Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper

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Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper
Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen
Körper
Die Platonischen und Archimedischen Körper aus dem Tetraeder
entwickelt
Ausgehend vom Tetraeder ist es möglich mit sieben beweglichen Torsions-DoppelpolyederModellen alle Platonischen und Archimedischen Körper zu durchlaufen, indem jedes
folgende Torsionpolyeder die erweiterte Form des vorangehenden übernimmt. Durch diese
verzweigte Folge entwickelt sich ein Stammbaum, in dem jeder der 5 Platonischen und die
15 (13) Archimedischen Körper ihren begründeten Platz einnehmen.
Inhalt
Die einfachen Torsionspolyeder
Richard Buckminster Fullers Vectorequilibrium
Der Tanz des Jitterbug
Eine zweite goldene Stellung
Die drei einfachen Torsionspolyeder
Anhang: Dualiität, Hülle und Kern
Die doppelten Torsionspolyeder
Das doppelte Torsionsoktaeder
Die Bedingungen für doppelte Torsionspolyeder
Die sieben doppelten Torsionspolyeder
Die abgestumpften Körper
Archimedische Körper mit drei verschiedenen Flächen
Zusammenfassung
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2
3
5
6
10
11
11
13
13
14
15
16
Durchgang durch alle sieben Torsionspolyeder
17
Die Platonischen und Archimedischen Körper aus dem Tetraeder entwickelt,
Übersicht
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Die Entwicklung, kubischer Ast, goldener Ast
Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper
21
22
Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper (Tafel)
Der Stammbaum, vereinfachte Darstellung (Tafel)
Die Familie der Plotonischen und Archimedischen Körper
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24
24
Das doppelte Torsionskuboktaeder mit verschiebbaren Flächen
Die Stabilität der Torsionspolyeder
25
27
Anhang
Die Leidenschaft für die Platonischen Körper, Schlusswort
© Ueli Wittorf
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Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper
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Die einfachen Torsionspolyeder
Richard Buckminster Fullers Vectorequilibrium
Richard Buckminster Fuller hat mit der Entdeckung der Beweglichkeit des Kuboktaeders,
die Geometrie der Polyeder aus ihrer materiellen Erstarrung erlöst. Das Kuboktaeder liess
sich durch Drehschwung, er nannte es den Tanz des Jitterbug, über das Ikosaeder zum
Oktaeder schliessen, und wieder zum Kuboktaeders öffnen. Ein aus Holzstäben gebildetes
räumliches Netz aus acht Dreiecken, die mit Gummischläuchen gelenkig miteinander
verbunden waren, nannte er „Vectorequilibrium“.
Abb. 1: Das ‚Vectorequilibrium‘ in kuboktaedrischer und ikosaedrischer Stellung und als Oktaeder.
Auch in die Ebene hat Fuller diese Struktur gelegt. Durch Verdrehen zweier sich gegenüber
liegender Dreiecke legen sich alle Dreiecke in zwei Lagen genau in ein Hyperdreieck
übereinander, und dieses kann schliesslich zu einem Tetraeder aufgefaltet werden.
Abb. 2: Durch Verdrehen legt sich das Vectorequilibrium in die Ebene und kann zum Tetraeder
aufgefaltet werden.
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Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper
Der Tanz des Jitterbug
Während Fuller diese Prozesse an seiner Skelettstruktur beobachtete, sollen hier die
Grundkörper aus Sperrholz-Dreiecken bestehen, deren Flächen geschlossen sind.
Beim Zusammendrücken ohne Verdrehung zweier sich gegenüberliegenden
Dreiecksflächen (Dreiecke mit Loch) beginnt sich der Gürtelbereich zu drehen und, bei
wiederholtem Auseinanderziehen und wieder Drücken, hin und her zu schwingen. Im
Zustand des Oktaeders kommt die Bewegung zur Ruhe, um in entgegengesetzter Richtung
wieder Schwung aufzunehmen.
Abb. 3: Tanz des Jitterbug
Diesen Tanz nannte Buckminster Fuller den Jitterbug, einen Tanz, der in den 40ger Jahren
des vergangenen Jahrhunderts in den USA in Mode kam. Dabei werden zwei besondere
Zustände durchlaufen. Zunächst die Stellung des Ikosaeders (links und rechts oben, neben
der Ausgansstellung des Kuboktaeders), wobei diese scheinbar in linkshändiger und
rechtshändiger Verdrehung durchlaufen wird. Fasst man zwei andere sich
gegenüberliegende Dreiecke ins Auge, so kann die Verdrehungs-Stellung in anderer
Richtung erscheinen. Es existieren somit keine zwei verschiedenen Ikosaeder.
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Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper
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In künstlerischer Darstellung im Kreise beginnt der Tanz in der Mitte oben mit dem
Kuboktaeder. In beiden Richtungen beginnen sich die sechs offenen Quadrate in zwei
verbundene Dreiecke aufzuteilen. Sind diese gleichseitig, so herrscht der Zustand des
Ikosaeders. 8 der 20 Dreiecke des Ikosaeders sind geschlossen und 12 Dreiecke sind offen.
Das Zusammenschliessen setzt sich fort, bis die Bewegung im geschlossenen Oktaeder zur
Ruhe kommt. Virtuell könnte sich die Bewegung fortsetzten, praktisch aber, was hier das
Anliegen zu zeigen ist, aber nicht. Die Bewegung muss in entgegengesetzter Richtung neu
beginnen und kommt von neuem zur Ruhe, wenn alle Stadien über das Kuboktaeder hinweg
bis wieder zum Oktaeder durchlaufen sind.
Abb. 4: Torsionskreis des Oktaeder-Kuboktaeder-Oktaedersystems.
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Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper
Eine zweite ‚goldene‘ Stellung
Jede Ecke eines Ikosaeders kann als Spitze einer regelmässigen, fünfseitigen Pyramide
aufgefasst werden, deren Grundfläche ein regelmässiges Fünfeck wäre. Da dieses Fünfeck
mit seinen Diagonalen die Proportion des Goldenen Schnittes, 1:Φ repräsentiert ist das
Ikosaeder ein Körper des Goldenen Schnittes, während Oktaeder und Kuboktaeder auf dem
Massverhältnis 1: √2 aufbauen.
Die Proportion des Goldenen Schnittes erscheint aber auch im Moment, wenn die zwölf
offenen, gleichschenkligen Dreiecke die Winkelöffnung eines Pentagramms haben. Über
jedem der 12 offenen, gleichschenkligen Dreiecken aufgesetzte Pentagramme (eines davon
rot eingezeichnet) würden ein Pentagondodekaeder (schwarz) aufspannen und über den
acht gleichseitigen Dreiecken die fehlenden Körperecken bilden, welche ihrerseits einen
Würfel (blau) aufspannen.
Abb. 5: Die zweite goldene Stellung des Jitterbugs bildet die Grundstruktur des
Pentagondodekaeders, rot (l). Die über den gleichseitigen Dreiecken liegenden Ecken spannen einen
Würfel auf, blau (m). Das Kuboktaeder repräsentiert die Massverhältnisse des Würfels und des
Oktaeders, rot und grün (r).
Das Kuboktaeder ist der Kern der Durchdringung des Dualpaares Oktaeder und Würfel, es
lässt sich somit zu beiden Körpern ergänzen, das Oktaeder grün, der Würfel rot.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Strukturen von Oktaeder, Hexaeder (Würfel),
Ikosaeder und Pentagondodekaeder in der Schwingbewegung des Jittebug-Tanzes in ganz
bestimmten Stellungen durchlaufen werden. Das Tetraeder als fünfter Platonischer Körper
ergibt sich erst nach Verdrehung und Faltung, wie ganz oben gezeigt wurde.
Angeregt durch die Beweglichkeit von Buckminster Fullers Vectorequilibrium stellt sich die
Frage, ob nicht noch andere geometrische Körper aus der Reihe der Platonischen und
Archimedischen Körper existieren, in denen eine Beweglichkeit schlummert, und welche als
Modell bewegt werden können.
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Die drei einfachen Torsionspolyeder
Beim Experimentieren ergab sich im Jahre 1999, dass zur Beweglichkeit eines Modells zwei
Bedingungen bei einem regelmässigen (Platonischen) oder halbregelmässigen
(Archimedischen) Körper zusammenkommen müssen:
• In allen Körperecken müssen sich vier Flächen treffen.
• Die übers Kreuz gegenüber liegenden Flächen müssen kongruent sein.
Diese Bedingungen sind nur in drei Fällen erfüllt:
1. Wenn übers Kreuz sich zweimal zwei Dreiecke gegenüber liegen, was beim Oktaeder
der Fall ist.
2. Wenn sich übers Kreuz zwei Dreiecke und zwei Quadrate gegenüber liegen, was beim
Kuboktaeder der Fall ist.
3. Wenn sich übers Kreuz zwei Dreiecke und zwei Fünfecke gegenüberligen, was beim
Ikosidodkaeder der Fall ist.
Abb. 6:
Oktaeder – Ikosaeder – Kuboktaeder.
Abb. 7: Kuboktaeder – abgeschrägter Würfel - Rhombenkuboktaeder
Abb. 8: Ikosidodekaeder – abgeschrägtes Dodekaeder - Rhombenikosidodekaeder
Andere Flächenkombinationen würden mit den vorgegebenen Bedingungen den vollen
Winkel von 360° füllen oder übersteigen und keine konvexe räumliche Ecke bilden können.
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Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper
Die drei Mittelkörper entstehen beim Oktaeder-Kuboktaeder-System (Abb. 6) durch
Verdrehung des Gürtelbereiches, während sich gegenüberliegende Flächen gegenseitig
nicht verdrehen. Wir durchlaufen das Ikosaeder.
Im Kuboktaeder-Rhombenkuboktaeder-System (Abb. 7) werden gegenüberliegende
Flächen (Dreiecke und Quadrate) gegenseitig verdreht, und es werden die beiden
abgeschrägten Würfel (cubus simus), als Archimedische Körper linkshändig und
rechtshändig drehend durchlaufen.
Und auch im Ikosidodekaeder-Rhombenikosidodekaeder System (Abb. 8) werden
gegenüberliegende Flächen (Dreiecke und Fünfecke) gegenseitig verdreht, und es werden
die beiden abgeschrägten Dodekaeder (dodecaedron simum) als Archimedische Körper
linkshändig und rechtshändig drehend durchlaufen.
Während die Ikosaederstelluingen durch Veränderung ihrer Lage im Raum zur Deckung
gebracht werden können, ist das für die beiden cubus simus und die beiden dodecaedron
simum nicht möglich, es sind zwei verschiedenen Körper.
Die drei angeführten Körper sind im Zusammenhang der Archimedischen und Platonischen
Körper die einzigen, die durch Torsion fliessend von einer Form in die andere verändert
werden können. Wir nennen sie, da sie durch ‚Verdrehung‘ ihre Form verändern einfache
Torsionspolyeder.
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In künstlerischer Darstellung seien auch das Kuboktaeder-Rhombenkuboktaeder-Systems
und das Ikosidodekaeder-Rhombenikosidodekaeder-Systems in einem „Torsionskreis“ als
Verwandlungskreise angefügt.
Abb. 9: Torsionskreis des Kuboktaeder - cubus simus - Rhombenkuboktaeder-Systems
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Abb. 10: Torsionskreis des Ikosidodekaeder – dodecaedron simuns – Rhombendodokaeder-
Systems
In den Verwandlungskreisen der drei einfachen Torsionspolyeder haben wir angetroffen:
zwei Platonische Körper:
Oktaeder und Ikosaeder
vier Archimedische Körper:
Kuboktaeder
Ikosidodekaeder
Rhombenkuboktaeder
Rhombenikosidodekaeder
Durch Verdrehung werden zwei weitere
Archimedische Körper generiert:
abgesschrägter Würfel und
abgeschrägtes Dodekaeder
Letztere können auch als zwei verschiedene gezählt werden, da verschieden verdrehte nicht
zur Deckung gebracht werden können.
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Anhang
Dualität, Hülle und Kern
Oktaeder, Kuboktaeder und Ikosidodekaeder sind die drei Körper, die bei der Durchdringung
der dualen Platonischen Körper (Tetraeder-Tetraeder, Oktaeder-Hexaeder und IkosaederPentagondodekaeder) als Kerne eingeschlossen werden, somit eine besondere Stellung im
Zusammenhang der Platonischen und Archimedischen Körper einnehmen. Die sich in
ausgeglichener Grösse durchdringenden Dualpaare spannen anderseits mit ihren Ecken ihre
entsprechenden Rhombenkörper auf. Es sind das Hexaeder (Würfel als Spezialfall),
Rhombendodekaeder und Rhombentriakontaeder (Rhomben30flächner) .
Dualpaare der
Platonischen
Körper
Geschlossene
Torsionskörper
Kerne
Drallkörper,
rechts- und
linkshändig
Offene
Torsionskörper
Durch Ecken
aufgespannte
Hüllkörper
TetraederTetraeder
Oktaeder
Ikosaeder
Kuboktaeder
Hexaeder
OktaederHexaeder
Kuboktaeder
Cubus simus
Rhombenkuboktaeder
Rhombendodekaeder
IkosaederDodekaeder
Ikosidodekaeder
Dodecaedron
simum
Rhombenikosidodekaeder
Rhombentriakontaeder
In der unteren Reihe durchdringen sich die dualen Platonischen Körper. Ihre gemeinsamen
Kerne sind eingerfärbt, die gemeinsam aufgespannten Hüllen in der oberen Reihe
dargestellt.
Abb. 11: Hüll- und Kernkörper der Platonischen Dualpaare
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Die doppelten Torsionspolyeder
Das doppelte Torsionsoktaeder
Ist ein einfaches Torsionspolyeder geschlossen, so ist
es durch seine Mechanik festgelegt, in welche
Richtung es geöffnet werden kann, nämlich in jene
Richtung aus der es geschlossen wurde. Der
„Atmungsprozess“ ist zur Ruhe gekommen und muss
in umgekehrter Richtung neu beginnen.
Denken wir uns nun zwei gleich grosse
Torsionsoktaeder ineinander gebaut, das eine
rechtsdrehend, das andere linksdrehend, und lassen
wir sie sich gleichzeitig öffnen. Der
„Torsionskreisprozess“ wird vom Oktaeder
ausgehend auf beiden Seiten gleichzeitig begonnen
und durchlaufen, bis sich die Flächen der beiden
Torsionspolyeder wieder decken. Man verfolge von
unten nach oben die Drehbewegungen des nach
vorne gerichteten, äusseren Dreiecks und ebenso des
inneren Dreiecks.
Wir haben auf diese Weise das doppelte
Torsionsoktaeder, oder Torsions-Doppeloktaeder
eingeführt. Technisch wird man die aufeinander
liegenden Dreiecke in ihren Schwerpunkten
gegenseitig drehbar mit einer diskreten Achse
verbinden und jede aussenliegende Flächenecke mit
einer benachbarten innen liegenden Flächenecke
gelenkig verbinden, so dass die beiden Körper
ineinander verflochten sind und nicht auseinander
fallen könne.
Der Bewegungsablauf des Öffnens und Schliessens
ist bei den Torsions-Doppelpolyedern kurzatmiger, da
sowohl bei grösster (Kuboktaeder), wie bei kleinster
Ausdehnung (Oktaeder) der Prozess aus
mechanischen Gründen umkehren muss.
Abb. 12:
Das doppelte Torsionsoktaeder, von unten nach oben sich
öffnend. Die beiden Oktaeder öffnen sich durch gegenläufige
Drehung. In allen Stadien durchringen sich zwei kongruente
Körper, d. h. Zwillinge. Sie umschliessen jeweils einen
gemeinsamen Kern und spannen einen gemeinsamen Hüllkörper
auf. Im Stadium, in dem regelässige Sechssterne erscheinen,
spannen die Ecken einen Oktaederstumpf auf.
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Abgestumpftes Oktaeder
Die aufeinander liegenden Dreiecke werden beim Öffnen in entgegengesetzten Richtungen
gedreht, so dass sie zusammengeschaut, sternförmige Flächen bilden, welche Vielecke mit
der doppelter Eckenzahl aufspannen.
An den Körperecken des Oktaeders öffnen sich wachsende Quadrate, und wenn die Sterne
eine regelmässige Form angenommen haben, sind alle Kanten des aufgespannten Körpers
gleich lang. Aus den acht Dreiecken sind Sechsecke geworden, und aus den Oktaederecken
sind sechs offene Quadrate entstanden. Der so aufgespannte Körper ist in diesem Moment
ein abgestumpftes Oktaeder, ein Archimedischer Körper.
Abb. 13:
Oktaederstumpf, aufgespannt durch die Sechssternecken.
Zwillinge
Öffnen wir das Torsions-Doppelpolyeder noch etwas mehr, und betrachten wir das
bewegliche Modell als zwei unabhängig ineinander liegende Körper, so erkennen wir in
einem bestimmten Moment zwei Ikosaeder, die sich gegenseitig durchdringen, einen
Ikosaeder-Zwilling. Eigentlich kann man jede Stellung als zwei ineinander liegende, Körper
betrachten, welche um 90° verdreht sich gegenseitig durchdringen. Die Diagonalen der mehr
oder weniger offenen ‚Quadrate‘ gehören jeweils zwei verschiedenen Körpern an. Als
Papiermodell durchdringen sich ein weisses und ein violettes Ikosaeder; farblostransparent sind die gemeinsamen Flächen ausgeführt.
Abb. 14: Ikosaeder ‚rechts- und linksdrehend‘ und als Durchdringungskörper violett und weiss
dargestellt.
In grösster Ausdehnung liegen die Dreiecksflächen wieder deckend übereinander, so dass
das Modell aus dieser Stellung des Kuboktaeders wie ein einfaches Torsionspolyeder
bewegt werden könnte.
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Die Bedingungen für doppelte Torsionspolyeder
Welche Bedingungen müssen nun für das Funktionieren eines Torsions-DoppelpolyederModells zutreffen, das ganz geöffnet und geschlossen werden kann? Es genügen offenbar
die Bedingungen zu den einfachen Torsionspolyedern, was am Kuboktaeder-OktederSystem bereits gezeigt wurde:
•
In allen Ecken müssen sich vier Flächen treffen.
Die übers Kreuz gegenüber liegenden Flächen müssen kongruent sein (es sind dies
gleichseitige Dreiecke, Quadrate oder regelmässige Fünfecke.
Empirisch zeigt sich aber, dass neben dem Oktaeder auch alle anderen Platonischen
Körper, also auch Tetraeder, Würfel, Ikosaeder und Pentagondodekaeder als Doppelkörper
beweglich sind.
•
• In jeder Ecke treffen sich gleich viele, regelmässige und kongruente Vielecke.
Damit ergibt sich, dass sieben verschiedene Polyeder als Torsions-Doppelpolyeder bewegt
werden können: die fünf Platonischen Körper, sowie das Kuboktaeder und das
Ikosidodekaeder.
Die sieben doppelten Torsionspolyeder
Abb. 15: Rechts übereinander, von unten nach oben: die drei einfachen Torsionspolyeder in
ausgedehnter Stellung: Kuboktaeder (B. Fullers Vectorequilibrium); Rhombenkuboktaeder und
Rhombenikosidodekaeder.
Links die doppelten Torsionspolyeder: Tetraeder (rot); Oktaeder (gelb); Hexaeder (grün); Kuboktaeder
(grün-gelb); Ikosaeder (blau); Pentagondodekaeder (golden) und Ikosidodekaeder (blau-gold).
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In Anlehnung an Platons Lehre der Naturelemente wurden für die regelmässigen Polyeder
die Farben Rot (Feuer), Gelb (Luft), Blau (Wasser) und Grün (Erde), und für das All Gold
gewählt.
Es stellt sich das Problem, ob die beweglichen Polyeder ihre Namen nach ihrer kleinsten
oder grössten Ausdehnung erhalten sollen. Fuller benannte sein Vectorequilibrium nach der
grössten Ausdehnung seines Stab(trag)werkes, dem Kuboktaeder. Bei den doppelten
Torsionspolyedern bietet sich eher die geschlossene Stellung an, wie sie oben verwendet
wurde.
Die abgestumpften Körper von Oktaeder, Kuboktaeder und Ikosidodekaeder
Die Generierung des abgestumpften Oktaeders kennen wir bereits. Es sei hier noch neben
das abgestumpfte Kuboktaeder und das abgestumpfte Ikosidodekaeder gestellt, die aus den
zwei anderen, verdoppelten Torsionspolyeder entstehen.
Kuboktaeder
Rhombenkuboktaeder
Rhombenikosidodekaeder
Oktaederstumpf
‚Kuboktaederstumpf‘
‚Ikosidodekaederstumpf‘
Oktaeder
Kuboktaeder
Ikosidodekaeder
Abb. 16: Die drei einfachen Torsionspolyeder als doppelte Polyeder in geschlossener, halb geöffneter
und ausgedehnter Stellung. Die Rechteckigen Öffnungen sind beim Stumpf des Kuboktaeders und des
Ikosaeders keine! Quadrate.
Es ist anzumerken, dass die sich an den Ecken öffnenden Vierecke nur beim Oktaeder
Quadrate sind. Im Fall des Kuboktaeders haben sie im ersten Moment der Öffnung die
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Proportion von 1: √2, um erst in grösster Ausdehnung des Rhombenkuboktaeder zu
Quadraten zu werden. Analog öffnen sich die Vierecke als Rechtecke am Ikosidodekaeder
mit der Proportion 1: Φ (Goldener Schnitt) und werden erst in grösster Ausdehnung des
Rhombenikosidodekaeders zu Quadraten. Der archimedische Zustand wird also nicht exakt
durchlaufen.
Archimedische Körper mit drei verschiedenen Flächen
Die Oberflächen der abgestumpften Formen von Kuboktaeder und Ikosidodekaeder, wie
auch von Rhombenkuboktaeder und Rhombenikosidodekaeder bestehen aus drei
verschiedenen Flächen. Kuboktaederstumpf und Ikosidodekaederstmpf können nicht mit den
Torsionskörpern erreicht weren. Alle vier sind auch nicht durch Eckenabschneiden zu bilden.
An ihrer Form sind jeweils drei Hüllkörper beteiligt.
Abb. 17: Kuboktaederstumpf (oben) und Rhombenkuboktaeder (unten). Ihre Hüllkörper sind Oktaeder
(gelb), Würfel (grün) und Rhombendodekaeder (violett)
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Abb. 18: Ikosidodekaederstumpf (oben) und Rhombenikosidodekaeder (unten) Ihre Hüllkörper sind
Ikosaeder (blau), Pentagondodekaeder (gelb) und Rhomben30flächner (lila).
Zusammenfassung
Das Gemeinsame an diesen drei besprochenen doppelten Torsionspolyeder die auch als
einfach funktionieren ist, dass in allen ihrer Ecken sich vier Flächen treffen: vier Dreiecke
beim Oktaeder, zwei Dreiecke und zwei Quadrate übers Kreuz beim Kuboktaeder, und zwei
Dreiecke und zwei Fünfecke übers Kreuz beim Ikosidodekaeder.
Bei den noch unbesprochenen vier Körpern treffen sich entweder drei (Tetraeder, Hexaeder
und Pentagondodekaeder) oder fünf (Ikosaeder) Flächen in einer Ecke, also eine ungerade
Anzahl, deshalb können diese nicht als einfache Bewegliche funktionieren.
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Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper
Durchgang durch alle sieben doppelten Torsionspolyeder
Vom Oktaeder zum Tetraeder
Wenn am Oktaeder (gelb) vier der acht Seiten
geöffnen werden (rot, links), wird es in
zusammenziehender Richtung seines Volumens
beweglich und kann geschlossen werden. Über
den Tetraederstumpf gelangen wir zum
Tetraeder.
Abb. 19: Oktaeder, Tetraederstumpf und Tetraeder
Vom Oktaeder zum Kuboktaeder und vom Kuboktaeder zum Würfel
Wir gehen vom gefüllten Oktaeders aus und öffnen zum doppelte Torsionskuboktaeder. In
halber Öffnung spannt es mit seinen Ecken den Oktaederstumpf auf, und wird zum
Kuboktaeder mit sechs offenen Quadraten (gelb).
Füllen wir die Quadrate des Kuboktaeders und öffnen die Dreiecke, so lässt sich der Körper
durch Verdrehen, über den Würfelstumpf zum Würfel schliessen (grün).
Abb. 20: Aufsteigend: Oktaeder, Oktaederstumpf und Kuboktaeder mit offenen Quadraten (gelb).
Absteigend: Kuboktaeder mit offenen Dreiecken, Würfelstumpf und Würfel (grün).
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Vom Kuboktaeder zum Rhombenkuboktaeder
Von unten nach oben:
Werden am Kuboktaeder alle Flächen gefüllt, so
kann er über den Kuboktaederstumpf zum
Rhombenkuboktaeder erweitert und geöffnet
werden.
Die gelben Dreiecke stammen vom Oktaeder, die
grünen Quadrate vom Würfel.
Eine weitere Erweiterung nach Schliessung der
offenen Quadrate ist nicht mehr möglich, da an den
Ecken sich Dreiecke und Quadrate gegenüber
stehen.
Abb. 21: Von untern nach oben:
Kuboktaeder, Kuboktaederstumpf und Rhombenkuboktaeder.
Der Kuboktaederstumpf ist allerdings nicht archimedisch, da
die rechtwinkligen Öffnungen keine Quadrate sind.
Es zeigt sich, dass die geometrischen Körper „fliessend“ auseinander entwickelt werden
können. Um eine Fortsetzung anzuknüpfen, können wir auf die Mittelstellung des einfachen
Torsionsoktaeders zurückgreifen, in der das Ikosaeder (gelb) erscheint (siehe auch Abb. 3
und 4). Die zwölf offenen Dreiecke werden mit doppelten Dreiecken aufgefüllt (blau).
Abb. 22: Ikosaederstellung im Oktaeder-Kuboktaeder-System (gelb) und doppeltes Ikosaeder (blau).
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Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper
Vom Ikosaeder zum Ikosidodekaeder und vom Ikosidodekaeder zum Pentagondodekaeder
Das Ikosaeder öffnet sich zum Ikosaederstumpf, dem Fussball und wird zum
Ikosidodekaeder, mit offenen Fünfecken. In diesem Zustand würde das Modell seine
Stabilität ganz verlieren, deshalb ist es im Bild nicht ganz vollständig geöffnet (blau).
Werden die Fünfecköffnungen aufgefüllt und die Dreiecke geöffnet, so kann sich der Körper
über den Zustand des Dodekaederstumpfes zum Pentagondodekaeder zusammenziehen
(golden).
Abb. 23: Aufsteigend links:
Ikosaeder
Ikosaederstumpf (die Sechssternecken spannen den Fussball auf, schwarz liniert)
Ikosidodekaeder mit offenen Fünfecken, nicht ganz geöffnet (blau).
Absteigend rechts:
Ikosidodekaeder mit offenen Dreiecken
Dodekaederstumpf (rot liniert)
Pentagondodekaeder (golden).
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Vom Ikosidodekaeder zum Rhombenikosidodekaeder
Von unten nach oben:
Werden am Ikosidodekaeder alle Flächen
geschlossen, so kann es über den
Ikosidodekaederstumpf zum
Rhombenikosidodekaeder anwachsen. An ihm
vereinigen sich:
20 Dreiecke, vom Ikosaeder stammend (blau)
30 Quadrate, entsprechend den Kanten von
Ikosaeder und Dodekaeder (offene Quadrate)
12 Fünfecke, vom Dodekaeder stammend
(golden).
Die Ecken des Ikosidodekaeders öffnen sich im
ersten Moment zum Rechteck im Goldenen
Schnitt und werden erst in grösster Erweiterung
zu Quadraten.
Abb. 24:
Rhombenikosidodekaeder (oben)
Ikosidodekaederstumpf, rot liniert (Mitte)
Ikosidodekaeder (unten)
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Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper
Die Platonischen und Archimedischen Körper aus dem Tetraeder
entwickelt, Übersicht
Alle vorgestellten Abläufe der drei einfachen Torsionspolyeder und der vier doppelten
Torsionspolyeder lassen sich in einer Übersicht verbinden. Es ergibt sich ein
Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper, in dem jeder Körper
seinen begründeten Platz in einem grossen Zusammenhang erhält.
Abb. 25: Der Stammbaum der doppelten Torsionspolyeder
Die Entwicklung, von unten beginnend
Der kubische Ast
Die beiden Tetraeder (als doppelwandige Modelle) öffnen sich über den Tetraederstumpf zu
den roten Oktaedern, an denen nur jede zweite Fläche geschlossen ist. Zusammen
genommen füllen sie alle Flächen des Oktaeders aus (gelb).
Das gebildete Oktaeder öffnet sich über den Oktaederstumpf zum Kuboktaeder. Jede
Stellung auf diesem Wege ist eine Durchdringung von Zwillingen, die durch die gleichzeitige
Verdrehung rechtshändig und linkshändig zustande kommen, (was der Schwingkreis als
einfache Torsionspolyeder-Bewegung zeigt. Vergl. Abb. 20). Das Ikosaeder erscheint hier
gleichzeitig in zwei Formen.
Die offenen Quadrate am gelben Kuboktaeder werden geschlossen und dafür die Dreiecke
geöffnet. Dieses grüne Kuboktaeder schliesst sich über den Zustand des Würfelstumpfes
zum Würfel (Hexaeder). Das ist ein Endpunkt.
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Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper
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Werden am Kuboktaeder alle Flächen verdoppelt geschlossen (gelbe Dreiecke und grüne
Quadrate), so öffnet es sich (annähernd) über den Kuboktaederstumpf zum
Rhombenkuboktaeder, wobei hier die beiden abgesschrägten Würfel als Zwillinge
erscheinen, (oder im Schwingkreis aufgegliedert, links- und rechtshändig durchlaufen
werden. Vergl. Abb. 20). Ein weiteres Öffnen ist jetzt nicht mehr möglich, da sich übers
Kreuz an den Ecken keine gleichen Flächen gegenüberstehen.
Der ‚goldene‘ Ast
Ausgehend von einem der beiden Ikosaedern (blau) ist eine weitere Entwicklung möglich.
Das doppelwandige Ikosaeder öffnet sich über den Ikosaederstumpf (Fussball) zum
Ikosidodekaeder. Das ist die stärkste Volumenvergrösserung in der
Stammbaumentwicklung, da sich an den Ecken Fünfecke öffnen. Das Modell verliert in
grösster Ausdehnung auch seinen Halt.
Am Ikosidodekaeder werden die Fünfecke geschlossen (golden) und die Dreiecke geöffnet.
Dieses Modell lässt sich über den Dodekaederstumpf zum Pentagondodekaeder
schliessen. Das ist ein zweiter Endpunkt.
Das an allen Seiten doppelflächig geschlossene Ikosidodekaeder; öffnet sich (annähernd)
über den Ikosidodekaederstumpf zum Rhombenikosidodekaeder, an dem wir als einzigen
Körper Dreieck, Quadrat und Fünfeck vereint finden. Die Dreiecke vom Ikosaeder, blau, die
offenen Quadrate von den Kanten des Ikosaeders oder Dodekaeders stammend, und die
goldenen Fünfecke vom Dodekaeder stammend.
Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper
In der folgenden, künstlerischen Darstellung des Stammbaumes sind die Schwingkreise der
drei einfachen Torsionspolyeder integriert und weitere Zwischenstufen der
Bewegungsabläufe berücksichtigt. Dadurch wird die Generierung des Stammbaumes ohne
weitere Erklärung verständlich.
Das Bild des Stammbaumes zeigt drei zweibeinige Figuren mit Kreisen über den Beinen.
Die Füsse jedes Beinpaares sind Dualpaare der Platonischen Körper, wobei dual bedeutet,
die beiden Körper haben gleich viele Kanten, und der eine Körper hat so viele Flächen wie
der andere Ecken aufweist: Tetraeder – Tetraeder; Hexaeder – Oktaeder; Ikosaeder –
Pentagondodekaeder.
Die Schwingkreise zeigen die Beweglichkeit der drei einfachen Torsionspolyeder:
Oktaeder; Kuboktaeder und Ikosidodekaeder. Der Schwingkreis des Oktaeders ist etwas
geneigt dargestellt; er unterscheidet sich von den beiden anderen dadurch, dass beim
Bewegen sich gegenüber liegende Flächen nicht verdrehen.
Die aufsteigenden Äste in den Schwingkreisen können einerseits als Körper aufgefasst
werden, deren Flächen sich beim Ausdehnen ihre Ecken verdoppeln und im Endstadium
wieder vereinen; andererseits sich durchdringende Zwillinge mit entgegengesetzter
Verdrehung.
Die beiden zweibeinigen Figuren links bauen auf dem Dreieck und dem Quadrat auf. Die
beherrschenden Proportionen sind die des Dreieck, 1:√3 und des Quadrates, 1:√2.
Das Massverhältnis des Goldenen Schnittes, 1 : Ф erscheint nur für einen Moment im
Schwingkreis des Oktaeder-Kuboktaeders in der Stellung des Ikosaeders.
Aus ihm erwächst der ganze rechte Ast mit dem Endpunkt des Pentagondodekaeders und
als grösste Ausdehnung, im Rhombenikosidodekaeder. Man kann ihn deshalb den
Goldenen Ast nennen, im Unterschied zum linken, dem Mineralischen Ast.
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Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper
Abb. 26: Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper
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Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper
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Die Familie der Platonischen und Archimedischen Körper
Die Torsionspolyeder, einer aus dem anderen entwickelt, führen zwingend zu einem ganz
bestimmten Zusammenhang, und zu einer eindeutigen Einteilung. Überspringt man alle nicht
archimedischen Formen und stellt man nur die regelmässigen und halbregelmässigen
Körper zusammenhängend dar, so zeigt sich das untenstehende Bild des reduzierten
Stammbaumes als Übersicht. Das Verständnis des logischen Zusammenhangs geht dabei
allerdings teilweise verloren.
Abb. 27: Die Familie der Platonischen und Archimedische Körper, wie sie sich aus der Entwicklungreihe der sieben
doppelten Torsionspolyeder ergibt.
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Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper
Anhang
Das doppelte Torsionskuboktaeder mit verschiebbaren Flächen
Ein räumliches Netz aus 16 doppelschichtig verflochtenen Dreiecken.
Die grössten Möglichkeiten der Veränderbarkeit zeigen sich am Modell des doppelten
Torsionskuboktaeder, dessen Flächen auch verschiebbar sind. Es funktioniert als einfaches
Torsionkuboktaeder im Sinne Buckminster Fulles Vectorequilibrium, wie auch als doppeltes
Modell, und durch die Verschiebbarkeit der Flächen aus ihren Achsen ergibt sich noch eine
weitere, überraschende Stellung. Es wurde erstmals an der Tagung der Deutschen
Gesellschaft für Geometrie und Grafik 2013 vorgeführt.
Abb. 29: Das Modell besteht aus zweimal 8 Dreiecken und 6 Abstandhalter.
Die 16 Dreieck werden zu einem kuboktaedrischen Netz von 8 doppelten Dreiecken gelenkig,
verwoben zusammengefügt, wie es hier in der Ebene liegt.
Ausgelegt als Hyperdreieck; und aufgefaltet zum Tetraeder.
Vom Hyperdreieck zum einfachen Torsionsoktaeder
Durch Verdrehen des mittleren Dreiecks richtet sich das Modell zum abgestumpften
Tetraeder und schliesslich zum Oktaeder auf.
Abb. 30: Hyperdreieck, abgestumpftes Tetraeder und Oktaeder
Zwei Goldene Stellungen
Durch Anheben des oberen Dreiecks beginnt sich der mittlere Bereich des Modells weg zu
schwenken und es werden zwei ‚goldene‘ Stellungen durchlaufen bis es zum Kuboktaeder
erweitert ist. (vergl.Seiten 3 und 5).
Abb. 31: Die beiden ‚goldenen‘ Stellungen, dodekaedrisch und ikosaedrisch, und die
Kuboktaederstellung.
Abb. 32:
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Ein stabiles Ikosaeder
Die im mittleren Bereich doppelschichtig liegenden Dreiecke werden
auseinandergeschoben. So entstehen das rechts- und linksdrehende Ikosaeder zugleich.
Ihre Deck- und Bodenflächen bleiben unverändert und als Modell ist es stabil.
Abb. 33: Ein stabiles Ikosaeder, gewonnen durch gegenseitiges Verschieben der Dreiecke des
Mittelbereiches.
Verdoppelung der Dreiecksflächen
Beim gegenseitigen Verdrehen aller übereinander liegenden Dreiecke entstehen sich
durchdringende ikosaedrische Zwillinge.
Abb. 34: ‚Rechts‘ und ‚links‘drehendes Ikosaeder und ihre Durchdringung, farbig. Die gemeinsamen
Flächen sind schwarz. (Die Lage des farbigen Modells stimmt nicht mit den beweglichen Modellen
überein).
Abb. 35: Ikosaedrische Zwillinge: 8 gleichseitige und 12 gleichschenklige Dreiecke und ihre
Durchdringung farbig. (Die Lage des farbigen Modells stimmt nicht mit den beweglichen Modellen
überein).
Abb. 36:
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Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper
Der Oktaederstumpf
Alle Durchdringungsstellungen spannen mit ihren Ecken auch abgestumpfte Oktaeder auf.
Wenn die übereinander liegenden Dreiecke einen regelmässigen Sechstern bilden sind alle
aufgespannten Kannten gleich lang. Dann haben wir einen Archimedischen Körper vor uns.
Abb. 37: Der Oktaederstumpf, aufgespannt durch regelmässige Sechssterne.
Die Stabilität der Torsionspolyeder
Drei Flächen in einer Körperecke
Die Stabilität der sieben Torsionspolyeder ist in geöffneten Stellung sehr unterschiedlich. Die
(doppelflächigen) Modelle von Tetraeder, Würfel und Dodekaeder öffnen an ihren Ecken
Dreiecke, da dort drei Flächen, d.h. Dreiecke, Quadrate resp. Fünfecke zusammentreffen.
Sie sind in ihrer Beweglichkeit zwangläufig und in grösster Ausdehnung stabil.
Abb. 38: Tetraeder, Würfel und Dodekaeder (oben),
sind als offene Torsionspolyeder stabil, da ihre offenen Flächen Dreiecke sind: Okteder, Kuboktaeder
und Ikosidodekaeder (unten).
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Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper
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Vier Flächen in einer Körperecke
Beim Oktaeder, Kuboktaeder und Ikosidodekaeder treffen in den Ecken jeweils vier Flächen
zusammen, nämlich zwei Dreiecke mit zwei Dreiecken übers Kreuz, oder zwei Quadraten
resp. zwei Fünfecken übers Kreuz mit zwei Dreiecken. Beim Öffnen bilden sich Quadrate
oder Rechtecke, die zu Quadraten werden. In grösster Ausdehnung sind sie nicht mehr
stabil, aber nur das Oktaeder als Kuboktaeder ausgedehnt lässt sich in die Ebene legen.
Abb. 39: Okteder-, Kuboktaeder- und Ikosidodekaedermodell (oben)
sind im offenen Zustand als Kuboktaeder, Rhombenkuboktaeder und Rhombenikosidodekaeder nicht
stabil (mitte)
Das Netz des Oktaeders lässt sich in die Ebene legen, die anderen nicht (unten)
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Der Stammbaum der Platonischen und Archimedischen Körper
Fünf Flächen in einer Ecke
Beim (doppelten) Ikosaeder treffen in einer Ecke fünf Flächen zusammen. Beim Öffnen
bleibt die Bewegung zwangläufig, aber in grösster Ausdehnung fällt das Modell zusammen
und kann in einer ganz bestimmten Anordnung in die Ebene ausgelegt werden.
Abb. 40: Das Ikosaeder als doppeltes Torsionspolyeder fällt in grösster Ausdehnung als
Ikosidodekaeder mit offenen Fünfecken zusammen und kann in eine vorbestimmte Anordnung eben
ausgelegt werden (links). Die beiden Gebilde in der Mitte und rechts sind dreidimensionale
Ringformen.
Die Leidenschaft für die Platonischen Körper, Schlusswort
Die Beschäftigung mit den Platonischen Körpern hat ihren Ursprung wahrscheinlich in der 7.
Klasse der Rudolf Steiner Schule Zürich, als der Lehrer davon sprach, dass die Platonischen
Körper den (Natur-) Elementen entsprechen, was Ärger auslöste. Als Lehrer ab 1985
erwiesen sich die Platonischen Körper für die Schulung des räumlichen Vorstellens im
Geometrisches Zeichnen als ausserordentlich wertvoll.
Die wesentlichen Entdeckungen an den beweglichen Körpern wurden in der Folge eines
Besuches der Ausstellung im Züricher Museum für Gestaltung vom Juni bis Oktober 1999
Your Privat Sky – R. Buckminster Fuller, Design als Kunst einer Wissenschaft gemacht.
An einer ersten Ausstellung an der Treichlerstrasse in Zürich wurde anlässlich der
Vernissage vom 14. April 2000 die Folge der Torsionspolyeder erstmals vorgeführt.
Die Erforschung der Platonischen Körper und deren Torsionspolyeder spielte sich rein
empierisch an Hand von Modellen ab. Eine Systematik wurde gesucht und eingehalten,
soweit sie sich ergab.
Der Verfasser ist Architekt und ist nicht im Stande mathematische Beweise zu erbringen.
Der Weg zu der und durch die Geometrie der Platonischen Körper ergab sich aus
Begeisterung.
Zürich, Im Jahre 2012
Ueli Wittorf
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