Grundlagen der Mess- und Sensortechnik

Transcrição

Grundlagen der Mess- und Sensortechnik
©
Sönke Carstens-Behrens
SoSe 2010
RheinAhrCampus
1
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen des Messens
1.1
1.2
1.3
1.4
Motivation . . . . . . .
Grundlegende Begrie
SI-Einheitensystem . .
Normale . . . . . . . .
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2 Messverfahren
2.1
2.2
2.3
2.4
Ausschlag- und Kompensationsverfahren
Direkte und indirekte Messverfahren . .
Zeitlich (dis)kontinuierliche Verfahren .
Analoge und digitale Messverfahren . . .
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3.1 Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Systematische Messabweichungen . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Bekannte systematische Abweichungen . . . . . .
3.2.2 Unbekannte systematische Abweichungen . . . .
3.2.3 Fortpanzung systematischer Messabweichungen
3.3 Zufällige Messabweichungen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Verteilungsfunktion und Dichte . . . . . . . . . .
3.3.3 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Auswertung endlicher Messreihen . . . . . . . . .
3.3.5 Vertrauensbereich einer Messreihe . . . . . . . .
3.3.6 Fortpanzung von Unsicherheiten . . . . . . . . .
3.4 Bericht des Messergebnisses . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Messabweichungen
4 Eigenschaften von Messeinrichtungen
4.1 Statische Kenngröÿen . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Übertragungsfaktor und Kennlinie . . . .
4.1.2 Empndlichkeit . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3 Anzeigebereich und Messbereich . . . . .
4.1.4 Auösung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.5 Hysterese . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.6 Fehlergrenzen und Genauigkeitsklassen . .
4.2 Dynamische Kenngröÿen von Messeinrichtungen .
5 Strukturen von Messeinrichtungen
5.1
5.2
5.3
5.4
Reihenstrukur . . . . . . . . . . . . . .
Parallelstruktur . . . . . . . . . . . . .
Kreisstruktur . . . . . . . . . . . . . .
Rechnergestützte Messdatenerfassung .
6 Messung elektrischer Gröÿen
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6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Stromstärke und Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Drehspulmessgerät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
7
7
9
9
9
11
12
13
13
13
15
16
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50
50
51
51
6.2.2 Elektronische Messgeräte . . . . . . . . . . . . .
6.3 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Elektrodynamisches Messwerk . . . . . . . . . . .
6.3.2 Elektronische Messgeräte . . . . . . . . . . . . .
6.4 Wirkwiderstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Messung mittels Strom- und Spannungsmessung
6.4.2 Messung mittels Messbrücken . . . . . . . . . . .
6.5 Kapazität und Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Messung mittels Wechselstrombrücken . . . . . .
7 Temperaturmessung
7.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Zur Temperaturdenition . . . . . . . . . .
7.3 Ausdehnungsthermometer . . . . . . . . . .
7.3.1 Bimetallthermometer . . . . . . . . .
7.4 Widerstandsthermometer . . . . . . . . . .
7.4.1 Metallwiderstandsthermometer . . .
7.4.2 Halbleiterwiderstandthermometer . .
7.4.3 Auswertung der Sensorsignale . . . .
7.5 Thermoelemente . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Pyroelektrischer Eekt . . . . . . . . . . . .
7.7 Temperatureekte bei Halbleiterübergängen
7.8 Schwingquarzthermometer . . . . . . . . . .
7.9 Pyrometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . .
7.9.2 Gesamtstrahlungspyrometer . . . . .
7.9.3 Spektralpyrometer . . . . . . . . . .
7.9.4 Bandstrahlungspyrometer . . . . . .
7.9.5 Verhältnispyrometer . . . . . . . . .
7.9.6 Glühfadenpyrometer . . . . . . . . .
7.9.7 Thermographiegeräte . . . . . . . . .
7.10 Ursachen für Messabweichungen . . . . . . .
7.11 Zeitverhalten von Berührungsthermometern
8 Messung geometrischer Gröÿen
8.1 Länge und Winkel . . . . . . . . .
8.1.1 Potentiometrische Sensoren
8.1.2 Kapazitive Sensoren . . . .
8.1.3 Induktive Sensoren . . . . .
8.1.4 Photoelektrische Sensoren .
8.2 Dehnung . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Metall-DMS . . . . . . . . .
8.2.2 Halbleiter-DMS . . . . . . .
8.3 Geschwindigkeit und Drehzahl . . .
8.3.1 Dopplereekt . . . . . . . .
8.3.2 Tachometer . . . . . . . . .
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61
62
62
63
63
64
65
66
71
77
79
84
85
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93
94
94
95
95
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97
99
102
106
108
109
111
112
112
115
3
9 Kraft und abgeleitete Gröÿen
9.1 Messprinzipien . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Dehnungsmessstreifen . . . . . .
9.2.2 Piezoelektrische Kraftaufnehmer
9.3 Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Absolutdruck . . . . . . . . . . .
9.4.3 Überdruck . . . . . . . . . . . . .
9.4.4 Dierenzdruck . . . . . . . . . .
9.4.5 Beispiele für Drucksensoren . . .
9.5 Schwingungen und Vibrationen . . . . .
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123
123
124
125
125
126
128
10 Strömungsgeschwindigkeit, Volumenstrom, Massenstrom
132
11 Digital-Analog-Umsetzung
134
10.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10.2 Flügelrad- und Turbinenprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
10.3 Corioliskraftprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
Einleitung . . . . . . . . .
Parallelverfahren . . . . .
Wägeverfahren . . . . . .
Zählverfahren . . . . . . .
Abweichungen und Fehler
12 Analog-Digital-Umsetzung
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
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Einleitung . . . . . . . . . . .
Shannonsches Abtasttheorem
Abtast-Halte-Schaltung . . .
Parallelverfahren . . . . . . .
Wägeverfahren . . . . . . . .
Dual-Slope-Umsetzer . . . . .
13 Automatisierte Messsysteme
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134
135
136
137
137
138
138
139
140
141
143
144
145
13.1 Hardwarekonguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
13.2 Software zur Steuerung und Visualisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
13.3 TEDS-Sensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4
Ergänzende Literatur
Parthier, R.: Messtechnik. Vieweg Verlag, Wiesbaden, 2006.
Bernhard, F. (Hrsg.): Technische Temperaturmessung,
Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2004.
Homann J. (Hrsg.): Handbuch der Meÿtechnik, Carl Hanser Verlag,
München, Wien, 1999.
Alfons, E.: Digitale Längen- und Winkelmesstechnik. Verlag Moderne
Industrie, Landsberg/Lech, 1998.
Lerch, R.: Elektrische Messtechnik. Springer-Verlag, Berlin,
Heidelberg, New York, 2005.
Mühl, Th.: Einführung in die elektrische Messtechnik. Teubner Verlag,
Wiesbaden, 2006.
Göpel, W. et al. (Hrsg.): Sensors. VCH, Weinheim, ab 1991 (8 Bände).
Tränkler, H.-R. u. E. Obermeier (Hrsg.): Sensortechnik.
Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1998.
©Sönke Carstens-Behrens
(RAC)
Mess- und Sensortechnik
SoSe 2010
1 Grundlagen des Messens
1.1 Motivation
Grundlagen des Messens
Motivation
Motivation (1)
Messen hat in der Technik eine zentrale Bedeutung, beispielsweise in der
Produktion
Automobiltechnik, Luft- und Raumfahrt
Medizintechnik
chemische Verfahrenstechnik
...
(RAC)
SoSe 2010
5
Motivation
Motivation (2)
Beispiele für Messaufgaben:
Forschung
Bestätigung theoretisch bestimmter oder
vermuteter Zusammenhänge
Entwicklung
Bestimmung der Eigenschaften von Prototypen
Produktion
Regelung von Prozessabläufen und Produktqualität (DIN/ISO 9000 )
Betrieb von Anlagen
Überwachung technischer Anlagen: Gas-,
Wasser-, Elektrizitätsversorgung
Gewährleistung der Betriebs-
Sicherheit
sicherheit
Kernkraftwerk
(RAC)
eines
Reaktorbehälters
im
SoSe 2010
Motivation
Motivation (3)
Gründe für die Notwendigkeit des Messens:
Menschen verfügen über kei-
Elektromagnetische
ne geeigneten Sinnesorgane
strahlung, . . .
viele
Temperaturen bei
physikalische
Gröÿen
liegen auÿerhalb des Erfas-
von
6000 U/min,
Felder,
1000 ◦ C,
Röntgen-
Drehzahlen
...
sungsbereichs der menschlichen Sinnesorgang
menschliche
Sinnesorgane
liefern nur qualitative Werte
Masse, . . .
Messort ist nicht für Me-
Druckverlauf im Zylinder eines Verbren-
schen zugänglich
nungsmotors
6
Geruch, Temperatur, Geschmack, Farbe,
(RAC)
SoSe 2010
1.2 Grundlegende Begrie
Grundlegende Begrie
Grundlegende Begrie
Messung: (engl.
measurement):
Ausführen von geplanten Tätigkeiten zum
quantitativen Vergleich der Messgröÿe mit einer Einheit.
Messgröÿe: (engl.
measurand):
Gröÿenwert = Zahlenwert
Beispiel: Spannung =
Fünache der Einheit
Messwert: (engl.
·
5 V,
1 V.
Physikalische Gröÿe, der die Messung gilt.
Einheit
d. h. die zu messende Spannung beträgt das
measured value):
Wert, der zur Messgröÿe gehört und der
Ausgabe eines Messgerätes oder einer Messeinrichtung eindeutig
zugeordnet ist.
Messergebnis: (engl.
result of measurement):
Aus Messungen gewonnener
Schätzwert für den wahren Wert einer Messgröÿe.
Quelle: DIN 1319
(RAC)
SoSe 2010
1.3 SI-Einheitensystem
SI-Einheitensystem
SI-Einheitensystem
Die sieben Basiseinheiten des SI-Einheitensystems:
Basisgröÿe
Länge
Masse
Zeit
Stromstärke
Temperatur
Lichtstärke
Stomenge
(RAC)
Formel-
Basis-
Einheiten-
zeichen
einheit
zeichen
l
m
t
I
T
Iv
n
Meter
m
Kilogramm
kg
Sekunde
s
Ampere
A
Kelvin
K
Candela
cd
Mol
mol
SoSe 2010
7
SI-Einheitensystem
Beispiele für abgeleitete SI-Einheiten
abgeleitete Gröÿe
Formel-
Name
Zeichen
Hertz
Hz
in SI-Einheiten
zeichen
f
F
p
E
P
U
R
Q
C
Φ
L
B
Frequenz
Kraft
Druck
Energie
Leistung
elektr. Spannung
elektr. Widerstand
elektr. Ladung
elektr. Kapazität
magnetischer Fluss
Induktivität
Induktion
(RAC)
Newton
N
Pascal
Pa
Joule
J
Watt
W
Volt
V
Ohm
Ω
Coulomb
C
Farad
F
Weber
Wb
Henry
H
Tesla
T
1 Hz = 1/s
1 N = 1 kg m/s2
1 Pa = 1 N/m2
1 J = 1 Nm
1 W = 1 J/s
1 V = 1 W/A
1 Ω = 1 V/A
1 C = 1 As
1 F = 1 C/V
1 Wb = 1 Vs
1 H = 1 Wb/A
1 T = 1 Wb/m2
SoSe 2010
SI-Einheitensystem
Beispiel für Einheitenwirrwarr: Mars Climate Orbiter
1999-09-23: Der Mars Climate Orbiter geht verloren.
Eine der Ursachen: es war nicht aufgefallen, dass Lockhead Martin
(Hersteller der Navigationssoftware) das imperiale System verwendete, die
NASA dagegen das SI-Einheitensystem.
Quelle: NASA
8
(RAC)
SoSe 2010
1.4 Normale
Normale
Normale
Denition der
SI-Einheiten
Primärnormal
(eines pro Land)
Sekundärnormal
(regionales Eichlabor)
Referenz-/Arbeitsnormal
(betriebliches Kalibrierlabor)
(RAC)
SoSe 2010
2 Messverfahren
2.1 Ausschlag- und Kompensationsverfahren
Messverfahren
Ausschlagverfahren
Ausschlagverfahren: Die zur Anzeige erforderliche Energie wird zumindest
teilweise dem Messobjekt entzogen.
⇒
die Messgröÿe verändert sich und es entsteht zwangsläug
⇒
die Energiebelastung muss so gering sein, dass die
ein Messfehler.
Messung nicht unzulässig verfälscht wird.
Typische Beispiele:
Spannungsmesser
Druckmesser
Flüssigkeitsausdehnungsthermometer
(RAC)
SoSe 2010
9
Messverfahren
Druckmesser als Beispiel für das Ausschlagverfahren
Messwertanzeige
0
5
10
p
Kolben
(RAC)
Feder
Messverfahren
SoSe 2010
Kompensationsverfahren
Kompensationsverfahren: Kompensation der Wirkung der Messgröÿe durch
Gegenschalten einer gleichartigen, messbar einstellbaren
Gröÿe.
Die Auswertung erfolgt mit einem Nullindikator und die Vergleichsgröÿe,
oft Kompensationsgröÿe genannt. Dieses Verfahren besitzt drei wesentliche
Vorteile:
Im Kompensationsfall wird dem Messobjekt keine Energie entzogen.
Der Indikator kann für den Kompensationsfall mit einer gegen
unendlich gehenden Empndlichkeit arbeiten.
Störungen, die mit gleichem Betrag und Vorzeichen auf Messgröÿe
und Kompensationsgröÿe wirken, verfälschen das Messergebnis nicht.
10
(RAC)
SoSe 2010
Messverfahren
Balkenwaage als Beispiel für das Kompensationsverfahren
(RAC)
SoSe 2010
2.2 Direkte und indirekte Messverfahren
Messverfahren
Direkte und indirekte Messverfahren
Direkte Messverfahren
gesuchte Messwert wird
durch unmittelbaren
Vergleich mit einem
Bezugswert der gleichen
physikalischen Gröÿe
gewonnen. Beispiel:
Maÿband, Balkenwaage
Maÿverkörperung:
direkte Messverfahren: Der
x1e
Messgröÿe:
xe
xe
x1e
Vergleich:
N = xe /x1e
N
·
Messwertbildung:
x1e
xa = N x1e
xa
Anzeigegröÿe:
(RAC)
xa
SoSe 2010
11
Messverfahren
Direkte und indirekte Messverfahren
Indirekte Messverfahren
Messgröÿe:
xe
xe
xb
auf eine andere
(leichter messbare)
Gröÿe zurückgeführt.
Beispiel: Federwaage
→
Längenmessung
Maÿverkörperung:
x1b
Der Messwert wird
x1b
Vergleich:
N = xb /x1b
N
·
Messwertbildung:
x1b
xa = N x1e
xa
Anzeigegröÿe:
(RAC)
xb = f (xe )
xe = f −1 (xb )
indirekte Messverfahren:
Abbildungsgesetz:
Abbildung:
xb = f (xe )
xa
SoSe 2010
2.3 Zeitlich kontinuierliche und diskontinuierliche Messverfahren
Messverfahren
Zeitlich (dis)kontinuierliche Verfahren
Zeitlich kontinuierliche und diskontinuierliche Messverfahren
zeitlich kontinuierliche Messverfahren: Die Messgröÿe wird ohne zeitliche
Unterbrechung erfasst und auch dargestellt.
Beispiel: Flüssigkeitsausdehnungsthermometer.
zeitlich diskontinuierliche Messverfahren: Die Messgröÿe wird nur zu
bestimmten (diskreten) Zeitpunkten erfasst oder dargestellt.
D. h. mindestens ein Element der Messeinrichtung arbeitet
zeitlich diskontinuierlich.
12
(RAC)
SoSe 2010
2.4 Analoge und digitale Messverfahren
Messverfahren
Analoge und digitale Messverfahren
Analoge und digitale Messverfahren
analoge Messverfahren: Die Messgröÿe wird durch eine eindeutige und
stetige Anzeigegröÿe dargestellt, häug durch Skalen mit
Zeiger als Strecke oder Winkel. Beispiel: Federwaage.
digitale Messverfahren: Die Messgröÿe wird in Form einer in festgelegten
Schritten quantisierten Anzeigegröÿe dargestellt, häug durch
eine Ziernanzeige, z. B. Digitalanzeige.
(RAC)
SoSe 2010
3 Messabweichungen
3.1 Vorbetrachtungen
Messabweichungen
Vorbetrachtungen
Vorbetrachtungen
Ziel eines Messvorgangs: Bestimmung des wahren Wertes einer Messgröÿe.
Aber: Es kann prinzipiell nur ein Näherungswert bestimmt werden.
Hauptursachen für Abweichungen sind:
Das Messnormal ist nie absolut exakt deniert bzw. reproduzierbar.
Der Messvorgang entzieht dem Prozess Energie.
Die Übertragung und Umformung des Messsignals erfordert Energie,
die dem Prozess entzogen wird.
Innere und äuÿere Störeinwirkungen.
Die erfasste Messgröÿe kann für dieses System nicht repräsentativ sein
(z.B. Messung einer Stromlinie).
Unvollkommenheit des Beobachters (z.B. unterschiedliches
Farbempnden etc.).
(RAC)
SoSe 2010
13
Messabweichungen
Vorbetrachtungen
Weitere Begrie der Messtechnik
Wahrer Wert (einer Messgröÿe): (engl.
true value):
Wert der Messgröÿe
(nie exakt bestimmbar).
Richtiger Wert (einer Messgröÿe): (engl.
conventional true value):
Bekannter Wert für Vergleichszwecke, dessen Abweichung vom wahren
Wert für den Vergleichszweck als vernachlässigbar betrachtet wird.
Messabweichung: (engl.
(absolute) error of measurement):
Abweichung
eines aus Messungen gewonnenen und der Messgröÿe zugeordneten
Wertes vom wahren Wert.
Fehlergrenzen: (engl.
limits of permissible error):
Abweichungsgrenzbeträge
für Messabweichungen eines Messgerätes.
Quelle: DIN 1319
(RAC)
Messabweichungen
SoSe 2010
Vorbetrachtungen
Zum Begri Messabweichung
Messwert
x:
Summe des wahren Wertes
xw
und der Messabweichung
e:
x = xw + e.
In der Praxis: wahrer Wert
xw
ersetzt durch richtigen Wert
xR ,
also
x = xR + e
Deshalb Denition der (absolute) Abweichung
e
e = x − xR
Für Vergleiche oft vorteilhaft: relative Abweichung
er =
Wenn
e x,
e
xR
näherungsweise
er =
14
er
(RAC)
e
x
SoSe 2010
3.2 Systematische Messabweichungen
Messabweichungen
Systematische Messabweichungen
Systematische Messabweichungen (engl.
systematic errors)
besitzen
folgende Kennzeichen:
Sie bewirken unter gleichen Messbedingungen immer Abweichungen
mit dem gleichen Vorzeichen und dem gleichen Betrag, d. h. sie sind
reproduzierbar.
Sie werden durch Unvollkommenheit in den Messgeräten und in den
angewandten Messverfahren verursacht.
Typische Ursachen sind beispielsweise
Spannungsabfall am Strommesser,
Temperatureinüsse auf Messobjekt und Messeinrichtung,
fehlerhafte Beschreibungsgleichungen für das Messergebnis bei
indirekten Messungen.
(RAC)
Messabweichungen
SoSe 2010
Bekannte und unbekannte systematische Abweichungen
Die systematische Abweichung
es
besteht aus zwei Komponenten, der
bekannten systematischen Abweichung
systematischen Abweichung
es,b
und der unbekannten
es,u :
es = es,b + es,u
(RAC)
SoSe 2010
15
3.2.1 Bekannte systematische Abweichungen
Messabweichungen
Bekannte systematische Abweichung
Bekannte systematische Abweichungen können korrigiert werden.
Beispiel: Spannungsmessung am Wi-
I
derstand:
RL
Es ist möglich, die Abweichung der
gemessenen
U
Spannung
von
der
Spannung über den Widerstand
URx
Rx
anzugeben, wenn der Widerstand der
U = URx + 2URL
Zuleitung bekannt ist:
es,b = 2URL .
(RAC)
URx
RL
SoSe 2010
3.2.2 Unbekannte systematische Abweichungen
Messabweichungen
Unbekannte systematische Abweichungen
Unbekannte systematische Messabweichungen können
nicht ermittelt und daher
nicht korrigiert werden.
Beispiel: nicht dokumentierte Temperatureinüsse
16
(RAC)
SoSe 2010
3.2.3 Fortpanzung systematischer Messabweichungen
Messabweichungen
Fortpanzung systematischer Messabweichungen
Häug kann eine interessierende Messgröÿe
y
nicht direkt gemessen
werden. Stattdessen besteht ein bekannter funktioneller Zusammenhang
zwischen
y
und den der Messung zugänglichen Messgröÿen
x1 , . . . ,xn
y = f (x1 , . . . ,xn )
Wie wirken sich die systematischen Abweichungen
d. h. wie groÿ die systematische Abweichung
∆x1 , . . . ,∆xn
auf
y
aus,
∆y ?
∆y = f (x1 + ∆x1 , . . . , xn + ∆xn ) − f (x1 , . . . ,xn )
Für kleine absolute Einzelmessabweichung
sich
∆y
∆xi ,
also
folgendermaÿen bestimmen:
∆y ≈
(RAC)
|∆xi | << |xi |,
lässt
n
X
∂f
∆xi .
∂xi
(1)
i=1
Messabweichungen
SoSe 2010
Beispiel: Leistungsmessung (1)
Gleichzeitige Messung von Strom und Spannung (stromrichtige
Messschaltung) an einem Widerstand
RV .
Gegeben:
Innenwiderstand des
Strommessers
Innenwiderstand des
Spannungsmessers
Messwerte
A
RiA = 0,5 Ω,
RiV = 150 Ω
U = 1,25 V
UB
RV
V
und
I = 0,2 A
Gesucht: bekannte systematische Abweichung der Leistung
und das korrigierte Messergebnis der Leistung
(RAC)
∆P
über
RV
PE .
SoSe 2010
17
Messabweichungen
Beispiel: Leistungsmessung (2)
Das unberichtigte Ergebnis der Leistungsmessung lautet
·
P = f (U,I) = U I = 1,25 V 0,2 A = 0,25 W.
Nach Gleichung 1 ergibt sich bezogen auf die Leistungsmessung
∆P =
2
X
∂P
∂P
∂P
∆xi =
∆U +
∆I = I∆U + U ∆I.
∂xi
∂U
∂I
i=1
Wegen stromrichtiger Schaltung:
∆I = 0
und
∆U = IRiA ,
also
∆P = I∆U = I(IRiA ) = I 2 RiA = (0,2 A)2 0,5 Ω = 0,02 W.
Der korrigierte Messwert ergibt sich damit zu
PE = P − ∆P = 0,25 W − 0,02 W = 0,23 W.
(RAC)
SoSe 2010
3.3 Zufällige Messabweichungen
3.3.1 Einleitung
Messabweichungen
Zufällige Messabweichungen
zufällige Messabweichungen: Zufällige Messabweichungen sind alle nicht
systematisch erfassbaren Abweichungen.
Ein Messgerät erfasst die Summe des
z(t)
xe (t)
+
Wertes der Messgröÿe
Messgerät
xa (t)
xe (t)
und der
z(t):
xa (t) = xe (t) + z(t).
Störung
Eine Charakterisierung ist erst durch wiederholte Messungen möglich:
wiederholte Messungen liegen innerhalb eines gewissen Bereiches
Gröÿe des Bereichs als Maÿ für die Reproduzierbarkeit der Messung
keine Vorhersage über ein einzelnes (Mess-)Ergebnis möglich
trotzdem Gesetzmäÿigkeiten (z.B. Erwartungswert),
18
(RAC)
SoSe 2010
Messabweichungen
Beispiele zu Gesetzmäÿgkeiten bei Zufallsexperimenten
Zufallsgenerator
(0,1]
Z(0,1]
(Ausgabe einer zufälligen (reellen) Zahl im Intervall
gleichverteilt):
Vorhersage über die Ausgabe nicht möglich, aber z. B.
im Mittel beträgt der Wert 0,5 (=
die Wahrscheinlichkeit
(=
0,5−0,4
)
1
Zufallsgenerator
(a,b],
Z(a,b]
P (Wert
0+1
2 )
liegt zwischen 0,4 und 0,5) beträgt 0,1
(Ausgabe einer zufälligen (reellen) Zahl im Intervall
gleichverteilt):
Vorhersage über die Ausgabe nicht möglich, aber z. B.
im Mittel beträgt der Wert
a+b
2
P (Wert liegt zwischen c1
−c1
∈ [a,b], c1 < c2 ) beträgt c2b−a
die Wahrscheinlichkeit
(c1 , c2
(RAC)
und
c2 )
SoSe 2010
3.3.2 Verteilungsfunktion und Dichte
Messabweichungen
Verteilungsfunktion
Verteilungsfunktion: (engl.
F (x)
distribution function):
einer Zufallsvariablen
X
Die Verteilungsfunktion
gibt an, mit welcher
Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder
gleich
x
annimmt:
F (x) = P (X ≤ x) x ∈ <.
Jede Verteilungsfunktion hat folgende Eigenschaften:
F (x)
ist monoton steigend.
F (x)
ist rechtsseitig stetig.
F (−∞) = 0
und
(RAC)
F (∞) = 1.
SoSe 2010
19
Messabweichungen
Verteilungsfunktion für Zufallsgenerator Z(0,1]
FZ(0,1] (x)
des Zufallsgenerators
Z(0,1]
lautet:
FZ(0,1] (x)

 0, x ≤ 0
x, 0 < x ≤ 1
FZ(0,1] (x) =

1 1<x
(RAC)
1
0
1
2
Messabweichungen
x
SoSe 2010
Verteilungsfunktion für Zufallsgenerator Z(a,b]
Z(a,b]
FZ(a,b] (x)
für die Ausgabe des Zufallsgenerators
lautet:
FZ(a,b] (x)
FZ(a,b] (x) =

 0,

x−a
b−a ,
1
20
x≤a
a<x≤b
b<x
1
a
(RAC)
b
x
SoSe 2010
Messabweichungen
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mittels
Verteilungsfunktion
Nützlich sind Verteilungsfunktionen u. a. bei der Berechnung von
Wahrscheinlichkeiten dafür, dass Ereignisse in ein bestimmtes Intervall
(xu ,xo ]
fallen:
P (xu < X ≤ xo ) = P (X ≤ xo ) − P (X ≤ xu )
= F (xo ) − F (xu ).
(RAC)
Messabweichungen
SoSe 2010
Beispiel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mittels
Verteilungsfunktion
Zufallsgenerator
Z(0,1] :
Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zahl zwischen 0,7 und 0,84
ausgegeben wird:
P (0,7 < X ≤ 0,84) = FZ(0,1] (0,84) − FZ(0,1] (0,7) = 0,84 − 0,7 = 0,14
Zufallsgenerator
Z(a,b] :
Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zahl zwischen
xu , xo ∈ (a,b]
xu
und
xo ,
ausgegeben wird:
P (xu < X ≤ xo ) = FZ(a,b] (xo ) − FZ(a,b] (xu )
xo − a xu − a
xo − xu
=
−
=
b−a
b−a
b−a
(RAC)
SoSe 2010
21
Messabweichungen
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion: (engl.
probability density function)
Ableitung einer Verteilungsfunktion (wenn die Ableitung
existiert). Kurzbezeichnung: Dichte.
Jede Dichte
f (x)
f (x)
hat folgende Eigenschaften:
ist nicht negativ, also
f (x) ≥ 0 ∀ x ∈ <
f (x)
Das Integral über
ist 1:
Z
∞
f (x)dx = 1
−∞
(RAC)
Messabweichungen
SoSe 2010
Dichtefunktion des Zufallsgenerators
Zufallsgenerator
fZ(0,1]

 0, x ≤ 0
1, 0 < x ≤ 1
=

0, 1 < x
Zufallsgenerator
fZ(a,b] =

 0,

1
0
1
b−a ,
0,
(RAC)
x≤a
a<x≤b
b<x
1
x
2
fZ(a,b] (x)
Z(a,b] :
22
fZ(0,1] (x)
Z(0,1] :
1
b−a
a
b
x
SoSe 2010
Messabweichungen
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mittels Dichte
Auch die Dichte kann zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten dienen:
P (xu < X ≤ xo ) = F (xo ) − F (xu ) =
Z
xo
f (x)dx
xu
f (x)
P (xu < X ≤ xo )
Wahrscheinlichkeit: Fläche unter der Dichte in den angegebenen Grenzen.
xu
(RAC)
x
xo
Messabweichungen
SoSe 2010
Beispiel zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mittels
Dichte
Zufallsgenerator
Z(0,1] :
Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zahl zwischen 0,7 und 0,84
ausgegeben wird:
P (0,7 < X ≤ 0,84) =
Zufallsgenerator
Z
0,84
0,7
1dx = [x]0,84
0,7 = 0,84 − 0,7 = 0,14
Z(a,b] :
Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zahl zwischen
xu , xo ∈ (a,b]
und
xo ,
ausgegeben wird:
P (xu < X ≤ xo ) =
xu
(RAC)
Z
xo
xu
1
x xo
xo − xu
dx =
=
b−a
b − a xu
b−a
SoSe 2010
23
3.3.3 Normalverteilung
Messabweichungen
Normalverteilung (Gauÿ-Verteilung)
In der Messtechnik ist die Normalverteilung, auch Gauÿ-Verteilung genannt,
(engl.
normal distribution, Gaussian distribution)
von herausragender
Bedeutung.
Dichte der Normalverteilung: Die Normalverteilung mit dem
Erwartungswert
µ
und der Varianz
f (x) = √
1
2πσ 2
σ2
e−
besitzt die Dichte
(x−µ)2
2σ 2
.
Es gibt keine geschlossene Form zur Darstellung der Verteilungsfunktion.
Sie wird meist mit
Φ(x)
bezeichnet und liegt in Tabellen vor.
Standardnormalverteilung: (engl.
standard normal distribution)
Normalverteilung mit
(RAC)
µ=0
und
σ2 = 1
Messabweichungen
SoSe 2010
Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
Erwartungswert: (engl.
expected value):
Heuristisch kann der
Erwartungswert als derjenige Wert interpretiert werden, der sich im Mittel
ergibt, wenn das zugrundeliegende Experiment oftmals wiederholt wird:
N
1 X
µ = lim
xn .
N →∞ N
n=1
Varianz: (engl.
variance):
Maÿ für die Abweichung einer Zufallsvariable von
ihrem Erwartungswert.
N
1 X
σ = lim
(xn − µ)2 .
N →∞ N
2
n=1
Standardabweichung (engl.
standard deviation):
Varianz.
24
σ=
(RAC)
√
(positive) Wurzel der
σ2
SoSe 2010
Messabweichungen
Beispiele zur Dichte der Normalverteilung
√ 1
2πσ 2
f (x) =
2
exp − (x−µ)
2
2σ
σ=
2
1
5
1
σ=
1
2
σ=1
0
µ−2
µ
µ−1
(RAC)
µ+1
µ+2
x
Messabweichungen
SoSe 2010
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei Normalverteilung
Wahrscheinlichkeit
P
fällt:
P =
dafür, dass ein Messergebnis in das Intervall
Z
xo
xu
Spezialfall:
f (x)dx = √
xu = µ − σ , xo = µ + σ
1
2πσ
Z
xo
e−
(x−µ)2
2σ 2
[xu ,xo ]
dx
(2)
xu
f (x)
1-σ -Grenze
Intervall der Breite
symmetrisch um
2σ
P(x in 1-σ -Grenze)=
68,27%
µ
(RAC)
68,27%
µ−σ
µ
x
µ+σ
SoSe 2010
25
Messabweichungen
Typische Wahrscheinlichkeiten für die Einhaltung von
Messaussagen
symmetrische
Wahrscheinlichkeit,
Trans-
Bezeichnung
Intervall-
dass ein Messwert
formation:
betrieblichen Praxis
grenzen
im Intervall liegt
t=
µ±σ
µ ± 2σ
µ ± 3σ
0,6827
1
orientierende Messung
0,9545
2
Betriebsmessung
0,9973
3
Präzisionsmessung
(RAC)
der
x−µ
σ
Messabweichungen
in
SoSe 2010
Transformation auf Standardnormalverteilung (1)
Leider: Intergral aus Gleichung 2 nicht geschlossen lösbar.
Stattdessen:
Tabelle für Werte des Standardnormalverteilung
Transformation der Normalverteilung in die Standardnormalverteilung
Lösung des Integrals für die Standardnormalverteilung mit der Tabelle
Transformation:
x−µ
1
, dt = dx
σ
σ
Wenn X normalverteilt ist mit Erwartungswert µx und Standardabweichung
σx und T standardnormalverteilt ist (µt = 0, σt = 1), dann gilt
t=
P (x ∈ [xu ,xo ]) = P (t ∈ [tu ,to ])
für
tu =
26
(RAC)
xu − µ
,
σ
to =
xo − µ
σ
SoSe 2010
Messabweichungen
Transformation auf Standardnormalverteilung (2)
Beweis:
P
=
=
=
=
Z xo
Z to
(x−µ)2
(σt+µ−µ)2
1
1
−
2
√
e 2σ dx = √
e− 2σ2 σdt
2πσ xu
2πσ tu
Z to
2
t
1
√
e− 2 dt
2π tu
Z to
Z tu
2
t2
1
1
− t2
√
√
e
dt −
e− 2 dt
2π −∞
2π −∞
Φ(to ) − Φ(tu )
Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung:
1
Φ(t) = √
2π
Eigenschaften:
Z
t
e−
y2
2
dy
−∞
Φ(0) = 0,5, Φ(−t) = 1 − Φ(t).
(RAC)
Messabweichungen
SoSe 2010
Tabelle der Standardnormalverteilung Φ(x)
0
1
2
,5
50398 50797
53982 54379 54775
57925 58316 58706
61791 62171 62551
65542 65909 66275
69146 69497 69846
72574 72906 73237
75803 76114 76423
78814 79102 79389
81593 81858 82121
84134 84375 84613
86433 86650 86864
88493 88686 88876
90319 90490 90658
91924 92073 92219
93319 93447 93574
94520 94630 94738
95543 95636 95728
96406 96485 96562
97128 97193 97257
97724 97778 97830
98213 98257 98299
98609 98644 98679
98927 98955 98982
99180 99202 99223
99379 99396 99413
99533 99547 99560
99653 99663 99673
99744 99752 99759
99813 99819 99824
Sönke Carstens-Behrens (RAC)
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
©
3
51196
55171
59095
62930
66640
70194
73565
76730
79673
82381
84849
87076
89065
90824
92364
93699
94844
95818
96637
97319
97882
98341
98712
99009
99245
99429
99573
99683
99767
99830
4
5
6
51595 51993 52392
55567 55961 56355
59483 59870 60256
63307 63683 64057
67003 67364 67724
70540 70884 71226
73891 74215 74537
77035 77337 77637
79954 80233 80510
82639 82894 83147
85083 85314 85542
87285 87492 87697
89251 89435 89616
90987 91149 91308
92506 92647 92785
93821 93942 94062
94949 95052 95154
95907 95994 96079
96711 96784 96855
97381 97441 97500
97932 97981 98030
98382 98422 98461
98745 98777 98808
99035 99061 99086
99265 99285 99305
99445 99461 99476
99585 99597 99609
99692 99702 99710
99774 99781 99788
99835 99841 99846
7
52790
56749
60641
64430
68082
71566
74857
77935
80784
83397
85769
87899
89795
91465
92921
94179
95254
96163
96925
97558
98077
98499
98839
99110
99324
99491
99620
99719
99794
99851
8
53188
57142
61026
64802
68438
71904
75174
78230
81057
83645
85992
88099
89972
91620
93056
94294
95352
96246
96994
97614
98123
98537
98869
99134
99343
99505
99631
99728
99801
99855
9
53585
57534
61409
65173
68793
72240
75490
78523
81326
83891
86214
88297
90147
91773
93188
94408
95448
96327
97062
97670
98169
98573
98898
99157
99361
99520
99642
99736
99807
99860
SoSe 2010
27
Messabweichungen
Beispiel zur Transformation auf Standardnormalverteilung
(1)
Aufgabe:
In einem Zementwerk soll eine Maschine Säcke mit
25 kg
Zement füllen.
Von der Messeinrichtung der Maschine ist bekannt, dass ihre Messwerte
einer Normalverteilung mit einer Standardabweichung von
σ = 0,05 kg
unterliegen. Der Erwartungswert entspricht dem eingestellten Wert.
Frage:
Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit
24,9 kg
und
25,1 kg
P,
dass die Zementsäcke zwischen
Zement enthalten?
(RAC)
Messabweichungen
SoSe 2010
Beispiel zur Transformation auf Standardnormalverteilung
(2)
Lösung:
Es müssen die Grenzen
Wahrscheinlichkeit
P
tu
Transformationsvorschrift
tu =
to =
und
to
bestimmt werden, um die gesuchte
aus der Tabelle entnehmen zu können. Mit der
t = (x − µ)/σ
folgt
24,9 kg − 25 kg
−0,1
xu − µ
=
=
= −2
σ
0,05 kg
0,05
xo − µ
25,1 kg − 25 kg
0,1
=
=
=2
σ
0,05 kg
0,05
Damit folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit
P
28
= Φ(2) − Φ(−2) = Φ(2) − (1 − Φ(2))
·
·
= 2 Φ(2) − 1 = 2 0,97724 − 1 ≈ 0,9545.
(RAC)
SoSe 2010
3.3.4 Auswertung endlicher Messreihen
Messabweichungen
Auswertung endlicher Messreihen
Für viele messtechnische Aufgaben kann eine Normalverteilung
zugrunde gelegt werden.
Erwartungswert
µ
und Standardabweichung
σ
sind aber nicht immer
bekannt.
Zur Schätzung von Erwartungswert
µ
σ
werden (theoretisch) unendlich viele Messwerte benötigt.
Tatsächlich stehen in der Praxis nur Messreihen mit
N
Messwerten
zur Verfügung.
⇒
Erwartungswert und Standardabweichung können nur aus den
vorhandenen Messwerten geschätzt werden. Die Schätzwerte werden in der
Regel von den wahren Werten abweichen.
(RAC)
Messabweichungen
SoSe 2010
Mittelwert und empirische Standardabweichung
Der Erwartungswert
µ
wird durch den arithmetischen Mittelwert
µ ⇒ x̄ =
und die Standardabweichung
Standardabweichung
σ
N
1 X
xn
N
n=1
wird durch die empirische
s,
v
u
u
σ⇒s=t
N
1 X
(xn − x̄)2 .
N −1
Standardabweichung erwartungstreu ist.
(Streuung) kann als Schätzung für
(RAC)
(3)
n=1
ersetzt. Im Nenner von Gleichung 3 steht
s2
x̄
N − 1,
σ2
damit die Schätzung der
verwendet werden.
SoSe 2010
29
Messabweichungen
Eigenschaften des Mittelwerts
Der Mittelwert
x̄
werde aus
N
Messwerten bestimmt, die einer
Normalverteilung mit Erwartungswert
µ
unterliegen. Die empirische Standardabweichung sei
x̄
x̄
s.
σ
Dann gilt
ist selbst normalverteilt
ist erwartungstreu, d. h.
µx̄ = µ
die Standardabweichung von
Messwerte, d. h.
x̄
ist um Faktor
√
N
kleiner als die der
σ
σx̄ = √
N
die empirische Standardabweichung von
x̄
ist um Faktor
√
N
kleiner
als die der Messwerte, d. h.
s
sx̄ = √
N
(RAC)
Messabweichungen
SoSe 2010
Standardmessunsicherheit
Die empirische Standardabweichung des Mittelwerts drückt die
Unsicherheit eines Messergebnisses aus:
s
u(x) = sx̄ = √ .
N
Da die Aussage zur Unsicherheit von der Standardabweichung abgeleitet
Standardunsicherheit
wird, ist die Bezeichnung
Oft sinnvoll:
für
u(x)
üblich.
relative Standardunsicherheit
U
bezogen auf Messergebnis
M
Messergebnis: bester Schätzwert (Korrektur system. Abweichungen)
bester Schätzwert ist oft der Mittelwert
Dann beträgt die relative Standardunsicherheit:
u(x)rel =
30
(RAC)
u(x)
u(x)
=
.
|M |
|x̄|
SoSe 2010
Messabweichungen
Beispiel zur Standardunsicherheit (1)
Für eine Längenmessung wurden folgende zwanzig Messungen
durchgeführt:
Mess-
Mess-
Mess-
Mess-
wert
l/m
wert
l/m
wert
l/m
wert
l/m
x1
x2
x3
x4
x5
0,996
x6
x7
x8
x9
x10
1,013
x11
x12
x13
x14
x15
0,998
x16
x17
x18
x19
x20
1,001
0,983
1,001
1,003
0,989
1,012
1,000
1,003
1,002
1,007
0,994
1,022
0,999
1,011
1,001
0,999
0,992
Frage:
Wir groÿ sind die Standardunsicherheit und die relative
Standardunsicherheit?
(RAC)
Messabweichungen
SoSe 2010
Beispiel zur Standardunsicherheit (2)
Lösung:
Der Mittelwert ergibt sich zu
x̄ =
1
20
P20
i=1 xi
=
20,026 m
20
= 1,0013 m.
Damit kann die empirische Standardabweichung berechnet werden:
v
r
u
20
u1 X
1,0422 10−3 m2
t
2
s=
(xi − x̄) =
≈ 7,4063 10−3 m.
19
19
·
·
i=1
Aus der empirischen Standardabweichung lässt sich die
Standardunsicherheit bestimmen:
·
·
s
7,4063 10−3 m
√
u(x) = √ ≈
≈ 1,6561 10−3 m.
20
N
Schlieÿlich folgt für die relative Standardunsicherheit
u(x)rel =
·
·
u(x)
1,6561 10−3 m
≈
≈ 1,6556 10−3 ≈ 0,17%
|x̄|
1,0013 m
(RAC)
SoSe 2010
31
3.3.5 Vertrauensbereich einer Messreihe
Messabweichungen
Vertrauensbereich einer Messreihe
Ann.: Die Messwerte einer Messreihe unterliegen einer Normalverteilung.
Es kann ein
Vertrauensbereich v
angegeben werden, in dem sich der
wahre Wert der Messgröÿe mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit
(1-α) bendet (Vertrauensniveau).
Für die untere Vertrauensgrenze gilt
·
s
vu = x̄ − t √ ,
N
für die obere entsprechend
·
s
vo = x̄ + t √ .
N
Der so genannte Student-Faktor
t
hängt vom gewählten
Vertrauensniveau und der Anzahl an Messwerten ab.
(RAC)
Messabweichungen
SoSe 2010
Tabelle zum Student-Faktor
Anzahl
N
Messwerte
Vertrauensniveau
(1 − α) =
68,27%
95,45%
2
1,84
18,44
235,80
3
1,32
4,93
19,21
4
1,20
3,48
9,22
5
1,15
2,98
6,62
6
1,11
2,73
5,51
8
1,08
2,50
4,53
10
1,06
2,37
4,09
20
1,03
2,18
3,45
50
1,01
2,08
3,16
100
1,00
2,04
3,08
N →∞
1,00
2,00
3,00
32
der
(RAC)
99,73%
SoSe 2010
Messabweichungen
Beispiel zur Berechung des Vertrauensbereichs (1)
Fortsetzung des Beispiels der Längenmessung, von der nun auÿerdem
bekannt ist, dass die Messwerte einer Normalverteilung unterliegen:
Mess-
Mess-
Mess-
Mess-
wert
l/m
wert
l/m
wert
l/m
wert
l/m
x1
x2
x3
x4
x5
0,996
x6
x7
x8
x9
x10
1,013
x11
x12
x13
x14
x15
0,998
x16
x17
x18
x19
x20
1,001
0,983
1,001
1,003
0,989
1,012
1,000
1,003
1,002
1,007
0,994
1,022
0,999
1,011
1,001
0,999
0,992
Frage:
Wie lauten die Grenzen des Vertrauensbereichs, wenn ein Vertrauensniveau
von 95,45% gefordert ist? Wie groÿ ist der Vertrauensbereich?
(RAC)
Messabweichungen
SoSe 2010
Beispiel zur Berechung des Vertrauensbereichs (2)
Lösung:
·
x̄ = 1,0013 m, empirische Standardabweichung
s = 7,4063 10−3 m (s. Beispiel zur Standardunsicherheit)
aus der Tabelle zum Student-Faktor für N = 20 und
(1 − α) = 95,45%: t = 2,18
Mittelwert
untere Vertrauensgrenze:
·
·
·
·
·
s
2,18 7,4063 10−3 m
√
vu = x̄ − t √ = 1,0013 m −
≈ 0,9977 m
20
N
obere Vertrauensgrenze:
·
s
2,18 7,4063 10−3 m
√
vo = x̄ + t √ = 1,0013 m +
≈ 1,0049 m
20
N
Gröÿe des Vertrauensbereichs:
(RAC)
vo − vu = 7,2 mm
SoSe 2010
33
3.3.6 Fortpanzung von Unsicherheiten
Messabweichungen
Fortpanzung von Unsicherheiten bei unkorrelierten
Messgröÿen
y
sei eine Funktion der Messergebnissen
xn n = 1, . . . ,N ,
y = f (x1 , . . . ,xN ).
Unsicherheit von
y:
geeignete Kombination der Unsicherheiten
u(xi )
der
einzelnen Messergebnisse.
Falls die einzelnen Messgröÿen nicht korreliert sind, gilt
v
uN 2
uX ∂f
t
ux
.
u(y) =
∂xn n
n=1
kombinierte Standardunsicherheit
Relative kombinierte Standardunsicherheit:
u(y)
wird auch als
u(y)rel =
(RAC)
bezeichnet.
u(y)
|y|
Messabweichungen
SoSe 2010
Fortpanzung von Unsicherheiten bei korrelierten
Messgröÿen
Bei vollständiger Korrelation der Messgröÿen, d. h. Korrelationskoezient
ρ = 1,
kann ein lineares Fortpanzungsgesetz angewandt werden:
·
n
X
∂f
u(xi ).
u(y) =
∂xi
i=1
Von vollständiger Korrelation kann beispielsweise dann ausgegangen
werden, wenn die Werte der Messgröÿen mit demselben Messgerät
gemessen wurden.
34
(RAC)
SoSe 2010
Messabweichungen
Beispiel 1 zur Fortpanzung von Unsicherheiten
Leistungsbestimmung:
Der Widerstand eines ohmschen Verbrauchers wurde mit
R = 301,4 Ω
gemessen. Aus vorhergehenden Untersuchungen ist bekannt, dass diese
Messung mit einer Unsicherheit von
u(R) = 0,4 Ω
behaftet ist.
Die Messung der Spannung über den Verbraucher wurde mit
U = 230,1 V
gemessen. Die ebenfalls bekannte Unsicherheit der
Spannungsmessung beträgt
u(U ) = 0,1 V.
Frage: Welche Leistung fällt am Verbraucher ab und mit welcher
Unsicherheit ist dieser Wert behaftet?
(RAC)
Messabweichungen
SoSe 2010
Beispiel 1 zur Fortpanzung von Unsicherheiten (2)
Lösung:
Für die Leistung gilt
P = f (x1 ,x2 ) =
U2
R
=
(230,1 V)2
301,4 Ω
= 175,67 W.
Unter der Annahme, dass die Einzelmessungen nicht korreliert sind, gilt für
P:
v
u n 2 s
2 2
uX ∂P
2U
U2
t
u(P ) =
u(xi ) =
u(U ) + − 2 u(R)
∂xi
R
R
i=1
s
2 2
2 230,1 V
(230,1 V)2
=
0,1 V + −
0,4
Ω
301,4 Ω
(301,4 Ω)2
= 0,279 W
die Unsicherheit von
·
·
·
·
·
·
Bei einer indirekten Messung sollten nicht mehr Stellen angegeben werden,
als bei den gegebenen Werten vorhanden sind:
P = 175,7 W, u(P ) = 0,3 W.
(RAC)
SoSe 2010
35
Messabweichungen
Beispiel 2 zur Fortpanzung von Unsicherheiten
Von einem Widerstandsmessgerät sei bekannt, dass es mit einer
Unsicherheit von
u(R) = 0,3 Ω
misst. Mit diesem Messgerät werden die
Werte von zwei Widerständen bestimmt:
R1 = 119,5 Ω, R2 = 76,6 Ω
Fragen: Wie groÿ ist der Gesamtwiderstand und die Unsicherheit, wenn die
beiden Widerstände a) in Reihen und b) parallel geschaltet werden?
(RAC)
Messabweichungen
SoSe 2010
Beispiel 2 zur Fortpanzung von Unsicherheiten (2)
Lösung:
Reihenschaltung:
RR = R1 + R2 = 196,1 Ω.
P
R
u(RR ) = 2i=1 ∂R
∂Ri u(Ri ) = u(R1 ) + u(R2 ) = 0,6 Ω.
·
Gesamtwiderstand:
Unsicherheit:
Parallelschaltung:
Gesamtwiderstand:
RP =
R1 R2
R1 +R2
= 46,68 Ω.
Unsicherheit:
u(RP ) =
2
X
∂RP
i=1
=
=
u(Ri )
R2 (R1 + R2 ) − R1 R2
R1 (R1 + R2 ) − R1 R2
u(R1 ) +
u(R2 )
(R1 + R2 )2
(R1 + R2 )2
R22 u(R1 )
R12 u(R2 )
+
≈ 0,16 Ω
(R1 + R2 )2 (R1 + R2 )2
36
∂Ri
(RAC)
SoSe 2010
3.4 Bericht des Messergebnisses
Messabweichungen
Bericht des Messergebnisses
vollständiges Messergebnis: Mitteilung des Messergebnisses mit allen
zugänglichen, relevanten Informationen
Darstellung
Beispiel
x = M ± u(x)
l = 1,13 cm ± 1,8 mm
oder l = (1,13 ± 0,18) cm
l = 1,13 (1 ± 0,16) cm
1,13 cm; 1,8 mm
1,13 cm; 0,16
1,13 cm (1,8 mm)
1,13 cm (0,16)
·
x = M (1 ± u(x)rel )
M ; u(x)
M ; u(x)rel
M (u(x))
M (u(x)rel )
·
M : berichtigtes Messergebnis (systematische
u(x): Standardunsicherheit von x
u(x)rel : relative Standardunsicherheit von x
(RAC)
Fehler sind korrigiert)
Messabweichungen
SoSe 2010
Beispiel zum Bericht eines Messergebnisses (1)
Im Ergebnis der Messung eines Vergleichsgewichts liegen folgende Resultat
vor:
unberichtigtes Messergebnis:
bekannte systematische Abweichung:
x = 1,0003 kg
es,b = −0,0011 kg
u(x) = 0,6 g
Frage:
Wie lautet das vollständige Messergebnis?
(RAC)
SoSe 2010
37
Messabweichungen
Beispiel zum Bericht eines Messergebnisses (2)
Für das (berichtigte) Messergebnis
M
gilt:
M = x − es,b = 1,0003 kg − −0,0011 kg = 1,0014 kg
Damit kann das vollständige Messergebnis z. B. in der Form
Y = 1,0014 kg ± 0,0006 kg
berichtet werden.
(RAC)
Messabweichungen
SoSe 2010
Beispiel Multimeter
38
(RAC)
SoSe 2010
Messabweichungen
Beispiel Laserentfernungsmesser
(RAC)
SoSe 2010
4 Eigenschaften von Messeinrichtungen
Eigenschaften von Messeinrichtungen
Messeinrichtung
Messeinrichtung: Eine Messeinrichtung besteht aus mehreren
zusammenhängenden Messgeräten mit zusätzlichen
Einrichtungen zur Erzielung eines Messergebnisses.
Einfachster Fall: ein einziges Messgerät.
Eingangsgröÿe
xe
(RAC)
Messeinrichtung
Ausgangsgröÿe
xa
SoSe 2010
39
4.1 Statische Kenngröÿen
4.1.1 Übertragungsfaktor und Kennlinie
Statische Kenngröÿen
Übertragungsfaktor (Kennlinie)
Übertragungsfaktor: Der Übertragungsfaktor überführt die
xe (Wert der Messgröÿe) in die
Ausgangsgröÿe xa (Ausgangs-/Anzeigegröÿe).
Eingangsgröÿe
statische Kennlinie: (engl.
characteristic):
Ausgangsgröÿe aufgetragen über
den gesamten Eingangsbereich der Messeinrichtung
xa
Übertragungsfaktor:
lineare Kennlinie
in elektronischen
Messeinrichtungen:
Verstärkung
Idealfall: linearer Zusammenhang
zwischen
xe
und
xa ⇒
Übertragungsfaktor konstant:
reale Kennlinie
k,
xe
lineare Kennlinie
(RAC)
SoSe 2010
4.1.2 Empndlichkeit
Empndlichkeit
Empndlichkeit: (engl.
sensitivity):
Änderung der Ausgangsgröÿe bezogen auf
die verursachende Änderung der Messgröÿe,
xa
Kennlinie
Arbeitspunkt
∆xa
im jeweiligen Arbeitspunkt
dxa
∆xa
=
∆xe →0 ∆xe
dxe
E = lim
∆xe
xe
Spezialfall: linearer Zusammenhang
zwischen
xe
und
xa ⇒
Empndlichkeit
ist gleich dem konstanten
Übertragungsfaktor
40
(RAC)
k, E = k
SoSe 2010
4.1.3 Anzeigebereich und Messbereich
Messbereich und Ausgabebereich (1)
xa
ideale Kennlinie
xa,1
Ausgabebereich
tolerierbare Messabweichungen
Fehlergrenzen des
Sensors/Messgerätes
Verlassen des Toleranzbereiches
xa,0
xe,0
xe
xe,1
Messbereich
(RAC)
SoSe 2010
Anzeigebereich und Messbereich (2)
Messbereich: der Bereich von
xe,0
bis
xe,1 ,
für den die Messabweichungen
innerhalb festgelegter Grenzen bleiben
Messspanne:
xe,1 − xe,0
Ausgabebereich: der Bereich von
xa,0
bis
xa,1 ,
den der Sensor bzw. das
Messgerät bereitstellen kann
Anzeigebereich: der Ausgabebereich bei anzeigenden Messgeräten
(RAC)
SoSe 2010
41
Ansprechschwelle
4.1.4 Auösung
Auösung
Auösung: (engl.
resolution):
Angabe zur quantitativen Erfassung des
Merkmals einer Messeinrichtung, zwischen nahe
beieinanderliegenden Messwerten eindeutig zu unterscheiden.
Sie kann z. B. durch die kleinste Dierenz zweier Messwerte, die die
Messeinrichtung eindeutig unterscheidet, gekennzeichnet werden.
(RAC)
SoSe 2010
4.1.5 Hysterese
Hysterese und Umkehrspanne
xa
Hysterese: zu ein und demselben
Wert der Messgröÿe
xe,0
hängt die
Ausgangsgröÿe von dem
Umkehr-
vorausgegangenen Verlauf der
spanne
Messgröÿe ab.
Umkehrspanne: Dierenz der beiden
Ausgangsgröÿen, die zu demselben
Wert der Messgröÿe gehören.
42
(RAC)
xe,0
xe
SoSe 2010
4.1.6 Fehlergrenzen und Genauigkeitsklassen
Fehlergrenzen und Genauigkeitsklassen
Fehlergrenzen: (engl.
limits of permissible error):
Abweichungsgrenzbeträge
für Messabweichungen eines Messgeräts
Unterscheiden sich untere und obere Fehlergrenze
anzugeben. Wird nur eine Fehlergrenze
G
Gu
und
Go , so sind beide
G = G u = Go
angegeben, so gilt
Genauigkeitsklasse (statistische Sicherheit 95%), symmetrische
Fehlergrenze bezogen auf den Endwert des Messbereichs in Prozent.
Beispiel: Genauigkeitsklasse 0,1: Abweichung vom Endwert
Kategorie
±0,1%
Genauigkeitsklasse
Präzisionsmessgerät
0,001; 0,002; 0.005; 0,01; 0,05
Feinmessgeräte
0,1; 0,2; 0,5
Betriebsmessgeräte
1; 1,5; 2,5; 5
(RAC)
SoSe 2010
4.2 Dynamische Kenngröÿen von Messeinrichtungen
Dynamische Kenngröÿen von Messeinrichtungen
xe xa
dynamische Messabweichung:
zeitabhängige Messabweichung,
dadurch verursacht, dass die
Ausgangsgröÿe
xa
einer
edyn (te )
Messeinrichtung den zeitlichen
Änderungen der Eingangsgröÿe
xe
nicht verzögerungsfrei folgen kann.
edyn (t) = xa (t) − xe (t).
(RAC)
te
t
SoSe 2010
43
Messeinrichtung als System
Dynamische Eigenschaften eines Messsystems lassen sich mit Methoden der
Systemtheorie untersuchen.
xe
xa
Messeinrichtung
xe
xa
System
Besonders häug lässt sich das Übertragungsverhalten beschreiben als
Verzögerungsglied 1. Ordnung
(RAC)
SoSe 2010
elektrotechnisch: Verzögerungsglied 1. Ordnung = Tiefpass 1. Ordnung
R
uR (t)
ue (t)
Die Elemente Widerstand
i(t)
R
und Kapazität
C
C
ua (t)
lassen sich bei
Messeinrichtungen meist realen elektrischen Schaltungsteilen zuordnen.
C:
Eingangskapazität der elektronischen Messeinrichtung und
Kapazität der Messkabel
R:
Parallelschaltung von Quellwiderstand des Messsignals und
Eingangswiderstand des Messeinrichtung.
44
(RAC)
SoSe 2010
Zeitverhalten des Verzögerungsgliedes 1. Ordnung
Eingangsgröÿe:
ue (t),
Ausgangsgröÿe:
ua (t)
ue (t) = uR (t) + ua (t) = Ri(t) + ua (t)
Für den Strom
i(t)
gilt
i(t) = C
dua (t)
.
dt
Damit ergibt sich eine DGL 1. Ordnung:
ue (t) = RC
dua (t)
+ ua (t).
dt
ue (t) Sprungfunktion von 0 V auf U0
Zeitkonstanten τ = RC folgt für die Ausgangsgröÿe:
0,
t<0
ua (t) =
U0 (1 − e−t/τ ) t ≥ 0
Beispiel: Eingangsgröÿe
Mit der
(RAC)
bei
t = 0.
SoSe 2010
Sprungantwort des Verzögerungsglieds 1. Ordnung
ua (t)
U0
Je kleiner die Zeitkonstante
τ
ist, desto kürzer ist der
0.95
Einschwingvorgang.
0.63
⇒ elektrische Messeinrichtung:
R und C möglichst klein halten,
damit die Messeinrichtung der
Eingangsgröÿe möglichst schnell
τ
3τ
(RAC)
t
folgen kann.
SoSe 2010
45
5 Strukturen von Messeinrichtungen
5.1 Reihenstrukur
Strukturen von Messeinrichtungen
Reihenstrukur
Reihenstruktur
Messgröÿe
Sensor
Anzeige
Verstärker
Häug eingesetzte Struktur
Übertragungsfaktoren
ki , i = 1, . . . ,N
der
N
Elemente multiplizieren
sich:
k = k1 k2 · · · kN
Sind die Übertragungsfaktoren
u(ki )/ki
ki
mit den relativen Unsicherheiten
behaftet, so ist die relative Unsicherheit des
Übertragungsfaktors
u(k)
=
k
s
k
der gesamten Messkette
u(k1 )
k1
2
+
u(k2 )
k2
2
+ ... +
u(kN )
kN
2
Andere Bezeichnungen: Serienstruktur, Kettenstruktur
(RAC)
SoSe 2010
Reihenstrukur
Beispiel einer Reihenstruktur (1)
Ein Photoelement liefert Spannung
Beleutungsstärke
u
in Abhängigkeit der
EV : u = k1 EV
Ein Verstärker wandelt das Spannungssignal in ein Stromsignal um:
i = k2 u
Ein Zeigerinstrument zeigt den Strom an. Für den Winkel des Zeigers
gilt:
α = k3 i
Für die relativen Unsicherheiten gilt
u(k1 )/k1 = 0,03,
u(k2 )/k2 = 0,005,
u(k3 )/k3 = 0,01
i
Wie groÿ ist der Übertragungsfaktor
und wie groÿ ist die relative Unsicherheit der gesamten Messkette?
46
(RAC)
u
SoSe 2010
Reihenstrukur
Beispiel einer Reihenstruktur (2)
Die einzelnen Übertragungsfaktoren multiplizieren sich zum gesamten
Übertragungsfaktor, also
k = k1 k2 k3 .
Der Ausschlagwinkel des Strommessers ist proportional zur
Beleuchtungsstärke
EV :
α = kEV .
Für die relative Unsicherheit der gesamten Messkette gilt
u(k) p
= 0,032 + 0,0052 + 0,012 ≈ 0,032.
k
(RAC)
SoSe 2010
5.2 Parallelstruktur
Parallelstruktur
Parallelstruktur
xe1
k
xa1
xa
xe2
k
xa2
Mindestens zwei Gröÿen werden gleichzeitig oder nacheinander mit
derselben Empndlichkeit
k
gemessen und verarbeitet.
Beispiel (s. Abbildung): Die Messeinrichtng verarbeitet gleichzeitig die
beiden Signale
xe1
und
xe2
und liefert das Signal
xa = xa1 − xa2 = k(xe1 − xe2 ).
Einsatz oft zur Gleichtaktunterdrückung
(RAC)
SoSe 2010
47
Parallelstruktur
Beispiel 1 zur Parallelstruktur
Messung einer schwach radioaktiven Quelle
Problem: der Detektor misst die Summe der Strahlung aus der Quelle
und der natürlichen Strahlung.
Lösung:
ein zweiter Detektor erfasst allein die natürliche Strahlung
das Signal des zweiten Detektor wird von dem des ersten Detektors
abgezogen
Dierenz ist ein Maÿ für die Strahlung der künstlichen Quelle.
(RAC)
SoSe 2010
Parallelstruktur
Beispiel 2 zur Parallelstruktur
Kompensation von Temperatureinüssen bei Dehnungsmessstreifen:
Dehnungsmessstreifen unterliegt einer Dehnung und einer
Temperaturänderung. Für den Widerstand gilt:
xa1 = R0 + ∆Rσ + ∆RT ,
mit
R0 :
ursprünglicher Wert,
Dehnung,
∆RT :
∆Rσ :
Widerstandsänderung durch
Widerstandsänderung durch Temperaturänderung.
Problem: Einuss der Widerstandsänderung durch Dehnung und
Temperatur lässt sich nicht auseinander halten.
Lösung: ein gleichartiger Widerstand wird nur der
Temperaturänderung ausgesetzt. Nun lässt sich der
Temperatureinuss auf den ersten Widerstand kompensieren:
xa = xa1 − xa2 = R0 + ∆Rσ + ∆RT − R0 − ∆RT = ∆Rσ .
48
(RAC)
SoSe 2010
5.3 Kreisstruktur
Kreisstruktur
Kreisstruktur
xe
+
xd
Verstärker
−
xg
Kompensation
xa
Kennzeichen: Rückführung des Ausgangs an den Eingang.
Meistens:
Seltener:
xg
xg
wird von
wird zu
(RAC)
xe
xe
abgezogen (Gegenkopplung).
addiert (Mitkopplung).
SoSe 2010
Kreisstruktur
Kreisstruktur (2)
Einfachster Fall: Vorwärtszweig mit Übertragungsfaktor
Rückführungszweig mit Übertragungsfaktor
⇒ xd = k1 (xe − xg ) = k1 (xe − kg xd ) =
Meistens wird
xd ≈
xe
kg
k1
k1 ,
kg
k1 xe
.
1 + k1 kg
sehr groÿ gewählt (Operationsverstärker), so dass
Dann sind Eingangsgröÿe und Kompensationsgröÿe praktisch gleich:
xg = kg xd ≈ xe .
Aus dem Kompensationseinrichtung kann nun ein Maÿ für
damit für
xe
xg
und
als Anzeigewert ausgekoppelt werden.
Die Kreisstruktur ist eng mit dem Kompensationsverfahren verbunden.
(RAC)
SoSe 2010
49
5.4 Allgemeine Struktur zur rechnergestützten Messdatenerfassung
Rechnergestützte Messdatenerfassung
Allgemeine Struktur zur rechnergestützten
Messdatenerfassung
xe (t)
Umwelt
Rechner
Sensor
AD-Wandler
[x1 ,x2 ,...,xn ]
t
u,i,q
t
t
u
u
Halteglied
Verstärker
t
u
t
u
Anti-Aliasing-
t
Multiplexer
Filter
(RAC)
t
SoSe 2010
6 Messung elektrischer Gröÿen
6.1 Einleitung
Messung elektrischer Gröÿen
Einleitung
Einleitung
Messung von Stromstärke und Spannung: Grundlage für fast alle
anderen Messungen elektrischer Gröÿen und nichtelektrischer Gröÿen
mit elektrischen Messverfahren.
elektromechanische Messgeräte:
Ausnutzung der Kraftwirkung auf einen stromdurchossenen Leiter in
einem Magnetfeld.
Messung einer Spannung
UM :
Zurückführung auf Strommessung über
UM = R · IM
Der Messwiderstand
R
muss genau bekannt und konstant sein.
Elektronische Messgeräte: Analog-Digital-Wandlung der Spannung.
Strommessung durch Umwandlung in Spannung.
50
(RAC)
SoSe 2010
6.2 Stromstärke und Spannung
6.2.1 Drehspulmessgerät
Stromstärke und Spannung
Drehspulmessgerät (1)
Eine beweglich aufgehängte Spule bendet sich in einem radialhomogenen
Feld eines Dauermagneten. Die Spule ist starr mit einem Zeiger und einer
Drehfeder verbunden.
Der zu messende Strom
B
die Spule
I
⇒
I
Lorentzkraft
ieÿt durch
FL ∼ I
Diese Kraft dreht die Spule, bis die
N
S
Rückstellkraft
FR
durch die Drehfeder
entgegengesetzt gleich groÿ ist.
FR
⇒
(RAC)
proportional zu Ausschlagswinkel
Zeigerausschlag
∼ I.
α.
SoSe 2010
Drehspulmessgerät (2)
Eigenschaften:
Anpassung an verschiedene Messbereiche: Parallelschaltung oder
Reihenschaltung von Widerständen
Aufgrund seiner Trägheit zeigt das Drehspulmesswerk keine schnellen
(im Vergleich zur Trägheit) Veränderungen des Stromes oder der
Spannung an.
Im Falle einer hochfrequenten reinen Wechselgröÿe bleibt der
Ausschlag damit bei null.
Messung von hochfrequenten, reinen Wechselgröÿen:
Gleichrichtung des Spulenstroms
Anzeige eines geeigneten Mittelwerts der pulsierenden Gleichspannung,
meistens: Eektivwert
(RAC)
SoSe 2010
51
6.2.2 Elektronische Messgeräte
Elektronische Messgeräte
Elektromechanische Messgeräte werden zunehmend durch
elektronische Messgeräte mit digitaler Anzeige ersetzt.
Elektronische Spannungsmesser: sehr groÿer Eingangswiderstand
7
(10
Ω . . . 1010 Ω) ⇒
fast rückwirkungsfreie Messung.
Strommessung: Spannungsabfall über einen Messwiderstand (engl.
shunt).
Wert des Messwiderstand ist im mΩ-Bereich
⇒
im Vergleich
zu elektromechanischen Messgeräten kleine systematische Abweichung.
Messung von Wechselgröÿen:
Gleichrichtung
Spezielle analoge Schaltkreise mit integrierenden Multiplizierern oder
numerisch (z. B. mit DSP)
(RAC)
SoSe 2010
6.3 Leistung
6.3.1 Elektrodynamisches Messwerk
Leistung
Elektrodynamisches Messgerät (Dynamometer)
Ähnlicher Aufbau wie beim Drehspulmessgerät, Dauermagnet ist durch
Elektromagnet (feststehende Spule) ersetzt.
Magnetfeld
B = k 1 I1
Lorentzkraft auf Drehspule:
FL = k2 BI2 = k1 k2 I1 I2
B
I2
Wegen linearer Rückstellkraft der
N
S
Feder: Zeigerausschlag
α = kI1 I2
Anwendung: Leistungsmessung
Verbraucherstrom: ieÿ durch
feststehende Spule
Verbraucherspannung: über
Vorwiderstand als Strom durch die
I1
Drehspule
α ∼ UI
52
(RAC)
SoSe 2010
Leistung
Elektrodynamisches Messgerät: Eektivwertmessung
Bei Wechselgröÿen
i1 (t)
und
i2 (t)
wird der Zeigerausschlag gedämpft
(Tiefpassverhalten). Für phasenverschobene Ströme gleicher Frequenz
i1 (t) = Iˆ1 cos(ωt)
folgt für die Leistung
p(t)
mit den
i2 (t) = Iˆ2 cos(ωt + ϕ),
√
Eektivwerten Ik = Iˆk / 2:
p(t) = i1 (t)i2 (t) = Iˆ1 cos(ωt)Iˆ2 cos(ωt + ϕ)
1ˆˆ
=
I1 I2 (cos(ϕ) + cos(2ωt + ϕ))
2
= I1 I2 (cos(ϕ) + cos(2ωt + ϕ)) .
Auslegung des Messwerks: Zeiger kann der Frequenz
2ω
nicht folgen
⇒
α = kI1 I2 cos(ϕ).
Wirkleistungsmessung: wieder Verbraucherstrom über Feldspule,
Verbraucherspannung über Messwiderstand durch Drehspule.
(RAC)
SoSe 2010
6.3.2 Elektronische Messgeräte
Leistung
Elektronische Messgeräte
Messung des Strom- und Spannungsverlaufs (sehr geringe
Messabweichungen)
Bei geeigneter Abtastrate können die Momentanwerte von Strom
und Spannung
u(t)
i(t)
bestimmt werden
Für die Momentanleistung folgt dann
p(t) = u(t)i(t)
Durch Integration bzw. Aufsummieren lässt sich auch die Wirkleistung
bestimmen.
(RAC)
SoSe 2010
53
6.4 Wirkwiderstände
Wirkwiderstände
Zweileiterschaltung
R = U/I ⇒ Bestimmung
Strom I und Spannung U
des Widerstands aus gleichzeitiger Messung von
RL
Rx :
RL
I
gesuchter
Widerstand,
(unbekannter)
Wider-
stand der Zuleitung.
UM
V
Rx
I
Wenn
RL
Ri → ∞
Rx 2RL ,
Rx =
Problem: Bei Messung sehr kleiner Widerstände
Rx ,
dann
UM
U
− 2RL ≈ .
I
I
d. h.
Rx
ist in
Gröÿenordnung der Zuleitungswiderstände, ist der unbekannte
systematische Fehler zu groÿ!
(RAC)
SoSe 2010
Wirkwiderstände
Vierleiterschaltung
I
RL
UM
Rx
I
V
RL
Ri → ∞
Die Zuleitungswiderstände
≈I
RL
haben keinen Einuss auf
I,
die Spannung
kann nahezu stromlos gemessen werden, deshalb gilt auch für sehr kleine
Messwiderstände
Rx
Rx ≈
54
(RAC)
UM
I
SoSe 2010
6.4.2 Messung mittels Messbrücken
Wirkwiderstände
Wheatstone-Brücke im Abgleichverfahren
Im Abgleichfall
Ersetzen von
R1
U0
A
R1
R2
=
R3
R4 .
durch den
R4
durch
den (einstellbaren) Vergleichwiderstand
Bestimmung von
B
Rx
Rx =
RV
Rx
R2
gilt
unbekannten Widerstand und
R3
UAB
UAB = 0
indem
RV
durch
·
R1
RV
R3
so gewählt wird, dass die
Messbrücke wieder abgegelichen ist.
in der Praxis:
R1 /R3
Messunsicherheit
Messbereich etwa
in Dekaden einstellbar
< | ± 10−4 |
1Ω
bis
möglich
10 MΩ,
bei kleineren Widerständen stören
die Zuleitungswiderstände.
(RAC)
SoSe 2010
Wirkwiderstände
Anwendbarkeit von Messbrücken im Abgleichverfahren
Zum Aufbau der Brücken ist jede Art von Widerständen geeignet.
Anwedungsbeispiele:
elektrische Messbrücken:
induktive Messbrücken
kapazitive Messbrücken
ohmesche Messbrücken
hydraulische Messbrücken
pneumatische Messbrücken
(RAC)
SoSe 2010
55
Wirkwiderstände
Wheatstone-Brücke im Ausschlagverfahren
R1 = R3 = R4 = R
R2 = R + ∆R, ∆R R
Für die Spannung
R
U0
R
UAB
A
UAB =
B
=
R + ∆R
R
≈
UAB
gilt dann:
R
R + ∆R
U0 −
U0
2R + ∆R
2R
∆R
U0
4R + 2∆R
U0
∆R,
4R
Widerstandsänderung:
∆R ≈
4RUAB
U0
Bestimmung kleiner Widerstandsänderungen mit Vorzeichen.
Viertelbrücke,
da nur ein Widerstand veränderlich ist
(RAC)
SoSe 2010
Wirkwiderstände
Thomson-Brücke im Abgleichverfahren
RL1
I0
U0
Rx , RV
RV
≈ I0
der Zuleitungswiderstände
Rm
RM
UAB
Rm /Rn = RM /RN .
Rm , Rn , RM , RN Rx
praktisch kein Strom durch die
Rn
RN
rechte Brücke
Im Abgleichfall gilt
Rx =
Rx
Messung
Vierleiterschaltung
56
RL1 ,
RL2 ,RL3 .
RL3
RL2
in der Gröÿenordnung
(RAC)
RN
RV
RM
Rx ≥ 10−7 Ω
SoSe 2010
Wirkwiderstände
Viertelbrücken
R
UAB
U0
R
∆R
U0
4R + 2∆R
∆R
U0
4R
≈
(RAC)
R
R
∆R
U0
4R + 2∆R
∆R
≈ −
U0
4R
UAB = −
R
UAB
U0
R + ∆R
UAB =
R + ∆R
R
SoSe 2010
Wirkwiderstände
Halbbrücken
R + ∆R
R + ∆R
R
UAB
U0
U0
R + ∆R
R
∆R
U0
2R + ∆R
∆R
≈ −
U0
2R
UAB = −
(RAC)
R
UAB
R − ∆R
UAB = −
R
∆R
U0
2R
SoSe 2010
57
Wirkwiderstände
Halbbrücken (2)
R + ∆R
R − ∆R
UAB
U0
R
R
−2R∆R
U0
4R2 − (∆R)2
∆R
≈ −
U0
2R
UAB =
(RAC)
SoSe 2010
Wirkwiderstände
Vollbrücke
R + ∆R
U0
UAB
R − ∆R
UAB = −
58
(RAC)
R − ∆R
R + ∆R
∆R
U0
R
SoSe 2010
6.5 Kapazität und Induktivität
Kapazität und Induktivität
Einleitung
Kapazität eines Kondensators und Induktivität einer Spule sind nur mit
Wechselspannungsmessschaltungen zu ermitteln.
Anlegen einer sinusförmigen Spannung
Frequenz aber verschobene Phase.
Komplexe Gröÿen
Leitwert
Y =
I
U.
U, I ⇒
⇒
sinusförmiger Strom: gleiche
komplexer Widerstand
=
Z=
U
I , komplexer
Z = R + jX .
√
Z = R2 + X 2 .
komplexer Widerstand:
Z
X
Scheinwiderstand:
ϕ
R
Phasenwinkel:
<
(RAC)
ϕ = arctan X
R.
SoSe 2010
Kondensator
Rp
Realer Kondensator: neben der erwünschten
C
Ls
Kapazität auch induktive Blindanteile und
Wirkanteile.
Rp
Realer Kondensator, vereinfacht: neben der
C
C
erwünschten Kapazität auch Wirkanteile.
Reicht oft zur Analyse eines Kondensators.
Idealer Kondensator: reine Kapazität. Reicht
zur Analyse hochwertiger, sehr verlustarmer
Kondensatoren. Nicht für hohe Frequenzen
1 MHz,
(RAC)
nicht bei Elektrolytkondensatoren.
SoSe 2010
59
Kondensator (2)
Idealer Kondensator:
1
ωC
XC =
=
1
2πf C
=
Realer Kondensator, vereinfacht:
U
I
⇒C=
I
2πf U .
IR
IC
δ
I
U
Verlustwinkel
Kapazität:
δ = 90◦ − ϕ: tan δ =
XC =
(RAC)
1
ωC
=
U
IC
=
U
I cos δ
IR
IC
=
⇒C
1
ωCRp .
cos δ
= I ωU
.
SoSe 2010
Spule
Cp
Reale Spule: neben der erwünschten
L
Rs
Induktivität auch kapazitive Blindanteile und
Wirkanteile.
Reale Spule, vereinfacht: neben der
L
Rs
erwünschten Induktivität auch Wirkanteile
(Widerstand der Drahtwicklung, Wirbelstrom).
Reicht zur Analyse einer Spule auÿer im
Höchstfrequenzbereich.
L
Ideale Spule: reine Induktivität. Ist in der
Praxis nicht anzutreen.
60
(RAC)
SoSe 2010
Spule (2)
Zur Bestimmung der Induktivität einer Spule sind eine
Gleichspannungsmessung (Bestimmung des ohmschen Widerstands) und
eine Wechselspannungsmessung (Bestimmung des Scheinwiderstands)
nötig:
Z 2 = R2 + XL2 = R2 + (ωL)2 .
√
XL = ωL = Z 2 − R2 .
Damit folgt für die Induktivität:
L=
√
(RAC)
Z 2 − R2
=
ω
r
Uw
Iw
2
−
2πf
Ug
Ig
2
SoSe 2010
6.5.2 Messung mittels Wechselstrombrücken
Wechselstrombrücken
Z1
Z3
Abgleichbedingung:
U AB
U0
Z2
Mit
Z1
Z2
=
Z3
Z4
Exponentialschreibweise
Z = Z ejϕ :
Z1 ejϕ1
Z3 ejϕ3
=Z
.
Z ejϕ2
ejϕ4
Z4
2
4
Der Abgleich der Wechselstrombrücke ist nach Betrag und Phase
durchzuführen!
Z1
Z3
=
Z2
Z4
und
Analog zur Gleichstrombrücke:
(RAC)
ϕ1 − ϕ2 = ϕ3 − ϕ4 .
Z1
, ϕx = ϕv − ϕ3 + ϕ1 .
Zx = Zv Z
3
SoSe 2010
61
Wechselstrombrücke: Beispiel
In der Praxis: Zwei Abgleichschritte, die iterative ausgeführt werden.
Verschiedene Varianten möglich, ein Beispiel zur Bestimmung einer
Kapazität:
R1
L
U AB
U0
Cx
Cx :
zu bestimmende Kapazität
R1 :
Betragsabgleich
L:
R2
Phasenabgleich
(RAC)
SoSe 2010
7 Temperaturmessung
7.1 Einleitung
Temperaturmessung
Einleitung
Temperatur
Bedeutung der Temperaturmessung
praktisch alle mechanischen, elektrischen, magnetischen oder
optischen Stoeigenschaften sind temperaturabhängig
chemische Reaktionen, biologische Vorgänge, technisch physikalsiche
Prozesse sind temperaturabhängig
Wirkungsgrad bei Erzeugung, Umformung, Speicherung und Transport
von Energie ist temperaturabhängig
⇒
Temperaturmessung eine der wichtigsten und am häugsten
gemessenen technisch-physikalsischen Gröÿen
z. B. in der Verfahrenstechnik: 30 bis über 50% der gesamten
Messstellen dienen der Temperaturmessung
62
(RAC)
SoSe 2010
7.2 Zur Temperaturdenition
Temperaturmessung
Zur Temperaturdenition
Denierende Fixpunkte der ITS-90
◦C
Gleichgewichtszustand
T90
Tripelpunkt Helium
-259,3467
13,8033
Tripelpunkt Neon
-248,5939
24,5561
Tripelpunkt Sauersto
-218,7916
54,3584
Tripelpunkt Argon
-189,3442
83,8058
Tripelpunkt Quecksilber
-38,8344
234,3156
in
T90
in
K
Tripelpunkt Wasser
0,01
273,16
Schmelzpunkt Gallium
29,7646
302,9146
Erstarrungspunkt Indium
156,5985
429,7485
Erstarrungspunkt Zinn
231,928
505,078
Erstarrungspunkt Zink
419,527
692,677
Erstarrungspunkt Aluminium
660,323
933,473
Erstarrungspunkt Silber
961,78
1234,93
Erstarrungspunkt Gold
1064,18
1337,33
Erstarrungspunkt Kupfer
1084,62
1357,77
(RAC)
SoSe 2010
Unterscheidung Schmelzpunkt und Erstarrungspunkt: abhängig davon, ob während der Temperaturmessung Energie zu- oder abgeführt wird.
7.3 Ausdehnungsthermometer
Temperaturmessung
Ausdehnungsthermometer
Messeekt: Wärmeausdehnung, insbesondere fester und üssiger
Materialien. Gas- oder Dampfdruckthermometer werden heute selten
verwendet.
Beispiele:
Bimetallthermometer
Flüssigkeitsthermometer
(RAC)
SoSe 2010
63
7.3.1 Bimetallthermometer
Temperaturmessung
Bimetallthermometer
Bimetallthermometer bestehen aus zwei miteinander verbundenen Metallen verschiedener Ausdehnungskoezienten. Meist werden Bimetallspiralen oder -federn eingesetzt. Mit
l:
Streifenlänge
s:
Streifendicke
a:
spezische thermische Ausbiegung
r:
Radius
∆T :
Temperaturänderung
ergibt sich für die Änderung des Drehwinkels
α=
(RAC)
360◦ al
∆T.
πs
Temperaturmessung
SoSe 2010
Flüssigkeitsthermometer
Volumenänderung:
β:
∆V = βV ∆T
relativer Volumenausdehnungskoezient
der thermometrischen Flüssigkeit
(T -abhängig)
V:
∆T :
Volumen
Temperaturänderung
Beispiele für Temperaturbereiche:
Quecksibler:
Isopentan:
Maschinen-
Probleme:
−30 ◦ C
−195 ◦ C
. . . 1000
. . . 35
◦ C (unter Druck)
◦C
356,6 ◦ C
Glasthermometer
Siedepunkt von Quecksilber:
nach DIN 16190
Abweichungen durch nicht ganz eingetauchten
Faden
64
(RAC)
SoSe 2010
Temperaturmessung
Flüssigkeitsthermometer: Fadenkorrektur
Für ganz eintauchend kalibirierte Thermometer entsteht ein so genannter
Fadenfehler, wenn das Thermometer nur teilweise in das Messmedium
eintaucht. Der Fehler lässt sich näherungsweise korrigieren:
Tk = Ta +
Tk :
korrigierte Temperatur
Ta :
abgelesene Temperatur
Tf :
Fadentemperatur
l:
E:
βl
(Ta − Tf )
E
Länge des herausragenden Fadens
Empndlichkeit des Thermometers
(RAC)
SoSe 2010
7.4 Widerstandsthermometer
Temperaturmessung
Widerstandsthermometer
Messeekt: der elektrische Widerstand verschiedener Materialien ist
vorhersagbar temperaturabhängig.
Folgende Typen sind zu unterscheiden:
Metallwiderstandsthermometer
Halbleiter-Widerstandsthermometer (Thermistoren)
(RAC)
SoSe 2010
65
7.4.1 Metallwiderstandsthermometer
Temperaturmessung
Widerstand in Abhängigkeit von der Temperatur:
R(T ) = R(T0 ) 1 + α(T − T0 ) + β(T − T0 )2 + . . .
R(T ):
Widerstand
T:
Temperatur
T0 :
α, β :
Bezugstemperatur
Temperaturkoezienten (Materialkonstanten)
Die Terme höherer Ordnung sind bei groÿen Messspannen zu
berücksichtigen. Für kleine Messspannen gilt näherungsweise:
R(T ) = R(T0 ) (1 + α(T − T0 ))
R(T ) − R(T0 )
∆R
⇒ T = T0 +
= T0 +
αR(T0 )
αR(T0 )
(RAC)
Temperaturmessung
SoSe 2010
Anforderungen an Materialien für
gute Wiederholpräzision der elektrischen Widerstandsänderung in
Abhängigkeit von Temperatur und Zeit (Alterung)
groÿer Temperaturkoezient des elektrischen Widerstands
kleiner spezischer Widerstand (sonst Eigenerwärmung!)
möglichst lineares Verhalten
Resistenz gegenüber Korrosion und chemischen Verunreinigungen
geringer thermischer Ausdehnungskoezient
66
(RAC)
SoSe 2010
Temperaturmessung
Materialien für Metallwiderstandsthermometer und ihre
Temperaturkoezienten
Einige Beispiele bei einer Temperatur von
Material
spez. elektr.
T = 20 ◦ C:
Temperaturkoezient
α
Widerstand in
Ω
in
mm2 /m
10−3 K−1
Platin
0,107
3,9
Iridium
0,053
4,3
Nickel
0,087
6,5
Molybdän
0,054
4,7
Kupfer
0,017
3,9
(RAC)
Temperaturmessung
SoSe 2010
Pt-100: Widerstand in Abhängigkeit von der Temperatur
Wichtigster Metallwiderstandssensor: Pt-100 (Norm: DIN EN 60751)
Rϑ = R0 1 + Aϑ + Bϑ2 + C(ϑ − 100 ◦ C)ϑ3
Rϑ = R0 1 + Aϑ + Bϑ2
−200 ◦ C bis 0 ◦ C:
0 ◦ C bis 850 ◦ C:
·
A = 3,9083 10−3 ◦ C−1
·
−4,183 · 10
B = −5,775 10−7 ◦ C−2
C =
−12 ◦
C−4
R0 = 100 Ω
−200 ◦ C bis 850 ◦ C:
0 ◦ C bei 100 ◦ C
±0,35 ◦ C
±0,8 ◦ C
Toleranzklassen, Temperaturbereich
Klasse
Grenzabweichung bei
Klasse A
Klasse B
±0,15 ◦ C
±0,3 ◦ C
(RAC)
SoSe 2010
67
Temperaturmessung
Pt-100: Farbkennzeichnung
2-Leiterschaltung
3-Leiterschaltung
4-Leiterschaltung
rot
rot
rot
rot
rot
weiÿ
weiÿ
weiÿ
weiÿ
(RAC)
SoSe 2010
7.4.1.1 Beispiele für den Aufbau
Temperaturmessung
Mantelwiderstandsthermometer
biegsame mineralisolierte Mantelleitung
geeignet für hohe mechanische Belastungen, aggressive Medien
kleine Einstellzeiten (t90
=2s
. . . 15
s
in Luft)
guter thermischer Kontakt zum Messobjekt bei Löt- oder
Schweiÿverbindung
68
(RAC)
SoSe 2010
Temperaturmessung
Messwiderstände in verschiedenen Ausführungsformen
(RAC)
Temperaturmessung
SoSe 2010
Drahtmesswiderstand in Keramikausführung (mit
Innenwicklung)
Pt-Drahtdurchmesser
. . . 30
µm
Temperaturbereich:
bis
15 µm
800
◦C
−200 ◦ C
gute Langzeitstabilität auch bei
groÿen TemperaturWechselbelastungen
(RAC)
SoSe 2010
69
Temperaturmessung
Drahtmesswiderstand in Glasausführung
Pt-Drahtdurchmesser
. . . 30
µm
Temperaturbereich:
bis
15 µm
550
◦C
−200 ◦ C
Einsatz in Flüssigkeiten ohne
Schutzrohr möglich
(RAC)
Temperaturmessung
SoSe 2010
Flachmesswiderstand in Dünnschichttechnik
Pt-Schichtdicke
. . . 1,3
0,5 µm
µm
Abgleich auf Nennwert durch
Auftrennen von Leiterbrücken
und Einschneiden eines
Nebenwiderstands mit einem
Laser
Schutz der Struktur durch
Glasschicht, Dicke <
Temperaturbereich:
600
◦C
20 µm
−50 ◦ C
bis
kleine Einstellzeiten, geringe
Wärmekapazität
70
(RAC)
SoSe 2010
7.4.2 Halbleiterwiderstandthermometer
Temperaturmessung
Halbleiterwiderstandsthermometer
Heiÿleiter (NTC-Thermistoren, NTC: (engl.
coecient))
Kaltleiter (PTC-Thermistoren, PTC: (engl.
coecient))
negative temperature
positive temperature
Silizium-Widerstandstemperatursensoren
(RAC)
SoSe 2010
7.4.2.1 Heiÿleiter (NTC-Thermistoren)
Temperaturmessung
Heiÿleiter
Material: p- oder n-Halbleiter (meistens Metalloxide wie Eisenoxid oder
Zinktitanoxid)
Widerstand nimmt annähernd exponentiell mit der Temperatur ab:
B
R(T ) = RT0 e
T:
T0 :
RT0 :
1
T
− T1
0
Temperatur in K
Bezugstemperatur in K
Widerstand bei der Bezugstemperatur (oft
R(T0 ) = 100 Ω
B:
oder
T0 = 25 ◦ C
und
1000 Ω)
Materialkonstante in K (Form-, Werksto-,
Temperaturabhängigkeit)
(RAC)
SoSe 2010
71
Temperaturmessung
Heiÿleiter: Bestimmung der Materialkonstanten
Die Beträge von
B
und
RT0
sind herstellungsbedingt Schwankungen
unterworfen.
Bestimmung von
B:
1
Messung des Widerstandes
2
Berechnung gemäÿ
R(T )
B=
Nach DIN EN 143000 soll
T1 = 298,15 K = 25 ◦ C
Typische Werte für
B
und
T1
und
T2
T1 T2
R(T1 )
ln
T2 − T1 R(T2 )
in Datenblättern im Allgemeinen auf
T2 = 358,15 K = 85 ◦ C
B : 1500 K
(RAC)
bei den Temperaturen
. . . 7000
bezogen sein.
K.
Temperaturmessung
SoSe 2010
Heiÿleiter: Empndlichkeit und Temperaturkoezient
Empndlichkeit: Widerstandsänderung bezogen auf Temperaturänderung
E(T ) =
dR(T )
B B
= −RT0 2 e
dT
T
1
T
− T1
0
= −R(T )
B
T2
Temperaturkoezient: Empndlichkeit bezogen auf Widerstand
αR (T ) =
E(T )
B
=− 2
R(T )
T
Temperaturkoezient ist negativ, daher der Name NTC-Thermistor: (engl.
negative temperature coecient).
72
(RAC)
SoSe 2010
Temperaturmessung
Heiÿleiter: Einsatztemperaturbereich
Nutzbarer Einsatzbereich von
< 250 ◦ C,
◦
nicht-oxidischen Materialien < 500 C,
◦
Hochtemperatur-NTC < 1000 C.
Metall-Oxid-Thermistoren:
von
von
(RAC)
Temperaturmessung
SoSe 2010
Heiÿleiter: Vergleich zu Metallwiderstandsthermometer
Vorteile der NTC-Thermistoren:
gröÿere Empndlichkeit (typisch: betragsmäÿig Faktor 10)
gröÿerer Widerstandsbereich
Widerstand gröÿer (Abgleich der Zuleitung meist nicht nötig)
preisgünstiger
Nachteile der NTC-Thermistoren:
Toleranz um etwa eine Gröÿenordnung höher
geringere Langzeitstabilität
(RAC)
SoSe 2010
73
Temperaturmessung
Einsatzgebiete von Heiÿleitern
Da Heiÿleiter vergleichsweise preisgünstig sind, nden sie Einsatz in
Erzeugnissen der Groÿserienproduktion, z. B.
Automobilbau: Messung von Ansaug-, Kühlwasser- und Öltemperatur,
Frostwächter, in der Klimaanalge
Haustechnik: in Kühlschrank, Wasch- und Spülmaschine, Toaster,
Heizungs- und Klimasteuerung
Wegen ihrer geringen Abmessungen und hohen Empndlichkeiten werden
sie häug eingesetzt in
wissenschaftlichen Temperaturmessungen
Raumfahrt
Militärtechnik
Medizintechnik
Lebensmitteltechnik
(RAC)
SoSe 2010
7.4.2.2 Kaltleiter oder PTC
Temperaturmessung
Kaltleiter
Ein Kaltleiter ist ein Halbleiterwiderstand, dessen Widerstandswert nach
Überschreiten einer Bezugstemperatur
Tb
extrem ansteigt.
kein einfaches Modell für die Kennlinie
im Arbeitsbereich (Breite nur ca.
Temperaturkoezient
typische Werte für
α (⇒
α: 0,07
20 ◦ C,
um
Tb )
positiver
PTC)
K−1 bis
0,7 K−1
PTC-Eekt ist stark frequenzabhängig, Widerstandswert sinkt mit
steigender Frequenz
geringe Wiederholpräzision
Material: polykristalline Keramik auf Basis von Bariumnitrat
Bezugstemperatur durch Beimengen von Zusatzstoen im
Herstellungsprozess einstellbar, typisch
25 ◦ C
bis
180 ◦ C
Norm für PTC-Halbleiterwiderstände: DIN 44080
74
(RAC)
SoSe 2010
Temperaturmessung
Kaltleiterkennlinien
Quelle: Bernhard: Technische Temperaturmessung. Springer-Verlag, 2004.
(RAC)
Temperaturmessung
SoSe 2010
Einsatzgebiete von Kaltleitern
Wegen der Schaltcharakteristik: Übertemperaturschutz
Elektromotoren, Transformatoren, Generatoren, Heiÿwassergeräte,
Dampferzeugung
Ausnutzung des Eekts der Eigenerwärmung (bei konstanter
Umgebungstemperatur)
Kurzschluss- und Überlastschutz in Leistungskaltleitern
Strombegrenzung von Lautsprechern
selbstregelnde Heizelemente (Haartrockner)
(RAC)
SoSe 2010
7.4.2.3 Silizium-Widerstandstemperatursensor
75
Temperaturmessung
Silizium-Widerstandstemperatursensoren
n-dotiertes Silizium (hochgenau dotiert)
Temperaturbereich:
−50 ◦ C
bis
150 ◦ C
extrinsische Leitfähigkeit (keine zusätzlichen Ladungen)
spezischer Widerstand hängt fast linear von der Temperatur ab
positiver Temperaturkoezient (wie bei
Metallwiderstandsthermometer)
übliche Ausführung:
(RAC)
Spreading-Resistance-Sensor
Temperaturmessung
SoSe 2010
Spreading-Resistance-Temperatursensor
76
(RAC)
SoSe 2010
Temperaturmessung
Spreading Resistance Sensor (2)
Wenn
d D,
gilt unabhängig von
R=
D
näherungsweise
ρ(T )
πd
Kennlinie von der Stromrichtung abhängig, deshalb Kombination
zweier Einzelelemente in entgegengesetzter Reihenschaltung
üblicher Widerstandswert
RN
der Reihenschaltung bei
TN = 25 ◦ C:
RN = 2 kΩ
typischer Temperaturkoezient bei
Toleranz des Nennwiderstands
(RAC)
TN : α = 7,8.10−3 K−1
∆R/RN : ±1%
SoSe 2010
7.4.3 Auswertung der Sensorsignale
Temperaturmessung
Auswertung der Sensorsignale
Normwerte für Widerstandsthermometer beziehen sich im Allgemeinen
nur auf die Messwiderstände und ihre Anschlussdrähte
Abweichung der Widerstandsmessung durch Zuleitungen,
Kontaktstellen usw.
Je nach Genauigkeitsanforderungen und Wirtschaftlichkeitsüberlegungen müssen entsprechende Maÿnahmen ergrien werden
(RAC)
SoSe 2010
7.4.3.1 Zweileiterschaltung
77
Temperaturmessung
Zweileiterschaltung
Vorteile:
einfache Verdrahtung
Nachteile:
Abweichungen durch Widerstände in den
Zweileiterschaltung
Signalleitungen
diese Widerstände sind in der Regel nicht nicht
genau vorhersagbar und können sich mit der Zeit
Pt100
ändern (Alterung)
Abweichung daher nur begrenzt korrigierbar
Beispiel PT 100: Abweichung von
Abweichung von
⇒
2,5 K
1Ω⇒
(Nullpunktverschiebung)
bei langen Zuleitungen sollten Pt 500- oder Pt 1000-
Widerstände verwendet werden, Abweichung wird auf
20% bzw. 10% reduziert.
(RAC)
SoSe 2010
7.4.3.2 3-Leiteranschluss
Temperaturmessung
Dreileiterschaltung
Vorteile:
Mit einer zusätzlichen Leitung werden die
(temperaturabhängigen) Leitungs- und
Übergangswiderstände gemessen.
Dreileiterschaltung
Durch eine geeignete elektronische Schaltung lässt
sich ihr Einuss weitgehend eliminieren.
Nachteile:
Pt100
Die Widerstände der drei Leitungen und der
jeweiligen Übergangsstellen müssen genau
übereinstimmen.
Pt 100: Abweichung von
von
1K
0,39 Ω ⇒
Abweichung
Es können thermoelektrische Eekte auftreten.
7.4.3.3 4-Leiteranschluss
78
(RAC)
SoSe 2010
Temperaturmessung
Vierleiterschaltung
Über zwei Leitungen ieÿt der konstante Messtrom, über die beiden
anderen Leitungen wird der Spannungsabfall am Widerstand gemessen.
Vorteile:
Vierleiterschaltung
mit Hilfe von zwei zusätzlichen Leitungen wird der
Einuss der Leitungs- und Übergangswiderstände
fast vollständig beseitigt.
Verbleibende Abweichung: ca.
Pt100
0,004%
Ω−1 .
0,002% Ω−1
bis
Nachteile:
Es muss ein 4-adriges Kabel verlegt werden.
(RAC)
SoSe 2010
7.4.3.4 Brückenschaltungen s. Abschnitt 6.4.2
7.5 Thermoelemente
Temperaturmessung
Thermoelemente
Seebeck-Eekt
An den Enden eines stromlosen Leiters mit
Temperaturgradient baut sich eine
Potentialdierenz (Thermospannung) auf.
Homogenes Material:
UT H (T1 ,T2 ) = αS (T2 − T1 )
αS :
Seebeck-Koezient,
Ende 1,
(RAC)
T2 :
T1 :
Temperatur am
Temperatur am Ende 2
SoSe 2010
79
Temperaturmessung
Thermoelemente
Messen der Thermospannung
Für hochohmige Messung der Thermospannung werden (mindestens) zwei
Materialien
αSB
A
und
B
mit unterschiedlichen Seebeck-Koezienten
αSA
und
benötigt.
A
T0
T0 : Temperatur beim Voltmeter,
T1 Temperatur der einen Kontaktstel-
UTH
A
UTH,2
T1
le (z. B. Messtelle),
UTH,3
UTH,1
T2 :
T2
B
UT H
Temperatur der anderen Kontakt-
stelle (z. B. Referenzstelle mit bekannter Temperatur)
= UT H,1 + UT H,2 + UT H,3
= αSA (T1 − T0 ) + αSB (T2 − T1 ) + αSA (T0 − T2 )
= (αSB − αSA )(T2 − T1 ) = αBA ∆T
Achtung: Die Seebeck-Koezienten sind temperaturabhängig!
(RAC)
Temperaturmessung
SoSe 2010
Thermoelemente
Thermoempndlichkeit
Thermoempndlichkeit: (relativer Seebeck-Koezient): Die
Thermoempndlichkeit eines Materials
seinem Seebeck-Koezienten
αM
M
ist die Dierenz zwischen
und dem von Platin
αP t :
KTM = αM − αP t
Achtung: Auch die Thermoempndlichkeit ist temperaturabhängig!
Thermospannung für ein Material
M
gegen Platin:
UT H = KTM (T2 − T1 )
Thermospannung bei Verwendung von Material
Thermoempndlichkeiten
UT H
80
KTA
und
A
und Material
B
mit den
KTB :
= (KTB − KTA )(T2 − T1 )
= KTBA (T2 − T1 )
(RAC)
SoSe 2010
Temperaturmessung
Thermoelemente
Thermoelektrische Spannungsreihe
Thermospannungen für verschiedene Materialien gegen Platin bei
bei einer Referenztemperatur von
Material
M
UT H
-3,49
Nickel
-1,48
Palladium
-0,57
UT H
ϑ1 =
0 ◦C
1,12
Pl/Rh (10%Rh)
0,65
Kupfer
0,76
Eisen
1,98
NiCr
Pt
Pt
0
Wolfram
100 ◦ C
in mV
Konstantan
Platin
0
◦ C.
ϑ2 =
100 ◦ C
M
2,81
Silizium
-41,46
Quelle: Bernhard: Technische Temperaturmessung. Springer-Verlag, 2004
(RAC)
Temperaturmessung
SoSe 2010
Thermoelemente
International genormte Thermoelemente (IEC 584-1)
Typ
(+)-Schenkel
(−)-Schenkel
Temperaturbereich
S
Pt10%Rh
Pt
−50 ◦ C. . . 1768 ◦ C
−50 ◦ C. . . 1768 ◦ C
0 ◦ C. . . 1820 ◦ C
−270 ◦ C. . . 1372 ◦ C
−270 ◦ C. . . 400 ◦ C
−210 ◦ C. . . 1200 ◦ C
−270 ◦ C. . . 1000 ◦ C
−200 ◦ C. . . 1200 ◦ C
R
Pt13%Rh
Pt
B
Pt30%Rh
Pt
K
NiCr
NiAl
T
Cu
CuNi
J
Fe
CuNi
E
NiCr
CuNi
N
NiCrSi
NiSi
edel
unedel
Quelle: Bernhard: Technische Temperaturmessung. Springer-Verlag, 2004
Beispiele für ungenormte Type: U, L: in zurückgezogener DIN 43710
genormt, aber nicht in DIN EN 60584 oder IEC 584-2 aufgenommen.
Die Normen schreiben nur die Kennlinie vor, nicht die Legierungen.
(RAC)
SoSe 2010
81
Temperaturmessung
Thermoelemente
Thermospannung des Typ K (1)
Auszug aus der Grundwerttabelle der Thermospannungen für das
Thermoelement TypK, Werte in
µV:
Quelle: TC Mess- und Regelungstechnik GmbH: Handbuch zur Temperaturmesung mit Thermoelementen und
Widerstandsthermometern. 2000
(RAC)
Temperaturmessung
SoSe 2010
Thermoelemente
Thermospannung des Typ K (2)
Beipiel: Kennliniengleichung nach DIN EN 60584-1 für den
Temperaturbereich
−270 ◦ C ≤ ϑ ≤ 0 ◦ C
10
U (T ) X
=
ai
µV
i1
·
2,3622373598 · 10
−3,2858906784 · 10
−4,9904828777 · 10
−6,7509059173 · 10
a1 = 3,9450128025 101
a2 =
a3 =
a4 =
a5 =
−2
ϑ
◦C
i
·
−3,1088872894 · 10
−1,0451609365 · 10
−1,9889266878 · 10
−1,6322697486 · 10
a6 = −5,7410327428 10−10
a7 =
−4
a8 =
−6
a9 =
−8
a10 =
−12
−14
−17
−20
Quelle: TC Mess- und Regelungstechnik GmbH: Handbuch zur Temperaturmesung mit Thermoelementen und
Widerstandsthermometern. 2000
(RAC)
82
SoSe 2010
Temperaturmessung
Thermoelemente
Anordnung mit drei Verbindungsstellen
UTH
UT H
T0
U1
A
T1
U2
= αSA (T1 − T0 ) + αSB (T2 − T1 )
U4
A
+αSC (T3 − T2 ) + αSA (T0 − T3 )
T3
B C
T2
= U1 + U2 + U3 + U4
= (αSA − αSB )T1 + (αSB −αSC )T2 +
(αSC − αSA )T3
U3
= KTAB T1 + KTBC T2 + KTCA T3
(RAC)
Temperaturmessung
SoSe 2010
Thermoelemente
Anordnung mit drei Verbindungsstellen (2)
In der Praxis bilden die Materialien
Thermoelements,
T2 = TM
A
B
und
C
die Schenkel des
ist die Zuleitung (z. B. Kupfer) zum Spannungsmesser.
ist die zu messende Temperatur,
T1 = T3 = TV
bilden die
Referenztemperatur.
UT H
= (KTAB + KTCA )TV + KTBC TM
= KTCB TV + KTBC TM
= −KTBC TV + KTBC TM
= KTBC (TM − TV )
Die Referenztemperatur wird mit einer geregelten Heizkammer erzeugt. Im
Labor kann auch Eiswasser in einer Thermoskanne eingesetzt werden.
(RAC)
SoSe 2010
83
Temperaturmessung
Thermoelemente
Ausgleichsleitungen
Thermoelement
Ausgleichsleitung Anschlussleitung
B
TM
B’
TK
C
Messstellen−
temperatur
A
TV
C’
Kopftemperatur
UTH
A
Referenztemperatur
Gründe für den Einsatz von Thermo- oder Ausgleichsleitungen:
Kosten (Pt ist teuer)
auswechselbare Thermoelemente
Überbrückung lange Wege
Es gibt zwei Arten:
Thermoleitungen: gleiches Material wie das Thermoelement,
Kennzeichnung: X
Ausgleichsleitungen: Sonderwerkstoe, ähnliche Thermospannung wie
das Thermoelement, Kennzeichnung: C
(RAC)
SoSe 2010
7.6 Pyroelektrischer Eekt
Temperaturmessung
Pyroelektrischer Eekt
Pyroelektrizität
Pyroelektrizität: Änderung der Polarisation bestimmter dielektrischer
Körper infolge einer Temperaturänderung.
Pyroelektrizität tritt nur bei einigen piezoelektrischen Kristallen auf,
z. B.
Triglyzinsulfat
Lithiumtantalat
Blei-Zirkonat-Titanat
Falscher pyroelektrischer Eekt: thermisch bedingte Ausdehnung des
Pyroelektrikums führt in Zusammenhang mit piezoelektrischen Eekten zur
Temperaturabhängigkeit der Polarisation.
84
(RAC)
SoSe 2010
Temperaturmessung
Pyroelektrischer Eekt
Aufbau eines pyroelektrischen Temperatursensors
Pyroelektrium
dünnes pyroelektrisches Plättchen
Ober- und Unterseite metallisiert
Plattenkondensator
→
Metall
Zusammenhang zwischen Polarisation und Temperatur stark nichtlinear,
aber für kleine Temperaturänderungen gilt näherungsweise
∆Q = pT A∆T
∆Q,
mit Ladungsänderung
pT
Koezient
Besitzt die Anordnung die
∆U
∆T ,
Temperaturänderung
A.
Kapazität C ,
pyroelektrischer
und Plättchenäche
so gilt für die Spannungsänderung
an den beiden Metallschichten
∆U =
(RAC)
pT A∆T
.
C
SoSe 2010
7.7 Temperatureekte bei Halbleiterübergängen
Temperaturmessung
Temperatureekte bei Halbleiterübergängen
P-N-Übergang
Für den p-n-Übergang einer Diode gilt
q0 U
I = IS e kT − 1
mit Sättigungsstromstärke
Boltzmann-Konstanten
k
IS ,
U,
Spannung
Elementarladung
und absoluten Temperatur
q0 ,
T.
Der Sättigungsstrom ist stark temperaturabhängig. Für konstanten
Strom und hinreichend groÿer Spannung
U (I,T ) = Ug0 +
wobei
sowie
kT
ln
q0
U
gilt näherungsweise
I
KT 3+γ
Ug0 das Bandabstandpotential des Halbleiters
K Material- bzw. Geometriekonstanten sind.
,
bei
T =0
und
γ
Für begrenzte Temperaturbereiche: linearer Zusammenhang zwischen
U
und
T
(RAC)
SoSe 2010
85
Temperaturmessung
Temperaturabhängigkeit der P-N-Spannung
(RAC)
Temperaturmessung
SoSe 2010
in der Praxis: anstatt pn-Übergang Verwendung der
Basis-Emitter-Strecke
UBE
eines bipolaren Transistors, dessen
Kollektor und Basis kurzgeschlossen sind
Zur Reduzierung von Fertigungsstreuungen werden zwei Transistoren
mit unterschiedlicher Geometrie auf demselben Substrat integriert.
Bei konstatem Kollektorstromverhältnis:
∆U = UBE,2 − UBE,1
Basis-Emitter-Spannung des
k,
absolute Temperatur
Transistors
Transistors
Elementarladung
IC,2
IC,1
UBE,i ,
q,
Boltzmann-Konstante
Kollektorstrom des
i-ten
IC,i .
86
T,
i-ten
kT
=
ln
q
(RAC)
SoSe 2010
7.8 Schwingquarzthermometer
Temperaturmessung
Schwingquarzthermometer
Schwingquarz
Quarz-Temperatursensoren basieren auf dem Temperaturkoezienten der
Eigenfrequenz von Quarzkristallen (α-Quarz). Die Eigenschaften des
Schwingquarz hängen wesentlich von der Schnittrichtung in Bezug auf die
elektrische und optische Achse ab.
O
u(t)
Si
O
O
Kennzahlen:
Typischer Einsatzbereich:
−80 ◦ C
bis
250 ◦ C
Messunsicherheit: im mK-Bereich für eingeschränkten Messbereich von
−10 ◦ C
110 ◦ C.
bis
Langzeitstabilität von 1 bis 3 ppm pro Jahr bei vorgealterten Quarzen
(d. h. Abweichungen
(RAC)
≤ ±0,3 ◦ C).
Temperaturmessung
SoSe 2010
Resonanzfrequenz des Schwingquarzes
Resonanzfrequenz:
f (T ) = f (T0 ) 1 +
3
X
i=1
T0 :
Bezugstemperatur
ai :
Temperaturkoezienten
HT-Schnitt: Maximum für den linearen Temperaturkoezienten.
·
≈ 60 · 10
≈ 30 · 10
a1 ≈ 90 10−6 /K,
a2
a3
−9
/K2 ,
−12
/K3 .
(RAC)
ai (T − T0 )
i
!
LC-Schnitt (linear coecient): ideal für Temperaturmessung, aber aufwändig bei der Herstellung.
·
a1 ≈ 40 10−6 /K,
a2 ≈ 0 /K2 ,
a3 ≈ 0 /K3 .
SoSe 2010
87
Temperaturmessung
Messschaltung des Schwingquarzthermometers
TM
Oszillator 1
fM
∆f
Mischer
TV
Oszillator 2
Zähler
Anzeige
fV
temperaturunabhängig
(anderer Schnitt)
Mischer: im Wesentlichen Multiplizierer mit anschlieÿendem Tiefpass
Multiplikation:
cos(2πfM t) cos(2πfV t) = 12 (cos(2π(fM −fV )t)+cos(2π(fM +fV )t))
1
Tiefpass: nur
2 cos(2π(fM − fV )t) bleibt übrig
(RAC)
Temperaturmessung
SoSe 2010
Einpunkt-Kalibrierung
88
(RAC)
SoSe 2010
7.9 Strahlungsthermometer oder Pyrometer
7.9.1 Grundlagen
Temperaturmessung
Pyrometer
Plancksches Strahlungsgesetz
Plancksches Strahlungsgesetz: Zusammenhang zwischen der Temperatur
T
eines Schwarzen Körpers und seiner spektralen spezischen
Ausstrahlung
Mλ,S
Mλ,S =
λ5
C1
C
/(λT
)
2
e
mit den Konstanten
−1
·
C1 = 2πc20 h ≈ 3,742 10−16 W m2
hc0
C2 =
= 1,439 10−2 m K
k
·
Die Kurven für unterschiedliche Temperaturen schneiden sich nicht. Ihr
Maximum verschiebt sich mit abnehmenden Temperaturen zu gröÿeren
Wellenlängen und erreicht nur noch drastisch kleinere Werte.
(RAC)
Temperaturmessung
SoSe 2010
Pyrometer
Plancksche Strahlungsspektren
(RAC)
SoSe 2010
89
Temperaturmessung
Pyrometer
Stefan-Boltzmann-Gesetz
Stefan-Boltzmann-Gesetz: Ein Schwarzer Körper der Fläche
absoluten Temperatur
T
A
und der
emittiert eine Strahlungsleistung von
P = σAT 4 .
Die Stefan-Boltzmann-Konstante
Naturkonstante.
·
σ ≈ (5,67 10−8 W/(m2 K4 ))
ist eine
P = εσAT 4 . Der Emissionsgrad ε des Messobjekts
bekannt sein. ε hängt in der Regel von der Wellenlänge ab.
Grauer Strahler: ε hängt nicht von der Wellenlänge ab.
Reale Körper:
(RAC)
Temperaturmessung
muss
SoSe 2010
Pyrometer
Wiensche Gesetze
Wiensches Verschiebungsgesetzt: Die gröÿte Strahlungsleistung eines
schwarzen Körpers liegt bei
λmax =
wobei
b = 2897,8 µm K
b
T
als Wiensche
Verschiebungskonstante bezeichnet wird.
Wiensches Strahlungsgesetz: Für hinreichend kleine Wellenlängen oder
Temperaturen,
λT 14388 µm K
kann das Plancksche
Strahlungsgesetz genähert werden:
Mλ,S ≈
90
(RAC)
C1
.
λ5 eC2 /(λT )
SoSe 2010
Temperaturmessung
Pyrometer
Strahlungsthermometer: Prinzip
Strahlungs−
empf.
Messobjekt
elektronische
Auswertung
optisches Filter
Die Wärmestrahlung (Infrarot bis in den sichtbaren Bereich) eines
Messobjekts wird optisch geltert und auf einen Strahlungsempfänger
gebündelt, der ein elektrisches Messsignal abgibt.
(RAC)
Temperaturmessung
SoSe 2010
Pyrometer
Strahlungsthermometer: Vorteile
sehr schnelle Messungen (bis zu
10 µs)
sehr lange, durchgängige Messbereiche möglich, z. B.
350 . . . 3500 ◦ C
kein Verschleiÿ
praktisch keine Temperaturbeeinussung des Messobjekts
keine Fehler durch mangelhaften Wärmekontakt
keine mechanische Beschädigungen von empndlichen Objekten wie
Folie oder Papier
keine Probleme bei bewegten Messobjekten
Messungen auch bei hohen Spannungen, elektromagnetischen Feldern
oder aggressiven Materialien möglich
(RAC)
SoSe 2010
91
Temperaturmessung
Pyrometer
Emissionsgrade dünner Schichten
Verminderung des Emissionsgradeinusses z. B. durch Veränderung der
Oberäche (Mattlacke, Graphit- oder Ruÿauftrag, Aufrauhen, Aufkleben
einer dünnen, nichttransparenten Folie oder Papier)
(RAC)
Temperaturmessung
SoSe 2010
Pyrometer
Spektraler Transmissionsgrad von Luft
10 m,
1013 hPa
Beispiel: Pfadlänge
Luftdruck
rel. Luftfeuchte 85%, Temperatur
25 ◦ C,
92
(RAC)
SoSe 2010
7.9.2 Gesamtstrahlungspyrometer
Temperaturmessung
Pyrometer
Gesamtstrahlungspyrometer
Erfassung des gesamten Wärmestrahlungsspektrums, mindestens 90%
der bei einer Temperatur möglichen Ausstrahlung
Strahlungsempfänger: Bolometer (spezielle
Widerstandsthermometer/Thermistoren), Thermoelemente oder
pyroelektrische Detektoren
Ausgangssignal entspricht näherungsweise dem
Stefan-Boltzmann-Gesetz
besonders geeignet zur Messung tiefer Temperaturen (bis
50 ◦ C)
aufwendig und teuer
(RAC)
SoSe 2010
7.9.3 Spektralpyrometer
Temperaturmessung
Pyrometer
Spektralpyrometer
Erfassung nur eines engen Spektralbereichs durch selektive Filterung
Strahlungsempfänger: thermische Empfänger (s.
Gesamtstrahlungspyrometer), Photoelemente, Photowiderstände,
Photodioden, Phototransistoren
bei schwarzen oder grauen Strahlern: Ausgangssignal entspricht
näherungsweise dem Stefan-Boltzmann-Gesetz
wegen des schmalen Wellenlängenbereich vor allem für Temperaturen
oberhalb von
500 ◦ C
(RAC)
geeignet
SoSe 2010
93
7.9.4 Bandstrahlungspyrometer
Temperaturmessung
Pyrometer
Bandstrahlungspyrometer
gezielte Einschränkung der spektralen Grenzen eines
Gesamtstrahlungspyrometer
Reduzierung des Einusses von Störstrahlung oder von Änderungen
des Transmissionsgrades der Luft
in hinreichend kleinem Temperaturintervall: Verhalten ähnlich dem
eines Spektralpyrometers
(RAC)
SoSe 2010
7.9.5 Verhältnispyrometer
Temperaturmessung
Pyrometer
Verhältnispyrometer
Andere Bezeichnungen: Quotientenpyrometer, 2-Farben-Pyrometer
Erfassung der Strahlungsintensität für zwei verschiedene
Wellenlängenbereiche
Eliminierung des unbekannten Emissionsgrads
ε
durch
Verhältnisbildung der Intensitäten (für graue Körper)
Bestimmung der Temperatur mit Hilfe des Wienschen
Strahlungsgesetzes
94
(RAC)
SoSe 2010
7.9.6 Glühfadenpyrometer
Temperaturmessung
Pyrometer
Glühfadenpyrometer
Bestimmung der Temperatur glühender Objekte
visuelles Vergleichen des Glühlicht einer Wolframbandlampe mit der
Oberächenfarbe des Messobjekts
Einstellen des Stroms durch den Wolframdraht, bis die Farben
übereinstimmen
Stromstärke ist ein Maÿ für die Temperatur
(RAC)
SoSe 2010
7.9.7 Thermographiegeräte
Temperaturmessung
Pyrometer
Thermographiegeräte
Erfassung der
Temperaturverteilung einer
Fläche
Strahlungsempfänger besteht
aus Matrix von Photodioden,
Dünnschichtbolometer,
Thermosäulen
möglich: Kühlung zur
Rauschunterdrückung
bekanntes Beispiel:
Infrarotkamera
(RAC)
SoSe 2010
95
7.10 Ursachen für Messabweichungen
Temperaturmessung
Ursachen für Messabweichungen
Ursachen für Abweichungen/Fehler bei der
Temperaturmessung
Wesentliche Ursachen für Abweichungen oder Fehler bei der
Temperaturmessung:
mangelhafter thermischer Kontakt bei berührenden Sensoren mit dem
Messobjekt, z. B. zu geringe Eintauchtiefe
Fehler bei der Erfassung von Sensoreigenschaften, z. B. zu groÿe
Unsicherheiten bei der Messung des Widerstandes eines
Sensorelements
fehlerhafte Beschreibung des Sensorverhaltens, z. B. Koezienten zu
ungenau
(RAC)
SoSe 2010
7.11 Zeitverhalten von Berührungsthermometern
Temperaturmessung
Zeitverhalten von Berührungsthermometern
Das dynamische Verhalten von Temperatursensoren hängt von
der Wärmekapazität,
der Wärmeleitfähigkeit,
der Gröÿe der Oberäche,
der verwendeten Materialien ab. Bei angeströmten Sensoren auÿderdem
von
der Geschwindigkeit des zu messenden Medius.
Näherung des Ausgleichsvorgangs bei Temperatursprung um
∆T
durch
Verzögerungsglied 1. Ordnung:
t
T (t) = T0 + ∆T 1 − e− τ .
96
(RAC)
SoSe 2010
Temperaturmessung
Tendenz-Thermoelement
Zwei elektrisch gegeneinander geschaltete Thermoelemente mit gleicher
statischer Kennlinie aber unterschiedlichem Zeitverhalten
τ1
und
τ2 .
NiCr
τ1
Bei einem Temperatursprung der Messle schneller als die andere. Daher ist eine
T M (t)
Dierenzspannung zu messen:
U
U1(t)
NiCr
U2(t)
τ2
stelle erwärmt sich die eine Kontaktstel-
UTH
U1(t)
U2(t)
K TAB ∆T
UT H (t) = U1 (t) − U2 (t)
t
− t
−
= KTAB ∆T e τ2 − e τ1
CuNi
UTH(t)
0
(RAC)
t
SoSe 2010
8 Messung geometrischer Gröÿen
8.1 Länge und Winkel
8.1.1 Potentiometrische Sensoren
Messung geometrischer Gröÿen
Länge und Winkel
Potentiometrischer Weg- oder Winkelsensor
Wirkprinzip wie Potentiometer:
Widerstands-
Schleifer:
bahn
Schleifer
U0
R = R(d)
Ud =
Spannungsteiler:
d
D U0
Messprinzip: tastend, analog
Aufbau: Längen-/Winkelsensor
D
d
Ud
Vorteile:
einfache Auswerteschaltung
linearer Zusammenhang
relativ temperaturunabhängig
Nachteile:
mechanische Belastung
stabile Gleichspannung
erforderlich
nicht zu hohe
Geschwindigkeiten
(RAC)
SoSe 2010
97
Länge und Winkel
Materialien für potentiometrische Längensensoren
Drahtpotentiometer, kaum noch verwendet
Leitplastik-Potentiometer:
im Pressverfahren:
Widerstandsbahn: Kohlensto-Harzmischung
Trägerbahn: Harz (wie Widerstandsbahn)
längste Lebensdauer, 100 Mio. Schleiferspiele
Leitplastik-Film
Kohlensto-Harzmischung aufgesprüht oder mit Siebdruck aufgebracht
Lebensdauer um Faktor 10 kleiner als im Pressverfahren
Leitmetall-Sinterverfahren, Metalllm-Halbleiterverfahren: wegen
Nachteile bzgl. Lebensdauer fast bedeutungslos
(RAC)
SoSe 2010
Länge und Winkel
Technische Kennwerte zu potentiometrische Sensoren
Linearität: 0,05% bis 2% v. E.
Temperaturkoezient:
Messbereiche:
5 mm
·
±400 10−6 K−1
bis
max. Geschwindigkeit:
4 m; 10◦
1 m/s
bis
3000◦
(Beispiel Penny & Giles),
500 U/min
(Beispiel Altmann)
98
(RAC)
SoSe 2010
8.1.2 Kapazitive Sensoren
Länge und Winkel
Kapazitive Positionssensoren: Einleitung
Beispiel Plattenkondensator:
Wirkprinzip: Zwei Elektroden
ε
mit Kapazität
C = C(x,A,ε),
x: Elektrodenabstand
A: wirksame Elektrodenäche
ε: Permittivität zwischen den
A
Elektroden
Drei Methoden zum Aufbau:
Variieren
1 des Abstands x,
2 der wirksamen Fläche
3 der Permittivität ε.
x
Kapazität:
C=
εA
x
(RAC)
A,
SoSe 2010
Länge und Winkel
Kapazität als Funktion des Abstands
nichtlinearer Zusammenhang zwischen
Kapatzität und Abstand:
C(x) = ε0 εr
A0
d(x)
Empndlichkeit ist umso gröÿer, je
kleiner der Elektrodenabstand:
x
dC
εA0
=− 2
dx
x
Anwendung:
Kontaktlose
Messung
Abstandsänderungen.
kleiner
Relative Kapazitätsänderung entspricht
relativer Abstandsänderung:
dC
dx
=−
C
x
(RAC)
SoSe 2010
99
Länge und Winkel
Kapazität als Funktion der (wirksamen) Plattenäche
linearer Zusammenhang
A(x)
zwischen Kapazität und
Plattenäche
d
x
C(x) =
Plattenbreite:
Anwendung:
Meistens als Drehkapazität zur Mes-
C(x) =
sung von Winkeländerungen.
(RAC)
εA(x)
d
b⇒
ε (A(0) − bx)
d
SoSe 2010
Länge und Winkel
Kapazität als Funktion des Dielektrikums
ε2
linearer Zusammenhang:
L
x ε1
C(x) =
d
ε1 A0 x ε2 A0 (L − x)
+
d L
d L
·
·
äquivalent:
C(x) =
Anwendung:
Meistens zur Füllstandsmessung, Elek-
ε2 A 0 A 0
+
(ε1 − ε2 )x
d
dL
troden: zwei konzentrische Zylinder.
100
(RAC)
SoSe 2010
Länge und Winkel
Berührungsfreier kapazitiver Positionssensor
Schirmelektrode
Messelektrode
Messobjekt ist eine der beiden
Elektroden
Schirmelektrode:
umgibt die Messelektrode auf
den passiven Seiten
wird mittels Spannungsfolger
auf Potential der
Messelektrode gehalten
Gehäuse
⇒
kein Feld zwischen Mess- und
⇒
Verringerung von
Schirmelektrode
Randeekten, homogenes
Feld bis an den Rand der
Anwendung:
Messelektrode
Meistens als Grenzschalter
(RAC)
SoSe 2010
Länge und Winkel
Beispiel eines kapazitiven Näherungsschalters
(RAC)
SoSe 2010
101
8.1.3 Induktive Sensoren
Länge und Winkel
Induktive Wegsensoren: Einleitung
ferromagnetisches Material
Sensorprinzip: Die Induktivität
i
und damit die Impedanz einer
Spule
Spulenanordnung ist eine
Funktion geometrischer Gröÿen.
Vorteil gegenüber kapazitiven
Sensoren: Einsatz auch bei
magnetischer Fluss
widrigen
Φ
Umgebungsbedingungen
Beispiel Ringspule (ohne Luftspalt):
Induktivität:
n:
L≈
Anzahl Windungen,
tät,
A:
Querschnitt,
l
n2 µA
Typischer Einsatzbereich
l
µ:
(Schmutz, Öl, Wasser, Eis)
Permeabili-
mittlerer Weg
induktiver Wegaufnehmer:
0,5 mm
bis
500 mm.
des magnetischen Flusses.
(RAC)
SoSe 2010
Länge und Winkel
Linear variabler Dierentialtransformator (LVDT)
Aufbau:
A: Erregerspule, mittig
angebracht
B: zwei Sekundärspulen,
symmetrisch neben der
Erregerspule
blau: Weicheisenkern
grün: unmagnetische Zugstange
Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:LVDT.png, Abruf: 2008-03-02
102
(RAC)
SoSe 2010
Länge und Winkel
LVDT: Auswertung
Funktionsweise:
Messspulen entgegengesetzt in
Reihe geschaltet.
Spulenspannungen um
180◦
phasenverschoben.
Amplituden der
Spulenspannung linear abhängig
Oszillator
von Kernposition.
Amplituden der
Dierenzspannung ist
proportional zur Kernposition
Oszillator:
inklusive Vorzeichen
treibt Erregerspule
Kern mittig: Ausgangsspannung
triggert Synchrongleichrichter
(RAC)
=
0 V.
SoSe 2010
Länge und Winkel
LVDT: Typische Werte
Speisung: Wechselspannung mit Frequenzen im Bereich
3 kHz
bis
25 kHz.
typische Empndlichkeit:
Wiederholpräzision: ca.
1 V/mm
bis
4 V/mm
0,1 µm
typische Federkräfte zum Andrücken der Zugstange
(RAC)
0,6 N
bis
1N
SoSe 2010
103
Länge und Winkel
LVDT: Anwendungsbeispiel
Kalanderwalze einer Papiermaschine
Rundlauf- und Rundheitsmessung
Quelle: PWT Gmbh, Heidenheim
(RAC)
SoSe 2010
Länge und Winkel
Berührungslose induktive Wegsensoren
Queranker
Topfkern
Streufeld des Topfkerns wird
mag. Fluss
Φ
vom Queranker gebündelt.
Induktivität hängt (nichtlinear)
Spule
vom Abstand des Querankers
ab.
i
Übliche Messwege: ca.
1 mm
Einsatzgebiete: dynamische
L
s0
Wegmessung von bewegten
s
Messobjekten, z. B.
Lmax
Ermittlung der Verlagerung
von Drehmaschinenspindeln
bei Belastung
Erfassung von Schweiÿfugen
und Blechkanten beim
s
s0
104
(RAC)
Roboterschweiÿen
SoSe 2010
Länge und Winkel
Berührungslose Wegsensoren auf Wirbelstrombasis
Queranker ist nicht ferromagnetisch,
aber elektrisch leitend
Wechselndes Magnetfeld
induziert Ströme im Queranker:
Wirbelströme
Wirkung wie kurzgeschlossene
Sekundärwicklung:
Wirbelströme erzeugen ein
magnetisches Gegenfeld, das
Spule
dem erregenden Feld
Queranker
entgegenwirkt
Diese Rückwirkung führt zu
einer messbaren
Impedanzänderung in der
Primärspule
(RAC)
SoSe 2010
Länge und Winkel
Anwendungsbeispiele für induktive Näherungsschalter
Quelle: www.automation.siemens.com
(RAC)
SoSe 2010
105
8.1.4 Photoelektrische Sensoren
Länge und Winkel
Inkrementierende Messverfahren
Glasmaÿstab/-scheibe mit
Sender
Strichteilung
zwei mechanisch fest gekoppelte
Bewegungs−
richtung
Lichtschranken erfassen ein um
90◦
versetztes Signal
Ermittlung von Weg und
Empfänger A
Richtung
Empfänger B
Bei Winkelmessung:
Glasmaÿscheibe, üblich 200 bis
36000 Striche pro Umfang,
Grenzfrequenz hängt von
Ausführung ab, typisch bis
ca.
(RAC)
400 kHz
SoSe 2010
Länge und Winkel
Absolut kodierende Messverfahren
Quelle: www.haidenhain.de
Kodierung direkt auf dem Glasmaÿstab, häug Gray-Code
Position absolut bestimmbar
106
(RAC)
SoSe 2010
Länge und Winkel
Messverfahren nach dem Triangulationsprinzip
Laserstrahl wird auf Werkstück
fokussiert, dort reektiert
der reektierte Strahl wird durch
eine Optik auf eine Zeilenkamera
gelenkt
in Abhängigkeit von der
Verschiebung des Messobjekts
verschiebt sich der Abbildungort
Quelle: http://de.wikipedia.org
(RAC)
SoSe 2010
Länge und Winkel
Typische Daten von Laser-Triangulatoren
Messbereich:
Arbeitsabstand:
Lichtquelle:
Fokusdurchmesser:
Auösung:
Wiederholpräzision:
Betriebstemperatur:
(RAC)
5 − 400 mm
50 − 800 mm
Laserdiode 830/675 nm
0,01 − 2 mm
0,025 % v. Messbereich
±0,025 % v. Messbereich
0 − 50 ◦ C
SoSe 2010
107
8.2 Dehnung
Dehnung
DMS: Herleitung
Widerstand eines zylindrischen Leiters:
l
R=
r
ρl
πr2
bei Druck- oder Zugspannung ändert sich die
Geometrie um
⇒
dρ, dl
und
dr
Widerstand ändert sich, Näherung durch totales Dierential:
dR =
∂R
R
= ,
∂ρ
ρ
(RAC)
∂R
∂R
∂R
dρ +
dl +
dr
∂ρ
∂l
∂r
∂R
R
= ,
∂l
l
∂R
R
= −2
∂r
r
SoSe 2010
Dehnung
DMS: Herleitung (2)
Relative Widerstandsänderung:
dR
dρ dl
dr
=
+
−2 =
R
ρ
l
r
Relative Längenänderung:
1−2
dr/r dρ/ρ
+
dl/l
dl/l
dl
l
ε = dl/l
Querkontraktionszahl (Poisson-Zahl)
µ = − dr/r
ε , 0 < µ < 0,5.
Änderung des spezischen Widerstands infolge einer Längenänderung
β=
dρ/ρ
ε . Für viele Metalle:
β ≈ 0,4,
bei Halbleiter deutlich gröÿer.
Relative Widerstandsänderung:
dR
= (1 + 2µ + β)ε = kε
R
k:
k-Faktor, Gage-Faktor, Gauge-Faktor
108
(RAC)
SoSe 2010
8.2.1 Metall-DMS
Dehnung
Metall-DMS: Typische k-Faktoren
Material bei
20 ◦ C
NiCr hart (80%Ni, 20%Cr)
NiCr geglüht (80%Ni, 20%Cr)
Konstantan (60%Cu, 40%Ni)
Karma (74%Ni, 20%Cr, 3%Fe, 3%Al)
PtW (92%Pt, 8%W)
Isolastic
PtIr (95%Pt, 5%Ir)
Pt
In der Praxis streuen die
Für
k=2
k -Werte
k
≈ 2,5
≈ 2,2
≈ 2,05
≈ 2,1
≈4
≈ 3,2
≈ 6,5
≈6
Bemerkung
linear
linear
linear
linear
hohe Temperaturen
hohe Temperaturen
um etwa 5%.
bleibt das lineare Verhalten selbst bei teilplastischer Verformung
erhalten
(RAC)
SoSe 2010
Dehnung
Metall-DMS: k-Faktor verschiedener Materialien
PtIr
Klaviersaitendraht
Eisen
NiCr hart
NiCr geglüht
Konstantan
Manganin
Nickel
(RAC)
SoSe 2010
109
Dehnung
Metall-DMS: Aufbau
Folien-Dehnungsmessstreifen
Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Dehnungsmessstreifen
(RAC)
Dehnungsmessrosette
SoSe 2010
Dehnung
Metall-DMS: Auszug aus einem Datenblatt
Quelle: www.hbm.com
110
(RAC)
SoSe 2010
Dehnung
Metall-DMS-Klassen
·
Draht-DMS: (alte Technik) Messgitter besteht aus Metalldraht,
Durchmesser
15 − 25 µm,
Dehnbarkeit ca.
10 10−3 m/m,
hohe Temperaturen
Anwendung:
Folien-DMS: Herstellung des Messgitters per Ätzverfahren aus Metallfolie
(Dicke
3 − 15 µm),
·
aufwändige Formen für verschiedenste Anwendungen
einfach realisierbar, Dehnbarkeit ca.
40 10−3 m/m,
Kraftmesszellen, Wägezellen
Anwendung:
Dünnschicht-DMS: Herstellungsverfahren:
thermisches Aufdampfen
PVD-Verfahren (physical vapour deposition) oder Sputtern
CVD-Verfahren (chemical vapour deposition)
·
Strukturen durch Verwendung entsprechender Masken, Dicke
in den atomaren Bereich), Dehnbarkeit ca.
1
Drucksensoren
(RAC)
10−3
m/m,
≤ 1 µm
(bis
Anwendung:
SoSe 2010
8.2.2 Halbleiter-DMS
Dehnung
Halbleiter-DMS
Halbleiter-DMS-Elemente bestehen aus
einem dünnen schmalen Siliziumstäbchen
n- oder p-dotiertem Silizium
Germanium
Der Messeekt wird wesentlich durch die Änderung des spezischen
Widerstands
β
bestimmt. Näherungsweise gilt
∆R
= k∗ ε
R
mit
k∗ ≈ β .
Dehnbarkeit:
Der Wert von
·
3 10−3 m/m
(RAC)
β
hängt aber auch von der Temperatur ab.
bis
·
6 10−3 m/m.
SoSe 2010
111
Dehnung
Halbleiter-DMS: k ∗ -Faktor
k ∗ -Faktor wird durch eine Tangente im mechanisch spannungsfreien
Zustand ε = 0 bei einer Bezugstemperatur T0 des DMS genähert.
Der
Material
β
Silizium, p-leitend
110 bis 130
Silizium, n-leitend
-80 bis -110
(RAC)
SoSe 2010
8.3 Geschwindigkeit und Drehzahl
8.3.1 Dopplereekt
Geschwindigkeit und Drehzahl
Doppler-Eekt
Ein Sender sendet Wellen einer bestimmten Frequenz aus, ein Empfänger
empfängt die Wellen. Wenn sich Sender und Empfänger relativ zueinander
bewegen, untscheidet sich die Frequenz, die der Empfänger misst, von der
Sendefrequenz. Diese Frequenzverschiebung wird als Doppler-Eekt
bezeichnet.
Folgende Fälle sind zu unterscheiden
Wellenausbreitung mit Medium (z. B. akustische Wellen)
ruhender Empfänger, bewegter Sender
bewegter Empfänger, ruhender Sender
bewegter Empfänger, bewegter Sender
Wellenausbreitung ohne Medium (z. B. elektromagnetische Wellen)
112
(RAC)
SoSe 2010
Doppler-Eekt mit Ausbreitungsmedium
Ruhender Beobachter, bewegte Signalquelle
Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle:
Relativgeschwindigkeit:
Sendefrequenz:
⇒
vs
(positives Vorzeichen: Annäherung)
f0
Doppler-Frequenz (Empfangsfrequenz)
fD =
c0
(RAC)
fD
f0
1 − vc0s
SoSe 2010
Doppler-Eekt mit Medium
Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Doppler-effect-two-police-cars-diagram.png
(RAC)
SoSe 2010
113
bewegter Empfänger, ruhender Sender
Sendefrequenz:
⇒
ve
c0
f0
fD
ve
fD = f0 1 +
c0
(RAC)
SoSe 2010
bewegter Empfänger, bewegter Sender
Geschwindigkeit des Empfängers:
Geschwindigkeit des Senders:
Sendefrequenz:
⇒
c0
ve
vs
f0
fD = f0
fD
c0 ± ve
c0 ∓ vs
Das obere Vorzeichen gilt jeweils für Annäherung (Bewegung in Richtung
des Senders bzw. Empfängers).
114
(RAC)
SoSe 2010
Doppler-Eekt ohne Medium
Wenn die Wellen keine Medium brauchen (z. B. elektomagnetische Wellen)
hängt die Frequenzverschiebung nur von der Relativgeschwindigkeit ab.
Damit darf sich der Beobachter (Empfänger) als ruhend betrachten.
Allerdings ist die Zeitdilatation zu berücksichtigen:
Lichtgeschwindigkeit:
c0
Sendefrequenz:
⇒
v
f0
q
fD = f0 
(RAC)
fD
1−
1−
v2
c2
v
c


SoSe 2010
8.3.2 Tachometer
Tachometer: Wechselstromgenerator
Eine Leiterschleife der Fläche
A
mit
w
Windungen rotiert in dem Feld eines
Permanentmagneten mit der
magnetischen Flussdichte
B.
N
Der verkettete Fluss durch die
(Abgriff über
Schleifkontakte)
Leiterschleife beträgt also
ϕ(t)
Ui (t)
Φ(t) = wBA cos ϕ(t)
wobei
ϕ(t)
der Winkel zwischen der
S
Fläche der Leiterschleife und der
Richtung der magnetischen Flussdichte
ist.
(RAC)
SoSe 2010
115
Tachometer: Wechselstromgenerator (2)
Die induzierte Spannung ist dann
ui (t) = −
Der Scheitelwert
dΦ(t)
= wBAϕ̇(t) sin ϕ(t) = Û (t) sin ϕ(t)
dt
Û (t)
ist dabei direkt proportional zur Drehzahl
(=Winkelgeschwindigkeit)
ϕ̇(t)
Vorteil:
groÿe Dynamik
Signal direkt auswertbar (ohne Dekodierschaltung)
Der Permanentmagnet könnte sich genauso gut um eine feststehende
Spule bewegen. Diese Variante ist einfacher aufzubauen, da keine
Schleifer erforderlich sind.
(RAC)
SoSe 2010
Tachometer: Unipolarmaschine
Besondere Bauform eines Gleichstrommotors
eine Scheibe aus gut leitfähigem Material bendet sich auf einer
drehbar gelagerten Achse
die Scheibe wird von einem konstanten Magnetfeld durchsetzt
die Rotation der Scheibe bewegt die (freien) Ladungsträger im
Magnetfeld, die daher eine radiale Kraft erfahren
zwischen Umfang und Achse der Scheibe entsteht eine Spannung, die
mit Hilfe von Schleifern abgegrien werden kann
Die Spannung ist direkt proportional zur Drehzahl
Vorteil: hohe Dynamik
→
Einsatz zur Drehzahlregelung
Nachteil: geringe Ausgangsspannungen (typisch
1000 U/min,
116
20 mV
bei
Schleifbürsten bedürfen der Wartung
(RAC)
SoSe 2010
Weitere Drehzahlsensoren
Wirbelstromsensor (Strommitnahmesensor)
Impuls-Drehzahlsensoren, z. B.
Feldplatten- und Hall-Sensor
optische Verfahren
induktive Sensoren
kapazitive Sensoren (insbesondere für hohe Temperaturen)
(RAC)
SoSe 2010
9 Kraft und abgeleitete Gröÿen
9.1 Messprinzipien
Kraft und abgeleitete Gröÿen
Messprinzipien
Einleitung
Kräfte: nur an ihrer Wirkung zu erkennen:
Kraftmessung:
Beschleunigung
Verformung
F
direkte Erfassung der
Verformung, z. B. induktiv,
kapazitiv, Federwaage
Erfassung der relativen
Verformung, z. B. DMS,
piezorestiv
Erfassung der mechanische
Spannung, z. B. piezoelektrisch,
magnetoelastisch
F
F
(RAC)
SoSe 2010
117
9.2 Kraft
9.2.1 Dehnungsmessstreifen
Kraft
Kraftmessung mit DMS
A0
Ausführung als Kraftmessbolzen oder
F
F
Lastmessbolzen
axial oder radial belastete Stäbe
l
Spannung
E:
Elastizitätsmodul
ε:
∆l:
Dehnung,
Überwachung mechanischer
F = A0 σ = A0 Eε
σ:
und
5 MN
l0
Hooksche Gesetz:
5 kN
Nennkräfte zwischen
Bauelemente
Lastmessungen
=
Kränen, Hubwerken,
∆l
l0
Längenänderung,
Überlastschutz, z. B. von
Aufzügen, Seilwinden
= l − l0
(RAC)
SoSe 2010
Kraft
Beispiel Lastmessbolzen
Der Lastmessbolzen
ersetzt normale Welle/Bolzen
Bolzen,
enthält eine DMS-Vollbrücke.
Kennwerte hier:
Nennlast (Endwert):
Zulässige Last:
50 kN
150%
der
Nennlast
Brückenimpdedanz:
5 kΩ
Ausgangssignal: linear,
4 − 20 mA
Quelle: http://www.magtrol.de/datenblatter/lelu210_de.pdf
118
(RAC)
Linearitätsfehler:
< 0,25%
v. E.
SoSe 2010
Kraft
Beispiel Kraftmessdose
F
Kernstück der Kraftmessdose:
Hohlzylinder mit festem,
bekanntem Zusammenhang
DMS 3
zwischen Kraft und Dehnung
Messschaltung vorwiegend
DMS 1
DMS 2
Vollbrücke
DMS 4
Ausgangsspannung der
Vollbrücke:
DMS 1
R−dR
DMS 3
R+dR
UAB = U0
UAB
U0
DMS 2
R+dR
(RAC)
DMS 4
R−dR
Kraftbereiche:
dR
= U0 kε
R
10 N bis 500 MN
SoSe 2010
Kraft
Wägezelle
Sonderform der Kraftaufnehmer
Kalibrierung auf Masseeinheit, nicht Kraft
Einsatz in vielen Typen von Waagen
(RAC)
SoSe 2010
119
9.2.2 Piezoelektrische Kraftaufnehmer
Kraft
Piezoelektrischer Kraftaufnehmer
vereinfacht:
einfaches Modell:
d11 :
F
Q = d11 F
piezoelektrische Zahl,
pC/N, Beispiel:
d11 = 2,3 pC/N
Keramik: d11 ≥ 350 pC/N
Einheit:
Quarz:
++++++
Oberächen zur Kontaktierung
−−−−−−
meist mit Silber beschichtet
F
Ersatzschaltung:
Cq = C0 + CK
Ersatzschaltbild:
C0 :
Kapazität des
Piezokristalls
CK :
Uq
Rq
Kapazität der Zuleitung
(vom Hersteller mitgelierfert)
Cq
Rq :
Widerstand des
Piezokristalls
(RAC)
SoSe 2010
Kraft
Piezoelektrischer Kraftaufnehmer (3)
Über Widerstand des
Piezokristalls
Entladekurve bei
sprungförmiger Belastung
U
t0
Rq
wird der
Kondensator entladen,
τq = Rq Cq
t−t0
τq
u(t) = U0 1 − e
Zeitkonstante:
F
RqC q
t
Es können keine statischen
Kräfte gemessen werden
Es ist darauf zu achten, dass die Zeitkonstante der Kraft
Piezo-Anordnung die Bedingung
120
(RAC)
τF τq
τF
und die der
erfüllen.
SoSe 2010
9.3 Drehmoment
Drehmoment
Drehmomentmessung
M
M
ϕ
Ähnlich wie Kraftmessung:
Erfassung der Verdrehung einer
Torsionsstrecke (z. B. Welle).
Häug: Verwendung spezielle
l
Dehnung
ε45◦ =
Verdrillung:
γ = 2ε
Torsionswinkel:
Drehmomentmessnaben mit
M
2GWp
DMS
M
= GW
p
γl
lM
=
r
rGWp
ϕ=
induktive Verfahren
kapazitive Verfahren
piezoelektrische Verfahren
M:
Drehmoment
l,r:
Länge und Radius der Welle
Wp :
polares Widerstandsmoment
G:
optische Verfahren
45◦
Wirbelstrom (kraftabhängige
Verschiebung von leitenden
und nicht leitenden Zonen)
Schubmodul
(RAC)
SoSe 2010
Drehmoment
Drehmomentmessung mit DMS
Drehmoment:
UAB :
U0 :
k:
vier DMS, sensitive für
Dehnungen im
45◦ -Winkel
Verschaltung zur Vollbrücke
Übertragung der Signale
über Schleifringe
induktive Kopplung
kapazitive Kopplung
G:
Wp :
AB
M = 2GWp UkU
.
0
Brückenspannung
Versorgungsspannung
k-Faktor der DMS
Schubmodul
polares Widerstandsmoment
Typische Werte:
Messabweichung:
Messbereich:
0,1%
5 Nm
bis
bis
1%
25 kNm
optisch
(RAC)
SoSe 2010
121
Drehmoment
Drehmomentmessung mit DMS, induktive Übertragung
Versorgungsspannung über
linken Drehtransformator
Gleichrichtung der
Versorgungsspannung
Messsignal
Wechselspannung
DMS-Vollbrücke
Umwandlung der
U
Brückenspannung in ein
f
Wechselsignal mit
f ∼U
Auskopplung des Wechselsignals
über rechten Drehtransformator
Bestimmung der Frequenz
Berechnung des Drehmoments
(RAC)
SoSe 2010
Drehmoment
Erfassung mittels magnetoelastischem Eekt
Prinzip:
I, II: Verwendung von
Orthogonaltransformatoren
III: Dierenzanordnung zur
Messung der Änderung der
Permeabilität
Vorteil:
ortsfeste Deformationssensoren
keine Signalübertragung auf
drehende Welle nötig
Quelle: Gevatter, Handbuch der Meÿ- und Automatisierungstechnik, Springer 1999
122
(RAC)
SoSe 2010
Drehmoment
Optische Erfassung der Wellenverdrillung
Prinzip:
optische
Inkremental-Winkelaufnehmer
Messung der Wellenverdrillung
als Maÿ für das Drehmoment
Vorteil:
ortsfeste Sensoren
Drehzahl als Nebenprodukt
Quelle: Gevatter, Handbuch der Meÿ- und Automatisierungstechnik, Springer 1999
(RAC)
SoSe 2010
9.4 Druck
9.4.1 Einleitung
Druck
Einleitung
1994: ca. 2,5 Mrd. EUR in Deutschland für Drucksensoren, gefolgt von
Durchusssensoren und Temperatursensoren.
Beispiele für Anwendungsgebiete
Verarbeitungsindustrie
Fertigungsindustrie
Medizin
Industriegüter, z. B. Kfz, Waschautomaten
(RAC)
SoSe 2010
123
Druck
Einleitung (2)
p=
Einheit:
1 Pa
=
1
F
A
DIN 1314:
pabs :
N/m2
Vergleich zum Druck Null im leeren
weitere gebräuchliche Einheiten:
1 bar
5
= 10
1 mbar
Raum.
pamb :
Pa,
2
= 10
Absolutdruck, Druck im
Atmosphärischer Luftdruck,
Mittelwert:
Pa.
p̄amb = 1013,25 hPa.
p1,2 : Dierenzdruck,
p1,2 = ∆p = p2 − p1 .
Druckmessung
pe :
Kraftmessung
Überdruck, Dierenz aus
Absolutdruck und
Atmosphärendruck:
Wegmessung
(RAC)
pe = pabs − pamb .
SoSe 2010
9.4.2 Absolutdruck
Druck
Absolutdruck
pabs
Die druckabhängige Auslenkung
der Membran wird z. B. mit
DMS gemessen.
Membran
Messen des Drucks gegenüber
einem festen Referenzdruck:
Druckreferenzen
Referenz-
seltener: Druck Null
(Vakuum)
druck
124
(RAC)
SoSe 2010
9.4.3 Überdruck
Druck
Überdruck
pabs
Überdruck:
Membran
pe = pabs − pamb .
Auch hier: Auslenkung der
Membran wird als Maÿ für
Überdruck gemessen.
Begri
Unterdruck:
nicht mehr
verwenden
⇒ negativer Überdruck.
pamb
(RAC)
SoSe 2010
9.4.4 Dierenzdruck
Druck
Dierenzdruck
p1
In technischen Prozessen wird
häug der Dierenzdruck
benötigt, z. B. Druckabfall an
Membran
einem Rohrabschnitt
Daher besitzen die
Drucksensoren zwei Anschlüsse.
Auch bei hohen statischen
Drücken können sehr kleine
Druckdierenzen gemessen
werden.
p2
(RAC)
SoSe 2010
125
9.4.5 Beispiele für Drucksensoren
Druck
Beispiele für Drucksensoren: mechanischer Drucksensor
Überdruckmessung mit einer Edelstahlmembran als Plattenfeder
(RAC)
SoSe 2010
Druck
Beispiele für Drucksensoren: mit Dickschichttechnik
Fa. WIKA, Delta-Trans
0 − 25 kPa
statischer Druck: 2500 kPa
Überlastgrenze: ±2500 kPa
Messbereich:
Verwendung von piezoresistiven Widerständen.
126
(RAC)
SoSe 2010
Druck
Beispiele für Drucksensoren: mit Dünnschichttechnik
(RAC)
SoSe 2010
Druck
Beispiele für Drucksensoren: kapazitiver Drucksensor
(RAC)
SoSe 2010
127
9.5 Schwingungen und Vibrationen
Schwingungen und Vibrationen
Einleitung
Anwendungen der Schwingungsmesstechnik sind beispielsweise
Überwachung von rotierenden Maschinen
Überwachung von Verbrennungsmotoren
Überwachung von hydraulischen oder pneumatischenen Schwingungen
Erdbeben
Aufgaben dabei:
Frequenzbestimmung, mechanische Schwingungen: typisch
1 Hz
bis
30 kHz
Bestimmung der Amplitude(n)
des Weges
der Geschwindigkeit
der Beschleunigung
(RAC)
SoSe 2010
Relativmessung (Abstandsdierenzmessung)
Schwingung in Bezug zu einer als ruhend anzusehenden Referenz:
Schwinger
Taststift
Anzeige
Anpressfeder
ruhende Unterlage
128
(RAC)
SoSe 2010
Absolutmessung (seismische Messung)
d
FD
z
m
FF :
Federkraft,
FD :
Dämpfungskraft
FD = dż
c:
Federkonstante
d:
Reibungskonstante
z:
Auslenkung der seismischem
Masse
xe :
c
FF = cz
FF
Auslenkung des Objekts
Dierentialgleichung
der
Schwin-
gung:
Schwinger
mz̈ + dż + cz = −mẍe
(RAC)
SoSe 2010
Schwingungsdierentialgleichung
Optimierung je nach Konguration
mz̈ + dż + cz = −mẍe
kleines
c
und groÿes
niedrige Eigenfrequenz
⇒
hohe Eigenfrequenz
c
und kleines
(RAC)
c, d
und
m:
Schwingweg:
ω ω0
und
kleine Dämpfung
m
⇒
groÿes
von
m
ω0
Schwinggeschwindigkeit:
ω < ω0
und groÿe Dämpfung
Schwingbeschleunigung:
ω ω0
und kleine Dämpfung
SoSe 2010
129
Absolutmessung (2)
handelsübliche Schwingungssensoren sind oft
beschleunigungsempndlich ausgelegt
die Empndlichkeit wird oft in
mV/g
angegeben, g:
Erdbeschleunigung
typische Werte für die Empndlichkeit:
10 − 100 mV/g
Zur Überwachung von Maschinen wird deren Schwingstärke bestimmt.
Die Schwingstärke ist der Eektivwert der Schwinggeschwindigkeit.
(RAC)
SoSe 2010
Piezoelektrischer Beschleunigungssensor
130
(RAC)
SoSe 2010
Kapazitiver Beschleunigungssensor
kostengünstige Sensoren
werden als integrierte
Halbleitersensoren in
Dünnschichttechnologie
hergestellt.
Beispiel: ADXL 202 von
Analog Devices
kleine
Leistungsaufnahme
Messbereich:
Ausgabe als
±2 g
Pulsweitenverhältnis
zur gesamten
Periodendauer
(RAC)
SoSe 2010
Kraft-, Druck- und Beschleunigungssensor
(RAC)
SoSe 2010
131
10 Strömungsgeschwindigkeit, Volumenstrom, Massenstrom
10.1 Einleitung
Strömungsgeschwindigkeit, Volumenstrom, Massenstrom
Einleitung
Einleitung
Zur Messung des Volumen- oder Massenstroms von üssigen oder
gasförmigen Medien gibt es eine Reihe von Verfahren, z. B.
Flügelradprinzip, Turbinenradprinzip
Wirkdruckverfahren
Staudruckverfahren
Schwebekörperverfahren
Induktive Verfahren
Thermische Verfahren
Corioliskraftprinzip
Vortex- oder Wirbelfrequenzdurchussmessung
(RAC)
SoSe 2010
10.2 Flügelrad- und Turbinenprinzip
Flügelrad- und Turbinenprinzip
Flügelradprinzip, Turbinenradprinzip
ein Turbinen- oder Flügelrad geringer Masse ist in einem rohrförmigen
Körper konzentrisch gelagert
das Medium strömt das Rad in Richtung der Drehachse an
der Rotor dreht sich mit einer Geschwindigkeit, die näherungsweise
proportional zur mittleren Strömungsgeschwindigkeit im
Rohrquerschnitt ist
die Drehzahl des Rades wird mit Hilfe eines induktiven
Näherungsschalters gemessen
Messbereich (Beispiel):
Abweichung:
Wiederholbarkeit:
0,05% bis 0,1%
Temperaturbereich:
−20 ◦ C bis 120 ◦ C
1 − 30 mm2 /s
5 − 50 ms
Viskosität:
Ansprechzeit:
132
0,5 L/h bis 400 L/h
±1% v. M.
(RAC)
SoSe 2010
Flügelradprinzip, Turbinenprinzip (2)
Anwendungsbereiche für Turbinendurchusssensoren:
Treibstoe
Flüssiggase
Lösungsmittel
Wasser
Kleine Mengen werden mit Flügelradzähler gemessen. Im Gegensatz zur
Turbine werden die Flügel seitlich angestrahlt. Anwendung:
Hauswasserzähler
(RAC)
SoSe 2010
Flügelradprinzip, Turbinenradprinzip (3)
Flügelradzähler
Turbinenradzähler
Quelle: http://www.msr.uni-bremen.de/download/MSGrundlagenDurchuss.pdf, letzter Abruf: 2007-01-05.
(RAC)
SoSe 2010
133
10.3 Corioliskraftprinzip
s. Video von Endress+Hauser
(RAC)
SoSe 2010
11 Digital-Analog-Umsetzung
11.1 Einleitung
Digital-Analog-Umsetzung
Einleitung
Einleitung
Sensorsignale werden heutzutage meist digitalisiert (s. nächstes
Kapitel: Analog-Digital-Umsetzung) und in Rechenanlagen
weiterverarbeitet
oft soll in Abhängigkeit des Berechnungsergebnisses eine Reaktion
erfolgen (Ansteuerung eines Aktors)
dazu muss eine Binärzahl (Dualzahl) in eine analoge Gröÿe (meist
Strom oder Spannung) umgewandelt werden
⇒
diese Aufgaben übernimmt ein Digital-Analog-Umsetzer (DAU)
DAUs werden auch bei einigen Verfahren der Analog-Digital-Umsetzung
benötigt.
134
(RAC)
SoSe 2010
Einleitung
Kennzahlen
Digitalwert
Z,
mit
N
Bit aufgelöst
unipolarer Digital-Analog-Umsetzer: es werden nur positive Zahlen
betrachtet, im Bereich
0 ≤ Z ≤ Zmax = 2N − 1
Stufenbreite
ULSB :
Dierenz im analogen Ausgangssignal zwischen zwei
aufeinander folgenden Digitalwerte
ULSB =
Ua,max
Ua,max
2N
oder ULSB =
Ua,max
2N − 1
ist die maximal mögliche Ausgangsspannung. LSB
steht für
least signicant bit
Konversionsrate: (auch Umsetz- oder Wandlungsrate): gibt an, wieviele
Digitalwerte pro Zeiteinheit in analoge Werte umgesetzt
werden können.
(RAC)
SoSe 2010
11.2 Parallelverfahren
Parallelverfahren
Parallelverfahren
Alle möglichen Ausgangsspannungen werden mit einem
Spannungsteiler dargestellt
Referenzspannungsquelle
Uref
garantiert die Versorgung des
Spannungsteilers mit konstanter Spannung
Mit einem 1-aus-n-Decoder wird derjenige Schalter geschlossen, dem
die gewünschte Spannung zugeordnet ist
Wenn
n
n−1
Widerstände geben.
Zahlen dargestellt werden sollen, muss es
n
Schalter und
Das Parallelverfahren ist das schnellste aber auch aufwändigste
Verfahren
(RAC)
SoSe 2010
135
Parallelverfahren
Parallelverfahren: Beispiel 3-Bit-Umsetzer
Uref
Zahl
binär
S0
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
Ua
Uref
0/7
1/7
2/7
3/7
4/7
5/7
6/7
7/7
S7
R
R
R
R
R
R
R
S6
S5
S4
S3
0
000
1
0
0
0
0
0
0
0
1
001
0
1
0
0
0
0
0
0
2
010
0
0
1
0
0
0
0
0
3
011
0
0
0
1
0
0
0
0
4
100
0
0
0
0
1
0
0
0
5
101
0
0
0
0
0
1
0
0
6
110
0
0
0
0
0
0
1
0
7
111
0
0
0
0
0
0
0
1
S2
S1
S0
Ua
(RAC)
SoSe 2010
11.3 Wägeverfahren
Wägeverfahren
Wägeverfahren
Uref
2R
Referenzspannungsquelle
Uref
4R
8R
R
garantiert die
S2
Versorgung des
S0
S1
−
Spannungsteilers mit
Ua
+
konstanter Spannung
Jedem Bit ist ein
Schalter zugeordnet
binär
S2
S1
S0
Ua
Uref
−0/8
−1/8
−2/8
−3/8
−4/8
−5/8
−6/8
−7/8
0
000
0
0
0
Die Widerstände
1
001
0
0
1
repräsentieren die
2
010
0
1
0
Gewichte im Binärsystem
3
011
0
1
1
Guter Kompromiss aus
4
100
1
0
0
Aufwand und Umset-
5
101
1
0
1
zungsgeschwindigkeit
6
110
1
1
0
7
111
1
1
1
136
Zahl
(RAC)
SoSe 2010
11.4 Zählverfahren
Zählverfahren
Zählverfahren
Uref
Nur ein Schalter erforderlich
S
R
Der Schalter wird periodisch
geönet und geschlossen
Ua
C
Das Verhältnis von Einschaltzeit
zu Ausschaltzeit wird so
eingestellt, dass sich der
Ua
Uref
gewünschte Spannungswert am
RC-Glied einstellt
t
(RAC)
SoSe 2010
11.5 Abweichungen und Fehler
Statische Fehler:
Nullpunktabweichung, Abhilfe:
U
Abgleich
Störpulse durch
U Zwischencodes
ideal
Vollausschlagabweichung,
Abhilfe: Abgleich
Nichtlinearitäten
Dynamische Fehler:
t
Einschwingzeit
U Einschwingen
(Tiefpass)
t
U
Überlagerung
Zwischencodes (auch
Störimpulse oder Glitches,
Ursache: unterschiedliches
schnelles Önen und Schlieÿen
der Schalter), Abhilfe:
t
t
S&H-Glied nachschalten
(RAC)
SoSe 2010
137
12 Analog-Digital-Umsetzung
12.1 Einleitung
Analog-Digital-Umsetzung
Einleitung
Einleitung
Ein AD-Umsetzer (AD-Wandler) wandelt einen Spannungswert in einen
Zahlenwert. Bevor ein digitaler Rechner (oder Mikrocontroller) ein analoges
Messsignal verarbeiten kann, muss es mit Hilfe eines AD-Umsetzers
digitalisiert werden.
Prinzipieller Ablauf:
Eingangs−
spannung
ue (t)
Binaerzahl
Tiefpass−
Filter
Abtast−Halte−
Schaltung
AD−Umsetzer
Bn
(Anti−Aliasing−Filter)
(RAC)
SoSe 2010
Einleitung
Übersicht über Analog-Digital-Umsetzerverfahren
Direktvergleichende Analog-Digital-Umsetzer
Parallel-Umsetzer (Flash-Converter, Vielfach-Diskriminator)
Wägeverfahren (Sukzessive Approximation, Stufenumsetzer)
Kaskadierter Vielfach-Diskriminator (Kombiniertes Parallel- und
Wägeverfahren)
Umsetzer nach dem Subranging-Verfahren (Kaskadenverfahren)
Recursive-Subranging-Verfahren (Kaskadenverfahren)
inkrementeller Stufenumsetzer (Zählverfahren)
Analog-Digital-Umsetzer mit Delta-Sigma-Modulator
Time-Devision-Multiplizierer (Impulsbreiten-Multiplizierer,
Sägezahn-Multiplizierer)
Analog-Digital-Umsetzer mit Zeit oder Frequenz als Zwischengröÿe
Single-Slope-Umsetzer (u/t-Umsetzer)
Dual-Slope-Umsetzer (Integrierender Zweirampen-Umsetzer)
Spannung-Frequenz-Umsetzer (u/f-Umsetzer)
ADC nach dem Ladungskompensationsverfahren
(Charge-Balancing-Converter)
138
(RAC)
SoSe 2010
12.2 Shannonsches Abtasttheorem
Shannonsches Abtasttheorem (Nyquist-Kriterium)
x(t)
y n =x(nTA )
|X(f)|
t
−f A
TA
|Y(f)|
−f G 0 fG
fA
2f A
Shannonsche Abtasttheorem: (Nyquist-Kriterium) Ein mit der
Grenzfrequenz
fG
bandbegrenztes Signal ist vollständig
bestimmt, wenn es mit einer konstanten Abtastfrequenz
fA > 2fG
(RAC)
abgetastet wird.
SoSe 2010
Aliasing
Wenn die Abastfrequenz zu klein ist (rot), kann das ursprüngliche Signal
nicht mehr rekonstruiert werden.
(RAC)
SoSe 2010
139
12.3 Abtast-Halte-Schaltung
Abtast-Halte-Schaltung
Bei vielen Analog-Digital-Umsetzern muss das Messsignal für die
Dauer des Konversionsvorgangs zeitlich konstant gehalten werden.
Dazu werden Abtast-Halte-Schaltungen eingesetzt, häug als
Folge-Halte-Schaltung (Track-and-Hold-Schaltung) realisiert
Anforderungen an ideale Abtast-Halte-Schaltungen:
im Abtastzustand
Das Ausgangssignal weist keinen Unterschied in Amplitude und
Phasenlage gegenüber dem Eingangssignal auf (transparent)
Für die Ein- und Ausgänge gelten die Anforderungen idealer
Operationsverstärker, z. B.
im Haltezustand
Ri → ∞, Ra → 0
Halten der Kondensatorspannung für eine denierte Zeitdauer, d. h.
auch keine Selbstentladung des Kondensators
(RAC)
SoSe 2010
Abtast-Halte-Schaltung: Grundstruktur
ua(t)
ue (t)
Realisierung als Folge-Halte-Schaltung mit zwei Operationsverstärker als
Spannungsfolger.
140
(RAC)
SoSe 2010
Kenngröÿen von Abtast-Halte-Schaltungen
ue
Folgen
ua
Halten
Folgen
ue
Offset
Droop
ua
Slew Rate
Aperture Time
t
Settling Time
Acquisition Time
(RAC)
SoSe 2010
12.4 Parallelverfahren
Parallelverfahren
2-Bit AD-Umsetzer nach dem Parallelverfahren
Andere Bezeichnung: Flash-Converter
U0
5
8
ue
3
2R
D Q
U0
D Q
U0
Q2
=1
E2
B1
B0
Q’
R
1
8
E3
Q’
R
3
8
Q3
D Q
U0
Q1
=1
E1
Q’
1
2R
Rpd
Rpd
Takt
Referenz−
spannungen
Vergleichsschaltung
(RAC)
Kodierer (Beispiel)
SoSe 2010
141
Parallelverfahren
2-Bit AD-Umsetzer nach dem Parallelverfahren (2)
Spannungsbereich
Q1
Q2
Q3
E1
E2
E3
B1
B0
dez.
0 ≤ ue < 18 U0
3
1
8 U0 ≤ ue < 8 U0
3
5
8 U0 ≤ ue < 8 U0
5
8 U0 ≤ ue
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
2
1
1
1
0
0
1
1
1
3
(RAC)
SoSe 2010
Parallelverfahren
3-Bit AD-Umsetzer nach dem Parallelverfahren
U0
13
16 U0
ue
3
2R
R
D Q
Q’
11
16 U0
R
D Q
Q’
9
16 U0
R
D Q
Q’
7
16 U0
R
D Q
Q’
5
16 U0
R
D Q
Q’
3
16 U0
1
16 U0
B0
B1
B2
D Q
Q’
R
D Q
Q’
=1
=1
=1
=1
=1
=1
1
2R
Rpd
Rpd
Rpd
Takt
Referenz−
spannungen
142
Vergleichsschaltung
(RAC)
Kodierer (Beispiel)
SoSe 2010
12.5 Wägeverfahren
Wägeverfahren
AD-Umsetzer nach dem Wägeverfahren
Andere Bezeichnung: sukzessive Approximation
Takt
ue,T
Abtast−
Halte−Glied
SA−Register
ue
Z
U(Z)
DA−Umsetzer
Z
Z
Uref
Ähnlich dem Abwiegen eines unbekannten Gewichts mit einer Balkenwaage
und Referenzgewichten.
(RAC)
SoSe 2010
Wägeverfahren
Ablauf des Wägeverfahrens, 3-Bit-AD-Umsetzer
Start
nein
nein
nein
Z=000
ja
ue,T>U(010)
ue,T>U(001)
ja nein
ja
ue,T>U(100)
nein
ue,T>U(011)
Z=001 Z=010
1. Takt
ja nein
ue,T>U(101)
Z=011 Z=100
ja
ue,T>U(110)
ja nein
ue,T>U(111)
Z=101 Z=110
2. Takt
ja
3. Takt
Z=111
Für jedes Bit wird ein Takt benötigt. Der im Vergleich zum
Parallelumsetzer geringe Hardware-Aufwand wird also durch eine länger
Wandlungszeit erkauft.
(RAC)
SoSe 2010
143
12.6 Dual-Slope-Umsetzer
Dual-Slope-Umsetzer
Dual-Slope-Umsetzer
UC
Ue
Taktgenerator
C
R
&
Uref
Zähler
(z.B. 0V)
Integrator
Komparator
Steuerlogik
Hohe Auösung mit geringem technischen Aufwand
geringe Wandlungsgeschwindigkeit
Einsatz oft in manuell ablesbaren digitalen Spannungsmessern
(RAC)
SoSe 2010
Dual-Slope-Umsetzer
Dual-Slope-Umsetzer: Spannung-Zeit-Diagramm
1. Phase:
Auaden des
UC
1. Phase
Integrationskondensators
2. Phase
UC (Ue2 )
Dauer ist
t1
(immer gleich)
Steigung hängt von
UC (Ue1 )
UC
C
hängt von
Ue
Ue
ab
ab
2. Phase:
t
t1 =const.
t2,1
Entladen des
Integrationskondensators
t2,2
Steigung immer gleich (hängt
zwei AD−Umsetzungen,
Ue1 < U e2
von
Uref
ab)
Entladedauer
t2
ist ein Maÿ für
Ue
144
(RAC)
SoSe 2010
13 Automatisierte Messsysteme
13.1 Hardwarekonguration
Automatisierte Messsysteme
Hardwarekonguration
Instrumentierte Computer
normaler PC mit z. B. Einsteckkarte, kostengünstig
Industrie-PC, teuer
bei besondere Gehäuseabmessungen
bei besonderen Anforderungen bzgl. Störsicherheit, Klimafestigkeit,
usw.
zwei Varianten:
Add in-Variante
Add on-Variante
(RAC)
SoSe 2010
Hardwarekonguration
Add in-Variante
zum Sensor
weit verbreitet: PCI-Einsteckkarten (DAQ-card: data aquisition card)
PCI-Taktrate: 33 Mhz (66 MHz)
32-Bit-Datenbus (=4 Byte)
Übertragungsrate: 132 MByte/s (theoretisch)
für viele anspruchsvolle Messaufgaben ausreichend
neu: PCI Express-Bus (PCIe)
PCIe-Taktrate: bis zu 1,25 GHz (DDR)
1, 2, 4, 8, 16 oder 32 Lanes (Leitungspaare)
Übertragungsrate: ca. 240 MByte/s pro Richtung und Lane
(RAC)
SoSe 2010
DDR: double data rate, Daten werden bei steigender und fallender Flanke übertragen.
145
Hardwarekonguration
Add on-Variante
erforderliche Baugruppen
(Messwertaufnahme,
-verarbeitung, -ausgabe) in
einem PC-Beistellgerät
meistens serielle Verbingung
zwischen PC und Beistellgerät
COM
USB
IEEE-1394 (Firewire)
(RAC)
SoSe 2010
Hardwarekonguration
Messsysteme mit Busschnittstelle
Steuerrechner
Für komplexere Aufgaben
müssen Teilaufgaben auf
serieller oder
paralleler Bus
verschiedene Komponenten
verteilt werden.
Modul 1
z. B.
Multi−
meter
146
(RAC)
Modul 1
z. B.
Funktions−
generator
Modul 1
z. B.
Frequenz−
zähler
SoSe 2010
Hardwarekonguration
Messsysteme mit Busschnittstelle (2)
parallele Bussysteme
byteweise
serielle Bussysteme
Datenübertragung
(oder
bitweise
Datenübertragung
(i. A.
ganzzahliges Vielfaches)
zwei Datenleitungen
viele Managementleitungen
keine Managementleitungen
hoher Verdrahtungsaufwand
niedriger Verdrahtungsaufwand
geringe Reichweite (wenige Meter)
groÿe Reichweite (bis einige Kilometer)
hohe Übertragungsrate
niedrigere Übertragungsrate
einfaches Protokoll
aufwändiges Protokoll
Beispiele: IEC-625-Bus (GPIB), VXI-
Beispiele USB, IEEE 1392 (Firewire),
Bus
EIA-485 (RS-485)
(RAC)
SoSe 2010
EIA: Electronic Industries Alliance (RS: Radio Sector, veraltet, neue Lesart: recommended
standard)
GBIP: general purpose interface bus
13.2 Software zur Steuerung und Visualisierung
Software zur Steuerung und Visualisierung
Bediener
Bedienoberfläche
Betriebs−
software
(Geräte−)Treiber
Hardware
Gerät
Aktoren/Sensoren
(RAC)
SoSe 2010
147
Instrumentierungssoftware
Beispiele für Instrumentierungssoftware
Hersteller
Produkt
The MathWorks
MATLAB, MATLAB/Simulink
National Instruments
LabVIEW, DASYLab
Agilent
Agilent VEE
(RAC)
SoSe 2010
13.3 TEDS-Sensoren
TEDS-Sensoren
TEDS-Sensoren
TEDS: transducer electronic data sheet
ein TEDS-Sensor enthält sein eigenes Datenblatt auf einem Chip
ein entsprechend ausgestatteter Messverstärker liest die Kenndaten aus
der Messverstärker verwendet die Daten für die eigenen Einstellungen
⇒
Plug-and-Play für Sensoren
Hersteller: 11010001101
Typ: 01101000
Einheit: 00101101
Speisung: 11101010
Kennlinie: 0010001100101
...
Datenmodus
Messmodus
Sensor
mit TEDS
148
(RAC)
TEDS−fähiger
Messverstärker
SoSe 2010
TEDS-Sensoren
TEDS-Inhalt
Bereich 1: weltweit eindeutige Identikationsnummer
Bereich 2: Basisbereich (nach Norm IEEE 1451.4)
Aufnehmertyp
Hersteller
Seriennummer
Bereich 3: Sensordaten, z. B. Spezikation
der Messgröÿe
der Kennlinie
der erforderlichen Speisung
Bereich 4: vom Anwender zu nutzen, z. B.
kurzer Kommentar
Filtereinstellungen
(RAC)
SoSe 2010
149

Grundlagen der Mess- und Sensortechnik

Transcrição

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