DIVERGÊNCIA DO FLUXO ELÉTRICO E TEOREMA DA

ELETROMAGNETISMO I
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DIVERGÊNCIA DO FLUXO
ELÉTRICO E TEOREMA DA
DIVERGÊNCIA
3
3.1 - A LEI DE GAUSS APLICADA A UM ELEMENTO DIFERENCIAL DE VOLUME
Vimos que a Lei de Gauss permite estudar o comportamento do campo elétrico devido a certas
distribuições especiais de carga. Entretanto, para ser utilizada, a Lei de Gauss exige que a
simetria do problema seja conhecida, de forma a resultar que a componente normal do vetor
densidade de fluxo elétrico em qualquer ponto da superfície gaussiana seja ou constante ou nula.
Neste capítulo pretendemos considerar a aplicação da Lei de Gauss a problemas que não possuem
simetria. Suponhamos um volume incremental ∆v extremamente pequeno, porém finito e envolto por
uma superfície fechada S. Se assumirmos uma densidade de carga uniforme neste incremento de
volume, a carga ∆Q será o produto da densidade volumétrica de carga ρ pelo volume ∆v. Pela Lei de
Gauss, podemos escrever:
r
r
∫ D ⋅ dS = ρ∆v
(3.1)
S
Dz + (∂Dz/∂z)∆z
z
Dx
∆z
P
Dy
Dy + (∂Dy/∂y)∆y
∆x
∆y
y
Dx + (∂Dx/∂x)∆x
x
Dz
Figura. 3.1 Volume incremental em torno do ponto P.
Vamos agora desenvolver a integral de superfície da equação acima, sobre uma superfície gaussiana
elementar que engloba o volume ∆v. Este volume está representado na figura 3.1, e é formado pelas
superfícies incrementais ∆x.∆y, ∆y.∆z, e ∆z.∆x.
Considere um ponto P(x, y, z) envolvido pela superfície gaussiana formada pelas superfícies
r
incrementais. A expressão para a densidade de fluxo elétrico D no ponto P‚ em coordenadas
cartesianas será dada por:
r
D = D x 0 .â x + D y 0 .â y + D z 0 .â z
(3.2)
A integral sobre a superfície fechada é dividida em seis integrais, uma sobre cada lado do volume ∆v.
r
r
∫ D ⋅ dS = ∫frente +∫atrás + ∫esq. +∫dir. +∫topo +∫base
S
Para a primeira delas, na parte da frente, temos:
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(3.3)
ELETROMAGNETISMO I
∫frente
r
r
r
≅ D frente ⋅ ∆Sfrente = D frente .∆y.∆zâ x = D x .∆y.∆z
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(3.4)
r
(Dx é a componente de D normal ao plano yz).
Aproximando o resultado Dx.∆y.∆z pelos dois primeiros termos da expansão em série de Taylor em
torno de Dx0 no ponto P vem:
D x ∆y∆z = D x 0 ∆y∆z+
∆x ∂
(D x ∆y∆z)
2 ∂x
(3.5)
Neste caso, como ∆y e ∆z são independentes em relação a x:
⎛
∫frente =⎜ D x 0 +
⎝
∆x ∂D x ⎞
.
⎟.∆y.∆z
2 ∂x ⎠
(3.6)
Consideremos agora a integral na superfície da parte de trás, ∫atrás :
∫
atrás
r
r
r
∆x ∂
⎡
⎤
(D x ∆y∆z)⎥
= D atrás ⋅ ∆Satrás = D atrás ∆y∆z(− â x ) = − ⎢D x 0 ∆y∆z −
2
x
∂
⎣
⎦
(3.7)
Nesta face o vetor unitário âx em ∆s tem direção negativa. Da mesma forma, considerando a
independência de ∆y e ∆z em relação a x, temos:
∫atrás
∆x ∂D x ⎞
⎛
= ⎜ − D x0 +
.
⎟∆y.∆z
2 ∂x ⎠
⎝
(3.8)
Combinando as duas integrais ao longo do eixo x:
∫frente + ∫atrás ≅
∂D x
.∆x.∆y.∆z
∂x
(3.9)
Utilizando o mesmo raciocínio para as outras faces, as integrais restantes ficam:
∫dir. + ∫esq. ≅
∂D y
∫topo + ∫base ≅
∂y
.∆x.∆y.∆z
(3.10)
∂D z
.∆x.∆y.∆z
∂z
(3.11)
Assim a equação (3.3) fica:
r
r
⎛ ∂D x ∂D y ∂D z
+
+
∂x
∂y
∂z
∫ D ⋅ dS ≅ ⎜⎜⎝
S
⎞
⎟∆v
⎟
⎠
(3.12)
A expressão acima diz que o fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada muito pequena é
igual ao produto entre o volume compreendido por essa superfície e a soma das derivadas parciais
r
das componentes do vetor D em relação às suas próprias direções.
Igualando-se as equações 3.1 e 3.12, e em seguida dividindo todos os termos por ∆v, tem-se:
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ELETROMAGNETISMO I
r r
D
∫ ⋅ dS
S
∆v
=
20
∂D x ∂D y ∂D z
=ρ
+
+
∂z
∂x
∂y
(3.13)
Tratando-se de uma região pontual, podemos passar ao limite, com ∆v tendendo a zero, obtendo:
r r
lim ∫SD ⋅ dS ∂D x ∂D y ∂D z
=ρ
+
+
=
∆v→0 ∆v
∂z
∂x
∂y
(3.14)
3.2 - DIVERGÊNCIA
A operação indicada pela equação 3.14 não é pertinente apenas ao fenômeno elétrico ora em estudo.
Surge tantas vezes no estudo de outras grandezas físicas descritas por campos vetoriais, que os
cientistas e os matemáticos do século passado resolveram designá-la com um nome especial e
genérico: Divergência.
r
Matematicamente, a divergência de um campo vetorial A pode ser assim definida:
r r
r
r
lim ∫SA ⋅ dS
Divergência de A = divA =
∆v→0 ∆v
Conceito
(3.15)
r
A divergência do vetor densidade de fluxo A (que representa um fenômeno físico
qualquer) é a variação do fluxo através da superfície fechada de um pequeno volume
que tende a zero
A divergência é uma operação matemática sobre um vetor, cujo resultado é um escalar. É definida
como sendo a soma das derivadas parciais das componentes do vetor, cada uma em relação à sua
própria direção.
A partir da definição da divergência e da equação 3.14, apresentamos a 1ª equação de Maxwell. Em
termos pontuais:
r
div.D =ρ
(3.16)
A equação 3.14 estabelece que o fluxo elétrico por unidade de volume deixando um volume
infinitesimal é igual à densidade volumétrica de carga neste ponto. Esta equação também é
conhecida como a forma diferencial da Lei de Gauss, expressa como uma soma de derivadas
parciais espaciais ou direcionais.
3.3 - O OPERADOR ∇ (nabla) E O TEOREMA DA DIVERGÊNCIA
O operador ∇ é definido como sendo o operador vetorial diferencial:
∇=
∂
∂
∂
.â x + .â y + .â z
∂x
∂y
∂z
(3.17)
r
Realizando o produto escalar ∇ ⋅ D , tem-se:
r ⎛ ∂
⎞
∂
∂
∇ ⋅ D = ⎜⎜ .â x + .â y + .â z ⎟⎟ ⋅ D x .â x +D y .â y + D z .â z
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
(
)
Lembrando que o produto escalar entre vetores ortogonais é nulo, o resultado será:
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(3.18)
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r ∂D ∂D y ∂D z
∇ ⋅ D= x +
+
∂x
∂y
∂z
(3.19)
ou ainda por (3.16):
r
∇ ⋅ D =ρ
(3.20)
O operador ∇ não é utilizado somente em operações de divergência, mas também em outras
operações vetoriais. Ele é definido somente em coordenadas cartesianas. A princípio, a expressão
r
r
∇ ⋅ D serviria apenas para se calcular as derivadas parciais do divergente do vetor D em
r
coordenadas cartesianas. Entretanto, num abuso de linguagem, a expressão ∇ ⋅ D como sendo a
divergência do vetor densidade de fluxo elétrico é consagrada e pode ser utilizada mesmo quando o
vetor é definido em outros sistemas de referência (ou coordenadas).
Em coordenadas cilíndricas:
r 1 ∂ (rD r ) 1 ∂D φ ∂D z
+
∇ ⋅ D=
+
r ∂r
r ∂φ
∂z
(3.21)
Em coordenadas esféricas:
r 1 ∂ 2
∂D φ
1 ∂
(D θsenθ) + 1
∇ ⋅ D= 2
r Dr +
rsenθ ∂θ
rsenθ ∂φ
r ∂r
(
)
(3.22)
Entretanto, deve-se lembrar, porém, que ∇ não possui uma forma especifica para estes tipos de
sistemas de coordenadas.
Finalmente, vamos associar a divergência à Lei de Gauss, para obter o teorema da divergência.
Lembrando que:
r
r
∫SD ⋅ dS =∫vol ρ.dv
e
r
∇ ⋅ D =ρ
podemos escrever:
∫SD ⋅ dS = ∫vol (∇ ⋅ D)dv
r
r
r
(3.23)
A equação 3.23 é o Teorema da Divergência ou teorema de Gauss (para diferenciar da Lei de
Gauss). Estabelece que a integral da componente normal de qualquer campo vetorial sobre uma
superfície fechada é igual à integral da divergência deste campo através do volume envolvido por
essa superfície fechada.
Uma maneira simples de se entender fisicamente o teorema da divergência é através da figura 3.2.
Um volume v, delimitado por uma superfície fechada S é subdividido em pequenos volumes
incrementais, ou células. O fluxo que diverge de cada célula converge para as células vizinhas, a não
ser que a célula possua um de seus lados sobre a superfície fechada S. Então a soma da divergência
da densidade de fluxo de todas as células será igual à soma do fluxo liquido sobre a superfície
fechada que envolve o volume em questão.
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Figura 3.2 Volume v subdividido em
volumes incrementais.
Exemplo 3.1
Calcular os dois lados do teorema da divergência, para uma densidade de fluxo elétrico
r
D=xy 2 .â x + yx 2 .â y , em um cubo de arestas igual a 2 unidades.
Solução:
Vamos colocar a origem do sistema de
coordenadas cartesianas em um dos vértices.
Para o outro lado, a divergência do campo fica:
r
r ∂D ∂D y ∂D z
∇ ⋅ D= x +
+
∂x
∂y
∂z
O vetor D possui componentes nas direções x e
y. Portanto, a princípio, a integral de superfície
deve ser calculada sobre 4 lados do cubo:
r
∇.D = x 2 + y 2
r r
∫ D.dS= ∫frente +∫atrás +∫esq. +∫dir
32
2 2
2.y 2 .a x dy.dz.a x =
0 0
∫frente =∫ ∫
O outro lado da equação, numa integração de
volume passa a ser escrito:
3
r
(
)dv = ∫ ∫ ∫ (x
∇
⋅
D
∫
2 2 2
2 2
0.y 2 .a x .dy.dz.( −a x ) = 0
0 0
vol
∫atrás =∫ ∫
r
(
)dv=2∫ ∫ (x
∇
⋅
D
∫
2 2
2 2
0.x 2 .a y .dx.dz.( −a y ) = 0
0 0
∫esq. =∫ ∫
vol
r
3
r r 64
∫ D.dS=
3
0 0
∫vol (∇ ⋅ D )dv = 4⎜⎝ ∫0 x
32
2 2
2.x 2 .a y .dx.dz.a y =
0 0
∫dir. =∫ ∫
2
0 0 0
⎛
2
2
)
+ y 2 dx.dy.dz
2
)
+ y 2 dy.dx
2
dx + ∫ y 2 dy ⎞⎟
0
⎠
r
(
)dv = 643
∇
⋅
D
∫
vol
Este capítulo apresenta uma generalização da lei de Gauss, aplicada pontualmente a volumes
elementares com o recurso de um operador vetorial sobre a densidade de fluxo originado pelo campo
elétrico proveniente de uma distribuição volumétrica de cargas.
A equação (3.16),ou a (3.20) escrita de outra forma, nos mostra um fluxo divergente do vetor
densidade de fluxo elétrico originado de uma carga elementar, de natureza positiva, indicada pela sua
densidade volumétrica.
Genericamente, se o divergente de um campo vetorial for positivo, este indica a presença de uma
fonte de fluxos divergentes do ponto dado. O divergente negativo, por sua vez, indica a presença de
um sorvedouro ou de uma fonte de fluxos convergentes ao ponto. Não havendo fonte geradora de
fluxos o divergente do campo no ponto correspondente será nulo.
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EXERCÍCIOS
r
r
1) Dado A = (3x2 + y). a$ x + ( x − y2 ). a$ y calcule ∇. A .
r
2) Deduza a expressão do divergente de um campo vetorial D para os sistemas de coordenadas
cilíndricas e esféricas.
r
r
3) Dado D = ρ 0 z â z para a região definida por –1 ≤ z ≤ 1 e D = ( ρ 0 z / | z | )â z para os demais
pontos do espaço, encontre a densidade de cargas elétricas.
r
4) Para a região 0 < r ≤ 2 m (coordenadas cilíndricas), D = (4r −1 + 2e −0,5 r +4r −1e −0,5 r )â r , e para r
r
> 2m, D = (2,057r −1 ).â r . Obter a densidade volumétrica de cargas ρ para ambas as regiões.
r
5) Uma linha uniforme de cargas de densidade ρl pertence ao eixo z. (a) Mostre que ∇.D=0 em
qualquer lugar, exceto na linha de cargas. (b) substitua a linha de cargas por uma densidade
volumétrica de cargas ρ0 em 0 ≤ r ≤ r0 m. Relacione ρl com ρ0 modo que a carga por unidade
r
de comprimento seja a mesma. Determine então ∇.D em toda parte.
6) A região r ≤ 2 m (coordenadas esféricas) possui um campo elétrico
r
E = (5 r x 10 −5 / ε 0 ) â r (V/m). Determine a carga envolvida pela casca definida por r = 2 m.
7) Mostre e justifique porque o divergente do campo elétrico gerado por uma distribuição
uniforme e superficial de cargas é nulo.
r
8) Mostre que ∇. E é zero para o campo de uma linha uniformemente carregada. Mostre
r
também que o campo D devido a uma carga pontual tem uma divergência nula. Discuta o
problema fisicamente, explicando o motivo de tais comportamentos.
r
9) Dado D= (10r
3
4
).â r em coordenadas cilíndricas, calcule cada um dos lados do teorema da
divergência, para o volume limitado por r = 3 m, z = 2 m e z = 12 m
r
10) Dado o campo A = 30 e − r â r − 2 z â z , calcule ambos os lados do teorema da divergência para o
volume definido por r = 2, z =0 e z = 5.
r
11) Dado D =10 sen θ.â r + 2 cos θ.â θ , pede-se calcular ambos os lados do teorema da divergência,
para o volume limitado pela casca r = 3 m.
r
12) Dado D = (10 r 3 / 4 ) â r (C/m2), calcule ambos os lados do teorema da divergência para o
volume limitado por r = 1m, r = 2m, z = 0 e z = 10m.
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13) Dipolo Elétrico, ou simplesmente dipolo, é o nome dado ao conjunto de duas cargas pontuais
de igual magnitude e sinais opostos, separadas por uma distância pequena comparada com
a distância ao ponto P onde se deseja conhecer o campo elétrico. O ponto P descrito em
coordenadas esféricas (figura abaixo), por r, θ e φ = 90 graus é visto em simetria azimutal. As
cargas positivas e negativas estão separadas por d, e localizadas em (0,0,d/2) m e (0,0,-d/2).
r
Se o campo no ponto P é E =
Qd
(2 cos θ.â r + sen θ.â θ ) , mostre que a divergência deste
4 πε 0 r 3
campo é nula.
y
P
R1
r
Qθ
R2
d
x
-Q
Figura para o problema 13.
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