Zahlensysteme und Umrechnung

Torsten Witt
Mathe
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Zahlensysteme und Umrechnung
allgemeine Übersicht:
Mengen
: z.B. Kerbholz, Strichlisten
Additionssystem
: Römische Zahl
MDCCC, IX, VIII
Positionssystem
: „Arabische Ziffern“
527, 45
10n ... 10 2 101 100 , 10−1 10−2
allgemein: d n ... d 2 d 1 d 0 , d −1 d −2 d −3 d ... d −k
n
Formel:
Dezimalzahl = ∑ d i∗b (d = Ziffer, b = Basis)
i
i =−k
Allgemeine Darstellung einer Zahl im Dezimalsystem
Die Zahlen, wie wir sie kennen, nennen wir das dekadische Zahlensystem. Der Name beruht auf
deren Basis, nämlich 10.
Somit kann man eine Zahl, wie die 365,2 auch so darstellen: 3∗10 26∗1015∗100 , 2∗10−1
n
Formel:
Zahl = ∑ d i∗10 i
i=−k
Zur Unterscheidung schreibt man die Basis mit an: 5410
Ziffern: 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
Torsten Witt
Mathe
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die wichtigsten Zahlensysteme
Dualzahlsystem/Binärzahlensystem:
Basis: 2
Ziffern: 0;1
n
Formel:
Zahl = ∑ d i∗2i
i=−k
Beispiel: 1101102=54 10
(in anderen Darstellungen wird B anstatt der 16 geschrieben)
Octalsystem:
Basis: 8
Ziffern: 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9
Beispiel: 668=54 10
(in anderen Darstellungen wird O anstatt der 16 geschrieben)
Hexadezimalsystem:
Basis: 16
Ziffern: 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;A;B;C;D;E;F
Beispiel: 3616 =5410
(dabei entspricht A = 10, B=11, bis F = 15)
(in anderen Darstellungen wird H anstatt der 16 geschrieben)
Andere bekannte Zahlensysteme:
Duodezimalsystem:
Sexagesimalzalsystem:
Basis: 12
Basis: 60
Umwandlung der Zahlensysteme in das Deziamzahlensystem
n
allgemein:
Dezimalzahl = ∑ bi∗bi
i=−k
n
Dualzahlsystem:
Dezimalzahl = ∑ d i∗2i
i=−k
Beispiel:
110110,112
1∗251∗24 0∗231∗22 1∗210∗20 ,1∗2−11∗2−2=54,7510
Torsten Witt
Mathe
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n
Dezimalzahl = ∑ d i∗16 i
Hexadezimalsystem:
i=−k
Beispiel:
F3,6 16
15∗161 3∗160 6∗16−1=243,37510
(man kann natürlich nicht mit den Buchstaben rechnen, sondern mit deren Wertigkeiten im
Dezimalsystem)
Bei allen anderen Zahlensystemen verhält es sich genauso, entsprechend deren Basen.
Umwandlung Dezimalsystem in ein anderes Zahlensystem
Ganze Zahlen!
Vorgang:
–
–
–
–
Dezimalzahl durch Basis des gewünschten Zahlensystems dividieren
Rest wird aufgeschrieben (Wert hinter dem Komma mal Basis)
so lange, bis kein Rest mehr da
Zahl in umgekehrter Reihenfolge aufschreiben
10010 ÷2=50
Rest: 0
5010 ÷2=25
Rest: 0
2510 ÷2=12
Rest: 1
1210 ÷2=6
Rest: 0
610 ÷2=3
Rest: 0
310 ÷2=1
Rest: 1
110 ÷2=0
Rest: 1
Leserichgung der Zahl
Beispiel: in das Dualzahlsystem:
Ergebnis: 1100100
Das selbe Verfahren geht auch mit allen anderen Zahlensystemen.
Bei den anderen ist der Rest manchmal nicht so schnell ersehbar, dann einfach das ganzzahlige
Ergebnis wieder mal der Basis zurückrechnen und einfach die Differen zwischen Vorgänger und
Nachfolger.
Torsten Witt
Mathe
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Gebrochene Zahlen:
Vorgang:
–
–
–
–
Dezimalzahl mit Basis des gewünschten Zahlensystems multiplizieren
Wert vor dem Komma im Ergebnis notieren, dies ist die erste Ziffer nach dem Komma im
Ergebnis
Betrag hinter dem Komma mit Basis multiplizieren
das geht so lange, bis nur noch eine ganze Zahl übrig bleib
Achtung, oftmals kann das unendlich lange gehen. Also sinnvoll aufhören! Das sind übrigens
die Gründe für Rundungsfehler in Computerprogrammen!!!!
Beispiel in das Hexadezimalsystem:
0,50512695312510∗16=8,08203125
Nachkommaanteil: 0,08203125
Merke: 8
0,0820312510∗16=1,3125
Nachkommaanteil: 0,3125
Merke: 1
0,312510∗16=5
Nachkommaanteil: 0
Merke: 5
Ergebenis: 0,81516
Wie gehabt, das geht auch in das Oktalsystem usw.