Theorie II. Ordnung - Universität Siegen

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Theorie II. Ordnung - Universität Siegen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK, UNIVERSITÄT SIEGEN
2. Stabilitätsprobleme und Theorie II.
Ordnung
2.1 Einführung
Arten
Arten der
der Gleichgewichtslagen
Gleichgewichtslagen
Ein
Ein Tragwerk
Tragwerk muss
muss in
in stabiler
stabiler GleichgeGleichgewichtslage
wichtslage sein.
sein. Viele
Viele Tragwerke
Tragwerke versagen
versagen
wegen
wegen struktureller
struktureller Instabilität,
Instabilität, nicht
nicht aber
aber
wegen
wegen Materialversagen.
Materialversagen.
Arten
Arten der
der Gleichgewichtslagen
Gleichgewichtslagen
stabil
Nach einer kleinen
Störung kehrt es in
seine Anfangslage
zurück!
instabil
Nach einer kleinen
Störung kehrt es
nicht in seine
Anfangslage
zurück!
indifferent
Ausgelenkte Lage ist
ebenfalls eine
Gleichgewichtslage!
Wann
Wann kommt
kommt ein
ein Stabilitätsproblem
Stabilitätsproblem vor?
vor?
Stab unter Zug
Last-Verformungskurve
eindeutig
Kein Stabilitätsproblem !
Stab unter Druck
Last-Verformungskurve
nicht mehr eindeutig
Stabilitätsproblem !
Stabilitätsprobleme
Stabilitätsprobleme
Typen
Typen der
der Stabilitätsprobleme:
Stabilitätsprobleme:
•• Durchschlagprobleme
Durchschlagprobleme
•• Verzweigungsprobleme
Verzweigungsprobleme
Durchschlagprobleme
Durchschlagprobleme
Bei
Bei einem
einem Durchschlagproblem
Durchschlagproblem
schlägt
schlägt ein
ein System
System bei
bei Lastkontrolle
Lastkontrolle
schlagartig
schlagartig in
in eine
eine GleichgewichtsGleichgewichtslage
lage durch.
durch.
Durchschlagproblem
Durchschlagproblem
F
a
b
c
Flacher Bogen
F
Durchschlagpunkt
Last-Durchbiegungs-Linie
a
Lastkontrolle
b
c
Verschiebungskontrolle
w
Verzweigungsprobleme
Verzweigungsprobleme
Bei
Bei einem
einem Verzweigungsproblem
Verzweigungsproblem ist
ist
das
das Gleichgewicht
Gleichgewicht mehrdeutig.
mehrdeutig. Das
Das
System
System verlässt
verlässt den
den primären
primären Pfad
Pfad
und
und geht
geht in
in einen
einen sekundären
sekundären Ast
Ast
über.
über. Bei
Bei horizontaler
horizontaler oder
oder
abnehmender
abnehmender Verzweigung
Verzweigung ist
ist das
das
System
System unter
unter Lastkontrolle
Lastkontrolle instabil.
instabil.
Verzweigungsproblem
Verzweigungsproblem
F
a
Steiler Bogen
b
F
c
Verzweigungspunkt
Durchschlag
a
c
b
Last-Durchbiegungs-Linie
w
Stabilitätspunkte
Stabilitätspunkte
Durchschlagpunkt
Durchschlagpunkt und
und VerzweigungsVerzweigungspunkt
punkt werden
werden häufig
häufig als
als StabilitätsStabilitätspunkte
punkte bezeichnet,
bezeichnet, obwohl
obwohl diese
diese
Punkte
Punkte nicht
nicht unbedingt
unbedingt zur
zur
Instabilität
Instabilität führen.
führen.
Bsp.:
Bsp.: Ein
Ein System
System kann
kann durch
durch VerschiebungsVerschiebungskontrolle
kontrolle oder
oder bei
bei aufgehender
aufgehender Verzweigung
Verzweigung
stabil
stabil bleiben,
bleiben, obwohl
obwohl ein
ein Durchschlagpunkt
Durchschlagpunkt
oder
oder Verzweigungspunkt
Verzweigungspunkt erreicht
erreicht wird.
wird.
Verzweigungsprobleme
Verzweigungsprobleme
Knicken:
Ebene Stabtragwerke
Kippen:
Biegebalken
Drillknicken:
Torsionsstäbe
Biegedrillknicken:
Räumliche Stabtragwerke
Beulen:
Flächentragwerke (Platten,
Schalen)
Warum
Warum ist
ist Knicken
Knicken gefährlich
gefährlich ??
Stab unter Zug:
Versagen mit Vorankündigung !
Risse !
Stab unter Druck (Knicken):
Versagen ohne Vorankündigung ! Viel
gefährlicher!
Beispiel: Knicken
Systemskizze
Eigenform 1
(Drillknicken)
Eigenform 2
(Knicken um
die z-Achse)
Beispiel: Knicken
Eigenform 3
(Knicken um
die y-Achse)
Eigenform 4
(Knicken um
die z-Achse, 2.
Eigenform)
Geometrische
Geometrische Nichtlinearität
Nichtlinearität
Um
Um die
die Stabilität
Stabilität eines
eines Systems
Systems zu
zu
analysieren,
analysieren, muss
muss die
die geometrische
geometrische
Nichtlinearität
Nichtlinearität berücksichtigt
berücksichtigt werden.
werden.
Dies
Dies bedeutet:
bedeutet:
•• Endliche
Endliche oder
oder große
große Verformungen.
Verformungen.
•• Nichtlinearer
Nichtlinearer Zusammenhang
Zusammenhang zwischen
zwischen
Dehnungen/Verzerrungen
Dehnungen/Verzerrungen und
und
Verschiebungen.
Verschiebungen.
•• Gleichgewicht
Gleichgewicht am
am verformten
verformten System.
System.
Gegenüberstellung
Gegenüberstellungvon
vonStabwerkstheorien
Stabwerkstheorienverschiedener
verschiedenerOrdnungen
Ordnungen
Theorie
Theorie I.I. Ordnung
Ordnung und
und Theorie
Theorie II.
II. Ordnung
Ordnung
Vergleich: Theorie I. Ordnung und Theorie II. Ordnung
Th. I. Ordnung
Th. II. Ordnung
F
Gleichgewicht am
unverformten System !
M I = 0!
w
F
Gleichgewicht am
verformten System !
M II = F ⋅ w !
Th. II. Ordnung führt zu einer
Vergrößerung des Biegemomentes !
Bemerkungen
Bemerkungen zur
zur Theorie
Theorie II.
II. Ordnung
Ordnung
ƒ Th. II. Ordnung ist nur eine Näherungstheorie der
Theorie großer Verformungen.
ƒTheorie großer Verformungen wird manchmal
auch als Th. III. Ordnung bezeichnet.
ƒ Unter Druckkraft führt Th. II. Ordnung zu einer
Vergrößerung des Biegemomentes, d.h., MI < MII.
ƒ Unter Zugkraft wird das Biegemoment nach Th.
II. Ordnung reduziert, d.h., MII < MI. Hierbei führt
Th. II. Ordnung zu einer wirtschaftlicheren
Bemessung.

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