Wechselstromkreis mit verschiedenen Bauteilen

Protokoll vom 08.05.07 und 11.05.07
von Christian Suhr und Thomas Vogelsang
Wechselstromkreis mit verschiedenen Bauteilen
Im Folgenden werden nun die Auswirkungen eines ohmschen
Widerstands, eines induktiven Widerstands (Spule) und eines kapazitiven
Widerstands (Kondensator) auf den Strom und die Spannung in einer
Reihen- bzw. Parallelschaltung untersucht und beschrieben.
(1) Reihenschaltung
Versuchsaufbau:
Betrachtet wird diese Schaltung:
Da es sich hier um eine Reihenschaltung handelt, fließt in der gesamten
Schaltung der gleiche Strom i. Die Spannung u wird jedoch auf die
einzelnen Bauteile, also auf den Widerstand R, die Spule L und den
Kondensator C aufgeteilt.
Die Gesamtspannung uges bzw. uLCR hat eine bestimmte Phasendifferenz
φ zum Strom i.
- Seite 1 von 7 -
Protokoll vom 08.05.07 und 11.05.07
von Christian Suhr und Thomas Vogelsang
Zum Versuch:
Der Generator erzeugt eine Wechselspannung uG mit einer bestimmten
Frequenz ω. Gemessen wird der Strom i und außerdem die
Teilspannungen an den einzelnen Bauteilen.
Diese können aber auch mit folgenden Formeln berechnet werden:
Für den ohmschen Widerstand gilt die Formel:
ûR = R î
Für den induktiven Widerstand gilt die Formel:
ûL = XL î
;
mit XL = ω L
Für den kapazitiven Widerstand gilt die Formel:
ûC = XC î ;
mit XC =
Um nun den Zusammenhang besser zu verstehen, wird folgendes
Phasendiagramm betrachtet:
Wie zu sehen ist, dreht sich das Diagramm gegen den Uhrzeigersinn. Bei
der Reihenschaltung fließt – wie bereits erwähnt – überall der gleiche
Strom i.
î beschreibt dabei den Scheitelwert, also Maximalwert, des Stroms.
Beim ohmschen Widerstand sind der Strom und die Spannung uR in
Phase.
→ Keine Phasenverschiebung ; gleiche Richtung wie der Strom I
Beim Kondensator muss erst ein Strom fließen, bevor es eine Spannung
uC geben kann.
- Seite 2 von 7 -
Protokoll vom 08.05.07 und 11.05.07
von Christian Suhr und Thomas Vogelsang
→ Eine Phasenverschiebung um
Umgekehrt ist es bei der Spule. Aufgrund der Induktion durch die vom
Wechselstrom hervorgerufene Magnetfeldänderung entsteht eine
Induktionsspannung, die nach Lenz der Ursache der Induktion durch
eine Verzögerung der Stromänderung entgegenwirkt.
→ Eine Phasenverschiebung um
.
Jetzt kann mithilfe des Satzes des Pythagoras und den Teilspannungen
ûL, ûC und ûR die Gesamtspannung ûLCR ausgerechnet werden:
Um nun den Gesamtwiderstand dieser Reihenschaltung zu ermitteln,
benötigt man die Formel für die Impedanz Z:
(jeweils die Scheitelwerte)
In diesem Fall ist die gesamte Spannung
und der gesamte Strom ist î. Also:
Zieht man die Wurzel aus dem gesamten Bruch, so steht im Nenner
unter der Wurzel das Quadrat der Stromstärke.
Da die einzelnen Summanden denselben Nenner haben, kann die
Formel auch umgeschrieben und dann die einzelnen Formeln der
Teilwiderstände R, XL und XC (Formel s.o.) eingesetzt werden:
- Seite 3 von 7 -
Protokoll vom 08.05.07 und 11.05.07
von Christian Suhr und Thomas Vogelsang
Die Phasendifferenz φ lässt sich ebenfalls berechnen. Dazu betrachtet
man erneut das Phasendiagramm und stellt fest, dass sich φ wie folgt
berechnen lässt:
(Da wir die Phasenverschiebung
immer positiv betrachten, werden
dem Zähler Betragstriche hinzugefügt):
(2) Parallelschaltung
Versuchsaufbau:
Betrachtet wird diese Schaltung:
Hierbei handelt es sich um eine Parallelschaltung. Das bedeutet, dass
die gleiche Spannung u in der gesamten Schaltung vorhanden ist, sich
der Strom i jedoch auf die einzelnen Bauteile, also auf den Widerstand
R, die Spule L und den Kondensator C aufteilt. Also gilt: -uG = uR = uL =
uC.
- Seite 4 von 7 -
Protokoll vom 08.05.07 und 11.05.07
von Christian Suhr und Thomas Vogelsang
Auch hier hat der Gesamtstrom iges bzw. iLCR eine bestimmte
Phasendifferenz φ zur Spannung u.
- Seite 5 von 7 -
Protokoll vom 08.05.07 und 11.05.07
von Christian Suhr und Thomas Vogelsang
Zum Versuch:
Der Generator erzeugt wieder eine Wechselspannung uG mit einer
bestimmten Frequenz ω. Erneut wird die Spannung u und außerdem die
Teilströme an den einzelnen Bauteilen gemessen.
Es gelten die gleichen Formeln wie in (1) Reihenschaltung, deshalb
erfolgt die Beschreibung des Phasendiagramms als kleine Übersicht
Übersicht
- Das Diagramm dreht sich gegen den Uhrzeigersinn
- Betrachtet werden die Scheitelwerte des Stroms bzw. Spannung
- Ohmscher Widerstand: Spannung und Strom sind in Phase
- Induktiver Widerstand: Zuerst Spannung, dann Strom →
-
Kapazitiver Widerstand: Zuerst Strom, dann Spannung →
Jetzt kann mithilfe des Satzes des Pythagoras und den Teilströmen îL, îC
und îR die Gesamtspannung îLCR ausgerechnet werden:
Wieder gilt:
(jeweils die Scheitelwerte)
- Seite 6 von 7 -
Protokoll vom 08.05.07 und 11.05.07
von Christian Suhr und Thomas Vogelsang
In diesem Fall ist die gesamte Spannung
und der gesamte Strom ist û. Also:
Diesmal sind die Summanden im Nenner, also muss man zuerst den
Kehrwert nehmen, um weiter rechnen zu können. Dann kann die Formel
auch wieder umgeschrieben und die einzelnen Formeln der
Teilwiderstände R, XL und XC
(Formel s.o.) eingesetzt werden:
Auch die Phasendifferenz φ lässt sich wieder berechnen. Dazu
betrachtet man erneut das Phasendiagramm und stellt fest, dass sich φ
wie folgt berechnen lässt:
(Da wir die Phasenverschiebung
immer positiv betrachten, werden
dem Zähler Betragstriche hinzugefügt):
- Seite 7 von 7 -