Kointegration (Update 28.4.09)

6
6.1
Nichtstationarität und Kointegration
Kapitelübersicht, Problematik
Die Analyse nichtstationärer Zeitreihen wird folgende
Gesichtspunkte anschneiden:
• Definition von Nichtstationarität, von integrierten Zeitreihen.
• Testen auf Nichstationarität – sog. unit root test
(Einheitswurzeltest)
• Modellierung von nichtstationären Zeitreihen, Eingleichungsund Mehrgleichungssysteme
• Weiterführung: Multivariate Kointegrationsanalyse
(Johansen-test)
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
104
Die Schätzung der bisherigen multivariaten Modelle basierte auf
der Annahme stationärer Zeitreihenprozesse. Diese Annahme ist
wesentlich für die Konsistenz der Schätzungen und die Gültigkeit
statistischer Tests und deren Verteilungen (wie z.B. t- und
F -Tests).
Falls nichtstationäre Zeitreihen vorliegen, sind die üblichen
Teststatistiken verzerrt. Die Regressionsresultate sind oftmals
irreführend (spurious regression), wenn nicht gar unsinnig.
Beispiel: Reales BIP und generierte nichtstationäre Variable
(random walk with drift)
yt = 0.4 + yt−1 + εt ,
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
εt ∼ N (0, 1)
105
Abbildung 21: BIP und generierte Reihe
720
720
710
710
700
700
690
690
680
680
670
670
660
1980
660
1985
1990
1995
LCH_GDPR
2000
2005
RW_DRIFT
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
106
Abbildung 22: Regression: BIP auf generierte Reihe
Dependent Variable: LCH_GDPR_SA
Method: Least Squares
Date: 04/23/09 Time: 10:34
Sample (adjusted): 1980Q1 2008Q3
Included observations: 115 after adjustments
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
RW_DRIFT
C
0.935941
49.32625
0.030663
21.07027
30.52359
2.341035
0.0000
0.0210
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
F-statistic
Prob(F-statistic)
0.891834
0.890877
4.133104
1930.328
-325.3574
931.6895
0.000000
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Hannan-Quinn criter.
Durbin-Watson stat
692.3590
12.51174
5.693173
5.740911
5.712549
0.076270
Obwohl wir ein hohes R2 und signifikante Koeffizienten haben, ist
die Qualität der Schätzung fragwürdig. Die Durbin-Watson
Statistik ist sehr klein und Autokorrelation höherer Ordnung ist
ebenfalls vorhanden. Solche Resultate müssen mistrauisch machen.
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
107
6.2
6.2.1
Nichtstationarität – Integrierte Zeitreihen
Definition
Schwache Stationarität liegt vor, wenn Erwartungswert, Varianz
und Autokovarianz einer Zeitreihe über die Zeit konstant
(unabhängig von t) sind:
E{yt }
= c
V {yt }
= c
E{yt yt−j }
= c, nur abhängig von j
Streng stationär ist eine Zeitreihe, wenn ihre Verteilungsfunktion
unabhängig von t ist
F (yt ) = F (y)
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
108
Für den Zeitreihenprozess yt = δ + θyt−1 + εt , |θ| < 1 erhalten wir
¢
¡
yt = δ + θyt−1 + εt εt ∼ N 0, σ 2
yt
=
∞
X
j
θ δ+
j=0
E{yt }
=
V {yt }
=
∞
X
θj εt−j
j=0
−1
(1 − θ) δ
¡
¢−1 2
1 − θ2
σ
Beide Momente sind unabhängig von t, daher ist die Zeitreihe
stationär.
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
109
Wenn θ = 1 erhalten wir allerdings:
yt
yt
=
δ + yt−1 + εt
=
T
X
δ+
j=0
yt
=
T
X
εt−j + yt−T −1
j=0
(T + 1)δ +
T
X
εt−j + yt−T −1
j=0
E{yt|t−T −1 } =
(T + 1)δ + yt−T −1
V {yt|t−T −1 } =
(T + 1)σ 2
Die Zeitreihe yt kann gegen +/ − ∞ divergieren, die Varianz steigt
ebenfalls mit zunehmenden Zeithorizont. Der bedingte
Erwartungswert ist E{yt |yt−1 } = E{yt|t−1 } = δ + yt−1 . Die beste
Prognose der Zeitreihe ist also gerade ihr aktuelles Niveau + das
Durchschnittswachstum.
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
6.2.2
110
Nichtsationäre Prozesse
Random walk ohne Drift:
yt
yt
=
yt−1 + εt
=
T
X
¢
¡
εt ∼ N 0, σ 2
εt−j + yt−T −1
j=0
E{yt|t−T −1 } =
yt−T −1
V {yt|t−T −1 } =
(T + 1)σ 2
Random walk mit Drift (siehe oben)
Trendstationärer Prozess:
yt
= α + δt + εt
¡
¢
εt ∼ N 0, σ 2
E{yt } = α + δt
V {yt } = σ 2
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
111
Abbildung 23: Nichstationäre Reihen mit δ = 0.4, σ 2 = 1
240
200
160
120
80
40
0
-40
50
100
150
200
RW
250
300
RWD
350
400
450
500
TST
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
6.2.3
112
Integrationsgrad, Differenzieren, Invertieren
Definition:
Ein Prozess ist integriert der Ordnung d, I(d) (differenzstationär),
wenn seine d-te Differenz einem stationären, invertierbaren
ARMA-Prozess folgt, I(0) ist.
Beispiel: Random walk ohne drift I(1) mit moving average (MA)
Störtermen.
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
113
yt
=
yt − yt−1
=
∆yt
=
εt + φεt−1
εt
=
∆yt − φεt−1
=
∆yt − φ (∆yt−1 − φεt−2 )
=
∆yt − φ∆yt−1 + φ2 ∆yt−2 + · · · + (−φ)
=
φ∆yt−1 − φ2 ∆yt−2 − · · · − (−φ)
∆yt
yt−1 + εt + φεt−1
t−j
t−2
t−1
y2 + (−φ)
ε1
yt−j − · · · + εt
Ein ARMA-Prozess würde zusätzlich verzögerte Werte von ∆yt
einbeziehen. Der Prozess für ∆yt ist invertierbar, da er aus der
MA-Form in eine (unendliche) AR-Form überführt werden kann,
die vom Ausgangspunkt des Prozesses unabhängig ist. Wenn
t−j
|φ| < 1, dann konvergiert der Term (−φ)
εj mit zuhnehmendem
j gegen null. Der Prozess ist invertierbar.
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
114
Ein trendstationärer Prozess wird durch Differenzieren auch
stationär, allerdings ist er nicht mehr invertierbar (man spricht von
Überdifferenzierung). Ein I(0)-Prozess ist also nicht unbedingt
differenzstationär.
yt
=
α + δt + εt
∆yt
=
δ + εt − εt−1
εt
=
∆yt − δ + εt−1
=
∆yt − δ + (∆yt−1 − δ + εt−2 )
=
∆yt +
t−2
X
∆yt−j − δ(t − 1) + ε1
j=1
∆yt
=
δ(t − 1) −
t−2
X
∆yt−j + εt − ε1
j=1
∆yt ist kein AR-Prozess, die Terme heben sich auf, es ergibt sich
δ + εt − εt−1 .
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
115
6.3
6.3.1
Testen der Trendeigenschaften
Dickey-Fuller Test (DF-test, 1979)
Eine Zeitreihe mit einem Trend kann im Niveau und in Differenzen
allgemein dargestellt werden als
yt
∆yt
= δ + θyt−1 + γt + εt
= δ + (θ − 1) yt−1 + γt + εt
| {z }
=ρ
Ein differenzstationärer Prozess impliziert (ρ = 0, γ = 0) gegenüber
(ρ < 0, γ 6= 0) für einen trendstationären Prozess.
Die Testgleichung berücksichtigt ev. Autokorrelation höherer
Ordnung, wir erhalten den erweiterten DF-Test (ADF-test)
∆yt = δ + ρyt−1 + γt +
p
X
ϑj ∆yt−j + εt
j=1
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
116
Die Nullhypothese der Nichstationarität (differenzstationäre
Zeitreihe) kann gegenüber der Alternativen einer trendstationären
Zeitreihe mit einem einseitigen “t”-Test überprüft werden.
H0 :
ρ = 0, (implizit γ = 0)
H1 :
ρ < 0, (implizit γ 6= 0)
Allerdings ist die Verteilung von ρ keine Standard-t-Verteilung, sie
ist linksschief. Die kritischen Werte hängen von der
Gleichungsspezifikation ab (mit oder ohne Konstante bzw. Trend,
mit oder ohne AR-Terme) und müssen deshalb simuliert werden.
Wenn die Teststatistik (der t-Wert für ρ = 0) kleiner als der
kritische Wert ist, t <“t”sig.lev wird die Nullhypothese abgelehnt.
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
117
Abbildung 24: Reales BIP: ADF-Test
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(LCH_GDPR_SA)
Method: Least Squares
Date: 04/23/09 Time: 16:06
Sample (adjusted): 1980Q3 2008Q3
Included observations: 113 after adjustments
Null Hypothesis: LCH_GDPR_SA has a unit root
Exogenous: Constant, Linear Trend
Lag Length: 1 (Automatic based on Modified SIC, MAXLAG=12)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values:
1% level
5% level
10% level
t-Statistic
Prob.*
-1.539006
-4.041280
-3.450073
-3.150336
0.8103
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
LCH_GDPR_SA(-1)
D(LCH_GDPR_SA(-1))
C
@TREND(1980Q1)
-0.029453
0.331260
20.03659
0.010619
0.019138
0.092353
12.84970
0.007139
-1.539006
3.586898
1.559304
1.487463
0.1267
0.0005
0.1218
0.1398
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
F-statistic
Prob(F-statistic)
0.114661
0.090294
0.711491
55.17786
-119.8394
4.705583
0.003966
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Hannan-Quinn criter.
Durbin-Watson stat
0.398015
0.745965
2.191847
2.288392
2.231024
2.097602
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
118
Abbildung 25: Reales BIP-Wachstum: ADF-Test
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(LCH_GDPR_SA,2)
Method: Least Squares
Date: 04/23/09 Time: 16:07
Sample (adjusted): 1982Q3 2008Q3
Included observations: 105 after adjustments
Null Hypothesis: D(LCH_GDPR_SA) has a unit root
Exogenous: Constant
Lag Length: 8 (Automatic based on Modified SIC, MAXLAG=12)
Augmented Dickey-Fuller test statistic
Test critical values:
1% level
5% level
10% level
t-Statistic
Prob.*
-2.291300
-3.493747
-2.889200
-2.581596
0.1767
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
D(LCH_GDPR_SA(-1))
D(LCH_GDPR_SA(-1),2)
D(LCH_GDPR_SA(-2),2)
D(LCH_GDPR_SA(-3),2)
D(LCH_GDPR_SA(-4),2)
D(LCH_GDPR_SA(-5),2)
D(LCH_GDPR_SA(-6),2)
D(LCH_GDPR_SA(-7),2)
D(LCH_GDPR_SA(-8),2)
C
-0.389790
-0.290282
-0.085826
-0.077865
-0.236566
-0.170227
-0.002105
-0.014440
-0.252916
0.157521
0.170117
0.171443
0.170505
0.166858
0.155240
0.143525
0.136452
0.125060
0.099591
0.095884
-2.291300
-1.693171
-0.503367
-0.466654
-1.523873
-1.186046
-0.015426
-0.115465
-2.539531
1.642821
0.0242
0.0937
0.6159
0.6418
0.1309
0.2386
0.9877
0.9083
0.0127
0.1037
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
F-statistic
Prob(F-statistic)
0.421279
0.366453
0.684861
44.55831
-103.9876
7.683912
0.000000
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Hannan-Quinn criter.
Durbin-Watson stat
-0.012695
0.860425
2.171192
2.423950
2.273614
1.801017
119
6.3.2
Weitere Tests
Der ADF-Test hat im allgemeinen eine schlechte Güte. In
Grenzfällen (wenn θ nahe bei 1 ist) lehnt er die Nullhypothese zu
selten ab.
Phillips-Perron-Test (1988):
Dieser Test wird auch nicht-parametrischer Dickey-Fuller Test
genannt. Ähnlich wie bei der Newey-West HAC-robusten Schätzung
der Kovarianzmatrix der Parameter, wird der potentiellen
Autokorrelation in den Residuen der Original-DF Gleichung über
eine Korrektur der Parameterkovarianzmatrix Rechnung getragen.
Kwiatkowski, Phillips, Schmidt und Shin, KPSS-Test (1992):
Die Nullhypothese bei diesem (LM -)Test ist die Trendstationarität,
die Alternative die Differenzstationarität. Idee des Tests: die
Zeitreihe wird in eine deterministische Trendkomponente, eine
random walk Komponente und in eine stationäre stochastische
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
120
Komponente zerlegt. Die Nullhypothese gibt der Varianz der
random walk Komponente null Gewicht.
Er ist recht einfach zu implementieren. Die Zeitreihe yt wird auf
eine Konstante und einen deterministischen Trend regressiert. Mit
den OLS-Residuen et werden für alle t die partiellen Summen
Pt
St = s=1 es gebildet. Die Teststatistik lautet
KP SS = T
−2
T
X
St2 /σ̂ 2
t=1
wobei für σ̂ 2 eine HAC-robuste Schätzung eingesetzt wird.
Mit Trend ist der kritische Wert auf einem 5% Signifikanzniveau
0.146, ohne Trend beträgt er 0.463. Wenn KP SS kleiner als diese
Werte ist, wird die Nullhypothese nicht abgelehnt und die Zeitreihe
ist trendstationär.
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
121
Abbildung 26: Reales BIP-Wachstum: Phillips-Perron-Test
Phillips-Perron Test Equation
Dependent Variable: D(LCH_GDPR_SA,2)
Method: Least Squares
Date: 04/23/09 Time: 16:07
Sample (adjusted): 1980Q3 2008Q3
Included observations: 113 after adjustments
Null Hypothesis: D(LCH_GDPR_SA) has a unit root
Exogenous: Constant
Bandwidth: 4 (Newey-West using Bartlett kernel)
Phillips-Perron test statistic
Test critical values:
1% level
5% level
10% level
Adj. t-Stat
Prob.*
-7.718158
-3.489117
-2.887190
-2.580525
0.0000
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Residual variance (no correction)
HAC corrected variance (Bartlett kernel)
0.498920
0.582567
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
D(LCH_GDPR_SA(-1))
C
-0.686108
0.267514
0.091740
0.077133
-7.478809
3.468206
0.0000
0.0007
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
F-statistic
Prob(F-statistic)
0.335061
0.329070
0.712678
56.37797
-121.0551
55.93258
0.000000
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Hannan-Quinn criter.
Durbin-Watson stat
-0.017737
0.870071
2.177966
2.226238
2.197554
2.069425
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
122
Abbildung 27: Reales BIP-Wachstum: KPSS-Test
Null Hypothesis: D(LCH_GDPR_SA) is stationary
Exogenous: Constant
Bandwidth: 6 (Newey-West using Bartlett kernel)
LM-Stat.
Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test statistic
Asymptotic critical values*:
1% level
5% level
10% level
0.103994
0.739000
0.463000
0.347000
*Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin (1992, Table 1)
Residual variance (no correction)
HAC corrected variance (Bartlett kernel)
0.549037
1.218049
Angewandte Ökonometrie, Sylvia Kaufmann, FS09
KPSS Test Equation
Dependent Variable: D(LCH_GDPR_SA)
Method: Least Squares
Date: 04/23/09 Time: 16:08
Sample (adjusted): 1980Q2 2008Q3
Included observations: 114 after adjustments
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
0.402561
0.069705
5.775239
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.000000
0.000000
0.744242
62.59019
-127.5824
1.355200
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Hannan-Quinn criter.
0.402561
0.744242
2.255831
2.279833
2.265572
123