AMEI Escolar Matemática 9º Ano Proporcionalidade Inversa
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AMEI Escolar Matemática 9º Ano Proporcionalidade Inversa
Conteúdos desta unidade: Proporcionalidade directa. Resolução de problemas envolvendo proporcionalidade directa (revisões); Proporcionalidade inversa. Função de proporcionalidade inversa. AMEI Escolar Matemática 9º Ano Proporcionalidade Inversa Proporcionalidade directa. Resolução de problemas envolvendo proporcionalidade directa (revisões) Duas grandezas dizem-se directamente proporcionais se a razão entre os valores correspondentes for constante. Assim, a variável x é directamente proporcional à variável y se existe um número (K), diferente de zero, de modo a que: y = Kx. A K dá-se o nome de constante de proporcionalidade directa. Exercício resolvido: Indica se existe proporcionalidade directa entre as variáveis x e y e, se sim, qual a constante de proporcionalidade directa. número de meias compradas (x) custo das meias compradas (y) 1 2 3 4 … x 2 4 6 8 … y = 2x R: Existe proporcionalidade directa e a constante de proporcionalidade directa é 2. número de meias compradas (x) custo das meias compradas (y) … 1 2 3 4 7 9 11 13 … y = 5 + 2x R: Não existe proporcionalidade directa. x Quando uma situação de proporcionalidade directa é representada por um gráfico, os pontos representados formam uma recta que passa pela origem do referencial. Exercício resolvido: Indica, justificando, se existe proporcionalidade directa entre as variáveis x e y, nos gráficos A, B e C. Existe proporcionalidade directa no gráfico A porque a função é representada por uma recta que passa na origem do referencial. Não existe proporcionalidade directa no gráfico B porque a função, apesar de ser representada por uma recta, não passa na origem do referencial. Não existe proporcionalidade directa no gráfico C porque a função, apesar de passar pela origem do referencial, não é representada por uma recta. Para resolver problemas envolvendo proporcionalidade directa é muito útil saber a regra dos três simples. Exercício resolvido - A regra dos três simples: A Joana foi às compras para comprar bolachas. Descobriu que havia à venda duas caixas de tamanhos diferentes do mesmo tipo de bolachas. A caixa de 800g custava 3,02€ e a caixa de 250g custava 1,02€. Qual das duas caixas é a melhor compra? R: Se o grama da embalagem grande custasse tanto como o grama da embalagem pequena, a embalagem grande deviria custar 3,264€. Como esta custa menos, a melhor compra é a embalagem grande. Exercícios 1: 1. O Raul fez um estudo sobre os preços das bolachas da marca “BolaXa” nas duas lojas mais perto da escola e registou os resultados em nesta tabela. Loja do Sr. André quantidade do pacote em gramas (x) preço do pacote em euros (y) Loja da D. Maria 250 500 800 x 300 500 800 x 1 2 3,2 y=… 1,04 1,72 2,74 y=… 1.1. Completa a tabela. Justifica com cálculos. 1.2. Em qual das lojas existe proporcionalidade directa entre a quantidade e o custo das caixas de bolachas? Indica qual é a constante de proporcionalidade directa. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 1.3. Numa das lojas, o dono admitiu cobrar uma taxa extra sobre todos os produtos. Indica em qual das lojas isto acontece e de quanto é (em euros) essa taxa. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 1.4. Qual destas escolhas é a mais acertada, economicamente falando: comprar uma caixa de 250g de bolachas na loja do Sr. André ou comprar uma caixa de 300g de bolachas na loja da D. Maria? Justifica com cálculos. Exercícios 1: 2. Observa os seguintes gráficos. 2.1. Indica, em cada uma das situações, se existe ou não proporcionalidade directa e justifica. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 2.2. Revendo o exercício 1., indica para cada uma das lojas um gráfico (A, B, C ou D) que poderia relacionar o preço e a quantidade das caixas de bolachas. ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ 3. Resolve os seguintes problemas. 3.1. A Mariana comprou uma blusa nos saldos por 25€, com 15% de desconto. Qual o preço da blusa sem desconto? 3.2. O André comprou 7 canetas por 4,55€. Quanto custa cada caneta? Exercícios 1: 3.3. A mãe do Pedro é costureira. Ela recebeu uma grande encomenda e precisa de 20m de tecido. Sabendo que cada metro custa 3,25€, quanto custarão os 20m? Proporcionalidade inversa. Função de proporcionalidade inversa Duas grandezas dizem-se inversamente proporcionais se o produto entre elas é constante e diferente de zero. Assim, a variável x é inversamente proporcional à variável y se existe um número (K), diferente de zero, de modo a que: xy = K. A K dá-se o nome de Exercício resolvido: Indica se existe proporcionalidade inversa entre as variáveis x e y e, se sim, qual a constante de proporcionalidade inversa. número de pessoas que leva o barco (x) preço por cada pessoa (y) 1 2 3 4 12 6 4 3 R: Existe proporcionalidade inversa e a constante de proporcionalidade inversa é 12. número de pessoas que leva o barco (x) preço por cada pessoa (y) R: Não existe proporcionalidade inversa. 1 2 3 4 13 9 8 5 constante de proporcionalidade inversa. Para verificarmos se uma tabela traduz ou não uma situação de proporcionalidade directa temos de verificar se quando o valor de x aumenta o valor de y diminui e vice-versa e se existe uma constante de proporcionalidade inversa, ou seja, se se verifica que xy = K. Exercício resolvido: Observa as tabelas e indica se existe ou não proporcionalidade inversa. Justifica. A B 1 3 2 4 3 6 4 9 5 12 Não existe proporcionalidade inversa porque quando A aumenta, B aumenta. As variáveis A e B não são inversamente proporcionais. A B 1 12 2 6 3 4 4 2 6 1,4 Não existe proporcionalidade inversa porque, apesar de quando A aumenta, B diminui, não existe uma constante de proporcionalidade inversa. As variáveis A e B não são inversamente proporcionais. A B 5 2 4 2,5 3 2 5 1 10 Existe proporcionalidade inversa porque quando A diminui, B aumenta e porque existe uma constante de proporcionalidade inversa (que é 10). As variáveis A e B são inversamente proporcionais. Quando uma situação de proporcionalidade directa é representada por um gráfico, os pontos representados formam uma curva com dois ramos, que não pode tocar nos eixos e que recebe o nome de hipérbole. Exercício resolvido: Indica, justificando, se existe proporcionalidade inversa entre as variáveis x e y, nos gráficos A e B. Não existe proporcionalidade inversa no gráfico A porque a hipérbole toca no eixo x. Existe proporcionalidade inversa no gráfico B porque a hipérbole não toca no eixo x. Exercícios 2: 1. O Daniel alugou um barco para ir passear pela costa. Decidiu calcular o preço do aluguer se ele o dividisse por diferente número de amigos e para tal usou a seguinte tabela. nº de pessoas preço por pessoa 1 2 3 4 6 … 12 6 4 3 2 … 1.1. Indica se esta tabela representa uma situação de proporcionalidade inversa. Indica qual a constante de proporcionalidade. Justifica. Exercícios 2: 1.3. Selecciona qual das seguintes hipérboles representa esta situação (considera cada quadradinho uma unidade). Justifica.
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