Übungsblatt 10

Prof. Dr. M. Ohlberger, Dipl.-Math. Christian Himpe
SoSe 2012
Übungen zur Vorlesung Numerische Analysis
Übungsblatt 10 , Abgabe: Do, 21.06.2012, 10.00 Uhr
Aufgabe 1: (Zentrale Differenzen)
(4 Punkte)
Diskretisieren Sie das AWP y 00 + y = x, y(0) = y 0 (0) = 0 mit exakter Lösung ỹ = x − sin(x) auf einem
1
äquidistanten Gitter Ih ⊂ [0, 1], h = m
, m ∈ N, indem Sie y 00 mit zentralen Differenzen diskretisieren:
y 00 (x) ≈
y(x + 2h) − 2y(x + h) + y(x)
.
h2
j
Zeigen Sie, dass uj+2 − 2uj+1 + (1 + h2 )uj = jh3 für j = 0, . . . , m − 2, uj ≈ y( m
) gilt und, dass das
geschilderte Verfahren mit Startwerten u0 = u1 = 0 als explizites Euler Verfahren, angewendet auf das
AWP
y10 = y2 ,
y1 (0) = 0
y20
y2 (0) = 0,
= x − y1 ,
gedeutet werden kann.
Aufgabe 2: (Explizite Runge-Kutta Verfahren)
(4 Punkte)
Gegeben sei die Schar von linearen AWPen y 0 (x) = λy(x), y(0) = y0 mit λ < 0, x ∈ I = [0, 1]. Seien
(xi , ui )i=0,...,n−1 mit u0 = y0 durch ein explizites Runge-Kutta Verfahren mit m ≥ 1 Stufen auf einem
äquidistanten Gitter Ih gegeben. Zeigen Sie, dass es ein Polynom P höchstens m−ten Grades gibt mit
ui = (P (λh))i u0 .
Bestimmen Sie das Polynom P für das verbesserte Euler Verfahren und für das klassische Runge-Kutta
Verfahren und vergleichen Sie es jeweils mit der Taylorentwicklung in y0 für die exakte Lösung des AWPs.
Aufgabe 3: (Implizite Runge-Kutta Verfahren)
(4 Punkte)
Gegeben sei die Schar von linearen AWPen y 0 (x) = λy(x), y(0) = y0 mit λ < 0, x ∈ I = [0, 1]. Seien
(xi , ui )i=0,...,n−1 durch ein implizites Runge-Kutta Verfahren mit m ≥ 1 Stufen auf einem äquidistanten
Gitter Ih gegeben. Zeigen Sie, dass
ui = (R(λh))i u0
P (t)
eine rationale Funktion ist mit Polynomen P, Q höchtens m−ten Grades. Bestimgilt, wobei R(t) = Q(t)
men Sie jeweils die Funktion R für die impliziten Runge-Kutta Verfahren mit den Schemata
1
2
1
2
1
1
2
1
2
−
+
√1
12
√1
12
1
4
1
4
1
4
+
1
2
√1
12
−
1
4
1
2
√1
12
und zeigen Sie für das erste Verfahren, dass |et − R(t)| = O(t2m+1 ) mit m = 1 gilt.
Aufgabe 4: (Programmieraufgabe)
(4 Punkte)
Implementieren Sie das adaptive Runge-Kutta-Fehlberg Verfahren mit folgendem Butcher Tableau
0
1
4
1
4
3
8
3
32
9
32
12
13
1932
2197
− 7200
2197
7296
2197
1
439
216
−8
3680
513
−845
4104
1
2
8
− 27
2
− 3544
2565
1859
4104
− 11
40
v
25
216
0
1408
2565
2197
4104
− 15
0
w
16
135
0
6656
12825
28561
56430
9
− 50
2
55
wobei die optimale Schrittlänge für den nächsten Schritt bei gegebener Fehlertoleranz mit
hi+1 = hi
hi
2|vi+1 − wi+1 |
14
berechnet werden kann. Testen Sie ihr Programm mit f (x, y) = x2 + y 2 y(0) = 0 auf x ∈ [0, 2] bei
maximalem Fehler = 0.00001 und maximaler Schrittweite h0 = 0.01 und geben Sie die minimale
Schrittweite aus.