Este teste é empregado para pesquisar os pontos de máximo e

MATEMÁTICA PARA ADMINISTRADORES
AULA 06: APLICAÇÕES DE DERIVADAS
TÓPICO 04: TESTE DA DERIVADA SEGUNDA PARA EXTREMOS RELATIVOS
Este teste é empregado para pesquisar os pontos de máximo e mínimo
relativos de uma dada função. Para isto, temos a seguinte definição.
OBSERVAÇÃO
Seja x0 um ponto crítico de uma função na qual f´(x0) = 0 e f´existe
para todos os valores de x, em algum intervalo aberto de valores que
contenha o ponto x0. Então, f"(x0) existe e:
(i) se f"(x0) < 0, então f tem um valor máximo relativo em x0;
(ii) se f "(x0) > 0, então f tem um valor mínimo relativo em x0.
EXEMPLO 1
EXEMPLO:
Pesquisar pontos de máximo e mínimos relativos da função f(x)
= x3 - 6x2 + 9x + 1, pelo teste da derivada segunda.
RESOLUÇÃO:
Pela primeira derivada temos que: f’(x) = 3x2 – 12x + 9. Então a
segunda derivada é dada por: f’’(x) = 6x – 12. Para calcular os pontos
críticos de f temos que igualar f’(x) a zero, encontrando 3x2 – 12x + 9
= 0. Podemos ainda fatorar esta equação e reescrevê-la da seguinte
forma: 3(x – 3)(x – 1) = 0. A partir desta fatoração (ou encontrando
as raízes da expressão) fica claro que f’(x) somente irá ser igual a zero
se x = 1 ou x = 3. Logo, x = 1 e x = 3, são pontos críticos de f. Mas
estes são pontos de máximo ou de mínimo? Para isto, podemos
utilizar o teste da derivada segunda.
Para x = 1, temos f’’(1) = 6.1 – 12 = -6 < 0, logo x = 1 é um ponto
de máximo relativo.
Para x = 3, temos f’’(3) = 6.3 – 12 = 6 > 0, logo x = 3 é um ponto de
mínimo relativo.
Pelo gráfico função abaixo podemos observar estes pontos
extremos.
EXEMPLO 2
EXEMPLO:
A função de custo mensal de fabricação de um produto é dada
por:
C(x) = x3/3 – 2x2 + 10x + 1. A função de demanda (inversa) mensal,
que determina o preço do produto no mercado é dado por p(x) = 10 –
x. Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar o lucro.
RESOLUÇÃO:
Para resolver esta questão primeiro temos que determinar a
função lucro. O lucro é dado pela diferença entre as receitas de
vendas mensais e o custo mensal de fabricação dos produtos.
Portanto: Lucro (L) = Receita (R) – Custo (C).
A receita é dada pela multiplicação do preço do produto (p) pela
quantidade de produtos vendidos (x). Portanto: R = p.x. Substituindo
a função de demanda nesta equação temos:
R = (10 – x).x = 10x – x2. Temos então a função receita dada por:
R(x) = 10x – x2. Agora podemos encontrar a função lucro L (x) que
será dada por:
L(x) = R(x) – C(x) = (10x – x2) – (x3/3 – 2x2 + 10x + 1).
L(x) = 10x – x2 - x3/3 + 2x2 – 10x – 1 → L(x) = x2 – x3/3 – 1
Calculando a derivada primeira e segunda da função lucro, em
relação a x, temos
L’(x) = -x2 + 2x e L’’(x) = -2x + 2.
Se estamos interessados em achar o ponto de produção que maximiza
o lucro, temos que (1) igualar a derivada primeira a zero, (2) achar o
valor crítico de x, e (3) identificar se este ponto é um máximo relativo
através do teste da derivada segunda.
1. –x2 + 2x = 0
2. Resolvendo esta equação temos que x(2 – x) = 0. Então x = 0 e x =
2 são pontos críticos da função lucro L(x).
3. Para x = 0, L’’(x) = -2.0 + 2 = 2 > 0, então x = 0 é um ponto
mínimo relativo de L.
Para x = 2, L’’(x) = -2.2 + 2 = -2 < 0, então x = 2 é um ponto de
máximo relativo de L.
Portanto o nível de produção que deve maximizar o lucro será
igual a 2. O preço cobrado então pode ser extraído da função de
demanda p(x) = 10 – x. O preço a ser cobrado então será p(x) = 10 –
2 = 8.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Resolva as atividades propostas abaixo e envie suas respostas através
do seu PORTFÓLIO no SOLAR.
1. Verifique se as condições do teorema do valor médio são satisfeitas
pela função f (x) = x3 + 3x2 - 5 em [-1,2]. Determine os pontos desse
intervalo onde se verifica a afirmação do teorema.
2. Aplicando a regra do L´Hôpital, calcule os seguintes limites:
3. Seja f (x) = x3 + x2 - 8x - 8, determine então:
a. Os pontos críticos de f.
b. Os intervalos onde f é crescente e decrescente.
c. Os valores de máximos e mínimos relativos de f.
4. O custo de produção de x aparelhos de certa TV Plasma por dia é
dado por: C (x) = (1/4)x2 + 35x + 25, e o preço unitário que elas podem ser
obtidas são dados pela função p (x) = 50 - (1/2)X. Determine:
a. A função receita.
b. A função lucro.
c. Qual deve ser a produção diária que maximiza o lucro.
d. Qual o preço cobrado.
5. A produção de bicicletas da empresa "Super Bike" é de x unidades
por mês, ao custo dado de c (x) = 100 + 3x. Se a equação de demanda
(inversa) for p (x) = 25 - x/3. Obtenha o número de unidades de bicicletas
que deve ser produzidas e vendidas para maximizar o lucro mensal.
FÓRUM
Participe do FÓRUM DA “AULA 06 - APLICAÇÕES DE DERIVADAS"
para esclarecer suas dúvidas em relação a essa aula e discutir com os
colegas possíveis soluções para os exercícios.
FONTES DAS IMAGENS
Responsável: Prof. João Mario Santos de França
Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual