Formelsammlung Finanzplaner mit eidg. FA_UBx

Abschlussprüfung zum/zur
Finanzplaner/in mit eidg. Fachausweis
Formelsammlung
Autor: Iwan Brot
Diese Formelsammlung wird an den Prüfungen abgegeben soweit erforderlich.
Stand 1. Juli 2010. Änderungen vorbehalten.
Formelsammlung Finanzplaner
© 2010 IAF Interessengemeinschaft Ausbildung im Finanzbereich
Inhaltsverzeichnis Formelsammlung
Umrechnung von einfache in stetige Rendite ....................................................................................................................................................................................6
Umrechnung von stetige in einfache Rendite ....................................................................................................................................................................................6
Zinseszinsberechnung (Zukunftswert oder auch Future Value) bei einfachen Renditen .................................................................................................................6
Zinseszinsberechnung bei stetigen Renditen .....................................................................................................................................................................................7
Barwertberechnung (Gegenwartswert oder auch Present Value) auf Grund künftigem Kapitalbedarf (einfache Werte) ...............................................................7
Barwertberechnung auf Grund künftigem Kapitalbedarf (stetige Werte).........................................................................................................................................7
Berechnung der einfachen Gesamtrendite ........................................................................................................................................................................................8
Berechnung der stetigen Gesamtrendite ...........................................................................................................................................................................................8
Berechnung der einfachen durchschnittlichen Jahresrendite (Überjährigkeit).................................................................................................................................8
Berechnung der stetigen durchschnittlichen Jahresrendite (Überjährigkeit)....................................................................................................................................8
Berechnung der einfachen durchschnittlichen Jahresrendite (Unterjährigkeit)................................................................................................................................9
Berechnung der stetigen durchschnittlichen Jahresrendite (Unterjährigkeit)...................................................................................................................................9
Unterschiedliche einfache Periodenrenditen; Berechnung der einfachen Gesamtrendite...............................................................................................................9
Unterschiedliche stetige Periodenrenditen; Berechnung der stetigen Gesamtrendite.....................................................................................................................9
Berechnung der zeitgewichteten Durchschnittsrendite .................................................................................................................................................................10
Berechnung der geldgewichteten Rendite.......................................................................................................................................................................................10
Berechnung der mathematisch korrekten Realrendite....................................................................................................................................................................11
Berechnung der ungefähren Realrendite (Annäherungsberechnung).............................................................................................................................................11
Berechnung des Emissionspreises bei einer Geldmarktbuchforderung..........................................................................................................................................11
Berechnung der Jahresrendite bei vorhandenem Emissionspreis ...................................................................................................................................................12
Periodenrendite einer Obligation.....................................................................................................................................................................................................12
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Couponrendite einer Obligation.......................................................................................................................................................................................................12
Preisrendite einer Obligation ...........................................................................................................................................................................................................12
Direkte Rendite einer Obligation......................................................................................................................................................................................................13
Berechnung der Verfallrendite nach Praktikermethode (guter Schätzwert) ...................................................................................................................................13
Berechnung der Verfallrendite (Annäherungsberechnung)............................................................................................................................................................13
Berechnung der exakten Verfallrendite ...........................................................................................................................................................................................14
Marchzinsberechnung bei einer Obligation .....................................................................................................................................................................................14
Wandelpreis einer Wandelobligation...............................................................................................................................................................................................14
Wandelparität einer Wandelobligation............................................................................................................................................................................................14
Wandelprämie über eine Wandelobligation ....................................................................................................................................................................................15
Wandelprämie über eine Wandelobligation auf Jahresbasis...........................................................................................................................................................15
Renditebereinigtes Kursrisiko einer Wandelobligation....................................................................................................................................................................15
Optionsparität einer Optionsobligation ...........................................................................................................................................................................................15
Optionsprämie über eine Optionsobligation....................................................................................................................................................................................16
Optionsprämie über eine Optionsobligation auf Jahresbasis ..........................................................................................................................................................16
Barwertberechnung einer Obligation...............................................................................................................................................................................................16
Berechnung des ungefähren Barwertes einer Obligation (Annäherungsberechnung)....................................................................................................................16
Berechnung der Macaulay Duration ................................................................................................................................................................................................17
Berechnung der Modified Duration .................................................................................................................................................................................................17
Berechnung der approximativen Preisänderung einer Obligation..................................................................................................................................................17
Aussagekraft der approximativen Preisänderung ...........................................................................................................................................................................18
Berechnung des Break-even-Wechselkurses ...................................................................................................................................................................................18
Berechnung der Währungsrendite...................................................................................................................................................................................................18
Berechnung der währungsbereinigten Gesamtrendite....................................................................................................................................................................19
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Berechnung Wert Bezugsrecht bei einer Aktienkapitalerhöhung....................................................................................................................................................19
Berechnung theoretischer Aktienkurs nach Kapitalerhöhung .........................................................................................................................................................20
Gewinnrendite einer Aktie ...............................................................................................................................................................................................................20
Payout-Ratio einer Gesellschaft .......................................................................................................................................................................................................20
Dividendenrendite einer Aktie .........................................................................................................................................................................................................21
Cash-Flow Rendite einer Aktie .........................................................................................................................................................................................................21
Eigenkapitalrendite einer Aktie ........................................................................................................................................................................................................21
Kurs-Gewinn-Verhältnis (KGV / PE) mit aktuellem Gewinn .............................................................................................................................................................21
Kurs-Gewinn-Verhältnis (KGV / PE) mit zukünftigem Gewinn (Gewinnschätzung) .........................................................................................................................22
Kurs-Gewinn-Verhältnis unter Berücksichtigung des künftigen Gewinnwachstumes (in % ausgedrückt) (PEG; Price-Earnings to Growth Ratio) ........................22
Kurs-Umsatz-Verhältnis (KUV / PS) ..................................................................................................................................................................................................22
Kurs-Buchwert-Verhältnis (KUB / PB)...............................................................................................................................................................................................22
Kurs-Substanzwert-Verhältnis (KSV).................................................................................................................................................................................................23
Sparplanberechnung nachschüssig (Jahresprämie) .........................................................................................................................................................................23
Sparplanberechnung nachschüssig (Monatsprämie) ......................................................................................................................................................................23
Sparplanberechnung vorschüssig (Jahresprämie) ...........................................................................................................................................................................23
Sparplanberechnung vorschüssig (Monatsprämie).........................................................................................................................................................................24
Erforderliche nachschüssige Sparquote (auf Jahresbasis) für bestimmten Endwert.......................................................................................................................24
Erforderliche nachschüssige Sparquote (auf Monatsbasis) für bestimmten Endwert.....................................................................................................................24
Erforderliche vorschüssige Sparquote (auf Jahresbasis) für bestimmten Endwert .........................................................................................................................25
Erforderliche vorschüssige Sparquote (auf Monatsbasis) für bestimmten Endwert .......................................................................................................................25
Kapitalbedarf für gewünschte Rente (nachschüssig auf Jahresbasis) über einen bestimmten Zeitraum (Annuität) ....................................................................25
Kapitalbedarf für gewünschte Rente (nachschüssig auf Monatsbasis) über einen bestimmten Zeitraum (Annuität) ..................................................................26
Kapitalbedarf für gewünschte Rente (vorschüssig auf Jahresbasis) über einen bestimmten Zeitraum (Annuität).......................................................................26
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Kapitalbedarf für gewünschte Rente (vorschüssig auf Monatsbasis) über einen bestimmten Zeitraum (Annuität) ....................................................................26
Rentenhöhe (nachschüssig auf Jahresbasis) bei vorhandenem Kapital über einen bestimmten Zeitraum ...................................................................................27
Rentenhöhe (nachschüssig auf Monatsbasis) bei vorhandenem Kapital über einen bestimmten Zeitraum ................................................................................27
Rentenhöhe (vorschüssig auf Jahresbasis) bei vorhandenem Kapital über einen bestimmten Zeitraum......................................................................................27
Rentenhöhe (vorschüssig auf Monatsbasis) bei vorhandenem Kapital über einen bestimmten Zeitraum...................................................................................28
Berechnung der Sharpe Ratio...........................................................................................................................................................................................................28
Berechnung der Treynor Ratio .........................................................................................................................................................................................................28
Berechnung des Jensen’s Alpha .......................................................................................................................................................................................................29
Berechnung der Information Ratio...................................................................................................................................................................................................29
Berechnung der Portfoliorendite, bezogen auf das Marktrisiko......................................................................................................................................................29
Berechnung des Portfoliobetas ........................................................................................................................................................................................................30
Innerer Wert pro Calloption (bei Ratio) ...........................................................................................................................................................................................30
Innerer Wert pro Calloption (bei Bezugsverhältnis)........................................................................................................................................................................30
Zeitwert pro Calloption ....................................................................................................................................................................................................................30
Innerer Wert pro Putoption (bei Ratio)............................................................................................................................................................................................31
Innerer Wert pro Putoption (bei Bezugsverhältnis) ........................................................................................................................................................................31
Zeitwert pro Putoption.....................................................................................................................................................................................................................31
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WAS
FORMEL
ZAHLENBEISPIEL
Umrechnung von einfache in stetige Rendite
ln(1 + R) = stetige Rendite
ln(1 + 0.0877) = 0.08406 = 8.41%
ln = logarithmus naturalis
R = einfache Periodenrendite in mathematischer
Schreibweise; Beispiel 8.77% = 0.0877
Umrechnung von stetige in einfache Rendite
e stetige Rendite − 1 = einfache Rendite
e 0.08406 − 1 = 0.08769 = 8.77%
e = euler’sche Zahl (2.71828182846)
stetige Rendite in mathematischer
Schreibweise; Beispiel 8.406% = 0.08406
Zinseszinsberechnung (Zukunftswert oder
auch Future Value) bei einfachen Renditen
B × (1 + R )
n
100 × (1 + 0.0275) = 108.478 = 108.48
3
B = Barwert, im Beispiel 100
n = Gesamtlaufzeit, im Beispiel 3 Jahre
R = einfache Rendite, im Beispiel 2.75%,
geschrieben in mathematischer Schreibweise = 0.0275
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Zinseszinsberechnung bei stetigen Renditen
B + (r x n )
e 0.00814 − 1 = 0.08480 = 8.48%
B = Barwert, im Beispiel 100
n = Gesamtlaufzeit, im Beispiel 3 Jahre
R = einfache Rendite, im Beispiel 2.75%, dies
entspricht einer stetigen Rendite von
2.713%
r = stetige Rendite, im Beispiel 2.713% = 2.713
Barwertberechnung (Gegenwartswert oder
auch Present Value) auf Grund künftigem
Kapitalbedarf (einfache Werte)
100 + (2.713 × 3) = 108.139 = 108.14
108.48
K
(1 + R )
n
(1 + 0.0275)3
= 100
K = Kapitalbedarf zum Zeitpunkt X (Zukunft),
im Beispiel CHF 108.48
n = Gesamtlaufzeit, im Beispiel 3 Jahre
R = einfache Rendite (Diskontierungssatz),
im Beispiel 2.75%, geschrieben in mathematischer Schreibweise = 0.0275
Barwertberechnung auf Grund künftigem
Kapitalbedarf (stetige Werte)
K −r×n
108.15 − 2.718 × 3 = 100
K = Kapitalbedarf zum Zeitpunkt X (Zukunft),
im Beispiel CHF 108.13
n = Gesamtlaufzeit, im Beispiel 3 Jahre
R = einfache Rendite (Diskontierungssatz),
im Beispiel 2.75%, dies entspricht einer
stetigen Rendite von 2.71% = 2.71
r = stetige Rendite, im Beispiel 2.71% = 2.71
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Endkapital
−1
Anfangskapital
111.11
− 1 = 0.11110 = 11.11%
100
 Endkapital 

ln
 Anfangskapital 
 111.11 
ln
 = 0.10535 = 10.54%
 100 
Berechnung der einfachen Gesamtrendite
Berechnung der stetigen Gesamtrendite
LN = logarithmus naturalis
Berechnung der einfachen durchschnittlichen
Jahresrendite (Überjährigkeit)
e 0.10535 − 1 = 0.11109 = 11.11%
 Endkapital 


 Anfangskapital 
(1/n )
 111.11 


 100 
−1
(1/3 )
− 1 = 0.03574 = 3.57%
n = Gesamtlaufzeit, im Beispiel 3 Jahre
oder
n
Berechnung der stetigen durchschnittlichen
Jahresrendite (Überjährigkeit)
n = Gesamtlaufzeit, im Beispiel 3 Jahre
 Endkapital 

 − 1
 Anfangskapital 
 Endkapital 

ln
 Anfangskapital 
n
3
 111.11 

 − 1 = 0.03574 = 3.57%
 100 
 111.11 
ln

 100  = 0.03511 = 3.51%
3
e 0.03511 − 1 = 0.03573 = 3.57%
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Berechnung der einfachen durchschnittlichen
Jahresrendite (Unterjährigkeit)
n
 Endkapital 

 − 1
 Anfangskapital 
3
 111.11 

 − 1 = 0.37170 = 37.17%
 100 
n = Zeitperiode für Jahresbasis
im Beispiel 4 Monate (3 x 4 = 12 Monate)
Berechnung der stetigen durchschnittlichen
Jahresrendite (Unterjährigkeit)
 Endkapital 
 × Zeitperiode
ln
 Anfangskapital 
e 0.31605 − 1 = 0.37169 = 37.17%
n = Zeitperiode für Jahresbasis
im Beispiel 4 Monate (3 x 4 = 12 Monate)
Unterschiedliche einfache Periodenrenditen;
Berechnung der einfachen Gesamtrendite
 111.11 
ln
 × 3 = 0.31605 = 31.61%
 100 
(1 + R Z1 ) × (1 + R Z2 ) × ... × (1 + R ZN ) − 1
(1 + 0.0375) × (1 + 0.0425) − 1 = 0.08159 = 8.16%
R = einfache Periodenrendite in mathematischer
Schreibweise; Beispiel 3.75% = 0.0375
4.25% = 0.0425
Unterschiedliche stetige Periodenrenditen;
Berechnung der stetigen Gesamtrendite
ln(1 + R Z1 ) + ln(1 + R Z2 ) + ... + ln(1 + R ZN )
e 0.0784 − 1 = 0.08155 = 8.16%
R= einfache Periodenrendite in mathematischer
Schreibweise; Beispiel 3.75% = 0.0375
4.25% = 0.0425
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ln(1 + 0.0375) + ln(1 + 0.0425) = 0.07843 = 7.84%
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0.0368 + 0.0416 = 0.0784 = 7.84%
rZ1 + rZ2 + ... + rZN
oder wenn bereits stetige Renditen vorhanden sind
e 0.0784 − 1 = 0.08155 = 8.16%
r = stetige Periodenrendite in mathematischer
Schreibweise; Beispiel 3.68% = 0.0368
4.16% = 0.0416
Berechnung der zeitgewichteten
Durchschnittsrendite
n
(1 + R Z1 ) × (1 + R Z2 ) × ... × (1 + R ZN ) − 1
3.75
(1 + 0.0375) × (1 + 0.0425) − 1 = 0.02113 = 2.11%
R = einfache Periodenrendite in mathematischer
Schreibweise; Beispiel 3.75% = 0.0375
4.25% = 0.0425
n = Zeitperiode für Jahresbasis, im Beispiel 3.75
(entspricht 3 Jahren und 9 Monaten, da
9/12 = 0.75 + 3 = 3.75)
Die Zeitrendite ist um die Zahlungsströme bereinigt und widerspiegelt ausschliesslich den erwirtschafteten durchschnittlichen Ertrag auf dem schwankenden
Vermögensbestand im Zeitablauf. Die zeitgewichtete Gesamtrendite errechnet sich analog der Berechnung einer einfachen Gesamtrendite.
Berechnung der geldgewichteten Rendite
Die formale Darstellung ist wie folgt:
T −1
K1 = K 0 × (1 + IRR ) + ∑ Transaktionen × (1 + IRR )
T−t
T
t =1
Ein professioneller Taschenrechner übernimmt
den Iterationsprozess (Annäherungsprozess) und
berechnet die Geldrendite. Ohne einen solchen
Taschenrechner ist mittels Schätzungen der
Iterationsprozess selbst durchzuführen.
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Bei der Geldrendite wird das Anfangsvermögen ( K 0 ) und alle bis zum Stichtag angefallenen Transaktionen mit der einen zu bestimmenden Geldrendite (IRR)
aufgezinst, sodass die Endsumme ( K1 ) dieser Transaktionen dem Portfolio-Endwert entspricht.
Berechnung der mathematisch korrekten
Realrendite
(1 + R ) − 1 = Realrendite
(1 + I )
(1 + 0.0535) − 1 = 0.03072 = 3.07%
(1 + 0.0221)
R − I ≈ Realrendite
5.35% − 2.21% ≈ 3.14%
R = Zinssatz in mathematischer
Schreibweise; Beispiel 5.35% = 0.0535
I = Inflationsrate in mathematischer
Schreibweise; Beispiel 2.21% = 0.0221
Berechnung der ungefähren Realrendite
(Annäherungsberechnung)
R = Zinssatz , Beispiel 5.35%
I = Inflation, Beispiel 2.21%
Berechnung des Emissionspreises bei
einer Geldmarktbuchforderung
100
 Tage x R 
1+ 

 360 
100
= 97.979% = 97.98%
 270 x 0.0275 
1+ 

360


R = gewünschte Jahresrendite in
mathematischer Schreibweise,
im Beispiel = 2.75% = 0.0275
T = Laufzeit der Geldmarktbuchanlage,
im Beispiel 270 Tage = 270
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Berechnung der Jahresrendite bei
vorhandenem Emissionspreis
Rückzahlungspreis - Emissionspreis
Emissionspreis
× 360
Laufzeit der Geldmarktbuchanlage
100 - 97.98
97.98 × 360 = 0.02748 = 2.75%
270
Rückzahlungspreis ist in aller Regel zu 100%
Emissionspreis im Beispiel = 97.98%
Laufzeit im Beispiel = 270 Tage
Periodenrendite einer Obligation
Endkurs − Anfangskurs + C
Anfangskurs
101.50 − 100.75 + 3
= 0.03722 = 3.72%
100.75
Endkurs im Beispiel 101.50% = 101.50
Anfangskurs im Beispiel 100.75% = 100.75
C = Coupon, im Beispiel 3% = 3
Couponrendite einer Obligation
C
Obligationenkursvor einemJahr
3
= 0.02977 = 2.98%
100.75
Preis Endperiode- Preis Anfangsperiode
Preis Anfangsperiode
101.50- 100.75
= 0.00744 = 0.74%
100.75
C = Coupon, im Beispiel 3% = 3
Obligationenkurs vor einem Jahr im
Beispiel 100.75% = 100.75
Preisrendite einer Obligation
Preis Endperiode im Beispiel 101.50% = 101.50
Preis Anfangsperiode im Beispiel 100.75% = 100.75
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Direkte Rendite einer Obligation
C
aktuellerObligationenkurs
3
= 0.02955 = 2.96%
101.50
C = Coupon, im Beispiel 3% = 3
Aktueller Obligationenkurs
im Beispiel 101.50% = 101.50
Berechnung der Verfallrendite nach
Praktikermethode (guter Schätzwert)
C = Coupon, im Beispiel 4% = 4
Rückzahlungspreis im Beispiel 100% = 100
Tagespreis; im Beispiel 105.77% = 105.77
n = Restlaufzeit, im Beispiel 3 Jahre = 3
Berechnung der Verfallrendite
(Annäherungsberechnung)
Rückzahlungspreis - Tagespreis
n
Rückzahlungspreis + Tagespreis
2
C+
C+
Rückzahlungspreis − Tagespreis
n
100 - 105.77
3
= 0.02018 = 2.02%
100 + 105.77
2
4+
4+
100 − 105.77
= 2.076 = 2.08%
3
C = Coupon, im Beispiel 4% = 4
Rückzahlungspreis im Beispiel 100% = 100
Tagespreis im Beispiel 105.77% = 105.77
n = Restlaufzeit, im Beispiel 3 Jahre = 3
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Berechnung der exakten Verfallrendite
(iterativer Prozess, professionellen Taschenrechner einsetzen)
C
C
C
C+R
+
+ ... +
+
n
n
(1 + V ) (1 + V )
(1 + V ) (1 + V )n
C = Coupon
V = gesuchte Verfallrendite
n = Laufzeit
R = Rückzahlungspreis
Eingabe im HP wie folgt:
Barwert = -105.77
Endwert = 100
Rate = 4
Laufzeit = 3
Modus = End
Auflösung nach i = 1.999 = 2.00%
Im HP17 ist die Auflösung auch im Bondrechner möglich.
Marchzinsberechnung bei einer Obligation
N = Nominalwert, im Beispiel CHF 100‘000
C = Coupon, im Beispiel 4% = 0.04
n = Laufzeit, im Beispiel 165 Tage
Wandelpreis einer Wandelobligation
Notwendiger Nominalbetrag im Beispiel
CHF 5‘000.00 = 5‘000
Anzahl Basiswerte im Beispiel 8.725
Wandelparität einer Wandelobligation
N×C×n
360
100'000 × 0.04 × 165
= 1'833.33
360
Notwendiger Nominalbetrag
AnzahlBasiswerte
5'000
= 573.065 = 573.07
8.725
NN× Obligationenkurs
AnzahlBasiswerte
5'000 × 1.02
= 584.527 = 584.53
8.725
NN = Notwendiger Nominalbetrag,
im Beispiel CHF 5‘000.00 = 5‘000
Obligationenkurs im Beispiel 102% = 1.02
Anzahl Basiswerte im Beispiel 8.725
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Wandelprämie über eine Wandelobligation
Wandelparität
−1
BörsenkursBasiswert
584.53
− 1 = 0.11339 = 11.34%
525.00
Wandelparität im Beispiel 584.53
Börsenkurs Basiswert im Beispiel 525.00
Wandelprämie über eine Wandelobligation
auf Jahresbasis
Wandelprämie
(Rest)- Laufzeit Wandelobligation
0.1134
= 0.03024 = 3.02%
3.75
Wandelparität im Beispiel 11.34% = 0.1134
(Rest)-Laufzeit 3 Jahre und 9 Monate = 3.75
Renditebereinigtes Kursrisiko einer
Wandelobligation
Kurs der Wandelobligation - Barwert
Kurs der Wandelobligation
1.02 - 0.98
= 0.03921 = 3.92%
1.02
Kurs der Wandelobligation im Beispiel
102% = 1.02
Barwert im Beispiel 98% = 0.98
Optionsparität einer Optionsobligation
Anzahl Optionen × OP + A
50 × 0.75 + 212.50 = 250.00
Anzahl Optionen, im Beispiel 50
OP = Optionspries, im Beispiel 0.75
A = Ausübungspreis, im Beispiel 212.50
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Optionsprämie über eine Optionsobligation
Optionsparität im Beispiel 250.00
Börsenkurs Basiswert im Beispiel 230.00
Optionsprämie über eine Optionsobligation
auf Jahresbasis
Optionsparität
−1
BörsenkursBasiswert
250.00
− 1 = 0.08695 = 8.70%
230.00
Optionsprämie
(Rest) - Laufzeit der Optionsobligation
0.0870
= 0.25460 = 25.46%
0.3417
Optionsprämie im Beispiel 8.70% = 0.0870
(Rest)-Laufzeit 4 Monate und 3 Tage = 0.3417
Barwertberechnung einer Obligation
C = Coupon, im Beispiel 4% = 4
i = aktueller Marktzins, im Beispiel 2% = 0.02
n = Laufzeit, im Beispiel 3 Jahre
Rückzahlungspreis ist in aller Regel 100%
Berechnung des ungefähren Barwertes
einer Obligation (Annäherungsberechnung)
C×
(1 + i )n − 1 + Rückzahlungspreis
(1 + i )n × i
(1 + i )n
(C - i ) × n + Rückzahlungspreis
4×
(1 + 0.02)3 − 1 + 100
(1 + 0.02)3 × 0.02 (1 + 0.02)3
= 105.767 = 105.77%
(4 - 2) × 3 + 100 = 106 ≈ 106%
C = Coupon, im Beispiel 4% = 4
i = aktueller Marktzins, im Beispiel 2% = 0.02
n = Laufzeit, im Beispiel 3 Jahre
Rückzahlungspreis ist in aller Regel 100%
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Berechnung der Macaulay Duration
i = aktueller Marktzins, im Beispiel 2% = 0.02
n = Laufzeit, im Beispiel 3 Jahre = 3
C = Coupon, im Beispiel 4% = 4
R = Rückzahlungspreis, im Beispiel 100%
Berechnung der Modified Duration
1 + i n × C + R × (1 + i - n × i )
−
n
i
C × (1 + i ) − 1 + R × i
(
)
1 + 0.02 3 × 4 + 100 × (1 + 0.02 - 3 × 0.02)
−
= 2.889 = 2.89 Jahre
3
0.02
4 × (1 + 0.02) − 1 + 100 × 0.02
D
1+ Y
(
)
2.89
= 2.833 = 2.83
1.02
D = Macaulay Duration, im Beispiel 2.89
Y = bisherige Verfallrendite, im Beispiel 2% = 0.02
Berechnung der approximativen
Preisänderung einer Obligation
− M×a
− 2.83 × 0.25 = −0.7075 = −0.71%
M = Modified Duration, im Beispiel 2.83
a = Anpassung der Verfallrendite, im Beispiel erhöht sich die Verfallrendite um 0.25%
Berechnung der approximativen
Preisänderung einer Obligation
− M×a
− 2.83 × −0.25 = 0.7075 = 0.71%
M = Modified Duration, im Beispiel 2.83
a = Anpassung der Verfallrendite, im Beispiel reduziert sich die Verfallrendite um 0.25%
Merke: Für die Berechnung wird die Modified Duration immer mit einem Minuszeichen verwendet. Dies ist auf die mathematischen Gegebenheiten zurückzuführen.
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Aussagekraft der approximativen
Preisänderung
B × (1 − P )
B = Barwert in %, im Beispiel 105.77%
P = Preisänderung, im Beispiel -0.71% = -0.0071
B = Barwert in %, im Beispiel 105.77%
P= Preisänderung, im Beispiel 0.71% = 0.0071
105.77 × (1 − 0.0071) = 105.019 = 105.02%
Der Barwert von 105.77% reduziert sich bei einer
Erhöhung der Verfallrendite von 0.25% um – 0.71%, in
diesem Beispiel auf 105.02%
B × (1 + P )
105.77 × (1 + 0.0071) = 106.520 = 106.52%
Der Barwert von 105.77% erhöht sich bei einer
Reduktion der Verfallrendite von 0.25% um 0.71%, in
diesem Beispiel auf 106.520 = 106.52%
Berechnung des Break-even-Wechselkurses
R = Rendite in mathematischer Schreibweise,
im Beispiel für CHF 2.75% (0.0275) und für
FW 5.55% (0.0555)
n = Restlaufzeit, im Beispiel 6 Jahre
aW = aktueller Brief-Wechselkurs,
im Beispiel 1.5197
Berechnung der Währungsrendite
(1 + i CHF )Jahre
× aW
(1 + i FW )Jahre
Wt
−1
Wt −1
(1 + 0.0275)6 × 1.5197 = 1.2933
(1 + 0.0555)6
1.0925
− 1 = - 0.10867 = -10.87%
1.2257
Wt = aktueller Wechselkurs, im Beispiel 1.0925
Wt −1 = Wechselkurs im Kaufzeitpunkt
im Beispiel 1.2257
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Berechnung der währungsbereinigten
Gesamtrendite
[(1 + R i ) × (1 + R w )] − 1
[(1 + 0.1087 ) × (1 − 0.1087 )] − 1 = -0.01181 = -1.18%
aktueller Börsenkurs - KB
(BV) + 1
49.50 - 42.00
= 1.00
(13 : 2) + 1
R i = Lokalrendite, im Beispiel 10.87% = 0.1087
R w = Währungsrendite, im Beispiel -10.87% = -0.1087
Berechnung Wert Bezugsrecht bei einer
Aktienkapitalerhöhung
Aktueller Börsenkurs, im Beispiel 49.50
KB = Bezugspreis für neue Aktie,
im Beispiel 42.00
BV = Bezugsverhältnis, im Beispiel 13:2
aB = aktueller Börsenkurs, im Beispiel 49.50
AaA = Anzahl Alter Aktien, im Beispiel 13
AnA = Anzahl neuer Aktien, im Beispiel 2
BP = Bezugspreis für die neue Aktie,
im Beispiel 42.00
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oder
aB −
(AaA x aB + AnA x BP)
AaA + AnA
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49.50 −
(13 x 49.50 + 2 x 42.00)
= 1.00
13 + 2
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Berechnung theoretischer Aktienkurs
nach Kapitalerhöhung
(AaA x aB + AnA x BP)
AaA + AnA
AaA = Anzahl Alter Aktien, im Beispiel 13
aB = aktueller Börsenkurs, im Beispiel 49.50
AnA = Anzahl neuer Aktien, im Beispiel 2
BP = Bezugspreis für die neue Aktie,
im Beispiel 42.00
BV = Bezugsverhältnis, im Beispiel 13:2
aB = aktueller Börsenkurs, im Beispiel 49.50
BP = Bezugspreis für die neue Aktie,
im Beispiel 42.00
Gewinnrendite einer Aktie
(13 x 49.50 + 2 x 42.00)
= 48.50
13 + 2
oder
(13 : 2) x 49.50 + 42
= 48.50
(13 : 2) + 1
BV x aB + BP
(BV) + 1
6.25
= 0.06166 = 6.17%
101.35
Gewinn (pro Aktie)
Börsenkurs (pro Aktie)
Gewinn im Beispiel 6.25
Börsenkurs im Beispiel 101.35
Payout-Ratio einer Gesellschaft
Bruttodividende im Beispiel 2.75
Gewinn pro Aktie im Beispiel 6.25
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Bruttodividende(pro Aktie)
Gewinn(pro Aktie)
= 0.40 = 40.00%
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2.75
= 0.44 = 44.00%
6.25
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Dividendenrendite einer Aktie
Bruttodividende im Beispiel 2.75
Börsenkurs im Beispiel 101.35
Cash-Flow Rendite einer Aktie
Cash-Flow im Beispiel 7.35
Börsenkurs im Beispiel 101.35
Eigenkapitalrendite einer Aktie
2.75
= 0.02713 = 2.71%
101.35
Bruttodividende(pro Aktie)
Börsenkurs(proAktie)
Cash Flow(pro Aktie)
7.35
= 0.07252= 7.25%
101.35
Börsenkurs(proAktie)
Gewinnpro Aktie
DurchschnittlichesEigenkapital (pro Aktie)
6.25
= 0.10 = 10.00%
62.50
Gewinn pro Aktie im Beispiel 6.25
Durchschnittliches Eigenkapital
pro Aktie im Beispiel 62.50
Kurs-Gewinn-Verhältnis (KGV / PE)
mit aktuellem Gewinn
Gewinn
(pro Aktie)
Börsenkurs im Beispiel 101.35
Gewinn im Beispiel 6.25
(anstelle des Gewinnes kann auch der Cash Flow
pro Aktie eingesetzt werden, da diese weniger
manipulierbar ist)
Prozentualer Gewinn im Beispiel
6.1667% = 0.061667
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101.35
= 16.216 ≅ 16.2
6.25
Börsenkurs (pro Aktie)
oder
1
Prozentualer Gewinn (pro Aktie)
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1
= 16.216 ≅ 16.2
0.061667
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Kurs-Gewinn-Verhältnis (KGV / PE)
mit zukünftigem Gewinn (Gewinnschätzung)
Börsenkurs (pro Aktie)
Zukünftigem (geschätzter) Gewinn (pro Aktie)
101.35
= 14.795 ≅ 14.8
6.85
Börsenkurs im Beispiel 101.35
Zukünftiger Gewinn im Beispiel 6.85 (Schätzung)
Kurs-Gewinn-Verhältnis unter
Berücksichtigung des künftigen
Gewinnwachstumes (in % ausgedrückt)
(PEG; Price-Earnings to Growth Ratio)
P/E
Gewinnwachstum pro Aktie
14.8
= 1.233 = 1.23
12
P/E im Beispiel 14.8
Gewinnwachstum im Beispiel 12% = 12
Kurs-Umsatz-Verhältnis (KUV / PS)
Börsenkurs pro Aktie
Umsatz
Börsenkurs im Beispiel = 101.35
Umsatz im Beispiel = 25.25
Kurs-Buchwert-Verhältnis (KUB / PB)
(pro Aktie)
Börsenkurs (pro Aktie)
Buchwert
(pro Aktie)
101.35
= 4.013 = 4.01
25.25
101.35
= 0.651 = 0.65
155.55
Börsenkurs im Beispiel = 101.35
Buchwert im Beispiel = 155.55
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Kurs-Substanzwert-Verhältnis (KSV)
Börsenkurspro Aktie
Substanzwert
(pro Aktie)
101.35
= 0.533 = 0.53
190.00
Börsenkurs im Beispiel = 101.35
Substanzwert im Beispiel = 190.00
(im Substanzwert sind nebst dem Buchwert
noch die stillen Reserven enthalten)
Sparplanberechnung nachschüssig
(Jahresprämie)
(1 + R )n − 1 × S
(1 + 0.0375)20 − 1 × 4'800.00 = 139'283.46
(1 + R )n − 1 × S
(1 + 0.003125)240 − 1 × 400.00 = 142'659.30
((1 + R ) − 1)× (1 + R ) × S
((1 + 0.0375)
R
0.0375
R = einfache Jahresrendite, im Beispiel
3.75% = 0.0375
n = Laufzeit, im Beispiel 20 Jahre
S = Jährlicher Sparbetrag, im Beispiel 4‘800.00
Sparplanberechnung nachschüssig
(Monatsprämie)
R
0.003125
R = einfache Monatsrendite, im Beispiel
0.3125% = 0.003125 0.0375/12
n = Laufzeit, im Beispiel 240 Monate (20 Jahre)
S = Monatlicher Sparbetrag, im Beispiel 400.00
Sparplanberechnung vorschüssig
(Jahresprämie)
n
R
)
− 1 × (1 + R )
× 4'800.00 = 144'506.59
0.0375
20
R = einfache Jahresrendite, im Beispiel
3.75% = 0.0375
n = Laufzeit, im Beispiel 20 Jahre
S = Jährlicher Sparbetrag, im Beispiel 4‘800.00
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Sparplanberechnung vorschüssig
(Monatsprämie)
((1 + R ) − 1)× (1 + R ) × S
n
((1 + 0.003125)
)
− 1 × (1 + 0.003125)
× 400.00 = 143'105.11
0.003125
R
240
R = einfache Monatsrendite, im Beispiel
0.3125% = 0.003125 0.0375/12
n = Laufzeit, im Beispiel 240 Monate (20 Jahre)
S = Monatlicher Sparbetrag, im Beispiel 400.00
Erforderliche nachschüssige Sparquote
(auf Jahresbasis) für bestimmten Endwert
R
((1 + R ) − 1)
n
× bE
0.0375
((1 + 0.0375)
20
) × 139'283.46 = 4'800.00
−1
R = einfache Jahresrendite, im Beispiel
3.75% = 0.0375
n = Laufzeit, im Beispiel 20 Jahre
bE= bestimmter Endwert, im Beispiel 139‘283.46
Erforderliche nachschüssige Sparquote
(auf Monatsbasis) für bestimmten Endwert
R
((1 + R ) − 1)
n
× bE
0.003125
((1 + 0.003125)
240
) × 142'659.30 = 400.00
−1
R = einfache Jahresrendite, im Beispiel
0.3125% = 0.003125 0.0375/12
n = Laufzeit, im Beispiel 240 Monate
bE= bestimmter Endwert, im Beispiel 142‘659.30
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Erforderliche vorschüssige Sparquote
(auf Jahresbasis) für bestimmten Endwert
R
((1 + R ) − 1)× (1 + R )
n
× bE
((1 + 0.0375)
0.0375
20
)
− 1 × (1 + 0.0375)
× 144'506.56 = 4'800.00
R = einfache Jahresrendite, im Beispiel
3.75% = 0.0375
n = Laufzeit, im Beispiel 20 Jahre
bE= bestimmter Endwert, im Beispiel 144‘506.56
Erforderliche vorschüssige Sparquote
(auf Monatsbasis) für bestimmten Endwert
R
((1 + R ) − 1)× (1 + R )
n
× bE
0.003125
((1 + 0.003125)
240
)
− 1 × (1 + 0.003125)
× 143'105.11 = 400.00
R = einfache Jahresrendite, im Beispiel
0.3125% = 0.003125 0.0375/12
n = Laufzeit, im Beispiel 240 Monate
bE= bestimmter Endwert, im Beispiel 143‘105.11
Kapitalbedarf für gewünschte Rente
(nachschüssig auf Jahresbasis) über einen
bestimmten Zeitraum (Annuität)
(1 + R )n − 1 × RB
(1 + R )n × R
(1 + 0.0375)20 − 1 × 24'000.00 = 333'508.90
(1 + 0.0375)20 × 0.0375
R = einfache Jahresrendite, im Beispiel
3.75% = 0.0375
n = Laufzeit, im Beispiel 20 Jahre
RB = Rentenbezug, im Beispiel 24‘000.00
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Kapitalbedarf für gewünschte Rente
(nachschüssig auf Monatsbasis) über einen
bestimmten Zeitraum (Annuität)
(1 + R )n − 1 × RB
(1 + R )n × R
(1 + 0.003125)240 − 1 × 2'000.00 = 337'331.66
(1 + 0.003125)240 × 0.003125
R = einfache Monatsrendite, im Beispiel
0.3125% = 0.003125 0.0375/12
n = Laufzeit, im Beispiel 240 Monate
RB = Rentenbezug, im Beispiel 2‘000.00
Kapitalbedarf für gewünschte Rente
(vorschüssig auf Jahresbasis) über einen
bestimmten Zeitraum (Annuität)
(1 + R )n − 1 × (1 + R ) × RB
(1 + R )n × R
(1 + 0.0375)20 − 1 × (1 + 0.0375) × 24'000.00 = 346'015.48
(1 + 0.0375)20 × 0.0375
(1 + R )n − 1 × (1 + R ) × RB
(1 + R )n × R
(1 + 0.003125)240 − 1 × (1 + 0.003125) × 2'000.00 = 338'385.82
(1 + 0.003125)240 × 0.003125
R = einfache Jahresrendite, im Beispiel
3.75% = 0.0375
n = Laufzeit, im Beispiel 20 Jahre
RB = Rentenbezug, im Beispiel 24‘000.00
Kapitalbedarf für gewünschte Rente
(vorschüssig auf Monatsbasis) über einen
bestimmten Zeitraum (Annuität)
R = einfache Monatsrendite, im Beispiel
0.3125% = 0.003125 0.0375/12
n = Laufzeit, im Beispiel 240 Monate
RB = Rentenbezug, im Beispiel 2‘000.00
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Rentenhöhe (nachschüssig auf Jahresbasis)
bei vorhandenem Kapital über einen
bestimmten Zeitraum
(1 + R )n × R × K
(1 + R )n − 1
(1 + 0.0375)20 × 0.0375 × 333'508.90 = 24'000.00
(1 + 0.0375)20 − 1
(1 + R )n × R × K
(1 + R )n − 1
(1 + 0.003125)240 × 0.003125 × 337'331.66 = 2'000.00
(1 + 0.003125)240 − 1
R = einfache Jahresrendite, im Beispiel 3.75% = 0.0375
n = Laufzeit, im Beispiel 20 Jahre
K = vorhandenes Kapital, im Beispiel 333‘508.90
Rentenhöhe (nachschüssig auf Monatsbasis)
bei vorhandenem Kapital über einen
bestimmten Zeitraum
R = einfache Monatsrendite, im Beispiel
0.3125% = 0.003125 0.0375/12
n = Laufzeit, im Beispiel 240 Monate
K = vorhandenes Kapital, im Beispiel 337‘331.66
Rentenhöhe (vorschüssig auf Jahresbasis)
bei vorhandenem Kapital über einen
bestimmten Zeitraum
(1 + R )n × R
((1 + R )n − 1)× (1 + R ) × K
(1 + 0.0375)20 × 0.0375
((1 + 0.0375)20 − 1)× (1 + 0.0375) × 346'015.45 = 24'000.00
R = einfache Jahresrendite, im Beispiel
3.75% = 0.0375
n = Laufzeit, im Beispiel 20 Jahre
K = vorhandenes Kapital, im Beispiel 346‘015.48
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Rentenhöhe (vorschüssig auf Monatsbasis)
bei vorhandenem Kapital über einen
bestimmten Zeitraum
(1 + R )n × R
((1 + R )n − 1)× (1 + R ) × K
(1 + 0.003125)240 × 0.003125
((1 + 0.003125)240 − 1)× (1 + 0.003125) × 338'385.82 = 2'000.00
R = einfache Monatsrendite, im Beispiel
0.3125% = 0.003125 0.0375/12
n = Laufzeit, im Beispiel 240 Monate
K = vorhandenes Kapital, im Beispiel 338‘385.82
Berechnung der Sharpe Ratio
ri − rf
σi
0.0606 − 0.0198
= 0.2845 = 0.28
0.1434
ri = stetige Portfoliorendite, im Beispiel
6.06% = 0.0606
rf = stetiger risikoloser Zinssatz, im Beispiel
1.98% = 0.0198
σi = Volatilität, im Beispiel 14.34% = 0.1434
Berechnung der Treynor Ratio
ri − rf
βi
0.0606 − 0.0198
= 0.03923 = 3.92%
1.04
ri = stetige Portfoliorendite, im Beispiel
6.06% = 0.0606
rf = stetiger risikoloser Zinssatz, im Beispiel
1.98% = 0.0198
β i = Portfoliobeta, im Beispiel 1.04
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Berechnung des Jensen’s Alpha
ri − (rf + β i × (rm − rf ))
0.0606 − (0.0198 + 1.04 × (0.0653 − 0.0198)) =
− 0.00652 = −0.65%
ri − rb
TE i
0.0606 − 0.0653
= −0.056 = −0.06
0.0825
Portfoliob eta × BR
1.08 × 0.0675 = 0.0729 = 7.29%
ri = stetige Portfoliorendite, im Beispiel
6.06% = 0.0606
rf = stetiger risikoloser Zinssatz, im Beispiel
1.98% = 0.0198
β i = Portfoliobeta, im Beispiel 1.04
rm = stetige Benchmarkrendite, im Beispiel
6.53% = 0.0653
Berechnung der Information Ratio
ri = stetige Portfoliorendite, im Beispiel
6.06% = 0.0606
rb = stetige Benchmarkrendite, im Beispiel
6.53% = 0.0653
TE i = Tracking Error, im Beispiel 8.25% = 0.0825
Berechnung der Portfoliorendite, bezogen
auf das Marktrisiko
Portfoliobeta, im Beispiel 1.08
BR = Benchmarkrendite, im Beispiel 6.75% = 0.0675
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Berechnung des Portfoliobetas
β = Beta, im Beispiel A = 1.07 und B = 0.93
DW = Depotwert, im Beispiel A = 100 und B = 200
GDW = Gesamtdepotwert, im Beispiel 300
1.07 × 100 + 0.93 x 200
= 0.9766 ≅ 0.98
300
β A × DWA + β B x DWt B
GDW
oder
n
Formal kann die Berechnung des Portfoliobetas
auch wie folgt dargestellt werden:
Innerer Wert pro Calloption (bei Ratio)
β Portfolio = ∑ Wi × β i
100
200
× 1.07 +
× 0.93 = 0.9766 ≅ 0.98
300
300
i =1
KB − A
R
45.00 − 40.00
= 0.25
20
KB = Kurs Basiswert, im Beispiel 45.00
A = Ausübungspreis, im Beispiel 40.00
R = Ratio, im Beispiel 20:1
Innerer Wert pro Calloption
(bei Bezugsverhältnis)
(KB − A ) × BV
(45.00 − 40.00) × 0.05 = 0.25
OP − iW
0.40 − 0.25 = 0.15
KB = Kurs Basiswert, im Beispiel 45.00
A = Ausübungspreis, im Beispiel 40.00
BV = Bezugsverhältnis, im Beispiel 1:20
Zeitwert pro Calloption
OP = Optionsprämie, im Beispiel 0.40
iW = innerer Wert, im Beispiel 0.25
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Innerer Wert pro Putoption (bei Ratio)
A − KB
R
45.00 − 40.00
= 0.25
20
(A - KB) × BV
(45.00 − 40.00) × 0.05 = 0.25
OP − iW
0.40 − 0.25 = 0.15
A = Ausübungspreis, im Beispiel 45.00
KB = Kurs Basiswert, im Beispiel 40.00
R = Ratio, im Beispiel 20:1
Innerer Wert pro Putoption
(bei Bezugsverhältnis)
A = Ausübungspreis, im Beispiel 40.00
KB = Kurs Basiswert, im Beispiel 45.00
BV = Bezugsverhältnis, im Beispiel 1:20
Zeitwert pro Putoption
OP = Optionsprämie, im Beispiel 0.40
iW = innerer Wert, im Beispiel 0.25
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