Programa e Resumos das palestras

DIAS ABERTOS DO CMUP
25 e 26 de Novembro de 2005
Faculdade de Ciências da Universidade do Porto
(Edifício das Matemáticas)
Anfiteatro 0.05
Rua do Campo Alegre, 687, 4169-007 Porto
Programa em http://www.fc.up.pt/cmup (em Actividades)
Oradores Convidados
Filomena Dias de Almeida (CMUP/FEUP)
Jesús Álvarez López (U. Santiago de Compostela, Espanha)
Jonathan Borwein (Dalhousie University, Canada)
Jorge Almeida (CMUP/FCUP)
Manuel Ladra (U. Santiago de Compostela, Espanha)
Mário Bessa (CMUP)
Rafael Muñoz Sola (U. Santiago de Compostela, Espanha)
Rodrigo López Pouso (U. Santiago de Compostela, Espanha)
Semyon Yakubovich (CMUP/FCUP)
O CMUP convida todos os alunos e professores da Universidade
do Porto a participar nesta iniciativa inserida na Semana da Ciência
e Tecnologia.
Sexta-feira 25Nov
Sábado 26Nov
09:30-09:40
Abertura
10:00-10:50
Jesús Álvarez López
09:40-10:30
Manuel Ladra
10.50-11:10
coffee-break
10:30-10:50
coffee-break
11:10-12:00
Mário Bessa
11:00-11:50
Jorge Almeida
12:10-13:00
Jonathan Borwein
12:00-12:50
Rafael Muñoz Sola
USC,Espanha
CMUP
USC, Espanha
CMUP
DU, Canada
USC, Espanha
Jesús Álvarez López: Dinámica y análisis en espacios
foliados
15:00-15:50
Filomena Dias de Almeida
16:00-16:50
Semyon Yakubovich
17:00-17:20
tea-break
17:30-18:20
Rodrigo López Pouso
20:00
Jantar
CMUP
CMUP
USC, Espanha
Mário Bessa: Dinâmica caótica em fluxos
tridimensionais
Jonathan Borwein: Experimental Mathematics and its
philosophical implications
*
Manuel Ladra: Módulos cruzados: várias perspectivas
Jorge Almeida: Uma perspectiva profinita da teoria de semigrupos finitos
Rafael Muñoz Sola: Existencia de solución de un sistema de ecuaciones en derivadas
parciales que surge en termoelectricidad
Filomena Dias d'Almeida: Um método iterativo de declive fixo para o cálculo dos valores
próprios de uma matriz quasi-diagonal
Semyon Yakubovich: Lp-teoremas para uma classe das transformadas integrais
Rodrigo López Pouso: Condiciones necesarias y suficientes para resolver ecuaciones diferenciales
autónomas de segundo orden
*O jantar de confraternização realizar-se-á no Restaurante Abadia, Rua do Ateneu
Comercial 22 no Porto (tel: 22 200 87 57), às 20h de sexta-feira (dia 25-11-2005).
Os interessados neste jantar devem confirmar a sua presença enviando um e-mail
para [email protected].
Dias Abertos do CMUP 2005
Resumos das Palestras
Manuel Ladra González
Universidad de Santiago de Compostela, España
[email protected]
Módulos cruzados: varias perspectivas
Resumen: Módulos cruzados fueron inventados por Whithehead en el año 1949 en
su trabajo sobre teorı́a de homotopı́a. Desde su descubrimiento han jugado un rol
importante en muchas áreas de las matemáticas (teorı́a de homotopı́a, cohomologı́a
y homologı́a de grupos, K-teorı́a algebraica, teorı́a combinatoria de grupos). Posiblemente, se pueden considerar que en la actualidad, los módulos cruzados son una de las
estructuras algebraicas fundamentales. En esta charla presentamos algunos aspectos
de su utilidad y describimos algunos desarrollos de su teorı́a.
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Jorge Almeida
CMUP e Dep. Matemática Pura FCUP
[email protected]
Uma perspectiva profinita da teoria de semigrupos finitos
Resumo: Os semigrupos finitos estão intimamente ligados com entidades que desempenham um papel importante em informática, nomeadamente com os autómatos
finitos, cujas transições elementares geram um semigrupo finito, e com as linguagens
racionais, cujos autómatos mı́nimos são finitos. Em meados da década de 1970, Samuel
Eilenberg formalizou o quadro das ligações entre a teoria de semigrupos e as aplicações
na informática, segundo o qual em vez de se pretender obter uma classificação dos semigrupos finitos a menos de isomorfismo, como tı́pico numa teoria algébrica, o objectivo
é estudar certas classes de semigrupos finitos, ditas pseudovariedades, e o comportamento de vários operadores naturais que sobre elas agem. Neste contexto, o problema
tı́pico consiste em decidir (se possı́vel) quando é que um dado semigrupo finito pertence
a uma pseudovariedade fixada.
A falta de semigrupos finitos mais gerais que quaisquer outros numa dada pseudovariedade foi ultrapassada pela passagem à classe dos semigrupos profinitos (semigrupos compactos zero-dimensionais). Estas estruturas fornecem linguagem e ferramentas
adequadas para o estudo de muitos aspectos da teoria de pseudovariedades mas, como
frequentemente nem sequer são numeráveis, apresentam dificuldades adicionais quando
1
o objectivo é resolver problemas de decidibilidade. Esta palestra destina-se a apresentar algumas ideias e resultados-chave na teoria de semigrupos finitos sob a perspectiva
profinita e mostrar como eles estabelecem ligações profı́cuas com áreas como a teoria
de grupos, a teoria de modelos e a dinâmica simbólica.
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Rafael Muñoz
Universidad de Santiago de Compostela, España
[email protected]
Existencia de solución de un sistema de ecuaciones en derivadas
parciales que surge en termoelectricidad
Resumen: Demostramos la existencia de solución de un sistema no lineal de ecuaciones en derivadas parciales que surge en un modelo termoeléctrico de electrodos
metalúrgicos que experimentan un cambio de estado. El modelo consisite en un problema electromagnético cuasi-estacionario para el campo magnético acoplado con un
problema de Stefan para la temperatura. La demostración utiliza un problema regularizado que se obtiene truncando el término fuente en la ecuación de la temperatura.
El paso al lı́mite requiere estimaciones a priori delicadas que conducen a la compacidad
de la sucesión de temperaturas correspondientes al problema regularizado.
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Filomena Dias de Almeida
CMUP e FEUP
[email protected]
Um método iterativo de declive fixo para o cálculo dos valores próprios
de uma matriz quasi-diagonal
Resumo: É proposto um método iterativo explı́cito para o cálculo numérico dos valores
e vectores próprios de matrizes quasi-diagonais e a sua convergência é provada através
de um argumento baseado no método iterativo de declive fixo de Newton perturbado.
É tratada também a generalização ao caso de um cluster de entradas diagonais. São
apresentadas experiências numéricas tanto para o caso de um exemplo académico como
para um aplicado ao modelo de um polı́mero.
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2
Semyon Yakubovich
CMUP e Dep. Matemática Pura FCUP
[email protected]
Lp -teoremas para uma classe de transformadas integrais
Resumen: Trata-se uma classe de transformadas integrais e convoluções sobre os
parâmetros e variáveis de funções especiais no núcleo, considerando-os como aplicações
nos espaços Lp . Em particular, demonstra-se um análogo do teorema de HausdorffYoung.
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Rodrigo López Pouso
Universidad de Santiago de Compostela, España
[email protected]
Condiciones necesarias y suficientes para resolver ecuaciones
diferenciales autónomas de segundo orden
Resumen: Se trata de exponer algunas contribuciones a la teorı́a de existencia de
soluciones absolutamente continuas para problema escalar autónomo de segundo orden
x00 = f (x),
x(0) = x0 , x0 (0) = x1 .
Concretamente se determinan condiciones necesarias y suficientes sobre f para que
dicho problema tenga soluciones no constantes y localmente pertenecientes al espacio de
Sobolev W 2,1 . También se estudia el caso de soluciones clásicas dos veces continuamente
derivables.
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Jesús Álvarez
Universidad de Santiago de Compostela, España
[email protected]
Dinámica y análisis en espacios foliados
Resumen: Se empezará por recordar la definición de foliación, espacio foliado, hojas y demás conceptos elementales de esta teorı́a, que se ilustrarán con ejemplos. En
particular, se verá su pseudogrupo de holonomı́a (definido por el deslizamiento a lo
largo de las hojas de transversales locales). Por medio de este pseudogrupo, se pueden
3
considerar para espacios foliados los conceptos y propiedades más generales de sistemas dinámicos: estructuras invariantes, ergodicidad, entropı́a, etc. Se indicarán
algunos resultados tı́picos describiendo aspectos geométricos de las foliaciones cuando
existen algunas estructuras transversas invariantes. También se recordará el trabajo
analı́tico de A. Connes para un espacio foliado con una medida transversa invariante
Λ, definiendo los Λ-números de Betti foliados y probando la versión correspondiente
del teorema de Gauss-Bonett; de hecho da una versión foliada del teorema del ı́ndice.
Luego nos centraremos en las foliaciones riemannianas, definidas por la existencia
de una métrica riemanniana transversa invariante. Veremos cierta descripción de esas
foliaciones que reduce su estudio al caso de foliaciones de Lie con hojas densas, definidas
por tener una ”estructura de Lie” transversa invariante. Las foliaciones riemannianas
tienen propiedades cohomológicas especialmente buenas que motivaron los siguientes
resultados analı́ticos:
1. El operador del calor en las hojas, conserva la diferenciabilidad transversa en
el lı́mite cuando el tiempo tiende a infinito, dando lugar a una descomposición de
Hodge foliada compatible con la diferenciabilidad en la variedad ambiente. Tales formas
armónicas foliadas representan la denominada cohomologı́a foliada reducida.
2. El lı́mite adiabático del espectro de la variedad ambiente se interpreta en términos
cohomológicos. Tal lı́mite se obtiene al hacer que la distancia ”local” entre las hojas
tienda a infinito.
3. La estructura de Lie transversa de una foliación se pueden interpretar como una
acción de un grupo de Lie definida salvo homotopı́as a lo largo de las hojas. Esto induce
una auténtica acción en la cohomologı́a foliada reducida y en su versión en terminos de
formas armónicas foliadas. Se verá una correspondiente versión del teorema del punto
fijo de Lefschetz y se indicará su relación con el proyecto de C. Deninger para abordar
la Hipótesis de Riemann.
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Mário Bessa
CMUP
[email protected]
Dinâmica caótica em fluxos tridimensionais
Resumo: Serão tratados os avanços recentes na teoria de sistemas dinâmicos definidos
por campos de vectores de classe C 1 em variedades tridimensionais compactas, conexas,
sem bordo e com estrutura Riemanniana. Começamos pelos sistemas gerais (dissipativos) e concluimos com a abordagem dos sistemas que preservam volume (conservativos).
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Jonathan M. Borwein
Dalhousie University, Halifax, NS, Canada
URL: www.cs.dal.ca/∼jborwein
Experimental (Computational) Mathematics—and Philosophical
Implications
Abstract:
Three Scientific Quotations. Kurt Gödel overturned the mathematical apple cart
entirely deductively, but he could hold quite different ideas about legitimate forms of
mathematical reasoning:
If mathematics describes an objective world just like physics, there is no
reason why inductive methods should not be applied in mathematics just the
same as in physics. (Kurt Gödel1 , 1951)
Greg Chaitin (Time Magazine, Sept 4, 2005) takes this much further:
Over the past few decades, Gregory Chaitin, a mathematician at IBM’s
T.J. Watson Research Center in Yorktown Heights, N.Y., has been uncovering the distressing reality that much of higher math may be riddled with
unprovable truths–that it’s really a collection of random facts that are true
for no particular reason. And rather than deducing those facts from simple
principles, “ I’m making the suggestion that mathematics is done more like
physics in that you come about things experimentally,” he says. “ This will
still be controversial when I’m dead. It’s a major change in how you do
mathematics.”
And Christoph Koch accurately captures a great scientific distaste for philosophizing:
Whether we scientists are inspired, bored, or infuriated by philosophy, all
our theorizing and experimentation depends on particular philosophical background assumptions. This hidden influence is an acute embarrassment to
many researchers, and it is therefore not often acknowledged. (Christof
Koch2 , 2004)
Three Mathematical Definitions.
mathematics, n. a group of related subjects, including algebra, geometry,
trigonometry and calculus , concerned with the study of number, quantity,
shape, and space, and their inter-relationships, applications, generalizations
and abstractions.
This definition taken from the Collins Dictionary makes no immediate mention of proof,
nor of the means of reasoning to be allowed. Webster’s Dictionary contrasts:
1
Taken from an until then unpublished manuscript in his Collected Works, Volume III.
In “Thinking About the Conscious Mind,” a review of John R. Searle’s Mind. A Brief Introduction,
OUP 2004.
2
5
induction, n. any form of reasoning in which the conclusion, though supported by the premises, does not follow from them necessarily;
and
deduction, n. a process of reasoning in which a conclusion follows necessarily from the premises presented, so that the conclusion cannot be false
if the premises are true.
My Intentions in this Lecture. I, like Gödel, Chaitin, and surprisingly many others,
suggest that both modes should be openly entertained in mathematical discourse, [5].
I aim to discuss Experimental Mathodology, its philosophy, history, current practice
and proximate future, and using concrete accessible—entertaining I hope—examples,
to explore implications for mathematics and for mathematical philosophy. Thereby,
to persuade you both of the power of mathematical experiment and that the traditional
accounting of mathematical learning and research is largely an ahistorical caricature. I
shall do so with a sample of material largely from the 2005 Clifford Lectures which I
gave at Tulane University in New Orleans in April 2005.
1. Plausible Reasoning in the 21st Century, I is a general introduction to
Experimental Mathematics, its Practice and its Philosophy. It reprises the ‘Experimental methodology’ that David Bailey and I—among many others—have
practiced over the past two decades [6, 7].3
2. Plausible Reasoning in the 21st Century, II focusses on the differences
between Determining Truths and Proving Theorems. It explores various of the
tools available for deciding what to believe in mathematics, and—using accessible
examples—illustrates the rich experimental tool-box mathematicians can now
have access to.
3. Ten Computational Challenge Problems is a more advanced analysis of the
themes developed in Lectures 1 and 2. It discusses examples in [3], including
Z
0
∞
cos(2x)
∞
Y
n=1
x
n
cos
?
dx =
π
.
8
This problem set was stimulated by Nick Trefethen’s recent more numerical SIAM
100 Digit, 100 Dollar Challenge [4].
4. Apéry-Like Identities for ζ(n). The final lecture comprises a research level
case study of generating functions for zeta functions. One example is
∞
X
∞
X
4x2 − n2
1
=
3
2
2
2k
(k 2 − x2 ) n=1 x2 − n2
n=1 n − x
k=1
1
k−1
Y
"
=
3
All resources are available at www.experimentalmath.info.
6
#
ζ(2k + 2) x
2k
k=0
k
With x = 0 this recovers the well known identity 3
ζ(2).
∞
X
P∞
k=1
1/(
2k
k
k2) =
P∞
1 − πx cot(πx)
=
.
2x2
n=1
1/n2 =
References
[1] D.H. Bailey and J.M Borwein, “Experimental Mathematics: Examples, Methods
and Implications,” Notices Amer. Math. Soc., 52 No. 5 (2005), 502–514. [CoLab
Preprint 269].
[2] David Bailey, Jonathan Borwein and David Bradley, “Experimental Determination
of Apéry-type Formulae for ζ(2n + 2),” preprint, 2005. [D-drive Preprint 295].
[3] D. Bailey, J. Borwein, V. Kapoor and E. Weisstein, “Ten Problems in Experimental
Mathematics,” MAA Monthly, in press, 2005. [CoLab Preprint 270].
[4] J.M. Borwein, “The SIAM 100 Digits Challenge,” Extended review for the Mathematical Intelligencer, 27 (4) (2005). [D-drive preprint 285].
[5] J.M. Borwein, “Implications of Experimental Mathematics for the Philosophy of
Mathematics,” to appear in Current Issues in the Philosophy of Mathematics From
the Viewpoint of Mathematicians and Teachers of Mathematics, Bonnie Gold, editor, 2006. [D-drive Preprint 280].
[6] Jonathan M. Borwein and David H. Bailey, Mathematics by Experiment: Plausible
Reasoning in the 21st Century, A.K. Peters, Natick, MA, 2004.
[7] Jonathan M. Borwein, David H. Bailey and Roland Girgensohn, Experimentation
in Mathematics: Computational Paths to Discovery, A.K. Peters, Natick, MA,
2004.
7