Função do 2º Grau - Universidade Federal de Alagoas

Função do 2º Grau
Alex Oliveira
Apresentação
A função do 2º grau, também chamada de
função quadrática é definida pela expressão do
tipo:
y = f(x) = ax² + bx + c onde a, b e c são números
reais e a  0.
Exemplos:
f(x) = 3x2 – 2x + 1, em que a = 3, b = -2 e c = 1.
g(x) = x2 – 4, em que a = 1, b = 0 e c = -4.
h(x) = 20x2, em que a = 20, b = 0 e c = 0.
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Apresentação
Num campeonato de futebol, cada clube vai jogar duas vezes
com outro, em turno e returno. Assim, o número p de partidas do
campeonato é dado em função do número de clubes
participantes, conforme vemos na tabela seguinte:
Número de clubes
Número de partidas
2
2(2 - 1) = 2
3
3(3 - 1) = 6
4
4(4 - 1) = 12
5
5(5 - 1) = 20
n
n(n - 1)
Pela tabela, vemos que o número p de partidas é dado por:
p(n) = n(n - 1) = n2 - n
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Apresentação
Na queda livre dos corpos, o espaço (s)
percorrido é em função de tempo (t) por
uma função quadrática s(t) = 4,9t2, em que a
constante 4,9 é a metade da aceleração da
gravidade, que é 9,8 m/s2.
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Gráfico da função
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
Vamos estudar o efeito dos parâmetros a, b e c na
parábola que representa a função quadrática f(x) =
ax2 + bx + c.
Parábola
c
x2
x1
O
Vértice
V
Eixo de Simetria
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Vamos praticar...
O gerador é um aparelho que transforma qualquer tipo
de energia em energia elétrica. Se a potência P (em
watts) que certo gerador lança num circuito elétrico é
dada pela relação P(i) = 20i – 5i2, em que i é a
intensidade da corrente elétrica que atravessa o gerador,
determine o número de watts que expressa a potência P
quando i = 3 ampéres.
Dada a função P(i) = 20i – 5i2, iremos substituir o i por 3,
sendo assim:
P(i) = 20i – 5i2  P(3) = 20.3 – 5.32  P(3) = 60 – 5.9  P(3)
= 60 – 45  P(3) = 15
Logo, quando a intensidade da corrente elétrica é de 3
ampères a potência do gerador será de 15 watts.
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Parâmetro a
Responsável pela concavidade e abertura da
parábola.
o Se a > 0 a concavidade é para cima.
o Se a < 0 a concavidade é para baixo.
Além disso, quanto maior for o valor absoluto
de a, menor será a abertura da parábola
(parábola mais “fechada”), independentemente
da concavidade.
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Parâmetro b
Indica se a parábola cruza o eixo y no ramo
crescente ou decrescente da parábola.
o Se b > 0 a parábola cruza o eixo y no ramo
crescente.
o Se b < 0 a parábola cruza o eixo y no ramo
decrescente.
o Se b = 0 a parábola cruza o eixo y no vértice.
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Parâmetro c
Indica onde a parábola cruza o eixo y.
o A parábola cruza o eixo y no ponto (0, c).
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Eixo x
A parábola pode interceptar o eixo x em um,
dois ou nenhum ponto, dependendo do valor
de  = b2 – 4.a.c da equação correspondente.
f(x) = 0  ax2 + bx +c = 0
 = 0  uma raiz real dupla - a parábola interceptar
o eixo x em um só ponto.
 > 0  duas raízes reais distintas - a parábola interceptar
o eixo x em dois pontos.
 < 0  nenhuma raiz real - a parábola não interceptar
o eixo x.
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Vértice da parábola
A determinação do vértice da parábola
ajuda a elaboração do gráfico e permite
determinar a imagem da função, bem como
o valor máximo ou mínimo.
O vértice de uma parábola dada por f(x) =
ax2 + bx + c, a  0, também pode ser
calculado assim:
−𝒃 −
V
,
𝟐𝒂
𝟒𝒂
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Imagem
Utilizando o vértice da parábola iremos determinar a
imagem da função. Exemplos:
f(x) = -4x2 + 4x + 5
xv =
𝑏
−
2𝑎
yv = −
V
𝟏
,
𝟐

4𝑎


−4
1

−8
2
−(16+80)
−16

−96
−16
=6
6
Como, a = -4, a < 0 assim a concavidade será para baixo,
1
então a função assume como valor máximo 6 quando x = .
2
Logo, Im(f) = {y  R | y  6}
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Imagem
g(x) = 2x2 – 8x
xv = −
yv = −
−8
2.2

4𝑎

−8
−

4
64 −4.2.0
−
4.2
-(-2)  2
−
64
8
 -8
V(2, -8)
Como, a = 2, a > 0 assim a concavidade será para
cima, então a função assume valor mínimo
-8 quando x = 2.
Logo, Im(g) = {y  R | y  -8}
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Valor máximo ou mínimo
De modo geral, quando:
a > 0  yv é o valor mínimo de f  Im(f) = {y 
R | y  yv};
a < 0  yv é o valor máximo de f  Im(f) = {y
 R | y  yv};
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Vamos praticar...
Dada a função quadrática f(x) = 3x2 – 10x + 3, vamos
determinar:
a) Se a concavidade da parábola definida pela função
está voltada para cima ou para baixo;
Concavidade: voltada para cima, pois a = 3 e, portanto, a > 0.
b) Os zeros da função;
f(x) = 0  3x2 – 10x + 3 = 0, onde a = 3, b = -10 e c = 3
 = 100 – 4.3.3
 = 100 – 36
 = 64
10 ± 64
6
18
x1 = = 3
6
2
𝟏
x2 = =
6
𝟑
x=
x=
10 ± 8
6
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Vamos praticar...
c) O vértice da parábola definida pela função;
V
−𝒃 −
,
𝟐𝒂 𝟒𝒂
V
𝟏𝟎 −𝟔𝟒
,
𝟔
𝟏𝟐
V
𝟓 −𝟏𝟔
,
𝟑
𝟑
d) Intersecção com o eixo x;
O gráfico intercepta o eixo x em (x1; 0) e (x2; 0), como
1
1
x1 = 3 e x2 = temos que (3; 0) e ; 0 são os pontos
3
3
que o gráfico intercepta o eixo x.
e) Intersecção com o eixo y;
O gráfico intercepta o eixo y em (0; c), como c = 3
temos que (0; 3) é o ponto que o gráfico intercepta o
eixo y.
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Vamos praticar...
f) Eixo de simetria;
O eixo de simetria é a reta que passa por V e é
𝟓
paralela ao eixo y. Assim, x =
𝟑
g) Im(f);
Como, a = 3, a > 0 assim a concavidade será para
cima, então a função assume valor mínimo
−𝟏𝟔
𝟓
quando x = .
𝟑
{y  R | y 
𝟑
−𝟏𝟔
𝟑
}
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Vamos praticar...
Uma bala é atirada de um canhão. A trajetória
da bala descreve uma parábola de equação y =
-0,1x2 + 15x, onde x e y são medidos em
metros.
o Determine, em metros, a altura máxima atingida
pela bala;
O valor máximo (ou mínimo) dessa função é o y do

vértice da parábola, ou seja, y = − . Então a altura
4𝑎
máxima da bala é:
−[225 − 4. −0,1 .(0)]
−[225 − 0]
−225
y=


 562,5 m
4.(−0,1)
−0,4
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−0,4
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Vamos praticar...
o O alcance do disparo é a diferença entre as
raízes da equação -0,1x2 + 15x = 0.
 = 225
x=
−15 ± 225
2.(−0,1)
x1 =
−15 +15
2.(−0,1)
x2 =
−15 − 15
2.(−0,1)

0
−0,2
0

−30
−0,2
 150
Assim, o alcance do disparo é de 150 – 0 = 150 m.
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Construção da Parábola
É possível construir o gráfico de uma função do
2º grau seguindo apenas o roteiro de
observação seguinte:
o O valor do coeficiente a define a concavidade da
parábola;
o Os zeros definem os pontos em que a parábola
intercepta o eixo x;
o O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0),
ou máximo (se a< 0);
o A reta que passa por V e é paralela ao eixo y é
o eixo de simetria da parábola;
o Parábola corta o eixo y em (0, c).
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Vamos praticar...
Construa o gráfico da função 3x2 - 4x + 1.
o O valor do coeficiente a define a concavidade
da parábola, a = 3, a > 0, logo a concavidade
será para cima.
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Vamos praticar...
o Os zeros definem os pontos em que a parábola
intercepta o eixo dos x;
f(x) = 3x2 - 4x + 1  f(x) = 0  3x2 - 4x + 1 = 0
3x2 - 4x + 1 = 0
 = 16 – 4.3.1
 = 16 – 12
=4
4± 4
4± 4
x=
2.3
6
4+2
6
x1 =
 =1
6
6
4−2
2
1
x2 =
 =
6
6
3
x=
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𝟏
𝟑
x2 = ( ; 0)
x1 = (1; 0)
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Vamos praticar...
o O vértice V indica o ponto de mínimo (se a > 0), ou
máximo (se a < 0);
V
−𝒃 −
,
𝟐𝒂 𝟒𝒂
V
𝟒
−𝟒
,
𝟐.𝟑 𝟒.𝟑
V
𝟒 −𝟒
,
𝟔 𝟏𝟐
V
𝟐 −𝟏
,
𝟑
𝟑
o A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o
eixo de simetria da parábola;
o Eixo de simetria é x = 2/3
𝟏
𝟑
x2 = ( ; 0)
x1 = (1; 0)
𝟐 −𝟏
)
𝟑 𝟑
V( ;
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Vamos praticar...
o Parábola corta o eixo y em (0; c).
Logo, a parábola corta o eixo y em (0; 1)
(0; 1)
𝟏
𝟑
x2 = ( ; 0)
x1 = (1; 0)
𝟐 −𝟏
)
𝟑 𝟑
V( ;
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Vamos praticar...
O movimento de um projétil, lançado para
cima verticalmente, é descrito pela
equação 𝑦 = −40𝑥 2 + 200𝑥 . Onde y é a
altura,
em
metros,
atingida
pelo
projétil x segundos após o lançamento. Qual
a altura máxima atingida e o tempo que
esse projétil permanece no ar?
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Vamos praticar...
A altura máxima do projétil pode ser obtido
usando o vértice da parábola, como a altura é
y, a altura máxima do projétil (ymáx) será a
coordenada y do vértice da parábola:
−
𝒚𝒎𝒂𝒙 =
𝟒𝒂
−(2002 − 4 . −40 . 0 )
𝒚𝒎𝒂𝒙 =
4 . (−40)
𝒚𝒎𝒂𝒙 =
−40000
−160
= 250 metros
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Vamos praticar...
O tempo que o projétil permanece no ar pode ser obtido
pelo equação que descreve o movimento do projétil,
onde y será a altura final do projetil após chegar no solo,
assim y = 0, resolvendo a equação, teremos:
−40𝑥 2 + 200𝑥 = 0
 = 2002 − 4 . −40 . 0
 = 40000
−200 ± 40000
𝑥=
2 . (−40)
−200 ± 200
𝑥=
−80
x’ =
−200 + 200
−80
0
−80
x’ =
x’ = 0 s
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x’’ =
−200 − 200
−80
−400
−80
x’’ =
x’’ = 5 s
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Vamos praticar...
As duas raízes obtidas mostram o tempo
quando a altura do projetil é zero, ou seja,
quando está no solo, podemos ver que o
tempo 0 s é quando o projetil ainda não e
lançado e o tempo de 5 s é o tempo que foi
necessário para o projetil fazer o movimento
e retornar ao solo.
Assim a resposta para o tempo que ele
permanece no ar é 5 s.
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