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Transcrição

Ebene Kurven
- von der Antike bis zum Wankelmotor -
Ringvorlesung „Strukturen und Symmetrien“
13. Oktober 2008
1
1
0.5
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1
-0.5
0.5
-0.5
-0.5
-1
-1
1
Was erwartet Sie?
Ebene Kurven
- von der Antike bis
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Das quadratische Loch
Schluss
Was erwartet Sie?
1. Antike
(Gerade, Kreis, Kegelschnitte)
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Was erwartet Sie?
1. Antike
2. Klassische Probleme der Antike
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Was erwartet Sie?
1. Antike
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
3. Neuzeit, Kartesische Methode
Klassische
Probleme
(algebraische und transzendente Kurven)
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Was erwartet Sie?
1. Antike
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
4. Kubiken
(Singularitäten, Wendepunkte, Fermat-Kurven)
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Was erwartet Sie?
1. Antike
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
4. Kubiken
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
5. Kurven nach Art der Erzeugung - Ebene Kinematik
(Koppelkurven, Rollkurven)
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Was erwartet Sie?
1. Antike
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
4. Kubiken
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
6. Der Wankelmotor
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Was erwartet Sie?
1. Antike
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
4. Kubiken
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
6. Der Wankelmotor
7. Wie bohre ich ein quadratisches Loch?
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Wo kann man nachlesen?
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Gino Loria
Spezielle algebraische und transzendente ebene
Kurven, Teubner Verlag 1902
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Gino Loria
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
I
Egbert Brieskorn, Horst Knörrer
Klassische
Probleme
Ebene algebraische Kurven, Birkhäuser Verlag 1981
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Gino Loria
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
I
I
Klassische
Probleme
Neuzeit
Walter Wunderlich
Kubiken
Ebene Kinematik
Ebene Kinematik, BI Mannheim 1970
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Gino Loria
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
I
I
Klassische
Probleme
Neuzeit
Walter Wunderlich
Kubiken
Ebene Kinematik
Ebene Kinematik, BI Mannheim 1970
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
I
Interaktive Geometriesoftware
„Cinderella“
(Jürgen Richter-Gebert und Ulrich Kortenkamp)
„GeoGebra“ (Markus Hohenwarter)
Schluss
Was ist eine Gerade?
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Euklid von Alexandria
(zwischen 360 und 280 v. Chr.)
Die Elemente, I. Buch, Definitionen 7.
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Eine gerade Linie (Strecke) ist eine solche,
die zu den Punkten auf ihr gleichmäßig liegt.
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Gymnasium, Klasse 5:
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Eine gerade Verbindungslinie zweier
Punkte A und B bezeichnet man als
Strecke AB.
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Strecke AB. Die Strecke AB ist die kürzeste Verbindung der Punkte A und B.
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Strecke AB. Die Strecke AB ist die kürzeste Verbindung der Punkte A und B.
Verlängert man eine Strecke AB über
die Endpunkte hinaus, so entsteht eine
Gerade.
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Axiomatischer Ansatz
David Hilbert (1862 - 1943)
Grundlagen der Geometrie, 1899
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Axiomatischer Ansatz
David Hilbert (1862 - 1943)
Grundlagen der Geometrie, 1899
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Erklärung.
Wir denken drei verschiedene Systeme von Dingen:
die Dinge des ersten Systems nennen wir Punkte und
bezeichnen sie mit A, B, C . . .; die Dinge des zweiten
Systems nennen wir Geraden und bezeichnen sie mit
a, b, c . . .; die Dinge des dritten nennen wir Ebenen und
bezeichnen sie mit α, β, γ . . .; . . . die Punkte und Geraden
heißen die Elemente der ebenen Geometrie, . . ..
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Kreis
Kreis als Ortskurve
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kreis
Kreis als Ortskurve
I
Ägypten 17. oder 20. Jhdt. vor Chr.:
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kreis
Kreis als Ortskurve
I
2
= 3, 1064... (Quadratur des Kreises)
π = 16
9
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kreis
Kreis als Ortskurve
I
I
2
π = 16
9
Thales von Milet (624 - 546 v.Chr.)
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kreis
Kreis als Ortskurve
I
I
I
2
π = 16
9
Pythagoras von Samos (570 - 510 v.Chr.)
(Kreis ist vollkommendste Figur der Ebene)
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kreis
Kreis als Ortskurve
I
I
I
2
π = 16
9
I
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Hippokrates von Chios (5. Jhdt. v.Chr.)
Kubiken
(Abriss der Geometrie, Möndchen des Hippokrates)
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kreis
Kreis als Ortskurve
I
I
I
2
π = 16
9
I
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
I
Apollonius von Pergae (262 - 190 v.Chr.)
(Schriften über den Kreis sind verloren gegangen)
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kreis
Kreis als Ortskurve
I
I
I
2
π = 16
9
I
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
I
(Schriften über den Kreis sind verloren gegangen)
I
Pappus von Alexandria (um 300 nach Chr.)
(Mathematische Sammlung - Ergebnisse über den Kreis aus der
Antike)
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Kegelschnitte
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Kegelschnitte
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
I
Archimedes von Syrakus (um 287 - 212 v. Chr.)
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Kegelschnitte
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
I
I
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kegelschnitte
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
I
I
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
y 2 = 2px + qx 2
q < 0: Ellipse,
q = 0: Parabel,
q > 0: Hyperbel
Klassische Probleme der Antike
Man führe mit Zirkel und Lineal aus:
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Dreiteilung beliebiger Winkel α: β = α/3
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
I
Die Quadratur des Kreises (vor 1500 v. Chr.)
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
I
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
I
Die Verdopplung des Würfels
(Delisches Problem - 5. Jhdt. vor Christus)
Wankelmotor
Schluss
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
sin α = sin 3β = 3 sin β − 4 sin3 β
führt mit x = sin β, c = sin α auf
4x 3 − 3x + c = 0
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
I
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
I
Wankelmotor
Schluss
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
4x 3 − 3x + c = 0
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
I
gesucht ist x mit
x2 = π
I
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
4x 3 − 3x + c = 0
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
I
gesucht ist x mit
x2 = π
I
Koppelkurven
Rollkurven
gesucht ist b mit
3
x =2
Kubiken
Ebene Kinematik
b3
=
2a3
bzw. x mit
Wankelmotor
Schluss
Das Delische Problem
Verdopplung des Würfels
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Menächmus (380 - 320 v.Chr.): Schnitt der
Kegelschnitte (Parabelbögen) y = x 2 und y 2 = 2x
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
I
y=
x 2,
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
I
y=
x 2,
y2
= 2x
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
zum Wankelmotor
-
I
I
y=
x 2,
y2
= 2x ⇒
Ebene Kurven
x4
= 2x,
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
zum Wankelmotor
-
I
I
y=
x 2,
y2
= 2x ⇒
Ebene Kurven
x4
= 2x, x 6= 0,
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
I
I
y=
x 2,
y2
= 2x ⇒
x4
= 2x, x 6= 0, also
x3
=2
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
I
I
y=
x 2,
y2
= 2x ⇒
x4
= 2x, x 6= 0, also
y
x3
=2
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
3
Kubiken
Ebene Kinematik
2
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
1
Schluss
1
2
3
x
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
I
I
y=
x 2,
y2
= 2x ⇒
x4
y
= 2x, x 6= 0, also
=2
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
y = x2
3
x3
Was erwartet Sie?
Kubiken
Ebene Kinematik
2
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
1
Schluss
1
2
3
x
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
I
I
y=
x 2,
y2
= 2x ⇒
x4
y
= 2x, x 6= 0, also
=2
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
y = x2
3
x3
Was erwartet Sie?
Kubiken
Ebene Kinematik
2
Koppelkurven
y 2 = 2x
Rollkurven
Wankelmotor
1
Schluss
1
2
3
x
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
I
I
y=
x 2,
y2
= 2x ⇒
x4
y
= 2x, x 6= 0, also
=2
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
y = x2
3
x3
Was erwartet Sie?
Kubiken
Ebene Kinematik
2
Koppelkurven
y 2 = 2x
Rollkurven
Wankelmotor
1
Schluss
1
x0 =
√
3
2
2 = 1, 2599 . . .
3
x
Kissoide des Diokles
I
Diokles (zwischen 250 v.Chr. und 100 v.Chr.)
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
I
Gleichung der Kissoide: x(x 2 + y 2 ) = 2ry 2
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
I
Gleichung der Kissoide: x(x 2 + y 2 ) = 2ry 2
I
Newton’s Konstruktion der Kissoide
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Konchoide des Nicomedes
Dreiteilung des Winkels
I
Nicomedes (ca. 280 v.Chr. - ca. 210 v.Chr.)
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Dreiteilung des Winkels
I
Nicomedes (ca. 280 v.Chr. - ca. 210 v.Chr.)
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
I
Gleichung der Konchoide
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
y 2 (x 2 + (y + d)2 ) − a2 (y + d)2 = 0
Wankelmotor
Schluss
Quadratrix des Dinostratus
Quadratur des Kreises
I
Dinostratus (ca. 390 v.Chr. - ca. 320 v.Chr.)
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
x = (1 − µ)r ,
π
ω=µ
2
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
I
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
x = (1 − µ)r ,
π
ω=µ
2
⇒
π πx
ω= −
2
2r
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
π πx
π
⇒ ω= −
x = (1 − µ)r , ω = µ
2
2r
2
π πx y
1
tan ω = = tan
−
=
x
2
2r
tan( πx
2r )
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
π πx
π
⇒ ω= −
x = (1 − µ)r , ω = µ
2
2r
2
π πx y
1
tan ω = = tan
−
=
x
2
2r
tan( πx
2r )
y0 = lim
x→0
x
tan
πx
2r
=
2r
π
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
I
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
π πx
π
⇒ ω= −
x = (1 − µ)r , ω = µ
2
2r
2
π πx y
1
tan ω = = tan
−
=
x
2
2r
tan( πx
2r )
y0 = lim
x→0
x
tan
πx
2r
=
2r
π
also π =
2r
y0
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Neuzeit
kartesische Methode
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
René Descartes
(1596 - 1650)
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Neuzeit
kartesische Methode
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
René Descartes
(1596 - 1650)
Rollkurven
Pierre de
Fermat
(1607(?) - 1665)
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Neuzeit
zum Wankelmotor
-
kartesische Methode
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
René Descartes
(1596 - 1650)
Rollkurven
Pierre de
Fermat
(1607(?) - 1665)
Wankelmotor
Isaac Newton
(1643 - 1727)
(Kubiken)
Schluss
Algebraische und transzendente Kurven
I
Eine Kurve C heißt algebraisch über einem Körper
K (K = Q, R, C, . . .), wenn es ein Polynom
f (x, y ) = a00 +a10 x +a01 y +· · ·+an0 x n +· · ·+a0n y n
mit n ≥ 1 und aij ∈ K gibt, so dass
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
C := {P = (px , py ) mit f (px , py ) = 0)} :
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
C := {P = (px , py ) mit f (px , py ) = 0)} : f (x, y ) = 0.
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
I
Ist eines der an−i,i 6= 0, dann heißt n die Ordnung
von C.
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
I
I
Ist eines der an−i,i 6= 0, dann heißt n die Ordnung
von C.
Eine Kurve C, die nicht algebraisch ist, heißt
transzendent.
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Algebraische Kurven
Eine der wichtigsten Eigenschaften algebraischer
Kurven:
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Algebraische Kurven
Kurven:
I
Ist C eine algebraische Kurve der Ordnung n, dann
schneidet jede Gerade g die Kurve C in höchstens n
(verschiedenen) Punkten.
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Algebraische Kurven
Kurven:
I
I
C : f (x, y ) = 0,
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Algebraische Kurven
Kurven:
I
I
C : f (x, y ) = 0,
g : x = nx + mx · t, y = ny + my · t
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Algebraische Kurven
Kurven:
I
g : x = nx + mx · t, y = ny + my · t
I
C : f (x, y ) = 0,
I
dann gilt für die Schnittpunkte
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
f (x, y ) = f (nx +mx ·t, ny +my ·t) = b0 +b1 t+· · · bn t n = 0
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
und b0 + b1 t + · · · bn
tn
hat höchstens n Nullstellen.
Schluss
Ebene Kurven
Algebraische Kurven
Kurven:
I
g : x = nx + mx · t, y = ny + my · t
I
C : f (x, y ) = 0,
I
dann gilt für die Schnittpunkte
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
f (x, y ) = f (nx +mx ·t, ny +my ·t) = b0 +b1 t+· · · bn t n = 0
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
und b0 + b1 t + · · · bn
tn
hat höchstens n Nullstellen.
Schluss
(Fundamentalsatz der Algebra von Gauß)
Algebraische Kurven
Beispiele: Kreis, Kurve 4. Grades
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Algebraische Kurven
Beispiele: Kreis, Kurve 4. Grades
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Zykloide
Wankelmotor
Schluss
Kubiken I
Singularitäten und Wendepunkte
I
f (x, y ) = a00 + a10 x + a01 y + · · · + a30 x 3 + · · · + a03 y 3
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Kubiken I
I
f (x, y ) = a00 + a10 x + a01 y + · · · + a30 x 3 + · · · + a03 y 3
Normalform nach Karl Weierstraß (1815 - 1897):
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kubiken I
I
I
f (x, y ) = a00 + a10 x + a01 y + · · · + a30 x 3 + · · · + a03 y 3
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
y 2 = 4x 3 − g2 · x − g3 , ∆ = g23 − 27g32 6= 0
(ohne Singularität - elliptisch)
Antike
y
x
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kubiken I
I
I
f (x, y ) = a00 + a10 x + a01 y + · · · + a30 x 3 + · · · + a03 y 3
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
y 2 = 4x 3 − g2 · x − g3 , ∆ = g23 − 27g32 6= 0
Antike
y
x
y
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
y2 = 4x3 - 2x + 1
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
x
Schluss
Ebene Kurven
Kubiken I
I
I
f (x, y ) = a00 + a10 x + a01 y + · · · + a30 x 3 + · · · + a03 y 3
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
y 2 = 4x 3 − g2 · x − g3 , ∆ = g23 − 27g32 6= 0
Antike
y
x
Klassische
Probleme
y
y
Neuzeit
Kubiken
y2 = 4x3 - 2x + 0.5
y2 = 4x3 - 2x + 1
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
x
x
Schluss
Ebene Kurven
Kubiken I
I
I
f (x, y ) = a00 + a10 x + a01 y + · · · + a30 x 3 + · · · + a03 y 3
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
y 2 = 4x 3 − g2 · x − g3 , ∆ = g23 − 27g32 6= 0
Antike
Klassische
Probleme
y
x
y
y
Neuzeit
y
Kubiken
y2 = 4x3 - 2x + 0.5
y2 = 4x3 - 2x + 1
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
x
x
x
Schluss
Ebene Kurven
Kubiken I
I
I
f (x, y ) = a00 + a10 x + a01 y + · · · + a30 x 3 + · · · + a03 y 3
Was erwartet Sie?
y 2 = 4x 3 − g2 · x − g3 , ∆ = g23 − 27g32 6= 0
Antike
y
x
I
zum Wankelmotor
-
y 2 = 4x 3 − g2 · x − g3 , ∆ = g23 − 27g32 = 0
(mit Singularität - rational)
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kubiken I
I
I
f (x, y ) = a00 + a10 x + a01 y + · · · + a30 x 3 + · · · + a03 y 3
Was erwartet Sie?
y 2 = 4x 3 − g2 · x − g3 , ∆ = g23 − 27g32 6= 0
Antike
y
x
I
zum Wankelmotor
-
y 2 = 4x 3 − g2 · x − g3 , ∆ = g23 − 27g32 = 0
(mit Singularität - rational) übliche Darstellung:
y2 − a · x2 − x3 = 0
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kubiken I
I
I
f (x, y ) = a00 + a10 x + a01 y + · · · + a30 x 3 + · · · + a03 y 3
Was erwartet Sie?
y 2 = 4x 3 − g2 · x − g3 , ∆ = g23 − 27g32 6= 0
Antike
y
x
I
zum Wankelmotor
-
y 2 = 4x 3 − g2 · x − g3 , ∆ = g23 − 27g32 = 0
y2 − a · x2 − x3 = 0
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
I
erstmals Singularitäten
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kubiken I
I
I
f (x, y ) = a00 + a10 x + a01 y + · · · + a30 x 3 + · · · + a03 y 3
Was erwartet Sie?
y 2 = 4x 3 − g2 · x − g3 , ∆ = g23 − 27g32 6= 0
Antike
y
x
I
zum Wankelmotor
-
y 2 = 4x 3 − g2 · x − g3 , ∆ = g23 − 27g32 = 0
y2 − a · x2 − x3 = 0
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
I
I
Was ist eine Singularität?
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kubiken I
I
I
f (x, y ) = a00 + a10 x + a01 y + · · · + a30 x 3 + · · · + a03 y 3
Was erwartet Sie?
y 2 = 4x 3 − g2 · x − g3 , ∆ = g23 − 27g32 6= 0
Antike
y
x
I
zum Wankelmotor
-
y 2 = 4x 3 − g2 · x − g3 , ∆ = g23 − 27g32 = 0
y2 − a · x2 − x3 = 0
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
I
I
Was ist eine Singularität?
I
erstmals Wendepunkte
Wankelmotor
Schluss
Projektive Ebene
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Projektive Ebene
zum Wankelmotor
-
1. Geraden sind gleich
oder
2. haben genau einen
Punkt gemeinsam oder
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
3. haben keinen Punkt gemeinsam, aber dieselbe
Richtung (parallel) - „uneigentliche“ Punkte
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Projektive Ebene
zum Wankelmotor
-
1. Geraden sind gleich
oder
2. haben genau einen
Punkt gemeinsam oder
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
3. haben keinen Punkt gemeinsam, aber dieselbe
Richtung (parallel) - „uneigentliche“ Punkte
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Projektive Ebene :
{„eigentliche“ Punkte} ∪ {„uneigentliche“ Punkte}
Wankelmotor
Schluss
Projektive Ebene
I
homogene Koordinaten:
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Projektive Ebene
I
homogene Koordinaten: x →
x1
x0 ,
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Projektive Ebene
I
x1
x0 ,
y→
x2
x0
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Projektive Ebene
I
x1
x0 ,
y→
x2
x0
zum Wankelmotor
-
(x, y ) → (x0 , x1 , x2 ) = (t · x0 , t · x1 , t · x2 )
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Projektive Ebene
I
x1
x0 ,
y→
x2
x0
zum Wankelmotor
-
(x, y ) → (x0 , x1 , x2 ) = (t · x0 , t · x1 , t · x2 )
x0 = 1 - „eigentliche“; x0 = 0 „uneigentliche“ Punkte
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Projektive Ebene
I
x1
x0 ,
y→
x2
x0
zum Wankelmotor
-
(x, y ) → (x0 , x1 , x2 ) = (t · x0 , t · x1 , t · x2 )
Was erwartet Sie?
Antike
- „uneigentliche“ oder „unendliche ferne“ Gerade
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Projektive Ebene
I
x1
x0 ,
y→
x2
x0
zum Wankelmotor
-
(x, y ) → (x0 , x1 , x2 ) = (t · x0 , t · x1 , t · x2 )
Was erwartet Sie?
Antike
I
Beispiel: rationale Kubik
y2 − a · x2 − x3 = 0
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Projektive Ebene
I
x1
x0 ,
y→
x2
x0
zum Wankelmotor
-
(x, y ) → (x0 , x1 , x2 ) = (t · x0 , t · x1 , t · x2 )
Was erwartet Sie?
Antike
I
x→
x1
x0 ,
y2 − a · x2 − x3 = 0
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Projektive Ebene
I
x1
x0 ,
y→
x2
x0
zum Wankelmotor
-
(x, y ) → (x0 , x1 , x2 ) = (t · x0 , t · x1 , t · x2 )
Was erwartet Sie?
Antike
I
x→
x1
x0 ,
y→
x2
x0 :
y2 − a · x2 − x3 = 0
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Projektive Ebene
I
x1
x0 ,
y→
x2
x0
zum Wankelmotor
-
(x, y ) → (x0 , x1 , x2 ) = (t · x0 , t · x1 , t · x2 )
Was erwartet Sie?
Antike
I
x→
x1
x0 ,
y→
x2
x0 :
y2 − a · x2 − x3 = 0
( xx20 )2 − a · ( xx01 )2 − ( xx10 )3 = 0
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Projektive Ebene
I
x1
x0 ,
y→
x2
x0
zum Wankelmotor
-
(x, y ) → (x0 , x1 , x2 ) = (t · x0 , t · x1 , t · x2 )
Was erwartet Sie?
Antike
I
y2 − a · x2 − x3 = 0
x→
x1
x0 ,
y→
x2
x0 :
( xx20 )2 − a · ( xx01 )2 − ( xx10 )3 = 0
nach Multiplikation mit x03 :
x0 (x22 − a · x12 ) − x13 = 0
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Projektive Ebene
I
x1
x0 ,
y→
x2
x0
zum Wankelmotor
-
(x, y ) → (x0 , x1 , x2 ) = (t · x0 , t · x1 , t · x2 )
Was erwartet Sie?
Antike
I
y2 − a · x2 − x3 = 0
x→
x1
x0 ,
y→
x2
x0 :
( xx20 )2 − a · ( xx01 )2 − ( xx10 )3 = 0
I
zurück:
x0 (x22 − a · x12 ) − x13 = 0
x2 = 0 als „unendliche ferne“ Gerade,
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Projektive Ebene
I
x1
x0 ,
y→
x2
x0
zum Wankelmotor
-
(x, y ) → (x0 , x1 , x2 ) = (t · x0 , t · x1 , t · x2 )
Was erwartet Sie?
Antike
I
y2 − a · x2 − x3 = 0
x→
x1
x0 ,
y→
x2
x0 :
( xx20 )2 − a · ( xx01 )2 − ( xx10 )3 = 0
I
zurück:
I
also x2 = 1, x0 → y , x1 → x
x0 (x22 − a · x12 ) − x13 = 0
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Projektive Ebene
I
x1
x0 ,
y→
x2
x0
zum Wankelmotor
-
(x, y ) → (x0 , x1 , x2 ) = (t · x0 , t · x1 , t · x2 )
Was erwartet Sie?
Antike
I
y2 − a · x2 − x3 = 0
x→
x1
x0 ,
y→
x2
x0 :
( xx20 )2 − a · ( xx01 )2 − ( xx10 )3 = 0
I
zurück:
I
also x2 = 1, x0 → y , x1 → x
x0 (x22 − a · x12 ) − x13 = 0
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
y (1 − a · x 2 ) − x 3 = 0
Ebene Kurven
Kubiken II
Wendepunktskonfiguration singularitätenfreie Kubik
I
C:
x03 + x13 + x23 + µ · x0 · x1 · x2 = 0,
µ3 6= −27
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kubiken II
I
C:
x03 + x13 + x23 + µ · x0 · x1 · x2 = 0,
9 Wendepunkte (3 reell)
µ3 6= −27
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Kubiken II
I
(x0 + x1 )3 + x13 + x23 + (x0 + x1 ) · x1 · x2 = 0
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kubiken II
I
(x0 + x1 )3 + x13 + x23 + (x0 + x1 ) · x1 · x2 = 0
3 reelle Wendepunkte
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
y
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
x
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
(1 + x)3 + x 3 + y 3 + (1 + x) · x · y = 0
Kubiken II
Wendepunkte Kubik mit Singularität
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kubiken II
I
y 2 − x 2 − x 3 = 0 besitzt 3 Wendepunkte (1 reell)
(0, 0, 1),
(− 12 i, i, 1),
( 12 i, −i, 1);
2x0 + x1 = 0
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kubiken II
I
(0, 0, 1),
I
(− 12 i, i, 1),
( 12 i, −i, 1);
2x0 + x1 = 0
y 2 − x 3 = 0 besitzt 1 Wendepunkte (reell) (0, 0, 1)
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kubiken II
I
(0, 0, 1),
I
(− 12 i, i, 1),
( 12 i, −i, 1);
2x0 + x1 = 0
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
y
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Hesse-Kurve x
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kubiken II
I
(0, 0, 1),
I
(− 12 i, i, 1),
( 12 i, −i, 1);
2x0 + x1 = 0
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
y
y
zum Wankelmotor
-
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Hesse-Kurve x
Hesse-Kurve: x
x * y2 = 0
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kubiken II
I
(0, 0, 1),
I
(− 12 i, i, 1),
( 12 i, −i, 1);
2x0 + x1 = 0
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
y
y
zum Wankelmotor
-
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Hesse-Kurve x
Hesse-Kurve: x
x * y2 = 0
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
√1 (1
3
+ x + y )(y 2 − a · x 2 ) − x 3 = 0
Verhalten im Unendlichen
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
I
y 2 (x 2 + (y + d)2 ) − a2 (y + d)2 = 0
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
I
y 2 (x 2 + (y + d)2 ) − a2 (y + d)2 = 0
I
x→
x1
x0 ,
y→
x2
x0
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
I
y 2 (x 2 + (y + d)2 ) − a2 (y + d)2 = 0
x1
x0 ,
I x 2 (x 2 +
2 1
I
x→
y→
x2
x0
(x2 + d · x0 )2 ) − a2 x02 (x2 + d · x0 )2 = 0
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
I
y 2 (x 2 + (y + d)2 ) − a2 (y + d)2 = 0
x1
x0 ,
I x 2 (x 2 +
2 1
I
x→
y→
x2
x0
(x2 + d · x0 )2 ) − a2 x02 (x2 + d · x0 )2 = 0
x1 = 0 - unendlich ferne Gerade:
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
I
y 2 (x 2 + (y + d)2 ) − a2 (y + d)2 = 0
x1
x0 ,
I x 2 (x 2 +
2 1
I
x→
y→
x2
x0
(x2 + d · x0 )2 ) − a2 x02 (x2 + d · x0 )2 = 0
x0 → x, x2 → y , x1 = 1
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
I
y 2 (x 2 + (y + d)2 ) − a2 (y + d)2 = 0
x1
x0 ,
I x 2 (x 2 +
2 1
I
x→
y→
x2
x0
(x2 + d · x0 )2 ) − a2 x02 (x2 + d · x0 )2 = 0
x0 → x, x2 → y , x1 = 1
I
y 2 (1 + (y + d · x)2 ) − a2 x 2 (y + d · x)2 = 0
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
y
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
x
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Geschlecht algebraischer Kurven
(topologische Invariante)
I
Geschlecht einer geschlossenen Fläche
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Das Geschlecht ist ein Maß für die Kompliziertheit!
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
I
n = Ordnung der Kurve C,
eP = Vielfachheit des Punktes P ∈ C
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
I
X
0 ≤ g ≤ 12 · (n − 1)(n − 2) − 12
eP (eP − 1)
P∈C
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
I
X
0 ≤ g ≤ 12 · (n − 1)(n − 2) − 12
eP (eP − 1)
P∈C
I
n≤2 ⇒ g=0
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
I
X
0 ≤ g ≤ 12 · (n − 1)(n − 2) − 12
eP (eP − 1)
P∈C
I
n≤2 ⇒ g=0
n = 3 ⇒ g = 1 oder g = 0
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
g = 1: singularitätenfreie (elliptische) Kurve
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
g = 0: Kurve mit Singularität (rationale Kurve)
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
y2 − a · x2 − x3 = 0
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
y2 − a · x2 − x3 = 0
Was erwartet Sie?
x = t 2 − a,
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
y2 − a · x2 − x3 = 0
x = t 2 − a,
y = t3 − a · t
Was erwartet Sie?
(t ∈ K )
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Fermat - Problem
I
Es gibt keine ganze Zahlen x, y , z mit x · y · z 6= 0
und
x n + y n = zn,
wenn n ≥ 3.
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Fermat - Problem
I
und
x n + y n = zn,
Was erwartet Sie?
wenn n ≥ 3.
Fermat - Kurven
x n y n
+
=1
Fn :
z
z
zum Wankelmotor
-
Antike
Klassische
Probleme
bzw.
Xn + Yn = 1
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Fermat - Problem
I
und
x n + y n = zn,
gesucht:
Was erwartet Sie?
wenn n ≥ 3.
Fermat - Kurven
x n y n
+
=1
Fn :
z
z
zum Wankelmotor
-
Antike
Klassische
Probleme
bzw.
Xn + Yn = 1
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Fermat - Problem
I
und
x n + y n = zn,
Was erwartet Sie?
wenn n ≥ 3.
Fermat - Kurven
x n y n
+
=1
Fn :
z
z
Antike
Klassische
Probleme
bzw.
Xn + Yn = 1
gesucht:
I
zum Wankelmotor
-
Punkte P = (X0 , Y0 ) ∈ Fn und X0 , Y0 rational!
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Fermat - Problem
I
und
x n + y n = zn,
Was erwartet Sie?
wenn n ≥ 3.
Fermat - Kurven
x n y n
+
=1
Fn :
z
z
Antike
Klassische
Probleme
bzw.
Xn + Yn = 1
gesucht:
I
I
zum Wankelmotor
-
Punkte P = (X0 , Y0 ) ∈ Fn und X0 , Y0 rational!
Für kein n ≥ 3 gibt es solche Punkte!
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Fermat - Kurven
zum Wankelmotor
-
y
n=3
Was erwartet Sie?
Antike
x
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Fermat - Kurven
zum Wankelmotor
-
y
n=4
y
n=3
Was erwartet Sie?
Antike
x
x
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Fermat - Kurven
zum Wankelmotor
-
y
n=4
y
n=3
Was erwartet Sie?
Antike
x
x
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
y
Ebene Kinematik
n=5
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
x
Schluss
Ebene Kurven
Fermat - Kurven
zum Wankelmotor
-
y
n=4
y
n=3
Was erwartet Sie?
Antike
x
x
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
y
y
Ebene Kinematik
n=5
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
x
x
Schluss
Fermat - Problem
I
Fermat - Kurven
Fn :
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Xn + Yn = 1
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Fermat - Problem
I
Fermat - Kurven
Fn :
n = 4:
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Xn + Yn = 1
Was erwartet Sie?
Fermat
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Fermat - Problem
I
Fermat - Kurven
Fn :
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Xn + Yn = 1
Was erwartet Sie?
n = 4:
Fermat
n = 3:
Euler
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Fermat - Problem
I
Fermat - Kurven
Fn :
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Xn + Yn = 1
Was erwartet Sie?
n = 4:
Fermat
n = 3:
Euler
Faltings 1983 (Mordell-Vermutung):
Kurven mit rationalen Koeffizienten vom Geschlecht
g > 1 besitzen höchstens endlich viele rationale
Punkte.
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Fermat - Problem
I
Fermat - Kurven
Fn :
I
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Xn + Yn = 1
Was erwartet Sie?
n = 4:
Fermat
n = 3:
Euler
Faltings 1983 (Mordell-Vermutung):
Kurven mit rationalen Koeffizienten vom Geschlecht
g > 1 besitzen höchstens endlich viele rationale
Punkte.
Andrew Wiles 1994:
Für kein n ≥ 3 hat Fn rationale Punkte!
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Kubiken ohne Singularitäten
(elliptische Kurven + Gruppenstruktur)
I
Addition von Punkten auf singularitätenfreien
Kubiken C, die eine Gruppenstruktur liefert abelsche Mannigfaltigkeiten
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Kubiken ohne Singularitäten
(elliptische Kurven + Gruppenstruktur)
I
Addition von Punkten auf singularitätenfreien
Kubiken C, die eine Gruppenstruktur liefert abelsche Mannigfaltigkeiten
y
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
x
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Fazit
Kubiken sind Ausgangspunkt u.a. für
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Fazit
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Theorie der Singularitäten
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Fazit
I
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
y
Antike
Hesse-Kurve: x
x * y2 = 0
I
Wendepunktskonfigurationen
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Fazit
I
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
y
Antike
Hesse-Kurve: x
x * y2 = 0
I
Klassische
Probleme
y
Neuzeit
x
I
Klassifikation von Mannigfaltigkeiten
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Fazit
I
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
y
Antike
Hesse-Kurve: x
x * y2 = 0
I
Klassische
Probleme
y
Neuzeit
x
I
Kubiken
y
Ebene Kinematik
x
I
Abelsche Mannigfaltigkeiten
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Fazit
I
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
y
Antike
Hesse-Kurve: x
x * y2 = 0
I
Klassische
Probleme
y
Neuzeit
x
I
Kubiken
y
Ebene Kinematik
Koppelkurven
x
I
Abelsche Mannigfaltigkeiten
Rollkurven
Wankelmotor
y
x
I
Zahlentheorie (Fermat - Kurven)
Schluss
Ebene Kinematik
Historisches
I
L. Euler (1707 - 1783)
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kinematik
Historisches
I
L. Euler (1707 - 1783)
J.B. D’Alembert (1717 - 1783)
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kinematik
Historisches
I
L. Euler (1707 - 1783)
J.B. D’Alembert (1717 - 1783)
J. Watt (1736 - 1819)
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kinematik
Historisches
I
L. Euler (1707 - 1783)
J.B. D’Alembert (1717 - 1783)
J. Watt (1736 - 1819)
G. Stephenson (1781 - 1848)
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kinematik
Historisches
I
L. Euler (1707 - 1783)
J.B. D’Alembert (1717 - 1783)
J. Watt (1736 - 1819)
I
P.I. Tschebyschew (1821 - 1894)
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kinematik
Historisches
I
L. Euler (1707 - 1783)
J.B. D’Alembert (1717 - 1783)
J. Watt (1736 - 1819)
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
F. Reuleaux (1829 - 1905)
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kinematik
Historisches
I
L. Euler (1707 - 1783)
J.B. D’Alembert (1717 - 1783)
J. Watt (1736 - 1819)
I
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
F. Reuleaux (1829 - 1905)
Ebene Kinematik
G. Darboux (1842 - 1917)
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kinematik
Historisches
I
L. Euler (1707 - 1783)
J.B. D’Alembert (1717 - 1783)
J. Watt (1736 - 1819)
I
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
F. Reuleaux (1829 - 1905)
Ebene Kinematik
G. Darboux (1842 - 1917)
I
Ebene Kurven
E. Borel (1879 - 1956)
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Koppelkurven
I
Koppelkurven sind mechanisch erzeugte Kurven:
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Koppelkurven
I
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
C
c>|a-b+-d|
A on C0
Y
B
H
Klassische
Probleme
c
A
G
Neuzeit
b
a
L
oder:
d
M
X
E
F
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Koppelkurven
I
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
C
c>|a-b+-d|
A on C0
Y
B
H
Klassische
Probleme
c
A
G
Neuzeit
b
a
L
d
M
oder:
I
Koppelkurven sind algebraisch der Ordnung 6
X
E
F
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
(x 2 + y 2 )3 + · · · = 0
Wankelmotor
Schluss
mit 2 3-fach-Punkten, 3 oder 4 Doppelpunkten:
g = 10 − 2 · 3 − 3 = 1 (elliptisch) oder
g = 10 − 2 · 3 − 4 = 0 (rational)
Koppelkurven
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Koppelkurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
z = x + iy
=u+m·v
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Koppelkurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
z = x + iy
=u+m·v
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Z := (m − 1)(z − d)(zz + mmc 2 − a2 ))
−mz((z − d)(z − d) + (m − 1)(m − 1)c 2 − b2 )
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Koppelkurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
z = x + iy
=u+m·v
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Z := (m − 1)(z − d)(zz + mmc 2 − a2 ))
−mz((z − d)(z − d) + (m − 1)(m − 1)c 2 − b2 )
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
R = (m − m)zz + (m(m − 1)z − m(m − 1)z)d (= −R)
Schluss
Ebene Kurven
Koppelkurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
z = x + iy
=u+m·v
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Z := (m − 1)(z − d)(zz + mmc 2 − a2 ))
−mz((z − d)(z − d) + (m − 1)(m − 1)c 2 − b2 )
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
R = (m − m)zz + (m(m − 1)z − m(m − 1)z)d (= −R)
Z · Z + c 2 · R 2 = 0 = (x 2 + y 2 )3 + · · ·
Schluss
Koppelkurven
Geradführungen
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Koppelkurven
Geradführungen
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Rollkurven
Zykloiden
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Rollkurven
Zykloiden
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Epizykloide
(Epitrochoide)
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Rollkurven
zum Wankelmotor
-
Hypozykloiden
Was erwartet Sie?
Antike
Hypozykloide
(Hypotrochoide)
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Rollkurven
zum Wankelmotor
-
Hypozykloiden
Was erwartet Sie?
Antike
Hypozykloide
(Hypotrochoide)
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
I
x = (R + r ) · cos(ω) ± a ·
cos( R+r
r ω)
Schluss
Ebene Kurven
Rollkurven
zum Wankelmotor
-
Hypozykloiden
Was erwartet Sie?
Antike
Hypozykloide
(Hypotrochoide)
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
I
x = (R
I
y = (R
+ r ) · cos(ω) ± a · cos( R+r
r ω)
+ r ) · sin(ω) − a · sin( R+r
r ω)
Schluss
Ebene Kurven
Rollkurven
zum Wankelmotor
-
Hypozykloiden
Was erwartet Sie?
Antike
Hypozykloide
(Hypotrochoide)
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
+ r ) · cos(ω) ± a · cos( R+r
r ω)
+ r ) · sin(ω) − a · sin( R+r
r ω)
R+r
±i·
ω
±iω
r
I
x = (R
I
y = (R
I
x ± iy = (R + r ) · e
−a·e
Schluss
Ebene Kurven
Rollkurven
Algebraische Epi-/Hypozykloiden
I R+r
r
=
p
q
zum Wankelmotor
-
- rational,
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Rollkurven
I R+r
r
=
p
q
zum Wankelmotor
-
- rational, ggT(p, q) = 1, p > q,
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Rollkurven
I R+r
r
=
p
q
- rational, ggT(p, q) = 1, p > q, eiω = t q
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Rollkurven
I R+r
r
=
p
q
f (x, y ) = x + iy − (R + r ) · t q + a · t p = 0
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Rollkurven
I R+r
r
=
p
q
f (x, y ) = x + iy − (R + r ) · t q + a · t p = 0
g(x, y ) = (x − iy ) · t p − (R + r ) · t p−q + a = 0
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Rollkurven
I R+r
r
=
p
q
f (x, y ) = x + iy − (R + r ) · t q + a · t p = 0
g(x, y ) = (x − iy ) · t p − (R + r ) · t p−q + a = 0
Elimination von p: t−Resultante(f , g)
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Rollkurven
I R+r
r
=
p
q
f (x, y ) = x + iy − (R + r ) · t q + a · t p = 0
g(x, y ) = (x − iy ) · t p − (R + r ) · t p−q + a = 0
Gleichung in x und y vom Grad 2p
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Rollkurven
I R+r
r
=
p
q
f (x, y ) = x + iy − (R + r ) · t q + a · t p = 0
g(x, y ) = (x − iy ) · t p − (R + r ) · t p−q + a = 0
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
⇒ Epi-/Hypozykloide algebraisch (rational)
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Rollkurven
I R+r
r
=
p
q
f (x, y ) = x + iy − (R + r ) · t q + a · t p = 0
g(x, y ) = (x − iy ) · t p − (R + r ) · t p−q + a = 0
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
I R+r
r
- nicht rational
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Rollkurven
I R+r
r
=
p
q
f (x, y ) = x + iy − (R + r ) · t q + a · t p = 0
g(x, y ) = (x − iy ) · t p − (R + r ) · t p−q + a = 0
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
I R+r
r
- nicht rational
⇒ Epi-/Hypozykloide nicht algebraisch
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Geometrie des Wankelmotors
Epitrochoide 2. Art
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Epitrochoide 2. Art
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Epitrochoide
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Epitrochoide 2. Art
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Epitrochoide
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Epitrochoide 2. Art
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Epitrochoide
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Epitrochoide 2. Art
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Epitrochoide
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ellipsenzirkel
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Ellipsenzirkel
x = a · cos ω
y = b · sin ω
Was erwartet Sie?
Antike
x2 y2
+ 2 =1
a2
b
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Ellipsenzirkel
x = a · cos ω
y = b · sin ω
Was erwartet Sie?
Antike
x2 y2
+ 2 =1
a2
b
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Ellipsenzirkel
x = a · cos ω
y = b · sin ω
Was erwartet Sie?
Antike
x2 y2
+ 2 =1
a2
b
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Gleichdick
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Reuleaux-Dreieck
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Reuleaux-Dreieck
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Reuleaux-Dreieck
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Reuleaux-Dreieck
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Reuleaux-Dreieck
Ebene Kurven
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss
Ebene Kurven
Schluss
zum Wankelmotor
-
Was erwartet Sie?
Danke
für Ihr
Antike
Klassische
Probleme
Neuzeit
Kubiken
Interesse!
Ebene Kinematik
Koppelkurven
Rollkurven
Wankelmotor
Schluss

Ebene Kurven eserved@d = *@let@token 0.5cm

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