Lista para estudos Seno, Cosseno e Tangente

Lista para estudos
Professor: Carlos Eduardo Guariglia
Seno, Cosseno e Tangente
Nota: Em alguns exercícios não seriam necessários os desenhos, pois são simples, porém
acredito que dando alguns exemplos de desenho favoreço a vocês aprenderem a desenharem
as leituras interpretadas em questões sem imagens.
1)
Na figura ao lado, o triângulo ABC é retângulo em B. O cosseno, seno e tangente do
ângulo BÂC é?
2)
(G1 1996) O valor de a e c no triângulo ABC é:
3) (Pucmg 2007) Um avião levanta voo sob um ângulo de 30°. Então, depois que tiver
percorrido 500 m, conforme indicado na figura, sua altura h em relação ao solo, em metros,
será igual a:
4) (Uel 1997) Trafegando num trecho plano e reto de uma estrada, um ciclista observa
uma torre. No instante em que o ângulo entre a estrada e a linha de visão do ciclista é 60°, o
marcador de quilometragem da bicicleta acusa 103,50 km. Quando o ângulo descrito passa a
ser 90°, o marcador de quilometragem acusa 104,03 km. Qual é, aproximadamente, a distância
da torre à estrada? (Se necessitar, use 2 ≈1,41;
3 ≈1,73;
6 ≈2,45.)
a) 463,4 m
b) 535,8 m
c) 755,4 m
d) 916,9 m
e) 1071,6 m
5) Milena, diante da configuração representada a seguir, pede ajuda a você para calcular
o comprimento da sombra x do poste, mas, para isso, ela informa que o senα= 0,6. Calcule o
comprimento da sombra x.
6) As medidas dos lados dos triângulos a seguir são dadas em cm. O valor de x + y vale?
7) Para levar sua mulher até o alto do pedestal, ou trazê-la até o chão, o vicking usa uma
escada medindo 2,4 m. Os degraus da escada têm 6 cm de altura e estão igualmente
espaçados 18 cm um do outro. Nem todos os degraus estão representados na figura. O degrau
mais baixo equidista do chão e do segundo degrau. O degrau mais alto apoia-se no plano
superior do pedestal.
Sabendo que a escada faz um ângulo Ɵ com o chão e sabe-se que:
4
3
4
cos Ɵ =
tg Ɵ =
5
5
3
a) A escada é composta por quantos degraus?
b) Calcule a altura h do pedestal.
sen Ɵ =
8) (cftmg 2011) Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo sob um ângulo de
60º , conforme a figura. A altura em que se encontra o foguete, após ter percorrido 12km ,
vale?
9) Na execução da cobertura de uma casa, optou-se pela construção de uma estrutura,
composta por barras de madeira, com o formato indicado na figura abaixo. Desprezando a
espessura das barras de madeira, e supondo que α = 15º, podemos dizer que:
a) v = w cos(15º) e u = w sen(15º)/4.
b) v = w sen(15º) e u = w/[4tg(15º)].
c) v = w/[2cos(345º)] e u = w tg(195º)/4.
d) v = w/[2cos(345º)] e u = w sen(165º)/4.
10) (Enem 2010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste
de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na
região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do
programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, Franca, Argentina, Inglaterra e Itália, para
a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento
do tempo previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição
vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical
do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou
sob um ângulo de 30°. Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
11) Em um setor circular de raio r foram traçados os triângulos ADO e BEO, conforme
figura a seguir.
A soma dos segmentos AD,DB,BE, e CE é igual a
a)
r
2
b) r
c)
2r
3
d) 2r
12) Os triângulos a seguir possuem o mesmo ângulo α , com tg α = k. A medida da maior
hipotenusa vale b e a dos segmentos AB e BC vale a.
O valor de b em função de a e k é
a) ak2
b) 2ak2
c) a (1 + k2)
d) 2a (1 + k2)
13) (Unicamp 2010) Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras
a seguir ilustram a rampa que terá que ser vencida e a bicicleta de Laura.
a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação α, tal que cos(α) =
0,99 . Suponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a
altura h (medida com relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100
pedaladas.
b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado na figura à direita. Com base nos dados da
figura, e sabendo que a mede 22 cm, calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da roda
ao eixo dos pedais.
14) Uma empresa cultiva eucaliptos para a produção de celulose. Com o objetivo de
proteger sua plantação contra incêndios, esta empresa tem um sistema de segurança que
envolve mais de 500 funcionários treinados para identificar e combater focos de queimadas, e
mais de 20 torres de vigilância que se espalham pelas plantações. Outra medida tomada é a
criação de aceiros (valas que separam as áreas de eucaliptos e florestas nativas).
A figura 1 a seguir ilustra a situação descrita.
Seno 52° = 0,79
Cosseno 52° = 0,62
Tangente 52° = 1,3
Seno 62° = 0,88
Cosseno 62° = 0,47
Tangente 62° = 1,9
Seno 72° = 0,94
Cosseno 72° = 0,31
Tangente 72° = 3,0
Seno 82° = 0,99
Cosseno 82° = 0,14
Tangente 82° = 7,1
a) Determine a distância x (da torre de observação até o início do aceiro).
b) Calcule o ângulo β. Considere as aproximações.
c) Qual o ângulo de visão α de um observador que estiver no alto da torre?
15) (Ufg 2007) Para dar sustentação a um poste telefônico, utilizou-se um outro poste
com 8 m de comprimento, fixado ao solo a 4 m de distância do poste telefônico, inclinado sob
um ângulo de 60°, conforme a figura a seguir.
Considerando-se que foram utilizados 10 m de cabo para ligar os dois postes, determine a
altura do poste telefônico em relação ao solo.
a) 250
b) 300
c) 400
d) 435
16) (Ufpb 2007) Em um shopping, uma pessoa sai do primeiro pavimento para o segundo
através de uma escada rolante, conforme a figura a seguir. A altura H, em metros, atingida
pela pessoa, ao chegar ao segundo pavimento, vale?
17) (Ufla 2006) Um aparelho é construído para medir alturas e consiste de um esquadro
com uma régua de 10 cm e outra régua deslizante que permite medir tangentes do ângulo de
visada á, conforme o esquema da figura 1. Uma pessoa, utilizando o aparelho a 1,5 m do solo,
toma duas medidas, com distância entre elas de 10 metros, conforme esquema da figura 2.
Sendo ℓ1 = 30 cm e ℓ2 = 20 cm, calcule a altura da árvore.
18) Observando-se a figura e sabendo-se que y - x = 4 3 , o valor da soma x + y será
a) 2 3
b) 6 3
c) 8 3
d) 10 3
19) (Uem 2004) Para obter a altura CD de uma torre, um matemático, utilizando um
aparelho, estabeleceu a horizontal AB e determinou as medidas dos ângulos á = 30° e â = 60° e
a medida do segmento BC = 5 m, conforme especificado na figura. Nessas condições, a altura
da torre, em metros, vale?
20) (Ufpr 2004) Uma pessoa de 2 m de altura, passeando pela cidade, caminha em linha
reta em uma rua horizontal, na direção da portaria de um edifício. A pessoa para para ver o
topo desse edifício, o que a obriga a olhar para cima num ângulo de 30 graus com a horizontal.
Após caminhar 49 m, para uma segunda vez para ver o topo do edifício e tem que olhar para
cima num ângulo de 45 graus com a horizontal. Suponha que cada andar do edifício tenha 3 m
de altura. Utilize 3 ≈1,7. Nessa situação, é correto afirmar (some os valores das verdadeiras):
01) O edifício tem menos de 30 andares.
02) No momento em que a pessoa para pela primeira vez, ela está a 160 m da portaria do
edifício.
04) Quando a pessoa para pela segunda vez, a distância em que ela se encontra da portaria é
igual à altura do edifício.
08) Se, depois da segunda vez em que para, a pessoa caminhar mais 35 m em direção à
portaria, para ver o topo do edifício será necessário erguer os olhos num ângulo maior do
que 60 graus com a horizontal.
21) (Ufc 2003) Sejam α e β os ângulos agudos de um triângulo retângulo. Se sen α = sen β
e se a medida da hipotenusa é 4 cm, a área desse triângulo (em cm2) é:
22) (Uerj 2003) Um barco navega na direção AB, próximo a um farol P, conforme a figura
a seguir. No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um
ângulo de 30° com a direção AB. Após a embarcação percorrer 1.000 m, no ponto B, o
navegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60° com a
mesma direção AB. Seguindo sempre a direção AB, a menor distância entre a embarcação e o
farol será equivalente, em metros, a:
23) (Ufrn 2002) Na representação a seguir, EF é diâmetro da circunferência; EG e FG são
catetos do triângulo retângulo FGE, inscrito na circunferência trigonométrica; e FG é
perpendicular a OX para qualquer á. O raio da circunferência é unitário. Nessas condições,
podemos afirmar que, para qualquer á (0°< á < 90°),
a)
FG
= 2tg á
EG
b) sen2 á + cos2 á = EF
c) OH = cos (90° - á)
d) FG = 2 sen á
24) (Ufv 2001) Seja AB o diâmetro de uma circunferência de raio r, e seja C um ponto da
mesma, distinto de A e B, conforme figura a seguir.
a) Sendo o ângulo A B̂ C=â, determine a área do triângulo ABC, em função de â e r.
b) Esta área é máxima para qual valor de â.
25) Determine x no caso a seguir:
26) (Unirio 1996) Um disco voador é avistado, numa região plana, a uma certa altitude,
parado no ar. Em certo instante, algo se desprende da nave e cai em queda livre, conforme
mostra a figura. A que altitude se encontra esse disco voador?
Considere as afirmativas:
l - a distância d é conhecida;
ll - a medida do ângulo á e a tg do mesmo ângulo são conhecidas.
Então, tem-se que:
a) a l sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a ll, sozinha, não.
b) a ll sozinha é suficiente para responder à pergunta, mas a l, sozinha, não.
c) l e ll, juntas, são suficientes para responder à pergunta, mas nenhuma delas, sozinha, não é.
d) ambas são, sozinhas, suficientes para responder à pergunta.
e) a pergunta não pode ser respondida por falta de dados.
27) (Ufpr 2001) Um instrumento para medir o diâmetro de pequenos cilindros consiste
em um bloco metálico que tem uma fenda com o perfil em V contendo uma escala, conforme
ilustração a seguir. O cilindro é colocado na fenda e a medida de seu diâmetro, em
centímetros, é o número que na escala corresponde ao ponto de tangência entre o cilindro e o
segmento AB. Ao construir a escala de um instrumento desses, o número 2 corresponde a um
certo ponto de AB. Sendo x a distância deste ponto ao ponto A, é correto afirmar:
2
cm.
θ
t g  2 
 
1
02) x é igual a
cm.
 tgθ  
 2  


04) Se a medida de è for 90°, então x será igual a 2cm.
08) Quanto menor for o ângulo θ, maior será a distância x.
01) x é igual a