1) Determine a equação da reta tangente (T) e da reta normal (N) ao

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
DESEMPENHO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CÂMPUS PATO BRANCO
a
a
Atividades Práticas Supervisionadas (APS) de Cálculo Diferencial e Integral 1 – Prof . Dayse Regina Batistus, Dr . Eng.
Acadêmico(a): __________________________________________________ Curso: Engenharia ___________
Na APS serão consideradas somente as questões que apresentarem os cálculos e, a resposta da mesma à caneta. Data de entrega: 01/03/2013
1) Determine a equação da reta tangente (T) e da reta normal (N) ao gráfico da função, no ponto de
abscissa dada:
a) f ( x) = 5 x − 3 ,
em
b) f(x) = 2 x 2 − 3 x + 5, em
c) f ( x) = x 3 + 3 x − 1, em
x=2
x=0
x =1
Resposta: (T) y = 5x – 3; (N) y = -(1/5) x + 35/7
Resposta: (T) y = - 3x + 5; (N) y = (1/3) x + 5
Resposta: (T) y = 6x – 3; (N) y = - (1/6) x + 7/2
2) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = sen x no ponto de abscissa x = 0
rad. Resposta: y = x.
3) Determine os pontos sobre a curva f ( x) = x 3 − x 2 − x + 1 onde a tangente é horizontal.
 1 32 
Resposta: (1, 0) e  − ,  . Nota: Futuramente, veremos que esses pontos são candidatos a
 3 27 
pontos de máximos, mínimos ou ponto de inflexão da função dada.
4) No videogame da figura abaixo, os aviões voam da esquerda para a direita segundo a trajetória
1
y = 1 + , e podem disparar suas balas na direção da tangente contra pessoas ao longo do eixo-x
x
em x = 1, 2, 3, 4 e 5.
Determine se alguém será atingido se o avião disparar um projétil quando estiver em:
(a) P(1, 2)
(b) Q(3/2, 5/3)
Resposta: (a) A equação da reta tangente a curva, no ponto P é dada por: y = − x + 3. Por outro lado,
fazendo y = 0, temos: 0 = − x + 3 ⇒ x = 3 . Portanto, o projétil atinge a pessoa que está na posição 3,
como ilustra a própria figura. (b) A equação da reta tangente a curva, no ponto Q é dada por:
4
7
4
7
63
y = − x + . Por outro lado, fazendo y = 0, temos: 0 = − x + ⇒ x =
= 5,25 . Portanto, o
9
3
9
3
12
projétil não atinge nenhuma pessoa.
5) Derive as funções compostas apresentadas no quadro abaixo:
Função
a)
b)
c)
d)
e)
f)
y = sen 4x
y = cos 5x
3x
y=e
f(x) = cos 8x
3
y =sen t
g(t) = ln (2t+1)
g)
x=e
4 cos 4x
–5 sen 5x
3x
3e
–8 sen 8x
2
3
3t cos t
2
2t + 1
sen t
h) f(x) =
i)
Derivada
sen t
e
cos t
x
x
–e sen e
cos (e x )
y = (sen x + cos x)
j)
y = 3x + 1
k)
y=3
3
2
3(sen x + cos x) (cos x – sen x)
3
2 3x + 1
x −1
x +1
2
 x +1
3 

2
3( x + 1)  x − 1 
-5x
2
-5x
l) y = e
2
m) x = ln (t +3t+9)
–5e
2t + 3
t + 3t + 9
2
tg x
n)
o)
p)
q)
f(x) = e
y = sen(cosx)
2
4
g(t) = (t +3)
2
f(x) = cos(x + 3)
r)
y = x + ex
tg x
2
e sec x
–sen x cos (cos x)
2
3
8t (t + 3)
2
–2x sen (x + 3)
1 + ex
2 x + ex
s)
t)
u)
v)
w)
x)
y = tg 3x
y = sec 3x
3x
y = xe
x
y = e . cos 2x
-x
y = e sen x
-2t
y = e sen 3t
y)
f(x) =
2
3 sec 3x
3 sec 3x tg 3x
3x
e (1+3x)
x
e (cos 2x – 2 sen 2x)
-x
e (cos x – sen x)
-2t
e (3 cos 3t – 2 sen 3t)
e − x + ln (2x + 1)
2
et − e− t
z) g ( t ) = t
e + e− t
cos 5x
aa) y =
sen 2 x
(e − x + e x ) 3
2
bb) f(x) =
3
-3t
cc) y = t e
3
dd) y = (sen 3x + cos 2x)
ee)
y = x 2 + e−x
− 2 xe− x +
2
2
2x + 1
4
(e + e − t ) 2
5 sen 5x sen 2x + 2 cos 5x cos 2x
−
sen 2 2 x
t
3(e − x + e x ) 2 .(−e − x + 2 xex )
2
2
2
-3t
3t e (1 – t)
2
3(sen 3x + cos 2x) (3 cos 3x – 2 sen 2x)
ex − e− x
2 ex + e− x
ff) y = x ln (2x + 1)
2
gg) y = [ln (x + 1)]
3
hh) y = ln (sec x + tg x)
2x
2x + 1
2
6 x[ln(x + 1)]2
x2 +1
ln(2 x + 1) +
sec x
2
6) Encontre a derivada das seguintes funções:
Função
Derivada
7) Derive, utilizando a derivação implícita:
Função
Derivada
Sugestão de atividades complementares (não precisa entregar):
Refazer as provas de 2012.
APS 04 do 1º semestre de 2012, número 08.
3