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EXPERIÊNCIAS COM MALHAS PLANAS E
TRIDIMENSIONAIS
Roberto Alcarria do Nascimento
UNESP – FAAC, Departamento de Artes e Representação gráfica
[email protected]
Maria Antonia Benutti
UNESP – FAAC, Departamento de Artes e Representação gráfica
[email protected]
Aniceh Farah Neves
UNESP – FAAC, Departamento de Artes e Representação gráfica
[email protected]
Resumo
A geometria é uma das maneiras de analisar as malhas e de traduzir as
estruturas básicas da forma. Ela permite a racionalização de uma aparente
desordem propiciando que forma e estrutura possam ser estudadas,
modificadas e reproduzidas em variados contextos. Tendo como ponto de
partida as estruturas geométricas presentes nas malhas planas, este artigo
discute a exploração da forma no espaço bi e tridimensional enquanto
atividade didática na formação de arquitetos, artistas e designers.
Palavras-chave: malhas, módulos, exploração da forma.
Abstract
The geometry is a way of analyzing the tessellation and to understand the
basic structures of the shape. The geometry rationalize that a seeming
disorder enabling that form and structure can be studied, modified and
reproduced in different contexts. Taking as its starting point the geometrical
structures present in the tessellation, this article discusses the exploration
of shape in space bi-dimensional and tri-dimensional as didactic activity in
the training of architects, artists and designers.
Keywords: tessellation, modules, form exploration.
1 Introdução
Revestimento, pavimentação, mosaico... Historicamente, o homem sempre teve a
tendência a dar um “acabamento” em superfícies por ele mesmo manufaturadas. Seja
decorrente da busca de conforto ou visando ornamentação, a criação de padrões para
este fim, quer em pisos, paredes, ou objetos, foi uma constante no decorrer dos
tempos. Presentes em antigas civilizações foram, e ainda são, motivo de análises em
busca dos princípios que orientam sua elaboração a fim de serem recriados e
aplicados nas mais diferentes situações do mundo atual.
A exploração significativa desse tipo de revestimento pelos mouros perdurou pelos
séculos permitindo que se tomasse conhecimento tornando-se objeto de estudos e
pesquisas ainda hoje. Escher, bebendo na fonte desse conhecimento, sem dúvida
constituiu-se um dos grandes intérpretes desse universo ao transportar de forma
extremamente criativa, as estruturas observadas nos mosaicos mouriscos, para um
campo que poderíamos definir “entre a arte e o design”. Ainda hoje os trabalhos de
Escher continuam a ser estudados e explorados, principalmente na educação, dadas
as transformações formais contidas no seu trabalho que dependem de uma estrutura
geométrica.
A geometria é uma das maneiras de traduzir as estruturas básicas da forma. Ela
permite a racionalização de uma aparente desordem propiciando que forma e
estrutura possam ser analisadas, estudadas, modificadas e reproduzidas em variados
contextos. Tendo como pressuposto básico a organização espacial, o foco deste
trabalho se volta para a exploração de nós e malhas no espaço bi e tridimensional.
1
Aspectos teóricos: malha, módulo, mosaico
Buscar os efeitos que as formas podem nos oferecer implica em estudo, análise,
planejamento. O uso de recursos gráficos auxiliares para esse estudo é de
fundamental
importância,
pois
pode
proporcionar
equilíbrio,
harmonia
e,
principalmente, ritmo quando há necessidade da repetição, como geralmente acontece
nos revestimentos. Tais recursos se constituem em linhas auxiliares que norteiam o
trabalho do planejamento gráfico da forma e sua disposição no espaço. Wong aponta
para a importância desses recursos quando afirma que:
“A maioria dos desenhos tem uma estrutura. A estrutura serve para
controlar o posicionamento das formas em um desenho. [...] A
estrutura geralmente impõe ordem e predetermina relações internas
de formas em um desenho. Podemos ter criado um desenho sem
termos pensado conscientemente em estrutura, porém a estrutura
está sempre presente quando há organização” (WONG, p. 59).
Ainda, segundo o mesmo autor, “A estrutura de repetição é a mais simples de
todas as estruturas. É particularmente útil na construção de padrões para recobrir toda
uma superfície” (WONG, p. 61). Das estruturas de repetição, as mais utilizadas são
aquelas formadas por linhas horizontais e verticais, a que esse autor denomina de
“grade básica”. Gomes e Medeiros (2005) vão denominar esse tipo de recurso gráfico
de “malha estrutural” (p. 3)
Quando Sá (1982), talvez um dos primeiros que, no Brasil, fez um estudo bastante
detalhado sobre esse assunto, ao discutir a formação de malhas planas ditas
“regulares” e “semi-regulares” serve-se dessa “malha estrutural” ou “grade básica”
como instrumento auxiliar, onde os “nós” daquelas estariam contidos nessa estrutura,
facilitando o seu traçado geométrico com o uso de régua e esquadro.
Ainda que essa “grade básica” também seja identificada como uma “malha”, em
geral o termo malha costuma ser aplicado quando se trata de configurações um pouco
mais elaboradas, não se restringindo somente a linhas horizontais e verticais.
Normalmente está mais ligado à noção de “pavimentação do plano” e, em termos
geométricos, associa-se à idéia da justaposição de polígonos. Nesse sentido, Barbosa
(1993) afirma que “um conjunto de polígonos é uma pavimentação do plano se, e só
se, o conjunto de polígonos cobre sem cruzamentos o plano.” (p. 3, destaque do
autor). A pavimentação do plano leva a idéia de mosaico que, segundo Coxeter,
(1963, apud PIERCE, 1990, p. 28, tradução nossa), “...é um conjunto infinito de
polígonos, encaixando-se para cobrir todo o plano apenas uma vez, de modo que
todos os lados de cada polígono também pertencem a um outro polígono”.
Os mosaicos, por sua vez, carregam em si a idéia de “padrão”, de “ritmo”. Ching
(1998, p. 220) diz que uma organização em malha consiste em “formas e espaços
cujas posições no espaço e relações entre si são reguladas por um padrão”. E Sá
utiliza o termo “malha repetitiva”, especificando que são “... as que seguem regras de
formação e que, por isso, têm um comportamento estrutural previsível e analisável”
(SÁ, 1982, p.12). Gomes & Machado (2006, p. 32) ponderam que “O ritmo é o
princípio que unifica um movimento formal, gerado pela repetição ou alter-nação
padronizada de elementos na mesma forma, ou em forma modificada com uma regra
constante”.
Se existe um padrão de repetição que regula a organização das formas no
espaço, pode-se admitir que existe um “módulo”, o qual seria a unidade básica que se
repete na formação da malha. Nesse sentido, Silva (1994) afirma que:
“As malhas são estruturas rítmicas que guardam no seu interior
muitas formas e ritmos. Constituem-se de formas fechadas e formas
abertas, ritmos que se desenvolvem finita e infinitamente. As formas
fechadas constituem unidades denominadas módulos. Módulo é
unidade, não apenas de grandeza, mas tomado também como
unidade visual. (SILVA, 1994, p. 72)
As malhas são de fundamental importância para estruturar, organizar formas,
consistindo-se num sistema que pode proporcionar equilíbrio, ritmo, harmonia e
beleza, não apenas nas produções de caráter gráfico, próprias da comunicação visual,
como também nos objetos em geral. Sendo assim, constituem-se num tópico que não
pode estar ausente no processo de formação daqueles que, profissionalmente, tem na
forma e sua organização no espaço, seu objeto primeiro de atuação.
É a partir do conceito que Barbosa (1993) e Pierce (1990) adotam para
“pavimentação do plano” ou “tesselation of the plane”, que aqui será utilizado o sentido
para malha. Dependendo dos tipos de polígonos empregados e da maneira como são
combinados entre si, temos diferentes resultados na configuração da malha.
Normalmente o estudo sistemático das malhas parte da combinação de polígonos
regulares.
O agrupamento de polígonos em torno de um único ponto sem que haja
sobreposição ou afastamento é comumente chamado de “nó” e é a unidade básica
que, repetida gera a malha. A soma dos ângulos internos dos polígonos componentes
do nó deve ser igual a 360º.
Sá (1982), Pierce (1990), Barbosa (1993) entre outros autores, apontam três
diferentes classes de malhas planas formadas exclusivamente por polígonos regulares
(Figura 1): as chamadas regulares – em que só figuram polígonos de um tipo (C); as
semi-regulares que misturam dois ou mais tipos de polígonos, mas apenas um tipo de
nó (D); e a semi-regulares que misturam mais de um tipo de nó na sua configuração
(E).
A
D
B
C
E
Figura 1: Nós e malhas planas. (Fonte: NASCIMENTO, GIUNTA, NEVES, 2005)
Apenas os nós ilustrados na figura 1(A) formam malhas regulares. Entretanto,
triângulos eqüiláteros e quadrados também podem formar outras malhas em que não
acontece a sobreposição das figuras. É possível, utilizando-se das mesmas figuras,
compor uma malha tal que a figura base sofra uma pequena translação de modo que o
vértice de uma das figuras fique sobre o lado de outra. Neste caso, apesar de ser
formada por polígonos regulares do mesmo tipo, não é considerada malha regular
(Figura 2A). Barbosa (1993) vai fazer a distinção utilizando o conceito de “figuravértice”. “Ao polígono que possui por vértices os pontos médios dos lados que
concorrem num mesmo nó chamamos de figura-vértice” (p. 21 - destaque do autor).
E continua: “Um padrão de pavimentação é padrão regular se, e só se, as figuras
vértice do padrão são polígonos regulares” (p. 21).
Na figura 2A, o nó é formado apenas pelos dois quadrados que tem um vértice
comum, o que gera um triângulo isósceles como “figura vértice”. Na figura 2B, o nó é
formado por quatro quadrados que têm um vértice comum, o que gera um polígono
regular (um quadrado) como “figura vértice” e, consequentemente, a malha gerada a
partir desse nó é regular.
A
B
P
P
Figura 2: Figuras vértice gerando padrão de pavimentação não regular e regular
Outro conceito importante é o de “malhas duais”, geradas a partir de polígonos
cujos vértices são os centros dos polígonos que formam um nó. No caso das malhas
regulares, as suas duais também resultam regulares. Para a malha quadrada, a dual é
outra malha quadrada; para a malha formada por triângulos eqüiláteros, a dual é uma
malha hexagonal. E para a malha formada por hexágonos a dual é triangular. Os
casos mais interessantes das duais são as geradas a partir de malhas semi-regulares,
pois os polígonos resultantes são irregulares, o que resulta em malhas duais que
apresentam configurações bastante atraentes.
Figura 3: Malhas duais
De forma semelhante ao que acontece no plano, em que se compõem malhas a
partir de polígonos regulares, também no espaço tridimensional é possível a geração
de malhas pelo agrupamento de poliedros platônicos e arquimedianos, de modo que
não haja espaços vazios entre as formas (SÁ, 1982; PIERCE, 1990). O interessante é
que, dada a regularidade desses agrupamentos, a projeção ortogonal dos mesmos
apresenta padrões similares aos das malhas planas. Além desse tipo de malha em 3D,
Sá (1982) também discute possibilidades de gerar malhas pelo agrupamento de
prismas (retos ou oblíquos) e pirâmides e que seriam formadas a partir de malhas
planas, cujos polígonos seriam as bases dos poliedros.
3
Explorando malhas em atividades didáticas
O caráter estético ou geométrico das malhas, quer no espaço bi ou tridimensional, já
geraram muitos estudos e, sem dúvida, são muito importantes no processo de
formação para arquitetos, artistas ou designers. O que segue são algumas dessas
experiências a partir de diferentes abordagens.
Uma delas nos remete à uma época em que a computação gráfica ainda
significava uma certa novidade para os professores de desenho e os recursos da
máquina não eram tão numerosos quanto hoje. Trata-se de um trabalho denominado
“A estratégia das malhas” em que Loureiro (1997) discute o uso do computador na
formação de nós a partir do agrupamento de polígonos regulares e geração de malhas
em função da repetição dos nós por simetria de translação, exclusivamente nos
sentidos horizontal e vertical. Para isso, estuda o delineamento de um módulo formado
pelo agrupamento de dois ou mais nós, de modo que seja possível a produção da
malha correspondente, deslocando-se o módulo naquelas duas direções (Figura 4).
De certo modo, o trabalho se apóia na chamada “malha estrutural”, mesmo ela não
estando visualmente presente, trabalhando num sentido próximo ao de Sá (1982)
quando aponta caminhos para um traçado prático das malhas com o uso de
esquadros, só que agora, utilizando o computador.
Figura 4: Geração de malhas em função da repetição dos nós por simetria de translação.
(Fonte:Loureiro, 1997, p. 71)
Já Almeida, Carvalho, Freitas e Lopes (2009) em trabalho bem recente, exploram
as malhas regulares e irregulares num processo criativo. Da mesma forma que na
experiência anterior, em um dos exemplos apresentados, também trabalham
considerando a grade cartesiana ou “malha estrutural” que passa pelos vértices dos
polígonos que compõem a malha inicial. Assim, variando a distâncias entre essas
linhas que compõem a grade, é possível gerar malhas transformadas, obtendo
resultados bastante significativos (Figura 5).
Figura 5: Metamorfose da malha a partir da alteração da grade original
(Fonte: ALMEIDA, CARVALHO, FREITAS E LOPES, 2009, p. 1681)
No espaço tridimensional, explorando as possibilidades de agrupamento de
poliedros regulares e semi-regulares descrito por Sá (1982), Costa et all (1999)
discutem sobre a organização de conjuntos arquitetônicos a partir dessas malhas
poliédricas e as simetrias dos poliedros (Figura 6). Os autores vão além das simples
formas externas dos espaços residenciais, discutindo a possibilidade de montagem
das mesmas por placas modulares até equipamentos mobiliários.
Figura 6: Conjunto arquitetônico em malha poliédrica
(Fonte: Costa et all, 1999, p. 17)
Quando se discute as malhas no tridimensional o usual é a abordagem em função
dos poliedros regulares e semi-regulares. Entretanto, como afirmam Almeida et all
(2009, p. 1673),
...o estudo da divisão do plano por polígonos é de fundamental
importância quando observamos as diferentes aplicações possíveis e
percebemos que a geometria subjacente pode extrapolar as
expectativas do estudo restrito a formação de uma malha poligonal
plana.
Assim, a seguir são descritas algumas possibilidades a partir de experiências
realizadas nos cursos de arquitetura, design e artes da FAAC-Unesp de Bauru,
voltadas para uma outra abordagem onde se busca gerar formas tridimensionais,
tendo por base os nós e as malhas planas, e não aquelas formadas pelo agrupamento
de poliedros regulares ou semi-regulares. A preocupação nessas atividades não é a
geração de uma malha 3D fechada, sem que haja espaços vazios, mas a criação e
composição de formas tridimensionais (isoladas ou não), a partir de nós e malhas
planas.
Uma experiência possível é a associação dos conceitos teóricos sobre primas com
os nós e malhas planas. Escolhe-se um dentre os nós obtidos para a formação de
malhas semi-regulares, explorando-se tridimensionalmente através de formas
prismáticas cujas bases são os polígonos que compõem o nó. Variação na altura dos
prismas, bem como o uso de formas vazadas, são recursos que podem ser utilizados
e que ajudam no visual da composição tridimensional final (Figura 7).
Figura 7: Composição com malhas e prismas (Fabiana Pereira - Educação Artística)
Na figura 8, a atividade é semelhante, porém além de se trabalhar com a malha
dual, como uma estrutura auxiliar incorporada à malha original, há uma maior
exploração dos espaços vazados.
Figura 8: Exploração da malha semi-regular e sua dual. (Daniela R. de Lima - Design)
Outra possibilidade é a exploração de um módulo a partir da malha plana (regular
ou semi-regular), utilizando-se da estrutura geométrica que a própria malha pode
oferecer. Faz-se a extrusão do mesmo e depois busca-se composições espaciais em
função da repetição desse módulo, mas sem perder a malha original como referência
(ou seja, sem haver sobreposição de volumes). Na composição do módulo espacial
também é possível estabelecer alturas diferentes paras os poliedros que compõem o
mesmo, acrescentando maior plasticidade à composição (Figuras 9).
Figura 9: Composições tridimensionais a partir de módulos
(Flávia M. Matsouca – Arquitetura e João Sene – Educação Artística)
As experiências acima descritas estão próximas do trabalho de Sá (1982) em que
ele denomina de “malha ortogonal”, isto é, aquelas geradas por prismas retos cuja
base inferior seria uma malha plana regular ou semi-regular.
Por outro lado, a experiência abaixo já tem uma relação mais próxima ao que o
mesmo autor denomina de “malhas de pirâmides”, as quais continuam tendo por base
uma malha plana.
Nesta atividade explora-se a malha semi-regular juntamente com sua dual e, a
forma tridimensional é gerada com a elevação das cotas, em diferentes alturas, dos
diversos pontos formados pela estrutura de base, podendo-se gerar pirâmides ou
primas (Figura 10). Embora a proposta esteja pautada no estudo das arestas ela
propicia uma análise muito interessante das faces originadas nesta maneira de
geração do tridimensional.
Figura 10: Exploração das malhas semi-regular e sua dual para geração de elementos
tridimensionais (Letícia Thaís de Marchi Furuya, Larissa Ayumi Nakahata e Raquel Gamon
Sonobe – Arquitetura).
4 Considerações finais
As experiências apresentadas contribuem para ampliar o repertório teórico e formal
dos futuros profissionais dos diversos setores de atividades: arquitetura, design, artes
visuais. Estimulam o espírito de busca e o exercício da criatividade, habilidades
essenciais para aqueles que atuam no trato com a forma.
A pesquisa de novas configurações visando explorar o espaço tridimensional a
partir do bi lança o desafio de melhor compreendê-las geometricamente sob a forma
de projeções ortogonais e de maquetes.
As atividades realizadas não incorporaram, de forma sistemática, o uso da
computação gráfica. Mas quer ser uma experiência que propicie condições de associar
um trabalho que envolva os procedimentos informatizados sem perder os conceitos
mais significativos que o desenho tradicional sempre procurou oferecer.
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