Hydromechanik f¨ur Bauingenieure

Transcrição

Fakultät für Bauingenieur- und Vermessungswesen
Hydromechanik für Bauingenieure
Version 6.4
Prof. Dr.-Ing. habil. Dipl.-Phys. Andreas Malcherek
Institut für Wasserwesen
Werner-Heisenberg-Weg 39
85577 Neubiberg
Tel.: 089 / 6004 3876
email: [email protected]
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1
1 Advektion
1.1 Bahnlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Die Bahnlinie als Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Die Lagrangesche oder Bahnableitung . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Strömungen als Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Die Bahnableitung in einem Geschwindigkeitsfeld . . . . . . .
1.1.5 Eulersche und Lagrangesche Betrachtungsweise einer Strömung
1.2 Lagrangesche Erhaltungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Die lineare Advektionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Die nichtlineare Advektionsgleichung . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Fluidelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Das Reynoldssche Transporttheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Massenerhaltung und Potentialströmungen
2.1 Die Massenerhaltung in der Strömungsmechanik . . . . . . . . . .
2.1.1 Die allgemeine Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Die allgemeine Kontinuitätsgleichung, einfachere Herleitung
2.1.3 Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide . . . .
2.2 Potentialströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Die homogene stationäre Potentialströmung . . . . . . . . .
2.2.2 Die Umströmung eines unendlich langen Kreiszylinders . .
2.2.3 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Das pdetool in MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Stromlinien und Stromfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Stromlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Die Stromfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Der spezifische Durchfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.4
2.3.4 Stromfunktion und Durchfluss . . . . . . . .
2.3.5 Die Laplacegleichung der Stromfunktion . .
2.3.6 Stromlinien und Äquipotentiallinien . . . . .
2.3.7 Ausblick: Dreidimensionale Stromfunktionen
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 Die Impulsbilanz in reibungsfreien Fluiden
3.1 Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Die Eulergleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Die Lösbarkeit der Eulergleichungen . . . . . . . . . .
3.2.2 Darstellung in Indexnotation . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Die integrale Form der Impulsbilanz . . . . . . . . . . .
3.3 Hydrodynamische Drucklasten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Die Bernoulligleichung für rotationsfreie Strömungen .
3.3.2 Hydrodynamische Druckberechnung mit dem pdetool .
3.3.3 Anwendung: Druckkraft auf eine geöffnete Hubschütze .
3.4 Die Druck-Poisson-Gleichung der idealen Strömung . . . . . .
3.4.1 Die Druck-Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3 Lösung der Druck-Poisson-Gleichung in MATLAB . . .
3.4.4 Schallgeschwindigkeit und Inkompressibilität . . . . . .
3.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Viskosität und Navier-Stokes-Gleichungen
4.1 Die Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Die Couette-Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Die Scherrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Der Tensor der viskosen Spannungen . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Der Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Die Stokessche Zerlegung des Geschwindigkeitsfeldes .
4.2.3 Der viskose Spannungstensor für inkompressible Fluide
4.2.4 Die Kraft auf ein Fluidelement . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Die Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Die viskose Spannung als Impulsfluss . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Die Definition des Impulsstromtensors . . . . . . . . . .
4.4.2 Die molekülkinetische Theorie der Viskosität . . . . . .
4.4.3 Die Viskosität des Wassers . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Die Bernoulligleichung für viskose Fluide . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Anwendung auf die Couette-Strömung . . . . . . . . .
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6 Die Erfassung der Turbulenz
6.1 Mittlere und fluktuierende Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Die Mittlung physikalischer Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Fluktuationen als Abweichungen vom Mittelwert . . . . . . . . . . .
6.2 Die Kolmogorovlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Die Messung turbulenter Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Der Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 ADV-Sonden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Geschwindigkeitsfluktuationen
6.4 Die turbulente kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Das Energiespektrum der Turbulenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Die direkte Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1 Die Grundgleichungen der DNS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2 Die räumliche Auflösung in der DNS . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.3 Verifikation eines DNS-Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.5.2 Das Gesetz von Darcy-Weisbach . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen mit dem MATLAB-pdetool .
4.6.1 Die Druck-Poisson-Gleichung für die Navier-Stokes-Gleichungen
4.6.2 Parabolische Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3 Laminare Strömung zwischen zwei Platten . . . . . . . . . . . .
4.6.4 Zur Verifikation des MATLAB-Navier-Stokes-Solvers . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Ähnlichkeitsgesetze und Dimensionsanalyse
5.1 Die dimensionslose Darstellung der Grundgleichungen .
5.2 Ähnlichkeitsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Geometrische Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Dynamische Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Kinematische Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . .
5.2.4 Maßstäbe zusammengesetzter Größen . . . . . .
5.2.5 Dynamische Ähnlichkeit in der Hydromechanik .
5.2.6 Beschränkung auf Froudesche Ähnlichkeit . . .
5.2.7 Beschränkung auf Reynoldssche Ähnlichkeit . .
5.2.8 Beschränkung auf Webersche Ähnlichkeit . . . .
5.3 Grenzen physischer Modelle . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Dimensionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Physische Modellierung und numerische Simulation . . .
5.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6.6.4 Kohärente Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Verborgene Zusammenhänge zwischen schwankenden Größen: Korrelationen 143
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7 Turbulenz und Impulsdiffusion
7.1 Die Reynoldsmittlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Rechenregeln für mittlere Größen und Fluktuationen . . .
7.1.2 Die Mittlung physikalischer Gesetze . . . . . . . . . . . .
7.2 Die Mittlung der Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Die Mittlung der Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . .
7.3.1 Die Reynoldsspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Das Schließungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Das Prinzip der Wirbelviskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1 Die Reynoldsgleichungen mit Wirbelviskositätsprinzip . .
7.4.2 Das erweiterte Wirbelviskositätsprinzip . . . . . . . . . .
7.5 Das Mischungswegmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Die Trennungsschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.1 Der Mischungswegansatz für die Trennungsschicht . . . .
7.6.2 Stationäre Simulation der Trenungsschicht mit MATLAB .
7.6.3 Numerische Lösung der Reynoldsgleichungen . . . . . .
7.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Die wandnahe Strömung
8.1 Die Stokessche Wandhaftbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Die Wandschubspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Die Grenzschichtentwicklung über einer glatten Fläche . . . . . . .
8.3.1 Die homogene laminare Grenzschichtströmung . . . . . . .
8.3.2 Die Entwicklung der laminaren Grenzschicht . . . . . . . .
8.3.3 Die Entwicklung der turbulenten Grenzschicht . . . . . . .
8.4 Die turbulente Grenzschichtströmung an der glatten Wand . . . . .
8.4.1 Experimentelle Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 DNS-Untersuchungen an der glatten Wand . . . . . . . . .
8.4.3 Der Mischungswegansatz für die wandnahe Turbulenz . . .
8.5 Die turbulente stationäre Grenzschichtströmung an der rauen Wand .
8.6 Das Gesetz von Colebrook-White . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.1 Der hydraulische Durchmesser . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.2 Der Widerstandsbeiwert der glatten Wand . . . . . . . . . .
8.6.3 Der Widerstandsbeiwert der rauen Wand . . . . . . . . . .
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Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9 Die Strömungskraft auf Körper
9.1 Die Bestimmung der Strömungskraft durch Beiwerte . . . . . . . . . . . .
9.2 Das D’Alembertsche Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Die Umströmung sphärischer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Die schleichende Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.2 Die schleichende Umströmung von Kugel und Zylinder . . . . . . .
9.3.3 Die Oseensche Erweiterung für größere Reynoldszahlen . . . . . .
9.4 Der Strömungswiderstand von Kugel und Zylinder . . . . . . . . . . . . .
9.5 Die Ablösung der Grenzschicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6 Der Impulsverlust der Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7 Partikeldynamik in Fluiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7.1 Die Basset-Boussinesq-Oseen-Gleichung . . . . . . . . . . . . . .
9.7.2 Die Stokessche Sinkgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7.3 Die Sinkgeschwindigkeit nach dem Oseenschen Widerstandsgesetz
9.7.4 Die Sinkgeschwindigkeit nach Dietrich . . . . . . . . . . . . . . .
9.8 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10 Die Vertikalstruktur der Gerinneströmung
10.1 Der Normalabfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Das Gefälle des Flusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.2 Navier-Stokes- und Reynoldsgleichungen bei gleichförmigem Abfluss
10.1.3 Die Druckverteilung bei gleichförmigem Abfluss . . . . . . . . . . .
10.1.4 Das laminare Geschwindigkeitsprofil bei gleichförmigem Abfluss . .
10.2 Die Schleppspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Das Profil der Scherspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Der Zusammenhang zwischen Verlusthöhe und Schleppspannung . .
10.3 Der turbulente Normalabfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3.1 Das vertikale Geschwindigkeitsprofil der turbulenten Strömung . . .
10.3.2 Das Mischungswegprofil in Gerinneströmungen . . . . . . . . . . . .
10.4 DNS-Untersuchungen an der freien Oberfläche . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11 Die Energie der Strömung
11.1 Die Bilanzierung der kinetischen Energie . . . .
11.1.1 Die kinetische Energie eines Fluids . . .
11.1.2 Die Dissipation kinetischer Energie . . .
11.1.3 Die Diffusion kinetischer Energie . . . .
11.1.4 Die Bernoulligleichung auf der Bahnlinie
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INHALTSVERZEICHNIS
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11.7
Die potentielle und die mechanische Energiebilanz
Die innere Energie eines Fluids . . . . . . . . . . .
Die Transportgleichung für die Temperatur . . . .
Die Bilanz der Gesamtenergie . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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12 Der Transport der Turbulenz
12.1 Die turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen . . . . . . . . .
12.2 Die turbulente kinetische Energie (TKE) . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1 Die Produktion von TKE . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2 Eingleichungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.3 Lösung mit dem pdetool für die Trennungschicht . . . . .
12.2.4 Stationäre Lösung für die Wandgrenzschicht in MATLAB
12.2.5 Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Die Energetik der turbulenten Strömung . . . . . . . . . . . . . .
12.4 Das k--Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1 Die wandnahe Strömung im k--Modell . . . . . . . . . .
12.4.2 Randbedingungen an der freien Oberfläche . . . . . . . .
12.4.3 Das k--Modell für die Gerinneströmung . . . . . . . . .
12.4.4 Die radiale Struktur einer Rohrströmung . . . . . . . . . .
12.5 Das k-ω-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.1 Die wandnahe Strömung im k-ω-Modell . . . . . . . . . .
12.5.2 Randbedingungen an der freien Oberfläche . . . . . . . .
12.5.3 Das k-ω-Modell für die Gerinneströmung . . . . . . . . .
12.6 Die generische Transportgleichung der Turbulenzmodelle . . . . .
12.7 Schließungsmodelle zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.1 Die Reynoldsspannungsgleichungen . . . . . . . . . . . .
12.7.2 Reynolds-Stress-Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7.3 Algebraische Spannungsmodelle . . . . . . . . . . . . . .
12.8 Zusammenfassende Empfehlungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 Large Eddy Simulation
13.1 Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Filterung der Navier-Stokes-Gleichungen . . .
13.3 Klein- und großskalige turbulente Bewegungen
13.4 Das Smagorinskymodell . . . . . . . . . . . .
13.5 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
14 Die tiefenintegrierte Simulation von Fließgewässern
14.1 Die Darstellung der Sohltopographie . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Kinematische Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.1 Differentialgeometrie der Flächen . . . . . . . . . . . .
14.2.2 Die kinematische Randbedingung an der Sohle . . . . .
14.2.3 Die Kinematik von Gewässeroberflächen . . . . . . . .
14.3 Die tiefengemittelte Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . .
14.4 Die tiefengemittelten Impulsgleichungen . . . . . . . . . . . . .
14.4.1 Die Mittlung der advektiven Terme . . . . . . . . . . .
14.4.2 Die hydrostatische Druckapproximation . . . . . . . . .
14.4.3 Die inneren Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.4 Die Impulsgleichung der tiefenintegrierten Strömung . .
14.4.5 Warnung vor unzulässigen Vereinfachungen . . . . . . .
14.5 Impulsdispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5.1 Impulsbeiwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5.2 Dispersion des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils
14.5.3 Gibt es ein Prinzip der turbulenten Dispersion ? . . . . .
14.6 Die tiefenintegrierte Energetik der Fließgewässer . . . . . . . .
14.7 Tiefenintegrierte Transportgleichungen . . . . . . . . . . . . . .
14.8 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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15 Tiefengemittelte Turbulenzmodellierung
15.1 Die tiefengemittelte Turbulenzproduktion . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Die tiefengemittelte turbulente Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.1 Der Prandtlsche Mischungswegansatz . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.2 Der Ansatz von Elder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2.3 Energiedissipation in schmalen Fließgewässern . . . . . . . . . .
15.2.4 Kombinierte Ansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Die Sohlschubspannung auf Böschungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.3.1 Die Definition der Sohlschubspannung . . . . . . . . . . . . . .
15.3.2 Die Sohlschubspannung mit reynoldsgemittelten Größen . . . . .
15.3.3 Die Strömungsbelastung auf Böschungen . . . . . . . . . . . . .
15.4 Das tiefenintegrierte k--Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5 Der Smagorinskyansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6 Die Energiedissipation über langen Sohlwellen . . . . . . . . . . . . . .
15.6.1 Dissipation im tiefengemittelten Strömungsfeld . . . . . . . . . .
15.6.2 Dissipation im modulierten logarithmischen Geschwindigkeitsfeld
15.6.3 Zur Kombination von Einzelrauheiten . . . . . . . . . . . . . . .
15.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
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16 Sekundärströmungen in Kurven
16.1 Zur Empirie der Mäander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.1 Der metrische Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.2 Differentialoperatoren in allgemeinen orthogonalen Koordinaten .
16.2.3 Die Grundgleichungen in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
16.2.4 Die Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten . . . . .
16.2.5 Sphärische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.6 σ-Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 Kurvenangepaßte Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4 Analysen im Dreidimensionalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.1 Eine Kurvendurchströmung in Gleichungen . . . . . . . . . . . .
16.4.2 Die Querneigung des Wasserspiegels . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.3 Die Quergeschwindigkeit an der Wasseroberfläche . . . . . . . .
16.4.4 Die Entwicklung der Quergeschwindigkeit . . . . . . . . . . . .
16.4.5 Das Geschwindigkeitsprofil der Sekundärströmung . . . . . . . .
16.4.6 Die Neuverteilung der Hauptströmung . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.7 Energieverlust durch Sekundärströmungen . . . . . . . . . . . .
16.4.8 3D-Simulation in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . .
16.5 Tiefengemittelte Simulation von Kurvenströmungen . . . . . . . . . . . .
16.5.1 Die tiefengemittelten Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.5.2 Der Dispersionskoeffizient der Sekundärströmungen . . . . . . .
16.5.3 Simulation in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . .
16.5.4 Modellierung der sekundären Sohlschubspannung . . . . . . . .
16.6 Eindimensionale Modellierung von Kurvenströmungen . . . . . . . . . .
16.6.1 Die Bewegung der Uferlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.6.2 Die 1D-Gleichungen von Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . .
16.6.3 Bewertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 Diffusion und Transport
17.1 Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.1 Das erste Ficksche Gesetz . . . . . . .
17.1.2 Der molekulare Diffusionskoeffizient .
17.1.3 Die Diffusionsgleichung . . . . . . . .
17.1.4 Fourieranalyse der Diffusionsgleichung
17.2 Die Transportgleichung . . . . . . . . . . . . .
17.3 Umsetzungs- und Abbauprozesse . . . . . . . .
17.3.1 Der radioaktive Zerfall . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
17.4
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17.7
17.3.2 Binäre Umsetzungsprozesse . . . . . . . . . . .
Transport und Turbulenz . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.4.1 Die Reynoldsmittlung der Transportgleichungen
17.4.2 Das Prinzip der Wirbeldiffusivität . . . . . . . .
17.4.3 Turbulente Dichtekorrelationen . . . . . . . . .
Eindimensionale Transportmodelle . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 Thermik der Fließgewässer
18.1 Wärmeaustausch mit der Atmosphäre . . . . . . . . . .
18.1.1 Globalstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.2 Rückstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1.3 Atmosphärische Gegenstrahlung . . . . . . . . .
18.1.4 Verdunstungswärmestrom . . . . . . . . . . . .
18.1.5 Konvektiver Austausch . . . . . . . . . . . . . .
18.2 Wärmeaustausch mit dem Boden . . . . . . . . . . . . .
18.3 Das Gleichgewichtskonzept . . . . . . . . . . . . . . . .
18.4 Vertikale Temperaturverteilung in Oberflächengewässern
18.4.1 Turbulente Durchmischung . . . . . . . . . . . .
18.4.2 Konvektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.5 Längsverteilung der Temperatur . . . . . . . . . . . . .
18.6 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
Einleitung
Die Hydromechanik beschäftigt sich mit dem Verhalten von Flüssigkeiten in Ruhe oder Bewegung. Damit ist diese Wissenschaft keineswegs irgendeine randständige Spezialdisziplin,
sondern wird in fast jedem Bereich von Naturwissenschaft und Technik benötigt.
Beginnen wir bei uns selbst. In der Biologie wird der Begriff Leben mit der Fähigkeit eines Organismus zu Stoffwechselprozessen in Zusammenhang gebracht. Damit am Ort des
Stoffwechsels der Stoffwechselprozess nicht abbricht, müssen dessen Produkte fortwährend
abtransportiert und die erforderlichen Ausgangsstoffe herantransportiert werden.
Die Stoffwechselprozesse in unserem Körper werden durch die Atmung und den Blutkreislauf
in Gang gehalten, beides Beispiele für Strömungen direkt in uns selbst. Damit wird die Hydromechanik eine Grundlagendisziplin der Biophysik, denn in allen Bereichen des tierischen
und pflanzlichen Lebens werden Stoffe durch Strömungen transportiert.
Gehen wir einen Schritt weiter. Damit bewegen wir uns als menschlicher Körper durch die uns
umgebende Luft oder oder das Wasser, sei es selbst laufend, schwimmend oder wir benutzen
technische Hilfsmittel wie Kraftfahrzeuge, Schiffe, Flugzeuge. Hydromechanisch sind wir bei
dem wichtigen Gebiet des Widerstandes von Körpern in Flüssigkeiten und Gasen angelangt.
Wollen wir nach der anstrengenden Bewegung duschen oder ein Glas Wasser trinken, nutzen wir die technischen Errungenschaften zur Wasserver- und entsorgung, mit denen sich die
Siedlungswasserwirtschaft beschäftigt. Hydromechanisch steht zunächst einmal die Aufgabe an, den Transport von Wasser oder Flüssigkeiten im allgemeinen in Rohrleitungssystemen
oder offenen Gerinnen berechenbar zu machen. Dazu muß der Ingenieur in der Lage sein, die
für einen vorgegebenen Volumendurchfluss erforderliche Energie (in Form von Druck- oder
Höhenenergie) zu berechnen.
Sobald wir uns aus den uns schützenden Gebäuden hinausbegeben, werden wir mit dem
Phänomen Wetter konfrontiert. Die Aufgabe, dieses kurzfristig und das Klima mittel- und
langfristig vorherzusagen, obliegt der Meteorologie. In dieser Wissenschaft ist die Hydromechanik geradezu eine unverzichtbare und omnipräsente Grundlagenwissenschaft.
Und wenn wir damit schon bei der Atmosphäre als ein durch Strömung geprägter Lebensraum
angelangt sind, sollten die Weltmeere nicht unerwähnt bleiben. In ihnen werden die Wassermassen in großskaligen Zirkulationssystemen, wie dem Golfstrom transportiert. Die Gezeiten
bringen periodische Bewegungen in die Ozeane und künden von den Kräften, die Sonne und
1
Seite 2
Einleitung
Mond auf das Erdsystem haben. Mit all diesen Dingen beschäftigt sich die Ozeanographie.
Atmosphäre und Ozeane sind durch energetische und Stoffaustauschprozesse miteinander gekoppelt. So erzeugt der Wind an der Wasseroberfläche der Meere Wellen und Seegang, Stürme
können sogar Sturmfluten hervorrufen. Vor diesen Phänomenen müssen sich die an den Küsten
lebenden Menschen schützen. Der Umgang mit den gewaltigen dabei freiwerdenden Kräften
und die Gestaltung der Küste als Schutz- und Lebensraum ist Aufgabe des Küsteningenieurwesens.
Wenn man die Meteorologie und Ozeanographie als Teilgebiete der Geophysik versteht, dann
folgt dieser die Astrophysik. Die Dynamik des Plasmas in den Sternen wird unter Zuhilfenahme hydromechanischer Gesetze beschrieben, somit sind Aufbau und Entwicklung der Sterne
den Gesetzen der Hydromechanik unterworfen.
Auch in weiteren Disziplinen des Bauingenieurwesens und insbesondere des Wasserbau
werden hydromechanische Kenntnisse und Fähigkeiten benötigt. Im Verkehrswasserbau
kommen Grundkenntnisse aus den Gebieten Schiffbau und Navigation hinzu. So wird das
Thema Schwimmstabilität als Vertiefung in der Hydrostatik behandelt. Ferner ist die Fahrdynamik von Schiffen eine wesentliche Einflussgröße bei der Bemessung von Wasserstraßen, die
Eigenschaften der Rückströmung unter Schiffen und der schiffserzeugten Wellen benötigt man
zur Sicherung von Ufer und Sohle. Im Energiewasserbau werden hydromechanische Kenntnisse zur Bemessung von Pumpen und Turbinen benötigt, hier sind die Anknüpfungen zum
Maschinenbau am stärksten. Zur Konstruktion von Stauanlagen sind die hydrostatischen
Belastungen auf das Absperrbauwerk, die Sickerlinien in Dämmen oder die Bemessung von
Tosbecken nur einige Beispiele zu Anwendungen der Hydromechanik. In der Hydrologie und
im Grundbau werden Kenntnisse über Strömungen in porösen Medien benötigt.
Hydraulik und Hydromechanik - Induktion und Deduktion
Schon die vorsokratischen Philosophen haben dem Wasser besondere Aufmerksamkeit gewidmet. Es sei die Substanz, aus der alles entstanden ist, behauptet zumindest Thales im sechsten
vorchristlichen Jahrhundert. Dem widersprach aber schon Anaximenes im 5. Jh.v.Chr., denn
der der Urstoff ist die Luft, Wasser hingegen nur verdichtete Luft, bei weiterer Verdichtung
entsteht Erde, Feuer ist verdünnte Luft. Daß das Wesen der Welt dynamisch ist, hat Heraklit
erkannt (um 500 v.Chr.), er stellte fest, es gäbe kein Sein, nur ein Werden, alles fließe: ’Du
kannst nicht zweimal in dieselben Flüsse steigen, denn frisches Wasser fließt immer auf dich
zu.’ Das die unablässige Veränderung bewirkende Feuer ist somit das Urelement. Um 440 v.
Chr. kommt Empedokeles von einem Urstoff zur Vielfalt der Elemente, diese sind natürlich
Feuer, Erde Luft und Wasser, die sich miteinander in Liebe verbinden und so die Stoffvielfalt hervorbringen, in Haß trennen sie sich. So wurde das Wasser von einem Urstoff zu einem
Element unter vielen, letztendlich enthronte die Elektrolyse es als einen zusammengesetzten
Stoff.
Einleitung
Seite 3
Die Methode der griechischen Philosophie ist die Deduktion, das Folgern aus scheinbar
Selbstevidentem heraus, an deren Anfang die Axiome stehen 1 . Deduktion benötigt die Beobachtung der Welt nicht, sie dient nur zur Bestätigung ihrer Erkenntnisse. Der deduktiv Forschende braucht sich nur in sich selbst zu versenken und berauscht sich an den Offenbarungen
des reinen Geistes. Dies ist der antike Ursprung des Wortes Theorie, es bedeutete leidenschaftliche, einfühlsame Kontemplation.
Mit Leonardo da Vinci wurde die Hydraulik als phänomenologische Wissenschaft begündet.
Seine wissenschaftliche Methodik sind die Kunst und Malerei, die die sichtbare Welt wiedererschaffen, diese dabei ordnen, analysieren, detaillieren, begreifen und verstehen. Das Medium Bild wurde so zum Modell für die erfahrbaren Naturphänomene. So beschäftigt sich der
in Spiegelschrift geschriebene Codex Leicester2 in einer Fülle von Skizzen mit der Erde als
einen lebendigen Organismus, Hauptthema ist dabei die Natur des Wassers. Leonardo definiert
in diesem Werk zugleich die induktive Methode: ’Natur beginnt mit der Ursache und endet
mit der Erfahrung, wir müssen den entgegengesetzten Weg beschreiten, ..., mit der Erfahrung
beginnen und davon die Ursache ableiten.’
Die sich in der Folge entwickelnde Hydraulik arbeitete vornehmlich empirisch-induktiv. Eine Theorie gibt es dabei nur in der makroskopischen Gesichtsweise, wobei die Bilanzen von
Masse, Impuls und Energie für das Fließgewässer als Ganzes aufgestellt und mit den entsprechenden empirischen Ergebnissen geschlossen werden. Vom mathematischen Gesichtspunkt
ist die Hydraulik einfach zugänglich, da sie sich lediglich algebraischer Gleichungen und der
Differentialrechnung bedient. Sie gestattet dem Ingenieur heute die Berechnung des Abflusses
in Gerinnen, die Bemessung und Gestaltung der verschiedensten Wasserbauwerke wie Verzweigungen, Wehren, Tosbecken oder Schussrinnen [13], [56], [11].
Die vorliegende Schrift wird sich jedoch mit der Hydromechanik beschäftigen. Sie ist von
ihrem textlichen Erscheinungsbild wenig ansprechend, denn sie ist in den Sprachen der Differentialgeometrie und der partiellen Differentialgleichungen geschrieben. Letztere kann man
als hochkomprimierte Wissenspeicher betrachten, die wie jeder komprimierte Text zunächst
entpackt werden müssen. Hierfür bot sich im pränumerischen Zeitalter nur die analytische
Lösung mit Bleistift und Papier an. Erst dann konnte die dahinter steckende Theorie durch
den Vergleich mit empirischen Daten verifiziert und in der Folge auch praktisch angewendet
werden. Daß man dabei schon sehr viel über das grundsätzliche Verhalten vieler Strömungssysteme lernen und mancherorts auch den Anschluß an die klassische Hydraulik finden kann,
zeigt das auf diesem Gebiet grundlegende Werk ’Hydrodynamics’ von Sir Horace Lamb [38].
Analytische Lösungen sind jedoch auf sehr einfache Geometrien beschränkt. Somit war die
1
Die Methode der Deduktion ist der theologischen Dogmatik sehr nahe, hier werden ausgehend von einem
Dogma, einem Glaubensgrundsatz, nach den Gesetzen der sprachlichen, manchmal aber auch der formalen Logik,
eine Glaubenslehre entwickelt. Die Dogmatik ist eine exzellente Übung in der Methode der Deduktion, gerade
dann, wenn man ihren Inhalten skeptisch oder ablehnend gegenüber steht.
2
siehe http://www.odranoel.de/
Seite 4
Einleitung
analytische Lösbarkeit der limitierende Faktor der Theoriebildung in der Hydrodynamik, da
ohne diese Eigenschaft sowohl die Verifikation als auch die Anwendbarkeit einer Theorie ausgeschlossen wurden.
Die heutige Informationstechnologie und die numerische Mathematik haben eine alternative
Möglichkeit zur Dekomprimierung des in Differentialgleichungen gespeicherten theoretischen
Wissens für komplexe technische und natürliche Systeme in der Form der hydrodynamischnumerischen Modellierung eröffnet. Dabei wurde die Anforderung der analytischen durch
die numerische Lösbarkeit ersetzt, wodurch die Menge der lösbaren Probleme erheblich aufgeweitet wurde, es hat sich oftmals sogar gezeigt, daß die numerische Unlösbarkeit auf Fehler
in der Theoriebildung deutet. Die fruchtbare Verbindung von Numerik und Hydrodynamik hat
ihren Siegeszug auch im Wasserbau gehalten und sie prägt als Computational Hydraulics oder
Computational Fluid Dynamics (CFD) die Ausbildung zum Anfang des neuen Jahrhunderts,
einer Zeit, die nachfolgende Generationen zweifelsohne als das Zeitalter der Computerrevolution bezeichnen werden.
Ein psychologischer Aspekt der Mathematisierung der Hydromechanik besteht in dem Vorurteil, welches exakte Wissenschaft mit Attributen wie langweilig, spröde, trocken und humorlos
belegt, Eigenschaften also, die junge Menschen selten in das Portfolio ihrer Entwicklungsziele
nehmen. Diesem Vorurteil gilt es zum Wohle der Wissenschaft entgegenzuwirken, vor diesem
Hintergrund verstehe man so manche Freiheit in der Wahl der Ausdrucksform.
Nutzen wir also das Studium der Hydromechanik als Repepitorium und Vertiefung der beiden
Grundlagenwissenschaften angewandte Mathematik und Mechanik. Das Dankbare, der Wert
des Studiums der Hydromechanik liegt darin, daß sie jeden Bereich von Natur- und Ingenieurwissenschaften, aber auch des täglichen Lebens zur Anwendung kommt.
Im Anfang stehen in Kapitel 1 bis 4 die aus den Axiomen und Gesetzen der klassischen Mechanik hergeleiteten Grundlagen der Hydrodynamik. Die Darbietung des Stoffes in der gewählten Form soll dazu beitragen, das vielleicht wichtigste - von Tennekes und Lumley [79] - identifizierte Schließungsproblem zu lösen: Die Lücke zwischen grundlegenden Lehrbüchern auf
der einen und fachwissenschaftlichen, oftmals nur Experten verständlichen Monographien auf
der anderen Seite, die allgemeiner auch als Lücke zwischen Forschung und Lehre bezeichnet
werden kann. Dies soll hier dadurch erreicht werden, daß vor allem die zur konsistenten hydrodynamischen Theoriebildung benötigten Methoden gelehrt und mit einheitlicher Nomenklatur
dargestellt werden. Dabei sollen die Anfänge der Theorie mit ihren mathematischen Methoden
besonders ausführlich behandelt werden, damit das Verständnis des Komplexen nicht unweigerlich durch das Unverständnis der Wurzeln vereitelt wird.
Mit den Navier-Stokes-Gleichungen ist die Hydrodynamik der meisten natürlichen und technischen Strömungen des Wassers konzeptionell vollständig (bis auf Randbedingungen) beschrieben, aber bei weitem noch nicht den Anforderungen der numerischen Simulation angepaßt.
Dabei geht es zunächst erst einmal darum sich den turbulenten Strukturen einer Strömung anzunehmen. Hiermit beschäftigt sich der zweite Hauptteil. Sie wird in den Kapiteln 6 bis 12
Einleitung
Seite 5
RaumDifferentialdimensionen gleichungen Auflösung
DNS
LES
RANS
3D hydrostatisch
Tiefenintegriert
Querschnittsintegriert
3
3
3
3
2
1
4
4
4
3
3
2
1 mm
1 cm
1 dm
1m
10 m
100 m
Tabelle 1: Synopsis der Simulationsmodi für Oberflächengewässer. In den folgenden Spalten
sind die Anzahl der aufgelösten räumlichen Dimensionen sowie die zu lösenden Differentialgleichungen angegeben.
behandelt. Darin eingebettet sind die Strömungsverhältnisse an festen Wänden in Kapitel 8.
Sie werden mit den Methoden der Differentialgeometrie behandelt.
Bei dem konzeptionellen Modell der direkten numerischen Simulation werden die NavierStokes-Gleichungen mit den entsprechenden Randbedingungen auf einem so feinen Gitter
gelöst, daß alle turbulenten Bewegungsstrukturen simuliert werden. Mit solchen Modellen
werden insbesondere die Feinstrukturen der Turbulenz untersucht, hier seien jüngste Arbeiten über die oberflächennahe Turbulenz hervorgehoben (Zhang et al. (1999), [86]). Natürliche
Gewässer lassen sich bisweilen in diesem Simulationsmodus wegen der begrenzten Computerleistungen nicht modellieren, desweiteren sind auch die Eingangsdaten nicht in der erforderlichen Dichte verfügbar.
Daher wird bei der Simulation natürlicher Gewässer in der Regel in der sogenannten Reynoldsmittlung gearbeitet. Hier ist eine Modellierung der Turbulenz erforderlich. Zwar gibt es auf
diesem und dem Gebiet der Turbulenztheorie eine große Zahl von Monographien, auf die besonderen Verhältnisse in Fließgewässern geht aber nur das Werk von Nezu und Nakagawa [57]
ein. Obwohl es erst im Jahre 1993 erschienen ist, hat sich in der Zwischenzeit insbesondere bei
der oben genannten direkten Simulation von Strömungen mit freier Oberfläche noch einiges
getan, hierauf soll eingegangen werden.
Ein weiterer Hauptteil ist der tiefenintegrierten Simulation gewidmet. Dafür werden in Kapitel 14 die Grundgleichungen ausführlich hergeleitet, um vor allem die hiermit verbundenen
Schließungsprobleme exakt zu erfassen, die in folgenden Kapiteln detailliert behandelt werden. Die Strenge der deduktiven Methode zahlt sich insbesondere bei der Darstellung der Sohlschubspannung aus, hier kann eine exakte Formulierung vorgestellt werden, aus der ein neuer
Ansatz zur Erfassung steiler Sohlgradienten gewonnen wird. Das zweite Schließungsproblem
in tiefengemittelten Simulationen ist die Turbulenzmodellierung. Auch hier wird der Stand der
Modelltechnik aufgezeigt, bewertet und entsprechende Lücken identifiziert.
Seite 6
Einleitung
Der letzte Hauptteil thematisiert die eindimensionale Betrachtungsweise der Fließgewässer.
Die Bewegungsgleichungen kann man aus entsprechenden eindimensionalen Bilanzüberlegungen herleiten, und sie finden schon seit langem in numerischen Modellen Anwendung.
Der hier eingeschlagene Weg im Rahmen der deduktiven Hydrodynamik ist jedoch theoretisch wesentlich anspruchsvoller. Zunächst werden Kurvenkoordinaten eingeführt, womit die
mathematische Ausdrucksform entwickelt wird, um gewundene Eindimensionalität exakt zu
erfassen. Als Nebenprodukt wird man in die Lage versetzt, Sekundärströmungen in Kurven
als Abweichungen von der Eindimensionalität zu beschreiben (Kapitel 16). In Kapitel 16.6
werden dann die Grundgleichungen der eindimensionalen Simulation hergeleitet. Der Lohn
für den beschwerlichen Umweg ist eine exakte Formulierung für das Energieliniengefälle, die
hier erstmalig vorgestellt wird.
Die Tabelle 1 gibt einen Überblick der verschiedenen Formen der hydrodynamischnumerischen Simulation. Bei der direkten numerischen Simulation (DNS) von Fließgewässerströmungen werden alle turbulenten Bewegungsformen aufgelöst. Dementsprechend muß die
räumliche und zeitliche Auflösung sehr hoch sein. Bei der Large Eddy Simulation (LES)
werden nur die großen, geometrieabhängigen Wirbel aufgelöst. Das Verhalten und die Wirkung der kleinen isotropen Wirbel wird parametrisiert. Beide Konzeptionen benötigen so hohe
Auflösungen, daß sie die DNS derzeit nicht und die LES sehr selten bei Simulationen im Wasserbau angewendet werden.
Vorlesungsgliederung Hydromechanik I - III
Das dargestelle Material überdeckt einen dreisemestrigen Vorlesungszyklus der Hydromechanik für Bauingenieure. Es setzt aber das Skriptum ’Hydrostatik und Hydraulik im Wasserbau’
voraus. Die Vorlesung Hydromechanik I aus dem Modul ’Hydromechanik I und Abfallwirtschaft’ widmet sich dabei schwerpunktmäßig den hydromechanischen Grundlagen der Hydraulik und deren Bestimmung im Laborversuch. Die Inhalte der Vorlesung sind im Einzelnen:
1. Die Advektion
2. Die Massenerhaltung in der Strömungsmechanik
3. Potentialströmungen
4. Stromlinien
5. Druckberechnungen, Druckkräfte auf Wehre und Schütze
6. Die Eulergleichungen
7. Anwendung: Auftrieb und Schwimmen (Hydrostatik)
8. Die Viskosität Newtonscher Fluide
Einleitung
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9. Die Navier-Stokes-Gleichungen
10. Ähnlichkeitsgesetze und Dimensionsanalyse
Im Gegensatz zur Hydraulik wird die Fließgeschwindigkeit nun zu einem Geschwindigkeitsfeld. Dabei sollen vor allem die hydromechanischen Grundkenntnisse aus der Hydraulik, d.h.
die Hydrostatik und die Impulserhaltung vertieft werden.
Das Modul Hydromechanik II besteht aus insgesamt 12 mal vier Wochenstunden, bzw. den
Vorlesungen Hydromechanik II und III. Zunächst aollen hier einfache Potentialströmungen
mit MATLAB gelöst werden. Dann beschäftigt sich die Vorlesungen mit reibungsbehafteten Strömungen und deren Anwendung auf wandnahe Strömungen, Strömungswiderstand,
Gerinne- und Rohrströmungen, sowie den turbulenten Strömungen:
1. Die Navier-Stokes-Gleichungen II
2. Impulsdiffusion
3. Erfassung (Laborversuch) und Auswertung turbulenter Strömungen
4. Reynoldsgleichungen und Wirbelviskositätsprinzip; die Trennungsschicht
5. Die Wandgrenzschicht
6. Die Strömungskraft auf Körper
7. Das Geschwindigkeitsprofil in Rohrströmungen
8. Das Geschwindigkeitsprofil in Gerinneströmungen
9. Diffusion und Transport
10. Der Transport der Turbulenz
Vertieft wird das Modul Hydromechanik II durch das Modul ’Simulation von Strömungen in
Labor und Computer’. Es besteht aus dem großen Laborpraktikum sowie den numerischen
Methoden in der Hydromechanik.
MATLAB in der Hydromechanik
MATLAB bietet eine vollständige Programmiersprache, mit der sowohl funktionale als auch
obkjektorientierte Strukturen implementiert werden können. Insofern ist es möglich, in MATLAB slle Probleme der Strömungsmechanik numerisch zu lösen. Um dies tatsächlich zu tun,
benötigt man vertiefte Kenntnisse aus
Seite 8
Einleitung
1. der Hydro- oder Strömungsmechanik, um die zu lösenden Gleichungssysteme aufzustellen oder geeignet umzuformen,
2. der numerischen Mathematik, um diese Gleichungssysteme dann mit einem Computerverfahren lösbar zu machen und
3. der Programmierung, um den Computercode tatsächlich überschaulich, verständlich und
fehlerfrei zu halten.
Mit genau diesen Kenntnissen bestückt, war so in den 70ger Jahren des letzten Jahrhunderts
der CFD-Spezialist (CFD - Computational Fluid Mechanics) geboren, der seine Blüte in den
90ger Jahren im technischen Teil des Stellenmarkts der Zeitungen feierte. Leider wusste der
CFD-Spezialist oftmals nicht sehr viel über die vielen Phänomene der Strömungsmechanik,
weil er sich mit dem aroganten Verweis auf seine Kenntnis ihrer fundamentalen Grundgleichungen und der Simulierbarkeit des Phänomens durch ein Computermodell zurückziehen
konnte.
Die Zeit des klassischen CFD-Spezialisten jener Zeiten ist sicher noch nicht vorbei, hat aber
ihren Zenit überschritten. Dies liegt eben an solchen Tools wie MATLAB, welche Kenntnisse der numerischen Mathematik nicht unabdingbar, aber in den Hintergrund treten lassen.
MATLAB bietet die verschiedensten, schon vorprogrammierten Lösungen, so dass sich ein
Anwender nicht mehr vertiefte Kenntnisse aus der numerischen Mathematik anwenden muss.
Für die Hydromechanik sind dabei besonders relevant:
• Die Lösung von partiellen Differentialgleichungen in iher elliptischen, parabolischen
oder hyperbolischen Form im Zweidimensionalen mit Hilfe der Finite-ElementeMethode.
• Verfahren der Zeitreihenanalyse.
• Die Lösung von eindimensionalen hyperbolisch-parabolischen partiellen Differentialgleichungssystemen mit adaptiven Methoden.
Lehrbücher der Hydromechanik (keinesfalls vollständig)
Bei den Lehrbüchern zur Hydromechanik hat man grundsätzlich zwischen denen zu unterscheiden, die sich überwiegend auf der Ebene der algebraischen Hydraulik bewegen und denen, die sich auf der Ebene der auf partiellen Differentialgleichungen basierenden Hydromechanik bewegen. Der eher theoretisch orientierte Leser kann die Hydromechanik ohne die Hydraulik erlenern, und letztere als einfache Anwendungen deduktieren. Der Ingenieur wir eher
mit der anwendungsorientierten Hydrualik beginnen wollen und sich dann der theortischen
Hydromechanik zuwenden.
Einleitung
Seite 9
Hydraulik für Bauingenieure von Ekkehard Heinemann und Rainer Feldhaus [29] erklärt den
Standardsstoff sehr verständlich mit guten Abbildung. Über diesen geht es allerdings nicht
weit hinaus.
Civil Engineering Hydraulics von C. Nalluri und R.E. Featherstone [55] beschränkt sich auf
eine kurze Darstellung der hydraulischen Theorie und überzeugt dann durch die ausführliche
Darstellung von Beispielaufgaben.
Fluid Mechanics von Robert A. Granger [26] ist ein Werk, welches einem besonders die hydromechanische Theorie motivierend nahe bringt, wobei die Anwendungen aber keinesfalls zu
kurz kommen. Leider verirren sich die Übungaufgaben im US-amerikanischen babylonischen
Einheitengewirr. Dennoch empfehlenswert.
Die Fluidmechanik von E. Truckenbrodt [?] ist ein Lehrbuch, welches die theoretischen Konzepte der Hydromechanik bis zu technischen Anwendungen entwickelt.
Hydrodynamik von L.D. Landau und E.M. Lifschitz [39] ist ein Klassiker der theoretischen
Hydrodynamik, zum ersten Lesen für Physiker, aber nicht für Ingenieure geeignet. Besonders
spannend sind hier die Darstellungen zur Turbulenz. Ähnliches gilt für das schon erwähnte
Werk Hydrodynamics von H. Lamb [38], welches für Anfänger sicherlich kaum verdaulich
ist.
Seite 10
Einleitung
Kapitel 1
Advektion
Als Advektion bezeichnet man die wohl charakteristischste Eigenschaft einer Strömung,
nämlich das passive sich Mitbewegen von Dingen oder Eigenschaften in der Strömung. Solche
Dinge, die mit einer Strömung treiben, sind die Moleküle, aus denen sich das Fluid zusammensetzt, gelöste Stoffe, in der Schwebe befindliche Partikel, Lebewesen ohne Eigenantrieb oder
der Zweig auf der Wasseroberfläche.
Aber auch mehr oder weniger abstrakte nichtstoffliche Eigenschaften treiben passiv im
Strömungsfeld. Als Beispiele lassen sich die Temperatur oder die Wirbelstärke nennen. Letztere kann man sehr gut an einem Fließgewässer in Form von kleinen Wirbeln an der Wasseroberfläche beobachten. Sie entstehen an irgendeiner Stelle, werden mit der Strömung fortbewegt,
d.h. advektiert, um irgendwo wieder zu vergehen.
Diese mit dem sehr trockenen Begriff Advektion bezeichnete Eigenschaft von Strömungen hat
sich -vielleicht durch das soeben dargestellte Schicksal kleiner Wirbel- als ein Grundmotiv
in die Kulturgeschichte eingeprägt. Das Sinnbild Fluß oder Strom steht dabei als Metapher
für den menschlichen Lebensweg, für das passive Dahingetriebenwerden des Einzelnen durch
die Zeitgeschichte, es bezeichnet das Unvermeidliche oder das Schicksal. Um den modernen
Leser nicht mit Altertümern zu langweilen, sei er nur an Bruce Springsteens Song ’The River’
(’they bring you up to do, like your Daddy done’) erinnert.
Wir wollen nun die geistigen Welten verlassen und zu der mathematischen Beschreibung
der Advektion kommen. Die dabei verwendete Sprache der partiellen Differentialgleichungen hat ein sehr abschreckendes Bild, da sie Symbole gebraucht, die manchen Lesern von
ihrer grundsätzlichen Bedeutung zwar bekannt sind, aber in erdrückender Masse einige Leseschwierigkeiten bereiten. Die Sprache wird erst dann flüssig lesbar, wenn man nicht nur die
Buchstaben mühselig zusammenfügt, sondern ganze Wörter bzw. Gleichungsteile erkennt. Zur
Ermutigung sei gesagt, daß wir mit dem Wort Advektion mindestens ein Viertel des benötigten
Sprachumfangs erlernt haben.
11
1.1. Bahnlinien
Seite 12
(x(t2),y(t2))
(x(t1),y(t1))
(x(t3),y(t3))
(x(t5),y(t5))
(x(t4),y(t4))
Abbildung 1.1: Eine Trajektorie eines Partikels mit fünf markierten Zeitpunkten und einer
Approximation durch einen Polygonzug.
1.1 Bahnlinien
Zur mathematischen Erfassung der Advektion müssen wir zuerst die Bewegung einzelner in
der Strömung mittreibender Partikel beschreiben. Befestigt man an einem bestimmten Partikel
einen Schreiber (welcher Art auch immer), so zeichnet dieser eine Bahnlinie auf.
1.1.1 Die Bahnlinie als Kurve
Solche Bahnlinien im dreidimensionalen Raum werden in der Mathematik als Wege oder Kurven bezeichnet. Hierunter versteht man eine Abbildung eines Parameters t (für den Physiker
die Zeit) auf den Punkt des dreidimensionalen Raumes, an dem sich das Partikel gerade befindet:
⎛
⎞
x(t)
⎜
⎟
⎜
t → ⎝ y(t) ⎟
⎠
z(t)
Um Geschwindigkeiten auf Bahnlinien zu definieren, benötigt man die Differenzierbarkeit
dieser Abbildung. Als Kurven bezeichnet man nur Wege, die stetig differenzierbar sind, deren
Graph also keine Knicke, scharfe Ecken o.ä. aufweist. Gehen wir im folgenden also davon aus,
daß sich die Partikel immer auf Kurven bewegen.
Die Geschwindigkeiten des Partikels sind durch die zeitliche Änderung des Ortes des Partikels,
also deren Zeitableitung gegeben:
1.1. Bahnlinien
Seite 13
dx(t)
=u
dt
dy(t)
=v
dt
dz(t)
=w
dt
Ihr Vektor weist in tangentialer Richtung zur Kurve.
Die Weglänge
Jeder Weg läßt sich durch einen Polygonzug, dessen Stützknoten auf dem Weg liegen, beliebig
genau approximieren. Die Weglänge s kann man dann als
s = lim
N →∞
N
−1
x(ti+1 ) − x(ti )
i=1
approximieren.
Die Weglänge s eines Teilchens auf einer Trajektorie zwischen den Zeitpunkten t1 und t2 ist
natürlich das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit:
t2
u2 (t) + v 2 (t) + w 2 (t)dt
s=
t1
Leitet man den Weg s nach der Zeit t ab, so erhält man den Betrag des Geschwindigkeitsvektors.
1.1.2 Die Lagrangesche oder Bahnableitung
Nun wollen wir untersuchen, wie sich eine beliebige physikalische Größe f entlang einer
Bahnlinie ändert. Diese Änderung bezeichnen wir mit Df /Dt, sie wird als Bahnableitung,
substantielle oder Lagrangesche Ableitung bezeichnet.
Die beliebig gewählte physikalische Größe f kann sich zunächst zeitlich ändern, f =
f (t, x, y, z). Da der Beobachtungsort des Lagrangeschen Betrachters sich mit dem Fluidpartikel verändert, ist f = f (t, x(t), y(t), z(t)). Leiten wir f nach der Zeit t ab, so müssen wir
die Kettenregel auf die inneren Funktionen x(t), y(t) und z(t) anwenden. Die Lagrangesche
Ableitung ist somit:
∂f
∂f dx ∂f dy ∂f dz
Df
=
+
+
+
Dt
∂t
∂x dt
∂y dt
∂z dt
1.1. Bahnlinien
Seite 14
In dieser Gleichung tauchen zwei Ableitungen nach der Zeit auf. Die linke Seite enthält die
, sie besagt, wie f sich zeitlich entlang der Bahnlinie ändert. Die
Lagrangesche Ableitung Df
Dt
, sie gibt an, wie sich die Größe f
rechte Seite enthält die sogenannte Eulersche Änderung ∂f
∂t
selbst an einem festen Ort ändert.
Wir wollen am Beispiel der Temperatur T den Unterschied zwischen den einzelnen Termen
verdeutlichen. In diesem Fall lautet die Bahnableitung für f = T :
∂T
∂T dx ∂T dy ∂T dz
DT
=
+
+
+
Dt
∂t
∂x dt
∂y dt
∂z dt
Die linke Seite gibt die Temperatur für ein beliebiges sich u.U. bewegendes System an. Dies
können auch wir selbst sein. Dann beschreibt die Gleichung gerade die von uns gefühlte Umgebungstemperatur. Nehmen wir einmal an, wir bewegen uns vom kühlen Hamburg zum warmen Mallorca. Wir legen die x-Achse so, daß sie von Hamburg nach Mallorca weise. Auf ihr
nehme die Temperatur gleichmäßig um 5 K pro 1000 km zu. Es gilt also:
1K
∂T
=
∂x
200 km
Bewegen wir uns mit einem Auto mit 100 km/h in Richtung Mallorca, dann ist die von uns
gefühlte Temperaturzunahme:
∂T dx
1K
DT
=
=
100km/h = 0.5K/h
Dt
∂x dt
200 km
Es wird um uns also alle zwei Stunden um ein Grad wärmer.
Müssen wir allerdings in Hamburg bleiben, dann können wir nur auf den Sommer oder einen
Wetterumschwung hoffen. Nehmen wir einmal an, dieser komme tatsächlich, es werde dabei
pro Tag ein Grad wärmer. Dann ist die von uns wahrgenommene Temperaturänderung:
DT
∂T
=
= 1K/d
Dt
∂t
Nehmen wir zum Schluss an, es werde dabei über ganz Europa wärmer und wir fahren trotzdem nach Mallorca. Dann sollten wir nun sicher in der Lage sein, die von uns gefühlte Temperaturänderung mit Hilfe der Gleichung
∂T
∂T dx
DT
=
+
Dt
∂t
∂x dt
selbst zu bestimmen.
1.1.3 Strömungen als Vektorfelder
Einer Strömung kann man in dem von ihr eingenommenen Raum an jedem Ort eine Geschwindigkeit zuordnen. Der von der Strömung eingenommene Raum ist somit ein Feld von
1.1. Bahnlinien
Seite 15
Y
X
Abbildung 1.2: Zentrales, zum Koordinatenursprung gerichtetes Vektorfeld.
Geschwindigkeitsvektoren. Ein solches Feld bezeichnet man in der Sprache der Mathematik
als Vektorfeld: Jedem Punkt des Raumes (x, y, z) wird ein Geschwindigkeitsvektor (u, v, w)
zugeordnet. Wie dabei die einzelnen Geschwindigkeitskomponenten berechnet werden, wird
durch Berechnungsvorschriften spezifiziert. So ist ein Vektorfeld etwa durch d
x
+ + z 2 )3/2
y
v(x, y, z) = − 2
2
(x + y + z 2 )3/2
z
w(x, y, z) = − 2
2
(x + y + z 2 )3/2
u(x, y, z) = −
(x2
y2
bzw. u(x) = −
x
r3
(1.1)
bis auf den Ort (x, y, z) = (0, 0, 0) eindeutig bestimmt, da jedem Ort des dreidimensionalen
Raumes (x, y, z) ein Vektor (u, v, w) in eindeutiger Weise zugeordnet ist.
Um eine Vorstellung von diesem Vektorfeld zu bekommen, muß man es zeichnen, genauso wie
man über das Aussehen einer Funktion erst durch ihren Graphen informiert wird. Zeichnen läßt
sich die ganze Sache ohne projektive Techniken natürlich nur im zweidimensionalen Raum.
So ist unser Vektorfeld in Abbildung 1.2 dadurch gewonnen worden, daß z = 0 gesetzt wurde,
man hätte aber auch jeden anderen Wert für z wählen können.
Unser Beispielvektorfeld stellt also ein kugelsymmetrisches Geschwindigkeitsfeld dar, welches das Fluid fortlaufend in Richtung des Koordinatenursprungs beschleunigt, umso näher
sich das Fluid an diesem befindet. Man kann sich ein solches Strömungsfeld nur schwerlich
vorstellen, da im Koordinatenursprung immer mehr Fluidmasse konzentriert wird. Tatsächlich
wurde seine Form dem Gravitationsfeld bzw. dem elektrischen Feld um eine Punktladung entlehnt.
Daher stellt sich sofort die Frage, ob jedes denkbare Vektorfeld der Mathematik auch
tatsächlich ein Strömungsfeld darstellen kann. Oderr anders: In welcher Beziehung stehen nun
1.1. Bahnlinien
Seite 16
die unendlich vielen mit mathematischen Vorschriften nahezu beliebig konstruierbaren Vektorfelder zu real existierenden Geschwindigkeisfeldern der Hydromechanik ? Sicherlich stellt
nicht jedes Vektorfeld der Mathematik ein Geschwindigkeitsfeld in der Hydromechanik dar.
Daraus resultieren zwei Fragen:
• Wie muß ein Vektorfeld beschaffen sein, damit es eine Strömung darstellt ?
• Wie kann man das Vektorfeld zu einer Strömung in einem bestimmten Gefäß, einem
Rohrverlauf oder einem Fluss berechnen ?
Wir werden im folgenden sehen, daß die Beantwortung der ersten Frage direkt mit der Beantwortung der zweiten verbunden ist: Kennt man die Eigenschaften der Geschwindigkeitsfelder
von Strömungen, dann kann man mit ihnen auch diese vorherberechnen.
Übung 1: Mit dem folgenden Programmbeispiel können Sie in MATLAB zweidimensionale
Vektorfelder zeichnen:
x=-1:0.1:1;
y=-1:0.1:1;
[x,y]=meshgrid(x,y);
u=5*(y+1.2).ˆ2;
v=2*x.*y;
quiver(x,y,u,v);
Schlagen Sie die entsprechenden Befehle in der MATLAB-Hilfe nach und zeichnen Sie das
zentrale Vektorfeld.
1.1.4 Die Bahnableitung in einem Geschwindigkeitsfeld
Wir wollen nun die Lagrangesche oder Bahnableitung für eine Strömung betrachten, deren
Geschwindigkeitsverteilung in Form eines Vektorfeldes bekannt sind. In dieser Strömung befinde sich ein mittreibendes Gerät, welches die physikalische Größe f fortlaufend mißt. Wir
wollen nun bestimmen, welche zeitliche Änderung dann aufgezeichnet wird.
Da das Gerät keine Eigengeschwindigkeit besitzt, müssen die Ortsableitungen nach der
Zeit zu der am jeweiligen Ort vorherrschenden Strömungsgeschwindigkeit u(x, y, z, t) =
(u(x, y, z, t), v(x, y, z, t), w(x, y, z, t))t ersetzt werden:
Df
∂f
∂f
∂f
∂f
=
+u
+v
+w
Dt
∂t
∂x
∂y
∂z
Da f jede physikalische Größe repräsentiert, kann sie auch die Geschwindigkeiten u, v und w
darstellen. In diesem Fall erhält man die für die Dynamik wichtigen Lagrangeschen Beschleunigungen:
1.1. Bahnlinien
Seite 17
Du
=
Dt
∂u
∂u
∂u
∂u
+u
+v
+w
∂t
∂x
∂y
∂z
Dv
=
Dt
∂v
∂v
∂v
∂v
+u
+v
+w
∂t
∂x
∂y
∂z
(1.2)
∂w
∂w
∂w
∂w
Dw
=
+u
+v
+w
Dt
∂t
∂x
∂y
∂z
und der sogenannten advektiven BeSie setzen sich aus der Eulerschen Beschleunigung ∂u
∂t
∂u
∂u
∂u
schleunigung u ∂x + v ∂y + w ∂z zusammen, die einfach dadurch entsteht, daß sich der Beobachter mit dem Strömungsfeld bewegt.
Mit Hilfe dieses Formalismus kann man für ein gegebenes Geschwindigkeitsfeld nun den Weg
eines jeden beliebigen Partikels bestimmen. Dazu wird die Lagrangesche Ableitung der Geschwindigkeit zunächst über die Zeit integriert:
t
u(x, y, z, t) = u0 (x0 , y0 , z0 ) +
t0
t
v(x, y, z, t) = v0 (x0 , y0 , z0 ) +
t0
t
w(x, y, z, t) = w0 (x0 , y0, z0 ) +
t0
Du
dt
Dt
Dv
dt
Dt
Dw
dt
Dt
Darin sind (u0 (x0 , y0, z0 ), v0 (x0 , y0 , z0 ), w0 (x0 , y0, z0 )) die Geschwindigkeiten am Startpunkt
des Partikels. Mit diesen Bahngeschwindigkeiten läßt sich nun die Bahn selbst durch
t
x(t) = x0 +
u(x(t), y(t), z(t), t)dt
t0
t
y(t) = y0 +
v(x(t), y(t), z(t), t)dt
t0
t
z(t) = z0 +
w(x(t), y(t), z(t), t)dt
t0
berechnen. Damit ist die Trajektorie eines passiven Partikels in einem Geschwindigkeitsfeld
nur durch seinen Anfangsort vollständig bestimmt.
1.1. Bahnlinien
Seite 18
Y
X
Abbildung 1.3: Kreisförmiges Vektorfeld.
Länge und Richtung der einzelnen Vektoren
gelten jeweils in ihrer Mitte.
Beispiel: Kreisförmiges Vektorfeld
Als Beispiel betrachte man das in Abbildung 1.3 dargestellte kreisförmige Vektorfeld. Es wird
durch die Vorschrift
u(x, y) = −y
v(x, y) = x
(1.3)
erzeugt. Um die Sache nicht zu verkomplizieren, wurden hier alle Dimensionen weggelassen.
Wir wollen nun den Weg eines in diesem Vektorfeld mitschwimmenden Partikels verfolgen.
Befindet sich dieses zum Zeitpunkt t am Ort (x(t), y(t)), dann erfährt es dort die Lagrangesche
Beschleunigung:
Du
(x, y, t) = −x(t)
Dt
Dv
(x, y, t) = −y(t)
Dt
Da man die Bahn des Partikels an dieser Stelle noch nicht kennt, muß die für die Geschwindigkeit erforderliche Zeitintegration so stehen bleiben. Zur Zeit t hat das Partikel also die
Geschwindigkeit
t
u(x, y, t) = u0 (x0 , y0 ) −
x(t)dt
0
v(x, y, t) = v0 (x0 , y0 ) −
y(t)dt
0
und es befindet sich am Ort:
t
1.1. Bahnlinien
Seite 19
t
t
x(t) = x0 + u0 (x0 , y0)t −
x(t)dtdt
0 0
t t
y(t) = y0 + v0 (x0 , y0 )t −
y(t)dtdt
0 0
Dies sind zwei Integralgleichungen, die man durch zweifaches Ableiten nach der Zeit in zwei
gewöhnliche Differentialgleichungen überführen kann:
d2 x
= −x(t)
dt2
d2 y
= −y(t)
dt2
Ihre allgemeinen Lösungen sind:
x(t) = Ax sin t + Bx cos t
y(t) = Ay sin t + By cos t
Die unbekannten Vorfaktoren Ax , Ay , Bx und By kann aus den Bedingungen bestimmen, daß
das Partikel zur Zeit t = 0 am Ort (x0 , y0 ) sein soll und dann die Geschwindigkeit (u 0 , v0 )
haben soll:
x(t) = u0 sin t + x0 cos t
y(t) = v0 sin t + y0 cos t
Betrachten wir z.B. ein Partikel, welches zum Zeitpunkt t = 0 bei (x0 , y0 ) = (0, 1) startet,
dann hat es dort die Bahngeschwindigkeit (−1, 0) und seine Bahn wird durch die Gleichungen
x(t) = − sin t
y(t) = cos t
beschrieben. Ganz offensichtlich handelt es sich hierbei um eine Kreisbahn um das Zentrum
des Wirbels.
Seite 20
1.2. Lagrangesche Erhaltungsgrößen
1.1.5 Eulersche und Lagrangesche Betrachtungsweise einer Strömung
Wir wollen nochmals genauer hinschauen, was sich hinter den beiden Typen von Zeitableitung
verbirgt.
Die Strömungsmechanik ist als Teilgebiet der Physik eine Erfahrungswissenschaft, ihre Erkenntnisse zieht sie also aus der Beobachtung von Naturvorgängen. Dabei werden Fließvorgänge und Strömungen in der Regel von einem festen Ort aus beobachtet. Diese nach Euler
benannte Betrachtungsweise nehmen wir in unserer Alltagserfahrung ein, wenn wir auf einer
Brücke stehend oder am Strand liegend einen Fluß anschauen. Auch ein fester Pegel oder ein
verankertes Strömungsmeßgerät nimmt diese Betrachtungsweise ein. Hydronumerische Simulationsmodelle verwenden zweckmäßigerweise die Eulersche Betrachtungsweise; denn man
berechnet mit ihnen die Strömungsgrößen wie Geschwindigkeiten, Dichte oder Druck an festen Orten in Abhängigkeit von der Zeit. Diese Sichtweise entspricht der partiellen Ableitung
.
nach der Zeit ∂f
∂t
Die Eulersche Betrachtungsweise ist auf den ersten Blick sehr naheliegend. Sie ist es aber
keinesfalls in der klassischen Punktmechanik und sie ist physikalisch sehr unvorteilhaft. Man
kann sie mit einer Geschwindigkeitsmessung mit einem Radargerät auf der Autobahn vergleichen. Das Messergebnis gibt hier Auskunft darüber, zu welcher Zeit ein Auto mit welcher
Geschwindigkeit am Radar vorbeigefahren ist, und ob diese vorschriftsmäßig war. Der Weg eines individuellen Fahrzeuges läßt sich so nicht analysieren. Für diesen interessiert sich jedoch
die Kinematik, die die Grundlage der Dynamik ist. Hierfür muß man den Ort des Fahrzeuges
als Funktion der Zeit kennen. Dies entspricht der Lagrangeschen Betrachtungsweise der
Mechanik, bei der sich der Beobachter mit dem Auto (welches wir nun wieder verlassen wollen), dem Partikel oder dem Fluidteilchen bewegt. Die Lagrangesche Sichtweise entspricht der
.
Bahnableitung Df
Dt
Die Lagrangesche Betrachtungsweise ist in der Theorie naheliegend, in der Praxis ist sie es
nicht, da es uns kaum möglich ist, die Bahnlinie einzelner Wasserteilchen zu verfolgen und
und zudem alle Beobachtungen in der Eulerschen Betrachtungsweise stattfinden. Daher wird
in der Hydrodynamik im allgemeinen folgender Weg eingeschlagen: Man leitet die hydrodynamischen Grundgleichungen der Hydrodynamik aus klassischen mechanischen Prinzipien in
der Lagrangeschen Betrachtungsweise her, wodurch sie auch einprägsam werden und transformiert sie in die Eulersche Betrachtungsweise, in der wir messen, rechnen und zu denken
gewohnt sind.
1.2 Lagrangesche Erhaltungsgr ößen
Ändert sich eine physikalische Größe entlang einer Bahnlinie nicht, dann bezeichnet man diese
naheliegend als Lagrangesche Erhaltungsgröße. Nach dem Newtonschen Trägheitsgesetz ist
der Impuls eine Lagrangesche Erhaltungsgröße, wenn keine äußeren Kräfte wirken, denn ein
Seite 21
Partikel bleibt dann in Ruhe oder in gleichförmiger geradliniger Bewegung.
1.2.1 Die lineare Advektionsgleichung
Betrachten wir jedoch zuerst eine beliebige physikalische Größe f , von der wir wissen, daß
sie sich entlang ihrer Bahnlinie nicht ändere. Für sie gilt also
Df
∂f
∂f
∂f
∂f
=
+u
+v
+w
=0
Dt
∂t
∂x
∂y
∂z
Diese partielle Differentialgleichung erster Ordnung bezeichnet man als Advektionsgleichung,
sie beschreibt das Verhalten einer Größe f , die nur advektiv im Strömungsfeld treibt und sonst
keine weitere Dynamik zeigt.
Im Rahmen einer mengentheoretischen Sichtweise stellen Differentialgleichungen die Beschreibung einer Klasse oder Menge von Funktionen dar. In unserem Fall betrachten wir aus
der Grundmenge aller Funktionen f : IR4 → IR nur die, die die Advektionsgleichung für
vorgegebene Vektorfelder u, v, w : IR4 → IR3 erfüllen. Die Eigenschaften einer Differentialgleichung zu untersuchen, heißt also nichts anderes, als die Eigenschaften der Funktionen zu
untersuchen, die Lösungen der Differentialgleichung sind. Wenn man aber in der Lage ist, alle
Lösungen der Differentialgleichung direkt erfassen zu können, benötigt man die Differentialgleichung als Platzhalter nicht mehr. In der Regel ist also eine umfassende Beschreibung der
Lösungsmenge nicht bekannt, so daß man das Studium der Eigenschaften der Differentialgleichungen nur an gewissen Teilmengen von Lösungen vollziehen kann.
Bei der Advektionsgleichung kann man die Lösungsfunktionen analytisch erfassen, wenn das
Strömungsfeld homogen und stationär ist, d.h. wenn u = const, v = const, w = const gilt. In
diesem Fall hat die Advektionsgleichung die allgemeine Lösung:
f (x, y, z, t) = f0 (x − ut, y − vt, z − wt)
’Allgemein’ heißt dabei, daß sich tatsächlich alle Lösungen in dieser Form darstellen lassen.
Leider sind dies aber nur Lösungen für homogene Geschwindigkeitsfelder und solche existieren in der Natur nicht.
Daß es sich wirklich um eine Lösung handelt, kann man durch Ableiten von f nach x, y, z
und t und Einsetzen der Ergebnisse in die Advektionsgleichung bestätigen.
Die Lösung weist die charakteristischen Eigenschaften der Advektion auf: Zu einem gewissen
Zeitpunkt t = 0 besitzt die physikalische Größe f die Anfangsverteilung f 0 (x, y, z). Zu jedem
späteren Zeitpunkten ergibt sich die Verteilung der Größe f durch Verschiebung des Anfangszustandes im homogenen Strömungsfeld (u, v, w) um den Vektor (ut, vt, wt) (Abb. 1.4). Die
Form der Lösung wird dabei selbst nicht verändert. Die Größe f treibt also tatsächlich passiv
im Strömungsfeld.
Seite 22
f
6
uΔt
-
-
x
Abbildung 1.4: Lösung des Anfangswertproblems für die lineare Advektionsgleichung.
Damit werden wir direkt auf das gestoßen, was die Mathematiker als Anfangswertproblem
bezeichnen. Wir müssen immer wissen, was überhaupt advektiert werden soll, also den Anfangszustand f0 (x, y, z) kennen. Dies hört sich trivial an, ist aber in der Praxis nicht oftmals
nicht so einfach.
Übung 2: In einem Kettenkarussell bewegen sich die Gondeln mit der Geschwindigkeit
u = 4 cos(0.2πt) in m/s
v = 4 sin(0.2πt) in m/s
w = 0.1 cos(0.033πt) in m/s
fort. Die Gondel mit dem Schwan befindet sich zur Zeit t = 0 am Ort (x 0 , y0 , z0 ) = (0, 0, 0).
1. Bestimmen Sie die Bahnlinie dieser Gondel.
2. Welche Abmessungen besitzt das Karussell ?
3. Die Umrandungsbewandung des Karussells ist farbig gestaltet und wird mit zunehmender Höhe immer blauer, um zunehmende Himmelsnähe zu suggerieren. Nach dem RGBFarbenmodell nimmt der Blauanteil dabei in der Bemalung nach
B = 10 + 4z
zu. Bestimmen Sie die zeitliche Änderung des Blauanteils
wahrnimmt.
DB
,
Dt
die der Karussellbenutzer
4. Angenommen, das menschliche Gehirn kann zeitliche Änderungen des Blauanteils von
0.6 s-1 nicht mehr verarbeiten, wodurch dem Besitzer desselben schwindelig wird. Wird
unserem Karusselbenutzer schwindelig ? Welche Möglichkeiten hat der Betreiber, diesen Effekt zu erzielen ?
Seite 23
Übung 3: Durch einen unterseeischen Vulkanausbruch zur Zeit t = 0 hat sich die Wassertemperatur lokal an der Ausbruchstelle erhöht und läßt sich durch die Funktion
2
2
1 (x−12500 m) +(y+3000 m)
100m2
T0 (x, y) = 15 + 65e− 2
in o C
beschreiben. Die Meeresströmung ist in diesem Gebiet konstant und hat die Werte (u,v) = (-1
m/s, 0.5 m/s).
1. Wo (d.h. an welchen Koordinaten (x,y)) fand der Vulkanausbruch statt ?
2. Wie sieht die zeitliche Entwicklung der Temperatur T (x, y, t) in dem Meeresbecken
unter Einbeziehung der Advektion aus ?
3. Am Ort (xB , yB ) = (6500 m, 2 m) befindet sich eine Meßboje. Welchen Temperaturverlauf mißt diese Boje und wie hoch ist die Maxitemperatur ?
4. Skizzieren Sie die Situation ! (Lage des Vulkans, der Meßboje, Richtung der Strömung)
5. Welche Ausbreitungseffekte sind in dieser Temperaturfunktion nicht enthalten ?
Übung 4: Zeigen Sie: Die Funktion
f (x, y, t) = cosh(x − ut) sin(y − vt)
löst die lineare 2D-Advektionsgleichung.
1.2.2 Die nichtlineare Advektionsgleichung
Wir wollen nun eine Strömung aus einzelnen Partikeln zusammengesetzt denken, die sich
frei von äußeren Kräften nach dem Trägheitsgesetz gleichförmig und geradlinig durch den
Raum bewegen. Ihre Geschwindigkeit ändert sich also auf ihren Bahnlinien nicht. Da das
Geschwindigkeitsfeld der Strömung sich aus den Geschwindigkeiten der einzelnen Partikel
zusammensetzt, gilt somit für die drei Komponenten:
Du
=
Dt
∂u
∂u
∂u
∂u
+u
+v
+w
=0
∂t
∂x
∂y
∂z
Dv
=
Dt
∂v
∂v
∂v
∂v
+u
+v
+w
=0
∂t
∂x
∂y
∂z
∂w
∂w
∂w
∂w
Dw
=
+u
+v
+w
=0
Dt
∂t
∂x
∂y
∂z
Seite 24
Das Geschwindigkeitsfeld gehorcht also einem System von partiellen Differentialgleichungen
erster Ordnung.
Dieses zu lösen, ist sehr schwer. Wir betrachten daher eine lediglich entlang der x-Achse gerichtete Strömung, setzen also v = w = 0. Es entsteht die Differentialgleichung:
∂u
∂u
+u
=0
∂t
∂x
Dies ist eine nichtlineare Differentialgleichung. Dabei bezeichnet man eine Differentialgleichung als linear, wenn die Linearkombination
u = λ1 u 1 + λ2 u 2
zweier Lösungen u1 und u2 mit den Skalaren λ1 und λ2 wieder einer Lösung der Differentialgleichung ist. Bei nichtlinearen Differentialgleichungen ist dies genau nicht der Fall. Dies
bestätige der Leser für die nichtlineare Advektionsgleichung selbst. Man findet sofort heraus,
ist. So kann man nichtlineare Differentialgleichundaß der Grund dafür der Produktterm u ∂u
∂x
gen also sehr schnell an dem Auftreten von Produkten der Lösungsfunktion mit sich selbst
oder einer partiellen Ableitung beliebiger Ordnung erkennen.
Wir wollen die nichtlineare Advektionsgleichung nun zu lösen versuchen. Dazu bringen wir
sie auf die sogenannte Fixpunktform:
t
u = u0 −
u
0
∂u
dt
∂x
Hier wurde der nichtlineare Term einfach auf die rechte Seite gebracht und dann beide Seiten
über die Zeit t integriert. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bleibt
dann auf der linken Seite die Stammfunktion u übrig. Die Fixpunktform der nichtlinearen Advektionsgleichung besagt: Hat man eine Lösung u gefunden und setzt sie in der rechten Seite
ein, dann bekommt man als Ergebnis wieder die Lösung, also etwas festes, unveränderliches,
fixes.
Man kann die Fixpunktform aber auch dazu verwenden, iterativ Lösungen des Problems zu
finden. Dazu beginnt man mit einer vermuteten Lösung, setzt diese in die linke Seite ein und
sieht das Ergebnis als neue, verbesserte Lösung an, die dann sukzessive durch wiederholtes
Einsetzen weiterverbessert werden kann. Nur der Vollständigkeit halber sei noch erwähnt, daß
das Verfahren genau dann funktioniert, wenn die Fixpunktform eine wichtige mathematische
Eigenschaft besitzt, sie muß kontrahierend sein.
Betrachten wir nun eine konstante Strömung u in x-Richtung, die von einer wellenförmigen
Störung u sin(k(x − ut)) überlagert werde:
u(x, t) = u + u sin(k(x − ut))
Seite 25
1,4
1,3
1,2
u/[m/s]
1,1
1
Startfunktion
0,9
1. Iteration
2. Iteration
0,8
0,7
0,6
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
t/T
Abbildung 1.5: Die Periodenverdopplung bei der nichtlinearen Advektion für eine mittlere
Geschwindigkeit von u = 1 m/s und einer Störungsgeschwindigkeit von u = 0.3 m/s.
Der zweite Teil der Funktion beschreibt eine Welle der Wellenlänge λ = 2π/k, die sich mit
der Geschwindigkeit u der Hauptströmung in positiver Richtung fortbewegt.
Wir wollen diese Geschwindigkeitsfunktion in die Fixpunktform einsetzen und dadurch testen,
ob sie eine Lösung der nichtlinearen Advektionsgleichung ist, oder diese dadurch verbessern.
Man bekommt im ersten Schritt:
t
1
uu k cos(k(x − ut)) + u2 k sin(2k(x − ut)) dt
2
u = u0 −
0
Die Integration ergibt:
u2
(cos(2k(x − ut)) − cos(2kx))
u(x, t) = u + u sin(k(x − ut)) −
4u
Die verbesserte Lösungsfunktion enthält ein Signal der halben Wellenlänge. Man kann dieses
Signal der halben Wellenlänge auch als Signal der doppelten Periode interpretieren, wenn man
sich z.B. an einem festen Ort stehend, das vorbeiziehende Geschwindigkeitsfeld betrachtet.
Somit bewirkt die nichtlineare Advektionsgleichung eine Periodenverdopplung, wenn die
Anfangsfunktion nur einen einzige Störung in Form eines periodischen Anteil enthält.
Der Blick auf Abbildung 1.5 zeigt, was diese Periodenverdopplung bewirkt. Sie ist mit einer Erhöhung der Geschwindigkeit in Hauptstromrichtung und einer Erniedrigung gegen die
1.3. Fluidelemente
Seite 26
Hauptstromrichtung verbunden. Dennoch bleibt der zeitliche Mittelwert der Störung Null,
denn die Dauer höherer Geschwindigkeit erniedrigt sich und die Dauer geringerter Geschwindigkeit wird verlängert. Interpretieren wir die Strömung als Wind, so erkennt man das Entstehen der Böigkeit.
Setzt man diese Lösung wieder in die Fixpunktform ein, dann entstehen sukzessive weitere
Signale der doppelten Periode, so daß am Ende in einer langen harmonischen Anfangsfunktion
viele unendlich feine Strukturen zu finden sind. In der Hydromechanik bezeichnet man diesen
Prozess als Turbulenzentstehung, er führt dazu, daß eine regelmäßige Strömung feinskalige
chaotische Strukturen bekommt.
1.3 Fluidelemente
Anstelle der sich mit der Strömung bewegenden Partikel wollen wir nun kleine Fluidelemente
d.h. feste Massen betrachten, die sich ebenfalls passiv in der Strömung fortbewegen. Damit
vollziehen wir den Schritt von der Punktmechanik zur Kontinuumsmechanik. Wir gehen
davon aus, daß diese Fluidelemente so klein sind, daß sie sich im relevanten Zeitintervall nicht
teilen, ihr Form dürfen sie aber ständig ändern.
Den von einem solchen Fluidelement eingenommenen Raum wollen wir mit dem griechischen
Buchstaben Ω bezeichnen. Er sei zur Zeit t = 0 durch Ω(0) und zur Zeit t durch Ω(t) beschrieben.
Das Volumen bzw. der Rauminhalt, welches ein solches Fluidelement einnimmt, sei mit |Ω|
bezeichnet, es läßt sich formal durch
|Ω(t)| =
dΩ
Ω(t)
bestimmen.
Wir wollen untersuchen, wie sich der Rauminhalt des Fluidvolumens während des Bewegens
in der Strömung ändert. Dazu betrachten wir die Eigenschaften des Strömungsfeldes auf dem
Rand des Fluidelementes Ω. Zur Darstellung bezeichnen wir hinfort den Rand des Fluidvolumens Ω mit ∂Ω.
einen Vektor der senkrecht auf einer Teilfläche dS des Randes steht, der
Definiert man mit dS
aus dem Fluidelement heraus zeigt und dessen Betrag den Flächeninhalt der Teilfläche angibt,
ein Maß für die Bewegung des Randes des betrachteten Fluidelementes. Auf jedem
so ist udS
> 0 gilt, ’beult’ sich das Fluidelement Ω nach außen aus
Punkt des Randes, auf dem udS
(siehe Abbildung 1.6), das Volumen |Ω(t)| wird an diesem Punkt vergrößert. Umgekehrtes ist
< 0 der Fall.
auf Randpunkten mit udS
Im gesamten Fluidelement ist die Volumenänderung pro Zeit dann durch die Bilanz u dS
∂Ω
gegeben.
1.3. Fluidelemente
Seite 27
u
Ω
u
3
-
Ω
Q
k
Q
Q
dS
-
dS
>0
u dS
<0
u dS
Abbildung 1.6: Der Winkel zwischen Randflächen- und Geschwindigkeitsvektor entscheidet,
> 0, rechts udS
<0
ob es sich um eine Einstrom- oder Ausstromsituation handelt. Links ud S
Die zeitliche Änderung des Volumens ist somit:
d
d|Ω(t)|
=
dt
dt
dΩ =
Ω(t)
u dS
∂Ω
Zur Vereinheitlichung der Integrationsbereiche benötigen wir jetzt und im folgenden noch oft
den Gaußschen Integralsatz für Vektorfelder:
Satz: Auf einem Gebiet Ω mit glattem Rand ∂Ω sei ein Vektorfeld u gegeben. Dann gilt für
das Vektorfeld:
div u dΩ = u dS
(1.4)
Ω
∂Ω
Ohne auf den Beweis dieses fundamentalen Satzes einzugehen, sei bemerkt, daß er nichts
anderes als die Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung auf
mehrere Dimensionen ist (so kann man ihn sich auch merken). Im eindimensionalen Fall gehen
Divergenz und Gradient in die einfache Ableitung und das Randintegral in die Funktionswerte
an den Rändern über, wobei das negative Vorzeichen durch die entgegengesetzte Richtung der
Randvektoren entsteht.
Mit der Anwendung des Gaußschen Integralsatzes folgt für die Änderung des Volumens des
Fluidelements:
d
dt
dΩ =
Ω(t)
div u dΩ
Ω(t)
(1.5)
1.4. Das Reynoldssche Transporttheorem
Seite 28
Der Rauminhalt eines sich mit der Strömung bewegenden Fluidelements ändert sich dann,
wenn das Integral der Divergenz des Strömungsfeldes über den Raum des Fluidelements nicht
Null ist. Diese Gleichung ist zumindest für den Fall plausibel, in dem die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes Null ist. Dies bedeutet, daß das betrachtete Fluidvolumen sich in einem
lokal homogenen Strömungsfeld verformungsfrei und volumentreu bewegt.
Gelänge es uns nun, die Zeitableitung mit der Integration zu vertauschen, so könnten wir letztere eliminieren. Dies ist aber deshalb nicht so einfach, weil der Integrationsbereich selbst von
der Zeit abhängt.
1.4 Das Reynoldssche Transporttheorem
Wie man eine Zeitableitung mit der Integration vertauscht, wenn sogar noch über eine
zeitabhängige Feldgröße f integriert wird, zeigt uns das Reynoldssche Transporttheorem. Der
Nutzen dieser Umformung wird erst später deutlich, er besteht im wesentlichen aber darin, auf
beiden Seiten einer Gleichung das Integral außen stehen zu haben und dieses dann weglassen
zu können.
Satz: (Reynoldssches Transporttheorem) Für ein Fluidelement Ω(t) im Geschwindigkeitsfeld
u gilt:
d
dt
f dΩ =
Ω(t)
Ω(t)
∂f
+ div (uf )dΩ
∂t
(1.6)
Für f = 1 erhalten wir die Gleichung 1.5 des vorangegangenen Abschnittes. Der Beweis ist
sehr technisch und es schadet dem weiteren Verständnis keinesfalls, wenn man ihn überliest.
Beweis: Sei JF die Jakobimatrix der Abbildung F des Fluidvolumens Ω(t) auf das Fluidvolumen Ω(0). Auch wenn wir dies im Folgenden nicht benötigen, soll diese (bijektive und stetige)
Abbildung F explizit angegeben werden. Sie ist nat ürlich die Umkehrung der Bahnlinien, denn
jedem Ort x(t) ∈ Ω(t) soll sein Startpunkt x(0) ∈ Ω(0) zugeordnet werden:
t
F : Ω(t) → Ω(0),
F (x) = x −
udt
0
Die Jakobimatrix JF besteht aus der Ableitung aller Komponenten dieser vektorwertigen Abbildung nach allen Raumrichtungen, sie besteht aus den Komponenten:
t
(JF )i,j = δi,j −
0
∂ui
dt
∂xj
1.4. Das Reynoldssche Transporttheorem
Seite 29
Dabei ist δi,j das Kroneckersymbol, welches Eins für i = j, ansonsten Null ist.
Zurück zum Beweis. Mit Hilfe der Integraltransformationsformel ergibt sich:
d
dt
f dΩ =
Ω(t)
d
dt
f |detJF |dΩ = ...
Ω(0)
wobei JF die Jakobimatrix der Abbildung des Fluidvolumens zur Zeit t auf das zur Zeit t = 0
ist. Da das Integral nun zeitunabh ängig ist, kann die Ableitung unter das Integral gezogen
d
(f |detJF |) dΩ = ...
dt
... =
Ω(0)
und die Produktregel angewendet werden:
... =
Ω(0)
df
d|detJF |
|detJF | + f
dΩ = ...
dt
dt
f ist eine Funktion von x, y, z und t, wobei die Ortskoordinaten selbst von t abh ängen können.
Ihre totale Ableitung nach der Zeit entspricht damit der Lagrangeschen Ableitung:
... =
Ω(0)
∂f
∂f
∂f
∂f
+u
+v
+w
∂t
∂x
∂y
∂z
|detJF | + f
d|detJF |
dΩ = ...
dt
Die Anwendung der Identität
d|detJF |
= |detJF |div u
dt
die sich durch Integration über das zeitunabhängige Volumen Ω(0) schnell auf Gleichung 1.5
zurückführen läßt, liefert:
... =
Ω(0)
∂f
∂f
∂f
∂u
∂v
∂w
∂f
+u
+v
+w
+f
+f
+f
|detJF |
dΩ =
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
Ω(0)
∂f
+ div (uf ) dΩ = ...
|detJF |
∂t
Durch die Rücktransformation auf das Fluidvolumen zur Zeit t
... =
Ω(t)
∂f
|detJF |
+ div (uf ) |detJF |−1 dΩ
∂t
=
Ω(t)
∂f
+ div (uf )dΩ
∂t
1.5. Zusammenfassung
Seite 30
bekommt man das gewünschte Ergebnis.
In Worten besagt das Reynoldsche Transporttheorem: Die zeitliche Änderung des Inhalts einer
skalaren Größe f in einem Fluidvolumen Ω setzt sich zusammen aus der (eulerschen) Änderung der Größe selbst und die durch die Änderung des Fluidvolumens bewirkte Änderung.
Mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes läßt sich die durch die Änderung des Fluidvolumens
bewirkte Änderung genauer charakterisieren. Nun schreibt sich das Reynoldsche Transporttheorem als
d
dt
f dΩ =
Ω(t)
Ω(t)
∂f
dΩ +
∂t
uf dS
∂Ω
Die Größe f kann sich im Fluidvolumen auf zwei Arten ändern:
• Zum einen kann sich die Größe f im Fluidvolumen ändern. Beispiele hierfür sind die
Umwandlung von kinetischer Energie in Wärme oder f kann als Reaktand einer chemischen Reaktion vermehrt oder verzehrt werden. Diese interne Änderung beschreibt der
∂f
dΩ.
Term
∂t
Ω(t)
• Zum anderen kann sich f durch Zu- oder Abfluß in das Gebiet Ω ändern. Die Bilanz
beschrieben. Wir werden daher
dieser Zu- und Abflüsse wird durch den Term uf dS
∂Ω
Φf = uf
(1.7)
hinfort als Fluß oder Strom der Größe f bezeichnen.
1.5 Zusammenfassung
Wir schließen dieses Kapitel zusammenfassend mit einer Leseübung ab. Die Differentialgleichung
∂f
∂f
∂f
∂f
+u
+v
+w
=F
∂t
∂x
∂y
∂z
kann wie folgt gelesen werden:
Die physikalische Größe f ändert sich entlang einer Bahnlinie betrachtet zeitlich um den Wert
F . Messen wir an einem festen Ort, so ist ihre Änderungsrate durch den Wert
∂f
∂f
∂f
∂f
=F −u
−v
−w
∂t
∂x
∂y
∂z
Seite 31
gegeben. Mit der Größe f ist der Fluß uf verbunden.
In den folgenden Kapiteln werden wir uns um F kümmern müssen, d.h. das was die Ursache
der advektiven Bewegung ist.
Seite 32
Kapitel 2
Massenerhaltung und
Potentialströmungen
Ihre Blütezeit erlebte die Hydrodynamik idealer Fluide in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts. Diese Epoche war durch eine intensive gegenseitige Befruchtung der mathematischen
Disziplinen Funktionentheorie und Potentialtheorie und der klassischen Feldtheorie der Physik
geprägt. Die größte Antriebskraft kam dabei der Funktionentheorie zu, die sich mit Funktio√
nen komplexer Zahlen beschäftigt und deren Grundstein, die imaginäre Einheit i = −1
ebenfalls durch Euler im Jahr 1777 eingeführt wurde1 . Im Gegensatz zum Rechnen mit reellen
Zahlen lassen sich in der Menge der komplexen Zahlen alle algebraischen Rechenoperationen geschlossen durchführen (also auch Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen). Dies führt
zu gewissermaßen idealen Konsequenzen in der Algebra und Analysis: So hat ein Polynom
n-ten Grades genau n komplexe Nullstellen und die sogenannten analytischen Funktionen,
die sich einmal komplex differenzieren lassen, sind sofort beliebig oft differenzierbar und
integrierbar. Entsprechende Sätze sind in der reellen Algebra und Analysis mit Ausnahmen
und Einschränkungen angereichert. Ferner lassen sich alle analytischen Funktionen durch eine partielle Differentialgleichung beschreiben, die Laplace-Gleichung, die das Fundament der
Potentialtheorie bildet. Diese Theorie stellt einen umfangreichen analytischen Apparat zur Untersuchung und Lösung der Laplace-Gleichung zur Verfügung, so daß diese als die wohl am
umfassendsten untersuchte partielle Differentialgleichung gelten kann. Die Laplace-Gleichung
ist selbst wieder eine Grundgleichung der klassischen Mechanik, der Elektrodynamik und der
Hydrodynamik, so daß die Potentialtheorie auch unzählige praktische Anwendungen gefunden
hat. Die Situation war in diesem Sinne tatsächlich ideal.
In der Folge befaßte sich die theoretische Hydrodynamik fast ausschließlich mit idealen d.h.
reibungsfreien Fluiden. Dies war auch aus physikalischen Gesichtspunkten zunächst naheliegend, da die Viskosität von Wasser so gering ist, daß man allgemein davon ausgegangen war,
1
Entdeckt wurden die imaginären Zahlen allerdings von dem Arzt und Mathematiker Girolamo Cardano (1501
– 1576) bei der Lösung von algebraischen Gleichungen dritten Grades.
33
2.1. Die Massenerhaltung in der Strömungsmechanik
Seite 34
daß sie keinen wesentliche Einfluß auf das Strömungsgeschehen hätte.
2.1 Die Massenerhaltung in der Str ömungsmechanik
In der klassischen Mechanik gibt es ein Gesetz, welches besagt, daß die Gesamtmasse in einem abgeschlossenen System weder zu- noch abnehmen kann. Dieses Gesetz von der Erhaltung der Masse ist nicht beweisbar, es nur durch seine unzähligen Anwendungen von einem
aufs andere immer wieder bestätigt worden. Auch in der Hydromechanik können wir es als
uneingeschränkt gültig annehmen.
Erst die spezielle Relativitätstheorie von Einstein hat dieses Gesetz widerlegt. Nach der auf
jeder Semmeltüte stehenden Formel
E = mc2
mit c = 300 000 km/s
kann Masse in Energie umgewandelt werden. Somit gibt es also nur ein Gesetz von der Erhaltung der Energie in einem abgeschlossenen System, sobald man Masse auch als eine Form
von Energie betrachtet.
Dennoch verliert das Gesetz von der Erhaltung der Masse durch die Relativitätstheorie überhaupt nichts von seiner praktischen Bedeutung: Denn mit jedem Gramm Massenverlust ist dre
unvorstellbare Energiegewinn von E(1g) = 90T J verbunden. Da solche hochenergetischen
Prozesse zumindest im Rahmen der Hydromechanik nicht bekannt sind, können wir uns hier
zumindest auf die Erhaltung der Masse als gültiges Gesetz verlassen.
Viel schwieriger ist es, ein abgeschlossenes System zu identifizieren: Ein solches ist dadurch
charakterisiert, daß es in keiner Weise mit der es umgebenden Restwelt kommuniziert, sei es
durch den Austausch von Masse, Energie, Impuls oder sonstigem. Wir werden daher genötigt,
uns mit offenen Systemen zu beschäftigen. In solchen ist das Gesetz von der Erhaltung der
Masse dann gültig, wenn wir Zu- und Abflüsse durch die offenen Systemgrenzen berücksichtigen.
2.1.1 Die allgemeine Kontinuitätsgleichung
Die Masse M in einem Fluidvolumen Ω ist:
M=
dΩ
Ω
In einem mitschwimmenden Fluidelement, welches den Raum Ω(t) einnimmt, ändert sich
nach unserer Definition die Masse nicht. Dies beschreibt man durch die Ableitung der Masse
M im Fluidelement Ω(t) nach der Zeit t:
Seite 35
Dz
dS1
dS2
ur+D(ur)
ur
Dy
Dx
Abbildung 2.1: Die Kontinuität auf einem in x-Richtung durchströmten Quader.
d
dM
=0=
dt
dt
dΩ =
Ω(t)
Ω(t)
∂
+ div ( u) d Ω
∂t
Im dritten Teil der Gleichung wird die Fluidelementmasse M durch ihre Dichte bestimmt, im
vierten Teil wurde das Reynoldssche Transporttheorem Gleichung (1.6) angewendet. Da das
Fluidvolumen beliebig gewählt werden kann, ist der Integrand im dritten Teil der Gleichung
Null:
∂
+ div ( u) = 0
∂t
(2.1)
Dies ist die Kontinuitätsgleichung für allgemeine kompressible Fluide. Sie zeichnet sich dadurch aus, daß sich die Dichte zeitlich und - wie wir gleich sehen werden - auch auf einer
Bahnlinie ändern kann.
Als Anwendung der Gleichung betrachten wir das in Abbildung 2.1 dargestellte Kontrollvolumen Ω, welches an beiden Stirnflächen durchströmt wird und der Einfachheit halber an allen
anderen Seiten geschlossen ist. Die Integration der Kontinuitätsgleichung über das Volumen Ω
ergibt unter Anwendung des Gaußschen Integralsatzes:
Ω
∂
dΩ +
∂t
div ( u)dΩ =
Ω
∂M
+
∂t
=0
udS
∂Ω
Die Integration über die Oberfläche ∂Ω des Volumens Ω braucht nur über die beiden Stirn auf den geflächen ausgeführt werden, da die Projektion der Strömungsgeschwindigkeit ud S
schlossenen Flächen Null sein muß (durch geschlossene Flächen fließt nichts). Der Flächen ist betragsmäßig gleich dem Flächeninhalt ΔyΔz, er steht senkrecht auf der Fläche,
vektor S
Seite 36
u 1D t
u
u 2D t
D z
u
1
2
D y
D x
Abbildung 2.2: Die Kontinuität auf einem in x-Richtung durchströmten Quader.
aus dem Volumen hinaus weisend. Er hat also auf beiden Stirnflächen ein entgegengesetztes
Vorzeichen. Sind u1 und u2 die dortigen Geschwindigkeitsbeträge, dann besagt die Kontinuitätsgleichung:
∂M
= −ΔyΔzΔ (u )
∂t
Nun ist die Verallgemeinerung für den Fall, daß das quaderförmige Kontrollvolumen auf allen
Seiten offen ist, sehr einfach. Es gilt:
∂M
= −ΔyΔzΔ (u ) − ΔxΔzΔ (v ) − ΔxΔyΔ (w )
∂t
Die Masse M im Volumen Ω ändert sich also dann, wenn der Zu- und der Abfluß nicht gleich
sind.
Diese Gleichung ist ein Spezialfall der allgemeinen Kontinuitätsgleichung (2.1). Sie gilt nur
für einen Würfel, auf dessen Begrenzungsflächen konstante Strömungsgeschwindigkeiten vorliegen. Gleichung (2.1) ist wesentlich allgemeiner, da sie für den infinitesimalen Fall gilt, dabei
geht die Größe Masse in die Dichte über und Geschwindigkeitsdifferenzen werden durch die
Divergenz verallgemeinert.
2.1.2 Die allgemeine Kontinuitätsgleichung, einfachere Herleitung
Zur Herleitung der alle drei Raumrichtungen auflösenden Massenerhaltungsgleichung betrachten wir das in Abbildung 2.1 dargestellte quaderförmige Kontrollvolumen, welches an beiden
Stirnflächen durchströmt wird und der Einfachheit halber zunächst an allen anderen Seiten
geschlossen ist.
Seite 37
Am linksseitigen Einstromrand werde Fluid der Dichte 1 mit der Geschwindigkeit u 1 in das
Kontrollvolumen gedrückt. Dadurch erhöht sich dort in der Zeiteinheit Δt die Masse um den
Betrag:
M1 = u1 Δt 1 ΔyΔz
Umgekehrt verlasse Fluid der Dichte 2 am rechtsseitigen Ausstromrand das Kontrollvolumen
mit der Geschwindigkeit u 2 . Dadurch erniedrigt sich die Masse in der Zeiteinheit Δt um den
Betrag
M2 = u2 Δt 2 ΔyΔz
und die Gesamtänderungsrate ist:
M1 − M2
ΔM
=
= (u1
Δt
Δt
1
− u2 2 ) ΔyΔz := −Δ (u ) ΔyΔz
Dabei wurde der Differenzenoperator Δ (u ) so definiert, daß die Werte mit der größeren xKoordinate von denen mit der kleineren x-Koordinate abgezogen werden. Im Grenzübergang
zu sehr kleinen Zeitintervallen Δt → 0 wird der Differenzenquotient zu einer Ableitung der
Masse M im Kontrollvolumen nach der Zeit t:
dM
= −ΔyΔzΔ (u )
dt
Nun ist die Verallgemeinerung für den Fall, daß das quaderförmige Kontrollvolumen auf allen
Seiten offen ist, sehr einfach. Es gilt:
dM
= −ΔyΔzΔ (u ) − ΔxΔzΔ (v ) − ΔxΔyΔ (w )
dt
Die Masse M im Volumen ändert sich also dann, wenn der Zu- und der Abfluß nicht gleich
sind.
Teilen wir diese Gleichung durch das Volumen V = ΔxΔyΔz des Quaders, so bekommen
wir eine Gleichung für die zeitliche Änderung der Massendichte im Quader:
∂
Δ (u ) Δ (v ) Δ (w )
=−
−
−
∂t
Δx
Δy
Δz
An dieser Stelle wurde die gewöhnliche Ableitung durch eine partielle ersetzt, um auszudrücken, daß die Dichte nicht nur zeitlich variabel ist, sondern auch räumlichen Schwankungen unterlegen sein kann ( = (x, y, z, t)), wenn wir den einengenden Blickwinkel auf
unser Kontrollvolumen transzendieren. Wollen wir etwas über die Dichteänderungen an einem
ganz bestimmten Ort erfahren, müssen wir den Bilanzierungsquader um diesen fortwährend
Seite 38
enger eingrenzen. Im Grenzübergang eines beliebig kleinen Quaders ΔxΔyΔz → 0 ergibt
sich:
∂u
∂v
∂w
∂
=−
−
−
∂t
∂x
∂y
∂z
Auf der rechten Seite dieser Gleichung werden x-Anteile nach x, y-Anteile nach y und zAnteile nach z abgleitet. Diese Operationen entstammen wieder der Bilanzierung der Flüsse,
bloß daß dieses Mal ein Volumen anstatt einer Fläche betrachtet wird. Es ist daher naheliegend, den Divergenzoperator für dreidimensionale kartesische Koordinaten folgendermaßen
zu erweitern:
⎛
⎞
u(x, y, z)
⎜
⎟
∂u(x, y, z) ∂v(x, y, z) ∂w(x, y, z)
⎜
div u(x) = div ⎝ v(x, y, z) ⎟
+
+
⎠=
∂x
∂y
∂z
w(x, y, z)
(2.2)
In dieser Schreibweise ergibt sich:
∂
+ div ( u) = 0
∂t
(2.3)
Dies ist die Kontinuitätsgleichung für allgemeine kompressible Fluide.
2.1.3 Die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide
Mit Hilfe der Produktregel für die Divergenz läßt sich die allgemeine Kontinuitätsgleichung
auch als
∂
+ div u + u grad
∂t
=0
schreiben. Im ersten und dritten Term der rechten Seite erkennen wir die Bewegung der Dichte
auf einer Bahnlinie, wir können die Gleichung also auch in der Lagrangeschen Form
D
= − div u
Dt
schreiben.
Inkompressible Fluide sind durch die zusätzliche Tatsache gekennzeichnet, daß sich die
Dichte des Fluids auf einer Lagrangeschen Bahnlinie nicht ändert:
∂
∂
∂
∂
∂
D
=
+u
+v
+w
=
+ u grad
Dt
∂t
∂x
∂y
∂z
∂t
=0
Seite 39
Der Vergleich der letzten beiden Gleichungen ergibt
div u = 0
und nach Division durch folgt schließlich die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide in der Notation der Vektoranalysis:
div u = 0
In der Schreibweise als partielle Differentialgleichung lautet sie:
∂u ∂v ∂w
+
+
=0
∂x ∂y
∂z
(2.4)
In der deutschen Sprache lautet sie: Geschwindigkeitsfelder inkompressibler Strömungen
sind divergenzfrei. Wir haben mit dieser Gleichung also eine erste Bedingung, die Vektorfelder erfüllen müssen, damit sie eine inkompressible Strömung darstellen könnten. So stellt das
Vektorfeld nach Gleichung (1.1) keine inkompressible Strömung dar, während das Vektorfeld
(1.3) zumindestens eine solche sein könnte.
Man beachte, daß der Massenerhaltungssatz für inkompressible Fluide die Masse selbst nicht
mehr enthält, denn er ist zu einem Volumenerhaltungssatz degeneriert.
Noch gravierender ist die Tatsache, daß sie nun keine Zeitableitung mehr enthält. Dies sollte
den Leser verwundern, weil wir es mit Strömungen d.h. mit dynamischen Vorgängen zu tun.
Die Kontinuitätsgleichung muß aber überall zeitgleich erfüllt werden. Die Konsequenzen verdeutlichen wir uns in einem Gedankenexperiment. Gehen wir dazu von einem beliebigen Ort
in der Strömung aus, an dem eine beliebige Geschwindigkeit gemessen wird. Die Kontinuitätsgleichung besteht aus räumlichen Ableitungen, sie sagt also etwas darüber aus, wie sich die
Geschwindigkeiten in der infinitesimalen Nachbarschaft unseres Anfangsortes verhalten und
gibt dieser somit eine Bedingung vor. Dieses Gedankenexperiment können wir nun für den
infinitesimal entfernten Nachbarort wiederholen und wir kommen sehr schnell zu der Erkenntnis, daß der Anfangsort noch in beliebiger Entfernung noch eine gewisse Wirkung hat. Dies
steht nicht im Widerspruch zu den physikalischen Theorien. Wenn sich jedoch die Geschwindigkeit am Anfangsort in beliebig kurzer Zeit beliebig geringfügig ändert, dann breitet sich die
Information darüber instantan d.h. unendlich schnell über den gesamten Strömungskosmos aus
und dies widerspricht den Erkenntnissen der speziellen Relativitätstheorie.
Die Inkompressibilität kann also nur eine Näherung sein und wir werden später untersuchen,
welche physikalische Größe die Information über die Gestalt des Geschwindigkeitsfeldes mit
unendlicher Geschwindigkeit weiterleitet. Vielleicht wird der Leser von nun an auch ein wenig erschaudern, wenn er auf eine Differentialgleichung ohne Zeitableitung stößt, die einen
dynamischen Vorgang beschreiben soll.
2.2. Potentialströmungen
Seite 40
Übung 5: Ist die Kontinuitätsgleichung für stationäre, inkompressible Strömungen erfüllt,
wenn die folgenden Komponenten der Geschwindigkeit gegeben sind ?
u = 2x2 − xy
v = x2 − 4xy
w = −2xy − yz + y 2
Übung 6: Welche der folgenden Geschwindigkeitsfelder ist divergenzfrei ?
⎛
⎞
⎛
⎞
u(x, y, z)
sin(kx)
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
(a) u(x, y, z) = ⎜
⎝ v(x, y, z) ⎠ = ⎝ sin(ky) ⎠
w(x, y, z)
sin(kz)
⎛
⎞
⎛
⎛
⎞
⎛
⎛
⎞
⎛
⎞
u(x, y, z)
sin(kx)
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
(b) u(x, y, z) = ⎜
⎝ v(x, y, z) ⎠ = ⎝ − sin(ky) ⎠
w(x, y, z)
0
⎞
u(x, y, z)
sin(k(x + y))
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟ = ⎜ − sin(k(x + y)) ⎟
(c) u(x, y, z) = ⎜
v(x,
y,
z)
⎝
⎠
⎝
⎠
w(x, y, z)
sin(kz)
⎞
u(x, y, z)
sin(k(x + y + z))
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
(d) u(x, y, z) = ⎝ v(x, y, z) ⎠ = ⎝ − sin(k(x + y + z)) ⎟
⎠
w(x, y, z)
0
Übung 7: An einem Punkt in der Fläche treffen sich vier gleich lange, senkrecht zueinander stehende Vektoren, deren Richtung aber entweder auf den Punkt weisen oder von ihm
wegführen kann. Wie viele divergenzfreie Konstellationen (bis auf Rotationssymmetrie) gibt
es ?
2.2 Potentialströmungen
Zur mathematischen Lösung der Eulergleichungen wandte man schon lange bevor die Existenzsätze bekannt waren, einen anderen Trick an: Man setzt einfach voraus, daß das Geschwindigkeitsfeld rotationsfrei ist, dann können auch keine Wirbel entstehen und es wird
zudem möglich, ein Geschwindigkeitspotential zu definieren.
Geht man davon aus, daß die Strömung rotationsfrei ist, d.h.
rot u = 0
dann läßt sich zeigen, daß die Geschwindigkeit u durch eine skalarwertige Funktion φ in der
Form
Seite 41
u = −grad φ
(2.5)
ersetzt werden kann. Die Funktion φ bezeichnet man in Analogie zur Elektrostatik als Geschwindigkeitspotential. Es sei angemerkt, daß der Spezialfall einer rotationsfreien Strömung
äußerst angenehm ist, denn aus den gesuchten Funktionen für die drei Geschwindigkeitsrichtungen bleibt nur noch eine für das Geschwindigkeitspotential und die Bildung eines einfachen
Gradienten. Die zu leistende mathematische Arbeit wurde also mehr als halbiert.
Das negative Vorzeichen in der Definition des Geschwindigkeitspotentials ist nicht unbedingt
nötig, man muss es entweder nur dauerhaft mitschleppen oder aber weglassen. Es gibt dem
Potential aber einen physikalischen Sinn: Die Strömung fließt so von Bereichen hohen Potentials in Bereiche niedrigen Potentials. Dabei wird die Fähigkeit d. h. das Potential zu strömen
verbaucht; am Ende eines Weges sollte dieses also niedriger sein.
Wir werden in Kapitel ?? sehen, daß eine Strömung, die anfänglich rotationsfrei ist, es dann
weiter bleibt, sofern die äußeren Kräfte rotationsfrei sind. Damit existiert in einem solchen Fall
auch ein Geschwindigkeitspotential. Lamb [38] (S. 18) hat dies so ausgedrückt: ’A portion of
matter for which a velocity-potential exists moves about and carries this property with it,
but the part of space which it originally occupied may, in the course of time, come to be
occupied by matter which did not originally possess the property and which therefore cannot
have acquired it.’
Dieser Positivismus und die Blüte der Potentialtheorie im 19. Jahrhundert haben zu eine intensiven Untersuchung der Potentialströmungen geführt. Und auch heute gehen die grundlegenden Wellentheorien von einem idealen rotationsfreien Fluid aus. Wir werden später hierauf
zurückkommen und schauen uns zuerst mal das Kochrezept für die Berechnung von Potentialströmungen an.
Setzt man die Definitionsgleichung des Geschwindigkeitspotentials in die Kontinuitätsgleichung ein, so erhält man die sogenannte Laplacegleichung
div grad φ =
∂2φ ∂2φ ∂2φ
+ 2 + 2 =0
∂x2
∂y
∂z
Damit lassen sich die Geschwindigkeiten in einer idealen rotationsfreien Strömung durch eine
sehr einfache Differentialgleichung modellieren. Zudem ist die Laplacegleichung die wohl
am weitesten untersuchte partielle Differentialgleichung mit einer Fülle von analytischen und
numerischen Lösungsverfahren.
2.2.1 Die homogene stationäre Potentialströmung
Die wohl einfachste Potentialströmung besteht aus einem homogenen, zeitlich sich nicht
verändernden Geschwindigkeitsfeld:
Seite 42
⎛
⎞
⎛
⎞
u(x, y, z, t)
u0
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
⎜
⎟
u(x, y, z, t) = ⎜
u0
⎝ v(x, y, z, t) ⎠ = ⎝ v0 ⎠ = w0
w(x, y, z, t)
Es wird durch die Potentialfunktion
φ(x, y, z) = −u0x
erzeugt, die aus der skalaren Multiplikation der Konstantgeschwindigkeit mit dem Ortsvektor
besteht.
Zur Beschreibung von realen Strömungen ist die homogene stationäre Strömung etwas fade,
ecken- und kantenlos. Selbst wenn eine solche Strömung existieren würde, liefert die Theorie
keine Berechnungsmöglichkeit für die Absolutbeträge der Geschwindigkeit. Dies liegt daran,
daß beliebige Vielfache ihrer Potentialfunktion ebenfalls Lösungen der Laplacegleichung sind.
Da aber auch Summen von Lösungen wieder Lösungen sind, kann die homogene stationäre
Potentialströmung nützliche Dienste als Baustein komplexerer Strömungsfelder leisten.
2.2.2 Die Umströmung eines unendlich langen Kreiszylinders
Eine weitere wichtige Lösung der Potentialtheorie gibt es für die Umströmung eines unendlich
langen Kreiszylinders. Die unendliche Länge ist dabei eine Vereinfachung, die zum Weglassen
der Koordinate in Richtung der Längsachse führt, da dort die Verhältnisse überall gleich sind.
Die Potentialfunktion
φ(x, y) = −u∞
R2
1+ 2
x
x + y2
beschreibt die Umströmung eines Zylinders, dessen Umkreis durch x 2 + y 2 = R2 gegeben ist.
Die Geschwindigkeiten sind somit im kartesischen Koordinatensystem:
R2
R2
∂φ
2
= u∞ 1 + 2
−
2x
u=−
∂x
x + y2
(x2 + y 2)2
v=−
∂φ
R2
= −2u∞ xy 2
∂y
(x + y 2)2
Diese Behauptungen sind zu plausibilisieren. Zunächst muß gezeigt werden, daß die Funktion
φ(x, y) eine Lösung der Potentialgleichung ist. Das sei dem Leser als Übung überlassen.
Für x → ∞ oder y → ∞ erhalten wir eine homogene stationäre Potentialströmung der Stärke
u∞ in x-Richtung, mit der der Zylinder angeströmt wird.
Um die folgende Überlegung zu vereinfachen sei die Funktion in Polarkoordinaten
Seite 43
Ideale Umströmung eines Zylinders
Abbildung 2.3: Ideale Umströmung eines Zylinders.
x = r cos θ
y = r sin θ
transformiert. Sie lautet dann:
φ(r, θ) = −u∞
R2
r+
cos θ
r
Die Radialkomponente der Geschwindigkeit ist dann
∂φ
R2
= u∞ 1 − 2 cos θ
ur (r, θ) = −
∂r
r
Sie ist direkt auf dem Zylinder (r = R) Null, d.h. senkrecht zum Zylinderrand ist keine
Strömung vorhanden. Dies kann auch nicht möglich sein, denn ansonsten würde Fluid den
Zylinder durchdringen. Die Potentiallösung stellt also so etwas wie einen stetigen Übergang
zwischen der homogenen Strömung im Unendlichen und der Zwangsbedingung am Zylinderrand her.
Für die Tangentialgeschwindigkeit gilt in Zylinderkoordinaten:
1 ∂φ
R2
uθ (r, θ) = −
= −u∞ 1 + 2 sin θ
r ∂θ
r
Hier muss die Ableitung noch mit dem Reziproken des Radius multipliziert werden, um eine
Geschwindigkeit zu erhalten.
Seite 44
In der Abbildung 2.3 ist dieses Geschwindigkeitsfeld graphisch dargestellt. Man sieht dort,
daß der Betrag der Geschwindigkeit direkt am Zylnder zunimmt, weil die Flüssigkeitsmassen
um das Hindernis umgelenkt werden müssen. Dabei wird die Tangentialkomponente auch am
Zylinderrand nicht Null, sondern es bildet sich ein Umströmung vom Staupunkt zur diametral
gegenüberliegenden Seite aus, was auch aus Abbildung 2.3 zu erkennen ist.
Das ideale Geschwindigkeitsfeld der Zylinderumströmung ist also im wesentlichen durch den
geometrischen Umlenkeffekt geprägt. Wir werden später sehen, daß dieses Geschwindigkeitsfeld der Realität nicht entspricht: Tatsächlich nimmt die Strömungsgeschwindigkeit zum Zylinderrand vollständig auf Null ab.
2.2.3 Randbedingungen
Zur Lösung der Laplacegleichung für das Geschwindigkeitspotential werden auf jedem Rand
des Lösungsgebiets Randbedinungen erforderlich. Dabei unterscheiden wir zwei Arten von
Rändern:
An einem geschlossenen Rand kann die Geschwindigkeit höchstens parallel zum Rand verlaufen. Jede zum Rand hin senkrechte Komponente der Geschwindigkeit würde nämlich zu
einem Fluss durch den Rand führen, der dann nicht geschlossen wäre.
Mathematisch bedeutet die Bedingung, dass die senkrecht zum Rand verlaufende Geschwindigkeitskomponente Null sein muss, dass die Projektion auf den Normaleneinheitsvektor n
Null ist:
n u = 0 auf
∂Ω
Da die Laplace-Gleichung aber für das Geschwindigkeitspotential φ gelöst wird, schreiben wir
diese Bedingung an geschlossenen Rändern als:
n grad φ = 0 auf
∂Ω
Man bezeichnet Randbedingungen dieser Art auch als Neumannsche Randbedingung, wenn
sie für irgendeine Art von Ableitung der gesuchten Funktion definiert sind.
Eine andere Randbedingung tritt an offenen Rändern auf. Diese sind solche, an denen etwas
in das Lösungsgebiet ein- oder ausströmt. An diesen muss die Ein- oder Ausstromgeschwindigkeit u∂Ω vorgegeben sein. Daraus ist dann der Wert des Geschwindigkeitspotentials in der
Form
u∂Ω = −grad φ∂Ω
zu konstruieren.
Seite 45
Abbildung 2.4: Im draw mode des pdetools kann das Grundgebiet aus verschiedenen geometrischen Grundobjekten (rot umrandet) zusammenfügen. Unter set formula wird angegeben,
ob das jeweilige Objekt angefügt (+) oder abgeschnitten (-) wird.
Abbildung 2.5: Im boundary mode öffnet sich für jedes Randstück durch Doppelklick ein Fenster, in dem die Parameter der Dirichlet- oder der Neumannrandbedingung spezifiziert werden
können.
Seite 46
Abbildung 2.6: Im pde specification mode öffnet sich ein Fenster, in dem der Typ der partiellen
Differentialgleichung ausgewählt und deren Paramter angegeben werden können.
Abbildung 2.7: Im plot mode können auch Geschwindigkeitsvektoren als Gradient des Potentials geplottet werden.
Seite 47
1
0.6
0.8
0.4
0.6
0.2
0.4
0.2
0
0
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.8
−1
−0.6
−0.5
0
0.5
1
−0.8
Abbildung 2.8: Potentialströmung um eine Ecke mit anschließendem Hindernis. In Farbe ist
das Potential φ dargestellt, darüber liegen die Geschwindigkeitsvektoren. Das Potential nimmt
in Strömungsrichtung kontinuierlich ab.
2.2.4 Das pdetool in MATLAB
MATLAB stellt mit dem pdetool eine graphische Oberfläche zur Verfügung, die die Lösung
der grundlegenden partiellen Differentialgleichungen in fünf einfachen Schritten ermöglicht.
1. Im Draw-Mode wird die Geometrie des Problems definiert. Man setzt also sein Lösungsgebiet aus Ellipsen, Rechtecken und anderen Polygonen zusammen, löscht Innenkanten
und verschweißt den Außenrand.
2. Im Boundary-Mode werden den einzelnen Randstücken Randbedinungen (Dirichlet
oder Neumann) zugeordnet.
3. Im PDE-Mode wird die zu lösende Differentialgleichung ausgesucht und die Parameter
in ihr definiert.
4. Im Mesh-Mode wird das Dreiecksgitter konstruiert.
5. Im Solve-Mode wird das System schließlich gelöst.
Die Abbildung ?? zeigt ein Beispiel für das Ergebnis dieser Prozedur.
Übung 8: Die Geschwindigkeitskomponente u einer zweidimensionalen inkompressiblen
Strömung ist gegeben durch:
u = Ax3 + By 2
2.3. Stromlinien und Stromfunktion
Seite 48
1. Wie lautet die Geschwindigkeitskomponente v unter der Annahme, daß für alle x an der
Stelle y = 0 gilt: v = 0 ?
2. Handelt es sich hier um eine Potentialströmung ? (Begründung !)
Übung 9: Weisen Sie nach, daß das dreidimensionale Strömungsfeld
u(x, y, z, t) = Aω
cosh k(z − zB )
sin (kx − ωt)
sinh kh
v(x, y, z, t) = 0
sinh k(z − zB )
cos (kx − ωt)
sinh kh
rotationsfrei ist und bestimmen Sie das zugehörige Geschwindigkeitspotential φ. Dieses Potential beschreibt eine sogenannte ideale Welle.
Übung 10: Erzeugen Sie mit MATLAB eine beliebige Potentialströmung, z.B. um ein Hindernis, etwa ein schematisiertes Haus, einen Flugkörper o.ä.
w(x, y, z, t) = −Aω
2.3 Stromlinien und Stromfunktion
Wir hatten schon gehört, daß die Eulergleichungen in zwei Spezialfällen eine Lösungstheorie
hervorgebracht hatten. Der erste Spezialfall setzte die Rotationsfreiheit der Strömung voraus,
sie kann dann durch die Theorie der Potentialströmungen beschrieben werden. Was noch aussteht, ist die Behandlung zweidimensionaler Strömungen, Strömungen also, die Variationen
lediglich in zwei Dimensionen aufweisen und in der dritten unveränderlich sind. Hierunter
fallen alle Strömungen, die in einer Ebene, z.B. der xy-Ebene ablaufen. Solche Strömungen
gibt es in der Realwelt natürlich nicht, da diese dreidimensional ist. Man kann eine dreidimensionale Strömung aber dann als zweidimensional ansehen, wenn es in der dritten Dimension
über weite Strecken keine wesentlichen Änderungen des Strömungsverhaltens gibt, also alle
Ableitungen nach der dritten Koordinate, z.B. der z-Koordinate in einem gewissen Gebiet Null
sind.
2.3.1 Stromlinien
Eine Stromlinie ist eine Linie, deren Tangente in jedem Punkt in Richtung des dortigen Geschwindigkeitsvektors weist.
Wird eine Stromlinie durch den Graphen der Funktion y(x) beschrieben, dann muß ihre Steigung dem Verhältnis der Geschwindigkeitskomponenten v in y-Richtung und u in x-Richtung
entsprechen:
dy
v
=
dx
u
Seite 49
y
v
u
x
Abbildung 2.9: Die Tangente von Stromlinien weist an jedem Punkt in Richtung des dortigen
Geschwindigkeitsvektors.
In Differentialschreibweise lautet diese Gleichung:
udy − vdx = 0
Sie sieht so aus, wie die dritte Komponente des Vektorprodukts aus Geschwindigkeits- und
differentiellem Ortsvektor. Und tatsächlich läßt sich leicht zeigen, daß die Stromlinie im dreidimensionalen durch die Gleichung
u × dr = 0
definiert ist, denn natürlich ist die Einführung von Stromlinien auch in dreidimensionalen
Strömungen sinnvoll.
Eine besondere Eigenschaft einer Stromlinie ist ihre Undurchdringlichkeit für die Strömung,
eine Eigenschaft, die sie durch ihre Definition mit auf den Weg bekommen hat.
2.3.2 Die Stromfunktion
Wir wollen nun eine Lösung der zweidimensionalen Kontinuitätsgleichung
∂u ∂v
+
=0
∂x ∂y
suchen. Hilfreich ist dabei die Einführung einer skalaren Funktion ψ mit den Eigenschaften:
u=
∂ψ
∂y
und v = −
∂ψ
∂x
(2.6)
Seite 50
Diese als Stromfunktion bezeichnete Funktion wurde zum ersten Mal von dem französischen
Physiker d’Alembert eingeführt. Setzt man diese beiden Definitionsgleichungen in die Kontinuitätsgleichung ein,
∂2ψ
∂2ψ
−
=0
∂x∂y ∂x∂y
so bestätigt sich, daß man mit der Stromfunktion ψ zugleich eine Geschwindigkeitslösung für
die Kontinuitätsgleichung gewonnen hat.
Setzt man die Definitionsgleichungen (2.6) der Stromfunktion in die differentielle Gleichung
der Stromlinien ein
∂ψ
∂ψ
dy +
dx = 0 = dψ
∂y
∂x
auf einer Stromlinie
so erkennt man die wichtigste Eigenschaft der Stromfunktion, die zugleich ihren Namen begründet: Die rechte Seite stellt die Änderung der Stromfunktion auf einer Stromlinie dar, da
dx und dy nicht beliebig gewählt werden durften, sondern nur so, daß man auf einer Stromlinie entlanggleitet. Damit ändert sich die Stromfunktion auf der Stromlinie nicht, ist dort also
konstant. Jede Stromlinie kann somit also durch einen bestimmten Wert der Stromfunktion
dargestellt werden.
Kennt man also die Stromfunktion einer Strömung, dann kann man die Stromlinien zeichnen,
indem man die Stromfunktion auf jeweils einen bestimmten Wert ψ(x, y) = const setzt und
die so erhaltene Gleichung in die Form y(x) = ... bringt, deren Graph man dann zeichnet.
2.3.3 Der spezifische Durchfluss
In dreidimensionalen Strömungen definiert man den Durchfluss Q als das Volumen, welches
pro Zeiteinheit einen gewissen Querschnitt durchfließt. In einer zweidimensionalen Strömung
kann man nur einen spezifischen Durchfluss q definieren, er hat die Einheit m2 /s und gibt an,
wieviel Flächeninhalt ΔA durch einen gegebene Strecke l in der Zeit Δt fließt:
ΔA
Δt
q=
Ist die Strömungsgeschwindigkeit u genau senkrecht zur Strecke l, dann gilt
q = ul
was man in einem beliebig orientierten Strömungsfeld zu
q=
uds
l
verallgemeinern kann. Der Vektor s ist dabei senkrecht zur Strecke l orientiert, sein Betrag
entspricht der Streckenlänge.
Seite 51
y
Y=YB
B
Y=YA
Dy
A
v
u
-Dx
x
Abbildung 2.10: Der Zusammenhang zwischen Stromfunktionen und Durchfluss.
2.3.4 Stromfunktion und Durchfluss
Stromlinien sind Linien im Raum, die von der Strömung nie gekreuzt werden, da sie per
definitionem parallel zur Strömung ausgerichtet sind. Eine Fläche, die aus Stromlinien zusammengesetzt ist, bezeichnet man als Stromfläche, sie stellt somit eine undurchdringliche,
möglicherweise auch bewegliche, Randfläche dar. Eine Stromröhre ist dann eine durch eine
Stromfläche umschlossene Röhre.
Beschränken wir uns wieder auf die ebene zweidimensionale Strömung. Betrachtet man zwei
Punkte A und B mit den Koordinaten xA und xB in der Ebene, die von den zwei Stromlinien
ψ(x, y) = ψA und ψ(x, y) = ψB geschnitten werden. Der spezifische Durchfluss zwischen
diesen beiden Punkten ist:
B
q=
uds
A
Zunächst gilt es, einen Vektor s senkrecht zur Verbindungsstrecke AB zu konstruieren. Mit
Abbildung 2.10 gilt für ihn
⎛
⎞
Δy ⎠
s = ⎝
−Δx
⎛
⎞
dy ⎠
bzw. ds = ⎝
−dx
und somit wird:
B
B
(udy − vdx) =
q=
A
dψ = ψB − ψA
A
Somit ist der spezifische Durchfluss zwischen zwei Stromlinien genau die Differenz zwischen
den Werten der Stromfunktion ψ.
Seite 52
2.3.5 Die Laplacegleichung der Stromfunktion
Wir betrachten nun eine Strömung, die rotationsfrei und zweidimensional ist. Dann existiert
sowohl ein Geschwindigkeitspotential φ und eine Stromfunktion ψ mit den Eigenschaften:
u=
∂φ
∂ψ
=
∂y
∂x
und v = −
∂ψ
∂φ
=
∂x
∂y
(2.7)
Man bezeichnet diese beiden Gleichungen in der Theorie komplexer Funktionen auch als
Cauchy-Riemann-Bedingungen.
Mit ihnen kann man leicht zeigen, daß nicht nur die Potentialfunktion φ, sondern auch die
Stromfunktion ψ einer Laplacegleichung gehorchen:
∂2φ ∂2φ
+ 2 = 0 und
∂x2
∂y
∂2ψ ∂2ψ
+ 2 =0
∂x2
∂y
Für die Laplacegleichung der Stromfunktion werden ebenfalls Randbedingungen an offenen
und geschlossenen Rändern benötigt. Auf letzteren ist die Stromfunktion konstant, d.h. man
hat hier über eine Dirchletrandbedingung den entsprechenden Wert für die Stromfunktion zu
setzen. Aber auch auf offenen Rändern müssen Dirichletsche Randbedingungen so angesetzt
werden, dass sich der gewünschte Durchfluss einstellt.
In Abbildung 2.11 ist das Ergebnis einer solchen numerischen Lösung mit dem MATLABpdetool dargestellt. Eine besondere Situation ergibt sich dann, wenn man Inseln bzw. umströmte Körper in der Strömung hat. Auch auf dem Rand eines solchen Körpers ist ein Wert
für die Stromfunktion festzusetzen. Dieser kann zwischen den Werten der äußeren Berandung
liegen, dann fließen entsprechende Mengen rechts oder links an der Insel vorbei. Setzt man auf
dem Hindernis einen Stromfunktionswert außerhalb der durch die äußeren Berandungswerte
definierten Spanne an, dann kann man sogar Rückströmungen und Zirkulationen erzeugen.
Im Gegensatz zur Potentialgleichung ist das Problem für die Stromfunktionslösungen also
noch nicht eindeutig gestellt.
2.3.6 Stromlinien und Äquipotentiallinien
Jede Potentialströmung wird also von einem Netz aus Äquipotentiallinien und einem Netz von
Stromlinien durchzogen. Wir wollen untersuchen, in welcher geometrischen Beziehung diese
beiden Netze zueinander stehen. Betrachten wir zunächst den Graphen einer Äquipotentiallinie
yP (x). Auf ihr ist das Geschwindigkeitspotential konstant, d.h. dφ = 0. Damit folgt aus der
Definition der totalen Ableitung:
dφ =
∂φ
∂φ
dy
u
dx +
dy = 0 = udx + vdy ⇒
=−
∂x
∂y
dx
v
Für die Steigung des Graphen der Stromlinie yS (x) hatten wir schon den Zusammenhang
Seite 53
Color: u
1
0.45
0.8
0.4
0.6
0.35
0.4
0.3
0.2
0
0.25
-0.2
0.2
-0.4
0.15
-0.6
0.1
-0.8
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
0.05
1.5
Color: u
1
0.8
0.8
0.7
0.6
0.6
0.4
0.2
0.5
0
0.4
-0.2
-0.4
0.3
-0.6
0.2
-0.8
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
0.1
1.5
Abbildung 2.11: Stromlinien um eine Ecke mit anschließendem Hindernis. In Farbe ist die
Stromfunktion ψ dargestellt, darüber liegen die Stromlinien. Die obere Begrenzung liegt bei
ψ = 0, die untere bei ψ = 0.5. Die Ellipse im oberen Bild den Wert ψ = 0.2 und im unteren
ψ = 0.9.
Seite 54
dy
v
=
dx
u
hergeleitet, sie ist also der negative und reziproke Wert der Steigung des Graphens der Äquipotentiallinie. Erinnern wir uns an den folgenden
Satz: Die Graphen zweier Funktionen y1 (x) und y2 (x) sind in ihrem Schnittpunkt x orthogonal, falls
y1 (x) = c ⇔ y2 (x) = −
1
c
gilt.
Damit stehen die Äquipotentiallinien senkrecht zu den Stromlinien. Kennt man eines der
beiden Linienfelder, so kann man das andere sowohl graphisch als auch analytisch aus den
Cauchy-Riemann-Bedingungen gewinnen.
2.3.7 Ausblick: Dreidimensionale Stromfunktionen
Abschließend und ausblickend wollen wir untersuchen, ob es möglich ist, die Theorie der
Strom- und Äquipotentiallinien auch auf dreidimensionale Strömungen zu erweitern. Dies ist
tatsächlich möglich, das Ergebnis ist allerdings nicht mehr so anschaulich, wie die Stromfunktionen.
Dazu nutzen wir die Tatsache aus, daß jedes Vektorfeld sich folgendermaßen zerlegen lässt:
u = −grad φ + rot ψ
Bei einer inkompressiblen Strömung muß das Geschwindigkeitsfeld divergenzfrei sein. Überprüfen wir also, was dies für unsere Strömungsdarstellung bedeutet:
= −div grad φ := 0
div u = −div grad φ + div rot ψ
Damit das Geschwindigkeitsfeld divergenzfrei ist, muß die Funktion φ die Laplacegleichung
erfüllen. Im Gegensatz zur Potentialströmungstheorie wurde hier allerdings nicht die Einschränkung gemacht, daß das Feld auch rotationsfrei ist. Somit beschreibt die Funktion φ den
rotationsfreien, d.h. nichtwirbelbehafteten Anteil des Strömungsfeldes.
Der rotationsbehaftete Anteil der Strömung wird durch die vektorwertige Funktion ψ beschrie entspricht, wobei diese allerdings
ben, deren z-Komponente der skalaren Stromfunktion ψ
auch den rotationsfreien Anteil der zweidimensionalen Strömung enthielt.
Übung 11: Erzeugen Sie mit MATLAB die Stromlinienlösung für die letzte Aufgabe.
Seite 55
2.4 Zusammenfassung
Die Massenerhaltung wird in inkompressiblen Fluiden zu einer Volumenerhaltung, die durch
die Kontinuitätsgleichung beschrieben wird. An jeder Stelle in der Strömung müssen ein- und
ausfließende Volumina exakt gleich sein.
Unter der Annahme der Rotationsfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes haben wir mit den Potentialströmungen und dn Stromlinien zwei Möglichkeiten kennengelernt, Strömungen mehrdimensional durch die Lösung der Laplacegleichung zu simulieren. Diese Strömungen sollten
aber mehr als nur das Volumen erhalten. Daher werden wir uns nun der Impulsbilanz zuwenden.
Seite 56
Kapitel 3
Die Impulsbilanz in reibungsfreien
Fluiden
Mit unseren bisherigen konzeptionellen Modellen zur Berechnung von Strömungen mit den
Theorien der Potentialströmungen und der Stromfunktionen haben wir recht realistisch erscheinende Strömungsfelder ermitteln können, ohne dass in irgendeiner Stelle in den Gleichungen die Dichte des Fluids einen Einfluss auf das Geschehen hatte. Dies liegt vor allem
daran, dass beide Theorien nur die Massenerhaltung berücksichtigt hatten, die sich für inkompressible Fluide auf eine Volumenerhaltung reduziert: Die Geschwindigkeiten wurden also
überall da größer, wo dem Fluid weniger Raum zur Verfügung steht, während die Geschwindigkeiten in Aufweitungen kleiner werden. Die Dichte kommt erst dann ins Spiel, wenn wir
auch die Impulsbilanz in die Bestimmung des Geschwindigkeitsfelds einbeziehen.
Die Formulierung der differentiellen Impulsbilanz war zugleich auch der Beginn der theoretischen Hydrodynamik und ist das Werk des Mathematikers und Physikers Leonhard Euler
(1707 – 1783). Ihm gelang es, die Bewegungsgleichungen einer idealen, d.h. reibungsfreien
inkompressiblen Strömung aufzustellen und gleichzeitig zu zeigen, dass diese sich unter gewissen mathematischen Voraussetzungen in die Bernoulligleichung überführen lassen.
3.1 Hydrostatik
Auf unseren Schreibtisch legen wir einen quaderförmigen Gegenstand, wie z.B. ein dickes
Buch. Mit den Handkanten auf dem Tisch drücken wir von beiden Seiten gegen das Buch.
Dies wird sich nicht bewegen, falls wir mit beiden Händen denselben Druck
F
p=
A
auf das Buch ausüben. Drückt die eine aber kräftiger als die andere Hand, fängt es sich zu
bewegen an. Diese kleine Gymnastik verdeutlicht, dass sehr großer Druck vorhanden sein
kann, ohne eine Bewegung zu erzielen. Erst ein Druckunterschied erzeugt eine Kraftwirkung.
57
3.1. Hydrostatik
Seite 58
p
Dz
p+Dp
Dy
Dx
Abbildung 3.1: Druckinduzierte Kräfte in einem Fluid. Auf das dargestellte Fluidelement
ΔxΔyΔz wirkt die Kraft Fx = −ΔpΔyΔz.
Im Unterschied zu diesem einfachen Experiment haben wir es in der Hydrostatik nicht mit
zwei einzelnen Händen zu tun, die Drücke auf einen Gegenstand ausüben, sondern mit Druckfeldern, bei denen an jedem Ort (x, y, z) ein ganz bestimmter Druck p(x, y, z) wirkt. Sind
in einem solchen Druckfeld Druckdifferenzen vorhanden, dann wirkt eine Kraft auf die dazwischen befindlichen Fluidmoleküle. Dies heißt aber nicht unbedingt, dass diese sich dann
zu bewegen beginnen, also beschleunigt werden: Ist eine gleich große Gegenkraft vorhanden,
dann heben sich Druck- und Gegenkraft gegenseitig auf und das Fluid bleibt in Ruhe.
Treffen wir also irgendwo auf ein ruhendes Fluid, so fragen wir uns spontan:
1. Wie sieht das Druckfeld in diesem Fluid aus ?
2. Welche Druckkräfte wirken in diesem Fluid ?
3. Welche Gegenkraft kompensiert die Druckkraft in diesem ruhenden Fluid ?
Wir beginnen mit der Beantwortung der zweiten und dritten Frage und betrachten dazu die in
Abbildung 3.1 dargestellten Druckkräfte auf ein quaderförmiges Fluidvolumen. Auf die linke
Begrenzungsfläche wirkt die Druckkraft
FxD = pΔyΔz
auf das Kontrollvolumen. Auf der rechten Seite wirke der Druck p + Δp in negativer xRichtung:
D
= −(p + Δp)ΔyΔz
Fx+Δx
Die Addition beider liefert die resultierende Kraft
D
= −ΔpΔyΔz
Fres,x
3.2. Die Eulergleichungen
Seite 59
auf den quaderförmigen Körper des Volumens ΔxΔyΔz.
Obwohl man sicherlich in vielen Anwendungsfällen mit solchen quaderförmigen Problemen
zu tun hat, ist die hergeleitete Formel nicht allgemein genug, um die Druckkraft auf beliebig
geformte Körper oder Teilchen im Druckfeld zu berechnen. Zur Verallgemeinerung kommt
man mit Hilfe der Differentialrechnung, indem die Kraft auf ein infinitesimales Volumen, d.h.
auf einen Punkt als
D
∂p
Fres
=−
ΔxΔyΔz→0 ΔxΔyΔz
∂x
lim
berechnet wird. Damit haben wir allerdings nun eine Kraft pro Volumen berechnet.
In der Hydromechanik benötigt man meistens die Kraft pro Masse, welche durch Division mit
der Dichte gewonnen wird:
fxD = −
1 ∂p
∂x
Entsprechendes gilt auch für die anderen beiden Raumrichtungen:
1
fD = − grad p
Damit das Fluid in Ruhe bleibt, also hydro-statische Bedingungen vorliegen, muß die Summe aus der Druckkraft und den äußeren Kräften f Null sein. Dann lautet die Kraftbilanz in
vektorieller Form:
1
0 = f − grad p
Man verdeutliche sich, dass diese Schreibweise lediglich drei Gleichungen für die drei Raumrichtungen zusammenfaßt. Sie werden lösbar, sobald die Kraftdichte f der äußeren Kraft spezifiziert ist. In den folgenden Kapiteln werden diese Gleichungen weiter zu den grundlegenden
Impulsgleichungen der Hydromechanik ausgebaut.
3.2 Die Eulergleichungen
Die Druckkraft, hier dargestellt als Kraft pro Masse, bewirkt nach dem Newtonschen Gesetz
Beschleunigungen auf jedes Partikel eines Fluids, die durch die Gleichungen
Seite 60
Du
1 ∂p
=−
Dt
∂x
1 ∂p
Dv
=−
Dt
∂y
1 ∂p
Dw
=−
−g
Dt
∂z
beschrieben werden. In der Vertikalen wurde zudem noch die Gravitationsbeschleunigung
berücksichtigt.
In komprimierter Vektorschreibweise lauten sie:
1
Du
= − grad p + f
Dt
Hierin repräsentiert f alle auf das Fluid wirkenden äußeren Kräfte, also auch die Gravitationskraft. Ein Partikel erfährt auf seiner Bahnlinie eine Beschleunigung in Richtung der äußeren
Kräfte f und entgegengesetzt zum Druckgradienten. Hierdurch wird es von Gebieten hohen in
Gebiete niedrigen Druckes beschleunigt.
Übung 12: Über den Azoren wird ein Luftdruck von 1016 mbar und 200 km westlich davon
ein Luftdruck von 934 mbar gemessen. Wie groß ist die mittlere Lagrangesche Beschleunigung zwischen den Azoren und diesem Ort ? (Luftdichte L = 1.21 kg/m3) Welchen zeitlichen
Verlauf hat die Bahn eines Luftmoleküls s(t) und seine Geschwindigkeit u(t), welches zur
Zeit t = 0 startet ? Wann kommt es am Ort 200 km westlich an?
Schreibt man die Lagrangeschen Ableitungen nun aus, ergeben sich zusammen mit der Kontinuitätsgleichung für inkompressible Fluide die von Euler im Jahr 1755 aufgestellten Gleichungen
∂u ∂v ∂w
+
+
=0
∂x ∂y
∂z
∂u
∂u
∂u
1 ∂p
∂u
+u
+v
+w
=−
+ fx
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
(3.1)
∂v
∂v
∂v
1 ∂p
∂v
+u
+v
+w
=−
+ fy
∂t
∂x
∂y
∂z
∂y
∂w
∂w
∂w
1 ∂p
∂w
+u
+v
+w
=−
+ fz
∂t
∂x
∂y
∂z
∂z
Seite 61
die die Bewegungsgleichungen für ideale, d.h. inkompressible und reibungsfreie Strömungen
repräsentieren.
3.2.1 Die Lösbarkeit der Eulergleichungen
Bevor man sich an die analytische oder numerische Lösung der Eulergleichungen oder ganz
allgmeien eines beliebigen mathematischen Problems heranwagt, sollte man erst einmal untersuchen, ob überhaupt und wenn - dann auch eindeutige Lösungen existieren. Die Beantwortung dieser Fragestellung erfordert für die Eulergleichungen technische Fertigkeiten aus den
höchsten Sphären der Mathematik, die an dieser Stelle nicht vorausgesetzt werden sollen.
In einem erst 1984 veröffentlichten Existenzsatz für die inkompressiblen dreidimensionalen
Eulergleichungen zeigen Beale, Kato und Majda 1984 [3], dass die inkompressiblen Eulergleichungen bei genügend gutmütigen Anfangsbedingungen für einen gewissen Zeitraum nach
der Anfangszeit glatte Lösungen besitzen. Diese brechen jedoch nach Überschreiten einer Zeitgrenze vollständig zusammen. In der Strömung tauchen so starke Wirbel auf, dass eine weiter
in der Zeit fortschreitende Lösung der Eulergleichungen nicht mehr sinnvoll ist. Den Eulergleichungen fehlt also ein physikalischer Mechanismus, der es ermöglicht, Wirbelenergie zu
dissipieren. Diesen Mechanismus werden wir später noch kennenlernen.
Damit sind die dreidimensionalen Eulergleichungen vom theoretischen Standpunkt aus tot; sie
besitzen keine stabilen Lösungen. Zwischen ihrer Geburt im Jahre 1755 und ihrem Versterben
im Jahre 1984 haben sie jedoch viel geleistet und einige theoretische Abkömmlinge hervorgebracht, von denen hier die zweidimensionalen Eulergleichungen und die Potentialströmungen
genannt sein sollen. Erstere schreiben sich als
∂u ∂v
+
=0
∂x ∂y
∂u
∂u
1 ∂p
∂u
+u
+v
=−
+ fx
∂t
∂x
∂y
∂x
∂v
∂v
∂v
1 ∂p
+u
+v
=−
+ fy
∂t
∂x
∂y
∂y
und können im Gegensatz zu ihren dreidimensionalen Eltern stabile Lösungen besitzen. Dies
liegt vor allem darin, dass die Strömungen im dreidimensionalen mehr Möglichkeiten als im
zweidimensionalen Raum hat, Wirbel auszubilden.
Mit dem Nablaoperator lassen sich die Impulsgleichungen auch zu der Vektorgleichung
1
∂u + u ∇ u = f − grad p
∂t
(3.2)
Seite 62
zusammenfassen.
3.2.2 Darstellung in Indexnotation
In der Indexnotation lassen sich viele Umformungen, die vor allem Tensoren beinhalten, sehr
elegant durchführen. Für sie gelten zwei Regeln:
1. Taucht ein Index in einem Term nur einmal auf, dann stellt er alle Komponenten des
Vektors dar.
2. Taucht ein Index in einem Term zweimal auf, dann wird über diesen Index summiert
(Einsteinsche Summationskonvention).
Mit diesen beiden Regeln werden die Eulergleichungen zu:
∂uj
=0
∂xj
∂ui
1 ∂p
∂ui
+ uj
=−
+ fi
∂t
∂xj
∂xi
j
Addiert man auf der linken Seite der Impulsgleichungen einen Nullterm der Form u i ∂u
hinzu,
∂xj
dann bekommt man unter Verwendung der Produktregel
∂ui ∂ui uj
1 ∂p
+
=−
+ fi
∂t
∂xj
∂xi
die sogenannte konservative Form der Impulsgleichungen.
3.2.3 Die integrale Form der Impulsbilanz
Für viele praktische Anwendungen in der Hydraulik benötigt man die integrale Form der Impulsbilanz. Diese erhält man durch Integration über ein Kontrollvolumen Ω, nachdem diese
mit der als konstant angenommenen Dichte erweitert wurden:
Ω
∂ ui ∂ ui uj
∂p
+
+
dΩ =
∂t
∂xj
∂xi
fi dΩ
Ω
Der Gaussche Integralsatz verwandelt abgeleitete Funktionen unter einem Volumenintegral in
ihre Stammfunktionen unter dem Randintegral. In der Indexschreibweise ist es egal, ob es sich
bei der Ableitung um eine Divergenz oder einen Gradienten handelt. In beiden Fällen wird der
Index der Ableitung auf den Normaleneinheitsvektor übertragen:
3.3. Hydrodynamische Drucklasten
Ω
∂ ui
dΩ +
∂t
Seite 63
( ui uj nj + pni )dA =
fi dΩ
Ω
∂Ω
Das Produkt aus auf die Masse bezogene Kraftdichte fi und Dichte ergibt eine auf das
Volumen bezogene Kraft. Die Integration über ein Volumen ergibt dann die auf das Volumen
wirkenden äußeren Kräfte, die wir als Summe verschiedener Kräfte ansetzen wollen:
Ω
∂ ui
dΩ +
∂t
( ui uj nj + pni )dA =
F
∂Ω
Die soeben abgeleitete Gleichung gilt für ein Kontrollvolumen. Dieser Begriff ist nicht so
abstrakt, wie er zunächst erscheinen mag; hinter ihm kann sich ein Rohrstück, ein Teil eines
Flusses, ein Tragflügel oder eine angeströmte Turbine verbergen.
3.3 Hydrodynamische Drucklasten
Sofern die Eulergleichungen lösbar sind, kann man mit ihnen sowohl das vollständige Geschwindigkeitsfeld und die Druckverteilung berechnen. Bevor wir uns an diese Aufgabe heranwagen, wollen wir aber die in der Hydraulik viel verwendete Bernoulligleichung herleiten,
mit denen wir auch die Drucklasten in Strömungen auf beliebige Bauteile bestimmen können.
Die Relevanz dieser Berechnungen wird deutlich, wenn man sich vor Augen hält, dass der
Wind bei leichten, flächenhaften Bauwerken eine erhebliche Last darstellt, die, wenn sie unterschätzt wird, auch zum Versagen des Bauwerks führen kann.
3.3.1 Die Bernoulligleichung für rotationsfreie Strömungen
Zur Herleitung der Bernoulligleichung betrachten wir zunächst den advektiven Term, der sich
mit der sogenannten Webertransformation folgendermaßen umformen lässt:
1
(3.3)
grad u2 − u × rot u
2
In rotationsfreien Strömungen bleibt somit nur der erste Term auf der rechten Seite. Ist die
Strömung zudem stationär, dann bleibt von der Impulsgleichung nur noch:
u =
u ∇
1 ∂p
1 ∂uj uj
=−
+ fi
2 ∂xi
∂xi
Als äußere Kraft wollen wir nur die in z-Richtung wirkende Gravitation berücksichtigen. Sie
kann man in der Indexnotation durch den wundersamen Trick
1 ∂p
∂gz
1 ∂uj uj
=−
−
2 ∂xi
∂xi
∂xi
Seite 64
berücksichtigen, womit man insgesamt
∂
∂xi
1
p
uj uj + + gz = 0
2
bekommt. Für die stationäre Potentialströmung gilt somit die reibungsfreie Bernoulligleichung:
p
u2
+ gz + = const
2
0.6
−50
−100
0.4
−150
0.2
−200
−250
0
−300
−0.2
−350
−400
−0.4
−450
−0.6
−0.8
−1
−500
−550
−0.5
0
0.5
1
Abbildung 3.2: Die Verteilung der Druckabnahme Δp in der Potentialströmung um eine Ecke
mit anschließendem Hindernis. Überall dort, wo die Geschwindigkeit erhöht ist, findet man
einen Unterdruck vor. Im Strömungsschatten herrscht Überdruck.
Mit der Bernoulligleichung kann man den Druck bestimmen, wenn das Geschwindigkeitsfeld z. B. durch die Lösung der Potentialgleichung vollständig bekannt ist. Unsere Potentialströmung aus Abbildung ?? nehmen wir horizontal an, d.h. die geodätische Höhe z ist überall
konstant. Dann ist der relative Druck im Strömungsfeld:
Δp = −
u2
2
Er ist in Abbildung 3.2 dargestellt. Man erkennt in den Bereichen mit Geschwindigkeitserhöhung eine Druckabnahme. Dies ist insbesondere an der Ecke und in der Einengung durch
das Hindernis der Fall.
Seite 65
4
x 10
20
18
−2
16
−4
14
−6
12
−8
10
8
−10
6
−12
4
−14
2
0
−10
−16
−5
0
5
10
Abbildung 3.3: Die Druckverteilung um ein umströmtes Haus zeigt den höchsten Unterdruck
an der Oberkante des Daches. Dieses kann dadurch abgehoben werden.
3.3.2 Hydrodynamische Druckberechnung mit dem pdetool
Leider bietet die graphische Benutzeroberfläche des pdetools keine Möglichkeit, weiterführende Berechnungen mit den Lösungen der Differentialgleichungen durchzuführen. Glücklicherweise bietet das pdetool viele Funktionalitäten, die man selbst zu eigenen Programmen zusammenstellen kann.
Es bietet sich zunächt an, die Geometrie und die Randbedingungen des Problems mit der GUI
des pdetools zu erstellen und dann in Dateien zu exportieren. Das pdetool bietet im Menue
Boundary > Export Decomposed Geometry, Boundary Cond’s...
die Geometrie und die Randbedingungen in die Variablem g und b zu exportieren. Zum Abspeichern dieser Daten setze man dann in MATLAB die Befehle
wgeom(g,’geom datei’);
wbound(b,’bound datei’);
ab. Der Kern des folgenden Programms ist dann die Funktion assempde, die die allgemeine
elliptische Differentialgleichung
∂ ∂u
c
− au = f
∂xi ∂xi
löst.
Seite 66
geomfile=’haus_geom’;
bcfile=’haus_bc’;
[p,e,t]=initmesh(geomfile);
[p,e,t]=refinemesh(geomfile,p,e,t);
% Extracting node coordinates
x=p(1,:)’; y=p(2,:)’;
c=ones(1,size(t,2))*(-1);
a=zeros(1,size(t,2));
f=zeros(1,size(t,2));
%
uu=assempde(bcfile,p,e,t,c,a,f);
% Velocity vectors on centers of triangles
[uxt,uyt]=pdegrad(p,t,uu);
uxt=-uxt;
uyt=-uyt;
% Interpolation from triangles to nodes
ux=pdeprtni(p,t,uxt);
uy=pdeprtni(p,t,uyt);
% pressure
pressure=-1000.*(ux.ˆ2+uy.ˆ2)/2;
%pressure=druck_poisson(druckfile,p,e,t,uxt,uyt);
% Plotting the solution
plotval=pressure; % plotting the pressure
newplot
pdeplot(p,e,t,’xydata’,plotval,’zdata’,plotval,...
’mesh’,’off’,’xygrid’,’off’,...
’colorbar’,’on’,’zstyle’,’off’);
hold on;
quiver(x,y,ux,uy);
Nach dem Einlesen der gespeicherten Geometrie und der Randbedingungen werden also die
Parameter a, c und f so belegt, dass man eine Potentialströmung modelliert. Mit Hilfe der
Funktion pdegrad wird dann das Geschwindigkeitsfeld und schließlich die hydrodynamische
Dichteänderung berechnet.
Seite 67
3.3.3 Anwendung: Druckkraft auf eine geöffnete Hubschütze
Zur Anwendung der Strömungsnetze wollen wir versuchen, die Druckkraft auf eine geöffnete,
unterströmte Hubschütze zu berechnen. Wir setzen also voraus, dass
• das Fluid frei von inneren Reibungen, also ideal ist,
• die Strömung stationär ist,
• die Strömung rotationsfrei ist,
• die Hubschütze so breit ist, dass die Strömung in der Mitte der Hubschütze keine lateralen Variationen aufweist und dort als zweidimensional betrachtet werden kann.
0
−0.1
−500
−0.2
−1000
−0.3
−1500
−0.4
−2000
−0.5
−0.6
−2500
−0.7
−3000
−0.8
−1
−0.5
0
0.5
1
Abbildung 3.4: Umströmung und Verteilung der hydrodynamischen Druckanteile auf eine offene Hubschütze.
Dann gilt zunächst einmal die Bernoulligleichung, die an einem Ort (Index 0) weit oberhalb der
Schütze an der Wasseroberfläche (p0 = 0) ausgewertet werden soll. An jedem anderen Punkt
in der Wassersäule sind Druckanteile, kinetische und potentielle Energie zu berücksichtigen:
u20
p(x, z)
u(x, z)2
+ gh0 =
+ gz +
2
2
Hieraus folgt für die Druckverteilung in der Wassersäule:
p(x, z) =
u20
− Δp(x, z) + g(zS − z)
2
mit Δp(x, z) =
u(x, z)2
2
Die Geschwindigkeitsverteilung unter der Hubschütze kann man nun mit dem pdetool von
MATLAB und hieraus die hydrodynamische Druckveränderung Δp(x, z) bestimmen. Sie ist
beispielhaft in der Abbildung 3.4 dargestellt.
3.4. Die Druck-Poisson-Gleichung der idealen Strömung
Seite 68
FZug
h0+u02/2g
FG
FBiege
FHyd
a a
Dp
a
FA
Abbildung 3.5: Kraftverhältnisse an der offenen Hubschütze.
Dort erkennt man die Abnahme des hydrodynamischen Drucks an der Unterkante der
Hubschütze durch die dort erhöhten Umlenkströmungsgeschwindigkeiten. Um die tatsächliche
Kraft auf die Schütztafel zu bestimmen, ist auf den hydrodynamischen noch der hydrostatische
Druck zu addieren. Die resultierenden Kräfte sind in Abbildung 3.5 skizziert.
Es zeigt aber, dass die offene Hubschütze gegenüber der geschlossenen durch einen Unterdruck an den Boden gesaugt wird.
3.4 Die Druck-Poisson-Gleichung der idealen Str ömung
Für die Laplacegleichung als eine der grundlegenden partiellen Differentialgleichungen gibt es
eine Unmenge von numerischen Lösungsverfahren, die in Standardsoftwarepaketen wie z.B.
MATLAB implementiert sind. Eine etwas allgemeinere Gleichung ist die Poissongleichung,
Seite 69
die, im Vergleich zur Laplacegleichung eine von Null verschiedene rechte Seite besitzt:
∂2φ ∂2φ ∂2φ
+ 2 + 2 =f
(3.4)
div grad φ =
∂x2
∂y
∂z
Sie stellt für jede mathematische Standardsoftware, die die Laplacegleichung behandelt, keine
Hürde dar und ist das Ergebnis einer einfachen Umformung der Eulergleichungen.
3.4.1 Die Druck-Poisson-Gleichung
Dazu bilden wir die Divergenz der Eulergleichungen, d.h. wir leiten die Impulsgleichung in
x-Richtung nach x, die in y-Richtung nach y und die in z-Richtung nach z ab und bilden ferner
die Summe der drei Gleichungen. In Kurzschreibweise:
div
1
∂u
+ div (u grad u) = div f − div grad p
∂t
Die Zeitableitung und Divergenz lassen sich vertauschen, die Kontinuitätsgleichung liefert für
den ersten Term:
div
∂u
∂
= div u = 0
∂t
∂t
Damit erhält man:
div grad p =
div f − u grad u
(3.5)
Diese fundamentale Gleichung nennt man Druck-Poisson-Gleichung. Sie beginnt auf beiden
Seiten mit der Divergenz. Diese Schreibweise suggeriert immer wieder das Weglassen derselben als korrekte Umformung der Gleichung. Richtig ist aber allein die Integration der Gleichung, die eine additive Funktion (Integrationskonstante) hineinbringt und uns zurück zu den
Impulsgleichungen führt.
3.4.2 Randbedingungen
Wie bei der Laplacegleichung für die Potentialströmungen muss das Lösungsgebiet nicht nur
geometrisch, sondern auch durch die Vorgabe von Randbedingungen spezifizert werden.
An einem offenen Rand ist der Druck als Wert direkt vorzugeben (Dirichletsche Randbedingung). Hierdurch definiert der Benutzer die Druckgradienten, aus denen die Numerik sich dann
die zugehörigen Geschwindigkeiten berechnet.
An geschlossenen Rändern gilt un = 0, d.h. nach den Impulsgleichungen in der Lagrangeschen Form:
Seite 70
1
Dun
= 0 = −n grad p + nf
Dt
Damit ist dort die Randbedingung
= n f
n∇p
vorzugeben. Falls keine äußeren Kräfte wirken, reduziert sich diese zu einer einfachen homogenen Neumannschen Randbedingung.
3.4.3 Lösung der Druck-Poisson-Gleichung in MATLAB
Wir wollen die Lösung der Druck-Poisson-Gleichung in eine eigene, in der Abbildung dargestellte Funktion extrahieren, um diese später an verschiedenen Stellen verwenden zu können.
Dazu muss zunächst einmal mit dem pdetool eine Randbedingungsdatei ’bc file’ für den Druck
erstellt werden. Diese enthält die vorgegbenen Druckwerte an Ein- und Ausstromrändern,
sowie die Spezifikation der Neumannrandbedingungen an geschlossenen Rändern. Neben
dem Namen dieser Datei müssen im Aufruf der Funktion die Gittergeometrie p,e,t und die
Strömungsgeschwindigkeiten u und v übergeben werden.
Im Weiteren wird die Grundform der elliptischen Gleichung, die am Ende der Function mit
dem assempde-Solver gelöst wird, an die Druck-Poisson-Gleichung angepasst. Hierzu werden
zunächst c = -1 und a = 0 auf allen Dreiecken des Gitters gesetzt.
Mit der Funktion pdegrad werden dann die Gradienten von u und v bestimmt. Diese Funktion
lässt sich allerdings nur dann anwenden, wenn u und v, die eigentlich auf den Mittelpunkten der Dreiecke abgespeichert sind, auf die Knoten interpoliert werden; dies bewerkstelligt
die pdetool-Funktion pdeprtni. Das Ergebnis der Gradientenbildung liegt nun wieder auf den
Dreiecksmittelpunkten vor.
Nun können die advektiven Beschleunigungen bestimmt werden, um dann ihre Divergenz unter Zuhilfenahme der Funktionen pdeprtni und pdegrad und Multiplikation mit der Dichte (
= 1000 kg/m3 für Wasser) zu bestimmen.
Das Hauptprogramm zur Lösung der Eulergleichungen in Abbildung 3.7 beginnt wieder mit
dem Einlesen des Gitters. Die Eulergleichungen selbst werden mit einem expliziten Zeitschrittverfahren gelöst. Dazu wird die Zeitableitung durch den Differenzenquotienten
∂u
un+1 − un
=
∂t
Δt
ersetzt. Darin ist un+1 der Geschwindigkeitswert zum neuen Zeitpunkt und u n die Geschwindigkeit zum alten, bekannten Zeitpunkt. Hiermit lässt sich die Eulergleichung in x-Richtung
als
Seite 71
function pressure = druck_poisson(bc_file,p,e,t,u,v)
% Solution of the elliptic problem
% - d/dx(c du/dx) + au = f
% Initializing the coefficients a and c,
% which must be row vectors in the triangles centers of mass
% Value for c=-1:
c=-ones(1,size(t,2));
% Calculation of div (u grad u):
% 1. ux = du/dx on triangle centers
[dudx,dudy]=pdegrad(p,t,pdeprtni(p,t,u));
[dvdx,dvdy]=pdegrad(p,t,pdeprtni(p,t,v));
% u dudx + v dudy on triangle centers
advx=u.*dudx+v.*dudy;
advy=u.*dvdx+v.*dvdy;
% u dudx + v dudy on nodes
advxn=pdeprtni(p,t,advx);
advyn=pdeprtni(p,t,advy);
%
[h3,˜]=pdegrad(p,t,advxn);
[˜,h4]=pdegrad(p,t,advyn);
f=-1000.*(h3+h4);
% Solving the poisson equation:
pressure=assempde(bc_file,p,e,t,c,a,f);
Abbildung 3.6: Funktion zu Lösung der Druck-Poisson-Gleichung in MATLAB beim Nichtvorhandensein äußerer Kräfte.
Seite 72
% Read and refine the mesh
[p,e,t]=initmesh(’potential_geom’);
[p,e,t]=refinemesh(’potential_geom’,p,e,t);
x=p(1,:)’; y=p(2,:)’;
% Time step
dt=0.1;
% Initial Velocity vectors on triangle centers
vel=zeros(2,size(t,2));
%
for i=1:100
uu=druck_poisson(’druckbc’,p,e,t,vel(1,:),vel(2,:));
% Velocity vectors on centers of triangles
[dpdx,dpdy]=pdegrad(p,t,uu);
% Calculation of div (u grad u):
% 1. ux = du/dx on triangle centers
[ux,uy]=pdegrad(p,t,pdeprtni(p,t,vel(1,:)));
[vx,vy]=pdegrad(p,t,pdeprtni(p,t,vel(2,:)));
% u dudx + v dudy on nodes
advx=vel(1,:).*ux+vel(2,:).*uy;
advy=vel(1,:).*vx+vel(2,:).*vy;
vel(1,:)=vel(1,:)-dt*(dpdx/1000.+advx);
vel(2,:)=vel(2,:)-dt*(dpdy/1000.+advy);
end
% Interpolation from triangles to nodes
uveln=pdeprtni(p,t,vel(1,:));
vveln=pdeprtni(p,t,vel(2,:));
pdeplot(p,e,t,’xydata’,uu,’zdata’,plotval,...
’colorbar’,’on’,’zstyle’,’off’);
hold on;
quiver(x,y,uveln,vveln);
Abbildung 3.7: Explizite Lösung der Eulergleichungen in MATLAB beim Nichtvorhandensein
äußerer Kräfte.
un+1
+ f − 1 ∂p
= un + Δt −u ∇u
∂x
Seite 73
und unter Verwendung einer Schleife im MATLAB-Skript lösen.
0
0.6
−0.1
0.4
−0.2
−0.3
0.2
−0.4
0
−0.5
−0.2
−0.6
−0.7
−0.4
−0.8
−0.6
−0.8
−1
−0.9
−0.5
0
0.5
1
−1
Abbildung 3.8: Löst man die Eulergleichungen explizit mit dem Druck aus der Druck-PoissonGleichung, dann kann es passieren, dass die Geschwindigkeitsvektoren an manchen Stellen
durch den geschlossenen Rand zeigen.
Die Lösung in Abbildung 3.8 sieht auf den ersten Blick recht zufrieden stellend aus. Einzig das
Vorhandensein einiger Geschwindigkeitsvektoren, die z. B. an Ecken und am Hindernis durch
den geschlossenen Rand gehen, trüben das Bild. Die Ursache liegt darin, dass es nicht möglich
war, in die explizite Lösung der eulerschen Impulsgleichungen Randbedingungen für die Geschwindigkeit einzubauen. Diese unbefriedigende Situation werden wir erstaulicherweise erst
dann lösen können, wenn auch die Viskosität des Fluids berücksichtigt wird.
3.4.4 Schallgeschwindigkeit und Inkompressibilität
Das Besondere an der Druck-Poisson-Gleichung ist die Tatsache, dass sie keine zeitliche Ableitung für den Druck enthält, sie ist also keine dynamische Gleichung. Ändert sich an irgendeiner Stelle das Geschwindigkeitsfeld in irgendeiner Form, so verändert sich das Druckfeld
Seite 74
instantan im gesamten Strömungsgebiet. Jede Druckänderung breitet sich also mit unendlicher Geschwindigkeit aus. Gresho und Sani ([28]) haben dies 1987 so ausgedrückt:
The pressure is a somewhat mysterious quantity in incompressible flows. It is not a thermodynamic variable as there is no ’equation of state’ for an incompressible fluid. It is in one sense
a mathematical artefact – a Lagrange multiplier that constrains the velocity field to remain
divergence-free; i.e. incompressible – yet its gradient is a relevant physical quantity: a force
per unit volume. It propagates at infinite speed in order to keep the flow always and everywhere incompressible; i.e. it is always in equilibrium with a time-varying divergence-free velocity
field. It is also often difficult and or expensive to compute.
Eine wichtige Konsequenz dieses Sachverhaltes ist die Möglichkeit, für den Druck recht gute
analytische Lösungen zu gewinnen, die dann direkt in die Impulsgleichungen realer Fluide eingesetzt werden. Hier findet die hydrostatische Druckapproximation die weiteste Verwendung,
da man sich mit ihrer Hilfe die Lösung der vertikalen Impulsgleichung ersparen kann.
Jede Druckänderung breitet sich (mathematisch gesehen) mit unendlicher Geschwindigkeit
aus. Diese recht unphysikalische Eigenschaft des Druckes als Lösung der Poissongleichung
resultiert letztlich aus der (unphysikalischen) Annahme eines inkompressiblen Fluids.
Um herauszufinden, wie gut die Modellvorstellung eines inkompressiblen Fluides ist, müssen
wir die Ausbreitungsgeschwindigkeit in einem realen d.h. kompressiblen Fluid betrachten und
die Modellannahme einer unendlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit an ihr messen.
Da der Schall eine Druckwelle ist, können wir die Grenzen der Gültigkeit der Inkompressibilitätsannahme anhand der Schallgeschwindigkeit c untersuchen. Sie beträgt in Wasser
1485 m/s bei 0o C. Beliebige Geschwindigkeiten u setzt man mit Hilfe der Machzahl M
u
(3.6)
c
in ein Verhältnis zur Schallgeschwindigkeit. In inkompressiblen Fluiden ist die Machzahl Null,
da die Schallgeschwindigkeit unendlich ist.
Die Approximation einer realen Strömung mit einem inkompressiblen mathematischen Modell
ist umso besser, desto kleiner die Machzahl ist.
M=
3.5 Zusammenfassung
Die Theorie idealer Strömungen beschreibt diese mit Hilfe der Eulergleichungen:
div u = 0
1
Du
= − grad p + f
Dt
Sie stellen ein vollständiges System von partiellen Differentialgleichungen dar, es sind also
genauso viele Unbekannte wie Gleichungen vorhanden.
Seite 75
Die Eulergleichungen sind im dreidimensionalen Raum nicht stabil lösbar, erst die Projektion
auf den zweidimensionalen Raum oder die Annahme der Rotationsfreiheit führen zu brauchbaren Lösungen. Im ersteren Fall werden diese mit Hilfe der Theorie der Stromfunktionen, im
zweiten Fall mit der Theorie der Potentialströmungen erhalten.
Seite 76
Kapitel 4
Viskosität und Navier-Stokes-Gleichungen
Neben den Erfolgen, die die Hydrodynamik idealer Strömungen zweifelsohne zu verzeichnen hatte, konnte sie fundamentale Phänomene der angewandten Strömungsmechanik nicht
erklären. So erfuhren Körper in einer idealen Strömung keinen Widerstand (D’Alembertsches
Paradoxon). Der Druckabfall in Rohrströmungen konnte nicht erklärt werden, die Bewegung
des Wassers in Gerinnen erinnert eher an den freien Fall als an ein Fließen. Der technische Fortschritt des 19. Jahrhunderts drängte aber auf eine theoretische Lösung dieser Probleme. Daher
entwickelten Ingenieure die klassische Hydraulik als einen eigenständigen wissenschaftlichen
Zweig der Strömungsmechanik, die die anstehenden Probleme durch anwendungsnahe empirische Methoden löste. Dabei trennte man sich in einigen Bereichen nahezu vollständig von
der praxisfernen klassischen Hydrodynamik idealer Fluide.
Auf der theoretischen Seite konnte Stokes auch das Phänomen der Viskosität, d.h. der Zähigkeit von Flüssigkeiten in die Eulerschen Bewegungsgleichungen einbeziehen, womit die
Navier-Stokes-Gleichungen in der Mitte des 19. Jahrhunderts das Licht der Welt erblickten.
Die Zahlenwerte, die die viskosen Zusatzterme produzierten, waren allerdings so gering, dass
man ihnen fast ein halbes Jahrhundert keinerlei Bedeutung zumaß.
Erst Ludwig Prandtl ist es 1904 in seiner Grenzschichttheorie gelungen, die Lücke zwischen
Theorie und Empirie zu schließen. Er demonstrierte, dass die zu Navier-Stokes-Gleichungen
tatsächlich in der Lage sind, wesentliche Ergebnisse der Hydrauliker zu reproduzieren.
Das Schisma zwischen der Ingenieurshydraulik und der theoretischen Hydrodynamik der Physiker (’Tabellenkunde gegen realitätsferne Theorie’) wurde trotzdem lange nicht überwunden. So sucht man z.B. in der erst 1959 erschienenen ’Open-Channel Hydraulics’ von Ven
Te Chow [13] die Navier-Stokes-Gleichungen vergeblich, sie scheinen also zur Untersuchung
des Strömungsgeschehens in Fließgewässern keinen wichtigen Beitrag leisten zu können. Erst
die numerische Simulation eröffnete die Möglichkeit, die Hydrodynamik realer Fluide auch
praktisch anzuwenden.
77
4.1. Die Viskosität
Seite 78
Az
z
u0 , Fx
u(z)
h
u, x
Abbildung 4.1: Gedankenexperiment zur Couette-Strömung
4.1 Die Viskosität
Alle Fluide sind mehr oder weniger zäh, d.h. sie leisten einer Bewgung einen gewissen Widerstand. Um diesen Widerstand zu beschreiben, betrachten wir das in Abbildung 4.1 dargestellte
Experiment. Darin wird eine schwimmende ebene Platte auf einer Flüssigkeit der Höhe h mit
der konstanten Geschwindigkeit u 0 entlang gezogen. Gemessen wird dabei die Kraft Fx , die
zur Aufrechterhaltung dieser Bewegung erforderlich ist.
Dieses Experiment ist viel grundlegender als man zunächst denken mag. So kann die sich
bewegende Platte in grober Vereinfachung ein Schiff darstellen, womit man mit der Kraft F x
den Bewegungswiderstand des Schiffes bekommen wird und damit den Energiebedarf pro
Zeit, d.h. die erforderliche Motorenleistung
P = Fx u0
bestimmen kann.
Stellt man sich auf der oberen Seite der Platte ebenfalls Fluid vor, dann sind wir schon beim
einfachsten Modell eines Flugzeugs. Das Fluid wäre dann die Luft, die Fluidhöhe unter der
Platte die Flughöhe, und die Fluidhöhe über der Platte unendlich groß.
Man kann sich nun verallgemeinernd sehr schnell vorstellen, dass dieses einfache Experiment
verstanden sein muss, wenn man die Bewegung von Körpern durch Fluide beschreiben will.
Aber auch für die Dynamik des Fluids selbst hat das Experiment eine grundlegende Bedeutung. Dazu lassen wir die Plattendicke gedanklich gegen Null gehen. Dann können wir uns
eine Gerinneströmung so vorstellen, als ob die oberste Wasserschicht sich mit der Geschwindigkeit u0 bewegt. Die für die Bewegung des Fluids mit der Grundfläche Az und der Höhe
h erforderliche Kraft kommt aus der Neigung sin α des Gerinnes. Diese kann man aus der
Gleichung
Fx = Mg sin α = Ah g sin α
Stoff
Petroleum
Wasser
Quecksilber
Blut (37 o C)
Olivenöl
Honig
Sirup (Ahorn)
Glas (Schmelze)
Glas (fest)
Pentan
Hexan
Heptan
Oktan
Nonan
Dekan
Luft (20o C)
Teer (Holz)
Bitumen
Seite 79
dynam. Viskosität [mPa s]
Dichte [kg/m 3 ] kinemat. Viskosität [m2 /s]
0.65
1.0
1.53
4 - 25
90 - 100
104
105
102 - 104
1023
0.232
0.320
0.410
0.538
0.710
0.920
0.01228
106
108
800
1000
13534
1055
910
1400
1320
2330
2330
626
659
684
718
733
740
1.21
1030
1100
8.125 · 10−7
1 · 10−6
1.13 · 10 −7
1.47 · 10−5
1.04 · 10 −4
7.14 · 10−3
7.57 · 10−2
2.14 · 10−3
4 · 1020
3.7 · 10−7
4.86 · 10−7
5.99 · 10−7
7.49 · 10−7
9.68 · 10−7
1.24 · 10−6
1.02 · 10−5
0.97
90
Tabelle 4.1: Dynamische und kinematische Viskosität verschiedener Stoffe bei 20 o C.
bestimmen, wenn eben die erforderliche Kraft Fx kennt.
Und genauso bekommt man ein einfaches Modell einer Rohrströmung, wenn man sich auch
über der unendlich dünnen Platte Fluid denkt. Der Rohrdurchmesser ist dann D = 2h.
Genug Gründe also, sich mit diesem Experiment zu beschäftigen.
4.1.1 Die Couette-Strömung
Neben dem grundsätzlichen Aufbau ist in Abbildung 4.1 auch schon ein Geschwindigkeitsprofil eingezeichnet, welches vom Boden des Gefäßes linear bis zur Platte ansteigt. Dieses Geschwindigkeitsprofil kann also durch die Gleichung
u(z) =
z
u0
h
beschrieben werden.
Die Form des Geschwindigkeitsprofils ist natürlich nur eine Annahme, die aber umso besser
ist, je kleiner der Abstand zwischen der Boden- und der sich bewegenden Platte h ist. Ist diese
Seite 80
Bedingung erfüllt, dann spricht man von einer Couette-Strömung. Damit handelt es sich bei
den eingangs erwähnten Beispielen des Schiffs und des Flugzeugs, sowie der Gerinne- und der
Rohrströmungen nicht mehr um Couette-Strömungen.
Bezeichnen wir die Kraft pro Plattenfläche mit τ , die erforderlich ist, um die Bewegung der
Platte aufrecht zu erhalten. Alle Experimente zeigen, dass sie umso größer ist, je größer die
Zuggeschwindigkeit und die Grundfläche der Platte Az und desto kleiner die Wassertiefe sind.
Es gilt also
Fx
u0 Az
h
und mit der Einführung der sogenannten dynamischen Viskosität μ als Proportionalitätskonstante das Newtonsche Zähigkeitsgesetz
Fx
u0 Az
h
Die Einheit der dynamischen Viskosität ist somit kg/(m s).
Die Viskosität kann auch dichtebezogen angegeben werden, dann bezeichnet man mit
ν = μ/
die kinematische Viskosität des Fluids.
In der Mechanik wird eine Kraft pro Fläche als Spannung τ bezeichnet. Wir können das Newtonsche Zähigkeitsgesetz also auch in der Form
τ =μ
u0
h
schreiben. Dabei bezeichnet man ein Fluid als Newtonsches Fluid, wenn die Viskosität in
diesem Scherversuch konstant bleibt, wenn also μ = τ h/u 0 = const gilt. Dies bedeutet
allerdings nicht, das die Viskosität sich nicht etwa mit der Temperatur des Fluids ändern kann.
Übung 13: Beim Verstreichen von Zuckerrübensirup (Marke Grafschafter Goldsaft) einer
Schichtdicke von 1 mm auf dem Butterbrot wird das Messer (A = 7 cm 2 ) mit Geschwindigkeit
von 5 cm/s gezogen. Welche Kraftaufwendung ist hierzu vonnöten?
4.1.2 Die Scherrate
Bezeichnen wir die Änderung der Geschwindigkeit zwischen oberer und unterer Platte mit Δu
und den Abstand der Platten mit Δz, dann weist die neue Darstellung des Zahigkeitsgesetzes
den Weg zu seiner Verallgemeinerung:
τ =μ
Δu
Δz
Seite 81
Diese Form legt die Vermutung nahe, dass es bei der Bestimmung der viskosen Kraft zwischen
den beiden Platten natürlich nur auf die Relativgeschwindigkeit Δu der beiden Platten zueinander ankommt. Und der Differenzenquotient legt es nahe, die Spannung für beliebig kleine
Plattenabstände, d.h. im Limes gegen Null für eine Fläche zu betrachten:
τ =μ
∂u
∂z
In einer horizontalen Fläche wirkt also immer dann eine in x-Richtung wirkende Scherspannung, wenn das Geschwindigkeitsfeld eine Änderung, d.h. eine Scherung aufweist. In einem
Fluid erzeugt ein Geschwindigkeitsgradient also immer eine Scherspannung, deren Überwindung Energie erfordert.
Die partielle Ableitung bezeichnet man auch als Scherrate γ̇:
γ̇ :=
∂u
⇒ τ = μγ̇
∂z
da sie die Änderungsgeschwindigkeit der Scherung
γ=
∂x
∂z
angibt.
Wir wollen einmal anschauen, welche Scherrate mit welcher Geschwindigkeitsänderung auf
einem Abstand von nur einem Zentimeter verbunden ist:
γ̇ = 0.1/s ⇒ Δu = 1 mm/s auf Δz = 1 cm
γ̇ = 1/s
⇒ Δu = 1 cm/s auf Δz = 1 cm
γ̇ = 10/s ⇒ Δu = 1 dm/s auf Δz = 1 cm
γ̇ = 100/s ⇒ Δu = 1 m/s auf Δz = 1 cm
γ̇ = 1000/s ⇒ Δu = 10 m/s auf Δz = 1 cm
Eine Scherrate von 1000/s wird in der freien Natur nur selten auftreten, während sie in der
Technik recht häufig vorkommt.
Übung 14: Ein Zylinder bewege sich in einem Kolben mit der Hubhöhe H = 10 cm nach der
Beziehung
z(t) =
H
sin(ωt)
2
Bestimmen Sie die die maximal auftretende Scherrate bei 3000 U/min, wenn der Abstand
zwischen Zylinder und Kolben 1 mm beträgt.
Übung 15: Gegeben sei das logarithmische Geschwindigkeitsprofil einer Wasserströmung
u(z) =
z
u∗
ln
κ
z0
mit κ = 0.41
und u∗ = 0.4 m/s und z0 = 2 mm. Berechnen Sie die Schubspannung τzx bei z = z0 .
4.2. Der Tensor der viskosen Spannungen
Seite 82
4.2 Der Tensor der viskosen Spannungen
Die bisherigen Überlegungen zur Couette-Strömung gingen alle von einen Gradienten der Horizontalgeschwindigkeit in der Vertikalen aus. Doch schon das relativ einfache zweidimensionale Geschwindigkeitsfeld in Abbildung 3.2 weist Geschwindigkeitsgradienten für alle Komponenten ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x und ∂v/∂y auf. Entsprechend werden in einer dreidimensionalen Strömung auch alle anderen Gradienten vorhanden sein.
4.2.1 Der Spannungstensor
Durch alle diese Geschwindigkeitsgradienten können sich verschiedene Schichten der
Strömung aneinander reiben. Die damit verbundenen Reibungskräfte sind Flächenkräfte, d.h.
man muss zunächst einmal spezifizieren, in welcher Fläche man die Reibungskraft bestimmen
möchte. Diese ist natürlich davon abhängig, wie groß die Berührungsfläche der einzelnen,
willkürlich definierten Schichten ist und wie diese im Raum orientiert sind. Um sie zu messen, müssen wir zunächst die Unabhängigkeit von der Größe der Bezugsfläche gewährleisten,
indem wir uns nur noch für die Kraft pro Fläche, d.h. die Spannung interessieren.
tzz
tzy
tyz
z
tzx
tyy
tyx
txx
txy
txx
y
x
Abbildung 4.2: Die Bezeichnungen im Spannungstensor. Der erste Index bezieht sich auf die
Normalenrichtung der jeweiligen Ebene, der zweite Index auf die Kraftkomponente.
Um nun noch die Orientierung der Fläche im Raum zu berücksichtigen, führen wir den Begriff
des Spannungstensors τij ein, er hat die mathematische Gestalt einer Matrix mit den Komponenten:
Seite 83
⎛
⎞
τxx τxy τxz
⎜
⎟
⎟
τij = ⎜
⎝ τyx τyy τyz ⎠
τzx τzy τzz
Man bezeichnet ihn auch als Tensor der inneren Spannungen. Er beinhaltet alle Möglichkeiten, eine Schnittfläche im Raum, die durch einen Normalenvektor repräsentiert wird, mit einer
Kraftrichtung zu kombinieren. Multiplizieren wir den Spannungstensor von links mit einem
Flächennormalenvektor n, so ergeben sich die in dieser Ebene wirkenden Spannungskomponenten. Der erste Index an jeder Tensorkomponente bezeichnet also die Schnittfläche, die
durch ihren Flächennormalenvektor dargestellt wird, der zweite Index die Wirkungsrichtung
der die Spannung erzeugenden Kraft.
Um die Reichhaltigkeit der in einem Tensor gespeicherten Informationen zu durchdringen,
lösen Sie bitte die
Übung 16: Für den folgenden Spannungstensor (in N/m2 )
⎛
⎞
x2 5 + 2z 2y
⎜
⎟
3
⎟
τij (x, y, z) = ⎜
xy
xy
z
⎝
⎠
xz 2x − 1 xyz
bestimmen Sie
1. die Komponente der Kraft in x-Richtung am Ort (2, 2, 1) t für eine in die Richtung (1 1
1)t orientierte 0.1 m2 große Fläche.
2. die Spannung am Ort (2, 2, 1)t für eine in die Richtung (1 1 1)t orientierte Fläche.
3. den Kraftvektor am Ort (4, 2, 0)t für eine in die Richtung (-1 -1 -1)t orientierte 0.1 m2
große Fläche.
dieses Kraftvektors, wenn diese mit einem Hebelarm r = (2, 1, 1) t
4. das Moment M
verbunden ist.
Wenn in einem Fluid allein wegen der Dreidimensionalität des Raumes und des Geschwindigkeitsvektors so viele Spannungskomponenten existieren, stellt sich sofirt die Frage, wie man
diese berechnen kann. Naheliegend ist es, das Koordinatensystem für den Couette-Versuch
einfach in beliebige Richtungen zu drehen und damit
τij = μ
∂uj
∂xj
anzunehmen. Dies ist allerdings leider nicht immer richtig, da im allgemeinen Fall auch die
Kontinuitätsgleichung hier gewisse Zwangsbedingungen einführt. Der richtigen Form des viskosen Spannungstensors wollen wir uns nun widmen.
Seite 84
u(x+dx,y+dy)=?
u(x,y)
(x,y)
dy
dx
Abbildung 4.3: Wenn man die Geschwindigkeit u und deren Ableitungen nur an einem einzigen Punkt (x,y) bestimmen kann, kann man
dann Aussagen über deren Wert an einem benachbarten Punkt machen?
4.2.2 Die Stokessche Zerlegung des Geschwindigkeitsfeldes
Wenn ich als Individuum genötigt werde, mich durch eine Menschenmasse schieben zu lassen,
interessiert mich zu jedem Zeitpunkt die Beantwortung der folgenden vier Fragen:
1. Erreiche ich mein Ziel, d.h. ist der Vektor der Bewegungsgeschwindigkeit der Menschenmasse an meinem derzeitigen Aufenthaltsort auf den Ausgang der Konzerthalle
gerichtet?
2. Werde ich durch die Menschenmasse gedreht und komme so womöglich ins Stolpern,
sobald ich mit dem Rücken zur Bewegungsrichtung orientiert bin?
3. Werde ich in der Bewegung der Menschenmasse eingequetscht und bekomme keine Luft
mehr, d.h. erleide ich eine formtreue Volumenänderung?
4. Werde ich in der Bewegung der Menschenmasse zerrissen, d.h. erleide ich eine erhebliche Veränderung meiner Körperform, ohne dass sich das Gesamtvolumen meines
Körpers verändert?
Wie man leicht ermessen kann, sind die Antworten von existentieller Bedeutung. Um sie zu
finden, stellen wir uns die Menschenmasse als Kontinuum vor, in dem wir jedem Ort einen
Geschwindigkeitsvektor zuordnen können, egal ob sich dieser Ort in meinem Oberarm oder
in der Bauchgegend des Nachbarn befindet. Kennen wir dieses Vektorfeld der Bewegungsgeschwindigkeiten, dann brauchen wir nur noch ein Berechnungsverfahren zur Beantwortung
der vier Fragen aufstellen, und wir sind fein raus. Dieses hat G.G. Stokes 1845 ([38], [62])
entwickelt.
Betrachtet man ein Geschwindigkeitsfeld am Punkt x = (x, y, z) und an einem infinitesimal
= (x + dx, y + dy, z + dz), so läßt es sich an diesem zweiten Punkt
entfernten Punkt x + dx
in erster Näherung darstellen als:
= u(x) + ∂u dx + ∂u dy + ∂u dz
u(x + dx)
∂x
∂y
∂z
= v(x) + ∂v dx + ∂v dy + ∂v dz
v(x + dx)
∂x
∂y
∂z
Seite 85
= w(x) + ∂w dx + ∂w dy + ∂w dz
w(x + dx)
∂x
∂y
∂z
Somit läßt sich die räumliche Änderung des Geschwindigkeitsfeldes durch einen Tensor zwei∂ui
ter Stufe mit den Komponenten ∂x
beschreiben
j
ui (xj + dxj ) = ui (xj ) +
∂ui
dxj
∂xj
wobei der Tensor ohne viel formalen Aufhebens durch die eckigen Klammern dargestellt wurde.
Jeder Tensor läßt sich durch folgenden Trick in einen symmetrischen und einen antisymmetrischen Anteil zerlegen. Es gilt immer:
1
∂ui
=
∂xj
2
∂ui ∂uj
+
∂xj
∂xi
1
+
2
∂ui
∂uj
−
∂xj
∂xi
Somit erhält man als Komponenten des symmetrischen Anteils
1
Dij =
2
∂ui ∂uj
+
∂xj
∂xi
= Dji
(4.1)
und als Komponenten des antisymmetrischen Anteils
1
Rij =
2
∂ui
∂uj
−
∂xj
∂xi
.
Der symmetrische Tensor D heißt Deformationsratentensor und der antisymmetrische Tensor R Rotationstensor. Das Geschwindigkeitsfeld läßt sich dann in der Form
ui (xj + dxj ) = ui (xj ) + Dij dxj + Rij dxj
darstellen.
Übung 17: Theorie und Wirklichkeit:
Berechnen Sie für das Vektorfeld
⎛
⎞
x2
⎜
⎟
2 ⎟
u = ⎜
⎝ y ⎠
z2
die Geschwindigkeit am Ort x = (0, 0, 0)t und am Ort x + dx = (0.1, 0.1, 0.1)t durch direktes
Einsetzen und durch die Zerlegung in Deformationsraten- und Rotationstensor.
Seite 86
z
x
Abbildung 4.4: Verformung eines Flüssigkeitselements in einer Scherströmung.
Beispiel: Verformung eines Flüssigkeitselementes in einer Scherströmung
Wir wollen die Theorie an einem einfachen Beispiel konkretisieren. Wir betrachten dazu eine
Scherströmung in x-Richtung. Sie habe nur eine Komponente u = u(z), die anderen Komponenten v und w sind Null. Symmetrischer Tensor D und antisymmetrischer Tensor R sind
dann:
⎛
0 0
1⎜
D= ⎜
0 0
2 ⎝ ∂u
0
∂z
∂u
∂z
⎞
⎟
0 ⎟
⎠
0
⎛
0 0
1⎜
und R = ⎜
0 0
2 ⎝ ∂u
− ∂z 0
∂u
∂z
⎞
⎟
0 ⎟
⎠
0
Die Verformungen werden dann zu:
u(x + dx) = u(x) + Ddx + Rdx = u(x) +
1
2
⎛ ∂u
dz
⎜ ∂z
⎜ 0
⎝
⎞
⎟
⎟+
⎠
∂u
dx
∂z
⎛
1⎜
⎜
2⎝
∂u
dz
∂z
0
− ∂u
dx
∂z
⎞
⎟
⎟
⎠
Die Interpretation dieser Zerlegung wird aus Abbildung 4.4 deutlich. Während die erste Operation Ddx das Flüssigkeitselement verformt, dreht die zweite Operation Rdx es lediglich.
In der Mechanik der festen Körper gibt es den Term Ddx nicht, da er den Festkörper verformen
würde. Deren Geschwindigkeit kann nur aus Translations- und Rotationsanteilen bestehen.
Durch Nachrechnen bestätigt man die einfache Vektorbeziehung
1
1
Rdx = (∇ × u) × dx = rot u × dx
2
2
womit sich für das Geschwindigkeitsfeld die Darstellung
1
u(x + dx) = u(x) + Ddx + rot u × dx
2
Addiert und subtrahiert man auf der rechten Seite den Term 13 div u E, wobei E der Einheitstensor ist, so erhält man schließlich für das Geschwindigkeitsfeld die Form:
u(x + dx) =
Seite 87
1
1
1
div u E dx +
div u Edx + rot u × dx
3 3
2
formtreue
Rotation
volumentreue
Volumenänderung
Formänderung
+ D−
u(x)
Translation
Der erste Term u(x) besagt, dass das Geschwindigkeitsfeld am Ort x + dx gleich dem am Ort
x ist. Er stellt demnach eine reine Translation dar, bei der das Strömungsfeld u vom Ort x nach
verschoben wird.
x + dx
Der zweite Summand (D − 13 div u E)dx stellt eine volumentreue Formänderung dar. Dies zu
beweisen ist von der Idee her einfach, die Ausführung ist aber langwierig. Da das Volumen des
Quaders dx gleich dxdydz ist, braucht man nur die drei Komponenten von (D − 13 div u E)dx
ausschreiben und auszumultiplizieren, das Ergebnis sollte dann wieder dxdydz sein.
Der dritte Summand 13 div u Edx stellt eine formtreue Volumenänderung dar. Dies ist einfach
zu sehen, wird doch das Volumenelement x einfach nur in alle drei Richtungen gleichmäßig
um den Faktor 13 div u vergrößert oder verkleinert.
Der vierte Summand 12 rot u × dx stellt eine reine Drehung dar.
Übung 18: In dem dimensionslosen Geschwindigkeitsfeld
⎛
⎞
x2 y
⎜
⎟
2 ⎟
u = ⎜
⎝ 2xy z ⎠
yz 3
befinde sich ein Fluidelement am Ort (−1, −1, 2).
1. Berechnen Sie div u. Gibt es dort eine formtreue Volumenänderung ?
2. Berechnen Sie rot u. Gibt es dort eine Rotation ?
3. Berechnen Sie D -
1
3
div u E. Gibt es dort eine volumentreue Formänderung ?
4.2.3 Der viskose Spannungstensor für inkompressible Fluide
Beim Stokesschen Ansatz für isotrope Fluide werden im viskosen Spannungstensor P nur
volumentreue Formveränderungen und formtreue Volumenveränderungen berücksichtigt. Es
wird also physikalisch sinnvoll davon ausgegangen, dass reine Verschiebungen oder Drehungen des gesamten Strömungsfeldes von der inneren Reibung nicht beeinflußt sind. Durch die
Einführung von geeigneten Proportionalitätskonstanten erhält man
1 ∂uj
1 ∂uj
δij + 3κ
δij ,
τij = 2μ Dij −
3 ∂xj
3 ∂xj
Seite 88
wobei μ die dynamische Viskosität und κ die Volumenviskosität ist. Der Faktor 2 vor der
dynamischen Viskosität garantiert, dass sich das Newtonsche Zähigkeitsgesetz später als Spezialfall ergibt.
Für inkompressible Strömungen existieren keine formtreuen Volumenveränderungen (div u =
0), somit ergibt sich der viskose Reibungstensor zu
τij = 2μDij
Er hat somit die Komponenten:
⎛
τij =
⎞
∂u ∂u
+
⎜
∂x
⎜ ∂x
∂u ∂v
+
∂y ∂x
∂u ∂w
+
∂z
∂x ⎟
⎟
∂v ∂u
+
∂x ∂y
∂v ∂v
+
∂y ∂y
∂v ∂w
+
∂z
∂y
∂w ∂u
+
∂x
∂z
∂w ∂v
+
∂y
∂z
∂w ∂w
+
∂z
∂z
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
μ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Im Unterschied zum Ergebnis unseres einleitenden Gedankenexperimentes taucht in den Extradiagonalkomponenten jeweils ein weiterer Term auf, der die Symmetrie des Spannungstensors gewährleistet, d.h. er erfüllt die Gleichung
τij = τji .
In der Kontinuumsmechanik kennt man diesen Sachverhalt als Satz von der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen: Die Schubspannungen in zwei aufeinander senkrecht stehenden
Schnittebenen sind vom Betrage her gleich groß und entweder weisen beide auf die gemeinsame Schnittkante hin oder sind von ihr weggerichtet. Er garantiert das Momentengleichgewicht
am Fluidvolumen.
Übung 19: Berechnen Sie den Spannungstensor des in der letzten Aufgabe dargestellten Geschwindigkeitsfeldes.
4.2.4 Die Kraft auf ein Fluidelement
Nachdem wir nun Kenntnis über die inneren Spannungen im einem Newtonschen Fluid gewonnen haben, wollen wir die Frage beantworten, welche Kraft F durch die inneren Spannungen τij auf ein Fluidelement in einem gegebenen Geschwindigkeitsfeld wirkt. Da die Spannung eine Kraft pro Fläche ist, brauchen wir den Spannungstensor nur über die Außenfläche
∂Ω des Fluidelements zu integrieren, um die wirkende Gesamtkraft zu berechnen:
Fi =
τji dSj
∂Ω
Seite 89
Wir beginnen wieder mit der einfachsten Form eines Fluidelements Ω, dem Quader ΔxΔyΔz.
Wie in Abbildung 2.1 seien seine Kanten an den Achsen des kartesischen Koordinatensystems ausgerichtet. Die Normaleneinheitsvektoren auf jeweils gegenüber liegenden Berandungsflächen haben daher das entgegengesetzte Vorzeichen
Fi =
6
τji Anj = ΔyΔz (τxi,2 − τxi,1 ) + ΔxΔz (τyi,2 − τyi,1 ) + ΔxΔy (τzi,2 − τzi,1 )
j=1
Befindet sich das quaderförmige Fluidelement in einer Couette-Strömung, dann sind alle Spannungekomponenten außer τxz und τzx Null:
⎛
⎞
ΔxΔy (τzx,2 − τzx,1)
⎜
⎟
⎜
⎟
F =⎝
0
⎠
ΔyΔz (τxz,2 − τxz,1 )
Da die Geschwindigkeitsgradienten auf den sich gegenüberliegenden Kantenseiten jeweils
gleich groß sind, wirken auf ein Fluidelement in einer Couette-Strömung keinerlei Kräfte,
es bewegt sich als gleichförmig und geradlinig. Genau dies macht jedes Fluidelement in der
Couette-Strömung.
Wir wollen die Quaderbetrachtung verallgemeinern, indem wir sein Volumen V = ΔxΔyΔz
gegen Null gehen lassen. Da dabei auch die Kraft selbst gegen Null gehen würde, verwenden
wir wieder die auf die Masse bezogene Kraftdichte:
fi =
1 ∂τji
Fi
=
V
∂xj
An einem gegebenen Ort sind Spannungen erst dann mit einer Kraft verbunden, wenn das
Spannungsfeld dort lokale Änderungen aufweist. Es sei noch angemerkt, dass man diese Herleitung auch durch die Anwendung des Gaussschen Integralsatzes bewerkstelligen kann, der
nicht nur für Vektoren, sondern auch für Tensoren gültig ist:
Fi =
fi dΩ =
Ω
τji dSj =
∂Ω
Ω
∂τji
dΩ
∂xj
Hier wurde die Definition des Spannungstensors dazu hergenommen, die Kraftwirkung auf
ein Fluidelement Ω zu bestimmen. Dann wurde das Oberflächen- in ein Volumenintegral
überführt.
Zur Berechnung der Kraftwirkung von viskosen Spannungen muß man also die Divergenz des
Spannungstensors bestimmen. Die i-Komponente ist
⎛
∂
∂τji
=μ
∂xj
∂xj
∂ui ∂uj
+
∂xj
∂xi
=
⎜ 2
⎜ ∂ ui
μ⎜
⎜
⎝ ∂xj ∂xj
⎞
⎟
∂ ∂uj ⎟
⎟ = μ div grad ui
+
∂i ∂xj ⎟
⎠
=0
4.3. Die Navier-Stokes-Gleichungen
Seite 90
wobei im letzten Schritt wieder die Kontinuitätsgleichung verwendet wurde.
Diese Gleichung ist beim Rechnen mit Vorsicht zu genießen, denn es gilt nicht P = μ grad u
(weil die Integrationskonstante fehlen würde). Man sollte also immer aufpassen, ob in einer
Gleichung die viskosen Spannungen oder tatsächlich deren Divergenz gemeint ist.
4.3 Die Navier-Stokes-Gleichungen
Berücksichtigt man nun die Kraftwirkung der inneren Spannungen, dann ergeben sich die als
Navier-Stokes-Gleichungen bezeichneten Bewegungsgleichungen:
div u = 0
(4.2)
Du
1
= − grad p + ν div grad u + f
Dt
Ausgeschrieben lauten diese vier Differentialgleichungen:
∂u
∂u
∂u
1 ∂p
∂2u
∂2u
∂2u
∂u
+u
+v
+w
=−
+ ν 2 + ν 2 + ν 2 + fx
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂x
∂y
∂z
Kraft
Advektion
Druck
Viskosität
∂v
∂v
∂v
1 ∂p
∂2v
∂2v
∂2v
∂v
+u
+v
+w
=−
+ ν 2 + ν 2 + ν 2 + fy
∂t
∂x
∂y
∂z
∂y
∂x
∂y
∂z
Kraft
Advektion
Druck
Viskosität
(4.3)
2
2
2
∂w
∂w
∂w
1 ∂p
∂ w
∂ w
∂ w
∂w
+u
+v
+w
=−
+ ν 2 + ν 2 + ν 2 + fz
∂t
∂x
∂y
∂z
∂z
∂x
∂y
∂z
Kraft
Advektion
Druck
Viskosität
∂u ∂v ∂w
+
+
=0
∂x ∂y
∂z
Kontinuität
Sie sind für die vier unbekannten Funktionen u, v, w und p zu lösen.
4.4. Die viskose Spannung als Impulsfluss
Seite 91
Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
Wir hatten schon festgestellt, dass es nur dann sinnvoll ist, die Lösung eines Problems zu
suchen, wenn diese auch existiert. Deshalb machten wir uns bei den dreidimensionalen Eulergleichungen gar nicht erst auf die Suche nach Lösungen.
Diese Fragestellungen sind für die Navier-Stokes-Gleichungen noch Gegenstand der aktuellen
mathematischen Forschung. Wer sich unbedingt in diese extrem komplizierte Problematik einarbeiten möchte, sei nach einem Mathematikstudium auf die Monographien von Temam [78]
und Constantin und Foias [14] verwiesen.
Wir diskutieren zunächst die Implikationen der möglichen Antworten. Entweder es existieren
Lösungen oder es existieren keine Lösungen. Trifft letzteres zu, müssen wir uns an die Arbeit
machen, verbesserte Grundgleichungen der Hydrodynamik zu entwickeln. Dabei stünden zwei
Hypothesen zur Disposition, die bei der Ableitung der Navier-Stokes-Gleichungen verwendet
wurden:
• Die Kontinuumshypothese negiert die partikuläre Zusammensetzung des Fluids. Sie
könnte im Rahmen einer Lagrangeschen d.h. partikelbezogenen Hydrodynamik überwunden werden.
• Die Hypothese der Inkompressibilität des Fluides kann durch die Hydrodynamik kompressibler Fluide ersetzt werden, so wie sie in der Aerodynamik Anwendung findet.
Tatsächlich existieren aber Lösungen für die Navier-Stokes-Gleichungen, so dass wir uns nun
der Frage nach der Eindeutigkeit derselben zuwenden müssen. Gibt es zu einem gestellten
Problem nur eine Lösung, so sind wir wunschlos glücklich. Im anderen Fall ist zu untersuchen, ob das Problem hinreichend exakt gestellt wurde, ob nicht also Bedingungen fehlen, die
die Lösungsmannigfaltigkeit einschränken könnten. Kann man dies ausschließen, dann ist zu
untersuchen, warum es mehrere Lösungen gibt, welche die Natur als Zustände verwirklicht
und welche man in einem numerischen Modell simulieren würde.
Es deutet alles darauf hin, dass die Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen echt mehrdeutig sind. Die Gründe dafür werden immer noch im Rahmen der Nichtlinearen Dynamik und
Chaostheorie erforscht.
4.4 Die viskose Spannung als Impulsfluss
Wir wollen das Geschehen in einer Couette-Strömung einmal auf der molekularen Ebene in
Abbildung 4.5 betrachten. Von der oberen Platte ausgehend wird zunächst nur die oberste
Ebene der dargestellten Wassermoleküle durch äußere Kräfte nach rechts bewegt. Diese sich
ungeordnet durch den Raum bewegenden Moleküle stoßen dabei darunter liegende Moleküle
Seite 92
Abbildung 4.5: Die Ursache der inneren Reibung auf der molekularen Ebene ist Impulsübertrag durch zwischenmolekulare Stöße.
an und übertragen nach den Stoßgesetzen Impuls auf diese und verlieren hierdurch selbst kinetische Energie. Dieser Prozeß pflanzt sich durch das gesamte Fluid fort.
Im Endresulat wird die Bewegung der eigentlich von außen bewegten oberen Moleküle gebremst, wodurch die viskose innere Reibung entsteht. Auf der anderen Seite werden die darunter liegenden langsameren Moleküle aber mit kinetischer Energie versorgt. Da die innere
Reibung somit mit einer Abgabe von Impuls von den impulsreichen oberen an die impulsarmen unteren Schichten verbunden ist, ist die viskose Spannung mit einem Impulsfluss verbunden, der zu einem Ausgleich des Impulses führt, den man als Impulsdiffusion bezeichnet.
Verlassen wir nun das molekulare Bild einer Strömung und gehen zum kontinuumsmechanischen über. Darin werden die Bewegungen der Einzelmoleküle nicht mehr unterschieden. Die
Strömungsgeschwindigkeit ist hier der Mittelwert aus einem ganzen Ensemble von Molekülen,
so dass die Kontinuitätsgleichung erfüllt ist. In unserem Beispiel aus Abbildung 4.5 bleibt dabei eine reine Geschwindigkeit in horizontaler Richtung, da alle vertikalen Fluktuationen sich
gegenseitig aufheben (sollten). Damit bewegt sich dieses Fluid in einzelnen, übereinandergesetzten Schichten, wobei die jeweils darüber angeordnete eine größere Geschwindigkeit hat.
Man bezeichnet eine solche Strömung daher als laminar.
4.4.1 Die Definition des Impulsstromtensors
Um die Gedanken der Einleitung zu diesem Abschnitt in mathematischer Sprache zu erfassen,
schreiben wir die Impulsgleichungn wieder in der sogenannnten Form. Hier werden, genau wie
bei den konservativen Eulergleichungen, in den advektiven Termen einfach beide Geschwindigkeiten unter die Ableitung gezogen:
∂ui ∂ui uj
1 ∂p
∂ 2 ui
=−
+ν
+ fi
+
∂t
∂xj
∂xi
∂xj ∂xj
bzw.
∂ui
∂
+
∂t
∂xj
∂ui
ui uj − ν
∂xj
= fi −
1 ∂p
∂xi
Diese Form wird kann man über einen gewissen Kontrollraum Ω integrieren und mit Hilfe des
Gaussschen Integralsatzes alle Divergenzen in Oberflächenintegrale überführen:
Ω
∂ui
dΩ +
∂t
∂Ω
Seite 93
∂ui
ui uj − μ
∂xj
dSj =
fi −
Ω
1 ∂p
dΩ
∂xi
Die unter dem Oberflächenintegral auftauchende Größe
Φu = ui uj − μ
∂ui
∂xj
bezeichnet man als Impulsstromtensor. Wir wollen uns seiner Bedeutung in kleinen Schritten
nähern:
Als Strom oder Fluss einer Größe bezeichnet man immer den Durchsatz dieser Größe pro
Fläche und Zeit. Den Einheiten nach muss also Masse mal Geschwindigkeit durch Fläche und
Zeit geteilt werden, also [m v / A t]. Da die Dichte Masse pro Volumen und das Volumen
Fläche mal Länge ist, folgt den Einheiten nach [ A L v / A t] = [ v L / t] = [ v v]. Somit
sagt die Gleichung also tatsächlich etwas über den Impulsstrom aus.
Das spannende an ihr ist aber nicht der erste, sondern der zweite Term auf der rechten Seite.
Um seine Bedeutung zu erarbeiten, schreiben wir den Impulsstrom für die Couette-Strömung
aus:
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
u2 0 0
0 0 μ ∂u
u2 0 −μ ∂u
∂z ⎟
∂z ⎟
⎜
⎟ ⎜
⎜
⎟−⎜ 0
⎟=⎜
⎟
Φu = ⎜
0
0
0
0
0
0
0
0
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠
∂u
∂u
0
μ ∂z 0 0
−μ ∂z 0
0 0 0
Betrachten wir nun des Impulsstrom durch eine Fläche senkrecht zur Hauptströmung, also eine
yz-Fläche, deren Normaleneinheitsvektor (1, 0, 0)t ist. Der Impulsfluss durch diese Fläche ist
also
⎛
⎞⎛
⎞
⎛
⎞
u2 0 −μ ∂u
1
u2
∂z ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
0
0
0 ⎟
⎝
⎠⎝ 0 ⎠ = ⎝ 0 ⎠.
0
0
0
−μ ∂u
0
∂z
Tatsächlich fließt durch eine Fläche senkrecht zur Strömungsrichtung der Impuls mu/At =
uAL/At = u2 , so wie wir es in der Einheitenbetrachtung herausbekommen haben.
Schauen wir nun auf den Impulsfluss der Couetteströmung durch eine xz-Fäche. Diese verläuft
parallel zur Strömung, wobei die Geschwindigkeiten diesseits und jenseits der Fläche exakt
gleich sind. Der Impulsstrom durch diese Fläche ist
⎛
⎞⎛
⎞
⎛
⎞
u2 0 −μ ∂u
0
0
∂z ⎟ ⎜
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
0
0
0 ⎟
⎝
⎠⎝ 1 ⎠ = ⎝ 0 ⎠
0
0
−μ ∂u
0
0
∂z
Seite 94
Null, was wir auch nicht anders erwartet hätten.
Legen wir die Fläche ebenfalls parallel zur Strömung, aber in xy-Richtung, so sind die Geschwindigkeiten diesseits und jenseits der Fläche nicht mehr gleich. Im höher gelegenen Halbraum ist die Geschwindigkeit größer als in dem unter der Fläche liegenden Halbraum. Der
Impulsstrom ist nun:
⎛
Φu,zx
⎞⎛
⎞
⎛
⎞
u2 0 −μ ∂u
0
−μ ∂u
∂z ⎟ ⎜
∂z ⎟
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎟
⎜
⎜
=⎝ 0
0
0 ⎠⎝ 0 ⎠ = ⎝ 0 ⎟
⎠
∂u
0
−μ ∂z 0
0
1
Es fließt also ein Impuls durch diese Fläche, obwohl alle Geschwindigkeitsvektoren parallel
zu ihr ausgerichtet sind und die Fläche nicht schneiden. Der Impuls fließt dabei in Richtung
des negativen Geschwindigkeitsgradienten, d. h. es wird Impuls von der schneller fließenden
Schicht in die langsamer fließende Schicht abgegeben.
Dass diese Impulsabgabe auf der molekularen Ebene durch Stöße der schnelleren gegen
die langsameren Moleküle erfolgt, hatten wir schon in der Einleitung zu diesem Abschnitt
erwähnt. Wir wollen nun versuchen, ob man mit diesem molekularen Bild die Viskosität eines
Fluids auch tatsächlich berechnen kann.
4.4.2 Die molekülkinetische Theorie der Viskosität
Die molekülkinetische Theorie der Flüssigkeiten und Gase basiert auf drei Annahmen:
1. Fluide bestehen aus einem Schwarm von sphärischen Partikeln der Masse M und des
Radius R0 , die sich stochastisch mit der mittleren Geschwindigkeit v durcheinander
bewegen.
2. Der Durchmesser der Partikel ist wesentlich kleiner als der Weg, den diese zwischen zwei Kollisionen zurücklegen. Man bezeichnet diesen Abstand als mittlere freie
Weglänge λ.
3. Die Partikel interagieren nur dann, wenn sie miteinander kollidieren. Dies tun sie durch
vollkommen elastische Stöße, d.h. die Summe der kinetischen Energie der kollidierenden Partikel bleibt erhalten.
Wir nehmen ferner an, dass sich alle Kugeln parallel zu den drei Koordinatenachsen bewegen,
d.h. je ein sechtsel in ±x, ±y und ±z-Richtung. Wir wollen herausfinden, wie sich der Impuls
in einer y-Ebene durch diese stochastische Bewegung der Moleküle ändert. Dabei werde der
Zeitraum betrachtet, der für das Zurücklegen einer mittleren freien Weglänge λ erforderlich
ist.
Seite 95
u (0) + l
M
¶u
¶x
u (0)
l
u (0) - l
l
¶u
¶x
Abbildung 4.6: Gaskinetisches Erklärungsmodell der Viskosität.
Unabhängig von den stochastischen Bewegungsgeschwindigkeiten der einzelnen Partikel bewege sich die Gesamtheit mit einer mittleren Strömungsgeschwindigkeit u(z) fort. Dieses
auf.
Geschwindigkeitsfeld weise einen Gradienten ∂u
∂z
Ist n die Teilchenzahldichte, d.h. die Teilchenzahl pro Volumen, dann driften in eine xy-Ebene
pro Zeiteinheit 1/6nv mit dem Impuls
Mu(0) + λM
∂u
∂z
und 1/6nv Teilchen mit dem Impuls
Mmu(0) − λM
∂u
∂z
ein.
Der Impulsfluss durch die Betrachtungsfläche ist somit:
Φu,zx
∂u
1
∂u
− Mu(0) − λM
= nv Mu(0) − λM
6
∂z
∂z
1
∂u
= − nvλM
3
∂z
Zusätzlich verlassen natürlich auch Moleküle unsere Betrachtungsfläche. Von diesen Auswanderern ziehen 1/6 n v in positive und 1/6 n v in negative z-Richtung ab. Durch die umgekehrte
Richtung hebt sich ihr Impulsfluss aber auf.
Damit bekommt man für die dynamische Viskosität den molekülkinetischen Zusammenhang
1
μ = nMvλ
3
Seite 96
und da die Dichte
= nM ist, gilt für die kinematische Viskosität:
1
ν = vλ
3
Die Viskosität idealer Gase
Für ideale Gase ist die mittlere Geschwindigkeit proportional zur Temperatur T
v=
3kT
M
wobei k die Boltzmannkonstante ist. Die mittlere freie Weglänge kann man aus Teilchenzahldichte n und Partikelradius R0 als
λ= √
1
2nπR02
bestimmen. Damit folgt
1
ν=
3
1
3kT
√
M 2nπR02
Dieses Gesetz trifft die viskosen Eigenschaften idealer Gase recht gut. Tatsächlich steigt deren Viskosität mit der Wurzel der Temperatur an: Umso größer die Temperatur desto größer
ist auch die mittlere thermische Geschwindigkeit der Moleküle und desto mehr Kollisionen
führen zu einem Austausch und einer Vergleichmäßigung des Impulses.
4.4.3 Die Viskosität des Wassers
Die Viskosität des Wassers ist ebenfalls temperaturabhängig, hier gilt die sogenannte AndradeBeziehung:
μ = 9.644 · 10−4 exp
2036.8K
,
T
T in o C
Bei 20 o C beträgt sie etwa 10-6 m2 /s.
Übung 20: Wie groß ist die Viskosität des Wassers bei 23 o C? Bei welcher Temperatur ist sie
nur noch halb so groß?
Aus theoretischer Sicht ist das Ergebnis allerdings ernüchternd. Es besagt, dass man das viskose Verhalten von Wasser nicht durch ein molekülkinetisches Modell beschreiben kann. Und da
die Viskosität für alle Flüssigkeiten mit der Temperatur abnimmt, muss geschlossen werden,
man dass das molekülkinetische Modell nur für Gase gültig ist.
Dies liegt daran, dass eine Flüssigkeit einerseits die Eigenschaften eines Festkörpers und andererseits die eines Gases hat. In Gasen sind die Moleküle chaotisch verteilt, Festkörper sind
Seite 97
1.8
Dynamische Viskosität [10
−3
Pa s]
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
20
40
60
Temperatur [°C]
80
100
Abbildung 4.7: Die Abhängigkeit der kinematischen Viskosität des Wassers von der Temperatur.
Abbildung 4.8: Gitterstrukturen in Fluiden bei kleinen (links) und bei großen Temperaturen
(rechts). Diese müssen in einer Scherströmung an den Rändern aufgebrochen und neu formiert
werden.
4.5. Die Bernoulligleichung für viskose Fluide
Seite 98
aus Kristallen aufgebaut, in denen die Moleküle auf Gittern angeordnet sind. In Flüssigkeiten
ordnen sich die Moleküle in kleinen Bereichen zu Festkörpergittern, die sich immer wieder
auflösen und neu formieren.
Die Bereiche mit einer einheitlichen Festkörpergitterstruktur sind in einem Fluid umso größer,
je kleiner die Temperatur ist. Dies ist in Abbildung 4.8 skizziert. Beim Fließen eines Fluids
werden diese Festkörperstrukturen an den Rändern aufgelöst und je nach Verformung neu
formiert. Man kann sich nun leicht vorstellen, dass dieser Vorgang umso leichter ist, je kleiner
die Festkörperstrukturen im Fluid sind, je größer also die Temperatur ist.
4.5 Die Bernoulligleichung für viskose Fluide
Wie im idealen Fall kann man auch für reale, reibungsbehaftete Strömungen eine Bernoulligleichung herleiten. Dazu bilden wir die Webertransformation für die advektiven Terme der
Navier-Stokes-Gleichungen
∂u
= f − grad
∂t
u2 p
+
+ u × rot u + ν div grad u
2
(4.4)
und setzen für die äußeren Kräfte das Gravitationspotential
f = −grad (gz)
an. Damit haben wir die Navier-Stokes-Gleichungen in die folgende Form gebracht:
∂u
= −grad
∂t
u2 p
+ + gz + u × rot u + ν div grad u
2
Wir wollen wieder eine stationäre, also zeitunabhängige Strömung betrachten:
0 = −grad
u2 p
+ + gz + u × rot u + ν div grad u
2
Integrieren wir diese Gleichung über den Weg zwischen den Orten x1 und x2 (wobei das
Minuszeichen vordem Gradienten die Integrationsgrenzen vertauscht), dann bekommen wir
die allgemeine Bernoulligleichung
u2 2 p2
u12 p1
+
+ gz1 =
+
+ gz2 + ghV
2
2
mit einem Zusatzterm:
x2
ghV = −
(u × rot u + ν div grad u) dx
x1
Die Größe hV hat die Einheit einer Höhe, man bezeichnet sie auch als Verlusthöhe.
4.5. Die Bernoulligleichung für viskose Fluide
Seite 99
4.5.1 Anwendung auf die Couette-Strömung
Um eine Idee davon zu bekommen, wie man die Verlusthöhe berechnen kann, wollen wir ihre
Bestimmungsgleichung für die Couette-Strömung auswerten.
Da die Divergenz des Spannungstensors nur aus zweiten Ableitungen besteht, fällt sie für
das linear ansteigende Geschwindigkeitsfeld weg und wir brauchen nur den Rotationsterm
ausschreiben:
⎛
∂v ∂u
∂u ∂w
⎜ v
−w
−
−
⎜
∂x ∂y
∂z
∂x
⎜
u × rot u =
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∂w ∂v
−
w
∂y
∂z
∂u ∂w
−
u
∂z
∂x
−u
−v
∂v
−
∂x
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
∂u ⎟
⎟
⎟
∂y ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
∂v ⎟
⎠
∂w
−
∂y
∂z
Für die Couette-Strömung bleibt davon unter dem Integral nicht viel übrig:
⎛
u × rot u =
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
0
u
∂u
∂z
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Werten wir die Bernoulligleichung zunächst an zwei Orten auf der Flüssigkeitsoberfläche aus.
Wir können uns schon im Vorweg überlegen, dass die Verlusthöhe in diesem Fall Null sein
sollte, da an beiden Orten derselbe Druck, gleiche geodätische Höhe und dieselben Bewegungsgeschwindigkeiten vorliegen.
Tatsächlich ist die Verlusthöhe auch nach unserem theoretischen Modell Null, da dx = ex dx
ist.
Werten wir nun die Bernoulligleichung zwischen einem beliebigen Punkt z unterhalb der
Flüssigkeitsoberfläche h und dem Boden des Gefäßes aus. Nun ist der ez -Einheitsvektor in
der vertikalen Richtung zu verwenden und es bleibt:
0
ghV = −
z
0
u2
∂u
1 u2
L u20
u dz = − z 02 dz = z 2 20 = λ
∂z
h
2 h
D 2
z
mit L = z, D = h, λ =
z
h
Der Leser setze diesen Verlustterm selbst in die Bernoulligleichung ein und bestätige, dass sich
in jeder Höhe die richtigen Druck- und Geschwindigkeitsverhältnisse der Couette-Strömung
einstellen.
Seite 100
4.6. Die Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen mit dem MATLAB-pdetool
4.5.2 Das Gesetz von Darcy-Weisbach
Das soeben hergeleitete Gesetz für die Verlusthöhe in der Couetteströmung lässt sich auf beliebige andere Strömungen verallgemeinern, wenn mann den Beiwert λ, den man auch als Verlustbeiwert bezeichnet, für jede Strömung gesondert bestimmt. Diese Vorgehensweise mündet
in dem Gesetz von Darcy-Weisbach. Es lautet:
hV = λ
L u2
D 2g
Mit dieser Formulierung sind folgende Annahmen verbunden:
• Die Verlusthöhe nimmt linear mit der Abstand L der beiden Berechnungspunkte zu.
• Es gibt eine Abmessung D, die das Strömungsgebiet und die darin auftretenden Geschwindigkeitsgradienten charakterisiert. Im Fall der Couette-Strömung ist es die Wassertiefe h.
• Es gibt eine Bezugsgeschwindigkeit u, die die Strömung beschreibt. Im Fall der Couetteströmung ist es die Geschwindigkeit u 0 an der Wasseroberfläche.
Wir werden noch mit Hilfe der Dimensionsanalyse zeigen, dass das Gesetz von DarcyWeisbach auch für Rohr- und Gerinneströmungen gültig ist.
4.6 Die Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen mit dem
MATLAB-pdetool
In der ingenieurwissenschaftlichen Praxis müssen die Navier-Stokes-Gleichungen auch für
Probleme mit komplexen Geometrien gelöst werden, sei es für das Innenleben einer Maschine, eines Fließgewässers oder die Umströmung eines Flugkörpers. Hierfür gibt es spezialisierte
kommerzielle und nicht-kommerzielle Programmsysteme, deren Funktionalitäten im Bereich
der Strömungsmechanik bleibend, weit über die Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen hinaus gehen.
Mit dem pdetool in MATLAB haben wir wieder die Möglichkeit, zweidimensionale Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen mit nur wenigen Programmzeilen zu generieren und das
Verhalten ikompressibler viskoser Strömungen zu studieren.
4.6.1 Die Druck-Poisson-Gleichung für die Navier-Stokes-Gleichungen
Zur numerischen Simulation der Navier-Stokes-Gleichungen wollen wir auch hier die Poissongleichung für den Druck verwenden, da sie als elliptische Differentialgleichung mit dem
pdetool assempde einfach zu lösen war.
Seite 101
Wir hatten die Druck-Poisson-Gleichung durch die Bildung der Divergenz der Impulsgleichungen der Eulerglcihungen hergeleitet. Da sich die Navier-Stokes-Gleichungen von diesen
nur durch die viskosen Terme unterscheiden, reicht es, von diesen die Divergenz zu bilden:
div (ν div grad u) = div ν (grad div
u −rot rot u) = −div ν rot rot u = 0.
=0
Da die Rotation der Rotation Null ist, bleibt die Druck-Poisson-Gleichung für ideale als auch
viskose Fluide unverändert, und wir können die entsprechende MATLAB-function auch zur
Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen verwenden. Insgesamt haben wir also das Gleichungssystem
∂2u
∂u
∂u
1 ∂p
∂2u
∂u
+u
+v
=−
+ ν 2 + ν 2 + fx
∂t
∂x
∂y
∂x
∂x
∂y
∂2v
∂v
∂v
1 ∂p
∂2v
∂v
+u
+v
=−
+ ν 2 + ν 2 + fy
∂t
∂x
∂y
∂y
∂x
∂y
∂2p ∂2p
+
=
∂x2 ∂y 2
∂
∂u
∂v
∂fx ∂fy
∂u
∂
∂v
+
−
+v
+v
u
−
u
∂x
∂y
∂x
∂x
∂y
∂y
∂x
∂y
zu lösen. Wieder ist die in Kontinuitätsgleichung berücksichtigte Physik in die Druck-PoissonGleichung mit eingeflossen.
4.6.2 Parabolische Differentialgleichungen
Parabolische Differentialgleichungen unterscheiden sich von elliptischen durch das Hinzukommen eine Zeitableitung:
d
∂u
−div c grad u + au = f
∂t Elliptische DGL
Damit kann man die x-Navier-Stokes-Gleichung durch die Belegungen a = 0, c = ν, d = 1 und
fx = −
∂u
∂u
1 ∂p
+u
+v
∂x
∂x
∂y
generieren und in analoger Weise auch die y-Navier-Stokes-Gleichung. Das pdetool bietet die
Funktion ’parabolic’ zur Lösung der parabolischen Differentialgleichung an.
Genau wie bei der Lösung der Eulergleichungen muss wieder zunächst die Grundgeometrie
und die Randbedingungen mit der graphischen Benutzeroberfläche des pdetools erstellt, exportiert und in Dateien geschrieben werden. Dabei ist allerdings unbedingt darauf zu achten,
Seite 102
dass drei Randbedingungsdateien erstellt werden: eine für die Druck-Poisson-Gleichung und
je eine für die beiden Navier-Stokes-Gleichungen.
Das Programm zur Lösung der 2D-Navier-Stokes-Glechungen lautet:
clear all;
geom_file
pressure_file
u_file
v_file
=’platten_geom’;
=’platten_p_bc’;
=’platten_u_bc’;
=’platten_v_bc’;
visc=1e-4; % num visc. ˜0.4e-4
rho=1000;
% mesh generation
[p,e,t]=initmesh(geom_file);
[p,e,t]=refinemesh(geom_file,p,e,t);
%[p,e,t]=refinemesh(geom_file,p,e,t);
% Time step ˜ 1 / visc
dt=1;
% Initial Velocities on nodes
veln=zeros(size(p,2),2);
%
for i=1:1000
press=druck_poisson(pressure_file,p,e,t,veln(:,1),veln(:,2),rho);
% pressure gradient on centers of triangles
[dpdx,dpdy]=pdegrad(p,t,press);
tlist=(i-1)*dt:dt/10:i*dt;
% Konservative Formulierung der Advektion
[duudx,˜]=pdegrad(p,t,(veln(:,1).ˆ2));
[duvdx,duvdy]=pdegrad(p,t,(veln(:,1).*veln(:,2)));
[˜,dvvdy]=pdegrad(p,t,(veln(:,2).ˆ2));
%
% parabolic Navier-Stokes-equations
f(1,:)=-1/rho*dpdx-duudx-duvdy;
f(2,:)=-1/rho*dpdy-duvdx-dvvdy;
Seite 103
c=visc*ones(1,size(t,2));
d=ones(1,size(t,2));
uneu=parabolic(veln(:,1),tlist,u_file,p,e,t,c,a,f(1,:),d);
vneu=parabolic(veln(:,2),tlist,v_file,p,e,t,c,a,f(2,:),d);
veln(:,1)=uneu(:,end);
veln(:,2)=vneu(:,end);
end
Wie bei den Eulergleichungen muss ein Zeitschritt definiert und eine Zeitschleife durchlaufen
werden. Dann werden die advektiven Terme (in der konservativen Form) zusammengebaut
und die beiden Navier-Stokes-Gleichungen hintereinander gelöst. Die Ergebnisvisualisierung
verläuft schließlich genauso wie bei den Eulergleichungen und ist hier nicht mehr dargestellt.
Bevor wir das Programm verwenden, um reale Projekte damit zu bearbeiten, sollten wir seine
Leistungsfähigkeit kennenlernen, um nicht irgendwann mit Regressansprüchen konfrontiert zu
werden.
4.6.3 Laminare Strömung zwischen zwei Platten
Für die Verifikation eines Programms eignet sich immer am Besten eine analytische Lösung
der Modellgleichungen.
Für die Navier-Stokes-Gleichungen existiert eine solche analytische Lösung für eine
Strömung, die sich zwischenzwei, im Abstand D gelagerten Platten ausbildet. Die Strömung
weise in x-Richtung. Den Abstand zwischen den Platten messe die y-Achse, die Platten liegen
bei ±y0 = ±D/2.
Wir gehen vereinfachend davon aus, dass die Geschwindigkeit zeitlich unveränderlich, also
stationär sei. Von der Navier-Stokes-Gleichung in Hauptströmungsrichtung bleibt nur noch:
∂2u
1 ∂p
=ν 2
∂x
∂y
Nehmen wir ferner an, dass der Druck über das Gebiet gleichmäßig abfällt und der Druckgradient somit konstant ist, dann kann die Gleichung in y-Richtung integriert werden. Beachten
wir die Randbedingung, dass die Strömungsgeschwindigkeit an beiden Platten Null sein soll,
dann kann man die Lösung
u(y) =
∂p
4umax 2
1 2
= umax −
y − y02
y
2 ν
∂x
D2
mit umax = −
1 D 2 ∂p
ν 8 ∂x
Seite 104
y
D
x
u(y)
Abbildung 4.9: Laminare Strömung zwischen zwei Platten.
selbst bestätigen. Die Strömung ist also in Richtung des negativen Druckgradienten bzw. in
abfallende Druckrichtung orientiert.
Die mittlere Geschwindigkeit zwischen den beiden Platten ist u = 2u max /3, womit man das
Geschwindigkeitsfeld alternativ auch als
6u
3
u(y) = u − 2 y 2
2
D
darstellen kann.
Wir wollen für diese Strömung wieder die Verlusthöhe in Strömungsrichtung errechnen. Dieses Mal spielen dabei nur die viskosen Spannungen eine Rolle. Von ihnen bleibt:
x2
ghV = −
1
div P dx = −Lν
x1
∂2u
12u
= Lν 2
2
∂y
D
Damit bekommen wir für den Widerstandsbeiwert λ das Ergebnis
λ = 24
24
ν
:=
Du
Re
In hinteren Teil wurde dabei die sogenannte Reynoldszahl Re = uD/ν eingeführt, deren
wichtige Bedeutung wir später noch erschließen werden.
Übung 21: Zwischen zwei im Abstand D = 1 cm gelagerten Platten fließt Petroleum mit einer
maximalen Geschwindigkeit von 0.5 cm/s. Welche Druckdifferenz hält diese Strömung über
1 m Weglänge aufrecht ?
Seite 105
Abbildung 4.10: Simulationsergebnis für die instationäre Strömung zwischen zwei Platten mit
der Viskosität ν = 0.01 m2 /s.
4.6.4 Zur Verifikation des MATLAB-Navier-Stokes-Solvers
Um die Vergleichbarkeit der numerischen mit der stationären analytischen Lösung auch
tatsächlich zu gewährleisten, muss man zunächst testen, ob die numerische Lösung also
tatsächlich stationär ist. Dazu kann man z. B. die Anzahl der Zeitschritte verdoppeln und dann
verifizieren, dass sich die Lösung nicht mehr geändert hat.
Das Ergebnis ist für eine Strömung zwischen zwei Platten in der Abbildung 4.10 dargestellt. Als Randbedingungen werden dazu an der oberen und unteren Platte die dirichletschen
Randbedingungen v = 0 und an den offenen Rändern die neumannschen Randbedingungen
∂u/∂n = 0 angesetzt.
Mit dem markierten Data Cursor kann man nun die Werte für die Strömungsgeschwindigkeit
an verschiedenen Stellen abgreifen. Für die Viskosiät ν = 0.01 m2 /s ergibt sich tatsächlich
der errechnete Wert auf der Symmetrieachse. Die Geschwindigkeit nimmt zudem ein parabolisches Porfil an, das Programm scheint also sehr gut zu funktionieren.
Mit abnehmender Viskosität sollten die zentralen Geschwindigkeiten weiter zunehmen. Das
tun sie, aber nicht hinreichend. Irgendwann wachsen die Geschwindigkeiten nicht mehr, so
als ob dem numerischen Verfahren eine eigene Viskosität innewohne. Dies ist tatsächlich der
Fall, man bezeichnet sie als numerische Viskosität. In unserem Beispiel ist sie etwa ν num =
Seite 106
0.4 · 10−4 m2 /s.
Für zu große Zeitschritte und für sehr kleine Viskositäten wird das Verfahren instabil. Dies hat
zunächst physikalische Ursachen: Die Strömung wird turbulent und fließt nicht mehr in parallelen Schichten (laminare Strömung). Dann wird das Verfahren auch numerisch instabil und
kollabiert. Mit dem Phänomen Turbulenz werden wir uns also noch eingehend beschäftigen
müssen.
4.7 Zusammenfassung
Die fundamentale Stoffeigenschaft Viskosität beschreibt die Kraft, die erforderlich ist, ein
Fluid zu scheren. Die Viskosität steigt für Gase mit der Temperatur, wohingegen sie für
Flüssigkeiten abnimmt.
Die mit der Viskosität verbundene innere Reibung hat eine beruhigende Wirkung auf
die Strömung, denn sie ist mit einer ausgleichenden Verteilung der Wirbelstärke auf das
Strömungsfeld verbunden.
Mit dem Prozeß der inneren Reibung ist das mathematische Teilmodell für das Geschwindigkeitsfeld vollständig. Es besteht aus den als Navier-Stokes-Gleichungen bezeichneten vier
Differentialgleichungen
div u = 0
Du
1
Dt
für die vier unbekannten Funktionen Strömungsgeschwindigkeit u und Druck p. Die erste
Gleichung bezeichnet man als Kontinuitätsgleichung, sie beschreibt die Erhaltung der Masse,
die folgenden drei Gleichungen beschreiben die Impulsbilanz.
Kapitel 5
Ähnlichkeitsgesetze und
Dimensionsanalyse
’Der Tiefseesimulator schien die Natur auf ein menschenvertr ägliches Maß heruntergestutzt
zu haben, ohne sie gleich ins Exil der bloßen Theorie zu schicken. Wenngleich in kleinem
Maßstab, war das Meer beherrschbar geworden. Sie hatten sich eine Welt aus zweiter Hand
geschaffen, eine jener idealisierten Kopien, wie sie den Menschen zunehmend vertrauter wurden als die Wirklichkeit: Wer wollte noch etwas über das wahre Leben im Mittelalter wissen,
wenn Hollywood es auf seine Weise zeigte? Wen interessierte, wie ein Fisch starb, wie er blutete, aufgeschnitten und seine Eingeweide entnommen wurden, solange man auf Eis liegende
Stücke kaufen konnte? Amerikanische Kinder malten Hühner mit sechs Beinen, weil Hühnerschenkel im Sechserpack angeboten wurden. Man trank Milch aus einem Pappkarton und ekelte sich vor dem Inhalt eines Euters. Das Weltempfinden verkr üppelte, und damit einher ging
Arroganz.’ (aus: F. Schätzing, Der Schwarm [71]).
Das Ergebnis unserer bisherigen Anstrengungen, das Verhalten von Strömungen in Natur
und Technik zu verstehen und damit auch zu prognostizieren, gipfelte in den Navier-StokesGleichungen, einem System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen. Wenn wir in
der Retrospektive betrachten, was dabei alles an mathematischen und physikalischen Wissen
angewendet und eingeflossen ist, so kann man die Navier-Stokes-Gleichungen in einem Bild
der Informatik als extrem komprimierte Wissensspeicher ansehen. Sie enthalten alle Informationen über die Strömungszustände und somit alles, was wir über die Hydromechanik eines
Systems wissen wollen.
Wir konnten die Navier-Stokes-Gleichungen, bzw. Teile von ihnen bei gegebenen Randbedingungen allerdings nur unter erheblichen Vereinfachungen lösen. Als Ganzes ist dieser Satz
von Differentialgleichungen zu abstrakt, um etwas über das quantitative Fließverhalten einer
bestimmten Strömung aus ihm ablesen zu können. Somit stellt sich das Problem, wie man mit
dem in den Grundgleichungen gespeicherten Wissen überhaupt umgehen kann, wie man es
entpackt, dabei einem spezifischen Problem überstülpt, es visualisieren, betrachten, vermes107
Seite 108
5.1. Die dimensionslose Darstellung der Grundgleichungen
sen und wie man die Wirkung von Systemänderungen jeglicher Art studieren kann.
Optimal wäre dazu die analytische Lösung der Differentialgleichungen. Die Lösungen kann
man graphisch darstellen, man kann Funktionswerte an einzelnen Stellen bestimmen, Eingangsparameter variieren, d.h. sie lassen sich quantitativ auswerten. Allerdings existieren solche Lösungen nur für sehr einfache Spezialfälle. Diese vernachlässigen in der Regel die gesamte Physik bis auf wenige Prozesse, deren Wechselspiel dann in den analytischen Lösungen
studiert werden kann. Analytischen Lösungen kommt somit die wichtige Aufgabe zu, uns
Funktion und Wechselwirkung der Terme in Differentialgleichungen nahe zu bringen. Die Gesamtheit der Grundgleichungen läßt sich analytisch für ein natürliches Gewässer oder auch nur
ein Rohrleitungssystem nicht lösen.
Die zweite Möglichkeit, das in den Differentialgleichungen gespeicherte Wissen zu entpacken,
ist die Simulation. Als Simulation bezeichnet man die Nachbildung des dynamischen Verhaltens eines Systems (in unserem Fall des Gewässers oder des Rohrleitungssystems) in einem
Ersatzsystem. Als direkte Simulation bezeichnet man dabei die exakte Nachbildung des dynamischen Verhaltens in einem Ersatzsystem.
Als Ersatzsystem bieten sich dabei prinzipiell zwei Objekte an: Klassischerweise verwendet
man sogenannte physikalische Modelle zur Simulation von Strömungen. Der Begriff ‘physikalisch’ ist dabei etwas irreführend; da er sich nur nur auf die Anfaßbarkeit eines solchen
Modells bezieht, ist hier der Begriff physisches Modell passender und soll im folgenden verwendet werden.
In diesem wird das Fließgewässer oder das Rohrleitungssystem nachgebaut. Und da hier etwas gebaut wird, wurde diese Methode überwiegend im Bauingenieurwesen entwickelt und
angewendet. Einen Überblick der Methodik liefert die DVWK-Schrift 39 ’Wasserbauliches
Versuchswesen’ [37]. Der Aufbau eines physischen Modells lohnt sich in der Regel nur, wenn
die Abmessungen eines solchen kleiner als in der Natur gewählt werden können, ansonsten
könnten die Untersuchungen direkt am Objekt durchgeführt werden. Daher stellt sich die Frage, ob eine direkte Simulation eine Maßstabsveränderung überhaupt zuläßt. Wir werden diese
Frage im folgenden Abschnitt mit einem Nein beantworten müssen.
Die Alternative zur physischen ist die numerische Simulation. Mit ihren Methoden werden wir
uns z.B. in Kapitel 6.6 beschäftigen.
5.1 Die dimensionslose Darstellung der Grundgleichungen
Physikalische Größen besitzen immer einen Wert und eine Dimension. Eine Übersicht der
in Mechanik und Hydromechanik gebräuchlichen Größen und deren Einheiten ist in Anhang
?? dargestellt. Die Grundlage der Ähnlichkeitstheorie bilden jedoch dimensionslose Größen
und die dimensionslose Darstellung der Naturgesetze. Diese Dimensionslosigkeit erreicht man
durch einen Vorgang, den man Skalierung nennt: Dabei werden die physikalischen Größen
jeweils durch einen, sie repräsentierenden Wert derselben Dimension geteilt; das Ergebnis ist
Seite 109
Differentialgleichungssysteme der Hydrodynamik
?
Simulation
?
Numerische Simulation
?
Analytische Lösungen
?
Physisches Modell
Abbildung 5.1: Zum Begriff der Simulation in der Hydrodynamik
Abbildung 5.2: Das Labor des Lehrstuhls für Hydromechanik und Wasserbau der Universität
der Bundeswehr in München. Rinne 1: 27 m x 1 , Rinne 2: 26 m x 2 m, Rinne 3: 18 m x 2 m,
Rinne 4: 24 m x 1.3 m Grundfläche.
Seite 110
dann dimensionslos. So kann man in der Hydromechanik zunächst eine Skalierungslänge L
und eine Skalierungsgeschwindigkeit U definieren, die den Größenordnungen des gegebenen
Problems entsprechen.
Dann ist man in der Lage, dimensionslose Koordinaten
x∗ =
x
L
y∗ =
y
L
z∗ =
z
L
t∗ =
w∗ =
w
U
p∗ =
Ut
L
und dimensionslose hydrodynamische Größen
u∗ =
u
U
v∗ =
v
U
p
U2
einzuführen. Die beiden charakteristischen Größen L und U können prinzipiell beliebig
gewählt werden. Zweckmäßigerweise verwendet man aber problemangepaßte Skalierungen,
etwa für die charakteristische Länge L die Wassertiefe h. Als charakteristische Geschwindigkeiten U kann man in einem offenen Kanal die querschnittsgemittelte Geschwindigkeit oder
die Maximalgeschwindigkeit wählen.
Findet man für zwei physikalische Systeme zwei Skalierungen so, daß die dimensionslosen
Gesetze gleich sind, dann sind diese beiden Systeme physikalisch ähnlich. Sie sind deshalb
nicht gleich, sondern nur ähnlich, weil sie sich lediglich in der Größenordnung bzw. Skala
unterscheiden. Wir wollen dies für die Navier-Stokes-Gleichungen untersuchen. Ersetzt man
dort die dimensionsbehafteten Größen durch die dimensionslosen, so ergibt sich das System
(mit Summenkonvention über den Index j):
∗
∂p∗
1 ∂ 2 u∗
∂u∗
∗ ∂u
+
u
=
−
+
j
∂t∗
∂x∗j
∂x∗ Re ∂x∗j ∂x∗j
∗
∂v ∗
∂p∗
1 ∂2v∗
∗ ∂v
+
u
=
−
+
j
∂t∗
∂x∗j
∂y ∗ Re ∂x∗j ∂x∗j
(5.1)
∗
∗
∗
2
∗
∂p
1 ∂ w
1
∂w
∂w
+ u∗j ∗ = − ∗ +
−
∗
∗
∗
∂t
∂xj
∂z
Re ∂xj ∂xj
F r2
∂u∗ ∂v ∗ ∂w ∗
+
+ ∗ =0
∂x∗ ∂y ∗
∂z
wobei die Reynoldszahl
Re =
UL
ν
(5.2)
Seite 111
und die Froudezahl
U
(5.3)
Fr = √
gL
eingeführt wurden. Die dimensionslose Form der Navier-Stokes-Gleichungen lehrt, daß sich
zwei Strömungen hydrodynamisch gleich verhalten, wenn ihre Reynolds- und Froudezahl
gleich sind. Diesen auch als Ähnlichkeitstheorie bezeichneten Sachverhalt macht sich die physische Simulation zu Nutze. Dabei werden die Abmessungen (z.B. die Wassertiefe) des zu
modellierenden Natursystems Lnat mit denen des maßstabsreduzierten Modells L mod verglichen. Gleiches geschieht für die charakteristischen Geschwindigkeiten U nat und Umod . Sind die
Reynolds- und Froudezahlen in Natur und physischem Modell gleich, dann verhalten sich beide Systeme dynamisch ähnlich. Man kann leicht zeigen, daß dies prinzipiell nur dann möglich
ist, wenn man die Modellviskosität ändert, etwa indem man ein anderes Fluid verwendet. Hierdurch sind der direkten Simulation mit physischen Modellen erhebliche Einschränkungen auferlegt, so daß man eine exakte Modellierung einer Strömung nur mit numerischen Methoden
erreichen kann.
Übung 22: Ein Zylinder mit einem Durchmesser von 60 cm wird von Wasser mit einer Geschwindigkeit von 10 cm/s angeströmt. Der Zylinder wird nun durch einen Modellzylinder
eines Durchmessers von 6 cm ersetzt. Wie groß muss die Anströmgeschwindigkeit und die
Viskosität des Fluids sein, damit die Strömung hydromechanisch ähnlich ist?
Übung 23: Beweisen Sie die Richtigkeit der vertikalen dimensionslosen w-Impulsgleichung
im System (5.1), indem Sie die dimensionsbehafteten Größen in der vertikalen Navier-StokesGleichung durch dimensionslose ersetzen.
Low Reynolds Number Hydromechanics
Auf der Suche nach Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen weist uns die dimensionslose Form sehr schnell zu dem Spezialfall sehr kleiner Reynoldszahlen. Dann werden die
viskosen Terme wesentlich größer als die advektiven und die Druckterme und es bleibt von
dem nun wieder dimensionsbehafteten Gleichungssystem nur noch:
ν
∂ 2 ui
= δi3 g
∂xj ∂xj
∂uj
=0
∂xj
Für jede Geschwindigkeitskomponente ist also eine Poissongleichung zu lösen, wobei das
Geschwindigkeitsfeld dann die Kontinuitätsgleichung erfüllen muss. Dieses Problem ist allerdings überbestimmt und damit nicht lösbar, da die drei gesuchten Funktionen u, v und w
5.2. Ähnlichkeitsbedingungen
Seite 112
insgesamt vier Gleichungen erfüllen sollen. Nun sollten wir allerdings nicht der Versuchung
erliegen und die Kontinuitätsgleichung ebenfalls weglassen. Dieser Sündenfall würde mit einer
Vertreibung aus dem Paradies der Hydromechanik bestraft, da das so modellierte Geschwindigkeitsfeld nicht mehr massenerhaltend wäre.
Das Problem besteht vielmehr darin, dass bei den kleinen Reynoldszahlen die vierte unbekannte Funktion, der Druck p, aus dem System entfleucht ist. Wir müssem ihn also berücksichtigen,
um die physikalisch sinnvolle Lösbarkeit des Systems zu garantieren. Die dynamischen Gleichungen der Hydromechanik bei sehr kleinen Reynoldszahlen sind also:
∂ 2 ui
1 ∂p
ν
=
+ δi3 g
∂xj ∂xj
∂xi
∂uj
=0
∂xj
Dieses lineare Gleichungssystem lässt sich nun wesentlich einfacher numerisch und in vielen
Fällen sogar analytisch lösen. Die Gültigkeit der Lösungen ist aber auf kleine Reynoldszahlen
begrenzt.
Übung 24: Entwickeln Sie eine physikalisch sinnvolle ’Low Froude Number Hydromechanics’. Gibt es hierfür Anwendungsmöglichkeiten? Diskutieren Sie den Grad der mathematischen Vereinfachung des Problems.
5.2
Ähnlichkeitsbedingungen
Bevor man ein physisches Modell eines realen Systems konstruiert, muss man sich darauf
festlegen, in welcher Weise es zum realen Modell ähnlich sein soll. Das Modell einer Eisenbahnanlage vor Augen habend, mag man dabei zuächst nur an die sogenannte geometrische
Ähnlichkeit denken. Wir werden gleich sehen, daß es aber noch eine ganze Reihe von anderen
Ähnlichkeitsbedingungen gibt, um die sich der Modelleisenbahnbauer nur sehr wenig schert.
5.2.1 Geometrische Ähnlichkeit
Man bezeichnet das Modell eines realen Systems als zu diesem geometrisch ähnlich, wenn alle
Längen im Modell in einem konstanten Verhältnis zu den in der Natur auftretenden Längen
stehen. Bezeichnet man diesen Maßstab mit
ML =
LN atur
LM odell
so bedeutet dies z.B. für die drei Raumrichtungen:
Seite 113
ΔxN atur
ΔyN atur
ΔzN atur
=
=
= ML
ΔxM odell
ΔyM odell
ΔzM odell
Allein die geometrische Ähnlichkeit ist oftmals nur schwer zu realisieren. Man denke dazu
z.B. an einen 200 m breiten Fluss der Wassertiefe 2 m, den man im Maßstab 100:1 modellieren
möchte. Es ist dann sehr zweifelhaft, ob sich die in einem 2 m tiefen Gewässer vorhandenen
Wirbelstrukturen auch in einer 2 cm flachen Pfütze so einstellen.
5.2.2 Dynamische Ähnlichkeit
Man bezeichnet das Modell eines realen Systems als zu diesem dynamisch ähnlich, wenn alle
Kräfte im Modell in einem konstanten Verhältnis zu den in der Natur auftretenden Kräften stehen. Ist dynamische Ähnlichkeit realisiert, dann gilt dies auch für alle resultierenden Kräfte.
Als Kräfte sind dabei zunächst einmal Trägheitskräfte, Schwerkräfte, Reibungskräfte und
Druckkräfte zu berücksichtigen:
FTrägheit, Natur
FSchwerkraf t,N atur
FDruck,N atur
FReibung,N atur
=
=
=
= MF
FTrägheit, Modell
FSchwerkraf t,M odell
FDruck,M odell
FReibung,M odell
Wem dies nicht reichen sollte, der kann auch noch versuchen, Kapillarkräfte, Corioliskräfte
und gezeitenerzeugende Kräfte zu dimensionieren.
5.2.3 Kinematische Ähnlichkeit
Man bezeichnet das Modell eines realen Systems als zu diesem kinematisch ähnlich, wenn alle zeitabhängigen Prozesse im Modell in einem konstanten Zeitverhältnis zu den in der Natur
auftretenden Prozessen ablaufen. Den dazugehörigen Zeitmaßstab wollen wir mit M T bezeichnen.
Man kann zeigen, daß dynamische und geometrische Ähnlichkeit hinreichende Voraussetzung
für die kinematische Ähnlichkeit sind.
5.2.4 Maßstäbe zusammengesetzter Größen
Alle mechanischen Größen sind aus drei Grundeinheiten - Meter, Kilogramm und Sekunde zusammengesetzt. Will man sowohl geometrische, kinematische und dynamische Ähnlichkeit
erzielen, kann man also drei Maßstäbe voneinander unabhängig gestalten. Damit sind alle
anderen Maßstäbe vorbestimmt. Muss ein weiterer Maßstab eingeführt werden, so wird auf
eine Modellähnlichkeit verzichtet. Dieser wichtige Sachverhalt wird sofort einsichtig, wenn
man ein Beispiel betrachtet:
Seite 114
Wir wollen ein physisches Modell einer Wasserströmung in einem bestimmten geometrischen
Maßstab ML mit Luft betreiben. Da Luft eine andere Dichte und eine andere Viskosität als
Wasser hat, sind mit dieser Wahl des Fluides automatisch die Maßstäbe für die Dichte M und
für die Viskosität Mν verbunden. Damit sind alle anderen Maßstäbe vorbestimmt:
• Da die Einheit der Zeit sich aus dem Quadrat der Längeneinheit dividiert durch die
Einheit der Viskosität darstellt, gilt für den Zeitmaßstab M T = ML2 /Mν .
• Da sich die Einheit der Kraft als Produkt der Einheiten von Dichte und Viskositätsquadrat darstellen läßt, gilt für den Kraftmaßstab MF = M Mν2 .
• Da sich die Einheit des Abflusses als Produkt der Einheiten der Viskosität und der Länge
darstellen läßt, gilt MQ = Mν ML .
Übung 25: Welche Ähnlichkeitsbeziehungen ergeben sich für ein Luftmodell einer Wasserströmung für den Geschwindigkeits- und den Energiemaßstab ?
5.2.5 Dynamische Ähnlichkeit in der Hydromechanik
Wir wollen die dynamische Ähnlichkeit zweier hydromechanischer Systeme, d.h. zweier inkompressibler Strömungen analysieren. Die Impulsänderungen durch die wirkenden Kräfte
werden dort durch die Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben, deren dimensionslose Form
wir im ersten Abschnitt hergeleitet hatten.
Um von den dimensionsbehafteten zu den dimensionlosen Gleichungen zu kommen, wurde
durch das Quadrat der Skalierungsgeschwindigkeit U geteilt und mit der Skalierungslänge
L multipliziert. Nehmen wir einmal an, wir machen dies für eine Naturströmung beliebiger
Ausdehnung mit den Skalierungsgrößen U N und LN und für eine Modellströmung im Labor mit den Skalierungsgrößen UM und LM und bekommen dann dieselben Reynoldszahlen
ReN = ReM und Froudezahlen F rN = F rM heraus, dann verhalten sich die beiden Strömungen laut dimensionslosen Navier-Stokes-Gleichungen exakt gleich. Dies bedeutet dann aber,
daß die beiden Strömungen bis auf den Maßstab dynamisch ähnlich sind:
Zwei Strömungen sind dynamisch ähnlich, wenn ihre Reynolds- und Froudezahl gleich
sind.
Wir wollen nun untersuchen, wie diese beiden Forderungen experimentell umsetzbar sind. Ist
die Froudezahl in Natur und Modell gleich, dann folgt:
F rN = F rM
UN
UM
UM
⇒√
=√
⇒
=
UN
gLN
gLM
LM
LN
Die Gleichheit der Reynoldszahlen liefert die Bedingung:
ReN = ReM ⇒
UN LN
UM LM
UM
LN νM
=
⇒
=
νN
νM
UN
LM νN
Seite 115
Gleichsetzen der jeweils letzten beiden Beziehungen ergibt:
LM
LN
3/2
=
νM
3/2
⇒ ML = Mν
νN
Um Froudesche und Reynoldssche Ähnlichkeit zu erzielen, muss bei einer Reduktion der
geometrischen Längen ein anderes Fluid gewählt werden. Eine Reduktion des geometrischen
Maßstabes bekommt man also nur durch die Wahl eines Fluides mit einer geringeren Viskosität
hin. Somit scheiden Luftmodelle zur maßstabsreduzierten Simulation von Wasserströmungen
aus, da Luft eine höhere kinematische Viskosität (ν Luf t = 1.49 · 10−5 m2 /s) hat.
Anbieten würden sich aber Quecksilbermodelle, da die Viskosität von Quecksilber bei
νHg = 1.25 · 10−7 m2 /s liegt. Damit könnte man die Geometrie einer Wasserströmung in
einem Quecksilbermodell um den Faktor 4 reduzieren. Zeitabhängige Prozesse laufen in einem solchen Modell doppelt so schnell ab. Leider wäre ein solches Quecksilbermodell nicht
gerade kostengünstig, ferner kann man wegen der gesundheitsschädlichen Dämpfe nicht offen
mit Quecksilber arbeiten. Daher existieren solche Modelle nicht.
In der Praxis bleibt also nichts anderes übrig, als auf eine Ähnlichkeitsanforderung zu verzichten, wodurch das Modell eine andere Dynamik als die Realität bekommt.
Übung 26: Ein Wasserbaulabor möchte ein Modell zur Erforschung der Strömungen in einem Sternplasma im geometrischen Maßstab 1 000 000:1 mit einem Wassermodell dynamisch ähnlich konzipieren. Wir wollen hypothetisch annehmen, daß die Dichte des Plasmas
16
3
−3
m2 /s ist. Berechnen Sie den
P lasma = 1 · 10 kg/ m und seine Viskosität ν P lasma = 1 · 10
geometrischen sowie den zeitlichen Maßstab.
5.2.6 Beschränkung auf Froudesche Ähnlichkeit
Wird ein physisches Modell auf Froudesche Ähnlichkeit konzipiert, dann sind die Froudezahlen in Modell und Natur gleich:
F rN = F rM
Wann sollte man sich bei einem physischen Modell auf die Froudesche Ähnlichkeit beschränken ? Werfen wir dazu noch mal einen Blick auf die dimensionslosen Navier-StokesGleichungen: In ihnen werden die viskosen Terme mit dem Reziproken der Reynoldszahl und
die Gravitationskraft mit dem reziproken Quadrat der Froudezahl gewichtet. Die viskosen Effekte spielen also im Strömungsgeschehen eine umso geringere Rolle, je größer die Reynoldszahl ist. Umgekehrt spielen die Gravitionskräfte eine umso größere Rolle, desto kleiner die
Froudezahl ist. Die Froudesche Ähnlichkeit ist also vorzugsweise dann anzuwenden, wenn die
Reynoldszahlen sehr groß und die Froudezahlen klein sind.
Als Beispiel wollen wir eine Flußströmung betrachten. Ihre Reynoldszahl kann man aus der
Wassertiefe h und der tiefengemittelten Strömungsgeschwindigkeit u berechnen. In einem,
Seite 116
mit 0.5 m/s gemächlich dahinfließenden, 5 m tiefen Fluss ergibt sich eine Reynoldszahl von
Re = 2.5 · 106. Das Quadrat der Froudezahl ist dagegen mit F r 2 = 0.051 wesentlich geringer,
die viskosen können also gegenüber den Gravitationskräften vernachlässigt werden.
Weitere Beispiele für die bevorzugte Anwendung der Froudeschen Ähnlichkeit sind der Wellenwiderstand von Schiffen, Kräfte auf Bauwerke oder der Wasserspiegelverlauf bei Überfallbauwerken.
Hat man sich zudem auf einen Längenmaßstab ML festgelegt, so sind die weiteren Maßstäbe
ebenfalls bestimmt. Der Geschwindigkeitsmaßstab ergibt sich direkt aus der Gleichheit der
Froudezahlen,
MV =
ML
MT =
ML
MQ =
ML5
und somit ist der Zeitmaßstab
und der Abflussmaßstab:
5.2.7 Beschränkung auf Reynoldssche Ähnlichkeit
Wird ein physisches Modell auf Reynoldssche Ähnlichkeit konzipiert, dann sind die Reynoldszahlen in Modell und Natur gleich:
ReN = ReM
In einem physischen Modell kann man sich dann auf Reynoldssche Ähnlichkeit beschränken,
wenn die Froudezahlen sehr groß bzw. die Gravitation keine Rolle spielt. In diesem Fall dominieren die viskosen Terme über die Gravitation in den dimensionslosen Reynoldsgleichungen.
Damit sind die Gravitationskräfte zwar grundsätzlich vorhanden, bestimmen den zu untersuchenden Prozess aber nicht. Damit wird bei der Beschränkung auf die Reynoldssche Modellähnlichkeit anders argumentiert als bei der Beschränkung auf die Froudesche Ähnlichkeit.
Da die Ausbildung und Ablösung von Grenzschichten unabhängig vom Einfluss der Gravitation stattfinden, ist bei ihrer Untersuchung die Reynoldssche Ähnlichkeit anzuwenden. Gleiches
gilt für alle Strömungsprozesse, die im wesentlichen durch Grenzschichten bestimmt sind, wie
die Umströmung und der Widerstand von Körpern, sowie Rohrströmungen. Bei solchen Modellen sollte zudem die Oberflächenrauheit und die Umschlagpunkte von der laminaren in die
turbulente Strömung ähnlich sein.
Die Umrechnungen aller zusammengesetzten Größen ergibt sich nach der Festlegung des geometrischen Maßstabs ML sowie des Viskositätsmaßstabs aus der Wahl des Modellfluids. So
bekommt man den Geschwindigkeitsmaßstab direkt aus der Gleichheit der Reynoldszahlen
Seite 117
MV = Mν /ML
und damit wird der Zeitmaßstab
MT = ML2 /Mν
und schließlich der Abflussmaßstab:
MQ = ML Mν
5.2.8 Beschränkung auf Webersche Ähnlichkeit
Neben den Navier-Stokes-Gleichungen als Impulsbilanzen werden Fluide und deren Strömungen aber auch durch andere physikalische Gesetze bestimmt, für die wir nun Ähnlichkeitsbeziehungen aufstellen wollen. Dabei geht es hier weniger um das Verständnis dieser, vielleicht
unbekannten Gesetze, als vielmehr um den Weg, wie die Ähnlichkeitsbeziehung gewonnen
wird.
Weist eine Flüssigkeitsoberfläche eine Wölbung auf, dann versuchen die kapillaren Kräfte
diese wieder in die horizontale Lage zu bringen. Auf eine nach oben gewölbte Oberfläche wirkt
dadurch ein Überdruck, der diese nach unten zu pressen versucht; eine nach unten gewölbte
Oberfläche wird durch einen Unterdruck nach oben in die horizontale Lage gesaugt. Diese
Druckdifferenz wird in beiden Fällen durch die Laplacesche Formel
ΔpS = −α
∂ 2 zS ∂ 2 zS
+
∂x2
∂y 2
mit α = 0.07275 N/m
beschrieben. Genau wie bei den Navier-Stokes-Gleichungen wird dieses Gesetz zunächst einmal dimensionlos gemacht. Dazu wird die Gleichung durch das Produkt aus Dichte und dem
Quadrat der charakteristischen Geschwindigkeit U 2 geteilt. Auf der linken Seite bleibt dann
der dimensionslose Druck p∗ = ΔpS /( U 2 ) stehen. Ferner wird die Lage der Oberfläche und
die Ableitungen durch die charakteristische Länge L über zS = zS∗ L bzw. ∂x2 = ∂x∗2 L2
dimensionslos gemacht:
α
p =−
LU 2
∗
∂ 2 zS∗
∂ 2 zS∗
+
∂x∗ 2 ∂y ∗ 2
1
:= −
W e2
∂ 2 zS∗
∂ 2 zS∗
+
∂x∗ 2 ∂y ∗ 2
Der Vorfaktor auf der rechten Seite wurde zu der dimensionslosen Weberzahl
We = U
L
α
5.3. Grenzen physischer Modelle
Seite 118
zusammengefaßt. Will man z.B. die Entstehung, Ausbreitung und Wirkung von mit diesem Effekt verbundenen Kapillarwellen im Labor mit reduziertem geometrischen Maßstab studieren,
dann ist auf Gleichheit der Weberzahlen in Natur und Modell zu achten:
W eN = W eM ⇒ UN
N LN
αN
= UM
M LM
αM
Zur Erzielung der Weberähnlichkeit kann durch die Zugabe von Tensiden die Kapillarkonstante αM im Modell reduziert werden.
Weitere Ähnlichkeitsbeziehungen sind die Ähnlichkeit bzgl. der Eulerzahl
Eu =
u
2Δp/
mit denen man Strömungen skaliert, die ausschließlich von Druck- und Trägheitskräften dominiert werden, und bei denen Zähigkeits- und Schwereeinflüsse vernachlässigt werden können.
Die Ähnlichkeit bezüglich der Machzahl
Ma =
u
cSchall
wird heute kaum noch angewendet, da z.B. Überschallströmungen um Flugzeugprofile sehr
zuverlässig mit numerischen Modellen simuliert werden können.
Übung 27: Berechnen Sie den Geschwindigkeits-, Zeit- und Abflussmaßstab bei weberscher
Ähnlichkeit.
5.3 Grenzen physischer Modelle
Betrachten wir das Wassermodell eines Flusses mit reduziertem geometrischen Maßstab und
froudescher Ähnlichkeit unter dem Aspekt, welche Auswirkungen die Nichteinhaltung der
anderen Ähnlichkeitsbedingungen auf den Charakter der modellierten Strömung hat. Beginnen
wir, den Maßstab der Reynoldszahl zu bestimmen, er ist:
3/2
MRe = MV ML /Mν = ML
Dies bedeutet, daß die Reynoldszahl im Wassermodell eines Flusses stets kleiner ist als in der
Natur, die Modellströmung also weniger turbulent ist. Dies kann dann sehr problematisch sein,
wenn man die Gültigkeit von Fließformeln untersuchen will, die die sich einstellende mittlere
Strömungsgeschwindigkeit in Abhängigkeit vom Energieliniengefälle spezifizieren. So gehen
die Fließformeln von Nikuradse oder Strickler davon aus, daß die Reynoldszahl unendlich bzw.
sehr groß ist, wovon man dann in einem physischen Modell nicht mehr unbedingt ausgehen
kann.
5.4. Dimensionsanalyse
Seite 119
Eine weitere Konsequenz der im Modell reduzierten Reynoldszahl ist ein vergrößerter Verlustbeiwert λ, der z.B. für die Plattenströmung mit der reziproken Reynoldszahl steigt. Da das
Wasserspiegelgefälle in Fließgewässern proportional zum Quotienten aus Verlusthöhen h V pro
Gewässerlänge l ist, bleibt zu verifizieren, ob dieses in Natur und Modell gleich ist. Für dieses
Verhältnis gilt
hV
λ u2
h F r2
λ
=
=λ
= F r2
l
dHyd 2g
dHyd 2
8
Damit ist dieses bei froudescher Ähnlichkeit genau dann gleich, wenn Modell und Natur denselben Verlustbeiwert λ haben. Da dieser aber durch die reduzierte Reynoldszahl größer geworden ist, muss er durch eine reduzierte Rauheit wieder auf den Naturwert gebracht werden.
Das physische Modell muss damit kalibriert 1 werden, d.h. es werden verschiedene Gestaltungen der Modellsohle ausprobiert, bis sich derselbe Verlustbeiwert bzw. dasselbe Energieliniengefälle in Modell und Natur einstellt. Damit wird die Rauheit der Sohle, die eine geometrische
Eigenschaft ist, nicht mehr im gleichen Maßstab wie die anderen geometrischen Abmessungen
gestaltet.
Die vorangegangene Diskussion offenbart ein prinzipielles Problem des physischen Modellwesens: Eine Strömung läßt sich nicht mit verkleinertem Maßstab vollständig ähnlich darstellen.
Hinter dieser Unfähigkeitsaussage steckt ein allgemeines Naturprinzip, welches man als das
Prinzip der Skalen bezeichnen könnte: Auf jeder Zeit- oder Raumskala (d.h. z.B. Millimeter,
Meter, Kilometer oder Lichtjahr) spielen sich ganz andere physikalische Prozesse ab, obwohl
die physikalischen Gesetze (wahrscheinlich) dieselben bzw. gleich gültig sind.
Somit ist das physische Modell nie eine exakte Verkleinerung der Realität, sondern stellt vielmehr eine eigenständige, aber im Labor geschaffene Strömungswirklichkeit dar, deren Vorteil
es ist, meßtechnisch wesentlcih leichter zugänglich zu sein.
5.4 Dimensionsanalyse
Hydromechanische Laborexperimente werden nicht nur im Rahmen des physischen Modellwesens mit reduzierenden Maßstäben, sondern auch zur Exploration neuer physikalischer Gesetze eingesetzt. Dabei ist für den zu erforschenden Prozess zunächst ein Meßkonzept zu erstellen. Hier kann man folgendermaßen vorgehen: Zunächst überlegt man sich, von welchen
physikalischen Größen der Prozess beeinflusst wird. Dann kann man den Prozess im Labor
unter Variation des Wertebereiches der Einflussgrößen untersuchen.
Ein durch dieses Vorgehen erstellte Meßkonzept kann sehr schnell sehr umfangreich werden,
wenn mehrere physikalische Größen in dem zu untersuchenden Prozess einen Einfluss haben.
1
Manche Autoren nennen diesen Arbeitsschritt auch Eichung. Dieser Begriff ist hier allerdings falsch, da er
sich nur auf den Vergleich mit normierten Werten bezieht, wie etwa das Eichen eines Kilogrammgewichts.
Seite 120
Um dies einzusehen, nehmen wir einmal an, daß der Einfluss jeder Eingangsgröße durch das
Einstellen von zehn Werten untersucht werden soll. Sind an dem Prozess also zwei Einflussgrößen beteiligt, so sind hundert Messungen erforderlich, um jeden der zehn Werte der ersten
Eingangsgröße mit den zehn Werten der zweiten Eingangsgröße zu paaren. Bei drei Eingangsgrößen hätten wir es schon mit hundert Messungen zu tun, bei N Eingangsgrößen mit 10 N
Messungen. Und dies alles noch verschärfend sind eigentlich mehrere Wiederholungen einer
Messung erforderlich, ferner sind zehn Werte pro Eingangsgröße sicherlich recht wenige.
Um die Anzahl der Messungen zu reduzieren, kann man nach einem Konzept suchen, welches
die Anzahl der Eingangsgrößen verringert, indem man Abhängigkeiten der Einflussgrößen
untereinander berücksichtigt. Hier hilft das Buckinghamsche π-Theorem der Dimensionsanalyse:
Buckingshams π-Theorem: Ist eine dimensionsbehaftete, abhängige Variable von n-1 dimensionsbehafteten, unabhängigen Variablen abhängig, und sind dabei m Grunddimensionen beteiligt, so können die n Variablen zu π = n - m dimensionslosen Ausdrücken kombiniert werden.
Das Gesetz von Darcy-Weisbach für die Rohrströmung
Wir wollen das, was dieses Theorem in sich trägt, gleich an einem Beispiel erarbeiten und
den Druckabfall in einer Rohrströmung experimentell untersuchen. Da dieser sicher umso
größer ist, desto länger das Rohr ist, können wir uns gleich auf den Druckverlust pro Rohrlänge
Δp/L stürzen. Dieser wird abhängig sein von
• dem Durchmesser d des Rohres,
• der Rauheit der Bewandung ks ,
• der Strömungsgeschwindigkeit u,
• der Fluiddichte und
• der Viskosität ν des Fluids.
Zur Charakterisierung der Rauheitsbeschaffenheit der Wand führte Nikuradse den Begriff der
äquivalenten Rauheit ks ein. Sie ist so etwas wie die mittlere Erhebung der Wandrauheiten,
besitzt also die Dimension einer Länge. Die äquivalente Rauheit ist für verschiedene Wandbeschaffenheiten tabellarisiert.
Die dimensionsbehaftete Variable Δp/L ist also von fünf dimensionsbehafteten, unabhängigen Variablen abhängig, somit haben wir insgesamt n = 6 Variablen. Ferner haben wir es mit
den drei Grunddimensionen Meter, Sekunde und Kilogramm der Mechanik zu tun, m ist also,
wie in den meisten Fällen gleich drei. Nach dem π-Theorem bekommen wir also drei dimensionslose Variablenkombinationen, die das Problem bestimmen. Dies stellt eine erhebliche
Reduktion des ursprünglichen Messprogramm über fünf unabhängige Variablen dar.
Seite 121
Damit müssen wir nun die drei, den Prozess bestimmenden Variablenkombinationen ausfindig
machen. Dazu wendet man folgendes Kochrezept an:
Zuerst bestimmt man drei Grundgrößen, die die drei Grunddimensionen beinhalten und aus
denen man jede einzelne Grunddimension durch Multiplikation oder Division explizit darstellen kann. Man bezeichnet sie als Wiederholungsgrößen. In unserem Fall erfüllen die Wahl des
Rohrdurchmesser d, der Dichte und der Fließgeschwindigkeit u diese Anforderung, den das
Kilogramm ergib sich aus kg = [ ][d]3 , das Meter ist m = [d] und die Sekunde bestimmt man
aus s = [d]/[u]. Als Wiederholungsgrößen eignet sich z.B. nicht die Wahl des Durchmessers d,
der Rauheit ks und der Geschwindigkeit u, weil man mit ihnen das Kilogramm nicht darstellen
kann.
Die verbleibenden physikalischen Größen, einschließlich der Ergebnisgröße, die nicht zu Wiederholungsgrößen erhoben wurden, bezeichnet man als Auswahlgrößen.
Im zweiten Schritt werden die dimensionslosen Variablenkombinationen jeweils als Funktion
aller Wiederholungsgrößen und jeweils einer Auswahlgröße angesetz, in unserem Fall also:
Π1 = f (d, , u, ks)
Π2 = f (d, , u, ν)
Π3 = f (d, , u, Δp/L)
Die Variablenkombinationen auf der linken Seite sind dimensionlos und man weiß nicht, mit
welcher Potenz die Größen auf der rechten Seite in die Funktion eingehen. Daher setzt man
die unbekannten Potenzen nij an und bekommt die drei Einheitengleichungen:
n
kg 12 m n13 n14
m
1=m
3
m n22 s
2 n14
n23
kg
m
m
1 = mn21
3
m n32 s
s
n34
n33
kg
m
kg
n31
1=m
m3
s
m2 s2
Diese drei Gleichungen lassen sich für jede Einheit separieren, so daß insgesamt neun Gleichungen für die zwölf unbekannten Potenzen zur Verfügung stehen. Dies sei an der ersten
Gleichung für die Einheit Kilogramm demonstriert; man erhält die Teilgleichung:
n11
1 = kg n12 ⇒ n12 = 0
Ebenso wird für alle anderen Teilgleichungen verfahren. Die verbleibenden drei Freiheitsgrade
werden dazu genutzt, um die dimensionslosen Variablengruppen sinnvoll zu gestalten. Man
bekommt schließlich:
ks
Π1 =
d
ud
= Re
Π2 =
ν
d Δp
Π3 = 2
u L
Seite 122
5.5. Physische Modellierung und numerische Simulation
Die erste dieser dimensionslosen Variablengruppen beschreibt das Verhältnis von Wandrauheit
zu Rohrdurchmesser, die zweite Gruppe stellt die Reynoldszahl dar. Aus der dritten Variablengruppe wird das Druckgefälle extrahiert:
u2
Δp
=
f
L
d
ks
, Re
d
Somit kann man ein Messkonzept für nur zwei unabhängige, dimensionslose Variablengruppen erstellen. Dies könnte z.B. so aussehen, daß man die erste Variablengruppe durch verschiedene Rohrdurchmesser d variiert und die zweite durch variable Durchflüsse. Dabei wird
dann jeweils die erforderliche Druckdifferenz gemessen.
Übung 28: Zeigen Sie, dass die Funktion f kds , Re nach dem durch Dimensionsanalyse erstellten Meßkonzept genau dem Verlustbeiwert λ im Gesetz von Darcy-Weisbach entspricht.
(Betrachten Sie die Bernoulligleichung für Rohrströmungen.)
5.5 Physische Modellierung und numerische Simulation
In der Einführung zu diesem Kapitel wurden die physische Modellierung oder die numerische
Simulation als Möglichkeiten zur Untersuchung eines Strömungsproblems genannt, wenn man
keine analytischen Lösungen kennt, was bei komplexen Geometrien fast immer der Fall ist.
Wir wollen uns in diesem Abschnitt der Frage zuwenden, welche der beiden Alternativen physisch oder numerisch- man dann wählen sollte.
In der Praxis wird dabei zunächst der Aspekt der Verfügbarkeit prioritär sein: Um ein
physisches Modell aufzubauen und zu betreiben, benötigt man ein hydromechanischwasserbauliches Labor mit dem entsprechenden Platz, den Meßeinrichtungen und erfahrenem
Personal. Sie werden zumeist von öffentlich finanzierten Einrichtungen (Universitäten, Forschungsinstitutionen) betrieben; Ingenieurbüros verfügen nicht über solche Labore.
Im Vergleich dazu ist Software zur numerischen Simulation heute sehr preiswert. Hier benötigt
man lediglich entsprechende Rechner, aber ebenso erfahrenes Personal.
Geht man aber einmal davon aus, daß ein solches Labor direkt oder per Subauftrag vorhanden
ist, bliebe immer noch die Entscheidung zwischen physischem und numerischen Modell zu
fällen. Natürlich gibt es hier keine allgemein gültige Antwort, so daß in jedem Projekt neu entschieden werden muss, welches Modellverfahren eingesetzt werden soll. Um diese Entscheidung systematisch anzugehen, sollten im Rahmen des Projektmanagements alle Arbeitsschritte in beiden Modellierungsverfahren miteinander verglichen und gegeneinander abgewogen
werden:
1. Schritt: Identifikation der wirksamen Kräfte und Prozesse.
(a) Sind diese in einem numerischen Modell berücksichtigt?
Seite 123
(b) Sind diese naturähnlich in einem physischen Modell realisierbar?
2. Schritt: Validierung
(a) Entscheidung für ein adäquates numerisches Modell
(b) Aufstellung der Ähnlichkeitsbedingungen
3. Schritt: Aufbau des geometrischen Modells.
(a) als numerisches Gitter
(b) als physisches Modell
4. Schritt: Realisierung der Randbedingungen
(a) als digitalisierte Zeitreihen
(b) durch gesteuerte Zuflüsse/ Abflüsse / Wassertiefen
5. Schritt: Kalibrierung
(a) Einstellung von Modellrauheit und Modellviskosität
(b) Variation der Rauheit
6. Schritt: Variantenstudium gemäß Aufgabenstellung
(a) Erstellung von Variantengittern
(b) Umbau des physischen Modells
7. Schritt: Ergebnisauswertung
(a) Visualisierung, Postprozessing
(b) Umrechnung auf Naturverhältnisse
Im ersten Schritt sollte das physikalische System analysiert werden, ohne irgend ein physisches oder numerisches Modellverfahren im Blick zu haben. Hier geht es um die Identifikation aller relevanten Kräfte und Prozesse und deren Wechselwirkungen. Diese werden in einem
physikalischen Anforderungskatalog zusammengestellt.
Im zweiten Schritt werden sowohl die physischen als auch numerischen Modellverfahren mit
dem physikalischen Anforderungskatalog abgeglichen. Bei numerischen Modellen ist dabei
das Validierungsdokument hilfreich, es besteht aus einer Sammlung von Anwendungsfällen
eines numerischen Modells und dem Nachweis der Validität desselben für diese Anwendungen.
Seite 124
-
Realsystem
Nichtreduziertes
numerisches Modell
6
Numerisches Modell
?
Maßstabsreduziertes
physisches Modell
?
-
Maßstabsreduziertes
numerisches Modell
Abbildung 5.3: Überwindung der Maßstabsreduktion durch hybride Simulation.
Nach der Auswahl eines bestimmten Modellverfahrens ist dann insbesondere zu dokumentieren, welche physikalischen Anforderungen nicht erfüllt sind und welche Auswirkungen dies
auf die Projektergebnisse haben kann.
In diesem zweiten Schritt ist die Fachkenntnis einer Projektbearbeitungsgruppe erforderlich,
die sich in beiden Modellierungsverfahren gut auskennt.
Der dritte Schritt ist in beiden Modellierungsverfahren sehr arbeitsaufwendig. Während beim
numerischen Modell die Gittergenerierung und Bestückung mit geometrischen Daten von einem wissenschaftlichen Mitarbeiter ausgeführt wird, sind beim physischen Modell Facharbeiter verschiedener Handwerke und Techniker erforderlich, um das physische Modell aufzubauen.
Im vierten Schritt sind Strömungsbedingungen an den Modellrändern zu realisieren. In beiden Modelltypen ist dafür der Wasserstand oder der Zufluss zeitlich zu steuern. In physischen
Modellen geschieht dies durch Pumpen oder Wehre, in numerischen Modellen durch Digitalisierung und Eingabe der entsprechenden Randwerte.
Im fünften Schritt sind beide Modelle zu kalibrieren, um eine weitgehende Übereinstimmung
von Modellierungsergebnissen und Realität zu erzielen. Dabei sind im numerischen Modell
mehr Parameter als im physischen Modell zu kalibrieren.
Im sechsten Schritt ist das numerische dem physischen Modell aus zwei Gründen überlegen:
Zunächst einmal ist die Generierung eines neuen Gitters, einer neuen Geometrie oder neuer
Randbedingungen im numerischen Modell viel weniger arbeitsintensiv als beim physischen
Modell. Ferner bleiben sowohl das Modell des Istzustandes als auch alle Varianten weiterhin
verfügbar und können jederzeit überprüft, verändert und neu simuliert werden. Im physischen
Modell wird das Modell des Istzustandes in die verschiedenen Varianten umgebaut, damit ist
ein früherer Modellzustand nie exakt reproduzierbar.
Im siebten Schritt ist das numerische dem physischen Modell ebenfalls weit überlegen:
Während man im physischen Modell nur an sovielen Punkten Ergebnisse hat, wie das Labor über Meßgeräte verfügt, hat man im numerischen Modell prinzipiell an jedem Punkt des
Seite 125
Gitters zu jedem Zeitpunkt Ergebnisse. Dies erlaubt synoptische Darstellungen einzelner physikalischer Größen über das gesamte Modellgebiet.
Eine ideale Situation wäre die Anwendung sowohl des physischen als auch des numerischen
Modells auf eine gegebene Problemstellung. Durch diese hybride Modellierung wäre man in
der Lage, den Nachteil der Maßstabsreduktion zu überwinden: Dabei stellt man das physikalische Realsystem zunächst mit einem maßstabsreduzierten physischen Modell dar. Dieses wir
dann 1:1 mit einem numerischen Modell reproduziert, welches gegenüber dem Realsystem
dann natürlich ebenfalls maßstabsreduziert ist. Dieses numerische Modell wird dann hinreichend kalibriert und verifiziert. Das numerische Modell wird dann auf den Realmaßstab gebracht, was durch Einbringen entsprechender Vorfaktoren in der Gittergenerierung und den
Randbedingungen recht einfach ist und mit dem Realsystem verglichen. Ein solches hybrides Modellsystem hat maximale Glaubhaftigkeit, da jedes der drei Einzelmodelle gegen jedes
andere abgesichert wird.
5.6 Zusammenfassung
In diesem Kapitel haben wir die Macht der Einheiten bzw. der Dimensionslosigkeit ausgenutzt,
um physische, maßstabsreduzierte Modelle und um Experimente zur Erforschung unbekannter
Zusammenhänge zu konzipieren. Ein physisches Modell eines realen Strömungssystem ist
dann sinnvoll, wenn es gewissen Ähnlichkeitsbedingungen gehorcht, wobei gezeigt wurde,
das eine vollständige Ähnlichkeit nie erreicht werden kann.
Bei Fließgewässermodellen beschränkt man sich dabei zumeist auf die Ähnlichkeit der Froudezahlen, steht die Untersuchung von grenzschichtdominierten Strömungen im Vordergrund,
so wird reynoldssche Ähnlichkeit bevorzugt.
In der Dimensionsanalyse werden dagegen abhängige Variable zu dimensionslosen Variablengruppen zusammengefaßt. Hierdurch wird der Meßaufwand auf ein Minimum reduziert.
Seite 126
Kapitel 6
Die Erfassung der Turbulenz
Untersucht man eine reale Strömung in Natur oder Technik, so stellt man fest, dass diese
fast nie stationär ist, d.h. die Geschwindigkeiten schwanken im Laufe der Zeit. Ein Blick auf
eine Geschwindigkeitsmessung (Abbildung 6.1) in einem Laborgerinne zeigt sofort, dass diese Schwankungen keinerlei offensichtliche Periodizität unterliegen, vermutlich also chaotisch
sind. Es zeigen sich dabei Fluktuationen, deren Variabilität unterhalb einer Sekunde liegen.
Diese Situation verkompliziert sich noch dadurch, dass diese Schwankungen natürlich nicht an
jedem Ort in irgend einer Weise ähnlich vonstatten gehen, sondern vollkommen unkorreliert
sind, wenn der Abstand zwischen den Meßpunkten nicht zu nahe beieinander liegt. Damit
sind die Geschwindigkeitsfelder auch selten räumlich homogen, sondern weisen durch die
Geschwindigkeitsfluktuationen zu jedem Zeitpunkt örtliche Geschwindigkeitsgradienten auf.
Die Ursache der Turbulenz liegt im zweiten Hauptsatz der Thermodynamik verborgen, der
besagt, dass jegliche Strömungsenergie letztlich in Wärme umgesetzt wird. Dies geschieht in
einer Wirbelkaskade, in der großskalige über kleinskalige in mikroskopische Wirbel umgeformt werden, was zu einer Erhöhung der mittleren kinetischen Energie auf der molekularen
Ebene und somit der Temperatur führt. Die Überlagerung der verschiedenen Skalen von Bewegungen führt zu einem örtlich und zeitlich stark fluktuierendem Strömungsfeld. Dabei wird das
mittlere Strömungsfeld von Schwankungen mit scheinbar chaotischem Charakter überlagert.
Die alles entscheidende Frage ist nun, ob man diese turbulenten Geschwindigkeitsfluktuationen einfach als Rauschen in der Strömung übersehen und vernachlässigen darf, oder ob sie
eine wichtige Wirkung haben, die wir deshalb quantifizieren und berechenbar machen müssen.
Leider ist zweiteres der Fall: In turbulenten Strömungen ist alles ganz anders als in laminaren
Strömungen.
Somit müssen wir uns der Aufgabe stellen, einen chaotischen Prozess zu quantifizieren. Erst
dann sind wir in der Lage, nach dahinter liegenden Gesetzmäßigkeiten zu suchen.
127
6.1. Mittlere und fluktuierende Größen
Seite 128
0.45
Velocity [m/s]
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0
100
200
300
400
500
Zeit [s/200]
600
700
800
900
1000
Abbildung 6.1: Zeitliche Variation der turbulenten Hauptströmungsgeschwindigkeit in einer
Rinne in 4 mm, 21 mm und 38 mm über der Gerinnesohle.
6.1 Mittlere und fluktuierende Gr ößen
Bevor wir uns der eigentlichen Turbulenz, d.h. der Schwankung bzw. dem Rauschen im Geschwindigkeitssignal zuwenden, wollen wir die eigentliche, genauer die mittlere Geschwindigkeit bestimmen. Dazu müssen wir uns erst einmal mit den allgemeinen Möglichkeiten zur
Mittelwertbildung bei physikalischen Größen beschäftigen.
6.1.1 Die Mittlung physikalischer Größen
Für eine beliebige physikalische Größe f kann man prinzipiell drei Arten von Mittlung unterscheiden:
• Bei der zeitlichen Mittlung wird die Größe f an einem festen Ort über einen Zeitraum gemittelt, der so lang ist, dass der Mittelwert keine zeitlichen Schwankungen mehr
aufweist. Dies ist mit Sicherheit dann erfüllt, wenn wir formal über alle Zeit der Welt
mitteln:
f (x) = lim
Δt→∞
1
Δt
f (x, t)dt
Δt
Während f ursprünglich zeitabhängig ist, geht diese Eigenschaft beim Mittelwert verloren. Diese Mittlungsform bietet sich somit bei stationären Phänomenen an, die lediglich
von fluktuierenden Schmutzeffekten überlagert werden.
In der Praxis muß man sich auf ein endliches Zeitintervall beschränken und sollte dann
aber auch sicherstellen, dass der Mittelwert bei einer Verlängerung des Integrationszeitraumes konstant bleibt.
Seite 129
Beim gleitenden Mittel wird die Zeitabhängigkeit des Mittelwertes bewahrt:
f (x, t) =
1
Δt
t+ 12 Δt
f (x, t )dt
t− 12 Δt
Diese Form der Mittlung eignet sich auch für instationäre Prozesse, man sollte sich
allerdings klarmachen, dass die Dynamik der gleitend gemittelten Zeitreihe mit zunehmendem Mittlungsintervall Δt abnimmt.
Bei einem periodischen Vorgang wiederholt sich eine gewisse, immer gleiche Ereignisabfolge fortwährend nach einer Zeitspanne T , die man als Periode bezeichnet. In diesem
Fall muß die Mittlungszeit nicht bis ins Unendliche ausgedehnt werden, sondern braucht
sich nur über die Periode T zu erstrecken:
1
f (x) =
T
T
f (x, t)dt
0
Wir werden diese Mittlungsform bei der Trennung von Strömungen und Wellen einsetzen.
• Bei der räumlichen Mittlung wird die Größe f zu einem festen Zeitpunkt über einen
Raum gemittelt, der so groß ist, dass der Mittelwert keine räumlichen Schwankungen
mehr aufweist. Ihre Idealform wäre:
1
Ω→∞ |Ω|
f (t) = lim
f (x, t)dΩ
Ω
Will man sich auf endliche Integrationsgebiete beschränken, ist wieder die Unabhängigkeit des Mittelwertes von der Ausdehnung des Integrationsgebietes zu verifizieren. Die
räumliche Mittlung bietet sich bei homogenen Strömungen an. Diese lassen sich allerdings weder in der Natur finden noch experimentell verwirklichen, da Strömungen im
Einflußbereich von Berandungen immer inhomogen sind.
• Bei der Mittlung über ein Ensemble wird über N identische Experimente gemittelt.
Das Ensemble von Experimenten ist so groß, dass sich beim Hinzufügen weiterer Experimente der Mittelwert nicht mehr ändert. Dies ist mit Sicherheit durch
N
1 fn (x, t)
N →∞ N
n=1
f (x, t) = lim
erfüllt. Die Mittlung über ein Ensemble ist die allgemeinste Mittlung, da sie keine Anforderungen an die Strömungen, sondern nur an das Experiment stellt.
Seite 130
Die Ergoden-Hypothese geht davon aus, dass alle Mittelwerte in einer stationären und homogenen Strömung gleich sind.
Übung 29: Berechnen Sie das gleitende Mittel über das Mittlungsintervall Δt = [t−Δt/2, t+
Δt/2] der Funktion:
f (t) = sin ωt
Stellen Sie das Ergebnis mit Hilfe eines Additionstheorems für die harmonischen Funktionen
in der Form eines Produktterms dar.
Was erhält man für die Spezialfälle Δt = 2π/ω, Δt < 2π/ω und Δt > 2π/ω ?
6.1.2 Fluktuationen als Abweichungen vom Mittelwert
’Es ist zweifellos etwas Wunderbares, wie das menschliche Hirn dem Variantenreichtum solche Mittelwerte abtrotzt, ein prächtiger Trick, um die Verständigung über das Unmögliche
möglich zu machen, aber der Preis ist die Abstraktion. Am Ende steht eine idealisierte Welt,
in der Millionen Frauen versuchen, wie zehn Supermodels auszusehen, Familien eins Komma
zwei Kinder haben und ein Chinese im Schnitt 63 Jahre alt und 1 Meter 70 groß wird. Vor
lauter Versessenheit auf Normen übersehen wir, dass die Normalität im Abnormalen liegt, in
der Abweichung. Die Geschichte der Statistik ist die Geschichte der Missverständnisse. Sie
hat uns geholfen, einen Überblick zu gewinnen, aber sie leugnet die Variation. Sie hat uns der
Welt entfremdet.
Und einander dafür näher gebracht.’ [71]
Hat man sich einmal auf eine Mittelwertbildung geeinigt, dann kann man eine beliebige Feldgröße f grundsätzlich in ihren Mittelwert f und den davon abweichenden fluktuierenden Anteil f zerlegen:
f = f + f
(6.1)
In Abbildung 6.2 sind die Fluktuationen der Geschwindigkeitsmessungen in dem Laborgerinne aufgetragen. Hier wurde die Mittelwertbildung über die gesamte Zeitreihe ausgeführt, da
die experimentellen Einstellungen so gewählt wurden, dass die Strömung stationär sein sollte.
Man erkennt in der Abbildung, dass die Fluktuationen der Messung 5 cm über der Sohle die
größten Ausschläge aufweisen, während sie bei der Messung 20 cm über der Sohle am geringsten sind. Der Grad der Turbulenz ist also nicht überall gleich. Um die dahinterliegenden
Gesetzmäßigkeiten zu verstehen, müssen wir im folgenden einen quantifizierbaren Begriff für
den Grad der Turbulenz entwickeln.
Dabei ist die Fluktuation f selbst wenig hilfreich, da sie zeitlich und örtlich schwankt, zu
einem festen Zeitpunkt also an dem einen Ort größer als an dem anderen sein kann, während
es zu einem anderen Zeitpunkt genau umgekehrt ist.
6.2. Die Kolmogorovlänge
Seite 131
Geschwindigkeitsfluktuation [m/s]
0.1
0.05
0
−0.05
−0.1
0
100
200
300
400
500
Zeit [s/200]
600
700
800
900
1000
Abbildung 6.2: Zeitliche Variation der Geschwindigkeitsfluktuationen in einer Rinne in verschiedenen Höhen über der Sohle.
Nehmen wir also den Mittelwert der Fluktuationen f . Dieser ist aber immer dann Null,
f = 0
wenn der Mittelwert des Mittelwertes f gleich dem Mittelwert f
f =f
ist. Dies war nicht anders zu erwarten, weil die Fluktuationen um den Mittelwert schwanken,
also mal positiv und mal negativ sind.
Übung 30: Man beweise, dass der Mittelwert der Fluktuationen genau dann Null ist, wenn der
Mittelwert des Mittelwertes der Mittelwert ist.
6.2 Die Kolmogorovl änge
Wir wollen nun untersuchen, welche Anforderungen an die räumliche und zeitliche Auflösung
einer Messung gestellt werden müssen, damit die Turbulenz vollständig erfaßt wird. Die Beantwortung dieser Frage ist direkt an die Suche nach den kleinsten Strukturen in einer Strömung
geknüpft. Den Durchmesser dieser kleinsten Strukturen bezeichnet man als Kolmogorovlänge
λ.
Um zu den kleinsten Strukturen zu gelangen, müssen wir zunächst die größten Strukturen
und Wirbel betrachten, deren Längenausdehnung mit L bezeichnet sei. In der Bestimmung
dieses Maßes geht man sehr pragmatisch vor: In einem Fluss ist dies z.B. die Wassertiefe h,
sofern dieser breiter als tief ist, weil dann die größten Wirbel durch die Wassertiefe begrenzt
sind. Dabei ist die Wassertiefe die obere Grenze für die Wirbelgröße, tatsächlich können diese
aber auch kleiner sein. Wird eine Kugel oder ein Zylinder von einer homogenen Strömung
6.2. Die Kolmogorovlänge
Seite 132
angeströmt, so wird die größte sich bildende Wirbelstruktur durch den Zylinderdurchmesser d
abgeschätzt, obwohl die sich bildenden Wirbel durchaus mehr Raum einnehmen können.
Die Reynoldszahl charakterisiert die Geschwindigkeitsänderungen Δu auf dieser Längenskala
L:
ΔuL
ν
Re =
Für den Fluss können wir die Geschwindigkeitsänderung Δu mit der maximalen Strömungsgeschwindigkeit umax identifizieren, weil die Strömungsgeschwindigkeit an der Sohle Null
ist und über die Wassertiefe auf ihren maximalen Wert steigt. Die Reynoldszahl ist dann
Re = umax h/ν. Für den umströmten Zylinder gilt Re = u ∞ d/ν.
Mit Hilfe der Dimensionsanalyse läßt sich abschätzen, dass aus den makroskopischen Strukturen die Energie
∼
Δu3
L
dissipiert wird. Für Flüsse wäre diese Dissipationsrate ∼ u 3max /h und für die Zylinderumströmung ∼ u3∞ /d. Diese Energie wird in den kleinsten Strukturen der Strömung in Wärme
umgesetzt. Deren Ausdehnung entspricht der Kolmogorovlänge λ. Bezeichnet man die Geschwindigkeitsdifferenz zwischen einem Punkt auf dem Rand des Wirbels und einem auf dem
gegenüberliegenden Randpunkt mit vλ , so kann man eine Reynoldszahl Reλ der kleinsten
Strukturen als
Reλ =
vλ λ
ν
bilden. Diese kleinsten Wirbel stellen die kleinsten geordneten Bewegungsstrukturen dar. Darunter ist die Bewegung der Flüssigkeitsmoleküle ungeordnet und ohne Vorzugsrichtung, d.h.
thermisch. Auf der Skala der Kolmogorovlänge findet also die vollständige Umsetzung von
kinetischer in thermische Energie durch innere Reibung statt. Damit muß das Produkt aus
Kolmogorovlänge und -geschwindigkeit v λ der Größenordnung der Viskosität entsprechen:
vλ λ ∼ ν
Die Reynoldszahl Reλ der kleinsten energiedissipierenden Strukturen ist also eins. Diese
Strukturen sind mit der Dissipationsrate von kinetischer in Wärmeenergie verbunden. Diese
hat die Einheit m2 /s3 und sie kann aus Dimensionsbetrachtungen durch
∼
vλ3
λ
dargestellt werden. Die Kombination der letzten beiden Beziehungen ergibt:
6.3. Die Messung turbulenter Geschwindigkeiten
λ4 ∼
Seite 133
ν3
Die Dissipation der kinetischen Energie in den kleinsten Wirbeln führt letztlich zur Vernichtung derselben. Damit ihre Population jedoch nicht zugrunde geht, müssen neue hinzukommen. Energetisch heißt dies, dass das, was durch die Energiedissipationsrate in den kleinsten Wirbeln verloren geht, durch neue Wirbel ersetzt werden muß. Dies geschieht in Form
einer Wirbelkaskade, in der großskalige über kleinskalige in mikroskopische Kolmogorovwirbel zerfallen. Den Anfang nimmt diese Kaskade der Energiedissipation bei den großskaligen
Bewegungen, deren Dimension in Fließgewässern also durch die Wassertiefe h und die Fließgeschwindigkeit umax dargestellt wird. Die Gleichheit der mikroskopischen und der makroskopischen Dissipationsrate führt schließlich zu:
λ4 ∼
ν3
L
Δu3
bzw. λ ∼
L
Re3/4
Nachdem wir die Größe dieser kleinsten Wirbel abgeschätzt haben, wollen wir die Frequenz
f des mit ihnen verbundenen Meßsignals bestimmen. Die zugrunde liegende Idee ist ganz
einfach: Die Wirbel ziehen mit der mittleren Geschwindigkeit u
Δu am Meßgerät vorbei
und produzieren dort ein Auf und Ab des Signals mit der Frequenz:
u
Δu
(6.2)
Δu7/4 ν −3/4 L−1/4 = Re3/4
λ
L
Schauen wir uns z.B. das Meßgerinne an, in welchem die turbulenten Geschwindigkeitsmessungen aus der Einleitung dieses Kapitels gemacht wurden. Es hat eine Wassertiefe von einem
Meter bei einer mittleren Strömungsgeschwindigkeit von 1 m/s. Damit bekommt man Frequenzen von über 31 000 Hz, wenn man den Proportionalitätsfaktor einmal zu eins annimmt.
Die Messung ist also viel zu unstrukturiert, um alle Details in den Geschwindigkeitsvariationen aufzuzeigen. Reduziert man die Strömungsgeschwindigkeit auf 10 cm/s, dann fällt die
maximale turbulente Frequenz schon auf 560 Hz, bei 1 cm/s auf 10 Hz.
Die zeitliche Auflösung des Meßgerätes bestimmt also die maximalen Strömungsgeschwindigkeiten, wenn man das mit ihnen verbundene Turbulenzspektrum vollständig erfassen will.
f=
6.3 Die Messung turbulenter Geschwindigkeiten
Zur Bestimmung der turbulenten Schwankungen in Strömungen stehen eine Vielzahl von
Meßtechniken zur Verfügung, von denen aber nur wenige geeignet sind, um diese feinskaligen Prozesse hinreichend genau zu erfassen. Grundsätzlich kann man dabei zwei Kategorien
unterscheiden: Die erste besteht aus Messungen bestimmter physikalischer Größen wie der
Strömungsgeschwindigkeit an einem festen Ort in der Strömung, die andere Kategorie besteht
Seite 134
aus Visualisierungstechniken, bei denen man die Strömungsmuster sichtbar macht. Messungen
an einem oder mehreren Orten in der Strömung eignen sich zum Quantifizieren der Turbulenz,
während Visualisierungstechniken die hinter der Turbulenz verborgenen Mechanismen wie
z.B. kohärente Strömungsstrukturen offenbaren.
Um die Turbulenz meßtechnisch zu erfassen, ist es notwendig, die Geschwindigkeit an einem
Punkt dreidimensional in hinreichend genauer zeitlicher Auflösung zu erfassen.
6.3.1 Der Dopplereffekt
Zur Entstehung des Dopplereffektes stelle man sich vor, dass man sich an einem Fluss befinde, auf dem Wasserwellen auf einen zulaufen. Während man dort still steht, laufen z.B. acht
Wellen in einem gewissen Zeitintervall an einem vorbei. Bewegt man sich nun in Richtung der
Wellenquelle mit einer gewissen Geschwindigkeit, dann werden mehr als acht Wellen im selben Zeitintervall an einem vorbeiziehen. Damit scheint die Frequenz der Wasserwellen höher
geworden zu sein. Bewegt man sich dagegen in Laufrichtung der Wellen, so werden weniger
Wellen pro Zeiteinheit an einem vorbeiziehen, die wahrgenommene Frequenz wird niedriger.
Die jeweilige Frequenzänderung Δν, die eine Funktion der Bewegungsgeschwindigkeit v ist,
bezeichnet man als Dopplerverschiebung. Diese läßt sich ganz einfach bestimmen. Bewegt
sich der Beobachter auf die Schallquelle zu, dann ist die Anzahl der zusätzlichen wahrgenommenen Wellen Δν = v/λ, wenn λ die Wellenlänge des Schallsignals ist. Da die Schallgeschwindigkeit c mit der Wellenlänge λ und der Frequenz ν über c = λν zusammenhängen,
folgt
Δν = ν
v
c
wobei die Geschwindigkeit positiv ist, wenn sich der Beobachter auf die Schallquelle zubewegt.
6.3.2 ADV-Sonden
ADV-Sonden (Acoustic Doppler Velocimetry) nutzen den Dopplereffekt zur Bestimmung der
Strömungsgeschwindigkeit, indem sie Schall einer bestimmten Frequenz in das Fluid abstrahlen und das rückgestreute Signal analysieren. Der Schall wird dabei an den im Wasser immer
vorhandenen Schwebeteilchen gestreut. Die Kernannahme ist es nun, dass diese Schwebeteilchen diesselbe Geschwindigkeit wie das sie umgebende Wasser haben.
Der Schall wird an den Schwebeteilchen in alle Richtungen gestreut, wobei der größte Teil
des Signals unverändert geradeaus weiterläuft. Nur ein kleiner Teil wird in die umgekehrte
Richtung reflektiert und erfährt dabei eine Dopplerverschiebung. Nehmen wir hier an, dass
sich das Schwebeteilchen im Moment der Streuung direkt von der Schallquelle entfernt, es also
eine reduzierte Frequenz wahrnimmt. Das vom Teilchen reflektierte Signal erscheint für den
Seite 135
Abbildung 6.3: ADV-Sonde in einem Laborgerinne.
Empfänger der Sonde wieder um die Dopplerverschiebung reduziert, weil sich der Empfänger
relativ zur Signalquelle, d.h. dem Schwebeteilchen entfernt. Deshalb kommt am Empfänger
ein Signal an, dessen Frequenz doppelt dopplerverschoben ist:
Δνback = 2ν
v
c
Aus der Frequenz des rückgestreuten Signals kann man nun also direkt die Geschwindigkeit
der Schwebeteilchen und damit des umgebenden Wassers messen. Doch von welchem Ort
stammt das reflektierte Signal; ist es direkt hinter der Schallquelle oder in weitem Abstand
reflektiert worden ?
Hier kommt ein zweite Meßtechnik zur Anwendung, die entweder die Phasenverschiebung
oder die Laufzeit des Signals (Dilatationszeit) auswertet. Nehmen wir an, der Schallsender
sendet nur ein einziges, sehr kurzes Schallsignal aus, der Empfänger wertet die rückgesteuten
Signale aus. Diese kommen je nach Entfernung Δx vom Sender nach der Zeit Δt = 2Δx/c
wieder am Empfänger an. Durch das Schauen auf eine bestimmte Laufzeit kann man also die
Messung direkt auf einen bestimmten Ort fokussieren.
Soweit die theoretischen Grundlagen zur Geschwindigkeitsmessung mit Hilfe des Dopplereffektes. Diese gilt es nun in einem Meßgerät so umzusetzen, dass man eine möglichst hohe
zeitliche Auflösung der Strömungsgeschwindigkeit (Meßfrequenz) bei möglichst geringer Beeinflussung des Strömungsfeldes erzielt. Solch eine Sonde ist in Abbildung 6.3 dargestellt.
Sie hat einen 10 Mhz-Schallsender im Zentrum des Meßkopfes und auf allen drei Armen
je einen Empfänger. Dadurch können drei linear unabhängige Geschwindigkeitskomponenten bestimmt werden, die dann in die Komponenten in einem kartesischen Koordinatensystem
umgerechnet werden. Gewöhnliche ADV-Sonden haben eine Meßfrequenz von 20 bis 25 Hz,
es gibt aber auch Verfahren, die Signalschwankungen bis zu 200 Hz auflösen.
Seite 136
alledaten(:,4) data
fit 1
14
Anzahl der Messwerte
12
10
8
6
4
2
0
0.2
0.22
0.24
0.26
0.28
0.3
0.32
u velocity [m/s]
0.34
0.36
0.38
Abbildung 6.4: Vergleich einer gemessenen Verteilung der Geschwindigkeitsfluktuationen
(Rauten) mit der Gaussverteilung.
6.3.3 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Geschwindigkeitsfluktuationen
Nachdem man eine Zeitreihe der fluktuierenden Geschwindigkeit aufgenommen hat, kann
man diese mit einem Tabellenkalkulationsprogramm verschiedenen Analysen unterziehen.
Zunächst bestimmt man natürlich den Geschwindigkeitsmittelwert und dann die turbulenten
Geschwindigkeitsfluktuationen.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Geschwindigkeitsfluktuationen kann annähernd durch
eine Gausssche Normalverteilung
⎛
1
1
exp ⎝−
f (u) = √
2
2πσ
u
σ
2 ⎞
⎠
mit σ =
u u
approximiert werden.
Dies bedeutet, dass in einer Strömung wesentlich höhere Werte als die mittlere Strömungsgeschwindigkeit auftreten können und diese umso wahrscheinlicher sind, desto größer die Autokorrelationen ui ui sind.
6.4. Die turbulente kinetische Energie
Seite 137
Eigentlich interessiert man sich aber für die tatsächlich auftretenden Geschwindigkeiten, deren
Wahrscheinlichkeitsverteilung nun durch
1 (u − u)2
exp −
f (u) = √
2 u u
2πuu
1
gegeben ist.
Kennt man also diese Autokorrelationen, dann lassen sich das Auftreten von Geschwindigkeitspitzen über einem Wert umax als
P ([umax , ∞[) = √
∞
1
2πu u umax
1 (u − u)2
exp −
du
2 u u
bestimmen. Man kann es aber auf die komplementäre Fehlerfunktion
2
erfc(x) = √
π
∞
exp −t2 dt
x
transformieren, die mit mathematischer oder statistischer Software gelöst wird. Mit ihrer Hilfe
können wir die Wahrscheinlichkeit als
umax − u
1
P ([umax , ∞[) = erfc √
2
2u u
berechnen. Somit ist in jeder turbulenten Strömung neben der Kenntnis der mittleren
Strömungsgeschwindigkeit auch die Kenntnis der Standardabweichungen von erheblicher Bedeutung, damit man das Spektrum der tatsächlich auftretenden Geschwindigkeiten abschätzen
kann.
Übung 31:√In einer Strömung der mittleren Geschwindigkeit von 27 cm/s ist die Standardabweichung u u = 2.7 cm/s. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mit Strömungsgeschwindigkeiten von 54 cm/s zu rechnen?
6.4 Die turbulente kinetische Energie
Da die Standardabweichungen u2 , v 2 und w 2 etwas über die Größe der turbulenten Schwankungen der jeweiligen Geschwindigkeitskomponente aussagen, bietet es sich an, die Summe
aller drei Standardabweichungen als Maß für die Turbulenzintensität zu verwenden. Fügt man
schließlich noch den Faktor 1/2 hinzu, dann bekommt man so etwas wie eine kinetische Energie als Turbulenzmaß, welche man als turbulente kinetische Energie (TKE) bezeichnet. Sie ist
als
k=
1 2
u + v 2 + w2
2
(6.3)
Seite 138
6.5. Das Energiespektrum der Turbulenz
definiert und mißt die im Feld der turbulenten Geschwindigkeitsfluktuationen enthaltene kinetische Energie.
Übung 32: (Laborversuch) Turbulenz in einem Gerinne
1. Mit einer ADV-Sonde der Messfrequenz 200 Hz soll die Turbulenz in einem 1 m tiefem
Laborgerinne untersucht werden. Schätzen Sie mit Hilfe der Kolmogorovbeziehung die
mittlere Strömungsgeschwindigkeit ab, deren Turbulenzstruktur wir mit dieser Sonde
bestimmen können.
2. Messen Sie die Geschwindigkeitszeitreihen in dem so präparierten Laborgerinne mit der
ADV-Sonde in vier Höhen über der Sohle.
3. Bestimmen Sie die mittleren Geschwindigkeiten u, v und w in allen drei Höhen.
R
:
Übung 33: Auswertung des Laborversuchs mit MATLAB
R
1. Formatieren Sie die Ergebnisse so, dass sie in MATLAB eingelesen werden. Kopieren Sie die Daten in das Clipboard und importieren Sie diese durch Edit > Paste to
Workspace. Im Variable Editor können Sie die Daten dann umbenennen.
2. Bestimmen Sie die Mittelwerte u, v und w durch die Anwendung der mean-Funktion.
Stellen Sie diese als Funktion der Höhe über der Gerinnesohle dar.
3. Stellen Sie die Standardabweichungen u u,v v , w w mit der Funktion std in allen als
Funktion der Höhe über der Sohle graphisch dar.
4. Bestimmen Sie die TKE in allen drei Höhen und stellen Sie diese als Funktion der Höhe
über dem Boden dar.
5. Bestimmen Sie die Korrelation u w in allen vier Höhen und stellen Sie diese als Funktion der Höhe graphisch dar.
6. Welche Häufigkeitsverteilung gibt die turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen am
besten wieder? Machen Sie sich dazu mit dem dfittool zum Fitten von Häufigkeitsverteilungen an gegebene Datensätze vertraut.
6.5 Das Energiespektrum der Turbulenz
Eine turbulente Strömung setzt sich aus einem Spektrum von wirbelnden Strukturen unterschiedlicher Größe zusammen. Man sollte daher untersuchen, wie sich die Anteile der turbulenten kinetischen Energie auf die Wirbel einer jeweiligen Größe verteilen. Dabei kann
man sich leicht überlegen, dass im Fall eines Geschwindigkeitsfeldes voller gleichgroßer
6.5. Das Energiespektrum der Turbulenz
Seite 139
kreisförmiger Wirbel des Durchmessers d die Geschwindigkeit eine periodische Funktion der
Wellenlänge λ = 2d wäre, da die Wirbel sich wie Zahnräder gegenseitig antreiben. In der Realität sind die Wirbel weder kreisförmig noch gleichgroß, aber wir fragen dennoch, wie groß
der Energieanteil pro Wellenzahl k = 2π/λ ist, weil wir hierdurch zumindest eine Vorstellung
über die Größenverteilung der Wirbelstrukturen in einer turbulenten Strömung bekommen.
Mit der Bezeichnung der Wellenzahl durch den Buchstaben k bekommen wir einen Konflikt,
den im letzten Abschnitt hatten wir diesen schon der TKE verliehen. Wir ziehen uns in diesem
Abschnitt damit aus der Affaire, dass wir die TKE hier mit e k bezeichnen.
Ist ê(k) die Energiedichte pro Wellenzahl k, dann ist die gesamte turbulente kinetische Energie
das Integral über alle möglichen Wellenzahlen k:
∞
ek =
ê(k)dk =
0
3
u2
2
2
ê(k) hat also die Einheit m /s . Wir versuchen nun einen funktionalen Zusammenhang für
die Energieverteilung ê(k) herzuleiten. Offensichtlich beschreibt das Integral
∞
ê(k)dk die ge-
k
samte Energie, die in Abmessungen der Größenordnung λ = 2π/k und λ = 2π/∞ = 0 liegt.
Da vλ die Geschwindigkeitsvariation in einer solchen Struktur angibt, ist die Turbulenzenergie
proportional zu vλ2 , d.h. zum Quadrat der größten auftretenden Geschwindigkeitsdifferenz in
der Struktur λ. Damit erhalten wir:
∞
ê(k)dk ∼ vλ2 ∼ (λ)2/3 ∼ 2/3 k −2/3
k
Durch Differentiation des ersten und letzten Terms nach k haben wir für das Energiespektrum
das Gesetz von Kolmogorov und Obuchov
ê(k) = Ck 2/3 k −5/3
(6.4)
plausibilisiert. Die in diesem Gesetz postulierten Abhängigkeiten wurden auch durch andere
theoretische Überlegungen erhalten. Zudem wurde es vielfach experimentell bestätigt, wobei
für die sogenannte Kolmogorovkonstante C k Werte zwischen 1.4 und 2.2 gefunden wurden.
Es gilt allerdings nur in der voll entwickelten isotropen Turbulenz, in der anisotrope Effekte
wie z.B Randeinflüsse ausgeschlossen werden können.
Ein typisches Energiespektrum ist in Abbildung 6.5 dargestellt. Bei kleinen Wellenzahlen k
d.h. großen Strukturen in den Abmessungen des Strömungsgebietes steigt die Energiedichte
etwa proportional zur 4. Potenz der Wellenzahl. Hier ist das Spektrum aber sehr stark abhängig
von der jeweiligen Geometrie des Strömungsgebietes. Dann folgt nach einem Maximum der
Übergang zum Gesetz von Kolmogorov und Obuchov. Den dazugehörigen Bereich des Spektrums nennt man auch Trägheitsbereich bzw. inertial subrange, da in ihm die viskosen Terme
im Vergleich zu den advektiven noch keinen großen Einfluß haben. Unterhalb der Kolmogorovlänge fällt die Energiedichte sehr steil ab.
6.6. Die direkte Simulation
Seite 140
tu rb u le n te E n e rg ie
a b h ä n g ig ...
u n a b h ä n g ig v o n d e r A rt
d e r T u rb u le n z e rz e u g u n g
K o lm o g o ro v w irb e l
» e
e n e rg ie tra g e n d
» k
2 / 3
k
- 5 / 3
in e rtia l s u b ra n g e
4
» k
- 7
W e lle n z a h l k
Abbildung 6.5: Form des Spektrums der turbulenten Energie.
6.6 Die direkte Simulation
Bei der numerischen Simulation versucht man, Strömungen durch die numerische Lösung der
Navier-Stokes-Gleichungen unter Zuhilfenahme von extrem leistungsfähigen Supercomputern
zu untersuchen.
Das dahinter stehende Objekt ist ein Zahlenraster (Abbildung 6.7). Dieses entsteht dadurch,
dass man das Gewässer mit einem räumlichen Gitter überdeckt. An den Knoten dieses Gitters
berechnet man die hydrodynamischen Größen und speichert sie zu gegebenen Zeitpunkten ab.
So entsteht ein vierdimensionales Zahlenraster in Raum und Zeit. Dabei stellt sich die Grundfrage, welche räumliche und zeitliche Auflösung erforderlich ist, um jede Bewegungsform in
der Strömung zu erfassen.
Ist diese beantwortet und so ein numerisches Modell der Strömung erstellt, dann spricht man
von einer direkten numerischen Simulation (DNS). In den folgenden Kapiteln werden wir
zwei weitere Modi der numerischen Simulation, die Large Eddy Simulation (LES) und die
Reynoldsgemittelte Simulation (RANS) kennenlernen.
6.6.1 Die Grundgleichungen der DNS
Wir sammeln zunächst das vollständige System von Gleichungen zusammen, die bei einer
DNS gelöst werden müssen. Dieses besteht zunächst aus den Navier-Stokes-Gleichungen:
Seite 141
Differentialgleichungssysteme der Hydrodynamik
?
?
Analytische Lösungen
Simulation
?
?
Physisches Modell
Numerische Simulation
?
?
DNS
LES
?
RANS
Abbildung 6.6: Zum Begriff der Simulation in der Hydrodynamik
t = 2 D t
t = D t
t = 0
ie t
b
e
sg
n g
u
m
tS r ö
Abbildung 6.7: Datenstruktur für eine numerische Simulation, der Raum ist nur zweidimensional dargestellt.
Seite 142
1
∂u
+ u grad u = − grad p + ν div grad u + f
∂t
div u = 0
An festen Wänden werden Stokessche Randbedingungen angesetzt:
uW = 0
Da die Navier-Stokes-Gleichungen für den Druck keine eigenständige Bestimmungsgleichung
enthalten, wird in der DNS die Kontinuitätsgleichung oftmals durch die Druck-PoissonGleichung (3.5) ersetzt:
div grad p = div
u2
+ u × rot u + f
−grad
2
In der DNS wird in der Regel die dimensionslose Darstellung der Navier-Stokes-Gleichungen
(5.1) bevorzugt.
Hier werden auch explizite Randbedingungen für den Druck erforderlich, da nun für diesen
eine eigene Differentialgleichung gelöst wird. An den Wänden wird angenommen, dass die
Richtungsableitung des Druckes Null ist [74].
6.6.2 Die räumliche Auflösung in der DNS
Wir wollen nun untersuchen, welche Anforderungen an die räumliche und zeitliche Auflösung
gestellt werden, um eine direkte numerische Simulation zu erhalten. Diese muß so fein sein,
dass sie die kleinsten Wirbelstrukturen auflösen kann, deren Durchmesser wir als Kolmogorovlänge λ bezeichnet haben. Für sie gilt:
λ4 ∼
ν3
h
u3max
bzw. λ ∼
h
Re3/4
Diese Abschätzung ist fundamental für die direkte numerische Simulation von Fließgewässern.
Deren Reynoldszahl liegt etwa bei zehnmillionen (Strömungsgeschwindigkeit 1 m/s, Wassertiefe 10 m). Somit ist Re3/4
10000, d.h. als Faustformel kann man sich merken, dass die
Raumauflösung eines numerischen Modells eines Fließgewässers bei etwa einem zehntausendstel der Wassertiefe bzw. einem Millimeter liegen muß. Ist der zu modellierende Flußabschnitt
nur 10 mal so breit und 1000 mal so lang wie tief, so erhält man ein Rechengitter mit etwa 10 16
Gitterknoten. Allein vom erforderlichen Speicherbedarf ist eine direkte Simulation naturnaher
Systeme auf heutigen Computeranlagen undenkbar.
6.7. Verborgene Zusammenhänge zwischen schwankenden Größen: Korrelationen Seite 143
6.6.3 Verifikation eines DNS-Modells
Bei der Konstruktion eines numerischen Verfahrens für die direkte Simulation ist zu zeigen,
dass dieses turbulente Strömungen auch tatsächlich richtig reproduziert. Da jene aber chaotischen Charakters sind, vermag man niemals einen gemessenen Strömungszustand exakt zu
reproduzieren. Das heißt allerdings nicht, dass der Programmentwickler um eine Verifikation,
d.h. um einen Nachweis der Richtigkeit seines Verfahrens herumkommt. Für eine quantitative Verifikation bietet sich daher der Vergleich mit statistischen Eigenschaften der turbulenten Strömung an, aber auch phänomenologische Eigenschaften müssen qualitativ reproduziert
werden.
So bietet es sich für DNS-Modelle die Beantwortung der Fragestellung an, ob diese in der Lage
sind, das Energiespektrum nach dem Gesetz von Kolmogorov und Obuchov zu reproduzieren.
Als weitere statistische Eigenschaften für die Verifikation werden z.B. die Form der mittleren
Strömungen und die Korrelationen für die Schwankungsgrößen herangezogen.
6.6.4 Kohärente Strukturen
Die DNS hat auch zur Entdeckung sogenannter kohärenter Strukturen in Strömungen
geführt. Betrachtet man etwa die Strömungsgeschwindigkeit an einem Ort als Funktion der
Zeit, so sieht man in der Regel eine mittlere Geschwindigkeit, die von einem Rauschen überlagert wird. Erst dreidimensionale Visualisierungstechniken offenbarten, dass in diesem Chaos
mehr steckt: Keulenförmige Wirbel steigen von der Sohle einer Strömung aus, schlangenartige Gebilde kriechen durch das Wasser, wobei sich weitere noch kleinere Schlangen um die
größeren winden; hufeisenförmige Strukturen bilden sich stromab von Hindernissen. Ihr faszinierendster Vertreter ist der Hufeisen- oder Haarnadelwirbel.
DNS-Ergebnisse werden also in zweierlei Richtung analysiert:
• die Statistik der turbulenten Schwankungen
• die Dynamik kohärenter Strukturen
Dabei verstehen Nezu und Nakagawa [57] unter einer kohärenten Struktur ein zusammenhängendes Fluidelement, in dem gewisse Strömungsgrößen einen gewissen räumlichen
Zusammenhang über eine gewisse Lebenszeit beibehalten.
6.7 Verborgene Zusammenh änge zwischen schwankenden
Größen: Korrelationen
Neben dem Mittelwert des Schwankungsquadrats u 2 einer Größe kann man natürlich auch
den Mittelwert des Produktes der Schwankung zweier unterschiedlicher Größen untersuchen.
Seite 144
Man bezeichnet diesen Mittelwert über das Produkt zweier Fluktuationen f 1 f2 in der Statistik
als Korrelation; ihr Wert sagt also etwas darüber, ob die beiden Größe f 1 und f2 in irgendeiner Form miteinander verbunden oder voneinander abhängig sind. Bevor wir dies weiter
beleuchten, führen wir den Korrelationskoeffizienten cor(f1 , f2 ) als normiertes Maß für die
Korrelation ein:
cor(f1 , f2 ) =
f1 f2
f12 f22
Zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten wird also zunächst die Korrelation der beiden
Größen bestimmt, dann durch die jeweiligen Korrelationen mit sich selbst geteilt.
Um den Zweck des Korrelationskoeffizienten zu verstehen, betrachten wir zwei Beispiele: Im
ersten Beispiel seien die Schwankungen zweier physikalischer Größen exakt gleich, obwohl
sie sehr unterschiedliche Mittelwerte haben, f1 = f1 + f und f2 = f2 + f . Der Korrelationskoeffizient ist dann cor(f1 , f2 ) = 1. Man sagt, dass die beiden Größen positiv korreliert
sind, wenn die eine scheinbar willkürlich nach oben oder unten fluktuiert, und es die andere
dann auch macht. Als zweites Beispiel sei der Fall zweier physikalischer Größen betrachtet, in
dem die Schwankungen der einen bei der anderen genau negativ auftreten, f1 = f1 + f und
f2 = f2 − f . Der Korrelationskoeffizient ist nun cor(f1 , f2 ) = −1. Man sagt, dass die beiden
Größen negativ korreliert sind, wenn die eine scheinbar willkürlich nach oben fluktuiert, dann
tut es die andere nach unten.
In beiden Fällen besteht aber ein Zusammenhang zwischen den beiden Größen. Lediglich im
Falle von Korrelationskoeffizienten, die in der Nähe von Null liegen, haben die beiden Größen
statistisch nichts miteinander zu tun. Der Absolutwert des Korrelationskoeffizienten gibt also
Auskunft über u.U. versteckte Zusammenhänge physikalischer Größen.
Für die turbulente Strömung können wir die Geschwindigkeitskorrelationen u v , u w , v w neben den Autokorrelationen der drei Geschwindigkeitskomponenten bestimmen.
Übung 34: Gegeben seien die zwei Geschwindigkeitsmeßreihen
u = (1.7; 2.5; 2.3; 2.6; 1.6; 2.4; 2.3; 1.9; 1.9; 2.1) und
v = (−19.2; −19.9; −19.8; −19.7; −18.9; −19.0; −19.0; −18.4; −18.6; −18.8),
wobei die Meßwerte äquidistant zu jeweils gleichen Zeitpunkten aufgenommen wurden. Kann
man zwischen den beiden Meßwerten einen Zusammenhang vermuten? Berechnen Sie den
Korrelationskoeffizienten.
6.8 Zusammenfassung
Wir haben in diesem Kapitel verschiedene Mittlungsverfahren für die hydromechanischen
Größen kennengelernt, wobei zumeist nur die gleitende zeitliche Mittlung zur Anwendung
kommt. Die Fluktuation als Abweichung vom Mittelwert weist ein Spektrum von unterschied-
Seite 145
lichen Bewegungsformen auf, deren kleinste Strukturen durch die Kolmogorovlänge bergrenzt
sind.
Um die Größe der turbulenten Schwankungen zu bestimmen, stehen die Messung im Laboroder Natursystem oder die Direkte Numerische Simulation als Methoden zur Verfügung. Beide Methoden zeigen eine Konvergenz von numerischen Simulations- und Meßergebnissen in
einfachen Situationen. Gegenüber der Messung hat die DNS den Vorteil, dass sie Datensätze
bereitstellt, die wesentlich höhere Datendichten in Raum und Zeit erzielen. So sind für sie
synoptische Datensätze eine Selbstverständlichkeit, während dem Experiment hier Grenzen
gesetzt sind.
Seite 146
Kapitel 7
Turbulenz und Impulsdiffusion
Lange Zeit nach ihrer Entdeckung ist man davon ausgegangen, daß die Navier-StokesGleichungen lediglich für laminare Strömungen gelten. Wie soll man auch mit ihnen ein Geschwindigkeitsfeld auswerten, welches sich fortwährend an jedem Ort innerhalb kürzester Zeit
chaotisch ändert? Das Phänomen der Turbulenz wurde daher allerhöchstens mit den Methoden
der deskriptiven Statistik erforscht oder einfach mißachtet.
Erst ein halbes Jahrhundert später gelang Osborne Reynolds 1895 [66] in Manchester der erforderliche mathematische Kunstgriff, wie man die Navier-Stokes-Gleichungen auch auf turbulente Strömungen anwenden konnte. Sein Erfolgsgeheimnis bestand darin, die tatsächlichen
Gegebenheiten (d.h. die Turbulenz mit ihren Fluktuationen) ernst zu nehmen und nicht das,
was hinderlich oder störend erscheint, einfach zu übersehen.
Das Ergebnis zeigt auf theoretischem Wege das, was man beobachtet, wenn man mit dem
Teelöffel in der Kaffeetasse Milch einrührt: Die so produzierte Turbulenz erzeugt eine Durchmischung der Stoffe, aber auch der Eigenschaften. In einem stofflich homogenen Fluid trägt
die Turbulenz zur Durchmischung des Impulses bei.
Der (etwas spröde) Stoff gehört heute zum Grundlagenwissen des Hydrodynamikers. Wer diesen richtig verstehen will, sollte die Ableitungen mit Bleistift und Papier selbst nachvollziehen.
7.1 Die Reynoldsmittlung
Wenn die turbulenten Schwankungen der hydrodynamischen Feldgrößen chaotisch sind, die
mittlere Strömung aber ein stabiles Verhalten zeigt, dann bietet es sich an, eigene Gesetzmäßigkeiten für die mittlere Strömung in Form von Differentialgleichungen zu suchen und diese zu
lösen. Damit ist das Programm der Reynoldsmittlung vorgegeben: Man bestimmt zunächst die
mittleren Feldgrößen und versucht aus der Mittlung der Navier-Stokes-Gleichungen Gesetze
für die gemittelte turbulente Strömung zu finden.
147
7.1. Die Reynoldsmittlung
Seite 148
7.1.1 Rechenregeln für mittlere Größen und Fluktuationen
Wir wollen uns auf die große Aufgabe der Mittlung der Grundgleichungen der Hydromechanik
zunächst durch das Aufstellen von einigen Rechenregeln zur Mittlung physikalischer Gesetze
vorbereiten.
Die Bewgungsgleichungen enthalten zeitliche und räumliche Ableitungen. Mittelt man zeitlich
oder über ein Ensemble, dann ist es egal, ob man zunächst den Mittelwert der Größe f über
das ganze Feld bestimmt und dann ableitet, oder ob man die Ausgangsgröße f zuerst ableitet
und dann mittelt:
∂f
∂f
=
∂xi
∂xi
Entsprechendes gilt auch für die zeitliche Ableitung bei der räumlichen Mittlung.
Ferner ergibt die Mittlung jeder Linearkombination von physikalischen Größen die Linearkombination der Mittelwerte:
a1 f1 + a2 f2 = a1 f1 + a2 f2
Ganz anders ist dies, wenn wir Produkte der physikalischen Größen betrachten, d.h. die Rechenregeln der Statistik für nichtlineare Terme formulieren. Für das Produkt zweier Feldgrößen f1 und f2 gilt
f1 f2 = (f1 + f1 )(f2 + f2 ) = f1 f2 + f1 f2 + f1 f2 + f1 f2
und somit:
f1 f2 = f1 f2 + f1 f2
(7.1)
Das Produkt zweier schwankender Größen besteht also aus dem Produkt ihrer Mittelwert plus
ihrer Korrelation.
Es gilt also nicht:
f1 f2 = f1 f2
Die tragischen Konsequenzen dieses Sachverhaltes werden uns den Rest dieses Kapitels
beschäftigen.
7.1.2 Die Mittlung physikalischer Gesetze
Kennt man eine physikalische Größe f (x, y, z, t) vollständig bezüglich aller ihrer in Raum
und Zeit vorliegenden Schwankungen, dann ist es ein Leichtes, die entsprechenden räumlichen oder zeitlichen Mittelwerte zu bilden. Dies ist allerdings in der Realität fast nie der Fall.
7.1. Die Reynoldsmittlung
Seite 149
Man will die Größen meistens gar nicht so genau kennen, weil man mit der entsprechenden
Informationsdichte nichts anfangen oder weil die anfallenden Datenmengen nicht speicherbar sind. Fast jede physikalische Größe läßt sich hier als Beispiel anführen: So ist kaum ein
Meteorologe an allen Temperaturschwankungen über Europa auf einem Zentimeterraster in
Sekundensprüngen interessiert, da diese Daten weder erheb- noch verarbeitbar sind.
Um aber gemittelte Daten zu erheben, muss man entweder entsprechende Messverfahren entwickeln, oder diese durch Berechnung oder Simulation gewinnen. Somit stellt sich die Frage,
ob mittlere Größen denselben physikalischen Gesetzen gehorchen, wie die in infinitesimaler
Dichte vorliegenden Größen. Zur Beantwortung dieser Frage betrachten wir ein beliebiges
Gesetz einer physikalischen Größe f der Form:
F (f ) = 0
Im ersten Schritt zerlegt man f in seinen Mittelwert und die Abweichungen davon und mittelt
das Gesetz im zweiten Schritt:
F (f + f ) = 0
Bei der Analyse dieser Gleichung können prinzipiell zwei Fälle herausgearbeitet werden:
• Das physikalische Gesetz ist in derselben Form für der Mittelwert gültig
F (f ) = 0,
es ist also mittlungsinvariant. In diesem Fall ist es egal, in welcher Auflösung man die
Welt betrachtet, da die Gesetze ihre Gültigkeit nicht verlieren.
Gilt das physikalische Gesetz sogar in derselben Form für die Schwankungen
F (f ) = 0,
dann zerfällt die Welt in zwei entkoppelte, aber prinzipiell gleichartige Teilwelten auf
unterschiedlichen Skalen.
• Ein anderes physikalisches Gesetz ist für die Mittelwerte gültig, es gilt also
F (f ) = 0
Auf unterschiedlichen Skalen sieht das Bild der Welt also anders aus.
7.3. Die Mittlung der Navier-Stokes-Gleichungen
Seite 150
7.2 Die Mittlung der Kontinuit ätsgleichung
Reynolds’ Spuren folgend sollen nun die Grundgleichungen gemittelt werden. Wir beginnen
mit der Kontinuitätsgleichung und spalten zunächst die auftretenden Größen d.h. die Komponenten des Geschwindigkeitsfeldes u i in mittlere und fluktuierende Anteile auf:
ui = ui + ui
Diese setzen wir in die Kontinuitätsgleichung ein:
∂ui
∂ui ∂ui
=
+
=0
∂xi
∂xi ∂xi
(7.2)
Nun mitteln wir die Gleichung:
∂ui ∂ui
∂ui ∂ui
+
=
+
=0
∂xi ∂xi
∂xi ∂xi
Nach den hergeleiteten Gesetzen der Mittlung fallen dabei alle schräggestrichenen Größen
wieder weg und man erhält das nicht besonders weltbewegende Ergebnis
∂ui
= 0.
∂xi
Für eine beliebige Mittlung gilt also die Kontinuitätsgleichung in derselben mathematischen
Form. Zusätzlich erhält man unmittelbar aus den beiden vorangegangenen Gleichungen eine
Kontinuitätsgleichung für die turbulenten Schwankungen in der Form:
∂ui
= 0.
∂xi
Unabhängig von der mittleren Strömung erfüllen die turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen ebenfalls die Kontinuitätsgleichung. Bezüglich der Volumenerhaltung zerfällt das
Fluid also in zwei voneinander unabhängige Welten.
7.3 Die Mittlung der Navier-Stokes-Gleichungen
Zur Mittlung der Navier-Stokes-Gleichung wird auch der Druck in mittlere und fluktuierende
Anteile zerlegt:
p = p + p
Setzen wir diesen und die zerlegte Darstellung der Geschwindigkeiten in die Navier-StokesGleichungen ein:
∂(ui + ui )
∂ (ui + ui )
1 ∂(p + p )
∂ 2 (ui + ui )
+ (uj + uj )
=−
+ν
+ fi
∂t
∂xj
∂xi
∂xj ∂xj
Dabei haben wir angenommen, dass die äußeren Kräfte fi keinen turbulenten Schwankungen
unterworfen sind.
Seite 151
7.3.1 Die Reynoldsspannungen
Auch dieses Gesetz, welches die Impulserhaltung auf der mikroskopischen Ebene darstellt,
wird nun auf beiden Seiten zeitlich gemittelt:
∂(ui + ui )
∂ (ui + ui )
1 ∂(p + p )
∂ 2 (ui + ui )
+ (uj + uj )
=−
+ν
+ fi
∂t
∂xj
∂xi
∂xj ∂xj
Die Mittlung der einzelnen Terme führt nun zum Wegfallen der fluktuierenden Geschwindigkeitskomponenten in der partiellen Zeitableitung und den viskosen Termen auf der rechten
Seite:
∂ (ui + ui )
1 ∂p
∂ 2 ui
∂ui
+ (uj + uj )
=−
+ν
+ fi
∂t
∂xj
∂xi
∂xj ∂xj
Die Mittlung der advektiven Terme auf der linken Seite wollen wir gesondert betrachten:
(uj + uj )
∂ui
∂u
∂ui
∂u
∂ui
∂u
∂ (ui + ui )
= uj
+ uj i + uj
+ uj i = uj
+ uj i
∂xj
∂xj
∂xj
∂xj
∂xj
∂xj
∂xj
Den allerletzten Term wollen wir nochmals gesondert betrachten: Ihm wollen wir eine Null in
Form der Kontinuitätsgleichung für die Geschwindigkeitsfluktuationen hinzufügen:
uj
∂uj
∂ui uj
∂ui
+ ui
=
∂xj
∂xj
∂xj
=0
Durch das Einbeziehen dieser Korrelationsterme unter die erste Ableitung der viskosen Termen erhält man schließlich die sogenannte Reynoldsgleichung:
∂ui
1 ∂p
∂
∂ui
=−
+
+ uj
∂t
∂xj
∂xi ∂xj
∂ui
ν
− ui uj + fi
∂xj
Im Vergleich zu den Navier-Stokes-Gleichungen tauchen in den Reynoldsgleichungen Terme
korrelierter fluktuierender Größen ui uj auf, die als Reynoldsspannungen bezeichnet werden.
Sie formen die symmetrische Matrix T der Reynoldsspannungen
⎛
⎞
u u u v u w ⎜
⎟
T = − ui uj = − ⎜
vv vw ⎟
⎝ vu
⎠
wu wv ww
(7.3)
die man als Reynoldsspannungstensor bezeichnet. Mit ihrer Hilfe lassen sich alle drei
Reynoldsgleichungen als
1 ∂p
∂
∂ui
∂ui
=−
+
+ uj
∂t
∂xj
∂xi ∂xj
∂ui
ν
− ui uj + fi
∂xj
(7.4)
Seite 152
schreiben.
Die in einem Fluid tatsächlich wirkenden Spannungen τ ij sind durch die Komponenten
τxx
τyy
∂v
= 2μ
∂y
τzz
∂u
= 2μ
− u u
∂x
∂w
= 2μ
∂z
τxy = τyx
− vv
τyz = τzy
∂v ∂w
+
=μ
∂z
∂y
−
ww
τzx = τxz
∂v ∂u
=μ
− u v +
∂x ∂y
− vw
∂w ∂u
+
=μ
− u w ∂x
∂z
gegeben. Man beachte das der hieraus gebildete Spannungstensor seine Symmetrieeigenschaft
nicht verloren hat.
7.3.2 Das Schließungsproblem
Im Gegensatz zu den Navier-Stokes-Gleichungen enthalten die Reynoldsgleichungen mehr
Unbekannte als Gleichungen, denn neben den Geschwindigkeiten und dem Druck sind die
Reynoldsspannungen und die Korrelationsterme von Dichte- und Druckschwankungen neu
hinzugekommen. Da diese quantitativ unbekannt sind, stellen sie weitere Lösungsvariablen
dar, wodurch das Gesamtgleichungssystem mehr Unbekannte als Gleichungen enthält und es
prinzipiell nicht mehr geschlossen lösbar ist. Ihren mathematischen Ursprung haben diese Korrelationen der fluktuierenden Anteile in den nichtlinearen advektiven Termen, während sie bei
den linearen Termen durch die Mittlung wegfallen.
Somit stellt sich das Problem, weitere Gleichungen zu gewinnen, die eine Lösung der
Reynoldsgleichungen für die mittlere Strömung ermöglichen. Dies ist die wesentliche Aufgabe der Turbulenzmodellierung, die eine quantitative Bestimmung der Reynoldsspannungen
oder zumindest deren Wirkungen auf das Strömungsgeschehen sucht. Solche Turbulenzmodelle sollen möglichst allgemeingültig, d.h. für möglichst viele Strömungen und dabei möglichst
wenige zusätzliche Differentialgleichungen enthalten.
7.3.3 Bewertung
Die Tatsache, dass turbulente Strömungen chaotisch sind, bedeutet, dass selbst wenn alle Rand- und Anfangsbedingungen zu zwei Zeiten gleich wären, sich ein und derselbe
Strömungszustand in der Natur nicht noch einmal genauso reproduzieren wird. Jede direkte
numerische Simulation liefert also einen Strömungszustand, den die Natur zwar prinzipiell
verwirklichen kann, aber so mit allerhöchster Wahrscheinlichkeit nie annehmen wird.
Der mit einer bestimmten Strömungssituation beschäftigte Ingenieur oder Naturwissenschaftler mag einem esoterisch anmutenden Strömungszustand recht wenig Verständnis entgegenbringen, den es zwar geben könnte, aber so nicht gegeben hat und niemals gibt. Vielmehr ist er
7.4. Das Prinzip der Wirbelviskosität
Seite 153
an den am wahrscheinlichsten auftretenden Strömungsverhältnissen interessiert, was nach den
Grundregeln der Statistik den mittleren Strömungen entspricht. Diese lassen sich zwar aus den
Ergebnissen einer direkten numerischen Simulation (DNS) herausmitteln. Da bei dieser Simulationsart alle in der Strömung vorhandenen turbulenten Strukturen modelliert werden, besitzt
die DNS einen entscheidenden Nachteil. Sie ist durch die hohen erforderlichen Auflösungen
(im mm-Bereich) mit einem so erheblichen Aufwand an Computerresourcen verbunden, dass
große Modellgebiete die Leistungsgrenzen heutiger Supercomputer sprengen würden.
Aus all diesen Gründen bieten sich die Reynoldsgleichungen als Ersatz für die Navier-StokesGleichungen an, um ein konzeptionelles Modell für die verschiedenen Strömungen in Natur
und Technik zu errichten. Sie modellieren genau die mittleren d.h. die am wahrscheinlichsten
auftretenden Strömungsverhältnisse. Sie erfordern zudem eine geringere Modellauflösung, da
die aufzulösenden Geschwindigkeitsgradienten in der mittleren kleiner als in der turbulenten
Strömung sind.
Das einzige Problem bei der Sache sind die Reynoldsspannungen, für die wir bisher keine
Bestimmungsgleichungen gefunden hatten. Sie beinhalten statistische Eigenschaften der turbulenten Strömungen, also versucht man, sie mit statistischen Turbulenzmodellen möglichst
gut zu beschreiben. Dieser Art von Turbulenzmodellierung in ihrer einfachsten Form wenden
wir uns nun zu.
Unbefriedigend an diesem Modus der hydrodynamisch-numerischen Simulation bleibt die
schon bewiesene Tatsache, dass exakte Bestimmungsgleichungen für die Reynoldsspannungen
nicht existieren. Dies degradiert die statistischen Turbulenzmodelle zu wenn auch sehr wichtigen Hilfsmitteln für die ingenieurwissenschaftliche Behandlung turbulenter Strömungen. Sie
erreichen aber niemals den Erkenntnisstatus von Naturgesetzen. Da sie für jede Situation gut
angepaßt werden müssen und können, erfordern sie auf der anderen Seite die Kreativität und
Fachkenntnis des Modellierers.
7.4 Das Prinzip der Wirbelviskosit ät
Das Prinzip der Wirbelviskosität (engl. eddy viscosity concept) ist der grundlegendste Schließungsansatz zur Bestimmung der turbulenten Geschwindigkeitskorrelationen. Es wurde 1877
von Boussinesq [6] vorgeschlagen und liegt den in der angewandten Hydrodynamik gebräuchlichsten Turbulenzmodellen zugrunde. Es besagt, dass die korrelierten turbulenten Fluktuationen sich auf die Strömung als Schubspannungen auswirken, die genau deshalb als Reynoldsspannungen bezeichnet werden und nach dem Stokesschen Ansatz eine volumentreue Formveränderung verursachen. Man setzt also
Seite 154
⎛
T =
⎞
∂u ∂u
+
⎜
∂x
⎜ ∂x
∂u ∂v
+
∂y ∂x
∂u ∂w
+
∂z
∂x ⎟
⎟
∂v ∂u
+
∂x ∂y
∂v ∂v
+
∂y ∂y
∂v ∂w
+
∂z
∂y
∂w ∂u
+
∂x
∂z
∂w ∂v
+
∂y
∂z
∂w ∂w
+
∂z
∂z
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
νt ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
bzw. in Komponentenschreibweise:
−ui uj = νt
∂ui ∂uj
+
∂xj
∂xi
Dabei werden wir in diesem Kapitel die Mittlungsstriche zur Kennzeichnung der mittleren
Geschwindigkeiten zur Verschönerung des Schriftbildes weglassen, u, v und w sind also die
mittleren Geschwindigkeiten.
Das Prinzip der Wirbelviskosität nimmt also an, dass die turbulenten Schwankungen proportional zu den Scherungen der mittleren Geschwindigkeiten sind. Der Proportionalitätsfaktor
νt heißt turbulente Viskosität. Sie ist ein Maß für den Turbulenzgrad in Abhängigkeit von
der Scherung des mittleren Strömungsfeldes. Umso größer die turbulente Viskosität ist, desto mehr Turbulenz wird durch eine gewisse Scherung des mittleren Geschwindigkeitsfeldes
produziert.
Aus unseren theoretischen Erwägungen können wir schließen, dass die turbulente Viskosität
auf keinen Fall konstant sein kann, sondern vom jeweiligen Strömungszustand abhängig ist.
Dies hat sich ebenfalls in unzähligen Experimenten und Naturmessungen bestätigt.
Damit liefert das Prinzip der Wirbelviskosität noch kein vollständiges, berechenbares Modell
für die Turbulenz, da das Verhalten der Wirbelviskosität unbekannt ist. Die Anzahl der Unbekannten wurde aber von den sechs Reynoldsspannungskomponenten auf eine Unbekannte
reduziert.
i
in
Übung 35: Betrachten Sie das Wirbelviskositätsprinzip einmal kritisch: Wie groß sind ∂u
∂xi
einer Laborrinne oder einem Rohr konstantem Querschnitts? Wie groß sind dann die Diagonalkomponenten des Reynoldsspannungstensors u i ui Wie groß sind nach den Ergebnissen des
letzten Kapitels dann die Geschwindigkeitsfluktuationen?
7.4.1 Die Reynoldsgleichungen mit Wirbelviskositätsprinzip
Wir setzen nun den ursprünglichen Ansatz des Wirbelviskositätsprinzips in die Reynoldsgleichungen ein, wobei hier wieder die symmetrische Form des viskosen Spannungstensors verwendet werden muss:
∂ui
∂ui
1 ∂p
∂
+ uj
=−
+
∂t
∂xj
∂xi ∂xj
Seite 155
∂ui
∂uj
∂ui
∂uj
ν
+ν
+ νt
+ νt
∂xj
∂xi
∂xj
∂xi
+ fi
Nun kann man die molekulare in die Modellierung der turbulenten Viskosität mit einbeziehen,
ν + νt wird also zu νt :
∂ui
1 ∂p
∂
∂ui
=−
+
+ uj
∂t
∂xj
∂xi ∂xj
∂ui
∂uj
νt
+ νt
∂xj
∂xi
+ fi
Nun können wir auch die Reynoldsgleichungen unter Annahme des Wirbelviskositätsprinzips
auf die Grundform realer Strömungen bringen:
Impulsbilanz in horizontaler x- und y-Richtung:
∂u
∂u
∂u
∂u
1 ∂p 1 ∂τxx 1 ∂τxy 1 ∂τxz
+u
+v
+w
+
+
=−
+
+ fx
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂x
∂y
∂z
Kraft
Advektion
Druck
turbulente Viskosität
1 ∂p 1 ∂τyx 1 ∂τyy 1 ∂τyz
∂v
∂v
∂v
∂v
=−
+
+fy
+u
+v
+w
+
+
∂t
∂x
∂y
∂z
∂y
∂x
∂y
∂z Kraft
Advektion
Druck
Impulsbilanz in vertikaler Richtung:
∂w
∂w
∂w
1 ∂p 1 ∂τzx 1 ∂τzy 1 ∂τzz
∂w
+u
+v
+w
+
+
=−
+
∂t
∂x
∂y
∂z
∂z
∂x
∂y
∂z
Advektion
Druck
Gravitation
Reynoldsspannungen nach dem Wirbelviskositätsprinzip:
τij = νt
∂ui ∂uj
+
∂xj
∂xi
Massenerhaltung:
∂u ∂v ∂w
+
+
=0
∂x ∂y
∂z
−g
(7.5)
Seite 156
bzw. in Tensorschreibweise:
1
∂u + ∇u u = − grad p + div T + f
∂t
mit folgenden Unterschieden zu den Navier-Stokes-Gleichungen:
• Die molekulare Viskosität wird durch eine turbulente Viskosität ersetzt,
• welche im allgemeinen einige Größenordnungen höher ist als die molekulare.
• Während die molekulare Viskosität eine Materialkonstante ist, hängt die turbulente Viskosität allgemein vom Strömungszustand ab, ist also örtlich und zeitlich variabel.
• Daher läßt sich die turbulente Viskosität nicht mehr vor die Ableitung ziehen. Die
Reynoldsgleichungen beinhalten somit auch direkt die örtliche Variation der Viskosität.
• Bei den Navier-Stokes-Gleichungen konnte die Anzahl der viskosen Terme durch die
Kontinuitätsgleichung auf die Hälfte reduziert werden. Bei den Reynoldsspannungen
muss die vollständige symmetrische Form des Spannungstensors berücksichtigt werden1 .
Das Schließungsproblem für die Reynoldsspannungen wird durch das Prinzip der Wirbelviskosität auf die Bestimmung von turbulenten Viskositäten reduziert, welche eine hohe Variabilität
in Raum und Zeit aufweisen. Die Aufgabe der Turbulenzmodellierung ist nun darauf reduziert, entsprechende Ansätze für die turbulente Viskosität zu finden. Solche Modelle nennt
man Schließungsmodelle 1. Ordnung, während man Modelle für die Reynoldsspannungen
als Schließungsmodelle 2. Ordnung bezeichnet.
Algebraische Turbulenzmodelle verwenden analytische Parametrisierungen zur Darstellung
der turbulenten Viskositäten. Sie lösen keine zusätzlichen Differentialgleichungen zur Bestimmung der turbulenten Viskosität. Dadurch lassen sich mit ihnen in den einfachsten Fällen sogar
die Reynoldsgleichungen analytisch lösen. In numerischen Simulationsmodellen sind sie einfach zu implementieren und erhöhen den Rechenaufwand des Computermodells nicht.
Als einfachstes ’Modell’ sei hier die Belegung der turbulenten Viskositäten mit Konstanten
genannt, die über einen Datensatz kalibriert werden. Dieses Modell wird in der Literatur als
Eddy-Viscosity-Modell bezeichnet. Es ist für die Beschreibung vieler Strömungssysteme jedoch nicht ausreichend, und sollte in dreidimensionalen Modellen auch nicht angewendet werden. Es wäre aber dann erfolgreich, wenn die Turbulenzstruktur sowohl örtlich als auch zeitlich sehr homogen ist. Das weit verbreiteste algebraische Turbulenzmodell wird im folgenden
Abschnitt vorgestellt.
1
Tatsächlich wird dies in vielen dreidimensionalen Programmsystemen nicht getan. Vor dieser falschen Vereinfachung sei an dieser Stelle ausdrücklich gewarnt !
Seite 157
Höhere Turbulenzmodelle 1. Ordnung treiben einen größeren numerischen Aufwand zur Bestimmung der Wirbelviskosität. Diese werden nach der Anzahl der zusätzlich zu lösenden Differentialgleichungen unterschieden. Eingleichungsmodelle (Zweigleichungsmodelle) lösen eine (zwei etc.) zusätzliche Differentialgleichung zur Bestimmung der turbulenten Größen. Wir
werden uns mit diesen Modellen im Kapitel 12 auseinandersetzen.
Experimentelle Bestimmung der Wirbelviskosität
Das Prinzip der Wirbelviskosität geht davon aus, dass die Wirbelviskosität an einem Ort zu
einem Zeitpunkt einen bestimmten Wert hat, unabhängig davon, wie man ihn bestimmt.
In einem Laborgerinne (mittlere Vertikalgeschwindigkeit w Null) kann man z.B. das vertikale
Geschwindigkeitsprofil der Hauptströmung u(z) und die turbulenten Korrelationen u w und
man bekommt die Wirbelviskosität als
u w νt = − ∂u
∂z
Genauso sollte man aber auch das laterale Geschwindigkeitsprofil heranziehen können, um die
Wirbelviskosität zu bestimmen. Das Wirbelviskositätsprinzip geht nun eigentlich davon aus,
dass die Wirbelviskositäten dann für einen bestimmten Ort unabhängig von den verwendeten
Bestimmungskorrelationen sind.
Übung 36: Bestimmen Sie das Profil der Wirbelviskosität aus dem vertikalen Geschwindigkeitsprofil Ihrer experimentellen Ergebnisse in dem Laborgerinne aus Kapitel 6.
7.4.2 Das erweiterte Wirbelviskositätsprinzip
Der ursprünglich von Boussinesq vorgeschlagene Ansatz muss allerdings noch erweitert werden, denn für die Summe der Diagonalspannungen sollte man ursprünglich
Txx + Tyy + Tzz = −
u 2 + v 2 + w 2 = −2 k
erhalten, wobei mit k = 12 u 2 + v 2 + w 2 wieder die turbulente kinetische Energie bezeichnet wird. Im Ansatz von Boussinesq verschwindet die Summe der Diagonalspannungen jedoch
fälschlicherweise:
Txx + Tyy + Tzz = 2 νt
∂u ∂v ∂w
+
+
∂x ∂y
∂z
=0
Der erweiterte Boussinesq-Ansatz für das Prinzip der Wirbelviskosität in der Form
7.5. Das Mischungswegmodell
Seite 158
⎛
∂u ∂u
+
⎜
∂x
⎜ ∂x
T =
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
νt ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
∂u ∂v
+
∂y ∂x
∂u ∂w
+
∂z
∂x ⎟
⎟
∂v ∂u
+
∂x ∂y
∂v ∂v
+
∂y ∂y
∂v ∂w
+
∂z
∂y
∂w ∂u
+
∂x
∂z
∂w ∂v
+
∂y
∂z
∂w ∂w
+
∂z
∂z
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎞
k 0 0
⎟
2⎜
⎜ 0 k 0 ⎟
⎝
⎠
3
0 0 k
führt zu dem gewünschten Ergebnis. In Komponentenschreibweise lautet dieser
−ui uj = νt
∂ui ∂uj
+
∂xj
∂xi
2
− kδij
3
wobei δij das Kroneckersymbol ist, welches für i = j eins und ansonsten Null ist.
Dieser erweiterte Ansatz entspricht genau dem ursprünglichen Wirbelviskositätsprinzip. Dies
erkennt man dann, wenn man die TKE durch ihre Definitionsgleichung ersetzt. Man bekommt
dann ein lineares Gleichungssystem für die Diagonalkomponenten des Reynoldsspannungstensors, welches man als
⎛
⎞
⎞ ⎛ ∂u ⎞
∂x ⎟
∂v ⎟
⎟
∂y ⎠
⎛
u u
−1 2
2
⎜
⎟
⎜
⎟⎜
2
⎜ v v ⎟ = νt ⎜ 2 −1 2 ⎟ ⎜
⎝
⎠
⎠⎜
⎝
3 ⎝
2
2 −1
ww
∂w
∂z
auflösen kann. Schreibt man hier die einzelnen Gleichungen aus, so bekommt man unter
Berücksichtigung der Kontinuitätsgleichung den ursprünglichen Ansatz für die Wirbelviskosität.
7.5 Das Mischungswegmodell
Um die Reynoldsgleichungen für die mittlere Strömung zu lösen, ist immer noch die Größe
der Wirbelviskosität νt sowie deren räumliches und zeitliches Verhalten zu bestimmen. Einer
der frühestens Ansätze hierzu wurde 1925 von Prandtl [63], [54] veröffentlicht. Inspiriert ist
dieser von der Kinetik idealer Gase, in der die Viskosität sich als das Produkt von mittlerer
freier Weglänge lm und Geschwindigkeitsschwankung u ergibt:
νt
u lm
Wird ein Wasserteilchen durch eine Geschwindigkeitsfluktuation von z 0 nach z0 + lm ausgelenkt, so erhält es in x-Richtung eine zusätzliche Geschwindigkeit u , die gegeben ist durch:
7.6. Die Trennungsschicht
Seite 159
u = u(z0 + lm ) − u(z0 )
Damit wäre die Wirbelviskosität in der Form
νt =
2
lm
lm
∂u
∂z
∂u ∂z darstellbar. Dabei wurde der Betrag gebildet, damit die Viskosität positiv bleibt.
Bei beliebigen Geschwindigkeitsgradienten kann man die turbulente Viskosität ν t in der Form
νt =
⎡ 2
∂u
2 ⎣
l 2
m
∂x
+
∂v ∂u
+
∂x ∂y
∂v
+2
∂y
2
+
2
∂w
+2
∂z
∂w ∂u
+
∂x
∂z
2
2
+
2 ⎤1/2
∂v ⎦
(7.6)
∂w
+
∂y
∂z
ansetzen. Sie ist also proportional dem Betrag der Scherung des Geschwindigkeitsfeldes.
Der Mischungswegansatz berücksichtigt die uns nun schon bekannte Tatsache, dass der Grad
der Turbulenz umso höher ist, desto größer die Scherung des Geschwindigkeitsfeldes ist. Der
Proportionalitätsfaktor lm heißt dabei Mischungsweg, da er die Einheit einer Länge hat.
Um dieses algebraische Turbulenzmodell zu schließen, benötigen wir noch Ansätze für den
Mischungsweg, die z.B. aus den turbulenten Eigenschaften bekannter Strömungen gewonnen
werden können.
Übung 37: Eine in x-Richtung orientierte, zwischen zwei bei y = +B und y = −B befindlichen Platten stattfindende stationäre Strömung werde das mittlere Geschwindigkeitsprofil
u(y) = umax cos
πy
2B
ausgemessen. Bestimmen Sie das Mischungswegprofil,
1. wenn der Druck in x-Richtung konstant ist.
2. wenn der Druckgradient in x-Richtung konstant ist.
7.6 Die Trennungsschicht
In vielen Situationen treffen zwei Schichten desselben Fluids mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten aufeinander. Hier findet dann eine Durchmischung des Impulses statt, bis beide
Fluidschichten im Unterstrombereich dieselbe Geschwindigkeit aufweisen und nicht mehr
voneinander unterscheidbar sind.
Seite 160
u
u
y
d(x)
x
lu
lu
Abbildung 7.1: Bezeichnungen für die Trennungsschicht. Nach [72].
Der Bereich, in dem die Geschwindigkeit von der des einen Fluids auf die des anderen Fluids
übergeht, bezeichnet man dabei als Trennungsschicht; besser wäre hier sicherlich die Bezeichnung Durchmischungsschicht. Die Dicke dieser Schicht ist am Auftreffpunkt der beiden Fluide
natürlich Null, da man hier einen unsteten Übergang von der einen auf die andere
Mischungswegansätze wurden für eine Vielzahl von paradigmatischen Situationen aufgestellt.
Wir wollen hier als Beispiel die Ergebnisse für die sogenannte Trennungsschicht diskutieren.
Sie besteht aus zwei Parallelströmungen, die am Ort x = 0 plötzlich aufeinander treffen.
Für die Trennschicht exisitieren analytische Näherungslösungen aus der Grenzschichttheorie
[72], [85], die man auf einen sie beschreibenden Mischungswegansatz hin analysieren kann.
Das Ergebnis ist zweiteilig. Zum einen nimmt die Dicke der Mischungsschicht, d.h. der durch
das Aufeinandertreffen beeinflußte Raum stromab immer weiter zu:
δ(x) = 0.247x
7.6.1 Der Mischungswegansatz für die Trennungsschicht
Zum anderen ist der Mischungsweg proportional zur Dicke der Trennungsschicht, es gilt:
lm (x) = 0.071δ(x)
Der Mischungswegansatz für die Trennungsschicht ist natürlich nur für eine solche Strömung
gültig. Mit ihm kann man also kein allgemeines numerisches Modell füttern, welches die
Reynoldsgleichungen für beliebige Strömungskonfigurationen löst. Hier würde man gerne
einen allgemeinen Ansatz für den Mischungsweg haben, der für alle Strömungen gültig ist.
Seite 161
Abbildung 7.2: Lösung der Impulsgleichung in x-Richtung für die Trennungsschicht in MATLAB.
Ein solcher existiert aber nicht, so dass man im allgemeinen Fall auf komplexere Turbulenzmodelle ausweichen muss.
Wir werden in den folgenden Kapiteln aber Mischungswegansätze für die für uns wichtigen
Strömungen in Fließgewässern und in Rohren kennenlernen.
7.6.2 Stationäre Simulation der Trenungsschicht mit MATLAB
Wir wollen die Reynoldsgleichung in x-Richtung lösen, um die Impulsdiffusion in der Trennungsschicht zu studieren. Diese lautet unter den Annahmen, dass
• die Strömung stationär ist,
• keine Druckveränderung im Simulationsgebiet zu verzeichnen ist, und
• die v- und w-Geschwindigkeiten Null sind,
• die erste Ableitung der Hauptströmungsgeschwindigkeit in x-Richtung vernachlässigbar
ist,
−div νt grad u = 0
Im pde-Tool von MATLAB findet man die Grundform einer elliptischen Differentialgleichung
Seite 162
−div c grad u + au = f
in der Funktion ’assempde’ gelöst. Damit bietet sich der folgende Lösungsweg an:
1. Man erzeuge mit dem pdetool eine Geometie, die sich aus zwei Rechtecken für den oberen Halbraum y > 0 und den unteren Halbraum y < 0 zusammensetzt. Diese Geomtrie
wird in einem M-File exportiert.
2. Man erzeuge mit dem pdetool Randwerte: Am Einstromrand werde im oberen Halbraum
die größere und im unteren Halbraumdie kleinere Geschwindigkeit als Dirichletsche
Randbedingung vorgegeben. An allen anderen Rändern werden homogene NeumannRandbedingungen angesetzt. Diese Randbedingungen werden in einen M-File exportiert.
3. Man schreibe einen M-File, welcher die Geometriedaten einliest, das Gitter generiert
und verfeinert, die Konstanten a, b und c zuweist, das Problem mit assempde löst und
das Ergebnis plottet.
Dieser M-File hat den unkommentierten Inhalt:
[p,e,t]=initmesh(’trennungsschicht_geom’);
[p,e,t]=refinemesh(’trennungsschicht_geom’,p,e,t);
x=p(1,:)’; y=p(2,:)’;
xt=pdeintrp(p,t,x);
c=ones(1,size(t,2))*0.000001;
f=zeros(1,size(t,2));
lm=0.247*0.071*xt;
for i=1:3;
uvel=assempde(’trennungsschicht_bc’,p,e,t,c,a,f);
[dudx,dudy]=pdegrad(p,t,uvel);
c=c./2+lm.*lm.*abs(dudx)./2;
end
pdeplot(p,e,t,’xydata’,uvel,’zdata’,uvel,...
’colorbar’,’on’,’zstyle’,’off’,’contour’,’on’);
Übung 38:
R
.
1. Schreiben Sie diesen Code in einen M-File und starten Sie diesen in MATLAB
2. Schreiben Sie zu jeder Codezeile eine Kommentarzeile, in der Sie erklären, was diese
macht.
Seite 163
3. Verfeinern Sie das Gitter noch zweimal.
4. Führen Sie noch mehr Iterationen zwischen Geschwindigkeitslösung und Wirbelviskositätsberechnung aus. Wann konvergiert das Verfahren?
7.6.3 Numerische Lösung der Reynoldsgleichungen
Um die Trennungsschicht mit den zweidimensionalen Reynoldsgleichungen zu simulieren,
schreiben wir die Impulsgleichungen in der Lagrangeschen Form. Die Kontinuitätsgleichung
wird durch die Druck-Poisson-Gleichung berücksichtigt:
Du
1 ∂p
∂
∂u
∂u
∂
=−
+
νt
+
νt
Dt
∂x ∂x
∂x
∂y
∂y
Dv
∂v
∂v
∂
1 ∂p
∂
νt
+
νt
=−
+
Dt
∂y ∂x
∂x
∂y
∂y
∂2p ∂2p
+
=
∂x2 ∂y 2
∂u
∂
∂v
∂
∂u
∂v
∂fx ∂fy
u
−
u
+
−
+v
+v
∂x
∂y
∂x
∂x
∂y
∂y
∂x
∂y
Die Lagrangesche Formulierung wird durch das Lagrangeverfahren für die Advektion gelöst.
Da die Lagrangeableitung die Änderung auf einer Bahnlinie beschreibt, wird die Zeitableitung
durch den Wert zum neuen Zeitpunkt u abzüglich dem Wert an dem das Partikel gestartet
ist ub dividiert durch den Zeitschritt gebildet. Für weitere Details, wie die Berechnung des
Startpunkts einer Bahnlinie, der Basis und der Berechnung der Strömungsgeschwindigkeit am
Basispunkt sei auf die weiterführende Literatur in [50] verwiesen.
Die x-Impulsgleichung lautet in dieser Formulierung:
∂
1 ∂p
∂
∂u
∂u
u − ub
νt
+
νt
=−
+
Δt
∂x ∂x
∂x
∂y
∂y
Auch diese Differentialgleichung kann mit dem MATLAB-Gleichungslöser für elliptische Differentialgleichungen assempde gelöst werden. Um dies deutlicher zu sehen, schreiben wir die
Gleichung in Operatorschreibweise:
ub
1 ∂p
u
− div νt grad u = −
+
Δt
∂x Δt
Übung 39: Der dazugehörige Programmcode enthält zwei Lücken, die Sie nun ergänzen
können sollten:
Seite 164
clear all;
geom_file =’trennungsschicht_geom’;
pressure_file =’trennungsschicht_p_bc’;
u_file
=’trennungsschicht_u_bc’;
v_file
=’trennungsschicht_v_bc’;
visc=1e-3; % num visc. ˜0.4e-4
rho=1000;
% mesh generation
[p,e,t]=initmesh(geom_file);
x=p(1,:)’; y=p(2,:)’;
TRI=delaunayTri(x,y);
% Time step ˜ visc
dt=0.01; % 0.1 wird instabil
a=ones(1,size(t,2))/dt;
% Initial Velocities on nodes
veln=zeros(size(p,2),2);
veln(:,1)=(2+sign(y));
% Mixing length fuer die Trennungsschicht
lm=0.247*0.071*pdeintrp(p,t,x);
nut=visc*ones(1,size(t,2));
%
for i=1:100
i
press=druck_poisson(pressure_file,p,e,t,veln(:,1),veln(:,2),rho);
% pressure gradient on centers of triangles
[dpdx,dpdy]=pdegrad(p,t,press);
% Lagrange Formulierung der Advektion
ub=lagrange_advection...
(veln(:,1),veln(:,1),veln(:,2),x,y,dt,TRI);
vb=lagrange_advection...
(veln(:,2),veln(:,1),veln(:,2),x,y,dt,TRI);
% parabolic Navier-Stokes-equations
f(1,:)=-1/rho*dpdx+pdeintrp(p,t,ub)/dt;
Seite 165
f(2,:)=-1/rho*dpdy+pdeintrp(p,t,vb)/dt;
% Calculation of turbulent viscosity
[dudx,dudy]=pdegrad(p,t,(veln(:,1)));
[dvdx,dvdy]=pdegrad(p,t,(veln(:,2)));
nut=0.9*nut+0.1*lm.ˆ2.*sqrt(2*dudx.ˆ2+2*dvdy.ˆ2+(dudy+dvdx).ˆ2);
uneu=assempde...
vneu=assempde...
veln(:,1)=uneu(:,end);
veln(:,2)=vneu(:,end);
end
plotval=uneu; % plotting the pressure
% Axis minimum and maximum values
xmin=min(x);xmax=max(x);ymin=min(y);ymax=max(y);
umax=max(plotval); umin=min(plotval);
figure
pdeplot(p,e,t,’xydata’,plotval,’zdata’,plotval,’mesh’,’off’,...
’xygrid’,’off’,’colorbar’,’on’,’zstyle’,’off’,’contour’,’on’);
axis([xmin xmax ymin ymax]);
hold on;
quiver(x,y,veln(:,1),veln(:,2),1);
hold off
figure
pdeplot(p,e,t,’xydata’,nut,’zdata’,nut,’mesh’,’off’,’xygrid’,’off’,...
’colorbar’,’on’,’zstyle’,’off’,’contour’,’on’);
Der Programmcode fordert zunächst erst einmal dazu auf, mit dem pdetool eine Geometriedatei und drei Randwertdateien für den Druck und die beiden Geschwindigkeiten zu konstruieren. Dann werden Konstantwerte definiert und das Gitter konstruiert. Ebenfalls wird dieses
durch eine Delauney-Triangulation angelegt, da dieses Objekt zur einfacheren Programmierung des Lagrangeverfahrens benötigt wird. Nach dem Zeitschritt werden die erforderlichen
Anfangswerte für die Geschwindigkeiten und die turbulente Viskosität belegt.
In der Zeitschleife werden zunächst die Druck-Poisson-Gleichung gelöst, dann die Geschwindigkeiten auf den Basispunkten der Bahnlinien bestimmt. Hieru dient die folgende, unkommentierte Funktion:
function cb=lagrange_advection(c,u,v,x,y,dt,TRI)
Seite 166
10
3
8
2.8
6
2.6
4
2.4
2
2.2
0
2
−2
1.8
−4
1.6
−6
1.4
−8
1.2
−10
0
2
4
6
8
10
1
Abbildung 7.3: Lösung der Reynoldsgleichungen: Farbig wieder die x-Geschwindigkeit, auerdem sind die Geschwindigkeitsvektoren dargestellt.
% Solves the equation
% dc/dt + u dc/dx + v dc/dy = 0
% 1. Base points
xb=x-u*dt;
yb=y-v*dt;
% 2. Interpolation
F=TriScatteredInterp(TRI,c);
F_boundary=TriScatteredInterp(TRI,c,’nearest’);
cb=zeros(size(xb));
for i=1:size(xb)
cb(i)=F(xb(i),yb(i));
if isnan(cb(i))
cb(i)=F_boundary(xb(i),yb(i));
end
end
end
Schließlich werden im Hauptprogramm die neuen Geschwindigkeiten mit der assempdeFunktion für elliptische Differentialgleichungen bestimmt.
Das Simulationsergebnis in Abbildung 7.3 sieht zunächst einmal anders aus als die vereinfachte stationäre Lösung. Sie ist nicht symmetrisch, d. h. die untere Seite mit der kleineren
Geschwindigkeit weist eine schnellere Aufweitung der Trennungsschicht auf. Dies ist auch zu
Seite 167
erwarten, da hier ja weniger schnell ’frische’ Geschwindigkeit von links nachgeschoben wird.
7.7 Zusammenfassung
Turbulenzen sind räumliche und zeitliche Irregularitäten in der mittleren Strömung. Turbulenz ist keine eigenständige Bewegungsform und keine Materialeigenschaft. Turbulenz setzt
Strömungsenergie in Wärmeenergie um und hat damit ihre Ursache im zweiten Hauptsatz der
Thermodynamik.
Die Dynamik der mittleren Strömung wird durch die Reynoldsgleichungen beschrieben, die
aus den Bewegungsgleichungen realer Fluide mit den inneren Spannungen
∂ui ∂uj
+
τij = μ
∂xj
∂xi
− ui uj
bestehen. Diese sind allerdings nicht geschlossen lösbar, weil in ihnen Korrelationen der Geschwindigkeitsfluktuationen auftauchen, welche als Reynoldsspannungen bezeichnet werden.
Zwar lassen sich für sie wiederum dynamische Gleichungen herleiten, aber diese enthalten
neue unbekannte Korrelationen höherer Ordnung. Somit ist mit den Reynoldsgleichungen ein
theoretisch unlösbares Schließungsproblem verbunden. Will man die mittlere Strömung dennoch mit Hilfe der Reynoldsgleichungen simulieren, ist man auf Schließungen mit stochastischen Turbulenzmodellen angewiesen.
Die Reynoldsspannungen kann man nach dem Wirbelviskositätsprinzip als als zusätzliche Viskosität verstehen. Hierdurch wird die Stoffeigenschaft molekulare Viskosität zu einer von Ort
und Zeit abhängigen unbekannten Größe, der turbulenten Viskosität, die weiter zu spezifizieren ist.
Der einfachste Ansatz für die turbulente Viskosität ist der Mischungswegansatz. Er macht sich
die Tatsache zu Nutze, dass der Grad der Turbulenz direkt an jeder Wand Null ist und mit
zunehmendem Abstand von ihr steigt.
Seite 168
Navier-Stokes-Gleichungen
Reynoldsgleichungen mit Wirbelviskositätsprinzip
modellieren turbulente Geschwindigkeit modellieren gemittelte Geschwindigkeit
Molekulare Viskosität ν
Turbulente Viskositätν t
2
∂ui
∂ ui
∂
Viskose Terme: ν
Viskose Terme:
νt
∂xj ∂xj
∂xj
∂xj
mittlere Geschwindigkeiten
0.15
0.1
0.1
mittlere Geschwindigkeit [m/s]
Geschwindigkeit [m/s]
Originalzeitreihe
0.15
0.05
0
−0.05
−0.1
0.05
0
−0.05
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Zeit [s]
3
3.5
4
4.5
5
−0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Zeit [s]
Tabelle 7.1: Zu den wichtigsten Unterschieden zwischen Navier-Stokes- und Reynoldsgleichungen mit Wirbelviskositätsprinzip.
Kapitel 8
Die wandnahe Strömung
Die meisten Strömungen sind an irgendeiner Stelle durch feste Berandungen begrenzt; bei
Oberflächengewässern ist dies der anstehende Boden, bei Rohrströmungen die Bewandung.
Solche festen Berandungen weisen der mittleren Strömung die Richtung, bremsen diese aber
auch, da die Strömungsgeschwindigkeit direkt an der Wand Null ist. Zwischen der Wand und
der ungestörten Strömung bildet sich eine Grenzschicht aus, in der die Strömungsgeschwindigkeit vom Wert Null auf ihren ungestörten Wert ansteigt. Diese Einteilung des Strömungsgebietes in Grenzschichten und ungestörte Bereiche ist von Ludwig Prandtl zu einem allgemeinen
Konzept erhoben worden.
Die wandnahe Strömung kann als Spezialfall einer Trennungsschicht angesehen werden, bei
der der obere, fluidgefüllte Halbraum fortwährend Impuls abgibt, der untere Halbraum, d. h.
der Festkörper aber keinen Impuls aufnimmt.
Ziel dieses Kapitels ist es, die Strukturen der Strömung in der wandnahen Grenzschicht kennenzulernen. Außerdem wollen wir die Kräfte auf die Grenzfläche bestimmen, sowie den Energieverlust, den die Strömung durch die Grenzschichtausbildung erfährt.
8.1 Die Stokessche Wandhaftbedingung
Betrachtet man das Strömungsgeschehen an einer Wand auf der mikroskopischen Ebene,
so existiert direkt am Randmaterial eine manchmal nur wenige Moleküldurchmesser dicke
Schicht von Haftwasser. Falls das Randmaterial nicht selbst durch die Strömung in Bewegung
versetzt wird (wie das bei Sedimentböden der Fall sein kann), sind hier also alle Geschwindigkeitskomponenten Null:
uW = 0
(8.1)
Aus denselben Gründen sind auch die turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen und die
mittlere Geschwindigkeit an geschlossenen Rändern Null:
169
8.2. Die Wandschubspannung
Seite 170
uW = 0 und uW = 0
Die Stokessche Wandhaftbedingung ist somit die Randbedingung, die die Lösungen der Erhaltungsgleichungen erfüllen sollten.
Versucht man nun, Lösungen für die Eulergleichungen zu finden, die an einer Wand die
Strömungsgeschwindigkeit Null annimmt, so wird man feststellen, daß diese dann im ganzen Gebiet Null sind: Es gibt keine von Null verschiedenen Lösungen der Eulergleichungen,
die die Stokessche Randbedingung erfüllen. Dies ist ein Hinweis darauf, daß an der Wand
der Effekt der inneren Reibung nicht vernachlässigt werden kann. Wir werden also im folgenden Lösungen für die Navier-Stokes- und die Reynoldsgleichungen suchen, die die Stokessche
Wandhaftbedingung erfüllen.
In der Theorie partieller Differentialgleichungen bezeichnet man eine Randbedingung, bei der
die gesuchte Variable selbst in Form ihres Wertes bekannt sein muss, als Dirichletsche Randbedingung. Soll die gesuchte Variable am Rand Null sein, so spricht man von einer homogenen Dirichletschen Randbedingung. Die Strömungsgeschwindigkeit muss an einer Wand also
eine homogene Dirichletsche Randbedingung erfüllen.
8.2 Die Wandschubspannung
Wir wollen zudem die durch die inneren Spannungen im Fluid auf die Bewandung wirkenden Kräfte bestimmen. Dazu ist die Projektion des Tensors der inneren Spannungen auf die
Wandnormale zu bestimmen:
τW = −P nW
(8.2)
Man bezeichnet diese neuer Größe als Wandschubspannung.
Übung 40: In dem (dimensionslosen) Geschwindigkeitsfeld
⎛
⎞
x2 − 25
⎜
⎟
⎟
u = ⎜
xy − 5y
⎝
⎠
2
2
xz + x − 5z − 5
ist eine Fläche verborgen, auf der die Stokessche Wandhaftbedingung zu gelten scheint.
1. Wo liegt diese Fläche?
2. Geben Sie einen Normaleneinheitsvektor auf dieser Fläche an.
3. Bestimmen Sie den Vektor der Wandschubspannung am Ort (5, 4, 3) t .
8.3. Die Grenzschichtentwicklung über einer glatten Fläche
Seite 171
8.3 Die Grenzschichtentwicklung über einer glatten Fl äche
Um das Geschwindigkeitsfeld in der Grenzschicht zu bestimmen gehen wir von einer glatten
Wandfläche aus. Dieser Spezialfall ist aus dreierlei Gründen extrem wichtig:
• Eine glatte Wand ist experimentell recht einfach durch Berandungen z. B. aus Plexiglas zu realisieren. Deshalb liegen zur Grenzschichtströmung an der glatten Wand viele
empirische Ergebnisse vor.
• Noch einfacher ist eine glatte Wand in numerischen Modellen zu realisieren. Damit besteht die Möglichkeit, die Ergebnisse der direkten numerischen Simulationen mit den
Experimenten zu vergleichen.
• Schließlich stellt die glatte Wand auch in der Theorie den einfachsten Fall dar, da Wandunebenheiten nicht berücksichtigt werden müssen.
8.3.1 Die homogene laminare Grenzschichtströmung
Wir beginnen mit der Untersuchung des Geschwindigkeitsfeldes bei laminaren Strömungsverhältnissen. In der Literatur zur wandnahen Strömung hat sich eine Wahl der Koordinatenachsen eingeschlichen, die deutlich machen soll, daß die Vertikale z mit denen mit ihr
verbundenen Gravitationseffekten nicht im Vordergrund des Interesses steht. Die Wand wird
daher durch die Ebene y = 0 beschrieben, ist also eine in der Vertikalen liegende Wand.
Die Hauptstromrichtung liegt wie immer in x-Richtung, die Hauptströmungsgeschwindigkeit
wird durch u bezeichnet. Von dieser nehmen wir an, daß sie sich nur mit dem Wandabstand
= ∂u
= 0), sie also in x-Richtung homogen und stationär ist. Ferner sollen keine
ändert ( ∂u
∂x
∂z
Geschwindigkeiten senkrecht zur Hauptströmungsrichtung existieren (v = w = 0) und der
Druckgradient verschwinden. Von der Navier-Stokes-Gleichung
∂u
∂u
∂u
1 ∂p
∂2u
∂2u
∂2u
∂u
+u
+v
+w
=−
+ ν 2 + ν 2 + ν 2 + fx
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂x
∂y
∂z
verbleibt dann nur noch:
ν
∂2u
=0
∂y 2
Dies ist die einfachste Differentialgleichung zweiter Ordnung, man bezeichnet sie als eine
homogene Differentialgleichung, da die rechte Seite Null ist, die Gleichung also nur Terme
mit Ableitungen enthält. Sie hat die allgemeine Lösung
u(y) = c1 y + c2
Seite 172
mit den Unbekannten c1 und c2 . Diese stellen Freiheitsgrade dar, die Lösung so zu formen,
daß sie für das gegebene spezielle Problem paßt. Man benötigt also Zusatzbedingungen, die
die Lösung einer Differentialgleichung erfüllen muss. Diese mathematischen Randbedingungen gewinnt man aus den physikalischen Gesetzen der Grenzfläche. Auf der mathematischen
Seite garantieren Randbedingungen, daß die zu lösenden Differentialgleichungssysteme im
Idealfall genau eine Lösung für jede physikalische Größe besitzen. Ohne Randbedingungen
besitzen die Differentialgleichungen der mathematischen Physik meist unendlich viele Lösungen. Das ist auch gut so, denn ansonsten wären sie nicht in der Lage, die Vielfalt in der Natur
zu beschreiben.
Die Randbedingung an der Wand ist die Stokessche Wandhaftbedingung, sie wird dann erfüllt,
wenn die Lösung die Form
u(y) =
u2∗
y
ν
hat. Nach dieser Lösung wird die Strömungsgeschwindigkeit an der Wand bei y = 0 Null und
steigt dann linear mit dem Abstand y von der Wand.
2
Die Wahl des Proportionalitätsfaktors ist prinzipiell beliebig, hier wird er als uν∗ angesetzt. Er
ist ganz offensichtlich ein Maß für die Wandschubspannung, die unter den eingangs genannten
Voraussetzungen
⎛
τW =
⎜
⎜
⎜
⎜
ν⎜
⎜
⎜
⎝
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂y
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎞
u2∗
⎜
⎟
⎟
=⎜
⎝ 0 ⎠
0
bzw. τW = u2∗
ist. Auf Grund dieses Zusammenhanges bezeichnet man die Größe u ∗ auch als Schubspannungsgeschwindigkeit. Obwohl der Name dazu verführt, darf die Schubspannungsgeschwindigkeit keinesfalls mit einer Strömungsgeschwindigkeit identifiziert werden, sie ist lediglich
ein Maß für die Schubspannung mit einer anderen physikalischen Einheit.
8.3.2 Die Entwicklung der laminaren Grenzschicht
Das bisherige konzeptionelle Modell der Wandgrenzschichtströmung, bei dem von den NavierStokes-Gleichungen nur noch ein Term übrig bleibt, kann deshalb nicht realistisch sein, weil
der Einfluß der Wand unendlich weit zu spüren ist. Dies ist tatsächlich allerdings erst nach
einer unendlichen wandparallelen Strömungslänge der Fall.
Wir wollen daher die Entwicklung der Grenzschicht an einer angeströmten unendlich dünnen
Wand analysieren. Am Anströmpunkt bei x = 0 hat sich noch keine Grenzschicht ausgebildet,
danach verändert sich die Grenzschicht im weiteren Verlauf der Strömung fortwährend. Man
Vorderkante
Seite 173
Übergangsbereich
laminar
turbulent
8
V
Grenzschicht
d
Grenzschicht-Dicke
laminare Unterschicht
x
x
krit
Abbildung 8.1: Zonen der Grenzschichtentwicklung.
u¥
u¥
y
(x)
ux(x,y)
x
l
Abbildung 8.2: Zur Entwicklung der Grenzschichtdicke.
(l)
Seite 174
darf hier also die longitudinalen Geschwindigkeitsgradienten nicht mehr vernachlässigen. Und
wenn sich die Hauptströmung u in x-Richtung ändert, ist ebenfalls mit einer Änderung der
wandnormalen Geschwindigkeit v in wandnormaler Richtung y zu rechnen, diese ist also nicht
mehr Null. Die Navier-Stokes-Gleichungen vereinfachen sich nun nicht mehr so erheblich:
u
∂u
1 ∂p
∂2u
∂2u
∂u
+v
=−
+ν 2 +ν 2
∂x
∂y
∂x
∂x
∂y
∂v
∂2v
∂v
1 ∂p
∂2v
+v
=−
+ν 2 +ν 2
∂x
∂y
∂y
∂x
∂y
∂u ∂v
+
=0
∂x ∂y
Die Zeitableitung wurde weggelassen, weil man im Anströmbereich noch von einer stationären
laminaren Strömung ausgehen kann, da die Grenzschicht hier noch sehr dünn ist.
Trotz der schon beträchtlichen Komplexität konnte dieses mathematische Problem unter
Einführung gewisser Vereinfachungen von H. Blasius 1908 in Göttingen analytisch gelöst
werden: In der x-Impulsgleichung in Strömungsrichtung ist die zweite Ableitung der Hauptströmungsgeschwindigkeit u senkrecht zur Wand sicherlich wesentlich größer als längs zur
2
2
Wand, d.h. ∂∂xu2 << ∂∂yu2 , womit man ersteren Term gegenüber zweiteren vernachlässigen kann.
In der zweiten Gleichung kann man den Druckterm vernachlässigen. Die Begründung liegt in
der Kleinheit der Transversalkomponente v der Geschwindigkeit und deren Ableitungen, so
∂p
<<
daß alle Terme in der zweiten Gleichung recht klein und damit für die Druckableitung ∂y
∂p
gelten sollte. Damit wird der Druck einzig eine Funktion der Hauptströmungsrichtung x und
∂x
die partielle geht in eine totale Ableitung über. Die Unabhängigkeit des Druckgradienten vom
Wandabstand y bedeutet, daß man diesen auch aus den Druckverhältnissen in der ungestörten
Außenschicht berechnen kann. Dort liegen ideale, rotationsfreie Strömungsverhältnisse vor,
womit die Bernoulligleichung gültig wird:
u
p(x) +
u2∞
= const.
2
⇒
u∞
1 ∂p
∂u∞
=−
∂x
∂x
In der letzten Konsequenz bedeutet dies, daß im Falle einer homogenen Außenströmung die
Druckableitung und so auch der Druck als Unbekannte aus dem Ausgangsproblem entfleucht.
Von diesem brauchen wir nur noch die zwei Gleichungen
u
∂u
∂2u
∂u
+v
=ν 2
∂x
∂y
∂y
∂u ∂v
+
=0
∂x ∂y
für die beiden unbekannten Geschwindigkeiten u und v zu lösen. Unter Zuhilfenahme von
Dimensionsbetrachtungen hat Blasius die folgende Lösung für die Kontinuitätsgleichung aufgestellt:
u(ξ) = u∞ f (ξ) und
v(ξ) =
1
2
Seite 175
νu∞
u∞
(ξf (ξ) − f (ξ)) mit ξ = y
x
νx
Setzt man diese Vorlösung in die Impulsgleichung ein, dann verbleibt als Bedingung für die
noch zu bestimmende Funktion f :
f f + 2f = 0
Diese gewöhnliche Differentialgleichung dritter Ordnung benötigt drei Randbedingungen zur
Konstruktion einer eindeutigen Lösung. Damit die Strömungsgeschwindigkeit an der Wand
Null ist, muss f (0) = f (0) = 0 sein und damit im Außenbereich u(y → ∞) = u ∞ wird,
sollte f (∞) = 1 gelten. Die Lösung ist allerdings nicht analytisch, sondern nur numerisch zu
gewinnen. Sie hat für kleine ξ die Gestalt
f (ξ)
1 2
αξ
2
mit α = 0.332
womit das Geschwindigkeitsfeld die Form
u(x, y)
u3∞
0.332y
νx
und v(x, y)
α 2 u3∞
y
4
νx3
bekommt. Die Lösung kann in verschiedener Form ausgewertet werden. Wir wollen zunächst
die Entwicklung der Wandschubspannung verfolgen. Laut Definition ist diese:
∂u
= 0.332
τW (x) = lim ν
y→0
∂y
νu3∞
x
bzw. u∗ =
0.332
νu3∞
x
(8.3)
Alle anderen Komponenten des Wandschubspannungsvektors sind Null. Die Wandschubspannung nimmt also mit zunehmender Lauflänge x ab. Dies liegt daran, daß dabei auch die Ausdehnung der Grenzschicht über immer weitere Flüssigkeitsschichten erfolgt.
Um diese Ausdehnung zu beschreiben, sei der Begriff der Grenzschichtdicke eingeführt. Sie
ist der Abstand, bei der die Geschwindigkeit die äußere Anströmgeschwindigkeit zu 99 %
erreicht hat. Ferner wollen wir die Reynoldszahl der Lauflänge
u∞ x
(8.4)
ν
einführen. Für die Entwicklung der Grenzschichtdicke δ(x) als Funktion der Anströmlänge x
ergibt sich:
Rel =
δ99 (x) = 5.0
νx
5x
=√
u∞
Rel
(8.5)
Seite 176
0,18
0,16
Grenzschichtdicke [m]
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Lauflänge [m]
Abbildung 8.3: Die Entwicklung der Grenzschichtdicke an einer glatten Wand über die
Lauflänge bei Anströmgeschwindigkeiten von 10 cm/s (gepunktet), 20 cm/s (gestrichelt) und
30 cm/s (durchgezogen). Der Umschlag in die turbulente Strömung findet bei Re = 3 · 10 5
statt.
Mit zunehmender Lauflänge der Strömung über die Wand weitet sich die Grenzschicht immer
mehr auf. Der in der Grenzschicht zur Verfügung stehende Raum ist irgendwann so groß,
daß sich Wirbel bilden können. Diese haben aber Geschwindigkeitskomponenten in alle drei
Raumrichtungen und ändern bei ihrer Bewegung das Strömungsfeld fortwährend. Die sich
so bildende turbulente Strömung ist nun also dreidimensional und instationär und erfüllt die
anfangs gemachten Voraussetzungen nicht mehr.
8.3.3 Die Entwicklung der turbulenten Grenzschicht
Ab einer Anströmlänge xkrit wird die Grenzschichtströmung turbulent. Dieser Fall ist nicht
mehr in der Blasiusschen Grenzschichttheorie enthalten, da die Strömung dann instationär
und dreidimensional wird. Die Turbulenzen bewirken eine noch schnellere Aufweitung der
Grenzschicht in Anströmrichtung. Die Grenzschichtdicke kann hier näherungsweise als
δ99 (x) = 0.37...0.381
x
Re0.2
l
(8.6)
dargestellt werden.
Experimente zeigen, daß dieser turbulente Umschlag bei Reynoldszahlen von etwa Re l,krit
300000 stattfindet.
Seite 177
0,2
0,18
Wandschubspannung N/m²
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Lauflänge [m]
Abbildung 8.4: Die Entwicklung der Schubspannung an einer glatten Wand über die Lauflänge
bei Anströmgeschwindigkeiten von 10 cm/s (gepunktet), 20 cm/s (gestrichelt) und 30 cm/s
(durchgezogen). Der Umschlag in die turbulente Strömung findet bei Re = 3 · 10 6 statt.
Die Entwicklung der Grenzschichtdicke ist in Abbildung 8.3 für die glatte Wand bei drei unterschiedlichen Anströmgeschindigkeiten berechnet. Die Grenzschichtdicke wächst umso schneller, desto kleiner die Anströmgeschwindigkeit ist. Klar, denn umso größer diese ist, desto mehr
Impuls hat die Anströmung und umso weniger läßt sich diese von der Wand diktieren, wie sie
sich verbiegen soll. Hinter dem Umschlagpunkt in die Turbulenz wird die Grenzschicht durch
die Ausbildung der Wirbelstrukturen noch schneller raumeinnehmender.
Wir wollen nun die Wandschubspannung in der turbulenten Grenzschicht berechnen. Dazu
nehmen wir an, daß am Rand δ des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils die Anströmgeschwindigkeit u∞ angenommen wird:
u∞ = u∗
1
δu∗
ln
κ
ν
+ 5.5
Setzen wir nun die Bestimmungsgleichung für die Grenzschichtdicke ein, dann erhält man die
iterativ zu lösende Gleichung
u∞ = u∗
1
x0.8 u∗
ln 0.37 0.8 0.2
κ
ν u∞
+ 5.5
und für die Wandschubspannung:
τW = 1
κ
u2∞
0.8
∗
ln 0.37 νx0.8 uu0.2
+ 5.5
∞
2
(8.7)
Seite 178
8.4. Die turbulente Grenzschichtströmung an der glatten Wand
Dieser Zusammenhang ist zusammen mit dem für laminare Verhältnisse geltenden in Abbildung 8.4 dargestellt. Am Anfang der Wand beginnt die Schubspannung mit einer Singularität,
d.h. einem unendlich großen Wert. In der Realität hängt die dort tatsächlich angenommene
Schubspannung von Gleichmäßigkeit der Gestaltung des Anströmpunktes ab. Dann nimmt die
Wandschubspannung ab, weil die Grenzschichtdicke zunimmt, die Geschwindigkeitsgradienten in der Grenzschicht also kleiner werden. Am Übergang zur turbulenten Strömung steigt die
Wandschubspannung stark an, um dann durch die zunehmende Ausdehnung der Grenzschicht
wieder kontinuierlich abzunehmen.
Übung 41: Eine glatte, dünne Wand wird parallel von Wasser mit einer Strömungsgeschwindigkeit von 2 m/s angeströmt. In welchem Abstand vom Anströmpunkt wird die Strömung
turbulent ?
Übung 42: Ein Verkehrsflugzeug bewegt sich mit 1000 km/h durch die Luft. Bestimmen
Sie des Abstand von der Flügelvorderkante, ab dem die Flügelumströmung turbulent wird
(νLuf t 13 · 10−6 m2 /s, Rel,krit 3 · 105 ).
8.4 Die turbulente Grenzschichtstr ömung an der glatten
Wand
Im Rahmen der Reynoldsmittlung ist das Strömungsfeld in der turbulenten Wandgrenzschicht
stationär und es ist das Gleichungsystem
∂u
∂
uj
=
∂xj
∂xj
∂
∂v
uj
=
∂xj
∂xj
∂u
1 ∂p
ν
− uuj −
∂xj
∂x
∂v
1 ∂p
ν
− v uj −
∂xj
∂y
∂w
1 ∂p
ν
− w uj −
∂xj
∂z
∂uj
=0
∂xj
zu lösen. Hier sind allerdings die die Turbulenz beschreibenden Reynoldsspannungen noch
unbekannt, denen wir uns nun zuwenden wollen.
∂
∂w
uj
=
∂xj
∂xj
8.4.1 Experimentelle Ergebnisse
Die Entwicklung der Turbulenz steht an einer Wand im Spannungsfeld zweier Effekte:
• Zum einen treten an Wänden bedingt durch die Stokessche Wandhaftbedingung große
Scherungen in den mittleren Geschwindigkeiten auf, womit Wände zu einer Turbulenzquelle werden.
Seite 179
• Zum anderen gilt die Stokessche Wandhaftbedingung auch für die turbulenten Schwankungen, wodurch die Turbulenz zumindestens direkt an der Wand vollständig verschwindet.
Die Sache ist also spannend. Zur weiteren Untersuchung soll eine geeignete Skalierung
gewählt werden, die es u. U. ermöglicht, alle Turbulenzstrukturen an Wänden gemeinsam zu
erfassen. Reflektieren wir dazu nochmals die dort geltenden Randbedingungen für die NavierStokes-Gleichungen. Die Stokessche Wandhaftbedingung ist an jeder Wand gleich, und der
Impulsfluß unterscheidet sich an verschiedenen aber der Einfachheit halber immer ebenen
Wänden nur durch die wirkende Wandschubspannung.
Skaliert man die Navier-Stokes-Gleichungen durch die Wandschubspannungsgeschwindigkeit
u∗ =
∂u ν ∂y W and
die die Steigung des Geschwindigkeitsprofils an der Wand und damit die Wandschubspannungen beschreibt, so ist zu erwarten, daß man eine solche Wandunabhängigkeit erreicht. Eine
hierzu analoge Skalierung der Länge kann dann mit L = ν/u∗ vorgenommen werden. Diese
Skalierung hat sich in der Grenzschichttheorie so bewährt, daß sich in der Literatur für sie
eigene Symbole für Koordinaten und Geschwindigkeiten eingebürgert haben:
yu∗
ν
u
u+ =
u∗
Wir wollen die experimentellen Ergebnisse betrachten, die Ende der 70ger Jahre am MaxPlanck-Institut für Strömungsforschung in Göttingen 1 gemacht wurden. Zunächst steht
natürlich die Verteilung der mittleren Geschwindigkeit im Vordergrund des Interesses. Sie
ist in Abbildung 8.5 dargestellt und mit Ergebnissen der sogenannten direkten numerischen
Simulation von Kim et al. [35] verglichen.
Von der Wand ausgehend sieht man ein zunächst lineares Ansteigen der Geschwindigkeit,
welches dem Gesetz
y+ =
u+ = y +
bzw. u(y) =
u2∗
y
ν
gehorcht. Die verblüffende Einfachheit dieser Gleichung in dimensionslosen Koordinaten ist
nochmals eine rückwirkende Bestätigung für die Wahl derselben. Man bezeichnet diesen Bereich der wandnahen Strömung auch als viskose Unterschicht. Hier ist die viskose Schubspannung konstant und gleich der Wandschubspannung
1
Ich erwähne den Namen des Instituts in Erinnerung an meine Studienzeit, ich habe dort meine Diplomarbeit
angefertigt.
Seite 180
2 0 .0
1 5 .0
u
u
+
1 0 .0
u
+
= y
+
= 2 .5 l n y
+
+ 5 .5
+
5 .0
0
1 0
1 0
0
1
y
+
1 0
2
Abbildung 8.5: Profil der mittleren Geschwindigkeit an einer Wand. Die durchgezogene Linie
stellt DNS-Ergebnisse, die Punkte Messungen dar. Aus [35].
τxy = ν
∂u
= u2∗ = const.
∂y
Oberhalb der viskosen Schicht steigt die Geschwindigkeit logarithmisch nach dem Gesetz
1
yu∗
ln
+ 5.5
(8.8)
κ
ν
an. Diese Geschwindigkeitsverteilung ist universell, d.h. man findet sie in allen turbulenten
Wandschichten unabhängig von der Reynoldszahl [72]. Sie gilt aber wohlgemerkt nur für glatte
Laborwände und nicht für natürliche, raue Wände. Die Konstante κ heißt Kàrmànkonstante κ,
sie hat den universellen Wert
u+ = 2.5 ln y + + 5.5 bzw. u(y) = u∗
κ = 0.41.
Zusammenfassend läßt sich die Wandschicht in folgende drei Bereiche unterteilen [72]:
die viskose Unterschicht:
0 ≤ y+ < 5
die Übergangsschicht:
5 ≤ y + < 70
die logarithmische Schicht: 70 ≤ y +
Betrachten wir nun die Ergebnisse für die Komponenten des Reynoldsspannungstensors.
Gewöhnlicherweise wird dessen Darstellung in Diagonal- und Extradiagonalkomponenten getrennt. Die Diagonalkomponenten u u , v v und w w sind Autokorrelationen der turbulenten
Seite 181
3 .0
u 'u ' / u
2 .5
*
2 .0
1 .5
w 'w '/ u
v 'v ' / u
*
1 .0
0 .5
*
+
0
0
+
+
+
+
+
+ + + + +
+ +
1 0
+
+
2 0
3 0
+
+
4 0
y
+
5 0
6 0
+
7 0
8 0
+
Abbildung 8.6: Normierte Turbulenzintensitäten an einer Wand. Aus [35].
Geschwindigkeitsschwankungen, daher bezeichnet man deren Quadratwurzel
auch√als Tur√
bulenzintensitäten.
Sie sind in Abbildung 8.6 in der normierten Form u u /u∗ , v v /u∗
√
und w w /u∗ dargestellt. Betragsmäßig ist dabei die Turbulenzintensität in Strömungsrichtung x am größten und die Komponente senkrecht zur Wand am kleinsten, wodurch hier der
turbulenzdämpfende Effekt der Wand sichtbar wird.
Von den sechs Extradiagonalkomponenten des Reynoldsspannungstensors sind nur u v = v u
von Null verschieden. Dies wird deutlich, wenn wir die in der Strömung wirkenden Komponenten der mittleren Schubspannung
τyz = τzy
∂v ∂w
+
=μ
∂z
∂y
τzx = τxz
− v w
∂w ∂u
=μ
− u w +
∂x
∂z
betrachten. Da die mittlere Geschwindigkeit nur eine Komponente in x-Richtung hat und lediglich einen Gradienten in y-Richtung aufweist, sind τ xz = − u v und τyz = − v w . In
der Strömung wirken nur Spannungen in Ebenen senkrecht zur Wand, also sind die soeben
betrachteten Komponenten Null. In Abbildung 8.7 ist also die normierte fehlende Extradiagonalkomponente dargestellt.
8.4.2 DNS-Untersuchungen an der glatten Wand
Die erste DNS wurde schon 1972 von Orszag und Patterson auf einem Gitter mit 32 3 = 32768
Knoten für eine Reynoldszahl von 35 durchgeführt [53]. Man schnitt hier einen Bereich aus
Seite 182
0 .8
- u 'v '/ u
*
+
+
2
+
+
+
+
+
0 .4
+
+
+
0
2 0
y
4 0
6 0
8 0
+
Abbildung 8.7: Reynoldsspannung an einer Wand. Aus [35].
dem Inneren der Strömung heraus, um keine Grenzschichten auflösen zu müssen. Erst fünfzehn Jahre später gelang die Auflösung der Strömung in der Grenzschicht an einer undurchdringlichen Wand mit Stokessscher Randbedingung. An den hier vorliegenden Turbulenzverhältnissen ist man natürlich deswegen interessiert, weil die meisten technischen Strömungen von glatten Wänden umgeben sind.
Problematisch ist in der DNS oftmals die Wahl von Randbedingungen an Einstromrändern,
also hier die Stirnfläche des quaderförmigen Modellgebietes. Das einzusteuernde Strömungsfeld auf dieser Fläche sollte schon die voll entwickelte Turbulenz enthalten, damit sie sich
nicht erst im Modellgebiet entwickeln muss, wodurch dieses sehr groß zu wählen wäre. Daher bedient man sich oftmals der Technik der periodischen Randbedingungen. Dabei wird das
Strömungsfeld vom Ausstromrand wieder auf den Einstromrand gelegt. Diese Technik läßt
sich allerdings nur dann anwenden, wenn die Bedingungen an Ein- und Ausstromrand gleich
sind, wodurch oftmals gleichförmige Geometrien in Strömungsrichtung erforderlich werden.
Ein Meilenstein in der noch jungen Geschichte der DNS ist der Artikel ’Turbulence statistics
in fully developed channel flows at low Reynolds number’ von Kim, Moin und Moser [35].
Der Begriff ’channel’ sollte uns nicht dazu verführen, an ein Fließgewässer zu denken, da er im
Englischen für quaderförmige allseitig geschlossene Strömungsgeometrien verwendet wird.
Die Ergebnisse dieser Simulationen haben wir in den Abbildungen 8.5 bis 8.7 schon gesehen.
Die Werte für die Diagonalkomponenten des Reynoldsspannungstensors sind dabei kleiner als
die Meßwerte. Die Autoren sind jedoch von der Richtigkeit der DNS überzeugt und gehen
von einer Wechselwirkung der Messvorrichtung mit der Strömung aus, die zu einer Ergebnisverfälschung führte.
Seite 183
z
x
l
y
x
Abbildung 8.8: Zur Entstehung von Bursts. Oben xz-Schnitt parallel zur Wand (xz), unten
xy-Schnitt senkrecht zur Wand.
Bursts
Die wichtigsten kohärenten Strukturen entstehen in der wandnahen Strömung und werden als
’Bursts’ bezeichnet, die 1967 von Kline et al. [36] durch die experimentelle Visualisierung der
Strömung mit Hilfe von Blasen entdeckt wurden. Da diese beobachtbaren Muster zum größten
Teil für die Turbulenzproduktion an Wänden verantwortlich sind [34], wurden sie in den siebziger Jahren des vorangegangenen Jahrhunderts intensiv erforscht. Die Ursache der Bursts liegt
in der Tatsache verborgen, daß ein synopischer Blick auf die Horizontalgeschwindigkeit über
der Sohle eine Struktur aufweist, die von gewundenen Bändern geringerer Geschwindigkeit
durchzogen ist. Der mittlere Abstand λ dieser Bänder ist unabhängig von der Reynoldszahl
und der Rauheit der Sohle durch
λ
100
ν
u∗
gegeben [57]. Die mit diesen Bändern verbundenen Geschwindigkeitsschwankungen ziehen
über einen festen Ort mit der mittleren Periode
TB
1.5...3
h
umax
.
Um diese Gleichungen mit Leben zu füllen, betrachten wir ein typisches Fließ- oder Küstengewässer mit einer Wassertiefe von 10 m, einer maximalen Strömungsgeschwindigkeit von
Seite 184
1 m/s. Nimmt man für die Schubspannungsgeschwindigkeit den Wert u ∗ = 5 cm/s an, dann
findet man einen Abstand von nur 2 mm zwischen den Bursts, die einen festen Punkt an der
Sohle etwa alle 15 bis 30 Sekunden überziehen. Experimentell lassen sich die Bursts also
durch entsprechende Ausschläge in einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm beobachten.
Schauen wir uns einen horizontalen und einem vertikalen Schnitt durch diese Bandstruktur
von größeren und kleineren Geschwindigkeiten in Abbildung 8.8 an. Die Bursts entstehen
dort, wo die sohlnahe Strömungsgeschwindigkeit lokale Abnahmen aufweist. Nach der Kontinuitätsgleichung sollte dann
∂u
∂v
=−
∂x
∂y
eine Beschleunigung des Fluides von der Wand weg entstehen, weil die in der lokalen Abbremsung akkumulierte Fluidmasse nur von der Wand weg ausweichen kann. So tragen Bursts
in spontanen Eruptionen Wassermassen von den wandnahen in die äußeren Schichten.
Hinter dem Band niedriger Geschwindigkeit erfährt die Strömung wieder eine lokale Beschleunigung, die sich nach obiger Gleichung in einer räumlichen Beschleunigung der
Strömung zur Wand hin ausgleichen sollte. Dies ist aber nicht möglich, da die v-Komponente
direkt an der Wand Null ist. Also muss im Bereich der lokalen Zunahme der Hauptströmungsgeschwindigkeit die Transversalkomponente einen Gradienten aufweisen:
∂w
∂u
=−
∂x
∂z
Diese Bewegung ist im wandparallelen Schnitt hinter den Streifen zu erkennen und führt zu
einer Verdrehung des Steifens.
Die Wandschubspannung zeigt in den Burstbereichen ein besonderes Verhalten, da hier neben den wandparallelen Komponenten auch Liftkräfte auftreten. Damit haben Bursts einem
wichtigen Einfluss auf die Mobilisierung von Sedimenten über natürlichen Flußsohlen.
8.4.3 Der Mischungswegansatz für die wandnahe Turbulenz
An der Wand besitzt das mittlere Strömungsfeld nur eine Scherung senkrecht zur Wand. Der
Mischungswegansatz kann daher in der Form
νt = lm (y)
∂y 2 ∂u angesetzt werden. Wir wollen nun einen Mischungswegansatz für die wandnahe Turbulenz
konstruieren. Die Ausgangsidee von Prandtl geht davon aus, daß der Mischungsweg proportional zum Wandabstand y ist. Dies ist plausibel, da der Mischungsweg so etwas wie die Verwirbelungslänge ist, die an der Wand durch den Wandabstand begrenzt ist. Wir setzen also:
Seite 185
lm = cy
Wie wir in Kapitel 8 gelernt haben, bleibt von der Reynoldsgleichung für die homogene, stationäre Wandströmung nur noch:
∂u
∂
νt
∂y
∂y
∂u ∂u
∂
=
c2 y 2
∂y
∂y ∂y
∂u
= 2c y
∂y
2
2
+ 2c2 y 2
∂u ∂ 2 u
=0
∂y ∂y 2
Der hintere Teil der Gleichungskette vereinfacht sich zu:
∂2u
∂u
+y 2 =0
∂y
∂y
Er hat die allgemeine Lösung
u(y) = C1 ln y + C2
womit wir bewiesen haben, daß das Wirbelviskositätsprinzip zusammen mit dem Mischungswegansatz tatsächlich das empirisch bestätigte, logarithmische Geschwindigkeitsprofil hervorbringt. Dies bestätigt aber auch im Umkehrschluß, daß der Mischungsweg als Verwirbelungslänge angesehen werden kann, zumindest hat er etwas mit ihr zu tun.
Die fehlende Konstante c läßt sich aus der statistischen Auswertung der turbulenten Fluktuationen in der Wandgrenzschicht (siehe Kapitel 8.4.1) bestimmen. Dabei verwendet man die
Relation:
−u v =
∂u lm (y)2 ∂y
∂u
∂y
Dabei kommt heraus, daß die gesuchte Konstante die von Karman-Konstante κ = 0.41 ist:
lm (y) = κy
∂y 2 2 ∂u bzw. νt = κ y
In der Literatur sind noch verschiedene Verbesserungen dieses Ansatzes veröffentlicht worden.
Der wichtigste dabei ist der von Van Driest [80]
lm (y) = κy 1 − e−y
+ /A+
mit einer Konstanten A+ , die zwischen 25 und 26 liegt. Dieser Ansatz stellt vor allem einen
besseren Fit an die Turbulenzstatistik in der Grenzschicht dar und besitzt einige bessere asymptotische Eigenschaften für y → 0. Weitere Verbesserungen des Mischungswegansatzes findet
man in [85].
Der Mischungswegansatz für Wände läßt sich auch für beliebige feste Umrandungen in einem
hydrodynamisch-numerischen Modell recht einfach implementieren, wenn man y durch den
entsprechenden Wandabstand ersetzt.
Seite 186
8.5. Die turbulente stationäre Grenzschichtströmung an der rauen Wand
8.5 Die turbulente station äre Grenzschichtstr ömung an der
rauen Wand
Während die Hydromechanik der glatten Wand an vielen Stellen schon theoretisch hergeleitet werden kann, muss man sich an der rauen Wand fast nur auf experimentelle Ergebnisse
verlassen. Dies liegt daran, daß die Geometrie der Rauheit analytisch nicht direkt erfaßbar ist.
Betrachten wir also die empirischen Ergebnisse.
Das Geschwindigkeitsprofil im Bereich über der viskosen Schicht ist genau wie bei der glatten
Wand logarithmisch. Es hat allerdings nicht dieselbe für jede glatte Wand gültige Form (8.8),
sondern unterscheidet sich in Abhängigkeit von der Wandbeschaffenheit.
Daher setzt man zunächst die folgende Form des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils an:
u(y) =
y
u∗
ln
κ
y0
(8.9)
Man bezeichnet es als von Kàrmàn-Prandtl-Gleichung. Diese Gleichung ist sehr allgemein,
d.h. für glatte und raue Wände gültig. So bekommt man die Gleichung (8.8) für die Belegung:
y0 =
ν −5.5κ
ν
e
=
u∗
9.535u∗
Wir wollten uns nun aber den rauen Wänden zuwenden. Um die Belegung für y0 in diesem
Fall zu bekommen, verwenden wir die Tatsache, daß y0 der Abstand von der Wand ist, bei dem
die Geschwindigkeit Null wird. Dieser Abstand ist sicherlich ein Maß für die Wandrauheit.
Zur Charakterisierung des Strömungszustandes an rauen Wänden ist eine auf die Lauflänge
bezogene Reynoldszahl sicher nicht mehr sinnvoll; schlägt doch die laminare Strömung umso
eher in eine turbulente um, desto rauer die Wand ist. Dies macht die Definition einer auf die
äquivalente Wandrauheit ks bezogenen Reynoldszahl sinnvoll:
Re∗ =
ks u ∗
ν
Tatsächlich ist so die kritische Reynoldszahl recht konstant, es gilt für den Umschlagpunkt in
die Turbulenz:
Re∗,krit
3.3
Bleibt noch der Zusammenhang der äquivalenten Wandrauheit mit dem Nullpunkt des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils für den turbulenten Fall zu bestimmen. Hier setzt man
mit der laminaren Strömung zusammenfassend:
8.5. Die turbulente stationäre Grenzschichtströmung an der rauen Wand
Seite 187
ν
+ 0.033ks
9u∗
y0
Manche Berechnungen mit diesem Zusammenhang vereinfachen sich dann, wenn man den
laminaren vom turbulenten Bereich trennt. Für kleine Renoldszahlen ist der erste, für große
Reynoldszahlen der zweite Summand dominant; man kann also
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
y0
⎪
⎪
⎪
⎩
ν
9u∗
für
0.033ks
Re∗ ≤ 3.3
für
Re∗ ≥ 3.3
setzen. In realen Strömungen kommt der laminare Fall an rauen Wänden nur sehr selten und
dann auf ein kleines Gebiet im Anströmbereich vor, so daß man fast immer bei der Berechnung
mit dem turbulenten Fall beginnen kann.
Abschließend soll als wichtiger Anwendungsfall die Möglichkeit vorgestellt werden, aus der
Kenntnis der Geschwindigkeit an einem gewissen Punkt über der Wand und deren Rauheitsbeschaffenheit die wirkende Wandschubspannung zu bestimmen. Hierfür erhält man durch
Auflösen nach u2∗ und Multiplikation mit der Dichte die Wandschubspannungsbeziehung
τW =
1 y
ln
κ y0
−2
|u(y )|u(y )
wobei u(y ) die Strömungsgeschwindigkeit in der Grenzschicht im Abstand y von der Wand
ist.
Übung 43: Über einer rauen Wand wird in 1 m Abstand eine mittlere Geschwindigkeit von
1 m/s und in 3 m Abstand 3 m/s in Wasser gemessen. Stellen Sie mit Hilfe von Gleichung
(10.6) zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten auf. Bestimmen Sie hieraus y 0 und u∗ und
daraus ks . Bestimmen Sie schließlich Re∗ und verifizieren Sie Ihren Ansatz (Re∗ > 3.3 ?).
Wie groß ist die Geschwindigkeit 5 m über der Wand ?
Übung 44: In einem 10 m tiefen Fluss wirke eine Sohlschubspannung von 1 N/m 2. Das Profil
der mittleren Geschwindigkeit sei logarithmisch.
1. Bestimmen Sie die Schubspannungsgeschwindigkeit u ∗ und das vertikale Profil von νt .
2. Welche Komponenten des Reynoldsspannungstensors sind in dieser Strömung von Null
verschieden ?
3. Wie sehen die Geschwindigkeitskorrelationen u w in 1 m, 3 m und 5 m über der Sohle
aus ?
4. Vergleichen Sie diese Ergebnisse mit den Turbulenzmessungen im Laborgerinne. Stimmen die qualitativen Verhalten überein? Spekulieren Sie: Warum bzw. warum nicht?
8.6. Das Gesetz von Colebrook-White
Seite 188
8.6 Das Gesetz von Colebrook-White
Zur Überwindung der Wandschubspannung an einer Wand der Breite B über die Lauflänge L
benötigt man die Kraft
F = τW LB.
Dieser Aufwand induziert in der Grenzschicht der Dicke δ einen Druckverlust
Δp =
F
τW L
=
:= ghV
Bδ
δ
Im hinteren Teil der Gleichung wurde die sogenannte Verlusthöhe eingeführt. Sie stellt sich
als Differenz zwischen zwei Standrohren ein, die am Anfang und am Ende der Strömung
eingebracht werden. Man kann sie aber auch einfach als Beschreibung des Druckverlusts in
einer Strömung durch eine äquivalente Höhe ansehen.
Für die Verlusthöhe gilt somit die wichtige Beziehung
hV =
l τW
.
g δ
(8.10)
Das Gesetz von Colebrook-White, welches im Folgenden hergeleitet werden soll, macht diese
Verlusthöhe berechenbar.
8.6.1 Der hydraulische Durchmesser
Die soeben gewonnene Beziehung besagt, daß die Verlusthöhe proportional zur Wandschubspannung und umgekehrt proportional zur Grenzschichtdicke ist. Hat die Grenzschicht mehr
Raum zur Verfügung, sich zu entfalten, dann ist der Energieverlust in der Strömung geringer.
Dieser Zusammenhang ist auch auf andere Strömungen, wie z.B. die in Rohren oder offenen
Gerinnen verallgemeinerungsfähig. Dazu wird der Begriff des hydraulischen Durchmessers
einführt, der die Länge des verlusterzeugenden, benetzten Randes Ubenetzt zu der der Grenzschicht zur Verfügung stehenden durchströmten Fläche A in Beziehung setzt. So versteht man
unter dem hydraulischen Durchmesser den Quotienten
dHyd :=
4A
Ubenetzt
der im Falle eines kreisförmigen Querschnittes mit dessen Durchmesser identisch ist.
Für die Grenzschicht an der ebenen Wand sei die Länge des benetzten Randes B, die Grenzschicht entfaltet sich dann über die Fläche A = Bδ, womit der hydraulische Durchmesser
Seite 189
2
der ebenen Grenzschicht zu
dHyd = 4δ
für die ebene Wand
wird.
Der Zusammenhang zwischen Verlusthöhe und Wandschubspannung wird mit dieser neuen
Begriffsbildung zu:
4l τW
g dHyd
hV =
Zur weiteren Verallgemeinerung führt man noch die auf den hydraulischen Durchmesser bezogene Reynoldszahl ein, sie lautet:
u∞ dHyd
ν
ReHyd =
8.6.2 Der Widerstandsbeiwert der glatten Wand
Wir können schließlich alle Eigenschaften der wandnahen Strömung bestimmen, wenn wir
die Schubspannungsgeschwindigkeit u ∗ kennen. Diese hängt von der äußeren Geschwindigkeit u∞ und den geometrischen Eigenschaften der Wand ab. Diese kondensiert man in einen
dimensionslosen empirischen Reibungsbeiwert λ und schreibt die Wandschubspannung als
λ 2
u
8 ∞
τW = u2∗ =
(8.11)
womit die Verlusthöhe die Form
hV = λ
u2∞
dHyd 2g
l
bekommt.
Der Reibungsbeiwert λ ist an der glatten Wand im Bereich der laminaren Strömung:
λ = 8 · 0.332
2.66
=√
u∞ x
Rel
ν
2
Manchmal wird in der klassischen Hydraulik noch der Begriff des hydraulischen Radius verwendet. Er ist
dann als
rHyd :=
A
Ubenetzt
definiert. Somit ist er nicht die Hälfte des hydraulischen Durchmessers und stimmt für den Kreis auch nicht
mit dessen Radius überein. Wir wollen diesen verwirrenden Begriff im folgenden daher umgehen, führen ihn hier
nur auf, damit der Leser gewappnet ist.
Seite 190
Im turbulenten Fall kann man den Reibungsbeiwert aus der am Rand der Grenzschicht geltenden Bedingung
u∞ = u∗
1
δu∗
ln
κ
ν
+ 5.5
berechnen. Nun wird die Schubspannungsgeschwindigkeit durch das Reibungsgesetz ersetzt:
⎛
8
δu∞
1
= ln ⎝
λ
κ
ν
⎞
λ⎠
+ 5.5
8
Historischerweise wird dieses Gesetz mit dem negativen dekadischen Logarithmus in der Form
⎛
⎛
δu
ln 10
1
√ = √ ⎝log ⎝ ∞
ν
2 2κ
λ
⎞
⎞
⎛
⎛
λ ⎠ 5.5κ ⎠
ν
ln 10
+
= − √ ⎝log ⎝
8
ln 10
δu∞
2 2κ
⎞
⎞
8 ⎠ 5.5κ ⎠
−
λ
ln 10
dargestellt. Nach dem Ausmultiplizieren aller Konstanten bekommt man für den Reibungsbeiwert λ die implizite Berechnungsvorschrift:
1
0.2966ν
√ = −2 log
√
λ
δu∞ λ
die iterativ auszuwerten ist.
8.6.3 Der Widerstandsbeiwert der rauen Wand
Genauso können wir auch an der rauen Wand vorgehen. Hier bekommt man für die dort gültige
Form des Geschwindigkeitsprofils unter der Annahme, daß die äußere Geschwindigkeit u ∞ am
oberen Ende der Grenzschicht angenommen wird:
u∞ =
δ
u∗
ln
κ
0.033ks
Setzen wir wieder die Definition des Widerstandsbeiwertes ein und formen den natürlichen in
den negativen dekadischen Logarithmus um:
1
k
√ = −2 log s
30δ
λ
Diese Formel sollte natürlich bei geringer werdenden Rauheiten in die für die glatte Wand
übergehen. Damit sie dies tut, müssen die beiden Rauheitsanteile unter dem Logarithmus addiert werden:
k
0.2966ν
1
√ = −2 log
√ + s
λ
δu∞ λ 30δ
Seite 191
Verwendet man die Begriffe des hydraulischen Durchmessers und der auf ihn bezogenen
Reynoldszahl, dann bekommt der Zusammenhang für den Rauheitsbeiwert die Form:
2.373
ks
1
√ +
√ = −2 log
λ
Re λ 3.75dHy
Dieser Zusammenhang, den wir hier lediglich aus dem universellen logarithmischen Geschwindigkeitsprofil und der Parametrisierung der äquivalenten Rauheit nach Nikuradse entwickelt haben, ist experimentell für Rohre von Colebrook-White mit den etwas abweichenden
Koeffizienten in der Form
2.51
ks
1
√ +
√ = −2 log
λ
Re λ 3.71dHy
(8.12)
bestätigt worden.
8.7 Zusammenfassung
Die Strömung an einer glatten Wand kann man grundlegend zunächst in zwei Bereiche aufteilen. Im ungestörten Bereich entspricht die Geschwindigkeit der Anströmgeschwindigkeit; in
der Wandgrenzschicht wird die Anströmgeschwindigkeit durch die Wand gestört.
Im Fall einer laminaren Anströmung kann die Wandgrenzschicht in Anströmungsrichtung wiederum in zwei Bereiche unterteilt werden: Zunächst ist die Strömung in der Grenzschicht laminar, die Entwicklung der Grenzschichtdicke und der Wandschubspannung werden durch
die Gleichungen (8.5) und (8.3) berechnet. Ab einer kritischen, auf die Anströmlänge bezogenen Reynoldszahl von etwa 3 · 106 wird die Strömung turbulent, die Entwicklung der Grenzschichtdicke und der Wandschubspannung werden dann durch die Gleichungen (8.6) und (8.7)
berechnet.
Im Fall einer rauen Wand wird zunächst die Wandrauheit ks als mittlere Erhebung der Rauheitslänge abgeschätzt. Das Geschwindigkeitsprofil ist logarithmisch nach Gleichung (10.6),
die Wandschubspannung kann durch den Rauheitsbeiwert und Gleichung (8.11) berechnet
werden.
In den nächsten Kapiteln werden wir das über die ebene Wandströmung gelernte anwenden:
Auf umströmte Körper, Rohr- und Gerinneströmungen.
Seite 192
Kapitel 9
Die Strömungskraft auf Körper
Strömt ein Fluid einen Körper an oder bewegt er sich selbst durch das Fluid, so erfährt er eine
Reaktionskraft, die wir in diesem Kapitel berechnen wollen.
Die Bestimmung dieser Kraft hat wichtige technische Anwendungen. In der Kraftfahrzeugtechnik soll das Fahrzeugäußere so gestaltet werden, dass der Strömungswiderstand möglichst
gering ist, um den Kraftstoffverbrauch zu minimieren. Desweiteren darf die Luftfahrttechnik
nicht vergessen werden, in der es darum geht, Tragflügel so zu konstruieren, dass der dynamische Auftrieb größer als die Gewichtskraft ist. Im Bauingenieurwesen ist die Anströmung
von Bauwerken als äußere Belastung in der Konstruktion zu berücksichtigen. Und schließlich
stören die sich im Fluid befindlichen Körper die Strömung selbst und bremsen sie, so dass wir
uns, selbst wenn uns nur die Strömung interessiert, ebenfalls mit dem Strömungswiderstand
auseinandersetzen müssen. Dieser Effekt dominiert dann in der Grundwasserströmung, in der
relativ wenig Fluid an vielen Körnern gebremst wird. Umgekehrt benötigt man dann für die
Impulserhaltung des Korngerüsts die Kraftwirkung des Fluids auf die Einzelkörner.
Dies waren nur wenige, aber genug Gründe, um uns mit der Strömungskraft auf Körper zu
beschäftigen.
9.1 Die Bestimmung der Str ömungskraft durch Beiwerte
Auch auf die Außenhaut eines für das Fluid undurchdringlichen und damit umströmten
Körpers gelten die Navier-Stokes-Gleichungen, nur dass hier auch die Stokessche Wandhaftbedingung anzuwenden ist und die Strömungsgeschwindigkeit Null ist:
0=−
1 ∂τji
1 ∂pδij
+
+ fi
∂xj
∂xj
Normalerweise bestimmt fi darin die Kraft einer äußeren Belastung wie der Gravitation auf
das Fluid. Man kann diesen Zusammenhang aber auch umkehren und hiermit die Kraft des
Fluids auf eine Struktur bestimmen, indem man das Vorzeichen umkehrt:
193
9.1. Die Bestimmung der Strömungskraft durch Beiwerte
Seite 194
Fi = −
$
Ω
fi dΩ =
$
Ω
$
∂
(pδij − τji ) dΩ =
∂xj
pδij nj dA
∂Ω
−
$
∂Ω
τji nj dA
(9.1)
Druckwiderstand Reibungswiderstand
wirken die viskose Wandschubspannung und die Druckkraft der Strömung. Somit kann man
die exakte Formulierung der Strömungskraft aus der Integration der dieser beiden Kraftanteile
über die Berandungsoberfläche des Körpers gewinnen:
Die Strömungskraft auf einen Körper setzt sich einerseits aus der Druckkraft der Strömung
auf ihn und andererseits aus dem Reibungswiderstand der sich an ihm bildenden Grenzschicht
zusammen. Man unterscheidet daher zwei Anteile des Strömungswiderstandes, den Druckwiderstand und den Reibungswiderstand. Deshalb werden wir in diesem Kapitel sowohl das, was
wir über die Druckkraft in der Hydromechanik, als auch das, was wir über Strömungen an
Grenzflächen gelernt haben, anwenden und vereinigen müssen.
Den im Integral auftauchenden Druck kann man recht einfach aus der Bernoulligleichung
abschätzen, wenn man annimmt, dass die Anströmgeschwindigkeit u ∞ vollständig am Körper
gestaut und dort in einen Staudruck umgewandelt wird:
u2∞
pstau
=
2
Hat der Körper die Anströmfläche A, dann gilt für die Widerstandskraft FW
FW = A
u2∞
2
Die Gleichung klingt recht plausibel, besagt sie doch, dass die Widerstandskraft proportional
zur Anströmfläche und zur Dichte des Fluides, aber quadratisch mit der Anströmgeschwindigkeit wächst.
Ein ähnliches Gesetz für den Strömungswiderstand hat auch Newton schon aufgestellt, obwohl
die Bernoulligleichung erst nach seinem Tode entwickelt wurde [64]. Newton ging davon aus,
dass der sich bewegende Körper auf seiner Bahn sekündlich die Fluidmasse A u∞ aus dem
Weg räumen muß. Dazu muß er die Fluidpartikel mindestens auf seine eigene Geschwindigkeit
beschleunigen und benötigt dazu die Kraft A u 2∞ .
Der wesentliche Unterschied zwischen dem Ansatz der Bernoulligleichung und der Newtonschen Theorie ist der Faktor 1/2. Newton geht in seiner Widerstandstheorie von einem Fluid
aus, welches aus einzelnen, sich nicht beeinflussenden Teilchen besteht, von denen jedes unabhängig voneinander aus der Bahn geräumt werden muß. Tatsächlich handelt es sich bei
einem Fluid aber um ein Kontinuum, welches zwar aus einzelnen, aber sich gegenseitig beeinflussenden Partikeln besteht. So entstünde nach Newton hinter dem Körper ein Vakuum, welches in einem kontinuierlichen, zudem inkompressiblen Fluid sofort wieder aufgefüllt werden
Seite 195
muß und so dem Körper dabei hilft, Fluidmasse aus seinem Weg zu räumen. Heute wissen wir,
dass sogar ein wesentlicher Teil des Widerstandsverhaltens eines Körpers in seinem Nachlauf
zu suchen ist.
Trotzdem kann die aus der Bernoulligleichung entwickelte Widerstandsformel noch nicht befriedigend sein. So unterscheiden sich die Körper in der Form ihrer Anströmflächen erheblich,
Ferner kann die Oberflächenbschaffenheit bei gleicher Form und gleichen Anströmflächeninhalt sehr unterschiedlich sein. Daher wandelt man den Ansatz durch einen Korrekturbeiwert,
den sogenannten Widerstandswert cW , leicht ab und bekommt:
FW
u2∞
= cW A
2
Übung 45: Ein LKW transportiert eine Betonplatte, die 10 m2 Seitenfläche misst. Bestimmen Sie die resultierende Kraft auf die Platte, wenn Seitenwind ( Luf t = 1,2 kg/m3) mit
einer Geschwindigkeit von 50 km/h senkrecht
zur Platte auftrifft. Unterscheiden Sie die Fälle:
1. der LKW steht (cW = 1,2)
2. der LKW fährt mit 100 km/h (cW = 0,4;
cA = - 0,8)
Der Reibungswiderstand der ebenen Platte
Eine ebene, unendlich dünne Platte, die parallel zur Strömung ausgerichtet ist, bietet dieser
keinerlei Anströmfläche. Damit besteht ihr Widerstand einzig aus dem Reibungsanteil. Auf
beiden Seiten der Platte bildet sich eine Wandgrenzschicht aus, die wir im vorangegangenen
Kapitel eingehend studiert hatten. Das Studium dieses Falles lehrt, wie man den Widerstandsbeiwert berechnet und zeigt die Anwendungsgrenzen des Widerstandsbeiwertkonzepts deutlich auf.
Wir beginnen mit der laminaren Umströmung der Platte. Damit muß ihre Länge l so kurz sein,
dass die längenbezogene Reynoldszahl unter der kritischen bleibt. Die Integration über die
Oberfläche der Platte wird zu:
F =
$
l
τW dA = 2B
0.332
0
2.656
νu3∞
u2
dx = √
Bl ∞
x
2
Rel
Der Faktor zwei entsteht durch den Widerstand an der Ober- und der Unterseite der Platte.
Damit wird der Reibungsbeiwert zu:
Seite 196
2.656
cW = √
Rel
√
Bei einer Verdopplung der Plattenlänge steigt der Widerstand nur um das 2-fache, da im hinteren Bereich der Platte die Grenzschichtdicke wächst und somit der Geschwindigkeitsgradient
zur Platte und die Wandschubspannung abnimmt. Dies macht das Widerstandsbeiwertkonzept
fragwürdig, da dieses eine Proportionalität zur Plattenfläche annimmt.
Für die glatte, aber schon turbulent angeströmte Platte gilt:
l
F = 2B
0
1
κ
u2∞
0.8
∗
ln 0.37 νx0.8 uu0.2
+ 5.5
2 dx
⇒ cW
4
=
l
∞
l
0
1
κ
1
0.8
∗
ln 0.37 νx0.8 uu0.2
+ 5.5
2 dx
∞
Wir drücken uns um die annähernde Berechnung dieses Integrals. Es kann jedoch festgehalten
werden, dass das Ergebnis ein anderes ist als bei der laminaren Anströmung.
Somit ist auch bei der längs angeströmten Platte der Widerstandsbeiwert keine Konstante, sondern von der Ausdehnung des Körpers, der Viskosität des Fluids, der Anströmgeschwindigkeit
und den Turbulenzeigenschaften der Strömung abhängig.
Die Schwierigkeit schon dieses einfachsten Beispiels zeigt, dass eine exakte analytische Berechnung des Kraftintegrals nur selten möglich sein wird. Wegen der enormen technischen
Bedeutung desselben ist man daher auf die Anwendung experimenteller Methoden oder hochauflösender numerischer Verfahren (DNS und LES) und der normierten Form der Darstellung
in Beiwerten angewiesen.
Auftriebskraft und Nickmoment
Die bisherige Darlegung vernachlässigt noch den vektoriellen Charakter der Strömungskraft.
Sie hat mindestens noch eine Komponente senkrecht zur Anströmung, die man wegen ihrer
Hauptanwendung in der Luftfahrt als Auftriebskraft FA bezeichnet. Diese charakterisiert man
durch den Auftriebsbeiwert cA , womit die Strömungskraft die Darstellung
⎛
F =
$
⎛
⎞
⎞
u2∞
⎜ cW A
⎟
⎜
2 ⎟
⎜
⎟
FW ⎠
(pnW + τW )dA = ⎝
=⎜
⎜
FA
⎝
cA A
u2∞
⎟
⎟
⎠
2
bekommt. Mit der dritten, fehlenden Dimension und den in ihr wirkenden Quertriebskr äften
werden wir uns hier nicht beschäftigen. Die Bezugsfläche A ist dabei eine Fläche, die das Problem charakterisiert. Dies ist zumeist die auf die Anströmrichtung oder die größte projizierte
Seite 197
Fläche. Die Beiwerte sind dann für gegebene Körper in entsprechenden Beiwertdiagrammen
dargestellt.
Es sei an dieser Stelle noch das in vielen Anwendungen benötigte Nickmoment M
M = cM Al
u2∞
2
mit der Längenausdehnung l des Körpers in Strömungsrichtung definiert. Es lenkt den Körper
in einer Achse senkrecht zur Strömungsrichtung aus.
Wir wollen nun die einzelnen Bestandteile der Strömungskraft an einfachen, klassischen Beispielen studieren, um die auftretenden Abhängigkeiten kennenzulernen.
u¥
10°
Übung 46: Ein Drachen hat ein Gewicht von
200 g und eine Fläche von 0,75 m2 . Der
Wind strömt mit einer Geschwindigkeit v ∞ =
30 km/h. Hierbei neigt sich der Drachen um
10o zur Horizontalen. Der Drachen kann als
ebene Platte angenommen werden ( Luf t =
1, 2kg/m3; g = 9, 81m/s2 ).
1. Wie groß ist die Zugkraft in der Schnur?
2. Unter welchem Winkel γ zur Horizontalen steht die Schnur?
Übung 47: Ein Flugzeug mit der Masse m =
5.000 kg und der Geschwindigkeit v = 350
km/h soll abheben. Die Tragflächen können
als ebene Platten angenommen werden. Die
Fläche A beträgt pro Flügel 5,4 m2 .
1. Um welchen Winkel müssen die Flügel
zur Horizontalen mindestens geneigt
werden, damit die Maschine abhebt?
2. Wie groß ist die Widerstandskraft an den
Tragflügeln in diesem Moment?
Luf t
= 1.2kg/m3 .
g
Schnur
u¥
a
CM
b
CW
CA
Seite 198
1,2
1
CW
0,8
CM
CA
CW, CA, CM
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
0
10
20
30
40 50 60 70
Winkel a in [°]
80
90
Abbildung 9.1: Auf die größte Flächenprojektion bezogene Widerstandsbeiwerte von Drachen
und Flugzeug.
9.2. Das D’Alembertsche Paradoxon
Seite 199
9.2 Das D’Alembertsche Paradoxon
Der zweite Anteil im Widerstand eines Körpers in einer Strömung ist der Druckwiderstand.
Schon in der Hydrostatik war die Berechnung des Druckintegrals recht kompliziert. Nun
kommt erschwerend hinzu, dass die Druckverteilung um den Körper in der Hydrodynamik
erst einmal bestimmt werden muß, bevor sie dann über die Körperoberfläche integriert werden
kann.
Dies wollen wir der Einfachheit halber im Rahmen der Theorie der Potentialströmungen für
einen stationär umströmten, unendlich langen Zylinder machen. Im Bauwesen treten umströmte Zylinder vielfältig als Masten, Schornsteine, Kühltürme, Brückenpfeiler, Bäume im
Fluss oder als Stützen von Offshore-Bauwerken auf.
So wurde das Geschwindigkeitsfeld in Abschnitt 2.2.2 in Zylinderkoordinaten als
ur (r, θ) = u∞
R2
1 − 2 cos θ
r
1 ∂φ
R2
uθ (r, θ) =
= −u∞ 1 + 2 sin θ
r ∂θ
r
bestimmt. Ferner gilt in einer stationären Potentialströmung die Bernoulligleichung, mit der
man die Druckverteilung bestimmen kann:
u(r, θ)2 p(r, θ)
u2∞
=
+
2
2
Dabei wurde der Bezugsdruck der Anströmung zu Null angenommen und das Gravitationspotential, welches einen Auftrieb des Zylinders erzeugt, nicht berücksichtigt. Damit erhält man
für die Druckverteilung in der Zylinderumströmung:
⎛
R2
p(r, θ) = u2∞ ⎝1 − 1 − 2
2
r
2
R2
− 1+ 2
r
2
⎞
sin2 θ⎠
Um die Druckkraft direkt auf den Zylinder zu bestimmen, setzt man r = R:
p(R, θ) = u2∞ 1 − 4 sin2 θ
2
Die resultierende Druckverteilung auf den Zylinder ist in Abbildung 9.2 dargestellt. Sie zeigt
am Anströmpunkt den Staudruck pStau = 2 u2∞ . Neunzig Grad zur Anströmung entsteht jeweils
ein Unterdruck der Größe −3pStau , um dann auf der dem Anströmpunkt gegenüber liegenden
Seite wieder auf den Staudruck zu steigen.
Die Druckverteilung auf den Zylinder ist symmetrisch und man erahnt hieraus schon, dass die
Druckkraft Null sein wird. Um dies rechnerisch zu bestätigen, integriert man den Druck über
die Zylinderoberfäche beliebiger Breite B:
9.2. Das D’Alembertsche Paradoxon
Seite 200
-1500
-1000
-500
0
500
Abbildung 9.2: Die Druckverteilung auf einen Zylinder und die Kugel in einer stationären
Potentialströmung.
2π
FD =
2
u2∞ BR
1 − 4 sin2 θ cos θdθ = 0
0
Dieses Integral bekommt durch die Integraltransformationsformel in Zylinderkoordinaten den
Faktor R cos θ hinzugefügt. Das erstaunliche Ergebnis ist jedoch das Nichtvorhandensein einer
Druckkraft auf den Zylinder.
Man spricht dabei vom D’Alembertschen Paradoxon, welches in verallgemeinerter Form
besagt, dass in Potentialströmungen keine Druckwiderstandskraft auftritt. Die Potentialströmungstheorie ist also ein zu stark vereinfachtes konzeptionelles Modell, um den
Strömungswiderstand zu beschreiben.
Das Ergebnis der Theorie der Potentialströmungen, nach der ein Körper keinen Widerstand
erfährt, widerspricht der alltäglichen Erfahrung: Wir brauchen nur die flache Hand aus dem
geöffneten Autofenster zu halten, um den Strömungswiderstand selbst zu spüren.
Schaut man sich die Lösung der Potentialtheorie genauer an, so ist schnell klar, dass das Fehlen einer Grenzschicht, d.h. eines auf Null herabfallenden Geschwindigkeitsprofils am Körper
keinen Reibungswiderstand ausbilden kann, da im Geschwindigkeitsfeld der Potentialtheorie
keine normalen Geschwindigkeitsgradienten an der Körperwand vorhanden sind. Diese werden nach der Grenzschichttheorie in Kapitel 8 aber vor allem durch durch die viskosen Terme
9.3. Die Umströmung sphärischer Körper
Seite 201
der Navier-Stokes-Gleichungen bestimmt.
9.3 Die Umströmung sphärischer Körper
Für die Umströmung einer im Koordinatenursprung gelegenen Kugel des Radius R durch
ein homogenes Geschwindigkeitsfeld gibt es analytische Lösungen, die man dazu verwenden
kann, auch den Strömungswiderstand zu berechnen.
9.3.1 Die schleichende Strömung
Es ist naheliegend, eine Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen für die Umströmung von
Körpern zu suchen, wobei die nichtlinearen advektiven Trägheitsterme vernachlässigt werden.
Betrachten wir ferner lediglich eine stationäre Körperumströmung, so bleibt von den NavierStokes-Gleichungen (4.2) nur noch:
div u = 0
grad p = ν div grad u
Diese Differentialgleichungen sollen so gelöst werden, dass das Geschwindigkeitsfeld in unendlicher Entfernung vom Körper die Anströmgeschwindigkeit
u(∞) = u∞
und an der Körperoberfläche ∂Ω Null wird:
u|∂Ω = 0
Diese Approximation einer Strömung als schleichende ist umso gültiger, desto kleiner die
Reynoldszahl Re = u∞ d/ν ist, da diese die advektiven Terme wichten.
9.3.2 Die schleichende Umströmung von Kugel und Zylinder
Das gestellte Problem hat Stokes für die Kugel und den unendlich langen Zylinder analytisch
gelöst. Legt man den Ursprung des Koordinatensystems dabei in den Kugel- bzw. Zylindermittelpunkt mit dem Radius R, dann lauten die Lösungen
u = u∞
R3
3R
3R
R2
1− 3 −
− 3 (u∞r) r 1 − 2
4r
4r
4r
r
Seite 202
3R u∞r
2 r3
mit r = (x, y, z)t bei der Kugel bzw. r = (x, y)t bei einem in z-Richtung unendlich lang ausgedehntem Zylinder. Zum Beweis schreibt man die Geschwindigkeitslösung z.B. in kartesische
Koordinaten
p = p0 − ν
ui
R3
3R
= u∞,i 1 −
−
2
2
2
3/2
2
2
2 1/2
4(x + y + z )
4(x + y + z )
R2
3R(u∞,x x + u∞,y y + u∞,z z)
− xi
1− 2
4(x2 + y 2 + z 2 )3/2
(x + y 2 + z 2 )
Schleichende Umströmung eines Zylinders
Abbildung 9.3: Schleichende Umströmung eines Zylinders.
und setzt dies in die dynamische Gleichung der schleichenden Strömung ein.
Das Ergebnis ist in Abbildung 9.3 visualisiert. Es zeigt im Vergleich zu Abbildung 2.3 eine
vollkommen andere Gestalt des Geschwindigkeitsfelds. Bei der schleichenden Umströmung
hat sich am Körper eine Grenzschicht ausgebildet, in der die Geschwindigkeit zur Körperoberfläche auf Null abfällt, während die Geschwindigkeit bei der Potentialströmung zur Bewandung hin zunimmt, was dem geometrischen Verdrängungseffekt zuzuschreiben war.
Bevor man die Fußnote1 lese, beantworte man selbst die Frage, welches Bild die Umströmung
von Zylinder und Kugel aus welchen Gründen realistischer wiederspiegelt.
Die konstruktive Lösung eines partiellen Differentialgleichungssystems besteht aus den sich
immer wiederholenden ähnlichen Stilelementen:
1
Die schleichende Strömungsbeschreibung ist umso richtiger, desto kleiner die Reynoldszahl ist, sie besitzt
also einen Gültigkeitsbereich. Die Potentialströmung berücksichtigt tatsächlich vorhandene Effekte wie die innere
Reibung und das Vorhandensein einer Rotation des Geschwindigkeitsfeldes nicht.
Seite 203
1. Wahl eines möglichst vorteilhaften Ansatzes
2. Vorteilhafte Reduktion der L ösungsvielfalt
3. Überführung in gewöhnliche Differentialgleichungen
4. Lösung der Einzelgleichungen
5. Zusammensetzen (Synthese) der Einzellösungen
6. Bestimmung der Konstanten durch Randbedingungen
Hier zerlegt man das Geschwindigkeitsfeld in einen wirbelfreien und einen wirbelbehafteten
Anteil (aus [27]):
+w
u = ∇φ
mit
× (∇φ)
=0
∇
Die Kontinuitätsgleichung verlangt dann
0 = div grad φ + div w
und die schleichende Impulsgleichung wird zu
+ w)
+ Δ w)
grad p = ν div grad (∇φ
= ν (grad div ∇φ
Dabei wurde im hinteren Teil der Gleichung die Divergenz und der Gradient vertauscht, was
man auf Grund der Beziehung
grad div u = div grad u + rot rot u
machen kann. Der entscheidende Trick der weiteren Herleitung besteht darin, die Impulsgleichung in zwei Teile zu zerlegen:
grad p = ν grad div ∇φ
und Δ w
=0
Findet man Lösungen für die Einzelgleichungen, so sind diese auch L ösungen der ursprünglichen zusammengesetzten Gleichung. Diese scheinbare Vereinfachung des Problems hat den
Preis, dass es weitere Lösungen der zusammengesetzten Gleichung geben kann, die keine
Lösung der separierten Gleichungen sind.
Die Laplacegleichung besitzt die fundamentale L ösung
w
=C
u∞
u∞
= C√ 2
r
x + y2 + z2
für radiale Probleme, wie man durch Einsetzen leicht best ätigen kann.
Seite 204
-150
-100
-50
0
50
100
150
Abbildung 9.4: Die Druckverteilung auf einen Zylinder und die Kugel in einer schleichenden
Strömung.
Im nächsten Schritt soll die skalare Funktion φ so bestimmt werden, dass sie im Verbund mit
der soeben gefundenen Lösung für w
die Kontinuitätsgleichung erfüllt. Diese bekommt nun die
Form:
0 = div grad φ − C
u∞r
r3
Wenn in diese partielle Differentialgleichung die Testl ösung
φ = f (r) (u∞r)
eingesetzt wird, dann bekommt man:
C
d2 f
4 df
− 3
+
(u∞r)
2
dr
r dr r
=0
In der hinteren Klammer steht eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung f ür f ,
die die allgemeine Lösung
b
b
C
C
+ 3 ⇒φ= a−
+ 3 (u∞r)
f (r) = a −
2r 3r
2r 3r
besitzt. Die unbekannten Konstanten a, b und C sind nun noch aus den Randbedingungen
im Unendlichen und am Körper zu bestimmen. Da φ(r → ∞) = a (u∞r), muss a = 1 sein,
Seite 205
damit die Geschwindigkeit im Unendlichen die Anstr ömgeschwindigkeit annimmt. Somit lautet
unsere derzeitige Lösung für das Geschwindigkeitsfeld:
C
u∞
b
1−
+ 3 (u∞r) + C
2r 3r
r
C
r C
b
u∞
b
− 4 +C
= 1−
+ 3 u∞ + (u∞r)
2
2r 3r
r 2r
r
r
u = ∇
die Geschwindigkeit Null sein:
Auf dem Körper soll nun für r = R
R
b
C
0= 1−
R
+
u
+
u
∞
∞
2R 3R3
R
C
b
−
2R2 R4
+C
u∞
R
Diese vektorielle Gleichung besteht aus zwei linear unabh ängigen Anteilen, deren einer je gewichtet ist. Beide müssen unabhängig voneinander
weils mit u∞ und deren anderer mit R
Null sein:
0=1−
b
C
C
+
+
3
2R 3R
R
C
b
− 4
2
2R
R
Damit bekommen die Konstanten die Lösungen
0=
C=
3R
2
und b =
3R3
4
womit das Geschwindigkeitsfeld nun vollst ändig bestimmt ist.
Zur Identifikation der einzelnen Stilelemente nehme man nun sechs Farbstifte zur Hand und
markiere diese in der Herleitung !
9.3.3 Die Oseensche Erweiterung für größere Reynoldszahlen
Um auch bei größeren Reynoldszahlen die Umströmung von Kugel und Zylinder analysieren
zu können, müssen die advektiven Terme berücksichtigt werden. Oseen (aus [38]) hat dies
1910 getan, indem er die Trägheitskräfte in linearisierter Form berücksichtigte. Dabei setzte
er in den advektiven Termen einerseits die Anström-, andererseits die tatsächliche Geschwindigkeit an. O.E.d.A. sei die Kugel nun allein aus der x-Richtung angeströmt, dann werden die
stationären Navier-Stokes-Gleichungen zu:
u∞
∂u ∂p
+
= ν div grad u
∂x ∂x
u∞
∂v ∂p
+
= ν div grad v
∂x ∂y
Seite 206
∂w ∂p
+
= ν div grad w
∂x
∂z
∂u ∂v ∂w
+
+
=0
∂x ∂y
∂z
die gemeinsam mit der Kontinuitätsgleichung gelöst werden müssen. Die Lösung für das
Geschwindigkeits- und das Druckfeld um die Kugel lautet dann:
u∞
1 u∞ R
u = u∞ +
4 r
3x2 R2 R2
x2
−
−
3
−3
r4
r2
r2
v =
3
xy u∞ R 5 R 2 − r 2
4
r
w =
3
xz u∞ R 5 R 2 − r 2
4
r
u∞ R3 (r 2 − 3x2 ) 6νRx
1
u∞
p =
−
4
r5
r3
Die Umströmung von Zylindern nach Oseen
Abbildung 9.5: Umströmung eines Zylinders nach Oseen.
Der Beweis ist ein Machtkampf zwischen verschiedenen analytischen Lösungen des Differentialgleichungssystems und den Randbedingungen mit ihren hohen Ansprüchen. Er beginnt mit
einem Vorspiel, gefolgt von zwei Akten und wird beschlossen durch doppelte Ernüchterung.
Das Vorspiel. Auch hier wird das Geschwindigkeitsfeld wieder in einen Potentialanteil und
einen Rest zerlegt, wobei diese aber nun nicht die wirbelfreien und wirbelbehafteten Anteile
darstellen. Die Grundidee der Zerlegung basiert auf der Tatsache, dass man mit dem Gleichungssatz
Seite 207
p = u∞
∂φ
∂x
und
u=−
∂φ
∂x
v=−
∂φ
∂y
w=−
∂φ
∂z
schon einen Lösungsansatz gefunden hat. Durch Einsetzen best ätigt man leicht, dass sich so
jeweils der Druck- und der advektive Term gegenseitig annulieren. Auf der rechten Seite muss
die Impulsdiffusion also immer Null sein, was dann der Fall ist, wenn nur φ die Laplacegleichung
Δφ = 0
erfüllt.
Leider ist dieser elegante Lösungsansatz zu einschr änkend, er reicht nicht zur Befriedigung
der Randbedingungen der Umstr ömung von Kugel und Zylinder aus.
Der erste Akt. Daher bleibt man beim Druckansatz und versucht einen erweiterten Geschwindigkeitsansatz:
u=−
∂φ
+ u
∂x
v=−
∂φ
+ v
∂y
w=−
∂φ
+ w
∂z
p = u∞
∂φ
∂x
Damit werden die Impulsgleichungen
u∞
∂u
= ν div grad u
∂x
u∞
∂v = ν div grad v ∂x
u∞
∂w = ν div grad w ∂x
wenn φ weiterhin die Laplacegleichung
Δφ = 0
erfüllt und die Kontinuit ätsgleichung zu
∂u ∂v ∂w +
+
=0
∂x
∂y
∂z
werden.
Wir beginnen mit der Lösung der Laplacegleichung. Von ihr haben wir schon die inverse Radiusfunktion als Lösung kennengelernt. Da die Differentialgleichung linear ist, l öst auch jede Ableitung sowie beliebige Summen von Lösungen die Gleichung. Oseen arbeitete mit der
Lösung
φ=
A0
∂ 1
x
A0
+ A1
=
− A1 3
r
∂x r
r
r
Seite 208
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
Abbildung 9.6: Die Druckverteilung auf einen Zylinder und die Kugel nach Oseen.
womit das Geschwindigkeitsfeld die Form
u=
A0 xr 2 + A1 (r 2 − 3x2 ) +u
r5
y(A0r 2 − 3A1 x) +v
r5
v=
w=
z(A0 r 2 − 3A1 x)
+w 5
r
bekommt.
Dadurch bleibt der Potentialanteil in der L ösung nicht mehr kugelsymmetrisch, sondern bekommt einen in Strömungsrichtung x veränderlichen Anteil.
Der zweite Akt. Um etwas über die Geschwindigkeitsadditive in der L ösung herauszubekommen, schaute Oseen sich die Symmetrieeigenschaften der Drehung ω des Geschwindigkeitsfeldes an. Er kommt dabei zu folgenden Schlussfolgerungen:
Wenn eine Kugel aus der x-Richtung von allen Seiten gleichm äßig angeströmt wird, dann kann
es hinter der Kugel keine Drehung der Strömung um die x-Achse geben, denn es gibt keinen
Grund warum die Strömung entweder links- oder rechtsherum drehen sollte. Also muss
ωx =
∂w ∂v
−
=0
∂y
∂z
sein. Die zweite Bedingung wird auf Wirbellinien formuliert. Dies sind -genauso wie
Stromlinien- Linien, deren Tangente in jedem Punkt in Richtung des Drehungsvektors weist. In
einer yz-Ebene ist eine Wirbelline also durch die Gleichung
dz
ωz
=
dy
ωy
definiert.
⇔
ωz dy − ωy dz = 0
Seite 209
Nun definieren wir eine Funktion χ, die -wie die Stromfunktion auf den Stromlinien- auf den
Wirbellinien einen konstanten Wert hat, diese hierdurch also benamt. Die totale Änderung der
Funktion χ in der yz-Ebene ist:
dχ =
∂χ
∂χ
dy +
dz
∂y
∂z
Aus den letzten beiden Gleichungen bekommt man die Bedingungen
ωy = −
∂χ
∂z
und ωz =
∂χ
∂y
für die Funktion χ, damit diese auf den Wirbellinien konstant ist.
Die drei Bedingungen für die Drehung werden leicht nachweislich dann erf üllt, wenn die Geschwindigkeitsadditive die Form
u =
ν ∂χ
−χ
u∞ ∂x
v =
ν ∂χ
u∞ ∂y
w =
ν ∂χ
u∞ ∂z
haben. Damit wird die Impulsgleichung f ür u zu:
∂ 2 χ u∞ ∂χ
−
= div grad
∂x2
ν ∂x
ν ∂χ
−χ
u∞ ∂x
Das Besondere des Ansatzes wird dann offenkundig, wenn man ihn in die verbleibenden Impulsgleichungen für v und w und die Kontinuitätsgleichung einsetzt. Sie werden alle drei zu
ein und derselben Differentialgleichung:
∂χ
ν
div grad χ
=
∂x
u∞
Zudem steckt diese Differentialgleichung noch doppelt in der vorletzten Gleichung (n ämlich
wie ?), womit eine Lösung der letzten Gleichung alle anderen Gleichungen auch l öst. Die
Lösung dieser vielbedeutenden Differentialgleichung lautet nun
χ=
u∞
C
exp
(x − r)
r
2ν
wie man durch Einsetzen mühevoll bestätigen kann.
Durch rückwärtiges Zusammensetzen und Vereinfachen bekommt man nun die folgenden
Lösungen des Gesamtproblems:
A1 (r 2 − 3x2 ) + A0 xr 2
u∞ xr + u∞ r 2 + 2νx C
u∞
u =
exp
(x − r)
−
5
2
r
2ur
r
2ν
u∞
y(A0r 2 − 3A1 x)
y
2ν C
exp
(x − r)
v =
− 2 r+
5
r
2r
u∞ r
2ν
u∞
z(A0 r 2 − 3A1 x)
z
2ν C
exp
(x − r)
w =
− 2 r+
5
r
2r
u∞ r
2ν
Seite 210
Die fehlenden Konstanten A1 , A2 und C müssen nun durch die Randbedingungen im Unendlichen und auf der Kugeloberfläche bestimmt werden.
Die Ernüchterung. Wieder braucht man gar nicht lange zu probieren, um festzustellen, dass
dies nicht möglich ist. Daher approximierte Oseen die Exponentialfunktion durch die ersten
Glieder ihrer Reihe
χ=
C
u∞
exp
(x − r)
r
2ν
C
1 u∞ u∞ x
−
+
+ ...
r
2ν
2ν r
womit die Lösung die Form
A1 (r 2 − 3x2 ) + A0 xr 2
u2∞ r 2 (r − x) − u∞ ν(r 2 + x2 ) − 2ν 2 x
+
C
r5
2νu∞ r 3
2
y(A0r − 3A1 x)
y u∞ x + 2ν
v =
−C
5
r
u∞
2r 3
2
z(A0 r − 3A1 x)
z u∞ x + 2ν
w =
−C
5
r
u∞
2r 3
u =
annimmt. Auf der Kugeloberfläche (r = R) sollen diese Lösungen Null werden. Belegt man
die Konstanten mit C = 32 u∞ R, A0 = 32 νR und A1 = (− 14 u∞ R3 ) dann verschwinden die
Geschwindigkeiten dort
u = −u∞ +
3 u2∞ (r − x)
4
ν
v=0
w=0
immer noch nicht vollständig. Daher wird der Term u2∞ r 2 (r − x) im zweiten Bruch vernachlässigt, was für kleine Reynoldszahlen sicherlich nicht verkehrt ist. Setzt man nun noch die
Konstanten C, A0 und A1 wie gefunden ein, dann ergeben sich die schon anfangs dargestellten
Quasilösungen. 2
2
Nicolle Deussfeld schrieb zum Thema folgendes Gedicht:
warum denn noch den stokes gebrauchen?
den kannst in der pfeife rauchen.
hast du nix von oseen gehört?
den hat’s schon neunzehn zehn gestört
dass stokes es sich so einfach macht
und hat sich dann mal was gedacht:
wie simpel ist denn hier das u
ich pack ma den gradient dazu
davor steht aber noch ein u
da seh ich aber lieber zu
dass sich das nicht verändern tut
dann klappt das mit laplace ganz gut
das nennt man linearisiern
das könn’ die bauings auch kapiern
dann hat er noch wild rumgemacht
und uns ne formel ausgedacht
was leider keinen interessierte
doch! es gab einen der’s studierte
so blättre nicht in großen werken
du kannst dir einfach das hier merken:
willst du den oseen versteh’n
dann musst du zu andreas geh’n
9.4. Der Strömungswiderstand von Kugel und Zylinder
Seite 211
9.4 Der Strömungswiderstand von Kugel und Zylinder
Eine gewonnenen Geschwindigkeitslösungen für die Umströmung von Kugel und Zylinder
kann man nun dazu verwenden, den Strömungswiderstand dieser Körper zu bestimmen. Dazu
muss das Integral (9.1) für das von ihm erhaltene Geschwindigkeits- und Druckfeld ausgewertet werden. Dabei ist der Normaleneinheitsvektor auf die Körperbewandung nW = − Rr ; das
negative Vorzeichen entsteht deshalb, weil er aus der Flüssigkeit hinausweisen soll. Schauen
wir uns zunächst den Druckterm an. Er wird auf der Körperoberfläche:
$
pnW dA = −
$ 3 u∞r
p0 − μ
2 R2
r
dA
R
Der Reibungsterm ist schwieriger, aber wagen wir uns dennoch an ihn heran:
−
$
P nW dA = −
$
3μ
r
(u∞r) 2 − u∞ dA
2R
R
Für die Summe von Druck- und Reibungsterm bekommt man:
F =
$
(pnW − P nW )dA = −
$ r
3μ
p0 +
u∞ dA
R 2R
Die Integration über den Druckterm ist Null: p 0 und R können als konstante Faktoren vor das
Integral gezogen werden. Ferner verschwindet die Integration über den Radiusvektor, weil es
zu jedem festen Radiusvektor einen auf der Kugel entgegengesetzt orientierten mit umgekehrten Vorzeichen gibt.
Der Reibungsterm enthält nur konstante Faktoren, die alle vor das Integral gezogen werden
können, so dass sich
3μ
F = − u∞
2R
$
dA
%
ergibt, wobei dA die umströmte Fläche ist. Für die Kugel bedeutet dies mit
F = −6πμu∞ R
Mit der Einführung der auf die Kugel bezogenen Reynoldszahl
Re =
u∞ d
ν
bekommt der Widerstandsbeiwert cW die Form:
cW =
24
Re
für die Kugelund Re < 1
%
Für einen Zylinder der Höhe H gilt mit dA = 2πRH:
%
dA = 4πR2 :
Seite 212
F = −3πμu∞ H
Dabei beachte man, dass der Reibungsbeiwert auf die angeströmte Fläche A = 2RH bezogen
ist:
cW =
6π
Re
für den Zylinder und Re < 1
Sowohl für den Zylinder als auch für die Kugel fällt der cW -Wert mit wachsender Reynoldszahl
gegen Null ab. Dies bedeutet nicht, dass auch der Widerstand dann verschwindet, sondern laut
Definition des cW -Werts nur, dass der Strömungswiderstand nicht quadratisch, sondern nur
linear mit der Anströmgeschwindigkeit wächst.
Trotzdem der Gültigkeitsbereich dieser Berechnungen stark eingeschränkt ist, besitzt die Stokessche Widerstandsformel eine weitreichende wissenschaftliche Wirkungsgeschichte.
So wurde die Formel von Robert A. Millikan zur Auswertung seines berühmten Öltröpfchenversuchs angewendet, für den er 1923 mit dem Nobelpreis der Physik ausgezeichnet wurde.
Bei diesem Versuch wird das Absinken von geladen Öltropfen in einem elektrischen Feld zwischen zwei Kondensatorplatten beobachtet3 . Die Sinkgeschwindigkeit ist dabei das Resultat
aus Gewichtskraft, elektrischer Feldkraft und Stokesschem Widerstand.
Die Oseensche Erweiterung
In gleicher Weise kann man nun die Widerstandskraft aus dem von Oseen gewonnenen Geschwindigkeitsfeld und der Drucklösung bestimmen. Hier erhält man:
3Ru∞
F = −6πμu∞ R 1 +
8ν
F =
4πμu∞ H
4πμu∞ H
Ru∞ = −
ln 3.70ν
0.0772 + ln 4ν
Ru∞
bzw. cW =
24
3
1 + Re
Re
16
bzw. cW =
8π
Re(2 − ln Re)
für die Kugel
für den Zylinder
Ein Vergleich mit den sich tatsächlich einstellenden Geschwindigkeitsfeldern zeigt allerdings,
dass sich schon bei etwas größeren Reynoldszahlen, also Re > 5, Ablösungen der Grenzschicht ausbilden. Was darunter zu verstehen ist, wollen wir im folgenden Abschnitt behandeln. Damit besitzt die Oseensche Lösung einen Gültigkeitsbereich von etwa 1 < Re < 5.
3
Diesen Versuch musste ich auch im Praktikum des Physikstudiums durchleiden. Dabei sollte das Absinken
einzelner Öltröpfchen beobachtet werden. Damit diese der Stokesschen Formel gehorchen, muß ihre Reynoldszahl und damit ihr Durchmesser sehr klein sein. Die Tröpfchen werden dazu mit einen Zerstäuber erzeugt und
ihr Absinken durch ein Mikroskop beobachtet. Der Kommilitone stoppte dabei auf meine Zeichen die Zeit, die
das Tröpfchen benötigte, um zwei Marken im Okular zu passieren. Diese anstrengende Beobachterei hat einen
Abend Kopfschmerzen gekostet, da der Assistent natürlich hinreichend viele Messergebnisse verlangte, um eine
ordentliche Fehlerstatistik zu erstellen.
Seite 213
1000
Swamee and Ojha
Oseen
Stokes
cw-Wert
100
10
1
0,1
0,1
1,0
10,0
100,0
1000,0
10000,0
100000,0
1000000,0
Reynoldszahl Re
Abbildung 9.7: Der cW -Wert der Kugel als Funktion der Reynoldszahl.
Für größere Reynoldszahlen kann die Widerstandskraft von Kugel und Zylinder nur noch experimentell bestimmt werden. Die Ergebnisse für die Kugel haben Swamee und Ojha [76]
durch die Funktion
⎛
cW = 0.5 ⎝16
24
Re
1.6
130
+
Re
0.72
2.5
+
40000
Re
2
−0.25 ⎞0.25
+1
⎠
gefittet. Sie gibt die experimentellen Ergebnisse für Reynoldszahlen bis zu 100000 mit einem
Fehler kleiner als 3% wieder. Sie ist so konzipiert, dass sie für Re → 0 gegen den Stokesschen
Widerstand und für Re → ∞ gegen 1/2 konvergiert.
Übung 48: Beweisen Sie, dass die Formel von Swamee und Ojha für Re → 0 gegen den
Stokesschen Widerstand und für Re → ∞ gegen 1/2 konvergiert.
Für den cW -Wert des Kreiszylinders gilt nach Schlichting die folgende einfache Approximation:
Re < 800
800 ≤ Re < 6000
6000 ≤ Re < 11000
11000 ≤ Re
3.07/Re0.168
1.0
1.0 + 0.2 (Re - 6000)/5000
1.2
Seite 214
9.5. Die Ablösung der Grenzschicht
u¥
d
H
Übung 49: Ein Fabrikschornstein mit der Höhe
H = 100 m und dem Durchmesser d = 4 m wird
mit der Windgeschwindigkeit v ∞ = 10 m/s
angeströmt. Wie groß ist bei dieser Geschwindigkeit die Gesamtkraft auf den Schornstein?
3
−6
Luf t = 1.2kg/m , μ = 18 · 10 kg/(ms).
Übung 50: Ein Fabrikschornstein hat die Höhe
H = 40 m und den Durchmesser d = 2 m. Er
wird von einer linear von unten (vu = 20 m/s)
nach oben (vo = 40 m/s) zunehmenden Geschwindigkeit angeströmt.
d
uo
1. Wie groß ist die resultierende Luftkraft
auf den Schornstein?
dz
H
2. Wie groß ist das resultierende Biegemoment bezüglich des Schornsteinfußes
(Punkt 0)?
= 1.2kg/m3 , μ = 18 · 10−6 kg/(ms),
= 0.8
Luf t
cW
uu
9.5 Die Ablösung der Grenzschicht
Die Projektion des sich bei der schleichenden Strömung ausbildenden Geschwindigkeitsfelds
auf die Anströmrichtung ist immer auch in diese orientiert. An keinem Ort kehrt sich die
Geschwindigkeit also in dem Sinne um, dass ihre Projektion sich entgegengesetzt zur Anströmung ausrichtet. Dies wird bei Reynoldszahlen ab etwas fünf anders.
Hier stellt sich in gewissen Bereichen der Körperoberfläche eine Rückströmung ein, die das
darüber liegende in Anströmungsrichtung ausgerichtete Grenzschichtprofil vom Körper ablöst.
Man bezeichnet den Effekt daher auch als Ablösung der Grenzschicht, obwohl man ihn auch
als Ausbildung einer Rückströmung bezeichnen könnte.
Solange die Strömung innerhalb der Grenzschicht laminar verläuft, liegt der Ablösepunkt noch
Seite 215
vor der größten Querausdehnung.
Dieser Ablösungseffekt hat zwei Ursachen: Zum einen resultiert er aus der Entwicklung einer
Grenzschicht über einer gekrümmten Körperoberfläche, zum anderen hat er etwas mit den
nichtlinearen Advektionstermen in den Navier-Stokes-Gleichungen zu tun.
Zur Analyse des Effekts legen wir die x-Achse parallel zur gekrümmten Körperoberfläche und
betrachten stationäre Navier-Stokes-Gleichung in diese Richtung, in der keine äußeren Kräfte
wirken sollen:
∂u
∂u
1 ∂p
∂2u
∂2u
∂2u
∂u
+v
+w
=−
+ν 2 +ν 2 +ν 2
u
∂x
∂y
∂z
∂x
∂x
∂y
∂z
Diese Gleichung stellt natürlich eine erhebliche Vereinfachung dar, da sie so nicht in gekrümmten Koordinatensystemen gilt. Das hierfür erforderliche mathematische Handwerkszeug werden wir erst in Kapitel 16.2 kennenlernen. Hier beschränken wir uns auf die einfachere Herleitung zur Entstehung des Phänomens Ablösung.
Neben den Randbedingungen muß die Navier-Stokes-Gleichung auch direkt an der Wand gelten. Da hier die Strömungsgeschwindigkeit nach der Wandhaftbedingung Null ist, fallen alle
advektiven Terme auf der linken Seite und die Zeitableitung weg:
∂2u
∂2u
∂2u
1 ∂p
=ν 2 +ν 2 +ν 2
∂x
∂x
∂y
∂z
an der Wand
Wir wollen zur weiteren Vereinfachung des Problems annehmen, dass die Geschwindigkeitsgradienten senkrecht zur Wand, also in y-Richtung wesentlich größer als in die anderen beiden
Richtungen sind und vernachlässigen diese:
1 ∂p
∂2u
=ν 2
∂x
∂y
an der Wand
Wir teilen das Strömungsgebiet wieder in Grenzschicht und Außenbereich ein. Dort liegen
wieder ideale, rotationsfreie Verhältnisse vor, so dass die Bernoulligleichung dort gültig ist:
p(x) +
u2
= const.
2
⇒
u
∂u
1 dp
=−
∂x
dx
in der Außenschicht
Geht man ferner wie in Abschnitt 8.3.2 wieder davon aus, dass sich der Druck lediglich in
Strömungsrichtung, nicht aber senkrecht zur Körperoberfläche ändert, dann kann man die letzten zwei Gleichungen folgendermaßen wechselseitig gleich setzen:
∂u ∂ 2 u 1 dp
= −u = ν 2
dx
∂y an der Wand
∂x in der Außenschicht
Die Folgerungen aus dieser Gleichung sollen nun anhand von drei Fallbeispielen diskutiert
werden:
Seite 216
• Im Bereich der Anströmung eines Körpers verengt dieser den der Strömung zur
Verfügung stehenden Raum zunehmend. Dadurch erfährt das Geschwindigkeitsfeld ei> 0. Somit fällt der Druck in
ne lokale Beschleunigung längs der Körperkontur ∂u
∂x
dp
Strömungsrichtung ab dx < 0 und das Geschwindigkeitsprofil senkrecht zur Wand ist
2
negativ gekrümmt, ∂∂yu2 < 0, d.h. steigt mit dem Wandabstand zunächst sehr steil und
dann immer flacher.
• Da die Körperkontur irgendwo wieder zusammenlaufen wird, gibt es mindestens einen
Punkt oder aber einen Bereich, der keine Oberflächenkrümmung aufweist. Dort bleibt
die Außengeschwindigkeit konstant, ∂u∂x∞ = 0. Gleiches gilt dann auch für den Druck
2
dp
= 0 und das Geschwindigkeitsprofil senkrecht zur Wand ist neutral gekrümmt, ∂∂yu2 =
dx
0.
• Im hinteren Bereich des Körpers weitet sich der der Strömung zur Verfügung stehende Raum wieder auf. Dadurch erfährt das Geschwindigkeitsfeld eine lokale Verzögerung entlang der Körperkontur ∂u
< 0. Somit steigt der Druck in Strömungsrichtung
∂x
dp
an dx > 0 und das Geschwindigkeitsprofil senkrecht zur Wand ist positiv gekrümmt,
∂2u
> 0. Dies bedeutet, dass die Geschwindigkeitssteigung mit dem Wandabstand im∂y 2
mer weiter zunimmt. Damit muß sich innerhalb der Grenzschicht ein Wendepunkt des
Geschwindigkeitsprofils befinden. Es hängt dabei von der Stärke der Druckzunahme ab,
ob es dabei zu einer Rückströmung kommt oder nicht.
Bei Reynoldszahlen ab 140 werden die Ablösepunkte unsymmetrisch und wandern alternierend über die Leeseite des Körpers. Hinter dem gerade vorn liegenden Ablösepunkt bildet
sich ein Wirbel, der sich mit geringerer Geschwindigkeit vom Körper entfernt als die außen
liegende Strömung. Es entsteht eine Reihe alternierender Wirbel, die man als Karmannsche
Wirbelstraße bezeichnet.
Die praktische Bedeutung der Karmannschen Wirbelstraße liegt darin, dass sie eine alternierende instationäre Kraft auf den Körper ausübt. Die Frequenz dieser anregenden Kraft wird
durch die dimensionslose Strouhalzahl
Sr =
νK d
u∞
ausgedrückt, wobei νK die Anregungsfrequenz ist. Die Strouhalzahl ist eine Funktion der
Reynoldszahl, sie ist aber im Bereich 103 < Re < 105 recht konstant Sr = 0.21.
Bei Reynoldszahlen größer als 3 · 105 wird die Grenzschicht turbulent, liegt aber wegen des
größeren Impulses des anströmenden Fluids länger an. Die Ablösung erfolgt deutlich hinter dem Bereich der größten Querausdehnung, wodurch die Wirbelschleppe gegenüber der
Anströmung mit laminarer Grenzschicht signifikant kleiner wird. Vergleicht man die resultierenden Druckverteilungen, so kann man eine Abnahme der resultierenden Druckkraft im
turbulenten Bereich erkennen.
9.6. Der Impulsverlust der Strömung
Seite 217
Abbildung 9.8: Voll ausgebildete Karmansche Wirbelstraße.
9.6 Der Impulsverlust der Str ömung
In den vorangegangenen Ausführungen hatten wir gesehen, dass die Berechnung des Geschwindigkeitsfeldes um einen Körper sehr komplex, ja für den gesamten Reynoldszahlenbereich exakt sogar unmöglich ist. Daher beschränkt man sich auf die Angabe von experimentell
bestimmten Beiwerten, mit denen man die Kraftwirkung auf einen Körper berechnen kann.
Mit dieser Kraftwirkung auf den Körper verliert die Strömung umgekehrt natürlich auch Impuls, wodurch das Geschwindigkeitssfeld seine Eigenschaften ändert. In vielen praktischen
Berechnungen möchte man die Wirkung eines oder mehrerer Störkörper auf die Strömung
erfassen, ohne dass man das vollständige gestörte Geschwindigkeitsfeld bestimmen möchte.
Es stellt sich somit die Frage, ob man nicht aus der Widerstandskraft des Körpers auch den
Impulsverlust der Strömung berechnen kann.
Dazu betrachten wir den Störkörper als etwas, was der Strömung Impuls entzieht und ordnen
ihm die Kraftdichte
FW
A uu
= cW
fW =
V
V 2
zu. Die Impulsgleichungen sind dann:
1
1
Du
= − grad p + div P + fW + g
Dt
Leiten wir aus diesen nochmals die Bernoulligleichung ab, dann bekommt man für die durch
den Strömungswiderstand induzierte Verlusthöhe:
hV = cW
uu
2g
Somit kann man bei bekanntem cW -Wert direkt die Verlusthöhe in der Bernoulligleichung für
eine vereinfachte hydraulische Berechnung bestimmen.
Seite 218
9.6. Der Impulsverlust der Strömung
Abbildung 9.9: Widerstandsbeiwerte verschiedener umströmter Körper.
9.7. Partikeldynamik in Fluiden
Seite 219
9.7 Partikeldynamik in Fluiden
Der Transport von Sedimenten setzt sich phänomenologisch aus der Bewegung von einzelnen
Partikeln zusammen, daher soll in diesem Abschnitt deren Dynamik in Fluiden untersucht
werden.
9.7.1 Die Basset-Boussinesq-Oseen-Gleichung
Die Bewegungsgleichung eines sphärischen Sedimentpartikels mit dem Durchmesser d und
der Dichte S unter dem Einfluß von Schwerkraft und Auftriebskraft ist gegeben durch
1 3
πd
6
S
dup
1
= − πd3 (
dt
6
S
− )g
wobei die Fluiddichte, up die Partikelgeschwindigkeit und g = (0, 0, g) t die zu einem Vektor
erweiterte Gravitationsbeschleunigung bezeichnet. Da die rechte Seite konstant ist, wird das
Partikel laut dieser Gleichung im Fluid gleichmäßig beschleunigt. Unter Einbeziehung des
Strömungswiderstandes des Partikels im Fluid ergibt sich für die Bewegungsgleichung
1 3
πd
6
S
1
dup
= − πd3 (
dt
6
S
1
− )g − CD πd2 up − uf (up − uf )
8
wobei CD der Widerstandsbeiwert des Partikels ist.
Boussinesq hat diese Gleichung für den Fall erweitert, daß zusätzlich zur Partikelbewegung eidu
ne Beschleunigung des Fluides dtf stattfindet. So ergibt sich durch das hierdurch entstehende
du
du
eine zusätzliche Auftriebskraft FA = 16 πd3 dtf , die eine BeschleuDruckgefälle dtf = − ∂p
∂z
nigung des Partikels in entgegengesetzter Richtung zur Fluidbeschleunigung hervorruft. Damit
wird die Bewegungsgleichung des Partikels im beschleunigten Fluid zu
1 3
πd
6
S
1
1
dup
duf
= πd3
− πd3 (
dt
6
dt
6
S
1
− )g − CD πd2 up − uf (up − uf )
8
Bei der Untersuchung der Bewegung von Luftschiffen in Strömungskanälen (Luftschiffe ohne
Eigenantrieb kann man selbstverständlich als etwas groß geratene Partikel in dem Fluid Luft
betrachten) in den zwanziger Jahren dieses Jahrhunderts stellte man fest, daß obige Bewegungsgleichung die Beschleunigung des Partikels als zu hoch wiedergibt. Eingehende Analysen des Problems (nicht ohne militärische Hintergedanken) zeigten, daß an dem Partikel
zusätzliche Fluidmasse gebunden ist und sich -auch in reibungslosem Fluid- mit dem Partikel
mitbewegt und somit die Partikelmasse virtuell erhöht. Da diese zusätzliche Masse als träge
du
up
− dtf ) des Partikels bezogen auf das Fluid
Masse nur auf die relative Beschleunigung ( ddt
wirkt, sowie die mitbewegte Masse proportional dem Partikelvolumen und der Fluiddichte ist,
wird die Bewegungsgleichung in folgender Form korrigiert [60]:
1 3
πd
6
1
dup
= πd3
S
dt
6
duf
dup duf
− km
−
dt
dt
dt
1
− πd3 (
6
S−
1
)g − CD πd2 up −uf (up −uf )
8
Seite 220
wobei km der virtuelle Massenkoeffizient genannt wird. Für ein sphärisches Partikel kann unter gewissen Annahmen gezeigt werden, daß km = 12 .
In der obigen Bewegungsgleichung des Partikels ist noch nicht der Einfluß der Beschleunigung auf den turbulent-viskosen Strömungswiderstand auf das Partikel berücksichtigt worden.
Boussinesq [7], [4] leitete hierfür folgende Form her
FB =
3 √
πνd2
2
t dup (t )
dt √
− dtf (t ) dt
t − t0
t0
du
der auch Basset-Widerstand genannt wird. Insgesamt ergibt sich somit folgende Bewegungsgleichung für das Partikel im Fluid
1 3
πd
6
dup
dup duf
1 3 duf
1
=
πd
− km
−
− πd3 ( S − )g
S
dt
6
dt
dt
dt
6
t dup (t ) − duf (t )
1
3 √
2
2
dt √
dt
−
πνd
dt
CD πd up − uf (up − uf ) −
8
2
t − t0
t0
die auch Basset-Boussinesq-Oseen-Gleichung [31] oder kurz BBO-Gleichung genannt wird.
Das zentrale Problem bei der Lösung dieser Gleichung besteht darin, die Geschwindigkeit des
umgebenden Fluids hier richtig anzusetzen, die sich aus mittleren und turbulent-fluktuierenden
Anteilen zusammensetzt. Dabei kann man hier nicht einfach mit einem Modell ansetzen, welches die Turbulenz im ungestörten Fluid statistisch nachbildet, da die Anwesenheit von Partikeln die Turbulenz sowohl anfachen aber auch dämpfen kann.
9.7.2 Die Stokessche Sinkgeschwindigkeit
Im stationären Fall, d.h.
dup
dt
=
duf
dt
1
− πd3 (
6
= 0 reduziert sich die vertikale BBO-Gleichung auf
S
1
− )g = CD πd2 (wp − wf )2
8
und somit unter Einführung der Sinkgeschwindigkeit w s
4 d S−
g
(9.2)
3 CD
Die Sinkgeschwindigkeit ist also positiv, wenn ein Partikel sinkt, obwohl es sich dann in negativer Vertikalrichtung bewegt. Es verbleibt das Problem, den Widerstandsbeiwert C D zu bestimmen was mit Hilfe der letzten Beziehung experimentell sicherlich nicht sonderlich schwierig ist. Dieser hängt nach Stokes davon ab, ob das fallende Partikel sich laminar durch das es
umgebende Fluid bewegt, oder ob sich hierdurch Turbulenzen ausbilden. Dabei treten Turbulenzen umso eher auf, desto größer die Sinkgeschwindigkeit und der Durchmesser des Partikels und desto kleiner die Zähigkeit des umgebenden Fluides ist. Diese physikalischen Größen
werden in der Kornreynoldszahl
wS := −(wp − wf ) =
Seite 221
wS d
(9.3)
ν
gebündelt. Stokes hat den Strömungswiderstand gegen eine Kugel für den Fall bestimmt, daß
die advektiven Terme gegenüber den viskosen Termen in der Navier-Stokes-Gleichung vernachlässigt werden können, er erhielt für den Widerstandsbeiwert
Rep =
CD =
24
24ν
=
Rep
wS d
für Rep < 0.5
und somit die nach ihm benannte Widerstandsformel:
FR = −3πν (up − uf ) d
(9.4)
Ihre Besonderheit ist der nur lineare Anstieg des Strömungswiderstandes mit der Partikelgeschwindigkeit, der grundsätzlich nur für kleine Geschwindigkeiten richtig ist. Daß dies bei
größeren Geschwindigkeiten nicht gilt, merken wir beim Autofahren, der Benzinverbrauch
steigt nicht linear sondern überproportional mit der gefahrenen Geschwindigkeit.
Ersetzt man die durch den CD -Wert ausgedrückte Reibungskraft durch die Stokessche Reibungsformel, so erhält man die Stokessche Sinkgeschwindigkeit w S einer laminar umströmten
Kugel:
g S− 2
(9.5)
d.
18ν
Die Dynamik eines sphärischen Partikels in einem Fluid wird also im wesentlichen durch
seinen Durchmesser und seine Dichte bestimmt. Ideal wäre es daher, gegebene Sedimente
nach diesen beiden Parametern zu klassifizieren, d.h. zweiparametrische Verteilungen zu verwenden. Muß man sich für einen der beiden Parameter entscheiden, wird es vom Standpunkt
der Sinkgeschwindigkeit aus schwierig. Ein erster Blick auf die Stokessche Formel sagt, daß
eine Klassifizierung nach dem Durchmesser wichtiger ist, da dieser quadratisch in die Sinkgeschwindigkeit eingeht. Partikel des doppelten Durchmessers haben also die vierfache Sinkgeschwindigkeit. Vergleichen wir allerdings die Sinkgeschwindigkeit von zwei Partikeln mit
den Dichten 1300 kg/m3 und 2600 kg/m3, dann haben letztere gegenüber ersteren eine mehr
als fünffache Sinkgeschwindigkeit. Dies liegt daran, daß die Dichte in dieser und vielen anderen Gesetzmäßigkeiten des Sedimenttransports als reduzierte Dichte S− erscheint. Dieser
Faktor reagiert besonders empfindlich, wenn die Sedimentdichte in der Nähe der Fluiddichte
liegt. Vom dynamischen Standpunkt aus gesehen, sollten die Sedimente also zweiparametrisch
klassifiziert werden.
Leider ist die Stokessche Formel nur sehr eingeschränkt einsetzbar. Substituiert man die Sinkgeschwindigkeitsformel in das Partikelreynoldszahlkriterium für die laminare Bewegung, dann
bekommt man ein Kriterium, welches die Gültigkeit der Stokesformel auf den Korndurchmesser
wS =
Seite 222
d<
1/3
9ν 2
g
S
−
einschränkt. Bei einer Korndichte von S = 2650 kg/m3 entspricht diese einem Durchmesser
von 0.08 mm, womit wir uns für alle Sandkörner eine andere Sinkgeschwindigkeitsformel
suchen müssen.
9.7.3 Die Sinkgeschwindigkeit nach dem Oseenschen Widerstandsgesetz
Eine Verbesserung der Stokesschen Widerstandsgesetz für die Kugel hat Ossen gefunden:
cD =
24
3
1 + Rep
Rep
16
1 < Rep < 5
für
Damit wird die Sinkgeschwindigkeit nach Gleichung (9.2) zu:
wS =
wS d2
1
18 ν + 3 wS d
S
−
g
16
Diese implizite Gleichung muss für die Sinkgeschwindigkeit iterativ gelöst werden, wobei
sich als Startwert die Sinkgeschwindigkeit nach Sokes anbietet. Man sollte dabei genau diese
Form verwenden und nicht die Sinkgeschwindigkeit im Zähler der Wurzel auf die andere Seite
bringen.
Die Abbildung 9.10 zeigt, daß gerade für Korndurchmesser bis etwa 0.1 mm Stokes und Oseen
annähernd dieselben Sinkgeschwindigkeiten bestimmen. Genau dann verläßt Stokes seinen
Gültigkeitsbereich und wir sollten uns auf Oseen verlassen, der damit wesentlich allgemein
gültiger ist.
9.7.4 Die Sinkgeschwindigkeit nach Dietrich
Dietrich [17] hat einen empirischen Zusammenhang für die Sinkgeschwindigkeit gesucht, der
nicht nur für sphärische, sondern nahezu beliebig geformte Partikel gültig ist. Sein Ergebnis
soll das Sinken von idealen Quarzpartikeln in reinem Wasser bis hin zu der sich ergebenden
mineralischen Zusammensetzung einer abkühlenden Magmaschmelze und den darin eingeschlossenen Kristallen beschreiben. Die Formel lautet:
wS =
S
−
1/3
gνw∗
wobei die dimensionslose Sinkgeschwindigkeit w ∗ als
Seite 223
100
10
Stokes
Sinkgeschwindigkeit [m/s]
Dietrich
Oseen
1
0,1
0,01
0,001
0,0001
0,00001
0,00001
0,0001
0,001
0,01
Korndurchmesser [m]
Abbildung 9.10: Die Sinkgeschwindigkeit nach Stokes, Oseen und Dietrich (Corey Shape Faktor 1.0, Powers Rundheitsbeiwert 6) als Funktion des Partikeldurchmessers.
w∗ = R2 R3 10R1
berechnet wird. Der Parameter R1 enthält die Abhängigkeit von Korndurchmesser und -dichte.
Um diese darzustellen, wird zunächst ein von der Dichte abhängiger dimensionsloser Korndurchmesser D∗ eingeführt. Dieser wird in der Literatur auf zwei Arten definiert. Dietrich
benutzt die Darstellung
D∗ =
(
S
− ) g 3
d
ν2
er wächst also proportional zur dritten Potenz des Korndurchmessers selbst. Für diese Größe ist
der Begriff ’dimensionsloser Korndurchmesser’ sicherlich unpassend, daher wird im folgenden
nur die Definition
D∗ =
(
S
− ) g
ν2
1/3
d
(9.6)
verwendet, die linear zum Korndurchmesser ist. Damit hat der Parameter R1 die Darstellung:
R1 = −3.76715 + 5.78832 log D∗ − 0.88335(log D∗ )2 − 0.15525(log D∗ )3 + 0.04536(log D∗ )4
Seite 224
Der Parameter R2 berücksichtigt die Tatsache, daß kaum ein Partikel durch einen Durchmesser
bestimmt ist. Letzteres gilt nur für isometrische Körper. Definitiv hat aber jedes Partikel eine
Achse, auf der der Durchmesser maximal wird. Senkrecht hierzu läßt sich eine Achse so finden, daß dort der Durchmesser minimal wird. Und wieder senkrecht zu diesen beiden Achsen
kann man einen mittleren Durchmesser annehmen. Der Corey-Formfaktor
c
CSF = √
ab
vergleicht die Länge der längsten und der kürzesten Achsen a und b mit der mittellangen Achse
c. Bei einem diskussförmigen flachen Partikel ist die mittlere Achse etwa so groß wie die
lange Achse, somit ist der Formfaktor wesentlich kleiner als eins. Bei einem zigarrenförmigen
Partikel ist die mittlere mit der kürzesten Achse vergleichbar und der Formfaktor ist größer als
eins.
Bei ihrem Transport werden die anfänglich sehr kantigen Sedimentpartikel durch fortwährende
Stöße gerundet, diesen Prozeß bezeichnet man manchmal als Abrasion. Die meisten Sedimente
haben einen Formfaktor von etwa 0.7, sind also eher diskussförmig.
Die Abhängigkeit der Sinkgeschwindigkeit von Formfaktor ist:
1 − CSF
0.85
Es wurde schon erwähnt, daß der Corey-Formfaktor für die Kugel und für reguläre Polyeder
eins ist. Von letzteren gibt es genau fünf, der Tetraeder, der Würfel, der Oktaeder, der Ikosaeder
und der Dodekaeder. Diese unterscheiden sich äußerlich in so etwas wie ihrer Kantigkeit, die
sicherlich auch einen Einfluß auf die Sinkgeschwindigkeit hat. Der Parameter R3 soll nun die
Kantigkeit eines Körpers berücksichtigen, d.h. z.B. im Fall von CSF = 1 die Abweichungen
von der Kugelgestalt.
R2 = 1 −
&
'
1+(3.5−P )/2.5
CSF
tanh(3 log D∗ − 4.6)
2.83
Dabei ist P Powers Rundheitsbeiwert, er ist für die Sphäre 6, sehr kantiges Material hat Werte
zwischen 2 und 3. Der Rundheitsbeiwert erhöht die Sinkgeschwindigkeit für kantige Materialien (P = 1) gegenüber runden (P = 6) um ca. 50%.
Bei ihrem Transport werden die anfänglich sehr kantigen Sedimentpartikel durch fortwährende
Stöße gerundet, dieser als Abrasion bezeichnete Prozeß erhöht also den Rundheitsbeiwert.
Will man Sedimente nach der Dietrichschen Sinkgeschwindigkeit klassifizieren, benötigt man
eine vierparametrige Verteilung, neben der Dichte und dem Durchmesser sind Formfaktor und
Glattheitsbeiwert zu bestimmen und zu klassifizieren.
Übung 51: Fallschirmspringen
R3 = 0.65 −
1. Leiten Sie die die Formel für die Fallgeschwindigkeit eines Fallschirms des Schirmdurchmessers d und der Gesamtmasse (Schirm plus Springer M her. Gehen Sie dabei
von der Richtigkeit der Stokesschen Widerstandsformel aus.
Seite 225
2. Welchen Durchmesser muss ein Fallschirm haben, wenn ein Gesamtgewicht von 80 kg
mit maximal 1 m/s auf den Erdboden treffen soll ( L = 1.21, νL = ...) ?
3. Überprüfen Sie mit der Hilfe der Reynoldszahl des Fallschirms, ob die Stokessche Widerstandsformel gültig ist.
4. Wiederholen Sie Ihre Kenntnisse zum Strömungswiderstand von Körpern und schlagen
Sie Verbesserungen des Berechnungsverfahrens zu Erhöhung der Sicherheit des Springers vor.
9.8 Zusammenfassung
Der Strömungswiderstand eines Körpers setzt sich aus Druck- und Reibungsanteilen zusammen. Er wächst mit der Dichte des anströmenden Fluids und mit dem Quadrat der Anströmgeschwindigkeit. Er kann unter der Verwendung von Widerstandsbeiwerten grob abgeschätzt werden. Für reale Anwendungen ist das Widerstandsverhalten in Abhängigkeit von
der Reynoldszahl experimentell zu bestimmen.
Seite 226
Kapitel 10
Die Vertikalstruktur der
Gerinneströmung
Nachdem wir die innere Struktur einer Rohrströmung kennengelernt haben, wollen wir uns
der Strömung in Fließgewässern zuwenden und die sich einstellende Vertikalstruktur genauer
analysieren. Fließgewässer stellen eine Unterklasse der Oberflächengewässer dar. Diesen ist
das Vorhandensein eines Wasserspiegels gemein, der sich je nach vorhandener Wassermenge
frei einstellen kann, man bezeichnet diesen daher auch als freie Oberfläche.
Die grundlegende Vertikalstruktur der Strömung in Fließgewässern kann man im einfachsten
Fall an offenen Gerinnen analysieren, die geradlinig geführt werden und eine ebene Sohle
haben. In einem solchen Gerinne wird die Strömungen durch die Wandgrenzschichten an der
Sohle und an den lateralen Rändern, sowie durch die uns noch unkekannte Grenzschicht an
der freien Oberfläche bestimmt.
Wir wollen zunächst aber annehmen, dass das Gerinne sehr breit ist, so dass in den meisten
Bereichen nur die Sohle und nicht die lateralen Ränder einen Einfluss auf das Strömungsgeschehen haben.
Ferner wollen wir uns auf stationäre Abflussverhältnisse beschränken (alle Zeitableitungen fallen weg) und annehmen, dass die die Strömung im Verlauf gleichförmig ist (alle Ableitungen
in Strömungsrichtung fallen weg).
Obwohl natürliche Flußläufe die Charakteristika des gleichförmigen Fließens nicht aufweisen, ist das Verständnis dieser Strömungsform deshalb wichtig, weil er sich in Laborgerinnen
herstellen läßt, so dass zu ihm genügend empirische Daten vorliegen.
Ferner weisen Kanäle die geforderten Eigenschaften annähernd auf. Dabei ist der Begriff Kanal in der Hydrodynamik mit einer Modellvorstellung von einem geradlinigen, sich in der
Breite nicht verändernden Gerinne.
227
10.1. Der Normalabfluss
Seite 228
10.1 Der Normalabfluss
Wir wollen nun die Bewegungsgleichungen für den Normalabfluss in offenen Gerinnen konkretisieren. Zusätzlich zu den in der Einleitung gemachten Vereinfachung ist bei diesem der
Wasserspiegel überall parallel zur Sohle ausgerichtet. Der Begriff Normalabfluss ist dabei so
irreführend, wie es nur geht, da er sich praktisch nie einstellt.
10.1.1 Das Gefälle des Flusses
Wir untersuchen die stationäre Strömung in einem breiten Gerinne mit ebener Sohle (Abbildung 10.1). Die x-Achse liege parallel zur Strömungsrichtung und ist um einen gewissen
Winkel α gegenüber der Horizontalen gekippt. Der Vektor der Gravitationskraft wird in einem
um den Winkel α gekippten Gerinne zu:
⎛
⎞
g sin α
⎜
⎟
⎜
⎟
g = ⎝
0
⎠
−g cos α
Der Winkel α gibt die Neigung der Sohle in x-Richtung wieder und da die Wasseroberfläche
parallel dazu angeordnet ist, auch deren Neigung. Betrachtet man die geodätische Höhe der
Wasseroberfläche als Funktion der Koordinate x, also
zS = zS (x)
dann ist der Neigungswinkel durch
dzS
ΔzS
=−
Δx→0 Δx
dx
tan α = − lim
berechenbar. In natürlichen Gewässern mit sehr unebenen Sohlen ist die geodätische Höhe der
Wasseroberfläche auch in der Querrichtung variabel, d.h. eine Funktion von x und y:
zS = zS (x, y)
Wollen wir wieder deren Neigung in Strömungsrichtung bestimmen, leiten wir nur nach eine
der beiden Koordinaten ab, und nicht mehr und nicht weniger drückt man durch die partielle
Ableitung
tan α = −
aus.
∂zS
∂x
Seite 229
z
z
t
S
y
z
t
S
B
B
x
a
G
Abbildung 10.1: Koordinatensystem bei einem Fluss mit gleichfömigen Abfluss und Schleppspannung.
10.1.2 Navier-Stokes- und Reynoldsgleichungen bei gleichförmigem Abfluss
Beim Normalabfluss weist das Gerinne keine Geschwindigkeitsvariationen in x- und yRichtung und keine Geschwindigkeitskomponenten in y- und z-Richtung auf. In diesem Fall
bleibt nur noch die Hauptströmungsgeschwindigkeit u übrig. Dennoch enthält auch die vertikale Impulsgleichung noch Terme, die wegfallen. Die Navier-Stokes-Gleichungen lauten in
dem zum Flusslauf ausgerichteten Koordinatensystem:
∂u
∂
ν
+ g sin α
0=
∂z
∂z
(10.1)
1 ∂p
− g cos α
∂z
Die Reynoldsgleichungen bekommt man wieder dadurch, dass man die molekulare durch die
turbulente Viskosität νt ersetzt. Die Geschwindigkeit ist dann als mittlere zu verstehen.
0=−
10.1.3 Die Druckverteilung bei gleichförmigem Abfluss
Wir wollen zunächst die Druckverteilung in einem Gerinne bei gleichförmigen Abfluss bestimmen. Dazu wird die Impulsgleichung für die z-Richtung über die z-Achse integriert und
man bekommt die Lösung
p(z) = p0 + g(zS − z) cos α
wobei p0 der Luftdruck und zS die geodätische Höhe der Wasseroberfläche (S für engl. Surface) ist. Der Druck ist in einem Gerinne bei Normalafluss also hydrostatisch.
Seite 230
z
6
z = zS
p = p0
-
A
A
-
A
A
A
A
νt (z)
A
A
A
A p(z)
A
A
A
A
A
A
A
A
τzx (z)
AA
AA
-
A
A
u(z)
z=0
-
τB
Abbildung 10.2: Die Profile der logarithmischen Geschwindigkeit, des Drucks, der Scherspannung und der Wirbelviskosität in der stationären Flussströmung.
10.1.4 Das laminare Geschwindigkeitsprofil bei gleichförmigem Abfluss
Im laminaren Fall kann man die konstante molekulare Viskosität in der x-Impulsgleichung vor
die Ableitung ziehen:
0=ν
∂2u
+ g sin α
∂z 2
Man bestätige durch Einsetzen, dass
u(z) =
g sin α
z(2zS − z)
2ν
eine Lösung des Problems ist. Sie erfüllt zum einen die Stokessche Wandhaftbedingung an
der Sohle (z = 0) des Gewässers. An der Wasseroberfläche ist die vertikale Steigung des Geschwindigkeitsprofils Null, was gleichbedeutend damit ist, dass dort keine Schubspannungen
wirken. Die Druckverteilung und das Geschwindigkeitsprofil der laminaren, gleichförmigen
Strömung sind zusammenfassend in Abbildung 10.2 dargestellt.
Die wichtigste hydrologische Leistung eines Flusses ist seine Fähigkeit, überschüssiges Oberflächen- und Grundwasser abzuführen. Dieses wird als Abfluss Q (in m3 /s) angegeben, wir
erhalten sie, wenn wir die Geschwindigkeit über die Wassertiefe und die Breite unter der Annahme eines Rechteckprofils integrieren:
Q=
Bg sin αh3
3ν
Die Natur gibt dem Fluß dabei den zu bewältigenden Abfluss Q, die Gefälleneigung α und aus
den morphologischen Gegebenheiten des Geländes seine Breite B vor. In Abhängigkeit vom
Abfluss Q stellt sich in einem solchen Fluß die Wassertiefe
10.2. Die Schleppspannung
Seite 231
h[m] =
3νQ
gB sin α
1/3
= 0.00674
Q
B sin α
1/3
ein. Sie ist umso größer, desto höher der Abfluss und desto geringer die Breite und die Sohlneigung sind. Dem Leser sei empfohlen, nun die Wassertiefe in einem ihm bekannten Gewässer
zu berechnen, dazu entnehme er den Abfluss gewässerkundlichen Veröffentlichungen, die
Sohlneigung schätze er aus topographischen Geländeangaben und die Breite aus der Inaugenscheinnahme (in einer Karte) ab.
Man stellt schnell fest, dass die Formel die Wassertiefen in Fließgewässern -für die Schiffahrt
glücklicherweise- stark unterschätzt.
10.2 Die Schleppspannung
Der für Fließgewässer so wichtige Begriff der Schleppspannung bekommt man aus der Lösung
der Impulsgleichung in Haupströmungsrichtung:
0=
1 ∂τxz
+ g sin α
∂z
Diese Gleichung wird für den Grenzfall kleiner Sohlneigungen (sin α = tan α) zu
1 ∂τxz
∂zS
=
(10.2)
∂x
∂z
und über die z-Koordinate zwischen der Sohle zB und der freien Oberfläche zS integriert:
g
gh
1
∂zS
= (τS − τB )
∂x
Ist die Windschubspannung τS an der freien Oberfläche Null, dann bleibt von der tiefenintegrierten Impulsgleichung in Stromrichtung x die Schleppspannungsbeziehung
∂zS
.
∂x
Diese Gleichung kann man mit der Schubspannungsgeschwindigkeit
τB = − gh
u∗ :=
(10.3)
τB
skalieren. Mit ihr ergibt sich für das Wasserspiegelgefälle
gh
∂zS
= −u2∗
∂x
(10.4)
10.2. Die Schleppspannung
Seite 232
t
h
z
t
B
Abbildung 10.3: Das vertikale Profil der turbulenten Schubspannung in einem Fließgewässer.
10.2.1 Das Profil der Scherspannung
Wir wollen nun untersuchen, wie sich die Scherspannung τ xz über die Vertikale verhält. Dazu
setzen wir die Schleppspannungsbeziehung (10.3) in die Gleichung (10.2) ein und integrieren
diese über die Vertikale mit unbestimmter oberer Integrationsgrenze:
z
0
τB
dz +
h
z
0
∂τxz
τB
dz = 0 ⇒
z + τxz − τB = 0
∂z
h
Damit bekommt man für das Profil der turbulenten Scherspannung:
τxz (z) = u2∗ 1 −
z
h
(10.5)
Die Scherspannung nimmt vom Boden ausgehend linear zur freien Oberfläche hin ab. Die
Steigung des Scherspannungsprofils ist unter den genannten Bedingungen konstant.
Die innere Reibung in einer gleichförmigen Gerinneströmung mit freier Oberfläche kann also
einzig durch die Schleppspannung und die Wassertiefe erfasst werden.
10.2.2 Der Zusammenhang zwischen Verlusthöhe und Schleppspannung
Im ersten Kapitel hatten wir die Verlusthöhe hV als die zentrale Größe kennengelernt, die
die Gerinneströmung hydraulisch berechenbar macht. Wir wollen nun einen Zusammenhang
dieser Größe mit der Schleppspannung herleiten. Dazu schreibt man zunächst einmal die Bernoulligleichung für einen Flussabschnitt der Länge L bei gleichförmigen Abfluss auf:
z1 = z2 + hV
Da
10.3. Der turbulente Normalabfluss
Seite 233
∂zS
z2 − z1
hV
=
=−
∂x
L
L
bekommt man für die Schleppspannung
τB = gh
hV
L
und zudem für das Energieliniengefälle in einem Fließgewässer:
IE =
hV
τB
∂zS
=
=−
l
gh
∂x
Bei gleichförmigem Abfluss ist die Oberflächenneigung gleich dem Energieliniengefälle, welches durch die Sohlreibung erzeugt wird. Bei gleichförmigem Abfluss entspringt also die Bewegungsenergie einzig und allein aus der Neigung des Wasserspiegels. Sie wird durch Gradienten im vertikalen Geschwindigkeitsprofil dissipiert, die durch die Sohlschubspannung verursacht wird.
10.3 Der turbulente Normalabfluss
Zur Bestimmung des mittleren Geschwindigkeitsprofils mit dem Rest der Reynoldsgleichung
in Hauptströmungsrichtung benötigt man wieder eine Annahme für den Mischingsweg. Wir
wollen dieses Mal umgekehrt vorgehen und uns die experimentellen Ergebnisse für das mittlere Geschwindigkeitsprofil anschauen.
10.3.1 Das vertikale Geschwindigkeitsprofil der turbulenten Strömung
Auch im turbulenten Fall ist die mittlere, d.h. turbulenzbefreite Geschwindigkeit in der direkten Nachbarschaft der Sohle im Bereich des Haftwassers Null. Darüber befindet sich genau
wie in der Wandgrenzschicht eine in der Regel nur wenige Millimeter dicke viskose Schicht,
in der keine Turbulenzen auftreten. Das Geschwindigkeitsprofil ist dort:
u(z) =
u2∗
z
νmol
In der viskosen Schicht steigt die Geschwindigkeit also sehr steil linear an, so dass nach nur
wenigen Millimetern schon ein beträchtlicher Wert der mittleren Strömungsgeschwindigkeit
angenommen wird.
Das Geschwindigkeitsprofil im Bereich über der viskosen Schicht ist genau wie bei der rauen
Wand logarithmisch:
Seite 234
1
0 ,9
0 ,8
R e l. W a s s e rtie fe z /h
0 ,7
0 ,6
z 0 /h = 0 .0 1
z 0 /h = 0 .0 0 1
z 0 /h = 0 .0 0 0 1
z 0 /h = 0 .0 0 0 0 1
0 ,5
0 ,4
0 ,3
0 ,2
0 ,1
0
0
5
1 0
1 5
D im e n s io n s lo s e G e s c h w in d ig k e it u /u
2 0
2 5
3 0
*
Abbildung 10.4: Dimensionslose Darstellung des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils für
verschiedene relative Bedeckungen z0 /h.
u(z) =
z
u∗
ln
κ
z0
(10.6)
Darin ist z0 die Höhe über der Sohle, in der die Geschwindigkeit Null wird. Diese Höhe ist
sicherlich ein Maß für die Sohlrauheit. Es sei an dieser Stelle schon vorweggenommen, dass
zwischen ihr und der effektiven Sohlrauheit der Zusammenhang
ks = 30z0
besteht.
Der wichtigste Parameter dieser Gleichung ist die sogenannte Schubspannungsgeschwindigkeit u∗ , der die Einheit eine Geschwindigkeit hat. Sie ist aber eigentlich ein Maß für die Sohlschubspannung, wie wir noch sehen werden.
Bestimmung von u∗ und z0
Misst man die mittlere Strömungsgeschwindigkeiten u 1 und u2 in zwei unterschiedlichen
Höhen z1 und z2 über der Sohle, dann kann man mit Profilgleichung (10.6) zwei Gleichungen mit den beiden Unbekannten u ∗ und z0 aufstellen und diese bestimmen. Dabei zeigt sich,
Seite 235
dass die auf diesem Wege bestimmte Sohlschubspannung kleiner als die Schleppspannung
ist. Dies liegt daran, dass die Schleppspannung die Sohle für alle Reibungsverluste in der
Strömung verantwortlich macht. Tatsächlich wird die Bewegung des Wassers aber auch durch
Turbulenzen in der Strömung sowie durch die innere Reibung der langsamen an den schnellen
Fluidschichten gedämpft.
Bestimmung der Sohlschubspannung
Damit kann man die Schleppspannung nur zu einer ersten einfachen Abschätzung der Sohlbelastung heranziehen. Das Gefälle des Flusses kann dazu aus der zurückgelegten Höhendifferenz und der Lauflänge abgeschätzt werden. Man bekommt so eine obere Abschätzung für die
im räumlichen Mittel auf die Sohle wirkenden Kräfte. Die tatsächlich wirkende lokale Sohlschubspannung kann man nur aus einer detaillierten Ausmessung des Geschwindigkeitsprofils
oder aus einer numerischen Modellierung der Strömung in diesem Gewässer bestimmen.
Das Geschwindigkeitsprofil von Coles
Bei nicht allzu tiefen Fließgewässern geht man davon aus, dass die logarithmische Schicht
sich bis zur freien Oberfläche fortsetzt und diese keinen nennenswerten Einfluss auf die Geschwindigkeitsverteilung hat. Dies kann natürlich nicht richtig sein. Eine andere Darstellung
des Geschwindigkeitsprofils zur Berücksichtigung der Wirkung der freien Oberfläche stammt
von Coles (1956) [57]. Er schlug vor, die Parameter des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils der Wand selbst unverändert zu lassen und eine additive Korrektur anzubringen:
u(z) = u∗
1
zu∗
ln
+ 5.5 + w(z/h)
κ
ν
Diese ist:
w(z/h) =
2Π 2 πz
sin
κ
2h
An der Sohle findet durch diese Konstruktion keine Korrektur statt, das Geschwindigkeitsprofil
entspricht hier dem universellen logarithmischen, während die Geschwindigkeit an der freien
Oberfläche vergrößert wird.
10.3.2 Das Mischungswegprofil in Gerinneströmungen
Zur Anwendung des Mischungswegmodells untersuchen wir, wie wir das logarithmische Geschwindigkeitsprofil in einem numerischen Modell simulieren können.
Dazu müssen wir untersuchen, welche Gestalt die turbulente Viskosität ν t und der Mischungsweg lm über die Vertikale haben müssen, damit sie das logarithmische Geschwindigkeitsprofil
Seite 236
z/h
P=0.2
P=0
nt/(u*h)
Abbildung 10.5: Das Profil der turbulenten Viskosität in Fließgewässern im Vergleich mit aus
Messungen gewonnenen Werten (Punkte). Nach [57].
reproduzieren. Nach dem Wirbelviskositätsprinzip läßt sich die turbulente Viskosität formal
als
νt (z) =
τ (z)
∂u
∂z
kann sehr oft Null
berechnen. Formal deswegen, weil man ja nicht durch Null teilen soll und ∂u
∂z
sein. Die Steigung des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils können wir leicht berechnen,
sie ist:
u∗
∂u
=
∂z
κz
Mit dem linearen Profil der inneren Spannungen aus Gleichung (10.5) folgt für die Vertikalverteilung der Wirbelviskosität im Falle eines logarithmischen Geschwindigkeitsprofils:
νt (z) = κu∗ z 1 −
z
h
(10.7)
In realen Strömungen treten z.B. im ufernahen Bereich neben den vertikalen auch horizontale
Geschwindigkeitsgradienten auf. Um die gewonnenen Erkenntnisse über das logarithmische
Seite 237
Geschwindigkeitsprofil auf diese allgemeineren Situationen zu übertragen, extrahieren wir den
Mischungsweg, der laut Definition
2
νt = lm
∂u
∂z
und somit für das logarithmische Geschwindigkeitsprofil mit Einsetzen der turbulenten Viskosität nach Gleichung (10.7)
lm = κz 1 −
z
h
(10.8)
ist.
Es sei abschließend angemerkt, dass die angegebene Mischungswegverteilung für tiefe
Gewässer keine Gültigkeit hat. Hierfür sollen zwei Gründe angeführt werden. Der Mischungsweg hat sein Maximum auf der Höhe 2/3 h über der Sohle, er erreicht dort den Wert
√
0.158h. Damit ist sein Maximalwert proportional zur Wassertiefe, würde al2κh/ 27
so in sehr tiefen Gewässern stetig wachsen. Nach dem Bild von Prandtl würde dies mit der
Existenz von entsprechend großen Wirbelstrukturen verbunden sein. Ferner wachsen die mischungswegdämpfende Wirkung der Sohle als auch der freien Oberfläche ebenfalls stetig mit
der Wassertiefe. Dabei dominiert in den unteren zwei dritteln der Wassersäule die Sohlwirkung, während das obere Drittel durch die freie Oberfläche begrenzt ist. Tatsächlich ist in den
mittleren Bereichen tiefer Gewässer weder Sohle noch freie Oberfläche zu spüren.
Übung 52: In einem 5 m tiefen Fluss mit einem Gefälle von 1:2000 liege der Nullpunkt des
logarithmischen Geschwindigkeitsprofils bei 3 cm. Wie groß sind die Schleppspannung und
die turbulente Viskosität 2.5 m über der Sohle?
Implementation in dreidimensionalen HN-Modellen
Zur Implementation dieser Ansätze in dreidimensionalen HN-Modellen muss der Programmentwickler zunächst mal davon ausgehen, dass die Sohle nicht bei z = 0, sondern allgemein
bei z = zB liegt. Damit werden die zu implementierenden Ansätze zu
νt (z) = κu∗ (z − zB ) 1 −
und
lm = κ(z − zB ) 1 −
z − zB
h
z − zB
h
Ferner muss er sich entscheiden, ob er das parabolische Profil der Wirbelviskosität direkt
oder den Mischungswegansatz implementiert und die Wirbelviskosität aus Gleichung (7.6)
Seite 238
10.4. DNS-Untersuchungen an der freien Oberfläche
bestimmt. Ist das in einer Simulation sich einstellende Geschwindigkeitsprofil tatsächlich logarithmisch, dann kommt auf beiden Wegen dasselbe raus. Dies ist aber in der Regel nicht der
Fall, so dass der Mischungswegansatz dann auch kein parabolisches Wirbelviskositätsprofil
liefern wird. Dafür berücksichtigt es aber die tatsächlichen Geschwindigkeitsgradienten, liefert also eine umso größere turbulente Viskosität desto größer die aktuellen Geschwindigkeitsgradienten sind. Der Autor dieser Schrift ist daher eher dazu geneigt, den Mischungswegansatz
in seiner vollständigen Form nach Gleichung (7.6) zu implementieren.
10.4 DNS-Untersuchungen an der freien Oberfl äche
Genau wie an der Sohle als Wand gibt es auch an der freien Oberfläche Turbulenzuntersuchungen mit Hilfe der Direkten Numerischen Simulation (DNS). Diese sind hier allerdings
wesentlich schwieriger als an einerWand, da die Randbedingungen komplexer und das Simulationsgebiet durch die Beweglichkeit der freien Oberfläche variabel ist. So ist es nicht verwunderlich, dass die erste DNS mit den vollständigen Randbedingungen an der freien Oberfläche
erst in den letzten fünf Jahren des ausgegangenen Jahrtausends gelang [74], [86].
Die freie Oberfläche unterscheidet sich in ihrer Wirkung auf die Turbulenz erheblich von einer
Wand: Während dort alle Geschwindigkeitskomponenten vollständig verschwinden, wird an
der freien Oberfläche nur die Vertikalgeschwindigkeit w stark gedämpft, sie muss aber nicht
vollständig verschwinden (kinematische Randbedingung). Anders sieht es bei den Geschwindigkeitsgradienten und damit den viskosen Spannungen aus. Die Stokessche Randbedingung
führt an einer Wand zu sehr hohen Geschwindigkeitsgradienten in Normalenrichtung und damit zu sehr hohen Tangentialspannungen. Im Gegensatz dazu sind die Tangentialspannungen
an der freien Oberfläche bis auf die Oberflächenspannung Null und daher weisen die Vertikalprofile der Horizontalgeschwindigkeiten keine Steigung auf.
Um der Struktur der Turbulenz an einer freien Oberfläche auf den Leib zu rücken wurden
Anfang der neunziger Jahre DNS mit abgespeckten Randbedingungen gemacht [44], [77].
Diese sogenannten Froudezahl-Null-Modelle gehen davon aus, dass an der freien Oberfläche
die Schubspannungen und die Vertikalkomponente der Strömungsgeschwindigkeit Null sind.
Hierdurch verändert sich die Lage der Oberfläche nicht, die Horizontalgeschwindigkeiten
können sich aber ungehindert entwickeln.
Neuere Untersuchungen konnten auch eine echte freie Oberfläche realisieren. Im folgenden
seien die bahnbrechenden Ergebnisse der Gruppe Shen et al. (1999) [74] vorgestellt.
An der freien Oberfläche findet eine Umverteilung der Vorticity statt, die sowohl theoretisch
erklärt als auch mit Hilfe der DNS nachgewiesen wurde. Dazu vernachlässige man in den dynamischen Randbedingungen die Oberflächenspannung, nehme an, dass kein Wind vorhanden
ist und die Oberfläche nicht zu sehr gekrümmt ist. Die horizontalen dynamischen Randbedingungen werden dann zu:
10.4. DNS-Untersuchungen an der freien Oberfläche
w ' ir m
0
0
z
-
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
Seite 239
s
m /s
0 .5
0
0 -
0 .0 2
0 .0 4
0 .0 6
0 .0 8
0 .1 0
.
.
.
z
.
.
- 0 .2 .
.
.
.
- 0 .4 .
.
.
.
- 0 .6 .
.
.
.
- 0 .8 .
.
.
.
- 1 .0 0
0 .5
1 .0
1 .5
2 .0
(¶ w
z
2 .5
/ ¶ z )'
.
.
.
- 0 .2 .
.
.
.
- 0 .4 .
.
.
.
- 0 .6 .
.
.
.
- 0 .8 .
.
.
.
- 1 .0 -
v '
u '
w '
rm s
Abbildung 10.6: Turbulenzverhältnisse an der freien Oberfläche. Aus [35]. Links: Mittlere
Wirbelstärken, gepunktet: ωx , gepunktstrichelt: ωy , gestrichelt: ωz , durchgezogen: ∂ωz /∂z.
Rechts: Mittlere Turbulenzintensitäten u , v , und w .
∂u ∂w
+
=0
∂z
∂x
∂v ∂w
+
=0
∂z
∂y
Hiermit bestimmt man die horizontalen Komponenten der Wirbelstärke als
ωx =
∂v
∂w
∂w ∂v
−
= −2
=2
∂y
∂z
∂z
∂y
∂u
∂w
∂u ∂w
−
=2
= −2
∂z
∂x
∂z
∂x
Die vielen Gleichheiten in diesen beiden Gleichungen können dann sehr einfach erfüllt werden, wenn ωx und ωy Null sind. Da die Wirbelstärke divergenzfrei ist, gilt für ihre Vertikalkomponente:
ωy =
∂ωx ∂ωy
∂ωz
=−
−
=0
∂z
∂x
∂y
Der Bereich unterhalb der freien Oberfläche, in dem sich die Vorticitiy von beliebigen Werten
auf diese Zwangsvorgaben umverteilt, nennen Shen et al. surface layer. Die Ergebnisse der
Seite 240
DNS sind in Abbildung 10.6 dargestellt. Tatsächlich gehen ω x und ωy in Richtung Oberfläche
gegen Null während ωz einen nicht verschwindenden Wert beibehält. An der freien Oberfläche
können also nur solche Wirbel existieren, die sich in der Ebene der freien Oberfläche drehen.
Hier schließt sich sofort die Frage nach dem Schicksal der nicht so gearteten Wirbel an, die aus
tieferen Schichten an die freie Oberfläche transportiert werden: Sie drehen ihre Achse in die
entsprechende Richtung, rekombinieren mit der Oberfläche und sind recht langlebige Gebilde.
An der freien Oberfläche findet zudem eine Umverteilung der Geschwindigkeitsfluktuationen
statt. Da hier jede vertikale Geschwindigkeitsfluktuation w mit einer Auslenkung der trägen
Oberfläche verbunden ist, werden diese hier stark gedämpft, gehen aber nicht vollständig gegen Null. Dies ist ebenfalls in Abbildung 10.6 zu sehen. Shen et al. haben diese Schicht, in der
die Vertikalfluktuationen geblockt werden, als blockage layer bezeichnet. Sie ist etwa so groß
wie die surface layer.
10.5 Zusammenfassung
1. Beim gleichförmigen Abfluss ist die vertikale Druckverteilung in der Wassersäule des
Fließgewässers hydrostatisch.
2. Die Fließgeschwindigkeit nimmt vom Boden zur Wasseroberfläche zu. Wäre der Abfluss
laminar, so bildet sich eine quadratische Geschwindigkeitsverteilung aus. In natürlichen
Fließgewässern ist der Abfluss aber immer turbulent, wobei sich ein logarithmisches
Geschwindigkeitsprofil ausbildet.
3. Die an der Sohle wirkende Spannung kann näherungsweise als Schleppspannung berechnet werden. Diese ist das Produkt aus Dichte, Gravitationsbeschleunigung, Wassertiefe und Sohlgefälle.
Kapitel 11
Die Energie der Strömung
Die Geschichte des physikalischen Begriffs ’Energie’ ist eng mit dem der ’Arbeit’ verbunden.
Arbeit ist das Produkt aus der auf einem Weg zu überwindenden oder für diesen erforderlichen
Kraft und der Weglänge. Arbeit ist erforderlich, um einen Pflug durch einen Acker zu ziehen,
eine Nähnadel durch Gewebe zu führen. Arbeit wird beim Anheben von Gegenständen gegen die Gravitationskraft verrichtet. Zur Überwindung der überall auftretenden Reibungs- und
Widerstandskräfte ist Arbeit erforderlich: Beim Gehen müssen die verschiedenen Reibungskräfte im Körper und beim Autofahren der Luftwiderstand überwunden werden. Wollen wir
Gegenstände nutzbar machen, müssen sie gegen die inneren Materialkräfte verformt werden.
Ja, und es kommt noch schlimmer: Bei jeder Beschleunigung muss die Trägheitskraft überwunden werden, womit wir fast befürchten müssen, dass jede Aktivität mit Arbeit verbunden
ist.
Arbeit wurde in der Frühzeit durch der Menschen Muskelkraft verrichtet, später wurden auch
Tiere zur Arbeit eingesetzt. Wer die notwendige Arbeit zu verrichten hatte und wer nicht, bestimmte das gesellschaftlichen System, ob Sklaven, Leibeigene, Angehörige niederer Kasten
oder Proletarier.
Erst später konnte Arbeit durch Maschinen verrichtet werden und die Alten definierten den den
mechanischen Begriff Energie als die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten. Damit trat die Gewinnung, Beherrschung und Vermarktung von Energiequellen in den Vordergrund der Wirtschaftsund Gesellschaftsgeschichte.
Energie tritt in den verschiedensten Formen auf, als
• Kernenergie
• Elektromagnetische Strahlungsenergie
• Elektromagnetische Feldenergie
• Chemische Energie
241
Seite 242
11.1. Die Bilanzierung der kinetischen Energie
• Potentielle Energie im Gravitationsfeld
• Kinetische Energie der Translation und Rotation
• Verformungsenergie
• und als Wärme
so dass die Verwendung eines einheitlichen Begriffes kaum zu rechtfertigen ist. Erst die Umwandelbarkeit zwischen ihren Formen und die Konstanz der Summe machen den Begriff Energie zu einem der Erfolgskonzepte der Physik und Technik überhaupt.
So kann man gezielte Umwandlung der verschiedenen Energieformen, den Transport und die
Speicherung von Energie durch den Menschen als einen - vielleicht sogar den roten Faden in
der Technikentwicklung und -geschichte verstehen. Die Energie des Wasserkreislaufs versucht
man im Energiewasserbau zur Gewinnung anderer Energieformen zu nutzen. Wir wollen in
diesem Kapitel daher zunächst die verschiedenen Energieformen in einem Fluid kennenlernen
und sie quantifizieren, damit wir im darauf aufbauend uns mit der technischen Nutzung von
Strömungsenergie beschäftigen können.
Die Beschäftigung mit der Energie einer Strömung hat aber auch einen theoretischhydromechanischen Grund. Die Bewegung eines Fluids ist erst dann vollständig bestimmt,
wenn man das Verhalten der fünf Größen Geschwindigkeit (drei Komponenten), Druck und
Dichte über den entsprechenden Lösungsbereich kennt. Alle anderen dynamischen Größen
lassen sich direkt aus den erstgenannten ableiten. Somit benötigt man (mindestens) fünf Bestimmungsgleichungen, von denen wir vier, nämlich die Massen- und Impulserhaltungsgleichungen schon kennengelernt haben. Die fünfte Gleichung lässt sich aus der Energieerhaltung
gewinnen. Ihre Transportgleichung wird in inkompressiblen Medien zu einer Transportgleichung für die Temperatur.
Das Studium dieser fünf Grundgleichungen wird zudem zeigen, wie Bewegungs- in Wärmeenergie in Strömungen umgesetzt wird. Dabei unterscheiden sich diese beiden Energieformen
nur durch die Beobachtungsskala, denn Wärmeenergie ist nichts anderes als ungeordnete kinetische Energie auf der molekularen Ebene. Zwischen der geordneten Bewegung und der
ungeordneten Molekülbewegung liegt die Skala, auf denen die turbulent-fluktuierenden Bewegungen stattfinden. Diese werden wir in Kapitel 7 eingehend untersuchen.
11.1 Die Bilanzierung der kinetischen Energie
Strömungen bestehen aus sich bewegendem Fluid. Daher spielt die kinetische Energie eine
Hauptrolle in der Energetik der Strömungen. Wir wollen im folgenden auf dem Instrument
der Impulsgleichungen spielen, damit sie vom Fluss kinetischer Energie in realen Strömungen
singen.
Seite 243
Wie in der klassischen Mechanik erhält man die kinetische Energie durch skalare Multiplikation derselben mit der Geschwindigkeit:
ui ∂p
∂ui
∂ui
∂
ui
=−
+ ui
+ ui uj
∂t
∂xj
∂xi
∂xj
∂ui ∂uj
ν
+
∂xj
∂xi
+ u i gi
Darin wird die Gravitationskraft der Erde in der Form gi = (0, 0, −g)t als äußere Kraft berücksichtigt.
Die Anwendung der Produktregel macht hieraus:
∂ui ui /2
∂
ui ∂p
∂ui ui /2
+ uj
=−
+ ui
∂t
∂xj
∂xi
∂xj
∂ui ∂uj
ν
+
∂xj
∂xi
+ u i gi
Aus der Punktmechanik kennen wir die kinetische Energie einer Punktmasse m als 1/2mu 2.
Da eine Einzelmasse in der Kontinuumsmechanik nicht definiert ist, führen wir die mittlere
kinetische Energie pro Masseneinheit ek ein als
1
ek = ui ui
2
und erhalten
ui ∂p
∂ek
∂
∂ek
=−
+ ui
+ uj
∂t
∂xj
∂xi
∂xj
(11.1)
∂ui ∂uj
ν
+
∂xj
∂xi
+ u i gi
als erste Bilanzgleichung für die kinetische Energie.
11.1.1 Die kinetische Energie eines Fluids
Der soeben eingeführte Begriff der mittleren kinetischen Energie pro Masse ek bezieht sich
auf den Beitrag eines unendlich kleinen Punktes des sich bewegenden Fluids zur Gesamtenergie, er ist damit ein differentieller Begriff. Für praktische Berechnungen benötigen wir die
tatsächlich in einem gewissen Raum gespeicherte Menge an kinetischer Energie E k in Joule.
Sie bekommen wir durch Multiplikation der auf die Masse bezogenen Energiedichte e k mit der
Massendichte . Durch diese einfache Umwandlung bekommen wir nun die auf das Volumen
bezogene kinetische Energiedichte ek , an die wir kein eigenes Formelzeichen verschwenden
wollen, da sie nur ein Zwischenergebnis ist. Nun könnten wir diesen Wert mit dem Bezugsvolumen multiplizieren, um die darin gespeicherte kinetische Energie zu berechnen. Dies ist
allerdings nur dann richtig, wenn die kinetische Energiedichte im ganzen Volumen konstant
ist, was sie in den meisten Anwendungsfällen eben nicht ist. Um die Variabilität einer differentiellen Größe bei der Bestimmung der Gesamtbilanz zu berücksichtigen, muss über das
Volumen integriert werden:
Seite 244
Ek =
ek dΩ =
Ω
1
2
u2 dΩ
Ω
Nun sollte jeder die klassische Form der kinetischen Energie in diesem Ausdruck wiedererkennen, wenn man beachtet, dass die Volumenintegration über die Dichte die Masse ergibt.
Kinetische Energie einer homogenen Rohrströmung
Wir wollen die in einem kreiförmigen Rohrstück des Querschnitts A und der Länge L gespeicherte kinetische Energie berechnen. Wir nehmen wider aller Erfahrung an, dass die
Strömungsgeschwindigkeit überall konstant u = Q/A ist. Die in diesem Rohrstück gespeicherte kinetische Energie ist:
L
Ek =
A 0
1
1 Q2
1 2
2
u dxdA = ALu = L
2
2
2
A
Sie nimmt quadratisch mit dem Durchfluss Q zu und bei konstantem Durchfluss mit dem
Rohrquerschnitt A ab.
Kinetische Energie einer linearen Gerinneströmung
Wir wollen eine Strömung in einem Gerinne (z.B einem Fluss) der Wassertiefe h betrachten,
dessen Ufer der Einfachheit halber durch senkrechte Wände begrenzt ist, die durch die Breite
B getrennt sind. Vom Boden bei z = 0 an nehme die Geschwindigkeit linear nach dem Gesetz
u(z) = uS
z
h
zu, bis sie an der Wasseroberfläche den Wert uS erreicht. Tatsächlich ist das Geschwindigkeitsprofil wesentlich komplexer; an den prinzipiellen Schlussfolgerungen ändert dies jedoch
nichts.
In diesem Gerinne ist der Volumendurchfluss durch einen Querschnitt,
h B
Q=
0 0
1
2Q
z
uS dydz = BhuS ⇔ uS =
h
2
Bh
womit man sich die Strömungsgeschwindigkeit am Wasserspiegel bei gegebenem Abfluss Q
berechnen kann.
Die in einem Gerinnestück der Länge L gespeicherte kinetische Energie ist:
h B L
Ek =
0 0 0
1
2
uS
z
h
2
dxdydz =
1
2 Q2
BLhu2S = L
6
3 Bh
Seite 245
Trotz der erheblichen Vereinfachungen zeigt das Ergebnis eine grundlegende Tatsache über
die Energetik der Gerinneströmung: In einem Flussabschnitt ist bei gleichen Abfluss Q umso
weniger kinetische Energie gespeichert, je tiefer und breiter der Fluss ist, je größer also der
Abflussquerschnitt ist.
11.1.2 Die Dissipation kinetischer Energie
Aus dem Term der viskosen Spannungen machen wir durch Anwendung der Produktregel zwei
Terme, diese Umformung scheint die Sache zunächst zu verkomplizieren:
∂
ui
∂xj
∂ui ∂uj
ν
+
∂xj
∂xi
∂
=
∂xj
∂ui ∂uj
ui ν
+
∂xj
∂xi
∂ui ∂uj
−ν
+
∂xj
∂xi
:=
∂ui
∂xj
Die physikalische Wirkung des zweiten Term kann besonders klar herausgearbeitet werden,
wenn man ihn für Newtonsche Fluide ausschreibt:
⎡ =ν
⎣2
+
∂u
∂x
2
∂v
+2
∂y
∂v ∂u
+
∂x ∂y
2
2
+
∂w
+2
∂z
∂w ∂u
+
∂x
∂z
2
2
+
∂w ∂v
+
∂y
∂z
2 ⎤
(11.2)
⎦
Er enthält nur quadratische Terme, ist also immer positiv, steht aber in der Gleichung für die
kinetische Energie mit negativem Vorzeichen. Man bezeichnet ihn daher als kinetische Energiedissipation , da er fortwährend kinetische Energie vernichtet. Er hat die Einheit [m 2 /s3 ].
So erhalten wir die Gleichung für die kinetische Energie:
∂ek
ui ∂p
∂
∂ek
=−
+
+ uj
∂t
∂xj
∂xi ∂xj
∂ui ∂uj
ui ν
+
∂xj
∂xi
− + u i gi
11.1.3 Die Diffusion kinetischer Energie
Zur weiteren physikalischen Interpretation der kinetischen Energiegleichung wollen wir den
viskosen Tensor noch auseinanderpflücken, für ihn gilt:
∂
∂xj
∂ui ∂uj
ui ν
+
∂xj
∂xi
∂
=
∂xj
∂ek
∂uj
ν
+ ui ν
∂xj
∂xi
und somit
ui ∂p
∂
∂ek
∂ek
=−
+
+ uj
∂t
∂xj
∂xi ∂xj
∂ek
∂uj
ν
+ ui ν
∂xj
∂xi
− + u i gi
Seite 246
Der zweite Term auf der rechten Seite bewirkt eine Diffusion der kinetischen Energie, d.h.
es findet ein ausgleichender Transport von energiearmen zu energiereichen Gebieten der
Strömung statt.
Wir wollen diese Gleichung noch in die Divergenzform schreiben, d.h. wir ziehen alles unter
die Divergenz, was nur hierunter zu ziehen ist. Dazu addieren wir einen Nullterm in Form der
Kontinuitätsgleichung zum Druckterm und erhalten:
∂
∂ek
=
∂t
∂xj
∂ek
∂uj
uj p
− uj ek − + ui gi
ν
+ ui ν
−
∂xj
∂xi
Diese Form ermöglicht es, zu erkennen, welche Terme Quellen oder Senken der kinetischen
Energie sind. Die Divergenz bewirkt eine Umverteilung der kinetischen Energie. Die kinetische Energiedissipation taucht auf der rechten Seite mit einem negativen Vorzeichen auf und
bewirkt grundsätzlich eine Abnahme der kinetischen Energie. Produziert wird kinetische Energie dann, wenn äußere Kräfte in Richtung der Strömungsgeschwindigkeit wirken.
11.1.4 Die Bernoulligleichung auf der Bahnlinie
Die linke Seite der vorletzten Gleichung kennen wir sehr gut, sie beschreibt die Advektion
kinetischer Energie mit dem Geschwindigkeitsfeld. Auf einer Bahnlinie in der Strömung gilt
somit:
∂
ui ∂p
Dek
+
=−
Dt
∂xi ∂xj
∂ek
∂uj
ν
+ ui ν
∂xj
∂xi
− + u i gi
Den Druckterm auf der rechten Seite kann man ebenfalls als Lagrangesche Ableitung des
Drucks
∂p
∂p
Dp
=
+ uj
Dt
∂t
∂xj
mit
∂p
=0
∂t
verstehen, wenn das Druckfeld sich selbst an keinem Ort zeitlich ändert. Damit handelt es sich
aber um eine stationäre Strömung, da jede Änderung des Geschwindigkeitsfeldes auch mit
einer Druckänderung verbunden ist:
1 Dp
∂
Dek
=−
+
Dt
Dt ∂xj
∂ek
∂uj
ν
+ ui ν
∂xj
∂xi
− + u i gi
Integrieren wir also diese Gleichung über die Zeit:
t2 t1
Dek 1 Dp
+
dt =
Dt
Dt
t2 t1
∂
∂xj
∂ek
∂uj
ν
+ ui ν
∂xj
∂xi
t2
− dt +
ui gi dt
t1
Ist die Gravitation wieder in negativer z-Richtung orientiert, dann kann man den zugehörigen
Term folgendermaßen vereinfachen:
11.2. Die potentielle und die mechanische Energiebilanz
t2
Seite 247
t2
ui gi dt =
t1
wgdt = g(z2 − z1 )
t1
Damit haben wir wieder die Bernoulligleichung
u21 p1
u2 p2
+
+ gz1 = 2 +
+ gz2 + ghV
2
2
mit einer anderen Form des Verlustterms
t2 ghV =
t1
∂
∂xj
∂ek
∂uj
ν
+ ui ν
∂xj
∂xi
− dt
hergeleitet.
11.2 Die potentielle und die mechanische Energiebilanz
Nach der Analyse der kinetischen müssen wir uns nun der potentiellen Energie in der Hydromechanik zuwenden. Ihrem Namen nach bezieht sie sich auf die Fähigkeit, etwas in einem
konservativen Kraftfeld gi zu leisten, sie ist also die Energie, die benötigt oder gewonnen wird,
um etwas von einem Bezugspunkt x0 zu einem anderen Ort x zu bewegen:
xi
ep = −
gi dxi
x0,i
Damit bleibt nur noch eine Integration über die Vertikale z durchzuführen. Setzt man für z 0 =
0 das Meeresspiegelniveau an und definiert mit z die Höhe über Meeresspiegelniveau in mNN,
dann bleibt:
ep = gz
Nun ist ep die potentielle Energie pro Masse, die potentielle Energie E p bekommt man also
durch Integration der Gesamtmasse M = V :
Ep = g
zdΩ = gV zC = MgzC
V
Die potentielle Energie einer Wassermasse M ist also umso größer, desto höher sie im Schwerefeld der Erde liegt.
Zeitlich ändert sich die potentielle Energie immer dann, wenn sich das Bezugsteilchen im
Kraftfeld bewegt oder wenn sich das Kraftfeld ändert. Ersteres wird durch die Lagrangesche
Ableitung beschrieben:
11.3. Die innere Energie eines Fluids
Seite 248
∂ep
Dep
∂ep
dxi
d
=
+ ui
= −ui gi
= − gi (xi − x0,i ) = −gi
Dt
∂t
∂xi
dt
dt
Der letzte Term in der Gleichung für die Änderung der kinetischen Energie stellt also die
potentielle Energieänderung im Schwerefeld der Erde dar.
Die Gleichung ist sehr einfach zu durchschauen, sie steuert über das Skalarprodukt auf der
rechten Seite die Zu- oder Abnahme der potentiellen Energie. Bewegt sich ein Teilchen in
Richtung des Kraftfeldes, also fällt z.B. ein Stein zu Boden, dann ist das Skalarprodukt positiv
und das negative Vorzeichen bewirkt eine Abnahme der potentiellen Energie. Umgekehrtes
gilt im Falle einer Bewegung gegen das Kraftfeld.
Definieren wir nun die mechanische Energie als
em = ek + ep =
ui ui
+ gi (xi − xi,0 )
2
so haben wir für ihre Änderung die Gleichung
∂
∂em
+
∂t
∂xj
∂ek
∂uj uj
uj em − ν
− ui ν
+ p = −
∂xj
∂xi
hergeleitet. Alle Terme unter der Divergenz stellen Flüsse mechanischer Energie dar, sie tragen
also nicht zu deren Produktion oder Dissipation bei. Wir bezeichnen sie als mechanischen
Energiefluß Φem ,i :
Φem ,i = uj em − ν
∂ek
∂uj
uj
− ui ν
+ p
∂xj
∂xi
(11.3)
Betrachten wir ein hydromechanisches System, welches in dem Sinne geschlossen ist, als dass
keine mechanische Energie durch die Ränder dringt. Ein solcher Rand ist dadurch gekennzeichnet, dass auf ihm die Strömungsgeschwindigkeit Null ist, womit der mechanische Energiefluss verschwindet. Diese Bedingung ist an festen Rändern durch die Existenz einer Haftwasserschicht tatsächlich erfüllt. An der Oberfläche eines Oberflächengewässers verschwindet
die Strömungsgeschwindigkeit allerdings nicht, also sind diese Gewässer mechanisch nicht
abgeschlossen. Aber auch wenn man von einem in diesem Sinne abgeschlossenen System ausgeht, ist die mechanische Energie in der Hydromechanik keine Erhaltungsgröße, da sie sich
auch in einem abgeschlossenen System ändert. Es ist also zu untersuchen, wo sie bleibt, und
so werden wir auf die Thermodynamik verwiesen.
11.3 Die innere Energie eines Fluids
Die Summe aus kinetischer und potentieller Energie keine Erhaltungsgröße bei der Strömung
eines viskosen Fluids. Doch irgendwo muss die zunächst in Bewegung umgesetzte potentielle
11.3. Die innere Energie eines Fluids
Seite 249
und dann dissipierte Energie Ėdiss ja bleiben: Sie wird in irgendeiner Form im Material des
Fluids gespeichert werden, was man als innere Energie Ei bezeichnet. Die innere Energie
wird aber nicht nur aus dissipierter kinetischer Energie, sondern auch durch Wärmezufuhr Q̇
gespeist:
dEi
= Q̇ + Ėdiss
dt
Bei einem kompressiblen Fluid, also einem Gas kann innere Energie auch durch Volumenarbeit erzeugt werden. In der Hydromechanik spielt diese Form der inneren Energie definitionsgemäß aber keine Rolle.
Um die infinitesimale Energieerhaltung, d. h. die an einm Punkt gültige Energieerhaltung herzuleiten, führen wir die innere Energie Ei einer Fluidmasse, die den Raum Ω(t) füllt, mit Hilfe
der inneren Energiedichte ei ein als
Ei =
ei dΩ.
Ω(t)
Die Energiedichte hat die Einheit einer Energie pro Masse (J/kg), da das Volumenintegral die
Dichte dimensionsmäßig in eine Masse transformiert. Nach dem Reynoldsschen Transporttheorem wird die Änderung der inneren Energie durch
d
dEi
=
dt
dt
ei dΩ =
Ω(t)
Ω(t)
∂
∂ei
+
(uj ei )dΩ
∂t
∂xj
beschrieben. Man beachte, dass das i in dieser Gleichung kein Vektorindex ist, sondern lediglich die innere Energie bezeichnet. Dahingegen wird über den Index j laut Konvention summiert.
Einem Fluidvolumen wird Wärme Q̇ durch Wärmeleitung zugeführt. Dieses Phänomen ist
direkt mit den lokalen Temperaturänderungen im Fluid verbunden. Man kann den mit der
Wärmeleitung verbundenen Wärmestrom Φ (in W /m 2) daher in eine Potenzreihe nach dem
Temperaturgradienten entwickeln. Der konstante Term verschwindet, weil Wärmeleitung eben
nur beim Vorhandensein von Temperaturgradienten auftritt. Somit kann man
Φj = −λ
∂T
∂xj
setzen. Dabei wurden Terme mit höheren Potenzen des Temperaturgradienten vernachlässigt.
Der mit der Wärmeleitung verbundene Wärmefluss erfolgt immer in Richtung des negativen
Temperaturgradienten. Wärmeenergie strömt also von Bereichen höherer in Bereiche niedrigerer Temperatur, wodurch insgesamt ein Ausgleich von Temperaturunterschieden stattfindet.
Die empirische Konstante λ heißt dementsprechend Wärmeleitfähigkeit; für Wasser beträgt ihr
W
Wert λ = 0.58 Km
.
11.4. Die Transportgleichung für die Temperatur
Seite 250
Somit fließt in das betrachtete Volumen Ω durch Wärmeleitung die Wärmemenge pro Zeit
Q̇ =
λ
∂Ω(t)
∂T
dSj .
∂xj
Damit lässt sich die innere Energiebilanz als
Ω(t)
∂ uj ei
∂ei
+
dΩ =
∂t
∂xj
λ
∂Ω(t)
∂T
dSj +
∂xj
dΩ
Ω
schreiben. Mit dem Gaußschen Integralsatz folgt
Ω(t)
∂ uj ei
∂ei
+
dΩ =
∂t
∂xj
Ω
∂ ∂T
λ
+ dΩ
∂xj ∂xj
und somit
∂ uj ei
∂ei
∂ ∂T
+
=
λ
+
∂t
∂xj
∂xj ∂xj
Entzieht man der linken Seite der Gleichung die allgemeine kompressible Kontinuitätsgleichung, so folgt
∂ei
∂ei
∂ ∂T
+ uj
=
λ
+
∂t
∂xj
∂xj ∂xj
und somit:
∂ei
∂ei
∂ λ ∂T
+ uj
=
+
∂t
∂xj
∂xj ∂xj
(11.4)
Dies ist die infinitesimale Form der Bilanz der inneren Energie der Hydrodynamik.
11.4 Die Transportgleichung für die Temperatur
Wir suchen einen Zusammenhang zwischen der Temperatur des Fluids und der inneren Energie. Diesen stellt die physikalische Größe spezifische Wärme c her, sie ist ein Maß für die
gespeicherte innere Energie ei pro Temperatureinheit T :
c=
∂ei
∂T
Je größer die spezifische Wärmekapazität c eines Stoffes ist, desto geringer ist die Temperaturänderung bei einer Erhöhung der inneren Energie. Die spezifische Wärmekapazität ist
temperaturabhängig. Für 20 o C warmes Wasser beträgt sie 4.19 kJkg −1 K −1 und bei 100 o C
steigt sie auf 4.22 kJkg −1K −1 .
11.4. Die Transportgleichung für die Temperatur
Seite 251
Da die spezifische Wärme von Wasser nahezu konstant ist, lässt sich die innere Energie als
ei = cT + const.
schreiben. Führt man diese Ersetzung in der Transportgleichung für die innere Energie durch,
so erhält man die Wärmetransportgleichung
∂
∂T
∂T
=
+ uj
∂t
∂xj
∂xj
λ ∂T
c ∂xj
+
c
(11.5)
die mathematisch die Form einer Transportgleichung für die Temperatur annimmt. Die Temperatur in einer Strömung lässt sich also dann simulieren, wenn man die räumliche und zeitliche
Verteilung der Strömungsgeschwindigkeit und die Dissipationsrate kinetischer Energie kennt.
Die Diffusivität K der Temperatur ist mit
K=
λ
c
1.4 · 10−7
m2
s
verschwindend gering und kann (bisher !) gegenüber dem Transport mit der Strömung vernachlässigt werden.
Eine interessante Lesart der Wärmetransportgleichung bietet sich dann an, wenn die Temperatur im Fluid konstant ist, also alle räumlichen Ableitungen wegfallen. Dann nimmt die
Temperatur aufgrund der Dissipation kinetischer Energie kontinuierlich zu. Dieses Phänomen
kann man auch direkt aus dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik herleiten, der die Zunahme der Entropie postuliert. Astrophysiker sprechen in diesem Zusammenhang auch vom
Entropie- oder Wärmetod des Universums.
Damit wir in der Gleichung Flussgrößen und Umwandlungsprozesse unterscheiden können,
schreiben wir die Gleichung durch Addition der Kontinuitätsgleichung in ihre Divergenzform:
∂
∂T
+
∂t
∂xj
λ ∂T
uj T −
c ∂xj
=
c
Wärme wird also advektiv und diffusiv transportiert. Damit ist der Temperaturfluß
ΦT,j = uj T −
λ ∂T
c ∂xj
(11.6)
verbunden.
Als Anwendung wollen wir die Temperaturänderung eines Fluidvolumens berechnen, welches
einer Quelle auf der geodätischen Höhe h entspringt und schließlich auf Meeresspiegelniveau
zur äußerlichen Ruhe kommt. Tauscht das Fluidvolumen auf seiner Reise keine Energie mit
Seite 252
seiner Umwelt aus, dann wird die potentielle Energie(dichte) e p = gh vollständig in innere
Energie ei = cΔT umgesetzt. Quellwasser aus 1000 m Höhe ist im Meer also etwa 2.5 K
wärmer. Tatsächlich ist die Annahme der thermischen Abgeschlossenheit eines Fließgewässers
allerdings unrealistisch.
11.5 Die Bilanz der Gesamtenergie
Ein ehernes Grundgesetz der Physik behauptet, dass die Gesamtenergie in einem geschlossenem System konstant sei. Dies ist aber noch nicht so richtig aus der Bilanzgleichung für
die innere Energie zu erkennen, da sie ja nur etwas über punktuelle Änderungen aussagt. Es
bleibt also zu beweisen, sich sich auch in einem geschlossenen hydrodynamischen System die
Gesamtenergie nicht ändert.
Dazu schreiben wir die Bilanzgleichung der inneren Energie unter Erweiterung mit der inkompressiblen Kontinuitätsgleichung in Divergenzform:
∂
∂ei
+
∂t
∂xj
λ ∂T
uj ei −
∂xj
=
Da die Gesamtenergie
e = em + ei
ist, folgt die Erhaltungsgleichung
∂
∂e
+
∂t ∂xj
λ ∂T
∂ek
∂uj uj
uj e − ν
− ui ν
+ p−
∂xj
∂xi
∂xj
=0
gilt. Diese Gleichung besagt, dass sich die Gesamtenergie in einem hydrodynamischen System
nur dann ändern kann, wenn ein Energiefluss Φe
Φe,j = uj e − ν
λ ∂T
∂ek
∂uj
uj
− ui ν
+ p−
∂xj
∂xi
∂xj
(11.7)
durch dessen Umrandung erfolgt. Ist das System also geschlossen, ändert sich die Gesamtenergie nicht.
Wir haben in diesem Kapitel Einsichten in die Begriffe
• kinetische Energie
• potentielle Energie
11.7. Übungen
Seite 253
• mechanische Energie, als Summe der kinetischen und potentiellen Energie
• innere Energie
• Gesamtenergie, als Summe von mechanischer und innerer Energie
gewonnen und ihre Bilanzgleichungen in der Hydromechanik kennengelernt.
Durch die skalare Multiplikation der Impulsgleichungen mit der Geschwindigkeit kann man
ganz allgemein in der Mechanik Transportgleichungen für die kinetische Energie gewinnen.
Aus dieser lässt sich eine Größe extrahieren, die zu einer kontinuierlichen Abnahme der kinetischen Energie führt, man bezeichnet sie als Energiedissipation.
Die innere Energie einer Strömung wird mit dem ersten Hauptsatz der Thermodynamik analysiert, als Nebenprodukt ergibt sich eine Transportgleichung für die Temperatur. In diesen Gleichungen taucht ein Quellterm auf, der zu einer kontinuierlichen Erhöhung der inneren Energie
bzw. der Temperatur führt, er kann direkt mit der Energiedissipation identifiziert werden.
Wir haben bewiesen, dass die Gesamtenergie in einem hydrodynamischen geschlossenen System konstant bleibt. Oberflächengewässer sind aber keine geschlossenen Systeme, daher wurden die mathematischen Verfahren bereitgestellt, um Energieflüsse richtig zu bilanzieren.
11.7 Übungen
1. Gegeben sei ein Gerinne der Breite B, der Wassertiefe h. Vergleichen sie die Energiedissipation bei gleichem Abfluss Q für ein lineares und ein quadratisches Geschwindigkeitsprofil.
(a) Stellen Sie zuerst den Parameter uS des linearen Geschwindigkeitsprofils als Funktion von Q dar.
(b) Stellen Sie nun den Parameter a im quadratischen Profil u(z) = az 2 so dar, dass
bei der Wassertiefe h und der Breite B der Durchfluss Q einstellt.
(c) Bestimmen Sie die Energiedissipationsrate (z) für beide Profile.
(d) Integrieren Sie die beiden Energiedissipationsraten (z) zwischen 0 und h über z
und vergleichen Sie die Ergebnisse.
Seite 254
11.7. Übungen
Kapitel 12
Der Transport der Turbulenz
In vielen Situationen kann man den Grad der Turbulenz nicht aus den lokalen mittleren
Strömungsverhältnissen erschließen. Dies liegt daran, dass die Turbulenz an solchen Orten
nicht das Produkt des Gleichgewichtes zwischen Produktion und Dissipation ist, sondern an
einem anderen Ort in der Strömung entstanden ist und dann weitertransportiert wurde. Beispiele hierfür gibt es viele: So entsteht an jeder plötzlichen Verengung wie z.B. an einer Buhne in
einem Fluss durch die hohen Geschwindigkeitsgradienten eine enorme Turbulenz, die stromab
forttransportiert wird. Hier kann diese Turbulenz dann die Erosion von Sedimenten auslösen,
eine erhöhte turbulente Durchmischung erzeugen oder die Ablagerung von Schwebstoffen verhindern.
Zur Berechnung der Wirkung solcher Bauwerke müssen wir also in der Lage sein, auch den
Transport der Turbulenz zu modellieren.
12.1 Die turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen
Das Schließungsproblem der Turbulenz wäre dann gelöst, wenn wir Bestimmungsgleichungen
für die einzelnen turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen zur Verfügung hätten. Wir wissen bisher nur, dass sie einer eigenen Kontinuitätsgleichung genügen. Dies ist hilfreich, nützt
aber wenig bei der Beantwortung der Frage, warum und wie sie entstehen und sich weiterentwickeln. Wir benötigen also eine Gleichung für die Dynamik der Geschwindigkeitsschwankungen, um dem Wesen der Turbulenz weiter auf den Grund zu gehen.
Dazu betrachten wir nochmals die Navier-Stokes-Gleichung in x-Richtung mit den in mittlere
und fluktuierende Anteile zerlegten Größen:
∂u
∂u
∂u
∂u
∂u ∂u
1 ∂p 1 ∂p
∂ 2 u
∂2u
+
+ uj
+ uj
+ uj
=−
−
+ν
+ fx
+ uj
+ν
∂t
∂t
∂xj
∂xj
∂xj
∂xj
∂x
∂x
∂xj ∂xj
∂xj ∂xj
Die Reynoldsgleichungen bestehen aus den unterstrichenen Termen sowie den Reynoldsspannungen. Wir können also an dieser Stelle die Differenz aus Navier-Stokes- und Reynoldsglei255
12.2. Die turbulente kinetische Energie (TKE)
Seite 256
chungen bilden und erhalten eine Transportgleichung für die Geschwindigkeitsfluktuationen:
∂u uj
∂ 2 u
∂u
∂u
∂u
1 ∂p
∂u
+ uj
+ν
+ uj
+ uj
=−
+
∂t
∂xj
∂xj
∂xj
∂x
∂xj ∂xj
∂xj
Hier lassen sich der 2. und 4. Term der linken Seite durch u j = uj + uj zu einer Advektion
der Geschwindigkeitsfluktuation im Gesamtgeschwindigkeitsfeld zusammenfassen:
∂u
+
∂t
uj
∂u
∂xj
+
uj
∂u
∂xj
=−
1 ∂p
∂ 2 u
+
+ν
∂x
∂xj ∂xj
∂u uj
∂xj
Druck
Advektion Produktion
Diffusion Reynoldsspannungen
Diese Gleichung ist ein Schlüssel zum Verständnis des Phänomens Turbulenz. Wir wollen sie
daher genau lesen. Turbulente Geschwindigkeitsfluktuationen werden im Feld der Gesamtgeschwindigkeit u = u + u advektiv transportiert. Sie werden dabei weder verstärkt noch
abgeschwächt, sondern lediglich verschoben.
Die dritte Termgruppe ist durch die besondere Tatsache gekennzeichnet, dass sie als einzige
Informationen über das mittlere Strömungsfeld verwendet. Damit besagt sie: Der Grad der
Turbulenz wird besonders an solchen Orten verändert, an denen die mittlere Strömungsgeschwindigkeit große Gradienten aufweist, also da, wo das Fluid einer starken Scherung
ausgesetzt ist. Man bezeichnet sie daher als Produktionsterme.
Die Diffusionsterme auf der rechten Seite des Gleichungssystems führen zu einem Ausgleich
von lokalen Gradienten in den turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen. Sind diese an irgendeiner Stelle besonders hoch, so wird Fluktuationsenergie an Bereiche geringerer Turbulenz abgegeben. Dabei wird der mittlere Grad der Turbulenz nicht verändert.
Die nächste Gruppe enthält die Druckfluktuationen. Die Reynoldsspannungsterme lassen sich
wie die Diffusionsterme in Divergenzform darstellen. Damit beschreiben sie einen Fluß von
Spannungen, der in der Bilanz jedoch keine Quelle oder Senke für die turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen darstellt. Man bezeichnet sie daher manchmal auch als Umverteilungsterme.
Wir wollen nun untersuchen, was passiert, wenn eine Strömung keine turbulenten Schwankungen aufweist, also laminar ist. Da alle Terme aber turbulente Schwankungen enthalten, ist
deren zeitliche Änderung Null und somit bleibt das Strömungsfeld laminar.
Tatsächlich ist dieser Zustand aber instabil: Jede noch so kleine Schwankung führt dazu, dass
die Produktionsterme sofort weitere turbulente Schwankungen erzeugen und die Strömung
in den turbulenten Zustand übergeht. Die Instabilität laminarer Strömungen ist Gegenstand
fortwährender Forschungen. Eine Einführung liefern [39] und [18].
12.2 Die turbulente kinetische Energie (TKE)
Die turbulente kinetische Energie (TKE) k hatten wir als Maß für den Grad der Turbulenz in
einer Strömung kennengelernt. Eine Bestimmungsgleichung für ihr dynamisches Verhalten be-
Seite 257
kommt man durch die Multiplikation der Gleichungen der turbulenten Scheankungen mit den
turbulenten Schwankungen selbst, nachfolgende Summation über alle drei Raumrichtungen
und schließlich eine Mittlung. In der Indexnotation sieht dies sehr kompakt aus:
ui
∂ui uj
∂ui
∂u
∂ui
u ∂p
∂ 2 ui
+ ui uj i + ui uj
=− i
+ νui
+ ui
∂t
∂xj
∂xj
∂xi
∂xj ∂xj
∂xj
Mit der Produktregel
∂k
∂u
1 ∂ui ui
=
= ui i
∂t
2 ∂t
∂t
identifiziert man die Zeitableitung als Ableitung der TKE. Ebenso wird in den anderen Termen
vorgegangen und man bekommt:
∂u u
∂k
∂ui
u ∂p
∂ 2 ui
∂k
+ uj
+ ui uj
=− i
+ νui
+ ui i j
∂t
∂xj
∂xj
∂xi
∂xj ∂xj
∂xj
Auf den Diffusionsterm (zweiter Term auf der rechten Seite) wird nochmals die Produktregel
angewendet:
∂k
∂k
u ∂p
∂2k
+ uj
=− i
−
+ν
∂t
∂xj
∂xi
∂xj ∂xj
Druck
Diffusion
ui uj
∂ui
∂xj
− ν
Produktion Pk
∂u u
∂ui ∂ui
+ ui i j
∂xj ∂xj
∂xj
Dissipation turbulente
Advektion
Die turbulente Adevektion beschreibt den advektiven Transport von TKE mit den Schwankungsgeschwindigkeiten. Da er sich vollständig in Divergenzform darstellen läßt, bewirkt er
keine Produktion oder Vernichtung sondern nur eine Umverteilung turbulenter kinetischer
Energie.
Das gleiche gilt für den Druckterm. Er läßt sich recht übersichtlich durch eine entsprechende
Erweiterung mit der Kontinuitätsgleichung für die Geschwindigkeitskorrelationen darstellen:
ui ∂p
1 ∂p ui
=
∂xi
∂xi
Das Auftauchen des doppelten Index i bedeutet eine Summation über alle drei Ableitungen
und somit eine Divergenzbildung. Damit ist diese Termgruppe konservativ, d. h. sie bewirkt
weder eine Prouktion noch eine Dissipation sondern lediglich eine Umverteilung der TKE.
Man fasst sie daher in einen Diffusionsterm der Form
∂ui uj
∂2k
∂
u ∂p
− i
+ν
+ ui
=
∂xi
∂xj ∂xj
∂xj
∂xj
νt ∂k
σk ∂xj
Seite 258
zusammen. σk wird als Prandtlzahl der TKE bezeichnet. Sie wird zu Eins angenommen, d.h.
die Diffusivität der TKE entspricht der turbulenten Viskosität.
∂k
∂
∂k
+ uj
=
∂t
∂xj
∂xj
ν + νt ∂k
σk ∂xj
+ Pk − (12.1)
Die TKE-Gleichung enthält ferner einen immer positiven Term der Dissipation von turbulenter
kinetischer Energie k
∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u
+
+
∂x ∂x
∂y ∂y
∂z ∂z
∂v ∂v ∂v ∂v ∂v ∂v +
+
+
∂x ∂x
∂y ∂y
∂z ∂z
∂w ∂w ∂w ∂w ∂w ∂w +
+
+
∂x ∂x
∂y ∂y
∂z ∂z
k = ν
(12.2)
welcher turbulente kinetische Energie vernichtet.
12.2.1 Die Produktion von TKE
Auf der rechten Seite TKE-Gleichung taucht ein Produktionsterm P k auf, der sowohl positive als auch negative Werte annehmen kann; er steuert aber die Umwandlung von mittlerer in
turbulente Strömungsenergie und umgekehrt. Man kann ihn mit Hilfe des Wirbelviskositätsprinzips als
Pk =
∂ui
∂ui ∂uj
= νt
+
∂xj
∂xj
∂xi
−ui uj
∂ui
∂xj
modellieren. Ausgeschrieben lautet er:
Pk =
⎡ 2
∂u
νt ⎣2
∂x
+
∂v
+2
∂y
∂v ∂u
+
∂x ∂y
2
+
2
∂w
+2
∂z
∂w ∂u
+
∂x
∂z
2
2
+
∂w ∂v
+
∂y
∂z
2 ⎤
(12.3)
⎦
Nach dem Wirbelviskositätsprinzip ist P k also immer positiv, er pumpt also kinetische Energie
vom mittleren in das turbulente Strömungsfeld.
12.2.2 Eingleichungsmodelle
Während das Mischungswegmodell die turbulente Viskosität durch Größen des mittleren
Strömungsfeldes bestimmt, schlugen Kolmogorov und Prandtl unabhängig voneinander vor,
Seite 259
eine turbulente Größe zur Bestimmung der turbulenten Viskosität heranzuziehen. Hier bietet
sich die turbulente kinetische Energie an, es gibt aber auch Eingleichungsmodelle, die eine
Transportgleichung für die Wirbelviskosität selbst verwenden.
Zur Bestimmung der turbulenten kinetischen Energie wird eine vereinfachte Form ihrer exakten Transportgleichung verwendet. Da ein solches Turbulenzmodell eine zusätzliche Differentialgleichung lösen muß, wird es den Eingleichungsmodellen zugeordnet.
Die Kolmogorov-Prandtl-Gleichung
Die hierbei grundlegende Bestimmungsgleichung für die turbulente Viskosität heißt
Kolmogorov-Prandtl-Gleichung und ergibt sich aus einer Dimensionsanalyse. Da die turbulente kinetische Energie die Einheit eines Geschwindigkeitsquadrats besitzt, wird die turbulente
Viskosität in der Form
√
νt = cμ kL
(12.4)
angesetzt. L stellt eine den Turbulenzgrad charakterisierende Länge und cμ eine einheitenlose Konstante dar. Eine Unterscheidung der Raumrichtungen wird in diesem Modell nicht
gemacht, es setzt also wieder eine isotrope Turbulenz voraus.
Die Modellierung der Energiedissipation Um die Transportgleichung für die TKE lösen zu können, benötigt man noch die Schließung
der TKE-Dissipation . Diese wird mittels der Dimensionsanalyse als
k 3/2
(12.5)
L
dargestellt, wobei cD eine empirische Konstante ist. Insgesamt erhalten wir die modellierte
Form der Transportgleichung für die turbulente kinetische Energie
= cD
∂k
∂
∂k
+ uj
=
∂t
∂xj
∂xj
ν + νt ∂k
σk ∂xj
+ P k − cD
k 3/2
L
wobei einzig die die Turbulenz charakterisierende Länge L unbekannt ist.
Mit dieser Größe hat es bisher folgende Bewandnis: Je kleiner sie ist, umso größer ist die TKEDissipation . Da in den turbulenten Wirbeln umso mehr Energie in Wärme umgesetzt wird,
je kleiner diese sind, kann L mit dem Durchmesser der dissipierenden Strukturen identifiziert
werden. Genauso erhöht L die Wirbelviskosität, was ebenfalls darauf schließen lässt, das diese
Länge eine charakteristische Wirbelgröße beschreibt.
Kombinieren wir schließlich (12.5) und (12.4) unter Elimination von L, dann bekommt die
turbulente Viskosität die neue Form
Seite 260
νt = cμ cD
k2
k2
:= cμ .
Durch den Vergleich mit experimentellen Untersuchungen hat sich für den Parameter c μ =
0.09 eingebürgert.
Das Gleichgewichtsmodell
Wenn der advektive und diffusive Transport von turbulenter kinetischer Energie vernachlässigbar sind, dann stehen Produktion und Dissipation von turbulenter kinetischer Energie in einem
Gleichgewicht:
Pk = νt
∂ui ∂uj
+
∂xj
∂xi
∂ui
k 3/2
= cD
∂xj
L
Unter dieser Annahme an die Strömung können wir ein neues Turbulenzmodell konstruieren,
welches sich als Verallgemeinerung des Mischungswegmodells erweisen wird.
Dazu eliminieren wir k mit Hilfe der Kolmogorov-Prandtl-Gleichung und erhalten den expliziten Ausdruck:
νt =
3 ∂ui
2 cμ
L
∂uj
+
∂xj
∂xi
cD
∂ui
∂xj
Um dieses Turbulenzmodell zu vervollständigen, müssen wir die charakteristische Länge L
sowie die Koeffizienten cμ und cD bestimmen. Dazu versuchen wir wieder, das empirische
Profil der turbulenten Viskosität in Fließgewässern mit diesem Ansatz zu reproduzieren. Da
dort von einer logarithmisch-profilierten Hauptströmung ausgegangen wird, ist unser Modell
für den Spezialfall zu untersuchen, dass nur vertikale Geschwindigkeitsgradienten vorhanden
sind:
νt =
3 1/2
c
μ
cD
L2
∂u
.
∂z
Vergleicht man dies mit dem Mischungswegansatz Gl. (7.6), so folgt für L
L = lm
cD
cμ 3
1/4
,
d. h. L ist direkt proportional zum Mischungsweg.
Im Umkehrschluss bedeutet dies, dass das Mischungswegmodell für den Spezialfall gilt,
wenn Turbulenz nicht durch Advektion oder Diffusion transportiert wird. Einen solchen Zustand bezeichnet man als lokales Gleichgewicht zwischen turbulenter Energieproduktion und
-dissipation.
Seite 261
12.2.3 Lösung mit dem pdetool für die Trennungschicht
Da wir die Reynoldsgleichungen mit dem pdetool schon gelöst haben, brauchen wir nur noch
die Transportgleichung für die TKE hinzufügen und die turbulente Viskosität nach unseren
neuen Ansätzen bestimmen. In die Zeitschleife unseres Modells für die Reynoldsgleichungen
sind dann folgende Zeilen an den richtigen Stellen zu ergänzen:
for i=1:10
disp([’Iteration Nr. ’ num2str(i)]);
kb=lagrange_advection(kn,veln(:,1),veln(:,2),x,y,dt,TRI);
kbc=pdeintrp(p,t,kb);
% Source terms for the TKE
Pk=nut.*(2*dudx.ˆ2+2*dvdy.ˆ2+(dudy+dvdx).ˆ2);
kc=pdeintrp(p,t,kn);
cd=0.0001;
eps=cd*sqrt(kc).ˆ3./lm;
fk=kbc/dt+Pk-eps;
nut=real(0.09*kc.ˆ2./eps);
kneu=assempde(v_file,p,e,t,nut,a,fk);
kn=real(kneu(:,end));
end
Die Lösung hängt stark davon ab, wie cD gewählt wird. Ferner ist natürlich der Mischungsweg
lm für die Trennungsschicht anzusetzen. In diesem Fall ergeben sich die in Abbildung 12.1
dargestellten Ergebnisse.
Die Abbildung zeigt sehr schön, dass die turbulente kinetische Energie von dem Gradient der
mittleren Geschwindigkeit generiert wird.
12.2.4 Stationäre Lösung für die Wandgrenzschicht in MATLAB
Wir wollen die k-Gleichung mit Hilfe von MATLAB für die stationäre Wandgrenzschicht
lösen. Wir haben schon des Öfteren gesehen, dass in diesem Fall auch alle advektiven Terme
wegfallen und von den diffusiven Termen nur der z-Term stehen bleibt, wenn wir mit z den
Abstand von der Wand bezeichnen. Die k-Gleichung wird also zu:
∂
0=
∂z
ν + νt ∂k
σk ∂z
+ P k − cD
k 3/2
L
Seite 262
10
3
8
10
0.3
8
2.8
6
2.6
6
4
2.4
4
2
2.2
2
0
2
0
0.25
0.2
−2
1.8
−2
−4
1.6
−4
0.15
0.1
0.05
1.4
−6
1.2
−8
−6
0
−8
1
−10
0
2
4
6
8
−10
10
−0.05
0
2
4
6
8
10
Abbildung 12.1: Geschwindigkeitsverteilung (links) und TKE (rechts) nach dem k-Modell in
der Trennungsschicht.
In der Wandgrenzschicht ist das Geschwindigkeitsprofil logarithmisch, womit der Produktionsterm berechenbar wird und die zu lösende Differentialgleichung die Form
∂
0=
∂z
ν + νt ∂k
σk ∂z
+ νt
u2∗
k 3/2
.
−
c
D
κ2 z 2
L
Diese Gleichung ist nun prinzipiell lösbar, wenn man L und ν t mit dem Mischungswegansatz
schließt.
function kModell
h=100.;
ustar=0.001;
kappa=0.41;
z0b=0.00001;
z0s=0.002;
cmu=0.09;
%
%
%
%
Wassertiefe
Sohlschubspannungsgeschwindigkeit
Karmankonstante
Integrationsgrenze am Boden = ks/30 ˜ dm/10
% Integrationsgrenze an der Wasseroberfläche = 0.85 HS
% Proportionalitätskonstante für Wirbelviskosität
% Anfangswerte
sol = bvpinit(linspace(z0b,h-z0s),[ustarˆ2/sqrt(cmu) 0]);
% MATLAB-Löser für das Randwertproblem
sol = bvp4c(@tkeODE, @tkeBC, sol);
% Plot TKE-Profil
figure;
plot(sol.y(1,:)/ustarˆ2,sol.x/h,’LineWidth’,2,’Color’,[0 0 0]);
title([’TKE-Profil (k-Modell)’]);
ylabel(’Relativer Wandabstand z/h’);
xlabel(’Normierte TKE k/u_*ˆ2’);
Seite 263
function dydx = tkeODE(x,y)
% Definition der beiden rechten Seiten
% x ist z
% y(1,:) ist k
% y(2,:) ist u
L=kappa*x;
%L=kappa*x.*sqrt(1-x./h);
%L=min(kappa.*x,0.2*kappa*h);
nut=cmuˆ(1/4)*L*sqrt(y(1,:));
dudz=ustar/kappa./x;
epsilon=cmuˆ(3/4).*y(1,:).ˆ(3/2)./L;
dydx = [
y(2,:)./nut -nut.*dudzˆ2+epsilon];
end
% ----------------------------------------------------------------------function res = tkeBC(ya,yb)
% Berücksichtigung der Randwerte als Residuen
x=h-z0s;
res = [ ya(1)-ustarˆ2/sqrt(cmu) yb(2)];
end
% ----------------------------------------------------------------------end
Im Programm sind drei verschiedene Mischungswegansätze implementiert. Zunächst wird κz
für die logarithmische Wandgrenzschicht gewählt. Das Ergebnis der Simulation in Abbildung
12.2 zeigt eine konstante TKE, was auch tatsächlich experimentell bestätigt werden kann.
In einem offenen Gerinne nimmt man ebenfalls ein logarithmische Geschwindigkeitsprofil,
aber ein parabolisches Wirbelviskositätsprofil an. Nach dem k-Modell (Abbildung 12.3) fällt
die TKE dann vom Boden zur Wasseroberfläche kontinuierlich ab.
In sehr tiefen Gewässern wird oftmals angenommen, dass der Mischungsweg im interen Bereich linear ansteigt, dann aber auf einem konstanten Wert verbleibt. Die Abbildung 12.4 zeigt
wieder einen etwas anderen Verlauf der TKE.
12.2.5 Bewertung
Diese Betrachtungen machen deutlich, dass wir eigentlich keinen großen Schritt in der Turbulentmodellierung gegenüber dem Mischungswegmodell vorangekommen sind. Wir benötigen
für jede Strömung einen Ansatz für die charakteristische Länge L, der dem Mischungsweg
entspricht. Im Unterschied zum Mischungswegmodell besitzt das k-Modell die Eigenschaft,
Seite 264
TKE−Profil (k−Modell)
1
0.9
Relativer Wandabstand z/h
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
3.3333
3.3333
3.3333
3.3333
3.3333
3.3333
3.3333
3.3333
Normierte TKE k/u2
*
Abbildung 12.2: Die TKE nach dem k-Modell in einer Wandgrenzschicht.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Normierte TKE k/u2
*
Abbildung 12.3: Die TKE nach dem k-Modell in einem offenen Gerinne.
12.3. Die Energetik der turbulenten Strömung
Seite 265
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Normierte TKE k/u2
*
Abbildung 12.4: Die TKE nach dem k-Modell in einem tiefen Gewässer.
dass die turbulente kinetische Energie auch transportiert werden kann, es ist aber nicht in der
Lage, die turbulente Viskosität ohne a priori-Annahmen zu bestimmen. Eingleichungsmodelle
werden daher in der Praxis nicht verwendet.
12.3 Die Energetik der turbulenten Str ömung
Genau wie man aus der Impulsgleichung für die turbulenten Schwankungen eine Gleichung
für die turbulente kinetische Energie hergeleitet hat, kann man aus der Reynoldsgleichung für
die mittlere Geschwindigkeit eine Gleichung für die mittlere kinetische Energie K gewinnen.
Sie lautet:
∂K
+
∂t
uj
∂K
∂xj
Advektion
=
uj fj
Potentielle
Energie
−
ui ∂p
−
∂xi
Druck
Pk
Turbulenzproduktion
+ν
∂2K
∂ui ∂ui
− ν
∂xj ∂xj
∂xj ∂xj
Diffusion
Dissipation
Angetrieben wird die mittlere Strömung entweder durch Druck- oder potentielle Energiegradienten. Die äußeren Kräfte fi leisten pro Zeit die Arbeit uj fj an der Strömung, wodurch großskalige Bewegungen induziert werden, die die kinetische Energie des mittleren Strömungsfeldes K erhöhen. Die dadurch erzeugte kinetische Energie der mittleren Strömung wird durch
Umwandlung in turbulente kinetische Energie P k oder durch direkte Dissipation in Wärme
wieder verloren. Da der Dissipationsterm hier nur die relativ kleinen Gradienten des mittleren
12.4. Das k--Modell
Seite 266
ui f i -
ui ¶p
r ¶xi
K
n
TKE k
¶ui ¶ui
¶x j ¶x j
e =n t
¶ui ¶ui
¶x j ¶x j
Wärme cT
Abbildung 12.5: Maschine für die Energieumwandlung in einer turbulenten Strömung. Speicherterme sind durch Ovale, Umsetzungsprozesse durch eckige Boxen dargestellt.
Strömungsfeldes und die molekulare Viskosität beinhaltet, ist die direkte Umwandlung von
mittlerer Strömungsenergie in Wärme im Vergleich zur Turbulenzproduktion aber sehr gering.
Damit kommt man zu folgender Energetik der turbulenten Strömung: Zwischen der mittleren
Strömung d.h. den großskaligen und den kleinskaligen turbulenten Bewegungen wird kontinuierlich Energie über den Term Pk ausgetauscht. TKE wird schließlich über den Term k
dissipiert, d.h. in Wärmeenergie umgewandelt.
Fluktuierende äußere Kräfte können aber auch direkt die turbulente kinetische Energie der
Strömung erhöhen. Das mittlere Strömungsfeld gibt Energie mit der Rate P k an das turbulente
Strömungsfeld k ab. Dabei werden große Wirbel in einem Kaskadenprozeß in immer kleinere
Wirbel zerlegt. Schließlich werden die Wirbel so klein, dass sie die kinetischen Energie auf
der molekularen Ebene und somit die Temperatur erhöhen. Diese Umsetzung von turbulenter
kinetischer Energie k in Wärmeenergie geschieht mit einer Rate k .
12.4 Das k--Modell
Zur Lösung der beschriebenen Probleme bietet es sich an, eine zweite Transportgleichung für
die Turbulenzlänge L oder eine andere mit L verbundene physikalische Größe zu bestimmen.
Der Ansatz für die turbulente Viskosität des k-Modells
12.4. Das k--Modell
Seite 267
νt = cμ
k2
.
(12.6)
drängt hier die Energiedissipation als möglicher Kandidat geradezu auf.
Analog der k-Gleichung ist es wieder möglich, eine exakte Form für die Energiedissipation
herzuleiten. Der Weg führt hierbei über den Vergleich der Rotation der Navier-Stokes- und
Reynoldsgleichungen. Eine Parametrisierung der unbekannten Korrelationen ergibt zusammen
mit der Transportgleichung für k
∂k
∂
∂k
+ uj
=
∂t
∂xj
∂xj
∂
∂
∂
=
+ uj
∂t
∂xj
∂xj
ν + νt ∂k
σk ∂xj
νt ∂
σ ∂xj
+ Pk − (12.7)
+
(C1 Pk − C2 )
k
das vollständige k--Modell, welches das bekannteste Zweigleichungsmodell ist und 1974 von
Launder und Spaulding [43] vorgestellt wurde. Die Energiedissipation dämpft dabei die TKE
in zweifacher Weise: Zum einen erniedrigt sie als Nenner die TKE-Produktion, zum anderen
bewirkt sie als eigenständiger Term die Vernichtung von TKE.
Die Konstanten wurden durch den Vergleich von Modellergebnissen mit einfachen Strömungssituationen gewonnen. Sie sind den Werten nach:
cμ
C1
C2
σk σε
0.09 1.44 1.92 1.0 1.3
12.4.1 Die wandnahe Strömung im k--Modell
Wir wollen nun untersuchen, wie sich das k--Modell in Wandnähe verhält und welche Randbedingungen für k und hier angesetzt werden müssen. Da die mittlere Strömung parallel zur
Wand verläuft, und sich somit die Turbulenzverhältnisse sowohl entlang einer Bahnlinie als
auch in der xz-Ebene nicht ändern, reduzieren sich die k--Gleichungen zu:
cμ ∂
0=
σk ∂y
cμ ∂
0=
σ ∂y
k 2 ∂k
∂y
k 2 ∂
∂y
k2
+ cμ
∂u
∂y
∂u
+ C 1 cμ k
∂y
2
−
2
− C2
2
k
Berücksichtigen wir nun das Geschwindigkeitsprofil in der logarithmischen Schicht, dann
kann man durch Einsetzen bestätigen, dass
12.4. Das k--Modell
Seite 268
(y) =
u3∗
κy
u2
k(y) = √ ∗
cμ
dann Lösungen des k--Modells für die logarithmische Schicht sind, wenn die Konstanten die
aus der -Gleichung folgende Bedingung
κ2 = σ
√
cμ (C2 − C1 )
erfüllen. Mit den angegebenen Parametern wird dann κ = 0.43.
Die TKE ist also in der logarithmischen Schicht konstant und ihre Dissipation nimmt zur Wand
hin zu.
Für die viskose Schicht ist eine derartige Lösung des obigen Differentialgleichungssystem
dummerweise nicht bekannt. An dieser ist man insbesondere deshalb interessiert, um Randbedingungen für die turbulente Energiedissipation herzuleiten. Einfach ist die Sache für die
TKE, sie ist laut Stokesscher Wandhaftbedingung an der Wand Null. Die TKE-Dissipation braucht dort im Gegensatz zur turbulenten kinetischen Energie nicht Null sein, sondern kann
einen endlichen Wert annehmen. Der Randwert für läßt sich auch nicht durch Extrapolation
aus der logarithmischen Schicht gewinnen, da das Profil für y = 0 divergiert.
Somit geht man in der Praxis davon aus, dass der Rand des modellierten Bereiches außerhalb
der viskosen Unterschicht in einem Abstand y liegt. Damit erhält man als Randbedingungen
für das k--Modell
W and
u3∗
= κy
und kW and
u2∗
=√
cμ
wobei man nicht vergessen darf, auch für k den entsprechenden Wert anzusetzen. Dabei kann
y aus Stabilitätsgründen nicht beliebig klein und somit W and beliebig groß gewählt werden.
12.4.2 Randbedingungen an der freien Oberfläche
Die Randbedingungen an der freien Oberfläche sind auch nach so vielen Anwendungen dieses
Turbulenzmodells mehr oder weniger dubios. Im Gegensatz zu einer Wand bzw. der Sohle ist
die turbulente kinetische Energie an der freien Oberfläche nicht Null. Dennoch verschwindet
hier aber auch die Wirbelviskosität νt . Dieses Verhalten ist nach νt = cμ k 2 / nur dadurch zu
reproduzieren, dass entweder die kinetische Energiedissipation beliebig groß wird, oder dass
cμ gegen Null geht, also keine Konstante ist. Hiermit wird es zweifelhaft, ob das Standard-k-Modell ein physikalisch richtiger Ansatz zur Beschreibung der oberflächennahen Turbulenz
ist.
12.4. Das k--Modell
Seite 269
Nimmt man an, dass keine turbulente kinetische Energie mit der Atmosphäre ausgetauscht
wird, dann gilt die homogene Neumannsche Randbedingung:
∂k
=0
∂ nS
Dies ist aber nur dann der Fall, wenn Wasser und Luft sich mit der gleichen Geschwindigkeit
in die gleiche Richtung bewegen, wenn also keine Schubspannungen zwischen den beiden
Medien wirken.
Für die turbulente Energiedissipation schlug Rodi [69] ebenfalls eine homogene Neumannsche Randbedingung vor. Diese führt aber nicht dazu, dass die Wirbelviskosität an der Wasseroberfläche wieder abnimmt, weil die Energiedissipation dort auch nicht ansteigt.
Celik und Rodi [8] setzen daher eine Dirichletsche Randbedingung für in der Form
3/2
k
S = S
0.18h
an, um höhere Werte für die Energiedissipation an der freien Oberfläche zu erzielen, als sie die
homogene Neumannsche Randbedingung liefert.
12.4.3 Das k--Modell für die Gerinneströmung
Damit haben wir alles zusammengesammelt, um das Vertikalprofil einer Gerinneströmung mit
dem k--Modell zu simulieren. Dazu gehen wir von in der Horizontalen homogenen Bedingungen aus. Damit fallen alle Ableitungen in x- und y-Richtung weg. Sei zudem die Vertikalgeschwindigkeit Null. Von der Impulsgleichung in Hauptströmungsrichtung x und den
Gleichungen des k--Modells bleiben dann nur noch:
∂
∂k
=
∂t
∂z
∂
∂
=
∂t
∂z
νt ∂
σ ∂z
νt ∂k
σk ∂z
+ νt
⎛
∂u
∂z
2
∂u
+ ⎝C1 νt
k
∂z
−
2
⎞
− C2 ⎠
∂
∂u
∂u
=
νt
+ 2g sin α
∂t
∂z
∂z
Wir wollen die Gleichungen mit MATLAB lösen. Dabei besteht prinzipiell auch die Möglichkeit, von einer stationärem Strömung auszugehen. Damit fallen auch die Zeitableitungen in
den Gleichungen weg und es bleiben drei Randwertprobleme zu lösen, für die MATLAB die
Löser bvp4c und bvp5c anbietet, deren Lösungsverhalten für unser Problem sehr instabil ist.
Somit bleiben wir beim zudem allgemeineren Fall des instationären Problems und verwenden den Löser pdepe für parabolische Differentialgleichungen. Da Geschwindigkeitsgradient,
12.4. Das k--Modell
Seite 270
νt−Profil in Gerinneströmung (k−ε−Modell)
1
0.9
0.9
0.8
0.8
Relativer Bodenabstand z/h
Geschwindigkeitsprofil in Gerinneströmung (k−ε−Modell)
1
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
2
4
6
8
Normierte Geschwindigkeit u/u
10
0
12
0
0.01
0.02
*
0.03
0.04
0.05
0.06
Normierte Wirbelviskosität ν /h u
t
0.07
0.08
0.09
*
Abbildung 12.6: Profile der Geschwindigkeit und der turbulenten Viskosität in einem Gerinne
nach dem k--Modell.
ε−Profil in Gerinneströmung
1
0.9
0.9
0.8
0.8
TKE−Profil in Gerinneströmung (k−ε−Modell)
1
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
Normierte TKE k/u2*
2.5
3
3.5
0
0
10
20
30
40
50
ε κ h/u3*
Abbildung 12.7: Profile der TKE und ihrer Dissipation in einem Gerinne nach dem k--Modell.
12.4. Das k--Modell
Seite 271
TKE, deren Dissipation und die Wirbelviskosität voneinander abhängen, muss die Lösung
des Gleichungssystem iterativ gewonnen werden. Das folgende MATLAB-Programm löst das
Gleichungssystem:
function Step5_ke_instationaer_gekoppelt
h=10.;
% Wassertiefe
kappa=0.41; % Karmankonstante
z0b=0.2;
% Integrationsgrenze am Boden = ks/30 ˜ dm/10
cmu=0.09;
% Proportionalitätskonstante für Wirbelviskosität
nu0=1.e-6; % Molekulare Viskosität
gdzsdx=-1.e-3; % Gradient der Oberfläche
Tend=2000;
% Simulation time
zmesh = z0b:(h-z0b)/300:h;
% Anfangswerte für k, epsilon und nut, u und du
ustarb=sqrt(-gdzsdx*h);
TKE = ustarbˆ2/sqrt(cmu)*zmesh./zmesh;
eps=ustarbˆ3/kappa./zmesh;
u = ustarb/kappa*log(zmesh./z0b);
nof_it=20;
for i=1:nof_it
i
dt=Tend/nof_it;
t=(i-1)*dt:dt/2:i*dt;
% Erzeugung von Interpolationsfunktionen ppval(...,x)
epsilonpp= interp1(zmesh,eps,’linear’,’pp’);
TKEpp = interp1(zmesh,TKE,’linear’,’pp’);
upp=interp1(zmesh,u,’linear’,’pp’);
% Lösung der instationären, gekoppelten ke-Gleichungen
sol = pdepe(0, @kevPDE,@kevINIT,@kevBC,zmesh,t);
% Extract the first solution component as u.
[TKE,˜]=pdeval(0,zmesh,sol(size(sol,1),:,1),zmesh);
[eps,˜]=pdeval(0,zmesh,sol(size(sol,1),:,2),zmesh);
[u,˜]=pdeval(0,zmesh,sol(size(sol,1),:,3),zmesh);
end
Seite 272
12.4. Das k--Modell
% Plot TKE-Profil
figure;
plot(TKE/ustarbˆ2,zmesh/h,’LineWidth’,2,’Color’,[0 0 0]);
title(’TKE-Profil in Gerinneströmung (k-\epsilon-Modell)’);
ylabel(’Relativer Bodenabstand z/h’);
xlabel(’Normierte TKE k/u_*ˆ2’);
% Plot Viskositätsprofil
figure;
plot(cmu*ppval(TKEpp,zmesh).ˆ2./ppval(epsilonpp,zmesh)/(h*ustarb),
...
zmesh/h,’LineWidth’,2,’Color’,[0 0 0]);
title(’\nu_t-Profil in Gerinneströmung (k-\epsilon-Modell)’);
xlabel(’Normierte Wirbelviskosität \nu_t/h u_*’);
% Plot Epsilonprofil
figure;
plot(eps/ustarbˆ3*kappa*h,zmesh/h,’LineWidth’,2,’Color’,[0 0 0]);
title(’\epsilon-Profil in Gerinneströmung’);
xlabel(’\epsilon \kappa h/u_*ˆ3’);
% Plot Geschwindigkeitsprofil
figure;
plot(u/ustarb, zmesh/h,’LineWidth’,2,’Color’,[0 0 0]);
title(’Geschwindigkeitsprofil in Gerinneströmung (k-\epsilon-Modell)’);
xlabel(’Normierte Geschwindigkeit u/u_*’);
% ----------------------------------------------------------------------function [c,f,s] = kevPDE(x,˜,kev,dkev)
c = [1; 1; 1];
nutakt=nu0+cmu*kev(1)ˆ2/kev(2);
Pk=nutakt.*dkev(3)ˆ2;
f = [nutakt*dkev(1);nutakt/1.3*dkev(2);nutakt*dkev(3)];
s = [Pk-kev(2); ...
kev(2)/kev(1)*(1.44*Pk-1.92*kev(2));-gdzsdx];
end
% ----------------------------------------------------------------------function kev0 = kevINIT(x)
kev0 = [ppval(TKEpp,x);ppval(epsilonpp,x);ppval(upp,x)];
end
12.5. Das k-ω -Modell
Seite 273
% ----------------------------------------------------------------------function [pl,ql,pr,qr] = kevBC(˜,kevl,˜,kevr,˜)
% f = nut*dudx: BC: p+q*f=0
% Am Boden: Dirichlet, u = 0
pl = [kevl(1)-ustarbˆ2/sqrt(cmu); kevl(2)-ustarbˆ3/kappa/z0b;kevl(3)];
ql = [0; 0; 0];
% An der FOF: homogener Neumann für k, Dirichlet für e
pr = [0; kevr(2)-cmuˆ(3/4)/kappa*kevr(1)ˆ(3/2)/(0.07*h); 0];
qr = [1; 0; 1];
end
% ---------------------------------------------------------------------end
Mit den genannten Randbedingungen ergeben sich die in den Abbildungen 12.10 und 12.11
dargestellten Profile für die Geschwindigkeit, die turbulente kinetische Energie und deren Dissipation.
12.4.4 Die radiale Struktur einer Rohrströmung
Im Unterschied zu einer Gerinneströmung muss eine Rohrströmung in Zylinderkoordinaten
modelliert werden:
∂k
1 ∂
νt ∂k
=
r
∂t
r ∂r
σk ∂r
1 ∂
νt ∂
∂
=
r
∂t
r ∂r
σ ∂r
+ νt
⎛
∂u
∂r
2
∂u
+ ⎝C1 νt
k
∂r
−
2
⎞
− C2 ⎠
1 ∂
∂u
∂u
=
rνt
+ 2g sin α
∂t
r ∂r
∂r
An der Rohrbewandung gelten die gleichen Randbedingungen wie am Boden eines Gerinnes,
auf der Rohrachse sind alle Ableitungen Null.
12.5 Das k-ω-Modell
Als Alternative zum k--Modell hat David C. Wilcox [84], [85] nach einer Grundidee von
Kolmogorov (1942) das k-ω-Modell entwickelt und 1988 der Fachwelt vorgestellt.
Sein herausragendes Charakteristikum ist die Darstellbarkeit der wandnahen Turbulenz ohne
Aussparung der viskosen Schicht, es soll somit Schwächen des k--Modells beheben. Es besteht aus einer Transportgleichung für die turbulente kinetische Energie und dem Verhältnis
aus TKE-Dissipation zur TKE k
Seite 274
νt−Profil in Rohrströmung (k−ε−Modell)
Geschwindigkeitsprofil in Rohrströmung (k−ε−Modell)
0.2
0.18
0.18
0.16
Normierte Wirbelviskosität νt/h u*
Normierte Geschwindigkeit u/u *
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0.02
0
0.14
0
0.2
0.4
0.6
Relativer Achsabstand r/R
0.8
0
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Abbildung 12.8: Profile der Geschwindigkeit und der turbulenten Viskosität in einem Rohr
nach dem k--Modell.
ε−Profil in Rohrströmung
50
3.4
45
3.2
40
3
35
2.8
30
ε κ h/u*
3
*
Normierte TKE k/u2
TKE−Profil in Rohrströmung (k−ε−Modell)
3.6
2.6
25
2.4
20
2.2
15
2
10
1.8
5
1.6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Abbildung 12.9: Profile der TKE und ihrer Dissipation in einem Rohr nach dem k--Modell.
Seite 275
k
die Kolmogorov als Energiedissipation bezeichnete. Sie hat die Einheit einer Frequenz. Die
zugehörigen Transportgleichungen lauten:
ω=
∂
∂k
∂k
∂k
=
(ν + σ ∗ νt )
+ Pk − β ∗ kω
+ uj
∂t
∂xj
∂xj
∂xj
(12.8)
∂ω
∂
∂ω
ω
∂ω
=
(ν + σνt )
+ α Pk − βω 2
+ uj
∂t
∂xj
∂xj
∂xj
k
Die Wirbelviskosität wird aus
k
νt = γ ∗ .
ω
berechnet. Die Schließungskoeffizienten sind:
γ∗ α
β∗
β
σ
σ∗
1 5/9 cμ = 0.09 3/40 1/2 1/2
12.5.1 Die wandnahe Strömung im k-ω-Modell
Beim k-ω-Modell kann für eine feste Wand entweder die Stokessche Wandhaftbedingung realisieren oder aber wie beim k--Modell über der viskosen Schicht am Nullpunkt der logarithmischen Schicht mit der Modellierung beginnen.
Die Stokessche Wandhaftbedingung
Löst man das Strömungsgeschehen tatsächlich bis zur Wand auf, dann sind dort die turbulenten
Fluktuationen Null und somit:
kW = 0
Durch die Festsetzung von ω in der Form
ωW
u2
= Sr ∗
ν
mit Sr =
⎧
2500
⎪
, k+
⎪
+
⎪
⎨ (ks )2 s
⎪
⎪
⎪
⎩
100
, ks+
ks+
< 25
> 25
und ks+ =
u ∗ ks
ν
lässt sich auch die Wandrauheit ks modellieren.
Um mit einem solchen Ansatz gute Ergebnisse zu erzielen, ist die Auflösung allerdings extrem
fein zu wählen.
Seite 276
Darstellung der Wandgrenzschicht ab y0
Beginnt man die Modellierung erst ab dem Nullpunkt des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils, dann sind dort die Werte
ωW = √
u∗
β ∗ κy0
u2
kW = √ ∗ ∗
β
vorzugeben. Durch die Wahl von β ∗ = cμ nimmt die TKE denselben konstanten Wert wie
im k--Modell an. ω steigt wie zur Wand asymptotisch an. Für die viskose Schicht ist ebenfalls keine derartige Lösung bekannt. Damit steht man auch im k-ω-Modell vor dem Problem,
Randbedingungen an der Wand konstruieren zu müssen, wobei die Extrapolation aus der logarithmischen Grenzschicht hier divergiert.
12.5.2 Randbedingungen an der freien Oberfläche
Für die turbulente kinetische Energie wird auch im k-ω-Modell an einer freien Oberfläche die
homogene Neumann-Randbedingung angesetzt.
In Anlehung an die Randbedingung für , setzt man in Freispiegelgewässern für ω[82]:
√
ks
ωS = α
h
Darin wird der Parameter α mit etwa 100 abgeschätzt.
12.5.3 Das k-ω-Modell für die Gerinneströmung
Ein k-ω-Modell für die Gerinneströmung kann man schnell gewinnen, wenn man im
MATLAB-Code des k--Modells die Gleichungslöser entsprechend ersetzt.
Zunächst ist zu bemerken, dass das Modell wesentlich stabiler als das k--Modell ist: Lediglich
in der k-Gleichung muss der Energiedissipationsterm künstlich impliziter gemacht werden, als
er selbst ist.
Die Ergebnisse sind in den Abbildungen 12.10 und 12.11 dargestellt. Sie sehen auf den ersten
Blick nicht anders aus als die des k--Modells. Um die Qualität der beiden Turbulenzmodelle
miteinander vergleichen zu können, muss man also auf die Details schauen: Das Profil der
Wirbelviskosität kennt man aus der Auswertung von Turbulenzmessungen in Laborgerinnen;
es ist in der Abbildung 10.5 dargestellt. Der Maximalwert des daran gefitteten parabolischen
Profils hat den Wert 0.105hu∗, während die Messungen eher auf niedrigere Werte von 0.07hu∗
deuten. Damit reproduziert sowohl das k--Modell dieses Verhalten sehr gut, während das kω-Modell die gemessenen Werte übersteigt.
Seite 277
νt−Profil in Gerinneströmung (k−ω−Modell)
1
0.9
0.9
0.8
0.8
Geschwindigkeitsprofil in Gerinneströmung (k−ω−Modell)
1
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
Normierte Geschwindigkeit u/u *
7
0
8
0
0.05
0.1
0.15
Normierte Wirbelviskosität νt/h u*
0.2
0.25
Abbildung 12.10: Profile der Geschwindigkeit und der turbulenten Viskosität in einem Gerinne
nach dem k-ω-Modell.
ω−Profil in Gerinneströmung
1
0.9
0.9
0.8
0.8
TKE−Profil in Gerinneströmung (k−ω−Modell)
1
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Normierte TKE k/u2
*
4
4.5
5
0
0
0.5
1
1.5
2
ω
2.5
3
3.5
4
4.5
Abbildung 12.11: Profile der TKE und ihrer Dissipation in einem Gerinne nach dem k-ωModell.
12.7. Schließungsmodelle zweiter Ordnung
Seite 278
n
σmn
σmn1
k-Gleichung (in k-)
1
0
-Gleichung
3/2 -1
k-Gleichung (in k-ω) 1
0
ω-Gleichung
1/2 -1
1
1.3
2
2
1
1
1.44 1.92
1
1
0.556 0.833
GTE
m
σmn2
Tabelle 12.1: Belegeung der Parameter der generischen Transportgleichung
Anders sind auch die Simulationsergebnisse zur turbulenten kinetische Energie: Im k--Modell
ist diese über die Vertikale recht konstant, während sie im k-ω-Modell zur Wasseroberfläche
hin abnimmt. Auch hier gewinnt das k--Modell.
12.6 Die generische Transportgleichung der Turbulenzmodelle
Umlauf und Burchard haben 2003 gezeigt, dass sich sowohl die k-, die - und die ω-Gleichung
aus einer einzigen Gleichung generieren lassen:
∂k m ln
∂
∂k m ln
+ uj
=
∂t
∂xj
∂xj
νt
σmn
∂k m ln
+ k m−1 ln (cmn1 Pk − cmn2 )
∂xj
Darin wird die turbulente Viskosität durch die Kolmogorov-Prandtl-Beziehung (12.4)
√
νt = cμ kl
und die TKE-Dissipation durch (12.5)
k 3/2
= cD
l
erzeugt.
Die Tabelle 12.1 gibt an, durch welche Parameterbelegungen man die drei Gleichungen erzeugen kann.
12.7 Schließungsmodelle zweiter Ordnung
Eine äußerst rechenaufwendige und für die Praxis nur selten relevante Familie von Turbulenzmodellen stellen die Schließungsmodelle der zweiten Ordnung dar. Sie sehen von der
Anwendung des Wirbelviskositätsprinzips ab und modellieren direkt die Komponenten des
Reynoldsspannungstensors.
Seite 279
12.7.1 Die Reynoldsspannungsgleichungen
Wenn wir Beziehungen für die sechs unbekannten Reynoldsspannungen u i uj finden, können
wir die Reynoldsgleichungen für das mittlere Strömungsfeld geschlossen lösen. Da für die
Geschwindigkeitsschwankungen u i Transportgleichungen vorhanden sind, sollte es möglich
sein, eine solche auch für die ui uj herzuleiten. Die Konstruktion ist vom Prinzip her einfach,
da naheliegend, der Weg allerdings steinig, er soll daher nur skizziert werden.
Offenbar muß man die Gleichungen für die turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen u i
mit uk multiplizieren; man bekommt dann:
uk
∂u u
∂ui
∂u
∂ui
∂ 2 ui
u ∂p
+ uk uj i + uk uj
=− k
+ νuk
+ uk i j
∂t
∂xj
∂xj
∂xi
∂xj ∂xj
∂xj
In dieser Gleichung vertauschen wir nun einfach die Indizes i und k:
ui
∂u u
∂uk
∂u
∂uk
∂ 2 uk
u ∂p
+ ui uj k + ui uj
=− i
+ νui
+ ui k j
∂t
∂xj
∂xj
∂xk
∂xj ∂xj
∂xj
Diese so entstandenen Ungetüme werden paarweise addiert. Warum man dies macht, ist leicht
an den Zeitableitungen zu erkennen. Diese lassen sich durch die Produktregel zusammenfassen:
uk
∂ui uk
∂ui
∂u
+ ui k =
∂t
∂t
∂t
Wenn wir die entstehende Gleichung also noch mitteln, erhalten wir die gesuchte dynamische
Gleichung für die Reynoldsspannung u i uk .
In analoger Weise addieren sich die advektiven Terme beider Gleichungen zu advektiven Termen für die Reynoldsspannung u v . Die Produktion aus beiden Gleichungen fassen wir auf
der rechten Seite als
Pik = −uk uj
∂ui
∂uk
− ui uj
∂xj
∂xj
zusammen. Die diffusiven Terme zerfallen wieder in neue Diffusionsterme für die Geschwindigkeitskorrelationen und Dissipationsterme:
νv 2 ∂ 2 u
∂ 2 u v ∂u ∂v ∂ v
+
νu
=
ν
−
2ν
∂x2
∂x2
∂x2
∂x ∂x
Die gemittelten Produktterme aller Ableitungen fassen wir zu dem Term
ik = 2ν
∂ui ∂uk
∂xj ∂xj
(12.9)
zusammen. Er wird als Dissipationsterm bezeichnet, obwohl nur die Diagonalterme uu , vv
und ww grundsätzlich positiv und daher mit einer Dissipation verbunden sind.
Seite 280
Die Reynoldspannungsterme (jeweils der letzte Term auf der rechten Seite) fallen bei der Mittlung weg, da sie nur einfache Fluktuationen enthalten.
In den Advektionstermen stehen die tatsächlichen Geschwindigkeiten u j , die sich aus Mittelwert und Fluktuationen zusammensetzen. Betrachten wir die Summe der Fluktuationen:
−uk uj
=
∂u u
−uj i k
∂xj
∂ui
∂u
− ui uj k
∂xj
∂xj
−
ui uk
∂uj
∂xj
=−
∂ui uk uj
∂xj
=0
Diese Terme und die Diffusionsterme lassen sich in der Divergenzform darstellen, daher faßt
man sie üblicherweise zu einem Diffusionsterm der Form
∂
Dik =
∂xj
∂ui uk
ν
− ui uk uj
∂xj
zusammen.
Die Druckterme addieren sich zu:
Πik = −
ui ∂p
u ∂p
=− k
∂xk
∂xi
Zusammenfassend erhält man eine Transportgleichung für die Reynoldsspannung u i uk :
∂u u
∂ui uk
+ uj i k = Pik + Dik − ik + Πik
∂t
∂xj
Entsprechende Transportgleichungen lassen sich auch für die anderen fünf Reynoldsspannungen aufstellen. In der Literatur existieren auch andere Darstellungen der Reynoldsspannungsgleichungen, sie unterscheiden sich insbesondere dann,
• wenn die äußeren Kräfte als fluktuierend angenommen wurden oder
• wenn die Dichte konstant angenommen wurde oder
• wenn die Terme anders geordnet werden.
Die Transportgleichungen für die Reynoldsspannungen beleuchten einige Aspekte der Natur
der Turbulenz: Betrachten wir den Fall einer zur Ruhe gekommenen Strömung, die mittleren
Geschwindigkeiten und somit die Produktionsterme P ik also Null sind. Dann gibt es keinen
von Null verschiedenen Term, der Reynoldsspannungen produziert, es finden also nur noch
Umverteilungen und durch ik eine Turbulenzvernichtung statt. Turbulenz ist also eine Eigenschaft der Strömung und keine Materialeigenschaft. Sie ist keine selbständige Bewegung, sie
Seite 281
verschwindet sofort, wenn die sie mit Energie speisende Hauptströmung nicht mehr vorhanden
ist.
Turbulenz wird transportiert, dies besagt das Vorhandensein der advektiven und diffusiven
Terme. Dies bedeutet auch, dass man Turbulenz nicht grundsätzlich durch eine algebraische
Zustandsgleichung beschreiben kann, die von lokalen physikalischen Gegebenheiten abhängig
ist. Wir werden später sehen, dass ein solches Vorgehen dennoch erfolgreich sein kann.
Leider lassen sich mit Hilfe der Transportgleichungen die fehlenden Reynoldsspannungen
nicht bestimmen, da insgesamt 22 neue unbekannte Korrelationen auftauchen. Dies sind 10
Korrelationen dritter Ordnung in den Diffusionstermen, 6 weitere in den Dissipations- und 6
in den Drucktermen. Auch für diese ließen sich wieder Transportgleichungen aufstellen, die
jedoch nur noch mehr unbekannte Korrelationen höherer Ordnung enthalten. Damit ist die
exakte Schließung der Reynoldsgleichungen nicht möglich. Man ist somit gezwungen, die
Reynoldsgleichungen auf irgendeiner Ebene empirisch zu schließen. Dies geschieht im Rahmen der statistischen Turbulenzmodellierung.
12.7.2 Reynolds-Stress-Modelle
In Reynolds-Stress-Modellen wird versucht, die unbekannten Korrelationen dritter Ordnung
empirisch zu schließen. Launder et al. [42] haben dies in der folgenden Weise getan. Da der
Produktionsterm für Reynoldsspannungen P ik keine unbekannten Größen enthält, bleibt er,
wie er ist.
Der Diffusionsterm einschließlich der Korrelationen dritter Ordnung wird durch
k
Dik = cs div grad (ui uk )
modelliert und die Dissipation von Reynoldsspannungen durch
2
ik = δik ,
3
wobei die Wahl des Vorfaktors die richtige Anzahl von Gesamttermen garantiert.
Der Energieumverteilungsterm kann nach [42] durch
2
2
ui uk − kδik − α Pik − Pk δik
k
3
3
∂u
∂u
i
k
−β Pik − 23 Pk δik − γk
+
∂xk
∂xj
Πik = −C1
modelliert werden. Die Konstanten wurden als
α=
C2 + 8
11
β=
8C2 − 2
11
γ=
30C2 − 2
11
sowie C1 = 1.5...2.2 und C2 = 0.4 [2] ermittelt. Das RSM löst also die sechs vereinfachten Transportgleichungen für die Reynoldsspannungen und die Transportgleichung für , kann
12.8. Zusammenfassende Empfehlungen
Seite 282
also als Siebengleichungsmodell bezeichnet werden. Reynolds-Stress-Modelle sind dementsprechend rechenintensiv und werden zur Zeit lediglich bei reinen Grundlagenmodellierungen
verwendet. In kleinskaligen Ingenieursanwendungen sind RSMe zudem schwer anwendbar,
weil die Randbedingungen für jede Komponente der Reynoldsspannungen an den offenen
Rändern bekannt sein müssen.
12.7.3 Algebraische Spannungsmodelle
Eine Vereinfachung des RSM sind algebraische Spannungsmodelle (ASM), die die vereinfachten Transportgleichungen auf algebraische Gleichungen reduzieren. Dies ist im einfachsten Fall schon dann möglich, wenn man annimmt, dass die zeitliche Variation, die Advektion
und die Diffusion der Reynoldsspannungen vernachlässigbar sind. Dann verschwinden aus der
vereinfachten (d.h. mit Modellierung der Korrelationen dritter Ordnung) Reynoldsspannungsgleichungen alle Ableitungen und sie reduzieren sich auf ein algebraisches Gleichungssystem.
Ein genaueres Verfahren hat Rodi 1976 [68] vorgeschlagen. Dabei nimmt man an, dass der
Transport der Reynoldsspannungen proportional zu dem der turbulenten kinetischen Energie
ist, die Proportionalitätskontante ist das Verhältnis der beiden u v /k. Somit gilt:
dui uk
− Dik
dt
ui uk
k
dk
u u
− Dk = i k (Pk + G − )
dt
k
Setzt man dies in die vereinfachten Transportgleichungen für die Reynoldsspannungen ein, so
erhält man ein System von sechs algebraischen Gleichungen der Form
u u
2
2
2
ui uk − kδik − C2 Pik − Pk δik + Ωik = i k (Pk + G − )
Pik − δik − C1
3
k
3
3
k
welches sich auf
ui uk = k
Pik + (C1 − 1) 23 δik − C2 Pik − 23 Pk δik + Ωik
(Pk + G − ) + C1 (12.10)
reduzieren läßt. Das ASM ist somit eine Erweiterung des k--Modells und sucht, die Annahme isotroper turbulenter Viskositäten aufzuheben. Hierdurch können Sekundärströmungen der
zweiten Prandtlschen Art besser nachgebildet werden, die durch den anisotropen turbulenten
Spannungstensor entstehen.
12.8 Zusammenfassende Empfehlungen
Die Auswahl eines statistischen Turbulenzmodells sollte nach dem Ingenieursgrundsatz ’So
einfach wie möglich, so kompliziert wie nötig’ erfolgen.
Seite 283
RANS
?
EVP
?
aEVM
?
?
?
1EM
2EM
RSM
?
?
k-
ASM
?
k-ω
Abbildung 12.12: Synopsis der statistischen Turbulenzmodelle. Abkürzungen: RANS Reynolds averaged Navier-Stokes equations, EVP - Eddy Viscosity Principle, aEVM - algebraic Eddy Viscosity Models, 1EM - One Equation Model, 2EM - Two Equation Model, RSM
- Reynolds Stress Model, ASM - Algebraic Stress Model
Seite 284
Da die Turbulenz z. B. in Fließgewässern immer eine vertikale Struktur aufweist, sollte daher mindestens ein strukturiertes algebraisches Turbulenzmodell wie der Mischungswegansatz oder ein Gleichgewichtsmodell angewendet werden; konstante Wirbelviskositäten sind in
dreidimensionalen Modellen der mittleren Strömung tabu.
Bei komplizierteren Problemen, die mit einem Transport turbulenter Eigenschaften einhergehen, sollten Zweigleichungsmodelle zur Anwendung kommen. Für das k--Modell spricht die
Tatsache, dass es so oft wie kein kein anderes höheres Turbulenzmodell in der Ingenieurshydrodynamik angewendet wurde und somit mit ihm die meisten praktischen Erfahrungen vorliegen. Daher ist es auch standardgemäß in fast allen kommerziellen HN-Modellen implementiert. Hierdurch stellt sich eine gewisse Trägheit ein, da es schon vorhanden ist, wird es auch
angewendet, wodurch die Summe von Erfahrungen d.h. Veröffentlichungen weiter wächst. Im
Bereich der ingenieurwissenschaftlichen Forschung sollte das k-ω-Modell gegenüber dem k-Modell mehr zur Geltung kommen.
Kapitel 13
Large Eddy Simulation
Bei der Behandlung der Reynoldsmittlung wurde die Notwendigkeit sehr großer Mittlungsbereiche angesprochen und die damit verbundenen konzeptionellen Probleme diskutiert. Dies
bedeutete für die zeitliche Mittlung, daß sie eigentlich nur auf stationäre und für die räumliche
Mittlung, daß sie nur auf homogene Strömungen angewendet werden kann. Reale Strömungen
sind aber instationär und inhomogen. Um sich den natürlichen Gegebenheiten anzunähern,
bietet sich eine Verkleinerung des Mittlungsbereiches an. Dadurch würden bei einer zeitlichen Mittlung nicht alle dynamischen Prozesse und bei einer räumlichen Mittlung nicht jede
inhomogene Struktur weggemittelt werden. Die Large Eddy Simulation untersucht die Fragestellung, welche Gesetzmäßigkeiten für die Strömungsgrößen gelten, wenn sie über einen
kleineres Gebiet gemittelt werden.
Damit stellt die Large Eddy oder Grobstruktursimulation (LES) einen (goldenen ?) Mittelweg
zwischen den auf den Reynoldsgleichungen basierenden Modellen der mittleren Strömung
und der direkten numerischen Simulation dar. Ferziger gibt folgende Definition: ’Large eddy
simulation is a method in which the larger scales of motion of the turbulence are simulated
explicitly while the smaller ones are approximated or modeled’ [23]. Die Definition ist turbulenzphysikalisch motiviert, sie macht eine Unterscheidung zwischen großen und kleinen
Skalen der Turbulenz, die im folgenden präzisiert werden muß.
Da dieser Simulationsmodus immer noch nicht alle Bewegungen auflöst, ist wieder nach Modellen zu suchen, die den Einfluß der kleinskaligen Bewegungen parametrisiert, die unterhalb
der räumlichen und zeitlichen Auflösung der Diskretisierung liegen. Ihre hydrodynamische
Wirkung werden mit Hilfe relativ einfacher ’subgrid-scale-models’ erfaßt.
Die LES feiert mittlerweile große Erfolge. So werden zur Simulation kohärenter Strukturen
noch lange nicht so feine Auflösung wie bei der direkten Simulation benötigt.
285
13.1. Filter
Seite 286
13.1 Filter
Zu Untersuchung des Einflusses der räumlichen Diskretisierung auf die Ergebnisse einer
hydrodynamisch-numerischen Simulation werden die Navier-Stokes-Gleichungen einer allgemeinen Filterung der Form
f (x) =
1
Ω
f (x )G(x, x )dx
(13.1)
Ω
unterworfen. Ein erfolgreiches Filter muß folgende Eigenschaften erfüllen:
• Das Filter muß normiert sein:
1
Ω
G(x, x )dx = 1
(13.2)
Ω
Erst dadurch ist gewährleistet, daß die Anwendung des Filters auf die Schwankungen
Null wird:
f (x) =
1
Ω
(f (x ) − f (x ))G(x, x )dx = f (x) −
Ω
= f (x) −
f (x)
Ω
⎛
G(x, x )dx = f (x) ⎝1 −
Ω
1
Ω
1
Ω
f (x )G(x, x )dx
Ω
⎞
G(x, x )dx ⎠ = 0
Ω
• Das Filter ist symmetrisch:
G(x, x ) = G(x , x)
(13.3)
• Die Werte des Filters hängen nur vom Abstand der Punkte x und x ab, d.h. es gibt eine
skalare Funktion g, so daß:
G(x, x ) = g(x − x )
(13.4)
Damit folgt sofort
∂G(x, x )
∂G(x, x )
=−
∂x
∂x
• Das Filter verschwindet auf dem Rand ∂Ω:
G(x, x )|∂Ω = 0
(13.5)
13.1. Filter
Seite 287
Mit dieser und der letzten Eigenschaft werden Differentation und Filterung vertauschbar:
∂f
∂f
=
∂x
∂x
Denn:
∂ 1
∂f
=
∂x
∂x Ω
1
=−
Ω
Ω
f (x )G(x, x )dx =
Ω
∂G(x, x )
1
f (x )dx =
∂x
Ω
1
Ω
Ω
∂G(x, x )
f (x )dx
∂x
G(x, x )
Ω
∂f (x ) ∂f
dx =
∂x
∂x
• Es gilt aber nicht
f =f
und genau dies ist der entscheidende Unterschied zur Reynoldsmittlung, wodurch die
Wahl der Filterform zudem wichtig wird.
Folgende Filter werden derzeit verwendet:
• Das Gaussfilter wichtet das Strömungsfeld in Form einer Gaussschen Normalverteilung
um den Aufpunkt x:
g(x − x ) =
2 1 −2 (x−x2 )2
Δ
e
πΔ
Es ist beliebig oft stetig differenzierbar und hat somit exzellente analytische Eigenschaften.
• Das Box- oder Rechteckfilter mittelt das Strömungsfeld in einem Rechteck um den Aufpunkt x:
g(x − x ) =
⎧
⎨
1/Δ,
⎩ 0
für |x − x | ≤ Δ/2
für|x − x | ≥ Δ/2
• Das Cutofffilter eliminiert im Fourierraum des Strömungsfeldes alle Frequenzen jenseits
einer cutoff-Frequenz kc :
g(x − x ) =
sin 2π(x − x )/Δ
π(x − x )
In allen drei Filtern ist der frei wählbare Parameter die Durchlassbreite Δ, sie entscheidet über
die in einer LES aufgelösten Strukturen. Daher sollte auch die numerische Modellauflösung
der Durchlassbreite Δ des Filters angepaßt sein.
13.2. Filterung der Navier-Stokes-Gleichungen
Seite 288
13.2 Filterung der Navier-Stokes-Gleichungen
Wir untersuchen nun, welche hydrodynamischen Gesetze für die gefilterten Feldgrößen gelten. Dazu filtern wir die Navier-Stokes-Gleichungen ohne vorher eine Zerlegung der aktuellen
Feldgrößen f in ihren gefilterten f und den davon abweichenden Anteil f einzusetzen. Für
die Kontinuitätsgleichung erhält man eine Kontinuitätsgleichung der gefilterten Geschwindigkeiten und durch Subtraktion von der ursprünglichen Kontinuitätsgleichung eine Kontinuitätsgleichung der Abweichungen:
∂u ∂v ∂w
+
+
=0
∂x ∂y
∂z
(13.6)
∂u ∂v ∂w +
+
=0
∂x
∂y
∂z
Das kennen wir schon. Für die Impulsgleichungen erhält man:
∂u
1
+ u grad u = − grad p + div P + f
∂t
wobei der viskose Tensor P nun mit den gefilterten Geschwindigkeiten gebildet wird. Wir
führen eine Nulloperation aus, indem ein Term auf der linken Seite addiert und subtrahiert
wird,
1
∂u
+ u grad u + u grad u − u grad u = − grad p + div P + f
∂t
bringen unerwünschtes auf die rechte Seite,
∂u
1
+ u grad u = − grad p + div P − u grad u + u grad u + f
∂t
addieren das Produkt aus gefilterter Kontinuitätsgleichung und gefilterter Geschwindigkeit
(gleich Null), subtrahieren die Filterung des Produktes aus Kontinuitätsgleichung und Geschwindigkeit (gleich Null) jeweils auf der rechten Seite1 und erhalten
∂u
1
+ u grad u = − grad p + div (P + T ) + f
∂t
wobei die Komponenten des neu auftretenden Feinstrukturspannungstensors T durch
Tij = ui uj − ui uj
1
(13.7)
Sie sehen, daß ich nun davon ausgehe, daß sich Ihre Fertigkeiten in der hydrodynamischen Umformerei nun
in einem fortgeschrittenen Stadium befinden. Probieren Sie selbst, obs so ist !
13.3. Klein- und großskalige turbulente Bewegungen
Seite 289
gegeben sind2. Setzen wir nun die Zerlegung der Geschwindigkeiten u i in gefilterte ui und
davon abweichende u i Anteile ein, dann bekommt man die Darstellung der Feinstrukturspannungen nach Leonard
Tij = ui uj − ui uj − ui uj − ui uj − ui uj
(13.8)
Durch die Wahl desselben Symbols T für den Feinstruktur- und den Reynoldsspannungstensor
haben wir eine Analogie zu den Ableitungen in Kapitel 11 hergestellt und können die dortigen
Ergebnisse über die Energetik der turbulenten Strömung direkt übertragen.
13.3 Klein- und großskalige turbulente Bewegungen
Wir kommen nun zu der alles entscheidenden Frage, wie groß man die Durchlaßbreite des
Filters wählen soll. Oft ist die richtige Fragestellung schon mehr als die halbe Problemlösung,
so auch in diesem Fall. Wir fragen eigentlich nach den Skalen der Bewegung, die aufgelöst und
den Skalen, die herausgefiltert werden und durch ein Subgridscalemodell dargestellt werden
sollen.
Auf den großen Skalen wird die Turbulenz durch die mittlere Strömung erzeugt. Diese ist
abhängig von der speziellen Geometrie des Strömungsgebietes und somit in der Regel anisotrop und inhomogen. Auf der mathematischen Ebene lassen sich solche Phänomene nur
durch partielle Differentialgleichungen modellieren, da diese Raum und Zeit auflösen. Auf
den molekularen Skalen ist die Statistik der Bewegung in Abhängigkeit vom jeweiligen Fluid
einzig eine Funktion der Temperatur. Die Geschwindigkeitsverteilung ist an allen Orten derselben Temperatur gleichförmig und auch in allen Richtungen dieselbe. Betrachtet man die
Wärmebewegung als turbulente Bewegung, dann ist diese Art von Turbulenz homogen und
isotrop. Damit läßt sie sich durch universelle Gesetze modellieren, die nicht von Raum und
Zeit abhängig sind. Auf der mathematischen Ebene entspricht dies algebraischen Gleichungen.
Damit bietet sich folgendes Konzept für die Large Eddy Simulation an: Man simuliere die
großen, inhomogenen und anisotropen Wirbelstrukturen explizit und stelle die kleinen, homogenen und isotropen Strukturen durch ein Subgridscalemodell dar, welches dann mathematisch
sehr anspruchslos sein kann.
Ein solches Subgridscalemodell kann daher auf dem Fundament des Wirbelviskositätsprinzips
für die Feinstrukturspannungen
Tij = νt
2
∂ui ∂uj
+
∂xj
∂xi
2
− kδij
3
(13.9)
Viele Autoren wählen hier das umgekehrte Vorzeichen. Ich schließe mich Lesieur und Metais [45] an, die
darauf hinweisen, daß nur so Eddy Viscosity und Spannungstensorkomponenten gleiches Vorzeichen haben.
Seite 290
aufbauen, da dieses genau die Isotropie und Homogenität der Turbulenz voraussetzt. Neben
diesen gibt es aber auch komplexere Feinstrukturmodelle, die ähnlich wie in der statistischen
Turbulenzmodellierung zusätzliche Differentialgleichungen lösen, wobei allerdings kritisch zu
hinterfragen ist, ob dies nicht dem Konzept der LES widerspricht.
Setzt man die Feinstrukturspannungen nach dem Wirbelviskositätsprinzip in die gefilterten
Navier-Stokes-Gleichungen ein, dann erhalten wir die zu modellierenden LES-Gleichungen
1
∂u
+ u grad u = − grad p + div P + f
∂t
wobei der viskose Tensor P mit der Wirbelviskosität und den gefilterten Geschwindigkeiten
gebildet wird. Nun mag sich beim Leser Verwirrung einstellen, fragt er sich doch, wo denn
nun der Unterschied zwischen Reynolds- und LES-Gleichungen liegt und wieso explizit verschiedene Filter eingeführt wurden, wenn man diese letztenendes gar nicht benötigt.
Zwischen den Reynoldsgleichungen mit Wirbelviskositätsprinzip und den LES-Gleichungen
mit Wirbelviskositätsprinzip besteht in der Form absolut kein Unterschied. Diese Nachricht
ist positiv, sagt sie doch dem Programmentwickler, daß er mit einem Computerprogramm für
die Reynoldsgleichungen auch die LES-Gleichungen löst. Voraussetzung ist allerdings, daß
das Programm hinreichend genau ist, der Numeriker spricht dabei von Verfahren mindestens
zweiter Ordnung.
Der Unterschied kommt in der Modellierung der Wirbelviskosität zum tragen, die sich für die
Reynolds- und die Feinstrukurspannungen unterscheidet. Und bei der theoretischen Entwicklung der Feinstruktur- oder Subgridscalemodelle benötigt man auch die verschiedenen Filter.
Bietet nun ein Computerprogramm, welches die Reynoldsgleichungen löst, sowohl
Reynoldsspannungs- als auch Subgridscalemodelle an, dann kann der Benutzer einzig durch
die Feinheit der Auflösung entscheiden, um was für einen Simulationsmodus es sich handelt.
Dabei ist die Auflösung für die LES so fein zu wählen, daß diese alle anisotropen Wirbelstrukturen auflösen kann.
Ein Beispiel hierfür zeigt Abbildung 13.1 (aus [16]). Hier wurde die Strömung in einem Kanal
mit rückwärtiger Stufe simuliert. Dieser ist 15.8 m lang, die Stufenhöhe beträgt 70 cm, die
Gitterauflösung ist 10 cm.
Seite 291
m/s
0
.02
.04
06:39 min
mNN
1.
0
-1.
06:59 min
mNN
1.
0
-1.
07:19 min
mNN
1.
0
-1.
07:39 min
mNN
1.
0
-1.
07:59 min
mNN
1.
0
-1.
Abbildung 13.1: Überströmung einer rückwärtigen Stufe
.075
13.4. Das Smagorinskymodell
Seite 292
13.4 Das Smagorinskymodell
Die mit den Feinstrukturspannungen verbundene Wirbelviskosität ist nach Smagorinsky
(1963) [75] durch
νt = (cs Δ)2 Sij Sij
(13.10)
wobei Sij Sij das Skalarprodukt des Deformationstensors der gemittelten Geschwindigkeiten
1
Sij =
2
∂ui ∂uj
+
∂xj
∂xi
(13.11)
und Δx die räumliche Auflösung der Diskretisierung ist. Ausgeschrieben lautet die Wirbelviskosität dann
(
νt = (cs Δ)2
∂u
∂x
∂v
+
∂x
∂w
+
∂x
∂u ∂u
∂u
+
+
∂x ∂x
∂y
∂v
∂v ∂u
+
+
∂x ∂y
∂y
∂u ∂v
∂u
+
+
∂y ∂x
∂z
∂w
∂w ∂u
+
+
∂x
∂z
∂y
∂v ∂v
+
∂y ∂y
∂w ∂v
+
∂y
∂z
∂v
+
∂z
∂u ∂w
+
∂z
∂x
∂v ∂w
+
∂z
∂y
∂w
+
∂z
∂w ∂w
+
∂z
∂z
)1/2
Der Ansatz von Smagorinsky hat für
lm = c s Δ
formal Ähnlichkeit mit dem Mischungswegansatz. Bei diesem ging die turbulente Viskosität in
Wandnähe gegen Null, im Smagorinskymodell steigt sie wegen der zunehmenden Gradienten
der mittleren Geschwindigkeit. Daher muß das Smagorinskymodell in Wandnähe abgeändert
werden, wobei man hierfür die van Driestsche Dämpfungsfunktion verwendet:
νt = cs Δ 1 − e−y
+ /A+
2
Sij Sij
Für jeden, nicht in der xz-Ebene liegenden Rand ist der Ansatz entsprechend anzupassen.
Wir werden später sehen, daß der Mischungsweg lm für Fließgewässer eine Funktion der Wassertiefe ist, während cs Δ die Diskretisierung beschreibt. Und genau an dieser Stelle ist das
Neue an der LES offenbar, sie vereinigt zum ersten Mal numerische Aspekte mit physikalischen. Man akzeptiert somit in der LES, daß die numerische Behandlung des Problems Auswirkungen auf den physikalischen Aussagegehalt der Lösungen hat. Im Gegensatz hierzu ist
z.B. beim k--Modell an keiner Stelle ersichtlich, welchen Einfluß die Diskretisierung in Raum
und Zeit auf die simulierten Strömungen haben.
13.5. Ausblick
Autor
Seite 293
Anwendung
cs
Smagorinsky (1963)
Atmosphärische Zirkulation 0.197
Lilly (1965)
0.23
Lilly (1967)
0.17
Deardoff (1970)
0.1
Deardoff (1971)
0.13
Mansour et al. (1979)
0.21
Mason und Callen (1986)
0.2
Piomelli et al. (1987)
0.065
Arnal und Friedrich (1992)
Querschnittserweiterung
0.1
Unger und Friedrich (1994) Turbulente Rohrströmung
0.1
Forkel (1995)
grob aufgelöste Talsperre
0.1
Abbildung 13.2: Der Parameter cs in der Literatur (erweitert nach Forkel, 1995 [25]).
Der Ansatz von Smagorinsky kann ganz allgemein zur Beschreibung der energiedissipierenden
bzw. Wirkung der sub-grid Strukturen verwendet werden. Dazu ist der Parameter cs entsprechend zu kalibrieren.
13.5 Ausblick
Im Angesicht zunehmender Computerkapazitäten wird es bei der dreidimensionalen Modellierung von Fließgewässern in der Zukunft einen fließenden Übergang von der RANS zur LES
geben. Dabei werden durch feinere Diskretisierungen immer mehr turbulente Strukturen aufgelöst, wodurch die Anforderungen an die Turbulenzmodelle immer geringer werden.
Die Grundidee der LES kann daher auch anders interpretiert werden: In der LES werden alle
die turbulenten Bewegungen explizit simuliert, die im Rahmen der gewählten Gitterauflösung
darstellbar sind, die darunter liegenden Skalen werden approximiert oder modelliert. Diese
Definition ist im Gegensatz zu der von Ferzinger numerisch motiviert und unterscheidet die
Bewegungsskalen eindeutig anhand des Kriteriums, ob sie in einem numerischen Modell aufgelöst werden.
Dieses eher pragmatische Vorgehen zwischen der RANS und der DNS würde ich als ’a posteriori turbulence modeling’ bezeichnen. Dabei wird mit einem numerischen Verfahren die
Auflösung so fein gewählt, daß sich turbulente Strukturen von alleine einstellen. Die Frage ist
dann, welche Art von Turbulenz- oder Subgridscalemodellierung gewählt werden muß, damit
die aufgelösten Strukturen naturnah sind.
Seite 294
13.5. Ausblick
Kapitel 14
Die tiefenintegrierte Simulation von
Fließgewässern
Ein Großteil der Fragestellungen, die dazu führen, daß wir uns überhaupt mit der Hydrodynamik der Fließgewässer beschäftigen, beziehen sich auf die Bewegung der freien Oberfläche:
• Welcher Niedrigwasserstand wird bei geringem Abfluß in einer von der Schiffahrt genutzten Wasserstraße angenommen ?
• Wann und wie hoch erreicht eine Hochwasserwelle einen Ort ?
• Wie hoch ist der mittlere Wasserstand in einem Vorfluter ?
• Welcher Scheitelwasserstand ist bei einer bestimmten Sturmflutwetterlage zu erwarten ?
Wir werden im folgenden feststellen, daß die Beantwortung der meisten solcher Fragestellungen im Rahmen der Gesetze der tiefenintegrierten Strömung erfolgen kann. Um diese kennenzulernen, werden die Grundgleichungen über die Vertikale integriert und alle Zustandsgrößen
f durch vertikal gemittelte Werte
zS
1
f=
f dz
hz
(14.1)
B
ersetzt. Für die lineare Kontinuitätsgleichung ist diese Operation einfach. Bei den nichtlinearen
Impulsgleichungen ist die Integration sehr langatmig. Da man sie jedoch in Standardwerken
der Hydrodynamik nur sehr selten findet, soll hier die Herleitung der tiefenintegrierten Gleichungen in der vollen Breite durchgeführt werden.
Da durch die Integration über die Tiefe die vertikale z-Koordinate aus den Gleichungen verschwindet, sind die tiefenintegrierten Feldgrößen nur noch von den horizontalen Koordinaten x und y abhängig. Somit bleiben für die numerische Modellierung der tiefenintegrierten
295
14.1. Die Darstellung der Sohltopographie
Seite 296
u(z)
u (z)
u
u
u(z)
u
Abbildung 14.1: Geschwindigkeitsprofil und mittlere Geschwindigkeit. Links: Logarithmisches Profil und mittlere Geschwindigkeit weisen in dieselbe Richtung. Mitte: Sohlnahe und
mittlere Geschwindigkeit weisen in unterschiedliche Richtungen. Rechts: Mittlere Geschwindigkeit ist im Gegensatz zum Geschwindigkeitsprofil Null.
Strömung lediglich zwei Raumkoordinaten aufzulösen, die hier verwendeten Gitter spannen
also eine Ebene auf, in der jeder Knoten eine ganze Wassersäule repräsentiert. Zweidimensionale numerische Modelle der tiefenintegrierten Strömung sind das Arbeitspferd der HNSimulation im Ingenieurwesen.
Bei den Ableitungen dieser vereinfachenden Konzeption wird sich zeigen, daß der Begriff
Integration sowohl in seiner mathematischen als auch umgangssprachlichen Bedeutung wörtlich genommen werden kann. Im tiefenintegrierten Bild werden insbesondere die Prozesse an
den Wassersäulenrändern, der Sohle und der freien Oberfläche, in das Gesamtmodell integriert
und erscheinen nicht mehr als Randbedingungen. Hierdurch kommt ihre Rolle, die sie in der
Hydrodynamik der Oberflächengewässer spielen, wesentlich klarer zum Vorschein.
14.1 Die Darstellung der Sohltopographie
Die vielleicht wichtigste Aufgabe bei der Erstellung eines Fließgewässermodells ist die geometrische Beschreibung des Modellgebietes d.h. der Topographie der Gewässersohle. Diese
Aufgabe besteht darin, daß wir die geodätische Höhe der Sohle zB (der Index B steht für engl.
Bottom) als Funktion der horizontalen Koordinaten x und y bestimmen:
zB = zB (x, y)
Hierbei wird die geodätische Höhe zB in der Regel auf Normalnull (NN)1 bezogen. Die horizontalen Koordinaten x und y sollten zweckmäßigerweise im Gauß-Krüger-Koordinaten1
Als Normalnull bezeichnet man den Bezugspunkt für alle deutschen Höhenangaben, der sich auf das Niveau
des mittleren Wasserstandes des Meeres bezieht. Da der Meeresspiegel schwankt, haben sich die Staaten feste
t
z
Seite 297
Tracerkonzentration c
t1
mittlere Geschwindigkeit
u(z)
x
Dxc
u(z)
t
t2
Dxc = Streckenabschnitt
mit Tracern
z
t1
t2
Dxc
x
Abbildung 14.2: Der Effekt der Dispersion im logarithmischen Geschwindigkeitsprofil.
Seite 298
t
z
Tracerkonzentration
c
t1
t2
Dxc
u(z)
x
Dxc = Streckenabschnitt
mit Tracern
z
t
t1
x
u(z)
Abbildung 14.3: Der Effekt der Dispersion in einer Zirkulationsströmung.
Seite 299
system2 angegeben werden.
Doch diese einfache Zuordnung birgt schon einige Spezialisierungen in sich. Sie geht nämlich
davon aus, daß zu jedem Ort in der Horizontalen nur ein Wert der Sohlhöhe gehört. Wir
schließen damit die geometrische Beschreibung von Höhlen und Einbuchtungen, aber auch
senkrechte Begrenzungen wie Spundwände zunächst aus. Ferner wird vorausgesetzt, daß die
geodätische Höhe der Sohle keine zeitliche Änderung aufweist, somit also kein Feststofftransport stattfindet. Auch wenn dies für feste Sohlen nicht falsch ist, können Sedimentsohlen
schon in wenigen Tagen ihre Lage oder Gestalt ändern. Um eine solche Morphodynamik des
Gewässers zu erfassen, muß die geodätische Höhe der Sohle als Funktion der horizontalen
Koordinaten x und y und der Zeit t dargestellt werden:
zB = zB (x, y, t)
Topographische Daten liegen in Abhängigkeit von der Nutzung eines Gewässers in unterschiedlicher Qualität und Quantität, d.h. räumlicher und zeitlicher Dichte vor. So werden Bundeswasserstraßen in regelmäßigen Abständen bepeilt, um den Anforderungen der Schiffahrt
Genüge zu leisten, bei natürlichen ungenutzten Gewässern besteht die Notwendigkeit der regelmäßigen Bepeilung nicht.
Zur Erfassung von Geländestrukturen stehen mittlerweile moderne flächenhaft arbeitende
Meßverfahren zur Verfügung. Über Vorländern und trockenfallenden Gebieten wie das Wattenmeer bietet sich die Fernerkundung mit Laserscannverfahren an. Bei dauerhaft überströmten
Bereichen lassen sich Fächerecholotpeilungen durchführen.
Die so entstehenden Rohdatensätze bestehen aus vielen millionen Punkten, die in einer Qualitätskontrolle auf Plausibilität überprüft werden müssen. Zusätzlich müssen die aus verschiedenen Meßverfahren stammenden Datensätze zusammengeführt und daraus ein einheitlicher
Datensatz erstellt werden. Daher ist es vorteilhaft, Befliegungen bei möglichst niedrigem Wasserstand und Bepeilungen bei möglichst hohem Wasserstand durchzuführen, um in dem so
entstehenden Überlappbereich die Höhenlage der beiden Methoden in Übereinstimmung zu
bringen. Weiter müssen Lücken in den Datensätzen mit plausiblen Werten aus vorhandenen
Karten oder Datenbänken aufgefüllt und Bereiche zu hoher Dichte von redundanten Daten
ausgedünnt werden.
Die diskreten Datenpunkte werden in einem weiteren Arbeitsgang zu einem flächenhaftkontinuierlichen Modell, dem sogenannten digitalen Gel ändemodell verarbeitet. Dies geschieht unter Einbeziehung topologischer Strukturen, d.h. die Datenpunkte werden zu einem
Bezugspunkte geschaffen, auf die sie sich bei ihren Vermessungen beziehen. Seit 1912 liegt der deutsche Höhenbezugspunkt 38 km östlich von Berlin bei Dahlwitz-Hoppegarten. Dieser Normalnullpunkt liegt 16 mm über dem
Amsterdamer Pegel.
2
Rechtwinkliges Gitternetz in der Geodäsie. Die Lage eines Punktes wird durch seinen Rechtswert und Hochwert bestimmt. Der Rechtswert ist der Abstand von einem bestimmten Hauptmeridian, der Hochwert ist der
Abstand vom Äquator. Als Hauptmeridiane sind die Meridiane 6 o , 9o und 12o in Gebrauch.
14.2. Kinematische Randbedingungen
Seite 300
Gitter verknüpft. Auf den dadurch entstehenden einzelnen Gitterbausteinen sind Interpolationsvorschriften vorgegeben, so daß man an jedem beliebigen Punkt Informationen über die
Topographie besitzt.
Schließlich kann die Topographie des digitalen Geländemodells auf die diskreten Knoten einen
numerischen Modells abgebildet werden. Wir gehen im folgenden also davon aus, daß die
geodätische Höhe der Sohle überall bekannt ist. Wer sich tiefer in die Problematik einarbeiten
will, sei auf [87] verwiesen.
Wassertiefe und Wasserspiegellage
Von der geodätischen Höhe des Wasserspiegels zS wollen wir die Wassertiefe h unterscheiden,
die als
h(x, y, t) := zS (x, y, t) − zB (x, y)
definiert ist. Damit sind Wassertiefe h und die Lage des Wasserspiegels z S redundante physikalische Größen. In einem Datenmodell braucht man also nur eine von beiden abzuspeichern.
Das Darstellungspotential der beiden Größen ist jedoch sehr unterschiedlich. So macht eine
flächenhafte Darstellung der Wassertiefe keinen Sinn, wenn man sich für das Fortschreiten einer Flutwelle interessiert, denn in der Wassertiefe überschattet die geodätische Höhe der Sohle
in der Regel die Information über die Wasserspiegellage. Die Wassertiefe gibt aber Auskunft
über die Durchlässigkeit einer Strömung, sie entspricht etwa dem, was man in der Elektronik
als Leitfähigkeit charakterisiert.
14.2 Kinematische Randbedingungen
Die untere Begrenzung eines Fließgewässers ist die Sohle. Sie kann aus Sedimenten, anstehendem Gestein oder der Oberfläche eines Bauwerkes bestehen. Sie definiert das Fließgewässer
zum überwiegenden Teil, da z.B. die Wasseroberfläche als obere Berandung selbst von den
hydrologischen Gegebenheiten abhängig ist. Daher werden wir uns im ersten Teil diese Kapitels mit der Darstellung der Sohltopographie bzw. Bathymetrie beschäftigen, die vor jedem
wasserbaulichen Projekt bekannt sein sollte.
Die Sohle stellt eine Grenzfläche dar, an der zwei Naturräume mit unterschiedlichen physikalischen Eigenschaften einander berühren. Man bezeichnet solche Flächen daher auch als Kontaktflächen. Die Gesetze, die auf einer solchen Grenzfläche gelten, ergeben sich aus der Tatsache, daß sich einige physikalische Größen über die Grenze hinweg stetig verhalten, während
andere Größen sich abrupt ändern.
Genauso wie die Sohle trennd die Wasseroberfläche zwei Naturräume mit unterschiedlichen
physikalischen Eigenschaften. Anders als eine feste Wand oder eine Gewässersohle ist eine
freie Oberfläche allerdings extrem beweglich, wodurch sie ihren Namen (engl. free surface)
Seite 301
bekommen hat. Durch diesen Freiheitsgrad wird die freie Oberfläche zu ein Teil des zu lösenden hydromechanischen Problems.
Gleichzeitig sind freie Oberflächen aber auch eine Begrenzung des Strömungsgebietes und wir
benötigen zur eindeutigen Lösung hier bestimmte Randbedingungen. An festen Wänden hatten
wir dabei recht einfach die Stokessche Wandhaftbedingungen aus einem Kontinuitätsargument
gefunden: Bewegt sich die Wand nicht, dann muss die Strömungsgeschwindigkeit direkt über
der Wand auch Null sein.
An der freien Oberfläche sind Hydro- und die zumeist darüber liegenden Atmosphäre jedoch
wesentlich verzahnter, womit eine Entkopplung schwieriger wird.
14.2.1 Differentialgeometrie der Flächen
Mathematiker bezeichnen Flächen als zweidimensionale Untermannigfaltigkeiten des dreidimensionalen Raumes. Daß Flächen zweidimensionale Gebilde sind, ist anschaulich klar, man
kann sich an jedem Punkt auf ihr in eine Richtung oder in eine dazu orthogonale Richtung
bewegen. Jede Bewegung auf ihr läßt sich also als Linearkombination dieser beiden Grundrichtungen darstellen.
Die Sohlfläche des Strömungsgebietes ist dadurch definiert, daß jedem Tupel (x, y) aus horizontalen Koordinaten und der Zeit ein Wert zB (x, y) in der Vertikalen zugeordnet wird, wodurch sich allgemein eine Parametrisierung der Sohlfläche als
⎛
⎞
⎛
⎞
x
⎜
⎟
x ⎠
⎜
⎟
⎝
→⎝
ψ:
y
⎠
y
zB (x, y)
ergibt.
Diese Abbildung können wir nach ihren zwei Variablen x und y ableiten. Man erhält dadurch
zwei linear unabhängige Vektoren
⎛
⎜
∂ψ ⎜
=⎜
∂x ⎜
⎝
1
0
∂zB (x, y, t)
∂x
⎞
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∂ψ ⎜
=⎜
⎜
∂y
⎝
⎜
und
0
1
∂zB (x, y, t)
∂y
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
die in tangentialer Richtung an der Fläche haften. Der erste Vektor ist dabei in x-, der zweite in y-Richtung orientiert. Durch die Normierung auf die Länge eins entstehen die beiden
Tangentialvektoren
⎛
tx = 1 +
1
∂zB
⎜
⎜
⎜
2 ⎜
(x, y, t) ⎝
∂x
1
0
∂zB (x, y, t)
∂x
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Seite 302
und
⎛
1
ty = 2
1 + ∂zB (x, y, t)
∂y
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
1
∂zB (x, y, t)
∂y
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Während man also einer Kurve an jedem Punkt einen Tangentialgerade zuordnen kann, haften
an jedem Punkt einer Fläche zwei linear unabhängige Tangentialvektoren tx und ty , die den
sogenannten Tangentialraum T(x,y) zB an einem durch (x, y) eindeutig bestimmten Punkt der
Fläche zB aufspannen. Die Dimension dieses Raumes ist zwei, er kann also geometrisch durch
eine Ebene, die Tangentialebene dargestellt werden.
Normalenvektoren n stehen senkrecht zur Fläche und somit auch senkrecht zu den beiden
Tangentialvektoren. Man kann sich somit Normalenvektoren durch die Rechenvorschrift
n = tx × ty
oder n = ty × tx
konstruieren. Wir setzen nun den Einheitsnormalenvektor so fest, daß er aus dem Strömungsgebiet heraus zeigt und normiert ist.
Für die Sohlfläche ergibt sich somit der Normaleneinheitsvektor nB als
⎛
nB = 1 +
1
∂zB
∂x
2
+
⎜
⎜
⎜
2 ⎜
⎜
⎝
∂zB
∂y
∂zB
∂x
∂zB
∂y
−1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(14.2)
Wir wollen nun spezifizieren, wie man ein Flächenstück mathematisch beschreibt. Dazu
müssen wir den Wertebereich der Parametrisierungskoordinaten beschränken. So wird z.B.
eine Sohlfläche mit rechteckiger Projektion in die horizontale Ebene durch die Beschränkung
der Koordinaten auf x ∈ [x0 , x0 + Δx] und y ∈ [y0 , y0 + Δy] erzielt. Dabei kann es nötig
werden, die eine Koordinate als Funktion der anderen Koordinate darzustellen. So wird eine
Fläche, deren horizontale Projektion ein Kreis mit dem Radius R um den Koordinatenursprung
√
√
ist, durch den Parameterbereich x ∈ [−R, +R] und y ∈ [− R2 − x2 , R2 − x2 ] beschrieben. Mit diesen Methoden ist es nur möglich, konvexe Flächenstücke zu modellieren, d.h.
solche Flächenstücke, bei denen jede Verbindungslinie zweier Innenpunkte vollständig zum
Flächenstück gehört, dieses also nicht etwa verläßt. Kompliziertere Flächenstücke müssen
durch die Zerelgung in einzelene einfache Teilflächenstücke beschrieben werden. An diesen
Beispielen sieht man, daß die Beschreibung natürlicher Flächen ein kreativer mathematischer
Prozeß ist.
Seite 303
14.2.2 Die kinematische Randbedingung an der Sohle
Wir wollen uns nun mit den hydromechanischen Gesetzmäßigkeiten beschäftigen, die direkt
auf der Sohlfläche gelten. Dabei gehen wir davon aus, daß der unter der Sohle anstehende
Boden und das Wasser der Wassersäule voneinander getrennt bleiben, durch die Sohle finde
also keinerlei Massenaustausch statt. Dies bedeutet, daß alle Massenflüsse durch die Sohle
Null sind. Damit gilt an der Sohle die Stokessche Wandhaftbedingung:
uB = 0
Die soeben getroffene Annahme einer undurchdringlichen Sohle ist zulässig, wenn nichtporöses Gestein oder ein undurchlässiger Tonboden ansteht. Sie ist dann nicht aufrecht zu
halten, wenn der anstehende Boden porös ist und im Porenwasser ein Überdruck oder der
Boden ungesättigt ist. Im ersten Fall drückt der Boden Wasser in die Wassersäule und im
zweiten Fall wird Wasser aus der Wassersäule gezogen (Infiltration). Die Infiltration ist besonders dann wichtig, wenn ein Fließgewässer über seine Ufer tritt. Bei eingedämmten Flüssen ist
eine Veränderung des Wasserspiegels ebenfalls mit einem Austausch mit dem angrenzenden
Grundwasser verbunden.
Um die Stokessche Wandhaftbedingung ein wenig zu entschärfen, gehen wir nun davon aus,
daß kein Massenfluß senkrecht zur Sohlfläche existiert:
unB = 0
Die Undurchdringlichkeitsbedingung an der Sohle lautet mit dem Normaleneinheitsvektor
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∂zB
∂x
∂zB
∂y
−1
⎞
⎛
⎟
⎟⎜
⎟⎜
⎟⎝
⎟
⎠
⎞
uB
⎟
vB ⎟
⎠=0
wB
oder ausgeschrieben:
wB = u B
∂zB
∂zB
+ vB
∂x
∂y
(14.3)
Diese Gleichung wird als kinematische Randbedingung an der Sohle bezeichnet. Sie ist
physikalisch gesehen nichts anderes als eine geometrische Zwangsbedingung, die auf sich
am Boden bewegende Flüssigkeitsteilchen ausgeübt wird. Man kann ihre Wirkung im Fall
einer ebenen Sohle leicht plausibilisieren: Hat dieser die Steigung −Δz/Δx, dann hat der Geschwindigkeitsvektor die Neigung −w B /uB (siehe Abbildung 14.4) und für eine horizontale
Sohle gilt wB = 0.
Seite 304
6
uB
z
Δz
Q
Q
Q
Q
wB
Q
Q
Q
QQ
s?
Δx
β
zB = zB (x)
-
x
Abbildung 14.4: Sohlneigungswinkel β und kinematische Randbedingung: Die Strömungsrichtung ist tangential zur Sohle.
Während bei der kinematischen Randbedingung eine Strömungsbewegung parallel zur Fläche
erlaubt ist, findet bei der Stokesschen an der Sohle keine Bewegung mehr statt. Ein Strömungsfeld, welches die Stokessche Randbedingung erfüllt, erfüllt auch automatisch die kinematische
Randbedingung. Die Umkehrung gilt natürlich nicht.
14.2.3 Die Kinematik von Gewässeroberflächen
Betrachten wir zunächst den Wasserspiegel von Oberflächengewässern wir Flüssen, Seen und
Küstengewässern. Ihre geodätische Höhe zS (S für Spiegel oder engl. Surface) beschreiben
wir als Funktion der horizontalen Koordinaten x und y, berücksichtigen aber außerdem ihre
Fähigkeit, sich zeitlich zu ändern:
zS = zS (x, y, t)
Diese Darstellung geht davon aus, dass zu jedem Ort in der Horizontalen nur eine geodätische
Höhe der freien Oberfläche gehört. Dabei kann es sich jedoch um eine wesentliche physikalische Einschränkung handeln, denn das Brechen von Oberflächenwellen (siehe Abbildung
14.5) kann nun nicht mehr dargestellt werden.
Wir wollen die Bewegung eines Moleküls verfolgen, welches sich direkt an der Wasseroberfläche befindet. Da es keinen sofort einsichtigen Grund gibt, warum es nicht dort auch weiterhin bleiben sollte, indizieren wir seine vertikale Geschwindigkeit mit dem Index S. Ändert
sich die vertikale Lage dieses Oberflächenmoleküls auf seiner Bahn, dann zeugt dies von einer
Vertikalgeschwindigkeit wS an der Wasseroberfläche:
Seite 305
6
z
zS (x, t)
zB (x)
-
x
Abbildung 14.5: Definition der geodätischen Höhe z B der Sohle und zS der freien Oberfläche.
Im Falle brechender Wellen muss einem Ort der horizontalen Ebene mehr als eine geodätische
Höhe der freien Oberfläche zugeordnet werden
wS =
DzS (t, x, y)
Dt
Mit Hilfe der Lagrangreschen Ableitung kommt man zu der als kinematische Randbedingung an der freien Oberfläche bezeichneten Gleichung:
wS =
∂zS
∂zS
∂zS
+ uS
+ vS
∂t
∂x
∂y
(14.4)
Ein einzelnes Oberflächenmolekül zu verfolgen, ist mühselig; wir wollen unsere Aufmerksamkeit daher der (Eulersche) Änderung der Wasseroberfläche ∂z∂tS an einem festen Ort widmen:
∂zS
∂zS
∂zS
= wS − u S
− vS
∂t
∂x
∂y
Durch die Bildung von Grenzfällen erkennt man, dass sich die Bewegung der freien Oberfläche
aus zwei Teilbewegungen zusammensetzt: Sind keine Horizontalgeschwindigkeiten vorhanden, dann kann die freie Oberfläche durch lokale Vertikalgeschwindigkeiten wS angehoben
oder abgesenkt werden (Abbildung 14.6):
∂zS
= wS
∂t
14.3. Die tiefengemittelte Kontinuitätsgleichung
Seite 306
Abbildung 14.6: Bewegungsformen der freien Oberfläche. Links: Advektion von Oberflächengradienten, rechts: Vertikale Bewegungen.
Zum anderen kann sich die freie Oberfläche durch die Bewegung des gesamten Wasserkörpers
ändern, sie wird angehoben, wenn ein Bereich größerer Wassertiefe den Beobachtungsort
durch eine horizontale Bewegung erreicht:
∂zS
∂zS
∂zS
= −uS
− vS
∂t
∂x
∂y
Diese Auf- und Abwärtsbewegung kann auch dann stattfinden, wenn direkt an der freien Oberfläche keine Vertikalgeschwindigkeiten vorhanden sind.
14.3 Die tiefengemittelte Kontinuit ätsgleichung
Die kinematische Randbedingung an der freien Oberfläche liefert die zeitliche Änderung derselben und somit kann man, wenn man nur ihren Anfangsort zu einem beliebigen Zeitpunkt
kennt, ihre Lage zu jedem zukünftigen Zeitpunkt bestimmen. Als zusätzliche Daten benötigt
man die Strömungsgeschwindigkeit direkt an der freien Oberfläche. Diese kann man entweder messen oder aber aus unserem mathematischen Modell in Form der Lösung der NavierStokes-Gleichungen gewinnen. Diese Vorgehensweise ist allerdings sehr sensibel. Man kann
sich leicht vorstellen, daß die Messung der Strömungsgeschwindigkeit direkt an der freien
Oberfläche sehr fehlerbehaftet ist. Gleiches gilt für ihre Bestimmung durch ein mathematischnumerisches Modell. Und sind dann erst einmal die Strömungsgeschwindigkeiten an der Oberfläche falsch, wirkt sich dies sofort auf die Evolution der freien Oberfläche und damit auch die
Wassertiefe aus.
Wir werden nun eine robustere Gleichung für die Dynamik der freien Oberfläche herleiten.
Die Kontinuitätsgleichung wird zunächst über die Vertikale, d.h. zwischen der Sohle und der
freien Oberfläche integriert:
zS
zB
zS
zS
B
B
∂w
∂u
∂v
dz +
dz +
dz = 0
∂z
∂x
∂y
z
z
Wir wollen nun Integration und Differentiation vertauschen. Dies ist deshalb nicht so einfach
möglich, weil die Integrationsgrenzen selbst von den Koordinaten x und y abhängen und ört-
Seite 307
liche Gradienten aufweisen können. Es hilft uns aber ein Satz von Leibniz, der sich als das
Hilfsmittel zur Bewerkstelligung aller Tiefenmittlungen herausstellen wird:
Satz von Leibniz: Es gilt:
∂
∂x
zS (x,y)
zS (x,y)
f (x, y, z)dz =
zB (x,y)
zB (x,y)
∂f (x, y, z)
∂zB
∂zS
dz − f (x, y, zB )
+ f (x, y, zS )
∂x
∂x
∂x
(14.5)
Beweis: Sei F (x, y, z) eine Stammfunktion von f bezüglich z, also:
z
f (x, y, z )dz F (x, y, z) =
0
Dann gilt:
∂
∂x
zS (x,y)
∂
(F (x, y, zB (x, y)) − F (x, y, zS (x, y))) = ...
∂x
f (x, y, z)dz =
zB (x,y)
Anwendung der Kettenregel
...
∂F (x, y, zB (x , y )) ∂F (x, y, zB ) ∂zB (x, y)
+
∂x
∂zB
∂x
∂F (x, y, zS (x , y )) ∂F (x, y, zS ) ∂zS (x, y)
−
= ...
−
∂x
∂zS
∂x
=
und Resubstituieren der Stammfunktion:
...
∂
=
∂x
−
∂
∂x
zB (x ,y )
f (x, y, z )dz + f (x, y, zB )
0
zS (x ,y )
f (x, y, z )dz − f (x, y, zS )
0
∂zB (x, y)
∂x
∂zS (x, y)
= ...
∂x
Da die Integralgrenzen nicht mehr von x abh ängig sind, können schließlich Integration und
Differentiation vertauscht (wobei wir – um auch Mathematiker zu befriedigen – annehmen,
daß das Integrationsgebiet kompakt, f stetig und nach x stetig partiell differenzierbar ist)
...
zB (x ,y ) ∂f (x, y, z )
∂zB (x, y)
∂x
∂x
0
zS (x ,y ) ∂f (x, y, z )
(x,
y)
∂z
S
−
dz − f (x, y, zS )
= ...
∂x
∂x
0
=
dz + f (x, y, zB )
und beiden Integrale zusammengezogen werden:
Seite 308
zB (x,y)
... =
zS (x,y)
∂f (x, y, z)
∂zB (x, y)
∂zS (x, y)
dz + f (x, y, zB )
− f (x, y, zS )
.
∂x
∂x
∂x
Wenden wir diesen auf die ersten beiden Terme und den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auf den dritten Term an, so folgt
zS
zS
B
B
∂
∂
∂zB
∂zS
∂zB
∂zS
− uS
+
− vS
+ wS − wB = 0
udz + uB
vdz + vB
∂x z
∂x
∂x
∂y z
∂y
∂y
bzw. umgeordnet und unter Anwendung der kinematischen Randbedingungen
zS
zS
B
B
∂
∂
∂zB
∂zB
∂zS
∂zS
udz +
vdz + uB
+ vB
− wB −uS
− vS
+ wS = 0
∂x z
∂y z
∂x
∂y
∂x
∂y
=
0
=
∂zS
∂t
Die durch die zweite geschweifte Klammer zusammengefaßten Terme sind die kinematische
Randbedingung an der freien Oberfläche.
Mit h = zS − zB bleibt nur noch
zS
zS
B
B
∂
∂
∂h
+
udz +
vdz = 0
∂t
∂x z
∂y z
Führen wir die Durchflüsse qx bzw. qy als das Integral der Strömungsgeschwindigkeit über die
Tiefe und die tiefengemittelten Strömungsgeschwindigkeiten ū und v̄ ein
zS
qx =
zS
udz = ūh
zB
und qy =
vdz = v̄h
zB
so ergibt sich für die tiefenintegrierte Kontinuitätsgleichung die Darstellung
∂h ∂qx ∂qy
+
+
=0
∂t
∂x
∂y
bzw. alternativ:
∂h ∂ ūh ∂v̄h
+
+
=0
∂t
∂x
∂y
(14.6)
14.4. Die tiefengemittelten Impulsgleichungen
Seite 309
6
∂zS
∂t
qy2
-
-
qx1
qx2
qy1
Abbildung 14.7: Zur Funktionsweise der tiefenintegrierten Kontinuitätsgleichung.
Eine Änderung der Wassertiefe wird also immer dann erfolgen, wenn der Durchfluß an einem Punkt nicht ausgewogen ist. Um dies zu verdeutlichen, schneiden wir eine quaderförmige
Säule aus dem Gewässer, Abbildung 14.7 demonstriert dies. Fließt auf der einen Seite mehr
Wasser in den Quader als auf der anderen Seite hinaus, dann kommt der Wasserstand nicht
umhin, sich zu heben. Die tiefenintegrierte Kontinuitätsgleichung drückt nichts anderes als
diesen Sachverhalt auf der infinitesimalen Ebene aus.
Die Gleichung (14.6) spielt eine zentrale Rolle in der Theorie und Numerik der Strömungen
mit freier Oberfläche, denn sie wurde exakt d.h. ohne empirische Annahmen oder Vereinfachungen hergeleitet (darum ist sie auch umrahmt). Sie stellt den Zusammenhang zwischen
der Bewegung der freien Oberfläche und den Volumenflüssen her. Sie besagt, daß die zeitliche
Änderung der Wassertiefe nur von den Durchflüssen qx = ūh und qy = v̄h abhängt und wir zur
Bestimmung der freien Oberfläche zS = zB + h nur die tiefengemittelten Geschwindigkeiten
ū und v̄ bzw. die Durchflüsse benötigen.
14.4 Die tiefengemittelten Impulsgleichungen
Die Bilanzgleichungen für den tiefengemittelten Impuls kann man prinzipiell aus den NavierStokes- oder den Reynoldsgleichungen gewinnen. Die Integration läßt sich wegen der nichtlinearen Terme nicht exakt ausführen. Man ist hier auf verschiedene Annahmen angewiesen,
die zu unterschiedlichen Modellklassen führen. In diesem Abschnitt wollen wir am Beispiel
Seite 310
der Impulsgleichung in x-Richtung die Tiefenintegration exakt ausführen.
14.4.1 Die Mittlung der advektiven Terme
Zuerst addieren wir jedoch einen Nullterm in der Form
∂u ∂v ∂w
+
+
,
u
∂x ∂y
∂z
womit die Advektion die folgende Gestalt erhält:
∂u ∂u2 ∂uv ∂uw
+
+
+
∂t
∂x
∂y
∂z
Der Übersichtlichkeit halber sei die Tiefenintegration gliedweise durchgeführt:
• Die Zeitableitung ergibt mit der Formel von Leibniz:
zS
zB
zS
∂
∂uh
∂u
∂zB
∂zS
∂zB
∂zS
dz =
− uS
=
+ uB
− uS
udz + uB
∂t
∂t z
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
B
• Die advektiven horizontalen Terme ergeben mit der Formel von Leibniz:
zS
zB
zS
∂
∂u2
∂zB
∂zS
dz =
− u2S
u2 dz + u2B
∂x
∂x z
∂x
∂x
B
und
zS
zB
zS
∂
∂uv
∂zB
∂zS
dz =
− uS vS
,
uvdz + uB vB
∂y
∂y z
∂y
∂y
B
• Den dritten advektiven Term können wir mit der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung exakt integrieren:
zS
zB
∂uw
dz = uS wS − uB wB .
∂z
• Die Summe der advektiven Terme ergibt ein wenig geordnet:
zS
−uS
zS
∂
∂
∂uh
+
u2 dz +
uvdz
∂t
∂x z
∂y z
B
∂zS
∂zS
∂zS
+ uS
+ vS
− wS + u B
∂t
∂x
∂y
B
∂zB
∂zB
∂zB
+ uB
+ vB
− wB
∂t
∂x
∂y
Seite 311
Hier treffen wir als alte Bekannte die kinematischen Randbedingungen wieder. Die in
den Klammern auftauchenden Terme sind also Null und man erhält als Summe der advektiven Terme:
zS
zS
B
B
∂
∂uh
∂
+
u2 dz +
uvdz
∂t
∂x z
∂y z
In der nun folgenden Behandlung der nichtlinearen advektiven Terme kann man nicht besonders erstaunliche Parallelen zur Reynoldsmittlung erkennen. In gleicher Weise wie beim
Reynoldsansatz wird die Geschwindigkeit u in ihren tiefengemittelten Wert u und die Abweichung von letzterem u zerlegt:
u = u + u
Und genauso ergibt die Mittlung der Advektion in x-Richtung über die Tiefe
∂uh ∂u2 h ∂u vh ∂u u h ∂u v h
+
+
+
+
∂t
∂x
∂y
∂x
∂y
wobei die neuen Terme als Dispersionsterme bezeichnet werden. Aus der Gleichung läßt sich
nun die tiefenintegrierte Form der Kontinuitätsgleichung als Nullterm herausziehen und die
Wassertiefe h herausdividieren:
∂u
∂u 1 ∂u u h 1 ∂u v h
∂u
+u
+v
+
+
∂t
∂x
∂y h ∂x
h ∂y
14.4.2 Die hydrostatische Druckapproximation
Da sich Druckänderungen in inkompressiblen Medien mit unendlicher Geschwindigkeit ausbreiten, ist der Druck zu jedem Zeitpunkt mit lokalen Zustandsgrößen im Gleichgewicht. Dies
rechtfertigt den Versuch, analytische Lösungen für den Druck zu verwenden, die einer Zustandsgleichung entsprechen. Die meistverwendete Zustandsgleichung für den Druck in Oberflächengewässern ist die hydrostatische Druckverteilung:
p(x, y, z, t) = p0 + g(zS − z).
(14.7)
Die hydrostatische Druckapproximation besteht darin, die hydrostatische Druckverteilung
auch in der Hydrodynamik anzuwenden.
Ist die Dichte konstant, so ergibt sich dann für die Druckableitung
∂zS
∂p
= g
∂x
∂x
und ihr Integral über die Tiefe wird:
Seite 312
zS
−
zB
1 ∂p
∂zS
dz = −gh
∂x
∂x
Betrachten wir nun Argumente für diese Approximation genauer, um ihren Gültigkeitsbereich
kennenzulernen.
Dimensionsanalyse
Ganz allgemein sollte man bei jeder – vor allem so gravierenden – Näherung den Gültigkeitsbereich untersuchen. Ein wichtiges Hilfsmittel hierbei ist die dimensionslose Form der zu
nähernden Gleichung. Bei der Auswahl der benötigten Hilfsgrößen ist immer physikalisches
Fingerspitzengefühl notwendig, wie sofort ersichtlich wird: Zuerst definieren wir die dimensionslosen Größen
x∗ =
x
L
y∗ =
y
L
z∗ =
z
H
u∗ =
u
U
v∗ =
v
U
w∗ =
w
W
t∗ =
Ut
L
p∗ =
p
U2
ein, wobei horizontale Bewegungen durch eine gemeinsame Länge L und eine gemeinsame Geschwindigkeit U charakterisiert werden. Vertikale Bewegungen werden davon getrennt
durch H und W charakterisiert, denn um diese geht es uns ja. Zeit und Druck sind ebenfalls durch horizontale Größen auf dimensionslose Form gebracht worden. Ersetzen wir die
ursprünglichen Größen in der reibungsfreien Navier-Stokes-Gleichung durch die dimensionslosen Größen, so erhält man
UW
L
∗
∗
∂w ∗
∗ ∂w
∗ ∂w
+
u
+
v
∂t∗
∂x∗
∂y ∗
+
W 2 ∗ ∂w ∗
U 2 ∂p∗
w
=
−
−g
H
∂z ∗
H ∂z ∗
Da nach der Kontinuitätsgleichung etwa
U
W
=
H
L
gilt, und die Wellengeschwindigkeit im Flachwasser durch
U=
gH
abgeschätzt werden kann, sind wir in der Lage, W und H zu eliminieren. Nach Division durch
g folgt:
H2
L2
∗
∗
∗
∂w ∗
∗ ∂w
∗ ∂w
∗ ∂w
+
u
+
v
+
w
∂t∗
∂x∗
∂y ∗
∂z ∗
=−
∂p∗
−1
∂z ∗
Es folgt, daß vertikale Beschleunigungen dann vernachlässigt werden können, wenn das
Verhältnis von Wassertiefe zu Wellenlänge sehr klein ist. Die hydrostatische Druckapproximation nennt man daher auch Flachwassernäherung.
Seite 313
14.4.3 Die inneren Spannungen
Bevor wir die inneren, viskosen oder turbulenten Spannungen über die Tiefe integrieren,
schauen wir uns die Integration eines Divergenzterms ganz allgemein an:
Die tiefengemittelte Divergenz
In Verallgemeinerung der Kontinuitätsgleichung wollen wir nun die Divergenz eines beliebigen Schubspannungetensors τij über die Tiefe integrieren. Mit dem Leibnizschen Satz bekommen wir sofort:
zS
zB
zS
∂τij
∂zS (x, y)
∂
dz =
τij dz + τij,S nS,i 1 +
∂xi
∂xi z
∂x
B
2
− τij,B nB,i
:=τS,j
∂zB (x, y)
1+
∂x
∂zS (x, y)
+
∂y
2
2
∂zB (x, y)
+
∂y
:=τB,j
2
Dabei läuft die Indexsumme der linken Seite dreidimensional und die der rechten Seite zweidimensional. Etwas merkwürdig erscheinen die großen Wurzelausdrucke auf der rechten Seite,
die durch die Ersetzung des Flächennormaleneinheitsvektors ins Spiel gekommen sind. Ihre
Bedeutung wollen wir uns nun erschließen.
Die Integraltransformationsformel
über die Normale einer Fläche
Dazu schauen wir uns die Integration eines beliebigen Vektors Φ
= ndA an:
dS
S
=?
Φd
A
um einen Fluss oder eine GeEin solches Integral wird dann gebraucht, wenn es sich bei Φ
und Fluss Φ
senkschwindigkeit durch die Fläche handelt. Stehen Flächennormalenvektor S
S
wird in diesem
recht zueinander, dann fließt nichts durch die Fläche. Das Skalarprodukt Φd
Fall auch tatsächlich Null.
Wir gehen ferner davon aus, dass die Fläche durch die Koordinaten x und y parametrisiert wird.
In der xy-Ebene sei die Projektion der Fläche S ein Rechteck. Dann kann man zur Integration
die sogenannte Integraltransformationsformel anwenden. Sie lautet:
x0 +Δx y0 +Δy
S
=
Φd
A
x0
y0
∂zB
1+
∂x
2
∂zB
+
∂y
2
Φ(x,
y)dx
(14.8)
Seite 314
Die in dieser Integrationsformel auftauchende Wurzel hat eine weitere Interpretation. Da die
Funktion
∂zB
∂ψ ∂ψ
×
= 1 +
∂x
∂y
∂x
2
∂zB
+
∂y
2
den Flächeninhalt des von den Vektoren ∂ψ
und ∂ψ
erzeugten Parallelogramms mißt, ist der
∂x
∂y
Flächeninhalt nichts anderes als die infinitesimale Summe der sie erzeugenden Einzelparallelogramme.
Der Wurzelausdruck berücksichtigt also so etwas wie die Unebenheit der Fläche. Nehmen
wir nun an, dass es empirische Ausdrücke für die Schubspannung an der Sohle und an der
Wasseroberfläche gibt. In einem tiefengemittelten Modell müssen diese auch die Unebenheit
der Sohle berücksichtigen.
Führen wir auch hier die über die Tiefe gemittelten turbulent-viskosen Spannungen ein, dann
werden die inneren Spannungen in einem Oberflächengewässer:
zS
zB
∂τij
∂
dz =
τij h + τS,j − τB,j
∂xi
∂xi
Die Sohl- und Windschubspannung haben in dreidimensionalen und in tiefenintegrierten zweidimensionalen Modellen vollkommen verschiedene mathematische Formen: In ersteren waren
sie Randbedingungen und tauchten in den Grundgleichungen selbst nicht auf, in zweiteren
sind sie Quell- und Senkterme für den tiefengemittelten Impuls.
14.4.4 Die Impulsgleichung der tiefenintegrierten Strömung
Wenn wir von der äußeren Kraft fx annehmen, dass sie über die Wassertiefe konstant ist,
können wir nun alles zusammenfügen.
D
D
h
∂u
∂u
∂u
∂zS
1 ∂ τxx
h 1 ∂ τxy
+u
+v
+g
=
+
∂t
∂x
∂y
∂x
h ∂x
h ∂y
(14.9)
wobei der Dispersionstensor τ D
1 τBx 1 τW indx
+
+ fx
−
h
h
mit den Komponenten
τijD = τij − ui uj
eingeführt wurde und von nun an alle Mittlungsstriche weggelassen wurden. Genau wie bei
dem Reynoldsansatz in der Turbulenztheorie haben wir es also wieder mit einem Schließungsproblem zu tun, dem man allerdings wegen seiner geringeren theoretischen Bedeutung
weitaus weniger Aufmerksamkeit gewidmet hat.
14.5. Impulsdispersion
Seite 315
14.4.5 Warnung vor unzulässigen Vereinfachungen
In manchen auch kommerziell vertriebenen und anerkannten Modellen findet man folgende
Form der tiefenintegrierten Impulsgleichung (in x-Richtung):
∂u
∂u
∂zS
∂ ∂u
∂ ∂u 1 τBx 1 τW indx
∂u
+u
+v
+g
=
νt
+
νt
−
+
+ fx
∂t
∂x
∂y
∂x
∂x ∂x ∂y ∂y h
h
Diese unterscheidet sich von unserer exakten Form in der Darstellung der Impulsdispersion,
die an dieser Stelle nur eine Projektion der dreidimensionalen Reynoldsgleichungen darstellt.
Es soll mit Nachdruck gesagt werden, daß diese Form für die Modellierung vieler tiefenintegrierten Strömungen nicht hinreichend ist.
Schauen wir uns deshalb die richtige Form an und gehen wir davon aus, daß im Spannungstensor die turbulenten Anteile gegenüber den dispersiven der Tiefenintegration überwiegen:
∂ τxx
∂ τxy τxx ∂h τxy ∂h
1 ∂ τxx h 1 ∂ τxy h
+
=
+
+
+
h ∂x
h ∂y
∂x
∂y
h ∂x
h ∂y
Die beiden letzten Terme können nur dann vernachlässigt werden, wenn die Wassertiefe h
konstant ist. Sie haben an Sohlgradienten im flachen Wasser aber einen merklichen Einfluß.
Tun wir es dennoch und modellieren die tiefengemittelten turbulenten Spannungen mit dem
Wirbelviskositätsprinzip:
∂u ∂u
∂u ∂v
∂
∂ τxy
∂
∂ τxx
+
+
=
νt
+
νt
+
... =
∂x
∂y
∂x
∂x ∂x
∂y
∂y ∂x
Gäbe es so etwas wie eine tiefenintegrierte Kontinuitätsgleichung der Form ∂u
+ ∂v
= 0 so
∂x
∂y
würden schließlich noch die Kreuzableitungen wegfallen und wir wären zu obiger Form der
Impulsdispersion gelangt.
Als Fehlvereinfachungen sei zusammenfassend vor einer Vernachlässigung der Wassertiefenvariationen und dem Streichen der Symmetrieterme des Spannungstensors gewarnt.
14.5 Impulsdispersion
Bei der Integration der dreidimensionalen Impulsgleichungen über die Tiefe sind wir wie bei
der Reynoldsmittlung auf Zusatzterme gestoßen, die Korrelationen der Abweichungen u und
v von den tiefemgemittelten Geschwindigkeit enthalten:
∂uh ∂u2 h ∂u vh ∂u u h ∂u v h
∂zS
+
+
+
+
+g
=
∂t
∂x
∂y
∂x
∂y
∂x
1 ∂τxx h 1 ∂τxy h τBx τW indx
+
−
+
+ hfx
∂x
∂y
Seite 316
Den mit ihnen verbundenen Prozeß bezeichnet man als dispersiven Impulsaustausch, er beinhaltet also die räumliche Ausdehnung des tiefengemittelten Impulses durch Abweichungen
von der tiefengemittelten Geschwindigkeit. Dieser Ausbreitungsmechanismus kann entweder
durch einen Impulsbeiwert den advektiven Termen oder dem inneren Spannungstensor der
Impulsgleichungen zugeschlagen werden. Beide Wege sind physikalisch absolut gleichwertig.
Die Einführung von Impulsbeiwerten in den advektiven Termen ist aber oftmals mit numerischen bzw. algorithmischen Problemen verbunden, da viele Verfahren auf eine Änderung der
advektiven Terme sehr sensibel reagieren. Wir werden den Impulsbeiwert aber deshalb studieren, weil er eine Abschätzung für die Validität der Tiefenmittlung liefert. Ist er sehr groß, dann
sollte man diesen Simulationsmodus meiden wie der Teufel das Weihwasser. Umso näher er
jedoch bei eins liegt, desto besser approximieren die Ergebnisse der tiefenintegrierten Simulation die Realität.
14.5.1 Impulsbeiwerte
Führen wir nun die Impulsbeiwerte
zS
u2 dz
βxx =
zB
u2 h
=1+
u u
u2
=1+
u v uv
und
zS
uvdz
βxy =
zB
u vh
ein, dann erhält man die tiefenintegrierte Impulsgleichung:
∂zS
∂uh ∂βxx u2 h ∂βxy u vh
+
+
+g
=
∂t
∂x
∂y
∂x
1 ∂τxx h 1 ∂τxy h τBx τW indx
+
−
+
+ hfx
∂x
∂y
In dieser Gleichung stehen als Unbekannte nur noch tiefenintegrierte Größen sowie die Impulsbeiwerte, die die Korrelationen der Geschwindigkeitsschwankungen über die Tiefe enthalten.
Diese sind durch weitere Modellannahmen oder empirische Gleichungen zu bestimmen.
14.5.2 Dispersion des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils
Im Falle eines über die gesamte Wassertiefe ausgebildeten logarithmischen Geschwindigkeitsprofils
Seite 317
u(z) =
z
u∗
ln
κ
z0
hatten wir schon die über die Tiefe gemittelte Geschwindigkeit als
u∗
h
z0
u=
ln + − 1
κ
z0
h
berechnet. Für die Abweichung der lokalen von der tiefengemittelten Geschwindigkeit u gilt
in guter Näherung:
u =
u−u
z z0
u∗
ln − + 1
=
κ
h
h
u∗
z
1 + ln
κ
h
Nun wird die Dispersionsspannung als
h
u u
1 u2∗
z
=
1 + ln
2
hz κ
h
2
dz
0
berechnet. Eine unerfreuliche Rechnung (aber auf dem Niveau der Schulanalysis) ergibt:
u u =
u2∗
τB
= 5.95u2∗ = 2
2
κ
κ
Um die Allgemeinheit nicht einzuschränken, nehmen wir nun an, daß die Hauptströmungsrichtung nicht mit der x-Richtung zusammenfällt. Dennoch wirkt die Impulsdispersion nur in
Hauptströmungsrichtung. Die Bestimmung des Impulsdispersionstensors ist dann etwas kniffelig. Zusammen mit den noch tiefenzumittelnden inneren Spannungen sei als Ergebnis
⎛
u2
⎜ 2
⎜ u + v2
⎜
τijD = τij − 5.95 u2∗ ⎜
⎜
⎜
⎝
uv
2
u + v2
2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(14.10)
uv
u
1− 2
2
+v
u + v2
genannt. Man bestätigt leicht, daß die Matrix für eine in x i -Richtung verlaufende Strömung
jeweils nur die (i, i)-Komponente zu eins macht.
Auch im Fall anderer Geschwindigkeitsprofile kann davon ausgegangen werden, daß die Dispersion wohl wesentlich durch die Sohlschubspannung verursacht wird. Ein Ansatz in der
obigen Form mit einer eventuellen Variation des Vorfaktors 1/κ 2 wird die Dispersion befriedigend berücksichtigen.
u2
Seite 318
Nun kann man auch den Impulsbeiwert βxx direkt gewinnen:
zS
u2 dz
βxx =
zB
=1+
u2 h
u2∗
κ2 u2
Er ist immer größer als eins, erhöht also die in den advektiven Termen auftretende Geschwindigkeit grundsätzlich. Er wächst mit dem Verhältnis von Sohlschubspannungs- zu tiefengemittelter Geschwindigkeit. Um einen Eindruck über seine Wichtigkeit zu bekommen, entscheiden
wir uns bei der Berechnung der Sohlschubspannung für das Chezygesetz. Damit folgt für die
Dispersionsspannung
u u =
gu2
2
κ2 C2D
und für den Dispersionskoeffizienten des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils
βxx = 1 +
g
2
κ2 C2D
(14.11)
Ein Chezywert von 90 m1/2 /s, was einer sehr geringen Sohlreibung entspricht, ergäbe einen
Dispersionskoeffizenten von βxx = 1.01, bei extrem rauher Sohle mit einem Chezywert von
20 m1/2 /s wächst der Dispersionskoeffizient auf βxx = 1.15. Somit kann man die Dispersionsspannungen der Tiefenmittlung in einem logarithmischen Geschwindigkeitsprofil mit abnehmender Sohlreibung vernachlässigen.
14.5.3 Gibt es ein Prinzip der turbulenten Dispersion ?
Im Rahmen der Tiefenmittlung hatten wir die Korrelationen der Abweichungen von den tiefengemittelten Geschwindigkeit bei den turbulenten Schubspannungen berücksichtigt und den
Dispersionstensor mit den Komponenten
τijD = τij − ui uj
(14.12)
gebildet. Zur alternativen Lösung dieses Schließungsproblems kann man wieder bei der Turbulenztheorie kiebitzen und davon ausgehen, daß es eine turbulente Dispersion ν D gibt, so
daß
νD
∂ui
τij
− ui uj
=
∂xj
gilt. Hierdurch hat man das Schließungsproblem von den vier unbekannten Korrelationen der
Abweichung von der tiefenintegrierten Geschwindigkeit auf eine Unbekannte, die turbulente
Dispersion νD reduziert.
14.6. Die tiefenintegrierte Energetik der Fließgewässer
Seite 319
Da die turbulente Dispersion νD nun die Effekte der molekularen und der turbulenten Viskosität sowie der Tiefenintegration berücksichtigt, sollte sicherlich die Ungleichungskette
νD > νt > ν
gelten.
Wenden wir uns also der Modellierung der Dispersion des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils unter Anwendung eines Prinzips der turbulenten Dispersion zu. Das Problem besteht dann darin, eine algebraische Funktion νD zu finden, die die Gleichung
νD
∂u
τxx
=
− 5.95u2∗
∂x
erfüllt. Dies ist allein aus Vorzeichengründen nicht möglich, denn der Dispersionsterm auf
der rechten Seite ist immer negativ, der Dispersionskoeffizient würde hierdurch also auch mal
negativ werden. Daher kann man Dispersionseffekte nicht durch eine Erhöhung der turbulenten
Viskositätskoeffizienten modellieren.
Tatsächlich wird dies aber genau dann gemacht, wenn man den sogenannten Elderansatz
⎧
⎨
6.0u∗ h
νD = ⎩
0.6u∗ h
im Strömungsrichtung
transversal zur Strömungsrichtung
zur Beschreibung der turbulenten Dispersion verwendet, der eigentlich für den Stofftransport
entwickelt wurde. Die Proportionalität zur Schubspannungsgeschwindigkeit und zur Wassertiefe erhält man aus der Tiefenmittlung der turbulenten Viskosität, der Vorfaktor 6 ist wieder
das reziproke Quadrat der Karmankonstante.
Aus den genannten Gründen sollte der Elderansatz nicht zur Modellierung der Dispersion,
sondern richtigerweise nur Gleichung (14.10) verwendet werden.
14.6 Die tiefenintegrierte Energetik der Fließgew ässer
Wir wollen zuerst analysieren, in welcher Art und Weise die tiefengemittelte Strömung mit ihrer kinetischen Energie haushaltet. Um etwas über die Energieflüsse in diesem konzeptionellen
Modell aussagen zu können, schreiben wir die Impulsgleichungen in der Indexform
∂ui
∂zS
1 ∂
∂ui
+ uj
+g
=
∂t
∂xj
∂xi
h ∂xj
∂ui
hνt
∂xj
−
1 τB,i 1 τW ind,i
+
h
h
Die Dispersion des vertikalen Geschwindigkeitsprofils wurde dabei weder als Impulsweiwerte
noch im Spannungstensor berücksichtigt, da dies in fast allen hydrodynamisch-numerischen
Modellen ebenfalls nicht getan wird. Wir wollen untersuchen, wie man mit den so vereinfachten Impulsgleichungen immer noch naturähnliche tiefengemittelte Strömungen simulieren
kann.
Seite 320
u τWind
h
−u g grad zS
?
K
?
k
Pk
?
?
2D
k
?
cT
Abbildung 14.8: Maschine für die Energieumwandlung in Oberflächengewässern. Speicherterme sind durch ein Ovale, Umsetzungsprozesse durch eckige Boxen dargestellt.
Die Impulsgleichungen werden skalar mit u multipliziert. Genau wie bei der Herleitung der
TKE-Gleichung führen die kinetische Energiedichte ek und erhalten nach analogen Umformungen:
∂ek
∂zS
1 ∂
∂ek
+ uj
+ ui g
=
∂t
∂xj
∂xi
h ∂xj
∂ek
hνt
∂xj
− 2D +
ui τW ind,i
h
Darin wurde die Energiedissipationsrate in der tiefengemittelten Betrachtungsweise als
2D = hνt
∂ui ∂ ui ui τB,i
+
∂xj ∂xj h
h
(14.13)
eingeführt. Die Transportgleichung für die kinetische Energie läßt sich wieder leicht interpretieren. Die über die Tiefe gemittelte kinetische Energie einer Strömung wird advektiv und
diffusiv transportiert. Sie nimmt zu, wenn die Strömung in Richtung des Oberflächengefälles
fließt oder der Wind in ihrer Richtung weht. Sie nimmt ab, wenn der Wind in entgegengesetzter Richtung weht, sie wird durch die Sohlschubspannung und durch die turbulente Dissipation
beim Vorliegen von Geschwindigkeitsgradienten dissipiert.
Zur einfacheren Interpretation sei die Energiedissipationsrate der tiefengemittelten Strömung
vollständig ausgeschrieben:
2D = νt
⎡
2
∂u
⎣
∂x
∂u
+
∂y
u+v
+
h
2
Seite 321
∂v
+
∂x
∂h ∂h
+
∂x ∂y
2
)
+
∂v
+
∂y
2
u τB x v τB y
+
h
h
Dabei wurde die Sohlreibung mit in die Energiedissipationsrate integriert, da sie ebenfalls
immer positiv ist und somit zur Energiedissipation beiträgt. Im Gegensatz zu den Gesetzen
der dreidimensionalen kennt die tiefenintegrierte Strömung also zwei Mechanismen der Energiedissipation, den viskosen und den der Sohlreibung. In der Realität geht aber durch eine
undurchdringliche Sohle keine Bewegungsenergie verloren, sie wird einzig und allein durch
Gradienten des Geschwindigkeitsfeldes in Wärme dissipiert.
Wir wollen abschließend mit diesem Wissen eine genauere Definition des Normalabflusses
in Flüssen wagen. Diesen könnte man nun so verstehen, als daß sich die kinetische Energie
entlang des Flusslaufes nicht ändere, die tiefengemittelte kinetische Energiegleichung wird
dann zu:
u g grad zS = −2D
Umso größer also die Energiedissipation ist, desto größer ist auch das Wasserspiegelgefälle.
Dabei nimmt die Wirkung der Sohlschubspannung auf die Energiedissipation in tieferen Bereichen ab, während die Impulsdiffusion nur dort wirkt, wo auch Geschwindigkeitsgradienten
vorhanden sind.
In tiefenintegrierten Modellen fehlen aber die vertikalen Geschwindigkeitsgradienten, die
einen Großteil der Energiedissipation ausmachen. Die Integration der vertikalen viskosen
Terme hat genau die Sohlschubspannung in die Bewegungsgleichungen hineingebracht. Wir
müssen also untersuchen, ob die Energiedissipation durch die Sohlschubspannung im tiefengemittelten Modell die Energiedissipation der vertikalen Geschwindigkeitsgradienten auszugleichen in der Lage ist.
Für den Anwender eines tiefengemittelten Modells können die Erkenntnisse dieses Abschnitts
auf eine einfache Formel gebracht werden: Ist das Wasserspiegelgefälle in den Ergebnissen
eines tiefengemittelten Modells zu klein, dann muss die Sohlschubspannung und damit die
Sohlrauheit im dazwischen liegenden Flussabschnitt erhöht werden.
Übung 53: Zeigen Sie mit Hilfe des Nikuradsegesetzes, dass der Sohlschubspannungsanteil in
der Energiedissipation mit der dritten Potenz des Betrags des Geschwindigkeitsvektors steigt.
Seite 322
14.7 Tiefenintegrierte Transportgleichungen
Der Vollständigkeit halber sei nun noch die tiefengemittelte Form der Transportgleichung angegeben:
∂c
∂c
1 ∂
∂c
1 ∂
∂c
∂c
+u
+v
=
hK
+
hK
∂t
∂x
∂y
h ∂x
∂x
h ∂y
∂y
+
ΦSB
h
(14.14)
Dabei wurde angenommen, daß die in den advektiven Termen auftauchenden sogenannten
Dispersionsbeiwerte
zS
zS
cudz
βcx =
cvdz
zB
zB
und βcy =
(14.15)
c uh
c vh
näherungsweise eins sind. Der Wert ΦSB vereinigt die Flüsse an der freien Oberfläche und am
Boden und ist explizit aus der Integration der vertikalen Diffusion zu bestimmen.
Wir haben in diesem Kapitel die Grundgleichungen der über die Tiefe integrierten Strömung
∂h ∂uh ∂vh
+
+
=0
∂t
∂x
∂y
Massenerhaltung
D
D
h
∂u
∂u
1 ∂ τxx
∂zS
1 τBx
1 τW ind x
∂u
h 1 ∂ τxy
+u
+v
+
=
+g
−
+
+ fx
∂t
∂x
∂y ∂x
h ∂x
h ∂y
h
h
Kraft
Freie
Advektion
Impulsdispersion
SohlWind
Oberreibung
fläche
D
D
h 1 ∂ τyy
h
1 τW indy
1 ∂ τyx
∂v
∂v
∂zS
1 τBy
∂v
=
+
+u
+v +g
+
−
+fy
∂t
∂x
∂y
∂y
h ∂x
h ∂y
h
h
Kraft
Advektion
Freie
Impulsdispersion
SohlWind
Oberreibung
fläche
(14.16)
Seite 323
kennengelernt. Das Gleichungssystem besteht aus drei Gleichungen für die drei Unbekannten
h, u und v, die Impulsdispersion wird mit Gleichung (14.10) bestimmt. Für alle drei Unbekannten sind über dem gesamten Gebiet Anfangswerte und auf den Rändern Randwerte
vorzugeben.
Das Gleichungssystem ist unter den folgenden Annahmen gültig:
• Die hydrostatische Druckapproximation ist anwendbar.
• Die Dichte hat keine vertikale Struktur.
Mit ihm haben wir die konzeptionelle Grundlage für die numerisch wesentlich leichter zu
behandelnden zweidimensionalen Modelle geschaffen. Der hierfür zu zahlende Preis ist ein
zusätzlicher Modellierungsaufwand für unbekannte Korrelationen der Abweichungen von
den tiefengemittelten Geschwindigkeiten. Diese Dispersionsspannungen lassen sich allerdings
nicht durch einen turbulenten Dispersionskoeffizienten, sondern durch die gewichtete Addition
der Sohlschubspannung modellieren.
Seite 324
Kapitel 15
Tiefengemittelte Turbulenzmodellierung
Turbulenz ist ein dreidimensionales Phänomen, somit läßt es sich in tiefengemittelten Modellen nicht simulieren. Um die Modellierung der Wirkung der Turbulenz auf die tiefenintegrierte Strömung kann man sich aber nicht herumdrücken. Neben der Impulsdispersion und der
Sohlschubspannung ist sie der dritte wichtige, empirisch zu schließende Prozeß eines tiefengemittelten Modells. Dabei wird es hier hauptsächlich darum gehen, daß das dreidimensionale
Geschwindigkeitsfeld mehr Variationen als das tiefengemittelte aufweist. Da der turbulentviskose Impulsaustausch proportional zu den lokalen Geschwindigkeitsgradienten ist, zeigt
dreidimensionale Welt einen höheren Impulsaustausch als eine auf zwei Dimensionen reduzierte Welt. Genau dies soll durch Turbulenzmodelle für die tiefenintegrierte Simulation kompensiert werden.
Dazu werden wir unsere Aufmerksamkeit zunächst den Mechanismen der kinetischen Energiedissipation im tiefengemittelten Strömungsmodellen zuwenden, um durch einen Vergleich mit
den Dissipationsmechanismen in dreidimensionalen Strömungen ein ähnliches energetisches
Verhalten beider Modellkonzeptionen zu ermöglichen.
Dann werden die unterschiedlichen Modelle zur tiefengemittelten turbulenten Viskosität vorgestellt und hinsichtlich ihres energetischen Verhaltens bewertet.
Schließlich werden wir als Anwendung des Gelernten die Energiedissipation über harmonischen Sohlwellen untersuchen und zu interessanten Aussagen über die Zusammensetzung der
Sohlrauheit gelangen.
15.1 Die tiefengemittelte Turbulenzproduktion
Für die Umsetzung von mittlerer in turbulente kinetische Energie wird in der Hydromechanik
turbulenter Strömungen unter der Annahme des Wirbelviskositätsprinzips die Gleichung
325
15.1. Die tiefengemittelte Turbulenzproduktion
Seite 326
⎡ Pk
∂u
= νt ⎣2
∂x
+
2
∂v
+2
∂y
∂v ∂u
+
∂x ∂y
2
2
∂w
+2
∂z
∂w ∂u
+
+
∂x
∂z
2
2
∂w ∂v
+
+
∂y
∂z
2 ⎤
⎦
für das dreidimensionale reynoldsgemittelte Geschwindigkeitsfeld hergeleitet. Jede örtliche
Änderung der Geschwindigkeit ist also mit einer Produktion von Turbulenz verbunden.
In einem Fließgewässer wird mittlere kinetische Energie im wesentlichen durch das vertikale
Geschwindigkeitsprofil, aber auch über das sich in der Breite ausbildende Querprofil in Turbulenz umgewandelt.
In einem tiefengemittelten konzeptionellen Modell der Fließgewässerströmung können wir
die horizontalenGeschwindigkeiten näherungsweise durch die mittleren Geschwindigkeiten
darstellen, es fehlen uns aber Informationen über die Vertikalgeschwindigkeiten und die vertikalen Geschwindigkeitsgradienten. Wir wollen untersuchen, wie wir deren Anteil an der Dissipation mittlerer kinetischer Energie berücksichtigen können.
Dazu wählen wir zunächst einmal den Ansatz
⎡ ∂u
Pk = νt ⎣2
∂x
2
∂v ∂u
+
+
∂x ∂y
2
∂v
+2
∂y
2 ⎤
⎦ + Pkv
in dem wir Bekanntes von Unbekanntem (Pkv ) getrennt haben. Unter den vertikalen Geschwindigkeitsgradienten ist der wichtigste sicherlich das logarithmische Profil der Hauptströmung,
wir berechnen seine tiefengemittelte Wirkung als
h
Pkv
h
1 u3∗
1
∂u
=
νt dz =
hz
∂z
hz κ
0
0
u3
h
z0
1 1
−
dz = ∗ ln + − 1
z h
κh
z0
h
wobei wir von einem parabolischen Wirbelviskositätsprofil ausgegangen sind. Ein Vergleich
mit dem Wert der tiefengemittelten Geschwindigkeit des logarithmischen Profils liefert:
Pkv =
u τB
u2∗ u
=
h
h
(15.1)
Damit wird die Turbulenzproduktion im logarithmischen Geschwindigkeitsprofil genau
von den Dissipationstermen der Sohlschubspannung im tiefenintegrierten Modell ausgeglichen. Ein mutmachendes Ergebnis, welches das tiefengemittelte Modell bei der Simulation
von Strömungen mit logarithmischen Geschwindigkeitsprofil dem dreidimensionalen Modell
nahezu ebenbürtig macht.
15.2. Die tiefengemittelte turbulente Viskosität
Seite 327
Wir wollen noch untersuchen, wie sich die tiefengemittelte Turbulenzproduktion in Abhängigkeit von der äquivalenten Rauheit nach Nikuradse ks verhält. Dazu ersetzen wir die Schubspannungsgeschwindigkeit u ∗ und den Taylorbeiwert r durch die Sohlschubspannung nach
Nikuradse:
Pkv =
u3
g
h 18 log 12h 2
(15.2)
ks
Somit nimmt die tiefengemittelte Turbulenzproduktion P kv mit zunehmender relativer Bedeckung h/ks ab.
15.2 Die tiefengemittelte turbulente Viskosit ät
Die Integration der dreidimensionalen Impulsgleichungen über die Wassertiefe stellt uns vor
die Aufgabe, den viskosen Spannungstensor ebenfalls über die Wassertiefe zu mitteln:
τij = νt
∂ui ∂uj
+
∂xj
∂xi
Dabei werden nur die vier horizontalen Komponenten benötigt, die vertikalen Anteile des
Spannungstensors haben die Sohl- und Windschubspannungen in die Impulsgleichungen gezogen.
Zur quantitativen Bestimmung der über die Tiefe gemittelten horizontalen Spannungen kann
man von der Hypothese ausgehen, daß diese proportional den entsprechenden Geschwindigkeitsgradienten der tiefengemittelten Geschwindigkeit und der über die Tiefe gemittelten turbulenten Viskosität sind:
τij
νt
∂ui ∂uj
+
∂xj
∂xi
Die Herausforderung besteht also darin, die dreidimensionale mit dem Mischungswegansatz
modellierte turbulente Viskosität
νt =
⎡ 2
∂u
2 ⎣
l 2
m
∂x
+
∂v ∂u
+
∂x ∂y
∂v
+2
∂y
2
2
∂w
+2
∂z
∂w ∂u
+
+
∂x
∂z
2
2
∂w ∂v
+
+
∂y
∂z
2 ⎤1/2
⎦
über die Wassertiefe zu integrieren. Hier stoßen wir genau wie in der dreidimensionalen Turbulenztheorie auf ein Schließungsproblem, da die in der Gleichung verwendeten dreidimensionalen Geschwindigkeiten u, v und w sowie deren Gradienten in einer des tiefenintegrierten
Seite 328
Geschwindigkeitsfeldes nicht bekannt sind. Zur Schließung der tiefengemittelten Turbulenz
mit einfachen algebraischen Ansätzen gibt es verschiedene Möglichkeiten, die im folgenden
vorgestellt werden sollen.
15.2.1 Der Prandtlsche Mischungswegansatz
Eine naheliegende Möglichkeit zur Schließung der tiefenintegrierten turbulenten Spannungen
besteht darin, vertikale Geschwindigkeitsgradienten zu vernachlässigen und die horizontalen
dreidimensionalen Komponenten durch die tiefengemittelten Geschwindigkeiten zu ersetzen:
⎡ ∂u
1
νt = κ2 h2 ⎣2
12
∂x
2
∂v
+2
∂y
2
∂v ∂u
+
+
∂x ∂y
2 ⎤1/2
⎦
Ebenso wurde das Quadrat des Mischungsweges durch seinen tiefengemittelten Wert ersetzt.
Der Ansatz zeigt ein sehr extremes Verhalten. Er produziert nur dort turbulente Viskosität, wo das tiefengemittelte Geschwindigkeitsfeld Gradienten aufweist. Eine gradientenfreie
Strömung, wie sie etwa in einem sehr breiten, ebenen geradlinigem Gerinne auftreten würde,
wäre frei von turbulente Viskosität und somit auch turbulenter Energiedissipation.
15.2.2 Der Ansatz von Elder
Die zweite Möglichkeit besteht in der Ausnutzung der sehr guten Kenntnisse über das vertikale
Geschwindigkeitsprofil, dessen Gradienten den größten Teil der Turbulenz produzieren. Man
vernachläßigt also alle horizontalen Geschwindigkeitsgradienten
⎡
2 ⎣ ∂w
νt = lm
∂z
2
∂u
+
∂z
2
∂v
+
∂z
2 ⎤1/2
⎦
und geht davon aus, daß es nur eine Hauptströmungsrichtung gibt, welche ohne Einschränkung
der Allgemeinheit die x-Richtung sei:
2
νt = lm
∂u
∂z
Unter Verwendung des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils und der Mischungswegverteilung nach Gleichung (10.8) läßt sich die turbulente Viskosität nun über die Tiefe integrieren,
das Ergebnis ist:
1
νt = κu∗ h
6
Dieser Ansatz liefert nun vor allem dort turbulente Viskositäten, wo die Wassertiefe oder die
Sohlschubspannung sehr groß ist. Horizontale Geschwindigkeitsgradiente, wie sie z.B. in Buhnenfeldern oder an Spundwänden auftauchen, interessieren diesen Ansatz herzlich wenig.
34
30.
34
0
40.
Seite 329
34
0
50.
34
0
60.
0
59
40.
0
59
50.
0
59
60.
0
Ist - turbulente Wirbelviskositaet
IBP
HN-Verfahren Telemac-2D
59
20.
0
59
30.
0
developed by EDF, Chatou
Zeitpunkt: 13.06.1990-20:40
Topographie
mNN
-2.5
-1.25
0
1.25
2.5
turbulente Wirbelviskositaet
m**2/s
0
0
5.00
1.2
2.4
3.6
5.
10.00 km
Programm HVIEW2D
26.04.2000
Abbildung 15.1: Modellierung der tiefenintegrierten turbulenten Viskosität mit dem Ansatz
von Elder im Mündungsgebiet des Jade-Weser- Ästuars bei ablaufendem Wasser.
Seite 330
Dadurch ist theoretisch vorhergesagte Proportionalitätskonstante κ/6 in vielen Anwendungen
zu klein.
So setzt man nach den Gesetz von Elder [21]:
νt =
⎧
⎨
6.0u∗ h
⎩ 0.6u h
∗
im Strömungsrichtung
transversal zur Strömungsrichtung
Dieses ist eigentlich nach dem Verfahren von Taylor für die Stoffausbreitung hergeleitet und
auf den turbulenten Impulsaustausch übertragen worden. Abbildung 15.1 zeigt die Verteilung der tiefenintegrierten turbulenten Viskosität nach dem Ansatz von Elder im Jade-WeserGebiet. Deutlich ist dabei das Fahrwasser der Weser und damit die Tiefenabhängigkeit des
Ansatzes zu erkennen.
15.2.3 Energiedissipation in schmalen Fließgewässern
Untersucht man den relativen Einfluss der Energisdissipation durch Sohlschubspannung zur
turbulenten Viskosiät, so stellt sich heraus [48], das letztere umso größer ist, desto schmaler
das Gewässer ist.
Um dies zu beweisen, nehmen wir an, daß das Gewässer konstanter Tiefe in x-Richtung durchflossen wird, und sich lediglich ein Profil in Breitenrichtung y aufbaut. Berechnet man die
Sohlschubspannung ferner der Einfachheit halber nach dem Stricklergesetz, so wird die tiefengemittelte Energiedissipationsrate zu:
2D = νt
∂u
∂y
2
+
u3
2
h7/3 kStr
g
Nun soll die turbulente Viskosität nach Elder
νt = 0.6hu∗
berechnet und eindreieckförmiges Geschwindigkeitsprofil über die Breite B angenommen
werden:
∂u
∂y
2u
B
Damit wird die Energiedissipationsrate
1/3
2D = 2.4h
√
g 1
g 1
+ 7/3 2
u3
2
kStr B
h kStr
und das Verhältnis von Dispersion zu Bodenanteilen zu:
Dispers
2.4kStr
= √
Bottom
g
h4/3
B
2
Seite 331
Schauen wir uns einen typischen Fluss mit einer Breite von 40 m, einer Tiefe von 5 m und
einem Stricklerbeiwert von kStr = 34m1/3 s−1/2 an. Das Energiedissipationsverhältnis ist dann
Dispers /Bottom 1.2, womit die beiden Anteile gleichbedeutend sind.
Die Betrachtung kann dann sehr wichtig werden, wenn dem numerischen Verfahren noch ein
erhebliches Maß an numerischer Diffusion innewohnt. Um diese auszugleichen, muß dann die
Sohlrauheit verringert werden, womit diese u.U. nicht mehr den morphologischen Gegebenheiten entspricht.
15.2.4 Kombinierte Ansätze
Wir wollen einen Ansatz konstruieren, der sowohl die horizontalen, als auch die Wirkung der
vertikalen Geschwindigkeitsgradienten in der Berechnung der turbulenten Viskosität berücksichtigt. Naheliegend ist es, die beiden Viskositäten zu addieren, man bekommt:
⎡ ∂u
1
1
νt = κu∗ h + κ2 h2 ⎣2
6
12
∂x
2
∂v
+2
∂y
2
∂v ∂u
+
+
∂x ∂y
2 ⎤1/2
⎦
Eine exaktere Vorgehensweise zur Gewinnung eines kombinierten Ansatzes besteht in der
schon erwähnten Mittlung der turbulenten Viskosität über die Wassertiefe. Dazu wollen wir
annehmen, daß die vertikale Geschwindigkeit w vernachlässigbar ist:
νt =
2
2
2
∂v
∂u
2 ∂u
lm +
+2
∂z
∂z
∂x
vertikale
∂v
+2
∂y
2
∂v ∂u
+
+
∂x ∂y
2
horizontale Anteile
Wir entwickeln die Wurzelfunktion in eine Taylorreihe um die vertikalen Terme bis zur ersten
Ordnung:
νt =
2
2 ∂u
l
m
∂z
∂v
+
∂z
2
2
+ lm
∂u
∂x
2
∂v
+
∂y
2
∂u 2
∂z
1
+
2
∂v ∂u
+
∂x ∂y
∂v
+
∂z
2
Mit den genannten Ansätzen ist der vordere Teil nun einfach integrierbar:
zS
1
1
2
νt = κu∗ h +
lm
6
hz
B
∂u
∂x
2
∂v
+
∂y
2
∂u 2
∂z
1
+
2
∂v ∂u
+
∂x ∂y
∂v
+
∂z
2
2
dz
2
15.3. Die Sohlschubspannung auf Böschungen
Seite 332
Für den hinteren Teil wird die Integration ebenfalls einfach, wenn man annimmt, daß die horizontalen Gradienten der Horizontalgeschwindigkeiten über die Vertikale konstant sind und
ihren tiefengemittelten Werten entsprechen. In diesem Fall wandern sie vor das Integral
⎡
∂u
1
1
νt = κu∗ h + ⎣
6
h
∂x
2
∂v
+
∂y
2
1
+
2
∂v ∂u
+
∂x ∂y
2 ⎤ zS
2
lm
⎦
2 2 dz
∂u
∂v
zB +
∂z
∂z
und die verbleibende Integration bleibt eine simple Aufgabe, die uns nicht überfordern sollte:
⎡ 1
1 κ3 h3 ⎣ ∂u
νt = κu∗ h +
2
6
40 u∗
∂x
2
∂v
+2
∂y
2
∂v ∂u
+
+
∂x ∂y
2 ⎤
⎦
(15.3)
In der Literatur wurde bisher entweder der horizontale oder der vertikale Anteil vergessen.
15.3 Die Sohlschubspannung auf B öschungen
Eine Anwendung der tiefengemittelten Turbulenzmodellierung besteht in der Bestimmung der
Sohlschubspannung auf den Böschungen von Fließgewässern. Die sehr längliche Herleitung
hat der Autor in seiner Habilitationsschrift [49] entwickelt.
15.3.1 Die Definition der Sohlschubspannung
Die Sohlschubspannung τB ist die in der Sohlfläche wirkende innere Spannung. Daher berechnet sie sich aus der Projektion des Tensors der inneren Spannungen P auf den Normaleneinheitsvektor nB der Sohle:
τB = −P nB
Da der Normaleneinheitsvektor der Sohle aus dem Wasserkörper weist, ist ein Minuszeichen
erforderlich, um die Spannungen in den Wasserkörper hinein zu bestimmen.
Im einfachsten Fall ist die Sohle eine horizontale Ebene. Der Normaleneinheitsvektor ist in
diesem Fall nB = (0, 0, −1)t und die Sohlschubspannung wird zu
Seite 333
⎛
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
μ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∂u ∂w
+
⎜
∂x ⎟
⎜ ∂z
⎟
τB =
∂v ∂w
+
∂z
∂y
∂w
∂z
Da senkrecht zur Sohle keine Geschwindigkeiten möglich sind (w B = 0), könnte man annehmen, daß auch die Gradienten der Vertikalgeschwindigkeit verschwinden. In diesem Fall
wirkt die Sohlschubspannung parallel zur Sohle und ist nur durch die vertikale Steigung der
Horizontalgeschwindigkeiten bestimmt. Tatsächlich ist die Sohlschubspannung allerdings wesentlich größer, weil die Gradienten der Vertikalgeschwindigkeit eben nicht verschwinden,
obwohl die Strömungsgeschwindigkeit direkt an der Sohle Null ist. Verantworlich hierfür sind
wirbelartige kohärente Strukturen, die man als Bursts bezeichnet.
Über allgemeinen unebenen Sohlen muß der Normaleneinheitsvektor der Sohle in seiner
vollständigen Schönheit nach Gleichung (14.2) verwendet werden. Damit hat der Sohlschubspannungsvektor im kartesischen Koordinatensystem die drei Komponenten:
μ
τB = 2
2
∂z
(x,
y)
∂z
(x,
y)
B
B
1 +
+
∂x
∂y
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2
∂u ∂zB
∂u ∂w
∂u ∂v
+
−2
−
+
∂z
∂x
∂x ∂x
∂y ∂x
∂v
∂z
2
∂zB
∂y
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
∂w
∂v ∂zB
∂v ∂u ∂zB
⎟
⎟
+
−
+
−2
⎟
∂y
∂x ∂y ∂x
∂y ∂y
⎟
⎟
⎟
⎟
∂w ∂u ∂zB
∂w ∂v ∂zB ⎟
⎠
∂w
−
∂z
∂x
+
∂z
∂x
−
∂y
+
∂z
∂y
Da die Geschwindigkeit an der Sohle konstant (Null) ist, gilt für die Richtungsableitungen in
tangentialer Richtung zur Wand:
∂u
:= ti grad u = 0
∂ ti
Damit erhält man durch Einsetzen sofort die nützlichen Beziehungen:
∂u ∂zB
∂u =−
∂x B
∂z B ∂x
(15.4)
Seite 334
∂u ∂u ∂zB
=−
∂y B
∂z B ∂y
Wir verwenden sie, um sechs partielle Ableitungen zu eliminieren. Dabei entscheiden wir uns
für die Elimination aller Ableitungen in horizontaler Richtung und erhalten nach kurzweiliger
Rechnung:
μ
τB = 2 2
∂zB (x, y)
1 + ∂zB (x, y)
+
∂x
∂y
⎛
⎛
⎜ ∂u ⎝1 + 2 ∂zB
⎜
∂x
⎜ ∂z
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2
∂zB
+
∂y
⎞
2 ⎞
∂v ∂zB ∂zB
∂w ∂zB ⎟
⎠+
−
∂z ∂x ∂y
∂z ∂x ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎛
2
2 ⎞
⎟
∂zB
∂zB ⎠ ∂w ∂zB ⎟
∂u ∂zB ∂zB ∂v ⎝
⎟
+
1+
+2
−
∂z ∂x ∂y
∂z
∂x
∂y
∂z ∂y ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎛
⎞
⎟
2 2
⎟
∂u ∂zB
∂v ∂zB ∂w ⎝
∂zB
∂zB ⎠ ⎟
⎠
2+
+
−
−
+
∂z ∂x
∂z ∂y
∂z
∂x
∂y
und dann für die vollständigen Komponenten der Sohlschubspannung:
τBx = μ
∂u
+
∂z
2 2
∂zB (x, y)
∂zB (x, y)
1 +
+
∂w ∂zB ∂x
∂y
2
∂z ∂x ∂zB (x, y)
1+
∂x
τBy = μ
∂v
+
∂z
2
2
∂zB (x, y)
∂zB (x, y)
1 +
+
∂x
∂y
∂w ∂zB 2
∂z ∂y ∂zB (x, y)
1+
∂y
Die mächtigen Wurzeln können wir durch die Anwendung der Neumanschen Reihe vereinfachen, man erhält:
τBx
und
∂u ∂w ∂zB
=μ
+
∂z
∂z ∂x
∂zB (x, y)
1+
∂y
2
τBy
Seite 335
∂w ∂zB ∂v
+
=μ
∂z
∂z ∂y
∂zB (x, y)
1+
∂x
2
In diesen Gleichungen tauchen als differentielle Größen das vertikale Geschwindigkeitsprofil für alle drei Geschwindigkeitskomponenten sowie der Gradient der Sohlneigung auf. Die
Sohlschubspannung ist somit das Produkt (nicht im algebraischen Sinne) aus zwei recht unterschiedlichen physikalischen Entitäten:
• das Geschwindigkeitsprofil an der Sohle als hydrodynamische Einflußgröße
• und die lokale Sohlneigung als morphologische Größe.
Kennt man also das Geschwindigkeitsprofil direkt an der Sohle und die Geometrie derselben
vollständig, dann kann man auch die Sohlschubspannung exakt berechnen. Dies versucht man
in der Direkten Numerischen Siumlation, in der das Berechnungsgitter so fein ist, daß alle
Strömungsmuster aufgelöst werden. Für naturnahe Gewässer ist eine direkte numerische Simulation aber u.a. wegen der sehr heterogenen Beschaffenheit der Sohle aus Bewuchs und
Sedimenten praktisch unmöglich, nicht nur deshalb, weil der Bedarf an Computerresourcen
zu hoch ist, sondern auch deshalb, weil sich die Sohlstruktur fortwährend verändert und in der
erforderlichen Exaktheit nicht bekannt ist.
Diese Bestimmungsgleichungen werden vielen mit der Hydrodynamik schon vertrauten Lesern sehr unvertraut vorkommen. Aber man beruhige sich, denn für einen horizontalen Boden
ergeben sich die vertrauteren Beziehungen
τBx = μ
∂u
∂z
τBy = μ
∂v
∂z
Im exakten als auch im vereinfachten Fall läßt sich die Sohlschubspannung vollständig aus
dem vertikalen Geschwindigkeitsprofil und der Bodenform berechnen.
Der unter dem Fluid anstehende Boden besteht zu einem nicht vernachlässigbaren Anteil aus
Feststoffen und wird sicherlich durch andere inneren Spannungen beherrscht, als die vornehmlich aus Wasser bestehende Wassersäule. Wir wollen aber annehmen, daß sich auch der Boden
als reales Fluid beschreiben läßt, dessen innere Spannungen durch einen Tensor PS (’S’ wie
Sediment) beschrieben werden. In diesem Fall fordert die Stetigkeit des Impulsflusses an der
Kontaktfläche, daß
−P nB = PS nS
Seite 336
gilt. Diese sehr evident erscheinende Gleichung birgt wichtige Implikationen in sich, die kurz
diskutiert werden sollen. Zunächst sei auf die Umkehrung des Vorzeichens aufmerksam gemacht, die allerdings lediglich aus der Umkehrung der Richtung des Normalenvektors resultiert. Im wesentlichen besagt die Gleichung aber, daß man die Sohlschubspannung sowohl mit
Hilfe des viskosen Spannungstensors in der Wassersäule aber genauso gut auch mit Hilfe der
rheologischen Eigenschaften der Sohle berechnen kann, auch wenn beide Materialien rheologisch vollkommen unterschiedlich sind. In beiden Fällen sollten sich für die Sohlschubspannung dieselben Werte ergeben. Es sei schließlich darauf hingewiesen, daß die beiden Spannungstensoren von Wassersäule P und Sohle PS an der Grenzfläche quantitativ nicht in allen
Komponenten übereinstimmen müssen, eine Gleichheit gilt lediglich in der Projektion auf den
Flächennormalenvektor.
15.3.2 Die Sohlschubspannung mit reynoldsgemittelten Größen
In der Regel kennt man nur die über einen gewissen Zeitraum gemittelten, turbulenzfreien Geschwindigkeiten. Man kann nun versuchen, die Sohlschubspannung ebenfalls durch die Projektion des Reynoldsspannungstensors auf die Sohlfläche zu berechnen. Berechnet man diesen
durch das Wirbelviskositätprinzip, so ergäbe sich für eine ebene Sohle:
⎛
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
νt ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
∂u ∂w
⎜ ∂z + ∂x ⎟
⎜
⎟
τB =
∂v ∂w
+
∂z
∂y
∂w
∂z
Da die Wirbelviskosität aber an der Sohle Null ist, würde dieser Berechnungsansatz fälschlicherweise keinerlei Belastung der Sohle erbringen. Wir müssen uns also einen anderen Weg
zur Bestimmung der Sohlschubspannung überlegen.
2
15.3.3 Die Strömungsbelastung auf Böschungen
Sowohl um die Morphodynamik der Fließgewässer mit unebenen Sohlen zu verstehen als auch
um die Ufersicherung im Böschungsbereich zu dimensionieren, benötigt man die Berechnung
der Sohlschubspannung an Orten mit steilen Sohlgradienten. Dabei zeigt es sich, daß eine
einfache Berechnung z.B. mit dem Nikuradsegesetz nicht hinreichend ist. Dies liegt daran,
daß diese Ansätze nur von der Strömungsgeschwindigkeit und der Wassertiefe abhängig sind,
nicht aber, wie es die exakte Formulierung verlangt, von den Gradienten des Geschwindigkeitsfeldes. Um diese Eigenschaft zu verbessern, gehe man von der exakten Formulierung der
Sohlschubspannung in tiefengemittelten Modellen aus:
15.4. Das tiefenintegrierte k--Modell
τB = nB
Seite 337
2
∂z
(x,
y)
B
P 1 +
∂x
∂zB (x, y)
+
∂y
⎛
=
2
∂u ∂w
∂u ∂v
∂u ∂zB
⎜
+
−
2
−
+
⎜ ∂z
∂x
∂x ∂x
∂y ∂x
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
ν⎜
∂v ∂w
∂v ∂u
+
−
+
∂z
∂y
∂x ∂y
⎞
∂zB
⎟
∂y ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
∂v ∂zB ⎟
⎠
∂zB
−2
∂x
∂y ∂y
Die vertikalen Geschwindigkeitsgradienten kann man nun durch das Schubspannungsgesetz
von Nikuradse ersetzen. Die Gradienten der vertikalen Geschwindigkeit vernachlässigen wir.
Die Gradienten der horizontalen Geschwindigkeitskomponenten an der Sohle kann man durch
die Gradienten der tiefengemittelten Geschwindigkeit approximieren. Dann erhält man den
neuen Ansatz:
⎛
τB =
κ2
⎜ 2 u
⎜
⎜ ln 12h
ks
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
κ2
⎜
⎝ 2 v
ln 12h
ks
u2
+
v2
− νt
u2 + v 2 − νt
∂u ∂v
∂u ∂zB
+
+
2
∂x ∂x
∂y ∂x
∂zB
∂y
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
∂u ∂zB
∂v ∂zB ⎟
⎟
+2
⎠
∂v
+
∂x ∂y
∂x
(15.5)
∂y ∂y
Ferner haben wir die molekulare Viskosität durch die tiefengemittelte turbulente Viskosität
ersetzt.
15.4 Das tiefenintegrierte k--Modell
Zur Turbulenzmodellierung in tiefenintegrierten Strömungen haben Rastogi und Rodi [65]
eine angepaßte Form des k--Modells entwickelt. Es besteht aus den auf zwei Dimensionen
reduzierten Transportgleichungen für die tiefenintegrierte turbulente kinetische Energie k und
deren Dissipation :
νt
1
∂k
+ ugrad k = div grad k + P : grad u + Pkv − ∂t
σk
(15.6)
νt
2
∂
+ ugrad = div grad + C1
P : grad u + P v − C2
∂t
σ
k
k
Seite 338
Dabei wurden in jeder Gleichung je ein Zusatzterm Pkv und P v eingefügt, der die Wirkung der
vertikalen Integration auf die entsprechende Turbulenzgröße beschreibt. Wir haben P kv schon
kennengelernt und modelliert. Auch P v soll die fehlenden Vertikalterme kompensieren, d.h.
die Turbulenzdissipation durch das vertikale Geschwindigkeitsprofil beschreiben.
Rastogi und Rodi modellieren die beiden Zusatzterme folgendermaßen: Da hierbei der große
Teil der Dynamik an der Sohle stattfindet, wird davon ausgegangen, daß die Terme Funktionen
der Sohlschubspannungsgeschwindigkeit u ∗ sind. Eine Dimensionsanalyse ergibt:
Pkv = ck
u3∗
h
und P v = c
u4∗
h2
wobei zwei neue Parameter ck und c eingeführt wurden.
Die turbulente Viskosität berechnet sich dann in Analogie zum dreidimensionalen als
νt = cμ
k2
.
Für den Parameter ck ergibt sich aus der soeben gemachten Analyse der Turbulenzproduktion
im logarithmischen Geschwindigkeitsprofil:
ck
1
√
r
Dies zeigt, daß der Parameter ck keine Konstante ist, denn für jedes andere Schubspannungsgesetz bleibt eine Abhängigkeit von der Wassertiefe h.
Die Kalibrierung des Parameters c erfordert wieder empirischen Input. Zunächst geht man
wieder von gleichförmigen Abfluß aus, die -Gleichung wird dann zu:
c
u4∗
2
=
c
2
h2
k
Die TKE-Dissipation wird durch die vereinfachte k-Gleichung und u ∗ durch ein Sohlschubspannungsgesetz eliminiert. Ferner soll die turbulente Viskosität des k--Modells der tiefenintegrierten turbulenten Viskosität entsprechen,
νt = cμ
k2
= 0.0765u∗h
wodurch auch k eliminiert werden kann. Man erhält für c schließlich,
c = 3.6
c2 √
cμ
r 3/4
womit das tiefenintegrierte k--Modell geschlossen ist.
Abbildung 15.2 zeigt die entsprechenden Ergebnisse für die turbulente Viskosität für den Jadebusen mit dem k--Modell. Tatsächlich sind die Spitzenwerte mehr als eine Zehnerpotenz
kleiner als die mit dem Eldermodell berechneten. Das k--Modell berechnet jedoch entlang
der Fahrrinnen gleichmäßiger verteilte Viskositäten.
34
30.
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0
40.
Seite 339
34
0
50.
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0
60.
0
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0
59
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0
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0
IBP
59
20.
0
59
30.
0
Zeitpunkt: 13.06.1990-20:40
Topographie
mNN
-2.5
-1.25
0
1.25
2.5
m**2/s
0
0
5.00
.05
.10
.15
.2
10.00 km
Programm HVIEW2D
28.04.2000
Abbildung 15.2: Modellierung der tiefenintegrierten turbulenten Viskosität mit dem tiefenintegrierten k--Modell im Mündungsgebiet des Jade-Weser- Ästuars bei ablaufendem Wasser.
15.6. Die Energiedissipation über langen Sohlwellen
Seite 340
15.5 Der Smagorinskyansatz
In einigen neueren Anwendungen der tiefenintegrierten Simulation wird der Smagorinskyansatz zur Modellierung der turbulenten Viskosität verwendet. Hierzu wird dieser auf die horizontale Ebene projiziert, d.h. die vertikalen Gradienten werden weggelassen:
⎡ ∂u
νt = (cs Δ)2 ⎣2
∂x
2
∂u ∂v
+
+
∂y ∂x
2
∂v
+2
∂y
2 ⎤1/2
⎦
Δ ist dabei wieder ein Maß für die Gitterweite, in rechteckigen Gittern wird er mit dem Abstand zweier Knoten identifiziert, in Dreiecksgittern oftmals mit dem Radius des Außenkreises
eines Dreiecks.
Über den Parameter cs liegen in der Fachliteratur für tiefenintegrierte Modelle bisher nur sehr
wenig Erfahrungen vor. So hat der Autor für ein Modell des Jade-Weser-Ästuars die beste
Übereinstimmung mit der realen Tidedynamik für c s = 0.06 erzielt. Abbildung 15.3 zeigt dabei die Ergebnisse für die turbulente Wirbelviskosität bei Ebbe im Bereich der Jade. Auffällig
ist dabei die geometrische Strukturierung mit besonders niedrigen Werten in der Innenjade und
des Jadebusens und der Weser unterhalb von Bremerhaven (blaue Farben). Diese Werte haben
ihre Ursache in der feineren Diskretisierung in diesen Gebieten. In den übrigen Bereichen sieht
man insbesondere das Fahrwasser der Außenweser abgebildet. Dabei ist die tiefe Rinne durch
geringere, während die Ränder durch höhere turbulente Viskositäten ausgezeichnet sind. Hier
wird also der Einfluß der höheren Geschwindigkeitsgradienten an den Böschungen bemerkbar. Auch dies spiegelt nicht das tatsächliche Verhalten der turbulenten Viskosität wieder, da
sich die Turbulenz sich in den tieferen Bereichen wesentlich besser ausbilden kann als in den
flacheren. Zudem besitzen die Böschungen lediglich Sohlneigungen von 1:30, so daß die vom
Modell produzierte höhere Turbulenz auch nicht durch die Ausbildung einer Grenzschicht erklärt werden kann.
Der Smagorinskyansatz scheint also in dieser Form nicht für die Modellierung der turbulenten
Viskosität in einem tiefengemittelten Modell geeignet zu sein, da er zu stark von der lokalen
Diskretisierungsweite abhängig ist. Das ist in der LES kein Problem, da dort in der Regel äquidistant aufgelöst wird. Bei der tiefenintegrierten Simulation kann es aber bei der Anwendung
unstrukturierter Gitter zu einer Verteilung der turbulenten Viskosität kommen, die im wesentlichen nur noch die lokale Gitterweite darstellt. Ferner reproduziert er die Abhängigkeit des
Maßes der Turbulenz von der Sohlrauheit und der Wassertiefe nicht.
15.6 Die Energiedissipation über langen Sohlwellen
Wir wollen als Anwendung des Gelernten die Dissipation von Strömungsenergie über einer
sinusförmigen Sohle berechnen, so wie dies beim Vorkommen von Dünen in natürlichen Sy-
34
30.
34
0
40.
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34
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IBP
59
20.
0
59
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0
Zeitpunkt: 13.06.1990-20:40
Topographie
mNN
-2.5
-1.25
0
1.25
2.5
m**2/s
0
0
5.00
12.
24.
36.
50.
10.00 km
Programm HVIEW2D
30.03.2000
Abbildung 15.3: Modellierung der tiefenintegrierten turbulenten Viskosität mit dem Smagorinskyansatz im Mündungsgebiet des Jade-Weser- Ästuars bei ablaufendem Wasser.
Seite 342
stemen der Fall ist. Hiermit sind zwei für die hydrodynamische Simulation wichtige Fragestellungen verbunden:
• Ist ein tiefengemitteltes Modell in der Lage, die Wirkung von solchen Sohlwellen oder
Dünen auf die Hydrodynamik richtig zu erfassen, wenn nur diese Strukturen im darunterliegenden digitalen Geländemodell aufgelöst sind ?
• Wie kann man die Wirkung der Sohlwellen und Dünen auf die Hydrodynamik ersatzweise berücksichtigen, wenn diese im digitalen Geländemodell nicht aufgelöst sind ?
Sohlwellen modulieren die mittlere Lage der Sohle zB sinusförmig mit einer Amplitude Δ d /2:
zB (x) = zB −
Δd
cos(kd x)
2
Die freie Oberfläche sei nahezu horizontal und nicht durch die darunter liegenden Dünen beeinflußt (Froudezahl etwa Null), die Wassertiefe ist dann:
h(x) = h +
Δd
cos(kd x)
2
Ihre Wellenlänge ist λd = 2π/kd , und ihre Steilheit Δd /λd sei so klein, daß sich hinter ihren
Spitzen keine Ablösung der Strömung bildet, also keine zusätzliche Turbulenz entsteht.
15.6.1 Dissipation im tiefengemittelten Strömungsfeld
Wir betrachten zunächst eine stationäre tiefengemittelte Strömung mit konstantem spezifischen Durchfluß q:
u(x) =
q
uh
=
h(x)
h(x)
Wir wollen davon ausgehen, daß der wesentliche Teil der Energiedissipation nun nicht durch
die Sohlschubspannung, sondern durch die Geschwindigkeitsgradienten bewirkt wird. Dann
ist die Energiedissipation nach (14.13):
2D = hνt
∂u ∂u/h
∂x ∂x
Bestücken wir die tiefengemittelte turbulente Viskosität mit dem Taylorgesetz für die Sohlschubspannung, dann wird die Energiedissipation über der Sohlwelle zu:
2D = h
Die Mittlung über die Länge der Sohlwelle
κ √ ∂u ∂u/h
ru
6
∂x ∂x
Seite 343
0 ,0 0 7
E n g e lu n d ( 1 9 7 7 )
v a n R ijn ( 1 9 9 3 )
M a lc h e r e k ( 2 0 0 4 )
0 ,0 0 6
T a y lo r k o e ffiz ie n t [1 ]
0 ,0 0 5
0 ,0 0 4
0 ,0 0 3
0 ,0 0 2
0 ,0 0 1
0
0
0 ,0 2
0 ,0 4
0 ,0 6
0 ,0 8
0 ,1
0 ,1 2
0 ,1 4
0 ,1 6
0 ,1 8
0 ,2
D ü n e n h ö h e / W a s s e r tie fe
Abbildung 15.4: Die Formrauheitsbeiwert von Taylor für Dünen der Steilheit Δ d /λd = 1/36.
Dargestellt sind die Ansätze von Engelund und van Rijn sowie die Dissipation im durch die
Dünen modulierten logarithmischen Geschwindigkeitsfeldes (r = 0.001).
2D
1
=
λd
λd
2D dx
0
kann mit einem Mathematikprogramm recht einfach bewerkstelligt werden. Man erhält:
2D
√ 2
r Δd 3
= 21.58
u (4 − (Δd /h)2 )−5/2
h λ2
Wir wollen nun untersuchen, wie man die dissipierende Wirkung der Sohlwellen berücksichtigen kann, wenn man diese nicht in seinem digitalen Geländemodell erfaßt hat. Da die tiefengemittelten Impulsgleichungen ( ??) keinen eigenständigen Term für die Energiedissipation
enthalten, bietet sich nur der Kunstgriff an, die Wirkung der Dünen in die Sohlschubspannung
zu integrieren. Dabei darf allerdings nicht vergessen werden, daß dieser Term dann eben nicht
mehr die auf die Sohle wirkende Spannung beschreibt. Verwendet man Taylorbeiwerte, dann
ergibt ein Vergleich mit den Formeln in Tabelle ??:
√ Δ2d
rd = 21.58 r 2 (4 − (Δd /h)2 )−5/2
λd
Seite 344
Diese künstliche, eigentlich eine in der Wassersäule stattfindende Energiedissipation wird als
Formrauheit der Dünen bezeichnet. Sie wächst mit der Rauheit des anstehenden Bodens r,
welches in diesem Fall die Kornrauheit ist. Sie sinkt mit dem Verhältnis von Dünenhöhe zu
Wassertiefe, dies allerdings nur unwesentlich. Und drittens steigt sie mit der Steilheit der Düne
Δd /λd . Langwellige, flache Dünen gehen also irgendwann einmal in Topographieunebenheiten über.
Die mit diesem Ansatz berechneten Taylorbeiwerte liegen für typische Dünenverhältnisse in
der Größenordnung 10-5 . Diese sind nicht mit dem von Engelund 1977 (zitiert nach [67])
veröffentlichten Ansatz
rd =
5 Δ2d −2.5Δd /h
e
4 λh
bzw. ksd = 12he−κ/
Δ2
5 d −2.5Δd /h
e
4 λh
für den Taylorbeiwert zu vergleichen, wie man der Abbildung 15.4 entnehmen kann. Dies
zeigt, daß der aus den durch die Dünen modulierten tiefengemittelten Geschwindigkeiten ermittelte Taylorbeiwert die Energiedissipation im Geschwindigkeitsfeld über Dünen weit unterschätzt. Der Ansatz von Engelund enthält allerdings keine Abhängigkeit von der Kornrauheit des Dünenmaterials.
Noch höhere Taylorbeiwerte liefert der Ansatz von van Rijn [67]
ksd
−25Δd /λd
= 0.77Δd 1 − e
2
bzw. rd = κ
15.58h
ln
Δd (1 − e−25Δd /λd )
−2
(15.7)
dessen zugeordneter Taylorbeiwert ebenfalls dargestellt ist.
Wir halten als erstes Ergebnis dieses Abschnittes fest, daß die Energiedissipation über Sohlwellen, wie sie Dünen darstellen, in einem tiefengemittelten Modell auch dann nicht simuliert
werden kann, wenn die Dünen vollständig im Geländemodell aufgelöst werden.
15.6.2 Dissipation im modulierten logarithmischen Geschwindigkeitsfeld
Wir wollen nun versuchen, den empirischen Befund über die Dünenrauheit auch theoretisch
noch besser zu approximieren. Dazu betrachten wir die in Abbildung 15.5 angenommene vertikale Struktur des Geschwindigkeitsfeldes. Sie sei an jedem Ort der Sohlwelle logarithmisch,
wird aber von der vertikalen Lage der Sohle verformt. Hierdurch entstehen gerade im unteren
Bereich horizontale Gradienten der Geschwindigkeit, die im tiefengemittelten Bild nicht zu
sehen sind.
Diesen in Fließrichtung unterschiedlichen logarithmischen Geschwindigkeitsprofilen ist eine
Eigenschaft gemein: Sie stellen überall den gleichen spezifischen Durchfluß q = uh dar. Für
große Bedeckungszahlen kann man die tiefengemittelte Geschwindigkeit des logarithmischen
Profils nach Gleichung (??) als
Seite 345
h
Dd
zB
ld
Abbildung 15.5: Die Modulation des logarithmischen Geschwindigkeitsprofils über Dünen.
u=
u∗ (x) h(x)
ln
κ
z0
approximieren und bekommt hieraus das örtlich variable Geschwindigkeitsfeld:
u(x, z) =
z
u∗ (x)
ln
κ
z0
mit u∗ (x) =
uh
h(x) ln h(x)
z0
Die Energiedissipation bzw. Turbulenzproduktion in diesem Strömungsfeld ist lediglich durch
die Gradienten der Hauptströmung u in horizontaler und vertikaler Richtung geprägt:
Pk =
⎡ 2
∂u
νt ⎣2
∂x
∂u
+
∂z
2 ⎤
⎦
mit νt (z) = κu∗ (z − zB ) 1 −
z − zB
h
Die Turbulenzproduktion durch den vertikalen Geschwindigkeitsgradienten wird nach Gleichung (15.1) schon durch die Sohlschubspannung beschrieben. Nach der Mittlung über die
Wassertiefe bleibt der Ausdruck
2D
1
=
hz
h
2νt
B +z0
∂u
∂x
2
dz +
u τB (x)
h
zu berechnen. Wie vorher wollen wir diesen Ausdruck über die Sohlwellenlänge mitteln. Nach
einigen Vereinfachungen bekommt man mit Hilfe eines Mathematikprogrammes das Ergebnis:
2D =
2π 2 Δ2d u3
5 Δd
f
(ln(h/z
))
+
1
+
0
4 h
hκλ2d
u τB (x)
h
Seite 346
mit
f (ξ) =
19 + 170ξ − 77ξ 2 + 6ξ 3 + 18ξ 4
216ξ 5
1
12ξ
für ξ > 1
Da
κ
ln(h/z0 ) = √ + 0.926
r
√
⇒
f (ln(h/z0 ))
r
√
4.92 + 11.11 r
ergibt sich die Gesamtrauheit der überströmten Sohlwellen als
√
r
2π 2 Δ2d
5 Δd
√ + 1+
r
ref f =
2
κλd 4.92 + 11.11 r
4 h
und die Dünenrauheit als:
√
5 Δd
r
2π 2 Δ2d
√ +
r
rd =
2
κλd 4.92 + 11.11 r 4 h
(15.8)
Sie besteht aus zwei Anteilen. Der erste Summand steigt quadratisch mit der Dünensteilheit,
der zweite Summand die auf die Wassertiefe bezogene relative Dünenhöhe.
15.6.3 Zur Kombination von Einzelrauheiten
Die vorangegangene Analyse zeigt zweierlei: Erstens setzt sich die die Gesamtrauheit als Summe der einzelnen Taylorbeiwerte zusammen. Dies entspricht der These von Einstein und Banks
[20], die postuliert haben, daß man die aus den Einzelrauheiten sich ergebenden Einzelsohlschubspannungen addieren muß.
Zum zweiten ist die Rauheit der großskaligen Dünen von der kleinskaligen Kornrauheit
abhängig:
ref f = rg + rd (rg )
Die erste Aussage widerspricht der These von van Rijn [67], der vorschlägt, die effektive
Sohlrauheit als Summe der äquivalenten Rauheiten nach Nikuradse zu berechnen, in unserem
Falle also:
ksef f = ksg + ksd
Da aber die Summe der effektiven Sohlrauheiten nach Nikuradse sich nicht aus der Summe
der Einzelrauheiten nach Taylor berechnen läßt, also
√
rg +rd
ksef f = 12he−κ/
√
rg
= 12he−κ/
√
rd
+ 12he−κ/
= ksg + ksd
Seite 347
muß ein Verfahren richtiger als das andere sein. Nun besitzt gerade die effektive Sohlrauheit
nach Nikuradse zwei wichtige Vorteile, sie hat die Einheit einer Länge und ist mit dem logarithmischen Geschwindigkeitsprofil kompatibel. Dies macht eine Berechnung der Sohlschubspannung sowohl in dreidimensionalen als auch tiefengemittelten Modellen mit demselben Ansatz
möglich. Im Gegensatz dazu ist der Taylorkoeffizient dimensionslos, d.h. zur Beschreibung
einer Rauheit denkbar ungeeignet und im logarithmischen Geschwindigkeitsprofil wassertiefenabhängig.
Damit bietet sich folgendes Rechenverfahren zur Bestimmung der Sohlrauheit in tiefengemittelten Modellen an:
1. Berechnung der Kornrauheit aus einem repräsentativen Korndurchmesser etwa nach
ksg = 3dm und Umrechung in einen Taylorbeiwert rg .
2. Berechnung der Riffelrauheit nach Gleichung (??) und Umrechnung in einen Taylorbeiwert rr .
3. Berechnung des Taylorbeiwertes der Dünenrauheit nach Gleichung (15.8).
4. Summation der Taylorbeiwerte der Einzelrauheiten zu einem effektiven Taylorbeiwert
ref f .
5. Umrechnung in eine effektive Sohlrauheit nach Nikuradse und Verwendung im tiefengemittelten Modell.
Die Modellierung der Turbulenz in tiefenintegrierten Modellen hat das vornehmliche Ziel, die
Energiedissipation durch Turbulenzproduktion mit den ihnen zur Verfügung stehenden Größen
naturähnlich abzubilden. Dabei übernimmt die Sohlschubspannung den Anteil der Energiedissipation aus dem logarithmischen Geschwindigkeitsprofil.
Die Energiedissipation der horizontalen Geschwindigkeitsgradienten wird durch die tiefengemittelte turbulente Viskosität gesteuert. Ihre Modellierung lehnt sich eng an die der RANS an.
Aus dem Mischungswegmodell wurde der Ansatz von Elder hergeleitet, das k--Modell besitzt ein tiefengemitteltes Analogon, ein tiefenintegriertes k-ω-Modell wurde hier bisher nicht
verwendet. Das Smagorinskymodell aus der LES sollte zur tiefenintegrierten Turbulenzmodellierung nicht verwendet werden. Die mit ihm berechneten Wirbelviskositäten sind extrem
gitterabhängig und zeigen keine Zunahme der Turbulenzintensität mit der Tiefe oder der Sohlrauheit.
Bezüglich der quantitativen Abschätzung der tiefenintegrierten Wirbelviskosität gibt es noch
große Unsicherheiten. Dies liegt daran, daß man zu ihrer Bestimmung eigentlich den turbulenten Spannungstensor und nicht die Wirbelviskosität allein tiefenintegrieren muß.
Seite 348
Es ist jedoch nicht zulässig, in einem tiefenintegrierten Strömungsmodell konstante Wirbelviskositäten zu verwenden.
Kapitel 16
Sekundärströmungen in Kurven
Die allgemeine Geologie unterscheidet drei Formen von Flussläufen: In steilen Gebieten ist der
Flusslauf annähernd geradlinig. Treten große Schwankungen in Abfluss und Sedimentfracht
auf, dann ist der Flusslauf verflochten und besteht aus verzweigten Armen. Flachlandflüsse
mit unverfestigten leicht erodierbaren Böden sind mäanderförmig d.h. gewunden.
Die Beantwortung der Frage, warum naturnahe Flussläufe eine Tendenz aufweisen, kurvige
Formen auszubilden, setzt einedetaillierte Untersuchung der hydrodynamischen Verhältnisse
in Kurven voraus. Die ersten Betrachtungen zu diesem Thema gehen auf Leonardo da Vinci
zurück, aber erst Boussinesq [5] hat hierzu theoretische Analysen gemacht. Rozovskii [70] hat
in seiner fundamentalen Monographie zum Thema folgende Phänomene identifiziert:
• eine Querneigung des Wasserspiegels
• eine Querzirkulation als Sekundärströmung
• eine neue Verteilung der Hauptströmung über Tiefe und Breite
• ein Verlust an kinetischer Energie
• Ablöseerscheinungen in scharfen Kurven
16.1 Zur Empirie der Mäander
Bevor wir uns an die komplexen Strömungsmuster in einer Flusskurve heranwagen, wollen
wir zunächst das zusammentragen, was man darüber weiss, wo Mäander entstehen.
Dabei bezeichnet man einen Fluss als Mäander [9], wenn seiner Sinuosität, d.h. das Verhältnis
von rektifizierter Länge zu geradlinigem Talweg größer als 1.5 ist. Die Sinuosität variiert von
Fluss zu Fluss.
Dabei geht ein Fluss nach Henderson [30] von der verzweigten in die mäandrierende Form
über sobald das Gerinnegefälle den Wert
349
16.2. Koordinatensysteme
Seite 350
B
LM
bM
R
Abbildung 16.1: Begriffe zum Mäander nach DIN 4049.
−0.44
I < 0.52d1.14
50 Qb
unterschreitet. Darin ist Qb der bordvolle Abfluss in m3/s und der Mediankorndurchmesser
wird in Metern angegeben. Nach diesem Zusammenhang bildet sich ein mäanderförmiger Verlauf umso eher aus, desto größer das Sohlkorn und desto geringer der Abfluss ist.
Zur Bestimmung des Verhältnisses von Krümmungsradius R zu Breite B werteten Leopold
et al. 50 unterschiedliche Flüsse aus und fanden das Verhältnis 1.5 – 4.3 für zwei drittel der
Flüsse mit einem Medianwert von 2.7, d.h. R 2.7B.
Da der Krümmungsradius für die sehr unregelmäßigen Schleifen allerdings nicht eindeutig zu
bestimmen ist, kann man die Geometrie des Mäanders auch durch die Mäanderbreite b M und
die Mäanderlänge LM charakterisieren. Für diese beiden Größen gilt
LM [m]
60 Q
bM [m]
10 Q
und:
Die in die Landschaft eingeschriebenen Schwingungen des Mäanders werden also mit zunehmenden Abfluss breiter und länger.
Bei all diesen Formeln handelt es sich nur um Abschätzungen aus einer Vielzahl von Untersuchungen. Eine exakte Prognose der Ausgestaltung eines Flusses durch Mäander ist nicht
möglich.
16.2 Koordinatensysteme
Das alttestamentarische ’Auge um Auge’ erscheint dem heutigen rational denkenden Erdenbewohner als anrüchig kriegstreibend. Betrachtet man es aber vor dem Hintergrund einer noma-
Seite 351
disch geprägten Welt, die eine Befriedigung von Rachegelüsten immer mit dem Faktor sieben
in Zusammenhang brachte, erhält es nahezu humanistische Züge. Die Bewertung des moralischen Grundsatzes hängt somit vom kulturellen Bezugssystem des Bewerters ab. Diese kleine
Parabel soll in Erinnerung rufen, welche fundamentale Bedeutung der Untersuchung von Bezugssystemen und deren Einfluß auf Kommunikation und Erkenntnis zukommt.
In der Physik bezeichnet man räumliche Bezugssysteme als Koordinatensysteme. Sie sind Namensgeber für Orte im Raum (bzw. für Ereignisse in Raum und Zeit) und stellen eine Basis
für den Informationsaustausch über Ereignisse zur Verfügung. Sie haben mit physikalischen
Eigenschaften zunächst nichts zu tun. Daher sind alle Koordinatensysteme prinzipiell gleichwertig und eine fundamentale Forderung der Physik besteht darin, daß sich am Inhalt eines
Naturgesetzes beim Wechsel des Koordinatensystems nichts ändert. Diese Forderung kann
man zum Programm erheben, indem man koordinatenunabhängige Beschreibungen der Naturgesetze sucht.
Koordinatensysteme haben einen Ursprungs- oder Nullpunkt und eine geometrische Struktur. Unterscheiden sich zwei Koordinatensysteme nur durch ihren Nullpunkt, kann man sie
durch eine lineare Transformation ineinander überführen. Weisen die Nullpunkte eine Bewegung zueinander auf, spricht man dabei von einer Galileitransformation. Die physikalischen
Gesetze ändern sich dabei in ihrer Form nicht. Komplizierter wird die Überführung bei Koordinatensystemen mit unterschiedlicher geometrischer Struktur, wo sich die Schreibweise der
physikalischen Gesetze erheblich ändern kann. Das mathematische Handwerkszeug liefert für
diese Transformationen die Differentialgeometrie.
Diese prinzipielle Gleichgültigkeit aller Koordinatensysteme bietet einen Freiheitsgrad, der
zum Erkenntnisgewinn nicht ungenutzt bleiben sollte. Koordinatensysteme lassen sich realen
Objekten anpassen und geben somit einen klaren Einblick in die Wechselwirkung der Geometrie physikalischer Objekte mit den Naturgesetzen.
Ein der Problematik angepaßtes Koordinatensystem stellt zudem eine erhebliche Reduktion
des Rechenaufwands dar. So ist die geradlinige Bewegung in einem beliebig gelegten Koordinatensystem ein dreidimensionales Problem, bei der Identifikation einer Koordinatenrichtung
mit der der Bewegung bleibt lediglich ein eindimensionales Problem zu lösen.
Der erste Schritt zu einer koordinatensystemunabhängigen Physik ist die Untersuchung der
Frage, wie sich physikalische Größen in unterschiedlichen Koordinatensystemen transformieren. Dazu lernen wir zunächst den metrischen Tensor kennen, der die Verbindung zwischen
der Geometrie eines Koordinatensystems und der erfahrbaren Welt herstellt. Dann werden wir
untersuchen, wie die Bausteine der physikalischen Gesetze, die Differentialoperatoren sich in
beliebige Koordinatensystem transformieren lassen.
Als Anwendung werden wir drei für die Hydromechanik wichtige Koordinatensysteme kennenlernen. Die Kugelkoordinaten sind wohl allen Lesern bekannt, sie respektieren die sphärische Gestalt der Erde. Zylinderkoordinaten werden vor allem für die Beschreibung von
Rohrströmungen benötigt. σ-Koordinaten vereinheitlichen die vertikale Struktur einer Fließ-
Seite 352
gewässerströmung. Sie finden in vielen dreidimensionalen numerischen Modellen Anwendung. Schließlich lernen wir kurvenangepaßte Koordinaten kennen. Sie werden die Basis für
viele physikalische Erkenntnisse über Fließgewässer liefern, die wir in einem kartesischen
Koordinatensystem schwerlich gewonnen hätten.
16.2.1 Der metrische Tensor
Die eigentliche Schnittstelle zwischen der Physik und einem Koordinatensystem ist eine Zuordnung des physikalischen Abstands dl zwischen zwei Orten und der Länge des Verbindungsvektors zweier Koordinatenpunkte. Die Beziehung zwischen beiden wird durch den metrischen Tensor hergestellt. In einem kartesischen Koordinatensystem gilt
dl2 = dx2 + dy 2 + dz 2
Ganz allgemein läßt sich in einem beliebigen Koordinatensystem x 1 , x2 , x3 der physikalische
Abstand durch die Beziehung
dl2 =
gij dxi dxj
(16.1)
i,j
darstellen. Die durch die Komponenten g ij aufgespannte symmetrische Matrix heißt metrischer
Tensor, die Bestimmungsgleichung für den infinitesimalen Abstand metrische Fundamentalform.
Ist der metrische Tensor diagonal, so bezeichnet man ein Koordinatensystem als orthogonal,
da in ihm der Abstand mit einem verallgemeinerten Satz von Pythagoras berechnet wird
dl2 =
li2 dx2i
(16.2)
i
√
wobei wir li = gii gesetzt haben. Die Faktoren li bezeichnet man auch als Skalierungsfaktoren, sie geben nämlich an, wie sich der Abstand zwischen zwei Punkten ändert, wenn
diese sich nur in der entsprechenden Koordinate xi unterscheiden. Aus dieser geometrischen
Überlegung kann man die Skalierungsfaktoren li gewinnen.
16.2.2 Differentialoperatoren in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
Eigentlich sollte man sich wenig um Koordinatensystem scheren, wenn man die Naturgesetze in einer Form darstellt, die keine Koordinaten, sondern nur die tatsächlichen Phänomene
enthält. Diese Form der Navier-Stokes-Gleichungen hatten wir schon kennengelernt, sie lautet:
Seite 353
div u = 0
1
Du
Dt
Diese Gleichungen enthalten tatsächlich keine Koordinaten, sondern nur nach Differentialoperatoren. Diese sollen im folgenden auf beliebige orthogonale Koordinatensysteme verallgemeinert werden.
Die partielle Ableitung gibt die Steigung einer Funktion u – d.h. ihre Änderung Δu pro Abstand li Δxi – in einer Koordinatenrichtung an:
Δu
∂u
= lim
Δx
→0
∂xi
i
li Δxi
Der Gradient einer skalaren Funktion ist der Vektor der partiellen Ableitungen bzgl. aller
Koordinatenrichtungen, also:
⎛
⎞
⎜
⎜
⎜ 1 ∂u
⎜
⎜
⎜ l2 ∂x2
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝ 1 ∂u
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
1 ∂u
⎜
⎟
⎜ l1 ∂x1 ⎟
⎜
⎟
grad u =
(16.3)
l3 ∂x3
Die Divergenz eines Vektorfeldes u = (u1 , u2 , u3)t ist der Nettofluß über die Grenzen eines
infinitesimalen Kontrollvolumens pro Volumen:
1
|Ω|→0 |Ω|
udS
div u = lim
(16.4)
∂Ω
Betrachtet man Quader entlang der allgemeinen Koordinaten als Kontrollvolumen, so folgt
⎛
⎞⎛
⎞
Δu1
l2 l3 Δx2 Δx3
⎜
⎟⎜
⎟
1
⎜ Δu ⎟ ⎜ l l Δx Δx ⎟
div u = lim
2
1
3
1
3
⎠⎝
⎠
Δxi →0 l1 Δx1 l2 Δx2 l3 Δx3 ⎝
Δu3
l1 l2 Δx1 Δx2
=
1
lim
Δxi →0 l1 l2 l3
Δu1 l2 l3 Δu2 l1 l3 Δu3 l1 l2
+
+
Δx1
Δx2
Δx3
Seite 354
Somit ist die Divergenz in allgemeinen Koordinatensystemen:
1
div u =
l1 l2 l3
∂u1 l2 l3 ∂u2 l1 l3 ∂u3 l1 l2
+
+
∂x1
∂x2
∂x3
(16.5)
Jede der drei Ableitungen betrachtet zwei Arten von Änderung. Zum einen wird die Änderung
der Strömungsgeschwindigkeit entlang der entsprechenden Achse untersucht, so wie man es
schon von der Divergenz in kartesischen Koordinaten kennt. Zum anderen ist es denkbar, daß
sich bei allgemeinen Koordinaten die orthogonal dazu liegende durchströmte Fläche ändert,
dies wird durch die Ableitung der entsprechenden Skalierungsfaktoren beschrieben.
Die Rotation eines Vektorfeldes u = (u1 , u2 , u3 )t ist das Integral über einen infinitesimalen
geschlossenen Weg:
1 $
uds
|A|→0 |A|
rot u = lim
(16.6)
|A| ist dabei der durch den Weg eingeschlossene Flächeninhalt. Es läßt sich zeigen, daß
⎛
rot u =
∂u3 l3 ∂u2 l2
−
∂x2
∂x3
⎜ l1
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
1 ⎜
∂u1 l1
⎜
⎜ l2
⎜
l1 l2 l3 ⎜
∂x3
⎜
⎜
⎜
⎜
∂u2 l2
⎝
l3
∂x1
−
−
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
∂u3 l3 ⎟
⎟
⎟
⎟
∂x1
⎟
⎟
⎟
⎟
∂u1 l1 ⎟
⎠
(16.7)
∂x2
Der Laplace-Operator Δu = div grad u schreibt sich in allgemeinen krummlinigen Koordinaten sofort als:
(
∂
1
Δu =
l1 l2 l3 ∂x1
l2 l3 ∂u
l1 ∂x1
∂
+
∂x2
l1 l3 ∂u
l2 ∂x2
∂
+
∂x3
l1 l2 ∂u
l3 ∂x3
)
(16.8)
Zur Darstellung der Lagrangeschen Ableitung in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
schreiben wir sie mit der Webertransformation als
∂u
∂u 1
Du
=
+ u grad u =
+ grad u2 − u × rot u
Dt
∂t
∂t
2
Ersetzt man alle Operatoren so folgt mit etwas Geduld und Spucke für die Lagrangesche Ableitung in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
u2 ∂lj
∂ui ui ∂ui uj ∂ui uk ∂ui
ui uj ∂li
ui uk ∂li
u2 ∂lk
Dui
=
+
+
+
+
+
− j
− k
Dt
∂t
li ∂xi
lj ∂xj
lk ∂xk
li lj ∂xj
li lk ∂xk li lj ∂xi li lk ∂xi
Und schließlich müssen wir ohne Herleitung glauben, daß die i-te Komponente der Divergenz
eines Tensors P = (pij ) durch
Seite 355
(
)
∂pi1 l2 l3 ∂pi2 l1 l3 ∂pi3 l1 l2
1
pij ∂li
pik ∂li
pjj ∂lj
pkk ∂lk
div P |i =
+
+
+
+
−
−
l1 l2 l3
∂x1
∂x2
∂x3
li lj ∂xj
li lk ∂xk li lj ∂xi li lk ∂xi
gegeben ist.
16.2.3 Die Grundgleichungen in allgemeinen orthogonalen Koordinaten
Ersetzt man alle Differentialoperatoren in den Navier-Stokes- bzw. Reynoldsgleichungen
durch ihre orthogonalen Formen, so entsteht das monströse Differentialgleichungssystem [15]
u1 u3 ∂l1
u2 ∂l2
u2 ∂l3
∂u1 u1 ∂u1 u2 ∂u1 u3 ∂u1 u1 u2 ∂l1
+
+
+
+
+
− 2
− 3
=
∂t
l1 ∂x1
l2 ∂x2
l3 ∂x3
l1 l2 ∂x2
l1 l3 ∂x3 l1 l2 ∂x1 l1 l3 ∂x1
(
∂
1
l2 l3 ∂u1
1 ∂p
+
ν
−
l1 ∂x1 l1 l2 l3 ∂x1
l1 ∂x1
+
∂
l1 l3 ∂u1
+
ν
∂x2
l2 ∂x2
∂
l1 l2 ∂u1
+
ν
∂x3
l3 ∂x3
ν ∂u1 ∂l1
ν ∂u1 ∂l1
ν ∂u2 ∂l2
ν ∂u3 ∂l3
+
−
−
l1 l2 ∂x2 ∂x2 l1 l3 ∂x3 ∂x3 l1 l2 ∂x2 ∂x1 l1 l3 ∂x3 ∂x1
)
Seite 356
∂u2 u1 ∂u2 u2 ∂u2 u3 ∂u2 u2 u3 ∂l2
u2 u1 ∂l2
u2 ∂l3
u2 ∂l1
+
+
+
+
− 3
− 1
=
+
∂t
l1 ∂x1
l2 ∂x2
l3 ∂x3
l2 l3 ∂x3
l2 l1 ∂x1 l2 l3 ∂x2 l2 l1 ∂x2
(
∂
1
l2 l3 ∂u2
1 ∂p
+
ν
−
l2 ∂x2 l1 l2 l3 ∂x1
l1 ∂x1
+
∂
l1 l3 ∂u2
+
ν
∂x2
l2 ∂x2
∂
l1 l2 ∂u2
+
ν
∂x3
l3 ∂x3
)
ν ∂u2 ∂l2
ν ∂u2 ∂l2
ν ∂u3 ∂l3
ν ∂u1 ∂l1
+
−
−
∂u3 u1 ∂u3 u2 ∂u3 u3 ∂u3 u3 u1 ∂l3
u3 u2 ∂l3
u2 ∂l1
u2 ∂l2
+
+
+
+
+
− 1
− 2
=
∂t
l1 ∂x1
l2 ∂x2
l3 ∂x3
l3 l1 ∂x1
l3 l2 ∂x2 l3 l1 ∂x3 l3 l2 ∂x3
(
∂
1 ∂p
1
l2 l3 ∂u3
−g −
+
ν
l3 ∂x3 l1 l2 l3 ∂x1
l1 ∂x1
+
∂
l1 l3 ∂u3
+
ν
∂x2
l2 ∂x2
∂
l1 l2 ∂u3
+
ν
∂x3
l3 ∂x3
)
ν ∂u3 ∂l3
ν ∂u3 ∂l3
ν ∂u1 ∂l1
ν ∂u2 ∂l2
+
−
−
1
l1 l2 l3
∂u1 l2 l3 ∂u2 l1 l3 ∂u3 l1 l2
+
+
∂x1
∂x2
∂x3
=0
(16.9)
16.2.4 Die Navier-Stokes-Gleichungen in Zylinderkoordinaten
Zur Behandlung von laminaren Rohrströmungen ist es zweckmäßig, die Navier-StokesGleichungen in Zylinderkoordinaten zu transformieren. Dazu sei die Hauptströmungsrichtung
x1 mit s bezeichnet. Senkrecht dazu liege die Radialkomponente r und die Azimutkoordinate
φ umkreise die Achse. Die Transformation von Zylinder- auf kartesische Koordinaten findet
durch
x=s
y = r cos φ
z = r sin φ
und
statt. Die Geschwindigkeiten sind somit:
us =
ur =
uφ =
ds
dt
dr
dt
dφ
dt
x1 = s
x2 = r
x3 = φ
Seite 357
uf
us
ur
Abbildung 16.2: Die Geschwindigkeitskomponenten in Zylinderkoordinaten.
Übung 54: Haben alle drei Geschwindigkeitskomponenten dieselben Einheiten ?
Um die Skalierungsfaktoren dieses Koordinatensystems zu gewinnen, müssen die vollständigen Differentiale der kartesischen als Funktion der Zylinderkoordinaten angeschrieben werden:
dx = ds
dy = cos φdr − r sin φdφ
dz = sin φdr + r cos φdφ
Da für dl2 = ds2 + dr 2 + r 2 dφ2 Zylinderkoordinaten orthogonal sind und mit l 1 = 1, l2 = 1
und l3 = r für die Divergenz des Tensors P
⎛
div P =
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
und die Navier-Stokes-Gleichungen:
∂τss ∂τsr 1 ∂τsφ
+
+
∂s
∂r
r ∂φ
∂τrs ∂τrr 1 ∂τrφ
+
+
∂s
∂r
r ∂φ
∂τφs r ∂τφr r 1 ∂τφφ
+
+
∂s
∂r
r ∂φ
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Seite 358
∂us
∂us
∂us uφ ∂us
+ us
+ ur
+
=
∂t
∂s
∂r
r ∂φ
(
1 ∂p 1 ∂
∂us
−
νr
+
∂s r ∂s
∂s
∂
∂us
+
νr
∂r
∂r
∂
+
∂φ
ν ∂us
r ∂φ
)
∂ur
∂ur
∂ur uφ ∂ur u2φ
+ us
+ ur
+
−
=
∂t
∂s
∂r
r ∂φ
r
(
1 ∂p 1 ∂
∂ur
−
νr
+
∂r r ∂s
∂s
∂
∂ur
+
νr
∂r
∂r
∂
+
∂φ
ν ∂ur
r ∂φ
)
−
ν ∂uφ
r ∂φ
(16.10)
∂uφ
∂uφ uφ ∂uφ uφ ur ∂r
∂uφ
+ us
+ ur
+
+
=
∂t
∂s
∂r
r ∂φ
r ∂r
(
∂uφ
1 ∂p 1 ∂
νr
−g −
+
r ∂φ r ∂s
∂s
1
r
∂
∂uφ
+
νr
∂r
∂r
∂us r ∂ur r ∂uφ
+
+
∂s
∂r
∂φ
∂
+
∂φ
ν ∂uφ
r ∂φ
)
+
ν ∂uφ
r ∂r
=0
Die Tatsache, daß uφ eigentlich eine Winkelgeschwindigkeit mit der Einheit rad/s ist, spiegelt
sich in den Differentialgleichungen darin wieder, daß alle Terme mit u φ mit dem Radius r
multipliziert werden.
16.2.5 Sphärische Koordinaten
Will man Strömungen über Teile oder die gesamte Erdkugel simulieren, dann ist der Übergang
auf sphärische Koordinaten erforderlich. Diese lauten:
x = r cos φ cos θ
y = r cos φ sin θ
z = r sin φ
In dieser Darstellung liegt der Winkelursprung (d. h. θ = φ = 0) im Zentrum der Kugel und
somit in der Äquatorkreisebene, womit diese als äquatoriales sphärisches Koordinatensystem
Seite 359
bezeichnet werden kann. In einem polaren spärischen Koordinatensystem liegt der Winkelursprung im Nordpol.
Der physikalische Abstand zwischen zwei Punkten stellt sich in diesem Koordinatensystem
als
dl2 = dr 2 + r 2 dφ2 + r 2 cos2 φdθ
dar. Damit bekommt der Gradient einer skalaren Funktion p das Aussehen:
⎛
grad p =
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∂p
∂r
1 ∂p
r ∂φ
1 ∂p
r cos φ ∂θ
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
gegeben. Für die Divergenz gilt
1 ∂ur r 2 1 ∂uφ
1 ∂uθ
div u = 2
+
+
r ∂r
r ∂φ
r cos φ ∂θ
und der Laplaceoperator wird zu:
(
1 ∂
∂p
1 ∂2p
1 ∂
∂p
r2
+
cos φ
+
Δp = 2
r ∂r
∂r
cos φ ∂φ
∂φ
cos2 φ ∂θ2
)
16.2.6 σ-Koordinaten
In der hydrodynamisch-numerischen Modellierung wird das Strömungsgebiet mit einem
Rechengitter überdeckt, welches von Berechnungsknoten aufgespannt wird. Eine sich
fortwährend ändernde freie Oberfläche wird dabei selten direkt auf Berechnungsknoten fallen.
Hierdurch kann eine gewisse Ungenauigkeit in der Erfassung des durchströmten Querschnittes
und bei der Implementation der Randbedingungen entstehen. Aus der Sicht der numerischen
Modellierung wäre daher ein Koordinatensystem ideal, welches sich den Bewegungen der
freien Oberfläche anpaßt.
Die von Phillips [61] 1957 eingeführten σ-Koordinaten leisten genau dieses. Hier wird die
vertikale Achse zwischen der Gewässersohle und der freien Oberfläche mit Hilfe der Transformation
z − zB (x, y)
z − zB (x, y)
=
z∗ =
zS (x, y, t) − zB (x, y)
h(x, y, t)
auf eine Einheitsstrecke abgebildet. Dadurch wird die freie Oberfläche immer durch die Ebene
zS∗ = 1 und die Sohle durch zB∗ = 0 beschrieben. Durch diese Koordinatentransformation
erreicht man also eine Fixierung der freien Oberfläche. Die vertikale Position ist in einem
σ-System dimensionslos. Die horizontalen Koordinaten des kartesischen Koordinatensystems
bleiben so, wie sie sind.
16.3. Kurvenangepaßte Koordinaten
Seite 360
z
y
Abbildung 16.3: Die vertikale Diskretisierung mit σ-Koordinatensystem löst flachere Bereiche
feiner auf als tiefere.
(R + n )dq
R d q
n
n - A c h se
R
d q
s - A c h se
Abbildung 16.4: Zur Herleitung des metrischen Tensors in Kurvenkoordinaten. Im dargestellten Fall besitzt die Kurve einen positiven Krümmungsradius.
16.3 Kurvenangepaßte Koordinaten
Wir bezeichnen die x1 -Koordinate mit s und identifizieren sie mit der Kurve des Krümmungsradius R, die z.B. die Flußachse bzw. die Haupströmungsrichtung darstellen kann. Die Hauptströmungsrichtung ist damit immer zugleich die s-Richtung. Senkrecht dazu liege die nRichtung und die Vertikale werde wieder durch die z-Achse beschrieben. Von den Skalierungsfaktoren ist lediglich der in s-Richtung von eins verschieden. Liegen zwei Punkte im
Abstand ds im Abstand n neben der Flußachse, dann ist ihr Abstand auf dem sie verbindenden
Kreissegment ds = (R + n)dθ. Die sie verbindende Sehne beschreibt den wirklichen Abstand,
sie hat die Länge dl = 2R sin(θ/2) sin Rdθ. Mit l1 = dl/ds ergeben sich für den metrischen
Tensor dann die Komponenten:
16.3. Kurvenangepaßte Koordinaten
Seite 361
l1 = 1 +
l2 =
1
l3 =
1
n
R
Bei kurvenangepaßten Koordinaten ist die richtige Wahl des Vorzeichens des Krümmungsradius zu beachten. Er ist positiv, wenn der vom Krümmungszentrum ausgehende Radiusvektor
in Richtung der n-Achse weist, andernfalls ist er negativ. Die Reynoldsgleichungen erhalten
nun das Aussehen:
u
∂u
+
∂t
1+
n
R
∂u
∂u
uv
∂u
=
+v
+w
+ ∂s
∂n
∂z R 1 + n
R
1
∂p
1
+
− n ∂s
1+
1+ R
n
R
2τsn
∂τss ∂τsn ∂τsz
+
+
+ ∂s
∂n
∂z
R 1 + Rn
u ∂v
∂v
∂v
u2
∂v
=
+
+
v
+
w
−
∂t 1 + Rn ∂s
∂n
∂z R 1 + n
R
−
1
1 ∂p
+
∂n 1 +
n
R
τss − τnn
∂τns ∂τnn ∂τnz
+
+
− ∂s
∂n
∂z
R 1 + Rn
(16.11)
u ∂w
∂w
∂w
∂w
+
+v
+w
=
n
∂t
1 + R ∂s
∂n
∂z
−g −
1 ∂p
1
+
∂z 1 +
1
1+
n
R
n
R
τzn
∂τzs ∂τzn ∂τzz
+
+
+ ∂s
∂n
∂z
R 1 + Rn
v
∂w
∂u ∂v
+
+
+ =0
n
∂s ∂n R 1 +
∂z
R
Besonders hervorzuheben sind die Wirkungen neu auftauchender Terme. Der Term
uv
n
R(1+ R
)
in
der s-Impulsgleichung ist positiv, falls die Sekundärströmung v in Richtung des Außenradius
weist, er führt also zu einer Verminderung der Hauptströmungsgeschwindigkeit u. Der Term
u2
führt grundsätzlich zu einer Beschleunigung in Richtung des Außenradiusses, was
n
R(1+ R
)
Seite 362
16.4. Analysen im Dreidimensionalen
man aus der Vorzeichenkonvention für den Krümmungsradius R und dem entsprechenden
Vorzeichen für v kombinieren kann.
Die beiden neuen Terme beschreiben also die Wirkung der Trägheit in einem kurvigen Bezugssystem. Die Wassermassen wollen sich geradlinig bewegen, das Koordinatesystem ist aber
nicht geradlinig, also muß Impuls von der s- auf die n-Achse übertragen werden.
Die vertikale Impulsgleichung enthält keine zusätzlichen Trägheitsterme, da die z-Achse geradlinig ist. Der Zusatzterm in der Kontinuitätsgleichung kompensiert die Tatsache, daß sich
die sz-Fläche in radialer n-Richtung ändert.
16.4 Analysen im Dreidimensionalen
Wir wollen in diesem Kapitel zunächst versuchen, diese Phänomene aus den Grundgleichungen herauszulesen. Einen ersten graphischen Eindruck soll dabei Abbildung 16.5 geben. Das unverzichtbare mathematische Hilfsmittel sind dabei die Kurvenkoordinaten, denn
sie ermöglichen es, die Primär- oder Hauptströmung entlang der Flussachse einfach von den
senkrecht dazu verlaufenden Sekundärströmungen zu unterscheiden.
In Kurvenkoordinaten bezeichnet man die erste Koordinate mit s, wir identifizieren sie mit
der Flussachse bzw. der Haupströmungsrichtung. Senkrecht dazu liege die n-Richtung und die
Vertikale werde wieder durch die z-Achse beschrieben.
Die Reynoldsgleichungen erhalten in diesen Koordinaten das Aussehen:
∂u
u
+
∂t
1+
n
R
Seite 363
∂u
∂u
∂u
uv
=
+v
+w
+ ∂s
∂n
∂z R 1 + n
R
1
∂p
1
+
− 1 + Rn ∂s 1 +
n
R
2τsn
∂τss ∂τsn ∂τsz
+
+
+ ∂s
∂n
∂z
R 1 + Rn
u ∂v
∂v
∂v
u2
∂v
=
+
+v
+w
−
∂t 1 + Rn ∂s
∂n
∂z R 1 + n
R
−
1
1 ∂p
+
∂n 1 +
n
R
τss − τnn
∂τns ∂τnn ∂τnz
+
+
− ∂s
∂n
∂z
R 1 + Rn
(16.12)
u ∂w
∂w
∂w
∂w
+
+v
+w
=
n
∂t
1 + R ∂s
∂n
∂z
−g −
1 ∂p
1
+
∂z 1 +
1
1+
n
R
n
R
τzn
∂τzs ∂τzn ∂τzz
+
+
+ ∂s
∂n
∂z
R 1 + Rn
v
∂u ∂v
∂w
+
+
+ =0
∂s ∂n R 1 + n
∂z
R
Dann werden wir uns den Schwierigkeiten bei der tiefengemittelten Simulation zuwenden und
die wichtigsten Lösungsansätze hierzu kennenlernen.
Da die Hauptstromrichtung durch die s-Achse definiert ist, läßt sich fragen, welche Mechanismen Strömungen senkrecht zur Hauptstromrichtung erzeugen. Diese sogenannten Sekundärströmungen ergeben sich als Lösungen der n-Impulsgleichung. Unter den Annahmen
• einer gegenüber dem Krümmungsradius geringen Flussbreite
0
n
R
• einer hydrostatischen Druckverteilung
• vernachlässigbarer horizontaler Schubspannungen τns
τnn
τss
0
erhält man aus (16.12) die Gleichung der Sekundärströmungen in der Lagrangeschen Betrachtungsweise:
Seite 364
z
B
2
R
B
2
n
w
v
s
v
h
u
S
T
s
Abbildung 16.5: Strömungsverteilung in einer Kurve (abgeändert nach [58])
u2
∂zS
∂
dv
∂v
=
−g
+
νt
dt
R
∂n
∂z
∂z
(16.13)
Diese Gleichung gibt die Änderung der Sekundärströmungsgeschwindigkeit entlang einer
Bahnlinie an.
16.4.1 Eine Kurvendurchströmung in Gleichungen
Treten wir eine mathematische Reise durch eine Flusskurve an. Wir beginnen zunächst auf
einer genügend langen geraden Strecke. Aus Symmetriegründen können wir davon ausgehen,
dass alle Sekundärströmungen Null sind und die freie Oberfläche keine Neigung in Breitenrichtung besitzt. Da der Krümmungsradius einer Geraden unendlich ist, bildet sich auf geraden
Strecken keine Sekundärströmung in Breitenrichtung aus:
dv
=0
dt
Kommt die Strömung in den Bereich einer Kurve, wodurch der Krümmungsradius einen endlichen Wert annimmt, dann wirkt auf die Strömung zunächst eine Zentrifugalkraft
Seite 365
dv
u2
= ,
dt
R
wodurch die Sekundärströmung initiiert wird. Sie bildet ein vertikales Geschwindigkeitsprofil
aus
u2
∂
∂v
dv
=
+
νt
dt
R
∂z
∂z
durch welches Wassermassen aus der Kurve herausgetragen werden und sich ein laterales
Oberflächengefälle einstellt:
dv
u2
∂zS
∂
∂v
=
−g
+
νt
dt
R
∂n
∂z
∂z
Ist die Kurve lang genug, so stellt sich eine voll entwickelte Sekundärströmung
u2
∂zS
∂
∂v
0=
νt
−g
+
R
∂n
∂z
∂z
ein. Die Zentrifugalbeschleunigung wird durch zwei miteinander konkurrierende Effekte ausgeglichen. Einerseits legt sich die freie Oberfläche (vergleichbar einem Motorrad) in die Kurve
und andererseits dämpfen turbulent-viskose Kräfte die Zentrifugalbeschleunigung (vergleichbar dem elastischen Verhalten von Reifen und Radaufhängung am Auto).
Nach dem Einlauf in die Zielgerade fällt der Zentrifugalbeschleunigungsterm weg:
∂v
∂zS
∂
dv
νt
= −g
+
dt
∂n
∂z
∂z
Die Sekundärströmungen werden nun durch den Gradienten in der freien Oberfläche und die
turbulent-viskosen Kräfte vernichtet.
16.4.2 Die Querneigung des Wasserspiegels
Die Zentrifugalkraft bewirkt ein Ansteigen des Wasserspiegels am Außenufer und ein Absunk
am Innenufer. Die Wasserspiegellinie hat dabei eine konkave Form, d.h. ihre Neigung ist innen
größer als außen. Man kann sie durch Gleichsetzen des Oberflächen- und des Zentrifugalterms
abschätzen:
∂zS
u2
= α
(16.14)
∂n
R
Dabei wurde der Sicherheit halber ein Korrekturkoeffizient α hinzugenommen, der die Wirkung aller vernachlässigten Terme kompensieren soll. Er liegt zwischen 0.75 und 1.0, wobei
der zweite Wert nur für eine sehr glatte Sohle angenommen werden kann.
g
Seite 366
Ein Kritikpunkt an dieser Näherungslösung besteht in der nicht vorhandenen Abhängigkeit
von der Gewässerbreite. Die Formel liefert für einen Bach dieselbe Wasserspiegelauslenkung
wie für ein kilometerbreites Urstromtal, obwohl die Zirkulationsstrukturen in beiden sehr unterschiedlich sind. Man könnte die Breite dadurch ins Spiel bringen, indem in der Differentialgleichungen der Sekundärströmungen den lateralen turbulenten Impulsaustausch ebenfalls
berücksichtigt.
16.4.3 Die Quergeschwindigkeit an der Wasseroberfläche
In Oberflächennähe läßt sich eine nach außen gerichtete Quergeschwindigkeit beobachteten.
In Sohlnähe ist diese dagegen nach innen gerichtet, insgesamt findet über den Querschnitt
also eine Zirkulation statt. Die Ursache dieser Sekundärströmung liegt in der unterschiedlich
großen Zentrifugalkraft, die Wasserteilchen in Oberflächen- und Sohlnähe erfahren. Erstere
bewegegen sich (z.B. in einem logarithmischen Geschwindigkeitsprofil) schneller als letztere.
Da die Zentrifugalkraft proportional zum Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit ist, ist die
Tendenz der Ablenkung nach außen an der freien Oberfläche wesentlich größer als an der
Sohle, wodurch sich oberflächennah eine nach außen gerichtete Sekundärströmung einstellt.
Auch sohlnahe Wasserteilchen erfahren eine Zentrifugalbeschleunigung nach außen, hier überwiegt jedoch die aus Kontinuitätsgründen wirkende Zwangskraft, wodurch sich an der Sohle
eine zum Krümmungszentrum orientierte Sekundärströmung einstellt.
In der Literatur existieren vielfältige Versuche zur analytischen Lösung der Sekundärströmungen [70]. Im einfachsten Fall kann man einen linearen Ansatz der Form
2z
−1
(16.15)
h
wählen, wobei v den tiefengemittelten Anteil und v S die Sekundärströmung an der freien Oberfläche z = h angibt. Man beachte, dass die Sekundärströmung tiefengemittelt verschwindet.
Die Sohle liegt bei zB = 0. Für die turbulente Viskosität kann der parabolische Ansatz
v(z) = v + vS
νt = κu∗ z 1 −
z
h
gewählt werden. Damit bleibt die Gleichung
u2
∂zS 2κvS u∗
z
dv
=
−g
+
1−2
dt
R
∂n
h
h
zu lösen, wobei das lineare Sekundärströmungsprofil vollständig bekannt ist, wenn man die
Sekundärströmung an der freien Oberfläche kennt.
Das logarithmische Geschwindigkeitsprofil in Hauptströmungsrichtung wird in der Literatur
zur Theorie der Mäander durch ein wesentlich leichter handhabbares Potenzgesetz der Form
u(z) = u
m+1 z
m
h
1/m
(16.16)
Sekundärströmungskoeffizient α
2m + 1
2κ2 m
C
√ K(C)
0.077
g ⎞
⎛
1 ⎝ 10 1 5 f ⎠
−
κ 3
κ9 2
√ g
2
1
−
κ2
κC
Seite 367
Autoren
Wertebereich
Rozovskii [70]
6.3 ... 6.7
Engelund [22]
2.0 ... 5.0
Kikkawa et al. [33]
1.1 ... 2.2
Olesen [59]
9.6 ... 11
Tabelle 16.1: Der Sekundärströmungskoeffizient in der Literatur
approximiert. Dabei ist u die tiefengemittelte Geschwindigkeit und m ist mit der
Schubspannungsgeschwindigkeit u ∗ , dem Chezykoeffizienten C und dem Darcy-WeisbachReibungsbeiwert f über
m=κ
u
κC
= √ = 1.131/ f
u∗
g
(16.17)
verbunden.
Die Differentialgleichung der Sekundärströmungen an der freien Oberfläche wird nun zu
dvS
2κ2 uvS
u2 m2 + 2m + 1
∂zS
=
−
−
g
dt
R
m2
∂n
mh
Zur analytischen Lösung der Gleichung setzen wir die transversale Neigung der freien Oberfläche aus der Zentrifugalbeschleunigung (16.14) ein:
dvS
u2 2m + 1 2κ2 uvS
=
−
dt
R m2
mh
Ist die Sekundärströmung voll entwickelt (dv S /dt = 0), dann ergibt sich ihre Geschwindigkeit
an der freien Oberfläche als [70]
uh
(16.18)
R
wobei α als Sekundärströmungskoeffizient bezeichnet werden kann, der im wesentlichen eine
Funktion der Sohlrauheit ist. Für das lineare Geschwindigkeitsprofil erhält man:
vS = α
α=
2m + 1
2κ2 m
Der Sekundärströmungskoeffizient variiert in der Literatur in Abhängigkeit von den Annahmen über die Geschwindigkeitsprofile. Einen Überblick gibt Tabelle 16.1.
Seite 368
Da das Verhältnis von Wassertiefe h zu Krümmungsradius R recht klein ist, ist die Quergeschwindigkeit in der Regel etwa eine Zehnerpotenz kleiner als die Längsgeschwindigkeit.
Die Größe der Quergeschwindigkeit ist im mittleren Teil eines breiten Gerinnes unabhängig
von dessen Breite. In kanalartigen Gerinnen verringert sich ihr Betrag erst in einem verhältnismäßig schmalen Streifen auf einer Breite der ein- bis zweifachen Wassertiefe zum Rand
hin.
16.4.4 Die Entwicklung der Quergeschwindigkeit
Tritt eine Strömung in eine Kurve ein, so ist zunächst noch keine Quergeschwindigkeit vorhanden; sie muss sich erst im Lauf der Kurvendurchströmung entwickeln. Es soll nun untersucht
werden, wie lange dieser Prozess der vollen Ausbildung der Quergeschwindigkeit dauert. Dazu gehen wir von der Lagrangeschen Betrachtungsweise wieder in die ortsfeste Eulersche über
und setzen:
u2 2m + 1 2κ2 uvS
∂vS
dvS
−
=u
=
dt
∂s
R m2
mh
Somit beschreibt die gewöhnliche Differentialgleichung
u 2m + 1 2κ2 vS
dvS
=
−
ds
R m2
mh
die Entwicklung der Sekundärströmung. Die analytische Lösung dieser Gleichung lautet:
uh
2κ2
1 − exp −
s
vS (s) = α
R
mh
q
2κ2
=α
1 − exp −
s
R
mh
Die Sekundärströmung baut sich umso schneller auf,
• desto schneller der zweite Term in der Klammer gegen Null geht, d.h.
• desto kleiner die Wassertiefe h ist und
• desto kleiner der Reibungskoeffizient m, d.h. umso größer die Wandreibung ist.
16.4.5 Das Geschwindigkeitsprofil der Sekundärströmung
Das lineare Geschwindigkeitsprofil (16.15) zeigt in Sohlrichtung keine Dämpfung der
Strömungsgeschwindigkeit, wodurch es sich nicht zur Abschätzung der Sohlschubspannung
verwenden läßt. Engelund hat 1974 ein realistischeres Profil für die Sekundärströmung
veröffentlicht [22], dessen Grundideen wir uns nun zuwenden wollen. Er betrachtete die Gleichung der voll entwickelten Sekundärströmung:
0=
Seite 369
∂2v
u2
∂zS
−g
+ νt 2
R
∂n
∂z
wobei er eine über die Tiefe konstante mittlere Wirbelviskosität ν t = 0.077u∗h angenommen
hat, was sicherlich keine unerhebliche Vereinfachung ist. Zur Lösung der Gleichung verallgemeinerte er unsere über die Sekundärströmung gewonnenen Erkenntnisse: An der Wasseroberfläche ist sie proportional zur mittleren Geschwindigkeit u und zur Wassertiefe h und
umgekehrt proportional zum Krümmungsradius R. Anstelle des Sekundärströmungskoeffizienten α setzen wir eine über die Wassertiefe variable Funktion f an, die noch zu bestimmen
ist:
v(z) =
uh
z
f
R
h
Die Hauptströmung wächst mit ihrem Tiefenmittelwert, ihr Geschwindigkeitsprofil wird hier
aber nicht durch das logarithmische, sondern durch eine allgemeine Funktion φ modelliert, die
noch zu spezifizieren ist:
u(z) = uφ
z
h
Die Querneigung der freien Oberfläche wird durch die Gleichung (16.14) dargestellt, wodurch
der Koeffizient α ins Spiel kommt.
Setzt man diese drei Gleichungen in die erste Gleichung dieses Abschnittes ein, dann kommt
man zu einer Bestimmungsgleichung für die Profilfunktion f 1
f =
u α − φ2
νt h
Diese gewöhnliche Differentialgleichung läßt sich lösen, sobald man eine Profilfunktion φ für
die Hauptströmung angesetzt hat. Die Logarithmische ist mit einem erheblichen Integrationsaufwand verbunden2, daher hat Engelund das einfache quadratische Geschwindigkeitsprofil
φ(z) = 1 − 6.5
u∗
z
1−
u
h
2
verwendet, welches man bei Normalabfluss unter Annahme einer über die Tiefe konstanten Wirbelviskosität (die ihrem Tiefenmittelwert entspricht) herleiten kann. Zur eindeutigen
Lösung der Differentialgleichung zweiter Ordnung sind zwei weitere Bedingungen zu stellen,
Engelund nimmt an, dass der Gradient der Geschwindigkeit an der freien Oberfläche Null wird
und dass der Tiefenmittelwert verschwindet.
1
2
In der Originalarbeit ist an dieser Stelle ein Druckfehler, die Wassertiefe gehört in den Nenner.
sollte sich aber mit der Hilfe mathematischer Software wie Mathematica oder Derive bewerkstelligen lassen
Seite 370
1
C = 3 0
0 .9
m /s
C = 8 0
0 .8
m /s
w a te r d e p h t z /h
0 .7
0 .6
0 .5
0 .4
0 .3
0 .2
0 .1
0
-0 .0 3
-0 .0 2
-0 .0 1
0
0 .0 1
0 .0 2
0 .0 3
S e c o n d a ry flo w v e lo c ity p ro file [m /s ]
Abbildung 16.6: Das Profil der Sekundärströmung nach Engelund (1974) für R = 1000 m, u =
1 m/s und h = 10 m.
Er erhält dann die kaskadenartig zu berechnende Lösungsfunktion:
β=
α =
K=
v(z) =
C
√
g
6.5
+ 6.5
1 − β + 35 β 2 − 17 β 3
1 − 13 β
1
1 2
1
(1 − α ) − β +
β
6
30
210
&
C
1
1
uh 1 ∗ 2 z (α − 1) + βz ∗ 4 − β 2 z ∗ 6 + K
√
0.077 g R 2
6
30
'
mit z ∗ = 1 − z/h und dem Chezykoeffizienten C.
C√
Für z = h wird der Sekundärströmungskoeffizient α zu α = 0.077
K. Er schwankt für den
g
Wertebereich des Chezykoeffizienten C zwischen 2.0 und 5.0. Ferner können wir nun die
Abschätzung für den Koeffizienten α der Oberflächenneigung verifizieren.
Der Verlauf der Funktion ist in Abbildung 16.6 dargestellt. Obwohl die Funktion ein Polynom
sechster Ordnung ist, ist sie an der Sohle nicht in der Lage, genügend nahe gegen Null zu
konvergieren, ist aber ohne Zweifel eine erhebliche Verbesserung gegenüber dem linearen
Profil der Sekundärströmung.
Seite 371
16.4.6 Die Neuverteilung der Hauptströmung
’Die Krümmung des Gerinnes bringt eine Neuverteilung der Längsgeschwindigkeit über
den Querschnitt mit sich, die sich kontinuierlich über die Länge der Krümmung ändert.
Während sie in einem geraden Gerinne eine Verteilung mit dem Geschwindigkeitsmaximum in
Strömungsmitte hat, wandert die maximale Längsgeschwindigkeit am Anfang der Kurve zum
inneren Rand und von dort am Ende der Kurve zum äußeren Rand und von der Oberfläche in
Bodennähe.
Durch die Querneigung des Wasserspiegels am Anfang der Kurve verschiebt sich die maximale Geschwindigkeit von der Mitte zum inneren Rand. Denn bei höheren Wasserspiegel
muß die Geschwindigkeit sinken, damit die Kontinuitätsbedingung eingehalten wird. Entsprechend steigt die Geschwindigkeit am inneren Rand, wo der Wasserspiegel niedriger ist. In der
Krümmung verschiebt sich das Maximum langsam von dem inneren zum äußeren Rand, da
hier der Austausch von Momenten zwischen horizontalen Strömungen aufgrund der sich voll
entwickelten Sekundärströmung dominiert.
Am Ende der Krümmung verschiebt sich das Maximum der Geschwindigkeit noch näher an
den äußeren Rand, da hier der Wasserspiegel nicht mehr geneigt ist und somit dieser Einfluss
verschwindet. Aber auch die Zentrifugalkraft läßt nach, auf der folgenden geraden Strecke
wandert das Maximum langsam wieder in die Mitte. Die Länge hinter der Kurve, die benötigt
wird, um eine ’normale’ Verteilung der Längsgeschwindigkeit entstehen zu lassen, ist von der
Intensität der Sekundärströmung und von der Reibung abhängig. Nach dem Waterloopkundig
Laboratorium Delft, 1997, [81] hält sich dabei das veränderte Geschwindigkeitsprofil wesentlich länger als die Querzirkulation selber.
Auch die Verteilung der Längsgeschwindigkeit über die Tiefe ändert sich. Annähernde analytische Gleichungen von Rozovskii, 1957, weisen auf eine Angleichung der Geschwindigkeiten
über die Tiefe hin. Auch in von Meckel, 1978, [52] durchgeführten Versuchen wandert das
Maximum der Längsgeschwindigkeit von innen nach außen und von der Nähe der Wasseroberfläche in den bodennahen Bereich. Daher kann innerhalb der Kurve auch nicht von einer
logarithmischen Vertikalverteilung der Längsgeschwindigkeit ausgegangen werden, wie sie
bei Kanalstrecken üblich ist. Es kommt zu einer komplexen räumlichen Strömung, bei der
sich außer der Sekundärströmung auch die Hauptströmung als innere Kernströmung schraubenförmig durch die Krümmung bewegt’ [41].
Um die Neuverteilung der Hauptströmung zu analysieren, müssen wir die erste der Reynoldsgleichungen in Kurvenkoordinaten (16.12) lösen. Dies ist natürlich nur unter erheblichen Vereinfachungen möglich. Dazu nehmen wir an, dass die Strömung stationär ist, die Kurve so lang
ist, dass die Ableitungen in Hauptströmungsrichtung wegfallen, alle vertikalen Geschwindigkeiten und alle inneren Spannungen vernachlässigt werden können. Es bleibt:
v
uv
∂u
=0
+ ∂n R 1 + n
R
Seite 372
Nach Division durch v können wir diese Gleichung einfach mit der Methode der Trennung der
Variablen lösen:
u(n) = ui
R + ni
R+n
Darin ist ni die Lage des Innenrandes und ui die dortige Hauptströmungsgeschwindigkeit.
Diese nimmt dort ihren größten Wert an und fällt dann umgekehrt proportional zum Radialkoordinate n ab. Der Effekt ist umso größer, desto kleiner der Krümmungsradius ist.
Selbstverständlich bildet sich an beiden Rändern noch ein Grenzschichtprofil aus, welches wir
durch unsere vereinfachte Lösung nicht gewonnen haben, weil die innere Reibungskomponente τsn vernachlässigt wurde.
16.4.7 Energieverlust durch Sekundärströmungen
In einem Strömungsfeld mit sekundären Zirkulationen sind mehr Geschwindigkeitsgradienten
vorhanden als in einer reinen Parallelströmung. Hierdurch erhöht sich die Produktion turbulenter kinetischer Energie Pk .
Betrachten wir in einer Kurvenströmung nur die wesentlichen Gradienten der vertikalen
Ableitung der Primär- und der Sekundärströmung. Für die TKE-Produktion P ksek der Sekundärströmung gilt dann:
Pksek
= νt
∂v
∂z
2
= νt
2
2vS
h
= κu∗ z 1 −
z
h
2vS
h
2
wenn man die logarithmische Geschwindigkeitsverteilung und das parabolische Wirbelviskositätsprofil einsetzt. Der über die Tiefe gemittelte Wert ist
Pksek = νt
2vS
h
2
= 4α2 νt
u
R
2
Der Gesamtturbulenzproduktion besteht aus der Summe von Sekundär- und Primärströmungsanteilen, wobei letztere überwiegen und durch Pkv abgeschätzt werden können. Somit gilt
näherungsweise:
Pksek
Pksek
νt u h
=
= 4α2 κ2 2 2
ges
Pkv
u∗ R
Pk
Wir hatten in Kapitel 15 feststellen müssen, dass die quantitative Bestimmung der tiefenintegrierten turbulenten Viskosität mit großen quantitativen Unsicherheiten verbunden ist. Diese
schleichen sich auch nun in die Bestimmung des Anteils der Sekundärströmung an der Turbulenzproduktion mit ein. Gehen wir davon aus, dass die tiefenintegrierte Wirbelviskosität in der
Form νt = βu∗ h dargestellt werden kann, dann ergibt sich:
Seite 373
Pksek
2
2 u
ges = 4α βκ
u∗
Pk
h
R
2
C
= 4α βκ √
g
2
2
h
R
2
Der Anteil der Sekundärströmungen an der Turbulenzproduktion und damit auch an der Energiedissipation nimmt also mit dem Quadrat des Verhältnisses aus Wassertiefe zu Krümmungsradius zu. Weitere quantitative Aussagen sind allerdings schwierig, da der Koeffizient β zwischen 0.07 und 6 und α zwischen 1 und 11 schwankt. Chang [10] hat für dieses Verhältnis die
Beziehung
Pksek
=
Pkges
22.840m2 + 18.775m
0.639m + 1.279
h
R
2
(16.19)
hergeleitet. Da m umgekehrt proportional zur Sohlrauheit ist, wird der Energieverlust durch
Sekundärströmungen mit zunehmender Sohlrauheit kleiner. Das Energieverlustverhältnis ergibt z.B.
Pksek
Pkges
Pksek
Pkges
h
340
R
h
110
R
2
für
C = 80 m1/2 /s
für
C = 30 m1/2 /s.
2
Diese Zusammenhänge sind in Abbildung 16.7 graphisch dargestellt. Die Sekundärströmungen sind als Energiedissipationsmechanismus also umso wichtiger, desto glatter die Sohle ist.
16.4.8 3D-Simulation in kartesischen Koordinaten
Grundsätzlich sind dreidimensionale Modelle in kartesischen Koordinaten in der Lage, Sekundärströmungen in Kurven richtig zu erfassen. Viel schwieriger ist die Identifikation der
Sekundärströmungen bei natürlichen Systemen in den Ergebnissen, da die Hauptströmungsrichtung nicht bekannt ist.
Abbildung 16.8 zeigt hierzu ein Beispiel. Dargestellt sind entlang des Blexer Bogens der Weser auf mehreren Querschnitten die mittleren Ebbestromgeschwindigkeitskomponenten in der
Schnittebene. Liegt diese tatsächlich senkrecht zur Hauptströmungsrichtung, dann sollte die
Integration der Parallelkomponente im Querschnitt Null sein, da die Sekundärströmung über
den Querschnitt nicht mit einem Nettotransport verbunden ist. Dies ist offensichtlich an keinem Querschnitt der Fall. Es zeigen sich aber an Weser-km 65 eine deutliche bodennahe Sekundärströmung, die auch bei Flut in Richtung Westen zeigt. Gleiches gilt für Weser-km 61,
wobei der Innenradius hier Richtung Osten liegt.
Seite 374
80.0
Anteil
in %
Pksek
70.0
Pkges
für C = 80m1/2 /s
60.0
50.0
40.0
30.0
Pksek
Pkges
20.0
für C = 30m1/2 /s
10.0
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
(h/R)2 · 10−3
Abbildung 16.7: Verhältnis von Energieverlust durch Sekundärströmungen zu Gesamtenergieverlust in Kurven
Seite 375
4.
2.
0
-2.
-4.
-6.
-8.
-10.
-12.
-14.
-16.
-18.
-20.
-22.
-24.
Km 65
mNN
8.
6.
4.
2.
0
-2.
-4.
-6.
-8.
-10.
-12.
-14.
-16.
-18.
-20.
-22.
8.
6.
4.
2.
0
-2.
-4.
-6.
-8.
-10.
-12.
-14.
-16.
-18.
-20.
-22.
8.
6.
4.
2.
0
-2.
-4.
-6.
-8.
-10.
-12.
-14.
-16.
-18.
-20.
-22.
8.
6.
4.
2.
0
-2.
-4.
-6.
-8.
-10.
-12.
-14.
-16.
-18.
-20.
-22.
8.
6.
4.
2.
0
-2.
-4.
-6.
-8.
-10.
-12.
-14.
-16.
-18.
-20.
-22.
Km 64
mNN
Km 63
mNN
Km 62
mNN
Km 61
mNN
Legende
mit. Ebbestromgeschwindigkeit (Mit)
m/s
Km 60
0
.15
00
.3
250 250.0
Ueberhoehung :
.5
500m
20.0-fach
Abbildung 16.8: Parallele Ebbestromgeschwindigkeitskomponenten in Querprofilen des Blexer Bogens in der Weser bei Bremerhaven
16.5. Tiefengemittelte Simulation von Kurvenströmungen
Seite 376
16.5 Tiefengemittelte Simulation von Kurvenstr ömungen
Obwohl die spiralförmigen Sekundärströmungen in Kurven echt dreidimensional sind, wollen
wir studieren, wie sie sich tiefengemittelt simulieren lassen.
Dazu muß zunächst sichergestellt werden, dass die hydrostatische Druckapproximation auch
in Kurven gültig bleibt. Dies hat Rozovskii [70] für den Fall bestätigt, dass das Verhältnis von
Wassertiefe zu Krümmungsradius klein ist.
Dann benötigen wir die tiefenintegrierten Grundgleichungen in Kurvenkoordinaten. Hier gibt
es entweder die Möglichkeit, die dreidimensionalen Gleichungen in Kurvenkoordinaten über
die Tiefe zu integrieren oder die tiefenintegrierten Gleichungen von kartesischen in Kurvenkoordinaten zu transformieren. Der zweite Weg führt sicherlich schneller zum Ziel. Danach
werden wir die Dispersionskoeffizienten für Kurvenströmungen analysieren und uns wieder
den kartesischen Koordinatensystemen zuwenden.
16.5.1 Die tiefengemittelten Gleichungen
Unter der Annahme einer hydrostatischen Druckverteilung, Erweiterung der Impulsgleichungen mit der Kontinuitätsgleichung zur Divergenzform und dass sich die viskosen Spannungen
über die Tiefe nicht ändern, ergeben sich die tiefengemittelten Impulsgleichungen und die
Kontinuitätsgleichung zu
1
∂uh
+
∂t
1+
2uvh
τB
τW inds
∂u2 h ∂uvh
gh ∂zS
= −
+
+ − s +
n
n
n
∂s
∂n
R 1+ R
1 + R ∂s
R
1
+
1+
1
∂vh
+
∂t
1+
n
R
∂
n
∂s
R
h
Dss
∂
+
∂n
h
Dsn +
2Dsn h
R 1+
n
R
∂zS
τB
τW indn
∂uvh ∂v 2 h (v 2 − u2 )h
= −gh
+
+ − n +
n
∂s
∂n
∂n
R 1+ R
1
+
1+
∂
n
∂s
R
h
Dns
1
∂h
+
∂t
1+
n
R
∂
+
∂n
h
Dnn +
(16.20)
(Dnn − Dss )h
R 1+
n
R
vh
∂uh ∂vh
=0
+
+ ∂s
∂n
R 1 + Rn
Ziehen wir aus beiden Gleichung die tiefengemittelte Kontinuitätsgleichung und nehmen an,
dass die Breite des Flusses klein gegenüber dem Krümmungsradius ist, so ergibt sich das
vereinfachte Gleichungssystem:
Seite 377
∂u
∂u uv
∂zS
∂u
+u
+v
+
= −g
∂t
∂s
∂n
R
∂s
1 ∂
+
h ∂s
hDss
1 ∂
+
h ∂n
hDsn
+
2Dsn τBs τW inds
−
+
R
h
h
∂v
∂v
u2
∂zS
∂v
+u
+v
−
= −g
∂t
∂s
∂n
R
∂n
1 ∂
+
h ∂s
hDns
1 ∂
+
h ∂n
hDnn
+
(16.21)
Dnn − Dss τBn τW indn
−
+
R
h
h
∂h ∂uh ∂vh vh
+
+
+
=0
∂t
∂s
∂n
R
Mit diesen Gleichungen wurden von Dammuller et al. [15] 1989 ohne Berücksichtigung der
dispersiven Spannungen das Fortschreiten von instationären Wellen durch Kurven modelliert.
Die Ergebnisse zeigen eine verzögerte Ankunft der modellierten Welle gegenüber Messungen,
woraus zu folgern ist, dass die dispersiven Terme nicht vernachlässigt werden können.
16.5.2 Der Dispersionskoeffizient der Sekundärströmungen
Die Dispersionskoeffizienten der Tiefenmittlung wirken in den Impulsgleichungen auf die
Umverteilung der Geschwindigkeit in einer Kurve. Sie können dann bestimmt werden, wenn
man Annahmen über die vertikalen Geschwindigkeitsprofile macht. Aus dem linearen Ansatz
für das Geschwindigkeitsprofil der Sekundärströmungen und dem Potenzgesetz für die Hauptströmung ergeben sich die Dispersionskoeffizienten als:
1
1 u2 h2
v v = vs2 = α2 2
3
3
R
u2
m2
1 h 2
u v = 2
u
2κ m R
In der Literatur findet man je nach Voraussetzungen an die Geschwindigkeitsprofile auch andere Darstellungen der Dispersionskoeffizienten. So korrigieren Lien et al. [46] das sehr unrealistische Geschwindigkeitsprofil für die Sekundärströmungen und kombinieren dieses aus
dem logarithmischen Geschwindigkeitsprofil an der Sohle und nichtlinearen Korrekturen.
Mit Hilfe der Dispersionsterme ist eine sehr genaue Simulation der tiefengemittelten Kurvenströmung möglich.
u u =
Seite 378
R =
2 u
H
ro t u
H
H
ro t u ¹ 0 Þ R ¹ ¥
Abbildung 16.9: Die Berechnung des Krümmungsradius aus der Rotation des Geschwindigkeitsfeldes liefert im allgemeinen auch dort Kurven, wo keine sind.
16.5.3 Simulation in kartesischen Koordinaten
Die meisten HN-Modelle sind in kartesischen Koordinaten konzipiert, um eine breite Anwendbarkeit zu gewährleisten. Es stellt sich somit die Frage, ob man hier eine entsprechend gute
Simulation der Kurvenströmung wie in kurvenangepaßten Koordinaten erreicht.
Vielfach werden dabei die tiefenintegrierten Modellgleichungen ohne dispersive Korrekturen
angewendet. Zur Modellierung der turbulenten Viskosität wurde dabei auch das k--Modell
eingesetzt [83], [41]. Diese Modelle überschätzen in der Regel die Geschwindigkeit im Innenbogen und unterschätzen dieselbe im Außenbogen, was auf das Fehlen der Dispersion
zurückzuführen ist.
Will man die Dispersion der Tiefenmittlung berücksichtigen, so stößt man auf zwei Probleme.
Zum einen sind die Komponenten des Dispersionstensors von der Hauptströmung abhängig,
die in kartesischen Koordinaten nicht die u-Komponente sein muß. Hier bietet es sich als
Lösung an, die Strömungsrichtung mit der Hauptströmung zu identifizieren und den Dispersionstensor entsprechend zu drehen.
Das größere Problem ist die Bestimmung des Krümmungsradius R in den Dispersionstermen.
Dabei mag man daran denken, diesen aus der Rotation des Geschwindigkeitsfeldes zu berechnen [51], denn es gilt u = 1/2 rot uR. Hiermit erfaßt man aber jede beliebige Rotation
des Geschwindigkeitsfeldes, also nicht nur die, die durch Kurven erzeugt werden (Abbildung
16.9). Eine andere Möglichkeit könnte die Neigung der freien Oberfläche zur Bestimmung des
Krümmungsradius bieten. Hierzu liegen allerdings noch keine Untersuchungen vor.
Einen Weg, die Abhängigkeit der Dispersionsterme von dem Krümmungsradius vermeiden,
bieten die moment-of-momentum-equations bzw. Impulsmomentengleichungen von Jin und
Seite 379
Steffler (1993) [32]. Hier werden zwei weitere Differentialgleichungen zur Berechnung des
Dispersionstensors gelöst, man kann diesen Ansatz also als Zweigleichungsdispersionsmodell
bezeichnen. Ausgegangen wird von den in kartesischen Koordinaten gekoppelten Primär- und
Sekundärströmungsprofilen
u(z) = u
m+1 z
m
h
1/m
+ uS
2z
−1
h
2z
m + 1 z 1/m
−1
+ vS
m
h
h
wobei uS und vS die Sekundärströmungsanteile an der freien Oberfläche bezeichnen, für die
das tiefenintegrierte Modell blind ist. Bildet man hieraus die Ausdrücke zu , zv , u u , u v und v v , dann kann man aus ihnen folgende Formeln für die Sekundärströmungen und die
Dispersionsterme gewinnen:
v(z) = v
uS =
3u
6zu
−
h
2m + 1
3v
6zv −
h
2m + 1
2
12 u u h = u2 hI0 + 3 zu h
h
12
u v h = uvhI0 + 3 zu hzv h
h
2
12 v v h = v 2 hI0 + 3 zv h
h
m2 − 4m + 1
I0 =
m(m + 2)(2m + 1)2
vS =
Diese enthalten als Unbekannte nur noch die Impulsmomente zu und zv , für die Jin und Steffler eigene Differentialgleichungen durch die Multiplikation der stationären Grundgleichungen
mit z und darauffolgender Tiefenintegration herleiten. Die Anwendung dieses Modellverfahrens verbessert vor allem den lateralen Impulsaustausch in Kurven.
16.5.4 Modellierung der sekundären Sohlschubspannung
Da die tiefenintegrierte Modellierung blind für die Sekundärströmungen ist, bleibt deren Einfluss auf die Sohlschubspannung bisher ebenfalls unberücksichtigt. Dies wollen wir in Anbetracht ihrer wichtigen morphologischen Konsequenzen nun ändern. Engelund [22] hat hierzu die vertikalen Geschwindigkeitsgradienten aus dem Primär- und Sekundärströmungsprofil
ausgewertet und kommt für die Sohlschubspannung auf eine Abweichung δ Grad von der
Hauptströmung, wobei
Seite 380
h
R
ist. Somit bestimmt sich die Sohlschubspannung in Sekundärströmungsrichtung betragsmäßig
als:
h
τn = 7 τs
R
Diese Gleichung läßt sich in der tiefenintegrierten Simulation aber wieder nicht direkt anwenden, weil der Krümmungsradius in der Fläche nicht eindeutig definiert ist. Eine Lösung dieses
Problems deutet sich dann an, wenn man ein beliebiges Gesetz für die Sohlschubspannung der
Hauptströmung explizit einsetzt, wir entscheiden uns für das Taylorgesetz:
tan δ = 7
u2
R
Den hinteren Bruch kennen wir aus der Formel für die Neigung der freien Oberfläche in Kurven, mit ihr können wir den ungeliebten Krümmungsradius eliminieren:
τs = r u2 ⇒ τn = 7r h
7r
∂zS
gh
α
∂n
Wir wollen dieses Gesetz in kartesische Koordinaten transformieren. Dazu schreiben wir die
Gleichung in der zunächst komplizierteren, aber identischen Form:
τn =
7r
gh (grad zS n) n
α
Vom Normaleneinheitsvektor n in Richtung der Sekundärströmung wissen wir nur, dass er
senkrecht zur Hauptströmung, also zur tiefenintegrierten Strömung liegt. Er ist somit
τn =
⎛
⎞
−v ⎠
1
⎝
n = ± √ 2
u + v2
u
Egal mit welchem Vorzeichen man den Einheitsvektor in die vorletzte Gleichung einsetzt, es
kommt immer
⎛
⎞
∂zs ⎝ −v ⎠
8r gh
∂zs
−v
u
τsec = − 2
2
u +v
∂y
∂x
u
(16.22)
heraus. Dabei wurde der Koeffizient der Oberflächenneigung als α = 0.85 angenommen.
Dieser Vektor ist in tiefenintegrierten Modellen der durch die mittlere Strömung induzierten
Sohlschubspannung hinzuzuaddieren.
Abbildung 16.10 zeigt die Anwendung dieses Verfahrens in einem tiefengemittelten Modell
der Unterweser. Es zeigt sich, dass der Einfluss der Sekundärströmungen auf die Sohlschubspannungen hier nur äußerst gering ist. Bei einer zehnfachen Überhöhung des Effektes sieht
man die Ablenkung der Sohlschubspannung in den Innenradius der beiden Kurven deutlicher.
62.
34
0
64.
34
0
66.
34
0
68.
34
0
70.
34
0
72.
34
0
74.
34
0
76.
0
38.
0
34
Seite 381
59
Jade-Weser - Bodenschubspannung
Topographie
mNN
-2.5
-1.25
0
1.25
2.5
59
36.
0
Bodenschubspannung
N/m**2
.75
1.5
2.25
3.
59
32.
0
59
34.
0
0
59
28.
0
59
30.
0
Zeitpunkt: 18.06.1990-06:00
2.50 km
59
26.
0
0
24.
0
Projektkonsortium "Jade-Port"
59
HN-Verfahren TRIM-2D
developed by Casulli & Cheng
Programm HVIEW2D
62.
34
0
64.
34
0
66.
34
0
68.
34
0
70.
34
0
72.
34
0
74.
34
0
76.
19.09.2000
0
38.
0
34
59
Jade-Weser - Bodenschubspannung
Topographie
mNN
-2.5
-1.25
0
1.25
2.5
59
36.
0
Bodenschubspannung
N/m**2
.75
1.5
2.25
3.
59
32.
0
59
34.
0
0
59
28.
0
59
30.
0
Zeitpunkt: 18.06.1990-06:00
2.50 km
59
26.
0
0
24.
0
Projektkonsortium "Jade-Port"
59
HN-Verfahren TRIM-2D
developed by Casulli & Cheng
Programm HVIEW2D
19.09.2000
Abbildung 16.10: Die Sohlschubspannung im Blexer Bogen der Weser, oben: Berechnung
ohne, unten: Berechnung mit 10fach überhöhtem Effekt der Sekundärströmung auf die Schubspannung.
Seite 382
16.6. Eindimensionale Modellierung von Kurvenströmungen
16.6 Eindimensionale Modellierung von Kurvenstr ömungen
In geographischen Karten werden Fließgewässer unter einer vom Maßstab abhängigen Breite durch eine blaue Linie, d.h. durch ein eindimensionales Gebilde abstrahiert. Viele Fragestellungen zu Fließgewässern benötigen tatsächlich nur Antworten in Abhängigkeit von der
Flußkilometrierung also eindimensionale Ergebnisse. Das wichtigste Beispiel ist wieder der
Wasserstand, der über den Querschnitt nur geringe Variationen aufweist.
Daher kommt der Entwicklung von querschnittsgemittelten eindimensionalen HN-Modellen
eine erhebliche praktische Bedeutung zu, da sie zudem mit dem geringsten Rechenaufwand
verbunden sind. Diese Modelle sind heute in vielen Ingenieurbüros und zunehmend auch in
Umwelt- und Wasserwirtschaftsbehörden Stand der Technik.
Eindimensionalen Modellen besitzen allerdings auch einen erheblichen Nachteil, denn sie sind
mit dem größten Schließungsaufwand verbunden. In ihnen müssen nicht nur die Wirkung der
Turbulenz, der vertikalen Dispersion und der Sohlschubspannung, sondern auch die laterale Dispersion und der Einfluß von Sekundärströmungen modelliert werden. In diesem Sinne
stellt die Anwendung eindimensionaler Modelle die höchsten Anforderungen an die Fachkenntnis des Modellierers. Zu seiner Erleichterung kondensieren in einem eindimensionalen
Modell aber alle diese Prozesse zu einem einzigen Parameter, dem Energieliniengefälle, so
daß eine gute Simulation oftmals auch dann gelingt, wenn die Einzelprozesse nicht richtig
bzw. detailliert modelliert werden.
Wir beschreiben zuerst die Bewegung der Uferlinien mit den Methoden der Differentialgeometrie. Dies versetzt uns in die Lage, die tiefenintegrierten Gleichungen noch einmal über die
Breite zu integrieren. Die so gewonnenen Gleichungen von Saint-Venant benötigen als empirischen Input nur noch das Energieliniengefälle, welches z. B. aus der Colebrook-White-Formel
gewonnen werden kann. Wir wollen in diesem Abschnitt uns aber auch darauf konzentrieren,
ob man den Einfluss von Kurven ebenfalls in einem eindimensionalen Modell parametrisieren
kann.
16.6.1 Die Bewegung der Uferlinie
Bei instationärem Abfluß sind die Uferlinien B l auf der linken und Br auf der rechten Seite
der Flußachse nicht fixiert, sondern Funktionen der Hauptstromrichtungskoordinate s und der
Zeit t. Daher wählen wir die räumliche Parametrisierung
⎛
⎞
s
⎠
s→⎝
Br (s, t)
um die Uferlinie Br als Kurve mathematisch zu erfassen. Der Leser bestätigt leicht, daß der
Normaleneinheitsvektor
⎛
Seite 383
⎞
∂Br
1
⎜
⎟
nr = 2 ⎝ ∂s ⎠
−1
1 + ∂Br (s, t)
∂s
ist. Die Undurchdringlichkeitsbedingung eines beweglichen Randes besagt
dBr
= vr
dt
bzw.
∂Br
∂Br
+ ur
= vr
∂t
∂s
und eine entsprechende Bedingung erhält man auch am linken Rand.
(16.23)
16.6.2 Die 1D-Gleichungen von Saint-Venant
Um eine eindimensionale Formulierung der Hydrodynamik in Flüssen zu erhalten, integrieren
wir die tiefengemittelten Gleichungen über die Breite. Wir führen also die Größen
Br
Bf =
f dn
(16.24)
Bl
ein.
Die Mittlung der Kontinuitätsgleichung
Wir starten mit der tiefenintegrierten Kontinuitätsgleichung für Gewässer mit kleinem Verhältnis von Breite zu Krümmungsradius, so wie sie in den Gleichungen (16.21) enthalten ist. Die
über die Gewässerbreite integrierte Gleichung lautet dann
Br
Bl
∂h
dn +
∂t
Br
Bl
∂uh
dn +
∂s
Br
Bl
∂vh
dn +
∂n
Br
Bl
vh
dn = 0
R
Die Anwendung von Leibnizregel und der kinematischen Randbedingungen an den Ufern ergibt:
∂A ∂Qs Qn
+
+
=0
∂t
∂s
R
Darin sind
Seite 384
Br
A=
hdn
Bl
der benetzte Fließquerschnitt,
Br
Qs =
uhdn
Bl
der Durchfluß in der Hauptachsenrichtung n und
Br
Qn =
vhdn
Bl
der Durchfluß senkrecht zur Hauptachse n.
Soll die Berechnung der Strömung auf ein eindimensionales Problem reduziert werden, dürfen
keine Strömungen senkrecht zur Hauptachse zugelassen werden. Diese können aber laut unserer Ableitung prinzipiell noch vorhanden sein. Um aus dem noch vektoriellen Durchfluß ein
Skalar zu machen, müssen wir die Flußachse so wählen, daß sie immer parallel zum Vektor
(Qs , Qn ) ausgerichtet ist. Auf dieser durch die Strömung definierten Flußachse gibt es dann
keine querschnittsgemittelten Querströmungen. Den auf sie bezogenen Durchfluß durch zu ihr
senkrecht liegende Querschnitte wollen wir nun mit dem Symbol Q bezeichnen. Verwenden
wir diese Achse als neue Koordinate n, dann ist die Kontinuitätsgleichung auf ihr durch
∂A ∂Q
+
=0
∂t
∂s
gegeben.
In der Praxis verwendet man eine amtlich festgelegte, zumeist geometrisch bestimmte Achse
als Flußachse und Hauptkoordinate. Deren Länge muß nicht notwendig mit der der hydraulischen Flußachse übereinstimmen. Dies kann eine wesentliche Fehlerquelle eindimensionaler
Betrachtungen sein.
Die Mittlung der Impulsgleichungen
Die wichtigste Voraussetzung für die Breitenmittlung ist die Annahme, daß die tiefengemittelten Transversalgeschwindigkeiten v Null sind. Dazu muß, wie soeben dargelegt, die Koordinatenachse n entsprechend der Hauptströmungsrichtung ausgerichtet werden. Desweiteren sei
der Einfluß des Windes vernachlässigt.
Von der Impulsgleichung in Breitenrichtung bleibt nur noch die gewöhnliche Differentialgleichung für die Neigung der freien Oberfläche in einer Kurve:
Seite 385
∂zS
u2
=g
R
∂n
Von der longitudinalen Impulsgleichung bleibt für v = 0 nur noch:
∂uh ∂u2 h
∂zS
∂
+
= −gh
+
∂t
∂s
∂s
∂s
hDnn
∂
+
∂n
hDsn
+
2Dsn h τB
−
R
Die Integration über die Breite sei termweise durchgeführt. Die linke Seite wird:
Br
Bl
=
∂
∂t
Br
uhdn +
Bl
∂
∂s
∂uh
dn +
∂t
Br
u2 hdn + uh|l
Bl
∂
=
∂t
Br
Bl
∂u2 h
dn
∂s
∂B
∂B
∂Bl
∂Br
l
r
+ u2 h
− uh|r
− u2 h
l ∂s
r ∂s
∂t
∂t
Br
Br
∂
uhdn +
u2 hdn
∂s
Bl
Bl
∂
∂ 2
= uhB + u hB
∂t
∂s
∂
∂
∂
= uhB + uuhB + u (uh) B
∂t
∂s
∂s
Dabei fallen die Randterme in der zweiten Zeile alle weg, wenn man dort die Stokes’sche
Wandhaftbedingung annimmt. Die Dispersionsterme werden:
Br
∂
=
∂s
Br Bl
hDss
∂
∂s
hDss
Bl
∂
Dss
Bh
+
=
∂s
dn + h
Dss Br
dn +
Bl
l
∂
∂n
hDsn
dn
2
∂Bl h
∂Br
(D ns ) nl − 1 +
1+
∂s
∂s
Dss ∂Br
Dsn ∂Bl
Dsn −h
+h
−h
∂s
∂s
r
r
l
τl ∂Bl
∂
∂u
Bhν
+ h 1 +
=
∂s
∂s
∂s
2
2
h
∂Br
τr + h 1 +
∂s
(D ns ) nr
2
In der letzten Zeile wurden die Dispersionseffekte am linken und rechten Ufer zu entsprechenden Schubspannungen zusammengezogen.
Das Integral des Oberflächenterms ist:
Br
−
gh
Bl
∂zS
∂zS
dn = −gA
∂s
∂s
Seite 386
Insgesamt ergibt sich für die Integration über die Breite:
∂zS
∂uhB ∂uuhB
+
= −ghB
− gAIE
∂t
∂s
∂s
mit dem Reibungsterm
gAIE
Dss
∂
Bh
∂s
=
Energieliniengefälle
−
Molekulare Viskosität
Turbulente Viskosität
Tiefenintegrierte Dispersion
+h
τl ∂Bl
1+
∂s
2
+h
τr ∂ u (uh) B
∂s
Laterale Dispersion
∂Br
1+
∂s
2
Reibung von Uferwänden
Br
+
Bl
2νh ∂u
dn
R ∂n
Br
+
Bl
Sekundärströmungen
τB
dn
Sohlreibung
Dabei ist h die über die Breite gemittelte Wassertiefe, sie kann erheblich von der Hauptrinnentiefe abweichen. Unter Einführung des Volumenstroms Q = uhB ergibt sich die bekannte
Normalform der eindimensionalen Gleichungen
∂A ∂Q
+
=0
∂t
∂s
(16.25)
∂Q ∂uQ
∂zS
+
= −gA
− gAIE
∂t
∂s
∂s
Schließlich wollen wir die Saint-Venantschen Gleichungen auf die Abhängigen h und u umschreiben. Die Fließquerschnitte A seien als Funktion der Wassertiefe h bekannt. Mit Hilfe
von Ketten- und Produktregel erhält die Kontinuitätsgleichung die Form
∂h
∂h
+u
∂t
∂s
∂u
∂A
= −A
∂h
∂s
∂A
und teilt durch
Addiert man auf beiden Seiten den Term h ∂u
∂s ∂h
∂A
,
∂h
so folgt die Form
⎛
∂h
∂A
∂h
∂u
∂u ⎝
h−A
+u
+h
=
∂t
∂s
∂s
∂s
∂h
Seite 387
−1 ⎞
⎠
Aus der Impulsgleichung wird die Kontinuitätsgleichung herausgezogen, sie wird durch die
Querschnittsfläche A geteilt und zS durch h + zB ersetzt. Damit erhält man die nach SaintVenant benannten Gleichungen:
⎛
∂h
∂h
∂u
∂u ⎝
∂A
+u
+h
=
h−A
∂t
∂s
∂s
∂s
∂h
−1 ⎞
⎠
∂u
∂u
∂h
∂zB
+u
+g
= −g
− gIE
∂t
∂s
∂s
∂s
Die Q,A-Form ist der u,h-Form vorzuziehen, da deren Variablen echte eindimensionale Größen
sind, während u und h Verteilungen über Breite (und Tiefe) aufweisen.
Das Energieliniengefälle
Das Energieliniengefälle sollte dabei nach dem Gesetz von Darcy-Weisbach
IE =
λ Q2
hV
=
l
dHy 2gA2
berechnet werden, wobei der dimensionslose Beiwert λ nach der Formel von Colebrook-White
aus der Grenzschichttheorie berechnet wird.
16.6.3 Bewertung
Eindimensionale instationäre Fließgewässermodelle stellen heute den unteren Stand der Technik in der numerischen Simulation dar. Ihre Prognosefähigkeit ist durch die Genauigkeit der
Bestimmung des Energieliniengefälles bestimmt und begrenzt.
Letzteres gilt insbesondere für die wasserbauliche Systemanalyse, da es nur schwer möglich
ist, die hydraulische Wirkung von Änderungen in der Gewässergeometrie mit dem Energieliniengefälle korrekt zu erfassen.
Anders ist die bei hydrologischen Anwendungen, wo es im wesentlichen auf eine hinreichende
Kalibrierung des Modells an verschiedenen Abflußereignissen ankommt. Hier erweisen sich
die geringeren Anforderungen an die Computerleistung als besonderes vorteilhaft, sie ermöglichen einen breiten Anwenderkreis und eine effiziente Kopplung mit weiteren hydrologischen
Modellkomponenten.
Seite 388
Naturnahe Fließgewässer bevorzugen oftmals einen kurvigen Verlauf. Die hydrodynamische
Wirkung einer Kurve besteht in einer erhöhten Dissipation kinetischer Energie, wodurch es zu
einer geringeren Belastung der Sohle und zu erhöhter morphodynamischer Stabilität kommt.
Mäander sind somit das Ergebnis eines evolutionären Prozesses, da sie als Form einfach langlebiger als der gerade Verlauf sind.
Im Rahmen der analytischen Hydrodynamik wurden einige Abschätzungen für die sich ausbildenden Sekundärströmungen entwickelt, die Übertragung dieser Ergebnisse auf naturnahe
Systeme ist allerdings mit quantitativen Unsicherheiten verbunden.
Die spiralförmige Bewegung der Wassermassen durch eine Kurve stellt für die dreidimensionale reynoldsgemittelte Simulation prinzipiell kein Problem dar. Schwierig ist die tiefenintegrierte Simulation von Kurvenströmungen, da die Sekundärströmungen tiefenintegriert unsichtbar sind, jedoch einen merklichen Einfluss durch den Effekt der Dispersion auf die Verteilung der Hauptströmung haben. Eine gute Simulation darf hier die Modellierung der Dispersion nicht aussparen. Am einfachsten ist dies in kurvenangepaßten Koordinaten. In kartesischen
Koordinaten hängt der Dispersionstensor vom Krümmungsradius ab, dessen Bestimmung
nicht trivial ist. Die Impulsmomentengleichungen sind ein Zweigleichungsmodell für die Dispersion, bei denen man mit entsprechendem Mehraufwand die Kenntnis des Krümmungsradius
umgeht.
Ferner wurde in diesem Kapitel ein neues Verfahren zur Bestimmung des Einflusses von Sekundärströmungen in Kurven auf die Sohlschubspannung in tiefengemittelten Modellen vorgestellt.
Kapitel 17
Diffusion und Transport
Mit jeder Strömung in Natur und Technik können die verschiedensten organischen und anorganischen Stoffe transportiert werden. Diese sind aus der Sicht der hydrodynamisch-numerischen
Simulation aus zwei (ansonsten sind sie aus nahezu unendlich vielen) Aspekten wichtig. Zum
einen werden viele hydrodynamische Modellrechnungen gemacht, um Transportwege oder
Konzentrationsverteilungen der Stoffe als Funktion von Raum und Zeit zu bestimmen und so
wichtige Aussagen zur Wassergüte oder zum Sedimenttransport gefällt werden können. Die
hydrodynamische Simulation ist dann Teil einer Gew ässergütesimulation.
Zum anderen können die gelösten Stoffe auch die Strömung in erheblichem Maße beeinflussen, wenn sie die Fähigkeit besitzen, die Dichte des Fluids zu verändern. Diese Eigenschaft
haben eigentlich alle Stoffe, wenn sie nur in genügend hoher Konzentration vorhanden sind.
In diesem Fall muß die Strömung als Mehrphasenströmung behandelt werden, für solche
sind aber die in Kapitel ?? hergeleiteten Gleichungen nicht mehr gültig. Wir wollen somit in
weiteren davon ausgehen, dass die Konzentrationen der gelösten Stoffe hinreichend klein sind.
Der Transport von gelösten Stoffen, die keinen Einfluß auf die Hydrodynamik haben, kann in
einem Nachlauf simuliert werden. Stoffe, die auch in geringer Konzentration einen Einfluß auf
die Dichte haben, müssen in direkter Kopplung mit den Navier-Stokes-Gleichungen simuliert
werden, da diese die Dichte als Parameter beinhalten. Auf die hiermit verbundenen Phänomene
werden durch die Begriffe Dichteströmungen und Schichtung beschrieben.
In diesem Kapitel werden wir uns zunächst eingehend mit dem Prozess der Diffusion
beschäftigen. Dann soll die Transportgleichung für einen beliebigen mitbewegten Inhaltsstoff
hergeleitet werden, die die beiden Prozesse Advektion und Diffusion vereinigend beschreibt.
Mit einem kurzen Ausflug in den nichtkonservativem Stofftransport soll dieses Kapitel abgeschlossen werden.
389
17.1. Diffusion
Seite 390
17.1 Diffusion
Diffusion findet immer dann statt, wenn die räumliche Verteilung einer Konzentration unterschiedlich ist. Sie führt dazu, dass solche Konzentrationsgradienten ausgeglichen werden.
Wir wollen uns dem Prozeß der Diffusion auf zwei Wegen nähern. Zunächst werden wir durch
ein stochastisches Modell die Ursache der Diffusion plausibilisieren und die Diffusionsgleichung phänomenologisch herleiten. Dann werden wir die Eigenschaften der Lösungen der
Diffusionsgleichung studieren und in ihnen eine Beschreibung der Diffusion in den exakten
Worten der Mathematik wiedererkennen.
17.1.1 Das erste Ficksche Gesetz
Auf der molekularen Ebene führen alle in einem Fluid gelösten Teilchen kleine stochastische
fluktuierende Bewegungen aus, die als Brownsche Molekularbewegungen bezeichnet werden.
Diese Bewegungen führen dazu, dass sich lokale Änderungen in der Konzentration auf die
Dauer ausgleichen, so dass der gelöste Stoff letztlich im Fluid überall mit derselben Konzentration vorhanden ist. Dies läßt sich mit Hilfe eines einfachen stochastischen Modells zeigen,
welches in Tabelle 17.1 dargestellt ist:
Zu einem Zeitpunkt Null befinden sich 27 Partikel an einem fiktiven Ort x = 4. Wir nehmen
ferner an, dass die Zeit in Zeitschritten und nicht kontinuierlich abläuft. Die Partikel führen
stochastische Bewegungen aus, sie bewegen sich in einem Zeitschritt entweder nach links oder
nach rechts oder sie bleiben dort, wo sie gerade sind. Jede dieser drei Bewegungsformen sei
gleichwahrscheinlich.
Offensichtlich bewegt sich ein Partikel im zeitlichen Mittel nicht von der Stelle. Nachrechnen ergibt aber für die ersten drei Zeitschritte die in Tabelle 17.1 dargestellte Belegung der
Kästchen.
Man kann ferner sehen, dass der Teilchenstrom proportional zur Änderung der Teilchenzahl
zwischen den einzelnen Zellen ist und in entgegengesetzter Richtung zur örtlichen Teilchenzahlsteigung fließt.
Das erste Ficksche Gesetz ist ein deterministisches Modell für diesen stochastischen Prozeß.
Befindet sich in einem Fluid ein gelöster Stoff der Konzentration c, so besagt es, dass sich ein
Massenstrom in Richtung des negativen Konzentrationsgradienten bewegt:
Φc = −Kgrad c.
(17.1)
Der Fluß Φc wird meistens als Massenstrom verwendet, er hat dann die Einheit kg/(m 2 s), gibt
also an, wieviel Kilogramm in einer Sekunde durch eine ein Quadratmeter große Fläche fließen. K wird dabei als Diffusivität und der hier beschriebene Prozeß als Diffusion bezeichnet.
Die Diffusivität hat die Einheit m 2 /s. Sie hat z.B. für Salz in Wasser den sehr kleinen Wert
von 1.1 · 10−9 m2 /s.
17.1. Diffusion
Seite 391
Ort x =
1
2
3
4
5
6
7
Zeitpunkt 0
0
0
0
27
0
0
0
Zeitpunkt 1
0
0
9
9
9
0
0
Zeitpunkt 2
0
3
6
9
6
3
0
Zeitpunkt 3
1
3
6
7
6
3
1
Tabelle 17.1: Stochastisches Experiment zur Diffusion
17.1.2 Der molekulare Diffusionskoeffizient
Die im Jahre 1828 von dem Biologen Robert Brown entdeckte Zitterbewegung der in einem
Fluid gelösten Teilchen hat ihre Ursache wieder in der thermischen Bewegung der Moleküle
des Trägerfluids. Diese stoßen das gelöste Teilchen unregelmäßig an, so dass immer wieder
ein Nettoimpuls in irgendeine Richtung entsteht und dass Teilchen bewegt wird. Damit muss
der Diffusionskoeffizient der Brownschen Molekularbewegung proportional zur thermischen
Energie und umgekehrt proportional zum Strömungswiderstand des Teilchens sein, der dessen
Beweglichkeit bremst. Nach der sogenannten Stokes-Einstein-Beziehung gilt:
K=
kT
6πμR
(17.2)
Diese Beziehung gilt allerdings nur für sehr kleine Konzentrationen. Bei größeren Volumenanteilen φ der Inhaltsstoffe gilt nach Batchelor:
K=
kT
(1 − 1.83φ)
6πμR
(17.3)
17.1. Diffusion
Seite 392
17.1.3 Die Diffusionsgleichung
Wir wollen nun die Massenänderung infolge Diffusion in einem raumfesten Kontrollvolumen
Ω bilanzieren. Dazu wird der Diffusionsfluß Φc über den Rand des Kontrollvolumens ∂Ω integriert:
−
K grad c dS
∂Ω
aus dem Gebiet hinaus zeigt, gibt dieser Term die Abnahme
Da der Flächennormalenvektor S
der Konzentration im Kontrollvolumen Ω an. Somit gilt für die Änderung der Masse m im
Kontrollvolumen Ω:
∂m
∂
=
∂t
∂t
K grad c dS,
c dΩ =
Ω
∂Ω
Das Integrationsgebiet Ω ist nicht zeitabhängig, also kann man Integration und Zeitableitung
vertauschen. Auf die linke Seite wird zudem der Gaußsche Integralsatz 1.4 angewendet:
Ω
∂c
dΩ =
∂t
div K grad c dΩ
Ω
Da diese Gleichung für beliebig wählbare Kontrollvolumina Ω gilt, müssen die Integranden
gleich sein und wir erhalten die Diffusionsgleichung in der handlichen Schreibweise:
∂c
= div K grad c
(17.4)
∂t
Ist die Diffusivität K eine Konstante, so lautet die Diffusionsgleichung ausgeschrieben:
∂2c
∂2c
∂2c
∂c
=K 2 +K 2 +K 2
∂t
∂x
∂y
∂z
Die Diffusionsgleichung ist eines der Urgesteine der mathematischen Physik. Sie ist das Paradigma für sogenannte parabolische Differentialgleichungen, die insbesondere irreversible
Naturvorgänge beschreiben. Dies ist durch einen nochmaligen Blick auf Tabelle 17.1 sehr
schnell zu erkennen: Nehmen wir einmal an, dass die Teilchen den Raum der Tabelle zwischen x = 1 und x = 7 nicht verlassen können. Nach wenigen weiteren Zeitschitten werden
in jedem Kästchen im Mittel 3.85, also bis auf kleine Schwankungen überall gleich viele Teilchen liegen bleiben. Damit ist aber dann nicht mehr erkennbar, ob der Startort der Teilchen bei
x = 4 oder in einem anderen Kästchen, z.B. bei x = 1 gewesen ist. Befinden wir uns in dieser
gleichverteilten Zukunft und wollen in die Vergangenheit blicken, werden wir keine Erkenntnisse darüber mit Hilfe von physikalischen Gesetzen erhalten. Man bezeichnet die Diffusion
deshalb als irreversiblen Vorgang.
17.1. Diffusion
Seite 393
17.1.4 Fourieranalyse der Diffusionsgleichung
Die eindimensionale Diffusionsgleichung läßt sich bei konstanter Diffusivität für nahezu beliebige natürliche Anfangsbedingungen exakt lösen. Dadurch wird man hier in die glückliche
Lage versetzt, das Verhalten ihrer Lösungen genau zu analysieren. Wir beginnen dazu mit einer
sehr speziellen Lösung. Man kann durch Einsetzen der Funktionen
c(x, t) = cos kx e−k
2 Kt
und
c(x, t) = sin kx e−k
2 Kt
in die eindimensionale Diffusionsgleichung
∂2c
∂c
=K 2
∂t
∂x
bestätigen, dass diese die einfachsten nichttrivialen Lösungen derselben sind. Studieren wir
das Verhalten dieser Lösungen: Zu einem Anfangszeitpunkt t = 0 stellen sie reine Sinusbzw. Cosinusfunktionen mit der Wellenzahl k und somit einer Wellenlänge von λ = 2π/k und
der Amplitude 1 dar. Eine durch eine solche Funktion beschriebene Konzentrationsverteilung
hätte den Mittelwert Null und an vielen Stellen negative Konzentrationen. Diese einfachen
mathematischen Lösungen sind also physikalisch nicht sinnvoll, wodurch wir uns aber nicht
sofort entmutigen lassen sollten.
Mit zunehmender Zeit t wird eine solche Anfangswelle der Mode k in der Amplitude durch
2
den Faktor e−k Kt gedämpft. Umso kleiner die Wellenlänge d.h. umso größer die Wellenzahl
k ist, desto schneller wird die Mode gedämpft. Im Grenzverhalten konvergiert die Exponentialfunktion gegen Null, und zwar zudem umso schneller, desto größer die Diffusionskonstante
K ist. Damit konvergiert auch die Gesamtlösung gegen Null, also gegen ihren Mittelwert.
Wir wollen nun versuchen, physikalisch sinnvolle Lösungen zu konstruieren. Die Schlüsselrolle dabei spielt die Tatsache, dass die Diffusionsgleichung eine lineare Differentialgleichung
ist. Dies bedeutet, dass jede Linearkombination von Lösungen wieder eine Lösung produziert.
Lineare Differentialgleichungen sind also das mathematische Analogon zum Superpositionsprinzip der Physik. In unserem Fall ist also
∞
c(x, t) =
(Ak cos kx + Bk sin kx) e−k
2 Kt
k=0
für beliebige Koeffizienten Ak und Bk ebenfalls eine Lösung der Diffusiongleichung. Aber
auch eine Integralfunktion in der Form
∞
(A(k) cos kx + B(k) sin kx)e−k
c(x, t) =
0
2 Kt
dk
(17.5)
17.1. Diffusion
Seite 394
ist eine Lösung der Diffusionsgleichung, da Integrale nach der Riemannschen Definition nichts
anderes als ’unendlich feine’ Summen sind. Man bezeichnet diese besondere Funktion auch
als ein Fourierintegral. Durch die frei wählbaren Funktionen A(k) und B(k) hat man nun einen
außergewöhnlich hohen Freiheitsgrad gewonnen, neue Lösungen zu konstruieren. Dies wollen
wir ausnutzen.
Die Natur konfrontiert uns in der Regel mit beliebigen (und natürlich auch dreidimensionalen)
Anfangsverteilungen in Form einer Funktion
c(x, t = 0) = c0 (x)
zur Zeit t = 0, wobei die Konzentrationen positiv sind. Wir suchen nun die frei wählbaren
Funktionen A(k) und B(k) so, dass
∞
c(x, t = 0) = c0 (x) =
(A(k) cos kx + B(k) sin kx)dk
0
erfüllt ist, womit wir dann den weiteren zeitlichen Verlauf der Lösung durch Gleichung 17.5
erhalten. Wann dies geht und wie man es macht, besagt der Satz von Fourier:
Satz von Fourier: Sei c0 eine reellwertige stückweise stetige Funktion mit stückweise stetiger
Ableitung. Weiter sei c0 quadratintegrabel d.h.
+∞
|c0 (x)|2 dx < ∞.
−∞
Dann läßt sich c0 darstellen als
∞
c0 (x) =
A(k) cos kx + B(k) sin kxdk
0
wobei
1
A(k) =
π
1
B(k) =
π
+∞
c0 (x) cos kxdx
−∞
+∞
c0 (x) sin kxdx
−∞
gilt.
Für t → ∞ bleibt einzig der Mode k = 0 eine Dämpfung erspart, d.h. im asymptotischen
Verhalten strebt jede Lösung des Anfangswertproblems gegen den Mittelwert der Anfangsbedingung. Dies entspricht genau der Phänomenologie der Diffusion, Gradienten auszugleichen.
Es sei an dieser Stelle nachträglich bemerkt, dass die viskosen Terme der Navier-StokesGleichungen den mathematischen Charakter der Diffusion beinhalten, auch sie streben eine
Gleichverteilung des Impulses durch die Dämpfung hochfrequenter Moden an. Ferner enthalten die Wirbeltransportgleichung und die Wärmetransportgleichung diffusive Terme.
17.2. Die Transportgleichung
c
Seite 395
c(t = 0)
6
c(t → ∞)
-
x
Abbildung 17.1: Asymptotisches Verhalten einer Lösung der Diffusionsgleichung.
17.2 Die Transportgleichung
Wir wollen nun Advektion und Diffusion zusammenbringen, wodurch man die Ausbreitung
von Inhaltsstoffen geringer Konzentration in einem sich bewegenden Trägerfluid simulieren
kann. Dazu betrachten wir die Änderung der Konzentration c in einem sich mit der Strömung
bewegenden Fluidvolumen Ω, d.h. wir bestimmen die Lagrangesche Änderung der Masse m
entlang der Bahnlinie des Kontrollvolumens:
D
Dm
=
Dt
Dt
cdΩ =
Ω
K grad c dS
∂Ω
Mit Hilfe des Reynoldsschen Transporttheorems wird die substantielle Ableitung unter das
Integral gezogen. Auf die rechte Seite wird ferner der Gaußsche Integralsatz angewendet:
Ω
∂c
+ div (uc)dΩ =
∂t
div K grad c dΩ
Ω
Wieder haben wir erreicht, dass auf beiden Seiten dieselbe Form von Integral berechnet werden
muß. Die Gleichheit der Integranten folgt aus der Tatsache, dass die Herleitung für beliebige
Kontrollvolumina gültig ist:
∂c
+ div (uc) = div K grad c
(17.6)
∂t
Damit haben wir die konservative Form der Transportgleichung hergeleitet. Vielfach sieht
man sie aber auch in ihrer sogenannten Divergenzform:
∂c
+ div (uc − K grad c) = 0
∂t
Aus ihr läßt sich der vollständige Fluß der Konzentration c ablesen, er ist
17.3. Umsetzungs- und Abbauprozesse
Seite 396
Φc = uc − Kgrad c
(17.7)
und setzt sich aus dem advektiven Fluß uc und dem diffusiven Fluß −K grad c zusammen.
Gilt für die Strömungsgeschwindigkeiten die Kontinuitätsgleichung div u = 0 so ergibt sich
für den Term
div (uc) = c div u + u grad c = u grad c
und somit die nichtkonservative Form der Transportgleichung:
∂c
+ u grad c = div K grad c
∂t
Ausgeschrieben lautet sie:
∂2c
∂2c
∂2c
∂c
∂c
∂c
∂c
=K 2 +K 2 +K 2
+u
+v
+w
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
Advektion
(17.8)
Diffusion
Für c = ω bzw. c = T ergeben sich die Wirbel- und die Wärmetransportgleichung.
17.3 Umsetzungs- und Abbauprozesse
Die bisher hergeleitete Transportgleichung ist nur für konservative Stoffe gültig, sie beinhaltet
keine Umsetzungs- und Abbauprozesse. Um diese zu modellieren, müssen die Transportgleichungen der beteiligten Stoffe sowie deren Wechselwirkungen gelöst werden.
Ein System von allgemeinen Transportgleichungen (engl.: General Dynamic Equations -GDE)
ist ein Satz von Transportgleichungen, in denen Austauschterme zwischen den einzelnen transportierten Stoffen berücksichtigt werden.
Sei ck die Konzentration eines bestimmten Materials in der Strömung, so läßt sich die allgemeine Transportgleichung schreiben als
(
∂ck
∂ck
+ div (uck ) = div K grad ck +
∂t
∂t
)
(
∂ck
+
∂t
Quelle
)
Senke
so dass neben der Advektion und Diffusion des Materials auch* nichtkonservative
Prozesse
+
oder Verringerung
berücksichtigt werden, die entweder zu einer lokalen Erhöhung ∂c∂tk
der Konzentration
*
+
∂ck
∂t Senke
Quelle
führen.
17.3. Umsetzungs- und Abbauprozesse
Seite 397
17.3.1 Der radioaktive Zerfall
Am einfachsten sind Abbauprozesse zu behandeln, da hier nur ein Reagent involviert ist. So
gilt z.B. für den radioaktiven Zerfall eines nicht transportierten Materials das Zerfallsgesetz
∂c
= −λc
∂t
wobei λ die Zerfallswahrscheinlichkeit ist. Die Radioaktivität baut sich also umso schneller
ab, desto mehr von ihr vorhanden ist. Diese Differentialgleichung besitzt die Lösung
c(x, y, z, t) = c0 (x, y, z)e−λt
wobei c0 (x, y, z) die Konzentration der Substanz am Ort (x, y, z) zur Anfangszeit t = 0 ist.
Man kann die Zerfallswahrscheinlichkeit auch durch die Halbwertszeit T 1/2 charakterisieren,
d.h. die Zeit, nach der nur noch die Hälfte des radioaktiven Ausgangsmaterials vorhanden ist.
Für sie gilt:
ln 2
1
c0 (x, y, z) = c0 (x, y, z)e−λT1/2 ⇒ T1/2 =
2
λ
Somit gilt für das Zerfallsgesetz:
c(x, y, z, t) = c0 (x, y, z)e− ln 2t/T1/2 = c0 (x, y, z)2−t/T1/2
Der Transport einer radioaktiven Substanz in einer Strömung und deren gleichzeitiger Abbau
wird durch die Differentialgleichung
∂c
+ div (uc) = div K grad c − λc
∂t
beschrieben.
17.3.2 Binäre Umsetzungsprozesse
Ein binärer Umsetzungsprozeß, der durch die stöchiometrische Gleichung
A + B → AB
und die Reaktionskinetik
k
∂cA
= − cA cB
∂t
2
beschrieben wird, liefert das gekoppelte System von verallgemeinerten Transportgleichungen
∂cA
k
+ div (ucA ) = div K grad cA − cA cB
∂t
2
k
∂cB
+ div (ucB ) = div K grad cB − cA cB
∂t
2
∂cAB
+ div (ucAB ) = div K grad cAB + kcA cB
∂t
welches in einem entsprechenden hydrodynamisch-numerischen Modell zu lösen wäre.
17.4. Transport und Turbulenz
Seite 398
Beispiel: Der Wassergüteparameter Sauerstoff
Die Konzentration an gelöstem Sauerstoff (engl. dissolved oxygen - D.O.) in einem Gewässer
ist der wichtigste Parameter der Wasserqualität. Bei Konzentrationen unter 3 - 4 mg/l wird der
Anteil an aeroben aquatischen Organismen erheblich reduziert. Im Extremfall des vollständigen Sauerstoffdefizits werden nur anaerob lebende Protozoen (Bakterien, die eine Gärung einleiten) zu finden sein.
Diese 3 - 4 mg/l Sauerstoff entsprechen etwa 40 % des Sauerstoffsättigungswertes bei 20 o C.
Der Sättigungswert cs des Sauerstoffs ist eine Funktion der Temperatur, des Salzgehaltes und
des Druckes. Er ist bei Luftdruck und 0 o C etwa 14.5 mg/l und sinkt auf 7.2 mg/l bei 30 o C.
Er ist proportional zum Druck, ist also in 10 m Wassertiefe etwa doppelt so groß wie an der
Wasseroberfläche und sinkt linear mit dem Salzgehalt.
Sauerstoff wird von vielen Organismen für die Stoffwechselatmung und für den Abbau biologischer Substanzen benötigt. Da die Anzahl der Arten von Organismen sehr groß ist und sich
praktisch kaum bestimmen läßt, werden diese über einen Summenparameter, den biologischen
Sauerstoffbedarf (BSB) erfaßt. Entsprechend benötigen verschiedene chemische Umsetzungsprozesse Sauerstoff, sie faßt man zum Summenparameter chemischer Sauerstoffbedarf (CSB)
zusammen. Als Quellen des Sauerstoffeintrages in das Gewässer stehen nur der Eintrag aus
der Atmosphäre und die Photosynthese zur Verfügung.
Ein auf dem Sauerstoffgehalt basierendes Gewässergütemodell besteht neben dem hydrodynamischen Modul, welches Transportgeschwindigkeiten und Druck liefert, aus Transportmodellen mit den entsprechenden Umsetzungsprozessen für die Wärme, gegebenenfalls für den
Salzgehalt, für den BSB und den CSB.
17.4 Transport und Turbulenz
Turbulenz hat auch einen Einfluss auf das Ausbreitungsverhalten eines Inhaltsstoffes der Konzentration c, der in einer Strömung mitgeführt wird. Diesen wollen wir nun untersuchen.
17.4.1 Die Reynoldsmittlung der Transportgleichungen
Zur Mittlung von Transportgleichungen wird die Konzentration in einen mittleren und fluktuierenden Anteil aufgeteilt:
c = c + c
Durch die Ausführung der Reynoldsmittlung gehen Transportgleichungen in die Form
∂c
∂c
∂c
∂c
∂
∂c
∂
∂c
K
K
+u
+v
+w
=
− u c +
− v c
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x ∂x
∂y
∂y
∂
∂c
+
K
−wc
∂z
∂z
Seite 399
über.
Wir wollen die Reynoldsmittlung nun aber an einer früheren Stelle der physikalischen Theoriebildung anwenden. Dazu nehmen wir an, dass gelöste Stoffe rein advektiv mit der Strömung
transportiert werden, ihre zeitliche Änderung wird also durch die Gleichung
∂c
∂c
∂c
∂c
+u
+v
+w
=0
∂t
∂x
∂y
∂z
beschrieben. Als Ursache der molekularen Diffusion hatten wir in Kapitel 17 stochastische
Bewegungen der Partikel der in einem Fluid gelösten Stoffe ausgemacht. Diese Partikelbewegungen werden durch die thermische Bewegung der Wassermoleküle angeregt. Wir wollen nun
durch u und c nicht die turbulenten sondern die thermischen Geschwindigkeitsschwankungen
und die dadurch ausgelösten Konzentrationsfluktuationen beschreiben. Die Mittlung soll über
ein Zeitintervall erfolgen, das im Vergleich zum Zeitmaßstab der thermischen Schwankungen
groß und zu dem der turbulenten Schwankungen klein ist. Die Reynoldsmittlung liefert dann:
∂c
∂ ∂ ∂ ∂c
∂c
∂c
−u c +
−v c +
−w c
+u
+v
+w
=
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
Aus dem Vergleich mit der originären Transportgleichung kann man folgern, dass
K
∂c
= −u c
∂x
gilt. Wir haben also einen Zusammenhang zwischen molekularer Diffusion und thermischen
Fluktuationen gefunden. Leider lassen sich hieraus keine Diffusionskoeffizienten ableiten,
aber wir werden diesen Zusammenhang für einen Analogieschluß in der Turbulenztheorie gebrauchen.
17.4.2 Das Prinzip der Wirbeldiffusivität
Das Prinzip der Wirbelviskosität läßt sich auch auf Transportgleichungen anwenden; hier bezeichnet man es korrekterweise als Prinzip der Wirbeldiffusivität, wobei die Vorgehensweise
analog ist. Man erhält dann folgende Form der Transportgleichung:
∂
∂
∂
∂c
∂c
∂c
∂c
∂c
∂c
∂c
+u
+v
+w
=
Kt
+
Kt
+ Kt
(17.9)
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
Kt ist dabei nicht mehr die molekulare Diffusivität, sondern eine vom jeweiligen Strömungszustand abhängige turbulente Diffusivität.
Turbulenz wirkt sich also wie eine Erhöhung der Diffusivität aus. Diesen Effekt nutzen wir
täglich beim Umrühren der Milch oder des Zuckers in der Kaffee- oder Teetasse aus. Würden
wir uns das Umrühren verkneifen, so wäre der Kaffee lange kalt, bis sich der Zucker oder
die Milch durch molekulare Diffusion gleichmäßig in der Tasse verteilt hätte. Beim chaotischen Umrühren bleibt die über die Tasse gemittelte Fließgeschwindigkeit -sofern wir nichts
Seite 400
verschütten - Null. Die Fluidbewegungen, die dennoch in der Tasse auftreten, kann man daher
als turbulente Fluktuationen verstehen, die die Diffusivität in der Tasse erheblich erhöhen.
Das Verhältnis von turbulenter Viskosität zu turbulenter Diffusivität
σt =
νt
Kt
(17.10)
bezeichnet man als turbulente Prandtlzahl. Sie liegt für gelöste Stoffe in der Nähe von Eins,
was sich dadurch erklärt, dass die turbulente Diffusion durch turbulente Schwankungen des
Strömungsfeldes bestimmt ist: Konzentrationsgradienten werden über denselben Mechanismus wie Geschwindigkeitsgradienten abgebaut.
17.4.3 Turbulente Dichtekorrelationen
In manchen Anwendungen kann auch die Dichte turbulenten Schwankungen unterworfen sein.
Wir setzen also
=
+
und mitteln den Druckterm. Da dies für die Korrelation eines Quotienten zweier physikalischer
Größen nicht so einfach ist, approximieren wir zuerst den Druckterm durch:
1
+
∂(p + p )
=
∂x
1
1+
∞
1
∂(p + p )
∂x
n
∂(p + p )
∂x
n=0
∂(p + p )
1
1−
∂x
1 ∂p
∂p 1 ∂p
∂p
=
− 2
+
− 2
∂x
∂x
∂x
∂x
=
−
Dabei wurde in der zweiten Zeile der Herleitung der Druckquotient durch die Neumannsche
Reihe ersetzt. Von dieser wurden in der dritten Zeile nur die ersten beiden Terme beachtet,
da der Quotient der Dichtefluktuationen zu der mittleren Dichte für hohe Potenzen sehr klein
wird. In der vierten Zeile wurden alle Terme ausmultipliziert. Bei der nun folgenden Mittlung
fallen der zweite und der dritte Term weg, da in ihnen nur reine Fluktuationen stehen:
1
+
1 ∂p
∂(p + p )
=
−
∂x
∂x
∂p
2 ∂x
Neben dem Druckterm für die mittleren Größen ist ein neuer Term hinzugekommen, der turbulente Dichtekorrelationen enthält. Dieser fällt weg, wenn Fluide konstanter Dichte betrachtet
17.5. Eindimensionale Transportmodelle
Seite 401
werden. Daher wird in der Literatur über diesen Term wenig gesagt, insbesondere wird die experimentelle Untersuchung der Turbulenz oftmals mit ’reinem’ Wasser durchgeführt, um die
Situation nicht weiter zu erschweren. In natürlichen Fließgewässern ist er zunächst allerdings
nicht zu vernachlässigen.
17.5 Eindimensionale Transportmodelle
Die eindimensionale Transportgleichung läßt sich entweder durch die Tiefenmittlung der breitengemittelten Transportgleichung oder umgekehrt herleiten. Sie lautet:
∂c
1 ∂
∂c
∂c
+u
=
KA
∂t
∂x
A ∂x
∂x
(17.11)
Der einzige empirische Koeffizient in dieser Gleichung ist der sogenannte Dispersionskoeffizient K der Querschnittsmittlung.
Der Effekt der Dispersion wurde zuerst von Sir Geoffrey Taylor 1953 in einem Artikel zur
Ausbreitung von gelösten Stoffen in laminaren Rohrströmungen veröffentlicht und das Konzept ein Jahr später auch auf turbulente Strömungen ausgedehnt [24]. In der Folge kam es zu
einer intensiveren Untersuchung der Dispersion vor allem deshalb, weil sie die sehr rasche
Ausbreitung von gewässergüterelevanten Stoffen erklären konnte, die bisher weder im Rahmen der molekularen Diffusion noch durch Turbulenzeffekte nachvollzuziehen war. Unter der
Dispersion verstand man dabei jegliche Tendenz einer gegebenen Verteilung, sich räumlich
auszubreiten. [12]. Dies beinhaltet also auch die molekulare und turbulente Viskosität. Die in
dieser computerarmen Zeit entwickelten Konzepte bezogen sich auf die über den gesamten
Fließquerschnitt gemittelte Strömung, da hauptsächlich eindimensionale Betrachtungweisen
angewendet wurden.
Die wichtigsten halbtheoretischen und empirischen Formeln hierzu werden im folgenden (in
Anlehnung an [73]) kurz aufgeführt.
Unter den Annahmen eines logarithmischen Geschwindigkeitsprofils und der Gleichheit der
vertikalen Dispersionskoeffizienten für den Impuls und für den Transport entwickelte Elder
(1959) die Formel
K = 5.93hu∗
Parker (1961) adaptierte Taylors Theorie der longitudinalen Dispersion (1954) für Rohre auf
ein halbkreisförmiges Gerinne mit hydraulischem Radius R und erhält:
3/2
K = 14.28rHy 2gIE
Hierin ist IE wieder das Energieliniengefälle.
17.5. Eindimensionale Transportmodelle
Seite 402
Fischer (1966, 1968) wertet das laterale Geschwindigkeitsprofil für Flüsse aus, deren Tiefe
gegenüber der Breite groß ist und erhält den Integralausdruck
1
K=−
A
y
Br
hu
Bl
0
y
1
t h
hu dydydy
0
wobei Bl − Br = B die Breite des Flusses und t der transversale turbulente Diffusionskoeffizient ist. Da dieser Ausdruck wegen der fehlenden Kenntnisse über die transversalen
Verhältnisse in einem 1D-Modell nicht verwendbar ist, führte er Approximationen für diese
ein und erhält (1975):
K = 0.011
u2 B 2
hu∗
In einem Geniestreich wird die Gleichung 1977 von Liu verallgemeinert zu
K=β
u2 B 2
hu∗
wobei Liu für β keine Konstante sondern aus der Least-Square-Approximation von Naturdaten
die Formel
β = 0.18
u∗
u
1.5
Magazine et al. (1988) geben in einer experimentellen Studie unter besonderer Berücksichtigung der Rauheit von Boden und lateralen Berandungen die Beziehung
K = 75.86rHy uP 1.632
an, wobei
P = 0.4
u
u∗
Ein besonderen Ansatz stellen Asai and Fujsaki (1991) vor, sie erhalten den longitudinalen Dispersionskoeffizienten durch Downscaling mit Hilfe eines k--Modells. Dabei finden sie zwar
keine neue Beziehung, stellen aber fest, daß der Dispersionskoeffizient mit dem Verhältnis
von Breite zu Tiefe zunimmt, solange dieses unter 20 liegt. Darüber nimmt der longitudinale
Dispersionskoeffizient ab.
Aus der Auswertung von Labor- und Felddaten erhalten Iwasa und Aya (1991)
K = 2.0hu∗
B
h
1.5
Seo und Cheong [73] geben schließlich 1998 die durch Multiregressionsanalyse aus 24 Datensätzen gewonnene Beziehung
17.7. Übungen
Seite 403
K = 5.915hu∗
B
h
0.620
u
u∗
1.428
an. Um eigene Entscheidungen des Lesers für eine longitudinale Dispersionsbeziehung zu
vereinfachen, seien die Folgerungen von Seo und Cheong unkommentiert übernommen: Sie
stellen fest, daß Elders und Magazines Ansätze den longitudinalen Dispersionskoeffizienten
unterschätzen während Fischers und Lius Ansätze zur Übertreibung neigen. Die sonstigen
Ansätze liegen tendenziell richtig, was auch immer das heißt.
Wir kommen zurück zur Sprache der Differentialgleichungen. Die Bestandteile der Transportgleichung sind die Advektion und Diffusion. Komplizierte Differentialgleichungen der
Hydrodynamik sollte man also immer zuerst nach advektiven Termen absuchen. Sind diese
vorhanden, schaut der zweite Blick nach diffusiven Termen. Der dabei auftauchende Vorfaktor
beschreibt die Diffusivität des Prozesses. Sind auch diese vorhanden, so beschreibt die Differentialgleichung einen Transportprozess der entsprechenden Größe und die weiteren Leseund Interpretationsbemühungen brauchen sich nur noch auf die verbleibenden Terme zu konzentrieren.
17.7 Übungen
1. In einen 200 m breiten und 2.6 m tiefen Fluss wird bei einem Abfluss von Q = 100m 3 /s
von einer radioaktiven Substanz der Halbwertszeit T1/2 = 37 Tage 50 ml eingeleitet.
Berechnen Sie unter Vernachlässigung der Diffusion, wann und wieviel dieser Substanz
einen Ort 100 km stromab der Einleitung erreicht.
2. Zeigen Sie, dass
c(x, t) = √
(x−ut)2
m
e− 4Kt
4πKt
eine Lösung der eindimensionalen Transportgleichung
∂c
∂2c
∂c
+u
=K 2
∂t
∂x
∂x
ist. Skizzieren Sie die Lösung für verschiedene Zeitpunkte.
Seite 404
17.7. Übungen
Kapitel 18
Thermik der Fließgewässer
Die Temperaturverteilung in einem Fließgewässer ist der wichtigste unabhängige die
Gewässergüte bestimmende Parameter. Alle weiteren wie z.B. der Sauerstoffgehalt hängen
direkt oder indirekt von der Temperatur ab. Bisher haben wir nur die Turbulenz als Wärmequelle der Gewässer identifizieren können, sie ist jedoch unbedeutend gegenüber dem Wärmeaustausch mit der Atmosphäre, der die Thermik eines Fließgewässers regional vollständig bestimmt. Dieser Austausch geschieht über eine Reihe von Prozessen, denen wir uns im Anschluss an die Einleitung zuwenden. Er ist besonders im Rahmen der Klimaforschung untersucht worden und liefert uns Randbedingungen für die Transportgleichung der Temperatur.
Dann kommen wir zu einem Phänomen, welches in jeder öffentlichen Badeanstalt angeschlagen steht. Die Tatsache, dass die Wasser- selten gleich der Lufttemperatur ist, weist darauf
hin, dass nicht die Temperatur, sondern Wärmeenergie zwischen beiden Sphären ausgetauscht
und die gleiche Wärmemenge in verschiedenen Medien mit unterschiedlichen Temperaturen
gefühlt wird. Wir werden dies durch das Gleichgewichtskonzept beschreiben und sommerwarme von sommerkühlen Fließgewässern zu unterscheiden lernen.
Schließlich werden wir als ein Beispiel für eine Dichteströmung die Konvektion betrachten.
18.1 Wärmeaustausch mit der Atmosph äre
Für die Wärmetransportgleichung müssen Randbedingungen d.h. der Wärmefluss an der freien
Oberfläche als auch am Boden bekannt sein. Sind die Temperatur von Wasser und darunter liegendem Boden gleich, so findet kein Wärmefluss zwischen beiden statt. Dies ist bei genügend
tiefem Wasser und bei kurzen Modellierungszeiträumen hinreichend. Sollen jedoch saisonale Temperaturschwankungen erfaßt werden, so müssen Temperaturschwankungen im Boden
mitberücksichtigt werden.
An der freien Oberfläche findet ein Wärmeaustausch mit der Atmosphäre statt, der sich physikalisch aus drei Komponenten zusammensetzt. Zum ersten gibt jeder erwärmte Körper
(T > 0K) elektromagnetische Strahlung und somit Energie ab. Den hiermit verbundenen
405
18.1. Wärmeaustausch mit der Atmosphäre
Seite 406
Energiefluss bezeichnen wir mit ΦS , er kann je nach Strahlungsbilanz dem Wasserkörper Energie zuführen oder entziehen.
Der zweite physikalische Prozess des Wärmeaustausch mit der Atmosphäre ist die Verdunstung, den zugehörigen Wärmestrom bezeichnen wir als ΦV . Schließlich ist der konvektive
Austausch zu erwähnen, der einen Wärmestrom ΦK durch die direkte Übertragung von Energie an der Grenzfläche Wasser/Luft darstellt. Der Gesamtwärmestrom ist somit:
Φ = ΦS + ΦV + ΦK
(18.1)
In Fließgewässern kann die elektromagnetische Gesamtstrahlungsbilanz Φ S an der Wasseroberfläche durch das Anbringen wasserspiegelnaher Messgeräte für den Strahlungsdruck bestimmt werden. Ist dies nicht möglich (etwa in der Ozeanographie wegen der Ausdehnung des
betrachteten Gebietes), so lässt sich die Gesamtstrahlung durch ein Ersatzmodell bestimmen,
welches diese in drei Anteile zerlegt, die Funktionen einfacher meteorologischer Daten sind.
Diese drei Anteile sind die Globalstrahlung Φ GS , die atmosphärische Gegenstrahlung ΦAT und
die Rückstrahlung der Gewässeroberfläche ΦR . Der Gesamtwärmestrom an der Wasseroberfläche ist dann
Φ = ΦGS + ΦR + ΦAT + ΦV + ΦK ,
(18.2)
wobei zur Lösung der Wärmeleitungsgleichung der Temperaturfluss Φ T benötigt wird, der sich
einfach aus
ΦT =
Φ
ρc
(18.3)
bestimmt. Quantifizieren wir nun die Einzelbestandteile (nach [19]).
18.1.1 Globalstrahlung
Der kurzwellige energiereiche Bereich der Sonnenstrahlung, der direkt auf die Wasseroberfläche scheint, wird als Globalstrahlung bezeichnet. Der hiermit verbundene Wärmestrom berechnet sich als
ΦGS = rS sin α∗ τ m 1 − 0.65C 2 ,
wobei S die Solarkonstante ist, die die Strahlungsleistung der Sonne pro Quadratmeter Erdoberfläche angibt. Die Solarkonstante ist S = 1354W/m2. Das Wasser absorbiert nur etwa 94
Prozent der Sonnenstrahlung, daher kommt mit r = 0.94 der Absorptionsgrad der Wasseroberfläche in die Formel. Ferner wissen alle Sonnenanbeter, dass die Sonnenstrahlung mit der
Bewölkung C abnimmt. Schließlich muss man noch den Sonnenstand über dem Horizont α ∗
modellieren, für ihn gilt
Seite 407
70
50
40
Sonnenstand über Horizont [°]
60
30
20
10
50
0
90
92
94
96
98
100
40
30
20
10
0
0
50
100
150
200
Tag des Jahres
250
300
350
Abbildung 18.1: Jahresgang des Sonnenstands über dem Horizont auf einer geographischen
Breite von 53◦ . Der Zoom zeigt den 1.-10. April.
α∗ = max(0, α)
wobei α der Sonnenstand relativ zum Horizont ist. Er kann durch [47]
sin α = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos h
berechnet werden. Negative Werte von α stellen also die Nacht, positive Werte den Tag dar. In
dieser Formel sind
φ
geographische Breite
δ
Deklination der Sonne
oπ
2π
cos
(172
−
D)
δ = 23.45
180o
365
D
Nummer des Tages im Jahr
π
(T Z − 12)
h
Stundenwinkel h = 12
T Z Tageszeit
Mit dem Sonnenstand ist auch ein mehr oder weniger langer Weg der Sonnenstrahlen durch
eine mehr oder weniger trübe Atmosphäre verbunden. Dieser Effekt wird durch die Trübung
der Luft τ (Für Lübeck 0.8) berücksichtigt, der mit der relativen (sich aus dem Sonnenstand
ergebende) Luftmasse m potenziert wird. Für diese gilt
Seite 408
m = 1/ sin α + 0.15(α + 3.89)−1.253
Die Globalstrahlung ist somit im wesentlichen eine Funktion der Tages- und Jahreszeit, der
Bewölkung und der Trübung der Luft.
18.1.2 Rückstrahlung
Jeder Körper mit einer Temperatur über dem absoluten Nullpunkt gibt Wärmeenergie in Form
von elektromagnetischer Strahlung ab. Für den Wärmestrom der Rückstrahlung gilt das StefanBoltzmann-Gesetz
ΦR = −S σT 4 ,
wobei S der Emissionsgrad der Oberfläche ist; für klares Wasser gilt S = 0.97. Die Konstante
σ = 5.67 · 10−8W m−2 K −4 ist die Stefan-Boltzmann-Konstante, sie ist nicht materialabhängig
sondern vielmehr eine der universellen Konstanten der Physik.
Die Rückstrahlung ist dafür verantwortlich, dass sich kein Körper beliebig aufwärmen kann.
18.1.3 Atmosphärische Gegenstrahlung
Nicht nur der Wasserkörper, sondern auch die Atmosphäre erwärmt sich unter Sonneneinstrahlung. Somit gibt auch sie eine Rückstrahlung ab, die man atmosphärische Gegenstrahlung
bezeichnet. Diese langwellige Strahlung der Atmosphäre ist also durch ihre Temperaturverteilung aber auch den Wassergehalt bestimmt. Eine empirische Näherung für die atmosphärische
Gegenstrahlung ist durch
ΦAT = 6.825 · 10−8 (eL /TL )0.143 1 + 0.17C 2 TL4
[W/m2 ]
gegeben. Hierin ist eL der Wasserdampfpartialdruck der Luft in mbar und TL die Lufttemperatur in Kelvin.
18.1.4 Verdunstungswärmestrom
Bei der Verdunstung von Flüssigkeiten wird Energie in Form von Wärme verbraucht. Die
Verdunstungswärme L von Wasser ist
L = 3140.8 − 2.345T
[kJ/kg]
wobei die Temperatur T des Wassers in Kelvin angegeben wird. Die Luft kann allerdings nur
dann Wasser aufnehmen, wenn der Sättigungsdampfdruck eS , der sich empirisch als
18.2. Wärmeaustausch mit dem Boden
Seite 409
eS (T ) = 6.11 e
17.62(T −273.15)
T −30.03
[hP a]
darstellen läßt, nicht überschritten wird. Zur Erhöhung der Genauigkeit wird der Sättigungsdampfdruck der Luft an Abhängigkeit von der Wassertemperatur berechnet, da die von den
meteorologischen Stationen gemessenen Temperaturen nicht die Verhältnisse direkt über der
Wasseroberfläche wiederspiegeln.
Der aktuelle Wasserdampfpartialdruck der Luft eL läßt sich über die relative Feuchte U [%]
durch
eL = eS (T )
U
100
berechnen. Schließlich ist zu beachten, dass eine fortwährende Verdunstung nur dann stattfinden kann, wenn der Wind der Geschwindigkeit u L die feuchte Luft auch wegträgt; der Verdunstungswärmestrom wird somit durch
ΦV = −f (uL )(eS (T ) − eL (T ))L(T )
mit
f (uL ) = 0.002674 + 0.00161uL
dargestellt.
18.1.5 Konvektiver Austausch
Als konvektiven Austausch bezeichnet man die direkte Übertragung von Wärmeenergie an
der Grenzfläche Wasser/Luft. Diese findet nur dann statt, wenn ein Temperaturgefälle zwischen beiden Medien besteht und dieses auch aufrecht erhalten wird, indem die ausgetauschte
Wärme durch den Wind direkt wieder abgeführt wird. Der konvektive Austausch wird somit
durch
ΦK = −1502f (uL )(T − TL )
dargestellt.
18.2 Wärmeaustausch mit dem Boden
Man kann das Problem des Wärmeflusses an der Sohle dadurch zu lösen versuchen, dass Prinzip der Gleichheit der Flüsse auf beiden Seiten Begrenzungsfläche. Dies besagt in unserem
Fall:
18.3. Das Gleichgewichtskonzept
Seite 410
Dichte Wärmekapazität Wärmeleitfähigkeit Diffusivität
[J/kgK]
[W/mK]
[m2 /s]
[kg/m3 ]
Wasser
Schlick
Schlicksand
Sand
1000
1500
1700
1900
4190
2.50
2090
1680
1.4 · 10−7
4.0 · 10−7
4.8 · 10−7
7.8 · 10−7
0.58
1.5
1.7
2.50
Tabelle 18.1: Thermische Materialkonstanten von Wasser und verschiedenen Böden [1]
λ
λ
= grad T grad T c
c
W asser
Boden
Auf beiden Seiten dieser Gleichung sind nicht nur die Gradienten, sondern auch die unterschiedlichen thermischen Materialkonstanten von Wasser und Boden zu berücksichtigen.
Einen Eindruck für die Variabilität der thermischen Konstanten verschiedener Böden liefert
die Tabelle 18.1.
So kann der vertikale Temperaturgradient an der Sohle von der Wassersäule kommend fünffach
so groß sein wie aus einem Sandboden kommend. Den Wärmefluss an der Sohle können wir
aber nur dann quantitativ bestimmen, wenn die Temperaturverteilung im Boden bekannt ist. Da
in einem numerischen Modell eines Fließgewässers der Boden in der Regel nicht mitmodelliert
wird, ergeben sich hier Schwierigkeiten bei der Formulierung von Randbedingungen für die
Temperaturgleichung. Man verwendet daher oftmals die sogenannte no-flux-Randbedingung,
die den Wärmefluss durch die Sohle, d.h. den Temperaturgradienten zu Null setzt.
18.3 Das Gleichgewichtskonzept
Um eine einfachere Formulierung für den Wärmeaustausch eines Gewässers mit seiner Umgebung zu finden, wendet man eines der Grundkonzept der ökologie an, das Gleichgewichtskonzept. Es postuliert die Existenz einer Gleichgewichtstemperatur T e (e wie engl. equilibrium),
bei der kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet. Ist die Wassertemperatur höher
als die Gleichgwichtstemperatur, so gibt es Wärme an die Umgebung ab, im umgekehrten Fall
nimmt es Wärme auf.
Zur mathematischen Verwirklichung dieses Konzeptes entwickeln wir den Wärmefluss in eine
Potenzreihe um die Gleichgewichtstemperatur Te
ΦT (T ) = ΦT (Te ) +
∂ΦT
(T − Te ) + ...
∂T
Dann ist die Gleichgewichtstemperatur durch die Bedingung
18.3. Das Gleichgewichtskonzept
Seite 411
Temperatur [Celsius]
30
20
10
0
−10
0
100
200
Tageszahl im Jahr
300
Abbildung 18.2: Jahresgang der Gleichgewichtstemperatur. Die (hypothetischen) Tagesmittelwerte der Lufttemperatur sind gestrichelt in grün dargestellt. Blau stellt die Gleichgewichtstemperatur dar bei einem über das Jahr konstanten Wind von 10 m/s und einer Luftfeuchte
von 80 %, damit ergibt sich ein sommerkühles Gewässer. In Rot ist die Gleichgewichtstemperatur bei 5 m/s Windgeschwindigkeit und 90 % Luftfeuchte, womit sich ein sommerwarmes
Gewässer ergibt. Der Bewölkungsgrad ist in beiden Fällen 0.3.
ΦT (Te ) = 0
bestimmt. Berücksichtigt man alle Komponenten des Wärmeaustausches mit der Atmosphäre,
so entsteht eine sehr komplexe Funktion, die z.B. durch die Rückstrahlung Potenzen 4. Ordnung und durch den Verdunstungswärmestrom eine Exponentialfunktion in T e beinhaltet. Die
Nullstellen dieser Gleichung d.h. die Gleichgewichtstemperatur kann man numerisch mit dem
Newton- oder Sekantenverfahren bestimmen.
Die Gleichgewichtstemperatur ist abhängig von den allgemeinen meteorologischen Bedingungen. Dabei ist eine abnehmende Sensibilität in der Reihenfolge Lufttemperatur, Windgeschwindigkeit, relative Luftfeuchte und Bewölkung zu verzeichnen.
Im allgemeinen liegt die Gleichgewichtstemperatur im Winter niedriger als die Tagesmittelwerte der Lufttemperatur. Im Sommer sind sommerwarme und sommerkühle Gewässer
entsprechend den mittleren lokalen meteorologischen Bedingungen zu unterscheiden. Bei den
ersteren liegt die Gleichgewichtstemperatur über, bei den zweiten unter der Lufttemperatur.
Einen Eindruck von der jahreszeitlichen Variation der Gleichgewichtstemperatur in beiden
Fällen vermittelt Abbildung ??.
Seite 412
18.4. Vertikale Temperaturverteilung in Oberflächengewässern
18.4 Vertikale Temperaturverteilung
gewässern
in
Oberfl ächen-
Die vertikale Temperaturverteilung ist in Oberflächengewässern durch zwei Prozesse bestimmt. Die turbulente Durchmischung ist in Fließgewässern und die Konvektion in stehenden
Gewässern dominierend.
18.4.1 Turbulente Durchmischung
Die turbulente Durchmischung ist proportional zur turbulenten Viskosität, wobei Schichtungseffekte berücksichtigt werden müssen. Es gilt also
Kz = f (Ri)κu∗ z 1 −
z
h
Da die turbulente Durchmischung in der Wassersäule recht hoch ist, ist die Temperaturverteilung hier konstant. Anders sieht dies an der freien Oberfläche aus. Hier geht die turbulente
Durchmischung gegen Null. Wird das oberflächennahe Wasser durch Sonnenstrahlung aufgewärmt, dann kommt es hier zu einer stabilen Schichtung, wodurch die turbulente Durchmischung weiter reduziert wird. Es entsteht eine sogenannte thermische Deckschicht aus warmen
Wasser.
18.4.2 Konvektion
Als Konvektion bezeichnet man Strömungen, die durch eine ungleichmäßige Erwärmung des
Fluids entstehen. Konvektion ist einer der fundamentalen Transportmechanismen in der Natur.
Sie treibt Strömungen in Seen und in der Atmosphäre an. Sie ist verantwortlich für den Kontinentaldrift und regelt den Energietransport in Sternen. Ein vollständiges mathematisches Modell der Konvektion besteht aus der Kontinuitätsgleichung, den Navier-Stokes-Gleichungen,
der Wärmetransportgleichung sowie der Zustandsgleichung des Fluids.
Wir nehmen uns ein alltäglicheres Beispiel vor und betrachten die Erhitzung eines Wassertopfes, der anfänglich eine Temperatur TS (S steht für Surface-Oberfläche) besitzt und am
Boden durch eine höhere Temperatur TB > TS beheizt wird. Würde sich die Wärme allein
durch Diffusion im Topf ausbreiten, so würde man diesen Vorgang durch das mathematische
Problem
∂2T
∂T
=K 2
∂t
∂z
mit den Anfangsbedingungen
T (t = 0) = TS
18.4. Vertikale Temperaturverteilung in Oberflächengewässern
Seite 413
und den Randbedingungen
∂T
(z = zS ) = 0
∂z
an der Sohle und an der Oberfläche beschreiben. Letztere Randbedingung geht von einem gut
isolierten Wassertopf aus, sie besagt, dass der Wärmefluss durch die Oberfläche Null ist. Wir
wollen das Problem hier nicht lösen. Das Ergebnis lehrt jedoch, dass sich das Wasser erst nach
Tagen gleichmäßig erwärmt, so dass wir jede Lust am Kochen verlieren würden, was an der
Dimension des Diffusionskoeffizienten von Wasser liegt.
Die Realität sieht glücklicherweise anders aus. Die erhitzte Flüssigkeit dehnt sich aus, ihre
Dichte wird somit kleiner, es gilt also S > B . Diesen Zustand nennt man instabile Schichtung, dabei liegt die schwerere Flüssigkeit über der leichteren. Was dabei mit der Flüssigkeit
passiert, untersuchen wir indem wir die vertikale Navier-Stokes-Gleichung betrachten:
T (z = zB ) = TB
und
∂w
∂w
∂w
1 ∂p
∂2w
∂w
∂2w
∂2w
+u
+v
+w
=−
+ν 2 +ν 2 +ν 2 −g
∂t
∂x
∂y
∂z
∂z
∂x
∂y
∂z
Da im Kochtopf alle Strömungsgeschwindigkeiten Null und somit auch konstant sind, bleibt
von der Navier-Stokes-Gleichung nur noch:
∂w
1 ∂p
=−
−g
∂t
∂z
Die Druckverteilung in einer ruhenden Flüssigkeit ist hydrostatisch und berechnet sich als
p(x, y, z, t) = pS + g(zS (x, y, t) − z)
wobei pS der Druck an der Oberfläche (engl. Surface) des Gefäßes ist. Die partielle Ableitung
in der Vertikalen ist dann nach der Produktregel ( und z müssen abgeleitet werden):
∂p
∂
=
g(zS (x, y, t) − z) − g
∂z
∂z
Damit wird die Navier-Stokes-Gleichung zu
1∂
∂w
=−
g(zS − z)
∂t
∂z
was nichts anderes bedeutet, als dass Bereiche der Flüssigkeit eine vertikale Beschleunigung
erfahren, wodurch sofort nach der Kontinuitätsgleichung auch horizontale Geschwindigkeiten
entstehen. Es bildet sich ein Strömungsmuster aus, welches nicht mehr so einfach zu analysieren ist. Durch dieses wird die Temperatur nun auch advektiv transportiert, anstelle der
Diffusionsgleichung haben wir zur Untersuchung der Wärmeausbreitung nun die volle Transportgleichung
∂T
∂T
∂T
∂T
∂2T
∂2T
∂2T
+u
+v
+w
=K 2 +K 2 +K 2
∂t
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
zu lösen. Dies wollen wir uns hier ersparen, das Ergebnis ist jedoch, dass sich das Wasser
wesentlich schneller erwärmt, so dass wir uns dank der Konvektion in recht schneller Zeit eine
Suppe kochen können.
18.5. Längsverteilung der Temperatur
Seite 414
18.5 Längsverteilung der Temperatur
Zur Bestimmung der Längsverteilung der Temperatur in einem Fließgewässer mitteln wir die
Wärmetransportgleichung über die Wassersäule, um eine Bestimmungsgleichung für die tiefengemittelte Temperatur T zu erhalten. Das Ergebnis ist:
∂T
∂T
∂T
1 ∂
∂T
+u
+v
=
hK
∂t
∂x
∂y
h ∂x
∂x
1 ∂
∂T
+
hK
h ∂y
∂y
+
ΦT
+
c
h
(18.4)
Im Unterschied zur dreidimensionalen Gleichung beinhaltet die tiefenintegrierte Form auch
den Wärmefluss an der freien Oberfläche. Dies ist insofern einleuchtend, als dass dieser im
dreidimensionalen Fall eine Randbedingung darstellt, während der Wärmefluss in der tiefenintegrierten Formulierung eine Quelle der Temperaturänderung darstellt.
Schreibt man die Advektion in der Lagrangescheform und vernachlässigt die diffusiven Terme
und die Energiedissipation gegenüber dem Wärmeaustausch mit der Atmosphäre, der durch
das Gleichgewichtskonzept dargestellt wird, so wird die tiefenintegrierten Wärmetransportgleichung zu einer gewöhnlichen Sättigungsdifferentialgleichung
1 ∂ΦT
DT
=
(T − Te )
Dt
h ∂T
die die Lösung
1 ∂ΦT
∂T
T (t) = Te − ΔT0 e h
t
in der Lagrangeschen Sichtweise besitzt. Zur Transformation in die Eulersche Sichtweise gehen wir aus von einem Anfangsort x0 , an dem die Wassertemperatur um Δt von der Gleichgewichtstemperatur Te abweicht. In einem homogenen Strömungsfeld der Geschwindigkeit u
befindet sich eine bestimmte Wassermasse nach der Zeit t am Ort x = x0 + ut. Damit ergibt
die Rücktransformation in die Eulersche Sichtweise das folgende Temperaturlängsprofil
1 ∂ΦT
∂T
T (t) = Te − ΔT0 e uh
(x−x0 )
Weicht die Wassertemperatur also an einem Ort von der Gleichgewichtstemperatur ab, so
nähert sie sich dieser im Unterlauf exponentialförmig an. Dies geschieht umso eher, desto
T
kleiner der Durchfluss uh ist. Der Faktor ∂Φ
hat die Einheit einer Geschwindigkeit und kann
∂T
daher als Relaxationsgeschwindigkeit für Abweichungen von der Gleichgewichtstemperatur
Te deuten. Die Relaxationsgeschwindigkeit ist immer negativ. Umso größer ihr Betrag ist, desto kürzer ist die Strecke, nach der ein fluss infolge einer Temperaturstörung ΔT wieder seine
Gleichgewichtstemperatur erreicht. Die Relaxationsgeschwindigkeit läßt sich dabei direkt aus
den Einzelbestandteilen des Wärmeflusses an der Oberfläche bestimmen. Da die Globalstrahlung und die atmosphärische Gegenstrahlung nicht von der Wassertemperatur T abhängig sind,
sind hier nur die Rückstrahlung, der Verdunstungswärmestrom und der konvektive Austausch
18.5. Längsverteilung der Temperatur
Gewässertyp
Sommerkühle Fließgewässer
Sommerwarme Fließgewässer
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Maximaltemperatur Aufwärmspanne
25oC
28oC
3K
5K
Tabelle 18.2: Grenzwerte für Temperatureinleitungen nach Vorschlägen der Länderarbeitsgemeinschaft Wasser LAWA [40]
zu berücksichtigen. Die Größenordnung (und ein guter Erwartungswert) der Relaxationsgeschwindigkeit liegt bei −0.001m/s, die exakten Werte schwanken zwischen −0.0005m/s und
−0.0018m/s.
So fällt eine Abweichung von der Gleichgewichtstemperatur ΔT bei einem Abfluss q = uh
von 1 m2 /s schon nach ca. 3 km auf ihren zehnten Teil, während dies bei einem Abfluss von
10 m2 /s erst nach mehr als 20 km erfolgt. Störungen der Gleichgewichtstemperatur werden
also über mehrere Kilometer flusslänge transportiert. Im Gegensatz dazu haben lokale Änderungen der Gleichgewichtstemperatur wie etwa eine begrenzter Beschattungsbereich nur wenig Auswirkungen auf die Gewässertemperatur. Die Thermik der Fließgewässer ist also stark
lokal gepuffert.
Kühlwassereinleitung in Fließgewässer
Bei der Umwandlung von Primärenergie (Fossile Brennstoffe, Kernenergie) in elektrische
Energie entsteht nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik grundsätzlich auch Wärmeenergie, die als Abwärme an die Umwelt abgegeben wird oder als Fernwärme genutzt werden
kann. Zur Abgabe der Abwärme an die Umwelt wird vorzugshalber Kühlwasser genutzt, da
eine Luftkühlung thermodynamisch ungünstiger ist.
Um die Einleitungsgewässer weitestgehend zu schonen, sind Grenzwerte für Wärmeeinleitungen in verschiedene Gewässertypen einzuhalten. Diese beziehen sich zum einen auf die
Maximaltemperatur des Gewässers und zum anderen auf die durch eine industrielle Anlage
verursachte Aufwärmspanne. Diese Aufwärmspanne wird auf die natürliche Temperatur unter Annahme einer vollständigen Durchmischung bezogen und als gleitendes 6-Stundenmittel
gemessen. Einen Eindruck über solche Grenzwerte liefert Tabelle 18.2.
Der Betreiber eines Kraftwerkes möchte natürlich schon bei der Planung wissen, ob diese Grenzwerte eingehalten werden können. Diese Frage kann durch eine hydrodynamischnumerische Simulation des Ist-Zustandes (d.h. des manchmal noch ungestörten Zustandes)
und gewissen geplanten Zuständen beantwortet werden.
Seite 416
Die Thermik der Fließgewässer ist überwiegend durch den Wärmeaustausch mit der Atmosphäre geprägt, die Dissipation kinetischer Energie hat auf sie keinen wesentlichen Einfluss. Die vertikale Temperaturverteilung ist das Ergebnis von turbulenter Durchmischung und
Schichtungseffekten. Hier kann es zur Ausbildung von thermischen Deck- bzw. Sprungschichten kommen, wobei die Temperaturverteilung in den einzelnen Schichten sehr homogen ist.
Die Längsverteilung der Fließgwässertemperatur ist durch eine Relaxation an die Gleichgewichtstemperatur bestimmt.
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Hydromechanik f¨ur Bauingenieure

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