Festigkeitslehre Moroder It

Moroder Daniel
Konstruktionslehre
Klasse 4eB
FESTIGKEITSLEHRE
Schwerpunkte (baricentro)
Der Schwerpunkt ist der Durchgangspunkte der Resultierenden aller Massenkräfte einer
Linie, einer Fläche oder eines Körpers. Im Schwerpunkt eines Körpers kann man sich das
Gewicht desselben konzentriert vorstellen.
S
S
G
Ein im Schwerpunkt unterstützter Körper (Fläche, Linie) befindet sich im indifferenten
Gleichgewicht. Alle Linien durch den Schwerpunkt nennt man Schwerlinien. Der
Schwerpunkt kann rechnerisch oder graphisch ermittelt werden.
Schwerpunkt von Linien
z
S1
z1
z2
zS
S2
S
y1
yS
y2
ys =
L1 ⋅ y1 + L 2 ⋅ y 2
L1 + L 2
zs =
L1 ⋅ z1 + L 2 ⋅ z 2
L1 + L 2
y
Allgemein:
∑ (L ⋅ y )
∑L
∑ (L ⋅ z )
=
∑L
ys =
i
i
i
zs
i
i
i
-1-
Moroder Daniel
Konstruktionslehre
Schwerpunkt von Flächen
z
S3
z3
ys =
A 1 ⋅ y1 + A 2 ⋅ y 2 + A 3 ⋅ y 3
A1 + A 2 + A 3
zs =
A 1 ⋅ z1 + A 2 ⋅ z 2 + A 3 ⋅ z 3
A1 + A 2 + A 3
S1
z1
zS
S
S2
z2
y1
y2 yS
y3
y
Allgemein:
∑ (A ⋅ y )
∑A
∑ (A ⋅ z )
=
∑A
ys =
i
i
i
zs
i
i
i
Beispiel:
z
60
A2
S2
50
40
zS A 1
S
30
S1
20
10
10
20
yS
30
40
50
60
y
70
A 1 = 30 ⋅ 40 = 1200 cm2
A 2 = 20 ⋅ 70 = 1400 cm2
y1 = 15 cm
y 2 = 35 cm
z1 = 20 cm
z 2 = 50 cm
A1 ⋅ y1 + A 2 ⋅ y 2 1200 ⋅ 15 + 1400 ⋅ 35
=
= 25,77 cm
A1 + A 2
1200 + 1400
A ⋅ z + A 2 ⋅ z 2 1200 ⋅ 20 + 1400 ⋅ 35
zs = 1 1
=
= 36,15 cm
A1 + A 2
1200 + 1400
ys =
-2-
Klasse 4eB
Moroder Daniel
Konstruktionslehre
Klasse 4eB
Trägheitsmoment I (momento d´inerzia)
Trägheitsmomente sind Flächenmomente zweiten Grades und ergeben sich aus dem
Produkt von Flächen und dem Quadrat von Längen:
cm 2 ⋅ cm 2 = cm 4
Trägheitsmomente sind rein mathematische Begriffe und nur von der Form und Größe einer
Fläche anhängig.
Man unterscheidet zwischen:
- axialem Trägheitsmoment
- polarem Trägheitsmoment
- zentrifugalem Trägheitsmoment
Das axiale Trägheitsmoment
z
A
∆A1
z1
∆A2
z2
∆A3
z3
y3
y2
y3
y
Iy = ∆A 1 ⋅ z + ∆A 2 ⋅ z 2 + ∆A 3 ⋅ z 3 ...
2
1
2
2
Iz = ∆A 1 ⋅ y1 + ∆A 2 ⋅ y 2 + ∆A 3 ⋅ y 3 ...
2
2
2
Allgemein:
(
)
= ∑ (∆A ⋅ y )
Iy = ∑ ∆A i ⋅ zi
Iz
2
2
i
i
Das axiale Trägheitsmoment ergibt sich aus dem Produkt der Fläche und dem Quadrat der
Abstände zu den Achsen x bzw. y. Durch den Schwerpunkt einer Fläche lassen sich
unendlich viele Schwerachsen legen und damit erhält man ebensoviele verschiedene
Trägheitsmomente (Ausnahme: Kreis und Kreisring).
z
z
z´
z´
y´
y´
y
y
∞ Hauptsymmetrieachsen
Hauptträgheitsachsen
→ Extremwerte
-3-
Moroder Daniel
Konstruktionslehre
Klasse 4eB
Jede Querschnittsfläche hat aber zwei Schwerachsen um die das Trägheitsmoment einmal
ein Maximum und einmal ein Minimum aufweist. Es sind dies die Hauptachsen um die
dazugehörigen Hauptträgheitsmomente.
Diese Hauptachsen haben folgende Eigenschaften:
- sie stehen senkrecht zueinander
- jede Symmetrieachse ist auch Hauptachse
Trägheitsmomente wichtiger Querschnitte
1) Rechteck
b ⋅ h3
12
b3 ⋅ h
Iz =
12
Iy =
z
S
y
h
b
2) Quadrat
z
S
y
Iy = Iz =
b4
12
Iy = Iz =
r4 ⋅ π
4
b
b
3) Vollkreis
z
S
r
y
4) Kreisring
Iy = Iz =
z
S
r
R
(R
y
-4-
4
)
− r4 ⋅ π
4
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Konstruktionslehre
Klasse 4eB
Der Satz von Steiner
Mit dem Satz von Steiner kann das Trägheitsmoment für eine zur Schwerachse parallele
Achse berechnet werden.
Das Trägheitsmoment einer Fläche A für eine zur Schwerachse parallele Achse ist gleich der
Summe aus Eigenträgheitsmoment und dem Produkt aus Fläche A und dem Quadrat des
Abstands beider Achsen.
Übung
z
60
b = 20 cm
h = 30 cm
y S = 35 cm
z´
50
yS A
z S = 30 cm
40
A = 20 ⋅ 30 = 600 cm2
y´
30
20
zS
10
10
20
30
40
50
60
y
70
b ⋅ h3
20 ⋅ 303
2
+ b ⋅ h ⋅ zS =
+ 20 ⋅ 30 ⋅ 35 2 = 780.000 cm 4
12
12
b3 ⋅ h
203 ⋅ 30
2
=
+ b ⋅ h ⋅ yS =
+ 20 ⋅ 30 ⋅ 30 2 = 560.000 cm 4
12
12
Iy = I′y + A ⋅ z S =
2
2
Iz = I′z + A ⋅ y S
Der Trägheitsradius i (raggio d´inerzia)
Er ist eine Größe bei der Bemessung von knickgefährdeten Druckstäben. Der
Trägheitsradius hängt vom Trägheitsmoment und der Querschnittsfläche A ab.
F
z
A
A
iy
y
h
iz
b
iy =
Iy
iz =
Iz
A
A
-5-
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Konstruktionslehre
Klasse 4eB
im Fall eines Rechtecks
Iy =
b ⋅ h3
12
b ⋅ h3
= h ⋅ 0,289
12 ⋅ b ⋅ h
⇒ iy =
Iz =
A = b⋅h
b3 ⋅ h
12
A = b ⋅h
b3 ⋅ h
= b ⋅ 0,289
12 ⋅ b ⋅ h
⇒ iz =
Da ein knickgefährdeter Druckstab stets um die Achse mit dem kleineren Trägheitsmoment
ausknickt, ist für diesen Stabilitätsnachweis der kleinste Trägheitsradius maßgebend imin.
Iz
= imin ⇒ Ausknicken in y-Richtung
A
Iz = Imin ⇒ iz =
Zeichnen wir die Trägheitsradien auf den Hauptachsen ein, erhalten wir die Trägheitsellipse.
Das Widerstandsmoment W (momento di restistenza)
Er ist eine wichtige Größe für die Bemessung von Biegeträgern und für die Ermittlung von
Biegespannungen im Querschnitt. Das Widerstandsmoment ist ein Maß für die
Biegefestigkeit eines Trägers und ist vom Trägheitsmoment, sowie vom größten
Faserabstand von der Spannungslinie aus abhängig.
z
a
S
y
a
b
Spannungslinie
b
W=
I Trägheitsm oment
=
a
Faserabstand
Wy =
Iy
Wz =
a
[w ] = 1 cm 3
Iz
b
im Fall eines Rechtecks
Iy =
b ⋅ h3
12
Iz =
b3 ⋅ h
12
z
y
b
h
h
b ⋅ h3 b ⋅ h2
⇒ Wy =
=
h
6
2
12 ⋅
2
b
b3 ⋅ h b 2 ⋅ h
a = ⇒ Wz =
=
b
2
6
12 ⋅
2
a=
-6-
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Konstruktionslehre
Klasse 4eB
Beanspruchung von Bauteilen
Bauteile müssen auf ihre Beanspruchung hin untersucht werden. Wirken auf ein Tragwerk
äußere Kräfte, so ergeben sich Auflagerkräfte und innere Kräfte, welche den äußeren
Kräften das Gleichgewicht halten. Die Größe der Beanspruchung eines Bauteils ist von den
Schnittkräften (N, Q, M) und von Querschnittsabmessungen abhängig. Ein Maß für die
Beanspruchungen ist die Spannung.
Spannung
Sie ist die innere Kraft bezogen auf die Querschnittfläche A.
Spannung σ =
Innere Kraft
Querschnittsfläche
[σ] = 1 kN2
cm
Je nach Art der Schnittkraft unterscheiden wir zwischen:
Normalspannung
σ=
F
A
z.B. Zugspannung, Druckspannung
F
Tangentialspannung
σ=−
F
A
z.B. Scherspannung, Schubspannung
F
Formänderung
Unter dem Einfluß von Spannungen entstehen an einem Tragwerk Formänderungen. Diese
können zum Beispiel Verlängerungen (infolge von Zugspannungen) oder Verkürzungen
(infolge von Druckspannungen) sein. Formänderungen können elastischer oder plastischer
Natur sein.
Dehnung:
Unter der Dehnung versteht man die Verlängerung ∆l eines Stabes bezogen auf die
ursprüngliche Länge l0.
ε=
Verlängeru ng ∆l
ursprüngliche Länge l0
Durch Verkürzungen entstehen negative Dehnungen, sogenannte Stauchungen.
Beispiel
geg: l1 = 10 m
l2 = 10,20 m
∆l = l1 − l2 = 0,2 m
ε=
∆l 0,2 m
=
= 0,02 ≡ 2%
l0 10 m
-7-
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Konstruktionslehre
Klasse 4eB
Das Hook´sche Gesetz
Aus der Spannungs-Dehnungslinie des Stahls erkennt man, dass der erste Bereich der Linie
geradlinig verläuft. Es ist dies der elastische Bereich des Werkstoffs. Für diesen Bereich gilt
das Hook´sche Gesetz, welches folgendes besagt:
die Dehnungen ε verhalten sich proportional zu den Spannungen σ im elastischen Bereich.
σ
σ1 σ 2 σ 3
=
=
=E
ε1 ε 2
ε3
E…Elastizitätsmodul
σ3
σ2
σ1
ε1 ε2 ε3
ε
E Stahl = 210.000
E Beton = 30.000
N
N
mm 2
mm 2
E Holz (parallel zur Faser) = 10.000
E Holz (senkrecht zur Faser) = 300
N
N
mm 2
mm 2
Längsdehnung
σ=
F
A
E=
σ F ⋅ l0
=
ε A ⋅ ∆l
∆l =
ε=
∆l
l0
F ⋅ l0
E⋅A
2 x 35 x 5 Stäbe
Berechne die Verlängerung der Stäbe!
3,5 m
∆l =
F ⋅ l0
150.000 N ⋅ 350 cm
=
= 0,38 cm
E ⋅ A 2,1⋅ 10 7 N cm2 ⋅ 6,6 cm 2
F = 150 kN
Querdehnung εq
Wird ein Stab gedehnt (z.B. in Folge von Zug) so wird er in der Querrichtung dünner. Wird er
gestaucht (in Folge von Druck) so wird er in Querrichtung dicker.
Die Querdehnzahl η gibt das Verhältnis zwischen Querdehnung (Querstauchung) und
Längsdehnung (Längsstauchung) an.
-8-
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Konstruktionslehre
Klasse 4eB
∆d
∆l
d
∆l = ε ⋅ l 0
∆d = ε q ⋅ d
η=
εq
ε
Beton:
= konstant
η Zug = 0,1 − 0,125
ηDruk = 0,16 − 0,20
Stahl: η = 0,3 − 0,35
Wärmedehnzahl αT
Infolge Erwärmung dehnt sich ein Körper aus. Die Wärmedehnzahl gibt die Längenänderung
eines 1 m langen Stabes bei einer Temperaturänderung von 1°C an.
∆ lT = α
⋅ l0 ⋅ ∆ T
T
α Stahl = 1,2 ⋅ 10 −5
m
m°K
Beispiel:
Berechne die Längenänderung eines 12 m langen Stahlstütze bei folgenden T:
Montage: 20°C
am Bau: -20°C
∆T = 20° − (− 20°) = 40°K
∆l T = α T ⋅ l 0 ⋅ ∆T = 1,2 ⋅ 10 −5
m
⋅ 12m ⋅ 40°K = 0,006 m = 6 mm
m°K
Spannungsarten
Bei den Spannungen unterscheidet man zwischen Normal- und Tangentialspannungen.
1. Normalspannungen σ
Sie werden erzeugt durch Schnittkräfte die senkrecht zur Querschnittsfläche wirken, z.B.
Normalkräfte, Biegemomente, Temperatureinwirkungen. Als Normalspannungen gelten:
Zug-, Druck-, Knick- und Temperaturspannungen. Sie verursachen eine
Hauptverformung der Querschnittsteilchen in Richtung der Stabachse.
1.1 Zugspannung σZ
Wirken auf einen Stab Zugkräfte ein, so kommt es im Querschnitt zu
Zugspannungen. Zugspannungen erhalten ein positives Vorzeichen.
2
1
F
2
1
2
1
2
σZ =
σ1
1
σ2 > σ2
σ2
F
Kraft
=
A n Nettofläche
-9-
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Konstruktionslehre
Klasse 4eB
Bei der Bemessung von Zugstäben, z.B. bei Holz oder Stahl muss nachgewiesen
werden, dass die auftretende Zugspannung σ Z ≤ der zulässigen Zugspannung σ Z
ist.
Die zulässige Zugspannung ist die um den Sicherheitsfaktor Sf reduzierte
Zugfestigkeit und darf von den vorhandenen Zugspannungen nicht überschritten
werden.
σ Z vorh ≤ σ Z
Fe 360 (St 37) → σ Z = 16 kN cm
I 140 → A = 18,2 cm
σZ =
I 140
2
2
F
= 20,33 kN cm2 > 16 kN cm2
An
F = 370 kN
Bedingung:
σZ =
F
≤ σZ
An
⇒ An ≥
F
370kN
=
= 23,13 cm 2
kN
16
σZ
cm2
aus Tabelle: I 180 A = 27,9 cm2
Nachweis:
F
σ Z vorhanden =
A effektiv
=
370 kN
= 13,26 kN cm2 < σ Z = 16 kN cm2
27,9 cm 2
1.2 Druckspannung σD
Wirken auf einen Stab Druckkräfte ein, so entstehen
Druckspannungen, sie erhalten ein negatives Vorzeichen.
im
Querschnitt
1
F
1
1
1
Als Fläche wird die Nettofläche eingesetzt (Querschnitt - Löcher), es sei denn, die
Löcher sind mit mindestens gleich festen Stoffen ausgefüllt.
σD = −
F
An
Bei der Bemessung von einfachen Druckelementen (keine Knickgefahr) muss
nachgewiesen werden, dass die auftretende Druckspannung σ D ≤ der zulässigen
Druckspannung σ D ist.
σD vorh ≤ σD
- 10 -
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Konstruktionslehre
Klasse 4eB
1.3 Temperaturspannungen σT
Ist ein Tragwerk Temperaturschwankungen ausgesetzt so erfährt es, wenn die
Lagerung es zulässt, eine bestimmte Längenänderung.
∆l = ± α T ⋅ l 0 ⋅ ∆T
Wird dieses Tragwerk an der Längsänderung gehindert (festes Auflager oder
Einspannung), so entstehen im Querschnitt Spannungen. Es sind dies
Temperaturspannungen und entsprechen einer inneren Längskräft.
E=
σ
∆l
α ⋅ l ⋅ ∆T
⇒σ=E⋅ε =E⋅ =E⋅ T 0
l0
l0
ε
σ T = E ⋅ α T ⋅ ∆T
Die auftretenden Temperaturspannungen sind somit entweder Zug- oder
Druckspannungen und werden durch die Temperaturänderungen ∆T verursacht.
Beispiel
Montage: 20°C
später: 40°C
I 100
∆T = 20°K
4m
E Stahl = 2,1⋅ 10 5 kN mm 2
α T Stahl = 1,2 ⋅ 10 −5 m m°K
σ T = E ⋅ α T ⋅ ∆T = 50,4 N mm 2 = 5,04 kN cm2 ≤ 16 kN cm2
1.4 Knickspannung σK
Bei sehr schlanken Druckstäben kann es bereits im Bereich unterhalb der zulässigen
Druckspannung infolge übermäßiger Verformung zum Versagen des Tragwerkes
kommen, obwohl σ D noch gar nicht erreicht ist.
σK = ω ⋅
F
A
F
F
zusätzliches Moment
Die Gefahr des Ausknicknes hängt ab von:
- Material des Stabes
- Querschnittsfläche
- Länge des Stabes
- Lagerung des Stabes
- 11 -
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Konstruktionslehre
Klasse 4eB
Die Knicklänge sK
Die Knicklänge ist die Länge des Stabes, die bei der Druckbelastung frei Ausknicken
kann. Von Euler (1744) wurde die Knicklänge von 4 verschiedenen Lagerungsfällen
hergeleitet.
1. Eulerfall
einseitige Einspannung + freies Lager
F
F
sK = 2 ⋅ l
l
2. Eulerfall
2 feste Auflager
F
sK = l
l
3. Eulerfall
1 festes Auflager + 1 Eingespanntes
F
sK = 0,7 ⋅ l
l
4. Eulerfall
2 eingespannte Auflager
F
sK = 0,5 ⋅ l
l
Die Schlankheit λ
Der Schlankheitsgrad λ gibt de Knickempfindlichkeit eines Druckstabes in
Abhängigkeit von Stablänge, Lagerungsart und Querschnitt.
- 12 -
Moroder Daniel
λ=
Konstruktionslehre
sK
Knicklänge
=
i
Trägheitsradius
Das Ausknicken eines
Trägheitsradiuses.
λ=
Klasse 4eB
Druckstabes
erfolgt
immer
entlang
des
kleinsten
z
sK
imin
iy
y
iz
Ausschlaggebend für den Knicknachweis ist der kleinste Trägheistradius (iy), daraus
folgt nämlich der größte Schlankheitgrad λmax.
Die Knickzahl ω
Über den Schlankheitsgrad λ kann in Abhängigkeit zum Werkstoff die Knickzahl ω
aus Tabellen entnommen werden. Die Knickzahl drückt das Verhältnis der einfachen
zulässigen Druckspannung zur zulässigen Knickspannung aus.
ω=
σ D zul
σ K zul
Beispiel:
F = 180 kN
Stahlstütze Fe 360
HE-B 200
iy
4,0 m
iz
→ 2. Eulerfall
sK = l = 400 cm
→ λ = sK = 400 cm = 78,90 ≈ 79
max
imin 5,07 cm
→ Tabelle
ω = 1,53
→ σ = ω ⋅ F = 1,53 ⋅ 180 kN = 3,53 kN 2 < 16 kN 2
K
cm
cm
A
78,1 cm2
1.5 Biegespannung
Werden Bauteile auf Biegung beansprucht, entstehen im Querschnitt
Biegespannungen. Infolge von Belastung erfährt ein Biegeträger eine Durchbiegung,
die im oberen Teil zu Stauchungen und im unteren Teil zu Dehnungen führt.
Wo Dehnungen auftreten herrschen Zugspannungen, wo Stauchungen auftreten
herrschen Druckspannungen. Wo Dehnungen in Stauchungen übergehen hat man
eine spannungsfreie Faser, die sogenannten Spannungsnulllinie. Diese fällt bei
Biegeträgern mit der Schwerachse des Querschnitts zusammen, die Zug- bzw.
Druckspannung nimmt zu den Rändern hin linear zu.
Träger unbelastet
1
2
gerade Stabachse
1
2
l
- 13 -
Moroder Daniel
Konstruktionslehre
Klasse 4eB
Träger belastet
2
1
gekrümmte Stabachse
Druck
Zug
1
2
l
Vorderansicht
Seitenansicht
anfallende Spannungen
σD
weil Stauchung
D
fhj
neutrale Faser
h
fhj
+
σZ
2
3
⋅ h2
2
3
⋅ h2
fhj
2
3
h=z
Z
weil Dehnung
b
Kraft Z bzw. D = Volumenkeil
h 1 σ ⋅b ⋅h
⇒ Z = σZ ⋅ b ⋅ ⋅ = Z
2 2
4
h 2
b ⋅ h2
M = Z ⋅ z = σZ ⋅ b ⋅ ⋅ ⋅ h = σZ ⋅
4 3
6
M
⇒ M = σ Z ⋅ Wu bzw. σ Z =
Wu
σo
D
h
2
Spannung =
Z
Kraft
⇒ Kraft = Spannung ⋅ Fläche
Fläche
σu
b
Merke:
äußere Kräfte bewirken eine Durchbiegung,
daraus ergibt sich ein äußeres maximales Moment
M (→ Stoff der 3. Klasse).
Die inneren Kräfte müssen durch das Kräftepaar
Zug- und Druckkraft ein mindestens gleich großes
inneres Moment aufbringen.
Mmax
M = Z⋅z = D⋅z
äußeres
Moment
innere
Zugkraft
M
σ=
W
- 14 -
innere
Druckkraft
Moroder Daniel
Konstruktionslehre
Klasse 4eB
Beispiel 1:
F = 10 kN
30 cm
AV
BV
4m
20 cm
Überprüfe, ob im betreffenden Fall die Biegespannungen im Holzträger noch zulässig
ist.
1) Berechnen des maximalen Feldmomentes
Mmax =
F
⋅ 2 m = 10 kNm
2
2) Berechnung des Widerstandmomentes
W=
3) σ B =
b ⋅ h 2 20 cm ⋅ 30 2 cm
=
= 3000 cm 3
6
6
M 10 kN ⋅ 100 cm
=
= 0,33 kN cm2 ≤ 1 kN cm2
W
3000 cm
Beispiel 2:
Wählen sie die richtige Balkenhöhe und berechnen sie die vorhandenen
Biegespannung
F = 10 kN
h=?
AV
BV
4m
20 cm
1) Berechnen des maximalen Feldmomentes
Mmax =
F
⋅ 2 m = 10 kNm
2
M
≤ σB
W
M 1000 kNcm
⇒W≥
=
= 1000 cm 3
kN
1
σB
cm2
2) σ =
⇒h≥
W ⋅6
1000 cm 3 ⋅ 6
≥
= 17,32 cm ≈ h = 18 cm
b
20 cm
b ⋅ h2
= 1080 cm 3
6
M
1000 kNcm
=
=
= 0,93 kN cm2 < σ B = 1 kN cm2
W vorh.
1080 cm 3
W vorhanden =
σ B vorhanden
Spannung bei Längskraft und Biegung
Häufig treten im Querschnitt Zug- bzw. Druckspannungen und Biegespannungen
gleichzeitig auf, da es sich bei beiden Spannungsarten um Normalspannungen
handelt, können diese addiert werden.
- 15 -
Moroder Daniel
Konstruktionslehre
Klasse 4eB
F
N
F
+
σD,M =
N
M
W
N
A
σ Z,N =
σ D,M − σ D,N
Spannungsnulllinie
+
σ Z,M =
σM,N =
=
M
W
σ Z,N =
σ Z,M − σ Z,N
N
A
M N
±
W A
Während bei einfachen Biegungen die Spannungsnulllinie mit der Spannungsachse
zusammenfällt, verschiebt sich bei Spannungsüberlagerung die Spannungsnulllinie.
Beispiel:
q = 10 kN/m
AH
N
Überprüfe die Spannung für eine HEB 220
q⋅l
= 35 kN
2
A H = N = 100 kN
7m
A V = BV =
+
q ⋅ l2
= 61,25 kNm
8
HE-B:
A = 91 cm 2
BV
AV
Mmax =
N
100 kN
Wy = 736 cm3
N 100 kN
=
= 1,1kN cm2
A 91 cm2
M 6125 kNcm
=
=
= ± 8,32 kN cm2
W
736 cm3
σ Z,N =
Q
35 kN
-35 kN
σB,M
+
→ gefährlichste Faser
→ Mitte des Trägers
Spannung in Faser unten
M
σ Z ges = σ Z,N + σ Z,M = 1,1 kN cm2 + 8,32 kN cm2 = 9,42 kN cm2 ≤ σ Z
+
Spannung in Faser oben
61,25 kNm
σZ,N = 1,1kN cm2 σD,M = 8,32 kN cm2
σ Z ,N = 1,1 kN cm 2
σD ges = σD,N − σD,M = 1,1 kN cm2 − 8,32 kN cm2 = −7,22 kN cm2 ≤ σZ
σD = σD,M − σZ,N = −7,22 kN cm2
σ Z = σ Z,M + σ Z,M = 9,42 kN cm2
σZ,M = 8,32 kN cm2
- 16 -
Moroder Daniel
Konstruktionslehre
Klasse 4eB
2. Tangentialspannungen τ
Sie werden erzeugt durch Schnittkräfte, die in Richtung der Querschnittsfläche wirken,
wie z.B. die Querkraft. Tangentialspannungen entstehen bei der Verschiebung, dem
Abscheren und dem Verdrehen der Querschnittsteilchen gegeneinander.
Zu den Tangentialspannungen zählen:
1. Schubspannungen
Schubspannung
2. Scherspannungen
Schubspannung
3. Torsionsspannungen
2.1 Schubspannung τV = τH
Infolge Belastung eines Trägers, quer zur Stabachse, entstehen außer den
Biegemomenten auch Querkräfte, diese verursachen eine Verschiebung
nebeneinanderliegender Querschnitte und es entstehen in der Querschnittsfläche
Querschubsspannungen τV. Da sich der Träger unter der Belastung durchbiegt, die
oberen Fasern gedrückt und die unteren Fasern gezogen werden, kommt es auch zur
Verschiebung
übereinanderliegender
Querschnitte.
Es
entstehen
Längsschubspannungen τH in Richtung zur Stabachse. In jeder Stelle des Trägers gilt
τV = τH.
Querschubspannung
τV = 0 weil Q = 0
τV = τH
τH = 0 weil keine gegenseitige
Verschiebung
- 17 -
Längsschubspannung
Moroder Daniel
Konstruktionslehre
Klasse 4eB
Diese Schubspannungen sind weder über die Trägerhöhe noch über die Trägerlänge
gleichmäßig verteilt. Die größten Schubspannungen treten in der Spannungsnulllinie
auf; am unteren und oberen Trägerrand sind sie gleich null.
τ V = τH =
Q⋅S
b ⋅I
Q… Querkraft
S… statisches Moment des unterhalb der
untersuchten Faser liegenden Trägerteils
bezogen auf die Nullfaser (Fläche unterhalb der Faser x
dem Abstand der Schwerpunkt der Fläche und der Faser)
I… gesamte Trägheitsmoment
b… Breite der untersuchten Faser
τ… Schubspannung in der untersuchten Faser
im Fall eines Rechtecks:
z
τ=
y
h
Q ⋅ S Q ⋅ (b ⋅ h2 ⋅ h4 ) Q ⋅ 32
=
=
=
⋅h3
b ⋅I
b ⋅h
b ⋅ b12
Q
A
= 1,5 ⋅
b
Beispiel:
q=6
AV
kN
/m
BV
-12 kN
Q
12 kN
14
0,037
26 1
1
2
2
3
3
0,049
0,037
Q ⋅ S1−1
= 0,049 kN cm2
b ⋅I
Q ⋅ S 2−2
=
= 0,037 kN cm2
b ⋅I
Q ⋅ S 3 −3
=
= 0 kN cm2
b ⋅I
τ1−1 =
τ 2−2
τ 3 −3
Q = 12 kN
S1−1 = 14 ⋅ 13 ⋅ 132 = 1183 cm³
S 2−2 = 14 ⋅ 6,5 ⋅ 9,75 = 887 cm³
S 3 −3 = 0
b = 14 cm
b ⋅ h3
I=
= 20505 cm 4
12
- 18 -
Moroder Daniel
Konstruktionslehre
Klasse 4eB
2.1 Scherspannung τA
Sie treten in der Querschnittsfläche zwischen 2 Stabteilen auf, die auf Abscherung
beansprucht werden. Es darf angenommen werden, dass Scherspannungen
gleichmäßig über den Querschnitt verteilt sind.
Scherfläche A
Z
Z
τA =
Z
≤ τA
A
Die Biegelinie
1. Träger auf zwei Stützen
Die Winkeländerung der Biegelinie eines Trägers auf zwei Stützen kann nach dem
Moohr’schen Satz ermittelt werden.
F
a
b
β
α
…Tangenten
Winkeländerungen:
Winkeländerungen α und β sind die Winkel zwischen den Tangenten zur Biegelinie und
der Stabachse. Der Winkel α (β) ist gleich der Auflagerreaktion A (B) die sich aus dem
mit der Momentenlinie belasteten Träger ergibt, dividiert durch E ⋅ I.
α=
A
E ⋅I
β=
B
E ⋅I
Durchbiegung:
Die Durchbiegung an irgend einer Stelle des Trägers auf zwei Stützen erhält man, wenn
man den Träger mit seiner Momentenlinie belastet und für die betreffenden Stelle das
Biegemoment M berechnet und durch E ⋅ I dividiert.
fx =
Mx
E ⋅I
- 19 -
Moroder Daniel
Konstruktionslehre
Klasse 4eB
Beispiel:
F = 10 kN
AV
BV
A V = B V = 5 kN
Mmax =
-5 kN
Q
F⋅l
= 10 kNm
4
Bemessung:
5 kN
σB =
M
M
≤ σB
W
⇒W≥
M
σB
= 62,5 cm 3
gewählt: IPE-Profil 140 → Wy = 77,3 cm3
Iy = 541 cm4
10 kNm
Nachweise:
σB =
τ=
M 1000 kNcm
=
= 12,94 kN cm ² ≤ σ B = 16 kN cm ²
W
77,3 cm 3
Q⋅S
5 kN ⋅ 44,2 cm 3
=
= 0,87 kN cm ² ≤ τ = 9,2 kN cm ²
b ⋅I
0,47 cm ⋅ 541 cm
A=B=
10 kNm
AV
10 kNm 2
= 0,009
21000 kN cm2 ⋅ 541 cm 4
⇒ tan −1 0,009 = 0,5°
BV
M ( l 2 ) = 13,3 kNm 3
13,3 kN ⋅ 10 6 cm 3
M
f( l 2 ) =
=
= 1,17 cm
E ⋅ I 21000 kN cm3 ⋅ 541 cm 4
M = 13,3 kNm
Alternative aus Tabellenbuch (Wenderhorst S. 327)
f=
1 F a2 ⋅ b2
⋅
⋅
= 1,174 cm
3 E ⋅I
l
2. Kragträger
f
F
α
Es gilt: der Winkel α ist gleich dem Inhalt der Momentenfläche dividiert durch E ⋅ I.
α=
F(M)
E ⋅I
- 20 -
Moroder Daniel
Konstruktionslehre
Klasse 4eB
Die Durchbiegung f an der Spitze des Kragträgers ist gleich dem Moment des mit der
Momentenfläche belasteten Trägers in Bezug auf das freie Trägerende dividiert durch
E ⋅ I.
f=
MS
E ⋅I
Beispiel:
F = 20 kN
F = 10 kN
MA
AV
A V = 30 kN
2m
M A = 70 kNm
M
σB =
≤ σB
W
1m
Q
gewählt: I-Profil 260 →
30 kN
10 kN
-70 kNm
-10 kNm
M
MS
Nachweise:
σB =
τ=
M 7000 kNcm
=
= 15,84 kN cm ² ≤ σ B = 16 kN cm ²
3
W
442 cm
Q⋅S
30 kN ⋅ 257 cm 3
=
= 1,43 kN cm ² ≤ τ = 9,2 kN cm ²
b ⋅I
0,94 cm ⋅ 5740 cm
Winkeländerung:
F(M ) = 10 kNm ⋅ 1 m ⋅ 21 + 70 kNm2+10 kNm ⋅ 2 m = 85 kNm 2
α = tan −1
F(M)
E ⋅I
= 0,04°
Durchbiegung:
M S = 183,33 kNm 2
f=
⇒W≥
MS
183,33 kN ⋅ 10 6 cm 3
=
= 1,52 cm
E ⋅ I 21000 kN cm2 ⋅ 5740 cm 4
- 21 -
M
σB
= 437,5 cm 3
Wy = 442 cm3
Iy = 5740 cm4
S = 257 cm3
s = b = 9,4 mm
OBERSCHULE FÜR GEOMETER „PETER ANICH“, BOZEN
- Fachrichtung Baubetrieb -
Skripte aus 5 Jahren
Oberschule
Diese Arbeit soll als didaktische Unterlage für den Schulunterricht oder als
Nachschlagewerk dienen.
Diese Arbeit erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Ich weise jegliche
Verantwortung in Bezug auf Inhaltsfehler und Fehlen von Textteilen von mir. Ich bitte
aber darum, mir alle Fehler mitzuteilen, damit ich die Unterlagen verbessern und
erweitern kann.
Die Vervielfältigung ist mit Quellenangabe erlaubt. Die Dokumente dürfen ohne
Erlaubnis meinerseits nicht verändert werden.
Moroder Daniel
Tinderlaweg 13A
39046 St. Ulrich
[email protected]
St. Ulrich, September 2001