Volume de um tronco de pirâmide de base quadrada
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Volume de um tronco de pirâmide de base quadrada
Vamos encontrar uma expressão que dá o volume do tronco de pirâmide regular de base quadrada. Seja a pirâmide abaixo: A hP M B l h L O C A base menor do tronco tem lado l e centro M, e a base maior lado L e centro O. Os triângulos ABM e AOC são semelhantes, logo: AM BM = AO CO O que nos dá: l 2 hP = 2 hP + h L 2 2 Lembrando que BM e CO correspondem a metade das diagonais das respectivas bases. As áreas das bases são: b = l2 ⇒ l = b E B = L2 ⇒ L = B Voltando à expressão e substituindo os lados em função das áreas: hP b = hP + h B Racionalizando: hP b B hP Bb = ⋅ ⇒ = hP + h hP + h B B B Isolando a altura hP : h P B = h P Bb + h Bb ( ) hP B − Bb = h Bb hP = h Bb B − Bb Racionalizando: hP = ( ) ( h Bb B + Bb h Bb B + Bb h Bb B + Bb ⋅ ⇒ hP = ⇒ h = P B2 − Bb B (B − b) B − Bb B + Bb ) O volume do tronco será a diferencça entre o volume da pirâmide de base menor v P e o volume da pirâmide de base maior V : VT = V − v P VT = B ⋅ ( h + hp ) 3 − b ⋅ hP 3 www.cursomentor.wordpress.com ( B − b ) hP + Bh Bh P − bhP + Bh ⇒ VT = 3 3 Substituindo o valor de hP na expressão anterior: VT = Bh + ( B − b ) ⋅ VT = ( h Bb B + Bb B ( B − b) ) 3 B h + hB Bb + hBb VT = 3B 2 Colocando hB em evidência: VT = Finalmente: VT = ( Bh B + Bb + b ) 3B ( h B + Bb + b ) 3 www.cursomentor.wordpress.com