Hinweise zur Verwendung von Stab2d

Hinweise zur Verwendung von Stab2d
Sowohl die Statik A-Hausübung als auch die erste und zweite Aufgabe der Statik BHausübung lassen sich mit dem Programm Stab2d kontrollieren. Sie können sich das
Programm kostenlos aus dem Internet herunterladen:
http://www.statik.uni-hannover.de/
Weitere Informationen zu Statik-Programmen finden Sie unter:
http://mitglied.lycos.de/doster/statik/
Schräge Lager:
Die Lagerungsbedingungen geben Sie Im Menü Eingabe \ System \ Knoten ein. Nachdem
Sie die Koordinaten des betreffenden Knotens eingegeben haben, müssen Sie die
Lagerungsbedingungen eingeben.
X bedeutet hierbei eine Festhaltung in x-Richtung, Z bedeutet eine Festhaltung in z-Richtung
und R bedeutet eine Festhaltung der Rotation (z.B. für eine Einspannung). Geben Sie J ein,
wenn der Knoten in der entsprechenden Richtung gelagert ist, geben Sie N ein, wenn der
Knoten nicht gelagert ist.
Im nächsten Feld („Verdrehung in Grad“) können Sie den Drehwinkel Ihres schrägen
Auflagers eingeben.
Eingabe von Gelenken:
Häufig kommt es vor, dass mehrere Stäbe an ein Gelenk anschließen. Oft machen die
Anwender dann den Fehler, jedem der angreifenden Stäbe ein Gelenk zuzuweisen, und
wundern sich dann, dass Stab2d die Warnung „Steifigkeitsmatrix ist singulär –
Möglicherweise liegt ein verschiebliches System vor“ ausgibt.
Grundsätzlich gilt: Greifen n Stäbe an einem Gelenk an, so muss genau (n-1) Stäben ein
Stabendgelenk zugewiesen werden. Einem Stab darf kein Gelenk zugewiesen werden.
Würde man allen Stäben ein Stabendgelenk zuweisen, so könnte sich der Knoten frei
drehen, das System wäre damit kinematisch – deshalb die Warnung in Stab2d.
Einflusslinien:
Mit Stab2d kann man auch Einflusslinien berechnen. Beispielhaft wird hier das Vorgehen für
die Einflusslinie Mm infolge einer vertikalen Wanderlast 1 erklärt.
Der aufzubringende Lastfall ist das Arbeitskomplement zur Einflussgröße Mm, also in diesem
Fall ein Knick um 1. Geben Sie in Stab2d zunächst ein Momentengelenk an der Stelle m ein.
Wählen Sie nun bei Belastung Gelenklasten. Geben Sie den Knick um 1 als Verformung ein.
Die Einflusslinie ist das Arbeitskomplement zur Wanderlast, in diesem Fall also die w-Linie.
Lassen Sie sich also von Stab2d die Biegelinie berechnen. Sie können sich die Zahlenwerte
auch in der Ergebnistabelle ansehen. Sollte die interessierende Stelle nicht ausdrücklich
angegeben sein, müssen Sie an dieser Stelle einen Knoten definieren. Dann wird der Wert
der Einflusslinie an dieser Stelle auch ausgegeben.
Vorspannung / zu kurz oder zu lang eingebaute Stäbe:
Zur Berücksichtigung der Vorspannung geben Sie an dem entsprechenden Stab ein
Normalkraftgelenkt ein. Wählen Sie nun im Menü Belastung den Punkt Gelenklasten aus.
Geben Sie die gewünschte Vorspannung als Verformungslast ein.
Abbildung von Längsfedern:
In der 3. Aufgabe der Statik A-Übung ist ein System gegeben, das eine Längsfeder enthält.
Das Programm Stab2d hat aber keine Funktion zur Berücksichtigung von Längsfedern. Man
kann durch einen kleinen "Trick" aber trotzdem Längsfedern berücksichtigen:
Die Federkonstante k einer Längsfeder gibt an, mit welcher Kraft F die Feder belastet
werden muss, damit sie sich um die Länge ∆L zusammendrückt: k = F / ∆L
Ein beidseitig gelenkig angeschlossener Stab der Länge L und der Dehnsteifigkeit EA erfährt
unter der Last F eine Verkürzung von ∆L = F L / EA. Er hat also die "Ersatzsteifigkeit" F / ∆L
= EA / L.
F
EA
L
F
kF
Man kann also eine Längsfeder durch einen dehnsteifen Stab ersetzen, indem man das
Verhältnis EA / L der Federsteifigkeit k anpasst, sich also beispielsweise die Länge des
Stabes zu L = 1 Meter vorgibt und EA entsprechend ausrechnet.
Bei der Eingabe der Materialien ist zu beachten, dass die anderen Stäbe des in Aufgabe 3
gegebenen Systems eine Dehnsteifigkeit von EA = unendl. haben. Es empfiehlt sich also die
folgende Eingabe:
Stab
E
I
A
1
1
I 1 / IC
10000
2
1
I 2 / IC
10000
3
1
I 3 / IC
10000
Feder
1
1000
Betrag von k
Abbildung von Drehfedern:
Auch Drehfedern können mit Hilfe von Ersatzstäben berücksichtigt werden. Die
Drehfedersteifigkeit kD ist definiert als kD = M / ∆ϕ. Gibt man sich einen Ersatzstab der Länge
L vor und belastet ihn mit einem Moment M=1, so lässt sich die Verdrehung des
Lastangriffspunktes durch "Koppeln" der beiden entstehenden M-Linien ermitteln:
ϕ = 1 * 1 * 1 * L / EI
M=1
M=1
Daraus ergibt sich also eine "Ersatzdrehfedersteifigkeit" von
M / ∆ϕ = 1 / (L / EI) = EI / L
Durch Gleichsetzen von kD und EI / L lässt sich jetzt eine Biegesteifigkeit EI für den
Ersatzstab bestimmen, wenn man sich die Länge des Stabes zu L = 1 Meter vorgibt.
kD
Der Ersatzstab wird an der Stelle, an der sich die Drehfeder befindet, biegesteif
angeschlossen und an seinem anderen Ende einwertig (!) so gelagert, dass die Verdrehung
verhindert wird. Eine zweiwertige Lagerung darf nicht angebracht werden, weil der Stab
sonst auch Normalkräfte oder Querkräfte aufnehmen könnte und das ursprüngliche System
dann nicht mehr korrekt abbilden würde.
Kontrolle der Flexibilitätsmatrix (δik – Werte):
Die δik – Werte (=die Einträge in der Flexibilitätsmatrix) können mit Stab2d kontrolliert
werden. Das ist gerade dann sinnvoll, wenn zwar die Einheitsbelastungszustände (M0-Linie,
M1-Linie usw.) mit Stab2d übereinstimmen, die endgültige M-Linie aber von den Ergebnissen
aus Stab2d abweicht. Es muss dann also ein Fehler beim „Koppeln“ vorliegen.
Geben Sie nun in Stab2d Ihr statisch bestimmtes Hauptsystem ein. Bringen Sie als
Belastung die Größe X1=1 auf. Sie können jetzt alle δi1 – Werte kontrollieren. Der δ21-Wert
entspricht beispielsweise dem Arbeitskomplement zur Größe X2 in dem unter der Last X1
belasteten Hauptsystem. Falls Sie für X2 eine Kraft ausgelöst haben, müssen Sie also eine
Verschiebung an der Stelle 2 berechnen.
Belasten Sie das statisch bestimmte Hauptsystem nun nacheinander mit den Lasten Xi und
der äußeren Last (zur Kontrolle der δi0-Werte auf der rechten Seite).
Wenn Sie alles richtig eingegeben haben, erkennen Sie die Symmetrie des
Gleichungssystems: δik = δki. Die Verschiebung an der Stelle i infolge einer Belastung 1 an
der Stelle k ist gleich der Verschiebung an der Stelle k infolge einer Last 1 an der Stelle i
(Satz von Betti).
Kontrolle der Steifigkeitsmatrix:
Sie können mit Stab2d auch die Steifigkeitsmatrix des Drehwinkelverfahrens kontrollieren.
Geben Sie dazu das statische System ein und bringen Sie zusätzlich zu den ohnehin schon
vorhandenen Lagern alle Festhaltungen des Starrsystems auf. Dazu zählen beispielsweise
Knotendrehwinkel (Drehfesthaltung eingeben!) und Lager bzw. Hilfsstäbe gemäß Ihrer µZustände.
Bringen Sie jetzt als Belastung nacheinander die folgenden Zwangsverformungen auf:
Um die Einträge in der Knotengleichung zu kontrollieren, weisen Sie dem jeweiligen Knoten
eine Verdrehung um 1 zu. Lassen Sie sich nun die Lagerreaktionen an den im Starrsystem
zusätzlich aufgebrachten Lagern ausgeben. Der Eintrag in der Knotengleichung im Feld µ1
entspricht gerade der Lagerreaktion am Lager µ1, wenn der Knotendrehwinkel zu 1
vorgegeben wurde.
Um die Einträge der Netzgleichung zu kontrollieren, weisen Sie dem jeweiligen Lager eine
Lagerverschiebung um 1 zu bzw. wenn Sie einen Hilfsstab eingefügt haben weisen Sie ihm
ein Normalkraftgelenk und eine Gelenkverschiebung um 1 zu. Die Einträge in der
Netzgleichung entsprechen nun wieder den jeweiligen Lagerreaktionen (bzw. bei einem
Hilfsstab der Normalkraft in diesem Stab).
Vorsicht:
In Ihrer Handrechnung haben Sie wahrscheinlich die µ-Zustände nicht so gewählt, dass die
Verschiebung des jeweiligen Lagers 1 ist. Daher müssen Sie die zu dem jeweiligen µZustand gehörigen Zeilen und Spalten des Gleichungssystems Ihrer Handrechnung durch
den Betrag der Verschiebung aus Ihrem µ-Zustand teilen.
Vergleichen Sie nun die Ergebnisse aus Stab2d mit der modifizierten Steifigkeitsmatrix aus
Ihrer Handrechnung. Falls ein µ-Zustand falsch sein sollte, weichen die Werte der jeweiligen
Zeile und Spalte des Gleichungssystems voneinander ab. Sie können so den Fehler
eingrenzen.