AP Repetition
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AP Repetition
Abschlussprüfungsaufgaben Termumformungen 1. x2 + 3xy : (x + 3y) 3 2. 2a2 a − 2 a+1 a −1 3. 3x2 − 30x + 75 3(x2 − 25) 4. a a : 3a − 3 2a − 2 5. 8x − 2y 4,5y − 3x + 4x + 4y 3x + 3y 6. 2n + 2 4n + 4 : n+ 2 4 − n2 7. r(p + t) 10s2 ⋅ 2 4s r p + r2t 8. c−d d−c c+d − : 2 c+d cd c 9. 8p −10 p − 3p − 4 6p − 8 10. c2 − 3c −10 (c − 5) : c2 − 4 Diverses mit Termen 11. Der Mittelwert der vier Terme 12. Gib alle natürlichen Zahlen an, welche die folgenden Bedingungen nicht erfüllen: 2 + 13. s , s+1 , 3s+5 , 7s+10 ist 22. Berechne s. 20x −15 > 25 3 Bestimme die vier grössten ganzen Zahlen, welche die Ungleichung erfüllen: 3− x 5 − 3x x −1 < − 5 3 6 14. Bestimme den Definitionsbereich für folgende Gleichung: 4x = 15. 33 104 − x + x−6 4 − x2 2 Faktorisiere den folgenden Term vollständig: 5m6 − 50m5 + 125m4 16. Bei einem Bruch ist der Zähler um 5 grösser als der Nenner. Der Wert des Bruches ist 29 grösser als . Berechne den grössten möglichen Nenner. 28 17. Welche natürlichen Zahlen erfüllen folgende Ungleichung? 8x − 3 3 + 2x − < 0 8 3 18. Bestimme die vier grössten ganzzahligen Lösungen: 10x − 4 7− x + 1− x < 8 6 19. Für welche Werte von s ist der folgende Term nicht definiert? 2 3 4 + 5 − 2 s − 3s s + 5s s −4 2 20. Welche negativen ganzen Zahlen erfüllen folgende Ungleichung? 4x −1 5x + 7 ≤ 8 6 21. Welche durch 3 teilbaren Zahlen erfüllen folgende Ungleichung? Gleichungen - Ungleichungen 22. 9x −1 5 1 = − x−4 x−5 x − 9x + 20 23. x−6 x = x x + 10 24. x 1 6 + = 2x −12 2 x−6 25. x+2 x2 + 2 x = − 2 x 2 26. 5 3 − 2 = 0 x −9 x − 6x + 9 27. 1 1 2 + = x+2 x −1 x 28. 5 3 4 − = 2 x+2 x−2 x −4 29. 10 x+3 = 4x + 3 4x2 + 3x 30. ⎛ a − 3b 3ab − b2 ⎞ ⎜ 2 ⎟ 2 2 2 ⎜ a − b + a − 2ab + b ⎟ ⋅ 1 b2 ⎜ a ⎟ 1+ a ⎜ ⎟ b ⎝ a+b ⎠ a−b 31. m(m −1) 1 m+1 ⋅ 2 1 2m + m+1 − 4 2 m −1 m −1 m −1 32. a+ x 2x ⎡⎛ − ⎞2 ⎛ a − x ⎞2 ⎤ a + x x x−a ⎢⎜ ⎟ − ⎜ ⎟⎥ − 2 ⎢⎣⎝ 2x ⎠ a + x2 ⎝ 2x ⎠ ⎥⎦ x−a 33. x3 − 2x −1 − x x2 −1 2 2 Doppelbrüche m −1− = 4 2x2 x− 1+ x ⎛1 a − 2abc + (bc) b ⎞ ⋅ ⎜ + ⎟ a a + ab c a − bc ⎠ ⎝ − c a+ c 2 34. 36. 2 35. x+a 2 x − b + 3bx − x x−a bx − b2 1− x+b 1− 37. x −p r − 1 = p 1− x 1 c 1 1 − 2 c c 1 4r 1 2 (x + r) − (x − r)2 − 1 Textaufgaben 38. Der Umlauf der Erde um die Sonne dauert 365,25 Tage. Während die Erde acht Umläufe um die Sonne macht, umkreist der Planet Venus diese 13 Mal. In wie viel Tagen und Stunden kreist die Venus einmal um die Sonne? 39. Laura kauft im Schwimmbad am Kiosk Süssigkeiten. Es gibt Lakritzstangen für 50 Rappen pro Stück, Kaugummikugeln für 10 Rappen pro Stück und Schleckstängel für 1.20 Franken pro Stück. Laura kauft doppelt so viele Kaugummikugeln wie Lakritzstangen. Insgesamt kauft sie 29 Süssigkeiten und bezahlt Fr. 11.60. Wie viele Süssigkeiten kauft Laura pro Sorte? 40. Daniela und Kevin schätzten die Zeit für die Heimreise mit dem Velo. Daniela sagte eindreiviertel Stunden voraus, Kevin schlug eineinhalb Stunden vor. Die effektive Fahrzeit lag zwischen den beiden Schätzwerten. Kevin schätzte 2,75 mal so weit daneben wie Daniela. Wie lange dauerte die Heimfahrt? 41. Werner besorgt für ein Schülerfest Orangensaft, Mineralwasser und Coca-Cola, insgesamt 300 Flaschen. Mineralwasser bestellt er 60 Flaschen weniger als Coca-Cola und doppelt so viele wie vom Orangensaft. Wie viele Flaschen Orangensaft stellt er bereit? 42. Für den Sporttag einer Schule sind Wettbewerbe im Rollbrett- und im Scooterfahren ausgeschrieben. Es melden sich 96 Kinder an. Ein Rollbrett hat vier Rollen, ein Scooter zwei. Zusammen haben die Rollbretter sechsmal so viele Rollen wie die Scooter. Wie viele Kinder nehmen am Scooterwettbewerb teil, wenn jedes Kind nur einen Wettbewerb bestreitet? 43. Eine Strecke ist in zwei Teile geteilt, deren Längen sich wie 5 : 3 verhalten. Man weiss, dass das erste Teilstück 8,40 m länger ist als das zweite. Wie viele Meter misst der längere Teil? 44. Eine Gruppe von Pfadfinderinnen bereitet das Material für ein Zeltlager vor. Sie verfügt über Vierer- und über Sechserzelte, insgesamt 39 Zelte. Ein Drittel der Anzahl Schlafplätze in den Viererzelten ist um 13 grösser als die Hälfte der Anzahl Plätze in den Sechserzelten. Wie viele Zelte jeder Grösse sind vorhanden? 45. Der Winkel α eines Dreiecks ist 2 -mal 3 so gross wie β. Der Winkel γ ist der Mittelwert aus den beiden anderen. Berechne die drei Winkel. 46. Der Nenner eines Bruches ist um 240 grösser als der Zähler. Wenn man zum Zähler 1'200 addiert und den Nenner belässt, so erhält man den Kehrwert des Bruches. Berechne den Zähler des ursprünglichen Bruches. 47. Die Summe von 4 natürlichen Zahlen beträgt 172. Die zweite Zahl ist 40 % grösser als die erste, die dritte Zahl ist um 110 grösser als die zweite und die vierte Zahl ist der Mittelwert der anderen drei Zahlen. Berechne die erste Zahl. Prozentrechnen - Zinsrechnen 48. Zwei Kapitalien von Fr. 5'410.- und Fr. 1'350.- brachten in einem Jahr zusammen Fr. 155.45 Zins. Das zweite war um 1,5 % höher verzinst als das erste. Zu wie viel Prozent wurde das zweite Kapital verzinst? 49. Bei einem Kaffeegeschirr wurde der Preis nach einem Jahr um 30 %, nach einem weiteren Jahr noch einmal um 20 % erhöht. Um wie viele Prozente müsste man danach den Preis senken, um wieder den Anfangspreis zu erhalten? 50. Als sich Albert Einsteins Freund Kurt Gödel um das amerikanische Bürgerrecht bewirbt, hat er Fragen zur Geschichte zu beantworten. Nach der Befragung sagt er: "Weil ich anfänglich nervös war, konnte ich von den ersten 10 Fragen nur zwei richtig beantworten. Bei den übrigen Fragen habe ich 80 % Richtige erreicht und damit zwei Drittel aller Fragen korrekt beantwortet." Wie viele Fragen wurden gestellt? 51. Beim Kauf eines 1'990 Fr. teuren Computers entschliesst sich Frau Steiger, eine Anzahlung von 20 % des Preises zu machen. Für den Rest vereinbart sie mit dem Geschäftsführer 24 monatliche Raten zu Fr. 75.-. Hätte sie bar bezahlt, wäre ihr ein Rabatt von 3 % gewährt worden. Um wie viele Prozent ist der von Frau Steiger ausgegebene Betrag grösser als der Barzahlungspreis? 52. Der Verkaufspreis eines Handys wurde im letzten Jahr wegen der herrschenden Konkurrenz um 20 % gesenkt. Im Januar 2001 wurde der Preis wegen der grossen Nachfrage um 10 % erhöht. Heute wird das Gerät mit 5 % Rabatt für Fr. 313.50 verkauft. Wie viel kostete das Handy vor der Preissenkung im Jahr 2000? 53. Der Rohölpreis wird in Dollar pro Barrel (1 Barrel = 159 Liter) angegeben. Im Februar 1999 lag dieser Wert bei 9,63 $. Bis September 1999 stieg er auf 23,86 $. Berechne die Preissteigerung von Februar bis September 1999 in Prozent. Um wie viele Prozente müsste der Rohölpreis danach wieder fallen, um den gleichen Stand wie im Februar 99 zu erreichen? 54. Erna will ein Auto mieten und vergleicht zwei Angebote. Die Firma A verlangt Fr. 45 als Grundgebühr und 40 Rappen pro gefahrenen Kilometer, bei der Firma B lauten die entsprechenden Beträge Fr. 85.- und 35 Rappen. Bei beiden Angeboten kommen die Benzinkosten dazu, der Wagen der Firma A verbraucht im Durchschnitt 9 Liter auf 100 km, jener von B benötigt durchschnittlich 8 Liter. Wie viele Kilometer müsste Erna mindestens zurücklegen, damit das Angebot von B mindestens 5 % günstiger ist als jenes von A? Rechne mit einem Benzinpreis von Fr. 1.20 pro Liter. 55. Frau Gut hat ihr Erspartes von Fr. 62'100.- anfangs eines Jahres in zwei Teilen angelegt, den einen zu 3 %, den anderen zu 4 %. Wenn am Ende des Jahres jeder Bruttozins zu seinem Kapital hinzugefügt wird, so werden die bei den Guthaben gleich gross. Wie gross waren die beiden Teile anfangs Jahr? 56. Zwei Kapitalien von 7'200 Fr. und 8'800 Fr. ergeben zusammen einen Jahreszins von 470 Fr. Das grössere Kapital wird um 1,25 % höher verzinst als das kleinere. Zu welchen Zinssätzen werden die Kapitalien verzinst? 57. Nachdem die Bank den Hypothekarzinssatz von 4,5 % auf 3,75 % gesenkt hat, muss Frau Hauser monatlich 280 Fr. weniger Zins bezahlen. Berechne Frau Hausers Hypothekarschuld. Konstruktionen 58. Konstruiere ein Dreieck ABC mit α = 33°, hc = 4,2 cm und sa = 8,5 cm. 59. Konstruiere das Trapez ABCD, für das gilt: C (4/2) , P (-4/-1) ∈ AB , BC = 5,7cm und AC = 10cm , Winkel CBA = 52° , AD = CD . Die Längeneinheit im Koordinatensystem beträgt beträgt 1cm. 60. Gegeben sind die Punkte P und Q mit PQ = 9cm. Konstruiere durch P eine Gerade, welche von Q einen Abstand von 4cm hat. 61. Konstruiere das Viereck ABCD, für das gilt: Ma (3,5/-3) und Md (-1/-2) sind die Mittelpunkte der Seiten AB und AD , P (6/-1,5) ∈ AB , Winkel BAD = 73° und Winkel DCB = 65° , C (2/?) . 62. Konstruiere im Innern des Dreiecks ABC mit a = 9cm, b = 8cm und c = 10cm den Punkt, von dem aus die Seite a unter einem Winkel von 110° erscheint und der gleich weit von A und B entfernt ist. 63. Spiegelt man das gleichschenklige Trapez ABCD mit A (-5/1), B (2/6) und D (-6/6) an der Geraden g, so wird M’ (4/0) zum Umkreismittelpunkt des gespiegelten Trapezes. Konstruiere die Spiegelachse g und das gespiegelte Trapez A’B’C’D’. 64. Konstruiere ein Parallelogramm ABCD mit den beiden Diagonalen AC = 9cm, BD = 14cm und dem Winkel ADC = δ = 55°. 65. Gegeben sind die Gerade g = AB, der Punkt P und der Radius r1 eine Kreises k1, der g berührt und durch P geht. Konstruiere k1 und anschliessend den Mittelpunkt M2 des Kreises k2, der den Kreis k1 und die beiden Tangenten von A an k1 berührt. 66. Die Front einer Lagerhalle ist 50m breit. Ein Beobachter steht in einem Abstand von 30m vor dem Gebäude. Er sieht die Front der Halle unter einem Winkel von 65°. Bestimme mögliche Standorte durch eine Konstruktion im Massstab 1 : 500. 67. Konstruiere das Trapez ABCD, welches einen Inkreis mit Radius ρ = 3cm besitzt, mit A (-5/-3), P (-1/-2) ∈ AB, Q (3/2) ∈ BC und dem Winkel β = 40°. 68. Konstruiere das Trapez ABCD mit den Parallelseiten a und c aus a = 8,0cm, c = 4,0cm, d = 5,5cm und dem Winkel ADB = 65°. 69. Vom Dreieck ABC ist bekannt: BC = a = 7cm, 5cm ≤ ha ≤ 6,5cm, hb = 6cm. Konstruiere die Menge aller möglichen Eckpunkte A. 70. Konstruiere das Dreieck ABC mit B (6/2), Mc (1/-1) und dem Schwerpunkt S (-1,5/1,5). 71. Konstruiere ein gleichschenkliges Trapez ABCD mit den Parallelseiten AB und CD, dem Winkel CBA = β = 68°, BC = 6,5cm und den Punkten C (2/5), P (0/-1,8) ∈ AB und R (0/3) ∈ BD. 72. Vom Dreieck ABC sind die Eckpunkte A (-6/2) und B (-3/-6), die Seitenhalbierende sc = 6cm und der Winkel ACB = γ = 65° gegeben. Konstruiere dasjenige Dreieck, bei dem der Punkt C eine positive x-Koordinate hat. Verschiebe es anschliessend parallel so, dass der Punkt C’ auf der x-Achse und der Punkt A’ auf der y-Achse liegt. Geschwindigkeit - Leistung 73. Ein Lift fährt mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 0,6 m/s in einem Wolkenkratzer vom Erdgeschoss bis ins oberste Stockwerk. Oben angekommen fährt er mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 1,5 m/s wieder zurück ins Erdgeschoss. Die beiden Fahrten dauern zusammen 7 Minuten. In welcher Höhe liegt das oberste Stockwerk des Wolkenkratzers? 74. In Princeton legt Albert Einstein seinen 3 km langen Arbeitsweg stets zu Fuss zurück. Einmal bemerkt er genau in der Mitte des Weges, dass er, sofern er seine Geschwindigkeit beibehielte, 6 Minuten zu spät im Institut ankäme. Um wie viel muss er die Geschwindigkeit erhöhen, um noch rechtzeitig einzutreffen, wenn er die erste Weghälfte mit 5 km/h zurückgelegt hat? 75. Am Aargauerfest findet ein Schweinerennen statt. Das Siegerschwein Molly legt die erste Hälfte der Rennstrecke mit einer Geschwindigkeit von 12 km/h zurück, auf der Reststrecke ist seine Geschwindigkeit um 6 km/h grösser. Mit welcher durchschnittlichen Geschwindigkeit legt Molly die gesamte Strecke zurück? 76. In einer Höhe von 2'700 m über Boden springt Hans aus dem Flugzeug. Im freien Fall erreicht er eine mittlere Geschwindigkeit von 50 m/s, bei geöffnetem Fallschirm beträgt seine Geschwindigkeit noch 3 m/s. Wie viele Sekunden nach dem Absprung muss er den Fallschirm öffnen, wenn er genau 195 Sekunden nach seinem Absprung landen will? In welcher Höhe über Boden befindet er sich zum Zeitpunkt des Öffnens? 77. Im Juni 1902 fährt König Eduard mit dem Automobil von London nach Windsor und erreicht dabei eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 32 km/h. Könnte der König diese um 8 km/h steigern, würde er 24 Minuten Fahrzeit einsparen. Berechne die Distanz zwischen London und Windsor. 78. Erna legt eine 200 m lange Strecke mit ihrem neuen Kickboard zurück. Auf dem ersten Teilstück erreicht sie eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 15,5 km/h, auf dem verbleibenden Teil fährt sie durchschnittlich mit 24,5 km/h. Wie lange ist die erste Teilstrecke, wenn die Durchschnittsgeschwindigkeit für die Gesamtstrecke 20 km/h beträgt? 79. Erna legt das erste Viertel einer Strecke mit der Geschwindigkeit v km/h zurück: auf der restlichen Strecke fährt sie durchschnittlich doppelt so schnell. Wie gross muss v sein, damit die Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Strecke 15 km/h beträgt? 80. Ein Stausee hat zwei Zuflüsse. Der eine würde ihn allein in 180 Tagen füllen, der andere allein in 72 Tagen. Im Frühling ist er zu ist? 1 5 gefüllt. Wie lange dauert es, bis er zu 90 % voll 81. Bei der Durchfahrt in Aarau hat das mit durchschnittlich 40 km/h fahrende Spitzenfeld gegenüber den Verfolgern einen Vorsprung von 2 km. Wie lange dauert es, bis die Verfolger zum Spitzenfeld aufschliessen, wenn wir annehmen, dass sie eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 45 km/h einhalten können? 82. Im Moment, wo sich die beiden Spitzenfahrer Ferdy und Hugo 2km vor dem Ziel in Baden befinden, tritt Hugo zum Schlussspurt an und erreicht dabei eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 50 km/h. Ferdy vermag anfänglich nicht mitzuhalten und fährt auf dem ersten Kilometer seines Schlussspurtes mit lediglich 45 km/h. Mit welcher Geschwindigkeit muss Ferdy seinen letzten Kilometer zurücklegen, wenn er gleichzeitig mit Hugo im Ziel sein will? Pythagoras 83. Zwei konzentrische Kreise bilden einen Kreisring. Die längst mögliche Strecke in diesem Ring ist eine Linie, die den inneren Kreis berührt. Wie lang ist diese längst mögliche Strecke, wenn der Kreisring den gleichen Flächeninhalt hat wie der kleinere Kreis? Der Radius des kleineren Kreises beträgt 5cm. Runde das Schlussresultat auf mm. 84. In einem Glaswürfel mit Kantenlänge a = 1 steckt ein Körper, dessen Ecken durch die sechs Flächenmittelpunkte des Würfels gebildet werden. Berechne die Oberfläche dieses Körpers. Nichtaufgehende Wurzeln stehen lassen. 85. In einem Rechteck ABCD hat das Lot (=Senkrechte) von der Ecke B auf die Diagonale e = AC die Länge 3. Der Winkel zwischen diesem Lot und der Seite BC beträgt 30°. Berechne die Länge der Seite BC. Nichtaufgehende Wurzeln stehen lassen. 86. Berechne die Länge des Tangentenabschnittes der Tangente, die vom Punkt P(-13/1) an den Kreis mit dem Mittelpunkt M(7/6) und dem Radius r = 7,4cm gelegt ist (Einheitsstrecke e = 1cm). Runde das Schlussresultat auf mm. 87. Alle Kanten eines Prismas mit dreieckiger Grundfläche haben die Länge a. Drücke das Volumen diese Prismas durch a aus. Nichtaufgehende Wurzeln stehen lassen. 88. Alle Kanten eines Prismas haben die Länge k, seine Grundfläche ist ein regelmässiges Sechseck. Drücke die Oberfläche des Prismas durch k aus. Nichtaufgehende Wurzeln stehen lassen. 89. Berechne die Seite c = AB des Dreiecks ABC aus a = BC = 17cm, hc = 8cm und α = 45°. 90. Der Inhalt eines Drachenvierecks ABCD (AC = Symmetrieachse) beträgt 45cm2. Die Diagonale BD teilt das Drachenviereck in zwei gleichschenklige Teildreiecke, von denen dasjenige mit der Spitze C einen viermal so grossen Flächeninhalt aufweist wie das andere. Der Winkel bei der Ecke A beträgt 90°. Berechne den Umfang dieses Drachenvierecks. Nichtaufgehende Wurzeln stehen lassen. 91. Berechne die Länge der Basis c des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit Schenkellänge a = 10cm und Höhe ha = 8cm. Nichtaufgehende Wurzeln stehen lassen.