Berechnung der Implied Probability of Default

November 2008 – No. 52
BANK-FORUM
Berechnung der Implied
Probability of Default
Beim Pricing von Kreditstrukturen hat sich in den letzten Jahren der
Ansatz durchgesetzt, eine sogenannte implied Probability of Default (PD)
aus den handelbaren Assets mit der Annahme einer entsprechenden Recovery Rate zu berechnen und dann mit dieser implied PD und der Annahme
über die Recovery Rate der Struktur die Preisberechnung durchzuführen.
VON
PATRICK
HAAS
Die im Pricing verwendete implizierte PD ist nicht 1 zu 1 vergleichbar mit der im normalen Bankbetrieb
und in Basel II verwendeten Definition der PD. Üblicherweise wird die PD als Ausfallswahrscheinlichkeit
eines Kreditnehmers definiert. Als Basis dienen die Anzahl der Ausfälle in einer bestimmten Rating-Kategorie im Verhältnis zur Gesamtanzahl der Kreditnehmer in dieser Kategorie. In der Kundenkalkulation wird
dieser Wert dann sehr oft als durchschnittliche Ausfälle und damit als Standardrisikokosten in der
Produktkalkulation verwendet. Bei Basel II wird das Ausfallrisiko des Kreditnehmers ausgehend von dieser
PD als mögliche Abweichung von der berechneten PD quantifiziert.
Bevor wir auf die genaue Berechnung dieser implizierten Ausfallswahrscheinlichkeit eingehen, möchten
wir einerseits die notwendigen Vorschritte bzw. Annahmen besprechen und andererseits eine Daumenregel
für eine Vorabschätzung des Ergebnisses präsentieren. In weiterer Folge gehen wir dann auf die genaue Berechnung ein.
Als Basis für die Abschätzung der implizierten Ausfallswahrscheinlichkeit werden der aktuelle Credit
Spread und die erwartete Recovery Rate benötigt. Bei der Festlegung des Credit Spreads wird allgemein die
Differenz zwischen der aktuellen Rendite der Anleihe und dem aktuellen Zinsniveau (hier wird üblicherweise der entsprechende Zinsswap-Preis als Basis genommen) fixiert. Dieser Credit Spread ist damit in anderen Worten die Zusatzrendite dieses Assets und sollte genügen, um sowohl die erwarteten durchschnittlichen Ausfälle als auch die entsprechende Rendite auf das Risiko (bzw. auf das notwendige Eigenkapital)
abzudecken. Weiters brauchen wir für diese erste Überlegung eine reine Darstellung des Blanko-Exposures,
so dass etwaige Sicherheiten nicht im Exposure berücksichtigt sein sollten.
Daumenregel für die Abschätzung der implizierten PD:
CS
PD =
1 – RR
PD = implizierte Probability of Default
CS = Credit Spread
RR = Recovery Rate
Beispiel:
Anleihe Laufzeit:
5 Jahre
Coupon:
6,00%
Preis:
97,00%
Recovery Value:
40%
Rendite:
6,73%
Zinsniveau (IRS): 5,00%
Credit Spread:
1,73%
0,0173
PD =
= 2,88%
1 – 0,40
Für die genaue Berechnung der implied PD wird üblicherweise folgende Überlegung angestellt:
Beim Pricing von Kreditpositionen ist die implied PD nicht die reine Ausfallswahrscheinlichkeit, sondern
die Ausfallwahrscheinlichkeit, bei der die mit dem risikolosen Zins diskontierten Cashflows dem Preis der
Anleihe entsprechen. Die berechnete PD zeigt also, bei welcher Ausfallswahrscheinlichkeit der erwartete
Ertrag einer Kreditposition genau dem Ertrag einer risikolosen Anlage entspricht. Damit kann diese implied
PD auch als rechnerischer Break-Even der Kreditposition, bezogen auf die Ausfallswahrscheinlichkeit,
interpretiert werden.
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November 2008 – No. 52
Formel:
(∑ )
(∑ )
P
N
· CFj · – P
PD =
j =1
Beispiel:
Anleihe Laufzeit:
Coupon:
Preis:
Recovery Value
N = Laufzeit in Jahren
j =1
N
RV = Recovery Value
N
j · CFj · dj – RV · ∑ · dj
j =1
CF = Cashflow
d
= Diskontfaktor
j
= Zähler für Jahre
5 Jahre
6,00%
97,00%
40%
(1)
(2)
(3)
(4)
Laufzeit (j)
Zinsen
dj
CFj
1
2
3
4
5
Summe
5,10%
4,75%
4,80%
4,90%
5,00%
0,951475
0,911508
0,868871
0,825681
0,782975
0,060000
0,060000
0,060000
0,060000
1,060000
PD =
= Preis
(5)
(4)*(3)
CFj*dj
(6)
(1)*(4)*(3)
j*CFj*dj
(7)
RV*(3)
RV*dj
0,057088
0,054690
0,052132
0,049541
0,829953
1,043405
0,057088
0,109381
0,156397
0,198163
4,149765
4,670795
0,380590
0,364603
0,347548
0,330272
0,313190
1,736204
1,043405 – 0,97
= 2,50%
4,670795 – 1,736204
Das Ergebnis der Berechnung ist eine annualisierte implizierte Ausfallswahrscheinlichkeit. Da die Ausfallswahrscheinlichkeiten jedoch in der Praxis üblicherweise nicht gleich verteilt sind, empfiehlt sich – wie auch
bei der Zero Kurve – die “Boot-Strapping” Methode, mit der schrittweise die implied PDs für die einzelnen
Jahre berechnet werden. Dazu sollten jedoch die Preise für Anleihen mit den entsprechenden Restlaufzeiten
zur Verfügung stehen. Da in der Praxis in der Regel nicht alle Laufzeiten zur Verfügung stehen, werden die
PDs für die zur Verfügung stehenden Anleihen ermittelt und die PDs dann für die fehlenden Jahre interpoliert.
Nachdem in der oben dargestellten Berechnung die “Break-Even PD” berechnet wird, ist dieses Ergebnis
nicht gleich zu setzen mit der erwarteten PD. Sollte genau diese PD eintreffen, so ist das Ergebnis dieses
Kreditinvestments genau gleich dem Ergebnis einer Investition in eine kreditrisikolose Anleihe und damit
die Rendite auf das Risiko genau Null. Im Durchschnitt würde also damit ein Investor in kreditbehaftete
Anleihen keine zusätzliche Rendite verdienen.
Das Pricing von Kreditrisikopositionen über die Ermittlung einer implied PD hat den großen Vorteil, dass
für einen Kreditnehmer (oder für eine Rating-Kategorie) nur einmal die entsprechende Implied PD Kurve
zu entwickeln ist. Anschließend können die verschiedenen Produkte und Strukturen dieses Kreditnehmers
alle mit dieser Kurve gepreist werden. Unterschiedliche Spreads kommen dann zu Stande, wenn für die einzelnen Produkte und/oder Strukturen mit einer anderen Recovery Rate gerechnet wird. Ist in weiterer Folge
das KRM in der Lage, eine qualifizierte Aussage über die erwartete Recovery Rate zu machen und sind für
den Emittenten bzw. die Asset-Klasse entsprechende Papiere am Markt, die eine Festlegung der Credit
Spreads erlauben, können über die Berechnung der implied PD wesentliche Indikatoren für das Pricing und
entsprechende Kauf/Verkauf-Indikationen für kapitalmarktnahe Produkte gewonnen werden.