Caminhos da matemática – Uma exposição leve interativa sobre

Caminhos da matemática – Uma exposição leve interativa
sobre história da matemática
Sumário
1. Introdução: o ensino da matemática, do desastre à criatividade (1970-1986)
2. Educação não formal e matemática
3. “Pega leve!”: um novo caminho para ensinar matemática.
4. Primeira palavra chave: o desafio.
5. Segunda palavra chave: as aplicações
6. Terceira palavra chave: a beleza
7. Em forma de conclusão
Slide 1. Infelizmente, por razões de saúde, não estarei presente no PCST. Por favor, anote o e-mail da nossa equipe e o
link para o nosso site no final!
1. Introdução: o ensino da matemática, do desastre à criatividade (1970-1986)
Slide 2. É muito importante não perder de vista o que queremos ensinar aos nossos estudantes. A história da
matemática destacou dois tipos de matemáticos:

os grandes inventores, abertos às outras ciências, sacrificando às vezes o rigor perfeito para a beleza dos
conceitos,
 os fundadores-organizadores, fascinados pelo poder da lógica e do raciocínio.
Nos anos 70,os “fundadores-organizadores” tomaram o controle do ensino da matemática, imaginando que uma
construção lógica dos conteúdos de A a Z resolveria todos os problemas do ensino da matemática. Cheios de boas
intenções, eles conseguiram um desastre internacional no ensino da matemática. (fig. 1)
Fig. 1
Fig. 2
Matemática
“moderna”
1970's
Formalismo
Rigor Perfeito
Memória
Matemática “ideal”
Um dia,
talvez...
Slide 3. Prefiro a representação da figura 2. É uma das mais velhas figuras da matemática, provavelmente de 400 a. C.
Não se sabe exatamente da data, porque o primeiro imperador chinês, Qin Shi Huan, queimou quase todos os livros na
primeira revolução cultural chinesa, em 213 a.C.!
Essa imagem escapou da destruição, porque ela estava sendo também utilizada para assuntos sérios, quero dizer,
mágica e divinação, e não só para o prazer de alguns cientistas! Os oito trigramas ao redor da figura simbolizam os oito
resultados de três lançamentos sucessivos de uma moeda, em escrita binária. Isso, 2.000 anos antes de Pascal e Leibniz.
No taoismo, e nas filosofias orientais em geral, a figura central simboliza a complementaridade dos opostos, (Yin e Yang,
homem e mulher...), mostrando uma transição gradual mais do que uma oposição entre contrários. E cada um dos
termos trás em si a semente do termo oposto. Deste ponto de vista, depois da catástrofe dos anos 70, os anos 80 deram
luz a inúmeras iniciativas para reencontrar o sentido do ensino da matemática. Entre outros, a produção de exposições
de divulgação da matemática.
Slide 4. E para quem gosta mesmo de matemática, este gráfico traz um paradoxo surpreendente, se continuarmos a
dividir a linha central em arcos de círculos cada vez menores: a linha central converge uniformamente para o diâmetro
do círculo, mas o comprimento dela fica sempre igual à metade da circunferência inicial:
2. Educação não formal e matemática
Slide 5. Através da história, os professores de matemática usaram imagens e objetos para revelar aos alunos o caráter
interativo e experimental da matemática. Sem voltar aos quebra-cabeças utilizados pelos Chineses e Árabes na Idade
Média, os gabinetes de curiosidades do século XVIII, bem como os museus de ciência e tecnologia do final do século XIX
usavam objetos interativos. O primeiro museu interativo moderno foi, deste ponto de vista, o Deutsches Museum em
Munique, que apresentou desde 1903 coleções de objetos mecânicos desenhados por Reuleaux. Especialistas de
“recreações matemáticas”, como Rouse Ball, Lucas, Sam Loyd, Dudeney, conceberam e difundiram vários jogos
interativos relacionados com Matemática. Menção especial para o matemático polonês Hugo Steinhaus (co-autor do
teorema de Banach-Steinhaus). Ele publicou um livro com mais de 300 fotos ou figuras de objetos matemáticos, sem
provas completas, só indicando brevemente o conceito, com algumas perguntas e pistas de pesquisa.
Slide 6. Apesar da sua concepção inovadora e radicalmente interativa, o Palais de la Découverte in Paris não demostrou
grande interatividade na sua área de matemática, da sua abertura até os anos 1980. Com duas únicas exceções : a
agulha de Buffon, e um experimento interativo sobre teoria dos grupos.
Slide 7. Temos que reverter as prioridades do ensino da matemática, fazendo com que os alunos gostem primeiro da
matemática. Iniciando, primeiro, com o lado atrativo da matemática, passando depois ao treinamento técnico e às
definições. Aqui que a museologia pode ajudar. Os “reconstrutores” do ensino da matemática procuraram novos
recursos para despertar esse gosto da matemática.
Slide 8. Nos anos 80, em resposta a um ensino formal... formalista demais, uns professores franceses desenvolveram
exposições itinerantes e contribuíram para uma museologia interativa da matemática, incorporando contribuições de
grandes matemáticos tais como Conway, Berger e outros... O pioneiro foi Michel Darche, professor de matemática do
ensino médio, que virou mestre internacional em termos de exposições itinerantes relacionadas com matemática.
Ele conseguiu em seguida a criação de “Centre-Sciences” in Orleans, um museu regional de ciências inteiramente
voltado para exposições itinerantes, onde ele produziu até 2010, enquanto Diretor, uma centena de exposições
científicas. Ele criou grandes exposições itinerantes interativas de matemática, a última sendo, em 2004, “Experiencing
mathematics”, produzida pela UNESCO, com uma versão online muito completa, en varias linguagens, incluindo o
português. Ver http://www.experiencingmaths.org/ (essa exposição circulou em 8 cidades do Brasil en 2009).
3. “Pega leve!”: achando novos caminhos para o ensino da matemática
Slide 9. Desde 1987, fui envolvido nessa reconstrução do ensino da matemática em dois países, a França e o Brasil.
Comecei produzindo revistas matemáticas para jovens, mais voltadas para cultura matemática do que para vocabulário
ou técnicas de cálculo. No rastro de Michel Darche, tive a oportunidade de desenvolver uma pequena exposição sobre
história da matemática no mundo mediterrâneo: "Matemática à beira mar". Ela foi reproduzida na França, Bélgica,
Suiça, Itália e Tunésia. Desde 2000, trabalhando no Espaço Ciência de Recife (Brasil), adaptei “Mathematica à beira mar”
em Português. Dei depois dois acréscimos a essa exposição, em 2010 e 2013, que resultaram na atual exposição
“Caminhos da matemática”.
Slide 10. “Pega leve!”... Em 2013, implementamos 8 pequenos museus interativos de ciências no interior do Estado de
Pernambuco (Brasil), com alguns experimentos permanentes, e um conjunto de 15 exposições itinerantes. Cada
exposição necessitou em média de um orçamento de R$ 15.000,00, proporcionado pela FACEPE (Fundação de Amparo à
Pesquisa para o Estado de Pernambuco), e foi produzida pela nossa equipe do Espaço Ciência.
Slide 11. A exposição consiste em duas partes: antes e depois de 1.500 d. C. Cada uma é composta de 4 mesas, com 12
painéis informativos e vinte objetos interativos. Cada exposição é de fácil manutenção e deslocamento (1 única caixa de
1,10 m x 0,55 m x 0,70 m, contendo todos objetos e informativos, com uns 40 kg). Desenvolvemos uma linha específica
de mobiliário, reproduzida em cada museu.
Conceitualmente, voltamos nas três alavancas fundamentais que nos levaram a gostar da matemática: o desafio, as
aplicações, e a beleza da matemática.
4. Primeira palavra chave: O desafio
Slide 12. « O único alvo da ciência é a honra da mente humana, e desse ponto de vista, um problema de números é tão válido
como uma pergunta sobre a origem do mundo. » (Gustav Jacobi)
Esta maravilhosa “honra da mente humana” é, do meu ponto de vista, a chave do ensino da matemática. Ela se aplica
tanto ao matemático “pur” como ao matemático “aplicado”. Na nossa exposição, o desafio é ilustrado pelos quebracabeças, naturalmente, mas também por outros itens que o visitante deve descobrir ou decifrar.
Slide 13. O nosso primeiro experimento sobre numeração babilônica, era escrever na argila com um “calamos”.
Excelente! Os jovens visitantes estavam saindo entusiasmados e cobertos de argila ... Hoje, estamos pedindo para achar
um erro de multiplicação numa tábua já pronta.
Outro grande sucesso, o quebra cabeça ilustrando o cálculo do volume do tronco de pirâmide. Vi um menino de 5 anos
insistir mais de um quarto de hora para achar a solução, e chamar depois toda família para mostrar a obra dele!
Slide 14
Outro desafio de sucesso: resolver o “Três quadrados em um” de Abu'l Wafa. Ele chama atenção no fato que quebra
cabeça não é prova. E repassamos este excelente conselho para os visitantes. A solução tem que ser confirmada pelo
raciocínio (aqui, uma simetria de ordem 4).
Na “Escada de Leonardo”, trata-se de achar todas as maneiras de subir uma escada, pulando por passos de 1 ou de 2
degraus. Isso leva à sequência de Fibonacci.
Slide 15. No experimento “A calculadora de vovô”, providenciamos a régua de cálculo, mas sem o manual!
Em outro experimento, o visitante tem que decifrar uma memória magnética com ajuda da bússola.
Slide 16. Providenciamos também o globo, a”´régua mole” e o “transferidor mole” para descobrir a geometria esférica.
Homenagem a Dali... e a Gauss! No “Teorema do ponto fixo”, colocando um pequeno mapa sobre um grande, se
constata que sempre tem um ponto coincidindo entre os dois mapas.
5. Second key level: What mathematics is for...
Slide 17. « A filosofia [natural] encontra-se escrita neste grande livro continuamente aberto perante nossos olhos (isto é, o
Universo), que não se pode compreender antes de entender a língua e conhecer os caracteres com os quais está escrito. Ele
está escrito em língua matemática, […] sem cujos meios é impossível entender humanamente as palavras; sem eles nós
vagamos perdidos dentro de um obscuro labirinto. »
(Galileo Galilei, O Ensaiador 1623)
Essa famosa citação de Galileo mostra a fascinação universal da humanidade para entender o mundo. Na escola, este
poder está, às vezes, utilizado para analisar contas de energia. Achamos útil, mas nem tão fascinante assim.
Slide 18. A utilidade é sempre relativa, e às vezes defasada no tempo... A aritmética e os números primos não tiveram
grandes aplicações antes do código RSA e do e-comércio. Mas as bicicletas já usam números primos de dentes nos
pinhões. Porque?
O número  é muito útil aos engenheiros, mas depois da décima casa decimal, mesmo os militares não precisam de tanta
precisão sobre o valor de p.
Slide 19. Será que tem mas de um jeito de fazer? É sempre bom para o aprendizmatemático ser capaz de comparar métodos. Alguns professores, na França,
preconizam o uso da multiplicação “per gelosia”, mais claro no princípio, para
aprender a multiplicar. Depois, eles voltam para o técnico clássico.
O método de resolução de Al Khwarizm, com um esquadro, apresentado na nossa
exposição para resolver equações do segundo grau pode também se comparar com as
fórmulas de Baskhara.
Slide 20. Velhas técnicas podem também nos ajudar a entender como alguns princípios fundamentais estão usados na
prática. Dois exemplos na nossa exposição: a recíproca do teorema de Pitágoras, usando uma corda de treze nós, ou o
método indireto usado por Tales para medir pirâmides.
Slide 21. Last, but not least: espionagem, traição, descobertas perdidas e achadas de novo, “robôs plantigrades”...
A “Matemática da máquina de vapor”, apresentando vários sistemas articulados, pode mostrar, feito uma novela, como
um simples problema de pistão manteve os matemáticos em ansia durante quase um século, até achar uma solução, que
na época, não era mais útil, visto o avanço das técnicas... Mas o esforço não foi em vão, pois a robótica e as
nanotecnologias hoje usam as descobertas destes matemáticos.
6. Terceira palavra chave: A beleza da matemática
Slide 22. “É impossível ser matemático sem ter uma alma de poeta”
(Sofia Vasilyevna Kovalevskaya)
Beleza e harmonia continuam sendo poderosas motivações para fazer matemática, na tradição de Pitágoras.
Escolhemos introduzir essa seção com uma citação de uma brilhante matemática (outra mulher nos passos de Theano
ou Hypatia). É importante para nós marcar este sucesso para a igualdade, conseguida apesar das muitas barreiras ainda
colocadas no caminho das mulheres para elas acessarem à matemática. Aqui estamos, trabalhando em conjunto, no
século 21, e ainda não acabou!
Essa beleza na matemática pode se manifestar pela beleza dos conceitos, bem como na beleza dos objetos
encarregados de ilustrá-la.
Slide 23. O nosso experimento “Pitagoras com miçangas” oferece um prazer visual, bem como um ruido agradável.
Produzimos também um “móbile Arquimediano”, para ilustrar de maneira artística o trabalho de Arquímedes sobre
esfera, cilindro e cone... e alavancas!
Slide 24. Em nossas duas exposições itinerantes, a temática das curvas, por ser estreitamente relacionada com estética,
foi meramente tocada em três experimentos (cônicas, espirais e caústicas). A razão é que este assunto justifica uma
exposição específica. Um segundo tema relacionado com beleza, reflexões, espelhos e simetrias, aqui representado
pelas caústicas e pelo experimento sobre grupos cíclicos, já está atualmente em trabalho para uma exposição
especialmente dedicada.
Slide 25. Nossa exposição também tenta comunicar uma outra emoção forte: o "sentido da história". Quatro séculos
antes da formalização da teoria dos grupos ─ ilustrada no nosso "fechar a estrela" sobre os grupos cíclicos ─ os
arquitetos da Alhambra já estavam brincando com as cerâmicas usando os 17 grupos de pavimentações regulares do
plano... E isso, a nossa exposição permite que os visitantes fizessem também.
Slide 26. Belas imagens de fractais ou modelos de superfícies têm sido destaque em inúmeras exposições. Mas nós
achamos que eles têm uma desvantagem: em vez de encorajar os visitantes a aprender fazendo matemática, essas
imagens podem tender a criar uma atitude passiva e receiosa frente aos mistérios da matemática. Assim, em nossa
exposição, tentamos focar no processo de construção de objetos. Isso é algo que qualquer um pode experimentar,
construindo uma grande tetraedro com pequenos tetraedros. Outra atividade fácil de se praticar na escola com papel e
cola ...
Slide 27. O nosso “Balanço de Galton", com as suas bolas de gude, é inspirado na exposição “Experiencing
mathematics” da UNESCO. Eu tive a oportunidade de ver um garoto usando-o com profundo prazer. Ele ficou fascinado
por quase meia hora. E o fascínio inicial com os movimentos das bolas, se transformou em seguida num questionamento
mais metódico sobre como as bolas iam se distribuir entre os diferentes corredores do crivo de Galton.
Assistindo a investigação lúdica deste menino, podemos ver como a fascinação por um objeto pode abrir as portas para
o mundo ainda mais fascinante da prática matemática. Será para o paraíso de Cantor? Ou a harmonia do Universo de
Pitágoras? Ele que poderá responder mais tarde!
7. Em forma de conclusão
Slide 28. Se sinta livre para reproduzir a nossa exposição. O nosso maior desejo é que esteja copiada!
Os professores de Matemática precisam do apoio dos museus de ciência. Eles podem desenhar e produzir vários
bonitos objetos para educação, que podem ser reproduzidos nas escolas com material mais simples e de baixo custo.
Peguem o exemplo da fita de Moebius: uma simples fita de papel resolve.
Então, não hesite em nos procurar para qualquer informação adicional, e colaborar conosco para reproduzir material
existente, bem como para criar novos experimentos. E sobretudo, não hesite em reproduzir os nossos experimentos.
Eles estão livres para o uso. Esperamos assim contribuir com a construção de um acervo ao serviço do ensino.
Mande qualquer observação, sugestão ou pergunta aos três responsáveis da equipe de matemática do Espaço Ciência:
Francis Dupuis: [email protected]
Karina Maia Batista de Oliveira: [email protected]
Kleivson Ricardo: [email protected]
Obrigado!
Para ver o slideshow e outros documentos sobre a exposição, visite o nosso site:
http://www.espacociencia.pe.gov.br/noticias/caminhomat/