Friedmann-Gleichung - Spektrum der Wissenschaft

Nachd e n ke n
Zum
Ihre Lösungen senden Sie bitte bis zum
15. November an: Redak­tion SuW – Zum
Nach­denken, Max-Planck-Institut für As­
tro­no­mie, Kö­nigstuhl 17, D-69117 Hei­­
del­berg. Fax: (+49|0) 6221–528-246.
Friedmann-Gleichung
Die moderne Kosmologie nimmt an, dass
wir mit unserem Sonnensystem an keiner ausgezeichneten Stelle im Universum
stehen – und dies gilt gleichermaßen für
Beobachter an anderen Orten im Universum. Die Ortsunabhängigkeit wird auch
als Homogenität bezeichnet. Dann muss
das Universum um jedem Punkt herum
richtungsunabhängig (isotrop) sein und
es darf keinen Mittelpunkt besitzen: Jeder
Punkt im Universum ist gleichberechtigt.
Im Folgenden soll betrachtet werden, wie
sich ein wichtiges Charakteristikum unseres Universums – seine Größe – beschreiben lässt und wie sich die Größe zeitlich
verhält. Dies lässt sich mit der Fried­mannGleichung beschreiben. Die folgenden
Aufgaben ergänzen dabei den Beitrag »Geheimnisvolle Dunkle Energie« von Michael
Doran ab Seite 42 in diesem Heft.
In einem – beliebigen – Raumbereich
des Universums mit Radius R gelten die
oben genannten Bedingungen. Darin befinden sich Teilchen mit der Ge­samt­mas­se
M und die Kugel hat die mitt­le­re Dichte r.
Aufgabe 1: Man stelle die Bewegungsgleichung (1) für ein Testteilchen (Masse m) am
Rand der Kugel auf. Hilfe: Das Teilchen
erfährt die Kraft F  m aG. Dabei ist die
von der Gravitationskraft FG  G m M/R2
.
herrührende. Beschleunigung aG  y und
.
es gilt y  R . Dabei bezeichnet dx/dt  x
die (einfache) zeitliche Ableitung der Vari.
..
ablen x, dx /dt  x bezeichnet die zweifache
Ableitung nach der Zeit... Die gesuchte Gleichung (1) hat die Form R  f(R).
chend), so gilt wegen des Ener­gie­er­hal­
tungs­sat­zes: dU  P dV. Dies geschieht
.
in
. der Zeit dt und es gilt weiter: U  P
V (3). Durch Ableiten von U und V und
Einsetzen in Gleichung (3) stelle man
Gleichung (4) auf:
.
.
.
2 R R r(r3 P/c2)R RR2 r  0. (4)
Aufgabe 2: In der Kugel herrscht der
Druck P. Er kommt durch die Bewegung
der Teilchen in der Kugel zustande, also
durch deren kinetische Energie. Diese
wiederum entspricht über Einsteins Beziehung E  m c2 einer – anziehenden
– Masse. Damit erhöht sich die mittlere
Dichte in der Kugel um einen von der
inneren Be­we­gungs­ener­gie stammenden
Betrag. Man findet mit Hilfe statistischer
Betrachtungen: rP  3 P/c2. Die gesamte
Massendichte in der Kugel ist damit: rges
 r  rP  r  3 P/c2. In Gleichung (1)
ist deshalb die Dichte r durch die Gesamtdichte rges zu ersetzen. Man stelle
diese erweiterte Gleichung (2) auf.
Aufgabe 4: Man ersetze in Gleichung (4)
den Term in der Klammer mit
. .. Hilfe von
Gleichung (2) und isoliere 2 R R . Das Resultat wollen wir Gleichung (5) nennen.
Bildet
man die zeitlichen Ableitungen von
.
R2 und R2 r und integriert nun über die
Zeit, so folgt Gleichung (6). Sie beschreibt,
wie sich der Kugelradius mit der Zeit ändert. Setzt man den Kugelradius R zur Zeit
t in Beziehung zum heutigen Kugelradius
R0, so erhält man den Skalenfaktor a  R/
R0. Formuliert man Gleichung (6) mit Hilfe des Skalenfaktors und seiner zeitlichen
.
Ableitung um und berechnet (a /a)2, so hat
man die vom russischen Physiker und Mathematiker Alexander Alexandrowitsch
Fried­mann im Jahr 1920 gefundene Gleichung vor Augen – Gleichung (7).
Aufgabe 3: Die innere Energie U der
Kugel ist U  M c2, mit M  r V. Ändert
sich ihr Volumen V  (4p/3) R3, wobei
die enthaltene Masse konstant bleibe (die
mittlere Dichte r ändert sich dementspre-
Lösung der Aufgabe aus dem September-Heft 2007
Aufgabe 1: a) Die während der Abbremsung in der Titanatmosphäre als
Reibungswärme freigesetzte kinetische
Energie Ekin ist:
Ekin  ½ MH,0 (y0  y1)2
 5.17 109 J.
.
b) Der mittlere Ener­giefluss E über den
Hitzeschild ist dann:
.
E  Ekin/Dt
 1.72 107 W,
c) und der mittlere Wärmefluss FHS, dem
der Hitzeschild ausgesetzt ist, liegt bei:
.
E
FHS  ––––––––––––2
p (DHS/2)
 3.01 106 W/m2.
Das Ergebnis liegt demnach in der erwarteten Größenordnung.
Aufgabe 2: Die Molmasse MAtm der Titanatmosphäre ist:
MAtm  S qi m i  27.64 g/mol.
Damit folgt die atmosphärische Dichte
rAtm Titans zu:
108 Sterne und Weltraum November 2007
pAtm MAtm
rAtm  ––––––––––––  5.21 kg/m3.
R TAtm
Sie ist also um einem Faktor rAtm/rErde 
4.41 dichter als die Erdatmosphäre.
Aufgabe 3: Titans Oberflächenbeschleunigung gTitan ist:
G MTitan
–
gTitan  –––––––––
R2Titan
m
 1.35 ––2  0.138 gErde.
s
Aufgabe 4: Die Aufprallgeschwindigkeit
des Landeteils von Huygens auf Titan
folgt aus:

2 MH gTitan
y  ––––––––––––––––2 .
rAtm CD p (DFS/2)
Mit den angegebenen Größen ergibt sich:
y  3.19 m/s
 11.5 km/h,
ein moderater Wert.
AMQ
Richtige Lösungen sandten ein:
Anette Anastasakis, D-69207 Sandhausen; Anna Conrad, D-52072 Aachen; Ulrike Hellmann, D-42365 Wup-
Aufgabe 5: Die Expansion des Kosmos ist
charakterisiert durch die berühmte Hubb.
le-Konstante H. Für sie gilt: H  a /a. Die
pertel; Maria Obst, D-92318 Neumarkt; Eva Ponick, D50735 Köln; Ulrike Saher, D-40629 Düsseldorf; Katrin
Stauch, D-01640 Coswig; Margit Zink, D-73240 Wendlingen; S. Albrecht, D-67067 Ludwigshafen; H. Angerer, A-6130 Schwarz; J. Beisser, D-28865 Lilienthal; W.
Bernhardt, D-79737 Herrischried; W. Blendin, D-65597
Hünfelden-Kirberg; P. Böttger, D-86529 Schrobenhausen; A. Borchardt, D-86356 Neusäß/OT Steppach; G.
Breitkopf, D-13156 Berlin; W. Christ, D-65824 Schwalbach; K. Clausecker, D-74219 Möckmühl; R.-R. Conrad,
D-31275 Lehrte; A. Dannhauer, D-38871 Ilsenburg; M.
Deye, D-97241 Bergtheim; J. Döblitz, D-70619 Stuttgart; A. M. Dufter, D-83334 Inzell; H. Duran, CH-5300
Turgi; M. Ebert, D-85435 Erding; E. Edler v. Malyevacz,
D-70825 Korntal-Münchingen; H. Eggers, D-31311 Uetze; H. Fischer, A-7132 Frauenkirchen; P. Fischer, D08223 Falkenstein; R. Fischer, D-50858 Köln; G. Forster, D-69120 Heidelberg; M. Geisel, D-79540 Lörrach;
M. Gläßl, D-95445 Bayreuth; J. Glattkowski, D-76571
Gaggenau; H. Göbel, D-79540 Lörrach; M. Götz, D97461 Rügheim; J. Gruber, D-79194 Gundelfingen; J.
Th. Grundmann, D-52068 Aachen; A. Güth, D-73078
Boll; R. Guse, D-31228 Peine; A. Haag, D-63110 Rodgau; J. Haller, D-51379 Leverkusen; A. Hardt, D-38124
Vechelde; W. Hauck, D-90449 Nürnberg; H. Hauser, D89275 Elchingen; A. Hentzschel, A-3500 Krems; U. Hermann, D-89347 Bubesheim; A. Heuser, D-53879 Euskirchen; J. Hochheim, D-06295 Lutherstadt Eisleben; P.
Höhne, D-01277 Dresden; J. Hölscher, D-50127 Bergheim; F. Hoffmann, D-63065 Offenbach; E. Hoffmeister,
D-53604 Bad Honnef; F. Hofmann, D-01069 Dresden;
B. Hornisch, D-91238 Engelthal; N. Husmann, D-48155
Münster; Th. Inghoff, D-34355 Staufenberg; G. Junge,
D-04600 Altenburg; H. Kamper, D-89520 Heidenheim;
S. Kassam, D-60431 Frankfurt/M.; J. E. Keller, D-68775
Ketsch; F.-G. Knell, D-63457 Hanau; K.-M. Köppl, D47805 Krefeld; M. Krellmann, D-01239 Desden; M.
Kretzler, D-69259 Wilhelmsfeld; K.-H. Künkler, D-45279
Essen; K. Kullack, NL-2203BB Noordwijk; O. Kunze, D35039 Marburg; H.-P. Lange, D-85376 Massenhausen;
M. Leinweber, D-35435 Wettenberg; A. Leonhardt, D90559 Burgthann; B. Leps, D-13507 Berlin; A. Lichtfuß,
Aufgabe 6: Das Licht einer weit entfernten
Supernova mit der Rotverschiebung zSN
legt in dem kleinen Zeitintervall dt die
Strecke ds  c a–1 dt (8) zurück. Hierin ist
berücksichtigt, dass sich das Licht im expandierenden Raum ausbreiten muss und
dieser mit dem Skalenfaktor a wächst. Der
Skalenfaktor hängt mit der Rotverschiebung z zusammen: a  (1  z)–1. Man bilde
die Ableitung da/dz, erweitere (8) mit da/
da und ersetze dort sinnvoll da mit Hilfe
der Ableitung. Man erhält ds als Funktion
von c, H(z) und dz (9). Die Strecke, die das
Licht bis zu uns zurückgelegt hat, ist dann
das Integral von z  0 bis z  zSN der Gleichung (9). Wie wirkt sich ein im jungen
Universum kleines H auf die vom Licht der
Supernova zurückgelegten Strecke aus?
aXelm.QuetZ
Literatur
[1] Tobias kühnel, matthias Bartelmann:Kosmologie für die Schule. www.wissenschaft-schu
len.de/sixcms/media.php/767/SuW0205-Kosmo
logie-neu.pdf
d-93161Sinzing;r.lühmann,d-78224Singen;W.
mahl,d-71254ditzingen;P.matzik,d-51399Burscheid; n. mayer, d-12205 Berlin; r. melcher, d76227 Karlsruhe; m. mendl, d-85567 Grafing b.
münchen;K.mischke,d-71116Gärtringen;F.moser,
d-47167duisburg;K.motl,d-82538Geretsried;S.
mrozek, d-25358 Horst; Chr. netzel, d-52080 aachen;J.nußbaum,d-80689münchen;m.Otte,d59558 lippstadt; Chr. Overhaus, d-46325 Borken;
G.Pannach,d-38124Braunschweig;H.-P.Patjens,
d-27299langwedel;Chr.Petersen,d-21706drochtersen;J.Piriti,H-8800nagykanizsa;r.Pitzl,a2345Brunn/Gebirge;m.Plambeck,d-21031Hamburg;G.Portisch,d-75015Bretten;u.Poschmann,
d-52351düren;r.Prager,a-2230Gänserndorf;H.
Prange, d-57250 netphen; B. Quednau, d-33397
rietberg; I. raap, d-89551 Königsbronn; F. reinhardt, d-79539 lörrach; e. rössler, d-13503 Berlin;K.rohe,d-85625Glonn;a.Schäfer,d-71711
Steinheim/murr; F. Schauer, d-79199 Kirchzarten;
J.Schenker,a-5036Oberentfelden;J.Schermer,d12687Berlin;r.H.Schertler,a-5280Braunauam
Inn; m. Schiffer, d-88662 Überlingen; B. Schmalfeldt, d-21521 aumühle; r.-G. Schmidt, d-45657
recklinghausen; J. Schnichels, d-53881 euskirchen;G.Scholz,d-73457essingen;H.-J.Schreyer,
d-56076Koblenz;P.J.Schüngel,CH-8105regensdorf ZH; S. Schuler, d-66346 Püttlingen; m. Senkel, d-85614 Kirchseeon; r. Stahlbaum, d-38110
Braunschweig; K. Stampfer, d-86486 Bonstetten;
a.thiele,d-52066aachen;a.trutschel-Stefan,d83714miesbach;H.-G.Wefels,d-47239duisburg;
H.Wember,d-22525Hamburg;B.Wichert,d-21629
neu-Wulmstorf; Chr. Wiedemair, I-39031 Bruneck,
Südtirol;K.Wiedemer,d-57072Siegen;H.-u.Wieland, d-73340 amstetten; S. Zettl, a-2851 Krumbach; m. Ziegler, a-2460 Bruckneudorf; Chr. Zorn,
d-70825Korntal-münchingen;W.Zumach,d-86163
augsburg.
Insgesamt 130 Einsendungen, Fehlerquote: 0 %.
kreuzworträtsel
geplante
deutsche
Mondlandesonde
Silikatmineral
(Komet
Tempel-1)
Namensgeber der
kosm.
Strahlung
VOnFredGOYKe
Sternbild
zw. Hydra
und Vela
(lat. Bez.)
Xi Geminorum
Stern im
Skorpion
optisches
Bauteil
(Spektroskopie)
Becken
a. Kallisto DestillierStern im gefäß
Stier
geplantes
42-MeterTeleskop
(E-...)
5
reduziert
Streulicht
6
Asteroid,
keltische
Fruchtbar9 keitsgöttin
normale
Materie im
Universum
(in Proz.)
8
Korrekturbild für
Digitalkameras
großer
Saturnmond
Teil einer
Montierung
Planet
4
Astrotreffen
für junge
Leute
Schriftsteller
(1809–
1849)
griech.
Buchstabe
von Matar
Einheitenzeichen d.
Frequenz
IACTTeleskop
Mondformation (dt.)
Kfz.-Kennzeichen f.
SchleswigFlensburg
Kfz.-Kennzeichen
für Kassel
großes
Marstal
(... Vallis)
1
Zeichen f.
Lanthan
Nachbarsternbild
von Orion
(int. Abk.)
Teleskopzubehör
3
7
Jupitermond
2
Sternbild
mit
Regulus
(int. Abk.)
kreuzworträtsel. dieeingekreisten
Buchstaben bilden ein lösungsR
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Herzlichen Glückwunsch! Red.
Lösung des kreuzworträtsels aus SuW 9/2007
Materiedichte r des Universums beträgt r
 3 10–27 kg/m3. Setzt man die in Aufgabe
4 auftretende Integrationskonstante gleich
Null, so lässt sich mit Hilfe der FriedmannGleichung die heutige Hubble-Konstante
H0 berechnen. Welche Folgerung ergibt
sich aus dem Vergleich mit dem tatsächlichen Wert H0  73 km s–1/Mpc?
G X
VE R WE
C R B N
D T A
S G H
S C O U T
H B
E T AL
B I A N C
NU F
H A P
F U N G E
L B T L
A I D E
M I A
M A N I
EP T U N
N R D
V I SU
S S A S
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→Jahr,bzw.Zurückliegendeausgaben.
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SterneundWeltraum november2007 109