Zinssätze - Mathematics TU Graz

Zinssätze
Georg Wehowar
4. Dezember 2007
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen der Zinsrechnung
1.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Zinsintensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Tageberechnungskonventionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
3
4
2 Verschiedene Zinssätze
2.1 Schatzzinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 LIBOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Nullkuponzinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
6
3 Anleihen
3.1 Allgemeines . . .
3.2 Nullkuponanleihe
3.3 Coupon Bond . .
3.4 Optionen . . . . .
6
6
6
7
7
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4 Forward Rate Agreement
7
5 Forward Zinsen
8
Literatur
9
1
1.1
Grundlagen der Zinsrechnung
Allgemeines
Zinsen bezeichnen das Entgelt für ein über einen bestimmten Zeitraum zur Nutzung
überlassenes Kapital, das der Schuldner dem Gläubiger bezahlt. Dabei gibt es Zinsen auf
Geld- und Sachkapital. Der Geldmarktzins beschreibt den Zinssatz für Bargeldaufnahme
auf dem Geldmarkt. Beim Verkehr zwischen Kreditinstituten und Zentralbanken wird er
1
1 GRUNDLAGEN DER ZINSRECHNUNG
2
Leitzins genannt. Unter Kapitalmarktzins versteht man den Zinssatz für langfristige
Buchgeldkredite auf dem Kapitalmarkt. Für Zinsen auf Sachkapital lässt sich der Mietzins
als Beispiel anführen. Die Zinsen Zt hängen vom Kapital K, der Laufzeit t und dem Zinssatz bzw. Zinsfuß p ab. Als Zinsrate i bezeichnet man i = p/100. Es gilt die Formel für die
sogenannte einfache Verzinsung:
p
·t
Zt := K ·
100
Wenn man mit K0 das Anfangskapital und mit Kt das Kapital zum Zeitpunkt t bezeichnet,
ergibt sich aus Kt = K0 + Zt die Endwertformel der einfachen Zinsrechnung:
p
·t
Kt := K0 · 1 +
100
Daraus ergibt sich sofort die Barwertformel der einfachen Zinsrechnung:
K0 :=
Kt
p
·t
1 + 100
Angemerkt sei, dass eine Verzinsung jährlich (mit p.a. abgekürzt), halbjärlich, etc. sein
kann. Sind die Zinsperioden kleiner als ein Jahr, so spricht man von unterjähriger Verzinsung. Die Konversionsperiode bezeichnet den Zeitabschnitt, nachdem der Zins zum Kapital gutgeschrieben wird. Wenn Konversionsperiode und Zeiteinheit nicht übereinstimmen,
existieren effektive und nominelle Zinsrate. Wir betrachten nun einen jährlichen Zinssatz p, ein Kapital K0 und eine Anzahl von Jahren k mit (k = 1, ...n). Am Ende eines
jeden Jahres k wird ein Betrag rk hinzugerechnet. Es stellt sich nun die Frage, auf welchen
Wert K0 nach n Jahren angewachsen ist. Klarerweise gilt für ein Kk , welches das Kapital
nach k Jahren beschreibt:
p
· Kk−1
Kk = Kk−1 +
100 p Kk = Kk−1 · 1 +
100
Nun wird Kk durch eine Rekursion beschrieben, die sich zur Leibnizschen Zinseszinsformel
auflösen läßt:
p n
Kn = K0 · 1 +
100
Die Berechnung der Barwerts K0 aus dem Endwert Kt nennt man Abzinsen bzw. Diskontieren; die Berechnung von Kt aus Kn heißt Aufzinsen. Erwähnenswert ist noch der Fall
der stetigen Verzinsung. Wenn man 1/m als die Länge der Zinsperioden bezeichnet,
ergibt sich folgendes [8]:
p m·n
p
100
Kn = K0 · lim 1 +
= K0 · e 100 ·n
m→∞
m
Hier wollen wir auch den Effektivzinssatz ief f definieren:
m
i
ief f := 1 +
−1
m
1 GRUNDLAGEN DER ZINSRECHNUNG
1.2
3
Zinsintensität
Zuerst wollen wir eine Gegenüberstellung der Zinsen betrachten, die das selbe Kapital K(t)
im Durchschnitt je Kapitaleinheit und je Zinseinheit in einem bestimmten Zeitintervall
(t, t + ∆t) produziert. [15] Hierbei kommt es auf die Art der Verzinsung an. Im Fall der
einfachen Verzinsung sind die durchschnittlichen Zinsen unabhängig vom Zeitintervall ∆t.
Im Allgemeinen muss das aber nicht zutreffen. Mit der Zinsintesität ρ(t) bezeichnet man
einen Maßstab für die Intesität, mit der das Kapital im Zeitpunkt t Zinsen abwirft. Für
die einfache Verzinsung gilt klarerweise [1] :
ρ(t) =
i
1+i·t
Für folgende Formel muss man die Differenzierbarkeit der Funktion K(t) vorraussetzen,
was aber ohnedies sinnvoll ist. Durch den Grenzübergang der Länge ∆t des Intervalls gegen
0 bekommt man eben diese Zinsintesität in einem Punkt. [3]
K(t + ∆t) − K(t)
∆t→0
∆t · K(t)
K(t + ∆t) − K(t)
1
· lim
=
K(t) ∆t→0
∆t
1
∂
=
· K(t) und weiter gilt wegen der Kettenregel:
K(t) ∂t
∂(ln(K(t)))
=
∂t
ρ(t) :=
lim
durch Integrieren über ρ(t) ergibt sich dann folgendes:
Z t
Z t
∂
ρ(τ )dτ =
(ln(K(τ )))dτ
0
0 ∂τ
Z t 0
K (τ )
=
dτ
0 K(τ )
und mit der Substituion K(τ ) := ξ erhält man dτ = Kdξ
0 (τ ) und durch einsetzen:
Z K(t) 0
Z K(t)
K (τ ) dξ
dξ
=
0
ξ K (τ )
K(0)
K(0) ξ
= ln(K(t)) − ln(K(0))
K(t)
= ln
K(0)
daraus folgt, dass man K(t) aus vorgegebener Zinsintensität berechnen kann:
Rt
K(t) = K(0) · e
0
ρ(τ )dτ
2 VERSCHIEDENE ZINSSÄTZE
1.3
4
Tageberechnungskonventionen
Für die Berechnung der Differenz |t0 − t1 | =: t zwischen den beiden Zeitpunkten t0 und
t1 existieren verschiedene Konventionen. Folgende gängige Berechnungsmethoden der Zeitdifferenz existieren (es gibt noch mehr): [7]
Bezeichnungen
Verwendungen
Act.
entspricht klarerweise der tatsächlichen Anzahl der Tage
Act.
Act.
in den meisten EU-Staaten und den USA üblich
360
Act.
in Großbritannien und Hongkong üblich
365
Act. steht hierbei für actual, d.h. die tatsächliche Anzahl der Tage in diesem Zeitintervall.
Dies ergibt sich daraus, dass das Bankenjahr in manchen Ländern 360 Tage und in einigen
365 Tage hat. Nun wollen wir die Umrechnung von einem Zinssatz is aus stetiger Verzinsung in einen Zinssatz ij in jährlicher Verzinsung betrachten. Bei einfacher, jährlicher
Verzinsung gilt:
Kt = K0 · (1 + ij · t)
Kt
K0 =
(1 + ij · t)
und bei stetiger Verzinsung:
Kt = K0 · eis ·t
Kt
K0 = is ·t
e
durch Gleichsetzen von K0 folgt:
Kt
Kt
= is ·t
(1 + ij · t)
e
(1 + ij · t) = eis ·t
Daher kann man stetigen Zinssatz und jährlichen Zinssatz so umrechnen:
ij = eis − 1
is = ln (1 + ij )
und der jährliche Effektivzinssatz ist:
ief f = eis − 1
2
2.1
Verschiedene Zinssätze
Schatzzinsen
Man unterscheidet zwischen Bundesanleihen (mehr dazu im Kapitel Anleihen) und Bundesschätzen. Der Emittent dieser Wertpapiere ist in beiden Fällen die Republik Österreich.
2 VERSCHIEDENE ZINSSÄTZE
5
Der wichtigste Unterschied besteht jedoch darin, dass Bundesschätze nicht über Börse,
Banken oder Broker, sondern ausschließlich über das Internet gehandelt werden. Dadurch
entfallen Provisonen und Depotgebühren. Außerdem werden Bundesschätze nur an Privatpersonen mit Wohnsitz in der Europäischen Union verkauft. Die Zinsberechnung erfolgt
auf Basis der Anzahl der tatsächlichen Tage eines Monats (Act./360). Bundesschätze gibt
es mit Laufzeiten von 1, 3, 6, 12 Monaten bzw. 2, 5 oder 10 Jahren. Auszahlungen vor
dem Ende der Laufzeit sind zwar möglich, jedoch werden 0, 05% pro Monat der noch offenen Laufzeit vom Zinssatz der ursprünglich gewählten Laufzeit abgezogen. Die Zinssätze
(Schatzzinsen oder treasury rates) werden täglich um 11:30 Uhr CET online bekanntgegeben. Die Höhe der Zinsen hängt von der Länge der Laufzeit ab. [13]
2.2
LIBOR
London Interbank Offered Rate (kurz LIBOR) ist der seit 1984 bestehende Referenzzinssatz der British Bankers’ Association (BBA). Der BBA gehören unter anderem die
Deutsche Bank AG, die Credit Suisse und die Bank of China an. Aufgrund eben dieser
Beteiligung zahlreicher international bedeutender Banken hat sich der LIBOR zu einem
wichtigen Referenzzinssatz entwickelt. Er wird täglich um 11:00 Uhr GMT bekanntgegeben.
Der BBA LIBOR wird für Euro (EUR) wie folgt berechnet:
Z=K·
L actual
·
100
360
was auf der Formel für die einfache Verzinsung beruht. Hierbei sind:
Z
L
K
actual
...
...
...
...
Habenzinsen
LIBOR-Zinssatz
Kapital
tatsächliche Anzahl der Tage im Veranlagungszeitraum
Beachten muss man aber, dass in Großbritannien das Bankenjahr üblicherweise 365 Tage
hat und nicht wie in den meisten europäischen Ländern nur 360. Da der LIBOR jedoch
oft in Pfund Sterling (GBP) angegeben wird, muss man, wenn dies der Fall ist, klarerweise
in der Formel 360 durch 365 ersetzen. Es ist auch die exakte Anzahl der Tage (actual)
wichtig, da in der Zeit der Veranlagung z.B. drei Monate nicht immer 90 Tage haben,
sondern manchmal auch 89 oder 91. [2]
Ähnlich dem LIBOR ist der EURIBOR (Euro Interbank Offered Rate). Er ist ein für
Termingelder in EUR ermittelter Zwischenbanken-Zinssatz. Dabei wird von den EURIBOR
Panel-Banken zur Berechnung des EURIBOR die arithmetische Durchschnittszinsrate der
Sätze, zu denen jede dieser Banken Kredite anbietet, gebildet. Diese wird täglich um 11:00
Uhr CET bekannt gegeben. [10]
3 ANLEIHEN
2.3
6
Nullkuponzinsen
Nullkuponzinssätze (auch: Zero Rates) berücksichtigen den Zinseszinseffekt bei mehrjährigen
Geldaufnahmen oder -anlagen. Sie schließen Zinszahlungen innerhalb eines Zeitintevalls generell aus, sodass es nur noch zwei Zahlungszeitpunkte gibt, am Beginn und am Ende der
Laufzeit.
3
Anleihen
3.1
Allgemeines
Eine Anleihe (auch: Bond) ist ein Wertpapier, das der langfristigen Kreditfinanzierung
dient. Die Anleihengläubiger haben das Recht auf Rückzahlung des Anleihebetrages sowie
auf eine festgelegte Verzinsung. Im Gegensatz zur Aktie erhält der Käufer keinen Anteil
am Eigenbesitz des Verkäufers. Es gibt fix verzinste und variabel verzinste Anleihen. Bei
letzteren besteht der Vorteil für den Käufer hauptsächlich darin, dass der Kurs über den
Nennwert steigen kann. Im Börsenhandel stellt sich die Frage nach dem Verhältnis zwischen
dem Nennwert K und dem durch Angebot und Nachfrage bestimmten tatsächlichen Preis
K̃ eines Wertpapiers. Dieses, in Prozent des Nennwerts ausgedrückt, ist der Kurs C [14]:
C=
K̃ · 100
K
Mit Emissionsvolumen bezeichnet man den Gesamtbetrag der zur Zeichnung aufliegenden Anleihe. Der Emittent ist der Herausgeber einer Anleihe. Dieser kann sein:
• ein Staat (z.B. österreichische Bundesanleihe)
• andere öffentliche Stellen (z.B. Gemeinden, Bundesländer)
• Kreditinstitute
• Unternehmen
wobei in Österreich Anleihen meist von öffentlicher Hand oder von Banken herausgegeben
werden. Anleihen können, aber müssen nicht, pari (d.h. Nennwert und Kurs identisch)
herausgegeben werden. In Österreich sind Anleihen kapitalertragssteuerpflichtig; diese
beträgt 25% der Zinsen. [5]
3.2
Nullkuponanleihe
Die Nullkuponanleihe bzw. Zero-Coupon Bond hat keine jährlichen Zinszahlungen. Der
Anleger erhält die Zinsen erst am Ende der Laufzeit zusammen mit seinem Kapital zurück.
Nullkuponanleihen können vom Anleger jederzeit außerbörslich oder an der Börse verkauft werden. Die Zinsen und Zinseszinsen sind im Kurs dieses Wertpapieres enthalten
und müssen nicht zusätzlich abgegolten werden. [5]
4 FORWARD RATE AGREEMENT
3.3
7
Coupon Bond
Ein Coupon Bond (auch: Kupon Bond oder Inhaberschuldverschreibung) ist eine Anleihe mit halbjährlichen (manchmal auch jährlichen) Kuponzahlungen. Der Unterschied zur
Nullkuponanleihe sind eben gerade diese Kuponzahlungen vor dem Fälligkeitsdatum. Ein
Kupon Bond wird durch
• Zinstermine T1 < T2 < . . . < Tn mit Tn als Fälligkeit der Anleihe,
• eine Folge aus festegesetzten (bei fix verzinster Anleihe) oder vom aktuellen Marktzins
abhängigen Zinssätzen (Coupons) c1 < c2 < . . . < cn
• und einen Nennwert N
charakterisiert. Der Besitzer der Anleihe erhält ci zu jedem Zeitpunkt Ti mit i = 1, . . . , n.
Daraus ergibt sich, wenn man B(t, T ) als den Preis eines Bonds bezeichnet:
B c (t, T ) = B(t, Tn ) +
n
X
ci · B(t, Ti )
i=1
wobei Ti und ci wie oben definiert und B c (t, T ) den Preis des Coupon Bonds beschreibt.
[3] [6]
3.4
Optionen
Allgemein unterscheidet man zwei Arten von Optionen: Eine Call-Option ist eine vertragliche Vereinbarung zwischen Käufer und Verkäufer, ein Produkt oder eine Leistung
zu einem vorher bestimmten Preis zu kaufen; eine Put-Option zu verkaufen. Solche Optionen können auf verschiedene Basiswerte lauten: Aktien, Devisen, Zinsvereinbarungen,
Rohstoffe, Anleihen, etc. . Hierbei trägt der Verkäufer gegen eine Prämie die Verpflichtung,
diese Vereinbarung zu erfüllen, wenn der Käufer die Option ausnutzt. [11]
4
Forward Rate Agreement
Ein Termingeschäft, auch genannt forward contract (für ein außerbörsliches) oder future
contract (für ein börsengehandeltes), ist ein Geschäft zu einem in der Zukunft liegenden
Zeitpunkt und zu voher festgesetzten Konditionen. Das Terminsatzgeschäft bzw. Forward Rate Agreement (FRA) ist ein solches nicht standardisiertes, nicht börsengängiges
Termingeschäft über zukünftige Ausleihungen zu einem voher festgesetzten Referenzzinssatz. Einfach ausgedrückt, handelt es sich um eine fix verzinste Anleihe, die auf einen
bestimmten Termin verkauft wird. Zurhilfe genommen werden hierbei Referenzzinssätze
wie z.B. LIBOR oder EURIBOR. Beim internationalen FRA-Handel werden meist die Bedingungen der British Bankers’ Association for Forward Rate Agreements verwendet.
Bei einem FRA werden Kapitalbetrag, Laufzeit, Ausgleichszahltag und der risikolose FRAZinssatz vorher vertraglich festgelegt. Der Ausgleichszahltag ist ein in der Zukunft liegender
5 FORWARD ZINSEN
8
Zeitpunkt, an dem der dann aktuelle Referenzzinssatz zur Berechnung hergenommen wird.
Weiters wird eine Ausgleichszahlung A vereinbart, die man wie folgt berechnet:
A=
N ...
iref ...
if ...
t ...
N · (iref − if ) · t
1 + iref · t
Nominalbetrag
die am Ausgleichszahltag aktuelle Referenzzinsrate
Forward Rate (die im FRA vereinbarte Zinsrate)
Absicherungszeitraum (d.h. Laufzeit)
Für diese Ausgleichszahlung hat der Verkäufer des FRA aufzukommen. Nota bene: Diese
kann auch negativ sein, wobei dann der Käufer zahlen muss. Ein FRA zur Kreditaufnahme
auf Termin ist also eine Absicherung gegen steigende Zinsen. [9] [4]
5
Forward Zinsen
Als Forward Zinsen (auch: Terminzinsen, forward rate) bezeichnet man den zu einem
Zeitpunkt gehandelten Zinssatz für eine Zeitspanne [T, S] in der Zukunft. In diesem Abschnitt wollen wir mit B(t, T ) den Preis eines Bonds zum Nennwert N bezeichnen, also gilt
B(T, T ) = N . Es gelte klarerweise t < T , das heißt der Zeitpunkt T liege in der Zukunft.
Als (diskrete) Forward Rate für den Zeitraum [T, S] zur Zeit t definieren wir:
F (t, T, S) :=
1
B(t, T )
·(
− 1)
S − T B(t, S)
und als (stetige) Forward Rate für den Zeitraum [T, S] zur Zeit t bezeichnen wir:
R(t, T, S) :=
ln(B(t, S)) − ln(B(t, T ))
S−T
daraus folgt für die momentane Forward Rate:
f (t, T ) := lim R(t, T, S) =
S→T
∂(ln(B(t, T )))
∂T
Letztendlich gilt also (Herleitung fast analog zur Zinsintensität mit B(t, T ) anstelle von
K(t)):
Z T
B(t, T ) = B(T, T ) · exp −
f (t, τ )dτ
t
Dadurch haben wir einen Zusammenhang zwischen Forward Rate und Preis einer Anleihe
erhalten. [12] [3]
LITERATUR
9
Literatur
[1] Hansjörg Albrecher. Finanz- und Versicherungsmathematik 1. Skriptum, TU Graz,
2006.
[2] British Bankers’ Association. Glossary. http://www.bba.org.uk, 2007.
[3] Damir Filipović. Interest Rate Models. Skriptum, Universität München, 2006.
[4] Markus Fulmek. Finanzmathematik. Skriptum, Universität Wien, 2005.
[5] Adolf Hernus. Forderungswertpapiere. Steiermärkische Sparkasse, Graz, 2004.
[6] Jan Kallsen. Einführung in die zeitdiskrete Finanzmathematik.
München, 2006.
Skriptum, TU
[7] Jörg Lemm. Vorlesung Finanzmathematik. Skriptum, Universität Münster, 2007.
[8] Bernd Luderer. Starthilfe Finanzmathematik. Teubner, Stuttgart Leipzig Wiesbaden,
2.Auflage, 2003.
[9] Bernd Luderer. Mathematik des Investmentbankings. Skriptum, TU Chemnitz, 2006.
[10] Oesterreichische Nationalbank. Euribor. http://www.oenb.at/de, 2007.
[11] Alois Obermair. Wolfgang Sachsenhofer. Instrumente der Kurs- und Zinssicherung
im Außenhandelsgeschäft. Skriptum, Universität Linz, 2002.
[12] Thorsten Schmidt. Zinsstrukturmodelle. Skriptum, Universität Leipzig, 2005.
[13] Österreichische Bundesfinanzierungsagentur. http://www.bundesschatz.at/main/start.html,
2007.
[14] Anton Timpe. Einführung in die Finanz- und Wirtschaftssmathematik. Springer,
Berlin, 1934.
[15] Karl-Heinz Wolff. Versicherungsmathematik. Springer, Wien, 1970.