parte 04 – conferências especiais – anais relme 26

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parte 04 – conferências especiais – anais relme 26
CONFERÊNCIAS ESPECIAIS
anais
Belo Horizonte | Minas Gerais | Brasil
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
SUMÁRIO
AVALIAÇÃO EM MATEMÁTICA: IDÉIAS E INSTRUMENTOS ................................................3
MODELAGEM MATEMÁTICA E A REALIDADE DO MUNDO CIBERNÉTICO......................5
LOS MODOS DE PENSAR EL ÁLGEBRA LINEAL Y EJEMPLOS AD HOC EN
PROBLEMAS ESPECIFÍCOS DE SU ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE ....................................16
PROPUESTA DE NUEVOS PROGRAMAS DE MATEMÁTICA PARA LA
ENSEÑANZA PRIMARIA Y SECUNDARIA DE COSTA RICA .................................................31
POR UMA EDUCAÇÃO (MATEMÁTICA) PARA ALÉM DA LÓGICA DO CAPITAL ............48
¿POR QUÉ ATENDER A LA DIMENSIÓN EMOCIONAL EN LA FORMACIÓN DEL
PROFESORADO DE MATEMÁTICAS?........................................................................................59
A MODELAGEM MATEMÁTICA NA PERSPECTIVA DA EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA: OLHARES MÚLTIPLOS E COMPLEXOS .......................................................62
UN MODELO DE FORMACIÓN DE EDUCADORES APLICANDO MODELAJE Y
ACOMPAÑAMIENTO PEDAGÓGICO .........................................................................................74
O CONCEITO E A DEFINIÇÃO EM MATEMÁTICA NUMA PERSPECTIVA
DIALÉTICA - EXPERIÊNCIAS INVESTIGATIVAS DO CONCEITUAR ..................................97
ANÁLISE DE RECURSOS DE GEOMETRIA DINÂMICA POR PROFESSORES DE
MATEMÁTICA ..............................................................................................................................106
FORMACIÓN A DISTANCIA DE PROFESORES DE MATEMÁTICA: EL CASO DE
URUGUAY .....................................................................................................................................109
HACIA UNA FORMACIÓN DOCENTE CON LA MIRADA EN EL AULA .............................110
RESIGNIFICACIÓN DEL CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA DESDE LA
TEORÍA SOCIOEPISTEMOLOGÍA .............................................................................................116
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CAPACITACIÓN EN CONTEXTO PARA LA PREPARACIÓN DE LOS MAESTROS
QUE IMPARTEN LA MATEMÁTICA. ........................................................................................113
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SISTEMA INTELIGENTE PARA EL ALGEBRA LINEAL. .......................................................111
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O CONHECIMENTO MATEMÁTICO NA FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE
MATEMÁTICA ..............................................................................................................................117
UNA EVOLUCIÓN DE LA ANALITICIDAD DE LAS FUNCIONES EN EL SIGLO
XIX. UN ESTUDIO SOCIOEPISTEMOLÓGICO ........................................................................120
FILOSOFIA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: UM OLHAR QUE BUSCA A
COMPREENSÃO DO FAZER .......................................................................................................121
A NEUROPSICOLOGIA DA APRENDIZAGEM MATEMÁTICA ............................................130
EL ESTUDIO DE LA cLASE COMO ESTRATEGIA PARA MEJORAR LA
FORMACIÓN DOCENTE EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA. ..................................................164
PROBLEMAS EDUCATIVOS MATEMÁTICOS Y CONTEXTUALIZACIÓN EN LOS
PROCESOS DE FORMACIÓN DE PROFESORES .....................................................................165
LA INVESTIGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA SOBRE EL PROFESOR DE
MATEMÁTICAS ...........................................................................................................................175
DESATANDO OS NÓS ENTRE A MATEMÁTICA E A EDUCAÇÃO INCLUSIVA ...............191
TRANSIÇÃO ENSINOS MÉDIO E SUPERIOR: OLHAR SOBRE SUA RELAÇÃO
INSTITUCIONAL NO BRASIL ....................................................................................................202
¿CÓMO IMPLEMENTAR EL USO DEL DERIVE EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA
APRENDIZAJE DEL ÁLGEBRA LINEAL? ................................................................................214
DIFERENTES PAPÉIS DAS TECNOLOGIAS NO CONTEXTO DA MODELAGEM EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA.......................................................................................................216
A ETNOMATEMÁTICA PROCURANDO CAMINHOS PARA O ENCONTRO
INTERCULTURAL: ALTERIDADE E ESCUTA NO CENTRO DA DISCUSSÃO ...................217
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LECIONANDO EM CURSOS USUÁRIOS DE MODELOS MATEMÁTICOS
NUMÉRICOS E ESTATÍSTICOS NA PRÁTICA EDUCATIVA: COMPARTILHANDO
CONCEPÇÕES, CONTEXTOS, EXPERIÊNCIAS E INTERROGAÇÕES .................................218
O MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NA
PERSPECTIVA DOS EGRESSOS: ANÁLISE DO PROGRAMA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DE OURO PRETO (MG) ............................................................................................219
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XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
AVALIAÇÃO EM MATEMÁTICA: IDÉIAS E INSTRUMENTOS
Ademir Basso
Faculdade UNILAGOS e Col. Estadual Presidente Arthur da Costa e Silva – PR Brasil
[email protected]
RESUMO
Esta conferência discute a inércia que permeia o processo avaliativo em Matemática quanto
aos instrumentos utilizados. Não obstante, mostra que é possível uma avaliação formativa
em Matemática, ou seja, uma avaliação integrada ao processo de ensino e não separada do
mesmo. Com esse intento, se discute a possibilidade do uso de inúmeros instrumentos
avaliativos que podem ser adotados para melhorar o processo de ensino-aprendizagem,
mostrando que quando se age desta forma, os resultados podem ser melhores, tanto no
rendimento quanto nas concepções que os alunos mostram a respeito da Matemática.
TRABALHO
É claro que os instrumentos não são o principal fator de, em muitos casos, não ocorrer êxito
no processo de ensino e aprendizagem, pois os instrumentos recolhem dados a respeito, o
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Levando em conta estas características, é importante observar que as avaliações utilizadas
nos últimos tempos são muito parecidas com as que eram utilizadas no passado, sofrendo
algumas mudanças bastante tímidas e pontuais. De maneira geral, a avaliação chamada
tradicional é a que permeia os ambientes das escolas em qualquer disciplina e não é
diferente em Matemática. Nesse sentido o processo avaliativo não sofreu mudanças
significativas nos últimos tempos, pode-se dizer então que a avaliação está relegada ao
processo de inércia, ou seja, os instrumentos que se utilizavam no passado são os mesmos
que se utilizam hoje dentro da escola (Basso e Hein, 2011).
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A avaliação, de maneira geral, sempre foi um tema bastante polêmico desde seu surgimento
no interior da escola. A polêmica sempre esteve relacionada com sua função dentro do
ambiente educacional e as características da avaliação davam o norte da discussão. Todas
estas características desempenham funções dentro do processo, mas, segundo Enguita
(1995), essas funções na escola são, de maneira geral, duas, de diagnóstico e de
classificação. A função diagnóstica é útil para que o professor, a equipe pedagógica, o
aluno possam detectar os pontos fracos e, a partir deles, reorientar o processo de ensino e
também de estudo. Já a função de classificação como o próprio nome sugere classifica os
alunos, hierarquizando-os, a primeira função é em parte utilizada, mas a segunda é bastante
popular na maioria das escolas.
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que fazer com eles é tarefa do professor e do aluno, mas os instrumentos junto com a forma
de levá-los à sala de aula podem contribuir para o sucesso ou não do processo de ensino e
aprendizagem de Matemática.
Buscando melhorar esta realidade se vislumbra que a avaliação em Matemática quando
utilizada de maneira formativa e contínua mostra resultados diferentes do que aqueles
observados há muito tempo com a utilização da forma tradicional e somativa de avaliar. Os
resultados vão além do rendimento do aluno nesta disciplina, eles mostram que quando um
aluno é avaliado de maneira diferente, utilizando de inúmeros instrumentos e durante o
processo de ensino, ele passa a ter maior interesse pela própria disciplina (Basso, Cáceres e
Azcárate, 2011; Basso, 2011).
Por isso é interessante avaliar utilizando inúmeros instrumentos para recolher informações,
instrumentos diversificados para alunos também diferentes, não importando quais
instrumentos se utiliza para avaliar, desde que este instrumento mostre o que o aluno
aprendeu e quais as falhas no processo de ensino e aprendizagem de Matemática,
objetivando sempre a melhora progressiva deste processo.
Mas, mais importante que o variado número de instrumentos de avaliação, é o que fazer
com os resultados obtidos. De nada adianta, utilizar outros instrumentos que não somente a
forma tradicional, se o professor, a escola e o próprio aluno não retomar o processo a partir
das falhas detectadas. Em outras palavras, a avaliação serve como um termômetro, para
medir como está e, sendo necessário, efetuar as mudanças no processo de ensino, na
maneira de estudar do aluno e até na maneira de avaliar em Matemática.
REFERÊNCIAS
Basso, A.; Hein, N. (2011). Vencendo a Inércia na Escola. (3ª ed.). Pinhais: Editora Melo.
Basso, A. (2011). Concepciones de alumnos de secundaria respecto de la evaluación en
matemáticas. Estudio de la incidencia de un proceso de instrucción. Doutorado em
Educação Matemática. Salamanca - Espanha: Faculdade de Educação - Universidade de
Salamanca.
Enguita, M. F. (1995). Avaliação e Aprendizagem. Revista Raízes e Asas. São Paulo:
CENPEC, no 8. Disponível em: http://www.crmariocovas.sp.gov.br/int_a.php?t=006.
Acesso em 16 de fevereiro de 2012.
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Basso, A.; Cáceres, M. J. e Azcárate, P. (2011). Concepções de alunos sobre avaliação da
aprendizagem em matemática. Anais da XIII Conferência Interamericana de Educação
Matemática CIAEM. Recife, Brasil.
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MODELAGEM MATEMÁTICA E A REALIDADE DO MUNDO
CIBERNÉTICO
Rodrigo Dalla Vecchia1,
Universidade Luterana do Brasil- ULBRA, Brasil. F 14
[email protected]
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Doutorando em Educação Matemática da UNESP de Rio Claro. Professor da Universidade Luterana do
Brasil.
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Esta conferência tem por finalidade expor um conjunto de inquietações dadas pela relação
entre Modelagem Matemática (MM) e o mundo cibernético. Tais inquietações partem de
um levantamento bibliográfico feito por Dalla Vecchia e Maltempi (2009) que apresentam
a realidade como um dos aspectos que parecem perpassar os diferentes modos de conceber
a MM. Este fato também é observado por autores como Araújo (2002, 2007), que já
expressa ensaios de como diferentes modos de conceber a realidade podem implicar em
diferentes visões de MM. Entretanto, com o advento das Tecnologias da Informação e
Comunicação (TIC) e das Tecnologias Digitais (TD), a natureza delicada que envolve o
real se potencializa, gerando adjetivações como: realidade do ciberespaço, realidade do
mundo cibernético, realidade aumentada, hiperrealidade, realidade virtual, realidade
mundana, realidade física, etc. Esses “novos” espaços proporcionam meios de interação que
se mostram qualitativamente distintos dos comumente vividos na realidade mundana,
atualizando modos de interagir com o outro em espaço e tempo próprios (BICUDO, ROSA,
2010). O que se coloca em suspensão ao considerar as experiências vividas nesses
ambientes é: o mundo cibernético pode ser considerado como uma dimensão da realidade?
Está nos aspectos implícitos a essa pergunta que a presente conferência se desdobra,
procurando fazer uma explanação sobre realidade e tecnologias no contexto da MM.
Importante ressaltar que não se trata apenas de usar a tecnologia como mediadora no
processo de MM, mas sim de considerar situações que se atualizam na realidade do mundo
cibernético. Para desenvolver esses assuntos, é trazida a visão defendida por Bicudo e Rosa
(2010) que, além de discutir filosoficamente a realidade do mundo cibernético, apresenta
suas especificidades frente à realidade mundana. Em particular, esses autores defendem
que o espaço criado pelas tecnologias gera “[...] múltiplas possibilidades de relações,
configurando realidades possíveis, projetadas, inventadas (BICUDO, ROSA,p. 20)”. Essa
dimensão de abrangência da realidade se diferencia em termos de espacialidade e
temporalidade gerando atualizações de problemáticas em tempos, velocidades e instantes
que dizem respeito às situações vivenciadas pelo humano nesse ambiente. Frente a essas
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RESUMO
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distinções de espaço e tempo e frente a todo o campo de possibilidades de interações que
este espaço pode gerar, cabe questionar acerca das influências de sua acolhida ao contexto
da MM e suas potencialidades e implicações para o processo de ensino e aprendizagem da
matemática. Com o intuito de associar as ideias defendidas por Bicudo e Rosa (2010) ao
contexto da MM, serão discutidos também os conceitos de problema, modelo matemático e
objetivo pedagógico visando a construção de uma visão de MM que acolha a realidade do
mundo cibernético como uma dimensão de abrangência.
TRABALHO
Esta conferência tem por finalidade expor ideias relacionadas à relação entre Modelagem
Matemática (MM) e o mundo cibernético. Tal entrelaçamento parte de inquietações
oriundas de um levantamento bibliográfico feito por Dalla Vecchia e Maltempi (2009) que
apresentam a realidade como um dos aspectos que parecem perpassar os diferentes modos
de conceber a MM. Este fato também é observado por autores como Araújo (2002, 2007),
que já expressa ensaios de como diferentes modos de conceber a realidade podem implicar
em diferentes visões de MM. Entretanto, com o advento das Tecnologias da Informação e
Comunicação (TIC) e das Tecnologias Digitais (TD), a natureza delicada que envolve o
real se potencializa, gerando adjetivações como: realidade do ciberespaço, realidade do
mundo cibernético, realidade aumentada, hiperrealidade, realidade virtual, realidade
mundana, realidade física, etc.
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Esses “novos” espaços proporcionam meios de interação que se mostram qualitativamente
distintos dos comumente vividos na realidade mundana, atualizando modos de interagir
com o outro em espaço e tempo próprios (BICUDO, ROSA, 2010). O que se coloca em
suspensão ao considerar as experiências vividas nesses ambientes é: o mundo cibernético
pode ser considerado como uma dimensão da realidade? Está nos aspectos implícitos a essa
pergunta que a presente conferência se desdobra, procurando fazer uma explanação sobre
realidade e tecnologias no contexto da MM. Importante ressaltar que não se trata apenas de
usar a tecnologia como mediadora no processo de MM, mas sim de considerar situações
que se atualizam na realidade do mundo cibernético.
Para desenvolver esses assuntos, é trazida a visão defendida por Bicudo e Rosa (2010) que,
além de discutir filosoficamente a realidade do mundo cibernético, apresenta suas
especificidades frente à realidade mundana. Em particular, esses autores defendem que o
espaço criado pelas tecnologias gera “[...] múltiplas possibilidades de relações,
configurando realidades possíveis, projetadas, inventadas (BICUDO, ROSA,p. 20)”. Essa
dimensão de abrangência da realidade se diferencia em termos de espacialidade e
temporalidade gerando atualizações de problemáticas em tempos, velocidades e instantes
que dizem respeito às situações vivenciadas pelo humano nesse ambiente. Frente a essas
distinções de espaço e tempo e frente a todo o campo de possibilidades de interações que
este espaço pode gerar, cabe questionar acerca das influências de sua acolhida ao contexto
da MM e suas potencialidades e implicações para o processo de ensino e aprendizagem da
matemática. Com o intuito de compreender o mundo cibernético como uma dimensão de
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abrangência da realidade, apresentarei, nas próximas seções as visões de Bicudo e Rosa
(2010), procurando dar um embasamento para o relacionamento entre a fazer um
relacionamento com o contexto da Modelagem Matemática no campo da Educação
Matemática e o mundo cibernético.
A REALIDADE E O MUNDO CIBERNÉTICO
Essa conferência tem como base os estudos realizados por Bicudo e Rosa (2010) que se
preocupam em desvelar a realidade do mundo cibernético. Para compreender melhor as
ideias apontadas por estes autores, será necessário, em alguns momentos, fazer um
aprofundamento quanto ao significado atribuído aos termos usados, buscando assim um
esclarecimento.
Um dos aspectos que se mostra fundamental na estrutura apresentada por esses
pesquisadores é a compreensão do que é entendido como realidade mundana. Para eles, a
realidade é tratada como mundo-vida, entendida como:
[...] espacialidade (modo de sermos no espaço) e temporalidade
(modo de sermos no tempo) em que vivemos com os outros
seres humanos e demais seres vivos e natureza, bem como com
todas as explicações científicas, religiosas, e de outra natureza.
O mundo não é recipiente, uma coisa, mas um espaço que se
estende à medida que as ações são efetuadas e cujo horizonte de
compreensões se expande à medida que se vá fazendo o sentido
para cada um de nós e para a comunidade (BICUDO, ROSA,
2010, p. 11)
Por meio dessa perspectiva, Heidegger faz desaparecer o problema da existência do mundo
exterior uma vez que elimina a ideia de sujeito sem mundo, entendendo que o homem é um
sujeito no mundo (ABBAGNANO, 2007, p. 977). Sendo assim, restabelece o caráter
fundamental do modo de ser do ser humano, que é considerado um “ser-aí”, no qual o “aí”
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Crer na realidade do “mundo exterior” (com ou sem direito),
demonstrar essa realidade (suficiente ou não), pressupor essa
realidade (explicitamente ou não), tudo isso são tentativas que
pressupõem antes de mais nada o sujeito sem mundo, vale dizer,
não consciente de seu mundo, que deve, portanto, começar por
fundar a segurança de seu mundo.
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Conforme Abbagnano (2007), essa visão, que tem sua base nas ideias fenomenológicas de
Heidegger, se diferencia de outras vertentes filosóficas por não considerar a realidade
separada do homem que a percebe. Com essa perspectiva, o foco de discussão no que se
refere à realidade, não está mais em buscar provas da existência da realidade – como é o
caso das ideias de Kant (KÖRNER, 1985) – e sim focar em como o ser humano se
relaciona com as coisas da realidade. Nesse sentido, Abbagnano(2007, p. 977) destaca que
Heidegger negava a existência de um mundo exterior, entendo que:
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indica sua relação com o mundo. Por meio dessa perspectiva, o problema da realidade passa
a aludir não mais em sua existência ou não, mas sim o modo como as coisas do mundo
estão em relação ao ser humano ou se apresentam a ele.
Bicudo (1999, p. 31) reforça a ideia fenomenológica de uma realidade não separada do
humano. Segundo sua visão, o real é tido como:
[...] um todo dinâmico, temporal, histórico, percebido no encontro
homem-mundo, não separado daquele que o percebe, que dele fala e
que o interpreta, construindo uma rede de significados na
intersubjetividade, ao partilhar vivências e comunicar
interpretações.
A autora entende mundo como um meio natural que se constitui no campo de todos os
pensamentos e de todas as percepções explícitas compreendendo o real não separado da
relação que possui com o ser humano e dizendo respeito à realidade vivida na espacialidade
e na temporalidade do mundo-vida (BICUDO, 1999).
Nesses breves apontamentos apresentei a visão de realidade defendida por Bicudo (1999)
que culmina com a perspectiva de mundo-vida. Entretanto, com o advento das TIC, a
discussão acerca do real se potencializa, gerando adjetivações como realidade do
ciberespaço, realidade do mundo cibernético, realidade aumentada, hiperrealidade,
realidade virtual, etc. Esse novo espaço, denotado muitas vezes por virtual, é diferenciado,
permitindo e possibilitando ações e interações que se diferem na espacialidade e na
temporalidade comumente vividas no cotidiano (BICUDO, ROSA, 2010). Ao refletir
acerca dos aspectos abordados, a pergunta que se faz é a seguinte: o mundo-vida, isto é, da
realidade, abarca o mundo cibernético?
Com essas inquietações, Bicudo e Rosa (2010) apresentam um conjunto de argumentos que
visam compreender a realidade do mundo cibernético como um dos modos da realidade se
mostrar. Nesse sentido, salientam que considerar o mundo cibernético como realidade
requer concebê-lo sob uma ótica distinta da defendida pela ciência moderna quando fala de
realidade física e objetiva, referindo-se ao lugar onde estão ou são colocadas as entidades
passíveis de mensuração (espacialmente e temporalmente) e manipuláveis em sua
fisicalidade. Para esses autores, se for considerada essa visão, o mundo cibernético não
pode ser visto como real, uma vez que o “onde” desse mundo se apresenta de modo
característico, não cabendo no espaço cartesiano da ciência clássica. Nesse sentido,
afirmam que
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Não se trata de um espaço físico, que acolhe pontualmente pessoas
e inter-relações, pois se expande por conexões que não se encaixam
no gráfico cartesiano. São conexões velozes e que se bifurcam,
criando outras conexões, atingindo outros espaços físicos, gerando
múltiplas possibilidades de relações, configurando realidades
possíveis, projetadas, inventadas (BICUDO, ROSA, 2010, p. 21)
Esse espaço, por apresentar distinções em relação ao comumente vivenciado, é muitas
vezes denotado por especialistas da área como sendo virtual e entendido, de modo
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coloquial, como se opondo ao real. É justamente na análise criteriosa do virtual que os
autores que embasam essa seção encontram argumentos para defender o mundo cibernético
como realidade. Para tanto trilham um caminho que inicia pela discussão do virtual em
termos filosóficos. Esse caminho leva a uma associação do virtual com a ciência
(contemporânea) considerada base para o aparato tecnológico e informacional que dá
sustentação ao mundo cibernético. Em um segundo momento, apresentam por meio da
relação entre ciência, realidade e virtual, uma perspectiva que permite entender o mundo
cibernético também como mundo-vida.
Em termos filosóficos, o virtual não se opõe ao real (DELEUZE, 1988; LÉVY, 1996;
BICUDO, ROSA, 2010). O virtual pode ser visto sob várias perspectivas. Entretanto, para
essa conferência será dada uma abordagem que o relaciona de modo íntimo com a ciência e
permite compreendê-lo como abrangido pela realidade. Para tanto é necessário conhecer a
relação entre ciência e realidade apresentada por esses autores. Com esse intuito, Bicudo e
Rosa (2010) trazem as ideias de Granger (1995), que busca responder as inquietações
acerca do real que a ciência fala. Embasados nesse autor, afirmam que a ciência traz apenas
uma representação do real, não dando conta da experiência vivida, “[...] uma vez que os
traços de individuação ou o real individualmente vivido é para ela uma noção de limite,
abandonada às experiências de cada indivíduo” (BICUDO, ROSA, 2010, p.10). Para
compreender essa limitação e a relação da ciência com a realidade, trazem considerações
acerca do real, do provável, do possível, do atual e do virtual.
O atual, em termos gerais, pode ser considerado a situação ou entidade que se mostra ao
observador no estado que contempla o aqui e o agora. É aquilo que “[...] aparece na
realidade mundana” (BICUDO, ROSA, 2010, p. 24). A atualização é o processo pelo qual
algo passa de uma situação de potência para o estado atual, no qual a potência designa “[...]
característica do que é potente, do que tem forçar para ser, que traz em si as potencialidades
para tornar-se” (BICUDO, ROSA, 2010, p. 24). A semente, por exemplo, é um estado
potencial da árvore que, se encontrar as condições ideais (solo fértil, temperaturas
adequadas, germinar, crescer, etc.), pode se atualizar em uma árvore (LÉVY, 1996).
Apertando a tecla F5 do computador, é possível atualizar uma página da Internet. Aquilo
que se mostra ao observador é o estado atual da mesma, enquanto que ao apertar F5
iniciamos o processo de atualização em busca de alterações nas informações visuais ou
áudio-visuais expostas.
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O provável está relacionado a um modo de não-atual que pode ser compreendido como uma
espécie de pré-atualidade, podendo abranger graus da esfera do atual. Como exemplo, cito a
frase “no verão, na cidade de Encantado, provavelmente haverá dias com temperaturas
acima de 35º C”. Este é um fato não atual. No momento da escrita dessa frase essa
afirmação não condiz com a temperatura que faz nessa cidade. Apesar disso, mesmo
havendo imprecisões (como, por exemplo, uma data específica) existe uma probabilidade
muito grande dessa afirmação se atualizar, isto é, vir a acontecer. A aproximação do
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Na visão de Bicudo e Rosa (2010), oposto ao atual, está o não-atual, isto é, aquilo que não
foi atualizado e se encontra em estado de potência. Apoiados nas argumentações de
Granger (1995) apontam que o não-atual abrange três modalidades ou formas: o provável, o
possível e o virtual.
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provável com o atual pode estar associado a dados probabilísticos, estatísticos e, até
mesmo, a cálculos determinísticos.
O possível está relacionado à linguagem e ao simbólico e diz respeito àquilo que pode ser
feito e àquilo que não pode ser feito por meio da linguagem ou símbolo, mostrando
amplitude e limitação. Granger (1994) aborda a importância da linguagem e do simbolismo
no processo de evolução histórica da ciência. Segundo esse autor, “[...] não se pode
aperfeiçoar a linguagem sem aperfeiçoar a ciência” (GRANGER, 1994, p. 53). Com isso, o
autor quer dizer, ao mesmo tempo, que a evolução da linguagem abre novos caminhos para
a ciência e que a linguagem e símbolos usados determinam (e também limitam)
possibilidades para a ciência. É importante aqui, não confundir o símbolo e a linguagem
com as ideias expressas neles.
Já o virtual, para Bicudo e Rosa (2010), designa a modalidade de não-atual que não visa
relação com o atual. É distinto do provável, pois este já se mostra como um pré-atual. É
distinto do possível, entendido aqui como simbólico e como linguagem e que conduzem
aquilo a que se referem a encaminhamentos determinados, mostrando amplitude e
limitação. Conforme Bicudo e Rosa (2010, p. 27), o virtual “[...] refere-se à forma em
geral, que poderá atualizar-se mediante ações que estão junto às materialidades e técnicas
disponíveis, em aplicativos particulares, explicações da empiria, etc.”. Em outras palavras,
o virtual têm sua essência em si mesmo e não busca, necessariamente, vínculo com o atual,
mas eventualmente, pode abranger situações empiricamente atualizáveis. A matemática
pode ser assumida como um exemplo de virtual, uma vez que satisfaz as condições
descritas acima.
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Por meio dessas três modalidades é possível distinguir as nuanças do não-atual e abordar a
ideia de ciência. Conforme Bicudo e Rosa (2010) a ciência possui sua essência no nãoatual. É composta por linguagem e símbolos específicos e por fatos virtuais, notadamente
com base matemática. Eventualmente se associa com o atual, podendo atingir estados préatuais probabilísticos e determinísticos. Mas sendo a ciência não-atual, então ela deve ser
considerada irreal? Esse é um aspecto retomado por Bicudo e Rosa (2010), que atentam que
o par que deve ser considerado não é o representado por “real – irreal”, mas sim “atual –
não-atual”. Justificam tal afirmação apresentando que o não-atual não é irreal. Sua
realidade, não é uma realidade atualizada, que se mostra, mas sua realidade é uma realidade
potencial, isto é, que tem força para se atualizar, mas que não necessariamente irá se
atualizar, abrangendo, inclusive, aspectos não atualizáveis.
Sendo assim a ciência também trata do real. Entretanto, o real abrangido pela mesma é
limitado. Nesse sentido, Bicudo e Rosa (2010) argumentam que a ciência, além de ter a
individualização como noção de limite, não abrange no seu campo de investigação o
imaginário, o poético e o criativo, relacionados às experiências individuais. Essa limitação
tem como uma de suas bases a estreita relação da ciência (ocidental) com a matemática que,
por meio de modelos abstratos, busca abranger o real, mas que por vezes se distancia da
experiência do real vivido, o que afasta a ciência do primeiro plano de conhecimento.
Esse afastamento pode estar associado ao fato de que, por meio de um processo de
abstração, principalmente proporcionado pela Matemática, situações que são investigadas e
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analisadas, são generalizadas. Nessa generalização o virtual e o possível aparecem como
categorias fundamentais, pois gera-se um conjunto de fatos, situações e entrelaçamentos,
não atualizados, de onde cogitam-se situações, fazem-se simulações, que podem ou não se
atualizarem. O espaço virtual proporcionado pelas abstrações pode criar fenômenos virtuais
que determinam a situação, no campo da ciência. Nesse sentido, Bicudo e Rosa (2010,
p.22) afirmam que é possível
[...] dizer que o real da ciência é construído por universos ligados
aos fatos virtuais do mundo virtual, com regras bem definidas que
permitem determinar, com maior ou menor precisão e certeza, a
imagem dessas realidades ocorridas ou efetuadas.
A relação dada entre as situações empíricas e a ciência podem ser apreendidas por meio de
um referencial, que avalia a situação empírica (fato atual) frente a um número finito de
aspectos que compõe a teoria, criando assim o que Granger (1994) denota por fato virtual.
Desse modo o fato atual é determinado de modo incompleto em relação ao referencial, pois
pode não se comportar exatamente como a teoria ou o modelo o explica, enquanto que o
fato virtual é completamente determinado em relação ao referencial. Em outras palavras:
[...] uma teoria científica em geral não trata diretamente de fatos
atuais, e sim [...] de fatos virtuais, ou seja, de fatos esquemáticos,
completamente determinados na rede de conceitos da própria teoria,
mas incompletamente determinados enquanto realizáveis aqui e
agora numa experiência (GRANGER, 1994, p. 48).
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Com esses argumentos, Bicudo e Rosa (2010) apresentam uma relação íntima entre ciência
e o mundo cibernético, abrindo espaço para associá-lo também à ideia de mundo-vida. Para
tanto, trazem argumentações referentes à compreensão de mundo vida. Para esses autores,
de um modo geral, o mundo pode ser evidenciado como um campo no qual são dirigidos
todos os atos do se humano abrangendo suas experiências, ações, atividades práticas,
teorizações, conhecimento. Essa perspectiva assumida por Bicudo e Rosa (2012), está
relacionada à ideia de ver o mundo como um horizonte que abrangendo todas as coisas,
todos os seres humanos e todos os seres vivos. Esse sentido de horizonte se caracteriza por
uma “[...] totalidade harmônica, uma universalidade coerente de objetos existentes, de
‘nós’, conjunto de seres-humanos, entendidos como eu-o-homem e todos nós juntos que,
como seres viventes, pertencemos ao mundo” (BICUDO, ROSA, 2010, p. 6).
11
Sob essa perspectiva, é possível dizer que o referencial é o responsável pela relação entre o
virtual e o atual. Entretanto, imergindo no universo que assume o foco de meu interesse,
que é a realidade do mundo cibernético, o que poderia ser considerado como seu
referencial? Bicudo e Rosa (2010) apontam que o referencial que dá sustentação às
atualizações ocorridas no mundo cibernético e que permite a ocorrência das atualizações
por meio de sistemas operatórios, é o próprio conjunto representado pelos aparatos
científicos e tecnológicos, sustentados por meio das teorias que os envolvem. Sendo assim,
“[...] a realidade do ciberespaço é virtual, por já ter sua base nas ciências, notadamente na
matemática” (BICUDO, ROSA, 2010, p. 28).
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Esse mundo-horizonte é considerado pelos autores como o solo de toda a certeza que se
refere ao existente. Nesse sentido, afirmam que
Importante é destacar que o mundo-horizonte é o solo de toda
certeza ôntica2. É pré-dado como um campo universal, como um
horizonte que se abre à compreensões. Nessa onticidade, vive-se na
certeza do mundo, uma vida consciente do mundo e de si-mesmo
como ser vivente, que experiencia e efetua na praticidade de suas
ações a certeza do mundo. Essa dimensão da empiria possibilita as
avaliações do correlato do percebido, ou seja, do mundo em seu
fundo, da coisa percebida (BICUDO, ROSA, 2012, p. 9).
É por meio dessa possibilidade de avaliação do percebido que os autores defendem ser
mundo-horizonte e mundo-vida o solo primeiro dos conhecimentos tanto filosóficos quanto
científicos. Desse modo, embasados nas ideias de Husserl, trazem a perspectiva de que a
ciência está enraizada no solo do mundo-vida. Sendo a ciência a base do mundo
cibernético, também associam o mundo cibernético ao campo de abrangência do mundovida. Entretanto, se preocupam não somente na estruturação dessa associação, como
também em apresentar particularidades dessa modalidade da realidade.
Nesse sentido defendem que o grande diferencial do ciberespaço não está necessariamente
em sua base dada pela matemática e pelos aparatos tecnológicos, mas sim nos modos pelos
quais as atualizações ocorrem nesse mundo, onde adquirem características próprias
abrangendo graus de complexidades inusitados e indeterminados. O pluralismo e a
multiplicidade característicos desse ambiente
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12
[...] possibilitados pela tela informacional são ramificados com
rapidez e fluidez em redes que, por sua vez, também são
pluralidades e assim por diante, atualizadas pelas ações dos sujeitos
que operam nessas redes (BICUDO, ROSA, 2010, p. 29).
Essas atualizações são provenientes da relação do homem com o aparato científico, por
meio de comandos, linguagens e ações ocorridas tanto nos encontros ser-humanocomputador quanto na intercomunicação do homem e outros sujeitos, possibilitada pelo
sistema de referência tecnológico. Nessa dimensão de abrangência da realidade, que se abre
à experiência do sujeito, espaço e tempo se diferenciam dos comumente vivenciados. Não
se trata mais de um espaço físico, caracterizado pelas dimensões largura, altura e
profundidade sujeitas à temporalidade física, mas sim de um espaço desterritorializado, isto
é, “[...] o solo em que finca suas âncoras é geográfica e culturalmente indefinido por
mesclarem-se concomitantemente a muitas culturas, lugares e tempos diversificados”
(BICUDO, ROSA, 2010, p.11). Pela possibilidade de interconexão tem-se um universo
onde as dimensões físicas não se constituem como tal, mas onde se cria, difunde, e se
vivencia culturas distintas. Essas interações (com o meio e com outros sujeitos) ocorrem
2
Segundo Abbagnano (2007, p. 848), ôntico se refere ao existente e é considerado “[...] distinto de
ontológico, que se refere ao ser categorial, isto é, à essência ou à natureza do existente. Por exemplo, a
propriedade empírica de um objeto é a propriedade ôntica; a possibilidade ou a necessidade é uma
propriedade ontológica”.
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tanto em tempos cronológicos iguais (ao assumir o aqui e agora de uma conversa no
Messenger Live, por exemplo) ou em tempos cronológicos distintos (como é o caso de emails) e conduzem a um conjunto de relações que podem envolver afeto, troca de
informações, transações comerciais, jogos, ensino e aprendizagem, potencializando “[...]
uma profunda percepção de si pela percepção do outro, visto como igual, encarnado,
estando lá e “eu” aqui” (BICUDO, ROSA, 2010, p. 14).
Essa riqueza de inter-relacionamentos mostra um mundo aberto à experiência do sujeito
que, conforme Bicudo e Rosa (2010) efetua um movimento com seu corpo-próprio
intencionalmente atento ao que se mostra diante da tela informacional. Esse movimento se
trata de
[...] um movimento das mãos no teclado, do olhar na tela, dos atos
intencionais efetuando a dialética noesis-noema3 com a coisa que se
mostra mediante símbolos. Entretanto, a coisa que assim se
apresenta embora seja uma representação das sínteses de unificação
efetuadas na dimensão do horizonte histórico da ciência e da
tecnologia, chega de imediato ao sujeito, mostrando-se na tela
informacional e solicitando ações contínuas. Estas ações são
efetuadas em um nível prático, com o apoio das ferramentas
(programas) computacionais correlacionados à intencionalidade do
sujeito que está operando (BICUDO, ROSA, 2010, p. 11).
Nesse conjunto de ações, possibilitada pelos recursos tecnológicos disponíveis, a coisa,
envolvida pela intencionalidade e pela percepção, está imersa em um espaço/tempo
dinâmico, distinto do comumente vivido e se mostra por modos de comunicação, por
conteúdos e por formas. Essas são características do mundo-horizonte que dá o fundo da
coisa e apresenta a ambiguidade do mundo cibernético frente à experiência vivida. Isso
apresenta, de um lado, o sujeito atento à tela informacional presente num espaço que se
constitui exatamente no local no qual está e, ao mesmo tempo, intencionalmente imerso na
subjetividade e intersubjetividade do espaço proporcionado pelos recursos tecnológicos
(BICUDO, ROSA, 2010, p. 11).
É por meio dessa complexidade na qual o ciberespaço se mostra, apresentando uma
espacialidade e uma temporalidade distintas das comumente vividas no cotidiano, mas que
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Trata-se da relação entre aspectos subjetivos e objetivos de uma vivência. Abbagnano (2007, p. 834)
afirma que na terminologia de Husserl, noese significa “[...] o aspecto subjetivo da vivência, constituído por
todos os atos de compreensão que visam a apreender o objeto, tais como perceber, lembrar, imaginar”. Já,
no que diz respeito a noema, este pode ser considerado “[...] o aspecto objetivo da vivência, ou seja, o
objeto considerado pela reflexão em seus diversos modos de ser dado (por exemplo, o percebido, o
recordado, o imaginado). O noema é distinto do próprio objeto, que é a coisa; por exemplo, o objeto da
percepção da árvore é a árvore, mas o noema dessa percepção é o complexo dos predicados e dos modos
de ser dados pela experiência: por exemplo, árvore verde, iluminada, não iluminada, percebida, lembrada”
(ABBAGNANO, 2007, p. 834).
13
3
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promovem subjetividade, intersubjetividade e percepção da coisa em seu mundo-horizonte
que os autores que embasam essa seção afirmam que o “[...] primado da percepção e da
experiência do que se doa ao mundo-horizonte, ainda faz sentido” (BICUDO, ROSA, 2010,
p. 12). A sustentação dessa afirmação inicia pela percepção que o sujeito tem do espaço que
se abre, experienciando e dirigindo-se intencionalmente às coisas envolvidas no mundohorizonte. Essa percepção, não atinge somente as coisas e o eu, mas também outros
sujeitos. Assim, outras experiências também são consideradas, promovendo a
intersubjetividade, que é constituída por sínteses efetuadas em cada sujeito, mas em um
solo de experiências comum, dado pelo mundo-horizonte.
Nesse contexto a linguagem assume papel importante nesse processo, pois possibilita a
comunicação entre indivíduos. Conforme Bicudo e Rosa (2010) a linguagem ocorre em um
primeiro momento pela fala oral juntamente com o conjunto de expressões corporais e, em
um momento mais avançado, pelo modo escrito, que oferece um salto qualitativo, uma vez
que já é a expressão de uma síntese, expressa por símbolos. No mundo cibernético, em
particular, a linguagem se instaura num campo próprio, envolvendo não somente a estrutura
linguística da escrita, mas também um conjunto de símbolos, imagens e sons, que faz com
que se instaure um campo próprio, denotado comumente por realidade virtual.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Levando em consideração os aspecto apresentados, o que é chamado de realidade virtual ou
realidade do mundo cibernético não pode ser classificado como “fantasia”, uma vez que as
relações intersubjetivas ocorridas não são apenas imaginadas, mas “[...] sentidas,
carregadas de emoções e de colorações cujas cores, formas e movimentos se mostram em
nuanças e em matizes minimamente diferenciados, mas em grande quantidade” (BICUDO,
ROSA, 2010, p. 14). Tampouco pode ser considerada “irreal”, no sentido de uma ficção
fantástica, não podendo ser experienciada. Trata-se, na visão dos autores, de uma das
dimensões da realidade, abrangida sim pelo mundo-vida, distinguindo-se pela possibilidade
de criação de ambientes sem a necessidade de haver uma referência à realidade física, mas
que abarca a intersubjetividade envolvendo pessoas por meio de distintos modos e
abrangendo relações comuns às humanamente vividas (amor, afeto, troca, amizade, etc.). A
liberdade na maneira de criação dos cenários potencializada pela tela informacional do
computador amplia o universo percebido na realidade do cotidiano mundano. Entretanto,
essa expansão pode ainda
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14
[...] ser compreendida como um modo de viver a vida na dimensão
do humano, como ela é, mesmo que as relações presentificadas
nessa dimensão da realidade se dêem em um espaço mundano que
deve ser caracterizado em termos do espaço/tempo possibilitados
pelas tecnologias (BICUDO, ROSA, 2010, p. 15-16)
Compreender o mundo cibernético como realidade, como uma modalidade do mundo-vida,
implica no surgimento de um conjunto de possibilidades que se abre à investigação, tanto
no campo filosófico, quanto na Educação. A partir dessa exploração feita por Bicudo e
Rosa (2010), é possível compreender os aspectos essenciais da realidade do ciberespaço,
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constituindo assim uma base sólida para investigar o processo de Modelagem Matemática
quando as situações envolvidas dizem respeito a essa dimensão de abrangência da
realidade.
REFERÊNCIAS
ABBAGNANO, N. Dicionário de filosofia. Tradução Alfredo Bosi. São Paulo: Martins
Fontes, 2007.
ARAÚJO, J. L. Cálculo, tecnologias e modelagem matemática: as discussões dos alunos.
Rio Claro: UNESP, 2002. Tese (Doutorado em Educação Matemática), Instituto de
Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, 2002.
ARAÚJO, J. L. Relação entre Matemática e Realidade em algumas Perspectivas de
Modelagem Matemática na Educação Matemática. In: BARBOSA, J. C.; CALDEIRA, A.
D.; ARAÚJO, J. L. (Org.). Modelagem Matemática na Educação Matemática
Brasileira: pesquisas e práticas educacionais. Recife: SBEM, 2007, p. 17-32.
BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em Educação Matemática: Concepções &
Perspectivas. São Paulo: Editora Unesp, 1999.
BICUDO, M. A. V.; ROSA, M. Realidade e Cibermundo: horizontes filosóficos e
educacionais antevistos. Canoas: Editora da ULBRA, 2010.
DALLA VECCHIA, R.; MALTEMPI, M. V. Ensaio Sobre a Modelagem Matemática e o
Virtual. In: XIII Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-Graduação em Educação
Matemática, Anais. Goiânia, 2009. p 1- 15
DELEUZE, G. Diferença e Repetição. Traduzido por: Orlandini, L.; Machado, R.
Tradução de: Différence et Répétition. Rio de janeiro: Graal, 1988.
GRANGER, G., G. A Ciência e as Ciências. São Paulo: Editora da Universidade Estadual
Paulista, 1994.
KÖRNER, S. Uma introdução à Filosofia da Matemática. Rio de Janeiro: Zahar, 1985.
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15
LÉVY, P. O que é o virtual. São Paulo: Editora 34, 1996.
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LOS MODOS DE PENSAR EL ÁLGEBRA LINEAL Y EJEMPLOS AD
HOC EN PROBLEMAS ESPECIFÍCOS DE SU ENSEÑANZA Y
APRENDIZAJE
Marcela Parraguez González
Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
[email protected]
Pensamiento Matemático Avanzado, Superior.
RESUMEN
En la primera parte de la conferencia se presenta la teoría de los modos de pensamiento de
Anna Sierpinska. Ella identificó tres modos de pensamiento en el álgebra lineal: sintéticogeométrico, analítico-aritmético y analítico-estructural, los cuales se describen y
ejemplifican.
La segunda parte de la conferencia se sitúa en ejemplificaciones. El primer ejemplo es a
partir una indagación del concepto de dimensión de un espacio vectorial real finito, y el
segundo, se basa en una investigación cuyo principal objetivo es indagar cómo a partir de
lo teórico o desde lo práctico estudiantes universitarios se enfrentan a los conceptos
dependencia e independencia lineal de vectores y solución de un sistema de ecuaciones
lineales en R2 y R3.
Palabras clave: Modos de pensamiento, dimensión, sistemas de ecuaciones lineales,
independencia lineal.
INTRODUCCIÓN
En la primera parte de la conferencia se presenta la teoría de los modos de pensamiento de
Anna Sierpinska.
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Sierpinska identificó tres modos de pensamiento en el álgebra lineal (Sierpinska, 2000):
sintético-geométrico (SG), analítico-aritmético (AA) y analítico-estructural (AE), los
cuales se describen y ejemplifican.
Estos modos de pensamiento pueden verse como el resultado de una superación de dos
obstáculos o posiciones dogmáticas opuestas: una, que rechaza los números dentro de la
geometría y, la otra, que rechaza que la “intuición geométrica” pueda ser llevada a un dominio
puramente aritmético. Estos modos de pensamiento es preferible considerarlos como igualmente
útiles, cada uno en su propio contexto, para propósitos específicos y principalmente cuando están
interactuando.
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Sierpinska, en una indagación realizada hace más de una década (Sierpinska, 2000), indica
que el desarrollo del álgebra lineal se inició como un proceso de pensar analíticamente
acerca del espacio geométrico. Tomando una perspectiva muy general, se podrían
distinguir, en este desarrollo, dos grandes pasos, referidos a dos procesos. Uno fue la
aritmetización del espacio, que tuvo lugar al pasar de la geometría sintética a la geometría
analítica en Rn. El otro fue la desaritmetización del espacio a su estructuración, con la que
los vectores abandonan las coordenadas que los anclaban al dominio de los números y se
convierten en elementos abstractos cuyo comportamiento está definido por un sistema de
propiedades o axiomas.
La principal diferencia entre los modos ‘sintético’ y ‘analítico’ es que en el modo sintético,
los objetos son dados directamente para ser descritos por la mente, la cual trata de
describirlos, de manera natural, mientras que en el modo analítico estos objetos son dados
indirectamente, de hecho son construidos solamente por la definición de las propiedades de
los elementos (Sierpinska, 2000).
Por ejemplo, en el modo sintético, una línea recta se puede ver como un objeto
preestablecido con una cierta forma y que ocupa cierta parte del espacio; se podrá hablar de
las propiedades de la línea recta pero, estas propiedades sólo la describirán, mas no la
definirán. Por su parte, el modo analítico hace que la línea recta quede definida de acuerdo
a ciertas relaciones específicas entre las coordenadas de los puntos o vectores en un espacio
de dimensión dada. Esto sugiere que si se piensa en el objeto ‘recta’ lo primero que se viene
a la mente es el objeto representado con la figura correspondiente, pero no necesariamente
se tendría que pensar en un principio en la ‘ecuación lineal’ que la define. También, si se
presentan ‘dos rectas coincidentes’ como objeto, se viene a la mente una recta que se
visualiza, pero no se pensaría en una representación de un sistema de dos ecuaciones
equivalentes que la define.
La diferencia entre los modos de pensamiento AA y AE, es en el primero, un objeto es
definido por una fórmula que permite calcularlo, y muchos razonamientos analíticoaritméticos tienen una tendencia a mostrar que dos procesos o métodos conducen al mismo
resultado; por otro lado, en el pensamiento analítico-estructural, un objeto es definido por
un grupo de determinadas propiedades.
El modo de pensamiento SG utiliza el lenguaje de las figuras geométricas, planos y líneas,
intersecciones, así como sus representaciones gráficas convencionales.
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Cada uno de los tres modos de pensamiento en álgebra lineal utiliza un sistema específico
de representaciones.
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Por ejemplo, “si un estudiante está pensando en las posibles soluciones de un sistema de
tres ecuaciones lineales con tres variables por visualización de las posibles posiciones de
tres planos en el espacio, él está en el modo SG. Si ahora el estudiante piensa en el mismo
problema en términos de los posibles resultados de una reducción por filas de una matriz, él
está en el modo AA. Pensando en términos de matrices invertibles y no invertibles, podría
ser un síntoma del modo analítico-estructural” (Sierpinska, 2000).
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En el modo AA las figuras geométricas son entendidas como conjuntos de “n-uplas” de
números que satisfacen ciertas condiciones que son escritas, por ejemplo, en la forma de
sistemas de ecuaciones o desigualdades. En el modo analítico-aritmético, las componentes
numéricas de los objetos geométricos, como puntos o vectores son importantes. Así, por
ejemplo, un sistema general de ecuaciones podría ser escrito usando todos sus coeficientes:
a11x1  ...  a1n xn  b1 , …, am1x1  ...  amn xn  bm .
El pensamiento AE va más allá de este tipo de análisis y sintetiza los elementos
algebraicos de las representaciones analíticas dentro de conjuntos estructurales. Así, un
sistema puede escribirse en una forma matricial, o en forma vectorial:
x1 A1  ...  xn An  b
Con respecto a los sistemas de ecuaciones hay otra diferencia entre los modos de
pensamiento AA y AE (lo importante desde un punto de vista AA es encontrar métodos
para resolver sistemas de ecuaciones).
En el modo de pensamiento estructural las cuestiones podrían referirse, por ejemplo, a las
condiciones de la matriz A y el vector b para la existencia y unicidad de una solución. Las
propiedades de la matriz podrían ser más importantes que la naturaleza de sus componentes
numéricos” (Sierpinska, 2000).
Con esta mirada, desde este marco teórico, se busca aportar un análisis cognitivo de la
comprensión de los conceptos del álgebra lineal.
La segunda parte de la conferencia se sitúa en ejemplificaciones.
Primer Ejemplo
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El primer ejemplo es a partir de una indagación del concepto de dimensión de un espacio
vectorial real finito, bajo el enfoque cognitivo de la teoría de los modos de pensamiento
como marco teórico (Maturana y Parraguez, 2011), y un diseño metodológico de estudio de
caso múltiple.
Desde esta postura se presenta el hecho didáctico de concebir el concepto de dimensión de
un espacio vectorial real finito en modos de pensamiento, para responder y orientar la
reinstalación de la definición de dimensión de un espacio vectorial real finito, en
estudiantes que hacen uso de este concepto. Para este efecto se indagó en los modos de
pensamiento que configuran las distintas interpretaciones, de la definición de dimensión de
un espacio vectorial real finito que se ha instalado en los docentes y aprendices del
concepto en cuestión: “Se dice que un espacio vectorial V tiene dimensión r si tiene una
base de r vectores de V” (Aburto, Johnson y Jiménez, 1996, p. 60).
Si prestamos atención en lo específico de la definición anterior, se traduce en una
perspectiva teórica y operativa, que caracteriza desde una sola interpretación –AA– el
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concepto de dimensión, excluyendo especificidades geométricas, y aún más, la definición
privilegia un solo sistema de representación –el algebraico– lo que significa que él
determina el tipo de manipulaciones que pueden ser puestos a disposición de los
aprendices.
La formación matemática en tópicos de álgebra lineal en varias carreras de universidades
latinoamericanas es hoy y ha sido por muchos años un pilar fundamental para ellas, por
ende, la exigencia radica fundamentalmente en posicionar a nuestros aprendices de
conceptos matemáticos, en particular el que se presenta aquí –el concepto de dimensión de
un vectorial real finito– en una posición privilegiada para alcanzar el aprendizaje de este y
otros conceptos matemáticos u otro tipo de tareas o problemas que evidencien su presencia.
Diversas investigaciones han indagado en cuestiones del álgebra lineal, por ejemplo, Dorier
y su equipo (Dorier, Robert, Robinet y Rogalski, 1997) hablan acerca del obstáculo del
formalismo. Estos autores concluyen que “para la mayoría de los estudiantes, el álgebra
lineal no es más que un catálogo de nociones muy abstractas que ellos nunca pueden
imaginarse” y que manejan mecánicamente. Así también, se ha reportado que el discurso
matemático escolar del álgebra lineal privilegia el tratamiento algorítmico a través de las
llamadas técnicas de resolución, en desmedro de la comprensión conceptual de nociones
básicas (Dorier y Sierpinska, 2001). Otras investigaciones apuntan a las dificultades que los
estudiantes tienen cuando están aprendiendo el concepto de espacio vectorial y a la
construcción esquema en sus tres niveles Intra, Inter y Trans del concepto espacio vectorial
(Parraguez y Oktaç 2010), sin embargo la instalación del concepto de dimensión de un
espacio vectorial real, desde una perspectiva cognitiva a través de los modos de pensar el
álgebra lineal en un ámbito universitario, se presenta como un desafío investigativo
pionero, al constatar a través de un cuestionario exploratorio de 20 preguntas, aplicado en el
mes de noviembre del año 2010, a 25 estudiantes de Ingeniería Civil y Construcción Civil
de una universidad chilena, que el concepto de dimensión finita de un espacio vectorial
real, es comprendido en un solo modo de pensamiento –AA–.
Una de las evidencias recogidas en el cuestionario exploratorio, específicamente en la
pregunta 2, reafirma lo antes expuesto:
Pregunta
2:
W   x, y  
Dados
2
los
x  y  0 y H 
subespacios
 x, y  
2
de

2
,
tales
que;
x  y , calcular si es posible:
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Mirando las respuestas de los estudiantes se puede señalar que la falta de incorporación de
otros modos de pensar en el trabajo en álgebra lineal, dejan a los estudiantes ciegos frente a
realidades evidentes, como la visualización geométrica de los subespacios del plano. Es por
esta razón que la pregunta termina con gráficos. Veamos una de las respuestas de los
estudiantes:
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dim W  H  . Realice las graficas en el plano real de los subespacios
anteriores. ¿Qué puede usted comentar?
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Estudiante 5: Realiza una
grafica como la de valor
absoluto. Lo que evidencia la
falta de asociación geométrica
con la algebraica, de los
conceptos del álgebra lineal,
(Figura 1).
Figura 1: Gráfica que realiza estudiante 5,
para la pregunta 2.
Por otra parte, en los cursos de matemáticas para las carreras de Ingeniería, como por
ejemplo en el curso de ecuaciones diferenciales, el concepto de dimensión aparece inserto
en el espacio solución de una ecuación diferencial lineal homogénea normal de orden n, y
es en este punto donde se evidencia la falta de comprensión a nivel estructural del concepto
de dimensión.
Segundo Ejemplo
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20
El segundo ejemplo se basa en una investigación (Bozt, 2011) cuyo principal objetivo es
indagar cómo a partir de lo teórico o desde lo práctico estudiantes universitarios se
enfrentan a los conceptos dependencia e independencia lineal de vectores y de solución de
un sistema de ecuaciones lineales en R2 y R3, así como las conexiones que establecen esos
estudiantes de educación superior entre dichos conceptos. Se mostrarán evidencias de que
los estudiantes tienden a situarse en un mismo modo de pensamiento –el que tiene que ver
con las relaciones numéricas y algebraicas que puedan establecer con los conceptos, esto
es, AA– aun cuando el contexto del ejercicio favorezca otro modo de pensamiento, como
por ejemplo el SG.
El álgebra lineal es una rama de la matemática que está inserta en muchos cursos de
enseñanza superior relativos a carreras del área científica. Sin embargo, esta disciplina
acompaña al estudiante desde mucho antes, aun cuando no hay sospecha de lo profundo
que resulta su estudio. En efecto, al llegar a la educación superior probablemente los
estudiantes ya se encuentren más o menos familiarizados con los sistemas de ecuaciones,
los cuales bien sabemos tienen una especial importancia en el álgebra lineal, ya sea para
determinar si un conjunto de vectores es linealmente independiente o no, o para introducir
el concepto de matriz asociada a un sistema de ecuaciones, que constituye uno de los
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objetos matemáticos protagonistas en esta área. A su vez, los sistemas de ecuaciones son
usados para resolver diversos problemas, como por ejemplo la búsqueda de soluciones
comunes a modelos lineales, intersección de curvas, e incluso en ocasiones problemas
dentro de la misma matemática. Este es el caso de la dependencia e independencia lineal de
un conjunto de vectores, para lo cual muchas veces se recurre a una combinación lineal que
finalmente se convierte en resolver un sistema de ecuaciones lineales. Es precisamente esta
conversión de dependencia lineal a sistemas de ecuaciones lineales y viceversa la que me
interesa presentar. Por ejemplo, para saber si en R3 los vectores v1 = (2,3,2) , v2 = (3,5,1)
y v3 = (-1,-1-3) son linealmente dependientes debemos preguntarnos si existen escalares a1,
a2, a3 en R , no todos nulos, tales que a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0. Para resolverlo, planteamos la
siguiente ecuación:
a1(2,3,2) + a2(3,5,1) + a3(-1,-1-3) = (0,0,0)
Ponderando cada vector por su escalar y sumando obtenemos:
(2a1,3a1,2a1) + (3a2,5a2,a2) + (-a3-a3 -3a3) = (0,0,0)
(2a1 + 3a2 -a3, 3a1 + 5a2 -a3, 2a1 +a2 - 3a3) = (0,0,0)
A partir de esta última igualdad concluimos que cada una de las coordenadas del vector de
la izquierda debe ser igual a cero. Como los vectores tienen tres coordenadas, obtenemos
las siguientes tres ecuaciones:
2a1 + 3a2 -a3 =0
3a1 + 5a2 -a3 =0
2a1 +a2-3a3 =0
Es decir, el problema de determinar la dependencia o independencia lineal de vectores se ha
transformado en la resolución de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo. Mediante
algunos de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones (igualación, sustitución,
reducción o método de Cramer) se llega a que la solución de este sistema es (a1,a2,a3) = k
(-2,1,-1), k en R. Así, se puede considerar, por ejemplo, a1 = -2, a2 =1 y a3 = -1, con lo que
se concluye que el conjunto formado por los vectores v1 = (2,3,2), v2 = (3,5,1) y v3 = (1,-1-3) es linealmente dependiente en el espacio vectorial R3 con las operaciones usuales.
Por lo se ha llevado el problema de dependencia lineal de vectores a la resolución de un
sistema de ecuaciones, de manera de obtener su solución e interpretarla en términos de la
dependencia o independencia lineal del conjunto
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La resolución que se ha dado al problema antes planteado es de tipo algebraica. No
obstante, los vectores y los sistemas de ecuaciones, así como su solución, también tienen
una interpretación geométrica sobre la cual podemos trabajar. En efecto, un sistema de
ecuaciones lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas puede ser interpretado como tres
planos en R3, y la solución del sistema la intersección común de estos tres planos. Además,
como se trata de un sistema homogéneo, estos tres planos deben pasar por el origen. De esta
forma, la solución de dicho sistema puede corresponder a:
21
{v 1,v2,v3}.
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1. Un punto (el origen de coordenadas), en cuyo caso los tres planos van en distintas
direcciones. La dirección de un plano se puede trabajar a través de un vector
normal a él. En efecto, si dos planos son paralelos entre sí, entonces si un vector es
normal a uno de ellos necesariamente debe ser normal al otro. En cambio, si dos
planos no son paralelos entre sí, entonces dado un vector normal a uno de ellos éste
no puede ser vector normal al otro, pues en ese caso ambos serían paralelos entre
sí.
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2. Una recta (que pasa por el origen de coordenadas). En este caso podría ser que dos
planos fuesen coincidentes y el otro los intersectara,
o que los tres planos fuesen en direcciones diferentes intersectándose en una recta. Al
igual que en el caso en que la intersección de los planos es un punto, las direcciones
de los planos pueden ser vistas a través de vectores normales a cada uno de ellos. La
diferencia entre el caso 1 y el caso 2 es que cuando los tres planos van en distintas
direcciones y su intersección es una recta, los tres vectores normales están contenidas
en un solo plano, mientras que si la intersección es sólo un punto, no hay plano que
contenga a los tres vectores normales. Esto indica precisamente que los vectores
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normales son linealmente dependientes (si los tres están contenidos en un solo plano)
o linealmente independientes (si los tres no están contenidos en un solo plano).
3. Un plano (que pasa por el origen de coordenadas), en cuyo caso los tres planos del
sistema serían coincidentes,
Cabe destacar que el sistema debe tener solución, pues al ser un sistema homogéneo, por lo
menos el origen de coordenadas pertenece a cada uno de los planos. Así, el hecho de que el
conjunto de vectores {v1,v2,v3} sea o no linealmente dependiente, al estar sujeto a la
solución del sistema homogéneo formado, está en estrecha relación con la intersección de
los tres planos representados por las ecuaciones del sistema. De hecho, si la intersección de
estos tres planos es:

Un punto (el origen de coordenadas): El conjunto de vectores {v1,v2,v3} es
linealmente independiente.

Una recta o un plano: El conjunto de vectores
dependiente.
El concepto de dependencia e independencia lineal es uno de los conceptos primitivos y
esenciales del álgebra lineal, pues tiene consecuencias en la comprensión de otros
conceptos claves dentro de la disciplina, como por ejemplo base, dimensión, subespacio
vectorial, entre otros; que dan pie a un número importante de definiciones, propiedades y
resultados dentro y fuera del álgebra lineal. Desde esta perspectiva se sitúa al concepto de
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{v1,v2,v3} es linealmente
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dependencia e independencia lineal de vectores como fundamental para el entendimiento
del álgebra lineal. A su vez, se conciben a los sistemas de ecuaciones lineales como una
herramienta fundamental de trabajo en esta disciplina. Así, el interés en esta investigación
está puesto en estudiar la forma en que los estudiantes piensan los sistemas de ecuaciones
lineales insertos en el álgebra lineal y como los relacionan con los conceptos de
dependencia e independencia lineal de vectores, particularmente cuando se trabaja en los
espacios y subespacios vectoriales asociados a R2 y R3, pues se cree que a partir de ello
ambos conceptos, el de solución de un sistema de ecuaciones lineales en R2 y R3 y el de
dependencia lineal de vectores, pueden ser potenciados y ampliados, en el sentido de la
relación e interpretación que puedan establecer los estudiantes entre los dos conceptos, de
manera que pueda apreciar la situación desde una mirada algebraica, desde una mirada
geométrica, y de ambas simultáneamente.
La indagación sobre la conexión entre sistemas de ecuaciones lineales y dependencia lineal
de vectores en el contexto de R2 y R3 se realiza desde la teoría de los modos de
pensamiento.
La población objetivo corresponde a estudiantes de educación superior, ya que es en
este nivel donde se realiza el curso de Álgebra Lineal. La muestra tomada consta de siete
estudiantes de educación superior pertenecientes a una Universidad de formación
profesional chilena. Dentro de estos siete estudiantes, tres cursan el quinto semestre de
Licenciatura en Matemática (Estudiantes 1, 2 y 3) y cuatro cursan quinto semestre de
Pedagogía en Matemática (Estudiantes 4, 5, 6, 7). Todos los estudiantes a los que se les
aplicó el cuestionario de 8 preguntas, aprobaron el curso de Álgebra Lineal y se
caracterizan por ser estudiantes con buenos resultados académicos.
A continuación se presentan las evidencias recopiladas de la pregunta 3 del cuestionario.
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Pregunta 3: A continuación se presenta la solución gráfica de un sistema de 3
ecuaciones con 2 incógnitas:
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a) ¿Tiene solución el sistema? ¿Cuántas? Justifique su respuesta.
b) En R2, con las operaciones suma y ponderación usuales, ¿los vectores
generadores de cada una de las rectas del sistema (vistas como subespacios de
R2) forman un conjunto linealmente independiente? Justifique su respuesta.
Análisis de las respuestas de los estudiantes parte a)
Para responder a esta pregunta, los estudiantes abordaron diferentes estrategias. Cuatro de
los estudiantes (los estudiantes 1, 3, 5 y 6) respondieron que la solución del sistema es
única porque gráficamente se puede ver que las rectas se intersectan en el (0,0) (figuras 2 y
3). En este caso, los estudiantes sitúan su pensamiento en el modo SG, que era lo que se
esperaba que hicieran.
Figura 2: Respuesta pregunta 3.a estudiante 1.
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El estudiante 7 también basó su respuesta en argumentos geométricos, al señalar que las
tres rectas se intersectan sólo en el 0 –llama la atención que señale que se intersectan en el 0
y no en el (0,0)–. Probablemente sea sólo una forma abreviada de designar el origen, pero
habría que estar atento si esto tiene consecuencias cuando deba enfrentarse al cero vector
desde la estructura del espacio vectorial. Sin embargo, se puede apreciar en su hoja de
respuesta un intento por encontrar las ecuaciones de cada una de las rectas, cálculos que
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Figura 3: Respuesta pregunta 3.a estudiante 6.
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dejó a medio resolver (ver figura 4). Probablemente esto muestra que el estudiante 7 tiene
una fuerte tendencia a situarse en el modo AA, ya que lo primero que intentó hacer fue
determinar las ecuaciones de las rectas. De todas maneras, su argumento se basa en la
intersección de las rectas, por lo que se concluye que este estudiante logró transitar por los
modos AA y SG, dándose cuenta que el análisis geométrico era más rápido para responder
a la pregunta.
Figura 4: Respuesta pregunta 3.a estudiante 7
En cambio, los estudiantes 2 y 4 obtuvieron las ecuaciones de cada una de las rectas del
sistema y en ellas observaron que el único par ordenado que satisfacía todas a la vez es el
(0,0). Por tanto, su argumento es en base a las ecuaciones obtenidas, que tal como
anticipamos en el análisis a priori que realizamos, muestra a los estudiantes situados en el
modo AA (parte del desarrollo de las respuestas de estos estudiantes se puede ver en las
figuras 5 y 6).
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Figura 5: Respuesta pregunta 3.a estudiante 4.
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Figura 6: Respuesta pregunta 3.a estudiante 2.
Análisis de las respuestas de los estudiantes parte b)
Cuatro de los estudiantes sitúan su respuesta en el modo de pensamiento SG. Los
estudiantes 1, 5 y 7 argumentan de acuerdo a lo concluido en la primera parte de la
pregunta, al señalar que las rectas L2 y L3 poseen el mismo vector generador y por lo tanto
el conjunto formado por los tres vectores no es linealmente independiente (figura 7).
Figura 7: Respuesta pregunta 3.b estudiante 5.
A pesar de que estos estudiantes no hacen alguna especie de marca en la gráfica, sí queda
claro que es ésta la que les permite concluir que las rectas L2 y L3 son generadas por el
mismo vector, es decir, recurren a un modelo geométrico de la dependencia lineal de
vectores. Por lo tanto, considerando también sus respuestas a la primera parte de esta
pregunta, se concluye que estos estudiantes se sitúan en el modo SG para responderla.
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El estudiante 6 nuevamente recurre a un modelo geométrico para responder la pregunta del
cuestionario, pero este modelo es diferente al de los estudiantes 1, 5 y 7. Al parecer, la
gráfica que muestra dos rectas en el plano, es más fuerte que el hecho de tener entre ellas
dos rectas coincidentes. Este estudiante también argumenta que las rectas L2 y L3 son
coincidentes y por lo tanto sus vectores generadores forman un conjunto linealmente
dependiente. Sin embargo, lo que sigue coincide con lo que señalamos en el análisis a priori
como posible error en esta pregunta, ya que al representar L2 y L3 la misma recta, el
estudiante desecha una (L3) y se queda sólo con las rectas L1 y L2, las que “juntas generan
R2” y por tanto el conjunto formado por sus vectores generadores es linealmente
independiente (figura 8).
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Figura 8: Respuesta pregunta 3.b estudiante 6.
El argumento elaborado por el estudiante 6 está sujeto en todo momento a la gráfica
presentada en la pregunta y recurre a argumentos geométricos para responder. Por lo tanto,
situamos su pensamiento en el modo SG.
El estudiante 2 razona de manera similar al estudiante 6, pero su argumento es de tipo
aritmético (figura 9). Este estudiante obtiene las coordenadas de los vectores generadores
de cada recta, lo cual le lleva a obtener sólo dos vectores diferentes, los que considera para
formar la combinación lineal igualada a cero. De esta forma, vemos que su conclusión es en
base a estos dos vectores y no a los tres de los que se compone el sistema, lo que indica que
elimina uno de los vectores repetidos y considera para el conjunto sólo los vectores
diferentes.
Figura 9: Respuesta pregunta 3.b estudiante 2.
La respuesta de este estudiante es consecuencia de operaciones aritméticas entre las
coordenadas de los vectores generadores, ya que arma un sistema de ecuaciones y lo lleva a
su forma matricial. De hecho, el obtener los vectores generadores le lleva a considerar sólo
dos vectores para el sistema. Por lo tanto, este estudiante sitúa su pensamiento en el modo
AA.
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Los estudiantes 3 y 4 obtienen los vectores generadores de cada una de las rectas, formando
un conjunto de tres vectores y concluyendo que es linealmente dependiente, ya que uno de
ellos es un ponderado de otro (figura 10). La idea principal del argumento es el poder
escribir uno de ellos como combinación lineal de los otros, lo que responde a operaciones
aritméticas, por lo que el pensamiento de estos estudiantes se sitúa en el modo AA.
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Figura 10: Respuesta pregunta 3.b estudiante 3.
Podemos ver entonces que en esta pregunta no hay un modo de pensamiento que
prevalezca. A pesar de que el escenario más propicio para responder la pregunta es el
geométrico, ya que es presentada a través de una gráfica y a partir de ella se puede inferir
información rápidamente, algunos estudiantes recurren al modo AA, probablemente porque
se sienten más cómodos y más seguros. Por otra parte, algunos estudiantes reducen el
conjunto de tres vectores a dos vectores, al considerar los vectores generadores de las rectas
L2 y L3 como el mismo, descartando uno de ellos y formando un conjunto sólo con los
vectores de las rectas no coincidentes.
A modo de Conclusión
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En relación al segundo ejemplo, el concepto solución de un sistema de ecuaciones lineales
en su mayoría es reducido por parte de los estudiantes a un par o trío ordenado,
dependiendo de si el problema corresponde a R2 o R3. Aproximadamente la mitad de
los estudiantes participantes de la investigación no tiene un concepto geométrico del
concepto solución de un sistema de ecuaciones lineales y aquellos que sí lo tienen lo
asocian a la intersección común de rectas o planos. Esto tuvo consecuencias en cuanto a la
conexión entre los conceptos dependencia e independencia lineal y el de solución de un
sistema de ecuaciones lineales, ya que algunos estudiantes concluyen la independencia
lineal de un conjunto de vectores, argumentando que uno es un ponderado del otro sólo a
través de la gráfica, pero para encontrar la solución del sistema recurren a las ecuaciones de
las rectas y prefieren determinarla resolviendo algebraicamente.
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El análisis del primer ejemplo dio información respecto al modo de pensar
geométricamente los vectores, así como también la escasa relación de la manera en que se
les presenta con las estructuras matemáticas que sustentan al concepto de dimensión finita
de un espacio vectorial real. Observamos también que los estudiantes solo utilizan un modo
de pensamiento y no recurren a los otros aún cuando la situación matemática lo requiera.
Asimismo, los participantes en la investigación evidencian dificultades en el modo de
pensamiento analítico-estructural pues no consideran, por ejemplo, las propiedades del
subespacio vectorial y su ortogonal (pregunta 2).
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REFERENCIAS
Aburto, L., Johnson, R. y Jimenéz, D. (1996). Algebra Lineal. Valparaíso: Pontificia
Universidad Católica de Valparaíso.
Bozt, J. (2011). Conexiones entre los conceptos de dependencia e independencia lineal de
vectores y el de solución de sistemas de ecuaciones lineales en R2 y R3 desde el punto de
vista de los modos de pensamiento. Tesis de Maestría no publicada, Pontificia Universidad
Católica de Valparaíso. Chile.
Dorier, J.-L., Robert, A., Robinet , R. & Rogalski, M. (1997). L’Algèbre Linéaire:
L’obstacle du Formalisme à travers diverses recherches de 1987 à 1995. En J.-L. Dorier
(Ed), L’Enseignement de l’Algèbre Linéaire en Question (pp. 105-147). Grenoble: La
Pensée Sauvage.
Dorier, J. & L. Sierpinska A. (2001). Research into the teaching and learning of linear
algebra. In Derek Holton (Ed.), The teaching and Learning of Mathematics at University
Level: An ICMI Study (pp. 255-273. Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
Maturana, I. y Parraguez, M. (2011). Los modos de pensamiento en que el concepto de
dimensión finita de un espacio vectorial real es comprendido por estudiantes universitarios.
Memoria de la XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática. Recife-Brasil.
Parraguez, M. y Oktaç, A. (2010). Construction of the vector space concept from the
viewpoint of APOS theory. Linear Algebra and its Applications. 432(8), 2112-2124.
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30
Sierpinska, A. (2000). On Some Aspects of Students’ thinking in Linear Algebra En Dorier,
J. L. (Eds.), The Teaching of Linear Algebra in Question (pp. 209-246). Netherlands:
Kluwer Academic Publishers.
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PROPUESTA DE NUEVOS PROGRAMAS DE MATEMÁTICA PARA
LA ENSEÑANZA PRIMARIA Y SECUNDARIA DE COSTA RICA
Edison de Faria Campos Universidad de Costa Rica, Costa Rica
[email protected]
Básico, Medio básico, Medio superior, Otros: Programas de matemática
RESUMEN
El propósito de la conferencia es el de compartir la propuesta de nuevos programas de
matemática para la enseñanza primaria y secundaria de Costa Rica.
En la elaboración de la misma participaron investigadores de las universidades públicas y
docentes en servicio de instituciones de enseñanza primaria y secundaria de Costa Rica.
Además, contribuyeron como lectores otros docentes de enseñanza primaria y secundaria
del país, así como especialistas de España, Portugal, México, Chile y los Estados Unidos.
La propuesta asume la resolución de problemas como estrategia pedagógica y supone por
un lado, que cada estudiante asuma un compromiso con la construcción de sus
aprendizajes, y por el otro, que haya una acción docente crucial para generar aprendizajes
en las cantidades y calidades que implica el escenario actual.
Se asume la definición de competencia que usa el Programa Internacional de Evaluación
de los Aprendizajes de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico
respectivamente PISA y OECD por sus siglas en inglés (OECD, 2005, p. 23; OECD, 2010,
p. 4).
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Las capacidades se asumen como centrales. En primer lugar: aquellas de corto plazo y
asociadas a las áreas matemáticas que se seleccionaron; estas capacidades se denominan
aquí habilidades específicas. En segundo lugar: la generalización de estas habilidades
específicas a desarrollar en un ciclo educativo: habilidades generales. En tercer lugar y
solamente como una perspectiva general: la competencia matemática.
31
La organización del programa de estudios se realiza por medio de cinco áreas matemáticas:
Números, Geometría, Medidas, Relaciones y Álgebra, y Estadística y Probabilidad. Los
conocimientos matemáticos son la base de estos programas. No obstante se adopta un
enfoque basado no solamente en contenidos matemáticos. Lo que se pretende es el
desarrollo de mayores capacidades del ciudadano para enfrentarse a los retos del mundo del
que forma parte.
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En la propuesta se plantean cinco procesos centrales: Razonar y argumentar, Plantear y
resolver problemas, Conectar, Comunicar, y Representar. Los procesos son formas de
acción cognitiva que pueden generar capacidades. Se acepta como premisa que su
realización constante en todos los años lectivos permite generar el progreso de la
competencia matemática. En el plan de estudios se señalan acciones para su realización en
cada ciclo educativo.
Se propone una contextualización activa que invoca la identificación, uso y construcción de
modelos y se introduce un uso importante de las tecnologías digitales que permita
responder a un escenario histórico y a generaciones de jóvenes que así lo demandan, y
ofrece orientaciones precisas para su uso en la acción de aula.
Se plantea el uso de historia de las matemáticas como un poderoso recurso para mostrar un
rostro humano de las matemáticas y como una fuente valiosa de problemas en contextos
reales y se incluye el cultivo de actitudes y creencias positivas sobre las matemáticas de
manera explícita y operativa en los planes de estudio.
En la propuesta se enfatiza el área de la Estadística y Probabilidad en todos los años
lectivos, se incluye geometría con visualización espacial, movimiento de objetos,
coordenadas y relación con el álgebra, se plantea un lugar al desarrollo del sentido
numérico y a los cálculos y aproximaciones, se introduce en los primeros niveles y
gradualmente las relaciones y el álgebra, que aportan un fundamento pedagógico para el
aprendizaje de las funciones, y se da a las medidas un sentido renovador de conexión y de
contextualización.
La malla curricular es consistente con la fundamentación teórica del currículo y los
programas son organizados con una integración vertical que favorece las conexiones entre
ciclos y brinda una visión estratégica de la enseñanza aprendizaje.
Finalmente, se adopta una estructura novedosa y útil de la malla curricular, con amplias
indicaciones y ejemplos de método, gestión y evaluación que acompañan de manera
específica los conocimientos y expectativas de aprendizaje en cada ciclo educativo y en
cada área matemática.
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En estos momentos, la propuesta está siendo analizada por el Consejo Superior de
Educación, órgano responsable por la aprobación de los programas de estudio de todas las
disciplinas escolares.
INTRODUCCIÓN
En el mes de julio del 2011 se presentó ante el Consejo Superior de Educación de Costa
Rica, y a solicitud del Ministro de Educación, una propuesta de nuevos programas de
matemáticas. En la elaboración de la misma participaron investigadores de las
universidades públicas y docentes en servicio de instituciones de enseñanza primaria y
secundaria de Costa Rica. Además, contribuyeron como lectores otros docentes de
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enseñanza primaria y secundaria del país, así como especialistas de España, Portugal,
México, Chile y los Estados Unidos.
La propuesta asume la resolución de problemas como estrategia pedagógica y supone por
un lado, que cada estudiante asuma un compromiso con la construcción de sus
aprendizajes, y por el otro, que haya una acción docente crucial para generar aprendizajes
en las cantidades y calidades que implica el escenario actual.
Se enfatiza el trabajo con problemas asociados a los entornos reales, físicos, sociales y
culturales, o que puedan ser imaginados de esa manera por el estudiantado. Se asume que
usar este tipo de problemas es una poderosa fuente para la construcción de aprendizajes en
las Matemáticas, pues al colocarse en contextos reales, el planteo y resolución de
problemas conlleva directamente a la identificación, uso y construcción de modelos
matemáticos.
Si bien se promueve el uso de problemas en contextos reales, los abstractos se consideran
muy importantes. Y más aún: lo que se pretende en última instancia es la construcción de
capacidades para la manipulación de los objetos matemáticos cuya naturaleza es abstracta.
La estrategia asumida se propone fundamentar pedagógicamente el paso desde lo concreto
a lo abstracto.
La organización del programa de estudios se realiza por medio de cinco áreas matemáticas:
Números, Geometría, Medidas, Relaciones y Álgebra, y Estadística y Probabilidad. Los
conocimientos matemáticos son la base de estos programas. No obstante se adopta un
enfoque basado no solamente en contenidos matemáticos. Lo que se pretende es el
desarrollo de mayores capacidades del ciudadano para enfrentarse a los retos del mundo del
que forma parte.
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Se asume la definición de competencia que usa el Programa Internacional de Evaluación
de los Aprendizajes de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico
(respectivamente PISA y OECD por sus siglas en inglés): “(…) capacidad de los alumnos
para aplicar conocimientos y habilidades, y para analizar, razonar y comunicarse con
eficacia cuando plantean, resuelven e interpretan problemas relacionados con distintas
33
Las capacidades se asumen como centrales. En primer lugar: aquellas de corto plazo y
asociadas a las áreas matemáticas que se seleccionaron; estas capacidades se denominan
aquí habilidades específicas. En segundo lugar: la generalización de estas habilidades
específicas a desarrollar en un ciclo educativo: habilidades generales. En tercer lugar y
solamente como una perspectiva general: la competencia matemática.
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situaciones.” (OECD, 2005, p. 23) Y se comparte el sentido de competencia matemática
que se plantea como:
(…) una capacidad del individuo para formular, emplear e interpretar las
Matemáticas en una variedad de contextos. Incluye razonar matemáticamente y
usar conceptos, procedimientos, hechos y herramientas para describir, explicar y
predecir fenómenos. Ayuda a los individuos a reconocer el papel de las
Matemáticas en el mundo y hacer juicios bien fundados y decisiones necesarias
para ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos. (OECD, 2010, p. 4)
Adoptar el significado de la competencia matemática de esta manera posee implicaciones
para este currículo escolar. En primer lugar aporta sentido y coherencia a las diversas partes
del mismo, es un poderoso instrumento para establecer sus fines generales y sus fronteras,
lo nutre y le da dirección. Es un medio para establecer ejes disciplinares curriculares
estratégicos, ofrece criterios para la presencia o ausencia de contenidos y motiva un
enfoque para la acción de aula. Por ejemplo, sostiene un enfoque que privilegia la
resolución de problemas, especialmente en contextos reales, fortalece la participación de la
identificación, construcción y uso de modelos, da sentido al fortalecimiento del lugar de
áreas como Estadística y Probabilidad, nutre el papel de las tecnologías.
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La competencia matemática, sin embargo, no organiza los planes de estudio. La
competencia matemática y las capacidades cognitivas superiores se desarrollan a partir de
las actividades cotidianas en el aula para el logro de las habilidades específicas y generales
(asociadas a las áreas matemáticas). Los conocimientos matemáticos y las expectativas de
aprendizaje sobre ellos son el punto de partida en cada ciclo y año lectivo.
El dominio de las habilidades en una área matemática y el desarrollo de la competencia
matemática se propone realizar a partir de la mediación pedagógica: la organización de las
lecciones y de las tareas matemáticas, y la acción directa del docente en el aula. Son varias
las estrategias que se pueden desarrollar en esa dirección. Entre ellas, el procurar que en la
acción de aula se realicen procesos matemáticos, es decir actividades transversales, que se
asocian a capacidades presentes en cada área para comprender y usar conocimientos, que
apoyen el desarrollo de la competencia matemática. Se plantean aquí cinco procesos
centrales: Razonar y argumentar, Plantear y resolver problemas, Conectar, Comunicar, y
Representar.
Razonar y argumentar trata de actividades mentales que aparecen transversalmente en
todas las áreas del plan de estudios y que desencadenan formas típicas del pensamiento
matemático: deducción, inducción, comparación analítica, generalización, justificaciones,
pruebas, uso de ejemplos y contraejemplos. Busca desarrollar capacidades para permitir la
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comprensión de lo que es una justificación o prueba en matemática, para desarrollar y
discutir argumentaciones matemáticas, para formular y analizar conjeturas matemáticas,
para usar fórmulas o métodos matemáticos que permitan la comprensión o desarrollo de
informaciones presentes.
Plantear y resolver problemas refiere al planteamiento de problemas y el diseño de
estrategias para resolverlos. Aquí se dará un lugar privilegiado a los problemas en contextos
reales. Se busca potenciar capacidades para identificar, formular y resolver problemas en
diversos contextos personales, comunitarios o científicos, dentro y fuera de las
Matemáticas. Se trata de capacidades para determinar entonces las estrategias y métodos
más adecuados al enfrentar un problema, para valorar la pertinencia y adecuación de los
métodos disponibles y los resultados matemáticos obtenidos originalmente, además de la
capacidad para evaluar y controlar el desarrollo de su trabajo en la resolución de problemas.
El énfasis que se desea dar a los contextos reales también impulsa una asociación con el
desarrollo de capacidades cognitivas para identificar, formular, diseñar, desarrollar y
contrastar modelos matemáticos del entorno con complejidad diversa.
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Conectar pretende el entrenamiento estudiantil en primer lugar en la obtención de
relaciones entre las diferentes áreas matemáticas, lo cual se deriva de las características
centrales de los quehaceres matemáticos: el carácter integrado de los mismos. Los
matemáticos profesionales aplican métodos y objetos matemáticos de unas áreas en otras.
Aunque las Matemáticas han evolucionado en distintas disciplinas o áreas, han llegado a
integrarse con el correr del tiempo. Esta integración es de tal nivel y el flujo de relaciones
de un lado a otro es tan grande que no insistir en esas conexiones y ese carácter unificado
haría perder la comprensión adecuada de lo que son las Matemáticas. este proceso busca
que se cultiven las relaciones entre las distintas partes de las Matemáticas escolares, además
del desarrollo de acciones para identificar dentro de situaciones no matemáticas aquellas en
las cuales es posible un tratamiento matemático. Y de igual manera motivar conexiones con
otras asignaturas así como contextos.
35
Comunicar es la expresión y comunicación oral, visual o escrita de ideas, resultados y
argumentos matemáticos al docente o a los otros estudiantes. Este proceso busca potenciar
la capacidad para expresar ideas matemáticas y sus aplicaciones usando el lenguaje
matemático (reglas de sintaxis y semántica) de manera escrita y oral a otros estudiantes,
docentes y a la comunidad educativa. Pretende que el estudiante desarrolle capacidades
para consignar y expresar con precisión matemática las ideas, los argumentos y
procedimientos utilizados así como las conclusiones a las que se hayan arribado, así como
para identificar, interpretar y analizar las expresiones matemáticas escritas o verbales
realizadas por otras personas.
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Representar pretende fomentar el reconocimiento, interpretación y manipulación de
representaciones múltiples que poseen las nociones matemáticas (gráficas, numéricas,
visuales, simbólicas, tabulares). El proceso busca favorecer la capacidad para elaborar y
usar representaciones matemáticas que sirvan en el registro y organización de objetos
matemáticos, para interpretar, modelar situaciones propiamente matemáticas, para
manipular distintas representaciones matemáticas de objetos matemático, persigue también
desarrollar capacidades para poder traducir una representación en términos de otras,
comprendiendo las ventajas o desventajas (o los alcances) de cada representación en una
situación determinada.
Los procesos son formas de acción cognitiva que pueden generar capacidades. Se acepta
como premisa que su realización constante en todos los años lectivos permite generar el
progreso de la competencia matemática. En el plan de estudios se señalan acciones para su
realización en cada ciclo educativo.
Matemáticas de calidad con profundidad
Tanto en la etapa de aprendizaje como en la de movilización y aplicación de los
aprendizajes se aboga por trabajar con problemas que posean niveles distintos de
complejidad. Es una importante demanda social que los ciudadanos puedan realizar
operaciones y procesos matemáticos de una mayor complejidad. Eso refiere a capacidades
matemáticas que pueden asociarse a la resolución de problemas, a la aplicación,
matematización o modelización, así como a mayores niveles en la justificación y
argumentación matemática.
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Además de trabajar con problemas con distintos niveles de complejidad es necesaria la
introducción de los contenidos matemáticos que juegan un papel crucial en la formación
escolar moderna. Por ejemplo, tópicos de geometría de coordenadas y de transformaciones
además de incluir una visión moderna de la Geometría, favorecen el tratamiento de otros
conceptos y procedimientos matemáticos, brindan instrumentos para poder usar las
Matemáticas en diversos contextos. Un tratamiento adecuado de las relaciones y funciones
es otro propósito que debe enfatizarse y cultivarse adecuadamente, pues éstas resultan
centrales para la formación matemática moderna. La Estadística y Probabilidad son parte
obligatoria de los conocimientos que debe tener un ciudadano en nuestro escenario.
El dominio en profundidad de algunos tópicos genera capacidades para poder aprender
otros temas con mayor facilidad (incluso sin el concurso docente). Por el contrario, el
contacto superficial con muchos tópicos no permite aprendizajes significativos y más bien
se convierte en obstáculo para el progreso de los aprendizajes.
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Además de trabajar con problemas con distintos niveles de complejidad es necesaria la
introducción de los contenidos matemáticos que juegan un papel crucial en la formación
escolar moderna. Por ejemplo, tópicos de geometría de coordenadas y de transformaciones
además de incluir una visión moderna de la Geometría, favorecen el tratamiento de otros
conceptos y procedimientos matemáticos, brindan instrumentos para poder usar las
Matemáticas en diversos contextos. Un tratamiento adecuado de las relaciones y funciones
es otro propósito que debe enfatizarse y cultivarse adecuadamente, pues éstas resultan
centrales para la formación matemática moderna. La Estadística y Probabilidad son parte
obligatoria de los conocimientos que debe tener un ciudadano en nuestro escenario.
El dominio en profundidad de algunos tópicos genera capacidades para poder aprender
otros temas con mayor facilidad (incluso sin el concurso docente). Por el contrario, el
contacto superficial con muchos tópicos no permite aprendizajes significativos y más bien
se convierte en obstáculo para el progreso de los aprendizajes.
El propósito de ofrecer matemáticas de calidad persigue brindar a la ciudadanía los mejores
instrumentos formativos para potenciar sus condiciones de vida en este contexto histórico.
En ese sentido, se busca dar a todos los sectores sociales y culturales un programa de
matemáticas moderno y sólido que promueva la equidad social. En todo el país se debe
poder implementar este currículo. El Estado deberá asumir las acciones requeridas para
asegurar esta equidad en todas partes.
Integración vertical de los planes de estudio
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En cada área matemática se pueden señalar ideas generales fundamentales y se pueden
describir las diferentes dimensiones asociadas o reconstrucciones que sobre las mismas se
han dado a lo largo de los distintos momentos históricos. De igual manera, nuevas ideas y
métodos se construyen cada día por medio de las comunidades matemáticas. Sin embargo,
no todas las ideas y los métodos matemáticos generales son pertinentes para introducirse en
los programas escolares; lo que se debe introducir son las ideas básicas que fundamentan el
edificio matemático y cuyo dominio genera las capacidades para acceder a otras, y aquellas
que al introducirse pueden propiciar condiciones relevantes para el ciudadano.
37
Los conocimientos y expectativas de aprendizaje sobre ellos se organizan en el plan de
estudios de manera integrada desde el primero al último año. Existe sustento
epistemológico y pedagógico para esa decisión: las Matemáticas no son una colección
dispersa y desarticulada de conceptos y procedimientos específicos; éstos se integran a
partir de ideas y métodos generales cuya construcción y ampliación han sido el resultado de
los quehaceres matemáticos.
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Se incluyen estas ideas y métodos con precisión. Este carácter básico y general hace que
sea importante que estén presentes en los distintos niveles del plan de estudios escolar, lo
que debe hacerse en distintas modalidades, profundidades y aproximaciones.
Hay otras razones importantes: con esta perspectiva se puede brindar más flexibilidad pues
es conveniente que los fines curriculares específicos no se establezcan con base en fronteras
rígidamente marcadas por niveles o ciclos educativos. Esta aproximación al mismo tiempo
permite enriquecer el significado de muchos de los tópicos, fines y potencialidades de los
mismos, al visualizarlos en toda su dimensión desde el inicio de la vida escolar. De esta
manera los tópicos en cada año se pueden ver como casos particulares o preliminares de
ideas más generales: por ejemplo, introducir regularidades y patrones para preparar las
funciones, manipulación de símbolos para preparar el manejo de expresiones algebraicas,
representaciones en coordenadas más tempranamente para evidenciar significados de las
figuras geométricas, etc.
Esta perspectiva, por lo tanto ofrece fundamento al docente para tomar decisiones
estratégicas sobre los momentos importantes en la que se introducen algunos elementos que
van a favorecer el aprendizaje de los mismos en años posteriores, y proporciona mejores
oportunidades para la coordinación y colaboración entre docentes de distintos ciclos y
niveles educativos sobre los tópicos a desarrollar.
Con esta visión, se decidió distribuir los conocimientos y habilidades del plan de estudios
en áreas matemáticas para todos los años desde el primero al último. De igual manera, los
procesos matemáticos y los ejes disciplinares o énfasis transversales que se adoptan aquí
intervienen en todo el plan de estudios.
Sentido histórico y adecuación al contexto educativo nacional
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38
El currículo escolar es apenas un medio para alcanzar un fin: mejores aprendizajes. Posee
un sentido histórico, o sea es temporal y se debe concebir para una etapa histórica precisa.
Cuando las condiciones sean otras en función de muchos factores (incluso no educativos)
deberá transformarse.
No se puede dejar de tener en la mira que el currículo debe ser implementado (enseñado y
aprendido), y esto remite a los protagonistas principales que lo llevan a la práctica:
docentes y estudiantes, así como a las instituciones que participan. Un alejamiento de sus
realidades solo puede contribuir al vacío y la esterilidad.
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No todos pueden aprovechar un currículo de la misma manera, y aunque el Estado debe
ofrecer uno de calidad para todos bajo un criterio de equidad, debe poseer la versatilidad
suficiente para ofrecer opciones distintas. La existencia de diversas inteligencias y talentos
debe ser atendida por un currículo nacional flexible.
Si bien al currículo no le corresponde dar respuesta plena a esas necesidades sí trata de
integrarlas de alguna manera; el lugar que se ha seleccionado para hacer eso es
precisamente en el trabajo con distintos niveles de profundidad de los contenidos a
aprender. De esta manera, se pueden modular los contenidos matemáticos de acuerdo a sus
estudiantes.
Ejes disciplinares
Aquí se adoptan cinco ejes disciplinares que atraviesan de forma transversal el plan de
estudios y fortalecen el currículo:





La resolución de problemas como estrategia metodológica principal.
La contextualización activa como un componente pedagógico especial.
El uso inteligente y visionario de tecnologías digitales.
La potenciación de actitudes y creencias positivas en torno a las Matemáticas.
El uso de la historia de las Matemáticas.
Los dos primeros ejes se asumen como articuladores, con lo que se quiere decir que no solo
permean todos los programas sino que sirven para vertebrar y articular los otros ejes y las
diferentes actividades que supone la implementación del mismo.
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Se da una asociación entre estos dos ejes que obedecen precisamente al enfoque principal
de este currículo: la resolución de problemas en contextos reales. Y es consistente con la
selección y conceptuación del proceso matemático Plantear y resolver problemas.
39
La resolución de problemas corresponde a la necesidad de asumir estándares cuya
conveniencia para la Educación Matemática ha sido ampliamente comprobada en la escala
internacional. La contextualización que se propone busca fortalecer un papel estudiantil
activo y comprometido con su aprendizaje, recalcando la identificación, uso y diseño de
modelos matemáticos adecuados para cada nivel educativo.
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El uso de la tecnología asume las tendencias contemporáneas de expansión intensa de los
instrumentos digitales y la necesidad de configurar una utilización lúcida y adecuada de la
misma. El uso de la historia de las Matemáticas responde a propósitos para brindar un
rostro humano a las Matemáticas y lograr una acción sinérgica de los otros ejes.
Estos ejes disciplinares se operacionalizan en la malla curricular de manera precisa
mediante contenidos, diversas indicaciones y sugerencias.
La incorporación explícita de la búsqueda de actitudes y creencias positivas sobre las
Matemáticas se sintoniza con la premisa de que los espacios actitudinales y socioafectivos
son cruciales para los aprendizajes. Se plantean aquí cinco actitudes a desarrollar:





Perseverancia.
Confianza en la utilidad de las Matemáticas.
Participación activa y colaborativa.
Autoestima en relación con el dominio de las Matemáticas.
Respeto, aprecio y disfrute de las Matemáticas.
Estos ejes participan en el plan de estudios de distintas maneras y énfasis de acuerdo al área
matemática y los niveles educativos.
Además, se busca sintonizar con los cuatro ejes transversales implementados como política
educativa costarricense para todas las disciplinas escolares:
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



Cultura Ambiental para el Desarrollo Sostenible
Educación Integral de la Sexualidad
Educación para la Salud
Vivencia de los Derechos Humanos para la Democracia y la Paz
La manera en que se han introducido estos ejes es por medio de problemas y diversas
actividades de aprendizaje que se han seleccionado para la acción de aula. Sin embargo, no
en todas las áreas matemáticas se pueden introducir de la misma manera. También las
estrategias pedagógicas que se plantean permanentemente en la construcción colaborativa
de aprendizajes matemáticos y del rigor en el pensamiento favorecen la formación de una
ciudadanía socialmente responsable y crítica, que constituye un nutriente de la vida
democrática. El propósito de incorporar estos ejes transversales se ve favorecido
fuertemente por este enfoque curricular que fortalece la relación de la enseñanza
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aprendizaje de las Matemáticas con los entornos sociales y culturales, los que se incorporan
de una forma natural en los planes de estudio.
La estructura del currículo
Este currículo posee varios acápites:
I. Fundamentos
II. Ejes
III. Gestión y planeamiento pedagógicos
IV. Metodología
V. Evaluación
VI. Programas de estudio para cada ciclo educativo
VII. Otros elementos
En Fundamentos se consignan los principales términos y conceptos que sostienen el
currículo y en Ejes se describen los ejes disciplinares curriculares. Gestión y planeamiento
pedagógicos incluye indicaciones generales para todos los ciclos sobre estos temas.
Metodología incluye indicaciones generales para todos los ciclos educativos sobre estilos
para la organización de las lecciones, sobre las áreas y los procesos, sobre las actitudes y
creencias, sobre el uso de la tecnología y la historia de las Matemáticas. En Evaluación se
aportan indicaciones y principios generales de evaluación.
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La última parte, Otros elementos, incluye una propuesta de secuencia temática para la
implementación de los tópicos de las áreas matemáticas para cada año lectivo (donde es
pertinente), un glosario (con términos clave que se usan), una tabla de conocimientos (que
permite visualizar globalmente el plan de estudios en cuanto a contenidos) y la bibliografía
general que se utilizó.
41
Los programas de estudio están organizados por medio de los ciclos educativos del sistema
educativo costarricense. En esta parte se encuentran los conocimientos y habilidades
matemáticas así como numerosas indicaciones puntuales adicionales que acompañan de
manera inmediata conocimientos y habilidades específicas sobre método, gestión y
evaluación. Además se incorporan sugerencias (siempre por ciclo) sobre procesos
matemáticos, usos de tecnologías y fortalecimiento de actitudes positivas hacia las
Matemáticas. Estas indicaciones más específicas son esenciales para delimitar y
ejemplificar estos contenidos. Finalmente se introducen algunas indicaciones de evaluación
para cada ciclo en cada área.
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Con el propósito de crear un documento funcional y práctico, de fácil lectura, se decidió no
incluir a lo largo del texto la gran cantidad de referencias de resultados o experiencias que
fueron usadas en este diseño curricular, no obstante los documentos consultados pertinentes
son incluidos en la bibliografía final y, además, se colocan algunas notas con referencias
para uso de docentes o investigadores. Este currículo exhibe una profunda integración de
sus distintos componentes (teóricos, pedagógicos y prácticos), coherencia entre
fundamentos y malla curricular, así como una vocación expresa de apoyo al docente; se
asume la visión de que con estos elementos se ofrecen mejores posibilidades para su
implementación y nutrir así el progreso de la Educación Matemática del país.
Las áreas matemáticas
Las cinco áreas matemáticas seleccionadas participan con distinta intensidad. La siguiente
gráfica de estos programas de estudios ha sido construida tomando en cuenta los lugares
relativos que se pueden calcular con base en los tiempos que se espera sean dedicados a los
tópicos integrados en las mismas.
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
Números
Medidas
Geometría
Relaciones y álgebra
Estadística y probabilidad
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Figura 1. Las 5 áreas matemáticas en los cuatro ciclos educativos.
Relaciones y álgebra es constante en los dos primeros ciclos, se duplica en el tercero y
posee el mayor espacio en el Ciclo diversificado. Geometría es constante en la primaria y
aumenta un poco en los siguientes ciclos. Números ocupa un lugar muy grande en los dos
primeros ciclos, es relevante en el tercero y disminuye mucho en el diversificado.
Estadística y probabilidad es constante en los ciclos I y II, aumenta en el III y el
Diversificado, sin llegar a superar el lugar de Relaciones y álgebra. Aparte de una
integración entre los diferentes niveles y ciclos educativos por medio de áreas matemáticas
comunes, se ofrecen algunas perspectivas:
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Números
Una integración de los temas de números y operaciones con un énfasis en la realización de
cálculos y fortalecimiento del sentido numérico. Se trata de un enfoque más integrado de
números, operaciones y cálculos, una perspectiva especial de estrecha conexión entre las
operaciones y las representaciones numéricas. En la secundaria, a veces los grandes
conjuntos numéricos (Z, Q, R) se han colocado de una manera abstracta, que apela más a la
memorización de propiedades que a la utilidad de los números y sus operaciones. Se desea
enfatizar un sentido muy práctico de los números y sus propiedades, especialmente
mediante la resolución de problemas extraídos del entorno. Un tratamiento conjuntista de
los sistemas numéricos se guarda para 10º año, y se realizará en el área de Relaciones y
álgebra aunque será de utilidad también en Estadística y probabilidad.
Medidas
Se asume el área de las medidas como una fuente muy rica para introducir objetos y
procedimientos matemáticos, para hacer conexiones con otras áreas matemáticas y no
matemáticas, y con muchas situaciones del entorno. Las medidas pueden apoyar el estudio
de varios conceptos matemáticos, como el cambio y la invariancia bajo algunas
transformaciones. De la misma forma, otro ejemplo, las unidades de medidas se pueden
manipular como variables (especialmente cuando se hacen conversiones de unidades) y por
lo tanto ser capaces de motivar un tratamiento por medio de procedimientos algebraicos
más generales. Temas como la proporcionalidad matemática o la semejanza de figuras se
pueden generar usando mapas, que expresan relaciones de medidas de posiciones mediante
escalas diversas. El uso de escalas no lineales, por ejemplo logarítmicas, pueden usarse para
crear modelos reales, en los niveles finales de la educación secundaria.
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Los objetos de la geometría se usan como medio para potenciar el pensamiento, la
argumentación y el sentido de la prueba en matemáticas. Pero además se incluye énfasis en
el sentido espacial, el movimiento, y el uso de coordenadas y una relación especial con el
álgebra, y las transformaciones en el plano. La visualización, identificación, manipulación
de formas y elementos matemáticos en el espacio se incluyen desde el primer Ciclo al
Diversificado, se consideran relevantes en la preparación que requiere el ciudadano en
varios contextos (cotidianos, profesionales, científicos). La presencia de la geometría
analítica era una ausencia en los programas que no permitía comprender el significado en
términos modernos de la geometría. Su inclusión cuidadosa en la propuesta desde la
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Geometría
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primaria permite trabajar con mayor amplitud y rigor la manipulación de los objetos
matemáticos y apoya la visualización de sus conexiones con otras áreas.
Las transformaciones en el plano (simetrías, traslaciones, reflexiones) no solo refuerzan el
tratamiento analítico de la geometría, sino también completan un énfasis en el estudio del
movimiento de las formas geométricas y su visualización que se realiza desde la primaria.
Esto prepara en habilidades muy importantes para diversas profesiones y artes como para la
vida cotidiana.
Relaciones y álgebra
Se propone integración de los temas de álgebra, relaciones y funciones y su inserción desde
la primaria. En este currículo las funciones juegan un papel muy importante, esencial para
la preparación en competencias. Esta formación empieza desde la primaria de manera
gradual y pedagógicamente adecuada (con patrones, sucesiones). No se espera hasta 10º
año para trabajarlas, donde ahora se suele trabajar con un enfoque conjuntista abstracto con
el que tienen dificultades los estudiantes. El enfoque que se favorece en esta propuesta
enfatiza la relación entre variables y el cambio, con la presencia de varias representaciones
matemáticas y subrayando el carácter de modelo que puede tener. Con esta nueva
perspectiva se adelanta el tratamiento de estos temas e incluso se trabaja las funciones
lineales y cuadráticas antes de 10º año. Se plantea una integración entre ecuaciones lineales
y funciones lineales en 8º año y ecuaciones cuadráticas y funciones cuadráticas en 9º año,
lo que permite fortalecer las conexiones entre estos tópicos y profundizar su sentido
matemático.
Con este enfoque se potenciará el conocimiento y dominio de este tema crucial en
matemáticas y en varias ciencias y profesiones. Para la educación superior del país será una
ganancia neta en las calidades y competencias que tendrán los estudiantes egresados de la
secundaria con esta preparación.
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El enfoque que se propone en estos programas enfatiza la identificación y uso de las
funciones como representaciones y modelos de lo real, lo que favorece habilidades y
capacidades que son de gran valor para las ciencias, las tecnologías y las artes.
Estadística y probabilidad
Se potencia el lugar de Estadística y probabilidad desde el primer ciclo hasta el
diversificado. Este énfasis además de permitir visualizar una relación muy estrecha con el
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entorno y contribuir a actitudes y creencias positivas sobre las matemáticas. Una
preparación gradual y sistemática en el tratamiento de la información, la variabilidad y el
azar es una ganancia neta para diversas profesiones.
La preparación matemática que brindarán estos programas será superior a la que brindan
los actuales, recargados, con pocas conexiones dentro y fuera de las matemáticas, donde la
perspectiva de trabajo en profundidad no está presente, sin resolución de problemas como
enfoque principal, sin uso apropiado de tecnologías, sin cultivo de capacidades y
competencias cognoscitivas y cognitivas alto nivel.
Estructura del plan de estudios
La organización específica de los tópicos matemáticos se realiza por medio de las cinco
áreas matemáticas que se han seleccionado: conocimientos y habilidades se organizan de
acuerdo a esas áreas. Esta organización de contenidos se realiza para todos los años
escolares. En cada ciclo educativo se incluyen los programas de cada área matemática,
consignados año por año.
Ciclo educativo
Estructura
Secciones de cada área
Introducción




Números.
Medidas.
Geometría.
Relaciones y álgebra.
Estadística y probabilidad.
Introducción
Propósito de la enseñanza
Habilidades generales
Conocimientos, habilidades
específicas e indicaciones
puntuales por año
 Indicaciones específicas sobre
evaluación
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La sección “Conocimientos, habilidades específicas e indicaciones puntuales” se organiza
en forma tabular en tres columnas: la primera con los conceptos, la segunda con las
habilidades específicas asociadas a los conocimientos, y en una tercera columna se dan
indicaciones puntuales sobre los alcances de los contenidos, con la inclusión de ejemplos o
sugerencias de método. Las habilidades específicas se numeran para cada año lectivo.
45
En cada área de cada ciclo se incluye una introducción que plantea ideas generales del área
y hace referencia a los otros ciclos. “Propósito de la enseñanza” resume lo que se pretende
en el área durante el ciclo, que se completa con “Habilidades generales” que se desea
promover en el ciclo; se trata de una síntesis de las habilidades específicas del área.
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La columna de “Indicaciones puntuales” es una forma novedosa en Costa Rica de ofrecer
no solo breves sugerencias de método asociadas a conceptos y habilidades, sino de
especificar lo que se desea que se implemente en cada caso, visualizando el significado de
las habilidades propuestas. No existe una relación mecánica entre habilidades específicas e
indicación, en muchas ocasiones una indicación refiere a varias habilidades; en otras, no
hay indicación para un grupo de habilidades específicas. En estas indicaciones puntuales se
incluyen sugerencias sobre la realización de los procesos matemáticos, pertinencia o lugar
de los mismos, ejemplos, métodos posibles, y también sobre las actitudes y creencias, así
como sobre el uso de tecnologías y de la historia de las matemáticas.
Conclusiones
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Esta propuesta de nuevos programas de matemáticas busca responder a las necesidades de
la formación matemática escolar que requiere el país, con base en algunos lineamientos:
1. Asume una perspectiva de la competencia matemática (que orienta el currículo y la
formulación de los planes de estudio), que busca el progreso de las capacidades del
ciudadano para comprender y usar las matemáticas en diversos contextos.
2. Asume la resolución de problemas como el enfoque principal del currículo, para nutrir
la organización de las lecciones que propone, para realizar procesos matemáticos y
avanzar la competencia matemática.
3. Adopta como premisa que el estudiante debe ser activo y participativo para lograr la
construcción de los aprendizajes.
4. Asume un docente también activo y protagonista clave para la construcción de
aprendizajes y para la asociación de la acción de aula con la cultura y el conocimiento
matemáticos.
5. Busca favorecer el progreso de capacidades cognitivas de mayor nivel, con acciones en
los contenidos, la metodología y la gestión, con la introducción de procesos
matemáticos transversales, y con el trabajo pedagógico equilibrado con problemas de
complejidad creciente.
6. Propone una contextualización activa que invoca la identificación, uso y construcción
de modelos.
7. Introduce un uso importante de las tecnologías que permita responder a un escenario
histórico y a generaciones de jóvenes que así lo demandan, y ofrece orientaciones
precisas para su uso en la acción de aula.
8. Plantea el uso de historia de las matemáticas como un poderoso recurso para mostrar un
rostro humano de las matemáticas y como una fuente valiosa de problemas en contextos
reales.
9. Incluye el cultivo de actitudes y creencias positivas sobre las matemáticas de manera
explícita y operativa en los planes de estudio.
10. Propone un fortalecimiento de la Estadística y Probabilidad en todos los años lectivos,
incluye geometría con visualización espacial, movimiento de objetos, coordenadas y
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relación con el álgebra, plantea un lugar al desarrollo del sentido numérico y a los
cálculos y aproximaciones, realiza una introducción temprana y gradual de relaciones y
álgebra y aporta un fundamento pedagógico para el aprendizaje de las funciones, y
ofrece a las medidas un sentido renovador de conexión y de contextualización.
11. Plantea los planes de estudio específicos en plena consistencia con la fundamentación
teórica del currículo.
12. Organiza los programas con una integración vertical que favorece las conexiones entre
ciclos y brinda una visión estratégica de la enseñanza aprendizaje.
13. Adopta una estructura novedosa y útil de la malla curricular, con amplias indicaciones y
ejemplos de método, gestión y evaluación que acompañan de manera específica los
conocimientos y expectativas de aprendizaje en cada ciclo educativo y en cada área
matemática.
Actualmente la propuesta está siendo analizada por el Consejo Superior de Educación,
órgano responsable por la aprobación de los programas de estudio de todas las disciplinas
escolares.
REFERENCIAS
OCDE (2005). Informe PISA 2003. Aprender para el mundo del mañana. España:
Santillana Educación S.L.
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OECD (2010). PISA 2012 Mathematics framework. Descargado del sitio Web
http://www.oecd.org/dataoecd/8/38/46961598.pdf el 6 de marzo del 2012.
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POR UMA EDUCAÇÃO (MATEMÁTICA) PARA ALÉM DA LÓGICA
DO CAPITAL
Marco Aurélio Kistemann Jr.
Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF)-Brasil
[email protected]
31K (Educação Matemática Financeira)
RESUMO
Nesta conferência buscaremos discutir a atual situação da educação (matemática), que há
tempos vem sendo colonizada por princípios alicerçados na lógica mercantilizadora do
Mercado Econômico. Utilizaremos três quadros iniciais e um quadro final para apresentar
nosso ponto de vista construído e compartilhado com o referencial teórico escolhido. Desse
modo, fica explícito que o escopo desse trabalho introdutório seja o de apresentar a força da
lógica de práticas neoliberais que coadunam-se com as lógicas do Mercado Econômico, não
só influenciando, mas colonizando e dominando os contextos e as realidades educacionais.
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TRABALHO
Nesta conferência não buscaremos alardear o pânico ou o pessimismo, ainda que o tema
assim pudesse ser conduzido confortavelmente, mas tiraria toda a autenticidade das ideias
apresentadas aqui e fruto das reflexões do autor. Há influências no modo de pensar do
autor, resultado dos referenciais teóricos escolhidos, mas buscou-se transcender essas
influências por meio da busca de um pensamento reflexivo, autônomo e até certo ponto
inédito, fruto das experiências vivenciadas pelo autor na área educacional como
educador/matemático. Esclarecemos que em muitos momentos, embora a fala esteja voltada
para a Educação em geral, estaremos nas entrelinhas considerando contextos de
Educação/Matemática, inseridos no contexto geral da Educação e que são atingidos
severamente pelas políticas públicas criticadas neste texto.
Foi-se o tempo em que a sociedade habitada por nossos antepassados não sofria
intervenções e influências diretas e vorazes das teorias e práticas guiadas pela lógica dos
Mercados Econômicos. Os tempos são líquidos e são outros. Cada ato ou decisão na
sociedade dita do conhecimento e do espetáculo se vê fiscalizada e alicerçada na lógica do
capital, na lógica das políticas neoliberais, na lógica de modelos econômicos.
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Através de três quadros apresentaremos nossas reflexões, buscando num último quadro
alinhavar nossas ideias e dar um diagnóstico parcial sobre o tema apresentado. Desse modo,
constituem-se como objetivos de nosso trabalho: (i) apresentar quadros que procurem
demonstrar a força da lógica de práticas (neoliberais) embasadas no Capital e suas
influências na educação; (ii) discutir a exclusão social gerada por essa lógica e a gênese de
realidades desiguais; (iii) apresentar de forma introdutória os impactos da lógica do Capital
na Educação/Matemática e opções para transcender essa lógica.
Quadro 1: A lógica do Mercado e do Capital na Educação/Matemática: realidades e
perversidades da comodificação educacional.
Ao contrário do que muitos cidadãos pensam, não somos mais plenamente controladores de
nossas próprias ações. É evidente que certas decisões ainda são nossas, mas se atentarmos
para as entrelinhas das ações cotidianas, num mundo globalizado e hegemonizado pelo
projeto neoliberal conservador, a lógica dos mercados econômicos vem influenciando,
substancialmente, nossas mais básicas atividades e decisões.
Atendo-nos neste artigo à área da Educação/Matemática, mais do que nunca, a lógica dos
mercados econômicos influenciam nos mínimos detalhes as decisões macropolíticas que se
impõem sorrateiramente nos sistemas educacionais ao redor do mundo. De acordo com
Apple (2005), o processo de imposição/expansão do projeto neoliberal que assola o mundo
e como se manifesta este projeto no cotidiano das escolas vem dificultando e, em geral,
impedindo o exercício pleno de práticas pedagógicas emancipatórias.
O corriqueiro, o despercebido acaba predominando e favorecendo a mercantilização da
Educação/Matemática. O que hoje presenciamos de forma tão ostensiva são sistemas
educacionais a serviço de índices e resultados. As influências de órgãos econômicos se
revelam de forma contundente nas políticas subservientes dos governos e dos ministérios da
educação de vários países. São testes, provas, currículos prontos e aculturais entregues na
forma de pacotes educacionais seguindo a ideologia e a cultura apregoada pelos
representantes do Estado a serviço do Mercado.
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Políticas neoliberais impactam a Educação/Matemática em diversas áreas pelo mundo
afora. Políticas desenvolvidas no hemisfério norte vêm sendo há anos exportadas e, em
seguida, apropriadas em várias outras nações, em geral, com pouca compreensão tanto das
sérias críticas a elas feitas, como dos difundidos efeitos negativos gerados quando nos
países que as originaram.Um bom exemplo que ilustra nossa fala foi a política educacional
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Avaliações em larga escala, cada vez mais frequentes, buscamcomparações entre os
resultados obtidos por agrupamentos escolares, buscando atender aos pressupostos
mercadológicos. A oferta de livre crédito a muitos países vem sendo vinculada, e tem como
pré-requisito, o atendimento às normas previstas e impostas pelos agentes representantes de
governos que cerceiam e comandam a lógica do Capital (BAUMAN, 1998).
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adotada como lei pelo governo americano a partir de janeiro de 20024, que apresentava uma
série de iniciativas transformadoras no que se refere à regulação e controle ostensivos de
aspectos centrais da educação (APPLE, 2005).
Para Apple (2005), a maneira pela qual a NCLB e outras políticas, análogas a essa,
adotadas por vários países em desenvolvimento define o sucesso e o fracasso, e as práticas
calamitosas associadas a esses processos, vêm causando severas desestruturações no
cotidiano escolar. Nas escolas públicas, com raras exceções o corpo docente se vê refém
dos currículos que recebem prontos e devem apresentar para seus alunos, para mais tarde
estes últimos serem aferidos através de avaliações que premiarão ou punirão as escolas e os
professores que não cumpriram as metas pré-estabelecidas e inegociáveis (políticas de
bônus por rendimentos atrelados a índices avaliativos).
Seria uma imensa ingenuidade não enxergarmos o óbvio, ou seja, não vermos a relação entre
privatização e controle federal e mercadológico crescente e suas intervenções na área
educacional, por meio de medidas como as explicitadas através das avaliações e o aferimento
de seus resultados, delineando assim as regras de conduta e de facilitação ou não de
empréstimos aos países ou escolas que cumprirem suas metas. O movimento rumo à
mercantilização e à imposição das lógicas do Capital requerem a produção de informações
aculturais e estandartizadasbaseadas em processos e “produtos” também estandartizados, de
forma a possibilitar comparações para que os indivíduos-consumidores e “clientes” tenham
informações relevantes a fim de fazerem suas escolhas no mercado (KISTEMANN JR,
2011).
É mister citarmos, que a estranha combinação de mercantilização, por um lado, e
centralização do controle e fiscalização, por outro, não está ocorrendo apenas na
Educação/Matemática, bem como não se concentra num único grupo de países
desenvolvidos ou em desenvolvimento.Trata-se, segundo Katz (2001) de um fenômeno
mundial e, apesar de existirem esforços muito reais e, frequentemente, bem sucedidos, de
oposição a esse fenômeno, isto não significa que as conjecturas básicas atrás da lógica do
Capital e das formas neoliberais, neoconservadoras e neogerenciais não venham causando
um forte e longo impacto nas sociedades, em suas instituições e nos indivíduos que
compõem esse cenário global.
Em diversas nações ocorreram tentativas, mais do que bem sucedidas, no sentido de
reestruturar as instituições públicas (JESSOP, 2002). Os objetivos principais dessa
reestruturação podem ser resumidos como: assegurar que o Estado servisse a interesses da
lógica do Mercado, fazendo com que as operações internas do Estado moldassem aquelas
A política em questão denominava-se “No ChildrenLeftBehind”(NCLB) (ver Jennings,
2003,p.299-302) imitada, independente das adequações necessárias a cada realidade cultura e social,
tal política foi adotada em vários países, inclusive no Brasil, promovendo, de um lado, a quase
totalidade das crianças nas escolas de nível básico , sem que se preocupasse muito com a ampliação
do número de escolas e da adequação dessas escolas para o recebimento dos alunos. De outro lado
instaurou-se de vez o sucateamento da carreira docente, marcadas por salários ultrajantes, má
formação docente com a ampliação de cursos superiores de qualidade duvidosa e deficiente cursos
de extensão em serviço para esses profissionais. Em suma, mais um pacote educacional teve que ser
aceito sem que se discutisse as validades das propostas impostas.
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usadas nos negócios, “tirando a política da esfera das instituições públicas”, o que de acordo
com Ball (2003), consiste em reduzir gradativamente a possibilidade de as instituições
governamentais ficarem sujeitas às pressões políticas do eleitorado e dos movimentos sociais
progressistas, travestindo as instituições educacionais, de níveis básicos e universitários
como instituições a serviço das lógicas de um Mercado e de rotinas econômicas bem
determinadas e executáveis, independente da cultura ou do lugar.
A remoção do poder das políticas das instituições governamentais baseia-se, acreditamos, em
crenças mais do que equivocadas e ingênuas de Estado e de Mercado. Enquanto algumas
correntes econômicas propagam a ideia de que os mercados são impessoais e imparciais, eles
são, de fato, altamente políticos e instáveis. Outros pontos merecem ser adicionados a esse.
Para garantir sua sobrevivência, o Mercado precisa procurar maneiras de ultrapassar os
limites estabelecidos pelas legislações governamentais.
De modo crescente e praticamente irreversível, isso tem significado que os limites
estabelecidos para dividir as partes não-Mercado de nossas vidas tiveram que ser alargados
para que estas esferas pudessem ser abertas à comodificação e ao lucro. Sob tais pressões,
processos de trabalho estandartizados e competitivos começam a dominar as vidas dos
cidadãos e das instituições sociais, em destaque a escola e a educação, como um todo, recémmercantilizados. Nas palavras de Leys (2003), “os fatos sugerem que as políticas dirigidas
pelo Mercado e que atingem diretamente nossas instituições escolares, podem levar a uma
rápida erosão, fora do comum, de valores e instituições coletivas seculares,
democraticamente determinadas”.
Essas argumentações podem parecer abstratas e particulares, situadas, mas falam de
mudanças significativas e concretas nas instituições sociais, dentro e fora da esfera
educacional. Há duas décadas, segundo Apple (2005), testemunham-se esforços coordenados
e determinados não apenas para reconstruir uma economia de mercado ”liberal”, mas uma
sociedade e uma cultura de mercados “liberais”. Nas palavras de Habermas (1971), “o
esforço é no sentido de fazer com que o “sistema” colonize totalmente a vida no mundo“.
Finalizamos esse primeiro quadro afirmando que, é necessário reaprender o significado da
reconstrução do cívico em nossas escolas, em nossa vida. Cremos que a
Educação/Matemática cumprirá um papel fundamental ao realizar esse empreendimento,
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Em lugar de uma sociedade de cidadãos, com poder democrático para assegurar a eficiência
e o uso correto dos recursos coletivos, vivenciamos essa sociedade de “auditores”,
convivendo com uma cultura punitiva de “tabelas de aferições”, visando demonstrar a
eficiência relativa e a ineficiência das universidades e escolas. De acordo com Apple (2005),
a natureza difundida destas fiscalizações e pressões de avaliação e de mensuração impede,
severamente, o desenvolvimento de outros conceitos de eficiência e de democracia.
51
O neoliberalismo exige a produção constante da evidência de que cada indivíduo está
cumprindo suas tarefas “com eficiência” e de uma forma “correta”, ao examinar os efeitos da
junção de tendências aparentemente contraditórias dos discursos e das práticas neoliberais e
neoconservadoras, sendo exatamente isto o que está acontecendo em todos os níveis da
educação. Vivenciamos atualmente o que Leys (2003) denomina de “cultura de auditoria”
(auditculture).
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alertando, entretanto que tal empreendimento só possa ser efetivado na medida em que
consigamos preservá-la dos grupos que a veem como um produto a mais a ser consumido e
mensurado.
Quadro 2 : Excluindo socialmente, segundo a lógica do Capital
Na introdução de seu livro, “Marx: a teoria da alienação”, IstvánMészarós apresenta uma
citação de Karl Marx:
A teoria materialista de que os homens são produto das
circunstâncias e da educação e de que, portanto, homens
modificados são produto de circunstâncias distintas e de educação
modificada, esquece que as circunstâncias são modificadas
precisamente pelos homens e que o próprio educador precisa ser
educado. Leva, pois, forçosamente, à divisão da sociedade em duas
partes, uma das quais se sobrepõe à sociedade. A coincidência da
modificação das circunstâncias e da atividade humana só pode ser
apreendida e racionalmente compreendida como prática
transformadora.
Crermos no condicionamento, como Paulo Freire nos proporcionou refletir profundamente,
é, ao mesmo tempo, desmistificar crenças que reifiquem a celebração do homem como ser
determinado e produto de fatores externos sociais. Não podemos negar que as relações
humanas nos dias atuais, mais do que em outrora, vêm sendo marcado por desigualdades, em
todos os níveis, fruto da reificação do homem determinado e limitado quanto às suas ações
pelas normas do Mercado.
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Falamos em países desenvolvidos e emergentes, assim como falamos de classes dominantes
e classes dominadas, quando nos referimos às desigualdades que são resultado de um longo
processo histórico que abrange fatores econômicos e políticos. Dentro dessas disparidades,
situam-se as desigualdades educacionais. A Educação/Matemática não pode ser vista nem
como causa dessas diferenças nem como um remédio que possa saná-las.
A partir dos anos 1970, iniciou-se o declínio do emprego industrial. A mão-de-obra passa a
ser despachada facilmente para as multinacionais, onde são praticados salários mais baixos e
menor controle ambiental. É o começo da desregulação domercado de trabalho, implicando
na queda de salários inclusive para operários altamente qualificados. De acordo com Santos
(1997), esse período é marcado pela fragilização crescente da atuação sindical, cabendo às
pessoas se contentarem com a lógica depredadora que sinaliza que a educação deve ser
valorizada por conta da competitividade e, não mais por causa de seus ideais de cidadania.
Marx já havia previsto esse desdobramento do capitalismo, quando imaginava que o sistema
passaria da mais-valia absoluta, exploradora extrema da força de trabalho, para a mais-valia
relativa, voltada para a exploração da inteligência do trabalhador. Para Marx, a jornada de
trabalho diminuiria, uma vez que a economia intensiva de conhecimento acarretaria tal efeito
e, dentro das características intrínsecas ao capitalismo, afirmava que os problemas sociais
iriam se agravar, mesmo que a produtividade crescesse. Marx enxergava, no exército
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industrial de reserva, os trabalhadores destituídos da chance de trabalhar, cuja principal
função seria a de rebaixar o valor da mão-de-obra. Ao lado desses, estaria uma espécie de
estolho da sociedade, próximo da noção de “excluído social”, porque não teria qualquer
aproveitamento produtivo.
De acordo comCastel (1998), o progresso pode trazer períodos de transições, e é necessário
um olhar atento para, gradativamente, minimizar disfunções gritantes que possam estar se
estabelecendo e assegurar o mínimo de coesão entre os grupos sociais. Para ele o Estado, na
colaboração de seus cidadãos conscientizados, é o ator principal nessa conjuntura, e o ideal
social-democrata parece ser na sua gênese, a forma de governo mais adequada para dar conta
desses processos, exercendo a força motriz que deve assumir as responsabilidades pela
melhoria progressiva da condição da sociedade.
Porém, a realidade vem sendo de outra natureza. A lógica da globalização e do
fracionamento das cadeias produtivas, muito oportuna para a vitalidade do capitalismo e da
propagação de suas artimanhas excludentes, incorporou os bolsões de trabalho barato
mundiais sem necessariamente reconhecer o seu devido valor, basta que relatemos o
contínuo e desordenado crescimento do mercado informal de trabalho, refletindo nitidamente
o quadro social precário e gerador de miséria. Em particular nos países mais pobres, os
governos atuais, comprometidos com a estabilidade, não têm orçamento suficiente nem
estruturas eficazes para garantir a sobrevivência do que Bauman denomina de lixo humano
(BAUMAN, 1998).
Diante de tudo isso, evidenciamos nossa convicção de que na Educação/Matemática pode
estar uma das esperanças mais concretas de inversão desse quadro caótico e depredador
humano, desde que conduzida de forma libertadora e conscientizadora de seus cidadãos. Tal
consideração nos faz refletir criticamente sobre o pouco interesse efetivamente evidenciado
pelos detentores do poder político e econômico em proporcionar educação de qualidade, não
apenas formal, mas, sobretudo, de qualidade conscientizadora, já que, mesmo na condição de
excluídos, detêm potencial revolucionário.
A Educação/Matemática, nessa perspectiva, dirige-se ao ser humano integral, englobando
todas as dimensões de sua relação com o seu entorno. Assim, a escola deixa de ser o único
espaço de obtenção de informação, pois ela está presente em todos os meios de comunicação.
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Entendemos que a Educação/Matemática de qualidade formal e política engendra-se como
instrumento de formação ampla, de lutas de direitos de cidadania e da emancipação social,
preparando as pessoas e a sociedade para a responsabilidade de construir, coletivamente, um
projeto de inclusão e de justiça social. Esse tipo de Educação/Matemática tem como escopo a
inclusão social, de modo que cada indivíduo se torne apto ao questionamento, à
problematização, à tomada de decisões, buscando as ações coletivas possíveis e necessárias
ao encaminhamento dos problemas conjuntos e individuais (KISTEMANN JR, 2011).
53
Esta exclusão e marginalização, verificada através da crescente guetorização de milhares de
pessoas ao redor do mundo, é uma produção socioeconômica que se origina nas estruturas de
base da sociedade, na organização do trabalho e no sistema de valores dominantes a partir
dos quais se repartem os lugares e se fundam as hierarquiasmercantilizadoras, atribuindo a
cada um sua dignidade ou sua indignidade social (CASTEL, 1998).
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Concordamos com Freire quando este considera que um dos principais objetivos do processo
educativo seja o de elaborar os instrumentos de análise e da descoberta, escolha e integração
das informações disponíveis.
Nessa dimensão, a escola se redefine como o espaço democrático de disseminação de
valores, de tolerância e respeito às diferenças, de produção e disseminação de conhecimento
e de convivência humana e social, cultural e política, levando em conta a realidade das
relações de trabalho (FREIRE, 1980). Não podemos ser ingênuos de reconhecer que a
realidade se faz presente e é cruel, na medida em que a evolução econômica demonstra que a
formação profissional permanente tende a privilegiar uma referência gerencial e
economicista, subordinando prioritariamente a educação dos indivíduos às exigências da
produtividade econômica (McLAREN, 1998).
Finalizamos este segundo quadro, reiterando que não basta à escola preparar para o bem
viver, acreditamos ser necessário que ela estimule e propicie esse bem viver. A primordial
condição para que isso ocorra é que a educação se apresente enquanto relação humana
dialógica que garanta a condição de sujeito crítico-reflexivo tanto da parte do educador
quanto da parte do educando.
Quadro 3 :A (in)corrigível lógica do Capital e seus impactos sobre a sociedade e a
Educação/Matemática: um ponto de vista.
Muito se fala sobre a Educação, ou seja, que a escola e seus agentes devam preparar e qualificar
para a vida, para o mercado (de trabalho, inclusive). Neste caso, revela-se o que foi até aqui
descrito, qual seja a educação seguindo as normas da comodificação (tudo é um produto e é
vendável) e do Mercado Econômico, onde aqueles que estão favorecidos continuarão favorecidos
em detrimento da ampla massa de indivíduos cada vez mais estabilizados e sacramentados como
“lixo humano” (BAUMAN, 1998).
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Em contraposição a esse contexto, acreditamos que pensar a sociedade tendo como parâmetro o
ser humano exige a superação da lógica do capital desumanizadora que tem no individualismo, no
lucro e na competição seus fundamentos. Nesse sentido, de acordo com Gramsci (1984), educar é
colocar fim à separação entre Homo faber e Homo sapiens, resgatando o sentido estruturante da
educação e de sua relação com o trabalho, as suas possibilidades criativas e emancipatórias.
Transformar essas ideias e princípios em práticas concretas constitui-se como uma tarefa dos
educadores/matemáticos, que exigirá ações contínuas que transcendam os espaços da sala de aula,
dos gabinetes e dos fóruns acadêmicos.
É mister enfatizar que, o simples acesso à escola não se perfaz mais como condição única e
necessária para tirar das sombras do esquecimento social milhões de pessoas cuja existência só se
vê reconhecida nos quadros estatísticos. Segundo Mészarós (2008, p. 178), “o deslocamento do
processo de exclusão educacional não se dá mais principalmente na questão do acesso à escola,
mas sim dentro dela, por meio das instituições da educação formal”.
Assim, fica claro que o que está em jogo não é apenas a modificação política dos processos
educacionais, que praticam e agravam a guetorização social, mas a reprodução da estrutura de
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valores que contribui para sacramentar e perpetuar uma concepção de mundo subserviente à lógica
do Capital e dependente das variáveis do Mercado Econômico. Não é necessário ir longe para
verificar como a estabilidade do mercado de ações, do mercado financeiro e da crise ocorrida nos
países do primeiro mundo, desestabiliza economias pseudo- estabilizadas, alterando os custos de
sobrevivência daqueles indivíduos que já estão no limite.
Diante desse quadro, que Educação/Matemática deveríamos colocar em prática e não somente
idealizá-la como oposição ao cenário que encontramos atualmente?
Em nosso entender, a Educação/Matemática deve ser continuada permanente e autônoma em sua
integralidade de ações. Desse modo,promoveremos a mudança da lógica sustentadora da
educação, concretizando práticas educacionais que possibilitem aos educadores e educandos
trabalharem conjuntamente as mudanças necessárias para a (re)construção de meios sociais que
desprezem o massacre exercido pela lógica tradutora de uma educação para a vida e reifiquem a
tradução de uma lógica onde a educação acontecerá na vida.
Ou seja, uma educação libertadora tendo como função transformar cada trabalhador, cada
indivíduo em um agente político, que pensa, que age, e que usa a palavra e o diálogo como
instrumento de reivindicação e luta, para trans-formar o mundo (FREIRE, 1980). Em suma, uma
educação pensada, refletida e colocada em ação avessa a pressupostos e à lógica do capital e de
das premissas do Mercado Econômico deve alinhar-se com propostas ativas que busquem e
concretizem uma trans-formação única e irreversível do atual modelo macro e microeconômico e
das políticas hegemônicas neoliberais e depredadoras do estado social.
Para muitos pode parecer utopia, mas compartilhamos com Marx quando este profere uma de suas
crenças, qual seja a de que a sociedade só pode ser trans-formada à medida que se proceda, não a
igualdade de classes, mas uma luta de classes que promova a equidade social e econômica. De
forma ímpar, Mèszarós declara que, limitar, portanto, uma mudança educacional radical “às
margens corretivas interesseiras do Capital significa abandonar de uma só vez, conscientemente ou
não, o objetivo de uma transformação qualitativa. É por isso que se faz imprescindível romper com
a lógica do capital caso queiramos contemplar a criação de uma proposta educacional
significativamente profícua e urgente”. (MÈSZARÓS, 2008, p.93)
Quadro Final: Alinhavando as ideias apresentadas nos Quadros
A Educação/Matemática sugerida em nossas falas neste texto, a Educação/Matemática para
além da lógica do Capital e das regras do Mercado Econômico visa a uma ordem
diametralmente oposta a que se está estabelecendo em nossa realidade. As incorrigíveis
determinações destrutivas da ordem existente tornam imperativo contrapor aos
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Tendo como premissa principal desta conferência que educar não se constitui como mera
transferência de conhecimentos, mas sim o edificar de práticas conscientizadoras, ao elevar essa
ideia à condição de prática efetiva, estaremos liberando o ser humano das cadeias do determinismo
neoliberal, reconhecendo que a história se faz um campo aberto de possibilidades. Esse é o sentido
de se falar de uma educação que transcenda a agenda neoliberal, isto é, educar para além do capital
implica pensar uma sociedade para além do capital e de seus preceitos mercadológicos.
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irreconciliáveis antagonismos estruturais do sistema do Capital alternativas concretas para a
regulação da reprodução metabólica social, ambicionando garantir as condições elementares
da sobrevivência humana.
O papel da Educação/Matemática, entendemos, seria o de buscar efetivamente trilhar
perspectivas viáveis para além das amarras estabelecidas pelo capital, para além dos
artifícios mercadológicos que segregam, excluem e reificam, às custas de uma minoria, a
miséria humana através da globalização dos conceitos econômicos e dos bens materiais,
acessíveis aos poucos que tem oportunidade de usufruírem destes bens.
De acordo com Mèszarós (2008), o grave e insuperável defeito do sistema do Capital
consiste na alienação de mediações de segunda ordem que ele precisa impor a todos os seres
humanos, incluindo-se às personificações do Capital. De fato, o sistema do Capital não
conseguiria sobreviver durante muito tempo sem as suas mediações de segunda ordem,
principalmente o Estado, a relação de troca orientada pela lógica do Mercado econômico, e o
trabalho, em sua subordinação estrutural à lógica do Capital.
Em outras palavras, essas mediações de segunda ordem impõem aos indivíduos e aos
agrupamentos sociais uma forma alienada de mediação. A alternativa concreta a essa forma
de controlar a reprodução metabólica social só pode ser, segundo Mészarós (2008, p.216), “a
automediação, na sua inseparabilidade do autocontrole e da auto-realização através da
liberdade substantiva e da igualdade, numa ordem social reprodutiva conscienciosamente
regulada pelos indivíduos associados”.
É também inseparável dos valores escolhidos pelos próprios indivíduos sociais, de acordo
com suas reais necessidades, em vez de lhes serem impostos, sob forma de apetites
totalmente artificiais, pelos imperativos reificados da acumulação lucrativa do capital, como
ocorre atualmente. Acreditamos que nenhum desses objetivos emancipadores é concebível e
concretizável, sem que haja uma consistente intervenção ativa da Educação/Matemática, na
figura de seus educadores, no sentido de uma ordem social que extrapole os limites do
Capital, do mercantilismo educacional e do Mercado Econômico.
As gritantes desigualdades sociais, atualmente em evidência, e ainda mais pronunciadas no
seu desenvolvimento revelador, podem ser ilustradas pelos números a seguir:
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segundo as Nações Unidas, no seu relatório sobre o
Desenvolvimento Humano, o 1% mais rico do mundo aufere tanta
renda quanto os 57% mais pobres. A proporção, no que se refere
aos rendimentos, entre os 20% mais ricos e os 20% mais pobres no
mundo aumentou de 30 para 1 em 1960, para 60 para 1 em 1990 e
74 para 1 em 2000, estima-se que atinja os 100 para 1 em 2015. Em
1999-2000, 2,8 bilhões de pessoas viviam com menos de dois
dólares por dia, 840 milhões estava subnutridos, 2,4 bilhões não
tinha acesso a nenhuma forma aprimorada de serviço básico de
saneamento, e uma em cada seis crianças em idade de freqüentar a
escola primária não estava na escola. Estima-se que cerca de 50%
da força de trabalho não-agrícola esteja desempregada ou
subempregada (RELATÓRIO ONU,2000).
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Uma concepção oposta e efetivamente articulada numa Educação/Matemática que transcenda
a lógica do Capital, e que vá além da rigidez das normas escravizadoras de uma sociedade
enlaçada e dominada pelas variáveis econômicas, não pode ser confinada a um limitado
número de anos de vida dos indivíduos, mas devido a suas funções radicalmente mudadas,
abarcando-os a todos. De acordo com Mèszarós (2008), a “autogestão deiguais” e a
“autogestão da ordem social reprodutiva” não podem ser separadas uma da outra. A
autogestão pelos produtores livremente associados das funções vitais do processo metabólico
social é um empreendimento progressivo e inevitavelmente em processo de mudança.
Cremos que o mesmo vale para as práticas educacionais que habilitem o indivíduo a realizar
essas funções na medida em que sejam redefinidas por eles próprios, de acordo com os
requisitos em mudança dos quais eles são agentes ativos. A educação nessas bases se
constituiria em nossa concepção, como a educação que vai além das lógicas do Capital, uma
educação continuada, sempre em processo de construção e reconstrução dos ideais de
equidade.
Cabe a cada um de nós, após a exposição de quadros contestadores da lógica do capital, da
supremacia de poucos, em detrimento de muitos, em usufruírem das regras mercadológicas
embasadas em índices e teorias econômicas a serviço de um capitalismo que ameaça o meio
ambiente, na figura do consumo desmesurado, e o homem na medida em que milhares deles
vêm sendo transformados em seres descartáveis e de baixa combustão, segundo Bauman
(1998), verdadeiros lixos humanos, questionar:
A quem interessa o processo de globalização como ela aí está inserida em nossa sociedade?
Que Educação/Matemática pode nascer de um processo globalizador que se expande em
função da eliminação daqueles que marginalizados pelo sistema econômico, foram
convidados a se retirar da escola e não servem mais como os indivíduos-consumidorespadrão de um sistema que comodifica tudo aquilo que anda ou respira? Que sociedade
“humana” espera-se consolidar nos próximos anos, levando em conta a crescente
guetorização de uma massa cada vez maior de excluídos pela lógica do Capital?
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¿POR QUÉ ATENDER A LA DIMENSIÓN EMOCIONAL EN LA
FORMACIÓN DEL PROFESORADO DE MATEMÁTICAS?
Mtro. Jorge Ávila Contreras
U. Católica Silva Henríquez, Programa de Doctorado U. de Los Lagos, Chile
[email protected]
Superior, Formación de profesores
RESUMEN
En esta presentación se busca problematizar respecto de la importancia del estudio de las
emociones en los contextos de formación inicial del profesorado de matemáticas y del
quehacer matemático educativo. Adscribiendo a una mirada compleja de la racionalidad del
ser humano, se relacionan diversas visiones del estudio de las emociones con fenómenos
que concurren en escenarios de aprendizajes matemáticos, tales como, emergencia de
resistencias y distinciones emocionales acerca del saber matemático escolar, de las
situaciones de enseñanza y de la diada estudiante/docente.
Palabras clave: Emocionalidad en matemáticas, racionalidad, pensamiento complejo.
TRABAJO
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En el microsistema de aula, en nuestra labor como matemáticos educativos, en nuestro
quehacer cotidiano de padres, hermanos, hijos, seres envueltos en interminables
aprendizajes, seguramente no nos resulte difícil traer en este momento uno que otro
episodio (o muchos) en los cuales por nuestras venas, razón, corazón, sentir, concurren y
discurren inevitablemente esos bucles de complejidad. En el sentido de Morín, ésta se
describe como un “tejido de eventos, acciones, interacciones, retroacciones,
determinaciones, azares, que constituyen nuestro mundo fenoménico (…) se presenta [la
59
A modo de introducción considero relevante recordar que en 1999 el filósofo
contemporáneo Edgar Morín expresa sus ideas acerca de los requerimientos de la educación
para el siglo XXI. Este pensador refiere a problemas esenciales de los cuales debiese
hacerse cargo la educación en este nuevo milenio. Destaca entre otros, a la condición
humana, distinguiendo que lo humano es y se desarrolla en bucles, como los de cerebromente-cultura; razón-afecto-impulso o individuo-sociedad-especie. Así, todo desarrollo
verdaderamente humano –plantea Morín– significa comprender al hombre como conjunto
de todos estos bucles y a la humanidad como una y diversa.
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complejidad] con los rasgos inquietantes de lo enredado, de lo inextricable, del desorden,
la ambigüedad, la incertidumbre” (Morin, 1990, p. 32). De manera particular, cabe
preguntarse y se torna relevante atender al cómo ingresar, y de qué manera contribuye el
hacerlo, a esta multidimensionalidad del ser humano complejo, dado que como docente,
estudiante o investigador, se está en las fronteras (o al centro) del huracán, desde el rol
(roles) específico del ámbito matemático educativo en que uno se encuentre, variablemente,
en diversos momentos y situaciones.
Un accionar docente que no presta atención a lo que ocurre con esos bucles, priva al
profesorado de conocer y, por ende, de tener en consideración para sus diseños didácticos,
aspectos como los relevados, los cuales pueden favorecer, orientar u obstaculizar
entendimientos y vivencias que el estudiantado pone en juego cuando se involucra en sus
experiencias de aprendizaje. En la práctica educativa el quehacer pedagógico muchas veces
se naturaliza en términos de lo “que ya sabemos hacer” y con ello se logra poca visión de
este tipo de complejidades.
Actualmente la concepción de lo que es un ser humano cambió, de comprenderlo sólo
como un ser racional, cosa de inicios del siglo pasado, a comprenderlo como ser racional y
emocional. Somos emocionales no en oposición a la racionalidad sino en complemento
(Casassus, 2007). La emocionalidad también se entiende como un concepto complejo, de
múltiples dimensiones e imbricado a la actividad humana. De acuerdo a Mora y Martin
(2010), involucra dimensiones tales como la fisiológica, lo social, lo lingüístico, etc. Tres
paradigmas aglutinan gran parte de las múltiples perspectivas desde las cuales es factible
abordar su estudio, a saber, el biológico-evolutivo, el socio-cultural y el cognitivo. (Op. cit,
s.p.).
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Desde la perspectiva del constructivismo social, nuestra naturaleza humana es vivir en
interacción, en conexión con otros, puesto que estamos en nuestro origen unidos y
fusionados. El establecimiento de vínculos es esencial para la vida pero a la vez
necesitamos desarrollar autonomía, para diferenciarnos y reconocernos como seres únicos.
(Casassus, 2007). Cuando interactuamos con otras personas, esta interacción está bajo la
influencia de las emociones en la cual se encuentran las personas que interactúan. Lo
frecuente es que no estemos conscientes de las emociones que están de soporte de dicha
interacción, lo cual no significa que las emociones sean marginales. Al contrario “las
acciones que se desprenden de los juicios que formulamos, así como los juicios mismos,
dependen tanto de la cognición como de la emoción. Además de la influencia en cada una de
las personas que interactúan, la calidad de los juicios que formulamos acerca de las otras
personas con las cuales interactuamos está influenciada por las emociones que existen entre
esas personas” (Op. Cit., p. 142).
No obstante estos replanteamientos respecto de ser humano, es importante reconocer (y
reconocerse) que en el ámbito de la investigación educativa, durante el siglo XX, escaseó el
atender al estudio de las emociones. Según Pekrun (2005; citado en Rebollo y Hornillo,
2010) la excepción se da principalmente en dos áreas: el estudio de la ansiedad relacionada
con la evaluación y el rendimiento y, por otra parte, el de la relación entre emoción y
motivación considerando el éxito y fracaso académico. En lo atingente a la docencia en
matemáticas, un referente conocido es Gómez-Chacón (2003) quien sostiene que en lugar
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de restringir los estudios de actitudes hacia la matemática y las reacciones emocionales a
situaciones de laboratorio, niveles de sujeto o de aula, éstos debiesen considerar la realidad
social que produce las reacciones y el contexto sociocultural. Así, a la luz de los desafíos
que nos antepone la complejidad, resulta insoslayable profundizar y desarrollar estudios
con una mirada multidireccional que atienda a la dimensión emocional, en aristas ligadas a
los intereses matemáticos educativos. En la formación de profesorado de matemáticas, esto
debiese cobrar mayor trascendencia aún, a fin de contribuir a desmovilizar cegueras de
conocimiento (Morín, 1999) y racionalidades tradicionales, impregnadas fuertemente aún
en lo educativo.
REFERENCIAS
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XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
A MODELAGEM MATEMÁTICA NA PERSPECTIVA DA
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: OLHARES MÚLTIPLOS E
COMPLEXOS
Dionísio Burak
Universidade Estadual do Centro-Oeste, UNICENTRO- Guarapuava, Paraná-Brasil
Universidade Estadual de Ponta grossa, UEPG, Ponta Grossa, Paraná-Brasil
E-mail: [email protected]
Nível: A; B; I – Categoria: Modelagem Matemática
RESUMO
Esta conferência aborda aspectos da Modelagem Matemática no ensino de Matemática no
contexto da Educação Matemática, e, busca trazer elementos à questão: Qual a importância
para o ensino e a aprendizagem da Matemática, na Educação Básica: trabalhar a
Modelagem Matemática na perspectiva da Educação Matemática? Ainda, traz elementos
que configuram a natureza da Educação Matemática, a partir do modelo do tetraedro de
Higginson. A forma de conceber a Modelagem reflete o percurso realizado por Burak e,
ensejou a adoção de princípios para o seu desenvolvimento, que justificam os
procedimentos adotados no encaminhamento do trabalho com a Modelagem em sala de
aula.
Palavras–Chave: Educação Matemática – Modelagem Matemática – Ensino e
Aprendizagem.
TRABALHO
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Educação Matemática – Uma Perspectiva
Há aproximadamente quatro décadas, a Educação Matemática vem procurando se firmar,
seja como uma disciplina, como um campo profissional ou científico. Acerca dessas
discussões, na intenção de definir a Educação Matemática, Rius (1989) diz que,
primeiramente, se deveria dizer que ela é uma disciplina nova. As dificuldades de
compreensão começam pelas variações culturais, como por exemplo, na literatura em
Língua Inglesa, o termo “mathematics educators”, engloba todos aqueles cujo fazer tem a
ver com o ensino e a aprendizagem de matemática e também, os professores que até há
pouco tempo não compartilhavam desse termo. Esses eram professores formadores de
professores ou então matemáticos interessados na Educação, conforme (Ghiffiths, H.B. &
Howson, G.1974) citado por Rius (1989). Para a autora, não há um ponto de vista único,
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senão, diversos intentos para explicar a natureza da disciplina, isto é, cada um tem um
enfoque distinto e põe ênfase sob um aspecto particular. Apesar das diferenças entre os
enfoques distintos, é possível, segundo (Wain, G.T. 1978) em Rius (1989), que todos
coincidam em considerar a Educação Matemática como uma atividade operacional
fundamentada em uma variedade de áreas de estudo e cujo objetivo, é a análise da
comunicação em Matemática.
Na perspectiva de avanços da natureza da disciplina, surge o chamado “modelo do
tetraedro”, desenvolvido por Higginson (1980), citado por Rius (1989). Esse modelo
proporciona um marco de referência mais amplo e sólido para a explicitação das áreas de
estudos citadas por Wain. Para Higginson, a Educação Matemática pode ser descrita como
o modelo cuja imagem seria de um tetraedro denominado MAPS, no qual M = Matemática;
A = Filosofia; P = Psicologia; e S = Sociologia.
M
A
P
S
Figura 1
Cada disciplina corresponde a uma face do tetraedro. Para Higginson, estas disciplinas são
necessárias e suficientes para definir a natureza da Educação Matemática (RIUS, 1989,
p.30).
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Para Higginson, em documento mimeografado, citado por Rius (1989) “Há áreas
específicas do trabalho acadêmico que podem ser identificadas como resultado de
instâncias interativas; por exemplo, a aresta PS, representa a área onde se entrecruzam os
interesses da Psicologia e da Sociologia” (p. 35). De forma análoga, MP, representa a área
de interesse da Matemática e da Psicologia, MAP, à área em que confluem os interesses da
Matemática, Filosofia e Psicologia.
63
A partir das perguntas: “O que?”, “Quando?”, “Como?”, “Onde?”, “Quem?” e “Por quê?,
se torna possível mostrar que o modelo é fechado. Usando tal modelo, pode-se concluir que
a resposta à pergunta “o que?”, corresponde basicamente à dimensão da Matemática; “por
quê?, à dimensão da Filosofia; “quem? e onde?”, à Sociologia e “quando?” e “como?”, à
Psicologia.
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Os diversos temas presentes nos eventos de Educação Matemática, sob a forma de
conferência, mesas redondas, painéis, apresentações orais, dão-nos uma mostra da
importância da perspectiva de Higginson, quando vemos temas tais como: Matemática e
Sociedade; Currículos de Matemática, Avaliação em Matemática e Modelagem
Matemática. A Educação Matemática, já na visão de Higginson, estava se desenvolvendo e,
isto tem dado lugar a um processo dinâmico, significando que a Educação Matemática não
pode ver-se como entidade estática. Essa visão de Higginson, segundo Rius (1989 a) de que
o tempo e sua própria evolução histórica, em que cada concepção e contribuições às
discussões dos seus fundamentos são resultantes do tempo em que foi produzida e, das
preocupações específicas do momento, ensejariam contribuições de outras áreas. O modelo
de Higginson é, pois, uma interpretação da educação matemática que a história dela mesma
pode tornar-se um dia, obsoleta.
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64
No decorrer das últimas décadas ao acompanharmos as mudanças no âmbito da educação
de modo geral, constatamos a criação de outros eixos que podem contribuir com a
Educação Matemática: A Antropologia é uma área do conhecimento que a cada dia
contribui mais com a Educação Matemática. Para Rius, (1989), o método da observação
participante do qual se valem os antropólogos para estudar uma comunidade é hoje em dia,
de grande importância para os professores, em todos os níveis de ensino, para o estudo da
dinâmica da sala de aula. Outras áreas do conhecimento que constituem uma grande
contribuição à Educação Matemática são: a Linguística, a Língua Materna e a História da
Matemática entre outras, pois tanto a linguagem matemática como a linguagem utilizada
para fazer o discurso e a comunicação em sala de aula constituem-se importantes
instrumentos para possibilitar reflexões.
Ainda, se voltarmos nosso olhar para o componente P (Psicologia), do tetraedro, podemos
ver atualmente o avanço no campo da Psicologia. Como diz o próprio Higginson, a
Educação Matemática é dinâmica e as mudanças pela própria evolução nos diversos
campos do conhecimento, os estudos e pesquisas nas áreas de seus componentes, alteram e
dão nova conformação ao curso da Educação Matemática. Assim, o componente P da
Psicologia que na época de 1960 e 1970, eram de ordem comportamental ou aquelas
promovidas pela raiz da taxonomia de Bloom, deram atualmente, em parte, lugar às teorias
do campo cognitivo, tendo como precursores: Piaget, Vygotsky, Ausubel e Bruner.
Também, outras componentes tiveram avanços ao longo das últimas décadas, como a
própria Sociologia. Dos novos estudos e das necessidades que se fazem presentes no âmbito
de uma dinâmica para o desenvolvimento e, também, com o surgimento de outras áreas que
com ela também contribuem, a estrutura interna da Educação Matemática se modificou.
Isso em grande parte, pode ser atribuído à mudança de paradigma ou à presença de um
paradigma emergente, apregoado desde a metade da década de 1985, conforme Santos
(2006). A figura a seguir, que busca representar momentaneamente essa configuração da
EM, está em Burak e Klüber (2008).
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Figura 2
Nesta configuração, a Matemática interage com as diferentes áreas do conhecimento
possibilitando um entendimento de que ela é a ‘adjetivação’, ficando a ‘substantivação’
para a Educação. É nessa perspectiva que a Educação Matemática está sendo concebida
nesse trabalho. Uma área híbrida pode emergir isso, quer dizer que, quando fazemos
educação, fazemos em relação a algo e, esse objeto tem suas particularidades que precisam
ser levadas em consideração, entretanto, o próprio entendimento sobre ele se modifica de
certa forma alterando, também, o objeto.
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Ao tratar sobre as práticas sociais em Educação Matemática, Miguel (2004), afirma: “Só se
podem conceber tanto a Matemática, a Educação e a Educação Matemática como práticas
sociais, ou seja, atividades realizadas por um conjunto de indivíduos que produzem e, não
unicamente, como um conjunto de conhecimentos produzidos por um indivíduo em suas
atividades” (p. 82).
65
Ao considerarmos que não deve haver descontinuidade entre o processo de produção e o de
socialização de conhecimentos, então, o recomendável, segundo Fiorentini e Lorenzato
(2006), é “promover a aproximação entre o matemático e o educador matemático, de modo
que conteúdo e forma (método) não se constituam em entidades dicotômicas” (p. 13).
Embora, considerando não ser esse um empreendimento fácil, dada a natureza da Educação
Matemática, que mantém interfaces com a maioria das Ciências Sociais e, também, porque
para Kilpatrick (1996) “os educadores matemáticos e os matemáticos têm orientações e
visão diferente, seja em relação à pesquisa, quanto em relação à organização curricular e
acadêmica” (p.118). E, para concluir, têm concepções diferentes de educação, ensino,
aprendizagem e do próprio objeto de estudo.
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Dessa forma, não se compreende essas áreas exclusivamente como um conjunto de
conhecimentos ou resultados, “como produto sem produtores e sem atividades produtivas,
ou então como conjunto de conhecimentos em si, desligados ou abstraídos das práticas
sociais no interior das quais eles foram e vêm sendo produzidos” (MIGUEL, 2004, p. 82).
Feitas as considerações sobre a perspectiva de Educação Matemática assumida neste
trabalho, será esclarecida na seqüência, a concepção de Modelagem desenvolvida por
Burak (1987, 1992, 1998, 2004 e 2006).
A Modelagem Matemática na perspectiva da Educação Matemática
A Modelagem Matemática, na perspectiva da Educação Matemática, busca manter-se em
estreita harmonia com as visões apresentadas, especialmente àquela que concebe a
matemática como um instrumento importante à formação do jovem estudante em nível da
Educação Básica e modalidades desse nível de escolaridade.
“A Modelagem Matemática constitui-se em um conjunto de procedimentos, cujo objetivo, é
estabelecer um paralelo para tentar explicar matematicamente, os fenômenos presentes no
cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predições e a tomar decisões” Burak (1992,
p.62).
A Modelagem Matemática, como uma prática educativa para o ensino de Matemática,
pressupõe, segundo Burak (1992), alguns princípios para a sua adoção: 1) partir do
interesse do grupo de pessoas envolvidas; e 2) obter as informações e os dados no
ambiente onde se localiza o interesse do grupo.
Na perspectiva do encaminhamento em sala de aula, Burak (2004), propõe o
desenvolvimento da Modelagem Matemática em 5 (cinco) etapas: 1. escolha do tema; 2.
pesquisa exploratória; 3.levantamento do(s) problema(s); 4.solução do(s) problema(s) e o
desenvolvimento da matemática relacionada ao tema; 5.análise crítica da (s) solução (ões).
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1. Escolha do tema
A Modelagem Matemática parte de temas propostos pelo grupo, constituído por 3 ou 4
participantes, ou pelos vários grupos de alunos. Os temas envolvem brincadeiras, esportes,
atividades industriais, econômicas e comerciais, prestação de serviços e outros de interesse
do grupo ou dos grupos.
2. Pesquisa exploratória
Esta etapa da Modelagem se configura como importante para o desenvolvimento no grupo
ou nos grupos, da experiência de campo, ajudando a formar um comportamento mais
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atento, mais sensível e mais crítico, atributos importantes na formação de uma postura
investigativa. Também, parte da premissa que não se pode intervir, de forma adequada,
numa realidade que não se conhece. Assim, ao trabalhar um tema, procura-se conhecer as
várias dimensões ou aspectos que compõem essa realidade. Por exemplo, ao se trabalhar o
tema “indústria cerâmica”, procura-se conhecer várias dimensões que constituem essa
realidade, sejam elas políticas, sociais, econômicas, estruturais entre outras. Os dados
coletados são de natureza qualitativa e quantitativa.
3. Levantamento do (s) problema (s)
O levantamento do(s) problema (s) constitui a terceira etapa do método da Modelagem. Dáse a partir dos dados coletados na etapa da pesquisa exploratória. A ação investigativa ao
traduzir em dados quantitativos algumas observações, pois grande parte dos dados é
descritiva, confere nova conotação aos dados numéricos obtidos, possibilitando a discussão
e o estabelecimento de relações que contribuem para o desenvolvimento do pensamento
lógico e coerente.
Na Modelagem Matemática, os problemas apresentam características distintas dos
problemas apresentados pela maioria dos livros textos, pois são levantados a partir da coleta
dos dados.
•
São elaborados a partir dos dados coletados na pesquisa de campo;
•
Possuem, geralmente, caráter genérico;
•
Estimulam a busca e a organização dos dados;
•
Favorecem a compreensão mais geral de uma determinada situação.
Eesse momento atribui à Modelagem Matemática a etapa em que se faz uso de todas as
ferramentas matemáticas disponíveis. Na resolução de um problema ou de uma situaçãoproblema, os conteúdos matemáticos ganham importância e significado. As operações, as
propriedades, e os diversos campos da matemática que se fazem presentes nessa etapa, sem
dúvida, atribuem significados aos conteúdos matemáticos.
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Constitui a quarta etapa da Modelagem e trata da resolução dos problemas. O(s)
problema(s) levantado(s) determinará (ão) o(s) conteúdo(s) a ser (em) trabalhado(s).
Partindo, ainda, do contexto do tema, podem ser desenvolvidos vários conteúdos
matemáticos provenientes dos dados coletados e a partir das hipóteses levantadas pelo
professor ou pelo(s) grupo(s).
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4. Resolução dos problemas e o desenvolvimento do conteúdo matemático no contexto
do tema
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Pode acontecer que para a resolução de um problema, o conteúdo necessário à sua
resolução, ainda que não tenha sido trabalhado pelo aluno, então, é um momento
importante para que o professor na condição de mediador favoreça ao estudante a
construção desse conhecimento.
5. Análise crítica da (s) solução (ões)
Esta etapa da Modelagem é um momento muito rico e especial para analisar e discutir a
solução ou as soluções encontradas. É um momento em que se fazem as considerações e
análise das hipóteses, consideradas na etapa de levantamento dos problemas. Possibilita
tanto o aprofundamento de aspectos matemáticos como dos aspectos não matemáticos
envolvidos no tema. Sob o aspecto da matemática, pode-se analisar a coerência e a
consistência lógica da solução ou das soluções encontradas. É uma etapa em que se discute
com o grupo ou os cuidados com a linguagem, com as restrições que se fazem necessárias
em muitas ocasiões. Tão importante quanto trabalhar os aspectos matemáticos das
situações, os aspectos não matemáticos se revestem da mesma importância, pois,
consideramos que são formadores de valores e de atitudes que são permanentes, pois nessa
fase de sua formação, esses valores são desenvolvidos e incorporados.
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Perspectivas para o Ensino de Matemática na Educação Básica
Os encaminhamentos dados ao desenvolvimento da Modelagem Matemática em sala de
aula, tendo como princípios: o interesse do grupo de pessoas envolvidas e a obtenção dos
dados no ambiente onde se localiza o interesse do grupo têm como pressupostos: 1) O
interesse que é entendido como ponto de partida para o desenvolvimento de qualquer
atividade humana, neste caso, particularmente, permitiu que a Modelagem Matemática
encontrasse nos pressupostos da teoria cognitivista, argumentos que o consolidam como
gerador de atitudes de motivação, portanto, como princípio sustentador dos procedimentos
metodológicos adotados; 2) Na forma usual, o processo de ensino é deflagrado pelo
professor, na Modelagem Matemática o processo é compartilhado com o grupo de alunos,
pois sua motivação advém do interesse pelo assunto; 3) A obtenção dos dados onde se
localiza o interesse do grupo, desperta maior entusiasmo para a atividade, promove a
discussão sobre os aspectos a serem pesquisados, favorece um olhar mais atento à situação
a ser estudada e, constitui-se em uma atividade formativa; 4) O método etnográfico tem
despertado o interesse dos pesquisadores na área de Educação, por se tratar de uma
metodologia qualitativa que favorece a abordagem mais completa dos fenômenos. Para
Wolcott (1975), citado por Ludke (1986), “o uso da etnografia em Educação deve envolver
uma preocupação de pensar o ensino e a aprendizagem no âmbito de um contexto cultural
mais amplo” (p.15).
Na forma concebida para a Modelagem Matemática, parece haver plena harmonização com
o Método Etnográfico, quando favorece a oportunidade de contatos diversos com pessoas
ou grupo de pessoas e outras possibilidades de interação entre a Matemática e os seus
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diversos campos: Números e Operações, Grandezas e Medidas, Álgebra, Geometria e
Tratamento da Informação e outras áreas do conhecimento.
Essa forma de pensar o ensino de Matemática carrega consigo a concepção de uma
Matemática não restrita ao seu próprio contexto, mas, uma Matemática construída na
interação do educando com o mundo, uma Matemática com história. Daí, decorre aspectos
importantes a serem destacados:
a) Maior interesse do (s) grupo(s)
O fato de o grupo compartilhar o processo de ensino, isto é, escolher àquilo que gostaria de
estudar, ter oportunidade de se manifestar, de discutir e propor, proporciona maior interesse
de cada grupo e dos grupos envolvidos.
b) Interação maior no processo de ensino e aprendizagem
Para a aprendizagem, o procedimento gerado a partir do interesse do grupo ou dos grupos,
parece resultar em ganho, pois, os grupos de alunos trabalham com aquilo que gostam,
aquilo que para eles apresenta significado, e por isso tornam-se co-responsáveis pela
aprendizagem.
Nessa perspectiva, o ensino de Matemática torna-se mais dinâmico, mais vivo e, em
conseqüência, mais significativo para o aluno e para o grupo. Contribui para tornar mais
intensa, mais eficiente e mais eficaz a construção do conhecimento por parte de cada aluno
participante do grupo, do próprio grupo ou dos grupos e do professor, sobre determinado
conteúdo, a partir do conhecimento que cada aluno ou o grupo já possui sobre o assunto.
Isso confere maiores significados ao contexto, permitindo e favorecendo o estabelecimento
de relações interdisciplinares.
Há ainda, a possibilidade de uma dinâmica maior no ensino, pela ação e o envolvimento do
próprio grupo na perspectiva da busca do conhecimento e para a socialização desse
conhecimento dentro do grupo.
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Na perspectiva concebida para a Modelagem Matemática para o ensino de Matemática na
Educação Básica, o papel do professor fica redefinido, pois este passa a se constituir no
mediador entre o conhecimento matemático elaborado e o conhecimento do aluno ou do
grupo. Isso se diferencia do ensino usual em que, na maioria das vezes, o professor, é o
centro do processo. O fato de compartilhar o processo de ensino denota uma nova postura
do professor. O professor se torna um aprendiz juntamente com os alunos, há um EducadorEducando e um Educando - Educador (FREIRE, 2004).
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c) Demonstração de uma forma diferenciada de conceber a educação, o ensino e a
aprendizagem e a adoção de uma nova postura do professor
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d) A ruptura com o currículo vigente
Na Modelagem, o conteúdo matemático a ser trabalhado é determinado pelos problemas
levantados em decorrência da pesquisa de campo. No ensino usual ocorre o contrário. O
conteúdo estabelecido no programa é que determina o tipo de problema a ser trabalhado.
De um modo geral, as escolas que adotam material em forma de apostilas, ou mesmo livro
texto, têm os planejamentos em função dos conteúdos apresentados nesses materiais.
Assim, os problemas ficam em função do conteúdo trabalhado.
Entretanto, essa forma diferenciada de trabalho, via Modelagem, pode se constituir em
motivo de preocupação entre os professores. Na maioria das escolas é necessário
compatibilizar o conteúdo estabelecido no currículo, que se apresenta de forma linear ou no
planejamento para determinada série. Esta forma entra em conflito com a proposta da
Modelagem assumida que preconiza o problema como determinante do conteúdo.
e) As Diretrizes Curriculares e a Modelagem Matemática
As Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental instituída pela resolução
98/CNE, que organizam as áreas do conhecimento, apontam de que forma o aprendizado de
Ciências e Matemática, iniciado no Ensino Fundamental, deve encontrar complementação e
aprofundamentos no Ensino Médio. Acenam, ainda, para o ensino interdisciplinar do
aprendizado científico e, enfatizam o desenvolvimento do currículo de forma orgânica,
superando a visão disciplinar estanque e revigorando a integração e a articulação dos
conhecimentos, num processo permanente de interdisciplinaridade e transdisciplinaridade.
Tem sido tendência atual, em todos os níveis de ensino, principalmente nos níveis
Fundamental e Médio, analisar a realidade de forma segmentada, sem desenvolver a
compreensão dos múltiplos aspectos que se interpenetram e conformam determinados
fenômenos. Para essa visão segmentada, contribui sobremaneira, o enfoque meramente
disciplinar, que na nova proposta de reforma curricular, pretende-se ver superado pela
perspectiva interdisciplinar e pela contextualização dos conhecimentos.
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Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, na perspectiva escolar, a
interdisciplinaridade não tem a pretensão de criar novas disciplinas ou novos saberes, mas,
de utilizar os conhecimentos das várias disciplinas para resolver um problema concreto ou
compreender um determinado fenômeno sob diferentes pontos de vista.
A adoção da Modelagem Matemática, para o ensino de Matemática, na Educação Básica,
pretende contribuir para que, gradativamente, se vá superando o tratamento estanque e
compartimentalizado que tem caracterizado o seu ensino. A Modelagem favorece o enfoque
interdisciplinar e transdisciplinar no desenvolvimento de um tema, como exemplo, no tema,
Comércio Alimentício; abre-se a perspectiva para o trabalho com outras áreas do
conhecimento, dentre elas: Geografia Econômica, Ciências da Saúde, História, Ciências
Contábeis, Administração, além de promover a articulação entre os vários campos da
própria Matemática: Números e Operações, Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas e o
Tratamento da Informação. Contribui ainda, para o desenvolvimento de competências
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complexas tais como: observar, explorar e investigar; estabelecer relações, classificar e
generalizar; argumentar, tomar decisões e criticar; conjecturar e provar, utilizar a
imaginação e a criatividade, dentre outras.
Na Modelagem Matemática, um mesmo conteúdo pode se repetir várias vezes no
transcorrer das várias atividades e em momentos e situações distintas. A oportunidade de
um mesmo conteúdo poder ser tratado diversas vezes, no contexto de um tema e em
situações distintas, que favorece a compreensão das idéias fundamentais e pode contribuir
de forma significativa para a percepção da importância da Matemática no cotidiano da vida
de cada cidadão, seja ele ou não um matemático.
f) A indissociabilidade entre ensino e pesquisa na Modelagem Matemática
A Modelagem enseja, de forma natural e indissociável, o ensino e a pesquisa, pois, ao
trabalhar com temas diversos, de livre escolha do grupo ou dos grupos, favorece a ação
investigativa como forma de conhecer, compreender e atuar naquela realidade.
Essas dimensões são levantadas na pesquisa de campo, na fase que denominamos pesquisa
exploratória. A coleta dos dados e informações oferece elementos, também, à análise
qualitativa e, favorecem as constatações que, por sua vez, geram necessidade de outras
ações investigativas.
O ato investigativo é assumido, nos termos explicitados por Demo (1991), ou seja, como
princípio científico e educativo. Segundo esse autor, a pesquisa assim concebida, faz parte
de um processo emancipatório, construindo um sujeito histórico, autocrítico, crítico,
participante, tornando-se “[...] capaz de reagir contra a situação de objeto e de não cultivar
os outros como objeto.” (DEMO, 1991, p. 42).
A contextualização evoca áreas, âmbitos ou dimensões presentes na vida pessoal, social e
cultural e mobiliza competências cognitivas.
Conforme Morin (s/d), quando há contextualização, consegue-se unir à parte ao todo e o
todo à parte, não somando partes para compor o todo, mas adquirindo uma relação de
interdependência das partes com o todo e vice-versa. Dessa maneira, evita-se a excessiva
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A Modelagem Matemática, ao propor o trabalho de forma contextualizada, encontra
respaldo nas Diretrizes Curriculares Nacionais, quando preconiza essa forma de tratar o
conhecimento e se constitui em um recurso que a escola possui para retirar o aluno da
condição de espectador passivo. Essa forma de tratamento do conhecimento pode favorecer
que, ao longo da transposição didática, o conteúdo de ensino conduza a aprendizagens
significativas que mobilizem o educando ou o grupo a estabelecer entre ele e o objeto do
conhecimento uma relação de reciprocidade.
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g) A Modelagem Matemática e a contextualização
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especialização que separa os conteúdos e o conhecimento do seu significado que é
enraizado no contexto em que foi produzido. Ainda, em acordo com Morin, quando não há
a contextualização, privilegiam-se, apenas, a abstração matemática e ocorre uma cisão com
o concreto, dando ênfase àquilo que é calculável e passível de formalização. Pela
contextualização, consegue-se abranger a multidimensionalidade dos fenômenos estudados.
Mais, especificamente, na Educação Matemática, Moysés (1997) diz que o contexto “[...]
permite que não se perca o fio condutor ao se resolver um problema de matemática” (p. 68).
Por isso, mantém o sentido do todo e das operações mentais que são particulares. Assim,
através do contexto, o educando está mais apto a resolver um problema adequadamente e,
também, utilizá-lo em novas situações de sua vida.
Considerações
Na perspectiva assumida, a Modelagem Matemática se mostra diferenciada para o ensino
de Matemática na Educação Básica, pois, evoca olhares múltiplos e complexos. Esses
olhares se agregam a uma visão ampla de Educação, de sujeito e, clareza do objeto de
estudo, conduzindo a pensar a multidimensionalidade que se faz presente na escola, com
uma visão de mundo, de sujeito, de conhecimento, de sociedade. Isto não seria possível sem
uma clara compreensão acerca da natureza da Educação Matemática.
Por isso, essa forma de conceber a Modelagem pode torná-la mais próxima das expectativas
dos estudantes, pois procura favorecer a interação com os múltiplos aspectos que
constituem uma prática educativa e, porque parte inicialmente dos problemas e situações do
cotidiano do educando. Portanto, quando o educando vê sentido naquilo que estuda, em
função da satisfação das suas necessidades e dos seus interesses, da realização dos seus
objetivos, não haverá desinteresse, pois trabalha com entusiasmo e perseverança. Esse
interesse é importante, porque dá início à formação de atitudes positivas em relação à
Matemática. É nessa perspectiva que a Modelagem Matemática, no contexto da Educação
Matemática, se apresenta como uma prática diferenciada para o ensino de Matemática na
Educação Básica, tendo em vista buscar também uma aprendizagem diferenciada.
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Silva. (s/d) Disponível em http://geccom.incubadora.fapesp.br/portal/tarefas/projetos-emmultimeios-i-e-ii-puc-sp/textos-uteis/pensamentocomplexo.pdf, acesso em 07/02/07.
MOYSÉS, L. Contextualizar a matemática: O grande desafio do professor. In: _________.
Aplicações de Vygotsky à Educação Matemática. Campinas: Papirus, 1997. p. 65-73.
(Coleção Magistério: formação e trabalho pedagógico).
RIUS, B. E. La educación matemática: Reflexión sobre su naturaleza y sobre su
metodologia. Educación Matemática, México: Iberoamérica, v.1, nº 2, p. 28-42, Agosto de
1989.
PÁGINA
73
RIUS, B. E. La educación matemática: Reflexión sobre su naturaleza y sobre su
metodología. Educación Matemática, México: Iberoamérica v.1, nº 3, p. 30 - 36,
Diciembre de 1989.
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XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
UN MODELO DE FORMACIÓN DE EDUCADORES APLICANDO
MODELAJE Y ACOMPAÑAMIENTO PEDAGÓGICO
Claudia María Lara Galo
Universidad Panamericana de Guatemala
[email protected]
Nivel superior: Formación docente
RESUMEN
La propuesta, que se está implementando en este momento, pretende resolver el problema
generado por las capacitaciones dirigidas a docentes en servicio que no tienen el impacto
deseado en el aula. Incluye modelaje y acompañamiento pedagógico para incidir
directamente en las prácticas cotidianas de los maestros, en su actitud y en el cambio de
calidad dentro de las aulas. Entre otros, se facilitan talleres lúdicos, se usa material concreto
y actividades en equipo. Aprovechando un ambiente de TICs y con un acompañamiento
pedagógico directo, hemos logrado resultados que fortalecen el modelo que podría ser
aplicado en otros niveles y áreas.
Palabras clave: formación de educadores, modelaje, acompañamiento pedagógico/coaching
educativo
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74
ANTECEDENTES
Guatemala es un país multicultural, plurilingüe, de gran riqueza y belleza natural, con
mucho potencial de desarrollo social y económico. La mayoría de su población es joven,
menor de 30 años, vive en el área rural y tiene una expectativa de vida de 69 años –o poco
más-. Según los reportes del Instituto Nacional de Estadística INE5 y los de la Secretaría de
Planificación y Programación de la Presidencia (SEGEPLAN) así como reportes del Banco
Mundial y otras entidades nacionales e internacionales, basándose en el acceso a vivienda,
salud, educación, acceso al agua y otros, la mayoría de la población vive en pobreza y,
mucha, en pobreza extrema sobretodo en el área rural. Estos son algunos indicadores
socioeconómicos importantes del país6:
“Indicadores socioeconómicos clave en Guatemala, 2000-2006
5
ENAVI, INE 2006 Guatemala. Consulta realizada en línea el 25 de marzo a las 10:00 am de 2011 en:
http://www.ine.gob.gt/index.php/demografia-y-poblacion
6
A pesar de que existen estadísticas más recientes, estas son bastante actuales y muestran variaciones previas
que dan un marco de información valioso.
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Indicador 2006 y aumento desde 2000
PIB (millones de US$ a valor constante de 2000)
$ 22,834
18% de aumento
Pobreza total (a)
51.0%
9% de disminución
Tasa neta de matrícula en primaria (a)
Tasa neta de matrícula en secundaria (a)
86.4%
8% de aumento
44% de aumento
37.5%
Proporción de mujeres vs. varones en educación primaria y secundaria
92.3%
4% de mejoría
Esperanza de vida (años desde nacimiento)
69.9
Tasa mortalidad inf. (c/1,000 nacidos vivos)
disminución
Tasa mort. -5 años (muertes c/1,000 nac. vivos)
30.6
41.0
Tasa de fertilidad (partos por mujer)
disminución
Pobreza extrema (a)
15.2%
11% de
Sin variación b
$1,753
80.0%
22% de
22% de disminución
4.24
PIB per cápita (en US$ a valor const. de 2000)
aumento
Inmunización, DPT (% niños entre 12-23 meses)
3% de aumento
2.0% de
6 % de disminución.”7
Para lograr un desarrollo sostenible y prolongado, así como un crecimiento económico en
una sociedad con valores, son necesarias acciones coherentes de los diversos sectores de la
sociedad.
Uno de ellos, ofrecer calidad en la educación, además de cobertura total, es indispensable.
Para ello, se necesitan docentes preparados para formar futuros ciudadanos que puedan ser
constructores de su futuro y de una mejor Guatemala. La Reforma Educativa, expresada en
el
Currículo Nacional Base CNB8 y que responde a los Acuerdos de Paz9, expone los niveles
de calidad deseados para toda la nación.
7
Encuesta de hogares ENCOVI, INE; todos los otros: Indicadores de Desarrollo Mundial (IDM), Banco Mundial. Consulta
realizada el 25 de marzo de 2011 a las 10.32 am. (b) El cambio de medio punto porcentual no es significativo
estadísticamente
8
Consulta realizada en http://mineduc.gob.gt/portal/contenido/anuncios/politicasEducativas2008- el 24 de
marzo de 2011 a las 9:02 pm
9
Acuerdos de paz de 1996 de Guatemala consultados en
http://www.congreso.gob.gt/Docs/PAZ/Acuerdo%20de%20paz%20firme%20y%20duradera.pdf el 28 de
marzo de 2011 a las 10:03 pm.
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7
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El Ministerio de Educación (MINEDUC) y las instituciones educativas de Guatemala
pretenden fomentar la calidad de la educación y se han enfocado, según sugieren estudios
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internacionales10 en fortalecer los procesos de comprensión lectora en el idioma materno y
en español, así como las competencias matemáticas en todos los niveles pero,
particularmente en los alumnos y alumnas de primaria -7 a 13 años de edad-.
USAID11, la Agencia de los Estados Unidos de América para el Desarrollo Internacional,
que se dedica a apoyar el desarrollo de los pueblos donde trabaja, seleccionó algunas áreas
geográficas pobres que pueden beneficiarse de proyectos variados que apoyen el desarrollo
integral de la región. En Educación, por medio del programa Reforma Educativa en el
Aula – REAULA - se llevan a cabo diferentes propuestas en varias regiones del país,
llamadas “zonas de oportunidad”. En estas áreas geográficas se apoya al MINEDUC en
formación docente, implementación del modelo de Educación Bilingüe Intercultural,
evaluación e investigación aplicada, desarrollo y validación de pruebas, implementación de
programas que favorecen la lectura, etcétera. Entre las áreas seleccionadas, está el
departamento de Jalapa, donde según reporte del Instituto Nacional de estadística INE 12 de
Guatemala en 2006, más del 70 % de la población es pobre y de ese porcentaje, más del 30
% vive en extrema pobreza.
Uno de los más recientes proyectos de USAID en educación consiste en un “Diplomado
universitario en lectoescritura y matemáticas para la escuela primaria” de Jalapa. Dicho
diplomado es acreditado y co organizado con la Universidad Panamericana UPANA.
Pretende formar a los maestros de primaria de escuelas públicas de Jalapa en lectoescritura
y matemáticas, con la intención de impactar las prácticas docentes para lograr estándares y
competencias mínimas en ambas áreas en las niñas y niños egresados de primaria.
El Diplomado para maestros en servicio involucra sesiones presenciales, trabajo en línea,
acompañamiento en el aula, la formación de una comunidad de aprendizaje y otras formas
de educación a distancia. El propósito más importante es incidir en las prácticas docentes e
identificar las que SI facilitan el aprendizaje de la lectoescritura y matemáticas.
Los instrumentos a diseñar y aplicar corresponden al área de matemáticas para la que se
han propuesto tres indicadores que se observarán y en los que se espera mejoría en los
maestros en servicio:
1. Conocimiento del contenido matemático, particularmente los conceptos y la comprensión.
2. Aplicación de la didáctica de las matemáticas en el aula y también en actividades de la
comunidad.
3. Manifestación de actitudes positivas hacia las matemáticas y su conocimiento.
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76
Por medio de los instrumentos se espera obtener datos para medir logros en las prácticas
docentes y detectar posibilidades de mejora.
10
OCDE (2007) consultado en http://www.oecd.org/dataoecd/19/6/40043349.pdf el 28 de marzo de 2011 a
las 10:07 pm.
11
United States Agency for International Development USAID. Ver http://www.usaid.gov/
12
Encuesta de ENCOVI INE 2006 Guatemala
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MARCO TEORICO
Las inquietudes en cuanto a la mejor forma de enseñar matemáticas para que los estudiantes
aprendan han sido estudiadas por diferentes académicos a lo largo de los años. En el
presente capítulo se exponen las ideas de algunos especialistas y las sugerencias concretas
que años de investigación en diferentes áreas (psicología cognitiva, pedagogía, didáctica,
matemática educativa y otras) proponen como las mejores prácticas docentes en el área de
matemáticas de primaria.
2.1 Prácticas docentes
Los docentes realizan cotidianamente diferentes actividades. Deben planificar sus sesiones
de clase en base a un currículo oficial, relacionarse con los alumnos y sus padres, asistir a
reuniones con otros docentes, redactar informes, elaborar y aplicar pruebas, etcétera. Sin
embargo, el centro de su actividad estará siempre en las sesiones de clase donde se lleva a
cabo el proceso de enseñanza aprendizaje. Es en estas sesiones donde el docente intentará
con regularidad ofrecer a los estudiantes todas las posibles oportunidades para que ellos
logren un aprendizaje permanente.
El DRAE13 define la práctica como “modo o método que particularmente observa alguien
en sus operaciones” y también como “realizar ideas, planes, proyectos”; aparte, define el
término docente como “perteneciente o relativo a la enseñanza”.
Las prácticas docentes (en plural para distinguirlas del ejercicio de “práctica docente” que
los estudiantes de magisterio realizan antes de graduarse), se pueden definir entonces como
los métodos o formas que utilizan los maestros y maestras para facilitar (mejorar o inducir
de mejor forma) el aprendizaje.
Santoyo (2007)14, en una definición más actualizada, indica que las prácticas docentes son
“el proceder del profesor promoviendo zonas de construcción para propiciar que el alumno
se apropie de los saberes, impulsados por sus aportes y ayudas estructurados en las
actividades escolares, siguiendo cierta dirección intencionalmente determinada”.
Estudiar al docente en sus múltiples funciones y facetas es importante siempre que se desee
mejorar su labor. Estudiar sus prácticas frecuentes y la influencia que ellas tienen en el
aprendizaje de los estudiantes, es un tema amplio y profundo que puede ayudar a variar el
trabajo en búsqueda de la calidad.
13
14
Diccionario de la Real Academia Española de la Lengua
Santoyo, C. ( 2007 ). ¿Cómo responden las prácticas docentes a las necesidades básicas del alumno y a sus expectativas
sociales? Consulta realizada en http://www.lag.uia.mx/buenaval/buenaval4/b04comoresponden.pdf el 27 de febrero
de 2011 a las 10:00 pm
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Para efectos de esta investigación, se considerarán como prácticas docentes las que buscan
favorecer el aprendizaje y las de evaluación (que lo retroalimentan también para mejorarlo).
77
Estudios recientes como el de Bain (2007) y el de Vaillant (2002) logran identificar las
“mejores prácticas docentes” estudiando a los catedráticos considerados exitosos dentro de
la comunidad educativa en la que trabajan y también en la sociedad a la que sirven.
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2.2 Actividades de aprendizaje y de evaluación en la escuela primaria
La escuela primaria comprende, según el CNB de Guatemala, dos ciclos de tres grados cada
uno. El primer ciclo para estudiantes de 7 a 9 años y el segundo para estudiantes de 10 a 12
años. En todos los grados, los docentes deben organizar clases con actividades
significativas que favorezcan el aprendizaje.
Entre las prácticas docentes sugeridas por el Ministerio de Educación de Guatemala, se
encuentran las siguientes:






















Rutinas de inicio y finalización de la clase
Buen uso del pizarrón
Aprovechamiento de materiales y recursos del medio
Organizar trabajos en grupos
Asignación de tareas significativas
Organización variada del aula
Establecer normas sociales y de convivencia
Dar instrucciones
Revisar tareas y trabajos dando retroalimentación
Reflexionar sobre las acciones de los alumnos
Uso de material concreto
Aplicación de pruebas escritas
Escuchar expresiones orales
Realizar proyectos
Leer y redactar diversos tipos de trabajos
Organizar juegos
Realizar laboratorios y experimentar
Aprovechar los recursos tecnológicos
Analizar casos concretos
Construcción de un texto paralelo
Construcción de un portafolio
Aplicar autoevaluación, coevaluación y heteroevaluación
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78
Hay muchas más. De ellas, es valioso estudiar cuáles son las que los maestros en servicio
están utilizando y cuáles de ellas favorecen el aprendizaje en general y el de las
matemáticas en particular.
3. Prácticas docentes que favorecen el aprendizaje de las matemáticas en la escuela
primaria
Investigadores psicólogos, educadores y matemáticos educativos han identificado
actividades y prácticas específicas que favorecen el aprendizaje de las matemáticas y
evalúan convenientemente los avances y logros de los alumnos.
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Jean Piaget, Georges Cuisenaire, María Montessori, George Polya, los esposos va Hiele y
Vygotsky, entre otros, son investigadores con propuestas cuya aplicación se ha
implementado y estudiado a lo largo de los años.
Por ejemplo, Polya (1957) enunció los Diez Mandamientos para los Profesores de
Matemáticas:
1.- Interésese en su materia.
2.- Conozca su materia.
3.- Trate de leer las caras de sus estudiantes; trate de ver sus expectativas y dificultades;
póngase usted mismo en el lugar de ellos.
4.- Dese cuenta de que la mejor manera de aprender algo es descubriéndolo por uno
mismo.
5.- Dé a sus estudiantes no sólo información, sino el conocimiento de cómo hacerlo,
promueva actitudes mentales y el hábito del trabajo metódico.
6.- Permítales aprender a conjeturar.
7.- Permítales aprender a comprobar.
8.- Advierta que los rasgos del problema que tiene a la mano pueden ser útiles en la
solución de problemas futuros: trate de sacar a flote el patrón general que yace bajo la
presente situación concreta.
9.- No muestre todo el secreto a la primera: deje que sus estudiantes hagan sus conjeturas
antes; déjelos encontrar por ellos mismos tanto como sea posible.
10.- Sugiérales; no haga que se lo traguen a la fuerza”.
Uso de materiales manipulables

Trabajo de grupo cooperativo

Discusiones sobre matemáticas

Cuestionar y realizar conjeturas

Justificación del pensamiento

Escribir acerca de las matemáticas

Solución de problemas como enfoque de enseñanza

Integración de contenidos

Uso de calculadoras y computadores

El docente debe ser un facilitador del aprendizaje

Evaluar el aprendizaje como parte integral de la enseñanza

Conectar las matemáticas a otras materias y al mundo real
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
79
El National Council of Teachers of Mathematics - NCTM -recomienda el libro de Graham
y Fennell (2001) quienes identifican prácticas específicas que pueden ayudar a los
estudiantes a aprender matemáticas de forma efectiva. Entre otras, presentan estas
sugerencias de actividades (tanto de aprendizaje como de evaluación) para realizar en el
aula de matemáticas de primaria:
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
Conectar tópicos dentro del mismo campo matemático

Aplicar las matemáticas.

A la vez que sugieren disminuir:

Práctica mecánica

Memorización mecánica de reglas y fórmulas

Respuestas únicas y métodos únicos para encontrar respuestas

Uso de hojas de ejercicios rutinarios

Práctica de la escritura repetitiva

Enseñar diciendo

Enseñar a calcular fuera de contexto

Enfatizar la memorización

Examinar únicamente para las calificaciones

Que el docente sea el dispensador del conocimiento

Aprender tópicos aislados

Desarrollar habilidades fuera de contexto.
En general, los enfoques motivan a la práctica de actividades donde los niños y niñas se
integren, descubran y construyan en lugar de escuchar, copiar y realizar prácticas
repetitivas sin sentido.
En cuanto a la evaluación, se sugiere la evaluación variada, continua y de proceso, con
diferentes instrumentos limitando el uso de pruebas escritas y de la evaluación sumativa.
En el aula, las actividades de aprendizaje y de evaluación deben realizarse de forma
continua, apoyándose las unas en las otras recordando que el propósito de ambas es mejorar
el aprendizaje de cada niña y niño.
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80
2.3 Tendencias actuales en el aprendizaje de las matemáticas
En la actualidad, nuevos resultados sugieren propuestas de actividades que ayudan a
mejorar el aprendizaje de las matemáticas. Lampert (2001) llama la atención acerca del
ambiente de clase matematizado y de la interrelación tan importante entre los
conocimientos que adquieren los niños pero también la cultura matemática y social que
desarrollan en el salón de clases. Si el docente, dice Lampert, es maestro de matemáticas,
también lo es de ciudadanía, democracia y de otras prácticas sociales como la equidad y el
respeto.
Luengo (2001) propone formas de evaluar con un enfoque que también es integral y de
proceso. Indica que deben usarse instrumentos apropiados según las actividades de
evaluación que se propongan. También sugiere considerar la evaluación como un proceso
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con varias fases que deben atenderse con tiempo e interés, ya que cada una de ellas tiene un
propósito diferente que no se puede eliminar.
Antes de aplicar instrumentos de evaluación, estos deben prepararse, así como anticipar las
condiciones de su aplicación. Además, ser conocidos por los alumnos quienes deben
expresar sus expectativas respecto a los logros que van a hacer evidentes. En el momento
de la aplicación de los instrumentos, se deben dar instrucciones claras y propiciar un
ambiente relajado. Al estudiar los resultados, es importante señalar claramente la
información que se le dará a los alumnos como retroalimentación y también considerar
cómo podrían reaccionar.
El tipo de formas de evaluación y de instrumentos que se apliquen debe estar acorde a la
metodología participativa. No es posible aplicar conceptos e instrumentos “tradicionales”
que están enfocados a cuantificar conocimientos. Al trabajar con actividades participativas,
los procesos de evaluación deben ser diferentes, también participativos, de proceso,
integrales y variados. Deben aportar información para mejorar el aprendizaje de cada
estudiante.
2.4 Enfoque y actividades propuestas para el aprendizaje y la evaluación de las
matemáticas en el CNB de Guatemala.
El CNB (2006), Currículo Nacional Base de Guatemala, desarrollado por el Ministerio de
Educación (MINEDUC), parte fundamental de la Reforma Educativa iniciada después de la
firma de los Acuerdos de Paz en 1996, tiene como propósito mejorar la educación de las
niñas, niños y jóvenes de Guatemala hasta lograr cobertura de calidad para el 100% de la
población escolar.
Centrado en competencias, con ejes transversales que corresponden a los fines de la
educación para Guatemala, el currículo flexible y participativo propone centrarse en la
persona humana y sus relaciones con el propósito último de construir una nación solidaria
donde los ciudadanos valoren la diversidad y construyan, sobre ella, unidad.
Organizado por niveles, grados y áreas, el CNB favorece la integración de materias para
desarrollar competencias que ayuden a los alumnos en su formación integral.
15
MINEDUC (2006) Currículo Nacional Base. Guatemala: MINEDUC pp 96
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1. “Construye patrones y relaciones y los utiliza en el enunciado de proposiciones
geométricas, espaciales y estadísticas.
2. Utiliza elementos matemáticos para el mejoramiento y transformación del medio natural,
social y cultural.
3. Emite juicios sobre la generación y comprobación de hipótesis con respecto a hechos de la
vida cotidiana basándose en modelos estadísticos.
4. Aplica la información que obtiene de las formas geométricas para su utilización en la
resolución de problemas.
81
El área de matemáticas, fundamental en el CNB del MINEDUC (2006)15, tiene estas
competencias:
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5. Construye propuestas matemáticas a partir de modelos alternativos de la ciencia y la
cultura.
6. Expresa ideas y pensamientos con libertad y coherencia utilizando diferentes signos,
símbolos, gráficos, algoritmos y términos matemáticos.
7. Establece relaciones entre los conocimientos y tecnologías propias de su cultura y las de
otras culturas”.
Dichas competencias se deben construir o desarrollar por medio de actividades centradas en
los estudiantes utilizando contenidos procedimentales, actitudinales y conceptuales.
El enfoque del currículo es constructivista, por lo que las sesiones de clases se deben
organizar con un modelo inductivo para favorecer que los estudiantes descubran, intuyan y
construyan antes de generalizar leyes y realizar aplicaciones.
Tal como los expertos matemáticos educativos indican, los alumnos de primaria deben
utilizar materiales concretos de su contexto para posteriormente abstraer y generalizar.
El papel de los docentes es muy importante en esos procesos por lo que muchos de ellos
deberán modificar sus ideas previas acerca de su papel en el proceso de enseñanza
aprendizaje y deberán cambiar sus prácticas docentes, tanto las actividades que realizan
para favorecer aprendizajes, como las que diseñan para evaluarlo convenientemente.
Textualmente, el CNB16 indica cómo se deben orientar las actividades de aprendizaje: “Las
actividades que se relacionan con el aprendizaje de las matemáticas en cada uno de los
grados, se llevarán a cabo exitosamente si se conciben como un proceso constructivo y
explorador, si son organizadas de modo que los y las estudiantes se involucren en el
proceso de aprendizaje participativa y creativamente. Por supuesto, esto se logrará en la
medida que todos y todas tengan las mismas oportunidades para desenvolverse”.
Igualmente orienta la forma en que la comunidad educativa (que incluye alumnos,
docentes, administradores, padres y madres de familia y aún la comunidad donde la escuela
se encuentra), debe concebir y practicar la evaluación para que ésta cumpla con sus
propósitos esenciales.
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82
Utiliza además el concepto de indicadores de logro que define como “la actuación; es decir,
a la utilización del conocimiento. Son comportamientos manifiestos, evidencias, rasgos o
conjunto de rasgos observables del desempeño humano que, gracias a una argumentación
teórica bien fundamentada, permiten afirmar que aquello previsto se ha alcanzado”17.
El CNB es claro, está fundamentado en estudios sobre las Teorías de Aprendizaje más
actualizadas acerca de las formas de aprender en cada una de las áreas, a la vez que sugiere
la forma en que se debe implementar; también tiene un propósito importante de construir
una mejor nación, incluyente y democrática.
Si los maestros ponen en práctica las actividades de aprendizaje y evaluación sugeridas en
el CNB, con conciencia de sus propósitos, es factible mejorar cualitativa y
cuantitativamente la educación en Guatemala.
16
17
Idem pp107
MINEDUC(2006) CNB. Guatemala: MINEDUC. pp 24
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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Para mejorar la calidad educativa, son necesarios el diagnóstico, el cambio dentro del aula y
la medición de las modificaciones en las prácticas docentes que se pueden dar después de
formar a las y los maestros de primaria de Jalapa en las áreas que se han detectado en
estudios anteriores, como deficientes.
En la investigación se desea responder a la pregunta ¿qué prácticas tienen los docentes que
facilitan los cursos de matemáticas de los alumnos de primaria de Jalapa?
3.1 Objetivos
General:
Identificar qué prácticas tienen los docentes que facilitan los cursos de matemáticas de los
alumnos de primaria de Jalapa.
Específicos:
1. Establecer el nivel de manejo de contenido de matemáticas de los docentes de primaria de
Jalapa.
2. Señalar las prácticas docentes específicas de la matemática educativa que facilitan el
aprendizaje de las matemáticas de los alumnos de primaria en Jalapa.
3. Identificar las acciones que los docentes realizan dentro y fuera del aula de primaria para
promover una actitud positiva y abierta hacia las matemáticas y su estudio.
3.2 Variables de estudio
3.3 Las variables son esencialmente, las Prácticas docentes que incluyen el manejo de
contenido matemático, la planificación, la didáctica y evaluación y la actitud de los
maestros y maestras dentro del aula.
3.4 Alcances
A pesar de que se trata de un estudio muy específico en cuanto a Geografía y cantidad de
maestros involucrados, sí será posible identificar acciones exitosas que puedan ser
generalizadas en el territorio nacional particularmente en regiones con características
similares a Jalapa. Jalapa es un departamento que se puede considerar representativo en
cuanto a las prácticas docentes nacionales debido al tipo de estudiantes que atiende y a la
formación de sus maestras y maestros.
Aunque Jalapa es un departamento como tantos de Guatemala, con sus carencias y
dificultades, no es tampoco representativo en cuanto a la población maya que pobla el resto
del país, por ejemplo. Por lo que los datos se deben utilizar con prudencia para no intentar
generalizar métodos que se están adaptando al área de jalapa en particular.
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Debido a que el Diplomado es financiado por una entidad que NO es ni el sector público
(no es el MINEDUC quien ofrece la formación), ni una Universidad (no son becas
otorgadas por la Universidad UPANA), ni por los propios asistentes, los maestros, el nivel
de compromiso puede ser diferente al de maestros que se desean capacitar y gastan tiempo
y dinero en hacerlo, y al de maestros que se sienten obligados a asistir.
83
3.5 Límites
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MARCO METODOLOGICO
Para aplicar un instrumento que diera información objetiva, coherente y valiosa, se realizó
un estudio teórico de los elementos que el maestro o la maestra con prácticas docentes
efectivas presenta. En base a esta teoría y a la propuesta que el CNB hace, se encontraron
los aspectos fundamentales que todo buen maestro o maestra de matemáticas debe poseer.
Construyendo una tabla de especificaciones para ponderar los aspectos deseados se elaboró
una rúbrica detallada que dio lugar al instrumento utilizado para observar a los maestros y
maestras. En base a la población total, se estableció la muestra y luego se realizó la
observación.
Ya aplicado el instrumento, se obtuvieron los datos finales representativos y se analizaron.
4.1 SUJETOS
Inicialmente se esperaba una inscripción de 400 maestros de los diferentes municipios de
Jalapa en el Diplomado.
Posteriormente, AID indicó que solamente se daría beca en el Diplomado a los maestros
que tienen un contrato permanente con el Ministerio de educación de Guatemala. Debido a
esta restricción y a que se decidió trabajar únicamente en los municipios:



San Luis Jilotepeque
San Pedro Pinula
Monjas
identificados por la misma AID como zonas de oportunidad, finalmente hay inscritas
aproximadamente 250 personas.
Como el presente estudio no es cuantitativo, la propuesta es trabajar con hasta el 10% de
dicha población, o sea con 25 maestras y maestros seleccionados al azar.
Los participantes en el Diplomado varían en edad, ya que hay recién graduados de
alrededor de 20 años, y personas de más de 60. Hay hombres y mujeres en relación de 1 a
1. La mayoría no cuenta con estudios universitarios aunque casi todos tienen diplomas de
capacitaciones del Ministerio de Educación y de otras entidades.
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84
4.2 INSTRUMENTO
El instrumento que se utiliza es una rúbrica que se debe llenar de acuerdo a las prácticas
docentes y sus características en el aula. Cada docente se observa en la cotidianidad de su
trabajo y se califica con el instrumento. A continuación se presenta la Tabla de
Especificaciones que señala los aspectos a observar en los maestros y maestras y la
ponderación que a cada uno se da.
TABLA DE ESPECIFICACIONES
Prácticas
docentes
que
facilitan
de las matemáticas en alumnos de primaria de Jalapa
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el
aprendizaje
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Características a observar
1. Dominio de contenido matemático
Porcentaj
e
Número de
indicadores
a observar
30
3
40
8
30
3
a. Vocabulario técnico preciso
b. Relación de conceptos
c. Reconocimiento de la presencia de las matemáticas en la
vida cotidiana y en el contexto
2. Didáctica de las matemáticas
a. Planifica conforme al CNB
b. Atiende a los estilos de aprendizaje diferentes
c. Aplica TICs
d. Favorece el diálogo matemático
e. Usa el juego como actividad de aprendizaje
f. Usa material manipulativo
g. Se basa en el contexto para determinar los contenidos
h. Aplica evaluación integral y de proceso
3. Modelo de actitud positiva
a. Ambiente afectivo que favorece el aprendizaje
b. Actitud positiva ante el error
c. Creatividad e innovación
Esta tabla muestra la descripción de la escala en forma de rúbrica:
Rúbrica para calificar las
prácticas docentes
de las matemáticas en alumnos de primaria de jalapa
que
facilitan
el
aprendizaje
Objetivo
Excelente
Bueno
Mínimo
Pobre o nulo
E (90 -100%)
B (70-89%)
M (50-69%)
P (0 a 49%)
1. Dominio de contenido
matemático
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Características a
observar
85
Identificar las prácticas de los docentes que facilitan los cursos de de matemáticas de
primaria de jalapa.
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
Características a
observar
Vocabulario técnico
preciso
Relación de conceptos
PÁGINA
86
Reconocimiento de la
presencia de las
matemáticas en la vida
cotidiana y en el
contexto
23 a 28 | Julho | 2012
Belo Horizonte
Minas Gerais | Brasil
Excelente
Bueno
Mínimo
Pobre o nulo
E (90 -100%)
B (70-89%)
M (50-69%)
P (0 a 49%)
Usa
constantemen
te un
vocabulario
técnico
preciso,
correcto y
adaptado al
nivel y
necesidades
de los
alumnos.
Usa bastante
vocabulario
técnico de
forma precisa y
todos los
términos son
correctos y
considerando el
nivel y bastante
las necesidades
de los alumnos
Usa poco
vocabulario
técnico y algunos
términos están
mal usados y no
están adaptados
al nivel de los
alumnos.
Casi no usa
vocabulario
técnico
Relaciona
constantemen
te diferentes
conceptos
matemáticos
y no
matemáticos.
Relaciona con
frecuencia
conceptos
matemáticos y
no matemáticos.
Casi no relaciona
conceptos;
apenas se
perciben pocas
relaciones muy
evidentes.
No relaciona
conceptos. Los
enuncia
aislados unos
de otros.
Constanteme
nte señala la
relación de
las
matemáticas
con el
contexto y la
vida
cotidiana del
alumno.
Señala con
frecuencia las
relaciones con
el contexto y
ejemplifica
tomando, como
referencia, la
vida cotidiana
del alumno.
Casi no utiliza
ejemplos
contextuales.
Toma muy poco
en cuenta la vida
cotidiana de los
alumnos para
relacionarla con
las matemáticas.
No utiiza
ejemplos que
relacionen las
matemáticas
con el contexto
ni con la vida
cotidiana de los
alumnos.
y usa términos
equivocados e
incomprensibles
para los
alumnos.
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
Características a
observar
Excelente
Bueno
Mínimo
Pobre o nulo
E (90 -100%)
B (70-89%)
M (50-69%)
P (0 a 49%)
Planifica conforme al
CNB
Todos sus
planes
presentan los
elementos
propuestos
por el CNB
de una forma
coherente,
lógica y
realista.
Se evidencian
los elementos
del CNB
aunque no muy
coherentemente
o estos son poco
realistas.
Presenta algunos
elementos del
CNB de forma
desordenada,
incoherente o
poco realista.
Atiende a los estilos de
aprendizaje diferentes
Constanteme
nte varía las
actividades
para
favorecer los
diferentes
estilos de
aprendizaje.
Frecuentemente
varía las
actividades para
favorecer los
diferentes
estilos de
aprendizaje.
Ocasionalmente
Casi no varía
utiliza actividades las actividades.
para los diferentes
estilos de
aprendizaje.
Aplica TICs
Utiliza
constantemen
te las TICs de
diferentes
formas dentro
y fuera del
aula para
planificar,
elaborar
objetos de
aprendizaje,
diseñar
actividades y
comunicarse
Hace uso de las
TICs con
regularidad para
planificar sus
clases, diseñar
algunas
actividades o
comunicarse
ocasionalmente
con los
estudiantes.
Hace poco uso de
las TICs dentro
del aula. Fuera
del aula, usa TICs
como herramienta
personal para
planificar sus
clases o
comunicarse con
colegas.
2. Didáctica de las
matemáticas
No planifica de
acuerdo al
CNB.
23 a 28 | Julho | 2012
Belo Horizonte
Minas Gerais | Brasil
PÁGINA
87
No hace uso de
las TICs; las
rechaza e ignora
sus posibles
aplicaciones.
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
Excelente
Bueno
Mínimo
Pobre o nulo
E (90 -100%)
con los
estudiantes.
B (70-89%)
M (50-69%)
P (0 a 49%)
Favorece el diálogo
matemático
Constanteme
nte pregunta
o realiza
actividades
para que los
alumnos
dialoguen; los
exhorta a usar
vocabulario
matemático;
construye un
glosario con
los alumnos,
mantiene y
usa un
diccionario y
organiza
presentacione
s donde los
alumnos se
expresan
oralmente.
Regularmente
hace preguntas
utilizando
usando lenguaje
matemático;
ocasionalmente
organiza trabajo
en equipo en
donde se utilice
lenguaje
matemático; a
veces construye
un glosario o
recurre al
diccionario u
organiza
presentaciones
donde los
alumnos se
expresan
oralmente.
Alienta poco para
el uso de lenguaje
matemático. A
veces solicita que
en los trabajos en
grupo u orales se
utilice lenguaje
matemático. Casi
no usa el
diccionario ni
tiene un glosario
especial.
Organiza muy
pocas
presentaciones
orales.
No favorece el
leguaje ni el
diálogo
matemático. No
le presta
atención a cómo
se expresan los
alumnos. No
organiza
presentaciones
orales.
Usa el juego como
actividad de aprendizaje
Mantiene
juegos y
juguetes
dentro del
aula. Toma
tiempo de
clases para
jugar.
Aprovecha
los juegos
para enseñar.
Enseña
nuevos juegos
a los
alumnos.
Lleva juegos
para compartir
en clase. Toma
parte del tiempo
de clase para
jugar. A veces
planifica en
torno a un juego
nuevo.
Muy
ocasionalmente
lleva juegos o
permite un juego
en la clase.
No lleva juegos
ni juguetes al
aula. No toma
tiempo de
clases para
jugar.
Usa material
Mantiene
Tiene material
Usa pocas veces
Casi no usa o
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88
Características a
observar
23 a 28 | Julho | 2012
Belo Horizonte
Minas Gerais | Brasil
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
Se basa en el contexto
para determinar los
contenidos
Aplica evaluación
integral y de proceso
Bueno
Mínimo
Pobre o nulo
E (90 -100%)
material
manipulativo
dentro del
aula.
Organiza sus
clases para
aprovechar el
material
como medio
de
aprendizaje.
Utiliza
variedad de
material
manipulativo.
B (70-89%)
en clase que usa
ocasionalmente.
Organiza
algunas clases
usando material
para
aprendizaje.
Generalmente
usa el mismo
material.
M (50-69%)
P (0 a 49%)
uno o dos tipos de no usa material
material
manipulativo.
manipulativo.
No tiene
material en
Organiza pocas
clase.
clases para
Utiliza los
recursos del
medio como
periódicos o
revistas para
seleccionar
temas de
interés para
los alumnos.
Constanteme
nte presenta
ejemplos de
la vida de la
comunidad y
solicita a los
alumnos
investigacion
es de su
medio.
Se basa en
casos y
ejemplos de la
vida cotidiana
para seleccionar
temas de
estudio o
investigación.
Ocasionalmente
menciona temas
actuales o de la
comunidad para
ser estudiados en
clase o
relacionarlos con
el contenido.
No selecciona
los temas del
contenido del
contexto.
Hace
evaluación
diagnóstica,
formativa y
sumativa.
Aplica
diferentes
Hace
evaluación
diagnóstica,
formativa y
sumativa con
poca variedad
de
Usa pocos tipos
de evaluación y
uno o dos tipos de
instrumentos.
No presenta
variedad en el
tipo de
evaluación ni en
los instrumentos
que utiliza para
calificar. No
aprender con él.
No siempre
busca relacionar
los temas de
estudio con el
contexto.
Aplica auto o co
o
Sigue el orden
que él mismo
establece
independientemente de lo que
esté sucediendo
alrededor.
23 a 28 | Julho | 2012
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89
manipulativo
Excelente
PÁGINA
Características a
observar
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
Características a
observar
Excelente
Bueno
Mínimo
Pobre o nulo
E (90 -100%)
técnicas y
proyectos así
como
variedad de
instrumentos
que sus
alumnos
conocen.
Aplica auto,
co y
heteroevaluac
iòn.
B (70-89%)
instrumentos.
Aplica auto, co
o
heteroevaluaciò
n pero no todas.
M (50-69%)
heteroevaluación,
pero ni siquiera
dos de ellas.
P (0 a 49%)
aplica auto ni co
evaluación.
Ambiente afectivo que
favorece el aprendizaje
Mantiene el
buen humor,
las relaciones
son de
respeto y
cortesía, no
hay ruido
excesivo sino
el necesario
para
comunicarse.
Los
comentarios
acerca de las
matemáticas
son positivos.
Exhorta a los
alumnos a
esforzarse
pero de una
forma
asertiva.
El ambiente es
positivo en
general. Hay
respeto y pocas
faltas de
disciplina.
Puede haber o
no ruido pero
este no impide
el trabajo. La
mayoría de
comentarios
hacia las
matemáticas
son positivos.
Exhorta al
esfuerzo.
El ambiente es
tenso. Hay faltas
de respeto y falta
disciplina y
desorden en el
aula. Puede o no
haber silencio o
ruido que impide
el trabajo. Hay
comentarios
negativos hacia
las matemáticas.
El esfuerzo se
exige con poca
asertividad.
El ambiente de
la clase es
rígido. Las
relaciones son
tensas. Puede
haber o no
silencio pero
este no es
productivo. Los
comentarios
hacia la
matemática se
relacionan con
dificultad y se
favorece el
temor hacia
ellas.
Actitud positiva ante el
error
Los errores
se consideran
oportunidade
s de
Los errores se
manejan, en
general, como
oportunidades
En general no se
toleran los
errores y pocas
veces los alumnos
No hay
tolerancia hacia
el error. Los
alumnos no
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90
3. Modelo de actitud
positiva
23 a 28 | Julho | 2012
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Minas Gerais | Brasil
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
Bueno
Mínimo
Pobre o nulo
E (90 -100%)
aprendizaje,
no hay burlas
o
recriminacion
es por
equivocarse,
las dudas y
preguntas se
exponen con
espontaneida
d y se
responden
asertivamente
tanto por
otros alumnos
como por el
docente.
B (70-89%)
de aprendizaje.
Los alumnos sí
preguntan en
clase aunque a
veces se
contienen
porque hay
burlas
ocasionales.
M (50-69%)
hacen preguntas.
Hay burlas en el
ambiente y el
docente a veces
ridiculiza las
preguntas de los
alumnos.
P (0 a 49%)
preguntan por
temor a ser
ridiculizados.
Creatividad e innovación Se evidencian
actividades
adaptadas o
creadas por
el docente y
por los
alumnos para
trabajar las
matemáticas.
Hay
estimulación
para hacer
propuestas
novedosas
que se
exploran en
comunidad.
En general, hay
actividades
adaptadas y
novedosas,
muchas veces
creadas por el
docente y los
alumnos para
trabajar en el
aula.
En ocasiones se
adaptan o
presentan
actividades
novedosas
creadas por el
docente. En muy
pocas ocasiones,
los alumnos crean
actividades para
trabajar en el
aula.
Las actividades
no varían. No
se observan
adaptaciones ni
creaciones
novedosas por
parte del
docente ni por
parte de los
alumnos.
91
Excelente
4.3 PROCEDIMIENTO
Estos son los pasos seguidos para la aplicación del instrumento:
1. Selección de la muestra en base a la cantidad final de inscritos en el Diplomado.
2. Elaboración del horario de observaciones seleccionado al azar a los docentes
23 a 28 | Julho | 2012
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Características a
observar
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
3. Observación de las clases de los maestros
4. Tabulación de los resultados
4.4 TIPO DE EVALUACION
La evaluación es cuantitativa , de contexto y de modalidad de congruencia.
4.5 PROCESAMIENTO ESTADISTICO
La investigación es cuantitativa con un procedimiento estadístico simple. De la muestra de
250 participantes se seleccionó al azar proporcionalmente según la cantidad de inscritos de
cada municipio (San Luis, Monjas y San Pedro), el 10%.
Se observó a los 25 participantes aplicando el instrumento de observación y se realizó un
promedio simple de cada indicador.
RESULTADOS
Los resultados de la investigación se presentan en el mismo formato que se utilizó para
observar a los docentes. Aparecen en forma de promedio simple en cada unos de los
indicadores estudiados. Estos resultados son la base para establecer un posible cambio en
los maestros que participen del Diplomado, luego de los dos años de trabajo con ellos. Acá
se presenta el promedio general de una muestra, sin embargo, cada docente tiene un registro
propio personal.
Tabla de resultados de la observación inicial en el aula
Características a observar
1.
Dominio de contenido
matemático
Calificación de E, B, TOTAL
MoP
XXX
a.
Vocabulario técnico
4.05
b.
Relación de conceptos
2.05
c.
Reconocimiento de la
presencia de las matemáticas en la vida
cotidiana y en el contexto
5.3
preciso
PÁGINA
92
2.
matemáticas
a.
Didáctica de las
Planifica conforme al
c.
23 a 28 | Julho | 2012
Belo Horizonte
Minas Gerais | Brasil
Aplica TICs
XXX
XXX
XXX
XXX
1.5
CNB
b.
Atiende a los estilos de
aprendizaje diferentes
11.4/30
2.5
1.7
13.4/40
XXX
XXX
XXX
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
d.
Favorece el diálogo
1.2
matemático
e.
Usa el juego como
actividad de aprendizaje
f.
manipulativo
Usa material
2
1.3
g.
Se basa en el contexto
para determinar los contenidos
1.4
h.
y de proceso
1.8
Aplica evaluación integral
3. Modelo de actitud positiva
a.
Ambiente afectivo que
favorece el aprendizaje
XXX
6.4
b.
Actitud positiva ante el
5.2
c.
Creatividad e innovación
3.1
error
XXX
XXX
XXX
XXX
XXX
14.7/30
XXX
XXX
XXX
39.5/100
La tabla muestra el promedio que se obtuvo a considerar los 25 datos individuales de los
participantes observados.
En la segunda columna, están los promedios de los indicadores individuales. En la tercera,
las sumas de dichos aspectos para finalmente obtener un total general.
Debido a que estos son los resultados de una observación inicial, lo más evidente es que se
corrobora la necesidad de formación de los maestros en los tres aspectos propuestos. No
hay un conocimiento profundo de los contenidos matemáticos, no hay evidencia de las
actividades que se sabe facilitan el aprendizaje de las matemáticas en `primaria, ni la
actitud es tan buena como se esperaría en maestros y maestras de primaria.
Los resultados de esta muestra reflejan lo que los estudios indican. Las y los maestros de
primaria de Jalapa, específicamente de los municipios de Monjas, San Luis y San Pedro,
23 a 28 | Julho | 2012
Belo Horizonte
Minas Gerais | Brasil
PÁGINA
Las diferentes teorías e investigaciones en Matemática Educativa proponen métodos,
actividades, formas de evaluación, materiales, recursos y actitudes que efectivamente
favorecen el aprendizaje de las matemáticas en el nivel de primaria. Los resultados en
diferentes investigaciones que se realizan tanto fuera de Guatemala como en el país, indican
que muchas de estas sugerencias no se implementan.
93
DISCUSION DE RESULTADOS
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
evidencian un pobre conocimiento de matemáticas. Apenas un 38% de dominio del
contenido donde la mayor puntuación se da en relacionar los contenidos matemáticos con el
contexto y la menor en la relación de los conceptos entre si. Ninguno de los tres aspectos
estudiados sobrepasa el 50%.
En cuanto a la Didáctica y la Evaluación, se observa una muy leve tendencia a utilizar el
juego como herramienta de aprendizaje, y un esfuerzo no significativo por atender a los
diferentes estilos de aprendizaje. Los aspectos de utilizar material manipulativo, utilizar
Tics o planificar de acuerdo al CNB presentan resultados muy bajos, al igual que
seleccionar los contenidos atendiendo al contexto o evaluar de forma integral y de proceso.
En muy pocas ocasiones se favorece el diálogo matemático entre los estudiantes. El
porcentaje general de este rubro es de 33.5%, el más bajo de los tres estudiados.
Los docentes observados muestran una actitud positiva en el 49% de los casos mostrando
una calificación más alta en el indicador que muestra el ambiente del aula y la más baja, la
creatividad e innovación. El manejo del error se encuentra entre ambas calificaciones, todas
las cuales son muy bajas, como sucede en todos los aspectos observados, en general
CONCLUSIONES
PÁGINA
94
El Diplomado se justifica para los docentes en servicio de primaria. El nivel de
conocimientos matemáticos por debajo del 50% indica que no tienen dominio suficiente del
contenido que enseñan. Su vocabulario técnico tiene un nivel pobre (40.5%). En general,
no utilizan vocabulario técnico y, cuando lo usan, la terminología es equivocada e
incomprensible para los alumnos. Los maestros tienen dificultades aún mayores al
relacionar conceptos (20.5%). De hecho, no lo logran. Los contenidos se presentan aislados
unos de otros. Aunque el reconocimiento de la presencia de las matemáticas en la vida
cotidiana y en el contexto de los alumnos tiene un nivel más alto (50.3 %), que los dos
anteriores, sigue siendo muy bajo, los maestros casi no utilizan ejemplos contextuales y
toman muy poco en cuenta la vida cotidiana de los alumnos para relacionarla con las
matemáticas.
En cuanto a las prácticas docentes que facilitan el aprendizaje de las matemáticas de los
alumnos de primaria, se observa que poco más del 33 % de los maestros evidencia dichas
prácticas reconocidas como las que “facilitan el aprendizaje de las matemáticas” en el aula.
Así, el 30% planifica conforme al CNB, el 50% ocasionalmente utiliza actividades para los
diferentes estilos de aprendizaje, el 34% utiliza de alguna manera las Tics fuera del aula
para planificar sus clases pero hace poco uso dentro del aula. El diálogo matemático no se
alienta en el aula, no se favorece el lenguaje matemático, no se le presta atención a cómo se
expresan los alumnos. No se organizan presentaciones orales. Las clases permanecen
discursivas y poco participativas.
Entre las prácticas docentes se observa poco tiempo dedicado a jugar, no se llevan juguetes
al aula, solamente el 40% de los maestros dedica tiempo ocasional a jugar como medio de
aprendizaje. En menor grado, un 26% utiliza material concreto manipulativo. Lo que se
observa es su ausencia en el aula. De la muestra de maestros observados, el 28 % utiliza el
contexto para determinar contenidos. El resto, sigue un orden que él o ella misma establece,
independientemente de lo que está sucediendo alrededor del niño.
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La evaluación, parte integral de las prácticas docentes, no presenta variedad. Los
instrumentos son los mismos, en general no se aplica autoevaluación, ni coevaluación.
Solamente el 36 % de los maestros muestra variedad de instrumentos y formas para
evaluar. Tampoco en el momento o los momentos de evaluación se respetan o valoran las
diferencias de estilos de aprendizaje.
En cuanto a la actitud, a pesar de que es el resultado más alto (49%), no llega la nivel
considerado “mínimo” del 50%. El ambiente afectivo sí llega a un mínimo de 64 % que
nos indica que hay tensión, faltas de respeto y disciplina, ruido y comentarios negativos
hacia las matemáticas. El 52% de los maestros manejan asertivamente el error, pero el resto
no logra establecer una actitud que trabaje el error como forma de aprendizaje. Los
alumnos se burlan de los que se equivocan, sin que el docente intervenga. A veces, él o ella
misma ridiculizan a quienes se equivocan. Los alumnos, como consecuencia, preguntan
poco.
Por último, se observa poca innovación en el aula, monotonía, ni los maestros ni sus
alumnos crean ni aportan en el aprendizaje.
RECOMENDACIONES
Durante el Diplomado, diseñar actividades, promover lecturas, actuar para que los
estudiantes adquieran niveles altos de contenido matemático y para que desarrollen las
habilidades que le son propias al área: pensamiento abstracto y crítico y resolución de
problemas, uso de lenguaje y simbología matemática, entre otros. El nivel de matemáticas
que debe poseer un docente debe exceder considerablemente el de sus estudiantes. Además,
debe ser más profundo y general. El logro de este nivel debe ser una meta fundamental del
Diplomado.
PÁGINA
Siendo la actitud una cualidad difícil de cuantificar pero que se reconoce como muy
importante en el aprendizaje, se sugiere que se tenga especial cuidado en la dirección de las
relaciones interpersonales, en la forma en que los facilitadores del Diplomado identificarán
y manejarán errores. Del modelo que logren construir dependerá que los participantes
lleguen a reflexionar acerca de sus propias actitudes y se decidan a mejorarlas.
95
Las orientaciones pedagógicas actuales que incluyen desde el uso apropiado de Tics, hasta
el uso del juego y los materiales manipulativos en el aula de primaria, se deben divulgar
entre los docentes y modelar los cursos y sesiones presenciales para que los docentes
experimenten en si mismos, lo que se desea que reproduzcan en el aula. La metodología del
Diplomado deberá cumplir lo que ella misma espera que los maestros y maestras
eventualmente realicen en el aula. Así, deberán proponerse actividades lúdicas, aplicarse
Tics, mantener un ambiente de respeto y apertura, etcétera.
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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
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http://datos.bancomundial.org/indice/ios-indicadores-del-desarrollo-mundial
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http://www.congreso.gob.gt/Docs/PAZ/Acuerdo%20de%20paz%20firme%20y%20durader
a
Instituto Nacional de Estadísitca (INE) (2006) ENCOVI. Consulta en
http://www.ine.gob.gt/index.php?option=com_content&view=article&id=64:encovi2006&
catid=42:demografiaypoblacion&Itemid=64
Marini, A. (2003) Malnutrition and Poverty in Guatemala. World Bank Paper 2967,
disponible en línea http://econ.worldbank.org.
Ministerio de Educación de Guatemala (MINEDUC) (2006) Currículo Nacional Base.
Consulta en
http://www.mineduc.edu.gt/recursos/images/2/2d/Curriculo_Nacional_Base_Ciclo_I.pdf
Ministerio de Educación de Guatemala (MINEDUC) (2008) Políticas Educativas. Se
pueden consultar en
http://mineduc.gob.gt/portal/contenido/anuncios/politicasEducativas2008-
PÁGINA
96
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http://www.oecd.org/dataoecd/19/6/40043349.pdf
Real Academia Española de la Lengua (2009). Diccionario de la Real Academia Española
de la Lengua (DRAE). http://buscon.rae.es/draeI/
Santoyo, C. ( 2007 ). ¿Cómo responden las prácticas docentes a las necesidades básicas
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http://www.lag.uia.mx/buenaval/buenaval4/b04comoresponden.pdf
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Consulta en http://www.segeplan.gob.gt
UNICEF/ CONAPLAM (2000). Avances en el Cumplimento de las Metas de Cumbre
Mundial a favor de la Infancia. UNICEF: Guatemala.
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XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
O CONCEITO E A DEFINIÇÃO EM MATEMÁTICA NUMA
PERSPECTIVA DIALÉTICA - EXPERIÊNCIAS INVESTIGATIVAS
DO CONCEITUAR
PROF. Dr. João Bosco Laudares
PUCMinas – Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
RESUMO
A temática, a ser tratada nesta Palestra, numa perspectiva dialética, se refere ao conceito e a
definição, componentes da estruturação da Matemática, junto à axiomatização e a dedução.
Conceituar é uma atividade de compreensão e, definir é a formalização do conceito com o
uso da linguagem específica da área de conhecimento na qual se trabalha. Parte-se do
princípio que as estratégias da aprendizagem exigem atividades cognitivas a privilegiar a
significação, que se faz pela conquista da percepção ou do conceito de um objeto. A gênese
da atividade de conceituar passa pelo tratamento das relações do pensamento e da
linguagem, segundo formulações piagetianas e vigotskianas. Wallon(2008), teorizando o
ato e o pensamento, enfatiza que a conceituação se objetiva pela capacidade do homem de
construir uma representação. Entretanto, a capacidade de conceituar é adquirida por
experiências e práticas investigativas em ambiente social e cultural, quando o sujeito é
capaz, segundo Duval(2009), de coordenar representações semióticas heterogêneas,
evidenciando o conteúdo conceitual que estas representações exprimem. Serão
apresentados alguns resultados de investigação do conceituar.
Palavras-chave: Conceito - Definição - Experiências investigativas do conceituar
TRABALHO
As referências teóricas foram baseadas nas diversas áreas do conhecimento tais como a
construção do pensamento e a linguagem, registros semióticos e o pensamento,
intervenções em educação matemática que se constituíram suporte para análise da
metodologia com atividade conceitual e, a busca da compreensão do saber Matemático.
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PÁGINA
Coerente com o título deste texto apresenta-se uma reflexão teórica de dois componentes da
estruturação da Matemática: conceito e a definição, numa perspectiva dialética.
Apresentam-se também, resultados de experiências investigativas com atividades que
privilegiaram a temática de construção conceitual.
97
1. INTRODUÇÃO
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
Considera-se que a formação do conceito é parte integrante do processo de aprendizagem
do estudante e, problematiza-se as relações entre cognição humana e processo educacionais
com postulações de Piaget(1993), Vigotski(2009), Wallon(2008), Abrantes(2005),
Duval(2009), Pais(2001). Todos estes autores e pesquisadores buscam seus parâmetros para
edificação de suas teorias educacionais e da aprendizagem recorrendo a construção do
pensamento e da linguagem, a passagem do ato à atividade mental, representação mental
pela nossa natureza ontológica cognitiva do homem.
Parte-se da premissa da construção conceitual a partir de uma dimensão experiencial, social
e cultural do sujeito na sua relação com o outro e com as coisas para compreensão dos
fenômenos artificiais ou naturais, em suas variáveis e representações, na perspectiva da
apreensão do objeto físico ou simbólico.
2. A GÊNESE DO CONCEITO
A relevância da cognição nos processos de aprendizagem aponta à elaboração do conceito
como fundamento central, com raízes genéticas do pensamento e da linguagem, cuja
relação em desenvolvimento é uma grandeza variável. Assim,
as curvas desse desenvolvimento convergem e divergem constantemente,
cruzam-se, nivelam-se em determinados períodos e seguem paralelamente.
(Vigotski, 2009: p.111).
A inteligência como peculiaridade específica da cognição humana, que se faz pelo pensar e
na construção de uma linguagem, pode partir de um contato operacional da realidade, o que
Wallon(2008) define como a inteligência prática ou a inteligência das situações, a qual
define, um campo de percepções exteriores, sendo na ação as manifestações de códigos e,
na percepção, se exprime por enumerações e associações.
A conceituação, segundo ainda Wallon(2008) se objetiva pela capacidade do homem de
elaborar uma representação. O mesmo autor ao analisar os estágios de desenvolvimento
cognitivo, baseado em ponderações piagetianas, traz que,
Assim, o suporte da vida intelectual tem dois pilares a intencionalidade e a evocação, esta
que abre caminho para a linguagem, como elemento estruturante do conceito.
Não existe conceito, por mais abstrato que seja, que não implique alguma
imagem sensorial, e não existe imagem, por mais concreta que seja, que
não tenha por base uma palavra e que não faça entrar os limites do objeto
nos limites da palavra: é nesse sentido que nossas experiências mais
individuais já são moldadas pela sociedade. (Wallon, 2008, p. 223).
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além da intencionalidade, a representação exige o poder de evocar, e até
em dois degraus: por si mesma a representação evoca o ato ou a realidade
cuja imagem ela é. Mas também ela deve, por sua vez, poder ser evocada.
À anterioridade funcional da representação sobre o objeto inatual
sobrepõe-se a anterioridade do poder evocador sobre a representação ainda
inatual. A representação é, de certa forma, consecutiva a seu motivo, à
ideia que é preciso traduzir. (Wallon, 2008, p. 42).
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O primeiro conceito geral e real da criança aparece quando segundo Vigotski (2009)
quando a fala se torna intelectual, com significação, e o pensamento verbalizado, isto há um
desenvolvimento da função de nomear. Mas os processos de pensamento concreto surgem
antes da formação dos conceitos.
Vigotski( 2009:398) define que conceito é uma atividade mental pois “toda formação de
conceitos é um ato mais específico, mais autêntico e mais indiscutível de pensamento”. O
mesmo autor ao tratar do pensamento e palavra mostra uma trajetória da atividade mental, o
pensamento lingüístico passa das formas superiores e mais complexas, que encontram
expressão nos conceitos abstratos. (Vigotski, 2009, p.400).
E ainda define a relação estreita da palavra e pensamento como processo.
O pensamento não se exprime na palavra, mas nela se realiza. Por isto,
seria possível falar de formação(unidade do ser e do não-ser) do
pensamento na palavra. Todo pensamento procura unificar alguma coisa,
estabelecer uma relação entre coisas. Todo pensamento tem um
movimento, um fluxo, um desdobramento, em suma, o pensamento
cumpre alguma função, executa algum trabalho, resolve alguma tarefa.
(Vigotski, 2009, p.409).
Quanto a aprendizagem intelectual e sua relação com o pensamento humano, Duval(2009)
enfatiza que a aprendizagem Matemática constitui um espaço de análise de atividades
cognitivas como a conceitualização entre outras. A especificidade da aprendizagem da
Matemática, para o mesmo autor, requer a utilização de sistemas de expressão e de
representação, além da linguagem natural ou das imagens. Ao definir as representações
conscientes como aquelas com caráter intencional e que integralizam uma função de
objetivação se tem que
este caráter intencional das representações conscientes é essencial de um
ponto de vista cognitivo. Porque ele permite tomar conta do papel
fundamental da significação na determinação dos objetos que podem ser
remarcados por um sujeito. Em efeito, é sempre através de uma
significação que se faz a apreensão perceptiva ou conceitual de um objeto.
(Duval, 2009, p.41).
(Duval, 2009, p.82).
Quanto aos tipos de conceito, Vigotski(2009) faz uma classificação em conceitos
cotidianos(extra-escola) e escolar ou científico. Ora se na escola há sistema sistematização
rigorosa e formal do conceito, este se objetiva como uma definição, o que será tratado a
seguir.
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é preciso que um sujeito seja capaz de atingir o estado da coordenação de
representações semioticamente heterogêneas, para que ele possa
discriminar o representante e o representado, ou a representação e o
conteúdo conceitual que essa representação exprime, instancia ou ilustra.
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Desta forma fica definido que a conquista do conceito passa pela captação da significação
como condição, segundo o mesmo autor da objetivação pelo sujeito de seu pensamento,
pela linguagem, e ainda a aprendizagem se faz pela atividade conceitual a implicar a
coordenação de registros de representação. Relativamente, a atividade semiótica e a
atividade conceitual,
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Em suma, a elaboração do conceito é parte estruturante do processo de aprendizagem e tem
edificação no pensamento com aquisição da significação em processo numa atividade,
quando o sujeito cria uma representação.
3. DEFINIÇÃO E O CONCEITO DAS PROPOSIÇÕES MATEMÁTICAS
Segundo Huete e Bravo (2006, p. 68), “são quatro os tipos de aprendizagem matemática, a
saber: memorização, aprendizagem algorítmica, aprendizagem de conceitos e resolução de
problemas”. Na pesquisa realizada privilegiou-se como se dá a aprendizagem de conceitos.
Já Laudares (1987, p. 3), defende a aquisição do conceito matemático, buscando-se a
correlação com outras áreas, como por exemplo a Física, e a integração dos vários
compartimentos da Matemática, utilizando-se de
raciocínio e memorização, o ensino do essencial, a correlação dos
conceitos matemáticos com a vida real, com outras disciplinas
profissionalizantes e com a Física, especialmente, a interface, entre os
próprios compartimentos da Matemática, isto é, da Álgebra e do Cálculo
com a Geometria”.
Nas duas citações, é mostrado o trabalho dos conceitos na metodologia, entretanto é
importante entender a diferença da definição e do conceito.
A definição se faz quando da formalização de determinado conceito com a utilização da
linguagem técnica oral e escrita, com uso de simbologia própria e específica de cada área
do conhecimento, na qual se define uma proposição. Isto é, a definição exige uma inserção
do estudante no mundo da linguagem do conteúdo em estudo, com o uso de símbolos,
normas, códigos, padrões, registros peculiares na área em que se conceitua ou se define.
Pais (2001, p. 56) trata a diferenciação do conceito em relação à definição, da seguinte
forma:
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Aprender o significado de um conceito não é permanecer na exterioridade
de uma definição, pois sua complexidade não pode ser reduzida ao estrito
espaço de uma mensagem linguística. Definir é necessário, mas é muito
menos do que conceituar, porque o texto formal de uma definição só pode
apresentar alguns traços exteriores ao conceito. Por exemplo, a definição
de uma figura geométrica, por si só, não pode traduzir a essência do
conceito correspondente.
Com o domínio do conceito e da definição, o estudante consegue fazer a trajetória do saber
cotidiano ao saber escolar e deste, para o saber científico.
As situações didáticas, nas quais o professor envolve os estudantes, no trabalho com o
conceito matemático, devem ser de temáticas problematizadas da vida real, da tecnologia,
de questões qualitativas dos fenômenos em diversas áreas da Física, Química, Biologia,
Economia, entre outras, explicitando o conceito a ser estudado e, consequentemente,
favorecendo as condições de acesso ao saber escolar e científico, mas por aproximações,
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analogias, comparações, imitações, levantamento de conjecturas e hipóteses, essas a serem
justificadas mais tarde.
A partir da compreensão conceitual o estudante pode alcançar níveis satisfatórios de
generalidades e abstração, e então formular a definição. Aprender um conceito requer pela
didática um planejamento de situações variadas que privilegiem o trabalho com
significados ao nível sensível e perceptível do estudante.
O processamento da construção mental, pela generalização e abstração, é muitas vezes
obtido pela manipulação e operação de uma classe de objetos materiais nos quais se
internalizam os parâmetros conceituais, os quais emergem, via compreensão de relações,
interações, comparações.
Esta ação com estratégias numa dinâmica evolutiva de passos, etapas, idas e vindas em
movimento, é que Pais (2001, p. 58) denomina de “estado de devir”, no sentido de que, no
plano subjetivo, sempre é possível descortinar novos horizontes na compreensão de um
conceito.”
A abordagem multi e interdisciplinar facilita a emersão da totalidade oculta e obscura do
conceito, o qual se diversifica pelo processo racional da distinção das características
essências e peculiares da natureza científica do conteúdo de cada área.
O professor tenta, pela dimensão experimental de processos, práticas, manipulações,
modelagem, criação de situações e estratégias, iluminar o caminho da intuição, da
percepção e assim favorecer a posse do conceito pelo estudante.
A formação do conceito requer a construção de uma rede de situações, em que o “novo” se
apresenta revestido de situações já vivenciadas e articuladas longe de um contexto isolado,
assim
Na perspectiva da elaboração do conceito, Duval (2003) pela via do trabalho com situações,
traz a necessidade de a atividade matemática desenvolver uma diversidade de registros de
representação semiótica. O estudante é mobilizado pela natureza dinâmica operacional de
ativar que é próprio da atividade matemática. Assim, segundo o mesmo autor, a variedade
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A complexidade da elaboração conceitual se faz pela dificuldade do estudante de
coordenar, ao nível subjetivo de internalização, uma síntese de extensa e complexa rede de
significados com fundamentos e parâmetros a envolver a articulação de variáveis e
invariantes, requerendo uma reflexão crítica, relacional, subjetiva.
101
devemos observar ainda que a formação de um conceito não acontece
através de um único tipo de situação, da mesma forma como uma única
situação, geralmente, envolve uma diversidade de conceitos. O desafio
consiste em destacar os invariantes referentes ao conceito principal que
conduz a aprendizagem no momento considerado, articulando-os com
outros conceitos já aprendidos pelo aluno. De posse dos conceitos já
elaborados, o aluno é desafiado a compreender outras situações, onde
aparecem os novos conceitos e novos invariantes. Portanto, conclui-se que
a aprendizagem não pode ser efetuada em um contexto isolado, como se o
significado pudesse subsistir por si mesmo. (Pais, 2001, p. 60)
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de registros conduz à aprendizagem, pelas representações mentais construídas pelo
aprendiz.
Muitas vezes, as representações mentais não passam de representações
semióticas interiorizadas. As representações úteis ou pertinentes em
matemática são sempre representações semióticas interiorizadas em
interação com um tratamento de produção externa de representações
semióticas. (Duval, 2003, p. 31).
O desenvolvimento das capacidades de raciocínio, de análise e de visualização requer o
funcionamento cognitivo do estudante para a compreensão em matemática, base
epistemológica do trabalho com conceitos. Desta forma, a abordagem cognitiva traz
exigências de descrição, de ativação, de operação com desenvolvimento de habilidades a
permitir o estudante compreender, efetuar e controlar os processos presentes numa situação
proposta.
Duval (2003, p.13), defende que se pode conjecturar o seguinte: "a compreensão em
matemática supõe a coordenação de ao menos dois registros de representações
semióticas”. E define dois tipos destas representações: tratamento (permanecendo no
mesmo sistema) e conversão (mudando de sistema, mas conservando a referência aos
mesmos objetos).
Ao conceituar se faz com uma atividade de compreensão do objeto em estudo e da criação
subjetiva de significados pelo estudante. Definir é manipular símbolos, registros, sinais da
linguagem específica da área de conhecimento, na qual está imersa o objeto, o conceito em
abordagem.
Reconhecer que cada área possui seus sinais de linguagem oral e escrita, a serem
codificados e decodificados no uso dos saberes inerentes ao campo cognitivo em estudo,
pode servir para definir melhor as estratégias e situações de aprendizagem. Desta forma,
não há que negar que a definição se objetiva pela conquista da linguagem oral e escrita.
A não dominação de simbologia básica da linguagem é empecilho para o iniciante num
espaço novo cognitivo de transitar nas rotas conceituais do objeto em estudo.
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4. EXPERIÊNCIAS INVESTIGATIVAS DO CONCEITUAR
Tem sido objeto de estudo e investigação, do autor deste texto, a metodologia Matemática
quanto ao tratamento do conceito e da definição, para garantir uma aprendizagem
significativa a privilegiar a compreensão. Para tal, nos programas de pós-graduação, em
que atua, tem orientado trabalhos nesta temática apresentados a seguir.
I) A abordagem dos conceitos de limite, derivada e integral por professores de
Matemática e de disciplinas específicas de cursos de engenharia.
A pesquisa de Vaz (2010) foi realizada em Mestrado Acadêmico em Educação Tecnológica
do CEFET-MG quanto à abordagem dos conceitos de limite, derivada e integral. A análise
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é oriunda de observação de aulas e entrevistas semi-estruturada com professores de
Matemática e disciplinas específicas de curso de engenharia. O referencial teórico foi de
Duval (2003) quanto aos registros semióticos e aprendizagens intelectuais.
Quanto aos resultados se tem nas aulas as abordagens conceituais e do algebrismo,
favorecendo mais a este último pelos professores de Matemática. Quanto aos professores de
disciplinas específicas ficou reduzida a abordagem qualitativa dos conceitos tecnológicos
advindos de uma maior interpretação dos conceitos matemáticos, implícitos nos modelos
tecnológicos, em sua forma algébrica.
II) Construção de um objeto de aprendizagem para o reconhecimento de uma
cônica - Uma proposta recursiva.
A pesquisa de Oliveira (2011) consistiu na elaboração e utilização de um Objeto de
Aprendizagem - OA para identificar e conceituar uma cônica. Para isso, foi utilizado o
software dinâmico GeoGebra em todo processo de construção e identificação da cônica. A
construção do Objeto de Aprendizagem foi feita com a participação de alunos do Ensino
Médio. Os estudantes analisaram e discutiram, em atividades investigativas, diferentes
formas de utilização desse software para se chegar ao conceito de uma cônica numa
interpretação, exclusivamente gráfica. Os estudantes identificaram também o formato da
cônica por curvas verificadas em figuras/fotos do mundo real apresentadas por eles.
Propõe-se, no nível médio de escolaridade, numa primeira etapa, o tratamento dos
conceitos, sem a dedução algébrica da equação da cônica, num tratamento geométricográfico. Espera-se que numa sequência metodológica recursiva, numa segunda etapa, ou em
cursos superiores, especialmente, das Ciências exatas, se faça a integração da
figura(geometria) com a equação(álgebra), princípio da Geometria Analítica.
III)
Criação de um Objeto de Aprendizagem (OA) na resolução de problemas
para contribuir na aprendizagem de taxas relacionadas em aplicações de
situações problemas de fenômenos físicos.
O tratamento do conceito de tecnologia e a percepção sobre os cursos
superiores de Tecnologia na perspectiva da Educação Profissional
Tecnológica.
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IV)
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A pesquisa de Reis (2012), em desenvolvimento, tem como temática a criação de um objeto
de aprendizagem, com apoio de um SOFT para resolver problemas físicos de taxas de
variação e taxas relacionadas. Trata-se de uma estratégia para facilitar o entendimento do
conceito de taxas de variação e taxas relacionadas com resolução de problemas.
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Apesar desta Pesquisa não ser de experiência matemática, foi resumidamente relatada, por
se tratar da atividade de conceituar, temática desenvolvida. Trata-se também de
investigação orientada pelo autor deste texto.
A pesquisa de Torga (2011) contemplou aspectos relativos à seguinte questão: como
ocorrem o tratamento do conceito de tecnologia e a percepção sobre os cursos superiores de
tecnologia na perspectiva da Educação Profissional Tecnológica? Abrangeu dois métodos:
(a) análise documental, que buscou avaliar os documentos relacionados à educação
profissional tecnológica e aos Cursos Superiores de Tecnologia, e (b) estudo de campo, que
buscou identificar o conceito de tecnologia no discurso das coordenações, dos professores e
dos estudantes em Cursos Superiores de Tecnologia, com entrevista semiestruturada.
Os resultados sinalizam que o conceito em questão é tratado nos Cursos Superiores de
Tecnologia fora do contexto, de forma extremamente instrumental, como um fenômeno ahistórico e a partir de uma análise meramente semântica. Assim, o conceito de tecnologia
não é analisado a partir de seu caráter histórico, social e fundamentalmente humano.
Quanto à percepção sobre os Cursos Superiores de Tecnologia ficou mais evidente a visão
mercantilista, instrumental e profissionalizante.
O principal referencial teórico foi Álvaro Vieira Pinto, autor de uma obra volumosa de dois
extensos volumes (800páginas) de aprofundamento do estudo de conceito, intitulada:
“Conceito de tecnologia”.
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
As pesquisas em Educação objetivam a melhoria dos processos educacionais e muitas
delas têm estudo das estratégias de aprendizagem. Os debates acadêmicos nesta área
privilegiam a dialética entre entendimentos e habilidades ou procedimentos e conceitos.
Procedimentos/habilidades são relativos à linguagem Matemática simbólica e aos
algoritmos, já entendimento/conceito se referem à compreensão das proposições e das
idéias.
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104
Ao se referenciar em Vigotski, Piaget, Duval, Vieira Pinto, procurou-se buscar a gênese e o
desenvolvimento da atividade conceitual. A dialética da definição e do conceito pode trazer
parâmetros para uma prática educativa, a privilegiar mais a compreensão, desde que se
aprofundem as questões com os fundamentos estruturantes que dão suporte a elaboração
conceitual como: pensamento, linguagem, atividade e cognição.
REFERÊNCIAS
ABRANTES, P. (2005). Intervenções em educação matemática. Edição da associação de
professores de Matemática de Portugal.
DUVAL, R. (2003). Registros de representações semióticas e funcionamento cognitivo da
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compreensão em matemática. In: MACHADO, Silvia Dias Alcântara (Org.). Aprendizagem
em matemática: registro de representação semiótica. São Paulo: Papirus. pp.11 – 34.
DUVAL, R. (2009). Semiósis e pensamento humano.São Paulo: Editora livraria da física.
HUETE, J. C. Sánchez; BRAVO, J. A. Fernández (2006). O ensino da matemática:
fundamentos teóricos e bases psicopedagógicas. Porto Alegre: ARTMED.
LAUDARES, João Bosco. (1987). Educação matemática. Belo Horizonte: Editora CEFETMG.
OLIVEIRA, Adilson Lopes. (2011). Construção de um objeto de aprendizagem para o
reconhecimento de uma cônica. Dissertação do Mestrado em Ensino de Ciências da
PUCMinas.
PAIS, L. C. (2001). Didática da matemática: uma análise da influência francesa. Belo
Horizonte: Autêntica.
PONTE, J. P. BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. (2003). Investigações matemáticas
na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica.
REIS, Júlio Paulo. (2012). Pesquisa sobre o conceito de Taxa de Variação e Relacionadas
de Mestrado, em desenvolvimento, no Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da
PUCMnas
TORGA, Andréia Chicri. (2011). O tratamento do conceito de tecnologia e a percepção
sobre os cursos superiores de tecnologia na perspectiva da educação profissional
tecnológica. Dissertação de Mestrado em Educação Tecnológica do CEFET-MG.
WALLON, Henri. (2008). Do ato ao pensamento – Ensaio de psicologia comparada.
Petrópolis (RJ): Vozes.
VAZ, Ieda do Carmo. (2010). Os conceitos de Limite, Derivada e Integral em livros
didáticos de Cálculo e na perspectiva de professores de Matemática e de disciplinas
específicas em cursos de Engenharia. Dissertação de Mestrado em Educação Tecnológica
do CEFET/MG. Belo Horizonte.
VIEIRA PINTO, Álvaro. O conceito de Tecnologia. Rio de Janeiro: Contraponto, 2005.v 1.
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VIGOTSKI, Lev Semenovich. (2009). A construção do pensamento e da linguagem. São
Paulo: Editora WMF Martins Fontes.
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ANÁLISE DE RECURSOS DE GEOMETRIA DINÂMICA POR
PROFESSORES DE MATEMÁTICA
Ana Paula Jahn & Jana Trgalová
FEG UNESP – Brasil; Universidade Claude Bernard (Lyon 1) – França
[email protected]; [email protected]
Formação de Professores; Educação Continuada e Tecnologia Avançada
RESUMO
Este trabalho relata um estudo acerca da análise de recursos de geometria dinâmica (GD)
por professores de Matemática da Educação Básica. Tal análise foi realizada com base em
um questionário, elaborado no âmbito do projeto europeu InterGeo e cujo objetivo
principal é subsidiar a avaliação da qualidade de recursos de GD por seus usuários. Nesta
comunicação, apresentamos os resultados de duas experimentações envolvendo a utilização
do referido questionário por professores brasileiros e franceses e discutimos o potencial
desta ferramenta no desenvolvimento de competências profissionais necessárias para uso da
GD em sala de aula.
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106
INTRODUÇÃO
Este projeto insere-se na problemática da integração de tecnologias nas práticas de
professores de Matemática. Sabe-se hoje que o simples acesso às tecnologias não é
suficiente para apoiar esse tipo de prática. A profusão de recursos – principalmente os
digitais – torna difícil a tarefa do professor de identificar e escolher quais são pertinentes e
de qualidade para seu ensino. Além disso, a disponibilidade de recursos digitais não resolve
o problema da apropriação, uma vez que esta necessita de uma evolução nas competências
dos professores e também em suas representações sobre o papel da tecnologia no processo
de ensino e aprendizagem da Matemática. Isto nos remete diretamente à questão da
formação de professores e do desenvolvimento de recursos que possam assisti-los em seus
esforços de integração de ferramentas tecnológicas. Robert e Rogalsky (2005) consideram
que a escolha e a concepção de tarefas e situações de ensino fazem parte da atividade
profissional do professor. Salientam que os professores devem ser capazes de escolher e
analisar tarefas colocadas à sua disposição, em particular, para sua gestão em sala de aula.
Com base nesse pressuposto e concentrando-se em uma tecnologia específica – os
ambientes de Geometria Dinâmica (DGS) – pretendeu-se explorar a idéia de envolver
professores em um processo de avaliação da qualidade de recursos de geometria dinâmica
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(GD) disponíveis na Internet. O estudo centrou especial atenção na questão dos
conhecimentos e estratégias que podem ser mobilizados e/ou construídos pelo professor
para apropriar-se dos recursos de GD, quando confrontado a situações de análise e
avaliação destes.
Questionário de avaliação de recursos de GD
No âmbito do projeto europeu InterGeo18, a plataforma I2Geo tem por objetivo colocar a
disposição de professores recursos de GD para a sala de aula. A plataforma é baseado no
princípio do desenvolvimento comunitário: é um ambiente aberto, onde qualquer usuário
pode depositar recursos para compartilhar com outros usuários. É possível reutilizar os
recursos disponíveis, comentá-los e compartilhar experiências de utilização com alunos. A
fim de permitir a melhoria da qualidade dos recursos de GD disponíveis na plataforma,
implementamos um processo de qualidade baseado na avaliação dos recursos pelo usuário
(Trgalova et al., 2011). Para tanto, elaboramos um questionário de avaliação, organizado
em torno de diversas dimensões consideradas relevantes para avaliar a qualidade de um
recurso de GD: aspectos técnicos, dimensão matemática e instrumental do conteúdo,
contribuições da GD, implementação didática e pedagógica, aspectos ergonômicos. Para
cada dimensão, é proposto um item geral e um conjunto de critérios mais detalhados. O
quadro teórico para a elaboração do questionário e para as análises de sua utilização por
professores é constituído de constructos da Teoria da Situações de Brousseau (1988) que
propõe ferramentas de análise da atividade do aluno e do papel do professor; da aborgadem
instrumental de Rabardel (1995) que oferece bases para análise da atividade instrumentada
e de sua extensão, a abordagem documental descrita por Gueudet e Trouche (2009).
Resultados
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Para mais detalhes, ver: http://i2geo.net/
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Visando testar a pertinência e clareza dos critérios de qualidade propostos no questionário,
bem como estudar as primeiras utilizações deste instrumento para análise de um recurso de
GD, identificando as representações que os professores têm de um recurso de “boa
qualidade”, realizamos duas experimentações com grupos de professores brasileiros e
franceses (seis professores de cada país). Foram apresentados três recursos aos professores,
todos relativos a um mesmo conteúdo matemático. Os recursos compreendiam um texto
destinado ao professor e/ou ao aluno e um arquivo de GD. A modalidade de uso da GD
sugerida nos recursos era a mesma: em sala de Informática onde os alunos poderiam
manipular as figuras. A situação proposta aos professores seguiu o seguinte protocolo: 1)
num primeiro momento, cada professor deveria analisar o conteúdo de cada recurso
individualmente; 2) em seguida, em duplas, os professores deveriam analisar os recursos
utilizando o questionário; 3) cada professor deveria decidir individualmente se escolheria
os recursos para uso em sala de aula com seus alunos, com ou sem modificações, e por fim,
fazer sugestões para melhoria dos recursos. A análise dos dados coletados durante as
experimentações foi baseada na confrontação da análise “expert” dos recursos, realizada
por um pesquisador em Educação Matemática, com as análises realizadas pelos
professores.
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Experimentações com professores
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Os resultados mostram que algumas duplas de professores tiveram dificuldades para se
concentrar no conteúdo dos recursos durante as análises. Suas respostas a certos itens do
questionário não correspondiam às informações fornecidas pelo recurso, mas refletiam
esforços de interpretação de tais informações à luz de suas próprias experiências. As duas
experimentações diferem em alguns aspectos (variáveis metodológicas consideradas na
análise) e foram observados diferentes usos do questionário pelas duplas. Ainda assim, com
relação aos critérios determinantes para escolha de um recurso e sua eventual utilização em
sala de aula, em ambos os grupos, a correção do conteúdo matemático é apontada como
necessária e os professores dos dois países atribuem especial importância à dimensão
relativa às potencialidades da GD nas atividades propostas. Os resultados mostram a
pertiência de formar professores para a análise de recursos, pois alguns elementos
evidenciados no questionário chamaram a atenção dos professores sobre aspectos
relevantes do uso da GD, raramente observados ou considerados anteriormente à
experimentação.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BROUSSEAU, G. (1998). Théorie des Situations Didactiques. Grenoble: La Pensée
Sauvage Editions.
GUEUDET, G. TROUCHE, L. (2009), Towards new documentation systems for
mathematics teachers? Educational Studies in Mathematics 71, 199-218.
RABARDEL, P. (1995). Les hommes et les technologies: Approche cognitive des
instruments contemporains. Paris: Armand Colin.
ROBERT, A., ROGALSKI, J. (2005). A cross-analysis of the mathematics teacher’s
activity. An example in a French 10th-grade class. Educational Studies in Mathematics 59,
269-298.
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TRGALOVÁ, J., SOURY-LAVERGNE, S., JAHN, A. P. (2011), Quality assessment
process for dynamic geometry resources in Intergeo project, ZDM 43, 337-351.
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FORMACIÓN A DISTANCIA DE PROFESORES DE MATEMÁTICA:
EL CASO DE URUGUAY
Gustavo E. Bermúdez Canzani
Consejo de Formación en Educación (ANEP) URUGUAY
[email protected]
Formación de profesores
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Desde 2003, se desarrolla el programa PROFESORADO SEMIPRESENCIAL. Este
programa, intenta utilizar eficazmente los recursos existentes en el país en la formación de
profesores: combina la presencialidad en el cursado de algunas asignaturas en un Instituto
con la formación a distancia de otras: el alumno cursa de forma presencial, las asignaturas
que son del núcleo común o básico a todas las especialidades en un Instituto de su localidad
y a distancia, las específicas de su disciplina. En esta conferencia, se mostrarán las
características especiales del plan y en particular, su implementación en la formación de
profesores de matemática.
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HACIA UNA FORMACIÓN DOCENTE CON LA MIRADA EN EL
AULA
Patricia Lestón
Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González”. (Argentina)
[email protected]
Campo de investigación: Formación de Profesores. Nivel educativo: Superior
RESUMEN
El Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González” de Argentina está desde
hace casi 10 años en proceso de actualización de los diseños curriculares de todas sus
carreras, entre ellas, el Profesorado de Matemática. El cambio más profundo de este nuevo
plan de estudios se fundamenta en la aparición de un nuevo eje de formación: El Eje de
Aproximación a la Realidad y de la Práctica Docente.
En este nuevo eje se incluyen cuatro espacios, uno en cada año de la formación. El objetivo
de cada uno de estos espacios es lograr que los futuros docentes articulen los conocimientos
que han construido en el Eje Disciplinar y los conocimientos del Eje de Formación Común
de Docentes, con la mirada puesta en el aula de matemática, que es donde finalmente van a
desarrollar su tarea los futuros docentes cuando hayan egresado. En esta oportunidad,
reflexionaremos sobre los cambios que este nuevo diseño curricular ha logrado en la
formación de los docentes.
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Palabras clave: trabajo de campo, diseño curricular del profesorado
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SISTEMA INTELIGENTE PARA EL ALGEBRA LINEAL.
Dra. Olga Lidia Pérez González.
Facultad de Informática, Universidad de Camagüey, Cuba.
[email protected];
Nivel: Superior
Categoría: Tecnología avanzada
RESUMEN
El trabajo describe cómo se diseñó esta herramienta informática (Caballero, y otros, 2011).
Se explican sus fundamentos teóricos relacionados con las técnicas de Inteligencia
Artificial para clasificar, utilizando el clasificador k-vecinos más cercanos K-NN
(Caballero Y. , 2010), y con los cinco problemas tipos del Álgebra Lineal (Yordi, 2004).
Se muestran los resultados obtenidos después de su utilización durante dos cursos y se
analiza la incidencia de su utilización en la autoevaluación del estudiante y en la
comprensión de los contenidos de esta asignatura.
TRABAJO
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El SIAL es un Sistemas Basados en Conocimiento (SBC), que es una herramienta de la
Inteligencia Artificial. Los SBC son un modelo computacional de más alto nivel que el
paradigma de la programación convencional, en el cual los sistemas están formados por tres
componentes: la base de conocimiento (BC), la máquina de inferencia (MI) y la interfaz. La
BC será el componente más importante y tendrá asociado un formato el cual indica cómo el
conocimiento será representado internamente. A este formato se le denominará Forma de
Representación del Conocimiento (FRC).
111
En el Álgebra Lineal el estudiante requiere de un tiempo prolongado de estudio
independiente dado lo abstracto de su contenido y la necesidad de adquirir habilidades en
aras de lograr los objetivos de la asignatura y que los problemas del tema de Espacios
Vectoriales. Por lo general, las tareas del tema espacios vectoriales tienen diferentes
caminos o vías de solución, lo que se ha convertido en un inconveniente desde el punto de
vista de que el estudiante trata de reproducir el algoritmo propuesto por el profesor y no
desarrolla algoritmos propios, restringiendo así su capacidad de razonamiento. Es por eso
que se diseñó e implementó un Sistema Inteligente para el Algebra Lineal (SIAL), que
sugiera las vías de solución, y no las soluciones, a las tareas.
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
Los SBC se dividen en dos grandes grupos atendiendo al tipo de base de conocimiento que
posean: Los Sistemas Basados en Reglas y los Sistemas Basados en Casos, los cuales como
su nombre lo indica cuentan con una base de casos o ejemplos. Los Sistemas Basados en
Casos, específicamente, brindan una opción factible para derivar una clasificación de un
nuevo caso basado en los ejemplos almacenados, tienen la característica de aprender a
medida que crece la base de casos o a partir de la llegada de un nuevo ejemplo.
El SIAL es un sistema basado en caso, en su funcionamiento la solución de un nuevo
problema se realiza a partir de las soluciones conocidas para un conjunto de problemas
previamente resueltos (o no resueltos). Su rasgo distintivo es el hecho de utilizar
directamente la información almacenada en la memoria del sistema sobre los problemas.
El RBC significa razonar en base a experiencias. Es una alternativa entre otras
metodologías para construir sistemas basados en el conocimiento que se asemejan en gran
medida a la forma de razonamiento humano. Al razonar basado en casos, el solucionador de
problemas recuerda situaciones previas similares a la actual y las usa para ayudar a resolver
el nuevo problema.
El trabajo describe cómo se diseñó esta herramienta informática (Caballero, y otros, 2011).
Se explican sus fundamentos teóricos relacionados con las técnicas de Inteligencia
Artificial para clasificar, utilizando el clasificador k-vecinos más cercanos K-NN
(Caballero Y. , 2010), y con los cinco problemas tipos del Álgebra Lineal (Yordi, 2004).
Se muestran los resultados obtenidos después de su utilización durante dos cursos y se
analiza la incidencia de su utilización en la autoevaluación del estudiante y en la
comprensión de los contenidos de esta asignatura.
REFERENCIAS
Caballero, P., Pérez, O., Docampo, L., Casas, L., Yordi, I., Coello, y otros. (2011). Sistema
Experto para el Algebra Lineal. XII Congreso de la Sociedad Cubana de Matemática y
Computación (COMPUMAT2011), (págs. 25-37). Villa Clara, Cuba.
Caballero, Y. (2010). La Teoría de los Conjuntos Aproximados para el Descubrimiento de
Conocimiento. Revista DYNA , 77 (162), 261-270.
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Yordi, I. (2004). Metodología para formar en los estudiantes de Ingeniería Eléctrica la
habilidad de calcular en Álgebra Lineal con sentido amplio. Tesis doctoral, Universidad de
Camagüey, Departamento de Matemática, Camagüey, Cuba.
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CAPACITACIÓN EN CONTEXTO PARA LA PREPARACIÓN DE
LOS MAESTROS QUE IMPARTEN LA MATEMÁTICA.
Dra. Carmen Evarista Matías Pérez
Decana de la Facultad de Ciencias de la Educación, Universidad Autónoma de Santo
Domingo, República Dominicana.
[email protected]
Nivel: Capacitación para el trabajo Categoría: Capacitación para el trabajo
RESUMEN
En la conferencia se utilizan los postulados teóricos sobre la capacitación en contexto
(Matías, 2010), con el fin de contribuir al mejoramiento de la preparación del maestro que
imparte la asignatura Matemática. Se describe y argumenta la orientación y organización
del contenido de este tipo de capacitación, las acciones de capacitación que deben
realizarse, las vías que se deben seguir, como estrategia de implementación, así como los
momentos de su ejecución. Se explica la estrategia a seguir y se describe y fundamenta la
implementación de la estrategia en República Dominicana y se hace una valoración de sus
resultados.
En la actualidad se manifiesta una contradicción entre la formación de los maestros y las
demandas crecientes de la sociedad sobre la Matemática, así como la necesidad de tomar
decisiones y adoptar alternativas que permitan incidir en el perfeccionamiento de la práctica
de los maestros en el proceso de formación permanente.
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Constantemente los maestros deberán estar preparados ante los cambios que
ineludiblemente sucederán en relación al proceso enseñanza-aprendizaje de la Matemática,
como una necesidad de la sociedad actual, de ahí la importancia de que los maestros tengan
que actualizar, re-evaluar y profundizar en el sistema de conocimientos, los métodos y
estrategias que supuestamente les resultaron efectivas y eficaces durante su formación, para
dar paso a nuevas estrategias que posibiliten el logro de las metas actuales: una educación
matemática para el Siglo XXI (González, 1999).
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TRABALHO
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En consideración a lo anterior, surge la necesidad de dar respuesta al siguiente problema de
investigación:
¿Cómo contribuir al mejoramiento del proceso de formación permanente de los maestros
que imparten la asignatura Matemática?, ante este problema la estructura teórica de la
investigación sigue el curso de las respuestas a las siguientes preguntas: ¿Cuáles podrían
ser los fundamentos teóricos que sustenten una propuesta de capacitación en contexto?,
¿Cuál es la situación actual de la formación de los maestros que imparten la asignatura
Matemática? Y ¿Qué características debe tener la propuesta de capacitación en contexto
que contribuya al mejoramiento del proceso de formación permanente de los maestros que
imparten la asignatura Matemática?.
Dada la diversidad de términos utilizados, para determinar las diferentes etapas del proceso
de formación de maestros, se precisa asumir una posición teórica para la realización de la
presente investigación. En este sentido se asumen los postulados teóricos de la teoría de
capacitación en contexto de Matías, 2010, la cual precisa que este tipo de capacitación es la
que se desarrolla a través de un sistema de acciones inherentes a la formación permanente
de los maestros, organizada por las universidades u otras entidades autorizadas y que se
realiza mediante un conjunto de acciones pedagógicas que completa o actualiza su
formación inicial con el propósito de perfeccionar el desempeño.
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La capacitación en contexto debe partir de un diagnóstico de las necesidades de
capacitación, preferiblemente a través de estudios de casos, concebir una concepción bien
definida de su planificación y ejecución, así como la evaluación de sus resultados. Cada una
de las acciones realizadas deberán organizarse con carácter cíclico y su contenido debe
estar referido a aspectos didácticos y sociales, acorde al contexto donde se realice.
Desarrollándose en el marco de la propia práctica profesional de los maestros e
incorporando su experiencia profesional, las vivencias personales, familiares y sociales, de
modo que contribuyan a lograr el mejoramiento profesional y humano de los maestros, al
conciliarse la motivación con sus intereses personales y los sociales (Ibídem; pág. 73).
Para la capacitación en contexto se deben propiciar relaciones de coordinación entre las
formas de superación y el acompañamiento del trabajo del maestro, que incluya la
supervisión de su práctica, la autoreflexión del maestro, así como la reflexión, individual y
colectiva sobre la práctica. En estas relaciones, se consideran como formas fundamentales
el diplomado, el entrenamiento, el trabajo cooperativo, la reflexión sobre la propia práctica
y la autopreparación, las cuales articulan con las conferencias y talleres, que son
consideradas como complementarias para reforzar las acciones previstas, así como para
valorar su eficacia La estrategia de implementación deberá partir del entrenamiento, de
modo que el trabajo que se realice tenga como sustento el diagnóstico, derivando del
mismo el plan de capacitación, deberá, además, concebir la observación/ evaluación, de
modo que se jerarquice la supervisión del trabajo del docente, en las clases y se propicie la
reflexión individual y colectiva con respecto a su actuación en el aula, e integrado a los dos
aspectos anteriores, concebir el actuar indagativo/investigación (Rizo & Campistrous,
2005).
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En la conferencia se utilizan los postulados teóricos sobre la capacitación en contexto
(Matías, 2010), con el fin de contribuir al mejoramiento de la preparación del maestro que
imparte la asignatura Matemática. Se describe y argumenta la orientación y organización
del contenido de este tipo de capacitación, las acciones de capacitación que deben
realizarse, las vías que se deben seguir, como estrategia de implementación, así como los
momentos de su ejecución. Se explica la estrategia a seguir y se describe y fundamenta la
implementación de la estrategia en República Dominicana y se hace una valoración de sus
resultados.
BIBLIOGRAFÍA
González, F. (1999). Los nuevos roles del profesor de matemática. Retos de la Formación
de Docentes para el Siglo XXI. Reporte de Investigación, Comité Latinoamericano de
Matemática Educativa, XIII Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa , Santo
Domingo.
Matías, E. (2010). Capacitación en contexto que contribuya al mejoramiento de la
preparación del maestro que imparte la asignatura Matemática en la Educación Básica en
República Dominicana. Tesis Doctoral, Universidad de la Habana, Habana.
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Rizo, C.; Campistrous, L. (2005). Conferencias sobre Metodología de la Investigación.
Conferencias de la Maestría sobre Calidad de la Docencia Universitaria (pág. 23). San
Luis Potosí, México: Universidad de Tangamanga.
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RESIGNIFICACIÓN DEL CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA
DESDE LA TEORÍA SOCIOEPISTEMOLOGÍA
Guadalupe Cabañas-Sánchez,
Universidad Autónoma de Guerrero
[email protected]
Resignificación, integral definida, Socioepisteomología, prácticas del salón de clases.
Superior
RESUMEN
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Poco se ha documentado acerca de la construcción de significados en el aula
con relación al concepto de integral definida, en los que se ponga de relieve a
la conservación del área de regiones planas ubicadas debajo de la gráfica de
una función continua y positiva. En esta comunicación presentamos un estudio
que trata sobre la resignificación, un concepto que proviene de la teoría
socioepistemología y como ejemplo de ello, a la integral definida, vista como
área bajo una curva. En la resignificación de este concepto, la noción de
conservación del área es fundamental, al constituirse en eje rector de las
explicaciones de los estudiantes y de las acciones didácticas del profesor al
tiempo que conservan, comparan y representan la medida del área en
contextos tanto numéricos, geométricos y analíticos. Se privilegia además, la
discusión colectiva sobre el comportamiento de las funciones al analizar las
regiones de área respecto de su forma y posición relativa en el plano
cartesiano. Documentamos la evolución colectiva de significados de un grupo
de estudiantes de matemáticas mediante el análisis de seis prácticas
matemáticas desarrolladas durante diez sesiones, de dos horas cada una.
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O CONHECIMENTO MATEMÁTICO NA FORMAÇÃO DO
PROFESSOR DE MATEMÁTICA
Nilza Eigenheer Bertoni
Professora Assistente aposentada da Universidade de Brasília.
Doutora Honoris Causa pela Universidade de Brasília.
RESUMO
Trataremos da distância entre os conteúdos veiculados nas disciplinas de licenciatura em
matemática e os conteúdos que o professor deve ensinar no ensino básico, resultando em
um desempenho superficial do professor, sem um aprofundamento matemático.
Mostraremos mitos, ocultamentos e erros presentes em muitos livros didáticos de
matemática, e de como a formação recebida não permite ao professor superá-los e nem
sequer percebê-los. Concluiremos pela urgência de reformulação das disciplinas de
conteúdo matemático que integram o currículo do curso.
TRABALHO
Já na implantação do primeiro curso de formação de professores secundários de matemática
no Brasil, quando da fundação da Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de São Paulo,
em 1934, a formação matemática veiculada visou mais a formação de uma elite matemática
no país do que professores para a sala de aula. A formação propriamente docente era feita
em um quarto ano de estudos, em disciplinas ministradas na Faculdade de Educação. Essa
separação horizontal deu origem a outra vertical, criando um paralelismo entre disciplinas
de conteúdo matemático e outras, de Educação Matemática ou psico-pedagógicas, voltadas
para a formação docente.
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Sem amparo de uma formação específica voltada para o que precisa ensinar, a maioria dos
os professores limita-se a um ensino superficial de regras e procedimentos, apoiando-se em
livros que assim o fazem, sem possibilidade de explicações lógicas ou aprofundamentos.
Segundo a editora chefe de uma grande editora brasileira, a margem para a venda de livros
inovadores é exígua, pois os professores querem cada vez mais do mesmo. Não há pejo
nem dor de consciência nesse procedimento – é isso que a matemática escolar se tornou,
assim são a maioria dos livros, assim fazem os colegas, eles não foram formados para atuar
diferentemente ou ver contradições. Os próprios autores de livros didáticos ressentem-se
117
Os cálculos, álgebras e outras disciplinas permanecem orientadas para a formação do
bacharel, criando um fosso de separação com a matemática a ser veiculada em sala de aula,
ainda mais acentuado em relação à matemática do ensino fundamental.
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da falha nessa formação. Já há tempo, observamos que muitos dos livros didáticos
apresentam mitos, ocultamentos e erros.
São questões que foram chamando minha atenção ao longo de muitos anos, em contatos
com livros didáticos e situações de sala de aula. Essas denominações não permitem uma
divisão e enquadramento das questões observadas de modo preciso. Representam apenas
um aspecto que, para mim, pareceu mais acentuado na questão.
Elas vulnerabilizam a competência profissional do professor, quanto ao embasamento e
sustentação que ele deve ter dos conhecimentos constituintes das propostas curriculares,
comprometendo a aprendizagem do aluno, quanto à aquisição de um senso lógico do saber
matemático. Impedem ao professor uma relação mais sólida com a matemática, incluindo
a possibilidade de percebê-la com maior apreço, curiosidade e admiração - vetores sem os
quais os conhecimentos matemáticos do professor ficam instáveis e desvinculados de sua
prática profissional.
Como alguns mitos na matemática do ensino básico, citamos: a soma e a subtração de
frações demanda o conhecimento prévio do mínimo múltiplo comum e do máximo divisor
comum; o conceito de fração demanda a divisão de figuras geométricas em partes iguais e o
destaque de algumas partes; existem apenas alguns números irracionais, esparsos na reta
numérica: √2, √3, , e ...; é impossível ensinar matemática sem seguir uma cadeia linear
de pré-requisitos.
Podemos encontrar exemplos de erros na expressão racionalizar o denominador,
(inadequação - denominadores são números inteiros, e o certo seria falar em racionalizar o
divisor) na afirmação de que os lados de polígonos não se cruzam (sem considerar os
polígonos estrelados); na associação de irracionais com raízes de números naturais; na
explicação dada para a irracionalidade de  - na experiência de medição do contorno do
círculo e do diâmetro
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118
Mais presentes e extensos são os ocultamentos. Por exemplo, toda a lógica por trás dos
procedimentos aritméticos e algébricos fica oculta.
Por um lado, os alunos querem saber o porquê dos procedimentos – porque recuam uma
casa na multiplicação de dois algarismos, porque a divisão de frações se faz por uma
multiplicação, porque na soma e subtração de frações se usa um denominador comum e na
multiplicação não, porque a multiplicação de dois negativos dá um positivo. Por outro lado,
ao perceberem o que buscam nos algoritmos, é frequente construírem processos próprios,
muitas vezes indecifráveis para o professor. Ocultamentos ocorrem no aparecimento do
número racional como quociente de dois naturais, com a mesma notação da fração
aprendida como parte-todo e interpretado como tal. Ou o fato da representação decimal das
frações ser obtida pela divisão do numerados pelo denominador, e essa divisão conduzir
sempre a expressões finitas ou infinitas periódicas.
De modo geral, o professor sente inúmeras dificuldades em pontos matemáticos. Para o
ensino médio, há o erro de se definir logaritmo como inversa da exponencial, quando esta
ainda náo está definida na reta toda.
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Em geral, esses pontos podem ser mediados por tratamentos metodológicos, muitas vezes
baseados em intuição, mas merecem ser apresentados ao professor com a matemática que
lhes dá suporte requerendo uma riigorosa redefinição das disciplinas de conteúdo
matemáticos na formação do professor.
REFERÊNCIAS
SILVA, C. M. S. da. A Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras da USP e a formação de
professores
de
matemática.
Disponível
em
http://www.ufrrj.br/emanped/paginas/conteudo_producoes/docs_23/faculdade_filosofia.pdf
. Acessado em 16/04/2012.
BALL., D. L.; THAMES, M. H.;PHELPS, G. Content Knowledge for Teaching. What
Makes It Special? Journal of Teacher Education, Volume 59 Number 5
November/December 2008 389-407
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WU, H. The Mis-Education of Mathematics Teachers. Notices of the AMS. Volume 58,
Number 3
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UNA EVOLUCIÓN DE LA ANALITICIDAD DE LAS FUNCIONES EN
EL SIGLO XIX. UN ESTUDIO SOCIOEPISTEMOLÓGICO
Lianggi Espinoza Ramirez
Cinvestav IPN. México.
[email protected]
Categoría: Socioepistemología. Nivel educativo: Superior.
RESUMEN
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Con motivo a la entrega del premio Simón Bolívar a la mejor tesis de posgrado en
matemática educativa, presentamos los principales resultado de la investigación.
Estudiamos una evolución de la analiticidad de las funciones en el siglo XIX con la
intencionalidad de entender la construcción social del conocimiento matemático desde los
ojos y el mundo del otro en vez del nuestro. Para esto estudiamos en el otro su realidad (lo
sociocultural) y su manera de ver al conocimiento y al mundo (racionalidad
contextualizada). Con base en esto explicamos la evolución desde distintas significaciones
del conocimiento matemático en contextos específicos.
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FILOSOFIA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA: UM OLHAR QUE
BUSCA A COMPREENSÃO DO FAZER
Profa. Dra. Rosa Monteiro Paulo
Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”- Unesp, SP, Brasil.
RESUMO
Assumindo uma postura fenomenológica buscamos fazer e compreender Filosofia da
Educação Matemática e, para esta conferência, pretende-se apresentar alguns trabalhos
produzidos na área para os quais lançamos um olhar compreensivo. Destacando a postura
critica e reflexiva assumida, pretende-se expor as contribuições desses trabalhos para se
pensar sobre ‘o que é isto a Filosofia da Educação Matemática?’. Entendemos que no
movimento de reflexão efetuado o sentido do compreendido se mostra de modo individual,
mesmo que feito no âmbito de um grupo de pesquisa e, ao trazermos para o debate, tanto o
compreendido quanto o efetuado, busca-se avançar com interpretações compartilhadas.
TRABALHO
Sinto-me inquieta e percebo-me tentando uma escrita que não faz parte do que, até hoje,
havia produzido. A postura adotada no fazer pesquisa – a fenomenológica – sempre me faz
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Ao escrever o resumo as ideias iniciais tendiam para uma exposição dos trabalhos de alguns
colegas pesquisadores do grupo FEM (Fenomenologia em Educação Matemática), de
outros autores que, embora não sejam companheiros de pesquisa, o são de ideias e de
diálogo, uma vez que compartilham das mesmas ansiedades - refletir sobre o fazer
pesquisa em Filosofia da Educação Matemática - e finalizar com um exemplo do que tenho
desenvolvido no âmbito da Filosofia da Educação Matemática, pensando na possibilidade
de debate. Mas, por onde começar? Com quem dar inicio? Qual foco eleger? As questões –
bem como a ansiedade - foram muitas. Os ensaios de escrita também. Mas, nenhum dos
textos iniciados parecia atender ao principal objetivo: dizer da Filosofia da Educação
Matemática.
121
Ao ser convidada por meu colega de grupo, grande companheiro de discussões fenomenológicas e
amigo, Prof. Dr. Adlai Ralph Detoni, para, nesta conferência, falar acerca da Filosofia da Educação
Matemática, senti-me ao mesmo tempo honrada e com a responsabilidade de uma tarefa que antevia
não ser de fácil execução. Ao receber o contato da Profa. Dra. Marger C. V. Viana a
responsabilidade fez-me atenta à tarefa que deveria executar.
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ser impulsionada por uma interrogação. Tal interrogação, como nos mostra Bicudo (2011) é
o que nos move, é o que nos possibilita buscar e investigar, perceber, compreender,
interpretar e expressar. A interrogação “diz da perplexidade do investigador diante do
mundo, a qual se manifesta inclusive como força que o mantém alerta buscando,
inquirindo, não se conformando com respostas quaisquer” (BICUDO, 2011, p. 24). Não
havia pergunta orientadora. Não havia busca. Não havia sentido no que, de inicio, tentava
fazer. Diante disso, o caminho não se mostrava. Havia, em vão, tentativas, insucessos e,
finalmente, desistência.
Mas a angustia persistia, felizmente. Se interpretarmos a angustia tal qual ela é tratada por
Heidegger (1995) isto é, como ‘estranheza’, como o sentimento de ‘não familiaridade com’,
entende-se que a angustia é o que dispõe para a singularidade. Ao me sentir angustiada com
a tarefa imposta pela escrita do texto, sou colocada em presença do próprio movimento
reflexivo. Vejo-me questionando o que dizer. Entendo e percebo que há uma interrogação:
aquela que visa explicitar a pesquisa em Filosofia da Educação Matemática e que procura o
que é relevante para se dar a conhecer como produção na área. Ou seja, ao olhar para o
conflito que se põe a partir da tentativa de escrita do texto vejo a interrogação manifestarse. Há o desejo de querer saber ‘o que é isso, falar da pesquisa em Filosofia da Educação
Matemática?”. Mostra-se a angustia que rompe com a familiaridade, que singulariza. A
angustia que, no sentido existencial descrito por Heidegger (1995), nos remete à
experiência vivida dando
possibilidade de uma abertura privilegiada na medida em que ela
singulariza. Essa singularização retira a pre-sença de sua decadência e lhe revela a propriedade e impropriedade como
possibilidades de seu ser. (HEIDEGGER, 1995, p. 255).
A singularidade dá-se no modo próprio de escrita. Esse ‘modo próprio’ está no fazer
Filosofia da Educação Matemática com o grupo de pesquisa Fenomenologia em Educação
Matemática. O vivido é o que nos dá abertura para expor compreensões construídas ao
longo do caminhar com a Filosofia da Educação Matemática e vai enlaçando possibilidades
de reflexões e diálogo.
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1. Filosofia da Educação Matemática: um olhar para a pesquisa divulgada
1.1.Um passado ainda recente
Entende-se, com Bicudo (2010), que a importância da Filosofia da Educação Matemática se
deve ao fato de que ela se detém ao estudo da própria análise crítica e reflexiva acerca da
produção em Educação Matemática.. A Filosofia da Educação Matemática, segundo a
autora, “trabalha multidisciplinarmente /.../ porém o foco é específico a determinada
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interrogação: ‘o que é?’, aqui traduzida como : ‘O que é isto, a Educação Matemática’”.
(BICUDO, 2010, p. 24).
No entanto, não é por focar ‘o que é?’ que a investigação em Filosofia da Educação
Matemática traga uma verdade acerca disso que se mostra como Educação Matemática.
Vianna, por exemplo, afirma mesmo que “não deverá haver nunca um consenso sobre o que
é a educação matemática; ela deverá ir gerando, ao longo dos anos, muitas e muitas
filosofias, tantas quantas nossa imaginação souber possibilitar”. (VIANNA, 2002, p. 51).
Mas, investigar ou fazer pesquisa em Filosofia da Educação Matemática é entrar no
movimento reflexivo que permita expor que o próprio desse questionar é ver-se envolto na
análise de tal modo que a
constituição de uma filosofia da educação matemática deverá ir se
pautando historicamente pela interrogação dos homens acerca de
suas necessidades, pela superação dos seus preconceitos, pela
compreensão das múltiplas realidades que irão sendo criadas,
dissolvidas e recriadas. (idem, p. 52).
Nesse sentido, para o que nos interessa neste texto, mais do que focar ‘o que é isto a
Educação Matemática?’, vamos nos voltar para o que é feito por pesquisadores de Filosofia
da Educação Matemática procurando explicitar isso que fazem quando fazem pesquisa em
Filosofia da Educação Matemática. Sem a pretensão de esgotar o que é divulgado acerca
do tema, buscamos um recorte e voltamos a falar do lugar que ocupamos: o mundo da
experiência vivida. Voltamo-nos para a pesquisa desenvolvida no grupo FEM –
Fenomenologia em Educação Matemática19.
19
O Grupo de Pesquisa Fenomenologia em Educação Matemática é coordenado pela Profa. Dra. Maria
Aparecida Viggiani Bicudo, cadastrado no CNPq e credenciado junto a Unesp de Rio Claro.
20
Maiores informações sobre a pesquisa realizada pelo grupo e seus resultados podem ser obtidas em
BICUDO, M.A. V. & PAULO, R. M. Um Exercício Filosófico sobre a Pesquisa em Educação Matemática no
Brasil. In: BOLEMA, Rio Claro, v.25, n. 41, dez, 2011, p.
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Dentre os GT (Grupos de Trabalhos) analisados pelo FEM encontra-se o GT 11 – Filosofia
da Educação Matemática. Como pesquisadora e vice coordenadora do FEM, participei da
análise dos trabalhos desse GT juntamente com o Prof. Ms. Jamur André Venturin, da
Universidade Federal do Tocantis. Tomarei tal análise como ponto de partida deste texto.
Embora a pesquisa desenvolvida pelo FEM tenha sido mais abrangente20, para o que
123
Com o objetivo de trazer um panorama da pesquisa em Educação Matemática desenvolvida
no Brasil, o grupo FEM encerrou em março de 2011 a pesquisa intitulada “Um exercício
filosófico sobre a pesquisa em Educação Matemática no Brasil”. O foco foram os trabalhos
publicados nos anais do III SIPEM (Seminário Internacional de Pesquisa em Educação
Matemática), realizado em 2006, procurando compreender e explicitar a abrangência das
pesquisas apresentadas no evento, as justificativas construídas para os temas pesquisados,
os procedimentos adotados e as influências teóricas dos trabalhos.
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interessa discutir neste momento, são suficientes as questões “o que está sendo
interrogado/buscado/problematizado pelo autor do texto?”, “como a interrogação conduz
à resposta?”, “como se chega ao buscado ou problematizado?”, “o que o texto responde
da pergunta?”. A discussão do obtido na pesquisa favorecerá o diálogo.
Mediante os procedimentos rigorosos da análise fenomenológica pudemos
compreender que, no GT 11, os trabalhos apresentados em 2006 procuravam “destacar
aspectos da construção do conhecimento matemático, tais como a abstração, a intuição, a
objetividade, a lógica”. Buscavam apresentar e discutir “uma metodologia e recursos para o
ensino geometria”; investigavam “o processo de mudança na prática do professor de
matemática” e, ainda buscavam “relações entre matemática escolar e matemática não
escolar”.
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No que diz respeito a questão “como a interrogação conduz à resposta?, Como se
chega ao buscado ou problematizado?”, os resultados da análise revelam que os trabalhos
procuram “esclarecer ideias, fundamentar posturas assumidas ou falar do modo como o
conhecimento matemático se dá, segundo autores específicos que lhes permitem dizer de
conceitos relativos a, por exemplo, abstração, percepção, espaço ou idealidade”. Nota-se,
também, que os autores, “apresentam propostas de ensino e discutem seus resultados
fazendo considerações sobre o modo de levar o aluno a compreensão que entendem ser
favorecida pelo material ou recurso utilizado”. Há trabalhos que “descrevem as fases de
elaboração do material didático utilizado na pesquisa e sua aplicação em atividades
propostas ou desenvolvidas em sala de aula”. E, ainda, “descrevem os procedimentos da
postura metodológica assumida para coletar dados, fazer descrições, realizar entrevistas,
analisar os dados”, enfim, o trabalho volta-se para a explicitação do método assumido ao
fazer pesquisa em Filosofia da Educação Matemática.
Isso mostra que as pesquisas apresentadas no III SIPEM, no GT 11- Filosofia da
Educação Matemática trazem questões referentes ao que Miguel (2005, p. 141) denomina
de “setores específicos da cultura: a cultura matemática propriamente dita e a cultura
educativa em matemática”. Ou seja, há uma reflexão acerca dos objetos matemáticos no
que diz respeito a dinâmica da construção do conhecimento, destacando a historicidade e o
processo de objetivação. Para tanto autores de Filosofia da Matemática e de Filosofia, são
tomados como interlocutores que permitem esclarecer posturas assumidas e compreensões
construídas acerca de idealização, abstração, formalização e atos cognitivos. Nisso as
ações de investigação vão se imbricando e o solo da sala de aula, do contexto de ensino e
de aprendizagem emergem. Os pesquisadores se voltam para os aspectos da linguagem e da
construção do conhecimento em sala de aula. Questionam o intuitivo e o lógico e o modo
pelo qual esses aspectos podem ser compreendidos pelos alunos, no fazer da sala de aula.
Defendem a importância do olhar para a postura assumida na sala de aula pelo professor,
pelos alunos e a mediação do recurso utilizado. Lançam um olhar critico e reflexivo que
permite fazer emergir a ação para a formação: de ideias, de conceitos, de atitudes, de
conhecimento, estabelecendo convergências e divergências entre o conhecimento cientifico
e o conhecimento escolar.
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Voltam-se, ainda, para as práticas educativas do professor de matemática, questionando a
‘mudança’, a constituição do seu ‘ensinar matemática’ e a razão pela qual esse
procedimento adotado foi se transformando nos diferentes contextos histórico, culturais e
políticos.
Enfim, as pesquisas apresentadas no III SIPEM, 2006, dizem da cultura matemática, do
processo de compreensão do aluno, da prática escolar que envolve matemática, visando
fornecer subsídios para uma discussão acerca do que se faz com a denominação de
Educação Matemática.
1.2.
Pretendendo atualizar
Esse voltar-se sobre o feito no âmbito da pesquisa desenvolvida pelo FEM solicita uma
atualização, não de dados, mas de ideias, de atos, de pessoas, de movimento que pensa a
Filosofia da Educação Matemática. Como um dos organizadores do livro21 que publicou os
trabalhos apresentados no IV SIPEM, realizado em 2009, tive o privilégio de poder ver esse
movimento de atualização.
Nota-se que os trabalhos apresentados no GT 11, em 2009, discutem a produção do
conhecimento matemático pelo matemático, tomando como foco os recursos utilizados para
os insights e a forma de explicitação do produzido. Analisam-se os procedimentos
declarados, em entrevistas, como sendo aqueles adotados tanto para a obtenção de
resultados quanto para a sua validação, voltando-se a atenção para compreender e explicitar
a concepção de conhecimento presente no fazer matemática.
A sala de aula volta a ser foco de análise e são discutidos o ensino, a aprendizagem e a
formação do professor que ensina matemática. O tema da formação inicial e continuada
abre espaço para uma reflexão acerca das ‘relações de poder’ em que a matemática escolar
se acha envolvida levando a uma explicitação de concepções sobre matemática e produção
do conhecimento.
Desse modo entende-se que, no curso do SIPEM, evento que por sua natureza tem a
intenção de promover a divulgação da pesquisa em Educação Matemática, abrindo espaço
para o diálogo entre os pesquisadores, há um fazer Filosofia da Educação Matemática que,
21
O livro aqui mencionado é CLARETO, S. M. ; DETONI, A. R. ; PAULO, R. M. (Org.). Filosofia,
Matemática e Educação Matemática: compreensões dialogadas. Juiz de Fora: Editora da UFJF, 2010.
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Ainda, numa postura de analise, há trabalho que se volta para o modo pelo qual as
pesquisas em Educação Matemática são divulgadas, tecendo a critica acerca da sua forma
de apresentação, comentando as desvantagens e prejuízos que podem sofrer e sugerindo
possibilidades.
125
O ciberespaço oferece o ‘espaço’ para explicitar compreensões acerca da realidade, do
mundo vivido, do virtual. As analises mostram possibilidades de comunicação, de
contextualização, de articulações, de compartilhamento e revelam um novo movimento de
abertura para a ressignificação e transmissão da cultura matemática.
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no âmbito do GT 11, mostra uma posição assumida em relação a epistemologia da
Educação Matemática, ao ciberespaço, aos recursos intuitivos e dedutivos para a produção
do conhecimento matemático, a formação do professor, a sala de aula em que se ensina e
aprende matemática. Para fazer suas reflexões os autores escolhem interlocutores de
diferentes abordagens filosóficas. Da fenomenologia recorrem a Husserl, Merleau-Ponty,
Heidegger e Ricoeur; da filosofia da Matemática, Lakatos, Bertrand Russell e Whitehead e
da filosofia, Bachelard, Kant, Wittgenstein, Nietzsche e Deleuze.
No mostrar-se das pesquisas expõem-se olhares críticos e reflexivos sobre e com os temas
da Educação Matemática oportunizando o diálogo que vise aprofundar questões e favorecer
a construção dessa área de conhecimento.
1.3.
Expondo um modo próprio de fazer
Uma pesquisa22 sobre a qual tenho me debruçado recentemente visa compreender Como se
constitui a identidade do professor nos cursos de licenciatura. Para tanto voltamo-nos para
as diretrizes curriculares do curso de Licenciatura procurando identificar o perfil do
licenciando que é preconizado. Partimos desse ponto para, na continuidade da pesquisa,
analisar os projetos pedagógicos dos cursos e a ações de formação dos professores na
tentativa de entender o que orientam o que é feito nos cursos de formação e em que sentido
esse fazer contribui para a constituição da identidade do professor.
Os estudos realizados para compreensão do tema, nos fez entender que a busca pela
constituição da identidade do professor exige um movimento de reflexão acerca tanto da
proposta de formação quanto da realidade vivida nos cursos de licenciatura para se elucidar
o que é feito nesses cursos, como isso que é feito o é, e por que é feito. Tem-se, portanto,
uma intenção investigativa que se coloca no âmbito do pensar filosófico, voltado para um
pensar crítico e reflexivo sobre as propostas curriculares e sobre a experiência vivida.
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126
Martins (2008) afirma que a busca da singularidade do professor exige um olhar para além
da história. Isso significa que, embora a história nos dê um panorama no qual a identidade
atribuída à profissão do professor vá sendo modificada ao longo do tempo, vê-se preservada
a concepção do “educar [como] um acontecimento que se dá num lugar, num certo coexistir
entre iguais”. (MARTINS, 2008, p. 22). Isso nos faz atentos ao contexto em que a formação
se dá: a sala de aula do curso de licenciatura.
Voltando-nos, inicialmente, para as diretrizes curriculares dos cursos de Licenciatura em
Matemática, Química e Pedagogia pudemos construir uma tabela de convergências com 68
(sessenta e oito) unidades de significado, ou seja, com trechos destacados do texto que nos
permitam compreender o perfil do licenciando que é exposto nesse documento (as
diretrizes). O movimento de análise efetuado, que seguiu o rigor da pesquisa
fenomenológica, nos leva a 09 (nove) núcleos de ideias que permitem a construção de 03
22
Essa pesquisa está sendo desenvolvida em parceria com os pesquisadores do GEPEM – Grupo de Estudos e
Pesquisa em Educação Matemática, credenciado junto a Unesp, campus de Guaratinguetá.
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(três) categorias abertas, entendidas como regiões de generalidades para as quais as ideias
convergem. São elas, Categoria Aberta (1): Formação para a ação em sala de aula.
Categoria Aberta (2): Formação para a construção do conhecimento pedagógico, científico
e cultural. Categoria Aberta (3): Formação para análise e participação critica na auto
formação e na gestão educacional.
O movimento de interpretação das categorias mostra que o perfil do licenciando, segundo o
que interpretamos, diz de um futuro profissional que deve ser formado para a sala de aula,
ou para a docência. Para tanto ideias de conhecer, vivenciar, elaborar e avaliar propostas e
projetos de ensino bem como recursos para se ensinar, são discutidas e incentivadas.
Interpretamos que as orientações estão no âmbito do ‘fazer’ e do ‘como fazer’. Segundo
Bicudo, (2010, p. 44), esses “são aspectos importantes e nutrientes das ações de ensinar e
aprender”, porém, nas diretrizes curriculares não são explicitados de modo que não se pode
compreender o seu sentido.
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Bicudo (2000) ao afirmar que “construção do conhecimento tornou-se uma expressão
corriqueira que no nível do senso comum aparece vaga de significação” (BICUDO, 2000,
p. 17) nos chama a atenção para o fato de ser importante haver clareza, do que é, nas
diretrizes curriculares para a licenciatura, a ideia de “construção do conhecimento”. Para
Bicudo (2000) tratar da construção do conhecimento é tratar de uma questão
essencialmente epistemológica e, desse modo, não se pode omitir a interrogação sobre a
realidade. Afirma não ser possível assumir ingenuamente que as questões epistemológicas
deem conta de tratarmos de “indagações referentes ao mundo, ao seu conhecimento e ao
que existe e de que modo existe isso que se diz existir” (Idem, p. 23). Segundo a autora, as
questões epistemológicas se voltam para a interrogação do que se conhece, de como se
conhece e quais as justificativas que tornam o conhecido aceito perante uma comunidade.
Porém, afirma que as questões feitas sobre o que existe (isso que se conhece) voltam-se
para a realidade em que o conhecido está presente e, desse modo, pertencem à ontologia.
Portanto, em sua compreensão, o epistemológico não pode ser separado do ontológico de
tal modo que explicitar a “expressão construção do conhecimento solicita a explicitação do
modo pelo qual se entende realidade” (Idem, p. 24). Nossa análise das diretrizes
curriculares dos cursos de Licenciatura em Matemática, Química e Pedagogia, mostra que
ao se preocuparem, por exemplo, com o ‘conhecimento de questões contemporâneas para o
entendimento do contexto global e social’ ou com a ‘importância social da profissão como
possibilidade de desenvolvimento social’, ou ainda com a ‘visão crítica do papel social da
Ciência’, as diretrizes apontam para a questão da ‘realidade’ entendida como aquela do
contexto social e cultural e não da experiência vivida.
127
Já na interpretação da categoria Formação para a construção do conhecimento pedagógico,
cientifico e cultural, entendemos que se mostram, nas diretrizes curriculares, aspectos que
fazem emergir o compromisso científico-social. Vimos, no movimento de análise, a
construção do conhecimento atrelada a esse compromisso, bem como à pesquisa
educacional, como meio para a construção do conhecimento. E ainda, ao reconhecimento
da ciência como uma construção humana, situada histórico-socialmente. Mas, embora se
destaquem esses aspectos como constitutivo da construção do conhecimento ainda não se
diz do que é a construção do conhecimento.
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Para a categoria Formação para análise e participação critica na auto formação e na gestão
educacional mostra-se, no perfil esperado dos licenciandos, o desejo de formação de um
sujeito autônomo e participativo, que saiba tomar decisões coletivas. As diretrizes
analisadas, segundo o interpretado, concebem e esperam uma gestão democrática na qual a
participação seja o principal meio de envolver profissionais e usuários no processo de
tomada de decisões e no funcionamento da organização escolar. A participação proporciona
o conhecimento dos objetivos e metas da estrutura organizacional além de favorecer uma
aproximação entre professores, alunos, pais e comunidade em geral.
Mostra-se ainda, que formar o professor para a efetivação de uma gestão democrática é
pressuposto de todas as diretrizes e, nesse sentido, torna-se indispensável o trabalho em
equipe. Formar a equipe ou ter um grupo de pessoas que trabalhe junto, tendo em vista
atingir a meta de formação e a aprendizagem dos alunos, passa a assumir centralidade na
formação docente. Como destacado, busca-se um professor que seja capaz de trabalhar de
modo colaborativo.
Essa análise nos chama a atenção, mais uma vez, para a questão da constituição da
identidade e nos remete a fala de Bicudo (2010) acerca da ética, do respeito ao outro, do
cuidado, da responsabilidade, do ouvir. Entendemos que no ‘trabalhar junto’ pode deixar
expor-se o ‘estilo pessoal’ se tais aspectos forem considerados. A formação para a
participação critica faz emergir possibilidades de discussão acerca da constituição da
identidade do professor embora, segundo nossa compreensão, muito ainda tenha que ser
discutido acerca do que é a ‘identidade’.
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128
2.
Considerações Finais
Tal qual iniciar, finalizar, não é uma tarefa simples. Porém, entendo que a intenção na
escrita – explicitar a pesquisa em Filosofia da Educação Matemática - está sendo
cumprida. A participação no SIPEM – como membro do grupo de pesquisa que se
debruçou sobre a produção no GT 11 em 2006 e, depois, como organizadora do livro que
divulga os trabalhos do mesmo GT em 2009, me possibilita uma visão parcial do
produzido. Digo parcial porque entendo que há muitos outros pesquisadores – a exemplo de
Vianna e Miguel, trazidos para este texto – que embora façam pesquisa em Filosofia da
Educação Matemática, optam por não apresentarem trabalhos no SIPEM (ou não no GT
11). O lugar da experiência vivida, bem como o estilo de escrita e o desejo de compartilhar
o produzido, mais recentemente, em Filosofia da Educação Matemática, me faz trazer a
pesquisa acerca da Identidade do Professor. Embora seja uma pesquisa em andamento, seu
inicio já surtiu bons frutos: possibilitou o estar-com pesquisadores discutindo a formação
do professor num grupo que também está, ainda, em formação. O desejo agora é dispor-se
para ouvir, partilhar, compreender.
Comunicação nunca é transposição de vivencias, por exemplo, de
opiniões e desejos, do interior de um sujeito para o interior de outro
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sujeito. A co-presença já se revelou essencialmente na disposição e
compreensão comuns. O ser-com é partilhado ‘explicitamente’ no
discurso. Isso significa: o ser-com já é, só que ainda não partilhado
porque não apreendido e apropriado. (HEIDEGGER, 1995, p. 221).
REFERÊNCIAS
BICUDO, Maria Aparecida Viggiani. Fenomenologia: Confrontos e Avanços. São Paulo:
Cortez, 2000.
BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (Org.). Filosofia da Educação Matemática:
fenomenologia, concepções, possibilidades didático-pedagógicas. São Paulo: Editora da
Unesp, 2010.
HEIDEGGER, Martin. Ser e Tempo. 5 ed. Petrópolis: Vozes, 1995.
MARTINS, Maria Anita V. A Constituição da Identidade da Profissão Professor. In:
Revista Pesquisa Qualitativa. Ano 3, n.1, p. 11-28, 2008.
MIGUEL, Antonio. História, filosofia e sociologia da educação matemática na formação do
professor: um programa de pesquisa. In: Educação e Pesquisa, São Paulo, v. 31, n. 1, p.
137-152, jan./abr. 2005. Disponível em http://www.scielo.br/pdf/ep/v31n1/a10v31n1.pdf.
Acesso em 20 de maio de 2012.
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129
VIANNA, Carlos Roberto. Filosofia da Educação Matemática. In: BICUDO, Maria
Aparecida Viggiani (Org.). Filosofia da Educação Matemática: Concepções &
Movimento.. Brasília: Plano Editora, 2002. Cap. 3, p. 45-57.
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A NEUROPSICOLOGIA DA APRENDIZAGEM MATEMÁTICA
Laerte Fonseca – IFS/UNIBAN
[email protected]
RESUMO
O objetivo principal desse artigo é esboçar uma proposta inicial de um Protocolo
Neuropsicopedagógico para funcionar como um tipo de termômetro disponível aos
professores de Matemática dos Ensinos Médio e Superior quando desejarem identificar o
nível cognitivo de seus alunos. Para sua concepção, refletiu-se profundamente nas teorias
da Neuropsicologia por meio das pesquisas de Lefrançois (2008), LeDoux (2001), Luria
(1981), Sternberg (2010), Gazzaniga et al. (2006), Fuentes et al. (2008), Davidoff (2001),
Bastos (2006), Santos et al. (2009), Silva e Santos (2009), Frigério et al. (2009), MalloyDiniz et al. (2008), Angrill e Pla i Llumà (2008), Golbet e Muller (2009) e Manning (2005).
Concluiu-se que a constante ativação das Funções Cognitivas (FC) é responsável pelo
desenvolvimento da Aprendizagem Matemática e que seu principal fluxo deve percorrer as
vias da sensação, percepção, emoção, atenção, memória e funções executivas
(hierarquicamente, nessa ordem).
Palavras-chave:
Aprendizagem
Neuropsicopedagógico.
Matemática,
Neuropsicologia,
Protocolo
TRABALHO
Introdução
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130
A motivação inicial desse artigo repousa sobre as reflexões acerca do desenvolvimento da
Aprendizagem Matemática dos alunos do Ensino Básico necessária para o ingresso no
Ensino Superior, especificamente, na disciplina de Cálculo I.
Nesse sentido, o objetivo geral desse texto é esboçar uma proposta inicial de um Protocolo
Neuropsicopedagógico para funcionar como termômetro disponível tanto aos professores
de Matemática do Ensino Médio, como aos do Ensino Superior quando sentirem a
necessidade de examinar as condições da Aprendizagem Matemática de seus alunos em
função dos conhecimentos esperados apresentados nos documentos oficiais, bem como os
conhecimentos disponíveis já possivelmente guardados na memória de longo prazo de seus
alunos.
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Isto posto, priorizei três etapas para alcançar esse intento. Primeiramente, discutirei sobre a
Aprendizagem Matemática como um dos focos primordiais da Educação Matemática,
pinçando da Psicologia Cognitiva o conceito essencial de Aprendizagem, fundamentandome nos pressupostos teóricos de Lefrançois (2008) e buscando compreender os caminhos e
descaminhos conceituais que esse conceito mobilizou, e ainda mobiliza, ao longo da
história de seu desenvolvimento, priorizando os “consagrados” pelas instituições que se
envolvem com a natureza dessa discussão.
Em seguida, introduzirei os fundamentos da Neuropsicologia que se entrelaçam com
outros das Ciências Cognitivas, mais especificamente, a Psicologia Cognitiva,
Neurociência Cognitiva, Neuropsicologia e, mais recentemente, Neuroaprendizagem.
Esses alicerces foram construídos sob as lentes de LeDoux (2001), Luria (1981), Sternberg
(2010), Gazzaniga et al. (2006), Fuentes et al. (2008), entre outros, buscando uma defesa
para estruturar o núcleo da Aprendizagem Matemática como sendo a condução contínua
das Funções Cognitivas (FC) por meio do fluxo: SENSAÇÃO, PERCEPÇÃO,
EMOÇÃO, ATENÇÃO, MEMÓRIA e FUNÇÕES EXECUTIVAS (hierarquicamente,
nessa ordem).
A última das etapas versará sobre um primeiro esboço de um Protocolo
Neuropsicopedagógico pautado nos resultados de pesquisa de Davidoff (2001), Bastos
(2006), Oliveira e Rigioni (2006), Santos et al. (2009), Silva e Santos (2009), Frigério et al.
(2009), Malloy-Diniz et al. (2008), Angrill e Pla i Llumà (2008), Golbet e Muller (2009),
Manning (2005) e Frigério et al. (2009) que estudaram com profundidade a Aprendizagem,
destacando as pesquisas de Bastos (2006) sobre a discalculia.
Sobretudo, com essa proposta é meu desejo poder influenciar os leitores a fim de que
flexibilizem suas convicções quando tratarem da Aprendizagem Matemática escolar
priorizando a diminuição “sabida” do sofrimento nas aulas de Matemática, muitas vezes
“invisível” aos olhos dos professores dessa área.
1. Aprendizagem Matemática como objeto de estudo e pesquisa da Educação
Matemática.
O acompanhamento dos resultados de pesquisas científicas nos bancos de dissertações e
teses dos programas de pós–graduação em Educação Matemática (UNESP, PUC/SP,
UNIBAN, principalmente) e nas estatísticas do INEP (Instituto Nacional de Estudos e
Pesquisa) e do PISA (Programa Internacional de Avaliação de Alunos, 2006, tradução
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Neste sentido, o desenvolvimento adequado do Ensino de Matemática exige que seus
mentores conheçam com profundidade teórica e prática os fundamentos da Aprendizagem
e, particularmente, da Aprendizagem Matemática.
131
As imbricações entre o Ensino e a Aprendizagem na área de Matemática perdem-se no
decurso da história no Ensino de Matemática mundial (MIORIM, 1998). O ato de ensinar e
aprender segue um paralelismo dinâmico e contínuo conforme o sujeito é confrontado com
desafios que solicitam uma revisão quase instantânea de suas estratégias adquiridas e
acumuladas para encontrar uma solução.
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minha), referente ao índice de reprovação, evasão e baixa capacidade intelectual
escolarizada, respectivamente, divulgadas pela mídia, permite ao menos conjecturar que
lamentavelmente, nem as investigações em Educação Matemática e em Psicologia
Cognitiva estão sendo consideradas pelos protagonistas do Ensino, denunciando o valor e a
importância que esses manifestam em relação à referida temática.
Esse preâmbulo conduzirá esta comunicação no anseio de mobilizar e reconquistar a noção,
o conceito e a definição de Aprendizagem, bem como as principais vertentes teóricas e suas
concepções. Em seguida, compreender como a Educação Matemática tem se apropriado
dessas correntes por meio de suas pesquisas (destacar ações da SBEM23 e IGPME24,
primordialmente) e, por último, provocar uma discussão em defesa de uma abordagem
cognitiva da Aprendizagem Matemática.
Sempre que é perguntado a qualquer pessoa que é Aprendizagem, geralmente responde a
partir da noção que lhe é peculiar: significa o ato de adquirir informações. (LEFRANÇOIS,
2008). Para esse pesquisador, tanto essa noção quanto o conceito que ainda circula na
literatura – aprendizagem é apenas uma mudança de comportamento – estão
comprometidos diante de sua definição:
aprendizagem é definida como toda mudança relativamente
permanente no potencial de comportamento, que resulta da
experiência, mas não é causada por cansaço, maturação, drogas,
lesões ou doenças. [Em outras palavras], a evidência da
aprendizagem é encontrada nas mudanças observáveis ou
potencialmente observáveis do comportamento, como resultado da
experiência. Contudo, a aprendizagem é um processo neurológico
interno invisível. (LEFRANÇOIS, 2008, p. 06, grifo meu).
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132
Segundo esse autor, aparentemente, a aquisição de informação não é tão óbvia quanto se
imagina na complexa realidade e, muito menos, concluir que apesar de bater com a cabeça
na parede ser uma mudança de comportamento, essa não pode ser interpretada como
Aprendizagem, pois estar-se-ia reduzindo ao mínimo as possibilidades do seu estudo.
Tomando esse recorte como fio condutor, encontram-se no esteio das Teorias da
Aprendizagem duas grandes vertentes teóricas: o Behaviorismo e o Cognitivismo, que a
partir das concepções de seus divulgadores, repartem-se em muitas outras. Basicamente,
Lefrançois (2008), resume essa classificação em função das variáveis de interesse de cada
época. Os behavioristas Pavlov (1849 – 1936), Watson (1878 – 1958), Guthrie (1886 –
1959), Thorndike (1874 – 1949), Hull (1884 – 1952), Skinner (1904 – 199) priorizavam
variáveis consideradas externas/observáveis, tais como: estímulos, respostas, reforçamento
e punição. Enquanto os cognitivistas Bruner (1915 – atual), Piaget (1896 – 1980), Vygotsky
(1896 – 1934), Luria (1902 – 1977) e outros focaram nas variáveis internas/controláveis,
tais como: representação, autoconsciência, processamento da informação, percepção,
organização, tomada de decisão, resolução de problemas, atenção, memória, cultura e
linguagem.
23
24
SBEM – Sociedade Brasileira de Educação Matemática.
IGPME – Grupo Internacional de Psicologia da Educação Matemática (tradução minha)
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Para Lefrançois (2008), entre essas duas grandes divisões, existiu uma transição que ele
chamou de início do cognitivismo moderno, onde se discutia Psicologia evolucionista,
sociobiologia, estímulos, respostas, reforçamento, mediação, propósito, objetivos,
expectativa e representação.
Sem a pretensão de aprofundamentos, é indiscutivelmente aceito que no paradigma
comportamental ou Behaviorismo, a Aprendizagem, na visão de Portilho (2009, p. 16) “é
considerada em função dos estímulos do meio ambiente, que, por sua vez, modelam e
controlam as ações das pessoas tal como é apresentado nas concepções empiristas do
conhecimento”. Por outro lado a concepção cognitivista, complementa a autora, “atribui a
conduta, não mais a sucessos externos, mas a certas estruturas mentais complexas e a
determinados mecanismos de caráter interno”. (ibidem, p. 17).
O intuito ao confrontar esses dois modelos de pensamento foi tão somente levar o leitor a
perceber que os conflitos ocorridos no Ensino de Matemática – ora amparados pela SBEM,
ora pela SBM25 – dizem respeito às escolhas epistemológicas que os professores fazem (ou
são conduzidos a fazer) para ministrar suas aulas partindo de um dos paradigmas de
Aprendizagem defendidos pelos psicólogos acima, seja por uma questão de “crença”,
cultura, identificação, valor ou entendimento.
No âmbito nacional, e levando em conta os artigos publicados nos periódicos de Educação
Matemática em Revista, é possível inferir que a SBEM, ao longo de sua existência, tem se
posicionado em defesa da concepção cognitivista, pois a maioria dos artigos publicados
nesse periódico reúne discussões fundamentadas nas pesquisas de Piaget e Vygotsky,
principalmente.
Além disso, fomenta discussões por meio do GT 09 denominado “Processos cognitivos e
linguísticos em Educação Matemática”. De forma análoga, um exame nos anais do IGPME
revelou que basicamente os trabalhos apresentados versam sobre uma defesa da
Aprendizagem Matemática vinculada ao cognitivismo e à tecnologia.
Isto posto, e fazendo a opção pela abordagem mais moderna de Aprendizagem – Psicologia
Cognitiva, Neuropsicologia e Neuroaprendizagem – discutirei e defenderei no próximo
item o conceito de Neuropsicologia: surgimento, objetivos e referências na área,
desenvolvimento da anatomia e fisiologia aplicadas a Neuropsicologia e as principais bases
neuropsicológicas para a estimulação do centro da Aprendizagem Matemática – sensação,
percepção, emoção, atenção, memória e funções executivas.
25
SBM – Sociedade Brasileira de Matemática.
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Ao apresentar uma ideia Matemática aos estudantes de modo geral e mais especificamente,
aos do Ensino Básico, os professores geralmente imaginam que seus alunos disponham de
um Sistema de Pensamento capaz de subsidiar o raciocínio lógico mais adequado à
compreensão do conteúdo exposto. Por outro lado, não se questionam, se de fato, esse
sistema está adequadamente formado na “mente” de seus alunos e, caso não esteja, como
prosseguir para fazê-los aprender os conteúdos matemáticos.
133
2. As lentes da Neuropsicologia sobre a Aprendizagem Matemática.
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Dentre outras, essa é genuinamente uma das preocupações das Ciências Cognitivas que
conforme LeDoux (2001, p. 25)
procura entender os processos que costumam se dar no interior da
caixa preta. Concentrando-se no processo e não no conteúdo
consciente, a ciência cognitiva não chegou propriamente a recuperar
a concepção da mente que fora rejeitada pelos behavioristas.
Contudo, cada vez mais os cientistas cognitivos estão tentando
compreender tanto os mecanismos da consciência como os
processos inconscientes que podem dar origem a conteúdos
conscientes ou não.
Ao que tudo indica, o cerne das Ciências Cognitivas pertence à intersecção de quatro
campos teóricos sutilmente distintos: Psicologia Cognitiva, Neurociência Cognitiva,
Neuropsicologia e, mais recentemente, Neuroaprendizagem que podem orientar os
professores de Matemática, sempre que for necessário apresentar, por meio da exposição ou
de outra metodologia mais apropriada, os conteúdos matemáticos do Ensino Básico.
Nesse sentido, faz-se necessário definir as origens, princípios, prioridades e campo de
atuação de cada uma delas, buscando focar em seus interesses comuns com o intuito de
realçá-los em defesa da Aprendizagem Matemática.
Acreditando ser a desencadeadora dos campos acima, iniciarei a discussão pela Psicologia
Cognitiva aproveitando-me das orientações de Sternberg (2010) quando afirma que as
raízes primitivas dessa ciência encontram-se na interface da Filosofia e da Fisiologia26,
cujo objetivo primordial direcionou-se, à época, ao estudo da mente. Essas áreas
originaram, por meio de suas crenças, duas abordagens científicas: o Racionalismo que
privilegia a análise lógica para a compreensão do conhecimento e o Empirismo que
prioriza as
evidências empíricas (experiência e observação) para aquisição do
conhecimento.
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134
Para Sternberg (2010), essas duas abordagens ajudaram a fundar duas grandes escolas da
Psicologia. Primeiramente, derivada dos princípios racionalistas, institui-se o
Estruturalismo que “busca entender a estrutura (configuração dos elementos) da mente e
suas percepções pela análise dessas percepções em seus componentes constitutivos”
(STERNBERG, 2010, p. 04). Nesse sentido, destaca-se o psicólogo alemão Wilhelm
Wundt (1832-1920) como um forte representante dessa corrente teórica.
Em segundo plano, proveniente das críticas aos estruturalistas, nasce o Funcionalismo,
argumentando que o processamento do pensamento é mais importante do que seus
conteúdos elementares (estruturas da mente humana). Segundo Sternberg (2010, p. 05,
grifos do autor) o “Funcionalismo busca entender o que as pessoas fazem e por que o
fazem”. O mesmo autor afirma que os funcionalistas estavam juntos pelos mesmos
26
A esse respeito, pode-se associar os nomes de Platão e Aristóteles como os fundadores dessas áreas, bem como o
racionalista René Descartes (1596) e empirista John Locke (1632-1704), responsáveis pelas suas expansões que
mais tarde foram sintetizadas por Immanuel Kant (1724-1804), defendendo os valores de cada uma delas ao tempo
que postula ser a verdade fruto de um trabalho conjunto entre as mesmas. (STERNBERG, 2010, p. 04, grifo
meu).
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questionamentos que faziam, mas permitiam-se métodos e respostas diferençadas desde que
explicassem uma dada questão. Sendo assim, é provável que do Funcionalismo tenha-se
originado o Pragmatismo que, por sua vez, defendia a aquisição do conhecimento a partir
de sua utilidade.
Como uma referência histórica e, ao mesmo tempo contemporânea, o psicólogo William
James (1842-1910) é considerado o responsável pela interligação entre o Funcionalismo e
Pragmatismo, destacando-se por sua preocupação com questões ligadas a atenção,
consciência e percepção. (STERNBERG, 2010, p. 06).
Conforme Sternberg (2010), paralelamente ao Funcionalismo, o Associacionismo surge
como uma síntese integradora na medida em que “investiga como os eventos e as ideias
podem se associar na mente propiciando a Aprendizagem” (ibidem, 2010, p. 06). Entre
outros, um associacionista consagrado pela história da Psicologia foi Edward Lee
Thorndike (1874-1949) por meio de sua descoberta denominada Lei do Efeito, em que a
satisfação respaldava a formação de associações.
Os resultados das pesquisas de Thorndike mobilizaram outros pesquisadores da época a
desenvolver pesquisa básica para compreender as possíveis relações entre estímulo e
resposta, originando uma corrente teórica nomeada de Behaviorismo, cujo objetivo era a
materialização (controle) do processamento mental.
Sternberg (2010) faz uma digressão histórica retomando os trabalhos sobre
condicionamento clássico de Ivan Pavlov (1849-1936), bem como estudos de B. F. Skinner
(1904-1990), considerado behaviorista radical “acreditava que quase todas as formas do
comportamento humano, e não apenas o aprendizado, podiam ser explicadas por
comportamentos emitidos em resposta ao ambiente” (STERNBERG, 2010, p. 07).
Isto posto, Sternberg (2010) destaca o que se pode considerar como os cinco princípios
fundamentais da Psicologia Cognitiva:
Os dados na Psicologia Cognitiva só podem ser completamente
compreendidos no contexto de uma teoria explanatória, porém de
nada valem as teorias sem dados empíricos; a cognição é,
geralmente, adaptativa, mas não em todas as instâncias específicas;
23 a 28 | Julho | 2012
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Desse breve apanhado histórico, pode-se concluir que, por princípio, a Psicologia
Cognitiva objetiva investigar como as pessoas percebem, lembram, aprendem e pensam
sobre uma dada informação. Para tanto, utiliza-se de fundamentos biológicos com o intuito
de compreender o comportamento cognitivo por meio de métodos quantitativos. É aplicada
a diversos campos do conhecimento, tais como: publicidade, linguística, antropologia,
engenharias, computação (inteligência artificial), entre outras.
135
Com efeito, reproduzindo um movimento de vai e vem, comenta Sternberg (2010) que
muitos psicólogos rejeitaram as teses do behaviorismo radical para “espiar” dentro da caixa
preta sinônimo do funcionamento do cérebro – a exemplo de Edward Tolman (1886-1959)
que defendia a compreensão do comportamento com base nos objetivos e planejamento
para alcançá-lo. Para muitos autores, Tolman é considerado pioneiro da contemporânea
Psicologia Cognitiva.
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
os processos cognitivos interagem uns com os outros e também com
processos não-cognitivos; a cognição deve ser estudada por meio de
uma variedade de métodos científicos; toda a pesquisa básica em
Psicologia Cognitiva poderá levar a aplicações e toda pesquisa
aplicada poderá levar a conhecimentos básicos. (STERNBERG,
2010, p. 24-27).
Coincidentemente, esse autor inicia o segundo capítulo de sua obra intitulando-o de
Neurociência Cognitiva; outrossim, introduzirei nesse próximo diálogo as contribuições
de Gazzaniga et al. (2006) por acreditar que a soma dos resultados garimpados em ambas as
obras podem tornar o texto mais fundamentado.
Sternberg (2010) faz sua opção levantando algumas questões entre mente-corpo, a saber:
Onde a mente está localizada no corpo, se é que está? De que forma
mente e corpo interagem? Como somos capazes de pensar, falar,
planejar, raciocinar, aprender e recordar? Quais são as bases físicas
de nossas capacidades cognitivas? (ibidem, 2010, p. 29)
Esses questionamentos contribuem para analisar a relação entre Psicologia Cognitiva e
Neurobiologia ou, mais especificamente, Neurociência Cognitiva conceituada como
campo científico que investiga o cérebro para compreender o comportamento humano com
base no processamento cognitivo. Nesse sentido, os psicólogos cognitivos objetivam
analisar como a anatomia e a fisiologia do sistema nervoso central comprometem e são
comprometidas pela cognição humana.
Já Gazzaniga et al. (2006), informa que a origem da denominação Neurociência Cognitiva
ocorreu no final da década de 1970, dentro de um táxi na cidade de Nova York. Esse autor
esclarece que
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136
Um de nós, Michael S. Gazzaniga, estava com o grande fisiologista
cognitivo George A. Miler, a caminho de um jantar de
confraternização no Hotel Algonquin. O jantar era oferecido por
cientistas das Universidades Rockfeller e Cornell, que estavam se
esforçando para estudar como o cérebro dá origem à mente, um
assunto que necessitava de um nome. Desta corrida de táxi surgiu o
termo Neurociência Cognitiva, que foi aceito na comunidade
científica. (GAZZANIGA et al., 2006, p. 19, grifos do autor)
Segundo Gazzaniga et al. (2006) a, motivação para os investimentos nesse campo de
pesquisa deveu-se à organização e ao funcionamento do córtex cerebral respondendo a
simples estímulos. Esses autores exemplificam dizendo que “David Hubel e Torten Wiesel,
em Harvard, estavam mostrando como um único neurônio no córtex visual respondia de
maneira confiável a formas particulares de estímulo visual”. (GAZZANIGA et al., 2006, p.
37). Nessas condições, muitos psicólogos começaram a desacreditar na abordagem
behaviorista como forma de explicar a cognição humana.
Sternberg (2010) reforça essa perspectiva afirmando que o cérebro é o órgão controlador de
todo o corpo e, por isso, equivale ao topo de uma hierarquia. Nesse sentido, tanto Sternberg
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(2010) como Gazzaniga et al. (2006), passam a discutir a anatomia e fisiologia do cérebro
para depois articular suas descobertas aos fenômenos inter e intrapessoais.
Com o intuito de articular o debate, trago sucintamente para a discussão Fuentes et al.
(2008) a fim de abordar o campo da Neuropsicologia. Esses autores afirmam que a
Neuropsicologia tem natureza multidisciplinar, primordialmente, alicerçando-se na
interface dos resultados da Psicologia Cognitiva e da Neurociência Cognitiva. Segundo
eles “é um campo do conhecimento interessado em estabelecer as relações existentes entre
[o comportamento manifesto] e o funcionamento do sistema nervoso central (SNC), por um
lado, e por outro, tanto nas condições normais quanto patológicas”. (FUENTES et al.,
2008, p. 15).
Suas origens perdem-se na gênese da Neurologia, Fisiologia e Psicologia Cognitiva. Mas,
sobretudo, deve-se a Alexander Romanovich Luria (1902-1977) – famoso neuropsicólogo
soviético –, a criação de
um novo conceito de função, exercida por ‘sistemas funcionais’ que
visam à execução de uma determinada tarefa [...]. Para Luria, podese distinguir no cérebro três grandes sistemas funcionais. O
primeiro regula a vigília e o tônus cortical e depende de estruturas
como a formação reticular e áreas do sistema límbico. O segundo se
encarrega de receber, processar e armazenar as informações que
chegam do mundo externo e interno e está situado em áreas do
córtex cerebral localizadas posteriormente ao sulco central. [...] Já o
terceiro sistema regula e verifica as estratégias comportamentais e a
própria atividade mental [...]. (FUENTES et al., 2008, p. 19).
A extraordinária contribuição de Luria incluiu, segundo Fuentes et al. (2008), a criação de
uma série completa para a avaliação e diagnóstico neuropsicológicos, cuja validação
entusiasma, ainda hoje, boa parte dos testes usados na atividade cotidiana dos
neuropsicólogos.
Nesse sentido, o pêndulo da história volta a favorecer anseios de educadores preocupados
com as questões ligadas ao processo de Aprendizagem. Segundo Oliveira
É possível encontrar em Luria (1981), alguns princípios que ainda hoje regem a pesquisa em
Neuropsicologia, a saber: Quanto à PERCEPÇÃO, dá preferência ao conceito da Psicologia Moderna
considerando-a “um processo ativo que envolve a procura das informações correspondentes, a distinção dos
aspectos essenciais de um objeto, a comparação desses aspectos uns com os outros, a formulação de hipóteses
apropriadas e a comparação, então, dessas hipóteses com os dados originais (Vygotsky, 1956; 1960; Bruner,
1957; Leontev, 1959; Zaporozhets, 1967; 1968)”. (ibidem, 1981, p. 219). Quanto à ATENÇÃO ele postula
que “toda atividade mental humana organizada possui algum grau de direção e de seletividade. Entre os
muitos estímulos que nos atingem, só respondemos àqueles poucos que são especialmente fortes ou que
parecem particularmente importantes e correspondem aos nossos interesses, intenções ou tarefas imediatas”.
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27
137
(2010), nessa bateria de testes (tarefas) produzidos por Luria27, destacavam-se testes
(tarefas) de percepção, atenção e memória, cujas possíveis interferências poderiam serem
justificadas pela má formação anatômica ou mal funcionamento do SNC.
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Com efeito, a preocupação de Luria permitiu a interface entre Neuropsicologia e
Neuroaprendizagem quando Davidoff (2001, p. 246) postula que “a atenção, percepção e
memória – [constituem as] bases neuropsicológicas da Aprendizagem” dos conteúdos
abordados nas salas de aula, em particular, de Matemática.
Ainda de forma muito tímida, a área de Neuroaprendizagem28 busca espaço no âmbito das
Teorias da Aprendizagem a partir dos resultados de pesquisas da Neuropsicologia e da
Psicologia da Aprendizagem, no intuito de construir amarras entre as mesmas em prol do
sucesso escolar.
Conforme Maluf (2011),
Foi na década de 1990, proclamada nos EUA como “A década do
Cérebro”, que tiveram lugar as grandes investigações
neurocientíficas, as quais trouxeram lugar a público os estudos
sobre a percepção, atenção e a memória, e de forma inovadora
como estes conhecimentos poderiam ser aplicados para melhor
compreendermos o processo de Aprendizagem. (ibidem, 2011, p.
26)
Em seu texto, essa autora argumenta que a investigação neurocientífica no campo
educacional está pautada nas estatísticas que denunciam o crescente número de crianças,
jovens e adultos vítimas de uma vida negativada pelas consequências do insucesso escolar
decorrente da inexistência de uma Aprendizagem acadêmica.
Concordo com Maluf (2011) quando assevera que não devemos
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138
[...] desconsiderar os conhecimentos das diferentes áreas que se
dedicam ao estudo da Aprendizagem e suas desabilidades, mas
unindo-se a elas, a neuroAprendizagem constitui um instrumento
(ibidem, 1981, p. 223). E, quanto à MEMÓRIA, Luria (1981) não é tão preciso na direção de um conceito.
Optou por confrontar o desenvolvimento das pesquisas nessa área mostrando avanços e, às vezes, severas
críticas relativas a hipóteses infundadas. Para efeito de conhecimento, as primeiras inferências a respeito de
como se origina a Memória, perdem-se nos anos de 1800 com os trabalhos de Richard Semon, Kal Eward
Hering e de Henri Bergson. Dá continuidade ao levantamento bibliográfico mencionando que todos os
trabalhos decorriam por meio de lesões em áreas específicas do cérebro. Dada a complexidade do tema para à
época, não se encontra neste texto um conceito final sobre Memória, nem como se origina ou como é
acionada.
28
Embora, conforme Aranha et al. (2010), os trabalhos de Henry Heberte Donaldson (1857-1938) poderiam
demarcar o pioneirismo quando “em 1895, ele publicou o livro intitulado O Crescimento do Cérebro: Um
Estudo do Sistema Nervoso em Relação à Educação (Donaldson, 1985), em cujos dois capítulos (XVII e XIX)
são abordados temas relacionados à capacidade do sistema nervoso em lidar com fenômenos como
educação, aprendizagem, linguagem, discriminação, treinamento, inteligência e mente” (ibidem, 2010, p.12,
grifos dos autores)
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diferencial para os profissionais que trabalham com a aquisição de
novos conhecimentos e comportamentos, quer na escola, quer na
clínica e não pode ser divorciada dos outros espaços onde o
aprender é indispensável, seja nas empresas, nos hospitais, entre
outros. (ibidem, 2011, p. 26, grifo meu).
Dessa forma, pode-se admitir que o percurso desde a Psicologia Cognitiva, perpassando
pela Neurociência Cognitiva e Neuropsicologia até alcançar a Neuroaprendizagem,
esclareça, convida e permita, mais especificamente, os professores de Matemática a
compreender o complexo itinerário de desenvolver o raciocínio lógico matemático base do
nosso Sistema de Pensamento para, então, considerá-lo um elemento indispensável sempre
que desejar favorecer uma Aprendizagem Matemática Significativa de seus alunos.
3. Protocolo Neuropsicopedagógico para avaliação diagnóstica da Aprendizagem
Matemática.
O objetivo primordial da concepção de um Protocolo Neuropsicopedagógico é
instrumentalizar o professor com ferramentas que o auxiliem na identificação,
caracterização e avaliação diagnóstica da Aprendizagem Matemática evitando, segundo
Bastos (2006), rotular os alunos como “preguiçosos” ou “abandonados” pelos seus pais.
Levando em consideração que o centro neuropsicológico da Aprendizagem reúne
percepção, atenção e memória, conforme postula Luria (1981), agregaria ainda a esse
trinômio a flexibilidade cognitiva que, segundo Malloy-Diniz et al. (2008, p. 198) “implica
a capacidade de mudar (alternar) o curso das ações ou dos pensamentos de acordo com as
exigências do ambiente”, pois esses pesquisadores defendem que um comprometimento
nas vias dopaminérgicas e noradrenérgicas ocasionam prejuízos particularmente na
atividade funcional dos circuitos pré-frontais responsáveis, inclusive, pelo desenvolvimento
da Aprendizagem Matemática na concepção de Santos et al. (2009).
Inspirando-me em Bastos (2006), Santos et al. (2009), Silva e Santos (2009), Frigério et al.
(2009), Malloy-Diniz et al. (2008), Angrill e Pla i Llumà (2008), principalmente, e em
outras baterias e manuais de avaliação neuropsicológica e psicopedagógica, esbocei um
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Com o intuito de iniciar um movimento para complementar a formação inicial dos
professores de Matemática e aproveitando a afirmação de Bastos (2006) que ainda não
existe no meio acadêmico um Protocolo Neuropsicopedagógico validado e disponível para
avaliação diagnóstica da Aprendizagem Matemática, é possível dispor de exemplos de
baterias neuropsicológicas e psicopedagógicas que, reunidas e adaptadas, permitiriam ser
utilizadas pelos professores de Matemática.
139
Infelizmente, a ausência desse conhecimento impede o professor de Matemática a evitar
rótulos depreciativos em seus alunos, contribuindo para contagiá-los de sentimentos de
incapacidade intelectual em relação a essa disciplina. De acordo com as pesquisas de
Golbet e Muller (2009), esse pode ser um dos principais fatores que colaborem para o
sofrimento escolar e, consequentemente, o aumento da reprovação e evasão da sala de aula.
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primeiro modelo de um Protocolo Neuropsicopedagógico para Avaliação Diagnóstica da
Aprendizagem Matemática – PNADAM.
Esse objetiva investigar as habilidades matemáticas básicas descritas segundo D’Ambrosio
(1996), como contar (aritmética, álgebra) e medir (álgebra, geometria) que, do ponto de
vista da Neuropsicologia, estão inicialmente e diretamente associadas às funções executivas
definidas, conforme Malloy-Diniz et al. (2008), que são responsáveis pelas capacidades de
planejamento, controle inibitório, tomada de decisões, flexibilidade cognitiva, memória
operacional, categorização e fluência somadas a iniciação, raciocínio abstrato, integração e
geração de estratégias como postula Manning (2005).
No cenário neuropsicológico, Frigério et al. (2009) afirma que a investigação das
habilidades matemáticas foi e continua sendo avaliada pelo instrumento mais reconhecido
internacionalmente denominado Bateria Neuropsicológica para Avaliação do Tratamento
dos Números e do Cálculo para Crianças referida como Zareki-R (do alemão:
Neuropsychologische Testbatterie fûr ZAhlenarbeitung und REtchnen bei Klndern). No
Brasil, essa bateria foi adaptada e validada junto ao Laboratório de Neuropsicologia da
UNESP/Campus de Assis sob a coordenação da Profª Drª Flávia Heloísa dos Santos.
Isto posto, o “piloto” do Protocolo Neuropsicopedagógico para Avaliação Diagnóstica da
Aprendizagem Matemática – PNADAM descrito abaixo é composto por três partes e suas
respectivas fichas de pontuação, focando no desenvolvimento de tarefas que necessitem,
numa perspectiva mais ampla, de Funções Cognitivas (FC) tais como percepção, atenção,
memória e funções executivas para resolverem problemas relacionados à aritmética,
álgebra e geometria em classes de alunos que ingressarão no Ensino Médio (EM),
inclusive durante o andamento de uma das três séries do mesmo EM sempre que o
professor julgar necessário, bem como para identificar e monitorar o nível das FC no
ingresso do Ensino Superior (ES).
Com efeito, para investigar, classificar e monitorar as FC acerca da Aprendizagem
Matemática possíveis de serem avaliadas, busquei fazer adaptações a partir dos testes
neuropsicológicos, segundo a tabela abaixo:
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140
Quadro 1: Articulações entre as Funções Cognitivas e as Habilidades Matemáticas a partir
de Testes Neuropsicológicos Selecionados
FUNÇÕES
COGNITIVA
S
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HABILIDADE
MATEMÁTIC
A
Testes
Neuropsicológicos
Selecionados
Objetivo dos Testes
Selecionados
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Avaliar o grau de qualidade dos
canais de entrada (sensíveis) aos
variados tipos de estímulos.
Aritmética
Sensação
Álgebra
Geometria
Testes de sensação
tátil e visual
Aritmética
Álgebra
Completar figuras;
Percepção
Columbia.
Avaliar a capacidade de
identificar
e
isolar
as
características essenciais das
não essenciais em objetos
familiares.
(CHIODI
e
WECHSLER, 2009, p. 316)
Geometria
Aritmética
Emoção
Álgebra
Geometria
Inventário
Ansiedade
Beck.
Avaliar o estado emocional por
dos
sintomas
de meio
característicos
da
ansiedade.
de
(MONTIEL et al., 2009, p. 130)
Aritmética
Álgebra
Atenção
Geometria
Teste
de
cancelamento;
Stroop; Teste de
Labirinto;
D2;
TECON.
Verificar diferentes aspectos da
atenção, tais como seletividade
visual com velocidade rápida
em uma tarefa de resposta
motora repetitiva. (MONTIEL e
SEABRA, 2009, p. 115)
Aritmética
Álgebra
Memória
Dígitos; Blocos de
Corsi; Matriz de
Pontos.
Avaliar memória de curto prazo
ou
memória
operacional.
(MIOTTO, LUCIA e SCAFF,
2012, p. 14)
Wisconsin; Token
Test; Trilhas.
Avaliar
a
flexibilidade
cognitiva. (SEABRA, ASSEF e
COZZA 2009, p. 88)
Geometria
Álgebra
Geometria
Nesse contexto, faz-se necessário esclarecer que no presente artigo, irei apenas
exemplificar algumas possibilidades de tarefas para o protocolo concebido, pois para que se
possa validar um instrumento dessa natureza, exige-se que uma padronização minuciosa
seja realizada em diferentes regiões brasileiras considerando aspectos como valores sociais,
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PÁGINA
Funções
Executivas
141
Aritmética
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econômicos, étnicos e culturais. A continuidade do presente trabalho implicará no alcance
desse objetivo.
Assim, as etapas do PNADAM são:
Quadro 2: Proposta inicial para articular as Funções Cognitivas às Habilidades
Matemáticas, especificamente, Aritmética.
PNADAM – PARTE I
Protocolo Neuropsicopedagógico para Avaliação Diagnóstica da Aprendizagem
Matemática
FUNÇÕES COGNITIVAS
HABILIDADE MATEMÁTICA
Aritmética
Sensação, Percepção, Emoção, Atenção,
Memória e Funções Executivas
TAREFA 01
Aritmética → Sensação
Anexo 01: Diante de suas sensações, o que pode ser quantificado na figura dada? Você
poderia contá-las?
TAREFA 02
Aritmética → Percepção
PÁGINA
142
Anexo 01: Você enxerga 07 aberturas na figura? Escolha uma delas e complete segundo a
sua imaginação.
TAREFA 03
Aritmética → Emoção
Anexo 04: Você poderia resolver um dado problema? Explique a sua solução. Tempo de
5’.
TAREFA 04
Aritmética → Atenção
Anexo 03: Risque os números conforme solicita as instruções A e B. Tempo de 1’ para
cada.
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Aritmética → Memória
TAREFA 05
Anexo 01: Olhe por 30’, classifique e quantifique todas as imagens relacionadas na
figura.
Aritmética → Funções Executivas
TAREFA 06
Anexo 02: Em 5” o aluno deve falar: a cor contrária, o número de lados contrário e a
fração certa.
Quadro 3: Proposta inicial para articular as Funções Cognitivas às Habilidades Matemáticas,
especificamente, Álgebra.
PNADAM – PARTE II
Protocolo Neuropsicopedagógico para Avaliação Diagnóstica da Aprendizagem
Matemática
FUNÇÕES COGNITIVAS
HABILIDADE MATEMÁTICA
Álgebra
Sensação, Percepção, Emoção, Atenção,
Memória e Funções Executivas
TAREFA 01
Álgebra → Sensação
Álgebra → Percepção
Anexo 06: De que maneira seria possível relacionar as tarefas às situações diversificadas
de sua vida?
TAREFA 03
Álgebra → Emoção
Anexo 07: Você poderia resolver um dado problema? Explique a sua solução. Tempo de
5’.
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TAREFA 02
143
Anexo 05: Ao observar a sequência de figuras, você se sente: entusiasmado, bem,
preocupado ou irritado?
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
Álgebra → Atenção
TAREFA 04
Anexo 08: Fale em voz alta conforme solicitação das instruções da tarefa. Tempo de 5”
para cada ficha.
Álgebra → Memória
TAREFA 05
Anexo 09: Com as fichas viradas para baixo, busque suas correspondentes deixando-as
para cima.
Álgebra → Funções Executivas
TAREFA 06
Anexo 10: A cada 5” o aluno deve sobrepor fichas algébricas em função da orientação do
professor.
Quadro 4: Proposta inicial para articular as Funções Cognitivas às Habilidades Matemáticas,
especificamente, Geometria.
PNADAM – PARTE III
Protocolo Neuropsicopedagógico para Avaliação Diagnóstica da Aprendizagem
Matemática
FUNÇÕES COGNITIVAS
HABILIDADE MATEMÁTICA
Geometria
PÁGINA
144
Sensação, Percepção, Emoção, Atenção,
Memória e Funções Executivas
TAREFA 01
Geometria → Sensação
Anexo 11: Ao manusear os objetos na sacola, você se sente: entusiasmado, bem,
preocupado ou irritado?
TAREFA 02
Geometria → Percepção
Anexo 12: Você poderia imaginar 3 situações em Matemática fosse representada pelas
propriedades? T: 5’
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Geometria → Emoção
TAREFA 03
Anexo 13: Você poderia explicar o porque seu dedo entra e sai da faixa sem deixar de
tocá-la? T: 5’.
Geometria → Atenção
TAREFA 04
Anexo 14: Fale em voz alta conforme solicitação das instruções da tarefa. Tempo de 5”
para cada figura.
Geometria → Memória
TAREFA 05
Anexo 15: Olhando para 20 figuras geométricas (planas e sólidas), descobrir e associar
suas fórmulas.
Geometria → Funções Executivas
TAREFA 06
Anexo 16: Executar a Torre de Hanói com 3 e 5 discos em menor tempo possível.
Previsão de 5’.
Na sequência, são apresentadas as Fichas de Pontuação para análises:
Quadro 5: Proposta inicial para articular as Funções Cognitivas às Habilidades Matemáticas,
especificamente, Geometria.
PNADAM – PARTE I
Protocolo Neuropsicopedagógico para Avaliação Diagnóstica da Aprendizagem
Matemática
01: Aritmética →
Sensação
Nenhum
Pouco
Razoável
Muito
(0)
(1 – 4,9)
(5 – 7,9)
(8 – 10,0)
Não
discrimina
nada.
Discrimina
menos da
metade
sensível.
Discrimina
mais da
metade
sensível.
Discrimina
todos os
estímulos
sensíveis.
Não
identifica e
Identifica
menos da
Identifica mais
da metade de
Identifica e
isola uma das
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Minas Gerais | Brasil
PÁGINA
TAREFAS
145
FICHA DE PONTUAÇÃO – Aritmética
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
02: Aritmética →
Percepção
nem isola
nada.
metade de
aberturas.
aberturas.
aberturas.
03: Aritmética →
Emoção
Não resolve
nada:
ansiedade
grave.
Tenta
resolver, mas
não consegue:
ansiedade
moderada.
Resolve, mas
não sabe
explicar:
ansiedade
leve.
Resolve e
acerta no t.
esperado:
ausência de
ansiedade.
Seleciona e
visualiza com
velocidade
moderada.
Seleciona e
visualiza com
velocidade
rápida
04: Aritmética →
Atenção
05: Aritmética →
Memória
06: Aritmética →
Funções
Não
seleciona e
nem
visualiza.
Seleciona e
visualiza com
velocidade
lenta.
Não
consegue
evocar.
Apresenta
baixa
capacidade de
evocação.
Apresenta boa
capacidade de
evocação.
Apresenta
ótima
capacidade de
evocação.
Não
demonstra
flexibilidade
cognitiva.
Demonstra
baixa
flexibilidade
cognitiva.
Demonstra
boa
flexibilidade
cognitiva.
Demonstra
ótima
flexibilidade
cognitiva.
Executivas
Quadro 6: Proposta inicial para articular as Funções Cognitivas às Habilidades Matemáticas,
especificamente, Geometria.
PNADAM – PARTE II
Protocolo Neuropsicopedagógico para Avaliação Diagnóstica da Aprendizagem
Matemática
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146
FICHA DE PONTUAÇÃO – Álgebra
TAREFAS
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Belo Horizonte
Minas Gerais | Brasil
Nenhum
Pouco
Razoável
Muito
(0)
(1 – 4,9)
(5 – 7,9)
(8 – 10,0)
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
01: Álgebra →
Sensação
02: Álgebra →
Percepção
03: Álgebra →
Emoção
04: Álgebra →
Atenção
Demonstra
irritação.
Não relaciona
e nem
diversifica
nada.
Não resolve
nada:
ansiedade
grave.
Não seleciona
e nem
visualiza.
Demonstra
preocupação.
Demonstra
entusiasmo.
Demonstra
bem estar.
Relaciona
menos da
metade de
diversidades.
Relaciona
mais da
metade de
diversidades.
Relaciona e
diversifica
otimamente.
Tenta
resolver, mas
não consegue:
ansiedade
moderada.
Resolve, mas
não sabe
explicar:
ansiedade
leve.
Resolve e
acerta no t.
esperado:
ausência de
ansiedade.
Seleciona e
visualiza com
velocidade
moderada.
Seleciona e
visualiza com
velocidade
rápida
Apresenta boa
capacidade de
evocação.
Apresenta
ótima
capacidade de
evocação.
Demonstra
boa
flexibilidade
cognitiva.
Demonstra
ótima
flexibilidade
cognitiva.
Seleciona e
visualiza com
velocidade
lenta.
05: Álgebra →
Memória
Não consegue
evocar.
Apresenta
baixa
capacidade de
evocação.
06: Álgebra →
Funções
Não
demonstra
flexibilidade
cognitiva.
Demonstra
baixa
flexibilidade
cognitiva.
Executivas
PÁGINA
147
Quadro 7: Proposta inicial para articular as Funções Cognitivas às Habilidades Matemáticas,
especificamente, Geometria.
PNADAM – PARTE III
Protocolo Neuropsicopedagógico para Avaliação Diagnóstica da Aprendizagem
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XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
Matemática
FICHA DE PONTUAÇÃO – Geometria
TAREFAS
01: Geometria →
Sensação
02: Geometria →
Percepção
03: Geometria →
Emoção
PÁGINA
148
04: Geometria →
Atenção
Nenhum
Pouco
Razoável
Muito
(0)
(1 – 4,9)
(5 – 7,9)
(8 – 10,0)
Demonstra
irritação.
Demonstra
preocupação.
Demonstra
bem estar.
Demonstra
entusiasmo.
Relaciona
menos da
metade de
diversidades.
Relaciona
mais da
metade de
diversidades.
Relaciona e
diversifica
otimamente.
Tenta
resolver, mas
não consegue:
ansiedade
moderada.
Resolve, mas
não sabe
explicar:
ansiedade
leve.
Resolve e
acerta no t.
esperado:
ausência de
ansiedade.
Seleciona e
visualiza com
velocidade
moderada.
Seleciona e
visualiza com
velocidade
rápida
Apresenta
baixa
capacidade de
evocação.
Apresenta boa
capacidade de
evocação.
Apresenta
ótima
capacidade de
evocação.
Demonstra
baixa
capacidade de
planejamento.
Demonstra
boa
capacidade de
planejamento.
Demonstra
ótima
capacidade de
planejamento.
Não relaciona
e nem
diversifica
nada.
Não resolve
nada:
ansiedade
grave.
Não seleciona
e nem
visualiza.
05: Geometria →
Memória
Não consegue
evocar.
06: Geometria →
Funções
Não
demonstra
capacidade de
planejamento.
Executivas
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Minas Gerais | Brasil
Seleciona e
visualiza com
velocidade
lenta.
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
Admitindo-se que o professor de Matemática estará interessado em conhecer o perfil
cognitivo de seus alunos, ele deverá, num primeiro momento, apropriar-se ligeiramente de
conhecimentos neuropsicopedagógicos utilizando-se desse artigo. Em segundo lugar, ler e
compreender as tarefas propostas relacionadas a cada Função Cognitiva selecionada. Na
terceira etapa, decidirá sobre o formato da aplicação do PNADAM que ocorrerá de duas
formas: coletiva, com todos os alunos de uma classe ao mesmo tempo e sem distinções ou
individual. Recomendo que a aplicação assemelhe-se ao ritual dos exames habituais dos
alunos na sala de aula selecionada.
Neste sentido, a quarta fase implicará no cálculo das médias das partes I, II e III, bem como
de suas categorias (tarefas de 01 a 06 que relacionam Habilidades Matemáticas às Funções
Cognitivas). Por fim, a conclusão neuropsicopedagógica deverá relacionar a média geral
(em função da turma), o desvio padrão e a média individual (em relação ao próprio aluno).
O quadro 8 reflete um panorama geral para esse fim.
Quadro 8: Proposta inicial para avaliar a relação entre os níveis das Habilidades
Matemáticas e Funções Cognitivas presentes em cada aluno.
PNADAM
Protocolo Neuropsicopedagógico para Avaliação Diagnóstica da Aprendizagem
Matemática
FICHA PARA O CÁLCULO GERAL DAS MÉDIAS
FUNÇÕES
COGNITIVAS
HABILIDADES MATEMÁTICAS
MÉDIA
Aritmética
Álgebra
Geometria
149
Sensação
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Percepção
Emoção
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XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
Atenção
Memória
Funções Executivas
MÉDIA
Não é demais lembrar que, em hipótese alguma, será conferido ao professor indicar
medicamentos possíveis associados a um quadro avaliado abaixo da média geral, mas, tão
somente refletir, reavaliar e redimensionar o seu planejamento didático em função do perfil
da turma ou ainda, juntamente com o setor pedagógico da escola, encaminhar
o(s)
aluno(s) para um atendimento clínico psicopedagógico ou neuropsicológico.
Partindo-se dessa perspectiva, acredito que o professor de Matemática possa compreender
sobre a complexidade do desenvolvimento da Aprendizagem Matemática de seus alunos e
selecionar, em função do juízo da articulação Habilidades Matemáticas-Funções Cognitivas
(FC) combinações teórico-metodológicas que busquem viabilizar a diminuição dos índices
de sofrimento, reprovação e evasão escolar, democratizando em sua região o conhecimento
matemático imprescindível para uma melhor qualidade de vida.
Conclusão
Diante do produto das investigações apresentadas pelos pesquisadores mencionados
anteriormente no que se refere à gênese e desenvolvimento da Aprendizagem, acredito que
tendo a Aprendizagem Matemática características peculiares devido a sua natureza lógica e
abstrata, é no mínimo desejado que os professores da área interessem-se por tal discussão.
PÁGINA
150
Nesse sentido, deveriam prestar mais atenção às intersecções das Ciências Cognitivas –
Psicologia Cognitiva, Neurociência Cognitiva, Neuropsicologia e, mais recentemente,
Neuroaprendizagem – creditando às Funções Cognitivas (FC) a condução do fluxo
contínuo sensação, percepção, emoção, atenção, memória e funções executivas
(hierarquicamente, nessa ordem), como forma de mobilizar e viabilizar a Aprendizagem
Matemática dos alunos dos Ensinos Básico ou Superior, já que se propuseram a tarefa de
ensinar.
Essa reflexão sinaliza a necessidade e importância que os Cursos de Licenciatura em
Matemática deveriam incorporar à formação inicial do futuro professor de Matemática,
despertando-o para o interesse indispensável pela Aprendizagem Matemática de seus
alunos pelas vias das Ciências Cognitivas. Ainda assim, acrescento que o manejo de um
Protocolo Neuropsicopedagógico dessa natureza esteja atrelado a um curso específico na
formação continuada, objetivando a cuidadosa aplicação e interpretação dos resultados.
Por fim, espero que no futuro, a conclusão do Protocolo Neuropsicopedagógico
inicialmente apresentado, reflita um instrumento possível para auxiliar no diagnóstico
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inicial dos estágios da Aprendizagem Matemática escolar, permitindo aos professores de
Matemática a compreensão das necessidades latentes em seus alunos, e a possibilidade de
transformar suas aulas em atividades contagiadas por uma atmosfera atrativa, desafiadora e
significativa.
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PÁGINA
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ANEXOS
Anexo 01
Maurits C. Escher, Outro mundo II, 1947.
Anexo 02
Cartas:
Amarelo Vermelho Verde
Azul Vermelho Amarelo
Azul
Vermelho
Verde
Amarelo
Crivo de Correção:
Vermelho (por exemplo), 3 lados e ¼.
Azul (por exemplo), 5 lados e 3/8.
Amarelo (por exemplo), 8 lados e ½.
Verde (por exemplo), 5 lados e NÃO EXISTE representação a/b
possível.
5. Amarelo (por exemplo), 10 lados e 1/6.
6. Vermelho (por exemplo), 3 lados e NÃO EXISTE representação
a/b possível.
7. Azul (por exemplo), 4 lados e 1/1.
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1.
2.
3.
4.
153
Obedece a sequência apresentada nas cartas acima. As figuras devem ser
apresentadas uma a uma. (tipo cartas). Num tempo de 5’ para cada.
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8. Verde (por exemplo), 7 lados e ½.
9. Amarelo (por exemplo), 4 lados e NÃO EXISTE representação
a/b possível.
10. Vermelho (por exemplo), 0 lados e NÃO EXISTE representação
a/b possível.
Anexo 03
Instrução A: Risque em cada linha todos os números primos no quadro abaixo. Tempo: 1’.
Crivo de Correção:
Instrução B: Risque em cada linha todas as representações, cujo cálculo resulte em 1.
Tempo 1’.
PÁGINA
154
Cos
90º
e0
Log
10
e0
f(3)
em Log
f(x) 10
= 2x
-7
9/99
10241023
Sen
π
1+4/24
00
0!
Cos
90º
9/99
e0
Sen
π
9/99
Cos
90º
f(3)
em
10241023
f(3)
em
f(3)
em
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f(3)
em
f(x) =
2x -7
0!
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Sen
π
Cos
90º
f(3)
em 9/99
f(x) =
2x -7
10241023
e0
f(3)
em 9/99
f(x) =
2x -7
9/99
Sen
π
f(3)
em
f(x)
= 2x
-7
Log
10
9/99
e0
f(x) =
2x -7
Cos
90º
Log
10
f(x) =
2x -7
00
Sen
π
9/99
e0
9/99
Cos
90º
Log
10
9/99
00
Log
10
Sen
π
Log
10
Sen π
e0
Cos
90º
1+4/24
9/99
e0
00
10241023
f(3)
em
f(x)
= 2x
-7
0!
0
e
0!
Cos
90º
1+4/2- Log
4
10
Log
10
e0
9/99
0
f(3)
em
f(x)
= 2x
-7
0
Sen π
9/99
f(3)
em
f(x)
= 2x
-7
00
Cos
90º
0!
10241023
f(3)
em
f(x) =
2x -7
f(x) =
2x -7
Crivo de Correção:
Sen
f(3)
em
f(x)
= 2x
-7
Cos
e
9/99
10241023
Sen
π
1+4/24
0
Log
10
0!
Cos
90º
9/99
e0
Sen
π
9/99
e0
f(3)
em
f(x) =
Cos
Log
f(3)
em
f(x) =
2x -7
9/99
f(3) 1024em
1023
f(x) =
0!
Cos
90º
f(3)
em
f(x) =
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e0
Log
10
0
PÁGINA
Cos
90º
0
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π
90º
f(3)
em 9/99
f(x) =
2x -7
10241023
e0
f(3)
em 9/99
f(x) =
2x -7
9/99
Sen
π
f(3)
em
f(x)
= 2x
-7
Log
10
00
f(3)
em
f(x)
= 2x
-7
0!
0
e
0!
Sen
π
Cos
90º
2x -7
90º
10
2x -7
9/99
e0
9/99
Cos
90º
Log
10
9/99
00
Log
10
Sen
π
Log
10
Sen π
e0
Cos
90º
1+4/24
9/99
e0
1+4/2- Log
4
10
Log
10
e0
9/99
0
f(3)
em
f(x)
= 2x
-7
0
Sen π
9/99
f(3)
em
f(x)
= 2x
-7
0
0
Cos
90º
0!
10241023
f(3)
em
f(x) =
2x -7
2x -7
0
0
10241023
Anexo 04
PÁGINA
156
Tarefa:
Um reservatório é alimentado por duas torneiras A e B: a primeira possui uma vazão de 38
litros por minuto e a segunda 47 litros por minuto. A saída da água dá-se através de um
orifício que deixa passar 21 litros por minuto. Deixando abertas as duas torneiras e a saída
da água, o reservatório se enche em 680 minutos. Qual o volume do reservatório?
Crivo de Correção:
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É fácil perceber que a cada minuto:
a) entram 38 litros da torneira A
b) entram 47 litros da torneira B
c) saem 21 litros do reservatório.
Portanto: 38 + 47 – 21 = 64 litros/min, é o saldo líquido da água que abastece o
reservatório. Ora, se em 1 minuto são preenchidos 64 litros do reservatório, nos 680
minutos, teremos: 680x64 = 43520 litros, que é o volume do reservatório.
Anexo 05
Anexo 06
Tarefa:
Associe sobre cada prato da balança uma das expressões, sem repeti-las, e seus
respectivos valores, para que cada balança permaneça na posição dada, validando-se o
equilíbrio ou desequilíbrio das mesmas.
B
C
D
E
a) 4 x (6 - 2,5); b) O produto de dez, pela soma de dois com nove; c) 4 x 6 - 4 x 2,5
d) Dois quintos da área de um quadrado com 5cm de lado; e) A soma do produto de dez
por dois com o produto de dez com nove; f) 486 – 32 + 5 x 8 : 10; g) A soma de metade de
doze com um terço de dezoito; h) O dobro do quociente de dez por dois terços;
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157
A
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i) 22 x 32 + 54 : 52
j) 3/5 + ½ x 0,4
Anexo 07
A figura mostra parte de uma frutaria onde a mãe do Pedro costuma ir comprar fruta.
A partir dos dados da figura, inventa um problema que possa ser resolvido pela expressão
numérica seguinte: 2 × 0,85 + 3 × 1,15
Anexo 08
Tarefa:
PÁGINA
158
Apresentadas individualmente as cartas num tempo de 5”, o aluno deve falar segundo
o comando do professor a: cor, ler a sentença algébrica ou analisar a sentença com F
ou V.
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Anexo 09
Anexo 10
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Com as fichas coloridas alinhadas, o aluno deve sobrepor as mesmas fichas algébricas
conforme sua análise e permutar suas concepções em função do comando de voz (errado ou
certo) do professor. Pede-se que as fichas algébricas abaixo sejam reproduzidas 96 vezes.
159
Tarefa:
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Anexo 11
Tarefa:
Dentro de um saco não transparente, colocar objetos diversificando as formas geométricas
(cubos, retângulos, esferas, argolas, cones, pirâmides, etc.). Solicitar ao aluno, que
manuseie, um por um, sem olhá-los e durante a manipulação fale sobre esse objeto em sua
vida.
Anexo 11
Tarefa:
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160
Escolha uma das 5 figuras e destaque uma lista de propriedades geométricas possíveis.
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Anexo 12
Tarefa:
Dê ao aluno uma faixa de Moebius e peça para ele contorná-la com o dedo durante 5’,
conforme caminham as formigas na imagem abaixo.
Anexo 14
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Dentro de um saco não transparente, inserir 10 figuras geométricas planas e espaciais
coloridas individualmente. Antes de colocá-las no saco, o aluno deve conhecê-las por um
período de 5’. Em seguida, sem olhar para dentro do saco, o aluno deve selecionar uma
figura e responder imediatamente a solicitação do professor. O professor deve pedir: a cor
contrária, o nome da figura e classificação inversa entre plana ou espacial.
161
Tarefa:
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Anexo 15
Tarefa:
S = (b .
h)/2
S = (b . h)
S
=
(B+b)h/2
...
...
...
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162
S = (b .
h)/2
...
Anexo 16
Tarefa:
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163
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EL ESTUDIO DE LA CLASE COMO ESTRATEGIA PARA MEJORAR
LA FORMACIÓN DOCENTE EN EL ÁREA DE MATEMÁTICA.
Santa Daysi Sánchez González
Universidad Autónoma de Santo Domingo. (Rep. Dominicana)
[email protected]
Nivel Medio, Formación docente
RESUMEN
PÁGINA
164
La sociedad actual requiere de docentes con capacidad para resolver y plantear problemas,
al mismo tiempo que desarrollan procesos metacognitivos, tanto en su propio proceso de
aprendizaje, como en el de los alumnos que les corresponda orientar. Los programas de
formación docente no bastan para satisfacer estas necesidades. Por esta razón, un grupo de
profesores de la carrera de Educación mención Matemáticas aplicamos “El Estudio de la
Clase” como estrategia para mejorar la práctica educativa. En esta presentación
compartimos la implementación de esta estrategia de desarrollo profesional docente, que
implica el trabajo conjunto de un grupo de pares que realiza un proceso de investigaciónacción, al mismo tiempo que analiza el modelo desde el punto de vista teórico y desde la
ejecución.
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PROBLEMAS EDUCATIVOS MATEMÁTICOS Y
CONTEXTUALIZACIÓN EN LOS PROCESOS DE FORMACIÓN DE
PROFESORES
Hugo Parra S.
Universidad del Zulia – Venezuela
[email protected]
RESUMEN
Se destaca la necesidad de contextualizar los procesos de formación de profesores de
matemática, tomando como base teórica el Conocimiento Didáctico del Contenido
(Shulman, 1986). Se plantean los problemas matemáticos educativos – eje articulador del
Conocimiento Didáctico del Contenido Matemático – como un medio que favorecería la
consolidación de dicho tipo de conocimiento, superando el problema de la
descontextualización, presentes en los procesos de formación de profesores de matemática.
Finalmente se presenta un ejemplo que apoya la propuesta en cuestión.
Palabras claves: Formación Docente, Conocimiento Didáctico del Contenido Contexto.
PÁGINA
Las reflexiones que presentamos tienen su origen en el trabajo que llevamos como
formadores de futuros profesores de matemática educativa. Partiendo de lo que
consideramos son las principales características de los programas de formación de
profesores de matemática educativa, destacamos la necesidad de contextualizar los
procesos de formación de profesores de matemática, tomando como base teórica el
Conocimiento Didáctico del Contenido (Shulman, 1986) y el papel que juegan los
problemas matemáticos educativos – eje articulador del Conocimiento Didáctico del
Contenido Matemático – como elemento clave para superar el obstáculo que supone la
descontextualización de los procesos formativos en el desarrollo de las competencias
profesionales.
165
TRABALHO
Características de la formación docente en matemática
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En un estudio acerca de los programas de formación de profesores en matemática en
nuestro país, Venezuela, se refleja claramente una perspectiva epistemológica de
características racionalista (Rojas, 2010). En ellos se observan dos características
fundamentales: la parcelación de los saberes y la desvinculación de los estudios con la
realidad matemático-educativa (ver figura 1). Creemos que esta situación con variaciones
menores, es igualmente predominante en la gran mayoría de nuestros países
latinoamericanos.
Esta manera de organización curricular no es cuestión de azar; sin embargo, es tan común
que llegamos a creer que es el único modo posible de estructurar un plan de estudio. Lo
importante es que bajo esta figura subyace una manera de entender la producción del
conocimiento situada en la perspectiva epistemológica racionalista. Desde esta perspectiva
el origen del conocimiento profesional del docente que egresa se supone que es el resultado
de la suma del conocimiento de la teoría Matemática, de la teoría de las Ciencias
Educativas y el conocimiento de algunas técnicas de enseñanza. Entre los tres bloques de
cursos es notable la desarticulación entre ellos mismos y entre ellos y la realidad educativa.
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166
Figura 1. Distribución de los cursos en los programas de formación inicial de los docentes
de matemática (Parra, 2012)
Este enfoque - por algunos autores denominado tecnológico (Porlán y Rivero,1998) - se
critica haber convertido el estudio de los procesos de enseñanza en un conjunto de
conocimientos generales junto con unas técnicas e instrumentos que trivializan la acción
educativa, desconociendo la complejidad de la misma. Esta visión de los procesos de
formación excluye toda posibilidad de integración orgánica entre la teoría y la acción
docente contextualizada, lo cual impide la formación de un docente crítico y reflexivo
(Giroux, 1990). En ese sentido, este modelo no termina de superar la falsa dicotomía entre
la teoría y la práctica descontextualizada.
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En cuanto a la ruta que sigue el proceso de formación, se entiende que para formar al futuro
docente, éste debe primero acumular una cantidad de conocimientos suficientes para que
posteriormente, demuestre, en el plano laboral que tiene la posibilidad de ejercer
profesionalmente la tarea de un matemático educativo. Para lograrlo, en algunos países se
establece lo que se denominan las Prácticas Profesionales y en otros, pasantías. Por ser un
espacio para la aplicación y la verificación de los conocimientos teóricos, éstas se ubican en
los últimos semestres de los planes de estudio. Colocar este espacio de vinculación entre la
formación teórica y el ámbito profesional concreto resulta de la visión ingenua de los
procesos de formación, que presuponen que el estudiante va a ensamblar en su mente las
ideas y conocimientos inconexos que ha recibido en su etapa inicial de formación y los
fusionará de manera efectiva y eficiente al momento de desarrollar actividades de carácter
profesional.
En síntesis, este modelo, se fundamenta en una posición epistemológica de naturaleza
racionalista, donde el conocimiento profesional es producto de la suma de cursos teóricos
que luego deben ser aplicados y contrastado para verificar en la misma realidad si los
mismos han sido adquiridos correctamente (ver figura 2)
Teoría
Proceso de verificación
Práctica
Figura 2. Proceso de construcción del conocimiento en los modelos de formación docente
predominantes (Parra, 2012)
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Si el problema planteado es el desarrollo de procesos de formación de profesores
caracterizados por el parcelamiento del conocimiento y su desvinculación del futuro
contexto profesional, todo indica que los esfuerzos por transformar dicha realidad deben
apuntar prioritariamente hacia un programa alternativo de formación que busque la
integración de los conocimientos entre sí y con el contexto profesional. Esta
intencionalidad no es nueva en nuestro campo profesional. Ya para la década de los años
1980 se cuestionaba la presencia en los programas de formación docente con las
características aquí señaladas y se comenzó a plantear lo que hoy se denomina
Conocimiento Didáctico del Contenido, término que asumiremos en esta exposición como
base teórica de nuestra propuesta. El Conocimiento Didáctico del Contenido, en nuestro
caso, del contenido matemático se entiende como aquel conocimiento que todo individuo
167
Hacia la conformación de un conocimiento profesional integral y contextualizado
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que pretenda ejercer la docencia en esta disciplina debe poseer a objeto de planificar,
desarrollar y evaluar el saber matemático en situaciones de aprendizaje escolar (Rojas y
Parra, 2009). Shulman (1986) planteó que el conocimiento del profesor no puede estar
constituido exclusivamente ni por el conocimiento pedagógico ni por el conocimiento
matemático (Cooney, 1994). De igual manera tampoco se puede entender que el
conocimiento del futuro docente de matemática sea la yuxtaposición de conocimientos
matemáticos y pedagógicos desconectados entre sí (Gómez, 2007; Parra, 2006). El
conocimiento didáctico matemático del profesor – a nuestro entender - debe estar
constituido por un conjunto de planteamientos que den respuesta a cuatro interrogantes
fundamentales que se integran entre si, esto es, ¿para qué enseñar?, ¿qué enseñar?, ¿a quién
enseñar? y ¿cómo enseñar?; estas cuatro interrogantes responden respectivamente a cuatro
dimensiones claves del CDM, la axiológica, la epistemológica, la cognitiva y la didáctica
(Parra, 2006). Para que estas dimensiones se presenten de manera contextualizada, deben
estar articuladas por lo que denominamos problemas matemáticos educativos (ver figura 3).
Los problemas matemáticos educativos no son más que situaciones de aprendizaje
matemático no resueltas en la que los participantes formulan sus diferentes hipótesis y, bajo
la mediación del formador de docentes, se reflexiona, justificando las diferentes acciones
propuestas a partir del abordaje de las cuatro dimensiones que hemos mencionado.
Como se observa en la figura, los problemas matemáticos educativos constituyen el eje
articulador del Conocimiento Didáctico Matemático y por tanto, en los procesos de
formación, éstos juegan un papel fundamental porque de alguna manera articulan las
teorías educativas matemáticas con la realidad socioeducativa donde los futuros docentes
se desarrollarán profesionalmente.
DIMENSIÓN
ÉPISTEMOLÓGICA
DIMENSIÓN AXIOLÓGICA
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PROBLEMAS MATEMÁTICOS
EDUCATIVOS
DIMENSIÓN COGNITIVA
DIMENSIÓN DIDÁCTICA
Figura 3. Dimensiones del Conocimiento Didáctico Matemático (Parra, 2012)
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Por sus características, los problemas matemáticos educativos constituyen un medio idóneo
de vincular los procesos de formación con el contexto, pero antes de continuar, aclaremos
brevemente qué entendemos por contexto y que supone ello en los procesos de formación
de profesores.
Si reconocemos que en los procesos de formación de profesores predomina un modelo
caracterizado por la parcelación del conocimiento y su desvinculación con la realidad
matemático-educativa, estamos reconociendo la poca pertinencia de los mismos. Ahora
bien, ¿qué supone desarrollar proceso de formación contextualizados? Al respecto
dirijamos la atención a una fuente primaria de nuestra lengua; el Diccionario de la Real
Academia Española, el cual entiende por contexto al “entorno lingüístico de una palabra,
frase o fragmento considerado, del que depende muchas veces su sentido” (DRAE, 2012);
en el caso nuestro asumimos el mismo significado ubicándolo, claro está, en el campo de
nuestro ejercicio profesional, al apelar a la idea de otorgarle sentido a lo que se enseña en
los procesos de formación. Se trata de dotar de significado a todas las situaciones de
aprendizaje que se produzcan a lo largo de la formación de profesores, lo que implica
desarrollar competencias profesionales suficientes para que el futuro profesional pueda
enfrentar las diversas situaciones o problemas propios de la dinámica de los procesos de
enseña y aprendizaje de las matemáticas. En la medida que los procesos de formación de
profesores de matemática respondan a este conjunto de necesidades profesionales, en esa
misma medida se dotará de pertinencia los procesos de formación. Esto es lo que significa
generar procesos de formación de profesores contextualizados.
Una segunda condición es que el formador de profesores matemáticos educativos debe estar
en permanente contacto con la realidad matemático-educativa y la institución escolar. Es la
única manera de no desvincular los procesos formativos de la realidad profesional. Hasta
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La primera de estas condiciones es la de conocer los intereses y necesidades de los
estudiantes que están en proceso de formación, como individuo (condición cognitiva) y el
entorno donde él se desenvuelve y se desenvolverá (condición social: familia y
comunidad). No podemos apelar a contextualizar, esto es, dotar de significado los
aprendizajes, si desconocemos la realidad de los que estamos formando. ¿Cuáles son las
motivaciones que lo llevaron a escoger como profesión la de ser matemático educativos?
¿Cómo entienden ellos el ser matemático educativo? ¿Qué conocen de la matemática y
cómo la entienden? ¿Cómo entienden los procesos de enseñanza y aprendizaje? Estos y
otros aspectos más deben estar presentes y considerarlos el formador de profesores. Pero
este conocimiento de sus intereses y necesidades no debe plantearse en los términos
clásicos de una prueba diagnóstica. Conocer los intereses y necesidades de los que se están
formando, debe estar presente a lo largo de todo el proceso de formación. Constantemente
se debe estar indagando y como veremos más adelante, al trabajar en base a los problemas
matemáticos educativos, la dinámica misma nos va aportando estos elementos que nos
permiten ir dilucidando los intereses y necesidades de los futuros profesores.
169
Para que se contextualicen los conocimientos es necesario establecer por parte del formador
de profesores al menos dos condiciones que vinculen de manera natural, sin artificios, las
matemáticas escolares con el proceso de adquisición y desarrollo del pensamiento
profesional en los futuros profesores.
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qué punto los formadores de profesores estamos involucrados en la realidad de nuestras
instituciones educativas preuniversitarias? ¿Nuestras investigaciones sólo aportan desde el
punto de vista del investigador? ¿Dónde está la palabra y la experiencia de los matemáticos
educativos que día a día laboran en nuestras instituciones educativas generando procesos de
aprendizaje matemático? ¿Qué tipo de relación existen entre el investigador y los
profesores? Estas y otras muchas preguntas más podrían plantearse, pero en cualquier caso,
se trata de que los formadores de profesores estén vinculados con la realidad matemática
educativa y su entorno escolar.
Los problemas matemáticos educativos como elementos constructores del conocimiento
didáctico matemático
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Afirmábamos que los problemas matemáticos educativos son situaciones de aprendizaje
matemático no resueltas en la que los participantes formulan sus diferentes hipótesis y, bajo
la mediación del formador de docentes, se reflexiona, justificando las diferentes acciones
propuestas a partir del abordaje de las cuatro dimensiones que hemos mencionado, esto es,
las dimensiones axiológicas, epistemológicas, cognitivas y didácticas. En consecuencia, los
problemas matemáticos educativos constituyen el eje articulador del Conocimiento
Didáctico Matemático porque establecen la relación entre los diferentes conocimientos y el
contexto profesional socioeducativo matemático.
Bajo la misma premisa Llinares (2004) y Gómez (2007) también abogan por hacer uso de
los problemas de la enseñanza de las matemáticas en los procesos de formación de
profesores a objeto de iniciar un proceso de reflexión en y sobre la práctica profesional
educativa matemática. Los criterios de selección de estos problemas deben responder a
las competencias que se esperan desarrollar en los estudiantes para profesor y su
pertinencia en la realidad educativa matemática donde éstos se van a desenvolver. Nuestra
profesión – por contener un alto contenido práctico – requiere que los procesos de
formación se planteen desde lo que se entiende por aprender de una práctica, lo que implica
atender en primer lugar – de acuerdo a las cuatro dimensiones constitutivas del
Conocimiento Didáctico Matemático - la justificación de la actividad educativa
matemática (dimensión axiológica). De igual manera, debemos abordar la dimensión
epistemológica, de manera que se comprenda que el conocimiento matemático que se
aborda en la situación planteada tuvo un origen en una situación histórica determinada y ha
evolucionado hasta lo que hoy en día entendemos por él. En tercer lugar, es fundamental
comprender al estudiante que va a apropiarse de dicho saber (dimensión cognitiva), para,
finalmente, proponer soluciones para que dicho conocimiento sea enseñado (dimensión
didáctica).
Pero estas dimensiones que mencionamos deben trabajarse desde el contexto donde se
desarrollarán profesionalmente los futuros profesores. En el caso de nuestro país esta
contextualización de los problemas educativos matemáticos está generalmente ausente. La
tradición educativa en nuestras instituciones desarrolla la Matemática Educativa signada
por la aceptación de teorías cuyo origen es mayoritariamente europeo y anglosajón. Sin
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ánimo chauvinista, estas lecturas que recibimos no pueden ser absorbidas a plenitud, sin
una reflexión previa; ellas deberían pasar por la lente de una mirada latinoamericana,
nacional, regional y local. Hallamos que en muchas de nuestras instituciones de formación
de profesores de matemática el proceso formativo se recorre sin situar al futuro profesor en
la realidad donde él se va a desarrollar como profesional. Reflexiones de orden axiológico,
esto es, reflexiones en las que se plantee acerca del para qué se enseña y se evalúa en
matemática son escasas. De igual manera, en el plano de la dimensión epistemológica del
conocimiento didáctico matemático, la formación docente se restringe a fomentar una
visión ahistórica de la matemática y eurocentrista (Lizcano, 2006), dando a entender que
ésta en ningún momento es producto de unas realidades históricas que la han conformado y
donde los orígenes de nuestra disciplina trasciende el continente europeo. Lo mismo sucede
en lo que se refiere al estudio de las características del estudiante que aprenderá
matemática; en los programas de formación docente se plantean materias relacionadas con
la sicología, sociología y organización escolar de manera descontextualizada, que hace que
los futuros profesores de matemática piensen en un sujeto abstracto y no situado en un
contexto personal, escolar, comunitario e histórico determinado. Finalmente, podemos
concluir, que desde el punto de vista didáctico, ocurre igual, cuando se estudian las
corrientes educativas matemáticas desvinculada de la realidad de nuestras escuelas.
Presentación de un caso
Hasta el momento hemos planteado desde el punto de vista teórico lo que supone
contextualizar la formación de profesores de matemática a partir de la presentación de
problemas matemáticos educativos, con la finalidad de consolidar el Conocimiento
Didáctico Matemático en los futuros profesores.
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La actividad consiste en plantear a los estudiantes –previamente organizados en equipo- a
conocer una situación muy común en nuestras aulas cuando los estudiantes se inician en el
proceso de aprendizaje relativo a la adición en números negativos. La situación aunque
muy común en la dinámica escolar, pocas veces o nunca ha sido analizados por ellos, aun a
pesar de haber cursado para el momento dos álgebras, que se supone lo han llevado a
consolidar los conocimientos al respecto.
171
Consideramos pertinente presentar un ejemplo concreto de lo planteado, basándonos en
nuestra experiencia y en la teoría planteada. La experiencia se sitúa en estudiantes del
penúltimo semestre de la Licenciatura en Educación mención Matemática y Física. La
cátedra donde los estudiantes desarrollaron esta experiencia tiene la finalidad de ir
vinculando directamente al futuro profesor con el ambiente profesional.
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El problema Matemático Educativo es el siguiente:
En una evaluación sobre operaciones aditivas en números negativos un estudiante
responde de la siguiente manera:
3 + (2-5) + 8 =
3+3+8=
14
Con base en el problema matemático educativo se generan una serie de preguntas con el fin
de promover procesos reflexivos propios del proceso de formación de profesores (ver
cuadro 1). Estas preguntas que indicamos a modo de ejemplo en el cuadro 1, ni son las
únicas, ni necesariamente deben ser llevadas a cabo siguiendo el orden de presentación.
Está en el formador de profesores – mediador de los aprendizajes en este caso – establecer
su orden y pertinencia. Como se indica en el cuadro en cuestión, cada una de las preguntas
corresponde a una de las dimensiones del Conocimiento Didáctico Matemático. Todas las
dimensiones poseen igual importancia.
PREGUNTAS GENERADORAS
¿Cuál podría ser la finalidad de este ejercicio?
DIMENSIÓN
ABORDADA
Axiológica
¿Tiene sentido plantear este ejercicio de acuerdo a las competencias
que se esperan desarrollar en los estudiantes?
¿Qué sucedió en la respuesta del estudiante?
Epistemológica
¿Problemas de este tipo se repitieron en la historia de las matemáticas
o no?
¿Qué pensó el estudiante al responder de esta manera?
Cognitiva
¿Qué conocimientos previos utilizó?
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172
¿Cómo actuarías ante este tipo de error en clase y al momento de
evaluar?
¿Existe alguna situación del contexto de los estudiantes que podría
contribuir a mejorar la comprensión y entendimiento de la operación?
¿Podrías hallar situaciones que podrían, al contrario, crear
dificultades en la comprensión de las operaciones aditivas en números
negativos?
¿Plantearías algún recurso educativo en particular al momento de la
clase?
¿De cuantas maneras diferentes (algebraica, aritmética y/o geométrica
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Didáctica
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podrías representar la adición en los números negativos?
¿Podrías replantear el ejercicio?
Cuadro 1. PREGUNTAS Y DIMENSIONES TRABAJADAS A PARTIR DE UN
PROBLEMA MATEMÁTICO EDUCATIVO (Parra, 2012)
Subyace en este tipo de actividades la idea de pasar primero por un proceso de desaprender,
es decir, reconocer aquellos conocimientos previos que el futuro profesor posee y que
constituyen un obstáculo para resolver apropiadamente este tipo de situaciones. Todos
sabemos cuánto pesa la tradición en educación al momento de plantear cambios en la rutina
escolar. Es normal que aferrándose a la tradición, los futuros profesores planteen soluciones
que ellos vivieron como estudiantes. Desaprender es un paso clave si se quiere transformar
la realidad matemático-educativa; por eso la importancia de que este tipo de actividad
genere “crisis” epistemológicas como las planteadas por la filosofía de las ciencias por
Khun (1987) y Lakatos (1976).
La dinámica de la actividad –por nuestra experiencia – establece un ambiente de sana
discusión sobre el tema, promoviendo un conocimiento de tipo reflexivo, que busca crear
en los futuros docente, además del conocimiento matemático educativo, consolidar
conocimientos matemáticos y actitudes profesionales que le permitan en el futuro abordar
nuevas situaciones de manera sistemática. Se trata de promover el aprendizaje permanente,
es decir, promover en ellos la inquietud de aprender a aprender.
A modo de conclusión
Desde la perspectiva de la investigación en nuestra disciplina, la contextualización de los
procesos de formación debe abrir un camino que nos permita superar las ideas
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Estamos convencidos que la formación de profesores en nuestra disciplina debe romper con
la tradición epistemológica de corte racionalista; es decir, se debe romper con la tradición
de no vincular los conocimientos entre sí, junto a la concepción de una ruta metodológica
que antepone la teoría a la práctica profesional. En ese orden de ideas, la construcción del
conocimiento didáctico matemático constituye una vía que, a nuestro entender, es la más
idónea; donde los conocimientos matemáticos, junto a los conocimientos matemáticos
educativos vinculado a problemas del contexto profesional, se articulen coherentemente,
considerando siempre las dimensiones axiológicas, epistemológicas, cognitivas y
didácticas. De esta manera se consolidará en nuestros futuros profesores un conocimiento
profesional que sea capaz –no sólo de interiorizar los conocimientos y la experiencia de
manera articulada – sino que le permita además, tener las competencias para abordar
futuros problemas matemáticos educativos propios del ejercicio profesional.
173
Más que ideas conclusivas, se trata de resaltar lo fundamental de nuestra exposición y
algunas ideas a futuro.
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exclusivamente eurocentristas y consolidar un conocimiento disciplinar que responda a las
necesidades e intereses de nuestra cultura latinoamericana.
Se trata en definitiva de formar un profesional en el área de la matemática educativa capaz
de enfrentar los retos que día a día se presentan en los proceso de aprendizaje de las
matemáticas en el marco de nuestra realidad latinoamericana..
REFERENCIAS
*Cooney, T. (1994). Research and teacher Education: In Search of Common Ground.
Journal for Research in Mathematics Education. 25 (6), 608 – 636.
*Gómez, P. (2007) Desarrollo del conocimiento didáctico en un plan de formación inicial
de profesores de matemática de secundaria. Tesis Doctoral. Departamento de Didáctica de
las matemáticas Universidad de Granada. España.
*Llinares, S. (2004). La actividad de enseñar matemática como organizador de la
formación inicial de profesores de matemática de secundaria. Adecuación del Itinerario
Educativo del grado de Matemáticas. Trabajo presentado en Itinerario Educativo de la
Licenciatura de Matemáticas, Granada.
*Lizcano, Emmánuel. Metáfora que nos piensan. Sobre ciencia, democracia y otras
poderosas ficciones. Creative Commons 2.1.Costa Rica.
*Parra, H. (2006). La formación docente en matemática. Alternativas para su
transformación. Equisángulo, 2(3). Disponible en
http://www.saber.ula.ve/bitstream/123456789/20309/1/articulo1.html Consulta: 31 de
marzo de 2012.
*Rojas,Ana C. (2010) Aprendizaje dialógico y software educativo en la construcción del
conocimiento didáctico matemático. Tesis Doctoral.Universidad del Zulia. Maracaibo.
Venezuela
*Rojas, A.C.; Parra, H. (2009). La construcción del conocimiento didáctico matemático al
utilizar Software educativos. Paradigma, 30 (1), 169 – 182.
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174
*Shulman ,L. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational
Researcher, 15, 4 – 14.
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LA INVESTIGACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA SOBRE EL
PROFESOR DE MATEMÁTICAS
Javier Lezama A.
Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada
Del Instituto Politécnico Nacional, México.
[email protected]
RESUMEN
En esta conferencia se hará un recorrido a partir del reconocimiento del un campo
emergente conocido como “Reserching Mathematics Teacher Education” y las principales
líneas de desarrollo que desprenden de esta campo de estudio y se muestran algunas
experiencias formativas, realizadas en el marco del Posgrado en Matemática Educativa del
CICATA, del Instituto Politécnico Nacional de México.
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El posgrado en Matemática Educativa que se imparte en el Cicata del IPN, México, como
es natural está dirigido a profesores de matemáticas y constituye una respuesta formulada
por un grupo de investigadores del campo de la Matemática Educativa a la demanda social
de una mayor y mejor formación matemática de los individuos en la sociedad actual y el
reconocimiento del papel primordial del profesor de matemáticas en el logro en dicha
formación (Even & Ball, 2009). El Posgrado, a logrado congregar a profesores de México,
centro y Sudamérica (Mariscal et al, 2008). El proyecto de formación se dirige a docentes
en servicio de los niveles educativos preuniversitarios y universitarios. El objetivo
formativo del Posgrado se orienta a incorporar al profesor de matemáticas al campo
Académico de la Matemática Educativa -también conocido por Didáctica de las
Matemáticas o Educación Matemática-, ayudándolo a que lo reconozca como su campo
científico cuyo interés de estudio son los procesos de producción, adquisición y difusión del
saber matemático en la escuela, a que conozca las teorías que dan nombre y explican los
fenómenos que surgen en los procesos de construcción y aprendizaje de las matemáticas.
También busca informar al profesor de matemáticas de los hallazgos producto de la
investigación, a las metodologías bajo las cuales éstas se realizan, así como acercar a los
profesores a las revistas y demás instrumentos de difusión de dichos productos y de manera
importante busca que el profesor se incorpore a comunidades constituidas por grupos de
trabajo e investigación en matemática educativa.
175
TRABAJO
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La idea de campo académico
Tomamos como referencia el esquema elaborado por Fuentes (1998), en el que nos da una
aproximación de los elementos constitutivos de un campo académico y que nosotros
utilizamos para explicarnos los elementos constitutivos de la Matemática Educativa
(Didáctica de las matemáticas, Educación Matemática) como un campo académico, que se
distingue de otros por su objeto de estudio y preguntas que se hace, así como por sus
métodos de investigación.
Según Fuentes un campo se distingue por las distintas prácticas que realiza y reconoce a
tres como fundamentales y que a continuación se exponen:
Prácticas de Investigación
Prácticas de Aplicación
Prácticas de Reproducción
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Un campo académico como estructura social es muy complejo, pero este esquema nos
permite ver las prácticas que le dan vida y que finalmente congregan a una comunidad. No
pueden funcionar independientes, requieren de la integración o núcleo concetrador que
Fuentes denomina Matriz Disciplinaria del Campo, aludiendo a Kuhn. El supuesto de este
modelo es que cada una de estas modalidades está sujeta a determinaciones (tanto
“internas” como “externas”) diversas, y que deberán estar articuladas entre sí mediante
un núcleo común de sentido básico compartido, que constituiría lo que podría llamarse
“matriz disciplinaria” (Kuhn, 1982).
Al esquema de Fuentes hemos agregado una circunferencia punteada en rojo, justo en el
vértice de la profesión que es el lugar en el que se encuentra el profesor de matemáticas en
ejercicio. Con la dicha marca queremos señalar a partir de experiencia empírica, que hemos
encontrado a un cúmulo de profesores de matemáticas, que están aislados de los otros
vértices al no tener vínculos explícitos con la matriz disciplinar. Con esto queremos decir
que no están en contacto continuo con la universidad y los productos de investigación, no
pertenecen a colectivos de profesores que los acompañen en la mejora o continuación de su
formación profesional. Como hipótesis de trabajo afirmamos que los procesos de formación
de profesores de matemáticas, tanto en servicio como los que están en proceso de
formación inicial se basarán en incorporarlos a un campo académico, en el que reconozcan
su actividad como una profesional y de carácter científica. Incorporarse a un campo
académico significa reconocer la naturaleza de la actividad, aprender a problematizarla y
reconocer la necesidad de investigación y los mecanismos difusión de hallazgos, así como
el empleo de los mismos para realizar mejor su tarea y los retos que ésta le plantea.
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Un espacio específico para el profesor en la matemática educativa
En los últimos años al interior del campo académico de la matemática educativa, se ha
registrado una fuerte atención a la figura del profesor de matemáticas y es lo que nos
proponemos mostrar a continuación.
En ICME 10 (2004), en una plenaria denominada “Professional Development of
Mathematics Teachers”, y que fue después publicada (Adler et al, 2005), se llama la
atención sobre la emergencia de un amplio número de investigaciones que giran alrededor
de lo que se puede denominar el “campo de investigaciones sobre la formación y desarrollo
de los profesores de matemáticas”; el supuesto del que se parte es simple: Ante el
fenómeno de masificación de la enseñanza de la matemática en la escuela, se impone la
necesidad de más y mejores profesores de matemáticas. La calidad de la instrucción o
enseñanza depende de los profesores, de su preparación y un continuo desarrollo
profesional.
Este reporte nos muestra la diversidad de temas y métodos de investigación alrededor de la
figura del profesor de matemáticas. A partir del análisis de investigaciones entre los años
1999-2003 se concentraron en dos aspectos que respondían a las preguntas :
¿Qué es investigar en el campo y que ayude a la mejora de la formación de los profesores
de matemáticas?
¿Qué investigaciones contribuyen a la necesidad generalizada de apoyar el aprendizaje y
el desarrollo de los profesores de matemáticas?
Regresando a los escenarios globales, en el 15th ICMI study sobre The professional
education and development of teachers of mathematics (Even y Ball, 2009) coloca como
premisa de partida del estudio, que, “los profesores son la clave de oportunidad de
aprendizaje de las matemáticas de los estudiantes”.
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Cabe señalar que desde la visión Latinoamericana a través de la comunidad de Clame
(Comité Latinoamericano de Matemática Educativa), es patente la atención al campo del
profesor de matemáticas a través de las propuestas y reportes de investigación que se
presentan en la RELME (Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa). En Alme
(Acta Latinoamericana de Matemática Educativa) a partir de la Número 18 – que
corresponde al año de 2004) ha habido una preocupación de los subsecuentes editores, por
que las investigaciones enfocadas a la formación y desarrollo del profesor de matemáticas
sea plenamente identificables, dedicándoles un capítulo especial.
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Mostraron especial interés en dos aspectos; aquellos que permiten entender cómo los
profesores aprenden, con qué oportunidades y en qué condiciones lo hacen y los que
mejoran las oportunidades de aprendizaje de los profesores.
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Se preguntan: qué elementos, condiciones, actitudes son las que los convierten en dicha
clave, y es en eso que se concentra el estudio.
Los editores declaran tres factores que en cierta manera justifican la necesidad de un
diálogo intercultural sobre la formación profesional de los profesores de matemáticas en el
mundo, si bien hay que reconocer una baja exploración de investigaciones realizadas en
Latinoamérica.
El primer factor se basa en el reconocimiento del rol fundamental del profesor en el
proceso de aprendizaje de las matemáticas de los alumnos, dicho rol se traduce en
demandas específicas al trabajo del profesor, a lo que sabe y lo que es capaz de hacer.
En el segundo, se señala que todo esfuerzo de mejora en las oportunidades de aprendizaje
de las matemáticas de los alumnos en los distintos niveles educativos, va a la par con
oportunidades de aprendizaje y formación de los profesores. La formación profesional de
los profesores de matemáticas es crucial en el proyecto de una mejora en la educación
matemática de la sociedad.
Por último en el tercero afirman que la formación del profesor “Teacher education” es un
proyecto amplio y constituye un área específica de estudio, de reciente reconocimiento pero
de rápida expansión.
Como resultados de sus análisis, reconocen tres grandes grupos de atención al campo del
profesor de matemáticas, mas allá de los comprensibles niveles educativos: Formación de
profesores de matemáticas Nuevos (pre-servicio). Formación de profesores expertos (en
servicio). Formación de formadores de profesores de matemáticas.
Hacia una categorización del conocimiento y la actividad del profesor
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En el campo de la educación, siempre ha habido interés en la figura del profesor y se ha
realizado un gran esfuerzo por modelar dicha figura, habiendo dos aspectos de fundamental
interés, lo que el profesor debe saber y cómo debe enseñar, el establecimiento y exploración
de ambos aspectos son múltiples y se han visto sujetos a enfoques filosóficos sobre lo que
es enseñar y aprender, así como el escenario sociocultural en que se hace el planteamiento
sobre la figura del profesor.
En relación al profesor de matemáticas, las preguntas se repiten, qué debe saber el profesor
de matemáticas y cómo se enseña la matemática; primero, lo entendemos de manera de
clara como un problema educativo, pero tiene una especificidad, la del saber matemático y
por ende la naturaleza de la matemática, la forma como este saber se construye y se
representan sus objetos. Responder a la preguntas de qué debe saber el profesor de
matemáticas y cómo se enseñan éstas, ha sido el trabajo de la investigación que nos
exponen los análisis a los que hemos aludido más arriba.
Lee S. Shulman, siendo un reconocido especialista en educación y en especial en el campo
del profesor, ha dado respuestas interesantes al aspecto del conocimiento del profesor y es
reconocido que sus trabajos realizados en respuesta a las reformas educativas que exigen no
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sólo una nueva actuación del profesor, sino a su formación inicial.
Shulman (1986), hace un desglose del conocimiento del profesor, incluyendo en él una
categoría denominada PCK (Pedagogical Content Knowledge) Conocmiento del contenido
pedagógico y que él considera que está compuesto de una comprensión de lo que hace que
sean fáciles o difíciles de aprender algunos tópicos específicos. Las concepciones o
preconcepciones de los alumnus de distintas edades cómo determinan el aprendizaje de
temas específicos. El establecimiento de esta categoría a dado pie a un desarrollo
conceptual alrededor del conocimiento del profesor y constituye una fuente inportante de
investigación hasta el momento.
Hay varias líneas de estudio sobre el profesor de matemáticas, pero éstas en principio se
pueden concentrar en dos aspectos principales, las que se centran en el conocimiento del
profesor y las que atienden la práctica del porofesor. Las investigación se ha desarrollado
tanto en el aspecto teórico como empírico.
Ponte y Chapman, (2006) hacen una amplia revisión de trabajos relacionados con el campo
del professor de matemáticas, mismos que se han realizado al interior del PME
(International Group for the Psychology Mathematics Education, www.igpme.org);
señalamos de manera sintética los siguientes aspectos.
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Los espacios físicos y situacionales en los que se desarrolla la actividad del profesor de
matemáticas están constituidos según ellos, por el aula, escuela, los cursos para los
profesores y otros espacios profesionales, entendiendo por otros espacios profesionales,
agrupaciones formales o informales de profesores.
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Los grandes temas de investigación están centrados en el conocimiento del professor siendo
el otro aspecto el de la práctica del professor.
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Finalmente señalan cuatro grandes grupos de investigaciones sobre el profesor de
matemáticas; las centradas en el conocimiento matemático del profesor, el conocimiento de
los profesores de matemáticas sobre la enseñanza de las matemáticas, las creencias y
concepciones del profesor de matemáticas y las prácticas del profesor. En cada uno de esos
grupos se pueden encontrar investigaciones, con diversidad de preguntas y métodos de
investigación.
A partir de lo que hasta ahora se ha dicho podemos preguntarnos:
¿Qué conoce, cree, conceptualiza, piensa y hace el profesor de matemáticas en relación a la
matemática y a la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas?; ¿Qué métodos, perspectivas
teóricas y supuestos acerca del conocimiento matemático y curriculum, asumen los
investigadores para estudiar a los profesores?
A continuación mostramos el Mapa del dominio del conocimiento matemático para la
enseñanza (Domain map for mathematical knowledge for teaching) MKT, Hill et al. (2008)
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180
Un importante grupo de investigadores ha continuado trabajando en el aspecto del
conocimiento del profesor, abordando de manera más específica el PCK de Shulman,
adentrándose en un desgloce más detallado de lo que significa dicha categoría y discutendo
las metodologías en las cuales se plantean tales investigaciones de manera que aporten
evidencias confiables sobre lo que se dice del profesor. Tal es el caso de (Hill et al, 2008)
que realizan un trabajo de conceptualización sobre el dominio del conocimiento
matemático del profesor.
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Hill, a partir de la formulación de Shulman, señalan que ha habido investigaciones que
indagan qué quiere decir conocimiento de contenido de estudiantes, o el conocimiento que
los profesores tienen de los estudiantes, señalando que faltan estudios que muestren que el
profesor tiene esos conocimientos además de los disciplinares mismos. Señalan además que
el campo no ha desarrollado maneras de evaluar los programas que aporten ese
conocimiento al profesor y cómo medir que esos conocimientos redundan en beneficio de
los estudiantes. El artículo conceptualiza, desarrolla, evalúa y mide el conocimiento del
contenido y los estudiantes. Los investigadores están interesados en mostrar que es
distinguible PCK del PCS que es el conocimiento del contenido de los estudiante, afirmado
que un profesor puede tener un alto conocimiento del contenido pero un muy bajo
conocimiento de cómo los estudiantes aprenden dicho contenido. Ese tipo de distinciones
resultan fundamentales para el desarrollo de investigaciones en ese programa. El KCS está
ligado con el conocimiento de cómo el estudiante piensa acerca del conocimiento, o
aprender un determinado conocimiento, es conocer cómo hace un estudiante para aprender
un saber específico y las imbricaciones de las propias concepciones que surgen durante el
proceso.
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Por último agregamos aspectos sobre lo que el campo del profesor se encuentra haciendo en
este momento. Chapman (2011) afirma que el campo de investigación sobre el profesor de
matemáticas ha tenido un crecimiento sustancial ejemplo de ello es la aparición del Journal
of Mathematics Teacher Education [JMTE] y la respuesta que tuvo a su convocatoria para
publicar su número especial sobre Mathematics Teacher and Mathematics Teacher
Educator Change. Algunos de esos artículos hacen mención de la necesidad para el campo,
de crear métodos de investigación idóneos para indagar situaciones en el campo profesional
de la formación de profesores de matemáticas que involucren al formador en la
investigación. En un capítulo denominado ‘‘Research methods in mathematics teacher
education’’ (Gellert et al. 2012) en el próximo a aparecer Third International Handbook of
Mathematics Education (Springer), se discute una versión de participatory action research
como un ejemplo de una manera diferente de aproximarse a la investigación relevante para
el campo. Finalmente señala que la importancia del campo se evidencia porque por primera
vez en el International Congress on Mathematical Education a realizarse en el 2012 se
181
Sullivan (2011), en su artículo busca identificar y describir las necesidades de conocimiento
del profesor de matemáticas, nos dice, cada acercamiento al aprendizaje del profesor de
matemáticas, difiere de contexto a contexto y de cultura a cultura. El conocimiento que los
maestros necesitan, está en el centro de todas las iniciativas para mejorar del aprendizaje
de las matemáticas en la sociedad.
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incluyen grupos de trabajo sobre inservice education, professional development of
mathematics teachers y uno más sobre preservice mathematical education of teachers.
El profesor de matemáticas desde la perspectiva socioepistemológica
El enfoque socioepistemológico indaga la construcción social del conocimiento matemático
y ello nos permite entender la naturaleza del discurso matemático escolar y las
contradicciones a las que pueden llevar las prácticas docentes.
La socioepistemología ha construido categorías teóricas tales como práctica social, rediseño
del discurso matemático escolar, resignificación de conceptos matemáticos. Desde esta
perspectiva, podríamos pensar que es indispensable trabajar con el profesor de matemáticas
de tal manera que se pueda crear procesos de formación matemática para sus alumnos en el
contexto de estás nuevas categorías.
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182
Como declaran Cantoral y Farfán (2003); se considera como necesidad básica, el dotar a la
investigación de una aproximación sistémica y situada, que permita incorporar las cuatro
componentes fundamentales en la construcción del conocimiento; su naturaleza
epistemológica, su dimensión sociocultural, los planos de lo cognitivo y los modos de
transmisión vía la enseñanza. A esta aproximación múltiple, que en la jerga le nombramos
“la cuarta dimensión”, le hemos llamado formalmente el acercamiento
socioepistemológico. El espectro de investigaciones que se están desarrollando desde este
enfoque teórico, reconoce de manera relevante la figura del profesor en los procesos de
enseñar y aprender matemáticas. Ejemplo de ello son las investigaciones que ellos mismos
nos señalan … Actualmente se desarrollan estudios sobre currículo, en los que se busca
determinar cuáles deben ser los contenidos por enseñar, considerando la evolución de la
matemática y las necesidades sociales que el sistema educativo espera cubrir con la
escuela; otra mas sobre la instrucción, es decir, de las actividades que acompañan el
aprendizaje, se busca la mejora de los métodos de enseñanza, los problemas que se
enmarcan en torno a la transmisión oral del conocimiento, los procesos cognitivos, la
motivación y creación de actitudes positivas … Así mismo se realizan investigaciones que
tratan de la vida del conocimiento en la escuela. Se busca determinar la influencia que el
sistema escolar ejerce en los aprendizajes; se determinan las matemáticas que se aprende
en y fuera de la escuela y se trata del papel de los medios de comunicación, los entornos
familiares o gregarios con los grupo de estudiantes. Se quiere también investigar sobre el
sistema escolar para saber el rumbo y sentido de las decisiones políticas o sociales que
modifican al funcionamiento del sistema educativos.
Desde este enfoque consideramos que la formación de los profesores de matemáticas está
determinada por la región o país donde ésta se produce, responde a condicionamientos
sociales, políticos y culturales así como a tradiciones institucionales. Las prácticas de los
profesores de matemáticas responden en muchos casos a sistemas de representación sobre
dicha labor, construidos en largos y complicados procesos de naturaleza cultural.
Conocer los sistemas de representación que inducen prácticas en los profesores de
matemáticas y que no son posibles calificar de manera inmediata por agentes ajenos al
medio donde los profesores se desenvuelven y regidos por criterios que contrastan con
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estos sistemas de representación, constituye un problema a estudiar por los especialistas
que buscan intervenir en dichas prácticas con pretensión de modificarlas.
En este contexto se inscribe la necesidad de indagar sobre las prácticas de los profesores y
los contextos socioculturales que las rodean y motivan, a fin de contar con elementos
concretos que permitan después, crear propuestas de formación específicamente en
profesores que cuentan ya con años de servicio (Lezama y Mariscal, 2008).
La orientación de algunas investigaciones
A partir de los resultados de investigación en relación al fenómeno de reproducibilidad,
que pone de manifiesto el papel central del profesor de matemáticas en el proceso de
estudio de los alumnos, nos proponemos entender los factores y representaciones sobre el
saber matemático escolar y elementos de carácter extramatemático que conforman el
quehacer del profesor de matemáticas.
Dos supuestos constituyen las hipótesis de trabajo en nuestras investigaciones.
Reconocemos que el profesor con su actividad es determinante en los logros de aprendizaje
de los alumnos y que el profesor mismo en su tarea pone en funcionamiento elementos
culturales adquiridos en su formación y que en ocasiones no le es posible reconocer.
Una estrategia de trabajo y estudio
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Los temas pueden ubicarse en que comenten sus prácticas docentes, exploración de sus
representaciones sociales -en el sentido de Moscovici, como explica Abric, (2001)-, además
de aspectos culturales y sociales, sobre los rituales de la clase o descripciones de clase,
detección de las características del ambiente de la clase, tanto físico como la dinámica que
considera mejor para aprender matemáticas. Exploración de cómo los profesores
problematizan el saber matemático para el diseño de clase y contraste con los elementos
extramatemáticos que consideran ellos pueden ayudar a mejorar la instrucción. Descripción
por parte de los maestros sobre las principales dificultades que ve en los estudiantes para
aprender matemáticas. Explorar en los maestros en qué sentido consideran que los alumnos
son más hábiles y profundos que sus profesores matemáticamente hablando.
183
En un alto número de tesis que desarrollan los alumnos del posgrado del CICATA,
independientemente de su objetivo, se busca que atiendan siempre aspectos específicos
relacionados con la actividad docente. Se ha trabajado en el desarrollo de entrevistas, en
nuestro caso no estructuradas a fin de permitir hablar al profesor sobre sus dificultades en el
desarrollo de su tarea, especialmente en los tres aspectos que nos planteamos, la
reproducción de los efectos didácticos, al origen y naturaleza de las resistencias a la
innovación y la consideraciones de orden sociocultural que observa o reconoce en su
actividad.
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La naturaleza de este tipo de indagaciones, enfrenta serias dificultades teóricas y empíricas,
por ello hemos explorado con más cuidado las teorías que nos permitan dilucidar e
interpretar aquello que llamamos realidad.
La realidad de la vida cotidiana en todo individuo se presenta como una realidad
interpretada por los hombres y para ellos tiene el significado subjetivo de un mundo
coherente. Un detallado seguimiento de cómo alcanzamos la conciencia de Sí, o mejor, el
recuerdo de Sí, revelaría las diversas capas de experiencia y las distintas estructuras de
significado que intervienen en cómo interpretamos nuestra realidad.
Todo individuo aparece ante una realidad ordenada, en donde los fenómenos que se le
presentan están dispuestos de antemano en pautas que parecen independientes de la
aprehensión de ellos mismos; y su imposición ante ellos actúa mediante una realidad que
se constituye por un orden de objetos que han sido designados como tales antes de la
aparición del sujeto a la escena social. Y es justamente esta forma consistente y
relativamente estable en el tiempo la que permite que sea abordada científicamente en su
magnitud (Berger y Luckman, 2001).
Dos ejemplos
En el primero nos referimos a Mingüer (2006, 2011) en su trabajo de tesis doctoral
“Entorno sociocultural y cultura matemática en profesores del nivel superior de educación:
un estudio de caso: El Instituto Tecnológico de Oaxaca”, se propone El análisis de un
fenómeno sociocultural que denominamos «cultura matemática» entre los profesores de
una institución en particular, el ITO en Oaxaca, México
Afirma, que desde una postura convencional, podría pensarse que la «cultura matemática»
involucra de manera única, conocimiento matemático, erudición que en esta materia un
individuo pueda poseer.
Desde la socioepistemología, identificamos «cultura matemática», además del
conocimiento matemático puro, que existen significaciones múltiples de origen
sociocultural que definen la forma en la que el individuo concibe a las matemáticas y se
relaciona con ellas.
Entonces desde esta postura la cultura matemática será la sucesión de construcciones de
conocimiento matemático (practicas sociales relacionadas con la matemática) que, un
individuo edifica en el transcurso de su existencia.
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A partir de ello busca establecer el análisis de la génesis de la estructuración de dicha
cultura con las herramientas teóricas de la socioepistemología.
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La técnica empleada por Mingüer para realizar su exploración, sería la entrevista no
estructurada en profundidad. Este tipo de entrevista no se sujeta a una estructura
formalizada de antemano, para llegar a obtener información fluida y espontánea acerca de
aquellas vivencias, de los profesores, relacionadas con la matemática. La entrevista inicia y
gira alrededor de una pregunta: “A lo largo de tu vida, ¿qué consideras que haya favorecido
o desfavorecido tu gusto por las matemáticas, en la casa, en la escuela, en la calle?
¿recuerdas hechos significativos?”.
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A continuación se dan dos ejemplos (fragmentos) de sólo dos de las 16 entrevistas
realizadas a los profesores. En ellas podemos ver la manifestaciones de referencia a práctica
fuera del ámbito escolar y que tienen un fuerte vínculo con la matemática. El análisis de
referencias de esa naturaleza en los recuerdos de los profesores constituyeron datos
fundamentales de su investigación y que le permiten ampliar la concepción común Cultura
Matemática.
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Carrillo (2006), en su tesis “Recursos nemotécnicos de las funciones trigonométricas
básicas”, busca evidenciar el uso de técnicas en el aula no documentadas en el modelo
educativo de la institución, -como es el caso del uso de la nemotecnia-, para explorar, su
posible eficacia y pertinencia en el modelo actual de operación de su institución. Lo
relevante de este estudio es que nos muestra la contradicción entre el modelo educativo
institucional y las prácticas reconocibles pero no documentadas, tales como un fuerte uso
de herramientas nemotécnicas útiles para recordar, pero no hay evidencia de su eficacia
para el entendimiento de la matemática a aprender.
Desde el discurso institucional se nos indica: La noción de cómo se aprende tiene tres
dimensiones a saber en esta corriente y que de alguna manera busca configurar un modelo
de profesor, si bien no se dice explícitamente:
Una dimensión del aprendizaje significativo y por descubrimiento a partir de los conceptos
que el alumno ya posee (Ausubel, Novak y Regeluth)
Una dimensión sociocultural del aprendizaje a partir de estructurar las experiencias y
facilitar el aprendizaje significativo (Vigotsky)
Una dimensión constructivista del aprendizaje a partir de las experiencias que el alumno
posee (Piaget y Bruner)
En contraste se muestra un ejemplo de una técnica de uso común para recordad
operativamente la derivadas de las funciones seno y coseno respectivamente.
Para obtener la
será necesario,
nuevamente en
responder a la
requerida.
derivada de una función
ubicarse en ella y virar
el mismo sentido, para
derivada de la función
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186
El uso de esta herramienta y muchas otras usadas en textos y las clases, por profesores y de
manera importante por los alumnos, requieren de mayor atención y estudio para entender
las razones de su prevalencia en las práctica de una comunidad escolar, a pesar del esfuerzo
institucional por configurar un modelo de la práctica del profesor.
Conclusión
Por más de diez años de trabajo con profesores de matemáticas de diversos niveles,
instituciones y países, estamos construyendo una línea de investigación centrada en lo que
hemos denominado Docencia en Matemáticas y que se empeña en entender y aportar
conocimiento en la formación continua o desarrollo profesional de profesores de
matemáticas en servicio. Esto nos ha llevado a la formulación de preguntas tales como, ¿En
qué se basan teórica y prácticamente los programas de formación continua para profesores
de matemáticas, en servicio? ¿Cómo se capitaliza la experiencia del profesor (su práctica) y
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las características de la institución en la que trabaja para hacer planes de desarrollo para los
profesores? ¿Cuáles son las problemáticas más importantes que debe enfrentar el profesor
de matemáticas, en relación al avance y modificación del currículo, la incorporación de la
tecnología para el aprendizaje, las nuevas formas de relación con los estudiantes y prácticas
de aula? Así mismo hay preguntas de naturaleza sociocultural que nos permiten
acercamientos a las prácticas de aprendizaje de las matemáticas en los espacios
institucionales, tales como los sistemas de creencias de los profesores en relación a la
matemática, el aprendizaje, así como las representaciones sociales o de sentido común
sobre la escuela, la ciencia, la matemática y su quehacer m ismo. En el posgrado de
Matemática Educativa del Cicata, hemos realizado investigaciones en el marco de la
docencia y la actividad del profesor de matemáticas, (Jiménez,2009; Ochoviet, 2009;
Homilka, 2008; Salazar, 2008; Cruz, 2008; Borello, 2007; Crespo, 2007; Rosas, 2007;
Serres, 2007; Mingüer, 2006; Carrillo, 2006; Maffey, 2006; Ochoviet, 2004) buscando con
ello clarificar la naturaleza y complejidad del quehacer del profesor, tratando de enfocarlo
desde la perspectiva socioepistemológica, quedando aún pendiente la clarificación cómo se
ha dado respuesta a los problemas del conocimiento del profesor, cómo caracterizamos
dicho conocimiento, sus prácticas de enseñanza y la consideración de los aspectos
socioculturales que determinan su actuar.
Estamos interesados en el establecimiento de los términos y los fundamentos teóricos y
sociales que nos ayude a entender las prioridades en la formación inicial de un profesor de
matemáticas, en qué aspectos más allá de los disciplinares se fundamenta su formación,
cómo esta formación garantizará su mejor desempeño de profesor y que vigencia tiene ésta
formación y cuáles son las prácticas que le permiten un continuo desarrollo, en qué
aspectos y cómo capitalizar su práctica (o experiencia) para su continuo desarrollo y qué
relación deberá tener el profesor en activo con los que está en fase de formación inicial.
Nuestro proyecto busca identificar y definir, términos y prácticas, a partir de
investigaciones que permitan la clarificación y posteriormente la estructuración de un
cuerpo teórico de supuestos y conceptos que nos sirvan para fundamentar propuestas
formativas y de desarrollo de profesores en servicio.
REFERENCIAS
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Como se ha dicho al principio, si partimos del supuesto que la conformación de la profesión
de un profesor de matemáticas, pasa necesariamente por el reconocimiento de un campo
académico que le es específico, consideramos que todas nuestras acciones deberán estar
orientadas en facilitar la incorporación del profesor a dicho campo y que esto
probablemente pueda redundar en beneficio de una práctica profesional de carácter
científico.
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
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DESATANDO OS NÓS ENTRE A MATEMÁTICA E A EDUCAÇÃO
INCLUSIVA
Profª. Drª. Chang Kuo Rodrigues
Universidade Severino Sombra – Brasil
[email protected]
Categoria 30 – Educação Especial; Todos os níveis
O presente trabalho mostra alguns resultados de um projeto de pesquisa em forma de
“guarda-chuva”, abarcando diferentes abordagens para o mesmo tema: Matemática
Inclusiva. Nessa direção, buscou-se criar rupturas na concepção de que a Educação é o
“berço” das desigualdades. Contamos com a participação de crianças e de jovens que
necessitam de cuidados diferenciados como, por exemplo, os de baixa visão, autistas e, em
geral, os que são providos de DI (Deficiência Intelectual). Para o desenvolvimento das
atividades, as novas tecnologias e as atividades lúdicas foram as ferramentas essenciais
para efetivação dessa pesquisa. E, quanto aos saberes matemáticos, focamos, em particular,
o reconhecimento dos números e o conceito de quantidade.
Palavras-Chave: Educação Matemática Inclusiva. Desigualdades. Inclusão.
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Partindo da importância de trabalhar a Matemática Inclusiva nas práticas pedagógicas,
surgiu a seguinte questão: como o uso de tecnologias pode auxiliar o desenvolvimento do
raciocínio lógico-matemático de aprendizes que necessitam de atenção especial? A partir
disso, investigamos a utilização das tecnologias no desenvolvimento do raciocínio lógicomatemático nesses aprendizes; executamos atividades lúdicas, recreativas e externas, a
partir da abordagem apresentada nos softwares; comparamos os dois resultados e verificar
se houve ou não a evolução cognitiva de cada um deles. Os sujeitos que requerem atenções
especiais, entre crianças, adolescentes e adultos, cuja instituição que os atendem, oferece
aulas de reforço, atendimento psicológico, higiene bucal e recreação. Para isso, conta com
administradores e funcionários e ainda recebe o apoio de estudantes e professores dos
cursos de Psicologia e Odontologia da Universidade Severino Sombra. Percebemos
claramente uma harmoniosa integração entre a Universidade e a instituição, o que favorece
a realização de projetos como este. Por fim, a escolha do estabelecimento também se
justifica por termos observado a ausência de um trabalho que priorize o desenvolvimento
cognitivo das crianças, dos jovens e dos adultos. Portanto, entendendo que, na maioria das
vezes, o atendimento a essas pessoas, fica restrito às atividades físicas e psicológicas mais
191
RESUMO
XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
gerais e, por isso, direcionamo-nos aos aspectos cognitivos, em particular, quantidade e
números. Assim, pretendemos intervir nas práticas da instituição, inicialmente, inserindo
atividades no laboratório de informática, que é uma vertente da inclusão digital e,
posteriormente, ressignificando as práticas lúdicas, constituindo-se em ações matemáticas
sugeridas nos softwares como contar, ordenar, medir e classificar. Como síntese destes
aspectos, esperamos criar condições para que as pessoas que requerem atenções especiais
desenvolvam o raciocínio lógico-matemático, elevem sua autoestima e se interessem pela
Matemática, além de proporcionar aos docentes, sugestões de práticas de inclusão.
Palavras-Chave: Inclusão digital. Diversidade intelectual. Matemática para/de todos.
INTRODUÇÃO
O presente trabalho mostra alguns resultados de um projeto de pesquisa, em forma de
“guarda-chuva”, que abarca diferentes abordagens para o mesmo tema: Matemática
Inclusiva, sob as perspectivas do ensino e/ou da aprendizagem dessa disciplina na
Educação Básica. O cerne dessa investigação incide em criar rupturas na concepção de que
a Educação é o “berço” das desigualdades, como bem expõe Pacheco (2009) e, além disso,
o mesmo autor alerta-nos sobre as medidas políticas que podem concorrer a paradoxos
como, por exemplo, quando a ação é justamente o oposto da intenção, isto é, a proposta em
si é válida, mas o agir pode ser munido de “vícios institucionais jamais questionados”
(Pacheco, 2009, p.23). Por outro lado, tomar partido em prol da inclusão tem severas
implicações na natureza estrutural do sistema de ensino, já que participar a comunidade
acadêmica (pais, professores, especialistas etc.) desse feito significaria conscientizá-la
acerca das potencialidades individuais que residem na diversidade.
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Nessa direção, o nosso ponto de partida foi conhecer que tipos de habilidades matemáticas
cada um dos indivíduos possuem diante de tarefas, que envolviam ora o reconhecimento de
quantidades, ora o manuseio com a operação adição de números inteiros positivos. Para tal,
contamos com a participação de crianças e jovens, de uma associação específica da cidade
de Vassouras-RJ, que necessitam de cuidados diferenciados como os de baixa visão,
autistas e, em geral, os que são providos de DI (Deficiência Intelectual), uma designação
desconfortável diante de nossa proposta, tendo em vista que “deficiente” é uma expressão
da fragilidade humana, enquanto aspecto negativo. Por isso, defendemos que DI deveria ser
efetivamente Diversidade Intelectual, sendo assim, este foi o nosso tratamento para DI
durante toda a investigação.
Para o desenvolvimento das atividades, as novas tecnologias e as atividades lúdicas foram
as ferramentas essenciais para efetivação dessa pesquisa. No tocante aos saberes
matemáticos, em particular, concentramos as nossas atividades em torno do
reconhecimento dos números inteiros positivos e o conceito de quantidade.
As atividades foram realizadas em laboratórios de informática e na própria instituição em
que as crianças e os adolescentes, que requerem atenções especiais, frequentam para seus
estudos. Essa investigação iniciou no segundo semestre de 2011.
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Os Nós da Educação Inclusiva
A inclusão tem sido um tema bastante discutido em diversos âmbitos de nossa sociedade.
Diante disso, na Educação, particularmente, as discussões são alvos de controvérsias, como
bem expõe Santos (2010):
As muitas publicações sobre a inclusão existentes fazem-nos pensar que, se por
um lado é bom o interesse de muitos pelo tema, por outro a inclusão talvez possa
ser considerada uma ação estratégica que atua como uma cortina de fumaça,
fazendo quase desaparecer as questões-chave como o pensamento crítico norteou
a ação de cada um de nós, na luta pelas transformações sociais do mundo,
principalmente no campo educacional. (Santos, 2010, p.13)
Essa dicotomia entre o que se entende por inclusão força-nos a repensar as nossas práticas
na Educação, tendo em vista que a luta por uma sociedade inclusiva deve-se iniciar em seu
âmago.
A nossa sociedade testemunha a “imposição da cultura do dominador” (Korten 1999,
p.117), muitas vezes impedindo a prática da inclusão e, principalmente, no que concerne às
pessoas que necessitam de cuidados especiais. Nesse sentido, Campos (2010) diz que:
[...] a respeito da inclusão concebe-a tanto como princípio ético quanto como
diretriz política. Contudo, seja em uma ou em outra acepção, cai na vala comum
das boas intenções que têm caracterizado a promoção social, revestindo-se de
caráter subjetivo e idealista na medida em que sua pauta trata tão somente de
quem incluir, sejam meninos de rua ou pessoas com deficiência, por exemplo, ou
se refere tão somente a como incluí-los, qual é a melhor técnica, de quanto
recurso se precisa etc. Nessas condições, a discussão assume a feição de um
discurso ideológico, contribuindo mais para esconder e disfarçar os fatores
realmente determinantes da exclusão, a irmã siamesa da inclusão. (Campos, 2010,
p.20)
Essa citação corrobora com a dicotomia instaurada nos projetos de inclusão propostas pela
classe dos dominantes, constituindo-se como um nó que deveria ser desfeito. Em
contrapartida, tem de haver mais e mais projetos destinados a romper com o paradigma da
exclusão social.
Diante desse contexto, pode-se concluir a fragilidade instaurada nas propostas que
envolvem inclusão, o que culminou nas seguintes questões: Como tratar da inclusão quando
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[...], um estudo “descobriu” que a maioria das escolas imputava o insucesso dos
estudantes apenas à sua origem sociocultural e à falta de formação dos
professores. O estudo a que me reporto confirmou o óbvio, isto é, que predomina
nas escolas o método expositivo, a disposição dos estudantes em filas voltadas
para o professor, e que “não é visível a existência de estratégias específicas para
potenciar a aprendizagem dos estudantes com ritmos mais lentos” (dito em
linguagem dura e pura, quem não acompanhar o ritmo do professor, que se
desenrasque, que pague a um explicador, ou vá pôr os catraios em escolas
especiais).
193
Na Educação, segundo Pacheco (2009), os jovens que requerem atenção diferenciada nas
escolas passam por “via de um processo de massificação”, atingindo a incrível incoerência
no que diz respeito ao local específico, em que ao invés de diminuir as desigualdades,
aumenta-as ainda mais. O mesmo autor ainda afirma o seguinte:
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“todas as forças” do sistema exclui? Que tipos de ações podem ser implementadas na
formação continuada de professores, para a inclusão escolar, particularmente, para os que
precisam de atenção diferenciada? De que forma as novas tecnologias podem contribuir
para o desenvolvimento de habilidades em pessoas que requerem atenções diferenciadas?
Outras questões podem ser extraídas das citadas e, por esse motivo, atemo-nos em algumas
mais específicas, em particular, centradas nas habilidades da Matemática, servindo tanto
para os chamados “especiais” quanto para os professores. Os desafios são muitos, mas, para
iniciar qualquer ação, vale lembrar as palavras de Lao Tse: “Uma longa viagem de mil
milhas inicia-se com o movimento de um pé”.
E, para dar o “passo” inicial, essa investigação aborda a importância da Educação Inclusiva,
particularmente sob o ponto de vista da Educação Matemática, no sentido de analisar, discutir e
apresentar algumas experiências realizadas nessa área, com crianças e adolescentes de uma
instituição especializada em atendê-los, cujo cuidado incide sobre um olhar mais atento no
desenvolvimento cognitivo de cada um deles, ao tratar-se de conceitos matemáticos básicos.
Diante dessa perspectiva, centramo-nos em uma questão de pesquisa, cuja indagação
norteou este trabalho, tal qual é: como o uso de tecnologias pode auxiliar o
desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático de aprendizes que necessitam de atenção
especial? Em decorrência disso, seguiram-se outras questões mais específicas: como
estimular a dimensão cognitiva dos aprendizes que necessitam de atenção especial? Quais
tipos de atividades, tecnológica e/ou lúdicas, podem efetivamente promover o
desenvolvimento cognitivo dos sujeitos envolvidos no projeto, de modo que haja a inserção
deles nas escolas conhecidas como “regulares”?
É preciso reconhecer que o tempo de aprendizado de cada um é único e, portanto, a
motivação deve ser um fator decisivo para eles possam desenvolver habilidades
matemáticas.
Desatando Alguns Nós da Educação Inclusiva
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194
Essa investigação abarca outras pesquisas, mantendo o tema, mas com focos diferenciados.
Os sujeitos da pesquisa são no número aproximado de 30, cujas idades variam de 9 a 39
anos, cada qual apresentando singularidades que nos permitiram atender individualmente,
apesar das atividades propostas serem de cunho coletivo.
No tocante aos pesquisadores, atualmente, são doze, a saber: duas jovens, do Ensino Médio,
pertencentes ao projeto Jovens Talentos da Universidade Severino Sombra; dois
graduandos do Curso de Matemática de Iniciação Científica, sendo um com o fomento da
FAPERJ (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro) e o outro, de
fomento da própria instituição; dois concluintes do Curso de Matemática, cujas
investigações têm a finalidade de gerir dois trabalhos de conclusão de curso; uma
mestranda do Curso de Mestrado Profissional em Educação Matemática; e, por fim, cinco
professoras pesquisadoras do Programa de Mestrado, além de outros profissionais que nos
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possibilitaram realizar as atividades como, por exemplo, as professoras da instituição que
atende os sujeitos da pesquisa e os responsáveis pelos laboratórios de informática.
As atividades propostas no laboratório de informática para uso de softwares educativos e as
atividades lúdicas foram investigadas sob múltiplos olhares e, consequentemente, realizamos um
recorte de análise que nos permitiram pensar em três temáticas articuladas – inclusão digital,
desenvolvimento cognitivo (com ênfase no raciocínio lógico-matemático) e construção de
conceitos matemáticos.
Segundo Piaget (1978), o conhecimento lógico-matemático é uma construção e resulta da ação
mental da criança sobre o mundo, não há como ser treinado ou meramente transmitido. Em
outras palavras, o conhecimento lógico-matemático não é inerente aos objetos, ele corresponde
às relações que a criança elabora na sua atividade de pensar o mundo, agindo sobre os objetos.
O conceito de número é um exemplo de conhecimento lógico-matemático. Aprender os números
é muito mais do que simplesmente contar. É preciso estabelecer relações do tipo “é igual”, “é
diferente”, “é maior”, “é menor”, além de classificá-los, ordená-los e reconhecer a possibilidade
de certos conjuntos possuírem elementos de naturezas variadas em quantidades iguais, ou seja, o
mesmo número pode significar a quantidade de elementos de conjuntos distintos. Assim, o
número não é uma propriedade dos objetos que compõem o conjunto. Ele é uma abstração
construída pelos indivíduos a partir da observação e manipulação destes objetos.
Aranão (2011, p.22) confirma esse argumento quando diz que “na construção das estruturas da
inteligência, o meio desempenha um papel fundamental pelas condições que oferece. Elas
fornecem os fundamentos da lógica e da matemática”. E, nesse sentido, Brenelli (1996) considera
a concepção do conhecimento como resultante das trocas entre sujeito e meio, confirmando
assim, a principal razão para se propor um trabalho desta natureza. Partindo do princípio de que
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Voltando suas atenções para os indivíduos portadores de necessidades especiais, Costa (1997) nos
assegura que eles podem apresentar dificuldades para efetuar as necessárias construções lógicas
em diferentes níveis e estas, em boa parte dos casos, decorrem do fato de suas experiências com
os objetos serem limitadas. Nesse sentido, atividades lúdicas como o uso de softwares educativos
em um laboratório de informática e a inclusão de elementos lúdicos nas atividades recreativas
podem contribuir para a ampliação e enriquecimento das experiências, favorecendo a superação
se não total, pelo menos, parcial das dificuldades. Assim, acreditamos que atividades lúdicas em
contextos educacionais, quer na escola quer em instituições de apoio e reforço escolar, com
pessoas que apresentam restrições de aprendizagem, podem ser eficazes sob dois pontos de vista:
garantir-lhes-á, de um lado, o interesse, a motivação e, por outro lado, atuará a fim de possibilitarlhes construir ou aprimorar seus instrumentos cognitivos, em especial o desenvolvimento do
raciocínio lógico-matemático, e favorecer a aprendizagem de conceitos matemáticos.
195
O mesmo autor, Piaget (1976), destaca três estágios básicos na construção dos esquemas mentais
de natureza lógico-matemática. No estágio pré-operatório, as crianças se apoiam em ações
sensório-motoras sobre os objetos e por meio da repetição espontânea chegam à generalização
da ação. No segundo estágio, que é o estágio operatório-concreto, começam a surgir as operações
de pensamento, mas as crianças ainda dependem dos objetos concretos para que as ações se
constituam em conceitos. E o terceiro estágio caracteriza-se pelas operações sobre objetos
abstratos, independendo de ações concretas ou de objetos concretos. Trata-se do pensamento
puramente abstrato.
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as atividades lúdicas serão uma estratégia de intervenção pedagógica no processo de
aprendizagem e de desenvolvimento cognitivo dos sujeitos envolvidos na pesquisa, faz-se
necessário compreender os processos subjacentes a essas trocas. Por isso, a investigação científica
proposta tem como objetivo geral descrever e analisar as condutas dos indivíduos no uso de
softwares educativos e nas atividades recreativas que ocorrem fora do laboratório, incrementadas
de elementos lúdicos.
Vale ressaltar que estas intervenções poderão estimular a autoestima dos sujeitos da
pesquisa, tanto na dimensão intra quanto interpessoal. De fato, quando as relações
interpessoais são levadas em consideração, podem ocorrer mudanças na dimensão
emocional. Chacón (2003) confirma a importância do aspecto emocional quando diz que:
Hoje, há um crescimento da consciência coletiva sobre a necessidade de
desentranhar os aspectos emocionais do conhecimento, nos quais
possivelmente há que se buscar a raiz de muitos fracassos de nossa vida
intelectual e, em particular, de nossa educação. Se fizéssemos um estudo das
palavras utilizadas nas discussões dos professores e dos pesquisadores sobre os
fatores de aprendizagem, “afetividade” e “motivação” encabeçariam a lista. Esse
fato deixa claro que, no âmbito do ensino, reconhece-se a grande influência que
as variáveis afetivas exercem na construção do conhecimento dos estudantes.
(Chacón, 2003, p.13)
A mesma autora ainda afirma que:
As emoções são respostas organizadas além da fronteira dos sistemas
psicológicos, incluindo o fisiológico, o cognitivo, o motivacional e o sistema
experiencial. Surgem como resposta a um acontecimento, interno ou externo,
que possui uma carga de significado positiva ou negativa para o indivíduo.
(Chacón, 2003, p.22)
Se a carga de significado for positiva para o sujeito, basta reforçar ainda mais sua
habilidade em desenvolver estratégias na resolução de situações-problema. Caso contrário,
devemos nos atentar para o aproveitamento do “erro” como forma de exercer a superação
de obstáculos em todas as dimensões, seja física, mental ou cognitiva.
A seguir, vejamos como foram realizadas algumas atividades com os sujeitos providos de
DI (Diversidade Intelectual).
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196
Algumas Atividades da Investigação
Os encontros entre os pesquisadores e os sujeitos de DI sucederam-se semanalmente, no
período de aproximadamente uma hora e meia. Para o presente artigo, exporemos uma
atividade que envolveu motivação para o uso das novas tecnologias e, no mesmo contexto,
explorando a ludicidade.
O primeiro encontro no laboratório de informática foi de caráter exploratório. Eles
manuseavam o mouse no intuito de criar familiaridade com este instrumento, além de
estimular a concentração e a coordenação motora, mas, ainda assim, foi preciso algumas
pessoas precisaram de certa ajuda para manuseá-lo, Figura 1. Nos encontros seguintes,
exploramos o site grátis de bubble game, bolas coloridas que consistiam em “estourar” as
bolas de mesma cor, tal qual na Figura 2.
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Figura 1 – O manuseio do mouse
Fonte: Dados da pesquisa
Disponível em: http://jogosonline.uol.com.br/bubble-shooter_2135.html#rmcl Acesso em: 30 abr 2012.
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Figura 2 – Bubble Game
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Esse jogo consiste em lançar com o mouse uma bola de uma das cinco cores em duas ou
mais outras bolas, de forma que as “estoure”. Acumulam-se pontos de acordo com as bolas
estouradas.
Alguns deles tiveram certas limitações em reconhecer como causar impactos nas bolinhas
coloridas de forma acumular pontos. Outros, após algumas partidas ficaram entediados em
manusear o jogo, preferindo explorar outros sites de jogos, como pode ser constatado na
Figura 3.
Figura 3 – Outros sites explorados por N
Anarão (2011, p.16) expõe que “a criança é um ser puramente lúdico, incapaz de manter
sua concentração por mais de 20 minutos numa atividade que requer atenção [...]”. Daí, a
mesma autora, levanta a seguinte questão:
[...] como se pode exigir que uma criança aprenda sem lhe dar oportunidade de
manipular objetos, interagir com diversos tipos de materiais e pessoas,
simplesmente exigindo que ela memorize e armazene informações puramente
verbalizadas que muitas vezes não levam em consideração seu interesse e seu
nível intelectual? (Anarão, 2011, p.16)
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Fonte: Dados da pesquisa
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Nessa direção, o que se dirá de N, Figura 3, uma criança de apenas 9 anos, cuja DI,
Diversidade Intelectual, requer cuidados especiais? Foi pensando nisso, inspirou-nos ainda
mais a persistir nessa investigação.
Mas, a princípio, foi bastante válido. Em geral, ficaram entusiasmados com a atividade,
tendo em vista que, de certa forma, rompeu com a rotina deles apenas pelo fato de terem
saído da instituição.
Após o contato com as novas tecnologias, no sétimo encontro, propusemo-nos a uma
atividade na instituição dos sujeitos da pesquisa, praticando o lúdico inspirado no bubble
game. Para a realização da mesma, foi preciso dispô-los em círculo e cada um de posse de
uma bexiga colorida. Em seguida, dispomos de uma música escolhida por eles para
passarmos outra bexiga a girar por entre eles. Caso a cor fosse o mesmo, seria preciso furálas, Figura 4.
Figura 4 – Atividade lúdica
Diante deste contexto, nas palavras de Anarão (2011),
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Essa atividade conciliou com a que foi proposta pelo software, fazendo com que eles
percebessem essa relação entre o que estava na tela do monitor ser, efetivamente,
manipulado concretamente.
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Fonte: Dados da Pesquisa
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A criança, portanto, tem de explorar o mundo que a cerca e tirar dele as
informações que lhe são necessárias. Nesse processo, o professor deve agir como
interventor e proporcionar-lhe o maior número possível de atividades, materiais e
oportunidades de situações para que suas experiências sejam enriquecedoras,
contribuindo para a construção de seu conhecimento. Sua interação com o meio
se faz por intermédio de brincadeiras e da manipulação de diferentes materiais,
utilizando os próprios sentidos na descoberta gradual do mundo. (Anarão, 2011,
p.16)
Essa perspectiva é baseada nos pressupostos teóricos piagetianos, os quais defendem que as
propostas de trabalho devem levar em conta o nível de desenvolvimento cognitivo da
criança e, na nossa investigação, é bem pertinente fundamentarmos na concepção
construtivista de modo a contemplar a diversidade intelectual.
Tecendo Algumas Considerações Finais
Essa investigação encontra-se em curso, repleta de desafios a ser enfrentada; um longo
caminho a ser percorrido. A inclusão diante das diferentes formas de pensar
matematicamente está presente também nas salas de aula de escolas chamadas de
“regulares”. No entanto, inserir as crianças que demandam de atenções especiais equivale a
exercer o direito de cada um deles estar presente no e com o mundo. Um mundo reservado
para uma minoria dominante e, muitas vezes, sem um olhar mais atento para os nossos
“pequeninos”.
Um olhar cuidadoso significa o respeito à diversidade humana, livre dos pré-conceitos já
estabelecidos. Essa prática visa essencialmente garantir ao outro o direito de ir e de vir.
O nosso primeiro passo foi dado para uma longa viagem em defesa da Educação Inclusiva.
Particularmente, um olhar todo cuidadoso para as diferentes habilidades matemáticas que
podem culminar em pequenas ações em prol de uma sociedade menos injusta. Portanto,
bem expõe Jares (2005, p.178) quando diz que “a esperança, assim como a aprendizagem,
é construída em circunstâncias bem diferentes, sendo normalmente sempre mais generosa
nas circunstâncias e contextos positivos da vida”.
REFERÊNCIAS
ARANÃO, I.V.D. A matemática através de brincadeiras e jogos. 7.ed. Campinas-SP: Papirus, 2011.
200
CAMPOS, H.R.; PANNUTI, M.R.V.; SANTOS, M.S. Inclusão: reflexões e possibilidades. São Paulo:
Loyola, 2010.
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BRENELLI, R. P. O jogo como espaço para pensar: a construção de noções lógicas e
aritméticas.Campinas-SP: Papirus, 1996.
CHACÓN, M. G. Matemática emocional: os afetos na aprendizagem Matemática. Porto Alegre:
ArtMed, 2003.
COSTA, M. P. R. Matemática para deficientes mentais. São Paulo: EDICON, 1997.
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JARES, X.R. Educar para a verdade e para a esperança: em tempos de globalização, guerra
preventiva e terrorismos. Porto Alegre: Artmed, 2005.
PACHECO, J. Berços da desigualdade. In: GOMES, M. (org.). Construindo as trilhas para a inclusão.
Petrópolis-RJ: Vozes, 2009, p.23-35.
PIAGET, J. Epistemologia Genética. São Paulo: Martins Fontes, 1976.
______. O nascimento da inteligência na criança. 3.ed. Rio de Janeiro: Zahar, 1978.
PÁGINA
201
SANTOS, M.S. Introdução. In: CAMPOS, H.R.; PANNUTI, M.R.V.; SANTOS, M.S. Inclusão: reflexões e
possibilidades. São Paulo: Loyola, 2010, p.13-17.
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TRANSIÇÃO ENSINOS MÉDIO E SUPERIOR: OLHAR SOBRE SUA
RELAÇÃO INSTITUCIONAL NO BRASIL
Marlene Alves Dias
UNIBAN – Brasil
[email protected]
Médio Superior – Gráficos e Funções
RESUMO
O objetivo desse trabalho de pesquisa é identificar as relações institucionais esperadas e
existentes e as marcas dessas sobre as relações pessoais esperadas dos estudantes na
transição entre os Ensinos Médio e Superior. As análises se apoiam na Teoria
Antropológica do didático de Chevallard, em particular, nas noções de relações
institucionais e pessoais, praxeologia e níveis de co-determinação. Foram consideradas as
análises das expectativas institucionais via documentos oficiais e das relações institucionais
existentes por meio de dois livros didáticos do Ensino Médio e um do Ensino Superior que
dão uma visão geral de como essas relações sobrevivem atualmente no Brasil. As relações
pessoais esperadas dos estudantes foram apresentadas por meio do vestibular da Unicamp
que além de ser uma universidade de prestígio no Brasil, considera as propostas
institucionais para a elaboração de seus exames.
Palavras-chave: Matemática. Relações institucionais e pessoais. Praxeologia. Níveis de codeterminação
PÁGINA
202
ABSTRACT
The objective of this research work is to identify the expected and existing institutional
relationships and its marks on personal relationships expected of students in transition between
High School and Higher Education. The analyses are based on the Chevallard Anthropological
Theory of Didactic, in particular, the notions of institutional and personal relationships,
praxeology and levels of co-determination. Were considered the analyses of institutional
expectations through official documents and existing institutional relationships by two High
School textbooks and Higher Education one that give an overview of how these relationships
survive today in Brazil. Personal relationships expected of the students were presented through
the “vestibular” of Unicamp, that besides being a prestigious university in Brazil, considers the
institutional proposals for the preparation of their exams.
Key words: Mathematics. Institutional and personal relationships. Praxeology. Levels of co-
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determination.
INTRODUÇÃO
O estudo da transição entre os Ensinos Médio e Superior pode ser abordado sobre
diferentes olhares. Gueudet (2008) ressalta que determinar as dificuldades encontradas
pelos estudantes depende da forma como as observamos. A interpretação das dificuldades
observadas difere em função do olhar sobre a transição, o que produz uma visão diferente
da transição e nos conduz a propor ações didáticas diferentes.
Para tanto Gueudet (2008) identifica quatro modos de tratar a transição entre os Ensinos
Médio e Superior, a saber: olhar sobre o modo de pensar, olhar sobre a organização dos
conhecimentos, olhar sobre a linguagem e as formas de comunicação dos matemáticos e
olhar sobre a instituição.
Nossa escolha para o estudo da transição centrou-se no olhar sobre a instituição, pois no
Brasil o decreto de 1996 estabelece as novas diretrizes e bases para a Educação Nacional.
Essa lei é complementada em 2001, com o Plano Nacional de Educação cujos objetivos
são: elevar o nível de escolaridade da população, melhorar a qualidade de ensino em todos
os níveis, reduzir as desigualdades sociais e regionais em relação ao acesso e permanência
na educação pública e democratizar a gestão do ensino público prevendo a participação dos
profissionais da educação na elaboração do projeto pedagógico da escola e a participação
da comunidade escolar e local nos conselhos escolares e equivalentes.
Essa nova proposta além de considerar a importância da participação de todos os
profissionais da educação e da comunidade priorizou o ensino obrigatório dos 7 aos 14
anos, que deveria ser estendido dos 6 aos 14 anos a partir de 2004. Isso conduz à ampliação
do atendimento nos Ensinos Médio e Superior, à valorização dos profissionais da educação
e ao desenvolvimento de sistemas de informação e avaliação em todos os níveis e
modalidades de ensino.
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As mudanças propostas para serem implementadas no Ensino Médio influenciam o trabalho
a ser desenvolvido nos primeiros anos da universidade. Para melhor compreender as
dificuldades encontradas pelos estudantes que iniciam o Ensino Superior, que muitas vezes
não são capazes de identificar as novas necessidades em termos das novas técnicas que se
impõem em função das novas práticas matemáticas desenvolvidas no Ensino Superior,
escolhemos estudar a evolução das propostas institucionais para os Ensinos Médio e
Superior, quando se considera a noção de função. A escolha dessa noção está associada ao
seu papel fundamental na articulação dos conhecimentos matemáticos desenvolvidos nessas
etapas escolares no Brasil.
203
Essas avaliações já vêm ocorrendo em todas as etapas escolares e em função dos resultados
das mesmas, novas orientações vêm sendo propostas, em particular, para o Ensino Médio,
que atualmente corresponde à última etapa da Educação Básica.
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Para desenvolver esse trabalho elegemos como referencial teórico a Teoria Antropológica
do Didático – TAD de Chevallard (1992, 2002, 2002a). A escolha dessa teoria está
associada às possibilidades que a mesma fornece para a identificação da circulação dos
saberes entre o Ensino Médio e Superior por meio das noções de praxeologias matemáticas
e didáticas e dos níveis de co-determinação que permitem compreender os diferentes níveis
que dirigem essas praxeologias e seu progresso, mais especificamente, as evoluções
curriculares.
A seguir apresentamos uma breve discussão do referencial teórico utilizado na pesquisa.
Referencial teórico
Iniciamos considerando os aportes teóricos da Teoria Antropológica do Didático
desenvolvida por Chevallard (1992, 2002, 2002a) por terem sido as noções de relações
institucional e pessoal, organizações praxeológicas e níveis de co-determinação centrais
para o desenvolvimento deste trabalho.
Chevallard (1998) inicia seu artigo explicitando que a Teoria Antropológica do Didático –
TAD situa a atividade matemática, consequentemente, o estudo da matemática, no conjunto
das atividades humanas e das instituições sociais, o que segundo ele conduz a várias
direções e mesmo a ignorar algumas delas. Isso conduz a considerar objetos distintos, em
primeiro lugar a matemática e na sequência os estudantes, os professores, os livros
didáticos, etc, isto é, todos os objetos necessários para tratar as questões a ela associadas.
Assim, segundo Chevallard (1998) a premissa básica da TAD aceita que toda atividade
regular humana pode ser entendida por meio de um modelo único denominado praxeologia.
O autor define o conceito de praxeologia por meio das noções de tarefa e tipo de tarefas.
Exemplos de tarefas e tipos de tarefas: varrer um cômodo, desenvolver uma expressão
literal dada, dividir um inteiro por outro, etc. Além disso, uma praxeologia relativa a um
tipo de tarefa precisa, em princípio, de uma maneira de fazer, de realizar as tarefas de
determinado tipo. Essa maneira de fazer é denominada técnica (do grego tekhnê, saberfazer). Assim, a praxeologia é composta de um bloco prático-técnico [tipo de tarefa,
técnica], que o autor identifica como um saber-fazer.
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204
Após definir técnica como uma maneira de fazer, o autor introduz a noção de tecnologia,
que corresponde a um discurso racional (logos) sobre a técnica. Segundo o autor esse
discurso é focado inicialmente na justificativa racional da técnica de forma a garantir que a
mesma permita que muitos sejam capazes de realizar as tarefas de determinado tipo.
Chevallard admite como fato da observação que em uma instituição I, seja qual for o tipo
de tarefa, a técnica relativa a esse tipo de tarefa está sempre acompanhada de pelo menos
um embrião ou, mais frequentemente, de um vestígio de tecnologia. Em muitos casos
certos elementos tecnológicos são integrados à técnica. O autor destaca ainda que uma
segunda função da tecnologia é de explicar, tornar inteligível, esclarecer a técnica.
Chevallard esclarece ainda que o discurso tecnológico contém afirmações, mais ou menos
explícitas, para as quais podemos perguntar o por quê desse discurso. Isso conduz a um
nível superior de justificativa-explicação-produção, que o autor denomina teoria, que
corresponde ao discurso tecnológico ou tecnologia da tecnologia. Isso lhe permite
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considerar que em torno de um tipo de tarefa está, em princípio, um trio constituído por
uma técnica (pelo menos uma), uma tecnologia das técnicas e uma teoria da tecnologia. O
conjunto tipo de tarefa, técnica, tecnologia e teoria constitui uma praxeologia ou
organização praxeológica, e essa é constituída de um bloco prático técnico [tipo de
tarefa/técnica] e de um bloco tecnológico-teórico [tecnologia/teoria]. O bloco teórico é,
normalmente, identificado como um saber e o bloco prático como um saber fazer.
Chevallard ressalta que essa noção de praxeologia mostra-se bastante genérica exigindo que
se aprofundem os estudos sobre as mesmas, isso podendo ser efetuado por meio da
investigação empírica e análise de dados observacionais recolhidos.
Para tal, é importante observar que antes de definir praxeologia Chevallard (1992) introduz
a noção de relação de uma pessoa X a um objeto O, R(X, O), ou de uma instituição I a esse
mesmo objeto, RI(O).
Segundo Chevallard (1992) os objetos ocupam uma posição privilegiada, pois são o
“material e base” da construção teórica. Assim para ele, tudo é objeto, logo as pessoas X e
as instituições I são objetos de um tipo particular. Dessa forma, um objeto existe no
momento em que uma pessoa X ou uma instituição I reconhece esse objeto como existente.
Chevallard (2007) esclarece que a noção de relação permite formular facilmente diversos
problemas, pois ela fornece uma linguagem que possibilita precisar certas descrições.
Como exemplo o autor apresenta a questão da avaliação, ou seja, se consideramos que em
uma instituição a relação de um tópico, em determinada posição, com um objeto para o
qual existe uma relação institucional não vazia, somos levados a supor que as pessoas, que
estão numa determinada posição e se sujeitam a essa instituição, devem ter certo
conhecimento desse objeto, isto é, o descrito pela relação institucional. Quando esse
conhecimento é avaliado por um especialista da instituição supõe-se que o mesmo irá
apreciar o grau de conformidade da relação pessoal com a relação institucional para o
mesmo objeto.
Assim, para observar o nascimento ou a evolução de uma relação a um objeto, seja ela
institucional ou pessoal, devemos observar o indivíduo ou a instituição em atividades que
os mesmos ativam esse objeto. Isso conduz progressivamente às noções de tipo de tarefas,
técnicas, tecnologias e teorias.
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A noção de ecologia dos saberes corresponde à pesquisa da vida dos mesmos nas
instituições, pois essas dependem de adaptações às restrições, que muitas vezes estão
associadas à economia de saberes. Chevallard (2002, 2002a) ao considerar a noção de
ecologia define habitat como o lugar onde vivem os objetos matemáticos considerados,
nicho correspondendo à função que esses objetos ocupam em cada um de seus habitats e
milieu como o conjunto dos objetos para os quais a relação institucional é estável e não
problemática.
205
Ainda relacionado à Teoria Antropológica do Didático consideramos as noções de ecologia
e níveis de co-determinação que também são ferramentas de análise utilizadas nessa
pesquisa, pois nos diferentes momentos o saber e o saber fazer sobrevivem e se
reconstroem em função das expectativas institucionais.
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As praxeologias são as componentes dos diferentes habitats e segundo Chevallard (2007) as
condições e restrições que determinam o processo de difusão praxeológico são exploradas e
localizadas com a ajuda de uma escala que contém diferentes níveis de co-determinação
uma vez que elas podem se situar em determinado nível da escala, mas podem se exprimir
em outro.
Assim, não podemos isolar o que se passa em uma classe do conjunto do sistema de ensino.
Para a análise das condições e restrições de difusão do processo de difusão praxeológico
Chevallard (2007) define os seguintes níveis de co-determinação: tópicos ↔ temas ↔
setores ↔ domínios ↔ disciplinas ↔ pedagogia ↔ escola ↔ sociedade ↔ civilização.
Esses níveis descrevem as relações recíprocas entre os níveis mais específicos e os mais
gerais do sistema didático. Assim, para as organizações matemáticas podemos considerar o
tema associado a uma tecnologia e a uma organização matemática local como, por
exemplo, a representação gráfica da função exponencial cujos tópicos podem estar
associados a um tipo de tarefa e ligado a um setor que corresponde a uma teoria, por
exemplo, o estudo das funções numéricas. Esse setor podendo estar mergulhado em um
domínio, por exemplo, o da álgebra que por sua vez faz parte de uma disciplina, a
matemática, para a qual existem indicações de estratégias e técnicas para desenvolvê-la,
isto é, a pedagogia a ser considerada, que pode ser escolhida pelo grupo de professores de
uma determinada escola que segue as orientações de documentos construídos pela
sociedade que por sua vez está mergulhada em determinada civilização.
Chevallard (2007) introduz os diferentes níveis e os denomina níveis de co-determinação
porque seus efeitos são sentidos nos dois sentidos como podemos evidenciar por meio do
exemplo acima e do esquema: tópicos ↔ temas ↔ setores ↔ domínios ↔ disciplinas ↔
pedagogia ↔ escola ↔ sociedade ↔ civilização.
Assim, o que podemos fazer em determinado nível depende das condições e restrições
criadas pelas escalas superiores que iniciam por civilização. Além disso, ao modificar as
condições e restrições de um nível inferior teremos repercussões sobre os níveis superiores.
Chevallard (2007) ressalta que tradicionalmente os estudantes se limitam aos tópicos, os
professores aos temas, os setores, domínios e mesmo as disciplinas são da responsabilidade
dos responsáveis pela construção dos programas e os didatas se limitam à disciplina. Ainda
segundo o autor a Teoria Antropológica se interessa necessariamente pelos níveis
superiores, ou seja, pedagogia, escola, sociedade e civilização.
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206
Na sequência apresentamos a metodologia utilizada na pesquisa.
Metodologia
Trata-se de uma pesquisa de relações institucionais esperadas e existentes, em particular
das praxeologias que se supõem estar sendo trabalhadas atualmente, classificamos a
metodologia como a da pesquisa documental.
Os documentos escolhidos para análise das relações institucionais esperadas são as
propostas institucionais nacionais brasileiras, a saber: os Parâmetros Curriculares Nacionais
para os Ensinos Fundamental e Médio, a Nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo
para o Ensino Médio e planos de ensino de universidades brasileiras públicas e privadas.
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Para a análise das relações institucionais existentes analisamos livros didáticos do Ensino
Médio avaliados e distribuídos pelo Programa Nacional do Livro Didático –PNLD e livros
indicados na bibliografia dos planos de ensino de algumas universidades. Para esse trabalho
consideramos dois livros para o Ensino Médio, que correspondem às duas obras mais bem
avaliadas e um livro para o Ensino Superior, que se trata da obra indicada na maioria dos
planos de ensino das universidades para a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I.
Analisamos ainda as marcas das relações institucionais sobre as relações pessoais esperadas
dos estudantes via macroavaliações. Aqui consideramos apenas os resultados da
macroavaliação do vestibular da Universidade de Campinas, que nos últimos anos se
adequou às propostas institucionais.
Apresentamos a seguir os resultados das análises das relações institucionais esperadas.
As relações institucionais esperadas
Ao mesmo tempo em que se delinearam os objetivos e prioridades da educação no Brasil
por meio das leis de 1996 e 2001 e considerando que a avaliação nacional deve levar em
conta a redução das desigualdades sociais e regionais e a democratização da gestão do
ensino público iniciou-se a implementação dos Parâmetros Curriculares Nacionais, em que
encontramos referenciais para a renovação e reelaboração da proposta curricular, que fica a
cargo de cada escola, pois o plano nacional da educação prevê a participação de todos os
profissionais da educação na construção dessa proposta.
Assim em 1997 são publicados os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino
Fundamental, nos quais se encontram os objetivos em termos das capacidades que se espera
que os estudantes desenvolvam durante essa etapa escolar.
Para isso, o trabalho deve ser desenvolvido por meio de diferentes recursos, entre os
indicados estão: resolução de problemas, história da matemática, tecnologias da
informação, jogos. Observamos que essa proposta vem de encontro com vários estudos de
pesquisa desenvolvidos nos programas de pós-graduação em Educação Matemática, o que
pode ser considerado como incentivo ao desenvolvimento desse campo de pesquisa no
Brasil.
Espera-se assim que no final do ensino fundamental o estudante seja capaz de aplicar a
noção de função linear em situações contextualizadas por meio das representações fórmula,
tabela e gráfico.
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Assim, se nos referimos aos níveis de co-determinação (sociedade, escola, pedagogia,
disciplina, domínio, setor, tema, tópicos) conforme Chevallard (2002) observamos que a
responsabilidade do professor de matemática se limita ao setor uma vez que os outros
níveis são indicados no documento.
207
No que se refere à introdução da noção de função para essa etapa escolar a proposta indica
que o estudo da proporcionalidade permite articular diferentes noções como a resolução de
problemas multiplicativos, o estudo de porcentagem, da semelhança de figuras, da
matemática financeira e a análise de tabelas, gráficos e funções. A proposta é que se dê
ênfase aos fenômenos do mundo real abordando os problemas por vários pontos de vista.
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Esse estudo centrado em situações contextualizadas e do mundo real é proposto também
nos referenciais dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio publicado em
2000. Nesse documento ao se estabelecer um novo perfil para o currículo, aqui apoiado em
competências básicas que possibilitem a inserção dos jovens na vida adulta. Ainda segundo
o documento é preciso dar significado ao conhecimento escolar por meio da
contextualização, da interdisciplinaridade e do incentivo ao raciocínio e à capacidade de
aprender conduzindo assim o estudante à autonomia. O documento não faz sugestão de
conteúdo, indicando apenas os princípios da reforma curricular de forma a orientar o
professor a buscar novas abordagens e metodologias.
Logo, quando nos referimos aos níveis de co-determinação verificamos que cabe à escola a
organização de sua pedagogia, a ênfase a ser dada à disciplina matemática, assim como as
escolhas em relação ao momento de considerar o domínio e setor, ficando a cargo do
professor encontrar novos meios para o desenvolvimento dos temas dos diferentes
domínios e setores propostos pelo grupo.
Assim as dificuldades apresentadas pela diversidade de projetos para o desenvolvimento de
um mesmo conteúdo conduziram a um novo documento, os Parâmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Médio (2000a) nos quais se enfatiza que o saber matemático,
científico e tecnológico deve ser desenvolvido como condição de cidadania e não como
prerrogativa de especialistas. Assim cabe à matemática do Ensino Médio desenvolver os
instrumentos de expressão e raciocínio de forma articulada com as disciplinas de biologia,
física e química e as competências essenciais que envolvem habilidades associadas aos
quadros algébrico, geométrico, estatístico e probabilístico mostrando a importância de suas
diferentes representações.
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208
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio – PCNEM (2000a) são
explicitadas as competências e habilidades que se espera desenvolver, sendo as mesmas
classificadas em três grandes grupos, a saber: representação e comunicação, investigação e
compreensão, contextualização sócio-cultural. Essas competências e habilidades devem ser
trabalhadas de forma interdisciplinar e contextualizada entre as disciplinas de matemática,
física, química e biologia e fica a cargo dos professores encontrar os meios para
desenvolver essa proposta. Assim, cabe aos professores das quatro disciplinas a escolha dos
diferentes domínios a serem trabalhados no Ensino Médio.
Como exemplo utiliza-se o domínio das funções para o qual se destaca a importância de
tratá-lo de forma articulada, citando a questão das sequências e funções, propriedades de
retas e parábolas em Geometria Analítica e as propriedades dos gráficos das funções
correspondentes, isto é, as articulações internas, mas é preciso não esquecer o trabalho
interdisciplinar. É enfatizado ainda o papel das funções como ferramenta para descrever e
estudar o comportamento de determinados fenômenos tanto das ciências como do
cotidiano.
Assim no documento se enfatiza que o objetivo do ensino da Matemática em relação à
introdução do conceito de função é garantir a flexibilidade para tratar esse conceito por
meio de diferentes situações intra e extramatemáticas. Mas, somente essas indicações não
são suficientes para auxiliar os educadores na construção de seus projetos, o que conduz à
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publicação do documento Orientações Educacionais complementares em 2002 denominado
PCN+ Ensino Médio.
Nesse novo documento, são retomadas as competências e habilidades para as quatro
disciplinas com exemplos para auxiliar educadores e professores na construção dos projetos
escolares. Encontramos ainda nesse documento a estruturação da matemática em três
domínios, a saber: álgebra: números e funções, geometria e medidas e análise de dados,
como sugestão para organizar os conteúdos a serem desenvolvidos. Para o estudo das
funções são dadas orientações sobre como trabalhá-lo com exemplos para auxiliar os
professores a desenvolver esse domínio de forma interdisciplinar e flexível levando em
conta a proposta anterior.
Assim, o documento de 2002, apesar de dar exemplos do trabalho matemático a ser
desenvolvido no Ensino Médio, não foi suficiente para auxiliar educadores e professores
nas dificuldades encontradas.
Em 2006 é publicado um novo documento no qual se mantém a proposta inicial, mas agora
a matemática é estruturada em quatro blocos, números e operações, funções, geometria,
análise de dados e probabilidade. Nesse documento observamos que para o domínio das
funções são dados exemplos mais específicos para o desenvolvimento do trabalho
articulado e flexível propostos nos documentos anteriores, mas ainda fica a cargo dos
educadores e professores a construção do projeto de suas respectivas escolas. O texto
abaixo permite compreender a ampliação das orientações em relação aos textos anteriores.
Apesar das sucessivas orientações, os estudantes do Ensino Médio ao serem avaliados pelas
macroavaliações institucionais têm mostrado muitas dificuldades e um dos fatores que pode
estar associado a essas dificuldades é que as provas são construídas levando em conta as
orientações dos documentos acima discutidos.
Assim, em geral, os professores utilizam o livro didático como elemento para discussão e
proposta de trabalho. Mas, mesmo se os livros didáticos são avaliados pelo Programa
Nacional do Livro Didático e os livros são distribuídos para os estudantes após escolha
pelos professores, não se verifica uma melhora nos resultados dos estudantes do ensino
público nas macroavaliações a que são submetidos no final do Ensino Médio.
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Assim, a Nova Proposta do Estado de São Paulo lançada em 2008 indica os conteúdos a
serem desenvolvidos em cada bimestre e o mesmo é apresentado, por meio dos “Caderno
do Professor” e “Caderno do Aluno” onde o conteúdo relacionado a um determinado setor,
por exemplo o das funções, é proposto para ser trabalhado a partir do segundo semestre do
primeiro ano do Ensino Médio, em que as funções afim e quadrática são supostas
trabalhadas no segundo semestre, as funções exponencial e logarítmica no terceiro semestre
e as funções trigonométricas no primeiro semestre do segundo ano do Ensino Médio.
209
Em função de uma macroavaliação específica do Estado de São Paulo, o Sistema de
Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo, a secretaria de Educação do
Estado de São Paulo implementa a partir de 2008 a Nova Proposta Curricular do Estado de
São Paulo. Essa nova proposta mantém as orientações dos documentos oficiais nacionais,
mas traz um trabalho específico para o desenvolvimento dos conteúdos.
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Além de determinar domínio e setor, os diferentes temas associados a cada setor já vem
organizados por meio de situações que possibilitam a interdisciplinaridade e a flexibilidade
dos conteúdos.
A Nova Proposta do Estado de São Paulo como o próprio nome indica é uma proposta que
pode ou não ser implementada pelos professores, mas é importante observar que esse
documento serve de base para a construção da macroavaliação SARESP que avalia o
rendimento dos estudantes e está associada à progressão funcional do professor.
O reflexo desse documento é positivo e outras secretarias estão seguindo o modelo de São
Paulo na tentativa de garantir a nova formação dos estudantes indicadas nos diferentes
documentos oficiais.
A análise dos planos de ensino de universidades publicas e privadas indica que existe uma
preocupação em revisitar conteúdos já trabalhados no Ensino Médio, em particular, para o
estudo das funções, mas, em geral esse trabalho é descontextualizado e centrado sobre as
representações algébricas e gráficas das funções já trabalhadas no Ensino Médio.
É importante observar que o estudo das funções é desenvolvido no domínio da Álgebra
para o Ensino Médio e no domínio da Análise para o Ensino Superior e, em geral, nos
planos de ensino analisados ao encontrarmos propostas de articulação dos conhecimentos
entre esses dois domínios.
Na sequência apresentamos alguns resultados das análises das relações institucionais
existentes.
As relações institucionais existentes
Como já anunciamos acima, os resultados das análises das relações institucionais existentes
foram considerados apenas para os dois livros didáticos avaliados e distribuídos pelo
Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio. Tratam-se das obras
“Matemática” de Dante (2009) e “Matemática-Ensino Médio” de Stocco & Diniz (2010) e
um livro do Ensino Superior, a obra Cálculo de Stewart (2009).
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210
Observamos que as obras do Ensino Médio são coerentes com as propostas institucionais
apresentando as noções matemáticas de forma contextualizada com exemplos da própria
matemática, das outras ciências e cotidianos. Em geral, as tarefas propostas aos estudantes
são divididas em subitens que podem ser considerados como formas auxiliares para a
identificação das noções a serem utilizadas.
Já o estudo das funções no Ensino Superior é desenvolvido no domínio da Análise e não se
utiliza exemplos relacionados ao domínio da Álgebra para auxiliar os estudantes a
compreender a importância da nova ferramenta para o estudo das funções. Um exemplo
simples seria utilizar as representações algébrica e gráfica da função quadrática como
imagem mental para o estudo dos máximos e mínimos de outras funções, isto é, o conteúdo
matemático desenvolvido no Ensino Médio podendo ser usado como conhecimento prévio
de apoio para a introdução de novas noções o que os tornaria mais ricos em termos de
significado e auxiliaria a formar as imagens mentais necessárias para a introdução dos
novos conhecimentos.
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Após essa rápida discussão de alguns resultados das relações institucionais existentes
apresentamos uma breve discussão das relações pessoais esperadas dos estudantes a partir
da macroavaliação vestibular da Universidade de Campinas.
As relações pessoais esperadas dos estudantes para o ingresso na UNICAMP.
Escolhemos apresentar os resultados da UNICAMP, pois essa universidade vem pondo em
prática profundas alterações em seus exames vestibulares com a intenção de que os
resultados se aproximem cada vez mais das expectativas que a universidade tem em relação
àqueles que pretendem ingressar nela. Além disso, trata-se de uma universidade que é uma
referência de ensino em termos de qualidade e por ser gratuita faz com que seja pretendida
por um grande número de estudantes.
Na análise das tarefas do vestibular da UNICAMP percebemos que há um esforço grande
empregado para que estas contemplem questões que envolvam situações de contexto
extramatemático para as noções matemáticas em jogo.
Observamos ainda que os livros analisados atendem parcialmente às exigências da
UNICAMP, pois mesmo se todo o conteúdo matemático é desenvolvido nos livros, as
tarefas são subdivididas nas obras, ficando a cargo dos estudantes integrá-las e articular os
diferentes conhecimentos em jogo para que estejam preparados para ter um bom
desempenho no vestibular da UNICAMP. Ressaltamos aqui que esse trabalho esperado dos
estudantes é coerente com a proposta do Ensino Médio de formar cidadãos autônomos e
responsáveis por seus próprios projetos de estudo.
Considerações Finais
A análise dos documentos oficiais de propostas para as mudanças indicadas na lei de 1996
mostra que foram necessárias várias adaptações do documento original para auxiliar
professores e educadores a formar cidadãos autônomos.
Em relação ao trabalho matemático a ser desenvolvido, em particular, quando se considera
o domínio das funções observamos que educadores e professores são os responsáveis pelas
escolhas.
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Em relação ao Ensino Superior, observamos que seria interessante articular os
conhecimentos desenvolvidos no Ensino Médio com os novos conhecimentos que se deseja
introduzir nessa nova etapa escolar, em particular, nos cursos de Licenciatura em
Matemática, cujo objetivo é a formação inicial de professores de Matemática para os
Ensinos Fundamental e Médio.
211
Ainda nos referindo aos níveis de co-determinação, consideramos que educadores e
professores ficam limitados apenas aos tópicos, quando fazem uso apenas dos cadernos do
professor e do aluno, mas os mesmos podem servir de material de apoio e auxiliar no
desenvolvimento da interdisciplinaridade e flexibilidade quando integrados aos seus
respectivos projetos.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRASIL. Lei n. 9.394, de 20 de dezembro de 1996. Das Diretrizes e Bases da Educação
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______. Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais:
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______. Secretaria de Educação Básica. Orientações Curriculares Nacionais para o Ensino
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CHEVALLARD, Y. Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives apportées par
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PÁGINA
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_________________. Organiser l’étude: 3. Ecologie & Régulation.. Actes XIe école d’été
de didactiquedesmathématiques, La Pensée Sauvage, Grenoble, p.41-56. 2002a.
_________________. Le développement actuel de la TAD: pistes et jalons. Notes pourun
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acesso em: 12/03/2012.
DANTE, L.R. Matemática, 1.ed. – São Paulo : Ática, 2009. Volume único.
GUEUDET, G. Investigating the secondary-tertiary transition. Educational Studies in
Mathematics, v.3, n. 67, p. 237-254, 2008.
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SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas. Proposta Curricular do Estado de São Paulo. 1. ed. São Paulo: SEE/CENP,
2008.
______. Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas. Caderno do professor da Proposta Curricular do Estado de São Paulo. 2. ed.
São Paulo: SEE/CENP, 2008.
__________. Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas. Caderno do aluno da Proposta Curricular do Estado de São Paulo. 2. ed. São
Paulo: SEE/CENP, 2009.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo. Brasil: Thomson Pioneira, 2000.
PÁGINA
213
STOCCO, K.S. & DINIZ, M. I.. Matemática-Ensino Médio, 6ªed. – São Paulo: Saraiva,
2010.
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¿CÓMO IMPLEMENTAR EL USO DEL DERIVE EN EL PROCESO
DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DEL ÁLGEBRA LINEAL?
MSc. Ángela Martín
Universidad APEC-Universidad Autónoma de Santo Domingo, República Dominicana.
[email protected]
RESUMEN
Se hace una orientación metodológica sobre cómo implementar la utilización del DERIVE
en el proceso de enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal, mediante el uso de una
metodología experimental basada en el logro de aprendizajes significativos y el uso de la
resolución de problemas como núcleo de profundización de los conceptos matemáticos.
Palabras claves: álgebra lineal, tareas matemáticas, derive
TRABALHO
Varias investigaciones se han realizado en relación a la comprensión de los conceptos
matemáticos con la utilización de asistentes matemáticos las cuales precisan que aprender
Álgebra con asistentes matemáticos requiere de una idea de los contenidos notacionales,
sintácticos y conceptuales y no sólo es cuestión de dejar el trabajo a la computadora. Este
trabajo técnico está relacionado con la comprensión conceptual. En estos estudios el con
contenidos que no son esenciales para la comprensión de los conceptos que se van
introduciendo.
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214
La propuesta parte de explicar los principios básicos que deben guiar la propuesta, se
precisan las tareas para familiarizarse con el derive, se propone el diseño del sistema de
tareas y se exponen los requerimientos metodológicos que se deben tener en cuenta para la
implementación del sistema de tareas.
El sustento teórico de la propuesta está dado por la concepción didáctica que integra la
clasificación de los contenidos de cada tema en: contenidos esenciales y no esenciales, el
uso de una metodología experimental basada en el logro de aprendizajes significativos, el
uso de la resolución de problemas como núcleo de profundización de los conceptos
matemáticos, la potenciación del aprendizaje colaborativo (Ortega, P. Bautista, A. Guzmán,
M., 2002)
laboratorio de Matemática está concebido como una actividad de enseñanza-aprendizaje en
el cual el objetivo es provocar un uso integrado de herramientas técnicas y psicológicas
orientadas a la construcción de la base empírica que es necesitada para la apropiación de los
conceptos matemáticos (Miyar, 2009).
En esta conferencia se hace una orientación metodológica sobre cómo implementar la
utilización del DERIVE en el proceso de enseñanza aprendizaje del Álgebra Lineal,
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mediante el uso de una metodología experimental basada en el logro de aprendizajes
significativos y el uso de la resolución de problemas como núcleo de profundización de los
conceptos matemáticos.
La propuesta se hace sobre la concepción de que la la manipulación de múltiples sistemas
de representación nos permite obtener una visión múltiple de los conceptos que se
introducen en el ámbito del álgebra lineal, permitiendo que los alumnos adquieran las
abstracciones propias de los hechos y principios matemáticos como los invariantes de sus
múltiples representaciones.
También se asume que la introducción del sistema de cálculo simbólico derive como
herramienta de trabajo en las clases de álgebra lineal puede permitirnos prescindir del
esfuerzo rutinario, dedicado fundamentalmente al desarrollo de operaciones relacionadas
REFERENCIAS
Miyar, I. (2009). Perfeccionamiento de la formación de conceptos algebraicos en
estudiantes universitarios con el empleo de los asistentes matemáticos. Tesis de Doctorado,
Universidad de Camagüey, Centro de Estudios de Ciencias de la Educación "Enrique José
varona", Camagüey, Cuba .
O’Callaghan, B. (1998). Computer-intensive algebra and students’ conceptual knowledge
of functions. Journal for Research in Mathematics Education , 29, 21-40.
PÁGINA
215
Ortega, P., Bautista, A., & Guzmán, M. (2002). La enseñanza del Álgebra Lineal mediante
sistemas informáticos de cálculo algebraico. Tesis Doctoral, Universidad Complutense de
Madrid, Madrid, España.
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DIFERENTES PAPÉIS DAS TECNOLOGIAS NO CONTEXTO DA
MODELAGEM EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Ana Paula dos Santos Malheiros
UNESP – Brasil
[email protected]
RESUMO
A Modelagem em Educação Matemática pode ser compreendida como um caminho para o
“fazer” Matemática em sala de aula. A partir de observações da realidade, de
questionamentos, discussões e investigações, os estudantes, ao fazerem Modelagem,
defrontam-se com problemas que podem modificar as ações na sala de aula, além da forma
como se compreende o mundo. E, pesquisas no contexto da Modelagem evidenciam que ela
está em sinergia com as Tecnologias de Informação e Comunicação. Considerando tais
perspectivas, os diferentes papéis que as Tecnologias desempenham no contexto da
Modelagem serão destacados ao longo desse trabalho.
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Palavras-chave: Tecnologias da Informação e Comunicação. Modelagem. Educação
Matemática.
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A ETNOMATEMÁTICA PROCURANDO CAMINHOS PARA O
ENCONTRO INTERCULTURAL: ALTERIDADE E ESCUTA NO
CENTRO DA DISCUSSÃO
Maria do Carmo S. Domite
Faculdade de Educação
Universidade de São Paulo
Brasil
2012
RESUMO
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Nossa discussão neste encontro tem como objetivo apresentar algumas ferramentas teóricas
especialmente direcionadas para questões educacionais culturais. Uma vez que como
estudiosos da etnomatemática, podemos considerar que os conhecimentos matemáticos de
diferentes grupos culturais têm estado sufocado/escondido pelo movimento escolarizado
tradicional, tais ferramentas podem, por um lado, ser uma forma de divulgação/exposição
desses conhecimentos; por outro lado, podem levar a realização de intenções e justificativas
para o desenvolvimento de processos de ensino e aprendizagem no âmbito da
interculturalidade - isto é, levar ao respeito e intercâmbio intelectual entre comunidades.
Estaremos aqui voltados à discussão sobre duas concepções – a concepção de cunho
filosófico-antropológico de "alteridade" e a concepção freiriana de "escuta", ambas
particularmente discutidas a partir da nossa vivência em ambientes (indígena) que
preservam identidade cultural.
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LECIONANDO EM CURSOS USUÁRIOS DE MODELOS
MATEMÁTICOS NUMÉRICOS E ESTATÍSTICOS NA PRÁTICA
EDUCATIVA: COMPARTILHANDO CONCEPÇÕES, CONTEXTOS,
EXPERIÊNCIAS E INTERROGAÇÕES
Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda
RESUMO
Com o aumento dos cursos de tecnologia e gestão, graduados em matemática têm muitas
oportunidades de aí lecionarem. Os projetos destes cursos demandam modelos matemáticos
e estatísticos na prática educativa. Os cursos clamam por uma matemática articulada, de
concepção, contextual e o professor de matemática se sente despreparado e com muitas
interrogações. Aqui, a partir de um estudo com tópicos do ensino de modelos numéricos na
confluência com a estatística, em um destes cursos, discute-se a necessidade do professor
desenvolver conhecimentos articulados. Conforme Piaget, os processos de assimilação e
acomodação destes novos conhecimentos incorporam-se à nova estrutura do pensar.
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Palavras chaves: lecionar matemática; modelos matemáticos e estatísticos; conhecimentos
articulados.
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XXVI REUNIÃO LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
O MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NA
PERSPECTIVA DOS EGRESSOS: ANÁLISE DO PROGRAMA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO (MG)
Ana Cristina Ferreira-UFOP
RESUMO
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23 a 28 | Julho | 2012
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Os Mestrados Profissionais em Educação Matemática no Brasil ainda podem ser
considerados como uma modalidade recente, uma vez que surgiram há pouco mais de dez
anos. o que os diferencia dos Mestrados Acadêmicos? Qual sua estrutura? Como impactam
a vida profissional dos envolvidos? Nessa conferência, pretendemos abordar essas e outras
questões tendo como exemplo o Programa de Educação Matemática da Universidade
Federal de Ouro Preto (UFOP). Para isso, apresentaremos tanto as leis e resoluções que
regulamentam essa modalidade de pós graduação strictu sensu no país, quanto a
constituição do curso da UFOP e trataremos com especial destaque as reflexões dos mestres
e mestras formados pelo Programa produzidas em resposta a um questionário.