Algebra II

Algebra II
Prof. Dr. M. Rost
Übungen — Blatt 12 (SS 2016)1
Abgabetermin: Freitag, 8. Juli
http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/a2
Erinnerungen an die Vorlesung:
Im Folgenden werden manchmal einige Definitionen und Bemerkungen aus der
Vorlesung zusammengefaßt. Man kann die meisten Dinge auch in Büchern oder
auf den auf der Homepage angegebenen Links nachlesen.
Anmerkungen und Hinweise sind ausdrücklich erwünscht (per Email oder in der
Vorlesung).
Die Clifford-Algebra
Im Folgenden sei K ein Körper mit char K 6= 2 (wie immer, wenn es um quadratische Formen geht).
Bitte wiederholen Sie die grundlegenden Definitionen zu quadratischen Formen
aus der LA II.
Es sei V ein Vektorraum über K der Dimension n und
q: V → K
eine quadratische Form.
Definition 1. Die Clifford-Algebra von q ist der Quotienten-Ring
C(q) = T V /I
der Tensoralgebra von V modulo dem zweiseitigen Ideal I erzeugt von den Elementen der Form
v ⊗ v − q(v)
(v ∈ V )
Etwas detaillierter: Die Tensoralgebra von V ist
∞
M
•
T V = TK V =
V ⊗k
k=0
⊗0
=V
⊕ V ⊗1 ⊕ V ⊗2 ⊕ V ⊗3 ⊕ · · ·
= R ⊕ V ⊕ (V ⊗R V ) ⊕ (V ⊗R V ⊗R V ) ⊕ · · ·
1
Fassung vom 3. Juli
2
Im Folgenden lasse ich das Tensorzeichen bei den Produkten von Elementen weg.
Die Tensoralgebra wird erzeugt von den Elementen v ∈ V ohne weitere Rechenregeln neben den Regeln in jeder Algebra (Assoziativität etc.).
Man betrachtet nun die Elemente
(−q(v), v ⊗ v) ∈ V ⊗0 ⊕ V ⊗2
In der Clifford-Algebra rechnet man nun wie in der Tensoralgebra, aber modulo
diesen Elementen. Die Clifford-Algebra wird also erzeugt von den Elementen
v ∈ V (wie die Tensoralgebra) aber mit der zuätzlichen Rechenregel
v 2 = q(v)
Für die Nullform q = 0 (q(v) = 0 für alle v) erhält man
C(0) = T V /hv ⊗ v, v ∈ V i
Diese Algebra kennen wir schon, es ist die äußere Algebra Λ• V . Hier wurde das
Produkt mit v ∧ w bezeichnet und es gelten
v ∧ v = 0,
w ∧ v = −v ∧ w
Zur weiteren Untersuchung der Clifford-Algebra ist es praktisch, eine diagonalisierende Basis von V zu wählen (dies geht immer, siehe LA II). Es ist dann
V = K n und
q : Kn → K
q(x1 , . . . , xn ) = a1 x21 + · · · + an x2n
für gewisse ai ∈ K. Für solche Diagonalformen hat sich folgende Schreibweise
eingebürgert:
q = ha1 , . . . , an i
Wie üblich sei e1 , . . . , en die Standard-Basis von K n .
Satz 2. Es sei
q = ha1 , . . . , an i
Die Clifford-Algebra C(q) wird erzeugt von den Elementen
e1 , . . . , en
Es gelten die Rechenregeln
e2i = ai
ei ej = −ej ei
Beweis. Siehe Vorlesung oder Aufgabe 1.
(i 6= j)
3
Man beachte, daß man im Fall q = 0 (also ai = 0 für alle i) die Rechenregeln
für die äußere Algebra C(0) = Λ• K n erhält. Wie bei der äußeren Algebra kann
mittels der Vertauschungsregel
ei ej = −ej ei
Monome in den ei auf die Normalform
ei1 · · · eik
(1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n)
bringen. Es gilt nun folgende Verallgemeinerung von Blatt 3, Proposition 13:
Satz 3. Es sei
q = ha1 , . . . , an i
Eine Basis der Clifford-Algebra C(q) ist
ei1 · · · eik
wobei k ≥ 0 und
1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n
Beweis. Kein Beweis hier. Ich möchte lieber erst mehr Beispiele betrachten. Sie
dürfen den Satz aber verwenden.
Korollar 4. Es gilt
dim C(q) = 2n
Beispiele: dim(q) = 0, 1, 2
Für eine 0-dimensionale Form (V = 0) ist
C(0) = T 0 = K
Der 1-dimensionale Fall: C(hai) hat die Basis
1, e
und es gilt e2 = a. Daher gilt
C(hai) = K[t]/(t2 − a)
Man erhält so insbesondere alle quadratichen Körpererweiterungen.
Der 2-dimensionale Fall: C(ha1 , a2 i) hat die Basis
1, e1 , e2 , e1 e2
und es gilt
e21 = a1 , e22 = a22 , e2 e1 = −e1 e2
Dies ist eine Quaternionen-Algebra
C(ha1 , a2 i) = Q(a1 , a2 )
4
Aufgabe 1. Es sei
bq (v, w) = q(v + w) − q(v) − q(w)
die zur quadratischen Form q gehörige Bilinearform.
Man zeige, daß in der Clifford-Algebra C(q) folgende Rechenregel gilt:
vw + wv = bq (v, w)
Aufgabe 2. Es sei q : V → K eine quadratische Form.
Es sei v ∈ V ein anisotroper Vektor (also q(v) 6= 0). Dann ist v als Element von
C(q) invertierbar, denn wegen v 2 = q(v) hat man
v
v −1 =
q(v)
Man zeige unter Verwendung von Aufgabe 1:
vwv = bq (v, w)v − wq(v)
Welche geometrische Interpretation hat die Abbildung
γv : V → V
γv (w) = −vwv −1
Hinweis. Siehe LA II!
Aufgabe 3. Es sei q = ha1 , . . . , an i und
δ = e1 · · · en ∈ C(q)
2
(1) Man bestimme δ (ein Element von K).
(2) Es sei n = 3 und ai 6= 0 (i = 1, 2, 3). Man zeige, daß
1, δ
das Zentrum von C(q) erzeugen.
Anmerkung. Allgemein gilt im Fall ai 6= 0 (i = 1, . . . , n) für das Zentrum der
Clifford-Algebra:
Z C(q) = K
(n gerade)
und
Z C(q) = K ⊕ Kδ
(n ungerade)
Aufgabe 4. Es seien a, b ∈ K mit a 6= 0, b 6= 0, a + b 6= 0. Man zeige
ha, bi ≃ h(a + b), (a + b)abi
Anmerkung. Diese Beziehung wird Witt-Relation genannt.