Z6Z•S 17ZI'£ TOT '£ZO'I o0T'STT'17 *d *N L56•8 SLL'9 68VS OZ017 9171'£ 98177 £861 1765'I 16rI 9-0I'£SO'I 17S 1'L £L617 6Z5'£ I557 SL8'I L-0I.8S0'I I8Z'9 588•£ I617Z a-0I'9 17 91 i 0£5'9 0£67 6-0I'517b'I Z89' L 9££17 ZLS'Z oT-OT'OZO'T j ; 6LS17 8SZ7 ii-0I'OOZ'I OZ017 € 1 -0I'176S1 175 FL 6Z5'£ 2T-OI'SL8'T 91617 bT-OT'9179'I *f SO`T O1`I 5I`I OZ` I SZ`I 0£`1 S£`I 017`I S17`I OS`I 09`T OL`I 08`I 06`1 007 OZ7 0177 097 087 00'E OS`£ 00'17 OS`17 00`S OS`S 00'9 00'L 00'8 00'6 0`0I 0`ZI 0`17T 0'91 0`0I 0`0Z 0`5Z o0I'0`0£ X 080'I SLO'I OLO'1 L90'I 7901 £901 S901 LLO' I ZZI'I 8£I'1 SZI'I 811'I £Z VI 181'1 £LZ'I ££Z'I 50Z'1 10Z1 II£'I 0E9'1 £617'1 96E1 LZEI £8Z1 £ZE'I 0E91 £617'1 Z017'I 8017'! 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Es scheint nötig zu sein, dies auch auf die äusseren Gebiete zu übertragen. Zum Vergleich sind die drei analytischen Helligkeitskurven(^x 1+ ^) zusammen mit dem an der Korona 1954 gemessenen Verlauf (Äq.) in Fig. 2 dargestellt: Da vor allem ihre Steilheit für den Fehler verantwort lich ist und da die gemessene Kurve eher mit den Fällen m=3 und in= 5 zu vergleichen ist, rechtfertigt der dabei auftretende Fehler die Anwendbarkeit der Methode im nächsten Abschnitt. Die schlechte Übereinstimmung bei der Berechnung der Polarisation ist darauf zurückzuführen, dass im wesentlichen die gleiche Rechnung (unter Addition der Fehler) noch einmal rückwärts durchgeführt wird. Zur Verbesserung sollte es möglich sein, durch eine direkte analytische Bearbeitung der Ausgangsformel (28) mit günstigen Näherungen einen Ausdruck für den Polarisationsgrad zu finden unter Umgehung der jetzt verwendeten numerischen Werte von Nk. 2. Berechnungen an der Korona von 1954 Die von WALDMEIER [10, 11, 12] an der Minimumskorona von 1954 crstmals bis zu 30 Sonnenradien ausgeführten Helligkeitsmessungen für die totale Intensität 40. MIME ■ Lstommi !RENE.' kli \uni111111 0 1 1,4 2 5 ,04 70 20 Fig. 3. Isoelektronenbild der Korona von 1954. Abstand von 0 bis 1 linear, von 1 bis 20 logarithmisch. Tabelle II Resultate der BeIechnungen an der Korona von 1954 Z=0 J X 7.777.10-13 1.781.10 - 12 2.696 3.242 4.081 5.634 7.093 1.415.10 - 11 1.823 2.459 4.373 6.468 9.350 l.177.10 - 10 1.741 2.696 4.081 7.777 l.150.10-° l.781 2.823 4.686 8.527 1.232.10- 8 3.000.101 2.500 2.000 l.800 l.600 l.400 l.200 1.000 9.000.100 8.000 7.000 6.000 5.500 5.000 4.500 4.000 3.500 3.000 2.800 2.600 2.400 2.200 2.000 1.900 l.800 l.700 l.600 1.500 1.450 l.400 1.350 1.300 l.250 1.200 1.150 1.100 1.050 l.662 2.348 3.317 4.907 6.177 7.600 0.979.10- 7 l.232 1.701 2.295 3.242 4.795 7.093 Z=0,2 N 3.176.103 3.344 3.797 5.176 4.220 l.255.104 1.171 1.385 3.000 2.789 4.929 4.278 6.937 0.970.105 1.149 2.220 3.697 5.505 7.972 1.211.106 2.066 3.029 3.394 4.572 5.801 8.070 l.029.107 l.138 l.476 l.672 2.456 2.986 4.068 5.722 7.400 P J X N P 4.029.10 -1 4.778 4.770 6.040 6.229 5.863 6.457 6.272 6.453 6.241 6.194 6.356 6.204 6.394 6.800 6.761 6.722 6.627 6.531 6.569 6.267 5.957 5.700 5.405 5.367 5.111 4.861 4.644 4.370 4.118 3.757 3.342 2.823 7.672.10-13 1.755.10 -12 2.659 3.203 4.026 5.547 7.019. l.407.10-11 l.797 2.435 4.310 6.360 9.178 l.153.10 -10 1.641 2.510 3.648 6.768 1.036.10 -9 l.514 2.497 4.275 7.704 1.136.10-8 l.569 2.242 3.263 4.821 6.177 7.894 0.998.10-7 1.310 l.813 2.563 3.317 4.780 7.077 2.999.101 2.499 1.999 1.799 l.599 l.399 1.199 9.997.100 8.997 7.997 6.997 5.996 5.496 4.995 4.495 3.994 3.494 2.993 2.792 2.592 2.391 2.190 1.989 l.889 l.788 1.688 1.587 1.486 l.436 l.385 1.335 l.284 l.233 l.183 1.132 1.081 l.030 3.136.103 3.323 3.736 5.076 4.224 l.256.104 l.136 1.380 2.940 2.730 4.823 4.171 6.142 0.879.105 0.962 1.868 3.477 4.349 7.333 l.145.106 l.855 2.871 3.334 4.471 5.975 7.983 1.067.107 1.280 l.485 1.915 2.663 3.589 3.728 5.454 7.327 4.032.10 -1 4.770 4.780 6.067 6.228 5.860 6.447 6.256 6.439 6.227 6.087 6.234 6.049 6.241 6.760 6.693 6.690 6.697 6.563 6.590 6.317 6.014 5.759 5.460 5.402 5.161 4.925 4.669 4.420 4.145 3.815 3.328 2.815 £I8'Z SS£'£ SS8'£ £OZ't tOS't 89Ct tZ0'S L9Z'S 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WIDMER. Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona 137 wurden von ihm auch auf die K-Komponente reduziert. Die unserem Mode ll zugrunde liegende Rotationssymmetrie war bei dieser Korona besonders gut erfüllt und erlaubte es deshalb,' die gemittelten Werte in einem einzigen Quadranten zusammenzufassen. Da die vorliegende Berechnung auf horizontale Schnitte bei verschiedenen Höhen angewiesen ist, war es nötig, die in Winkelabständen von 10° gegebene radiale Helligkeitsverteilng durch Interpolation in eine horizontale umzuwandeln. Auf den in Tabelle III angegebenen 20 Höhen zi wurden zunächst die zu den vorliegenden Radien gehörenden horizontalen Abstände x hi numerisch ermittelt. Die zugeordneten Helligkeiten entstanden ebenfalls numerisch (nach Umrechnung in Einheiten des Sonnenzentrums) durch lineare Interpolation der auf demselben Kreisbogen liegenden benachbarten Werte. Zu diesem Zweck wurde ein zusätzliches Rechenprogramm für die ERMETH aufgestellt, welches die für das Hauptprogramm benötigten Eingangswerte samt Parameter automatisch in der richtigen Reihenfolge auf Lochkarten herausdruckt. Eine Wiederholung mit beliebig vorgegebenen Höhen z an anderen radialen Verteilungen ist deshalb auch in Zukunft möglich. Die nach dieser Methode auftretende unregelmässige Verteilung der Abstände auf grösseren Höhen entspricht ungefähr dem dort wechselnden Gradienten der Helligkeit. Elektronendichte und Polarisation der auf diese Art (mit a = 0,2 und b = 0,8 nach [5] bei der Wellenlänge A..4300 Å) durchgeführten automatischen Rechnung sind in Tabelle II für verschiedene Höhen z mitgeteilt. Für einen Schnitt am Äquator mit 37 Punkten benötigt der Computer 30 Min. Rechenzeit. Auf grösseren Höhen nimmt diese ungefähr quadratisch ab mit der Anzahl der Punkte, so dass für einen Polarisationsfall und für eine Korona im ganzen etwa 6-8 Stunden zu belegen sind. 3. Diskussion der Resultate Die ausgeführte Kontrollrechnung lässt sich natürlich mit der Hauptrechnung nur insofern vergleichen, als für die Eingangswerte eine «glatte» Kurve verwendet wird, womit aber wenigstens gezeigt ist, dass die Schwankungen der Ausgangswerte Nie nur zu einem sehr geringen Teil auf die von uns gewählte numerische Näherung zurückzuführen sind und dass diese als Ausgangspunkt für weitere Untersuchungen prinzipiell geeignet ist, sofern die anderen Schwankungsursachen noch etwas herabgedrückt werden können. Als solche ist vor allem die Messungenauigkeit in Verbindung mit dcm Auftreten der Ableitung zu nennen, welehe sich trotz des Integrationsprozesses im Resultat noch ziemlich auswirkt. Andererseits ist es durchaus denkbar, dass auch bei monotoner Abnahme der Helligkeit ihre Ableitung einer reellen Schwankung unterliegt (z. B. durch Schnitt mit Koronastrahlen), welche sich, innerhalb unseres rotationssymmetrischen Modelles, in ebensolchen Dichteschwankungen äussern muss. Die Abtrennung solcher reeller Schwankungen von Messfehlern ist schwierig durchzuführen, da in jedem Falle (auch bei numerischen Glättungsmethoden, welche in unseren Prozess einzubauen wären) eine gewisse Willkür vorhanden ist, die nur durch weitere physikalische Annahmen eingeschränkt werden könnte. Es wurde deshalb auf die Glättung der Eingangswerte verzichtet und eine solche erst im Schlussresultat (graphisch) vorgenommen, um nicht von vornherein eine mögliche physikalische Information zu unterdrücken oder zu verfälschen. Aus 138 Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich 1963 dem gleichen Grunde ist von der bereits erwähnten analytischen Darstellung der Eingangswerte abzusehen. Falls es sich als nötig erweist, die jetzt in diskreten Zahlen vor licgende Elektronendichte für weitere Berechnungen in analytischer Form zu haben, sollte dies erst nachträglich mit einer geeigneten Approximationsmethode geschehen. In Anbetracht der mannigfaltigen, zum grossen Teil unregelmässigen Koronaformen, innerhalb welcher die vorliegende eine Ausnahme bildet, ist es auch nicht sehr sinnvoll, dem Problem der Schwankungen eine allzugrosse Bedeutung beizumessen. Zur Orientierung über die räumliche Dichteverteilung wurde mit Hilfe der berechneten und ausgeglichenen Kurvenschar ein Iso-Elektronenbild hergestellt, welches einen Schnitt durch die Flächen gleicher Elektronendichte darstellt (Fig. 3). Die erste Kurve entspricht einer Dichte von 108 cm-3 . Die logarithmische Abnahme beträgt dann 0,2 bis zur 11. Kurve, die restlichen sind mit einer solchen von 0,25 eingezeichnet. In Übereinstimmung mit unseren Annahmen und mit der Mitteilung über die vier Quadranten sind die Linien senkrecht zu den Rändern aufgetragen worden, was auf der z-Achse teilweise als Hilfsmittel für die Extrapolation benützt wurde. Das Iso-Elektronenbild entspricht im inneren Teil dem von WALDMEIER [12] hergestellten Isophotenbild derselben Korona und zeigt dieselben typischen Merkmale, vor allem die Erhöhung des Gradienten beim Positionswinkel 60°. Bemerkenswert ist, dass sich nach diesem Bild am Pol eine höhere Elektronendichte ergibt als am Äquator (bei R= Ro). Dem äusseren Teil kann nur noch qualitativer Charakter zugesprochen werden, da sowohl rechnerische Gründe (Wahl grosser Intervalle) als auch messtechnische (Streulicht) das Resultat fragwürdig erscheinen lassen. Dasselbe gilt für den Polarisationsgrad P, dessen Verlauf am Äquator übereinstimmt mit dem von BAUMBACH [13] berechneten. Hauptanliegen dieser Arbeit war die Entwicklung eines rationellen mathematischen Apparates, der mit seinen verschiedenen Möglichkeiten in Zukunft für weitere Messungen verwendet werden soll, wobei in erster Linie an die Variation der Elektronendichte mit dem 11 jährigen Zyklus gedacht wird. Eine feinere Einteilung der Messpunkte ist dabei noch zu verantworten in Anbetracht der relativ kurzen Rechenzeit. Die hier noch nicht verwendeten Möglichkeiten der übrigen Polarisationsfälle können eventuell benützt werden für die Abtrennung der K-Korona, da, wenn eine solche richtig vorgenommen ist, bei verschiedenen Polarisationen lmmer dieselbe Elektronendichte herauskommen muss. Ich danke Herrn Prof. Dr. M. Waldmeier für seine Unterstützung und sein anhaltendes Interesse an dieser Arbeit sowie für das zur Verfügung gestellte Material der Korona 1954. Ebenso zu Dank verp flichtet bin ich den Herren Prof. Dr. E. Stiefel und Prof. Dr. H. Rutishauser für wertvolle Ratschläge und für die kostenlose Benützung der ERMETH. Herrn Dr. Th. Ginsburg danke ich für seine Assistenz bei der Arbeit am Computer. Jahrgang 108 G. WIDMER. Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona Literaturverzeichnis 1. SCHWARZSCHILD K.: Astr. Mitt. Gött. 13, 1 (1906). 2. MINNAERT M.: Z. Astrophysik 1, 209 (1930). 3. BAUMBACH S.: A.N. 263, 121 (1937). 4. HULSr v. d. H.: B.A.N. 11, 135 (1950). 5. WALDMEIER M.: Ergebnisse und Probleme der Sonnenforschung, Leipzig 1955. 6. KOWALEWSKI G.: Integralgleichungen, Berlin u. Leipzig 1930. 7. VOLTERRA V.: Drei Vorl. über Fortschr. d. math. Phys., Leipzig 1914. 8. Mitteilungen aus d. Inst. f. angew. Math. a. d. ETH, Zürich, Nr. l-3. 9. WALDBURGER H.: Gebrauchsanl. f. d. ERMETH, Inst. f. angew. Math. a. d. ETH. 10. WALDMEIER M.: Z. Astrophysik 41, 130 (1956). 11. WALDMEIER M.: Z. Astrophysik 46, 17 (1958). 12. WALDMEIER M.: Z. Astrophysik 53, 81 (1961). 13. BAUMRACH S.: A.N. 267, 273 (1938). 14. SCHWARZ H. 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