Beschreibende Statistik

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Mathematik-Stützkurs WIW am Donnerstag 13.02.2014
Aufgabe 1:
In einem Behälter liegen blaue, weiße und rote Kugeln, wobei der Anteil der blauen
Kugeln 20 % beträgt, der der weißen 10 %. Aus diesem Karton werden rein zufällig
Kugeln mit Zurücklegen entnommen.
a) (12) Es werden 15 Kugeln entnommen. Berechne Sie die Wahrscheinlichkeit zu diesen Ereignissen:
A: Es werden nur blaue Kugeln entnommen
B: Man erhält mindestens 5 weiße
C: Es werden höchstens 10 rote gezogen
D: Jede zweite Kugel ist rot
b) (6) Wie viele Kugeln muss man mindestens ziehen, um mit mindestens 50% Wahrscheinlichkeit mindestens 2 weiße zu ziehen?
c) (2) Mit wie vielen roten Kugeln kann man unter 100 Kugeln rechnen?
Lösung:
a)
b)
1-26
Aufgabe 2:
Studenten werden nach dem Mensabesuch gefragt, welches Essen sie gewählt haben.
12 Befragte haben Stammessen genommen, 6 Wahlessen, 6 Salat und 3 Eintopf.
Welches Skalenniveau liegt vor (gewähltes Essen)?
Lösung:
Nominalskala
Aufgabe 3:
Um das Sozialverhalten von Studenten besser einschätzen zu können, werden 8 Studenten danach befragt, wie viele Personen sie zu ihrer letzten Geburtstagsfeier eingeladen haben. Es wurden folgende Angabe gemacht (ein Wert pro befragten Studenten):
10
10
34
16
1
16
0
150
a) (3) Bestimmen Sie die Extremwerte (Maximum, Minimum) und den Modalwert.
b) (2) Berechnen Sie das arithmetische Mittel.
c) (2) Berechnen Sie den Median
d) (3) Berechnen Sie das untere und obere Quartil.
Lösung:
Geordnete Liste:
2-26
0
1
10
10
16
a) Min=0; Max=150
b) Mittelwert=29,625
c) Median=13
d) Qu =5,5; Q o=25
3-26
16
34
150
Aufgabe 4:
Der Intelligenzstrukturtest 70-Plus ist so normiert, dass die Testwerte normalverteilt
sind mit μ = 100 und  = 10. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig
aus der Population gezogene Person einen Testwert hat, ...
a) (5) der über 130 liegt?
b) (5) der zwischen 115 und 125 liegt?
c) (5) Wie hoch muss der Testwert einer Person mindestens sein, damit diese Person
zu den 30% der Personen mit den höchsten Testwerten gehört?
Lösung:
a)
Transformation:
130  100
 3 -> 0,9986 -> 1-0,9986=0,0014
10
b)
Transformation:
115  100
 1,5 -> 0,9332
10
125  100
 2,5 -> 0,9938
10
0,9938-0,9332=0,0606
c)
4-26
Suche 0,7 in Tabelle: 0,52 ->
0,52 
x  100
 x  100  0,52 10  100  5,2  105 ,2
10
Aufgabe 5:
Eine Maschine produziert Scheiben mit einem Durchmessermittelwert 50mm und einer Standardabweichung von 1,5mm. Eine Scheibe gilt dann als verwendbar, wenn ihr
Durchmesser vom Sollwert nicht mehr als ein Betrag c abweicht. Welche Toleranzgrenze c ist zulässig, wenn im Mittel höchstens 6 % Ausschuss erzeugt werden soll!
Lösung:
5-26
Aufgabe 6:
Eine Maus startet in einem Versuchslabyrinth und muss sich an 8 Abzweigungen zwischen links und rechts entscheiden. Umkehren kann sie nicht.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit läuft sie
a) (3) genau 4-mal rechts
b) (3) genau 5-mal in die gleiche Richtung
c) (4) mindestens 6-mal links
Lösung:
Aufgabe 7:
Unter 50 Glühbirnen in einem Karton befinden sich 5 defekte. Bei einer Qualitätskontrolle werden 3 Birnen getestet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) alle 3 defekt sind
b) genau 2 defekt sind
c) genau eine defekt ist
d) keine defekt ist.
e) Wie viele defekte Birnen sind bei dieser Stichprobe im Mittel zu erwarten?
Lösung:
6-26
7-26
Aufgabe 8:
An einer Aufnahmeprüfung wurden in Französisch folgende Noten erzielt:
Knaben
Mädchen
ungenügend 30
25
genügend
85
60
a) (3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine ungenügende Note zu haben?
b) (3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Anna eine ungenügende Note hat?
c) (3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Eintragung auf der Anmeldeliste ein Knabe ist?
d) (3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine ungenügende Note von einem
Knaben stammt?
Lösung:
8-26
Aufgabe 9:
In einem Stapel spezieller Spielkarten gibt es Karten mit den Aufdrucken 1, 2 oder 3.
Und zwar jeweils in rot oder in schwarz
In einem dicken Spielkartenstapel befinden sich zur Hälfte Karten mit der 1, Karten
mit der 2 treten mit 20 % auf. Auf die Farbe wird zunächst nicht geachtet.
a) Aus diesem Stapel werden drei entnommen und jeweils wieder zurückgelegt. Vor
dem Ziehen einer Karte wird gründlich gemischt. Die Zahlen der drei gezogenen Karten werden der Reihe aufgeschrieben, so dass eine dreistellige Zahl entsteht.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse:
A: (2) Man erhält die Zahl 123
B: (2) Man erhält genau eine drei
9-26
C: (2) Man erhält 3 verschiedene Zahlen
D: (2) Man erhält eine Zahl größer als 200
E: (2) Die Quersumme der Zahl beträgt 5
F: (2) Man zieht keine Karte mit der Zahl 3.
b) (4) Wie oft muss man mindestens ziehen, um mit 99 % Wahrscheinlichkeit mindestens einmal eine Karte mit der Zahl 2.
Lösung:
10-26
Aufgabe 10:
Die Köpergröße eines bestimmten Jahrgangs ist normalverteilt mit den Werten
 = 95 cm und =7cm.
Wie viel Prozent dieser Kinder sind im Mittel
a) (4) kleiner als 1 m,
b) (4) größer als 1,05,
c) (4) zwischen 88 cm und 103 cm?
d) (5) In einer Stadt mit 800.000 Einwohnern sind von den 308.000 männlichen Einwohnern 5.000 im Schützenverein und von den 492.000 weiblichen Einwohnern 600
im Schützenverein.
Die relative Häufigkeit der Männer unter den Mitgliedern im Schützenverein ist
(1) 5000/308000
(2) 5000/800000
(3) 5600/800000
(4) 5000/5600
Nur eine der Antworten ist richtig. Sie müssen Ihre Antwort nicht begründen.
Lösung:
a)
b)
c)
d) 4
Aufgabe 11:
11-26
Sie haben 9 verschiedene Farben (inklusive rot, blau, grün).
Auf wie viele Arten können Sie die oben dargestellten Felder färben, wenn:
a) (2) keine Einschränkung besteht?
b) (2) jedes Feld eine andere Farbe haben soll?
c) (2) benachbarte Felder verschieden gefärbt werden sollen?
d) (2) die beiden Felder links und rechts außen rot sein sollen?
e) (3) 3 Felder rot, 2 blau und der Rest grün sein soll?
f) (3) 3 nebeneinander liegende Felder rot, die übrigen beliebig, aber nicht rot gefärbt
sind?
Lösung:
12-26
13-26
Aufgabe 12:
In einer Urne befinden sich 6 rote, 6 blaue, 6 gelbe, je von 1 bis 6 nummerierte Kugeln.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ziehungen:
a) (2) eine rote Kugel.
b) (2) eine Kugel mit gerader Nummer.
c) (2) die Kugel ist rot oder gelb.
d) (2) die Kugel zeigt keine 5.
e) (2) die Kugel ist rot und ihre Nummer ist durch 3 teilbar.
f) (2) die Kugel ist rot oder ihre Nummer ist durch 3 teilbar.
g) (2) die Kugel ist nicht rot oder ihre Nummer ist gerade.
Lösung:
14-26
Aufgabe 13:
Eine Metallhobelmaschine stellt Platten her. Kein Produktionsvorgang ist so vollk ommen, dass alle Platten gleich ausfallen. So lässt sich die Plattendicke X [mm] als Zufallsvariable auffassen.
X sei normalverteilt und habe den Mittelwert µ = 10 mm und die Standardabweichung
s = 0,02 mm.
Wie viel Prozent Ausschuss sind zu erwarten, wenn die Platten
a) (3) mindestens 9,97 mm,
b) (3) höchstens 10,05 mm stark sein sollen,
c) (4) um maximal ± 0.03 mm vom Sollwert 10 abweichen sollen?
d) (4) Wie muss man die Toleranzgrenzen 10-c und 10+c wählen, damit man nicht
mehr als 5% Ausschuss erhält?
Lösung:
15-26
Aufgabe 14:
Ein Zahlenrad enthält 10 Felder mit den Aufschriften 0 bis 9. Wie oft muss man das
Rad mindestens drehen, um mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit mindestens
einmal das Feld mit der Zahl 0 zu bekommen?
Lösung:
Aufgabe 15:
Die Standardabweichung einer Zufallsgröße kann nicht negativ sein.
Ist diese Aussage richtig?
Lösung:
JA
Aufgabe 16:
Auf dem Tisch liegen drei verschlossene Kuverts (A, B, C), von denen Sie eines blind
auswählen dürfen:
Jedes davon enthält drei Zahlen und zwar:
A: 2 3 3
B: 3 3 3
C: 2 3 4
16-26
Sie dürfen dem gewählten Kuvert zwei Zahlen entnehmen (ohne Zurücklegen), die Sie
miteinander multiplizieren.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erhaltenen Produkt grösser als 10 ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erhaltenen Produkt gerade 6 ist?
Lösung:
Aufgabe 17:
17-26
An einem Kindergeburtstag nehmen 8 Mädchen und 5 Jungen teil. Für die Schnitzeljagd wird eine Gruppe aus 4 Kindern per Los bestimmt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht die Gruppe
a) nur aus Mädchen
b) nur aus Jungen
c) aus 2 Mädchen und 2 Jungen
Lösung:
Aufgabe 18:
Ein Prüfling muss 6 mathematische Fragen beantworten, die er sich zu je drei aus
zwei Gruppen (Algebra, Geometrie) von je 5 Aufgaben auswählen kann. Wie viele
Möglichkeiten hat er?
Lösung:
18-26
Aufgabe 19:
Eine Fußballmannschaft besteht bekanntlich aus 11 Spielern
Die 11 Spieler verlassen vor Spielbeginn der Reihe nach die Mannschaftskabine.
Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind dabei möglich?
Lösung:
11!=39.916.800
19-26
Aufgabe 20:
Geburtstagsparty mit 5 Mädchen und 3 Knaben.
Jedes Kind erhält ein Stück Muffin.
Es stehen 5 Sorten zur Wahl:
Tirolermuffin
Schoggimuffin
Marmormuffin
Zitronenmuffin
Plummuffin
Berechnen Sie für jede beschriebene Situation die Anzahl der Möglichkeiten. Die Aufgaben sind alle voneinander unabhängig.
a) Die Kinder stehen Schlange vor dem Buffet.
b) Die Knaben stehen zuvorderst in der Schlange.
c) Jedes Kind wählt ein Stück Muffin.
d) Peter und Fritz wählen sicher Schoggimuffin, die andern nach Belieben.
e) Lisa, Bea und Anna müssen immer die gleiche Sorte haben.
f) Jedes Kind in der Reihe wählt grundsätzlich etwas anderes als sein Vorgänger.
g) Daniel, Susi und Tina mögen Plummuffin nicht.
h) Es werden 3 Stück Tirolermuffin, 3 Stück Schoggimuffin und 2 Stück Marmormuffin
gewählt.
i) Für ein Spiel werden 5 Kinder ausgelost.
k) 4 Kinder spielen "Schwarzer Peter". Die Gruppe ist aus Knaben und Mädchen gemischt zusammengesetzt.
l) 5 Kinder spielen "blinde Kuh". (Eines der 5 ist die "blinde Kuh")
Lösung:
20-26
21-26
Aufgabe 21:
Ein Zufallsgenerator (Codeknacker) erzeugt unabhängig voneinander 4 Ziffern von 0
bis 9. Nach der Generierung werden diese als 4-stellige Zahl auf einem Display angezeigt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse?
A: Alle Ziffern sind ungerade.
B: Es kommen nur die Ziffern 0 und 1 vor.
Lösung:
22-26
Aufgabe 22:
In einer Urne sind 6 rote und 4 weiße Kugeln.
Es werden nacheinander 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse?
A: Man zieht nur rote Kugeln.
B: Man zieht zuerst alle weißen, dann eine rote Kugel.
C: Die erste Kugel ist weiß.
D: Man zieht abwechselnd weiße und rote Kugeln.
Lösung:
23-26
Aufgabe 23:
In einer Urne befinden sich 25 nummerierte Kugeln (Zahlen 1 bis 25).
Es werden gleichzeitig 4 Kugeln aus der Urne gezogen. (Ziehen mit einem Griff).
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse?
A: Alle Zahlen sind durch 5 teilbar.
B: Alle Zahlen sind gerade.
C: Die Summe der 4 Zahlen ist kleiner als 12.
D: Das Produkt der 4 Zahlen ist 12.
Lösung:
24-26
Aufgabe 24:
Vier Freunde gehen ins Kino. Sie haben in einer Reihe 4 nummerierte Plätze nebeneinander und verteilen die Karten zufällig.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse?
A: Sven sitzt zwischen zwei Freunden.
B: Sven und Kai sitzen außen.
C: Sven und Kai sitzen nebeneinander.
Lösung:
25-26
26-26

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