Achilles 1 und die Schildkröte

STICH
NWF I - Mathematik
Achilles
1
Analysis
WS 2009/2010
Anhang B5.1
und die Schildkröte
Zur Vereinfachung lassen wir alle Überlegungen über Start und Beschleunigung bei Seite und nehmen
an, dass
Achilles 10 m pro Sekunde
laufen kann, die
Schildkröte 10 cm pro Sekunde
zurücklegt. Der Vorsprung der Schildkröte betrage 50 m.
Nach 5 Sekunden hat Achilles die Schildkröte erreicht. Beinah. Die Schildkröte ist ja inzwischen 50
cm weiter gekrochen.
Diese 0,5 m durcheilt Achilles in 5 · 10−2 Sekunden, nur ist die Schildkröte dann schon wieder 5 · 10−3
m weiter. Und das geht immer so weiter (Vers über Achilles und die Schildkröte).
Immer ist die Schildkröte dem Achilles voraus. Zwar nicht viel, aber den griechischen Mathematikern
ging es ums Prinzip. Achilles kann eigentlich nach diesen Überlegungen die Schildkröte nie einholen.
Da dies der Realität widerspricht, wurde dieses Beispiel ein Paradoxon genannt.
Der Fehler der Griechen lag in der plausiblen Annahme, dass kein Mensch unendliche Summen aufaddieren kann. Das stimmt natürlich. Aber unendliche Summen können trotzdem sinnvoll sein; wenn
die Summanden schnell genug klein werden, kann man einer unendlichen Summen einen eindeutig
bestimmten Wert zuordnen (siehe Definition in der Vorlesung).
Was passiert nun bei der Geschichte von Archilles und der Schildkröte aus unserer Sicht?
Schritt
0
1
2
3
..
.
Achilles
0m
50 m
+5 · 10−1 m
+5 · 10−3 m
..
.
Zeit
0s
5s
+5 · 10−2 s
+5 · 10−4 s
..
.
Schildkröte
50 m
+5 · 10−1 m
+5 · 10−3 m
+5 · 10−5 m
..
.
...m
...s
... m
n
Mit der Formel für die geometrische Reihe kann man nun die Werte der unendlichen Reihen berechnen.
1) Für die Zeit erhält man
···
2) Für den Weg der Schildkröte erhält man
···
3) Für den Weg des Achilles erhält man
···
Nach welcher Zeit und bei welchem Meterstand wird die Schildkröte von Achilles überholt?
1 Griechischer
Held beim Kampf um Troja; war nach der Sage nur an der Ferse verwundbar → Achillesferse.