Fatoração - PET Engenharias

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2014.2
Fatoração
Gutemberg Filho - Engenharia Civil
Definição
É a transformação da soma e/ou subtração de vários
termos em um produto de diversos fatores
𝒂. (𝒃 + 𝒄) =
Exemplos
• 5x + 5y = 5(x+y)
• m² + 2mn + n² = (m+n)²
• x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = (x+y)³
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Definição
A fatoração é um recurso que utilizamos na
simplificação de sentenças matemáticas. Quando
for o caso, podemos utilizá-la na simplificação de
uma fração ou de uma equação, por exemplo.
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Fator comum
A forma mais básica de fatoração é a colocação de
fatores comuns em evidência
Exemplo:
14m + 28n = 7.2m + 7.4n = 7(2m + 4n)
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Agrupamento
No tipo de fatoração por agrupamento não temos
um fator que é comum a todos os termos, no
entanto temos fatores que são comuns a alguns
termos e outros fatores que são comuns a outros
termos
𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒂𝒚 + 𝒃𝒚 = 𝒂 + 𝒃 . (𝒙 + 𝒚)
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Exemplo
4x + 6x + 4y + 6y
Nos dois primeiros termos (4x e 6x) o X é um fator comum. Já nos
dois segundos termos (4y e 6y) o Y é um fator comum.
= x (4 + 6) + y (4 + 6)
Temos outro fator comum, o (4 + 6).
= (4 + 6) . (x + y)
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Praticando
13j + 7j + 13k + 7k
= j(13 + 7) + k(13 + 7)
(13 + 7) . (j + k)
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Fatoração de...
1. Diferença de dois quadrados
2. Trinômio quadrado perfeito (SOMA)
3. Trinômio quadrado perfeito (DIFERENÇA)
4. Cubo perfeito (SOMA)
5. Cubo perfeito (DIFERENÇA)
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Diferença de dois quadrados
a² - b² = (a + b) . (a – b)
EXEMPLO
25y² - 9z² = (5y)² - (3z)² = (5y + 3z) . (5y – 3z)
A fatoração foi realizada encontrando o valor de a e b, que
são respectivamente a raiz quadrada do primeiro e do
segundo termo e então os substituindo em (a + b)(a - b).
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Praticando
49w² - 36y² = ?
= (7w)² - (6y)²
a = 7w; b= 6y
= (7w + 6y) . (7w – 6y)
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Trinômio quadrado perfeito - SOMA
O quadrado da SOMA de dois termos é a forma fatorada
de um trinômio quadrado perfeito
a² + 2ab + b² = (a + b)²
Como fatorar o trinômio abaixo?
x² + 14x + 49
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Resolução
1°) Encontrar a
obtemos o valor de a extraindo a raiz quadrada de x², no
primeiro termo;
2°) Encontrar b
obtemos o valor de b extraindo a raiz quadrada de 49, no
terceiro termo
Assim,
a=x e
b=7
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Resolução
Realizando a substituição de a e b, vamos então
analisar a2 + 2ab + b2 termo a termo para verificar se o
polinômio obtido é igual ao polinômio original.
Quando substituímos a por x em a2 chegamos ao x2 original
Substituindo a por x e b por 7 em 2ab obtivemos 2 . X . 7,
equivalente ao 14 x original
E finalmente substituindo b por 7 em b2 chegamos a 72,
equivalente ao 49 do terceiro termo do polinômio original.
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Resposta
Assim,
x² + 2 . x . 7 + 7² = (x + 7)²
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Exemplo
4x² + 12xy + 9y²
= (2x)² + 2. 2x . 3y + (3y)²
Obs.: a = 2x
e
b = 3y
= (2x + 3y)²
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Trinômio quadrado perfeito - DIFERENÇA
Procede-se como na SOMA
a² - 2ab + b² = (a - b)²
Exemplo
9x² - 24xy + 16y²
a = 9x² = (3x)² = 3x
2ab = 2 . 3x . 4y
b = 16y² = (4y)² = 4y
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Resposta
Assim, como cada membro do trinômio
equivalente ao trinômio original, a fatoração de:
9x² - 24xy + 16y² é
é
(3x – 4y)²
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Cubo perfeito - SOMA
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³
Acima temos um polinômio e a sua forma fatorada, que
nada mais é que o cubo da soma de dois termos
PARA A FATORAÇÃO DE CUBO PERFEITO UTILIZAREMOS A
MESMA TÉCNICA QUE FOI APLICADA PARA TRINÔMIO.
(𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑
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Exemplo
343 + 144y + 189y² + 27y³
Nosso objetivo é escrevê-lo na forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
FAREMOS A RAIZ DO PRIMEIRO E DO ÚLTIMO MEMBRO DO
POLINÔMIO
Substituindo a por 7 que é a raiz cúbica de 343
E
Substituindo b por 3y que é a raiz cúbica de 27y3
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Resolução
Temos que:
•
•
•
•
343 = 7³ = a³
441y = 3 . 7² . 3y = 3a²b
189y² = 3 . 7 . (3y)² = 3ab²
27y³ = (3y)³ = b³
Logo, a forma fatorada de 343 + 144y + 189y² + 27y³
é (7 + 3y)³
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Cubo perfeito - DIFERENÇA
(𝒂 − 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐 𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑
EXEMPLO
Vamos fatorar a sentença abaixo de forma análoga a que
fizemos no tipo de fatoração anterior
8a³ - 84a²b + 294ab² - 343b²
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Resolução
• Extraímos a raiz cúbica de 8a3 e de 343b³
a = 2a
•
•
•
•
e
b = 7b
8a³ = (2a)³ = a³
84a²b = 3 . (2a)² . 7b = 3a²b
294ab² = 3 . 2a . (7b)² = 3ab²
343b³ = (7b)³ = b²
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Resposta
Assim, a forma fatorada do polinômio:
8a³ - 84a²b + 294ab² - 343b²
é (2a – 7b )³
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Praticando...
1°)
125a³ + 150a²b + 60ab² + 8b³
2°)
1000x³ - 1500x² + 750x - 125
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Resposta 1°
125a³ + 150a²b + 60ab² + 8b³
125a³ = (5a)³ = a³
8b³ = (2b)³ = b³
= (5a)³ + 3 . (5a)² . 2b + 3 . 5a . (2b)² + (2b)³
= (5a + 2b)³
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Resposta 2°
1000x³ - 1500x² + 750x – 125
1000x³ = (10x)³ = a³
125 = 5³ = b³
= (10x)³ - 3 . (10x)² . 5 + 3 . 10x . 5² - 5³
= (10x - 5)³
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Obrigada pela atenção!
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