Camila Araújo Peres Luiz Guilherme Pantoja Moreira

Transcrição

Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Curso de Licenciatura em Matemática
Camila Araújo Peres
Luiz Guilherme Pantoja Moreira
Recreações topológicas
Belém
2012
Recreações Topológicas
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
como requisito parcial para obtenção do titulo
de Licenciado em Matemática, Universidade do
Estado do Pará.
Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.
Belém
2012
Dados Internacionais de Catalogação na publicação
Biblioteca do Centro de Ciências Sociais e Educação da UEPA
Peres, Camila Araújo
Recreações topológicas./ Camila Araújo Peres, Luiz Guilherme Pantoja Moreira.
Belém, 2012.
Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura Plena em Matemática) –
Universidade do Estado do Pará, Belém, 2012.
Orientação de: Pedro Franco de Sá
1. Álgebra. 2. Topologia. I. Moreira, Luiz Guilherme Pantoja. II. Sá, Pedro Franco
de (Orientador). III. Título.
CDD: 21 ed. 512
Recreações Topológicas
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
como requisito parcial para obtenção do titulo
de Licenciado em Matemática, Universidade do
Estado do Pará.
Data de aprovação: _____/_____/_______
Banca Examinadora
____________________________________ - Orientador
Prof. Pedro Franco de Sá
Dr. em Educação
Universidade da Amazônia
____________________________________
Prof. Fábio José da Costa Alves
Dr. em Geofísica
Universidade da Amazônia
____________________________________
Profª. Rosineide de Sousa Jucá
Msc. em Educação
A Célia Peres e Aldair
Sousa, pela ajuda,
compreensão
e paciência.
A Leila Moreira, minha mãe, e
Maria Raimunda, minha avó,
pelo amor com que
me educaram.
AGRADECIMENTOS
A Deus, o Rei dos reis, por ser simplesmente Deus; por ser o próprio amor (I
João 4:8) e acreditar em nós antes que nós mesmos acreditássemos.
A Universidade do Estado do Pará e ao Departamento de Matemática,
Estatística e Informática, pelo incentivo, oportunidade e apoio inesquecíveis.
Ao professor doutor Pedro Franco de Sá, nosso orientador, por ser único; seu
apoio, cuidado, paciência, amizade e entusiasmo sem igual que, sem dúvida, nos
possibilitaram mais esta conquista.
A nossos familiares e amigos pela ajuda e compreensão em todos os
momentos dessa caminhada.
A nosso amigo Franklin Deyvys, por se fazer presente nos momentos mais
importantes de nossa vida; por sua força e companheirismo de verdadeiro irmão.
A você leitor, que utiliza esse humilde trabalho como base de maiores
pesquisas.
Camila Araújo Peres e
Há três tipos de pessoas no mundo:
as que sabem contar e as que não sabem.
Ian Stewart
RESUMO
PERES, C. A; MOREIRA, L. G. P. Recreações topológicas. 2011. 187 f. Trabalho
de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) - Universidade do Estado do
Pará, Belém, 2011.
Este trabalho apresenta os resultados de uma pesquisa bibliográfica sobre a
Topologia, também chamada de “Geometria da borracha”, trata-se de um ramo da
Matemática que estuda as propriedades das figuras que permanecem inalterantes
ainda que sejam submetidas a determinadas deformações. O objetivo que norteou
esta pesquisa foi construir um conjunto de atividades de Matemática Recreativa que
estão relacionadas com conhecimentos topológicos, até então pouco conhecido fora
do meio acadêmico matemático. A pesquisa foi realizada por meio das seguintes
etapas: levantamento de material, estudo do material, seleção das recreações e
elaboração do texto. Como resultado do estudo, temos um esboço histórico do
desenvolvimento da topologia, alguns conceitos relacionados a esta área e um
conjunto de 35 desafios com as respectivas soluções que podem ser utilizados
desde os anos iniciais do ensino fundamental. Entre os desafios temos o de
atravessar uma pessoa por um buraco numa folha de papel e o de construir, em
folha de papel, uma superfície com apenas uma face.
Palavras-Chave: Educação Matemática; Matemática Recreativa; Recreações
Topológicas.
ABSTRACT
PERES, C. A; MOREIRA, L. G. P. Recreações topológicas. 2011. 187 f. Trabalho
de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) - Universidade do Estado do
Pará, Belém, 2011.
This work presents the results of a bibliographical research about the Topology, also
called “Geometry of the rubber”, it is a branch of the Mathematics that studies the
properties of the figures that remain inalterantes still being subjected to certain
deformation. The objective that guided this research was to construct a set of
activities of Recreativa Mathematics that are related with topological knowledge, until
then little known outside of the half mathematical academic. The research was
carried through by means of the following stages: survey of material, study of the
material, selection of the recreations and elaboration of the text. As result of the
study, we have a historical sketch of the development of the topology, some
concepts related to this area and a set of 35 challenges with the respective solutions
that can be used since the initial years of basic education. Between the challenges
we have to cross a person for a hole in a sheet of paper and to construct, in sheet of
paper, a surface with only one face.
Keywords:
recreations.
Mathematics
Education;
Recreational
Mathematics;
Topological
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Carl Friedrich Gauss .................................................................................. 23
Figura 2: János Bolyai ............................................................................................... 24
Figura 3: Nicolai Lobachevsky................................................................................... 24
Figura 4: Leibniz ........................................................................................................ 27
Figura 5: Leonard Euler ............................................................................................. 29
Figura 6: Augustus Ferdinand Möbius ....................................................................... 31
Figura 7: Obra Möbius Strip de M. C. Escher ............................................................ 32
Figura 8: Johann Benedikt Listing ............................................................................. 32
Figura 9: Bernhard Riemann ..................................................................................... 33
Figura 10: Felix Cristian Klein.................................................................................... 35
Figura 11: Camille Jordan ......................................................................................... 37
Figura 12: David Hilbert ............................................................................................. 38
Figura 13: Livro Grundlang der Geometrie publicado em 1899 por David Hilbert ..... 39
Figura 14: Jules Henri Ponicaré ................................................................................ 40
Figura 15: Max Dehn ................................................................................................. 41
Figura 16: Poul Heegaad........................................................................................... 41
Figura 17: Heunrich Tietze ........................................................................................ 42
Figura 18: Oswald Veblen ......................................................................................... 44
Figura 19: Georg Birkhofl .......................................................................................... 45
Figura 20: James Alexander...................................................................................... 45
Figura 21: Francis Guthrie ......................................................................................... 46
Figura 22: Esboço das sete pontes de Königsberg ................................................... 47
Figura 23: Grafo do problema das pontes de Königsberg ......................................... 47
Figura 24: Faixa de Möbius ....................................................................................... 48
Figura 25: Garrafa de Klein ....................................................................................... 49
Figura 26: Francis Ghthrie ......................................................................................... 50
Figura 27: Mapa do Brasil colorido em quatro cores ................................................. 50
Figura 28: De Morgan................................................................................................ 51
Figura 29: Arthur Cayley............................................................................................ 52
Figura 30: Alfred Bray Kemp ..................................................................................... 52
Figura 31: Percy Jonh Heawood ............................................................................... 53
Figura 32: Kenneth Appel e Wolf Gang Haken em 1970 ........................................... 54
Figura 33: Stephen Smale ......................................................................................... 56
Figura 34: Grigori Perelman ...................................................................................... 58
Figura 35: John Milnor ............................................................................................... 61
Figura 36: John Conway............................................................................................ 62
Figura 36: Sergei Novikov ......................................................................................... 63
Figura 38: Daniel Quillen ........................................................................................... 64
Figura 39: Robion Kirby ............................................................................................. 65
Figura 40: Willian Thurston........................................................................................ 66
Figura 41: Exemplo mostrando ponto interior e exterior de uma circunferência ........ 69
Figura 42: Exemplo de uma curva de Jordan ............................................................ 69
Figura 43: Exemplo de curva fechada simples .......................................................... 70
Figura 44: Exemplos de curvas que não se enquadram na definição de Jordan ...... 70
Figura 45: Exemplo do problema das três utilidades ................................................. 71
Figura 46: Conectando as utilidades às casas 1, 2 e 3 ............................................. 72
Figura 47: sombreamento da curva que passa pelas casas 1 e 2 ............................ 72
Figura 48: Características da curva de Jordan .......................................................... 73
Figura 49: Exemplo de um labirinto ........................................................................... 74
Figura 50: Curva do R2 com auto interseção ............................................................ 74
Figura 51: Curva no R3 sem auto interseção ............................................................ 74
Figura 52: Toros entrelaçados................................................................................... 78
Figura 53: Exemplo de soma conexa ........................................................................ 80
Figura 54: Retângulo de vértices A, B, C e D ............................................................ 83
Figura 55: Deformação do retângulo ......................................................................... 83
Figura 56: Exemplo de superfícies homeomorfas ..................................................... 84
Figura 57: Esfera e toro: topologicamente não equivalentes..................................... 84
Figura 58: Superfícies topológicas ............................................................................ 85
Figura 59: Modelo de toro plano cortado ao longo das linhas indicadas ................... 86
Figura 60: Modelo de garrafa de Klein plana ............................................................. 86
Figura 61: Construção do plano projetivo .................................................................. 87
Figura 62: Modelo de um plano projetivo .................................................................. 87
Figura 63: Diagrama plano associado à palavra acdc-1db-1a-1b ............................. 89
Figura 64: Exemplos de grafos.................................................................................. 90
Figura 65: Brinquedo “Anéis unidos” ....................................................................... 131
Figura 66: Detalhe do brinquedo “Anéis unidos” ..................................................... 131
Figura 67: Etapa 1 da solução do “Anéis unidos” .................................................... 131
Figura 68: Etapa 2 (a) da solução do “anéis unidos” ............................................... 131
Figura 69: Etapa 2 (b) da solução do “anéis unidos” ............................................... 131
Figura 70: Etapa 3 da solução do “anéis unidos” .................................................... 132
Figura 71: Etapa 4 (a) da solução do “anéis unidos” ............................................... 132
Figura 72: Etapa 4 (b) da solução do “anéis unidos” ............................................... 132
Figura 73: Método original de Wobensmith ............................................................. 138
Figura 74: Método atualmente conhecido ............................................................... 138
Figura 75: Método de James A. Nelson .................................................................. 138
Figura 76: Variante de Williston............................................................................... 139
Figura 77: Variante de Gardner ............................................................................... 139
Figura 78: Execução atual de Wobensmith ............................................................. 139
Figura 79: Papel retangular com furo circular de diâmetro menor que o da moeda 144
Figura 80: Etapa 1 (a) da solução do desafio “O papel e a moeda” ........................ 144
Figura 81: Etapa 1 (b) da solução do desafio “O papel e a moeda” ........................ 144
Figura 82: Etapa 1 (c) da solução do desafio “O papel e a moeda” ........................ 145
Figura 85: Lenço sobre o dedo indicador ................................................................ 145
Figura 86: Cruze o lenço por baixo ......................................................................... 146
Figura 87: Cruze as pontas por cima ...................................................................... 146
Figura 88: Indicador esquerdo sobre o ponto de cruzamento ................................. 146
Figura 89: Cruze as pontas por cima....................................................................... 147
Figura 90: Cruze as pontas por baixo...................................................................... 147
Figura 91: Levante as pontas .................................................................................. 147
Figura 92: O lenço é solto ....................................................................................... 148
Figura 93: Lenços seguros na mão ......................................................................... 148
Figura 94: Construção do “nó” (a) ........................................................................... 149
Figura 95: Construção do “nó” (b) ........................................................................... 149
Figura 96: Os lenços parecem interligados ............................................................. 150
Figura 97: O lápis, o cadarço e a palhinha .............................................................. 152
Figura 98: Lenço enrolado....................................................................................... 153
Figura 99: Etapa da solução do desafio “O nó” ....................................................... 153
Figura 100: Rode a mão .......................................................................................... 154
Figura 101: Truque “cortando os dedos” (a) ............................................................ 155
Figura 102: Truque “cortando os dedos” (b) ............................................................ 155
Figura 103: Exemplo de padrão .............................................................................. 156
Figura 104: Padrão complexo ................................................................................. 157
Figura 105: Bordas do padrão cobertas com jornais ............................................... 157
Figura 106: Folha de papel com as bordas dobradas ............................................. 159
Figura 107: Corte transversal das contas ................................................................ 167
Figura 108: Cruzam-se as duas pontas do fio ......................................................... 167
Figura 109: As contas caem .................................................................................... 167
Figura 110: Nó direito .............................................................................................. 168
Figura 111: Nó chefalo ............................................................................................ 168
Figura 112: Retire o laço de fio sem tirar o dedo do bolso ...................................... 169
Figura 113: Elástico no dedo indicador ................................................................... 178
Figura 114: Passar o elástico em volta do dedo médio ........................................... 178
Figura 115: Prender o elástico no dedo indicador ................................................... 178
Figura 116: O elástico “dá um salto” para o dedo médio ......................................... 178
Figura 117: Segure o elástico.................................................................................. 179
Figura 118: Elástico retorcido .................................................................................. 179
Figura 119: Inversão direita-esquerda ..................................................................... 180
LISTA DE FOTOGRAFIAS
Fotografia 1: Descrição do brinquedo “barco" ........................................................... 93
Fotografia 2: Etapa 1 (a) da solução do “barco” ........................................................ 93
Fotografia 3: Etapa 1 (b) da solução do “barco” ........................................................ 93
Fotografia 4: Etapa 2 (a) da solução do “barco” ........................................................ 94
Fotografia 5: Etapa 2 (b) da solução do “barco” ........................................................ 94
Fotografia 6: Etapa 2 (c) da solução do “barco” ........................................................ 94
Fotografia 7: Etapa 2 (d) da solução do “barco” ........................................................ 94
Fotografia 8: Argola retirada do brinquedo “barco” .................................................... 94
Fotografia 9: Descrição do brinquedo “Corda” .......................................................... 95
Fotografia 10: Etapa 1 da solução do brinquedo “corda” .......................................... 95
Fotografia 11: Etapa 2 (a) da solução do “corda” ...................................................... 96
Fotografia 12: Etapa 2 (b) da solução do “corda” ...................................................... 96
Fotografia 13: Etapa 3 da solução do “corda” ........................................................... 96
Fotografia 21: Etapa 7 (c) da solução do “corda” ...................................................... 98
Fotografia 25: Etapa 10 (a) da solução do “corda” .................................................... 99
Fotografia 26: Etapa 10 (b) da solução do “corda” .................................................... 99
Fotografia 27: Descrição do brinquedo “peixe” .......................................................... 99
Fotografia 28: Etapa 1 da solução do “peixe” .......................................................... 100
Fotografia 31: Descrição do brinquedo “retângulo” ................................................. 101
Fotografia 32: Etapa 1 da solução do “retângulo” ................................................... 101
Fotografia 35: Etapa 4 (a) da solução do “retângulo” .............................................. 102
Fotografia 36: Etapa 4 (b) da solução do “retângulo” .............................................. 102
Fotografia 44: Descrição do brinquedo “Algemas” .................................................. 104
Fotografia 45: Etapa 1 da solução do “algemas” ..................................................... 105
Fotografia 46: Etapa 2 (a) da solução do “algemas” ............................................... 105
Fotografia 47: Etapa 2 (b) da solução do “algemas” ............................................... 105
Fotografia 50: Etapa 3 (c) da solução do “algemas” ................................................ 106
Fotografia 55: Argola presa no centro novamente. ................................................. 107
Fotografia 56: Descrição do brinquedo “Cruz” ......................................................... 107
Fotografia 57: Etapa 1 da solução do “cruz”............................................................ 108
Fotografia 58: Etapa 2 (a) da solução do “cruz” ...................................................... 108
Fotografia 59: Etapa 2 (b) da solução do “cruz” ...................................................... 108
Fotografia 63: Etapa 4 (c) da solução do “cruz” ...................................................... 109
Fotografia 64: Etapa 4 (d) da solução do “cruz” ...................................................... 109
Fotografia 68: A argola foi recolocada no brinquedo ............................................... 110
Fotografia 69: Exemplo de prego 01 ....................................................................... 111
Fotografia 75: Descrição do brinquedo “Balanço I” ................................................. 112
Fotografia 76: Etapa 1 (a) da solução do “balanço I” .............................................. 112
Fotografia 77: Etapa 1 (b) da solução do “balanço I” .............................................. 112
Fotografia 80: Etapa 3 da solução do “balanço I” .................................................... 113
Fotografia 83: Descrição do brinquedo “Balanço II” ................................................ 114
Fotografia 84: Etapa 1 da solução do “balanço II” ................................................... 114
Fotografia 85: Etapa 2 (a) da solução do “balanço II” ............................................. 115
Fotografia 86: Etapa 2 (b) da solução do “balanço II” ............................................. 115
Fotografia 89: Etapa da solução do “balanço II” ...................................................... 116
Fotografia 90: Descrição do brinquedo “Chave” ...................................................... 116
Fotografia 91: Etapa 1 da solução do “chave” ......................................................... 117
Fotografia 92: Etapa 2 (a) da solução do “chave” ................................................... 117
Fotografia 93: Etapa 2 (b) da solução do “chave” ................................................... 117
Fotografia 96: Etapa 4 da solução do “chave” ......................................................... 118
Fotografia 99: Descrição do brinquedo “Triângulo” ................................................. 119
Fotografia 100: Etapa 1 da solução do “Triângulo” ................................................. 119
Fotografia 101: Etapa 2 da solução do “triângulo” ................................................... 120
Fotografia 102: Etapa 3 (a) da solução do “triângulo” ............................................. 120
Fotografia 103: Etapa 3 (b) da solução do “triângulo” ............................................. 120
Fotografia 104: Etapa 4 (a) da solução do “triângulo” ............................................. 120
Fotografia 105: Etapa 4 (b) da solução do “triângulo” ............................................. 120
Fotografia 106: Descrição do brinquedo “Escada” .................................................. 121
Fotografia 107: Etapa 1 da solução do “escada” ..................................................... 121
Fotografia 108: Etapa 2 (a) da solução do “escada” ............................................... 122
Fotografia 109: Etapa 2 (b) da solução do “escada” ............................................... 122
Fotografia 120: Etapa 10 da solução do “escada” ................................................... 124
Fotografia 121: Etapa 11 (a) da solução do “escada” ............................................. 125
Fotografia 122: Etapa 11 (b) da solução do “escada” ............................................. 125
Fotografia 123: Etapa 12 (a) da solução do “escada” ............................................. 125
Fotografia 124: Etapa 12 (b) da solução do “escada” ............................................. 125
Fotografia 125: Parte superior do brinquedo “escada” ............................................ 125
Fotografia 126: Parte inferior do brinquedo “escada” .............................................. 125
Fotografia 127: Etapa 1 da solução do “octógono” .................................................. 126
Fotografia 128: Etapa 2 (a) da solução do “octógono” ............................................ 126
Fotografia 129: Etapa 2 (b) da solução do “octógono” ............................................ 126
Fotografia 130: Etapa 2 (c) da solução do “octógono” ............................................ 127
Fotografia 131: Etapa 3 da solução do “octógono” .................................................. 127
Fotografia 132: Etapa 4 (a) da solução do “octógono” ............................................ 127
Fotografia 133: Etapa 4 (b) da solução do “octógono” ............................................ 127
Fotografia 134: Argola solta do “octógono” ............................................................. 128
Fotografia 135: Descrição do brinquedo “Corações” ............................................... 128
Fotografia 136: Etapa 1 (a) da solução do “corações” ............................................ 129
Fotografia 137: Etapa 1 (b) da solução do “corações” ............................................ 129
Fotografia 138: Etapa 2 da solução do “corações” .................................................. 129
Fotografia 141: Etapa 3 da solução do “corações” .................................................. 130
Fotografia 146: Primeira faixa (cilíndrica) ................................................................ 133
Fotografia 147: Etapa 1 da construção da segunda faixa ....................................... 133
Fotografia 150: Segunda faixa (faixa de Möbius) .................................................... 133
Fotografia 151: Etapa 1 da construção da terceira faixa ......................................... 134
Fotografia 152: Etapa 2 da construção da terceira faixa. ........................................ 134
Fotografia 153: Terceira faixa .................................................................................. 134
Fotografia 154: Corte longitudinal na faixa (a) ......................................................... 135
Fotografia 155: Corte longitudinal na faixa (b)......................................................... 135
Fotografia 156: Corte longitudinal na faixa (c) ......................................................... 135
Fotografia 157: Anel com o dobro do diâmetro do anel inicial ................................. 135
Fotografia 158: Corte longitudinal a um terço da borda........................................... 135
Fotografia 159: Corte longitudinal a um terço da borda........................................... 135
Fotografia 160: Anéis de tamanhos diferentes interligados ..................................... 136
Fotografia 161: Anéis idênticos interligados ............................................................ 136
Fotografia 162: Anel e tira ....................................................................................... 140
Fotografia 163: Corte longitudinal ao longo da tira .................................................. 140
Fotografia 164: Faixa atada à volta do anel ............................................................ 140
Fotografia 165: Dobre a folha de papel ao meio ..................................................... 141
Fotografia 166: Corte rente à folha (a) .................................................................... 141
Fotografia 167: Corte rente à folha (b) .................................................................... 141
Fotografia 168: Corte rente à folha (c)..................................................................... 142
Fotografia 169: Corte rente à folha (d) ................................................................... 142
Fotografia 170: Abertura longa e estreita no papel ................................................. 142
Fotografia 171: Recorte em linhas retas (a) ............................................................ 142
Fotografia 172: Recorte em linhas retas (b) ............................................................ 142
Fotografia 173: Recorte em linhas retas (c) ............................................................ 143
Fotografia 174: Recorte em linhas retas (d) ............................................................ 143
Fotografia 175: Recorte em linhas retas (e) ............................................................ 143
Fotografia 176: Buraco na folha de papel................................................................ 143
Fotografia 177: Versão com canudinhos (a) ............................................................ 150
Fotografia 178: Versão com canudinhos (b) ............................................................ 150
Fotografia 179: Versão com canudinhos (c) ............................................................ 151
Fotografia 180: Versão com canudinhos (d)............................................................ 151
Fotografia 181: Versão com canudinhos (e) ............................................................ 151
Fotografia 182: Punhos atados ............................................................................... 160
Fotografia 183: Passar o laço de fio (a)................................................................... 160
Fotografia 184: Passar o laço de fio (b)................................................................... 160
Fotografia 185: Dar a volta no pulso (a) .................................................................. 161
Fotografia 186: Dar a volta no pulso (b) .................................................................. 161
Fotografia 187: Passar o laço por baixo (a)............................................................. 161
Fotografia 188: Passar o laço por baixo (b)............................................................. 161
Fotografia 189: Passar o laço por cima da mão ...................................................... 161
Fotografia 190: Nó simples no barbante entre os pulsos ........................................ 161
Fotografia 191: Passar o laço de fio por baixo (a) ................................................... 162
Fotografia 192: Passar o laço de fio por baixo (b) ................................................... 162
Fotografia 193: Dar a volta no pulso ....................................................................... 162
Fotografia 194: Colocar o laço na mão.................................................................... 162
Fotografia 195: Passar o laço por baixo do barbante .............................................. 163
Fotografia 196: Passar o laço por cima da mão ...................................................... 163
Fotografia 197: Nó em oito ...................................................................................... 163
Fotografia 198: O elástico está em um dos pulsos .................................................. 163
Fotografia 199: Passar o elástico por baixo do barbante ........................................ 164
Fotografia 200: O elástico está em um dos braços ................................................. 164
Fotografia 201: Passar o elástico por baixo do barbante ........................................ 164
Fotografia 202: O elástico está em um dos braços ................................................. 164
Fotografia 203: Casal atado com fios interligados ................................................... 165
Fotografia 204: Etapa 1 (a) da solução do desafio “anéis interligados” ................... 165
Fotografia 205: Etapa 1 (b) da solução do desafio “anéis interligados” ................... 165
Fotografia 206: Etapa 2 da solução do desafio “anéis interligados” ........................ 165
Fotografia 207: Etapa 3 (a) da solução do desafio “anéis interligados” ................... 166
Fotografia 208: Etapa 3 (b) da solução do desafio “anéis interligados” ................... 166
Fotografia 209: Método para confeccionar o nó (a) ................................................. 167
Fotografia 210: Método para confeccionar o “nó” (b) .............................................. 167
Fotografia 211: Método para confeccionar o nó (c) ................................................. 167
Fotografia 212: Método para confeccionar o “nó” (d) ............................................. 167
Fotografia 213: Passar o laço de fio pela abertura do braço ................................... 169
Fotografia 214: Passar o laço por cima da cabeça ................................................. 170
Fotografia 215: Retirar o laço pela abertura ............................................................ 170
Fotografia 216: Passe o laço pelo outro braço ........................................................ 171
Fotografia 217: Deixe o laço cair no chão ............................................................... 171
Fotografia 218: Desabotoe o colete ........................................................................ 172
Fotografia 219: Passe o colete por cima da cabeça ................................................ 172
Fotografia 220: Colete pendurado nos braços ........................................................ 172
Fotografia 221: Virar o colete do avesso ................................................................. 173
Fotografia 222: Regresse o colete à posição original .............................................. 173
Fotografia 223: Ponha o braço esquerdo na abertura do colete ............................. 174
Fotografia 224: Colocar o colete sobre o ombro esquerdo...................................... 175
Fotografia 225: Libertando o colete do lado direito do casaco ................................ 175
Fotografia 226: Empurrar o colete até o meio da manga ........................................ 176
Fotografia 227: Puxe o colete pela manga .............................................................. 176
Fotografia 228: O colete é solto .............................................................................. 177
SUMÁRIO
1.
INTRODUÇÃO ............................................................................................... 21
2.
UMA BREVE HISTÓRIA DA TOPOLOGIA .................................................... 22
2.1.
Geometria não euclidiana: a base da Topologia ............................................. 22
2.1.1. Os estudos de Gauss, Bolyai e Lobachevsky ................................................. 22
2.2.
Um breve histórico da Topologia .................................................................... 26
2.2.1. As contribuições de Leibniz para a Topologia ................................................ 27
2.2.2. Euler e o início da Topologia .......................................................................... 28
2.2.3. Os estudos de Listing e Möbius ...................................................................... 30
2.2.4. A contribuição de Bernard Riemann e Klein ................................................... 33
2.2.5. Jordan e a Topologia ...................................................................................... 36
2.2.6. David Hilbert ................................................................................................... 37
2.2.7. As contribuições de Poincaré, Max Dehn e Tietze para a Topologia .............. 39
2.2.8. O. Veblen, J. W. Alexander e Lefschetz ......................................................... 44
2.3.
Problemas Clássicos da Topologia ................................................................. 46
2.3.1. Euler e as sete pontes de Königsberg ............................................................ 46
2.3.2. Möbius e Klein: superfícies unilaterais ............................................................ 48
2.3.3. O teorema das quatro cores ........................................................................... 49
2.4.
A conjectura de Poincaré ................................................................................ 55
2.4.1. O teorema de Poincaré-Perelman .................................................................. 57
2.5.
A Topologia hoje ............................................................................................. 61
2.5.1. John Willard Milnor (1931-) ............................................................................. 61
2.5.2. John Horton Conway (1937-) .......................................................................... 62
2.5.3. Sergei Petrovich Novikov (1938-) ................................................................... 63
2.5.4. Daniel Gray Quillen (1940-2011) .................................................................... 64
2.5.5. Robion Cromwell Kirby (1938-) ....................................................................... 65
2.5.6. William Paul Thurston (1946-) ........................................................................ 66
3.
ALGUNS CONCEITOS TOPOLÓGICOS ....................................................... 68
3.1.
Considerações Introdutórias ........................................................................... 68
3.1.1. Vizinhança ...................................................................................................... 68
3.1.2. Interior e Exterior ............................................................................................ 68
3.1.3. Dimensão........................................................................................................ 75
3.1.4. Variedades...................................................................................................... 76
3.2.
O que é superfície?......................................................................................... 77
3.2.1. Superfícies Conexas ....................................................................................... 78
3.2.2. Superfícies Fechadas ..................................................................................... 78
3.2.3. Superfícies Trianguláveis................................................................................ 79
3.2.4. Superfícies Orientáveis e Não Orientáveis ..................................................... 79
3.2.5. Soma conexa de superfícies........................................................................... 79
3.3.
O que é Topologia de Superfície? .................................................................. 80
3.3.1. Palavras associadas a superfícies fechadas .................................................. 88
3.3.2. Invariantes Topológicos: A característica de Euler. ........................................ 89
4.
TOPOLOGIA E RECREAÇÃO ....................................................................... 91
4.1.
Matemática Recreativa ................................................................................... 91
4.2.
Desafios Topológicos ..................................................................................... 93
4.2.1. Quebra-cabeças..............................................................................................93
4.2.2. Papel e Tecido...............................................................................................132
4.2.3. Barbantes e Cordas.......................................................................................154
4.2.4. Casacos e Coletes........................................................................................168
4.2.5. Elásticos........................................................................................................177
5.
CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................... 181
REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 183
PERES, C, A; MOREIRA, L. G. P. Recreações topológicas________________________________21
1.
INTRODUÇÃO
O
ensino
regular,
há
tempos,
vem
sendo
alvo
de
grandes
questionamentos, uma vez que há defasagens no processo de ensino aprendizagem
e os vínculos educacionais não apresentam o verdadeiro sentido da Educação. No
entanto, gradativamente, o ensino, principalmente de Matemática, vem ganhando
destaque, pois há vários segmentos e alternativas para melhorar o desempenho dos
educandos. Trabalhar com as recreações em sala de aula é uma delas.
Diante disso, nossa proposta é apresentar os resultados de pesquisas
bibliográficas na qual visamos colecionar 35 (trinta e cinco) atividades da
Matemática Recreativa que estão relacionadas aos conhecimentos da Topologia,
uma geometria pouco conhecida no ambiente acadêmico. O interesse por esta
geometria surgiu a partir de leituras sobre o tema que se mostraram interessantes,
curiosas e de cunho inovador face aos inúmeros problemas a ela relacionados, fato
que contrapõe as características até então atribuídas a Matemática, como sendo,
em sua essência, números e fórmulas.
Essa pesquisa foi desenvolvida com base nas seguintes etapas:
levantamento de material, estudo do material, seleção das recreações e elaboração
do texto, na qual autores como O’Shea (2009), Gardner (1991) e Stewart (2009),
além de outros, serviram de base para o desenvolvimento desta pesquisa que foi
dividida em três seções.
Na primeira seção apresentamos os aspectos históricos que nortearam a
criação deste ramo da matemática, apresentando os principais nomes que
contribuíram e ainda contribuem para a Topologia, além de destacarmos os
problemas clássicos a ela relacionados.
Na segunda seção expomos alguns conceitos necessários para o melhor
entendimento da seção seguinte. E por fim, na terceira seção se focalizam as
recreações topológicas apresentadas em um conjunto de atividades que abordam
conceitos matemáticos, por vezes, não explorados ou mencionados.
2.
BREVE HISTÓRIA DA TOPOLOGIA
Nesta seção abordaremos aspectos que elucidaram os estudos na
Topologia, destacando os problemas clássicos e os principais nomes que
contribuíram e ainda contribuem para o desenvolvimento deste pensar da
Matemática.
2.1.
Geometria não euclidiana e Topologia
A geometria euclidiana, ou melhor, os Elementos de Euclides datam do
reinado de Ptolomeu Sotero a cerca de 300 a. C. em Alexandria. De acordo com
O’Shea (2009, p. 74) o livro é uma reunião da matemática desenvolvida desde Tales
e Pitágoras, “passando por Platão e Arquimedes, e reinterpretou a matemática
milenar dos babilônios e egípcios numa estrutura distintamente grega”. Apesar de o
livro Elementos ser grandioso, muitos matemáticos sempre o questionaram, pois
sabiam que existiam lacunas em sua obra e durante anos houveram discussões
sobre possíveis axiomas alternativos e adicionais.
O quinto postulado de Euclides, hoje chamado de Postulado das
Paralelas, desde o início, foi alvo de grandes questionamentos por ser muito
complicado. Foi então que muitos estudiosos se empenharam a propor uma
demonstração ao questionar que se trataria de um teorema e não um axioma como
propôs Euclides. Mas no final do século XVIII, Johann Friedrich Gauss (1777-1855),
Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) e János Bolyai (1802-1860) iriam
“finalmente esclarecer o papel do quinto postulado e as riquezas que ele escondia”
(O’Shea, 2009, p. 87).
2.1.1.
Os estudos de Gauss, Bolyai e Lobachevsky
Carl Friedrich Gauss (Figura 1) foi o cientista mais famoso do século XIX
e considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ele nasceu em
Brunswich, na Alemanha, foi filho de um operário com educação elementar e uma
empregada doméstica com educação ainda mais deficiente, causas que tornariam
quase impossível obter uma educação de qualidade. No entanto, como afirma O’
SHEA (2009, p. 88):
Para sua (e nossa) sorte, o assistente do professor, Martin Bartels, apesar
de ser apenas oito anos mais velho que Gauss, havia estudado matemática
em Göttingen. Bartels deu atenção especial a Gauss, e juntos, ele e o
professor conseguiram matricular o menino no gymnasium, uma das
rigorosas escolas alemãs de segundo grau, orientadas para preparar alunos
que desejassem seguir estudos avançados.
Figura 1: Carl Friedrich Gauss
Fonte: http://pt.wikipedia.org
Após três anos de estudos em gymnasium (escola preparatória de Ensino
Médio), Gauss recebeu do príncipe, o duque de Brunswick – Wolfenbüttel, um
subsídio regular que era oferecido a jovens promissores, mas financeiramente
carentes (é por esse motivo que podemos destacar as atuais bolsas de estudos
acadêmicos) e, graças a isso, Gauss pôde continuar seus estudos, dando início na
Universidade de Brunswick (1792-1795) e posteriormente na Universidade de
Göttingen (1795 - 1798).
Durante seus estudos em Göttingen, Gauss conheceu Farkas Bolyai
(1775-1856) que mais tarde viria a ser pai de János Bolyai (ver figura 02) –
matemático que também estudou sobre o quinto postulado de Euclides. Gauss e
Farkas fizeram um curso de Abraham Kästner, matemático que muito se interessava
por estudar o quinto postulado; após as aulas eles discutiam sobre os axiomas de
Euclides e a possível independência do postulado das paralelas (O’ SHEA, 2009, p.
89).
Figura 2: János Bolyai
Fonte: http://www.gap-system.org
Em 1798, Gauss e Farkas Bolyai concluíram seus trabalhos e voltaram
para suas casas. A partir daí, Gauss manteve sua vida voltada para os estudos.
Defendeu sua tese de doutorado, a pedido do duque, na Universidade de Helmstedt
e recebeu o grau de doutor em 1799.
Lobachevsky (Figura 3) estudou na Universidade Estadual de Kazan e,
entre seus primeiros professores estava Martin Bartels que havia sido assistente na
escola de Gauss. Bartels atraiu Lobachevsky para estudar matemática e,
posteriormente, foi atraído para o estudo do quinto postulado. Por volta da segunda
década
do
século
XIX,
Lobachevsky, em Kazan,
e
Farkas Bolyai,
em
Marosvásárhely, estavam trabalhando longe dos principais centros matemáticos e
grande parte do seu tempo livre era dedicado ao estudo do postulado das paralelas
(O’SHEA, 2009, p. 92).
Figura 3: Nikolai Lobachevsky
Lobachevsky começou a estudar o quinto postulado de Euclides em 1820
e observou que a geometria que se obtém ao negar o quinto postulado fazia sentido.
Três anos depois, ele afirmou que este postulado não havia sido provado em termos
rigorosos e, em 1826, apresentou alguns teoremas sobre os estudos que defendia.
De acordo com o portal “Só Matemática” - desenvolvido pelo grupo
virtuous - em 1829, Lobachevsky publicou o artigo, que se traduz: Sobre os
Princípios da Geometria. Este artigo marca o início da Geometria não euclidiana, na
qual Lobachevsky fica convencido que o quinto postulado de Euclides não pode ser
provado com base nos outros quatro.
Quanto a Farkas Bolyai, este não pode desfrutar da mesma sorte que
teve Gauss, pois seu patrono – a quem lhe havia dado a oportunidade de estudar na
universidade – estava enfrentando problemas financeiros e não pôde mais financiar
seus estudos e lhe restou trabalhar, exaustivamente, como professor de matemática,
química e física na faculdade calvinista em Marosváráhely, na Hungria. Casou-se,
teve um filho e, para complementar sua renda, teve que se ocupar com outras
atividades (O’SHEA, 2009, p. 90).
Ainda segundo o autor, apesar de todas as ocupações, Bolyai continuou a
estudar matemática. Ele então passou a investir e muito nos estudos de seu filho e
sonhava que, ele sim, conseguisse desfrutar de um futuro brilhante na matemática.
E não foi diferente, aos 13 anos de idade, János Bolyai tocava violino, dominava o
cálculo e a mecânica analítica, além de falar várias línguas.
Foi inevitável. János passou a trabalhar/estudar o quinto postulado e
questionar o que acontece quando se admite que ele não é válido. Ele então obteve
as respostas que Gauss já havia tido anteriormente e decidiu não publicar, pois
sabia que a publicação dos seus resultados lhe traria publicidade e incômodo, e isso
era o que ele não desejava.
O’Shea (2009, p. 95) ainda afirma que János havia começado a
desenvolver um novo tipo de geometria, que hoje chamamos de geometria
hiperbólica. Em correspondência ao pai, János afirmou que “estava no processo de
criar um outro mundo novo. Parece ter concluído em 1824”.
Em meados da década de 1820, Gauss concluiu que é possível haver
geometrias em que o quinto postulado deixa de ser válido. Assim, a obra de Gauss,
Bolyai e Lobachevsky mostrou a possibilidade da existência de outras geometrias,
fato que justificou a inclusão por Euclides do quinto postulado como axioma
(O’SHEA, 2009, p. 100).
Matos e Neves (2010, p. 73) acrescenta que “a partir do postulado das
paralelas novas geometrias foram desenvolvidas e no fim do século XIX essas
novas geometrias já eram aceitas. Elas influenciaram, juntamente com a ‘Crise dos
Fundamentos”, o novo modo de pensar em matemática. “A geometria euclidiana
perdeu o status de verdade inquestionável”.
É relevante deixar claro que essas novas geometrias não se tratavam
apenas de curiosidades lógicas, mas são tão reais e valiosas quanto à geometria
plana. O que se tem agora é uma visão muito mais abrangente e diferente do que se
tinha de geometria antes de 1850. E, a essa nova visão chamamos de “geometria
não euclidiana” (O’SHEA, 2009, p. 101).
No entanto, Courant e Robbins (2000, p. 268) afirmam que para a
demonstração da nova geometria não é suficiente propor vários e novos teoremas,
como fizeram Bolyai e Lobachevsky, mas sim, “construir ‘modelos’ desta geometria
que satisfazem todos os axiomas de Euclides, exceto o postulado das paralelas”.
Assim, para Sperling (2008, p. 27) a geometria não euclidiana estuda
transformações e invariâncias que não se encontram no plano euclidiano, ou seja,
não se verifica o quinto postulado de Euclides. Como exemplo, o autor assegura que
a soma dos ângulos internos de um triângulo não é igual a 180º. Desse modo, há
duas possibilidades: maior que 180º (chamada de geometria elíptica) ou menor que
180º (geometria hiperbólica).
Por esse motivo, a geometria não euclidiana ganha forças. E uma de suas
vertentes, destaca-se a Topologia, que viria a se tornar uma forte influencia nos
estudos sobre Matemática Moderna.
2.2.
Um breve histórico da Topologia
A partir dos estudos acerca do quinto postulado de Euclides, a Topologia
ganhou destaque nos estudos de vários matemáticos. Segundo Boyer (1974, p.
442), ela pode ser dividida em dois sub-ramos que têm relativamente pouco em
comum: a “Topologia combinatória e a Topologia dos conjuntos de pontos”.
2.2.1.
As contribuições de Leibniz para a Topologia
Eves (2004, p. 667) afirma que, perto do fim do século XVII, Leibniz
(Figura 4) usou o termo geometria situs para designar uma espécie de matemática
qualitativa e que mais tarde viria ser conhecida por Topologia.
Figura 4: Leibniz
Gottfried Wilhelm Leibniz nasceu em 1646 em Leipzig e ainda bastante
criança (aos sete anos) entrou na escola aprendendo latim e grego por conta
própria, aparentemente motivado pela vontade de ler os livros de seu pai, Friedrich
Leibniz, professor de filosofia moral em Leipzig que morrera quando Leibniz tinha
apenas seis anos de idade.
Aos doze anos de idade, Leibniz já dominava todo conhecimento corrente
de matemática, filosofia, teologia dentre outros. Aos quinze anos, ele entrou na
universidade de Leipzig; aos dezessete obteve o grau de bacharel; aos vinte ele
estava preparado para o grau de doutor em direito, mas esse lhe foi negado por
causa de sua pouca idade, fato que o obrigou afastar-se de Leipzig, obtendo seu
doutorado na Universidade de Altdorf em Nuremberg, onde lhe foi oferecido um
posto de professor de direito, que recusou (EVES, 2004, p. 442).
Leibniz entrou no serviço diplomático e, em 1672, quando cumpria uma
missão diplomática em Paris, conheceu Huygens, que na ocasião residia neste local.
O jovem diplomata convenceu o cientista a dar-lhe aulas de matemática e Huygens
sugeriu que se ele desejava tornar-se um matemático deveria ler os tratados de
Pascal de 1658-1659.
Segundo O’Connor e Robertson (1998), em 1673 uma missão política
levou Leibniz à Londres, onde comprou um exemplar das Lectiones geometricae de
Barrow, encontrou Oldenburg e Collins, e tornou-se membro da Royal Society onde
exibiu uma máquina de calcular que havia inventado.
Entre 1673 e 1676, Leibniz inventou o seu cálculo e usou pela primeira
vez, em 1675, o símbolo de integral que representava um “S” alongado. Em 1686
Leibniz publicou, na Acta Eruditorum, um trabalho sobre o Cálculo Integral com a
primeira aparição na imprensa da notação ∫. Outra grande conquista de Leibniz, em
Matemática, foi o desenvolvimento do sistema binário de aritmética. Ele aperfeiçoou
seu sistema em 1679, mas não publicou nada até 1701.
Em 1679, Leibniz publica seu famoso livro: Característica Geométrica que
(em termos modernos) busca estudar as propriedades topológicas ao invés das
propriedades métricas das figuras. Insiste que, além da representação coordenada
de figuras necessita-se de outra análise, puramente geométrica ou linear, que
também defina a posição (situs), como a álgebra define a magnitude (STADLER,
2010, p. 06).
Eves (2004, p. 667) afirma que apesar de Leibniz ter apresentado estudos
sobre uma matemática qualitativa, seus estudos sobre geometria situs só viriam a
ganhar forças tempos depois.
2.2.2.
Euler e o início da Topologia
Courant e Robbins (2000, p. 286) afirmam que, apesar da Topologia ser
uma criação dos últimos cem anos, houve algumas descobertas anteriores que logo
se alinharam aos estudos mais modernos desta área. O destaque refere-se à
Leonhard Euler (1707-1783) que em 1752, mas observado inicialmente por
Descartes em 1640, relacionou em uma simples fórmula, os números de vértices,
arestas e faces de qualquer poliedro simples. No entanto, essa fórmula vai muito
além dos poliedros da geometria elementar.
Além disso, se imaginarmos a superfície do poliedro ou da esfera feita de
uma delgada lâmina de borracha, a fórmula de Euler ainda será válida se a
superfície for deformada curvando-se ou esticando-se a borracha até
qualquer outra forma, desde que a borracha não se rompa no processo.
Isso porque a fórmula está relacionada apenas aos números de vértices,
arestas e faces, e não a comprimento, áreas, razões anarmônicas, ou a
quaisquer dos conceitos usuais da Geometria Elementar ou Projetiva
(COURANT e ROBBINS, 2000, p. 292).
Esse fato faz com que algumas perguntas, no campo da Topologia, não
façam muito sentido. Segundo Kasner e Newman (1976, p. 258), no âmbito
topológico não perguntamos, por exemplo, “Qual o comprimento?”, “A que
distância?”, “De que tamanho” e sim “Onde?”, “Entre o quê?”, “Dentro ou fora?”.
O primeiro trabalho nesta área, merecedor de destaque, é o problema das
Pontes de Königsberg, na qual se destaca o matemático Leonard Euler. Ver figura 5.
Figura 5: Leonard Euler
Euler nasceu em Basiléia e é considerado o mais brilhante gênio da
matemática pura e aplicada de todos os tempos. Além de matemática, ele também
estudou medicina, astronomia, física ótica, teologia e línguas estrangeiras com o pai
e outros professores. Por indicação dos irmãos Bernoulli, a convite de Catarina I,
Euler assumiu a área de medicina e fisiologia na Academia de Ciências de São
Petersburgo (1727).
Em território russo, Euler casou e teve treze filhos e, em 1733 perdeu a
visão do olho direito por excesso de trabalho ou por um problema neurológico. Um
ano depois, Euler introduziu o conceito de derivadas parciais; iniciou pesquisa sobre
mecânica analítica e criou a moderna teoria das frações contínuas e o cálculo das
variações (O’Connor e Robertson, 1998).
No ano de 1748, ele publicou o Introductio in analysin infinitorum, talvez
seu mais importante livro. Euler também estudou mecânica, óptica, acústica e
astrofísica, estudou o movimento lunar, o fenômeno dos eclipses e as posições
relativas dos astros.
Em 1771, ele publicou o livro Institutiones calcalis algebricorum na qual
sistematizou o estudo da álgebra. Nesse mesmo ano, Euler perdeu definidamente a
visão, porém não parou de produzir, fazendo-o através de ditado feito a seus filhos.
No ano de 1783 em São Petersburgo, Euler morre repentinamente.
Euler publicou mais de 500 livros e artigos durante sua vida, mas muitas
outras obras foram publicadas postumamente por quase meio século, totalizando
aproximadamente 900 publicações, com uma produção matemática girando em
torno da inigualável marca de 800 páginas por ano. O seu principal feito, à luz da
Topologia, refere-se ao problema das sete pontes de Königsberg. Esse problema é
considerado o início da Topologia e, por ser um dos problemas clássicos, o
abordaremos mais adiante.
2.2.3.
Os estudos de Listing e Möbius
Apesar de Euler ser considerado o matemático que deu início à
Topologia, Möbius (1790-1868), aluno de Gauss, foi quem realmente impulsionou
seu desenvolvimento, dando uma definição precisa do conceito de transformação
topológica. Segundo Pinto (2004, p. 3), esta definição permitiu identificar a Topologia
como o ramo da matemática que estuda as propriedades das figuras que
permanecem inalteradas face às transformações topológicas.
August Ferdinand Möbius (ver Figura 6) nasceu em novembro de 1790
em Schulpforta, na Saxónia. No início da sua vida matemática, trabalhou com Carl
Friedrich Gauss e concluiu os seus estudos com uma tese sobre a ocultação de
estrelas, e dedicou-se à astronomia e matemática. Foi nesse período que a
Alemanha passou a ser um dos principais centros de investigação e de ensino da
matemática.
Figura 6: Augustus Ferdinand Möbius
De acordo com Courant e Robbins (2000, p. 285), aos 68 anos de idades
(1858), Moebius apresentou à academia de Paris uma exposição sumária sobre
superfícies unilaterais. Este trabalho continha fatos bem mais surpreendentes sobre
esta “nova geometria”. O trabalho ficou abandonado nos arquivos da Academia
durante anos e, mais tarde, foi finalmente tornado público pelo próprio Möbius.
Em 1865, Möbius escreveu um artigo na qual descreve que um poliedro é
simplesmente uma coleção de polígonos ligados entre si, fato que gerou o conceito
de “2-complexos” em Topologia. E em 1873, James Clerk Maxwell utilizou
conhecimentos topológicos da conectividade no estudo de campos eletromagnéticos
(EVES, 1992, p. 23).
Nos estudos de Topologia, Möbius estava interessado numa propriedade
das superfícies que é a da possibilidade ou impossibilidade de orientação. E assim
ele construiu uma superfície não orientável que hoje é chamada faixa (ou fita) de
Möbius. Segundo Pinto (2004, p. 4), foi Möbius e Johann Benedikt Listing (18081882) que descobriram esta faixa de um só “lado” (faixa unilateral), que
apresentaremos adiante.
Alguns
estudiosos,
independentemente
da
área
de
atuação,
interessaram-se com as descobertas de Möbius, a destacar o artista gráfico M. C.
Escher. Em suas obras, Escher buscava fugir do óbvio e, segundo Azevedo (sd, p.
4) ele “sabia que uma situação impossível só causa impacto em quem a vê quando
não é imediatamente perceptível”. Suas obras apresentavam certos padrões
geométricos (simetrias) de pavimentação do plano. A faixa de Möbius também
destaca sua predileção em matemática, já que em 1963, Escher colocou, em uma
faixa de Möbius, nove formigas percorrendo-a “continuamente” (AZEVEDO, sd, p. 4).
Ver figura 7.
Figura 7: Obra Möbius strip de M. C. Escher.
Fonte: http://britton.disted.camosun.bc.ca
Em 1954, em Amsterdã, Escher foi convidado a expor seus trabalhos no
Congresso Internacional de Matemática. Segundo Azevedo (sd, p. 5) foi nessa
ocasião que o famoso matemático N. G. de Bruijin (especialista na área de
combinatória que generalizou o método de contagem de Polya) assegurou que os
“congressistas teriam uma grande satisfação ao reconhecer nos trabalhos de Escher
suas próprias ideias interpretadas por meios totalmente diferentes daqueles a que
estavam habituados”.
Segundo O’Shea (2009, p. 271) a palavra Topologia foi utilizada pela
primeira vez por J.B.Listing (Figura 8), em 1847, num pequeno livro intitulado
Vorstudien zur Topologie (Estudos Introdutórios em Topologia). Segundo Eves
(2004, p. 667), esse foi o primeiro livro dedicado ao assunto. Stadler (2010, p. 6)
acrescenta que, em 1861, Listing publicou outro artigo em que descreve a faixa de
Möbius (quatro anos antes que Möbius) na qual estuda a noção de superfícies
conexas.
Figura 8: Johann Benedikt Listing
Listing nasceu em 25 de julho de 1808. Estudou, além de Matemática,
Arquitetura, astronomia, anatomia, fisiologia, botânica, mineralogia, geologia e
química. Listing foi aluno de Gauss, fato que o direcionou para o estudo de conceitos
topológicos. Ele também era um experimentador talentoso e colaborou com Gauss
em experiências de física, em especial as relativas ao magnetismo terrestre.
Segundo Eves (1992, p. 23), no mesmo ano que Listing publicou seu livro
relacionado à Topologia (1847), Gustav Robert Kirchoff, outro aluno de Gauss,
empregou a Topologia de grafos lineares em estudos de circuitos elétricos.
2.2.4.
A contribuição de Bernard Riemann e Klein
O’Shea (2009, p. 136) também atribui o surgimento da Topologia a
Bernhard Riemann, outro discípulo de Gauss, que em 10 de julho de 1854 fazia uma
palestra sob o tema Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen
(Das fundações que sustentam a geometria) – tema este oriundo de pouco trabalho,
mas que contribuiu em muito para o desenvolvimento da matemática moderna. No
entanto, Riemann não publicou sua dissertação, pois era muito perfeccionista e
ocupado e se preocupava com as ligações existentes entre Matemática e Física.
Bernhard Riemann (Figura 9) nasceu em 1826, foi um dos seis filhos de
um pastor protestante muito pobre. Sua infância foi muito conturbada, aos sete anos
de idade perdeu a mãe, seu irmão morreu antes dele e suas irmãs morreram ainda
jovens.
Figura 9: Bernhard Riemann
Sua história e sua formação foram resultados de forças econômicas e
sociais. Ele estudou em casa, com ajuda de seu pai até os 14 anos de idade num
vilarejo em Hanover, na Alemanha. Após, frequentou o gymnasium numa cidade
próxima e, em 1846, mudou-se para Göttingen para estudar teologia na
universidade. Nessa época, a Alemanha passava por um período conturbado e foi
nesse período que Riemann recebeu sua formação.
Assim que entrou na universidade, Riemann começou a se interessar e
elaborar vários cursos matemáticos e, por meio de cartas, perguntou ao pai se
poderia mudar de curso e recebeu uma resposta afirmativa. Assim, entre 1847 a
1849, ele passou os anos acadêmicos em Berlim, fato que o colocou na cena
matemática mais excitante do mundo de então (O’SHEA, 2009, p. 106).
Riemann fez importantes descobertas em relação à compreensão
conceitual em diversas áreas da matemática: teoria das funções, análise de vetores,
geometria projetiva e diferencial, e Topologia. O ensaio de Riemann sobre os
postulados fundamentais da geometria euclidiana, escrito no principio da década de
1850, mas publicado só em 1867, abriu todo o campo da geometria não euclidiana e
tornou-se um clássico na História da Matemática.
Riemann doutorou-se em 1854, lançando as bases da sua geometria (a
geometria não euclidiana que são generalidades da geometria esférica a três
dimensões). Neste mesmo ano, recebeu o cargo de professor auxiliar da
Universidade de Göttingen, e tornou-se professor adjunto em 1857 e, em 1859,
catedrado. Mas em 1862, adoeceu gravemente e, quatro anos depois, em 1866,
Riemann morre, um mês antes de completar 40 anos.
Segundo O’Shea (2009, p. 136), apesar da vida breve, a sua geometria
diferencial foi uma das maiores conquistas científicas do século XIX, não só no
campo da matemática, mas também no da Física, pois abriu caminho á teoria da
relatividade de Einstein, merecendo ser considerado um dos maiores matemáticos
de todos os tempos.
Segundo O’Shea (2009, p. 113), Riemann distinguiu inicialmente as
noções de espaço e geometria (estrutura adicional num espaço); apresentou a
definição de espaço e uma variedade como um tipo particular de espaço que
consiste em regiões onde os pontos podem ser designados como uma coleção de
números.
Sobre os estudos de Riemann, Courant e Robbins (2000, p. 285) afirmam
que “nada, talvez tenha dado mais impulso ao desenvolvimento posterior da
Topologia do que a grande estrutura da teoria das funções de Riemann, na qual os
conceitos topológicos são absolutamente fundamentais”.
Entender a perspectiva de Riemann é fundamental para a compreensão
do desenvolvimento da Matemática e da ciência do século XX e, ainda que Riemann
não estivesse interessado na Topologia em si, ele contribuiu em muito para
compreendermos a Topologia das superfícies (O’SHEA, 2009. p. 127).
Em seus estudos, Riemann deixou claro que o mesmo objeto matemático
poderia não somente ter estruturas diferentes, mas também poderia haver noções
diferentes de equivalência entre objetos e estruturas, ou seja, por certo ponto de
vista, dois objetos com diferentes estruturas poderiam ser o mesmo.
Com o passar do tempo, as ideias de Riemann começaram a se espalhar
em todo o mundo. O'Shea (2009, p. 139) afirma que elas passaram a ser difundidas
“com as de outros matemáticos e em quase todas as áreas da matemática, embora
em locais diferentes, em épocas diferentes e em extensões diferentes”.
Assim como Riemann, Félix Klein (Figura 10) se especializou na teoria
das funções e tinha grande interesse em geometria e Topologia. Para Klein, as
geometrias refletiam simetrias, e objetos geométricos, retas em particular, eram os
que permaneciam iguais quando submetidos a um conjunto estabelecido de
transformações (O’SHEA, 2009, p. 142).
Figura 10: Felix Christian Klein
Felix Christian Klein nasceu em 25 de abril de 1849, em Düsseldorf na
Alemanha. Formado na Universidade de Bonn, lecionou em várias universidades,
entre elas, destaca-se Leipzig (1880-1886) e Göttingen (1886-1913).
Klein dedicou seus trabalhos à geometria não euclidiana, teoria das
funções (a partir do desenvolvimento das ideias de Bernhard Riemann), módulos
elípticos e funções automórficas. Embora tenha trabalhado em vários outros
assuntos, sua principal contribuição foi na geometria.
Em 1871, Klein descobriu que a geometria euclidiana e a não euclidiana
podiam ser vistas como casos particulares de uma superfície projetiva, o que
tornava equivalente a consistência das duas geometrias. Klein desmitificou as novas
geometrias ao afirmar que a geometria euclidiana não era mais do que o estudo do
grupo das transformações euclidianas, a geometria hiperbólica não era mais do que
o estudo do grupo das transformações hiperbólicas (COURANT e ROBBINS, 2000,
p. 268).
Por volta de 1880, ele ampliou a obra de Riemann sobre teoria das
funções, estudando funções que eram invariantes sobre grupos de movimentos do
plano complexo.
Uma invenção bastante famosa de Félix Klein é a garrafa que leva seu
nome. Este também é considerado um dos problemas clássicos da Topologia, e por
isso será apresentado adiante.
2.2.5.
Jordan e a Topologia
Jordan também foi um matemático que contribuiu para a Topologia e um
dos seus principais destaques refere-se ao teorema que leva o seu nome. Sobre
esse teorema, mostraremos nossas considerações na seção seguinte.
Marie Ennemond Camille Jordan (Figura 11) nasceu em 1838 em La
Croix-Rousse, na cidade de Lyon, e trabalhou em diferentes áreas da Matemática,
contribuindo para todos os tópicos estudados ao seu tempo.
Figura 11: Camille Jordan
Fonte:http://www.gap-system.org
Ele ganhou fama em toda a Europa ao demonstrar um célebre problema
de álgebra proposto por Niels Abel, segundo o qual é possível resolver qualquer tipo
de equação algébrica por meio de radicais. Considerado o herdeiro e continuador
das ideias de Évariste Galois sobre álgebra e teoria dos grupos, estudou engenharia
de minas e realizou suas primeiras pesquisas matemáticas no campo da geometria.
Jordan foi professor da Escola Politécnica de Paris (1876-1912), reuniu
suas aulas de análise matemática nos três volumes do Cours d'analyse de l'École
Polytechnique (1882), que contribuiu para formar gerações de matemáticos. Deixou
contribuições importantes também no campo da Topologia, que trata das noções
básicas e propriedades de um espaço matemático.
Aos 83 anos (1922), Jordan falece em Milão, Itália. Suas contribuições
especiais estão no estudo de grupos finitos, álgebra linear e multilinear, Topologia,
equações diferenciais e mecânica, entretanto hoje é lembrado por analistas e
topólogos devido à sua prova da afirmação conhecida por Teorema de Jordan ou
Teorema da Curva de Jordan (SÓ BIOGRAFIAS, 2011).
Embora este teorema seja aparentemente óbvio, tem provado ser
extremamente importante para a Topologia e fornece aos estudiosos de matemática
recreativa respostas para muitos problemas clássicos. O problema das três
utilidades é um deles e que será destacada mais adiante.
2.2.6.
David Hilbert
Outro estudioso que merece destaque é David Hilbert (Figura 12).
Segundo O’Shea (2009), os seus estudos inicialmente concentravam-se com a
teoria dos invariantes, passando para a teoria algébrica dos números e, no final do
século XIX, interessou-se pelas fundações da geometria.
Figura 12: David Hilbert
David Hilbert nasceu em 1862 em Königsberg na Prússia, hoje conhecida
como Kalingrado e localizada em território russo. Foi um matemático alemão cujo
trabalho em geometria teve a maior influência no campo de estudo desde Euclides.
Depois de fazer um estudo sistemático da geometria Euclidiana, Hilbert propôs um
conjunto de 21 axiomas e analisou o significado deles.
Segundo o site “Enciclopédia Britânica” Hilbert modificou, de forma
altamente original, a matemática dos invariantes na qual provou o teorema que
todos os invariantes podem ser expressos em termos de um número finito. Em seu
Zahlbericht (Comentário sobre Números), um relatório sobre teoria dos números
algébricos publicado em 1897, consolidou o que foi conhecido neste tema e apontou
o caminho para os desenvolvimentos que se seguiram.
Em 1899 ele publicou o livro Grundlagen der Geometrie (Os Fundamentos
da Geometria) – ver figura 13 abaixo, que continha o seu conjunto definitivo de
axiomas para a geometria euclidiana e uma análise concisa de seu significado. Este
livro popular, que apareceu em 10 edições, foi um passo decisivo no tratamento
axiomático da geometria.
Figura 13: Livro Grundlagen der Geometrie publicado em 1899 por David Hilbert
Fonte: http://www.syllogismos.it/libristorici/hilbert.htm
Grande parte da fama de Hilbert refere-se a uma lista de 23 problemas
de pesquisa que ele enunciou, em 1900, no Congresso Internacional de Matemática
em Paris. No seu discurso, entrevistou quase toda a matemática de sua época e se
esforçou para expor os problemas que ele pensou serem significativos para os
matemáticos do século XX.
Muitos dos problemas já foram resolvidos, e cada
solução foi um acontecimento notável (O’SHEA, 2009, p. 191).
2.2.7.
As contribuições de Poincaré, Max Dehn e Tietze para a Topologia
Foi em 1881 que Felix Klein tomou conhecimento de notas publicadas por
Henri Poincaré intituladas: Das funções fuchsianas; eles começaram a trocar
correspondências tão fascinantes e complexas quanto irônicas (O’Shea, 2009, p.
153).
Jules Henri Poincaré (Figura 14) nasceu em 29 de abril de 1854. Era uma
criança inquestionavelmente inteligente e, apenas com 15 anos de idade (1869),
mostrou ter talento para a matemática. Contudo, dois anos depois, passou nos
exames do primeiro grau quase reprovado em matemática, quando se confundiu
com uma pergunta simples sobre séries geométricas. Redimiu-se pouco depois ao
ganhar o primeiro prémio em matemática nos exames para a Escola de Silvicultura
sem ter tirado quaisquer apontamentos nas aulas.
Figura 14: Jules Henri Poincaré
Poincaré foi recebido na École Polytechnique, ninho da Matemática
francesa. Aí ganhou fama como menino-prodígio da Matemática e lá permaneceu de
1873 até 1875, data em que ingressou na École des Mines. Apenas com 27 anos de
idade, Poincaré estabeleceu a teoria geral das funções automorfas, dando a sua
representação por séries. Esta descoberta deu-lhe a chave do mundo algébrico.
Poincaré, por ironia, começou a recriar e redescobrir alguns dos
resultados encontrados por Riemann épocas atrás, no entanto, deu a suas novas
funções o nome de Fuchs, dando assim a impressão de que se alinhava com a visão
de Weierstrass.
Mas, foi em 1904 que ele formulou um dos problemas matemáticos que
tirou o sono de muitos durante décadas em busca de uma solução: A conjectura de
Poincaré, que será estudada mais adiante.
... a conjectura de Poincaré, exerceu uma influência sobre os matemáticos.
Ali estava a questão mais simples gerada ao se pensar a forma do universo.
Para quem se aventurou nos artigos topológicos, a questão passou a ser
uma obsessão. A primeira vítima, além do próprio Poincaré, foi o brilhante
Max Dehn. (O’SHEA, p. 180, 2009)
Max Dehn (Figura 15) nasceu em treze de novembro de 1878 na
Alemanha. Estudou em Göttingen, sob supervisão de Hilbert, e obteve seu
doutorado em 1900 com a tese intitulada: Die Legendreschen Sätze über die
Winkelsumme im Dreieck.
Figura 15: Max Dehn
Segundo O’Connor e Robertson (1997), em 1907, Dehn, em conjunto com
Poul Heegaad (Figura 16), escreveu uma das primeiras exposições sobre Topologia
e, mas tarde, formulou um dos problemas mais importantes – o problema da palavra
e do isomorfismo.
Figura 16: Poul Heegaad
Em 1910, Max Dehn e Heegaard publicaram um artigo sobre Topologia
tridimensional onde construiam esferas homólogas usando a chamada, cirurgia de
Dehn. Nesse artigo, eles acreditavam que suas argumentações pudessem
demonstrar a conjectura de Poincaré. No entanto, O’Shea (2009, p. 182) afirma que
“o artigo deixou claro para o restante da comunidade matemática que, verdadeira ou
não, a conjectura era muito difícil”.
O artigo de 1910 é interessante também por várias outras razões. Mostrou
que havia uma conexão entre esferas de homologia e a geometria não
euclidiana. Também investigou algumas conexões entre teoria dos nós e
variedade tridimensional. Um dos resultados mais impressionantes
baseava-se num resultado notório, hoje chamado de lema de dehn, que
este acreditava ter provado. Mas descobriu-se mais tarde que a
demonstração tinha uma falha, e o lema de Dehn só seria demonstrado em
1957 (O’SHEA, 2009, p. 182).
Os trabalhos de Dehn sobre Topologia o levaram para o estudo de
grupos, especialmente apresentações de grupo que surgem naturalmente de
considerações topológicas. Apesar de seu interesse por Topologia, este não foi o
único, pois Dehn, também escreveu sobre a estática, aviões projetivos e História da
Matemática.
O’Shea (2009, p. 183) afirma que foi Tietze (Figura 17) que evitou que
Dehn publicasse sua demonstração errada da conjectura de Poincaré. O autor ainda
acrescenta que ele foi um dos grandes nomes a estudar sobre Topologia na época.
Figura 17: Heinrich Tietze
Heinrich Franz Friedrich Tietze nasceu em agosto de 1880 na Austria. Em
1898, iniciou seus estudos em Technische Hochschule, Viena. Tietze foi
supervisionado por Gustav von Escherich durante todo seu estudo de doutorado
iniciado em 1902 e concluído em 1904.
Foi durante uma palestra de Wirtinger que Tietze começou a se interessar
por Topologia e, a partir de então, passou a ser seu tema de estudo principal. Em
1908, Tietze apresentou sua habilitação sobre tópicos topológicos.
Segundo O’Connor e Robertson (2000), Tietze ainda contribuiu para os
fundamentos da Topologia geral e desenvolveu um importante trabalho sobre as
subdivisões de complexos celulares. Em 1908, reconheceu um grupo fundamental
de um espaço de todos os invariantes. Neste mesmo artigo, Tietze afirma que os
grupos fundamentais são invariantes topológicos, introduzidos inicialmente por
Poincaré em 1895.
Os estudos de Tietze na Topologia abrangem a teoria dos nós, a curva de
Jordan e o mapeamento de áreas contínuas. Ele ainda contribuiu em outras áreas
da matemática, tais quais: frações contínuas, números primos e geometria
diferencial.
De acordo com Chinn e Steenrod (1975, p. 8), os trabalhos em Topologia
combinatória ou algébrica começaram a ser estudadas em 1890 por Henri Poincaré
(1854-1912) a partir de seu trabalho sobre a teoria do cálculo integral em espaços
multidimensionais. No entanto, segundo Boyer (1974, p. 442), o termo Analysis situs
(cujo significado é “Análise de lugar”) foi utilizado pela primeira vez, em 1895, por
Poincaré; este termo designava a disciplina que hoje é chamada de Topologia.
Contudo, deixou de ser utilizado a partir da década de 1920.
Convém deixar claro que Poincaré não foi o inventor da Topologia, mas
lhe deu asas. O’Shea (2009, p. 180) referente ao trabalho de Poincaré diz que “seus
seis artigos sobre Topologia criaram praticamente do nada, o campo da Topologia
algébrica. A nova disciplina levaria a alguns dos grandes sucessos da matemática
do século XX”.
Pinto (2004, p. 6), acrescenta que:
Henri Poincaré foi um dos primeiros matemáticos a procurar
topológicos aplicáveis a superfícies de Riemann de dimensões
Ao fazê-lo ajudou a descobrir o ramo particular da Topologia
conhecido por Topologia algébrica, que tenta utilizar conceitos
na classificação e no estudo das superfícies de Riemann.
invariantes
superiores.
atualmente
da Álgebra
Segundo Boyer (1974, p. 420), a Topologia combinatória é o estudo de
“aspectos qualitativos intrínsecos das configurações espaciais que permanecem
invariantes por transformações biunívocas contínuas com inversa contínua, ou seja,
é a área da geometria cujo interesse é estudar os objetos geométricos do ponto de
vista do arranjo entre várias partes essenciais que os compõem” (Sampaio, 2008, p.
11).
2.2.8.
O. Veblen, J. W. Alexander e Lefschetz
Segundo Courant e Robbins (2000, p. 286) os norte americanos Veblen,
Alexander e Lefschetz também deram suas contribuições para o desenvolvimento da
Topologia.
Para O’Shea (2009, p. 203), Vebler (1880-1960) e Birkhoff (1884-1944)
concluíram sua graduação em Harvard e seguiram seus estudos em Chicago, onde
obteriam o grau de doutor em 1903 e 1907, respectivamente. Em sua tese, Veblen
abordou sobre os axiomas da geometria e após a defesa, interessou-se por
Topologia e relatividade.
Em seus estudos Oswald Veblen (Figura 18) já tinha começado a realizar
pesquisas em Topologia e, em 1905 publicou Theory on plane curves in non-metrical
analysis situs. (O’Connor e Robertson, 2005).
Figura 18: Oswald Veblen
Em 1922, Veblen estudou as ideias de Poincaré sobre Topologia e
apresentou para matemáticos americanos. Birkhoff (Figura 19), de maneira
independente, interessou-se pelos trabalhos de Poincaré e percebeu que elas
tratavam de sistemas dinâmicos.
Figura 19: Georg Birkhoff
Segundo O’Shea (2009, p. 203) em 1913, Birkhoff “ficou famoso por
demonstrar o último teorema geométrico de Poincaré, o teorema conjectural que ele
não tinha demonstrado e publicou relutantemente no ano de sua morte”. O autor
ainda acrescenta que, pelo fato de ser um norte americano, sua demonstração
recebeu status de descrédito em Göttingen.
James W. Alexander (Figura 20) foi aluno de Veblen. Sua colaboração
surge quando mostra que a Topologia das variedades pode ser estendida para
poliedros. Antes de 1920, Alexander havia mostrado que a homologia de um
complexo simplicial é um invariante topológicos. Em seus trabalhos ele rearranjou as
ideias de Poincaré em termos mais rigorosos (O’Connor e Robertson, 2000).
Figura 20: James Alexander
Os autores ainda acrescentam que as contribuições de Alexander não se
limitaram a esses estudos. Ele também contribuiu para a generalidade do teorema
da curva de Jordan. Em 1928, descobriu o teorema é passou a ser importante para a
teoria dos nós. Este último foi alvo de extenso trabalho juntamente com a teoria
combinatória dos complexos, até o final de sua vida (1971).
Além de Alexander, Lefschetz (1884-1972) também seguiu os estudos de
Veblen. No entanto, Lefschetz (Figura 21) trabalhou isoladamente e mostrou
aplicações de Poincaré desde a Topologia até os estudos em álgebra, bem além de
qualquer coisa que este tinha elaborado (O’Shea, 2009, p. 205).
Figura 21: Solomon Lefschetz
Entre 1911 e 1919, Lefschetz escreveu vários trabalhos que se
mostraram importantes na Topologia, apesar dele está fora dos grandes centros de
pesquisa matemática da época.
2.3.
Problemas Clássicos da Topologia
Mostraremos agora, os problemas que impulsionaram alguns estudos na
Topologia. Problemas estes, considerados clássicos por muitos pesquisadores da
área.
2.3.1.
Euler e as sete pontes de Königsberg
O problema das pontes de Königsberg consiste em efetuar um passeio
pela cidade de modo a passar por todas as pontes uma única vez. Em 1736, Euler
publicou um artigo sobre a solução deste problema intitulado Solutio problematis ad
geometriam situs pertinentis que se traduz como “solução de um problema
relacionado com a geometria de posição”.
Königsberg é
uma
antiga
cidade alemã,
hoje
conhecida
como
Kaliningrado e localizada em território russo. Essa cidade é cortada por duas
vertentes de um rio, formando uma ilha. Sete pontes ligam a cidade à ilha, conforme
mostra a figura 22.
Figura 22: Esboço das sete Pontes de Königsberg
Fonte: www.inf.ufpr.br
Segundo Pinto (2004, p. 2), Euler percebeu que este problema pouco, ou
nada, tinha a ver com geometria. O próprio título do artigo indica que Euler estava
ciente de que lidava com um tipo diferente de geometria em que a distância não era
relevante. Segundo Devlin (2002, p. 253) “esta independência da geometria é a
essência da Topologia”.
Figura 23: Grafo do problema das pontes de Königsberg
Fonte: SAMPAIO, 2008.
De acordo com Peres, Moreira e Sá (2010, p. 6), quando Euler tomou
conhecimento deste problema ele não só o resolveu como formulou respostas a
vários outros problemas semelhantes, fato que fez com que seus estudos
evoluíssem para a moderna teoria dos grafos lineares (abordaremos o conceito de
grafo na seção seguinte). A figura 23 mostra o diagrama (um exemplo de grafo) do
problema atrás citado.
Euler percebeu que o número de vértices num grafo deve ser sempre par,
ou então, possuir apenas dois vértices ímpares para que possa ser percorrido de
uma só vez. Assim, como o problema das pontes de Königsberg apresenta quatro
vértices ímpares, então trata-se de um problema sem solução (SAMPAIO, 2008, p.
19).
Segundo Schemmer e Pereira (sd, p. 2) Euler percebeu a existência de
algumas propriedades das figuras geométricas que não dependiam da forma nem do
tamanho das figuras. Percebeu que poderia torcer, esticar, puxar algumas figuras,
sem que essas propriedades se alterassem. Essas e outras propriedades são ditas
topológicas.
2.3.2.
Möbius e Klein: superfícies unilaterais
A faixa de Möbius (Figura 24) é um problema topológico na qual são
apresentadas as superfícies não orientáveis. Trata-se de uma descoberta particular
interessante feito por Möbius e Listing.
Figura 24: Faixa de Möbius
Fonte: pt.wikipedia.org
Möbius e Listing estudaram esta superfície em 1858, em trabalhos não
publicados na época. Em 1862, Listing mostrou que a faixa apresenta apenas um
bordo e em 1865, independentemente de Listing, Möbius analisou as propriedades
da faixa como uma superfície triangulável, poliédrica e não-orientável num estudo
mais completo sobre o tema. Somente em 1858, a propriedade de que a faixa
apresenta apenas um lado foi apontada por ambos.
Na verdade, segundo Devlin (2002, p. 259) é matematicamente incorreto
dizer que a faixa de Möbius tem um único lado, pois ele afirma que “esta é
definitivamente, a forma como os matemáticos apresentam usualmente a faixa de
Möbius ás crianças ou aos estudantes novos de Topologia” (tradução nossa). Isso
porque a verdadeira história é algo mais sutil, pois as superfícies matemáticas não
têm “lados”.
A faixa de Möbius é de fácil construção e, a partir dela, Courant e Robbins
(2000, p. 316), destacam algumas variações que se tornam interessantes frente aos
resultados encontrados, sobre esses problemas falaremos mais tarde.
A garrafa de Klein é uma junção de duas faixas de Möbius e segundo
Stewart (2010, 194), Felix Klein inventou uma superfície em forma de garrafa em
1882 e que passou a ser importante na Topologia devido ser um exemplo de uma
superfície sem arestas e com apenas um “lado”, ou seja, superfície fechada não
orientável (Figura 25).
Figura 25: Garrafa de Klein.
Fonte: Xerxes, 2011
Para Stewart (2010, p. 195) o único motivo de Klein ao inventar essa
garrafa foi que ela surgiu naturalmente na teoria da superfície de Riemann na
análise complexa, que “significa – de uma maneira bonita – certos comportamentos
bizarros que surgem quando tentamos desenvolver o cálculo sobre os números
complexos”.
2.3.3.
O teorema das quatro cores
Outro problema clássico da Topologia diz respeito ao Teorema das
Quatro Cores. A história desse problema começou em 1852, quando Francis Guthrie
(Figura 26) tentava colorir os vários distritos do mapa de Inglaterra de tal modo que
dois distritos vizinhos não tivessem a mesma cor. Depois de ter refletido sobre o
problema, conjecturou que qualquer mapa poderia ser colorido com apenas quatro
cores (SAMPAIO, 2004, p. 2).
Figura 26: Francis Guthrie
A figura 27 mostra o mapa do Brasil, colorido com apenas quatro cores,
que exemplifica a afirmação de Francis Guthrie.
Figura 27: Mapa do Brasil colorido em quatro cores.
Fonte: Autores
Francis Guthrie, que foi advogado, botânico e, sobretudo, matemático,
tinha um irmão mais novo, Frederick Guthrie, que era aluno de Augustus De Morgan
(Figura 28). Em Outubro de 1852, Frederick apresentou a conjectura do seu irmão
mais velho ao professor de De Morgan. Este ficou muito entusiasmado e, no mesmo
dia, escreveu uma carta a William Rowan Hamilton na qual explicava o problema.
Esta carta foi conservada e encontra-se hoje nos arquivos do Trinity College em
Dublin (STEWART, 2009, p. 17).
Figura 28: De Morgan
Contrastando com a animação de De Morgan, Hamilton não achou o
problema interessante. Respondeu quatro dias mais tarde dizendo que tão cedo não
tencionava debruçar-se sobre a questão. Nos tempos que se seguiram, foi
sobretudo através de De Morgan que a comunidade científica tomou conhecimento
da Conjectura das Quatro Cores. De Morgan escreveu algumas cartas para outros
matemáticos conhecidos, o problema foi discutido e teve alguns desenvolvimentos.
Por exemplo, De Morgan ocupou-se durante algum tempo com a questão de saber
se quando quatro países têm dois a dois fronteiras comuns, um deles tem de estar
dentro dos outros três (STEWART, 2009, p. 18).
Depois de 1860, por um período de cerca de vinte anos, o interesse dos
matemáticos pelo Problema das Quatro Cores esmoreceu. Pelo menos, não aparece
discutido na literatura matemática desse tempo. Mas não foi esquecido. Com efeito,
em 13 de Julho de 1878, Arthur Cayley (Figura 29) indagava na seção de
Matemática da Royal Society se porventura alguém já submetera uma solução da
Conjectura das Quatro Cores. O próprio Cayley publicou uma pequena análise do
problema nos Proceedings of the Royal Geographical Society em 1879 (SAMPAIO,
2004, p. 4).
Cayley era um advogado brilhante, mas aproveitava todo o tempo que
podia para a Matemática. Entre outras áreas, contribuiu significativamente para o
desenvolvimento da Geometria Algébrica.
Figura 29: Arthur Cayley
Fonte: http://www.gap-system.or
Em 1879, Alfred Bray Kempe (Figura 30), que era também advogado e
que tinha estudado no Trinity College de Cambridge, onde fora aluno de Cayley,
publicou uma demonstração completa do Teorema das Quatro Cores no American
Journal of Mathematics.
Figura 30: Alfred Bray Kempe
A demonstração de Kempe foi estudada por vários matemáticos de
renome, alguns deles tendo feito sugestões para melhorar a demonstração.
Portanto, em 1879 considerava-se definitivamente estabelecido o Teorema das
Quatro Cores.
Mas, em 1890, Percy John Heawood (Figura 31) provou que a
demonstração de Kempe tinha um erro. No mesmo artigo, Heawood lamentava não
ter sido capaz de obter nenhuma demonstração alternativa do teorema. Conseguiu,
no entanto dar mais um passo positivo. Provou o teorema das cinco cores, na qual
afirma que são necessárias apenas cinco cores para colorir um mapa plano onde
países de fronteira comum apresentem cores diferentes (STEWART, 2009, p.19).
Figura 31: Percy John Heawood
Fonte: learn-math.info
Heawood estudou também a questão do número de cores necessárias
para colorir mapas sobre vários tipos de superfícies fechadas para além da esfera,
as chamadas superfícies esféricas com “asas”. Estas questões também já tinham
sido abordadas por Kempe. Heawood contribuiu de maneiro relevante no estudo
destes problemas. E surpreendentemente, eles foram resolvidos antes do Problema
das Quatro Cores. Contribuições nestes assuntos foram dadas por Gerhard Ringel e
J.W.T.Youngs e também por Jean Mayer (SAMPAIO, 2004, p. 43).
Durante 124 anos, muitos métodos foram desenvolvidos para atacar o
Problema das Quatro Cores. Em 1967, o livro de Ore impulsiona os estudos que se
produzira até à data em Teoria de Grafos para abordar o problema, bem como de
vários outros problemas que foram sendo solucionados nesse percurso.
Finalmente, em 1976, com a ajuda de um IBM 360, em Urbana (Illinois),
Kenneth Appel e Wolfgang Haken apresentaram uma demonstração do Teorema
das Quatro Cores. Quando a notícia do feito se espalhou pelos vários
departamentos de matemática, houve um enorme entusiasmo, muitos professores
interromperam as aulas para comemorar. Mas a euforia esfriou em muitos deles
quando souberam que essa demonstração incluía mais de mil horas do uso de
computadores de alta velocidade. A prova era longa para ser verificada à mão e
havia sempre a possibilidade de os computadores terem cometido algum erro de
difícil detecção.
Hoje em dia a validade da demonstração é aceita na generalidade da
comunidade matemática, mas continua a ser polêmica, pois se trata de uma
argumentação baseada numa grande quantidade de cálculos por computador,
impossíveis de ser verificados detalhadamente por um ser humano durante toda a
sua vida.
Vale a pena lembrar que muitos matemáticos contribuíram com o seu
trabalho para o feliz desfecho em 1976. Para além dos nomes já referidos e de
muitos outros, destaca Birkhoff e Heeschque que teriam contribuído com ideias que
se tornaram fundamentais na obtenção da prova de Appel e Haken.
Figura 32: Kenneth Appel e Wolfgang Hakenem 1970
Fonte: Sampaio, 2008.
John Koch também está relacionado ao teorema das quatro cores, tendo
trabalhado com Appel e Haken nos programas computacionais que levaram à
solução deste. Em Agosto de 1994, no Congresso Internacional de Matemática, em
Zurique, Paul D. Seymour apresentou uma prova simplificada do Teorema das
quatro cores, cujo resultado foi formulado em trabalho conjunto com Neil Robertson,
Daniel P. Sanders e Robin Thomas. Eles também não conseguiram dispensar o uso
do computador. Contudo, foram capazes de reduzir a quantidade de cálculos para
um nível mais tolerável.
Apesar disso, a questão de desenvolver uma demonstração que não
necessite o auxílio de computadores continua em aberto.
2.4.
A conjectura de Poincaré
Depois dos trabalhos de Dehn e Tietze, ninguém mais duvidava da
dificuldade em resolver a Conjectura de Poincaré. Os avanços de sua descoberta
começaram a surgir nos trabalhos de James W. Alexander. Segundo O’Shea (2009,
p. 199), Alexander demonstrou que duas variedades tridimensionais que tinham o
mesmo grupo fundamental não eram homeomorfas.
Segundo Stewart (2009, p. 147), em 1904 Poincaré tentava compreender
as “variedades tridimensionais”. O’Shea (2009, p. 199) ainda acrescenta que “a
conjectura de Poincaré é o caso especial dessa pergunta: quando os grupos
fundamentais têm apenas um único elemento. Alexander aumentou enormemente
as apostas sobre a conjectura de Poincaré e levantou a clara possibilidade de ela
ser falsa”.
Em 1936 a conjectura já era um dos problemas que tirava o sono de
muitos matemáticos e, nesse mesmo período, a Topologia já estava se
consolidando. Fato que motivou a criação de dois textos, Lehrtbuch der Topologie
escrito por Seifert e Threlfall e Topologie de Aleksandrov e Hopf, que tornaram
possível entender à obra de Poincaré (O’SHEA, 2009, p. 200).
Segundo Sodero (2009, p. v) a conjectura de Poincaré afirma que
qualquer variedade de dimensão 3, compacta, sem bordo e simplesmente conexa é
homeomorfa a S³ (esses e outros conceitos serão abordados na próxima seção); e a
conjectura generalizada de Poincaré diz que qualquer n-variedade compacta, sem
bordo, com o mesmo tipo de homotopia de uma n-esfera Sn é homeomorfa a Sn.
Em outras palavras, Stewart (2009, p. 148) afirma que essa conjectura
insere-se naturalmente no estudo sobre a forma do universo, já que ela afirma que
todo o espaço tridimensional fechado “sem buracos” tem uma forma essencialmente
esférica, fato que leva os astrónomos e os cosmólogos a observa o mundo à nossa
volta procurando compreender as leis da matéria e da energia (que estão
intimamente ligadas à geometria e a “forma” do Universo). Leis essas que regem a
evolução do Universo e que a Teoria da Relatividade de Einstein nos ajuda a
compreender.
Sodero (2009, p. v) ainda acrescenta que foi em 1960 que Stephen Smale
(Figura 33) demonstrou a conjectura generalizada de Poincaré para o caso n ≥ 5 em
seu artigo intitulado Generalized Poincaré’s Conjecture in Dimension Greater than
Four. Em 1982, outro fato acontece trazendo consigo uma solução considerada de
longe mais complicada que todas as anteriores: o caso da dimensão 4, resolvido por
Michael Freedman.
Figura 33: Stephen Smale
Esta conjectura é, antes de tudo, uma questão sobre Topologia. Como
sabemos, aos olhos da Topologia, as superfícies de uma bola de futebol e de uma
bola de futebol americano são indistintas, pois são superfícies de dimensão 2 que
podem ser obtidas uma da outra por deformação. Em contrapartida, a superfície de
uma rosquinha, por exemplo, já é distinta das anteriores, pois apesar de também
possuir duas dimensões, possui um buraco no meio, e mesmo que seja deformada
(desde que não seja rasgada, partida ou colada), não é possível transformá-la na
superfície de uma bola; o buraco permanecerá sempre lá.
Outra propriedade que distingue a superfície de uma bola de uma
rosquinha é a seguinte: imagine que se desenha um contorno fechado na superfície
da bola; então este contorno fechado pode sempre ser progressivamente encolhido
até ficar um só ponto; na superfície da rosquinha isso não acontece, uma vez que,
se o contorno for desenhado de forma a dar a volta ao buraco central é impossível
encolher o contorno para além do tamanho do buraco. Como consequência não se
pode reduzir o contorno a um só ponto. É fato: matematicamente a superfície de
uma bola, ou esfera, é a única superfície fechada de dimensão 2 na qual todos os
contornos ou caminhos desenhados podem ser encolhidos até se tornarem um único
ponto.
A grosso modo, a conjectura de Poincaré é exatamente esta mesma
questão, com a diferença de que o foco desta vez são superfícies e espaços de
dimensão 3. Foi após, aproximadamente, cem anos que a conjectura foi finalmente
provada por Grigori Perelman em 2003, fato que levou a considera-la com um
teorema.
2.4.1.
O teorema de Poincaré-Perelman
Como já sabemos, a conjectura de Poincaré foi formulada no ano de 1904
por Jules Henri Poincaré [1854 - 1912], um grande matemático francês. Desde essa
data permanecia sem solução. Durante muito tempo ninguém conseguiu decidir se a
conjectura era verdadeira ou falsa. Gerações de matemáticos dedicaram notáveis
esforços a fim de chegar a uma resposta.
A fama de Grigori Perelman [1966-] vem merecidamente da qualidade e
importância histórica do seu trabalho. Foi ele quem demonstrou em 2002/2003 que a
conjectura é verdadeira, e esse foi provavelmente o primeiro grande acontecimento
na matemática do século XXI. A repercussão desta solução no meio matemático é
enorme e alarga o conhecimento atual sobre espaços e geometrias de dimensão
três. A história da busca da solução é interessante como, diga-se de passagem,
frequentemente sucede com problemas de tal teor.
Grigori Perelman (Figura 34) nasceu em Leningrado, União Soviética
(atual São Petersburgo, Rússia) no dia 13 de junho de 1966. Este matemático
recluso e misterioso trabalhava até dezembro de 2005 no Instituto Steklov de
Matemática, em São Petersburgo, mas se demitiu. Quase sempre recusa entrevistas
e muito raramente fala em público. Há cerca de dez anos, no seu início de carreira,
visitou várias universidades americanas, onde desenvolveu um trabalho considerado
“brilhante” por colegas. Depois voltou para a Rússia e daí desapareceu.
Figura 34: Grigori Perelman
Fonte: news.rtl.lu
Durante oito anos, Perelman permaneceu silencioso em São Petersburgo;
não publicou artigos e ninguém sabia onde ele trabalhava. Seu nome foi esquecido.
Porém, em Novembro de 2002, para surpresa de toda a comunidade
matemática, Perelman publicou num arquivo científico da internet (ArXiv.org) um
primeiro artigo sobre o seu trabalho. Neste artigo intitulado The entropy formula for
the Ricci flow and its geometric applications, Perelman desenvolve uma estratégia
de ataque ao problema originalmente proposto pelo matemático americano Richard
Hamilton: A teoria do fluxo de Ricci.
Explorado e desenvolvido por Richard Hamilton, este problema baseia-se
em uma equação diferencial relacionada à introduzida por Joseph Fourier [1768 –
1830] 160 anos mais cedo para estudar a condução de calor. Com a equação de
fluxo de Ricci, Hamilton obteve resultados surpreendentes na geometria. Porém, os
progressos na sua aplicação à conjectura levaram-no a um impasse causado, em
grande parte, pela formação de singularidades que desafiaram a compreensão
matemática.
Perelman estava perigosamente próximo de provar a inatingível
conjectura de Poincaré. Desde então o trabalho de Perelman - o artigo de 2002 e
outros dois que publicou em Abril de 2003 intitulados Ricci flow with surgery on
three-manifolds e Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain
three-manifolds – foi o foco de intensas pesquisas. A prova que Perelman descobriu
da conjectura de Poincaré foi possível graças a uma série de novos elementos.
Ao longo dos últimos quatro anos, matemáticos de todo o mundo, peritos
nas técnicas e dificuldades da Conjectura de Poincaré, esforçaram-se arduamente a
fim de entender os elaborados métodos de Perelman, examinaram em detalhes os
argumentos do matemático procurando falhas nos seus raciocínios, mas tudo em
vão. As dificuldades foram ultrapassadas, as dúvidas esclarecidas e a solução de
Perelman foi, de maneira gradual, aceita pela comunidade matemática. Atualmente
a conjectura de Poincaré é um teorema, pois não somente é uma afirmação como foi
demonstrada (CARLSON, 2010).
Antes de Perelman, a maioria dos peritos na conjectura concordava em
que a resposta à questão era positiva, mas não conseguiam prová-la. Perelman,
diferentemente
dos
estudiosos
anteriores,
respondeu
afirmativamente
com
renomada demonstração esta questão que há quase 100 anos vinha sendo
estudada.
Numerosas falsas demonstrações foram aparecendo ao longo dos anos,
mas todas estavam incompletas ou com raciocínios equivocados. Resultados
análogos à Conjectura de Poincaré já tinham sido demonstrados, porém, a
dimensão três, que tinha sido originalmente estudada por Poincaré, permanecia
aparentemente insolúvel.
No dia 18 de março de 2010, o Clay Mathematics Institute (CMI) anunciou
que o Dr. Grigori Perelman de São Petersburgo, na Rússia, ganhou o Prêmio do
Milênio pela resolução da conjectura de Poincaré.
O CMI, em 2000, estabeleceu os sete Problemas do Milênio. A conjectura
de Poincaré é um deles. Estes prêmios foram criados, dentre outros motivos, para
registrar alguns dos problemas mais difíceis com que os matemáticos lutaram na
virada do segundo milênio; para elevar a consciência do público em geral o fato de
que, em matemática, a fronteira ainda está aberta e que esta ciência é rica em
problemas importantes que ainda não foram resolvidos; para enfatizar a importância
de trabalhar em direção a uma solução mais profunda dos problemas mais difíceis e
reconhecer
realizações
em
matemática
MATHEMATICS INSTITUTE, 2010).
de
magnitude
histórica
(CLAY
Surpreendendo o mundo mais uma vez, o gênio recusou o prêmio de um
milhão de dólares oferecido pelo instituto e se recolheu ao seu minúsculo
apartamento nos arredores de São Petersburgo, que ele divide com sua mãe. Mais
uma vez - não é a primeira vez que Perelman recusa um prêmio. Em 2006, quando
recebeu a Medalha Fields, o prêmio de maior prestígio em matemática, ele também
o recusou.
Em uma entrevista ao jornal russo Komsomolskaya Pravda, Perelman
decidiu romper o silêncio e falar a um jornalista e produtor de uma empresa de
cinema, que vai fazer um documentário sobre ele. Nenhum outro jornalista havia
conseguido, até então, tirar uma única palavra da boca dele (PRAVDA, 2011).
O documentário mencionado pretende relatar a vida de Grigori Perelman
além de discutir a cooperação e a luta entre três grandes escolas de matemática do
mundo: russa, chinesa e americana. Essas três escolas são os mais avançados no
mundo em termos do caminho da aprendizagem e do controle do Universo.
Perelman também disse que não gosta de dar entrevistas, porque os
jornalistas não estão interessados em ciência, senão em saber detalhes sobre sua
vida pessoal. Perelman diz que o único problema que os atormenta é o fato de ele
ter recusado o valor de um milhão de dólares. O cientista também se sente ofendido
com o apelido dado pela mídia – Gricha - um diminutivo usual para Grigori.
O aspecto mais extraordinário de toda esta história é que o trabalho que
Perelman apresentou em 2002/2003 ultrapassa as fronteiras da demonstração da
Conjectura de Poincaré. De fato os métodos de Perelman permitem provar um
resultado ainda mais amplo e poderoso: a Conjectura de Geometrização. Esta
conjectura foi formulada no fim dos anos 70 pelo matemático americano William
Thurston, e propõe um esquema mais ou menos completo de classificação de todos
os espaços de três dimensões. Assim, neste amplo e significativo resultado, o
problema da esfera aparece como apenas um caso particular, isto é, ao demonstrar
a Conjectura de Geometrização, Perelman prova automaticamente a conjectura de
Poincaré.
As ideias e métodos apresentados nos trabalhos de Perelman já
encontraram novas aplicações na Análise e Geometria. Certamente, os avanços da
matemática encontrados nos trabalhos deste misterioso matemático são bem
maiores do que a princípio imaginamos.
2.5.
A Topologia hoje
A topologia foi e continua sendo foco de estudo de muitos matemáticos,
mesmo no século XXI. Perelman é só um deles. Por isso, listamos alguns a seguir,
resumindo suas principais contribuições em pesquisas que foram e/ou vem sendo
desenvolvidas nos dias atuais.
2.5.1.
John Willard Milnor (1931-)
Figura 35: John Milnor
John Milnor atua na Universidade Estadual de Nova York, em Stony
Brook, desde 1988. Em 1962, ele foi premiado com a Medalha Fields no Congresso
Internacional de Matemáticos, em Estocolmo. Sua realização mais notável, que
desempenhou um papel importante na atribuição desta medalha, foi a prova de que
uma esfera 7-dimensional pode ter várias estruturas diferenciáveis. Foi este trabalho
que abriu um novo campo na topologia diferencial.
Em suma, Milnor mostrou que na esfera de sete dimensões existem 28
diferentes estruturas diferenciáveis.
Ele distingue
estas estruturas usando
invariantes numéricos baseados em polinômios Todd - polinômios estudados em
geometria algébrica que desempenham esse papel fundamental na classificação de
variedades. Milnor os usou para este fim pelo fato de eles possuirem propriedades
aritméticas, envolvendo os números de Bernoulli, que refletem, de forma profunda,
ainda que não totalmente compreendidas, estas propriedades diferenciais.
Apesar de ter feito uma quantidade substancial de trabalhos em topologia
algébrica na década de 1950, o interesse atual de Milnor é dinâmica, especialmente
a dinâmica holomorfa.
Finalmente, Milnor é membro da Sociedade de Filosofia Americana e tem
desempenhado um papel importante na American Mathematical Society. Entre os
muitos serviços que tem prestado para a matemática está a edição da Annals of
Mathematics, que ele faz desde 1962.
2.5.2.
John Horton Conway (1937-)
Figura 36: John Conway
Fonte:http://www.gap-system.org
John Conway tem dado contribuições notáveis em muitas áreas diferentes.
Na matemática, além de suas contribuições inovadoras para a teoria dos grupos e
sua criação dos números surreais, ele fez diferentes pesquisas em teoria dos nós,
teoria dos números, teoria dos jogos, formas quadráticas, teoria de codificação, e as
pavimentações.
Conway recebeu vários prêmios: Berwick Prize (1971) e Polya Prize (1987),
ambos pela Sociedade Matemática de Londres, Leroy P Steele Prize para exposição
matemática (2000), pela Sociedade Matemática Norte-Americana e o Honorary DSc
(2001) pela Universidade de Liverpool, são alguns deles.
Conway também é escritor. Escreveu e tem escrito importantes livros: On
numbers and games (1976), Winning ways for your mathematical plays V. 1 e 2
(1982), Sphere packings, lattices and groups (1988), The book of numbers (1996),
On Quaternions and Octonions (2003) e, finalmente, Symmetries of things (2008) –
brilhantes publicações.
2.5.3.
Sergei Petrovich Novikov (1938-)
Figura 37: Sergei Novikov
Sergei Novikov cresceu em um ambiente matemático, não somente pelos
interesses de membros da família, mas também porque uma sociedade especial foi
formada onde os filhos de vários matemáticos receberam instruções adicionais.
Novikov trabalha na Universidade de Maryland, nos Estados Unidos
desde 1996, e mantém laços estreitos com a Universidade de Moscou, na Rússia.
Ele também é chefe dos grupos de pesquisa em Geometria e Topologia no Instituto
Steklov.
O trabalho de Novikov, até 1971, foi na topologia algébrica e diferencial.
Depois de 1971, Novikov ficou interessado em física matemática e sistemas
dinâmicos. Ele estudou uma grande variedade de aplicações da matemática, tais
como sistemas dinâmicos na teoria dos modelos cosmológicos homogêneos, a
teoria espectral de operadores lineares, teoria quântica de campos e teoria das
cordas. Em 1982, tornou-se interessado em problemas topológicos que surgem na
teoria física de metais.
Novikov recebeu muitas honras por seu excelente trabalho. Talvez o mais
importante destes prêmios foi a Medalha Fields, que ele recebeu em 1970. Em 1981,
tornou-se membro titular da Academia de Ciências da URSS, recebendo o Prêmio
Lobachevsky da Academia, no mesmo ano.
2.5.4.
Daniel Gray Quillen (1940-2011)
Figura 38: Daniel Quillen
Dan Quiller, como alguns estudiosos o chamam, faleceu em abril do ano
em que escrevemos este texto Não poderíamos deixar, no entanto, de citar, ainda
que brevemente, suas contribuições à topologia.
Em 1978, Quillen recebeu a Medalha Fields no Congresso Internacional
de Matemáticos realizado em Helsínquia. Antes disso, ele recebeu o prêmio como o
principal arquiteto da K-teoria algébrica (1972) - uma nova ferramenta que utilizou
com sucesso métodos geométricos e topológicos e ideias para formular e resolver
grandes problemas em álgebra, principalmente em teoria dos anéis e teoria do
módulo.
K-teoria algébrica é uma extensão das ideias de Grothendieck de anéis
comutativos. As ideias de Grothendieck foram usadas por Atiyah e Hirzebruch
quando criaram a K-teoria topológica. Com certeza, o ano de Quillen passado em
Paris sob a influência de Grothendieck e em Princeton trabalhando com Atiyah foram
fatores importantes no desenvolvimento da K-teoria algébrica de Quillen. Em 2000, a
revista K-Teoria até emitiu uma parte especial dedicada a Quillen por ocasião do seu
sexagésimo aniversário.
De 1984 até 2006 Quillen foi Professor de Matemática Pura na
Universidade Magdalen, em Oxford, tendo atingido a idade de 65 anos. Daí, Quillen
se aposentou.
2.5.5.
Robion Cromwell Kirby (1938-)
Figura 39: Robion Kirby
Fonte: pt.wikipedia.org
Robion Cromwell Kirby recebeu seu Ph. D. da Universidade de Chicago
em 1965. Ele logo se tornou um professor assistente da UCLA. Nela desenvolveu o
seu "truque do toro" que lhe permitiu provar, em dimensões superiores a quatro (com
o trabalho conjunto adicional com Larry Siebenmann), quatro dos sete mais
importantes problemas da topologia geométrica de Milnor. Como consequência, em
1971, ele foi agraciado com o Prêmio Oswald Veblen de Geometria pela American
Mathematical Society.
Kirby é especializado em topologia de baixa-dimensionalidade. Este
matemático contribuiu para a invenção da invariante Kirby-Siebenmann, usada para
classificar as PL-estruturas sobre uma variedade topológica, e provou o resultado
fundamental sobre o chamado cálculo Kirby. Além destas e outras contribuições
matemáticas significativas, Kirby possui muita influência no campo, com mais de 50
alunos de doutorado e uma famosa lista de problemas.
Em 1995 ele se tornou o primeiro matemático a receber o NAS Award for
Scientific Reviewing da Academia Nacional de Ciências para o seu problema na lista
de topologia de baixa-dimensionalidade, e em 2001, foi eleito para a Academia
Nacional de Ciências. Atualmente, além de professor da Universidade da Califórnia,
em Berkeley, ele é o presidente da Mathematical Sciences Publishers, uma pequena
editora acadêmica sem fins lucrativos, que se concentra em matemática e revistas
de engenharia.
2.5.6.
William Paul Thurston (1946-)
Figura 40: William Thurston
As ideias de Thurston revolucionaram completamente o estudo da
topologia em duas e em três dimensões, trazendo uma nova e frutífera interação
entre análise, topologia e geometria.
Por suas ideias inovadoras, Thurston recebeu muitas honrarias além da
Medalha Fields. Em 1976, seu brilhante trabalho sobre folheações o levou a ser
premiado com o Prêmio Oswald Veblen de Geometria da American Mathematical
Society. Em 1979, ele foi o segundo matemático a receber o Prêmio Alan T
Waterman.
Em 1991, Thurston deixou a Universidade de Princeton e voltou para a
Universidade da Califórnia em Berkeley, como professor de Matemática. Em 1993,
foi nomeado Diretor do Mathematical Sciences Research Institute, em Berkeley.
Em 1996, mantendo-se na Universidade da Califórnia, ele se mudou de
Berkeley para Davis. Então, em 2003, foi nomeado Professor de Matemática e
Ciência da Computação na Cornell University. Em 1997, ele publicou Threedimensional geometry and topology. Vol. 1, livro que, mais tarde, em 2005, rendeulhe o prêmio American Mathematical Society Book
O Livro de Thurston é quase único na compreensão intuitiva de sutis
ideias geométricas que ele proporciona. Foi extremamente influente para estudantes
de pós-graduação e pesquisadores experientes. Um livro que tem desempenhado
um papel tão importante e dinâmico na matemática moderna é eminentemente
merecedor do Prêmio do Livro AMS.
3.
ALGUNS CONCEITOS TOPOLÓGICOS
A Topologia é um ramo da Matemática bastante abrangente. Por esse
motivo, nesta seção apresentaremos alguns conceitos topológicos que precisam ser
definidos a fim de obtermos uma melhor compreensão de alguns aspectos
topológicos. Aspectos estes que, a priori, parecem incompreensíveis por si só, ou
ainda, sem as devidas considerações, seu entendimento pode não condizer com as
reais intenções propostas. Dizer que as considerações aqui tratadas são
apresentadas de maneira intuitiva pode ser um erro. No entanto, o leitor deve
perceber até que ponto as recreações abordadas na seção seguinte se valem dos
conceitos aqui apresentados.
3.1.
Considerações Introdutórias
Para Borges (2005) é de fundamental importância conhecer e entender
alguns conceitos introdutórios da Topologia. Destacaremos alguns que se fazem
essenciais para o desenvolvimento deste trabalho, tais quais:
3.1.1.
Vizinhança
Os conceitos de adjacência ou vizinhança estão relacionados ao estar
infinitamente próximo de algo. Garding (1997, p. 140) nos mostra a seguinte
definição:
x um ponto de um espaço topológico E (será definido mais adiante).
Todo subconjunto de E contendo um conjunto aberto que contém x diz-se uma
vizinhança de x .
Seja
3.1.2.
Interior e Exterior
Para Prado (2008) os conceitos que aqui trataremos são intuitivos, já que
eles nos direcionam para uma característica de estar dentro e/ou fora, ou seja,
consideramos que dentro é algo que está interno (interior) e encontrar-se do lado de
fora é está externo (exterior). No entanto, a autora adverte que esses conceitos só
fazem sentido quando estamos trabalhando com bordas ou fronteiras que delimitam
uma superfície, a esses conceitos trataremos rigorosamente mais adiante.
O exemplo por ela tratado refere-se à circunferência (  ), onde é possível
visualizar pontos no interior (A, B e C) e ponto exterior a ela (D).Ver figura 41.
Figura 41: Exemplo mostrando ponto interior e exterior de uma circunferência
Fonte: Prado, 2008
É a partir desse conceito que podemos melhor entender o Teorema de
Jordan (Figura 42), já que para figuras mais complicadas, a simples observação de
tais pontos não é suficiente.
Figura 42: Exemplo de uma curva de Jordan
Fonte: Autores
Uma estratégia para sabermos qual ponto é interior ou exterior é colorir a
curva para assim, encontrarmos a resposta desejada. No entanto, para algumas
curvas esse método é um tanto quanto exaustivo, motivo pelo qual, Jordan mostrou
um modo simples para resolver esse feito topológico. Assim,
A maneira mais simples de dizer se os dois pontos estão dentro ou fora da
figura, é traçando uma linha reta a partir de cada ponto para uma área
claramente situada fora da curva. Se a linha reta cruzar a curva um número
de vezes par, o ponto está fora; se for um número ímpar de vezes o ponto
está dentro. (BERGAMINI apud PRADO, 2008, p. 10)
Kasner e Newman (1976, p. 263) afirmam que uma curva que divide o
plano em um interior e exterior é chamada simples, ou seja, aquela que não se
intercepta. Ver figura 43.
Figura 43: Exemplo de curva fechada simples
Fonte: Autores
No entanto, há figuras que não condizem com a definição de Jordan, tais
quais são apresentadas na figura 44.
(a)
(b)
(c)
Figura 44: Exemplos de curvas que não se enquadram na definição de Jordan
Fonte: Autores
Na figura 44 (a) tem-se dois interiores e um exterior, já a figura 44 (b)
apresenta vários interiores e um exterior e na figura 44 (c) exemplificamos uma
superfície com um interior e dois exteriores. Diante disso, podemos dizer que uma
Curva de Jordan é dita fechada simples.
De acordo com Bergamini (1969, p. 186), o círculo é, para os topólogos,
um traçado legítimo, pois apresenta interior e exterior e, para passar de um lado a
outro é necessário cruzar ao menos uma linha de sua fronteira. A curva de Jordan é
nada mais que um círculo torcido que perdeu sua forma e, por mais estranho que
isso pareça, tal curva pode ser considerada como um círculo deformado (KASNER E
NEWMAN 1976, P. 264).
Assim,
Na Geometria métrica, o círculo é definido como o lugar geométrico de todos os
pontos equidistantes de um ponto dado, o que significa que todos os raios de um
círculo são de igual comprimento. Mas, em Topologia, “igual comprimento” não
tem significado. Então o círculo é visto como uma curva com propriedade
fundamental de dividir o plano todo em um exterior e um interior. (Kasner e
Newman, 1976, p. 264)
O teorema de Jordan, segundo Kasner e Newman (1976, p. 263) pode
parecer um tanto quanto idiota ou mesmo maravilhoso. Ele torna-se idiota frente a
clareza de seus enunciados e maravilhoso por ser simples, modesto e importante.
Embora este teorema seja aparentemente óbvio, tem provado ser
extremamente importante para topólogos e fornece aos estudiosos de matemática
recreativa respostas para muitos problemas clássicos. O problema das três
utilidades é um deles. Ver figura 45.
Figura 45: Exemplo do problema das três utilidades
Fonte: Autores
A tarefa do problema das três utilidades é desenhar linhas que ligam três
utilidades (água, gás e eletricidade) para cada uma das três casas sem que qualquer
uma das conexões se cruzem.
A tarefa parece ser simples uma vez que, no mundo real, empresas de
utilidade
realizam
tais
ligações
diariamente. No
entanto
nosso
mundo
é
tridimensional e as conexões são capazes de chegar aos destinos passando umas
sobre as outras. Aqui devemos fazer as conexões necessárias em um pedaço
bidimensional de papel.
Para começar, vamos desenhar as linhas das utilidades de algumas das
casas. A figura 46 mostra todos as três utilidades ligadas às casas 1 e 2.
Figura 46: Conectando as utilidades as casas 1, 2 e 3
Fonte: Autores
Se sombrearmos a curva fechada simples que passa pela casa 1, água,
casa 2, e eletricidade, verificamos que a casa 3 está no interior dessa curva. Esta
ainda não foi associada ao gás, que está no exterior da curva. De acordo com o
teorema da curva de Jordan, é impossível conectá-los sem cruzar a curva.
Figura 47: Sombreamento da curva que passa pelas casas 1 e 2
Fonte: Autores
Independentemente de como sejam conectadas as utilidades uma
situação deste tipo sempre surge. Concluímos, portanto, á luz da topologia, que o
problema não tem solução.
Um par
de observações levará a
outro
resultado não
menos
interessante: Se dois pontos, que se encontram ambos no interior ou ambos no
exterior de uma curva fechada simples, são unidos, a curva será atravessada
um número par de vezes ou não será atravessada (zero cruzamentos, o mínimo
possível). Cada vez que cruzarmos a curva e depois voltarmos ao lado original,
adicionamos dois cruzamentos à contagem mínima. A figura 48 (a) ilustra esta
situação.
Se dois pontos que se encontram em “lados opostos” de uma curva
fechada simples são unidos, a curva será atravessada um número ímpar de
vezes. Aqui, o número mínimo de cruzamentos possíveis é um. Como antes, cada
vez que cruzarmos a curva e depois voltarmos ao lado original adicionamos dois
cruzamentos à contagem mínima. A figura 48 (b) ilustra esta situação.
(a)
(b)n
b
Figura 48: Características da curva de Jordan
Fonte: http://britton.disted.camosun.bc.ca/jbjordan.htm
Estas observações nos conduzem a uma regra simples, já tratada acima,
para descobrir se um ponto está dentro ou fora de uma curva fechada simples ou
labirinto. Una um ponto a um ponto arbitrário no exterior da curva (fora do desenho)
e conte o número de vezes que a conexão cruza a curva. Se este número for par,
então ambos os pontos estão no mesmo “lado” da curva (exterior). Se, por outro
lado, este número for ímpar, então os dois pontos estão em lados opostos da curva
e, portanto, o ponto dado está dentro da curva.
Se tivermos interessados em estudar os trançados ou labirintos (Figura
49), devemos lembrar que eles representam outro ramo da Topologia, a qual
conhecemos como teoria das redes, ou teoria dos grafos, como chamam alguns
estudiosos do ramo.
Figura 49: Exemplo de um labirinto
Fonte: diglitmedia.blogspot.com
No labirinto, Bergamini (1969, p. 186) afirma que não há a ocorrência de
interior, pois por apresentar entrada e saída, “todos os percursos do trançado ligam
para o lado de fora, sem cruzar qualquer fronteira”. O autor ainda acrescenta que
essa teoria fornece uma regra matemática para sair de qualquer labirinto, mas se
torna tão complicada quanto sair dele.
Uma questão importante destacada por Prado (2008) refere-se ao ponto
de auto interseção. Se considerarmos uma curva representada no R² (Figura 50) ela
apresenta um ponto de auto interseção que pode ser eliminada e representada no
espaço tridimensional (Figura 51). Nessa última não faz sentido falarmos de interior
e exterior, já que no R³ uma curva não apresenta essas características.
Figura 50: Curva no R² com auto interseção
Fonte: PRADO, 2008.
Figura 51: Curva no R³ sem auto interseção
Fonte: PRADO, 2008.
Assim, dizer que uma curva apresenta interior e exterior é admitir que se
trata de uma curva fechada e além disso, simples. Tais características estão
presentes na Curva de Jordan.
3.1.3.
Dimensão
A nossa intuição estabelece que dimensão seja algo que pode ser visto
de acordo com as especificidades de cada objeto, por exemplo, dizemos que um
livro é tridimensional porque é necessário um espaço tridimensional para representálo completamente.
No entanto, O’Shea (2009, p. 39) orienta para a necessidade de entender
tal conceito além, compreendê-lo como algo que “se refere ao número de direções
independentes necessárias para representar todos os pontos próximos de um ponto
dado num objeto”. Por exemplo, a superfície da terra é bidimensional porque, para
representá-la numa região, usamos um mapa num pedaço de papel, ou ainda,
podemos usar dois números, como latitude e longitude, para representar qualquer
ponto próximo de um ponto dado.
De acordo com Courant e Robbins (2000, p. 303) o conceito de dimensão
passa a estar relacionado a um “conjunto de pontos de dimensão zero”. Eles ainda
afirmam que
Qualquer conjunto finito de pontos tem a propriedade de que cada ponto do conjunto
pode ser encerrado em uma região do espaço que pode ser tornada tão pequena
quanto se deseje, e que não contenha quaisquer pontos do conjunto de suas
fronteiras. Esta propriedade é agora tomada como a definição de dimensão zero.
(COURANT e ROBBINS, 2000, p. 303)
Desse modo, se considerarmos um conjunto vazio, dizemos que ele
apresenta dimensão -1. Diante disso, os autores afirmam que os conceitos seguintes
são representados de maneira óbvia. A dimensão 1 compreende um conjunto de
pontos que não possui dimensão -1 e zero, e se cada ponto do conjunto puder ser
encerrado dentro de uma região arbitrariamente pequena cuja fronteira corta o
conjunto num conjunto de dimensão zero. Por exemplo, um segmento de reta
apresenta dimensão 1, pois a “fronteira de qualquer intervalo é um par de pontos,
que é um conjunto de dimensão zero”.
De maneira análoga, podemos definir os conceito de qualquer dimensão,
desde que este não tenha qualquer dimensão inferior. Por exemplo, um conjunto
terá dimensão n se não tiver qualquer dimensão inferior, e “se cada ponto desse
conjunto puder ser encerrado dentro de uma região arbitrariamente pequena cuja
fronteira corte esse conjunto em um novo de dimensão n-1” (COURANT e
ROBBINS, 2000, p. 304).
3.1.4.
Variedades
Segundo O’Shea (2009, p. 113), Riemann definiu espaço como
consistindo em pontos, e variedade como um tipo particular de espaço que consiste
em regiões em que os pontos podem ser designados por coleções de números.
O autor afirma que a variedade mais simples é a reta dos números,
denominada por R. É fato: imaginamos geometricamente os números e os
associamos aos pontos da reta. A segunda variedade mais simples é o plano R² por
vezes considerado como o conjunto de pares de números reais. O autor também cita
o espaço tridimensional, denotado por R³, que é o “conjunto cujos pontos são triplos
de números reais” (O’SHEA, 2009, p. 113).
O espaço n-dimensional, indicado por Rn, é o conjunto de coleções
ordenadas de n números reais. Assim, “Os ‘pontos’ dele são coleções ordenadas de
n números reais, ou n-triplas, e ele é n-dimensional porque são necessários n
números para especificar qualquer ponto” (O’SHEA, 2009, p. 114).
O autor ainda define variedade n-dimensional como sendo um conjunto
em que o conjunto de pontos próximos a um ponto dado é parecido à região no
espaço n-dimensional. O autor completa que
Apesar de não podermos desenhar uma figura no espaço n-dimensional se
n for maior que 3, não existe nada de estranho ou inimaginável com relação
a ela. Se n for igual a 5, então o espaço pentadimensional nada mais é que
o conjunto de coleções ordenadas de cinco números reais. Sabemos o que
são números reais e o que significa uma coleção ordenada de cinco deles.
Então, qual o problema se não podemos desenhá-los? (O’Shea, 2009,
p.114)
O’Shea (2009, p.40) afirma que algumas variedades tem bordo, outras
não. O bordo de uma variedade bidimensional é a sua extremidade, ou coleção de
extremidades, vista na perspectiva de alguém sobre a variedade. Um plano infinito
não tem bordo, mas um disco no plano tem, a saber, o círculo que o limita.
A noção de bordo se aplica a objetos de dimensões diferentes. Um círculo
não tem bordo (apesar de ser o bordo do disco contido nele), da mesma forma, um
toro não apresenta bordo (apesar de ser o bordo do ar dentro da câmara).
Dizemos que se uma variedade bidimensional tem bordo, então ele é
unidimensional, generalizando temos que, se uma variedade tem bordo, então esse
bordo é inferior a uma dimensão.
Para O’Shea (2009, p. 39) em muitos casos, os matemáticos utilizam a
palavra superfície como sinônimo de variedade bidimensional, o que é um equivoco,
pois nem toda variedade bidimensional representa a superfície de um sólido. Isso
passa a ser verdade quando em uma variedade é possível definir coerentemente
direita e esquerda, fato que garante que uma variedade bidimensional é também
uma superfície.
3.2.
O que é superfície?
Até o presente momento, vínhamos tratando o conceito de superfície sem
defini-la. A necessidade desse conceito, entretanto, mostra-se fundamental para as
linhas posteriores.
Segundo Sampaio (2008, p. 39), superfícies são objetos geométricos
bidimensionais. Nessa geometria só é permitido mover-se em dois graus de
liberdade, por exemplo, a superfície de uma esfera, a superfície do plano da
geometria euclidiana, a superfície de uma câmara de ar, dentre tantas outros que
não existem no nosso mundo real, mas apenas na nossa imaginação da geometria
platoniana. Isso significa que, um ponto move-se somente para frente, para trás e
para os lados, nunca para cima nem para baixo, essa característica só é possível
num ambiente tridimensional.
Sampaio (2008, p. 29) ainda acrescenta que o conceito de superfície se
torna mais claro quando supomos que, para cada dois pontos de uma superfície,
podemos traçar uma linha geodésica que os une. Assim, se considerarmos dois
pontos A e B numa superfície e quisermos traçar nela um caminho (uma curva) de
menor comprimento possível indo de A até B, esse caminho seria um segmento
geodésico.
São vários os exemplos que mostram essas características, entre eles
destacam-se as geodésicas do plano euclidiano que são linhas retas e as
superfícies de uma esfera apresentam as geodésicas como sendo arcos de grandes
círculos, entre outros.
Zeeman
(apud PRADO 2008)
destaca outras propriedades que
caracterizam uma superfície, e são elas: Conexa; Fechada e Triangulável.
3.2.1.
Superfícies Conexas
Uma superfície é dita conexa quando for possível traçar um caminho que
una dois pontos da mesma, sem que este saia da superfície. Deste modo, um par de
toros entrelaçados (figura 52), por exemplo, não é considerado uma superfície
conexa, uma vez que para dois pontos situados um em cada toro, é impossível
traçar um caminho que os una sem que este caminho saia da superfície.
Figura 52: Toros entrelaçados
Fonte: Prado, 2008
3.2.2.
Superfícies Fechadas
Para Sampaio (2008, p. 39) uma superfície é dita fechada quando não
tem bordo e pode ser “recortada” em um número finito de pedaços triangulares. O
autor também afirma que o termo superfície fechada é sinônimo de superfície
compacta e sem bordo. São exemplos de superfícies fechadas a esfera, o toro, a
garrafa de Klein e o plano projetivo. O plano euclidiano, no entanto, não é uma
superfície fechada, pois não pode ser subdividido em um número finito de regiões
triangulares. O autor conclui que uma superfície que não é fechada e não tem bordo
(como o plano euclidiano) é chamada superfície aberta.
3.2.3.
Superfícies Trianguláveis
Segundo Prado (2008, p. 16) “ser triangulável significa decompor a
superfície em um número finito de vértices, arestas e faces”. Como dito
anteriormente, uma superfície fechada pode ser decomposta em um número finito
de pedaços triangulares, processo chamado de triangulação. Zeeman (apud
PRADO, 2008) cita importantes propriedades desse processo. A primeira delas é
que uma aresta é aresta exatamente de dois triângulos. Outra propriedade é que
cada vértice é vértice de pelo menos três triângulos.
3.2.4.
Superfícies Orientáveis e Não Orientáveis
Para Sampaio (2008, p. 39) uma superfície que contenha um caminho
fechado que inverte orientação é denominada superfície não orientável. Veremos
adiante que é não orientável toda superfície que contém dentro de si uma faixa de
Möbius. Do contrário, se a superfície não contém nenhum caminho fechado desse
tipo ela é dita superfície orientável. São exemplos de superfícies não orientáveis a
Garrafa de Klein e o Plano Projetivo. Já a esfera e o toro bidimensional são
superfícies orientáveis.
3.2.5.
Soma conexa de superfícies
Segundo Sampaio (2008, p. 41), a soma conexa de duas superfícies é
uma nova superfície. O autor destaca que, para fazer a soma conexa de duas
superfícies separadas uma da outra e sem pontos em comum, é preciso primeiro
aproximá-las uma da outra (Figura 53-a). Feito isso, é preciso cortar e remover uma
pequena região circular de cada uma das duas superfícies criando, ao fazer isso,
bordos circulares em cada uma delas (Figura 53 -b). Daí, basta esticar as superfícies
para fora, aproximá-las pelos seus bordos circulares até que, finalmente, sejam
colados um no outro dando origem à soma conexa das superfícies (Figura 53 c e d),
aqui denotada por A#B (soma conexa das superfícies A e B).
(a)
(b)
(d)
(c)hhh
Figura 53: Exemplo de soma conexa
Fonte: PRADO, 2008
Sampaio (2008, p. 41, 42) afirma que todas as superfícies fechadas
concebíveis são construídas, por meio de um número finito de somas conexas, a
partir das superfícies básicas: a esfera, o toro, o plano projetivo e a garrafa de Klein.
Esta última, no entanto, nem é tão básica assim, uma vez que é, topologicamente
falando, a soma conexa de dois planos projetivos.
3.3.
O que é Topologia de Superfície?
Como já sabemos, a Topologia refere-se a um campo de estudo que
abrange padrões de proximidade e posição. Trata-se de um ramo da matemática
que estuda os “espaços topológicos”, que são considerados uma extensão da
geometria.
Lima (2003, p. 71) define espaços topológicos como uma Topologia num
conjunto X é uma coleção
 de partes de
com as seguintes propriedades:
1)  e X pertencem a
2) Se A1 ,..., An 

;
então A1 ... An 

X , chamados os abertos da topologia,
3)
se
L
Dada uma família arbitrária
 A L

com A  para cada
  L , tem-
A  .
O autor ainda afirma que espaço topológico é um par
um conjunto e
 é uma Topologia em
 X , 
onde X é
X . Garding (1997, p. 139) ainda acrescenta
que um espaço topológico apresenta três requisitos mínimos, a saber: “toda união
de conjuntos abertos é aberta; as intersecções finitas de conjuntos abertos são
abertas; a intersecção de todos os abertos que contém um mesmo ponto é o próprio
ponto”.
Nessa, geometria podemos transformar, por exemplo, um quadrado em
um círculo; esse em um triângulo e assim sucessivamente de maneira que as
características topológicas permaneçam invariantes (RISSI, 2008, p. 5).
Os conceitos tratados neste são de fundamental importância para o
estudo da Topologia, bem como outros que segundo Borges (2005) são
caracterizadas como noções topológicas.
A experiência nos coloca em contato ora com corpos duros, ora com corpos
macios os quais, quando submetidos à forças suficientes podem ter a sua
forma ou tamanho alterados. Um corpo duro pode ser idealmente
transformado em um corpo rígido, isto é, um corpo que não sofre qualquer
mudança no seu tamanho ou na sua forma quando em movimento.
Dizemos, então, que a forma e o tamanho de um corpo rígido são
invariantes quando submetido ao movimento ou, em linguagem mais
sofisticada: as propriedades métricas de um corpo rígido são invariantes
sob a transformação do movimento (Borges, 2005, p. 17).
Rissi (2008, p. 5) ainda afirma que as formas geométricas, na Topologia
são uma só, pois estuda somente as propriedades que não se alteram com as
transformações, fato que também atribui a Topologia denominações de Geometria
da Borracha ou Geometria Elástica.
Borges (2005, p. 19) afirma que em uma “transformação topológica” não
há “fusões”, caso contrário pontos distintos se transformariam em pontos não
distintos, fato que destruiria a vizinhança entre os mesmos. E, não pode haver
rompimentos, pois se houvessem propriedades como interior e exterior seriam
destruídas.
Ele ainda acrescenta que são necessárias duas condições para
caracterizar uma transformação topológica entre duas figuras A e B, a destacar:
a)
Cada ponto a de A faz correspondência a um só ponto b de B; a recíproca
também é verdadeira, fato esse que denominamos de correspondência biunívoca;
b)
A transformação topológica é contínua nos dois sentidos. Dados dois
pontos a e a’ de A se, por um movimento de a sua distância ao ponto a’ tender a
zero, igualmente tende a zero a distância entre os dois pontos correspondentes b e
b’ de B; a recíproca é verdadeira. Essa característica fica evidenciada quando, ao
dobrarmos um pedaço de arame sem rompê-lo, a vizinhança entre pontos do arame
antes de ser dobrado é preservada no arame dobrado.
Do mesmo modo, se quisermos fazer uma transformação inversa, basta
desdobrarmos o mesmo arame de modo que pontos vizinhos no arame dobrado
permanecerão vizinhos no arame distendido. Essas considerações tornam-se
válidas para entendermos a “topologia de superfícies”.
Como já sabemos, para Sampaio (2008, p. 30) as superfícies são objetos
geométricos bidimensionais, exemplos disso são as bolas de plástico – modelo físico
de superfícies esféricas e, as câmaras de ar – modelo de superfície denominada
toro bidimensional. Ele ainda acrescenta que são quatro as deformações que não
afetam a topologia de uma superfície, a saber:
1. Esticar ou inflar a superfície ou parte dela;
2. Encolher a superfície ou parte dela;
3. Entortar a superfície ou parte dela;
4. Cortar a superfície segundo uma linha suave nela demarcada e,
posteriormente, colar novamente, uma na outra, as bordas geradas por esse
recorte, resgatando a superfície original com a linha demarcada. A este
procedimento é dado o nome de recorte e colagem.
Essas deformações são chamadas de transformações topológicas a qual
definimos como deformações legais. Deste modo,
Define-se então a topologia de uma superfície como o conjunto de aspectos
geométricos dessa superfície que não se alteram quando aplicamos
qualquer uma dessas quatro deformações. Quando duas superfícies têm a
mesma topologia, dizemos que elas são topologicamente equivalentes ou,
como dizem os topólogos, superfícies homeomorfas (Sampaio, 2008, p. 31).
As superfícies homeomorfas, segundo Marar (2004, p. 4) referem-se às
transformações contínuas que podem ser desfeitas, fato que demonstra que os
objetos podem ser feitos com material perfeitamente deformável, ou seja, o que se
mantém é a essência da forma. Essas características, como se pode notar,
representam propriedades muito diferentes das propriedades geométricas tal como
conhecemos, como por exemplo, as noções de comprimento ou ângulo.
Para exemplificar tal situação, consideremos o retângulo (Figura 54) e a
figura 55 representada a seguir.
Figura 54: Retângulo de vértices A, B, C e D
Fonte: BORGES, 2005.
Figura 55: Deformação do retângulo.
Fonte: BORGES, 2005.
Apenas pelo bom senso, diríamos que as duas figuras acima não tem
nada em comum, no entanto, nosso estudo em Topologia nos faz perceber que a
segunda nada mais é que uma deformação da primeira, pois algumas propriedades
permanecem inalteradas já que os pontos E, D e F permanecem, respectivamente,
entre os pontos A e C, B e F, C e D. Isso caracteriza uma transformação topológica:
“conservou a ordem dos pontos citados, embora não conservado a retidão dos lados
e os ângulos tenham sofrido alterações profundas” (BORGES, 2005, p. 18).
Outro exemplo diz respeito ao círculo, já tratado em linhas anteriores, na
qual podemos dizer que a curva de Jordan é homeomorfa ao círculo e, com isso,
concluímos que qualquer curva pode ser deformada, desde que tenha esta
propriedade, podendo ser encarada como um equivalente topológico de um círculo.
Por isso, qualquer curva simples no plano é topologicamente equivalente ao círculo.
Para Lima (2003, p. 72), homeomorfismo é uma bijeção contínua
h : X  Y cuja inversa também é contínua. E, segundo Prado (2008, p. 22) dizemos
que “duas superfícies são homeomorfas quando existe uma função biunívoca entre
elas. Assim, duas superfícies são homeomorfas se existe uma função entre elas que
seja contínua, invertível e a sua inversa seja contínua”.
Segundo Sampaio (2008, p. 30) se há uma superfície obtida de outra por
uma combinação, em um número finito de vezes, de algumas ou todas as três
primeiras transformações acima apresentadas então elas são isotópicas, e diante
disso, concluímos que as superfícies isotópicas são homeomorfas. Por exemplo,
faremos a esfera sofrer duas deformações legais não necessariamente iguais.
(a): Esfera
(b): Esfera deformada
(c): Esfera deformada
Figura 56: Exemplo de superfícies homeomorfas
Fonte: Prado, 2008
Na figura é possível perceber que a figura 56 (b) e (c), obtidas a partir de
uma esfera (figura 56-a), são homeomorfas e podemos dizer que também são
isotópicas à esfera (PRADO, 2008, p. 23).
No entanto, se tentarmos transformar uma esfera num toro, utilizando as
deformações legais, não conseguiremos, pois de acordo com a autora, para tal feito
é preciso cortar um pedaço da superfície e com isso, perder sua continuidade, ou
seja, não conseguimos uma função biunívoca que relacione a esfera e o toro e por
isso, não há homeomorfismo entre elas (superfícies topologicamente não
equivalentes). Ver figura 57.
Figura 57: Esfera e Toro: topologicamente não equivalentes
Fonte: PRADO, 2008
Na topologia de superfície, duas delas são essenciais, são elas: o cilindro
e a faixa de Möbius que segundo Marar (2004, p. 3) são topologicamente obtidas a
partir de um retângulo, as demais superfícies se dá ao processo de identificação ao
longo das linhas de borda ou por meio de fusões de duas ou mais superfícies. O
autor ainda afirma que esse modo de representar uma superfície na topologia é
denominado modelo plano da superfície.
Marar (2004, p. 4) destaca uma lista de superfícies topológicas, na qual a
esfera (figura 58 - a) é topologicamente um cilindro com as circunferências de dois
discos coladas nas suas bordas. O toro (Figura 58 - b), entretanto, representa um
cilindro com as duas bordas identificadas. O plano projetivo (Figura 58 - c) – faixa de
Möbius com um disco colado ao longo da borda. E, a garrafa de Klein (Figura 58 - d)
que representa duas faixas de Möbius identificadas ao longo da borda (Figura 58 e). A partir disso e de operações adequadas, podemos obter todas as superfícies na
topologia.
(a)
(c)
(b)
(d)
Figura 58: Superfícies topológicas
Fonte: Marar, 2004.
(e)
As superfícies apresentadas na figura acima podem ser representadas
por meio de um diagrama. E, Marar (2004, p. 5) afirma que “para se obter o modelo
plano de qualquer superfície procedemos da maneira inversa, isto é, cortamos a
superfície a ser modelada ao longo de curvas até que seja possível planificar a
superfície”.
Para produzir o toro plano, Sampaio (2008, p. 32) afirma que é preciso
colar, aos pares, as arestas opostas do retângulo, uma na outra. Assim, “se o
retângulo é visto como tendo uma aresta de cima, outra de baixo e outras duas
laterais à direita e à esquerda, então precisamos colar a aresta de cima na de baixo,
na esquerda, com esse procedimento obtemos a representação do toro plano”.
Como mostra a figura 59.
Figura 59: Modelo de toro plano cortado ao longo das linhas indicadas
Fonte: Sampaio, 2008
O modelo plano da garrafa de Klein é similar ao modelo do toro, o que era
de se esperar, já que ambos são originários de um cilindro com bordas idênticas, de
modo que, invertendo uma de suas setas, o identificamos. Esse modelo pode ser
construído colando-se a aresta superior na inferior e, em seguida colamos a aresta
esquerda na direita, após uma torção de 180 graus em uma das extremidades da
faixa retangular.
Figura 60: Modelo de garrafa de Klein plana
Podemos perceber que as superfícies apresentadas até agora possuem
diagramas constituídos por uma região poligonal plana. No entanto, para construir
um plano projetivo, Sampaio (2008, p. 36) orienta para a necessidade de
inicialmente considerarmos o hemisfério sul da superfície de uma esfera, ou seja,
uma semiesfera.
Figura 61: Construção do plano projetivo
O autor ainda acrescenta que o plano projetivo pode também ser
concebido por um diagrama plano circular de duas arestas curvilíneas. Para sua
construção colamos cada ponto da linha do equador (que representa o bordo da
semiesfera) ao ponto do equador diametralmente oposto.
Figura 62: Modelo de um plano projetivo
Veremos agora que podemos simplificar os modelos planos evitando as
notações de setas de maneira a identifica-las por letras e, como afirma Marar (2004,
p. 6) esse é “um ponto crucial da representação das superfícies em topologia”, visto
que superfícies que apresentam a mesma palavra são homeomorfas. Sobre essa
notação, o autor assegura que:
Criaremos uma sequência de letras, percorrendo-se o bordo do modelo
plano, por exemplo, no sentido horário. Ao encontrar uma letra neste
percurso ela fará parte da sequência de letras, caso o sentido do percurso
coincida com o sentido da seta à qual a letra está associada. Se o sentido
da seta for contrário ao do percurso, então a letra com um expoente -1 fará
parte da sequência de letras. Esta sequência é denominada palavra
associada à superfície. Através das palavras chegamos a uma descrição
altamente sintética da superfície. (MARAR, 2004, p. 6)
O autor conclui afirmando que essa representação dispensa qualquer
redundância ou desvio de significado, pois sua clareza revela o máximo de beleza
descritiva de uma ideia.
3.3.1.
Palavras associadas a superfícies fechadas
Representar as superfícies por palavras é guardar todas as informações a
cerca da sua configuração poligonal plana e, desse modo, podemos operar de várias
maneiras as palavras e ainda obter a mesma superfície, chamadas de operações da
gramática topológica (MARAR, 2004, p. 7).
As palavras associadas às quatro superfícies identificadas acima são,
segundo Sampaio (2008, p. 50):
Superfícies
Palavra
Toro Plano
aba-1b-1
Garrafa de Klein aba-1b
Esfera
aa-1
Plano projetivo
aa
Quadro 1: Modelo de superfícies representadas em palavras
A associação superfície/palavra mostrada no quadro 1 acima está
representada no sentido horário de cada modelo plano, no entanto, Marar (2004, p.
6) alerta que independente do sentido e do vértice onde se começa a construção,
teremos a mesma superfície, por exemplo, as palavras ba-1b-1a e ab-1a-1b ainda
representam um toro.
Se numa palavra uma letra está entre duas letras iguais então aquela que
está no meio pode ser deslocada invertendo-se o sinal de seu expoente, por
exemplo, a palavra associada à Garrafa de Klein também pode ser representada por
aabb, o que resulta em uma concatenação das palavras e, nesse caso, aa e bb
representam as duas faixas de Möbius que compõe a Garrafa de Klein (MARAR,
2004, p. 7).
Sampaio (2008, p. 50) afirma que para a reciprocidade de informações,
por exemplo, poderíamos ter palavra acdc-1db-1a -1b e construir um diagrama plano
associado a ela. Como nessa palavra cada letra aparece duas vezes, então
considerando as repetições, temos oito letras, fato que a associa a um diagrama
octogonal. E, na mesma sequencia apresentada fixamos as letras nos vértices do
octógono e em seguida, percorremos o sentido horário de suas arestas para
demarcar as setas e, para letras com expoente -1 a seta muda de sentido, como
mostra a figura 63.
Figura 63: Diagrama plano associado à palavra acdc-1db-1a -1b
3.3.2.
Invariantes topológicos: A característica de Euler.
Segundo Devlin (2002, p. 258), existem características usadas para
distinguir superfícies. Às características que possuem tal objetivo chamamos
invariantes topológicos.
O número de arestas (ou bordos) e a orientação são exemplos de
invariantes topológicos. O número de arestas diferencia, por exemplo, a faixa de
Möbius da cilíndrica, mas não é suficiente, por exemplo, para distinguir um disco de
duas dimensões de uma faixa de Möbius: ainda que ambos possuam uma única
borda, não são equivalentes na topologia. A orientação, por sua vez, diferencia
esferas, cilindros e faixas de Möbius, mas não é suficiente para distinguir a esfera de
um toro por um motivo óbvio: ambos são orientáveis e não possuem arestas.
Existe, no entanto, um invariante topológico, além do número de arestas e
orientação: a característica de Euler. Antes de falarmos sobre ela, julgamos válido o
registro da definição de grafo (ou rede, como tratam alguns estudiosos) proposta por
Sampaio (2008, p. 16).
O autor afirma que um grafo é “uma figura constituída de um número finito
de arcos (ou curvas), chamados arcos ou arestas do grafo, cujas extremidades são
chamadas de vértices do grafo”. Na figura 64 estão apresentados alguns exemplos
de grafos.
Figura 64: Exemplos de grafos
Fonte: Sampaio, 2008.
Se desenharmos um grafo em uma superfície, o número de vértices,
arestas e faces do mesmo não se alteram mesmo que a superfície em que estiver
desenhado sofra uma transformação topológica (DEVLIN, 2002, p. 258).
Assim, podemos aplicar aos grafos em qualquer superfície o mesmo
raciocínio utilizado por Euler quando estabeleceu a constante V  A  F nos grafos,
em um plano e em uma esfera. Segundo Devlin (2002, p.264), o valor desta
constante para qualquer grafo em uma determinada superfície é conhecida como a
característica de Euler da tal superfície. O autor alerta que devemos nos assegurar
de que o grafo desenhado cubra toda a superfície, e que não se trate de um grafo
plano em uma pequena região da superfície.
Segundo
este
mesmo
autor,
número
de
bordos,
orientação
e
característica de Euler são suficientes para distinguir qualquer par de superfícies não
equivalentes topologicamente.
4.
TOPOLOGIA E RECREAÇÃO
Segundo Lorenzato (2006), o mais importante para o aluno não é apenas
conhecer as verdades matemáticas, mas também
obter a alegria da descoberta, a percepção de sua competência, a melhoria
de sua auto imagem, a certeza de que vale a pena procurar soluções e
fazer constatações, a satisfação do sucesso, e compreender que a
matemática longe de ser um bicho papão, é um campo de saber onde ele,
aluno pode navegar (LORENZATO, 2006, p. 25).
Pensando nisso, nosso objetivo nesta seção é apresentar um conjunto de
35 (trinta e cinco) recreações topológicas divididas em quatro subseções, a saber:
quebra cabeça, papel e tecido, barbante e cordas, casacos e coletes e elásticos.
Antes disso, falaremos um pouco sobre a Matemática Recreativa e seu interessante
propósito.
4.1.
Matemática Recreativa
Quando falamos em Matemática Recreativa, pode ser que a primeira
palavra que venha à mente seja “recreação”.
A Matemática Recreativa é um ramo da Matemática que tem por
finalidade evidenciar uma aplicação mais prática desta disciplina. Este ramo vem
tentar extinguir os conceitos que, não muitas vezes, afastam nossos olhos e
pensamentos de uma aplicação ainda mais significativa desta importante ciência.
Segundo Sá (2006, p. 60), a Matemática Recreativa tem sido uma grande
fonte de problemas não padrões interessantes além de contribuir consideravelmente
no processo de ensino aprendizagem, uma vez que intervém lógica ou cálculo de
algum modo.
Segundo Menezes, Brito e Santos (2004, p. 2), desde a Antiguidade, em
diversos jogos, eram essenciais as mais variadas habilidades matemáticas. A estas
atividades chamamos “recreações matemáticas”.
As autoras enfatizam que, do ponto de vista histórico, existem registros da
existência de problemas recreativos desde os papiros até hoje. Elas afirmam que os
problemas recreativos existem desde o documento matemático mais antigo
conhecido: o Papiro Rhind, datado de 1650 a.C., que possivelmente foi copiado pelo
seu autor, o escriba Ahmes, de um documento 200 anos mais antigo, o qual parece
corresponder a um caderno de exercícios de um estudante. (Menezes, Brito e
Santos, 2004, p.2.)
Segundo Menezes e Fossa (2004, p. 7), as recreações constituem uma
classe especial de problemas. Eles afirmam que o primeiro trabalho em matemática
de cunho lúdico conhecido é o Nouvelle Arithmétique appliquée au commerce et a la
marine mis en vers de Léon Chavignaud, datado de 1484.
Os autores citam outro trabalho completo sobre recreações matemáticas
intitulado Problémes plaisant et délectables qui si font par lês nombres de Gaspar
Bachet de Meriziac. Em seus estudos, Menezes e Fossa (2004) destacam ainda a
obra de Ozanam, ampliada por Montucla, uma compilação do que havia sido feito
até então sobre recreações matemáticas acrescida de diferentes versões e
comentários. São exemplos de recreações desafios como quebra-cabeças e
truques.
Os quebra-cabeças de arame, segundo Montoya e Flores (2003), são
engenhosos brinquedos que consistem em várias partes, a ser separados. A difusão
que estão alcançando estes “jogos”, seu interesse lúdico, assim como a riqueza de
aspectos geométricos e topológicos que utilizam, foram agentes condutores desta e
outras pesquisas; pesquisas estas que tem incentivado estudiosos do assunto a
analisar suas qualidades educativas para o ensino da Matemática.
Os
truques,
por
sua
vez,
aqui
apresentados
como
atividades
desafiadoras, podem possuir o modo de funcionamento matemático ou ter a
Matemática apenas em seus efeitos (GARDNER, 1991, p. 83). Estes truques podem
ser considerados topológicos por parecerem violar leis topológicas elementares.
Como a Topologia trata de propriedades que permanecem inalterantes
em face da transformação contínua do objeto, não é de surpreender que o campo de
ação da “mágica topológica”, se limite, quase por completo, a materiais flexíveis tais
como papel, tecido, fio, corda e elásticos.
4.2.
Desafios topológicos
4.2.1. Quebra-cabeças
Desafio 01
Nome: BARCO
Figura:
Fotografia 1: Descrição do brinquedo “barco"
Fonte: Autores
Desafio: Retirar a argola principal sem danificar o brinquedo.
Etapas da Solução:
1. Passe a argola principal pela base do barco.
Fotografia 2: Etapa 1 (a) da solução do “barco” Fotografia 3:Etapa 1 (b) da solução do “barco”
Fonte: Autores
Fonte: Autores
2. Contorne a argola principal pelo arame que representa a vela do barco.
Fotografia 4: Etapa 2 (a) da solução do “barco” Fotografia 5: Etapa 2(b) da solução do “barco”
Fonte: Autores
Fonte: Autores
Fotografia 6: Etapa 2(c) da solução do “barco” Fotografia 7: Etapa 2(d) da solução do “barco”
Fonte: Autores
Fonte: Autores
3. A argola está solta.
Fotografia 8: Argola retirada do brinquedo “barco”
Fonte: Autores
4. Para recolocar a argola faça o caminho inverso. Comece colocando a argola no
início do arame.
Desafio 02
Nome: CORDA
Figura:
Fotografia 9: Descrição do brinquedo “Corda”
Fonte: Autores
Desafio: Soltar e recolocar a corda na peça sem danificar o brinquedo.
1. Puxe a corda de modo que a argola fique junto ao furo direito da peça.
Fotografia 10:Etapa 1 da solução do brinquedo “corda”
Fonte: Autores
2. Puxe a outra extremidade da corda (sem argola) de modo que ela passe por este
furo.
Fotografia 11:Etapa 2 (a) da soluçãodo
“corda”
Fonte: Autores
Fotografia 12: Etapa 2 (b) da solução
do “corda”
Fonte: Autores
3. Em seguida passe a argola por dentro da corda.
Fotografia 13: Etapa 3 da solução do “corda”
Fonte: Autores
4. Puxe a extremidade sem argola de volta ao outro lado da peça.
Fotografia 14: Etapa 4 (a) da solução
do “corda”
Fonte: Autores
do “corda”
Fonte: Autores
PERES, C, A; MOREIRA, L. G. P. Recreações topológicas_______________________________97
5. Tirar a corda nesta etapa será óbvio. Basta puxar a extremidade com argola.
Fotografia 16:Etapa 5 da solução do “corda”
Fonte: Autores
6. Para recolocar a corda na peça execute o caminho inverso. Comece colocando
a extremidade da corda sem a argola pelo furo direito e depois pelo furo
esquerdo.
Fotografia 17:Etapa 6 (a) da solução
do “corda”
Fonte: Autores
Fotografia 18:Etapa 6(b) da solução
do “corda”
Fonte: Autores
7. Envolva a peça com o laço da extremidade sem a argola fazendo com que o
mesmo passe pelo furo direito.
do “corda”
Fonte: Autores
Fotografia 20:Etapa 7(b) da solução
do “corda”
Fonte: Autores
Fotografia 21: Etapa 7 (c) da solução do “corda”
Fonte: Autores
8. Passe a argola pela extremidade.
do “corda”
Fonte: Autores
Fotografia 23:Etapa 8(b) da solução do
“corda”
Fonte: Autores
9. Puxe a extremidade sem argola retirando a mesma do furo.
Fotografia 24: Etapa 9 da solução do “corda”
Fonte: Autores
10. Por fim, puxe a extremidade com argola. Acorda foi recolocada novamente na
peça.
do “corda”
Fonte: Autores
Fotografia 26:Etapa 10 (b) da solução
do “corda”
Fonte: Autores
Desafio 03
Nome: PEIXE
Figura:
Fotografia 27: Descrição do brinquedo “peixe”
Fonte: Autores
Desafio: Soltar e recolocar o “peixe” no arco sem prejudicar o brinquedo.
1. Encaixe a “boca do peixe” dentro de qualquer uma das argolas.
Fotografia 28: Etapa 1 da solução do “peixe”
Fonte: Autores
2. Passe a argola da base por dentro da boca do peixe.
Fonte: Autores
3. Tire a boca do peixe de dentro da argola do arco e o peixe estará solto.
Fonte: Autores
4. Para recolocá-lo basta fazer o caminho inverso. Comece colocando aboca do
peixe dentro da argola do arco por baixo da base. Passe a argola da base por
dentro da boca do peixe que estará recolocado.
Desafio 04
Nome: RETÂNGULO
Figura:
Fotografia 31: Descrição do brinquedo “retângulo”
Fonte: Autores
Desafio: Soltar e recolocar o retângulo do arco sem prejudicá-lo.
1. Entre com o retângulo dentro de uma das argolas do arco.
Fotografia 32: Etapa 1 da solução do “retângulo”
Fonte: Autores
2. Passe a argola da base dentro do retângulo.
Fonte: Autores
3. Passe o retângulo dentro da outra argola do arco.
Fonte: Autores
4. Passe também a argola da base dentro do retângulo.
do “retângulo”
Fonte: Autores
do “retângulo”
Fonte: Autores
5. Passe a argola do arco menor por dentro do retângulo.
do “retângulo”
Fonte: Autores
do “retângulo”
Fonte: Autores
6. Coloque o retângulo dentro de uma das argolas do arco menor libertando-o
deste.
Fonte: Autores
7. Para libertar o retângulo do arco passe a argola da base por dentro do retângulo.
Fonte: Autores
8. Em seguida, passe a argola do arco por dentro do retângulo.
Fonte: Autores
9. Coloque o retângulo dentro da argola do arco e passe a argola da base por
dentro dele libertando-o. Para recolocar o retângulo siga os passos anteriores na
ordem inversa.
do “retângulo”
Fonte: Autores
do “retângulo”
Fonte: Autores
Desafio 05
Nome: ALGEMAS
Figura:
Fotografia 44: Descrição do brinquedo “Algemas”
Fonte: Autores
Desafio: Soltar e recolocar a argola nas algemas.
1. Coloque as argolas opostas das algemas dentro da argola central.
Fotografia 45: Etapa 1 da solução do “algemas”
Fonte: Autores
2. Faça uma leve torção em uma das algemas e a argola sairá do centro delas.
do “algemas”
Fonte: Autores
do “algemas”
Fonte: Autores
3. Nessa etapa separar a argola das algemas será óbvio.
do “algemas”
Fonte: Autores
do “algemas”
Fonte: Autores
Fotografia 50: Etapa 3 (c) da solução do “algemas”
Fonte: Autores
4. Para recolocar a argola ponha a argola em, qualquer das extremidades livres das
algemas.
do “algemas”
Fonte: Autores
do “algemas”
Fonte: Autores
5. Abra as algemas bem devagar deixando a argola descer para o centro.
do “algemas”
Fonte: Autores
do “algemas”
Fonte: Autores
6. Você será induzido a fazer uma leve torção (ou pode soltar uma das algemas) e
ficará surpreso ao ver a argola prender no centro das algemas.
Fotografia 55: Argola presa no centro novamente.
Fonte: Autores
Desafio 06
Nome: CRUZ
Figura:
Fotografia 56: Descrição do brinquedo “Cruz”
Fonte: Autores
Desafio: Soltar e recolocar a argola principal na “cruz”.
1. Junte a primeira cruz à peça central mantendo a argola principal na segunda
cruz.
Fotografia 57: Etapa 1 da solução do “cruz”
Fonte: Autores
2. Leve a segunda cruz até a extremidade de uma das hastes da peça central.
do “cruz”
Fonte: Autores
do “cruz”
Fonte: Autores
3. Passe a argola principal pelo vão entre as duas argolas a peça central.
Fonte: Autores
4. Percorra com a argola principal o contorno da cruz/peça central até que ela se
liberte do restante do brinquedo.
do “cruz”
Fonte: Autores
do “cruz”
Fonte: Autores
Fotografia 63:Etapa 4(c) da solução do
“cruz”
Fonte: Autores
Fotografia 64:Etapa 4 (d) da solução
do “cruz”
Fonte: Autores
5. Para recolocar a argola comece colocando a mesma pelo vão da peça central.
i
Fonte: Autores
6. Percorrendo o contorno da cruz/peça central é inevitável: a argola será
recolocada no brinquedo.
do “cruz”
Fonte: Autores
do “cruz”
Fonte: Autores
Fotografia 68: A argola foi recolocada no brinquedo
Fonte: Autores
Desafio 07
Nome: PREGOS
Desafio: Separar e unir novamente as peças.
Descrição:
Os pregos consistem em duas ou mais peças ligadas que, em
determinadas posições, podem ser separadas. Nestes quebra-cabeças, a espessura
do material é muito importante, pois é apenas na posição correta que é possível
desentrelaçar as partes.
Exemplos:
Fotografia 69: Exemplo de prego 01
Fonte: http://www.professorpuzzle.com Fonte: http://www.professorpuzzle.com
Fonte: http://www.professorpuzzle.comFonte: http://www.professorpuzzle.com
Fonte:Autores
Fonte: Autores
Desafio 08
Nome: Balanço I
Figura:
Fotografia 75: Descrição do brinquedo “Balanço I”
Fonte: Autores
Desafio: Soltar e recolocar a argola principal no balanço.
Etapas da solução:
1. Encaixar a argola direita na peça central;
do “balanço I”
Fonte: Autores
do “balanço I”
Fonte: Autores
2. Conduzir a argola principal até que passe pela bola direita de maneira com
que ela permaneça depois da peça central;
do “balanço I”
Fonte: Autores
do “balanço I”
Fonte: Autores
3. Passar a argola por dentro da peça central;
Fotografia 80: Etapa 3 da solução do “balanço I”
Fonte: Autores
4. Passar novamente a argola por dentro da bola da direita. Finalmente a argola
estará solta.
do “balanço I”
Fonte: Autores
do “balanço I”
Fonte: Autores
5. Para recolocar a argola no brinquedo basta seguir os passos de maneira
inversa.
Desafio 09
Nome: Balanço II
Figura:
Fotografia 83: Descrição do brinquedo “Balanço II”
Fonte: Autores
Desafio: Soltar e recolocar a argola principal sem danificar o brinquedo.
1. Primeiramente, coloque a argola principal junto à bola direita dentro de sua
haste 1. Certifique-se de que a argola principal está entre a haste 1 e a bola
esquerda;
Fotografia 84: Etapa 1 da solução do “balanço II”
Fonte: Autores
2. Conduza a argola principal de maneira com que a bola passe por dentro
desta haste.
do “balanço II”
Fonte: Autores
do “balanço II”
Fonte: Autores
3. Tire a argola principal de dentro da haste;
Fonte: Autores
4. Passe a argola principal por dentro da haste;
Fonte: Autores
5. Finalmente, passe abola por dentro da argola principal; feito isso a argola
estará solta.
Fotografia 89: Etapa da solução do “balanço II”
Fonte: Autores
6. Para recolocar a argola basta seguir os procedimentos de maneira inversa.
Desafio 10
Nome: Chave
Figura:
Fotografia 90: Descrição do brinquedo “Chave”
Fonte: Autores
Desafio: Soltar e recolocar a argola na chave sem danificar o brinquedo.
1. Conduza a argola principal até a parte superior da chave como mostra a
Fotografia abaixo:
Fotografia 91:Etapa 1 da solução do “chave”
Fonte: Autores
2. Mantendo a argola principal na chave, passe uma das argolas próximas a
uma das bolas por dentro do furo central da chave;
do “chave”
Fonte: Autores
do “chave”
Fonte: Autores
3. Desça a argola principal e passe a bola que está junto à chave por dentro
dela;
do “chave”
Fonte: Autores
do “chave”
Fonte: Autores
4. Conduza a argola principal de modo que ela passe por dentro do furo central
da chave;
Fotografia 96: Etapa 4 da solução do “chave”
Fonte: Autores
5. Passe a bola por dentro da argola. Feito isso, a argola estará solta;
do “chave”
Fonte: Autores
do “chave”
Fonte: Autores
6. Para recolocar a argola basta seguir os passos de maneira inversa.
Desafio 11
Nome: Triângulo
Figura:
Fotografia 99: Descrição do brinquedo “Triângulo”
Fonte: Autores
Desafio: Soltar e recolocar a haste no triângulo sem danificar o brinquedo.
1. Conduza a haste de modo que ela fique próxima à argola como ilustra a
Fotografia abaixo.
Fotografia 100: Etapa 1 da solução do “Triângulo”
Fonte: Autores
2. Depois faça com que a ponta da haste passe por dentro da argola;
Fotografia 101: Etapa 2 da solução do “triângulo”
Fonte: Autores
3. Em seguida, conduza a haste de maneira a contornar todo a estrutura do
triângulo;
do “triângulo”
Fonte: Autores
do “triângulo”
Fonte: Autores
4. Depois passe a haste pela argola. Feito isso, a haste finalmente estará solta.
Para recolocar a haste basta seguir os procedimentos de maneira inversa.
do “triângulo”
Fonte: Autores
do “triângulo”
Fonte: Autores
Desafio 12
Nome: Escada
Figura:
Fotografia 106: Descrição do brinquedo “Escada”
Fonte: Autores
Desafio: Retirar e recolocar a haste “presa” na escada sem danificar o brinquedo..
1. Entrar com a ponta da haste na argola 1;
Fotografia 107: Etapa 1 da solução do “escada”
Fonte: Autores
2. Passar as argolas 2 e 3 pela abertura da haste;
do “escada”
Fonte: Autores
do “escada”
Fonte: Autores
3. Colocar a ponta da haste na argola 2e passar a argola 3 por dentro da
haste;
do “escada”
Fonte: Autores
do “escada”
Fonte: Autores
4. Separar a haste de maneira das argolas 1 e 2;
do “escada”
Fonte: Autores
do “escada”
Fonte: Autores
5. Entrar com a ponta da haste na argola 2;
Fonte: Autores
6. Passar a argola 3 por dentro da haste;
Fonte: Autores
7. Puxar a haste, tirando-a da argola 2; e ela sairá facilmente.
Fonte: Autores
Para recolocar a haste, siga os passos abaixo:
8. Coloque a haste por dentro da argola 2 e depois passe a argola 3 por
dentro da abertura dela.
do “escada”
Fonte: Autores
do “escada”
Fonte: Autores
9. Gire a haste de maneira que ela saia das argolas 2 e 3;
Fonte: Autores
10. Passe a argola 1 por dentro da haste;
Fonte: Autores
11. Passe a haste por dentro da argola 1 e 2 e coloque a argola 3 por dentro
dela;
do “escada”
Fonte: Autores
do “escada”
Fonte: Autores
12. Finalmente, passe as argolas 2 e 3 por dentro da haste e a argola estará
recolocada no brinquedo.
do “escada”
Fonte: Autores
do “escada”
Fonte: Autores
Desafio 13
Nome: OCTÓGONO
Figura:
Fotografia 125:Parte superior do
brinquedo “escada”
Fonte: Autores
Fotografia 126:Parte inferior do brinquedo
“escada”
Fonte: Autores
Desafio: Libertar a argola e recolocá-la na peça.
1. Coloque a argola em contato com somente uma das alças como ilustra a imagem
a seguir. Nesta imagem identificamos um dos furos. O chamaremos furo
principal;
Fotografia 127: Etapa 1 da solução do “octógono”
Fonte: Autores
2. Passe a alça que toca a argola pelo furo principal;
do “octógono”
Fonte: Autores
do “octógono”
Fonte: Autores
Fotografia 130: Etapa 2 (c) da solução do “octógono”
Fonte: Autores
3. Passe a bola pela alça;
Fotografia 131: Etapa 3 da solução do “octógono”
Fonte: Autores
4. Puxe a alça de volta para o outro lado da peça e a argola será solta.
do “octógono”
Fonte: Autores
do “octógono”
Fonte: Autores
Fotografia 134: Argola solta do “octógono”
Fonte: Autores
5. Para recolocar a argola na peça execute os passos anteriores em ordem inversa.
Desafio 14
Nome: CORAÇÕES
Figura:
Fotografia 135: Descrição do brinquedo “Corações”
Fonte: Autores
Desafio: Separar os corações sem romper o barbante nem desamarrar as
“moedas”.
1. Passe o barbante por um dos furos superiores do coração maior.
do “corações”
Fonte: Autores
do “corações”
Fonte: Autores
2. Passe a extremidade com a moeda por dentro da alça do barbante.
Fotografia 138: Etapa 2 da solução do “corações”
Fonte: Autores
3. Puxe o barbante de modo que ele retorne ao lado inicial.
do “corações”
Fonte: Autores
do “corações”
Fonte: Autores
4. Passe agora o barbante pelo outro furo do coração maior.
Fotografia 141: Etapa 3 da solução do “corações”
Fonte: Autores
5. Passe a extremidade com a moeda também por dentro da alça do barbante.
do “corações”
Fonte: Autores
do “corações”
Fonte: Autores
6. Puxe o barbante para o lado inicial. A partir daí separar os corações será
óbvio.
do “corações”
Fonte: Autores
do “corações”
Fonte: Autores
Desafio 15
Nome: Anéis unidos
Figura:
Figura 65: Brinquedo “Anéis unidos”
Fonte: Britton, 2006.
Figura 66: Detalhe do brinquedo “Anéis unidos”
Desafio: Transferir um dos anéis à alça do outro anel.
1. Puxe a alça central (indicada pela seta na imagem a seguir) para baixo e
deslize o anel direito de modo a passá-lo pela abertura desta alça;
Figura 67: Etapa 1 da solução do “Anéis unidos”
2. Puxe as duas alças (indicadas com as setas) em sua direção. Observe então
que um “laço duplo” sai agora do orifício central;
Figura 68:Etapa 2 (a) da solução do
“anéis unidos”
Figura 69:Etapa 2 (b) da solução
do “anéis unidos”
3. Passe o anel por dentro do laço duplo movendo-o à mesma posição só que
do lado oposto.
Figura 70: Etapa 3 da solução do “anéis unidos”
4. Daqui basta inverter as duas primeiras etapas, isto é, desfazer o laço duplo e
deslizar o anel de modo a retirá-lo da abertura da alça central.
Figura 71:Etapa 4 (a) da solução do
“anéis unidos”
Figura 72:Etapa 4 (b) da solução
do “anéis unidos”
4.2.2. Papel e tecido
Desafio 16
Nome: Faixas curiosas
Desafio: Construir uma faixa que tenha uma única face.
Descrição: Prepare três grandes faixas de papel seguindo as instruções a seguir.
1. Na primeira faixa junte os extremos sem torcer.
Fotografia 146: Primeira faixa (cilíndrica)
Fonte: Autores
2. À segunda faixa aplique uma torção simples (semi-torção ou meia volta)
(Fotografia 148) antes de colar as pontas (Fotografia 149).
Fotografia 147: Etapa 1 da construção
da segunda faixa
Fonte: Autores
Fotografia 149: Etapa 3 da construção
da segunda faixa
Fonte: Autores
Fotografia 148: Etapa 2 da construção da
segunda faixa
Fonte Autores
Fotografia 150: Segunda faixa (faixa de
Möbius)
Fonte: Autores
3. A terceira faixa deve ser torcida duas vezes ou, em outras palavras, deve ser
dada uma torção completa (Fotografia 152) antes de unir suas pontas
(Fotografia 153).
Fotografia 151:Etapa 1 da construção
da terceira faixa
Fonte: Autores
Fotografia 152:Etapa 2 da construção da
terceira faixa.
Fonte: Autores
Fotografia 153: Terceira faixa
Fonte: Autores
Com a ajuda de uma tesoura, corte a primeira tira ao meio
longitudinalmente, começando numa ponta e continuando a cortar até regressar ao
ponto de partida. Como esta é uma faixa cilíndrica, o resultado é pouco
surpreendente: duas novas faixas idênticas e também cilíndricas.
No entanto, quando a segunda tira é cortada do mesmo modo
descobrimos, com surpresa, que nesta segunda operação, obtém-se uma única
faixa, com o dobro do diâmetro original (Fotografia 157). A faixa construída é a não
tão famosa superfície de Möbius (Fotografia 150).
Esta curiosa superfície, quando cortada ao meio longitudinalmente
(Fotografias 154, 155 e 156), se torna um único e grande anel (Fotografia 157).
Matemáticos afirmam que este corte acrescenta uma segunda aresta e, por
consequência, um segundo lado (BERGAMINI, 1965, p.182).
Fotografia 154:Corte longitudinal na
faixa (a)
Fonte: Autores
faixa (b)
Fonte: Autores
faixa (c)
Fonte: Autores
Fotografia 157:Anel com o dobro do
diâmetro do anel inicial
Fonte: Autores
Se por outro lado, o corte for efetuado a um terço da borda da tira
(Fotografia 158 e Fotografia 159), o resultado é um grande anel com outro, menor,
interligado (Fotografia 160). Muitos outros resultados são apresentados nos estudos
de Gardner (1991), Sampaio e Malagutti (2008), Sampaio (2008) e Stewart (2009).
Fotografia 158:Corte longitudinal a um
terço da borda
Fonte: Autores
Fotografia 159:Corte longitudinal a um
terço da borda
Fonte: Autores
Fotografia 160: Anéis de tamanhos diferentes interligados
Fonte: Autores
O corte longitudinal da terceira tira traz consigo um resultado tão curioso
quanto os anteriores: dois anéis interligados (Fotografia 161).
Fotografia 161: Anéis idênticos interligados
Fonte: Autores
Posteriormente, este truque adquiriu variações e novas versões,
consideravelmente mais espetaculares.
A primeira que vamos considerar aqui foi desenvolvida pelo ilusionista
Phil Foxwell. Eis as etapas do truque:
1. O executante exibe três enormes faixas e papel de embrulho (medindo cerca
de 20 cm de largura e 3,65 m de comprimento), preparadas da forma que
descrevemos anteriormente. As torções não são tão evidentes em tamanho
grande.
2. Duas pessoas da platéia são chamadas e, a cada uma, são entregues uma
faixa e uma tesoura.
3. O executante anuncia que receberá certo prêmio a primeira pessoa que
conseguir cortar a faixa em dois anéis separados, e ilustra este feito com a
faixa restante, cortando-a ao meio e mostrando os anéis ao público.
4. À ordem do mágico, os concorrentes começam. O mágico faz ensejo de
entregar o prêmio ao vencedor, quando “descobre” que este não cumpriu as
instruções uma vez que, produziu um só anel ou dois interligados.
5. O prêmio é então entregue ao outro concorrente, mas logo lhe é retirado,
quando se descobre que também este não conseguiu obter anéis separados.
Por volta de 1920, o ilusionista americano Carl Brema começou a utilizar
no truque musselina vermelha em vez de papel. Como as faixas agora podiam ser
rasgadas pelo meio, o truque, além de adquirir mais rápida execução, ficou mais
colorido. Ted Beal, no mesmo período, só que desta vez na Inglaterra, apresentou
uma versão em papel que começava com uma única e grande tira. Quando tal tira
era cortada ao meio eram obtidas duas faixas: uma torcida duas vezes, outra sem
torções. Cada uma destas faixas também era cortada ao meio por dois
espectadores. Um deles obtendo anéis separados e o outro, anéis interligados.
Na América, James C. Wobensmith - advogado da Filadélfia e mágico
amador- independentemente de Beal, desenvolveu um método em que usava uma
faixa bastante larga de musselina, que era rasgada ao meio de forma a produzir
duas faixas separadas. Rasgando uma delas, obtinham-se dois anéis ligados. A
outra, uma vez rasgada, produzia um único e grande anel. O método original de
Wobensmith para preparar a faixa está ilustrado na Figura73.
Posteriormente, este método foi melhorado até a forma em que é
atualmente conhecido (Figura 74). Gardner (1991) sugere que se faça uso de uma
cola de secagem rápida para unir os extremos.
Figura 73: Método original de Wobensmith
Fonte: Gardner, 1991, p. 87
Figura 74: Método atualmente conhecido
Gardner (1991, p. 86) cita os mágicos Harry Blackstone e S.S. Henry,
conhecidos por utilizar o truque de Wobensmith nas suas apresentações. Tal truque,
porém, vinha acompanhado de uma arenga no palco sobre um mágico num
espetáculo de feira a quem era pedido que fizesse cintos para a “Mulher Gorda” e
para os “Gêmeos Siameses”. Depois de rasgada ao meio, a faixa de musselina dava
origem a duas novas faixas. Uma destas era rasgada ao meio para formar dois
“cintos” para os Gêmeos, enquanto a outra originaria a faixa maior para a Mulher
Gorda.
Em 1926, James A. Nelson apresentou um método de preparar uma faixa
de papel de modo que dois cortes produzam uma cadeia de três anéis interligados .
Esse método está ilustrado a seguir.
Figura 75: Método de James A. Nelson
Fonte: Gardner, 1991, p. 88.
Na Hugard’s Magic Monthly de dezembro de 1949, Martin Gardner
descreveu duas interessantes variantes em musselina. Uma delas, da autoria de
William R. Williston (ilustrada na Figura76) possui as seguintes características: o
primeiro corte produz uma faixa com o dobro do tamanho original e o segundo uma
faixa ainda maior, quatro vezes maior que a primeira. A segunda variante, concebida
por Gardner, é ilustrada na Figura77. Do primeiro corte resulta uma faixa única
grande, enquanto o segundo dá dois anéis interligados.
Figura 76: Variante de Williston
Figura 77: Variante de Gardner
Muitas outras combinações podem ser desenvolvidas. A execução atual
de Wobensmith utiliza a faixa representada na Figura 78. Da primeira vez que se
rasga, obtêm-se dois anéis separados. Rasga-se então um deles de modo a
produzir uma cadeia de três anéis interligados. O outro é rasgado para dar um único
e grande anel. Este é então rasgado mais uma vez para dar uma ainda maior.
Figura 78: Execução atual de Wobensmith
Desafio 17
Nome: A tira e o anel
Desafio: Atar um nó à volta de um anel colocado em uma tira de TNT.
Descrição: Segundo Gardner (1991, p. 89), este pequeno truque é apontado por
Stanley Collins no Magic WandYear Book de 1948-49.
Coloque um pequeno anel sólido numa tira de TNT e una as pontas desta
depois de efetuadas três torções simples em uma das pontas (Fotografia 162). O
corte ou rasgão longitudinal (Fotografia 163) resultará numa faixa larga atada à volta
do anel (Fotografia 164).
Fotografia 162: Anel e tira
Fonte: Autores
Fotografia 163: Corte longitudinal ao longo
da tira
Fonte: Autores
Fotografia 164: Faixa atada à volta do anel
Fonte: Autores
Desafio 18
Nome: O buraco
Desafio: Passe por um buraco de uma folha de papel.
1.
Dobre a folha de papel ao meio. Ela pode ser do tamanho de uma folha
sulfite ou menor.
Fotografia 165: Dobre a folha de papel ao meio
Fonte: Autores
2.
Em seguida, a partir de aproximadamente 1 cm de uma das bordas, faça
um recorte rente à dobra do papel até chegar a 1 cm da outra borda.
Fotografia 166: Corte rente à folha (a) Fotografia 167: Corte rente à folha (b) jjj
Fonte: Autores
Fonte: Autoresjjjj
Fotografia 168: Corte rente à folha (c) Fotografia 169: Corte rente à folha (d)
Fonte: Autores
Fonte: Autores jjjj
3.
jjj
Fazendo isso você deixa uma abertura longa e estreita no centro do
papel, de fora a fora.
Fotografia 170: Abertura longa e estreita no papel
Fonte: Autores
4.
Com a tesoura, faça quantos recortes puder na folha dobrada em linhas
retas, como ilustra a Fotografia.
Fotografia 171: Recorte em linhas retas (a)
Fonte: Autores
Fotografia 172: Recorte em linhas retas (b)
Fonte: Autores
Fotografia 173: Recorte em linhas retas (c)
Fonte: Autores
Fotografia 174: Recorte em linhas retas (d)
Fonte: Autores
Fotografia 175: Recorte em linhas retas (e)
Fonte: Autores
5.
Abra a folha cuidadosamente e um grande buraco surgirá. Buraco este, o
qual você poderá passar por ele.
Fotografia 176: Buraco na folha de papel
Fonte: Autores
Para compreendermos o desafio acima consideramos que uma superfície
pode ser recortada até aproximar-se de uma linha. Esta linha descoberta é do
matemático e lógico italiano Giuseppe Peano (1858 – 1932). O processo de recortar
a superfície até fazê-la aproximar-se de uma linha, é um processo infinito (BORGES,
2005, p. 27-28).
Borges (2005, p. 28) ainda ressalta que problemas como este evidenciam
o caráter qualitativo da Topologia, uma disciplina “que trata de coisas que podem ser
expressas sem medida ou número” - frase que, segundo o autor, foi usada pelo
matemático alemão Félix Hausdorff (1868 - 1942).
Desafio 19
Nome: O papel e a moeda
Desafio: Passe uma moeda com certo diâmetro pelo buraco circular (com diâmetro
menor que o da moeda) de uma folha de papel.
Descrição: Tenha em mãos um pedaço de papel retangular com um furo circular no
centro e uma moeda de diâmetro um pouco maior que o do buraco tal como ilustra a
Figura 79.
Figura 79: Papel retangular com furo circular de diâmetro menor que o da moeda.
Fonte: Dudeney, 2003
1. Dobre o pedaço de papel no meio e coloque a moeda dentro do papel de
modo que ela se encaixe no buraco.
Figura 80: Etapa 1 (a) da solução do desafio
“O papel e a moeda”
Figura 81: Etapa 1 (b) da solução do desafio
Figura 82: Etapa 1 (c) da solução do desafio “O papel e a moeda”
2. Puxe simultaneamente as abas superiores do papel para o centro e a moeda
passará pelo buraco.
Desafio 20
Nome: O dedo que escapa
Desafio: Atar um lenço à volta dos dedos de um amigo de modo que ao puxar o
lenço os dedos permaneçam ilesos.
Descrição: Segure um lenço enrolado pelos cantos opostos e coloque-o sobre o
dedo indicador estendido de um amigo, como se mostra na figura a seguir.
Figura 85: Lenço sobre o dedo indicador
Ate o lenço à volta do dedo do espectador e peça pra que ele coloque o
indicador esquerdo sobre o direito. Depois, o lenço será firmemente torcido à volta
de ambos os dedos e o método de atar é o seguinte:
1.
Cruze o lenço por baixo do dedo como ilustra a figura abaixo. Ao longo
dos restantes dos movimentos, o extremo assinalado pela letra A tem de estar
virado para si no ponto de cruzamento, sempre que houver este se cruzar com o
outro extremo. Se isso não for seguido, o truque não irá funcionar.
Figura 86: Cruze o lenço por baixo
2.
Cruze as pontas por cima.
Figura 87: Cruze as pontas por cima
3.
O espectador coloca o seu indicador esquerdo sobre o ponto de
cruzamento.
Figura 88: Indicador esquerdo sobre o ponto de cruzamento
4.
para si.
Cruze as pontas por cima de modo que o extremo adequado fique virado
Figura 89: Cruze as pontas por cima.
5.
Cruze as pontas em baixo.
Figura 90: Cruze as pontas por baixo.
6.
Levante as pontas e segure-as com a mão esquerda. É aqui que os
dedos parecerão firmemente atados um ao outro.
Figura 91: Levante as pontas
7.
Segure a ponta do dedo inferior, enquanto o espectador retira o outro
dedo do pano. Levante a mão esquerda. O lenço solta-se.
Figura 92: O lenço é solto
Quando você puxa lenço para cima, este é liberto do dedo que ele
“segurava”. Embora o tecido pareça estar firmemente atado à volta de ambos os
dedos, o método de atar é tal que deixa o indicador direito do espectador fora da
curva fechada formada pelo lenço (GARDNER, 1991, p. 91).
Desafio 21
Nome: Lenços interligados
Desafio: Una dois lenços de modo que eles pareçam firmemente ligados e, ao
serem puxados em direção oposta, separem-se facilmente.
Descrição: Dois lenços, de preferência com cores contrastantes, são torcidos até
cada um ficar como uma corda, sendo ambos seguros na mão esquerda (Figura 93).
Figura 93: Lenços seguros na mão
A mão direita vai por baixo do lenço escuro, agarra a ponta A e enrola
uma vez á volta do outro lenço (Figura 94).
Figura 94: Construção do “nó” (a)
A extremidade B do lenço escuro, por sua vez, passa por baixo e depois
por cima do outro lenço (figura 95).
Figura 95: Construção do “nó” (b)
As pontas B e C são juntas por baixo e agarradas com a mão direita. As
pontas A e D, por sua vez, são juntas em cima e agarradas com a mão esquerda
(figura 96).
Figura 96: Os lenços parecem interligados
Os lenços parecem estar firmemente ligados, mas quando se puxam as
pontas separam-se facilmente. Gardner (1991, p. 93) afirma que com o uso de
lenços grandes de seda, cada um pode ser enrolado duas vezes à volta do outro, e
ainda assim é possível separá-los facilmente.
Sampaio e Malagutti (2008) apresentam uma versão deste truque com
canudinhos. As fotografias a seguir ilustram esta versão.
Fotografia 177: Versão com canudinhos (a) Fotografia 178: Versão com canudinhos (b)
Fonte: Autores
Fonte: Autores
Fotografia 179: Versão com canudinhos (c)
Fonte: Autores
Fotografia 180: Versão com canudinhos (d)
Fonte: Autores
Fotografia 181: Versão com canudinhos (e)
Fonte: Autores
Desafio 22
Nome: O lápis, o cadarço e a “palhinha”
Desafio: Enrolar um cadarço à volta de um lápis e uma “palhinha” e ao puxar o
cadarço aparentemente cortar a palhinha em duas partes.
Descrição: Este truque faz referência a um truque comercializado em 1950 por
Stewart Judah. Um lápis e uma “palhinha” são colocados lado a lado.
Quando se puxa o cadarço para soltá-lo, ele parece penetrar o lápis,
cortando a palhinha em duas partes. Eis as etapas do truque:
Figura 97: O lápis, o cadarço e a palhinha
Fonte: http://britton.disted.camosun.bc.ca/judahtrick.pdf
Truques como este se baseiam no princípio de conseguir que uma série
de enrolamentos desfaça, grosso modo, aquilo que foi feito por outra série
(GARDNER, 1991, p. 93-94).
Desafio 23
Nome: O nó
Desafio: Segurar um lenço pelas extremidades e, nunca largando nenhuma destas,
dá um nó no centro.
Para obter tal feito você deve torcer o lenço deixando-o como uma corda
e colocá-lo sobre uma mesa. Deve, então, cruzar os braços e, nessa posição,
debruçar-se sobre a mesa e segurar uma ponta do lenço em cada mão. Quando se
descruzam os braços, forma-se automaticamente um nó no centro do lenço.
Do ponto de vista topológico, braços, corpo e lenço formam uma curva
fechada conhecida como “nó de trevo”. Quando se descruzam os braços, este nó,
que estava nos braços, é transferido para o tecido.
Gardner (1991, p. 95) aponta uma variante interessante do desafio acima
descrito que pode ser realizada com um pedaço de corda ou um lenço colocado
sobre uma mesa, como se mostra na Figura 98. As etapas desta nova solução são
as seguintes:
Figura 98: Lenço enrolado
Fonte: Gardner, 1991
1. Segure a ponta B do lenço com a mão direita e peça aos espectadores que
observem com atenção o método que usa para dar um nó.
2. Faça deslizar a mão esquerda por baixo da extremidade B, com a palma para
baixo.(Figura 99)
Figura 99: Etapa da solução do desafio “O nó”
Fonte: Gardner, 1991
3. Rode a mão para trás como na Figura 100de modo a agarrar a extremidade
A. Ao separar as mãos, formar-se-á um nó no lenço.
Figura 100: Rode a mão
Fonte: Gardner,1991, p. 95
Este movimento é difícil de ser seguido. Podemos realizar o truque o
número de vezes que quisermos e, ainda assim, por alguma razão desconhecida
ainda, os outros não conseguirão formar nenhum nó cada vez que tentarem imitá-lo.
4.2.3.
Barbantes e Cordas
Segundo Stewart (2009, p. 16), a Topologia surgiu nos últimos 150 anos e
hoje se constitui o tema central da disciplina. O autor concebe a ideia de que a
Topologia trata de estruturas como os nós e elos, que são formações geométricas
que resistem a transformações bastante drásticas. Os nós continuam formados
mesmo antes que o barbante seja entortado ou esticado.
São vários os truques e habilidades topológicas feitos com barbante que
podem ser considerados topológicos. Quais de nós nunca fizemos um laço de
barbante e o enrolou pelos dedos de uma maneira que, por um simples puxão, se
soltasse parecendo atravessar os dedos? Há outros truques em que o executante
utiliza peças de roupas e/ou pertences do espectador. Enfim, vejamos alguns deles:
Desafio 24
Nome: Cortando os dedos
Desafio: Atar aos dedos um pedaço de barbante e puxá-lo de modo que os dedos
saiam ilesos.
Descrição: Apanhe 1 m de barbante e o amarre, formando uma curva fechada.
Prenda uma extremidade do dedo mínimo da mão esquerda, dê a volta com o
barbante, prenda-o no próximo dedo, gire novamente na mesma direção e continue
até passar por trás do polegar (Figura 101).
Agora o enrosque pela frente do polegar e o prenda ao redor dos dedos,
em ordem inversa (Figura 102). Esteja certo de que, ao retornar, todas as voltas
foram feitas na direção oposta à realizada na primeira vez.
Dobre o polegar sobre a palma da mão, soltando o barbante. Puxe com
força pela ponta que sobrou do dedo mínimo e seus dedos sairão ilesos, a menos, é
claro, que você tenha feito algo errado.
Figura 101: Truque “cortando os dedos” (a)
Fonte: Stewart, 2009, p. 15
Figura 102: Truque “cortando os dedos” (b)
Fonte: Stewart, 2009, p. 15
Segundo Gardner (1991, p. 96), antigamente os truques feitos atualmente
com auxílio de um barbante eram executados com ligas, razão pela qual ficaram
conhecidos como truques com ligas. Veremos, a seguir, um destes truques e
algumas variações dele.
Desafio 25
Nome: Padrões com ligas
Desafio: Pedir a um amigo que disponha um barbante de modo a formar um padrão
em cima de uma mesa. Depois disso, pedir que ele ponha um dedo dentro de um
dos laços do barbante e puxar o barbante de modo a prender o dedo.
Descrição:
Como controlar este truque fazendo o barbante não só prender o dedo do
amigo como também soltá-lo, independentemente do lugar onde ele coloque o
dedo? Consideremos, por exemplo, a Figura 103 que ilustra um padrão bem
simples.
Figura 103: Exemplo de padrão
O espectador pode escolher um dos laços: A ou B. O segredo está na
maneira como se une as pontas. As setas C e D indicam as duas maneiras pelas
quais as duas pontas podem ser unidas.
Gardner (1991) sugere a utilização de um cinto de couro masculino no
lugar do barbante. Basta dobrar o cinto em dois e enrolar o mesmo em espiral.
Como na versão anterior, você pode fazer o cinto prender-se ou soltar-se sempre
que quiser.
Desafio 26
Nome: A liga do gigante
Desafio: Descobrir se um ponto está no interior ou no exterior de uma curva.
Descrição:
Ate as pontas de um barbante de seis metros ou mais de comprimento de
modo a formar uma curva fechada. Peça a alguém que disponha o fio sobre uma
mesa formando um padrão tão complexo quanto quiser, como, por exemplo, o da
figura 104. Atente para que o barbante nunca cruze a si mesmo em algum ponto.
Depois disso, jornais devem ser dispostos pelas bordas como se ilustra na figura
105, de modo que uma única região retangular interior ao padrão possa ser vista.
Peça então a um amigo colocar o dedo sobre o padrão em qualquer ponto
que deseje, unindo firmemente o dedo à mesa. Se um dos jornais for retirado e uma
porção exterior do barbante puxada horizontalmente, o barbante prenderá ou não no
dedo do espectador?
Figura 104: Padrão complexo
Figura 105: Bordas do padrão cobertas com jornais
A complexidade do padrão, associada ao fato de as suas extremidades se
encontrarem ocultas, torna impossível, á primeira vista, saber que pontos da mesa
estão dentro ou fora da curva fechada formada pelo barbante. No entanto, você
pode dizer corretamente, todas as vezes que o truque for executado, se o barbante
vai ou não prender o dedo do espectador.
Podemos utilizar ainda variações deste mesmo truque. A primeira delas
utiliza alfinetes coloridos: O executante coloca “aleatoriamente” alguns alfinetes na
parte visível do padrão, puxa o fio pela mesa e o padrão fica, surpreendentemente,
livre de todos os alfinetes. Pode ainda ser colocado um alfinete de cor diferente e
puxar o fio de modo que este se liberte de todos os alfinetes menos daquele de cor
diferente.
Pode-se
ainda
colocar
os
alfinetes
dentro
da
curva
fechada.
Evidentemente neste caso, ao puxar o fio, este forma um círculo fechado que rodeia
todos os alfinetes. Regras relativamente simples regem a execução destes truques.
Eis o segredo.
O segredo
Segundo Gardner (1991, p. 99), se dois pontos quaisquer do padrão
estão ambos no interior da curva formada pelo barbante, então a linha imaginária
que une os dois cruza os ramos do barbante um número par de vezes. Com
raciocínio análogo, aplica-se a regra se ambos os pontos estão no exterior da curva.
Porém, se um dos pontos se encontrar no interior e outro no exterior, então a linha
que une os dois cortará os ramos um número ímpar de vezes. Tal afirmação tem
base em um teorema da Topologia conhecido como “teorema da curva de Jordan”.
Segundo Bergamini (1965, p. 186), a curva de Jordan é um círculo torcido
que perde a forma. Mesmo torcido, o círculo permanece possuindo interior e
exterior. Deste modo, para passar de um lado para outro, é preciso cruzar pelo
menos uma linha.
Assim, enquanto os jornais são colocados, mova o seu olhar em direção
ao padrão a partir do exterior até chegar a um ponto mais centralizado e fácil de
memorizar. Por exemplo, o espaço representado por A, fixado na figura 104; ele é
um espaço exterior.
Colocados os jornais, fica fácil determinar se um dado ponto se encontra
no exterior ou no interior. Basta traçar uma linha imaginária (não necessariamente
uma reta) que una o ponto em questão a um ponto que pertença ao espaço A
atentando para o número de vezes que a linha atravessa os ramos do barbante.
O funcionamento das variantes deste truque não apresenta dificuldade.
Podemos colocar rapidamente dez ou mais alfinetes no exterior da curva fechada.
Basta pôr o primeiro alfinete do lado de fora, atravessar duas linhas e pôr outro,
atravessar mais duas e pôr outro, e assim por diante.
Se quisermos que um dos alfinetes fique preso antes de fixá-lo na mesa,
atravessamos o barbante uma vez a partir de qualquer um dos alfinetes restantes.
De forma igualmente rápida, podemos dispor os alfinetes no interior da curva.
Como nem sempre você não pode dar uma olhada rápida ao padrão
antes de colocar os jornais, o melhor a fazer é dispor os alfinetes sem dizer o feito a
que se pretende. Ao puxar o fio temos duas possibilidades igualmente
surpreendentes: ou ele solta todos os alfinetes ou prende a todos.
Uma outra versão deste truque pode ser executada com lápis e papel. Eis
suas etapas:
1. Peça a um amigo que desenhe uma curva fechada tão complexa quanto
quiser em uma folha de papel retangular. Lembre: as linhas não podem se
cruzar.
2. A seguir, dobre todas as margens da folha de modo que somente uma região
retangular interior seja visualizada (figura 106). É neste momento memoriza
um ponto interior.
Figura 106: Folha de papel com as bordas dobradas
Fonte: Autores
3. Peça ao seu amigo que desenhe vários “X’s” em seis (ou mais) pontos do
padrão.
4. Assinale os “X’s” que se situam no interior do padrão.
5. Ao desdobrar as margens. Verifica-se que suas escolhas de “X’s” estão
corretas.
Desafio 27
Nome: Punhos atados
Desafio:
Esse desafio é dividido em duas etapas. Ate os pulsos com um único
pedaço de barbante como ilustra a fotografia 182. Manipule o barbante (sem o cortar
ou sequer desatar seus nós) formando nele um nó simples (I) e um nó em oito (II). A
segunda etapa deste desafio é colocar e tirar um elástico no/do barbante sem o
cortar ou sequer desatar (III).
Fotografia 182: Punhos atados
Fonte: Autores
(I) Nó simples
1. Passe um laço de fio sob a parte do barbante que envolve um dos pulsos.
Fotografia 183: Passar o laço de fio (a)
Fonte: Autores
Fotografia 184: Passar o laço de fio (b)
Fonte: Autores
2. Dê uma volta no pulso com o laço e depois passe este por cima da mão de
modo que ele envolva o pulso.
Fotografia 185: Dar a volta no pulso (a)
Fonte: Autores
Fotografia 186: Dar a volta no pulso (b)
Fonte: Autores
3. Em seguida, passe o laço por baixo da parte do barbante que envolve o
pulso.
Fotografia 187: Passar o laço por baixo (a)
Fonte: Autores
Fotografia 188: Passar o laço por baixo (b)
Fonte: Autores
4. Finalmente passe o laço novamente por cima da mão.
Fotografia 189: Passar o laço por cima da mãoFotografia 190: Nó simples no barbante entre
os pulsos
Fonte: Autores
Fonte: Autores
Para desfazer o nó execute os passos anteriores em ordem inversa. O nó
em oito é feito a partir do nó simples (que já fizemos atrás) ao centro do fio.
(II) Nó em oito
1. Passe novamente o laço de fio sob a parte do barbante que envolve um dos
pulsos.
Fotografia 191: Passar o laço de fio por
baixo (a)
Fonte: Autores
Fotografia 192: Passar o laço de fio por
baixo (b)
Fonte: Autores
2. Dê uma volta no pulso com o laço e traga este novamente por cima da mão.
Fotografia 193: Dar a volta no pulso
Fonte: Autores
Fotografia 194: Colocar o laço na mão
Fonte: Autores
3. Passe outra vez por baixo do barbante
Fotografia 195: Passar o laço por baixo do barbante
Fonte: Autores
4. Finalmente, passe o laço novamente por cima da mão.
Fotografia 196: Passar o laço por cima
da mão
Fonte: Autores
Fotografia 197: Nó em oito
Fonte: Autores
Perceba a única diferença entre a confecção destes nósé que, neste
último caso, se dão duas voltas no laço.
(III) Elástico
1. Coloque o elástico em um dos pulsos.
Fotografia 198: O elástico está em um dos pulsos
Fonte: Autores
1. Passe o elástico por baixo do barbante que envolve este pulso. Nesse
momento o elástico estará em um dos seus braços.
Fotografia 199: Passar o elástico por baixo Fotografia 200: O elástico está em um dos
do barbante
braços
Fonte: Autores
Fonte: Autores
2. Passando o elástico por cima da mão transfira-o para o centro do barbante.
Fotografia 201: Passar o elástico por
baixo do barbante
Fonte: Autores
Fotografia 202: O elástico está em um
dos braços
Fonte: Autores
Os mesmos movimentos, em sentido inverso, permitirão naturalmente
retirar o elástico.
Desafio 28
Nome: Anéis interligados
Desafio: Atando duas pessoas do modo ilustrado na fotografia 182, com os fios
interligados (Fotografia 203), manuseie o barbante (sem danificar quaisquer partes
dos barbantes ou desatar seus nós) de modo a separar o par.
Fotografia 203: Casal atado com fios interligados
Fonte: Autores
1. Passe um laço de um dos barbantes por baixo do que envolve o pulso da
outra pessoa conforme ilustram as fotografias.
do desafio “anéis interligados”
Fonte: Autores
Fonte: Autores
2. Passe o laço por cima da mão.
Fotografia 206: Etapa 2 da solução do desafio “anéis interligados”
Fonte: Autores
3. Passe novamente por baixo do barbante e o par será separado.
Fonte: Autores
do desafio“anéis interligados”
Fonte: Autores
Um divertido jogo de salão consiste em atar desta maneira e aos pares as
pessoas em certo ambiente. As soluções para todos estes problemas dependem do
fato de o circuito formado pelo barbante, braços e corpo não ser uma verdadeira
curva fechada, e sim uma curva separável nos pulsos (Gardner, 1991, p. 100, 101).
Desafio 29
Nome: Colar da avó
Desafio: Enfiar algumas contas em dois pedaços de fio e puxar as pontas dos fios
de modo que as contas caiam dos fios sem danificá-los.
Descrição:
Este truque bastante antigo, cujo princípio tem sido aplicado em muitos
truques com faixas e fio, é conhecido no meio ilusionista por “colar da avó”. Para
fazê-lo são usados três contas e dois pedaços de barbante. Mostram-se primeiro as
contas enfiadas em dois pedaços de fio e quando um espectador puxa as pontas, as
contas caem do fio para as mãos do executante “misteriosamente”.
O segredo
O segredo está no nó. A figura 106 ilustra o método para enfiar as contas.
Perceba que os dois pedaços de fio parecem atravessar todas as três contas, mas
na realidade são dobrados de modo a voltar para trás (as fotografias 209, 210, 211,
212 nos mostram como confeccionar esse nó). Daí, as duas pontas do fio se cruzam
(figura 108) e quando puxadas as pontas, as contas caem do fio como se o tivessem
atravessado (figura 109).
Figura 107: Corte transversal das contas
Figura 108: Cruzam-se as duas pontas do fio
Figura 109: As contas caem
Fotografia 209: Método para
confeccionar o nó (a)
Fonte: Autores
confeccionar o nó (c)
Fonte: Autores
Desafio 30
Nome: Nó falso
confeccionar o “nó” (b)
Fonte: Autores
confeccionar o “nó” (d)
Fonte: Autores
Desafio: Construir um nó falso
Descrição:
O nó conhecido por nó “chefalo” é um dos muitos nós falsos que têm sido
desenvolvidos pelos ilusionistas. Começa por um genuíno nó direito (Figura 110).
Uma das pontas, então, é entrelaçada para dentro e para fora como mostra a figura
111. Ao puxarmos as pontas, o nó prontamente se desfaz.
Figura 110: Nó direito
Figura 111: Nó chefalo
4.2.4. Casacos e coletes
Gardner (1991, p. 103) elenca três truques de salão de tipo topológico
que fazem uso de um colete masculino. Aqui o apresentamos como desafios. De um
prisma topológico, um colete pode ser considerado uma superfície bilateral com três
orlas não ligadas, sendo que cada uma destas é uma curva fechada simples. Se
abotoado, ele torna-se uma superfície bilateral com quatro orlas deste tipo.
Desafio 31
Nome: O laço
Desafio: Em primeiro lugar, peça a um amigo que use colete que coloque um laço
de barbante sobre o seu braço e enfie o polegar no bolso inferior do colete, tal como
se mostra na figura 112. Agora retire o laço de fio do seu amigo sem que este retire
o dedo do bolso.
Figura 112: Retire o laço de fio sem tirar o dedo do bolso
1. Passe o laço pela abertura do braço;
Fotografia 213: Passar o laço de fio pela abertura do braço
Fonte: Autores
2. Passe o laço por cima da cabeça;
Fotografia 214: Passar o laço por cima da cabeça
Fonte: Autores
3. Retire o laço pela abertura do outro braço;
Fotografia 215: Retirar o laço pela abertura
Fonte: Autores
4. Passe o braço pelo laço.
Fotografia 216: Passe o laço pelo outro braço
Fonte: Autores
5. Já que, neste momento, o laço envolve o peito, por baixo do colete, deixe que
ele caia no chão.
Fotografia 217: Deixe o laço cair no chão
Fonte: Autores
Stewart (2009, p. 293) apresenta uma nova versão do mesmo truque
onde, no lugar do colete, um paletó é utilizado e a mão do homem deve permanecer
no bolso deste paletó. Segundo o autor, a ideia topológica é que, pelo fato do paletó
possuir buracos, o barbante não se encontra efetivamente ligado ao corpo,
tampouco ao paletó.
Desafio 32
Nome: Colete ás avessas
Desafio: Peça ao amigo de colete que entrelace os dedos à frente do corpo. Feito
isso, vire o colete do avesso sem que a pessoa deixe de ter os dedos entrelaçados.
1. Desabotoe o colete;
Fotografia 218: Desabotoe o colete
Fonte: Autores
2. Passe o colete por cima da cabeça de modo a ficar pendurado nos braços;
Fotografia 219: Passe o colete por
cima da cabeça
Fonte: Autores
Fotografia 220: Colete pendurado nos
braços
Fonte: Autores
3. Vire o colete do avesso através das aberturas dos braços;
Fotografia 221: Virar o colete do avesso
Fonte: Autores
4. Regresse o colete à posição original. O colete estará às avessas.
Fotografia 222: Regresse o colete à posição original
Fonte: Autores
Segundo Gardner (1991, p. 104-105) este mesmo feito é possível de um
ponto de vista topológico sem se chegar a desabotoar o colete. A única dificuldade,
no entanto, está no fato do colete ser apertado demais para passar sobre a cabeça
sem ser desabotoado. Uma forma fácil de fazer este desafio em si próprio: atando os
pulsos com uma corda de 30 cm para ter liberdade de movimentos.
É possível ainda virar o colete ainda que um casaco esteja sendo usando
por cima dele e as mãos do espectador estejam atadas. Basta passar o casaco por
cima da cabeça, deixando-o pendurado nos braços. Depois, vire o colete do avesso
como atrás descrito, com as aberturas dos braços a passar sobre o casaco. Depois
que o colete, já invertido, estiver na posição, o casaco passa por cima da cabeça
antes de retornar a sua posição.
Desafio 33
Nome: Casaco e colete
Desafio: Vista um colete e depois um casaco. Agora, tire o colete sem tirar o
casaco.
Etapas da solução: Desabotoe o colete e siga as etapas a seguir
1. Em seguida, puxe o lado esquerdo do casaco para dentro da abertura do
braço esquerdo, a partir de fora.
Fotografia 223: Ponha o braço esquerdo na abertura do colete
Fonte: Autores
2. Passe esta abertura por cima do ombro esquerdo e depois para baixo, até
ficar sobre o braço esquerdo. Fazendo isso, a abertura envolverá o casaco
por trás do ombro esquerdo.
Fotografia 224: Colocar o colete sobre o ombro esquerdo
Fonte: Autores
3. Continue a passar a abertura dando uma volta completa no corpo, isto é,
passe por cima do ombro e braços direitos até libertar o colete do lado direito
do casaco.
Fotografia 225: Libertando o colete do lado direito do casaco
Fonte: Autores
4. O colete, que está, neste momento, pendurado no ombro direito por baixo do
casaco, deve ser empurrado até o meio da manga direita do casaco.
Fotografia 226: Empurrar o colete até o meio da manga
Fonte: Autores
5. Meta a mão pela manga direita, segure o colete e puxe-o por esta.
Fotografia 227: Puxe o colete pela manga
Fonte: Autores
Fotografia 228: O colete é solto
Fonte: Autores
4.1.2.5.
ELÁSTICOS
Agora falaremos de mais dois truques com elásticos, ambos de caráter
topológico.
Desafio 34
Nome: O elástico saltitante
Desafio: Prenda um elástico nos dedos indicador e médio e faça com que num
rápido salto, ele prenda no dedo médio.
Descrição:
Ponha o elástico no dedo indicador (Figura 113). Passe a ponta em volta
do dedo médio (Figura 114) prendendo-a novamente no indicador (Figura 115).
Certo de que o elástico foi enlaçado nos dedos exatamente como atrás descrito,
peça que alguém segure a ponta do seu indicador.
Assim que lhe segurarem o indicador, dobre o dedo médio. Se o elástico
tiver sido colocado corretamente, uma parte dele deslizará da ponta do dedo médio.
Isto faz com que o elástico salte, libertando-se completamente do indicador e ficando
pendurado no dedo médio conforme ilustra a figura 116. O estranho é que é bem
difícil que outras pessoas consigam reproduzir este pequeno e, ao mesmo tempo,
“misterioso” truque.
Figura 113: Elástico no dedo
indicador
Figura 114: Passar o elástico
em volta do dedo médio
Figura 115: Prender o elástico
no dedo indicador
Figura 116: O elástico “dá um salto” para o dedo médio
Desafio 35:
Nome: O elástico torcido
Desafio: Faça as torções de um elástico “desaparecerem misteriosamente”.
Descrição:
Segure um elástico largo e comprido da forma indicada na figura 117.
Faça deslizar o polegar e o indicador direitos nas direções indicadas pelas setas.
Desse modo, o elástico deve ser retorcido duas vezes, tal como se mostra na figura
118.
Figura 117: Segure o elástico
Figura 118: Elástico retorcido
Agora peça a alguém que lhe tire o elástico, agarrando-o exatamente da
mesma maneira. A pessoa deve segurar o elástico da mesma forma que você
segurara. Em outras palavras, o polegar e o indicador direito da pessoa retiram a
parte de cima do elástico do seu polegar e indicador direitos, enquanto a mão
esquerda dela tira do mesmo modo a parte de baixo do elástico da sua mão
esquerda.
Peça para ela retirar as torções do elástico mudando as posições das
mãos, não podendo, é claro, alterar a forma como segura as pontas do elástico. Seja
qual for o modo como mover as mãos, ela vai descobrir que é impossível desfazer
as torções do elástico.
Por fim, faça sua “mágica”: pegue com cuidado no elástico, segurando-o
do mesmo modo que antes. Muito lentamente, baixe a mão esquerda e levante a
mão direita, como ilustrado na figura 119. Feito isso, as torções desaparecem
“misteriosamente”.
Figura 119: Inversão direita-esquerda
Segundo Gardner (1991, p. 108), o que acontece, topologicamente
falando, é que o elástico torcido, juntamente com os seus braços e corpo, formam
um tipo de estrutura que permite a fácil retirada das torções do elástico. Porém,
quando a outra pessoa recebe o elástico, somente uma parte desta estrutura
concebe o que o autor chama de “inversão esquerda-direita”. Como resultado, a
estrutura se torna topologicamente diferente da anterior.
5.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O objetivo desta pesquisa foi construir um conjunto de atividades da
Matemática Recreativa que possuem aspectos topológicos e podem ser trabalhados
nas aulas de Matemática com vistas a atribuir um caráter inovador às mesmas.
O estudo das recreações topológicas pode propiciar a construção do
conhecimento da Matemática de forma significativa, lúdica e prazerosa. Por meio
delas, acreditamos que o aluno pode conhecer melhor esta disciplina, ainda que
sem formalidades.
Cientes da dificuldade que muitos educadores passam em sala de aula
em “prender” a atenção do aluno por meio de “atividades matemáticas”- como
muitas vezes chamamos meros exercícios e operações de pouco significado para o
aluno – propomos o uso das recreações topológicas a fim de contribuir para um
ensino de matemática, desde a Educação Infantil, menos rígido, mas com maior
qualidade cujo propósito seja introduzir, de maneira diferente, as primeiras
aprendizagens em Matemática.
Nessa perspectiva, Xavier, Santana e Vergetti (2010) enfatizam que
A partir de uma prática docente que esteja pautada no aprender como uma
atividade dinâmica, cheia de significado, seu objetivo não tem apenas a
preocupação com o desenvolvimento das noções e conceitos matemáticos,
mas privilegia a percepção do aluno enquanto sujeito, que tem ideias
próprias, está inserido em uma determinada cultura, que tem sentimentos e
vontades. Esse sujeito tem a oportunidade de aprender matemática e tem a
necessidade de desenvolver suas diferentes competências cognitivas.
Assim, podemos trabalhar a matemática por meio de jogos e brincadeiras
desde a Educação Infantil (XAVIER, SANTANA e VERGETTI, 2010, p. 4).
Diante disso, este trabalho mostrou-se de essencial relevância à nossa
formação
uma
vez que,
no
decorrer do
curso,
sempre
nos nortearam
questionamentos sobre alternativas metodológicas para o ensino e aprendizagem de
Matemática que transpusessem os números, os cálculos e fórmulas que
costumeiramente nos deparamos.
Consideramos de grande valia um trabalho que desmistificasse essas
estigmatizantes características e fosse, ao mesmo tempo, motivador. Pesquisar a
Topologia, ramo que valoriza a forma e está relacionada à Matemática qualitativa, se
mostrou bastante gratificante e despertou nosso interesse a prosseguir nossos
estudos nessa perspectiva.
Assim, esperamos que o conjunto de atividades aqui apresentado seja um
material de apoio durante o processo de ensino, aprendizagem e avaliação da
matemática na Educação básica.
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