Capítulo 08 - ComSizo.com.br
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Problemas Resolvidos do Capítulo 8 CONSERVAÇÃO DO MOMENTO Atenção Leia o assunto no livro-texto e nas notas de aula e reproduza os problemas resolvidos aqui. Outros são deixados para v. treinar PROBLEMA 1 Dois veículos espaciais em órbita estão acoplados. A massa de um deles é de 1. 000 kg e a do outro 2. 000 kg. Para separá-los, é detonada entre os dois uma pequena carga explosiva, que comunica uma energia cinética total de 3. 000 J ao conjunto dos dois veículos, em relação ao centro de massa do sistema. A separação ocorre segundo a linha que une os centros de massa dos dois veículos. Com que velocidade relativa eles se separam um do outro? Solução Seja m 1 1. 000 kg e m 2 2. 000 kg. Em relação ao CM do sistema, o momento total é nulo. Assim, 1 ′ m 1 v ′1 −m 2 v ′2 v ′2 − m m2 v1 onde v ′1 e v ′2 são as velocidades ao longo da direção da linha que une os CM individuais dos dois veículos. Como a energia cinética total T 3000 J comunicada pelo explosivo em relação ao CM do sistema 1 m 2 v ′2 T 1 m 1 v ′2 1 m 2 − m 1 v ′ T 1 m 1 v ′2 1 2 1 m2 1 2 2 2 2 2 2T m 21 m 1 m 2 m2 v ′2 1 ou seja m 21 m 1 m 2 m2 ′ v ′2 1 2T v 1 2m 2 T v ′1 m 1 m 1 m 2 2 2 10 3 3 10 3 2 m/s 10 3 10 3 2 10 3 Como 10 3 1 ′ ′ ′ v ′2 − m m 2 v 1 v 2 − 2 10 3 2 v 2 −1 m/s A velocidade relativa é v 12 v ′1 − v ′2 2 1 3 m/s. PROBLEMA 2 ∗∗∗ Um atirador, com um rifle de 2 kg apoiado ao ombro, dispara uma bala de 15 g, cuja velocidade na boca da arma (extremidade do cano) é de 800 m/s. (a) Com que velocidade inicial a arma recua? (b) Que impulso transmite ao ombro do atirador? (c) Se o recuo é absorvido pelo ombro em 0, 05 s, qual é a força média exercida sobre ele, em N e em kgf? Solução F (ext) (a) Como o sistema está inicialmente em repouso P 0 0. Como é nula a resultante das forças externas, 0, então o momento total se conserva, ou seja, P P 0 0. Portanto, imediatamente após o disparo P m r v r m b v b 0 v r −m b /m r v b v r −15 10 −3 /2 800 − 6. 0 m/s. Ou seja, a velocidade inicial de recuo do rifle é de v 0r 6 m/s. (b) O impulso transmitido ao ombro do atirador corresponde à variação do momento do rifle após a arma ser dispara. Assim, Δp r p r − p 0r m r v r − m r v 0r 0 − 2 −6 12 N s. (c) A força média é dada por Δp r 12 240 N. Em kgf será F̄ 240/9. 8 ≈ 24. 5 kgf. F̄ Δt 0. 05 ∗∗∗ PROBLEMA 3 Um canhão montado sobre uma carreta, apontado numa direção que forma um ângulo de 30º com a horizontal, atira uma bala de 50 kg, cuja velocidade na boca do canhão é de 300 m/s. A massa total do canhão e da carreta é de 5 toneladas. (a) Calcule a velocidade inicial de recuo da carreta. (b) Se o coeficiente de atrito cinético é 0, 7, de que distância a carreta recua? Solução Vamos considerar apenas a componente horizontal dos momentos, uma vez que a variação da componente vertical do momento da bala é absorvida pelo solo. Assim, como F (ext) 0 e inicialmente o sistema estava Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física PR-8.1 Universidade Federal do Amazonas em repouso, m m b v b cos 30º m c v c 0 v c − m bc v b cos 30º v c − 50 5 10 3 300 3 −2. 6 m/s 2 ou seja, a velocidade de recuo da carreta é 2, 6 m/s. (b) A força de atrito é F c c N 0. 7 5 10 3 9. 8 34. 300 N, o F c 34300 6. 9 m/s 2 . Assim, que implica, pela 2ª lei de Newton, uma desaceleração da carreta dada por a m c 5000 2 considerando v 0c 2, 6 m/s, v c 0 e a 6. 9 m/s , a distância que a carreta recua é v 2c v 20c − 2aΔx Δx 2 v 20c 2. 6 0. 49 m. 2a 2 6. 9 ∗∗∗ PROBLEMA 4 Uma patinadora e um patinador estão-se aproximando um do outro, deslizando com atrito desprezível sobre uma pista de gelo, com velocidades de mesma magnitude, igual a 0, 5 m/s. Ela tem 50 kg, carrega uma bola de 1 kg e patina numa direção 10º a leste da direção norte. Ele tem 51 kg, dirige-se para 10º a oeste da direção norte. Antes de colidirem, ela lança a bola para ele, que a apanha. Em conseqüência, passam a afastar-se um do outro. Ela se move agora com velocidade de 0, 51 m/s, numa direção 10º a oeste da direção norte. (a) Em que direção se move o patinador depois de apanhar a bola? (b) Com que velocidade? (c) Qual foi o momento transferido da patinadora para o patinador? (d) Com que velocidade e em que direção a bola foi lançada? [Note que a deflexão das trajetórias produzida pela troca da bola é análoga ao efeito de uma força repulsiva entre os dois patinadores. Na física das partículas elementares, a interação entre duas partículas é interpretada em termos de troca de uma terceira partícula entre elas]. y vm y α θ α α x v0 patinadora Solução vh x v0 patinador Como F (ext) 0, o momento total do sistema se conserva. Seja P 0 o momento inicial. Logo 10º P 0x m m m b v 0m sen − m h v 0h sen P 0x m m m b − m h v 0 sen P 0y m m m b v 0m cos m h v 0h cos P 0y m m m b m h v 0 cos Após lançar a bola, o momento sua velocidade é de v m 0, 51 m/s numa direção 10º. Chamando de a direção do patinador, temos para as componentes do momento final P x −m m v m sen m h m b v h sen P y m m v m cos m h m b v h cos A condição P 0 P implica que as componentes destes vetores devam ser iguais. Por isto, Notas de Aula de Física I Conservação do Momento - Problemas Resolvidos PR-8.2 Universidade Federal do Amazonas P 0x P x m m m b − m h v 0 sen −m m v m sen m h m b v h sen P 0y P y m m m b m h v 0 cos m m v m cos m h m b v h cos ou m m m b − m h v 0 m m v m sen m h m b v h sen m m m b m h v 0 − m m v m cos m h m b v h cos (a) Dividindo membro a membro estas equações, obtém-se: tg m m m b − m h v 0 m m v m tg tg m m m b m h v 0 − m m v m 50 1 − 51 0. 5 50 0. 51 50 1 51 0. 5 − 50 0. 51 tg tg Depois de apanhar a bola, o patinador se move numa direção 10º a leste da direção norte. (b) Como , tem-se m m m b − m h v 0 m m v m sen m h m b v h sen v h m m m b − m h v 0 m m v m m h m b ou vh 50 1 − 51 0. 5 50 0. 51 v h 0. 49 m/s. 51 1 (c) Devido à conservação do momento, P 0 p 0m p 0h P pm ph p 0m p 0h p m p h Δp h −Δp m Assim, a variação do momento da patinadora é p 0mx m m m b v 0 sen p mx −m m v m sen p 0my m m m b v 0 sen p my m m v m cos Δp mx p mx − p 0mx −m m v m sen − m m m b v 0 sen −m m v m m m m b v 0 sen Δp my p my − p 0my m m v m cos − m m m b v 0 cos m m v m − m m m b v 0 cos ou seja Δp mx −8. 86 kg m/s, Δp my 0 Como Δp h −Δp m , logo Δp hx −Δp mx 8. 86 kg m/s, Δp hy −Δp my 0 Portanto, o momento transferido foi de 8. 86 kgm/s na direção leste. (d) Esta transferência de momento corresponde ao momento com que a bola foi lançada. Assim, como p b m b v b Δp h , temos Δp p bx m b v bx Δp hx v bx m hx 8. 86 8. 86 m/s b 1 p by m b v by Δp hy v by 0. Logo, a bola foi lançada com uma velocidade de 8. 86 m/s de oeste para leste. ∗∗∗ PROBLEMA 5 Um remador de 75 kg, sentado na popa de uma canoa de 150 kg e 3 m de comprimento, conseguiu trazê-la para uma posição em que está parada perpendicularmente à margem de um lago, que nesse ponto forma um barranco, com a proa encostada numa estaca onde o remador quer amarrar a canoa. Ele se levanta e caminha até a proa, o que leva a canoa a afastar-se da margem. Chegando à proa, ele consegue, esticando o braço, Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física PR-8.3 Universidade Federal do Amazonas alcançar até uma distância de 80 cm da proa. Conseguirá agarrar a estaca? Caso contrário, quanto falta? Considere o centro de massa da canoa como localizado em seu ponto médio e despreze a resistência da água. X0 X xc0 xr x x CM xr0 Solução xc CM A resultante das forças externas é nula, o que impede que o CM do sistema remador canoa se desloque. Logo, a posição inicial do CM não varia. Considerando a origem do sistema na estaca, e que a canoa seja uma partícula de massa m c 150 kg localizada a uma distância x c0 1. 5 m da estaca (CM da canoa) e o remador de massa m r 75 kg e x r0 3 m, então a localização inicial do CM do sistema em relação à estaca é m c x c0 X 75 3 150 1. 5 2 m X 0 m r xmr0 0 r mc 75 150 Como a posição do CM não varia, X X 0 e M m r m c X m r x r m c x c X 0 m r x r m c x c 2M M Por outro lado, na posição final vale a relação (ver figura) xc − xr l xc xr l 2 2 onde l é o comprimento da canoa. Assim, m r x r m c x c 2M m r x r m c x r l 2 2M de maneira que m r m c x r 2M − m c l x r 4M − m c l 2 2m r m c Logo, a posição final do remador em relação à estaca é xr 475 150 − 150 3 1m 275 150 Como o remador só consegue esticar o braço até 0, 80m além da proa da canoa ele não conseguirá agarrar a estaca. Ainda faltam 20 cm para conseguir. PROBLEMA 6 ∗∗∗ No fundo de uma mina abandonada, o vilão, levando a mocinha como refém, é perseguido pelo mocinho. O vilão, de 70 kg, leva a mocinha, de 50 kg, dentro de um carrinho de minério de 540 kg, que corre com atrito desprezível sobre um trilho horizontal, à velocidade de 10 m/s. O mocinho, de 60 kg, vem logo atrás, num carrinho idêntico, à mesma velocidade. Para salvar a mocinha, o mocinho pula de um carrinho para o outro, com uma velocidade de 6 m/s em relação ao carrinho que deixa para trás. Calcule a velocidade de cada um dos carrinhos depois que o mocinho já atingiu o carrinho da frente. Notas de Aula de Física I Conservação do Momento - Problemas Resolvidos PR-8.4 Universidade Federal do Amazonas v'm v 20 v 10 Solução v2 v1 O momento incial e final do sistema (considere apenas a direção x são P 0 m m m c v 10 m b m r m c v 20 P m c v 1 m b m r m c m m v 2 Ao pular do carrinho 1, o mocinho produz uma transferência de momento para o carrinho 2. O salto, feito com velocidade v ′m 6 m/s em relação ao carrinho, ou seja, v m v ′m v 10 v m 16 m/s em relação ao solo, produz uma variação de momento no carrinho 1, que pode ser calculada usando a conservação de momento do carrinho 1. Logo, a velocidade do carrinho após o salto do mocinho será: m m m c v 10 m c v 1 m m v m v 1 m m m c v 10 − m m v m 60 540 10 − 60 16 v1 9. 3 m/s mc 540 Da conservação do momento total, P 0 P, encontra-se m m m c v 10 m b m r m c v 20 m c v 1 m b m r m c m m v 2 ou seja, v2 m m m c v 10 m b m r m c v 20 − m c v 1 mb mr mc mm Substituindo os valores v2 60 540 10 70 50 540 10 − 540 9. 3 10. 5 m/s. 70 50 540 60 Portanto, o carrinho de trás passa a ter uma velocidade de 9, 3 m/s e o da frente, 10, 5 m/s. ∗∗∗ PROBLEMA 7 Um gafanhoto, pousado na beirada superior de uma folha de papel que está boiando sobre a água de um tanque, salta, com velocidade inicial de 4 m/s, em direção à beirada inferior da folha, no sentido do comprimento. As massas do gafanhoto e da folha são de 1 g e de 4 g, respectivamente, e o comprimento da folha é de 30 cm. Em que domínio de valores pode estar compreendido o ângulo entre a direção do salto e a sua projeção sobre a horizontal para que o gafanhoto volte a cair sobre a folha? v0 CM O xf0 x CM O xg X0 xg0 Solução θ X xf Vamos admitir que a água aborva a variação de momento na direção vertical. Então, na direção horizontal, a conservação de momento garante que o CM do sistema folha gafanhoto não muda de posição, que Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física PR-8.5 Universidade Federal do Amazonas inicialmente está em X 0 , ou seja, X0 m g x g0 m f x f0 1 30 4 15 18 cm. mg mf 14 Da conservação de momento, sabendo que P 0 0, e que o gafanhoto pula para a esquerda, obtém-se P −m g v 0 cos m f v f 0 v f m g v 0 cos 1 4 cos v f cos mf 4 ou seja, a folha desloca-se para a direita. A velocidade relativa do ganhafoto em relação à folha é portanto v ′g v g − v f −v 0 cos − cos −5 cos na direção horizontal. Para percorrer o comprimento da folha, o gafanhoto leva então um tempo t l 0. 3 5 cos |v ′g | Em relação à origem do sistema ligado à água, no entanto, a posição do gafanhoto ao final deste intervalo de tempo é x g x g0 − v 0 cos t x g 0. 3 − v 0 cos 0. 3 0. 3 − 4 0. 3 0. 06 m 5 cos 5 Ou seja, o gafanhoto percorre 24 cm para atingir a outra extremidade da folha que se desloca para a direita. Isto corresponde ao alcance máximo de um lançamento de projétil sob um ângulo como velocidade inicial v 0 4 m/s. Usando a expressão para o alcance, 2 v2 A g0 sen 2 0. 24 4 sen2 sen2 0. 24 9. 8 0. 147 16 9. 8 ou seja, 2 sen −1 0. 147 2 8. 5º 4. 23º Portanto, para qualquer ângulo entre 0 e 4, 23º o gafanhoto cai sobre o papel, ou seja, 0 4, 23º Como o alcance é o mesmo para ângulos 45º e 45º − , então 45º − para este caso e portanto vale 45º − 4. 23º 40, 77º Portanto, 45º 40. 77º 85. 77º também satisfaz a condição para o alcance. Logo, outro domínio de valores será 85, 77º 90º ∗∗∗ PROBLEMA 8 Um rojão, lançado segundo um ângulo de 45º, explode em dois fragmentos ao atingir sua altura máxima, de 25 m; os fragmentos são lançados horizontalmente. Um deles, de massa igual a 100 g, cai no mesmo plano vertical da trajetória inicial, a 90 m de distância do ponto de lançamento. O outro fragmento tem massa igual a 50 g. (a) A que distância do ponto de lançamento cai o fragmento mais leve? (b) Quais são as velocidades comunicadas aos dois fragmentos em conseqüência da explosão? (c) Qual é a energia mecânica liberada pela explosão? Notas de Aula de Física I Conservação do Momento - Problemas Resolvidos PR-8.6 Universidade Federal do Amazonas v10 v v20 CM v0 O m1 m2 CM x1 = 90 m X=A x2 Solução (a) Para este lançamento, a velocidade inicial é dada através da expressão da altura máxima ym v 20 sen 2 v0 2g 2gy m sen 2 ou seja 45º v0 2 9. 8 25 31. 3 m/s. 2 2 /2 : 31. 305 Para esta velocidade, a distância horizontal até a posição de y m é x m 1 A. Como 2 v2 A g0 sen2 2 9. 8 25 1 100 m 2 2 /2 9. 8 portanto, 2 x m 1 A 1 31. 3 x m 50 m. 2 2 9. 9 Momento antes da explosão No ponto y m , a velocidade do rojão (antes de explodir) vale apenas a componente x da velocidade inicial, ou seja, v v 0 cos 45º então, o momento total P 0 vale P 0 m 1 m 2 v P 0 m 1 m 2 v 0 cos 45º Momento após a explosão Após a explosão, o momento é P m1v1 m2v2 Como foi dada a posição em que fragmento m 1 caiu, que é x 1 90 m, podemos calcular a velocidade v 1 após a explosão. Ou seja, x 0 x m , y 0 y m , v 0y 0, v 0x v 1 x x m v 1 t, y y m − 1 gt 2 2 Para y 0, t t q que é o tempo de queda do fragmento 1 . Portanto, t Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen 2y m g tq 2 25 2. 26 s. 9. 8 Departamento de Física PR-8.7 Universidade Federal do Amazonas Assim, para t t q x x 1 x 1 x m v 1 t q v 1 x 1 − x m v 1 90 − 50 17. 7 m/s. tq 2. 26 Conservação do momento Como não há força externa na direção horizontal, podemos usar a conservação do momento m 1 v 1 m 2 v 2 m 1 m 2 v 0 cos 45º e o valor da velocidade do fragmento m 2 logo após a explosão é v2 m 1 m 2 v 0 cos 45º − m 1 v 1 m2 ou v2 0. 100 0. 050 31. 3 2 /2 − 0. 100 17. 7 31 m/s 0. 050 Distância da queda do fragmento 2 Como o tempo de queda é o mesmo que o anterior, a posição do fragmento 2 pode ser calculada por x2 xm v2tq ou x 2 50 31 2. 26 120 m (b) Velocidade comunicada aos dois fragmentos Antes da explosão, os fragmentos viajavam com uma velocidade v v 0 cos 45º v 31. 3 2 22. 13 m/s 2 Após a explosão, o fragmento de massa m 1 100 g passou a se movimentar com um velocidade v 1 17. 7 m/s, ou seja, foi-lhe comunicada uma velocidade v ′1 v 1 − v 17. 7 − 22. 13 −4. 43 m/s. Ao fragmento de massa m 2 50 g, cuja velocidade após a explosão é de v 2 31 m/s, foi-lhe comunicada uma velocidade v ′2 v 2 − v 31 − 22. 13 8. 87 m/s. (c) A energia mecânica liberada pela explosão pode ser calculada pela diferença da energia mecânica antes e depois da explosão. Assim, E a 1 mv 2 mgh 1 0. 100 0. 050 22. 13 2 0. 100 0. 050 9. 8 25 73. 48 J 2 2 1 2 E d m 1 v 1 m 1 gh 1 m 2 v 22 m 2 gh 1 0. 100 17. 7 2 0. 100 9. 8 25 1 0. 050 31 2 0. 050 9. 8 25 76. 44 J 2 2 2 2 Portanto, a energia liberada foi de ΔE E d − E a 76. 44 − 73. 48 2. 96 J ∗∗∗ PROBLEMA 9 Uma mina explode em três fragmentos, de 100 g cada um, que se deslocam num plano horizontal: um deles para oeste e os outros dois em direções 60° ao norte e 30° ao sul da direção leste, respectivamente. A energia cinética total liberada pela explosão é de 4. 000 J. Ache as velocidades iniciais dos três fragmentos. Notas de Aula de Física I Conservação do Momento - Problemas Resolvidos PR-8.8 Universidade Federal do Amazonas p2 v2 p1 v1 60º 30º p3 v3 Solução O momento inicial da mina é nulo, isto é, P 0 0. Não havendo forças externas, o momento final também o é. Logo, P x −p 1 p 2 cos 60º p 3 cos 30º 0 P x p 2 sen 60º − p 3 sen 30º 0 Ou seja, 3 p p 1 p 2 cos 60º p 3 cos 30º p 1 1 p 2 2 2 3 p sen 60º p3 2 p3 3 p2 sen 30º Substituindo p 3 na primeira, encontra-se 3 p1 1 p2 2 2 3 p2 p1 1 3 p 2 p 1 2p 2 2 2 Como as massas dos fragmentos são iguais, isto é, m 1 m 2 m 3 m, podemos encontrar duas relações para as velocidades. Isto é, p 1 2p 2 v 1 2v 2 p3 3 p2 v3 3 v2 Sabendo-se que a energia cinética total liberada pela explosão é de 4. 000 J, temos entrão a terceira relação entre as velocidades, ou seja, T 1 mv 21 v 22 v 23 v 21 v 22 v 23 2T m 2 Portanto m 0. 100 kg , 2 2 v 21 v 22 v 23 2T m 2v 2 v 2 3 v2 2 8000 0. 100 ou 4v 22 v 22 3v 22 8 10 4 ou ainda 8v 22 8 10 4 v 2 100 m/s. Usando as duas relações, encontra-se v 1 2v 2 v 1 200 m/s p3 Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen 3 p 2 v 3 173 m/s Departamento de Física PR-8.9 Universidade Federal do Amazonas Portanto, v 1 200 m/s, v 2 100 m/s, v 3 173 m/s ∗∗∗ PROBLEMA 10 Uma barra cilíndrica homogênea de 3 m de comprimento é dobrada duas vezes em ângulo reto, a intervalos de 1 m de modo a formar três arestas consecutivas de um cubo (Fig.). Ache as coordenadas do centro de massa da barra, no sistema de coordenadas da figura. Solução Como a barra é homogênea, podemos considerar cada segmento da barra com uma partícula localizada no CM de cada um deles. Assim, P1 1 , 0, 0 , P 2 1, 1 , 0 , P 3 1, 1, 1 2 2 2 Considerando que cada segmento tenha massa m, então 1 11 X mx 1 mx 2 mx 3 2 5 m 3 6 3m 1 1 0 my 1 my 2 my 3 2 Y 1 m 3 2 3m 1 mz 2 mz 3 0 0 2 1 m Z mz 1 6 3m 3 Assim, CM 1, 1, 1 6 2 6 em m ∗∗∗ PROBLEMA 11 (a) Ache as coordenadas do CM (centro de massa) da placa homogênea OABCD indicada na figura, dividindo-a em três triângulos iguais. (b) Mostre que se obtém o mesmo resultado calculando o CM do sistema formado pelo quadrado OABD e pelo triângulo BCD que dele foi removido, atribuindo massa negativa ao triângulo. Notas de Aula de Física I Conservação do Momento - Problemas Resolvidos PR-8.10 Universidade Federal do Amazonas Solução (a) Sejam os triângulos iguais T 1 OCD, T 2 OCA e T 3 ACB. O CM de cada triângulo está no centro geométrico correspondente. Assim, T1 T2 T3 1 1, 1 3 2 2 1, 1 1 2 3 2 1 2 1, 1 3 2 2 2 1, 6 1, 2 1 2 1 6 5, 1 6 2 Como as massas são iguais 1 1 5 2 6 1 X x1 x2 x3 6 2 3 3 1 1 1 y y2 y3 6 2 7 Y 1 2 18 3 3 ou seja, CM 1, 7 2 18 (b) O CM do quadrado é Xq 1 , Yq 1 2 2 e do triângulo Xt 1 , Yt 1 2 1 5 2 2 3 2 6 O CM do sistema, será então (m t −m 4m 1 − m mqXq mtXt 2 mq mt 4m − m 4m 1 − m mqYq mtYt 2 Y mq mt 4m − m X o que confirma o enunciado. PROBLEMA 12 1 2 1 2 5 6 7 18 ∗∗∗ Calcule as coordenadas do CM da placa homogênea indicada na figura, um círculo de 1, 0 m de raio do qual foi removido um círculo de 0, 5 m de raio, com uma separação de 0, 25 m entre os centros O e O′ dos dois círculos. Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física PR-8.11 Universidade Federal do Amazonas Solução Vamos adotar o esquema de solução com massa negativa. Assim, o círculo maior, de área A 1 e o círculo menor, de massa negativa, de área A 2 . Assim, como A 1 4A 2 m 1 4m 2 . Vamos adotar m 2 −m e 4 m 1 4m. O CM do círculo 1 é C 1 0, 0, enquanto que do círculo 2, C 2 0, 1 . Logo, para o sistema teremos 4 X m X m X 1m 1 m 2 2 4m 0 − m 0 0 1 2 4m − m 4m 0 − m 1 m 4 − 1 1Y1 m2Y2 Y m1 m2 12 4m − m Portanto, o CM do sistema está em CM 0, − 1 em m. 12 PROBLEMA 13 Num lançamento do foguete Saturno V (veja tabela da pg. 164) são queimadas 2. 100 toneladas de combustível em 2, 5 min, gerando um empuxo de 3, 4 10 7 N. A massa total do foguete com sua carga é de 2. 800 toneladas. (a) Calcule a velocidade de escape do combustível empregado. (b) Calcule a aceleração inicial do foguete na rampa de lançamento. PROBLEMA 14 Utilizando os dados da tabela da pg. 164, calcule, para o 3º estágio do sistema Saturno V - Apolo: (a) a velocidade de escape dos gases de combustão; (b) o incremento de velocidade produzido por este estágio, na ausência de forças externas. A diferença entre o resultado e os valores da tabela pode ser atribuída a essas forças (gravidade e resistência atmosférica residuais). PROBLEMA 15 Um avião a jato viaja a 900 km/h. Em cada segundo, penetram nos jatos 150 m 3 de ar que, após a combustão, são ejetados com uma velocidade de 600 m/s em relação ao avião. Tome a densidade do ar como 1, 3 kg/m 3 . (a) Calcule o empuxo exercido sobre o avião em N e em kgf. (b) Calcule a potência dos jatos, em W e em hp. PROBLEMA 16 Uma corrente de massa igual a 750 g e 1, 5 m de comprimento está jogada no chão. Uma pessoa segura-a por uma das pontas e suspende-a verticalmente, com velocidade constante de 0, 5 m/s. (a) Calcule a razão entre a força exercida pela pessoa no instante final, em que está terminando de tirar a corrente do chão, e a força que teve de exercer no instante inicial. (b) Qual é o trabalho realizado? PROBLEMA 17 Um encantador de serpentes, tocando sua flauta, faz uma serpente de comprimento l e massa m, inicialmente enrodilhada no chão, elevar gradualmente a cabeça até uma altura h l do chão. Supondo a massa da serpente uniformemente distribuída pelo seu corpo, quanto trabalho foi realizado pela serpente? PROBLEMA 18 Uma gotícula de água começa a formar-se e vai-se avolumando na atmosfera em torno de um núcleo de condensação, que é uma partícula de poeira, de raio desprezível. A gota cai através da atmosfera, que supomos saturada de vapor de água, e vai aumentando de volume continuamente pela condensação, que faz crescer Notas de Aula de Física I Conservação do Momento - Problemas Resolvidos PR-8.12 Universidade Federal do Amazonas a massa proporcionalmente à superfície da gota. A taxa de crescimento da massa por unidade de tempo e de superfície da gota é constante. (a) Mostre que o raio r da gota cresce linearmente com o tempo. (b) Mostre que a aceleração da gota, decorrido um tempo t desde o instante em que ela começou a se formar, é dada por dv −g − 3 v t dt onde v é a velocidade da gota no instante t (desprezando o efeito da resistência do ar). (c) Mostre que esta equação pode ser resolvida tomando v at, e determine a constante a. Que tipo de movimento resulta para a gota? PROBLEMA 19 Um caminhão-tanque cheio de água, de massa total M, utilizado para limpar ruas com um jato de água, trafega por uma via horizontal, com coeficiente de atrito cinético c . Ao atingir uma velocidade v 0 , o motorista coloca a marcha no ponto morto e liga o jato de água, que é enviada para trás com a velocidade v e relativa ao caminhão, com uma vazão de litros por segundo. Ache a velocidade vt do caminhão depois de um tempo t. PROBLEMA 20 Uma nave espacial cilíndrica, de massa M e comprimento L, está flutuando no espaço sideral. Seu centro de massa, que podemos tomar como o seu ponto médio, é adotado como origem O das coordenadas, com Ox ao longo do eixo do cilindro. (a) No instante t 0, um astronauta dispara uma bala de revólver de massa m e velocidade v ao longo do eixo, da parede esquerda até a parede direita, onde fica encravada. Calcule a velocidade V de recuo da nave espacial. Suponha que m M, de modo que M m ≈ M. (b) Calcule o recuo total ΔX da nave, depois que a bala atingiu a parede direita. Exprima-o em função do momento p transportado pela bala, eliminando da expressão a massa m. (c) Calcule o deslocamento Δx do centro de massa do sistema devido à transferência da massa m da extremidade esquerda para a extremidade direita da nave. (d) Mostre que ΔX Δx 0, e explique por que este resultado tinha necessariamente de ser válido. (e) Suponha agora que o astronauta, em lugar de um revólver, dispara um canhão de luz laser. O pulso de radiação laser, de energia E, é absorvido na parede direita, convertendo-se em outras formas de energia (térmica, por exemplo). Sabe-se que a radiação eletromagnética, além de transportar energia E, também transporta momento p, relacionado com E por: p E/c, onde c é a velocidade da luz. Exprima a resposta do item (b) em termos de E e c, em lugar de p. (f) Utilizando os itens (c) e (d), conclua que a qualquer forma de energia E deve estar associada uma massa inercial m, relacionada com E por E mc 2 . Um argumento essencialmente idêntico a este, para ilustrar a inércia da energia, foi formulado por Einstein (veja Física Básica, vol. 4). ★★★ Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física PR-8.13