Escoamento Estacionário - Tanques

IF-USP
Mecânica dos Fluidos
2o Semestre de 2016
Escoamento Estacionário - Tanques
Exercı́cio 1. Certo dia, um jovem fı́sico triste após uma prova foi a um restaurante de fast
food, para comer algo e tentar se alegrar um pouco. Ao chegar lá, observou as promoções do
dia e notou que o combo do lanche McFlu estava barato. Ele pediu e veio além do lanche,
um copo de suco e uma porção de batata frita. Conforme ele recebeu o lanche e sentou-se
na mesa percebeu que havia um pequeno furo na parte lateral do copo, rente ao fundo. Ele
precisava pedir um novo copo para não perder o precioso lı́quido.
Dado que era um copo cilı́ndrico e a altura original do suco era de h0 , o raio do copo era
R, o furo era circular de raio a, gravidade g e o suco como um fluido incompressı́vel e
perfeito.
Figure 1: Esquematização do copo.
1. Encontre a velocidade de escape ν do fluido pelo furo e a variação de volume
função de ν.
dV
dt
em
2. Encontre a velocidade ω com o qual o volume se esvai como uma derivada de h(t) e
em função de ω. (Não é a velocidade de escape é a velocidade com que o
escreva dV
dt
topo do suco vai descendo.)
3. Resolva a equação diferencial e compute h(t).
4. Usando os resultados anteriores, calcule o tempo T para que o suco escorra todo pelo
furo.
5. Calcule quanto tempo o fı́sico tem para ir pedir outro copo, sendo que ele quer evitar
menos de 10% de desperdı́cio do lı́quido, sendo R = 3cm, a = 0, 1mm, h0 = 15cm e
g = 10m/s2 .
6. É visualmente claro que dh
< 0. Caso tenha utilizado um modelo de escoamento
dt
estacionário, discuta o porquê.
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Exercı́cio 2. Após todo o drama vivido com o copo danificado o jovem fı́sico conseguiu
trocá-lo e comer seu valioso lanche. Ao final percebeu que suas mãos estavam sujas devido
ao óleo excessivo do lanche e ao suco que acabara vazando e entrando em contato com seus
dedos. Então ele foi a pia do banheiro lavá-las. Após lavar em água abundante ele notou que
ficava uma quantidade razoável de água na pia que descia vagarosamente. Ele ficou pensando
”Será que o cano está obstruı́do?”. Para resolver essa inquietação interna ele imaginou dois
modelos fı́sicos para a situação.
Figure 2: (a) tanque esférico sem cano acoplado ao ralo; (b) Pia com o cano desobstruı́do
de tamanho y; (c) com o cano obstruı́do num ponto de distância y do ralo.
A pia é semiesférica de raio R, o cano é cilı́ndrico de raio a e a altura inicial da água em
relação ao ralo é h0 . Considere o fluido como ideal e incompressı́vel. Analise a situação
após a torneira ter sido fechada e considere o escoamento estacionário.
1. Considerando o caso (b), no espı́rito do exercı́cio anterior, pela conservação de massa
escreva a equação diferencial que caracteriza a função da altura do nı́vel de água na
pia. (Dica: Monte com carinho o elemento diferencial do volume.)
2. No caso (b) ainda, integre a equação diferencial obtida em 1 e considere que a pia está
totalmente cheia (h0 = R). Contemple como esse cano extra de tamanho y bagunça
um pouco a equação, qual situação corresponderia a y = 0? (Não se preocupe em isolar
h(t))
3. (Dados: h0 = R = 30cm, a = 1cm, g = 10m/s2 ) Calcule o tempo necessário para
esvaziar a pia nos casos de y = 0cm e y = 10cm.
Pensando no caso (c), considere a obstrução como se mantivéssemos um cilindro,
apenas com diminuição de raio. Basicamente o sistema torna-se a pia e em sequência
um cilindro de raio a, terminando num ”furo” de raio b no centro do cilindro.
4. Para o item (c), encontre a nova velocidade de escape após a obstrução em função de
h(t) e y.
5. Monte a equação diferencial e a integre, aproveite os resultados anteriores.
6. Encontre o tempo para esvaziar totalmente a pia nesse sistema e compare com os
resultados anteriores. (Dados: R = 30cm, a = 1cm, g = 10m/s2 , y = 10cm, b =
0,5cm)
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