O Homem que Calculava
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O Homem que Calculava
A Resolução de Problemas e os Conceitos Matemáticos presentes no livro “O Homem que Calculava”, de Malba Tahan Clarice Segantini1 GD3 – Educação Matemática no Ensino Médio Resumo: Admite a Resolução de Problemas como metodologia para o Ensino da Matemática e a importância da escolha de bons problemas. Traz a classificação de 15 problemas presentes no livro “O Homem que Calculava” como suporte para a realização de uma Oficina de Resolução de Problemas. Descreve o Problema dos Três Marinheiros e possíveis estratégias de resolução. Visa identificar as estratégias utilizadas pelos alunos do 1º ano do Ensino Médio; analisar o processo de resolução; e descrever os conceitos matemáticos presentes nas situações-problema. Trata de um estudo de caso etnográfico de cunho qualitativo. Busca por meios alternativos e pela interação dos alunos, de modo que o processo de resolução seja mais importante que a resposta final. Palavras-chave: Educação Matemática. Resolução de Problemas. Malba Tahan. 1. Introdução A Resolução de Problemas, admitida como metodologia de ensino, promove aos alunos, segundo Diniz (2001), um ambiente de investigação e exploração, cujas atividades podem se apresentar como ponto de partida para o ensino de matemática. Nessa mesma linha de pensamento, Siqueira Filho (1999, p.15) enfatiza que, A Resolução de Problemas, de acordo com alguns estudos, pode ser admitida não mais como um simples conteúdo discutido em sala de aula, e sim como uma metodologia que proporciona ao aluno o desenvolvimento do raciocínio, a capacidade de refutar e verificar a resposta encontrada, além de permitir conceber a frustração como uma etapa da aprendizagem. Para Redling (2011) uma situação-problema deve comportar a ideia de novidade, de algo ainda não compreendido, mas que traz, em sua estrutura, as condições suficientes para investigar, questionar e elaborar novas ideias e novos conhecimentos. Nesse sentido, “um dos primeiros passos a ser considerado [...] é a escolha adequada do problema” (SILVA e SIQUEIRA FILHO, 2011, p. 33). “[...] Os problemas são importantes não somente como um propósito de se aprender matemática, afirma Onuchic (1999, p.207), mas, também, como um primeiro passo para se fazer isso”. Nessa percepção, o processo ensino-aprendizagem de matemática se insere em 1 Universidade Federal do Espírito Santo, e-mail: [email protected], orientador: Prof. Dr. Moysés Gonçalves Siqueira Filho. uma esfera de investigação, a qual favorece a construção de relações entre os diferentes conceitos matemáticos envolvidos no problema. Mas o que caracteriza um bom problema? Para Polya (1977 apud Silva e Siqueira Filho, 2011, p.33) “ele deve ser bem escolhido, nem muito difícil, nem muito fácil, natural e interessante”. Para os autores “um problema é rico quando permite ser resolvido por diferentes estratégias”, as quais devem ser exploradas pelo professor com o intuito da (re)descoberta da matemática pelo aluno. Sendo assim, Santos (1997 apud Silva e Siqueira Filho, 2011, p.34) discute algumas estratégias de resolução que podem e devem ser identificadas e valorizadas pelo professor no auxílio a seus alunos, em síntese são elas: [...] utilizar-se de tentativa e erro; buscar um padrão de regularidade; deduzir e induzir; generalizar; trabalhar de trás para frente; resolver um problema semelhante mais simples; correlacionar e fazer analogias, procurar por palavraschave; escrever informação relevante; fazer uma lista, quadro ou tabela; desenhar ou plotar gráficos. Ante a estas considerações iniciais e a partir da leitura do livro “O homem que calculava”, de Malba Tahan, cujos enredos trazem inúmeros problemas que podem auxiliar aos professores no desenvolvimento das estratégias sugeridas, optamos, para este texto, elencar alguns problemas propostos na obra citada. Trata-se do primeiro momento de nossa pesquisa de mestrado, em andamento, cujas resoluções servirão de suporte para identificar as estratégias utilizadas pelos alunos envolvidos; analisar as questões que subsidiaram o processo de resolução; descrever os conceitos matemáticos presentes nas situaçõesproblema, a formulação de questionamentos e o papel da comunicação na Resolução de Problemas. Objetivos esses, norteados pela questão central: Que estratégias os alunos do 1º ano do Ensino Médio utilizam para resolver alguns problemas propostos no livro “O Homem que Calculava”? Como também, por outras questões de estudo: [1] Quais conceitos matemáticos são por eles identificados?; [2] Qual a concepção desses alunos sobre a Matemática? Por ora, numa primeira varredura, identificamos quinze problemas, posteriormente, procuraremos trabalhar, preferencialmente, com os que se destinam, segundo nossa classificação, ao 1º ano do Ensino Médio. A partir de seus enunciados, procuramos destacar alguns conteúdos matemáticos, como também, discriminar o público-alvo (série/ano) para resolvê-los (QUADRO 1). Convém destacar que os problemas podem ser trabalhados em séries/anos diferentes dos que propusemos, cabe ao professor escolher o momento mais adequado para executá-los. CAPITULOS 3 4 5 7 8 12 16 17 18 19 21 23 31 32 33 PROBLEMAS O Problema dos 35 Camelos O problema dos 8 pães O Problema do Joalheiro O Problema dos Quatro Quatros SÉRIE/ANO 5ªsérie / 6º ano 5ªsérie / 6º ano 6ªsérie / 7º ano 2º ano Ensino Médio CONTEÚDOS - Fração – MMC - Operações Fundamentais - Proporção - Operações Fundamentais - Fatorial O Problema dos 21 vasos 5ªsérie / 6º ano -Operações Fundamentais; Números decimais fracionários O Problema dos 60 Melões 5ªsérie / 6º ano -Operações Fundamentais O Problema do Jogo de Xadrez 1º ano Ensino Médio -Progressão Geométrica O Problema das 90 Maçãs 6ªsérie / 7º ano - Proporção O Problema das Abelhas 6ªsérie / 7º ano - Equação do 1º grau O Problema dos Três Marinheiros 1º ano Ensino Médio -Sistemas de equações; -Sequência numérica O Problema dos Soldados 5ªsérie / 6º ano - Geometria Plana -Polígonos O Problema das Perola de Rajá 7ªsérie / 8º ano - Sistemas de equações O Problema dos Cinco Discos Ensino Médio- Análise Combinatória; 2º ano - Lógica O Problema da Pérola mais Leve 6ªsérie / 7º ano - Sistemas de equações; - Pesos e medidas O Problema dos Olhos Pretos e Ensino Médio - Análise Combinatória; Azuis 2º ano - Lógica QUADRO 1 – CLASSIFICAÇÃO DOS PROBLEMAS SEGUNDO A SÉRIE-ANO/CONTEÚDO 2. Contextos dos Enunciados O protagonista Beremiz Samir, com destacada proeza, narra uma variedade de enredos, que denotam alguma situação-problema, capazes de aguçar a curiosidade do leitor. “Inseridos em uma perspectiva de investigação, evitam a manipulação imediata de dados e fórmulas e favorecem tanto o desenvolvimento dos processos de pensamento, quanto a formação de capacidades e competências” (SIQUEIRA FILHO, 2013, p.35) Incluiremos tais problemas no rol dos não-rotineiros, os quais, segundo Siqueira Filho (1999), são caracterizados por não apresentar estratégias de solução em seu enunciado, possibilitando ao aluno desenvolver estratégias gerais de entendimento, planejar e executar seus comandos de ataque, bem como, avaliar suas tentativas de solução. A escolha dos problemas baseou-se no critério de que eles apresentam diferentes conteúdos matemáticos; admitem mais do que uma estratégia de resolução, cujas narrativas, bastante interessantes, podem instigar ao aluno pensar na problemática proposta e inserir-se em seu contexto, recurso esse, oportuno para a Resolução de Problemas. Vejamos um dos problemas: e 2.1 O Problema dos Três Marinheiros [Capítulo XIX] Enunciado do Problema: Um navio que voltava de Serendibe, trazendo grande partida de especiarias, foi assaltado por violenta tempestade. A embarcação teria sido destruída pela fúria das ondas se não fosse a bravura e o esforço de três marinheiros que, no meio da tormenta, manejaram as velas com extrema perícia. O comandante, querendo recompensar os denodados marujos, deulhes certo número de catis. Esse número, superior a duzentos, não chegava a trezentos. As moedas foram colocadas numa caixa para que no dia seguinte, por ocasião do desembarque, o almoxarife as repartisse entre os três corajosos marinheiros. Aconteceu, porém, que, durante a noite, um dos marinheiros acordou, lembrou-se das moedas e pensou: “Será melhor que eu tire a minha parte. Assim não terei ocasião de discutir ou brigar com os meus amigos”. E, sem nada dizer aos companheiros, foi, pé ante pé, até onde se achava guardado o dinheiro, dividiu-o em três partes iguais, mas notou que a divisão não era exata e que sobrava um catil. “Por causa desta mísera moedinha é capaz de haver amanhã discussão e rixa. O melhor é jogá-la fora.” E o marinheiro atirou a moeda ao mar, retirando-se, cauteloso. Levava a sua parte e deixava no mesmo lugar a que cabia aos companheiros. Horas depois, o segundo marinheiro e depois o terceiro teve a mesma ideia. No dia seguinte, na ocasião do desembarque, o almoxarife do navio encontrou um punhado de catis na caixa. Soube que essas moedas pertenciam aos três marinheiros. Dividiu-as em três partes iguais, dando a cada um dos marujos uma dessas partes. Ainda dessa vez a divisão não foi exata. Sobrava uma moeda, que o almoxarife guardou como paga do seu trabalho e de sua habilidade. É claro que nenhum dos marinheiros reclamou, pois cada um deles estava convencido de que já havia retirado da caixa a parte que lhe cabia do dinheiro. Pergunta-se afinal: Quantas eram as moedas? Quanto recebeu cada um dos marujos? Trata-se de um texto bastante longo, que muito, provavelmente, provocará algumas inquietações e possíveis desistências, antes mesmo de se tentar solucioná-lo. Cabe ao professor sugerir uma segunda ou terceira leitura e aos poucos esmiuçar o enunciado, separando o que se conhece do que não se conhece até se chegar à pergunta do problema. Questões do tipo: O que vocês entenderam? Quais conceitos matemáticos podem ser extraídos desta situação? Ou ainda: Por quais e quantos caminhos poderemos percorrer? conduzirão e organizarão as ideias e sugestões dadas pelos alunos. Uns terão mais facilidades ou dificuldades que outros, ao longo das discussões, entretanto, o que se torna importante é estar atentos às suas interpretações. O professor poderá ainda, situar a historieta, contando aos alunos, por exemplo, que o príncipe Cluzir Schá, em conversa com Beremiz, lamentou a ausência, entre os problemas de Bháskara por ele citados, do famoso problema dos três marinheiros, até aquele momento sem solução. Em resposta, Beremiz disse que tê-lo omitido pela simples razão de não conhece-lo, senão por uma citação, vaga, incerta e duvidosa. Entretanto, o príncipe enfatizou conhecê-lo e que teria grande prazer em recordá-lo, passando a seguir a narrar os fatos apresentados no enunciado do problema proposto. Conteúdos como divisibilidade, sequência numérica, sistemas de equações, por exemplo, podem ser trabalhados a partir da referida situação-problema, que também permite explorar diferentes estratégias do tipo: tentativa e erro; escrever informação relevante; experimentar dados ou dramatizar a situação; adivinhar (dar palpites) e testar; procurar por palavras ou frases-chave; fazer uma lista, tabela ou quadro organizado. Enfim, segundo Leitão e Fernandes (1977, p. 102 apud Siqueira Filho 1999, p. 63) [...] a forma como os alunos organizam e trabalham a informação, as estratégias usadas na abordagem do problema, a persistência em caminhos errados, a natureza dos erros que cometem, a reação a sugestões dadas apresentadas pelos colegas, são fatores relacionados com o comportamento dos alunos enquanto resolvem problemas. Nesse sentido e concebendo o professor como mediador do processo de ensino e de aprendizagem, apresentaremos a seguir duas soluções para o problema proposto, explorando as estratégias: tentativa e erro; elaboração de um quadro organizado; escrever uma equação. Solução 1 A possível resposta para o número total de moedas está entre 200 e 300. Podemos reduzir as possibilidades encontrando os números na forma 3k + 1, com k {67, 68, 69, 70, 71,..., 99}, formando assim a sequência (202, 205, 206,..., 298). Fazendo a simulação para cada valor da sequência chegamos à solução (QUADRO 2). A única possibilidade é o número Sequências 241, que satisfaz o problema. 202 205 208 ... 241 1º Marujo 205 = 204 + 1 208 = 207 + 1 241 = 240 + 1 201: 3 = 67 204: 3 = 68 207: 3 = 69 240: 3 = 80 1 marujo = 67 1º marujo = 68 1º marujo: 69 1º marujo = 80 Jogou ao mar: 1 Jogou ao mar: 1 Jogou ao mar: 1 Jogou ao mar: 1 Sobrou: 134 Sobrou: 136 Sobrou: 138 Sobrou: 160 134 = 133 + 1 136 = 135 + 1 138 = 137 + 1 160 = 159 + 1 133: 3 = ? (Não é 135: 3 = 45 137: 3 = ? (Não é 159: 3 = 53 divisível por 3) 3º Marujo 2º Marujo 202 = 201 + 1 2º marujo: 45 divisível por 3) 2º marujo: 53 Jogou ao mar: 1 Jogou ao mar: 1 Sobrou: 90 Sobrou: 106 90 = 89 + 1 106 = 105 + 1 89: 3 = ? (Não é 105: 3 = 35 divisível por 3) 3º marujo: 35 Jogou ao mar: 1 Sobrou: 70 Almoxarife 70 = 69 + 1 69: 3 = 23 Cada marujo: 23 Almoxarife: 1 Resposta: 1º Marujo: 80 + 23 = 103; 2º Marujo: 53 + 23 = 76; 3º Marujo: 35 + 23 = 58; almoxarife: 1; moedas jogadas ao mar: 3. Total de moedas: 241 QUADRO 2: ESTRATÉGIA DE SOLUÇÃO – PROBLEMA DOS TRÊS MARINHEIROS Solução 2 Chamemos de N o número total de moedas. O primeiro marinheiro retirou a parte que lhe cabia, digamos x1 moedas, e, tendo sobrado uma que ele atirou ao mar, temos que N 3x1 1. Restaram, portanto, N x1 1 moedas. Ou seja, restaram 2x1 moedas. O segundo marujo tendo retirado x 2 moedas de forma equânime, após atirar ao mar uma moeda, deixou-nos a conta 2 x1 3x2 1 . Restou, portanto, 2 x1 x2 1 , ou seja, 2x2 moedas na caixa do almoxarife. Chega o terceiro marinheiro que joga uma no mar e retira um terço das restantes, seja x3 moedas. Obtemos que 2x2 3x3 1 e que restam agora 2x2 x3 1 moedas, ou seja, 2x3 moedas na caixa. Eis que finalmente o almoxarife retira uma moeda para si e divide a quantidade encontrada na caixa por três; de maneira que cada marujo recebe x 4 moedas, para obtermos que 2x3 3x4 1 . Onde x 4 é a parte oficialmente recebida pelos marujos. Temos: N 3x1 1 2 x 3x 1 1 2 2 x2 3x3 1 [multiplique por 2] 2 x3 3x4 1 [multiplique por 3] N 3x1 1 2 x 3x 1 1 2 4 x2 6 x3 2 6 x3 9 x4 3 N 3x1 1 2 x1 3x2 1 [multiplique por 4] 4 x 9 x 5 [multiplique por 3] 4 2 N 3x1 1 8 x1 12 x2 4 12 x 27 x 15 4 2 N 3x1 1 [multiplique por 8] 8x1 27 x4 19 [multiplique por 3] 8N 24 x1 8 24 x1 81x4 57 Logo 8N 81x4 65 81x4 65 N 8 Lembre-se que 200 N 300 e que x 4 não pode ser par, pois 8N é par (ok?). Como x 4 deverá estar entre 18 e 29 resta-nos testar {19, 21, 23, 25, 27} o que nos leva a crer que x4 23 e que, portanto, x4 23 ; x3 35 ; x2 53 ; x1 80 e N 241 . O primeiro marujo recebeu x1 x4 103 ; o segundo marujo recebeu x2 x4 76 ; o terceiro marujo recebeu x3 x4 58 ; N x1 x2 x3 3x4 4 , logo, N 103 76 58 4 241 . Há, possivelmente, outros procedimentos para solucionar o problema em voga, assim como outros vários questionamentos que poderão ser levantados a fim de entender as escolhas feitas. Destacamos que o foco do nosso estudo é analisar tais procedimentos e não exclusivamente uma resposta final. Por fim, queremos ressaltar que o problema, ainda, oportuniza discutir princípios sobre honestidade e boa conduta a partir do comportamento a que se submeteram os marujos. 3. Percursos da Pesquisa 3.1. Natureza do Estudo Procurando ter o ambiente natural como fonte direta de dados; a preocupação com o processo muito maior do que com o produto; o significado que as pessoas dão as coisas como focos de atenção especial pelo pesquisador, delinearemos nossa pesquisa à luz da abordagem qualitativa (LUDKE & ANDRÉ apud BICUDO, 1999). Nesse sentido, tornase nosso interesse realizar um estudo de caso etnográfico, haja vista suas principais características, isto é, observação participante, entrevista intensiva e análise de documentos. De acordo com Fiorentini e Lorenzato (2012, p. 108) “[...] é uma estratégia que envolve não só a observação direta, mas todo um conjunto de técnicas metodológicas (incluindo entrevistas, consulta a materiais), pressupondo um grande envolvimento do pesquisador na situação estudada”. 3.2. Campo de pesquisa A pesquisa, após parecer favorável da direção escolar, será realizada na Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio “Nestor Gomes”, situada no bairro Nestor Gomes, município de São Mateus, norte do Estado do Espírito Santo. A escola recebe alunos das regiões adjacentes, e a maioria dos alunos mora na zona rural. Convém mencionar, que essa escola faz parte da trajetória acadêmica e profissional da pesquisadora, razões da sua escolha para campo de investigação. 3.3. Sujeitos da pesquisa O grupo amostral compreenderá alunos de uma turma, turno matutino, do 1º ano do Ensino Médio e a professora regente. Os alunos que se dispuserem a participar, após a apresentação dos objetivos da pesquisa, farão parte das Oficinas de Resolução de Problemas, que ocorrerão no contra fluxo do seu turno de estudo. 3.4. Procedimentos para coleta de dados Os dados serão coletados por meio de observação participante, entrevistas semiestruturadas e Oficinas de Resolução de Problemas. Antes, porém, intentamos realizar um projeto piloto com o objetivo de elaborar e analisar a estrutura da Oficina de Resolução de Problemas, adequando horários, atividades, entre outras coisas, por ventura surgidas. 3.5. Análise dos dados e discussão dos resultados A partir do projeto piloto, o qual prevê a observação participante, a realização de entrevistas e Oficinas, teremos uma ideia mais ampla de como processar os dados coletados. De acordo com a fundamentação teórica e abordagem metodológica do estudo em questão, utilizaremos algumas técnicas, tais como, análise de conteúdo, classificação e categorização. Segundo Marconi e Lakatos (2007, p.129) a análise dos conteúdos “é uma técnica que visa aos produtos da ação humana, estando voltada para o estudo das ideias e não das palavras em si”, de outro modo, descreve sistematicamente o conteúdo das comunicações. O processo de classificação, ainda conforme as autoras, organiza ou ordena uma série de dados em diferentes classes, em uma ou mais variáveis, dividindo o universo em partes. Em seguida, apoiando-nos em FIORENTINI e LORENZATO (2012), os dados serão categorizados, organizados em classes ou conjuntos que contenham elementos ou características comuns. 4. Referências DINIZ, M, I. Resolução de Problemas e Comunicação. In: SMOLE, K, S; DINIZ, M, I. (Org.). Ler, escrever e resolver problemas: Habilidades básicas para aprender matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001. p. 87-97. FIORENTINI, D; LORENZATO, S. Investigação em educação matemática: percursos teóricos e metodológicos. 3.ed. São Paulo: Autores Associados, 2012. MARCONI, Marina de Andrade; LAKATOS, Eva Maria. Técnicas de Pesquisa: planejamento e execução de pesquisas, amostragens e técnicas de pesquisas, elaboração e análise de dados. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2007. ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M.A.V. (Org.) Pesquisa em Educação Matemática: Concepções & Perspectivas. São Paulo: Editora UNESP, 1999. p. 199-218. REDLING, J.P. A Metodologia de Resolução de Problemas: concepções e práticas pedagógicas de professores de matemática do ensino fundamental. Dissertação (Mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Ciências, Bauru, 2011. SILVA Circe Mary da Silva; SIQUEIRA FILHO, Moysés Gonçalves. Matemática: Resolução de Problemas. Brasília: Líber Livro, 2011. SIQUEIRA FILHO, Moysés Gonçalves. (RE)criando modos de ver e fazer Matemática: as estratégias utilizadas por alunos adultos na Resolução de Problemas. 1999. 213f. Dissertação (Mestrado em Educação) - PPGE-UFES, Vitória, 1999. SIQUEIRA FILHO, Moysés Gonçalves. Resenha do Livro O Homem que Calculava. In: Revista de História da Matemática para Professores Ano 1 – n. 0, março 2013. TAHAN, M. O Homem que Calculava. 72º ed. Rio de Janeiro: Record, 2008