INSTRUÇÕES PARA PUBLICAÇÃO NOS ANAIS DO

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8º Congresso Brasileiro de Engenharia de Fabricação
18 a 22 de maio de 2015, Salvador, Bahia, Brasil
Copyright © 2015 ABCM
GERAÇÃO DE TRAJETÓRIAS TROCOIDAIS E ESPIRAIS PARA O
FRESAMENTO DE CAVIDADES 2,5D COM MÚLTIPLAS FERRAMENTAS
David Manuel Ochoa González1, [email protected]
João Carlos Espíndola Ferreira1, [email protected]
1
Universidade Federal de Santa Catarina, Dep. Engenharia Mecânica, Florianópolis, SC, 88040-900, Brasil
Resumo: No processo de fresamento de cavidades com trajetórias 2,5 D em materiais duros o incremento
momentâneo do ângulo de incidência que acontece nos cantos e regiões estreitas pode produzir danos nos gumes da
ferramenta. Diversas modificações no processo e nas trajetórias têm sido pesquisadas para evitar este fenômeno,
decorrente da utilização de trajetórias paralelas ao contorno. Uma estratégia que tem sido utilizada na usinagem de
cavidades consiste na trajetória trocoidal, a qual permite o controle do ângulo de incidência máximo ao longo de toda
a trajetória. Este artigo descreve um programa computacional para a geração de trajetórias trocoidais e espirais para
a usinagem em 2,5D, denominado OC2PATH, e os resultados de testes de fresamento efetuados para comparar as
trajetórias obtidas com o método proposto com trajetórias geradas por um software comercial. Considera-se neste
trabalho que uma cavidade pode ser usinada por diferentes fresas, começando com uma fresa com maior diâmetro, e
fresas com menores diâmetros são usadas para remover o material que não pode ser removido pela fresa maior. Para
o cálculo das trajetórias o algoritmo proposto calcula inicialmente o diagrama do eixo médio partindo de um ou mais
elementos que compõem o perfil da cavidade. Utilizando o diagrama do eixo médio o volume a ser usinado é
subdividido conforme a sequência de ferramentas que serão utilizadas. Os pontos que compõem o diagrama são
utilizados como centros dos círculos que formam a trajetória. Visando diminuir o comprimento total da trajetória, são
identificados os segmentos desses círculos que não removeram material utilizando-se uma simulação baseada em
pixels, sendo substituídos por segmentos retos que são conectados, segmentos esses que serão percorridos pela
ferramenta em avanço rápido. De posse dos pontos da trajetória gera-se um programa em código G. Com os
programas gerados pelo método proposto foram feitos testes de usinagem em uma peça em aço AISI P20 contendo
uma cavidade de fundo plano com protuberâncias, bem como testes usando-se uma trajetória gerada por um software
comercial. As trajetórias foram comparadas mediante uma análise dos tempos de usinagem e também por uma análise
da demanda de potência do fuso principal ao longo do processo. Conclui-se dessas análises que as trajetórias geradas
pelo método proposto resultam em uma menor quantidade de pontos com elevada demanda de potência, porém as
trajetórias são mais longas, levando-se aproximadamente 30% mais tempo em comparação com a trajetória paralela
ao contorno.
Palavras-chave: fresamento, trocoidal, trajetória, cavidade, CAM.
1. INTRODUÇÃO
Para a fabricação de cavidades o processo de fresamento 2,5D é um dos processos mais utilizados. Nesse processo
as informações do projeto da cavidade são utilizadas para obter em diferentes níveis ou patamares (correspondentes a
uma altura determinada na coordenada z) uma série de polígonos que limitam a área correspondente ao volume que
precisa ser removido. Com eles é gerada uma trajetória a ser utilizada durante o processo para a remoção do material.
Devido à complexidade dos cálculos para a geração das trajetórias este processo é normalmente efetuado por programas
computacionais CAM (Computer-Aided Manufacturing – Manufatura Assistida por Computador).
Utilizam-se diversas estratégias para a geração das trajetórias, sendo as mais comuns as trajetórias paralelas a uma
direção (ou ziguezague) e as paralelas ao contorno (conhecidas também pelo termo em inglês offset). Este último tipo de
trajetória permite minimizar a distância percorrida pela ferramenta e, portanto, o tempo da operação. Porém, são
produzidas nas trajetórias deste tipo variações significativas dos ângulos de incidência (cutter swept angle em inglês)
(Choy e Chan, 2003), particularmente nos cantos e nos segmentos, com uma mudança de direção com um raio de
curvatura pequeno. Esta variação apresenta-se como um problema no fresamento de materiais duros (por exemplo aços
para moldes ou ligas de alta dureza) ou em processos de fresamento de alta velocidade (HSM).
Visando diminuir as consequências destas variações, alguns pesquisadores têm proposto modificações às trajetórias
ou variações dos parâmetros de corte nesses segmentos problemáticos. As principais são: a diminuição da velocidade de
avanço nessas regiões críticas (Bae et al., 2003; Wang e Cao, 2012), a inserção de segmentos adicionais nos cantos
(Choy e Chan, 2003).
Além das soluções anteriores, tem sido proposta a utilização de outras estratégias para a geração das trajetórias,
dentre as quais tem-se as trajetórias espirais (Held e Spielberger, 2009) e as trocoidais (Otkur e Lazoglu, 2007). Esta
última estratégia propõe um movimento composto combinando trajetórias circulares com um deslocamento do centro
desses círculos (Fig. 1).
Figura 1. Trajetória trocoidal.
Diversos métodos para o cálculo e geração de trajetórias trocoidais foram apresentados por Otkur e Lazoglu (2007),
por Rauch, Duc e Hascoet (2009) e por Ibaraki, Yamaji e Matsubara (2010). Ferreira e Ochoa (2013) apresentaram um
método para a geração de trajetórias espirais e trocoidais combinadas. Com o intuito de avaliar o método implementado
em (Ferreira e Ochoa, 2013), foram realizados testes de fresamento comparando as trajetórias com as geradas com um
software comercial para o fresamento da mesma cavidade usando também uma trajetória que combina a estratégia
paralela ao contorno com segmentos trocoidais. Foram coletados e analisados dados detalhados dos tempos das
operações assim como a demanda da potência do fuso principal. Os resultados dessas análises são apresentados neste
trabalho.
2. DESCRIÇÃO DA TRAJETÓRIA TROCOIDAL UTILIZADA
A trajetória trocoidal é formada pela combinação de um movimento circular e de um movimento de deslocamento
do centro utilizado para gerar esse movimento. Segundo Rauch, Duc e Hascoet (2009) os movimentos do centro podem
acontecer ao mesmo tempo em que acontecem os movimentos circulares (gerando uma trajetória complexa) ou
alternadamente produzindo apenas segmentos circulares conectados por movimentos de reposicionamento. No
algoritmo proposto utilizam-se movimentações alternadas, o que permite a utilização de interpolações lineares e
circulares no programa, mas requerendo movimentações de reposicionamento ao final de cada segmento de corte.
No caso da trajetória utilizada, os centros da trajetória trocoidal foram localizados sempre em pontos que permitem
desenhar um círculo inscrito à cavidade que toca suas fronteiras em pelo menos dois lugares. O conjunto desses pontos
que foram utilizados como centros formam o diagrama de eixo médio, o qual é similar ao diagrama de Voronoi (Lima e
Silveira, 2013). Um exemplo de uma geometria e o diagrama de eixo médio é apresentado na Fig. 2(a). A utilização
desses pontos como centro permite que sejam utilizados sempre os raios maiores para os segmentos circulares da
trajetória, bem como a remoção de todo o material da cavidade.
Figura 2. (a) Diagrama do eixo médio, e (b) gráfico do raio do círculo inscrito para uma cavidade.
Além do diagrama do eixo médio é calculado o gráfico do raio do círculo inscrito, no qual os valores são
apresentados. Esse gráfico, proposto por Chen e Fu (2011), serve para a segmentação da área segundo o diâmetro das
ferramentas e para a seleção das ferramentas. Nele são apresentados no eixo das abscissas um somatório da distância ao
longo do diagrama do eixo médio (isto é, a somatória das distâncias entre os pontos que o compõem), e no eixo das
ordenadas tem-se o raio do círculo inscrito maior que pode ser desenhado para cada ponto. Um exemplo desse diagrama
é apresentado na Fig. 2(b).
Para a construção da trajetória, começa-se com os pontos aos que correspondem círculos inscritos de maior raio
para depois deslocar o centro enquanto o raio é diminuído, até chegar aos cantos. Para que a trajetória continue a ser
trocoidal foi utilizado um limite mínimo para o tamanho dos espaços usinados, sendo 1,4 vezes maior que o raio da
ferramenta (Fig. 3).
Figura 3. Raio mínimo considerado para a geração da trajetória trocoidal.
2.1. Movimentações de entrada e o uso da trajetória espiral em locais amplos
Muitas das fresas utilizadas para o desbaste não permitem um avanço na direção z ou têm alguma limitação do
comprimento ou velocidade para um fresamento nessa direção. Em consequência é necessária a utilização de uma
movimentação que combine deslocamentos em dois ou três eixos da máquina para atingir o nível z desejado nos pontos
onde a trajetória começa. Com esse objetivo são utilizadas entradas em rampa, em rampa sobre a trajetória e helicoidais.
Neste trabalho foi utilizada uma entrada helicoidal combinando uma interpolação circular nos eixos x, y e uma
interpolação linear no eixo z.
O raio utilizado para as movimentações helicoidais de entrada é limitado por: (a) um valor máximo (correspondente
ao mesmo valor de D), pois valores maiores deixariam material no centro da helicoide, e (b) um valor mínimo que
dependente da geometria da ferramenta e de seus gumes. Em decorrência, quando utilizada numa cavidade com uma
área ampla, pode ser necessário remover uma área maior. Neste caso foi utilizada uma trajetória em espiral circular,
formada por arcos de círculo com raios cada vez maiores, até atingir o tamanho necessário.
2.2. Redução do comprimento da trajetória utilizando um método baseado em pixels
Na Fig. 1 nota-se que no caso apresentado não é necessário fazer o movimento circular completo para a remoção
completa do material, sendo desnecessário que a ferramenta complete o círculo do lado direto onde o material foi
removido pelas movimentações anteriores. Visando gerar trajetórias mais curtas, e em decorrência tempos de operação
menores, é utilizada para o cálculo das trajetórias uma avaliação do material restante baseada em pixels: partindo de
uma série de valores equidistantes das coordenadas x e y gera-se uma matriz onde cada ponto pode ter somente os
valores “Não Usinado” e “Usinado”, limitando os segmentos circulares só àquelas regiões onde será removido material.
Um exemplo deste processo é apresentado na Fig. 4.
Figura 4. Avaliação do material restante usando um método baseado em pixels.
2.3. Segmentação da área segundo o diâmetro da ferramenta e seleção da sequência das ferramentas
Visando diminuir ainda mais os tempos de usinagem foram utilizadas ferramentas de diferentes diâmetros para a
operação. Para que a utilização de diversas ferramentas seja factível precisa-se primeiramente segmentar a área a ser
usinada segundo os diferentes diâmetros, bem como selecionar dentre ferramentas de diversos tamanhos para minimizar
o tempo da operação.
Para o primeiro problema utiliza-se o gráfico do raio do círculo inscrito. Nele são desenhadas linhas horizontais que
dividem o diagrama segundo os diâmetros das ferramentas multiplicados por 1,4, como mencionado anteriormente. Os
pontos correspondentes a cada ferramenta (isto é, aqueles que ficam sobre a linha dessa ferramenta, mas abaixo da linha
seguinte) correspondem aos centros dos círculos que serão usinados com essa ferramenta. Na Fig. 5 é mostrado um
exemplo desta divisão.
Figura 5. Segmentação da área usinada utilizando o gráfico do raio do círculo inscrito.
Para o problema da seleção das ferramentas é calculado o tempo de operação para as combinações possíveis. Dentre
eles é selecionada aquela que com menor tempo. Na Tab. 1 são apresentadas as ferramentas que foram avaliadas, assim
como seus principais parâmetros de operação. Dentre as combinações possíveis são apresentadas na Fig. 6 as opções
que permitem obter os menores tempos.
Avanço por
Dente
Número de
gumes
Velocidade
do fuso
Vc
fz
Zc
N
(mm)
10
12
14
16
20
22
25
28
30
32
40
(m/min)
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
120
(mm/d)
0,07
0,10
0,10
0,15
0,15
0,15
0,15
0,15
0,15
0,15
0,15
1
1
1
2
3
3
3
3
4
4
5
(RPM)
3820
3183
2728
2387
1910
1736
1528
1364
1273
1194
955
Âng. Máx. de
Rampa
Velocidade
de corte
D
Velocidade
de avanço
Diâmetro da
Ferramenta
Tabela 1. Parâmetros de corte utilizados com ferramentas de diferentes diâmetros.
Vf
Hel.
(mm/min)
267
107
318
127
273
109
716
286
859
344
781
313
688
275
614
246
764
306
716
286
716
286
x,y
α°
z
27
32
27
72
86
78
69
61
76
72
72
(graus)
-*
-*
-*
3
5
2,5
2,5
1,5
1,5
1,5
0,7
*
O fabricante da ferramenta não recomenda fazer entrada em rampa ou helicoidal com esta ferramenta.
Figura 6. Cálculo dos tempos de usinagem com diferentes sequências de tamanhos de ferramentas.
2.4. Operação de pré-acabamento
Decorrente da utilização da trajetória trocoidal proposta ocorrem alguns erros geométricos perto das paredes da
cavidade. Isto é consequência da utilização de segmentos circulares para fazer o corte, enquanto a parede da cavidade
tem segmentos retos como apresentado na Fig. 7. Para remover o material restante foi necessário fazer uma operação
extra de pré-acabamento.
Figura 7. Volume não usinado pela trajetória trocoidal utilizada.
3. MATERIAIS E MÉTODOS USADOS PARA OS TESTES
O método apresentado foi implementado na linguagem Octave (2015), a qual é uma linguagem interpretada open
source de alto nível, destinada principalmente para cálculos numéricos.
Usando as trajetórias obtidas foram realizados testes de fresamento em uma máquina Charles MVC-955 com
controle CNC Siemens Sinumerik 840Di. As principais características da máquina utilizada são mostradas na Tab. 2.
Tabela 2. Especificações da Fresadora MVC-955.
Especificação
Curso da mesa (eixos X e Y)
Curso do cabeçote (eixo Z)
Rotação máxima do fuso
Potência do motor principal
Avanço rápido (eixos X e Y)
Avanço rápido (eixo Z)
Valor
900x550 mm
530 mm
8000 RPM
7,5 kW
20 m/min
15 m/min
O material usinado foi aço P20 com dureza de 31 Rockwell C (HRC). Foram utilizadas ferramentas de metal-duro
da família MEC da fabricante Kyocera, com uma profundidade de corte de 0,5 mm para cada trajetória, e diâmetros de
40mm, 20mm e 10mm. Durante o processo foi utilizado fluido refrigerante Ultracut 370 plus diluído em uma proporção
40:1 e aplicado mediante jato direto.
Durante o processo de usinagem foram filmadas as informações apresentadas na tela do CNC da máquina, e a
análise desse vídeo permitiu identificar os valores de potência elétrica consumida pelo fuso principal (variável load) ao
longo de todo o processo. Nessa análise foram separados os tempos totais conforme o tipo de movimento
(reposicionamento, corte, movimentações de entrada), e para cada um desses movimentos foram determinados os
valores de potência elétrica.
4. RESULTADOS DOS TESTES
As trajetórias geradas foram utilizadas para o fresamento de uma cavidade com duas protuberâncias (também
chamadas de ilhas), a qual foi usinada também utilizando-se uma trajetória gerada com um software comercial. As
trajetórias foram repetidas várias vezes para verificar a consistência dos resultados obtidos nas medições, até se alcançar
a profundidade de 20mm. Na Fig. 8 é mostrada uma fotografia das cavidades usinadas.
Figura 8. Cavidades obtidas com o fresamento: do lado esquerdo utilizando o método proposto (OC2PATH), e
do direito o software comercial.
4.1. Análise detalhado dos tempos de fresamento
Os tempos de usinagem foram: para o caso da trajetória gerada com o método proposto de 804,6 segundos,
enquanto que para o software comercial 609,1 segundos. Os tempos de processamento foram divididos segundo o tipo
de movimentação, e os diferentes tipos de movimentações consideradas foram:
 RPOS: Tempos utilizados para reposicionamento rápido da ferramenta.
 LINE: Tempos utilizados em movimentações de corte que formam linhas retas.
 CW: Tempos utilizados em movimentações de corte circulares, que ocorrem no sentido horário.
 CCW: Tempos utilizados em movimentações de corte circulares, que ocorrem no sentido anti-horário.
 LINZ: Movimentações que ocorrem seguindo somente o eixo Z. São as movimentações que ocorrem depois de
um afastamento e reposicionamento, quando a ferramenta é movida para uma posição em que não há material.
Por motivo de segurança essas movimentações são lentas, mesmo não ocorrendo remoção de material.
 HELI: Movimentações simultâneas dos três eixos, compostas de uma interpolação circular nos eixos x,y e um
avanço constante no eixo z. Esta movimentação foi utilizada para a ferramenta entrar ao material.
 PACB: Operação de pré-acabamento descrita na secção 2.4.
Na Fig. 9 são mostrados esses tempos para cada uma das trajetórias.
Figura 9. Comparação dos tempos de operação para as trajetórias geradas.
4.2. Comparação da utilização de potência
Para cada uma das ferramentas utilizadas foi registrada a utilização da potência da máquina. A potência de corte
está associada às características do material, às características da ferramenta, além dos parâmetros do processo. Porém,
tratando-se neste caso da mesma ferramenta e material, e mantendo-se praticamente os mesmos valores para os
parâmetros, pode-se estimar que as variações correspondem às variações no ângulo de incidência. Os valores máximos
para cada trajetória e ferramenta encontram-se na Tab. 3.
Tabela 3. Comparação da potência para as diferentes trajetórias geradas.
Tipo de operação
Potência usada sem usinagem
Entrada
Espiral
Linear (LINE)
Trocoidal (CCW)
D=40mm
OC2PATH
Comercial
5%
5%
12% máximo
17% máximo
9% máximo
--14% máximo
10% Máximo
9% máximo
D=20mm
OC2PATH
Comercial
4%
4%
6% máximo
7% máximo
----6% máximo
6% máximo
Na Fig. 10 são apresentados gráficos da demanda de potência elétrica segundo foram reportadas pelo CNC da
máquina para a ferramenta de 40 mm para o OC2PATH e para o software comercial.
Figura 10. Demanda de potência elétrica para as trajetórias geradas para ferramenta com diâmetro de 40mm.
Na Fig. 11 são apresentados os gráficos de demanda de potência para a ferramenta de diâmetro D=20 mm para o
OC2PATH e para o software comercial.
Durante a utilização da ferramenta de diâmetro igual a 10mm também foi registrada a demanda da potência. Porém,
o valor apresentado na tela do CNC da máquina praticamente não mudou ao longo de toda a operação.
Figura 11. Demanda de potência elétrica para as trajetórias geradas para ferramenta com diâmetro de 20mm.
5. CONCLUSÕES
A partir da análise dos tempos de usinagem pode-se concluir que o método de geração de trajetórias OC2PATH
produz trajetórias que levam aproximadamente 30% mais tempo para a usinagem em comparação com a trajetória
gerada pelo software comercial. Por outro lado, o consumo de potência resultante do uso das trajetórias geradas com o
OC2PATH leva a uma menor quantidade de pontos com elevada demanda de potência, resultante de menores ângulos
de incidência da ferramenta. Isto facilita a remoção dos cavacos e reduz o contato da ferramenta com o material da
peça, o que deverá levar a uma vida mais longa da ferramenta.
Como futuro trabalho estará sendo feita uma análise da influência dessas trajetórias sobre a vida da ferramenta e
sobre o acabamento da cavidade.
6. AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pelo
financiamento.
7. REFERÊNCIAS
Bae, S.H., Ko, K., Kim, B.H. e Choi, B.K., 2003, “Automatic feedrate adjustment for pocket machining”, ComputerAided Design, Vol. 35, No. 5, pp. 495–500.
Chen, Z.C. e Fu, Q., 2011, “An optimal approach to multiple tool selection and their numerical control path generation
for aggressive rough machining of pockets with free-form boundaries”, Computer-Aided Design, Vol. 43, No. 6,
pp. 651–663.
Choy, H. e Chan, K., 2003, “Modeling cutter swept angle at cornering cut”, International Journal of CAD/CAM, Vol. 3,
No. 1, pp. 1–12.
Ferreira, J.C.E. e Ochoa, D.M., 2013, “A method for generating trochoidal tool paths for 21/2D pocket milling process
planning with multiple tools”, Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part B: Journal of
Engineering Manufacture, Vol. 227, No. 9, pp. 1287–1298.
Held, M. e Spielberger, C., 2009, “A smooth spiral tool path for high speed machining of 2D pockets”, Computer-Aided
Design, Vol. 41, No. 7, pp. 539–550.
Ibaraki, S., Yamaji, I. e Matsubara, A., 2010, “On the removal of critical cutting regions by trochoidal grooving”,
Precision Engineering, Vol. 34, No. 3, pp. 467–473.
Lima, D.O. de, Silveira, J.L.L. da, 2013, “Geração da trajetória no fresamento CNC utilizando diagrama de Voronoi”.
7º Congresso Brasileiro de Engenharia de Fabricação, 2013, São Paulo. Anais do 7º COBEF. ABCM.
Octave, 2015, “GNU Octave”, http://www.gnu.org/software/octave/. Último acesso: 14/1/2015
Otkur, M. e Lazoglu, I., 2007, “Trochoidal milling”, International Journal of Machine Tools and Manufacture, Vol. 47,
No. 9, pp. 1324–1332.
Rauch, M., Duc, E. e Hascoet, J.-Y., 2009, “Improving trochoidal tool paths generation and implementation using
process constraints modeling”, International Journal of Machine Tools and Manufacture, Vol. 49, No. 5, pp. 375–
383.
Wang, L. e Cao, J., 2012, “A look-ahead and adaptive speed control algorithm for high-speed CNC equipment”,
International Journal of Advanced Manufacturing Technology, Vol. 63, No. 5-8, pp. 705–717.
8. DIREITOS AUTORAIS
Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo do material impresso incluído no seu trabalho.
GENERATION OF TROCHOIDAL TOOL PATHS FOR MILLING 2.5D
POCKETS WITH MULTIPLE CUTTING TOOLS
David Manuel Ochoa González1, [email protected]
João Carlos Espíndola Ferreira1, [email protected]
1
Universidade Federal de Santa Catarina, Dep. Engenharia Mecânica, Florianópolis, SC, 88040-900, Brazil
Abstract: When milling 2.5D pockets in components with high material hardness, tool paths such as contour parallel
cause a momentary increase in the angle of incidence takes place in corners and narrow regions, which can lead to
damage of the cutting edge of the tool. Much research on modifications to the process and the tool path can be found in
the literature in order to prevent this occurrence. One strategy that has been applied in pocket machining is the use of
trochoidal tool paths, which enables the control of the maximum angle of incidence along the entire trajectory. This
paper describes a computer program for generating trochoidal and spiral tool paths for machining 2.5D pockets,
called OC2PATH, and the results of tests performed applying the proposed tool path were compared with tool paths
generated by a commercial software. It is considered in this work that a pocket can be machined by cutters with
different diameters, starting with a larger diameter cutter, and cutters with smaller diameters remove material that
cannot be removed by the larger cutter. For the calculation of the tool path the algorithm initially calculates the
diagram of medial axis starting with one or more elements that compose the profile of the pocket. Using the diagram of
medial axis the volume to be machined is divided according to the sequence of tools to be used. The points that
compose the diagram are used as centers of circles that form the path. In order to reduce the total length of the tool
path, segments of these circles that did not remove material are identified through a simulation based on pixels, being
replaced by straight line segments that are connected, which will be traversed by the tool at rapid feed rate. With the
points along the tool path the NC part program (G code) is generated. With the programs generated by the proposed
method machining tests were performed in an AISI P20 steel component having a pocket with a flat bottom with
protrusions, as well as tests using a tool path generated by a commercial software. The tool paths were compared by
an analysis of machining times and also an analysis of the power demand of the main spindle throughout the process.
The conclusion is that the tool paths generated by the proposed method result in a smaller amount of points with high
power demand. However, paths generated by the proposed method take approximately 30% longer compared with the
contour parallel path.
Keywords: milling, trochoidal, trajectory, pocket, CAM.
RESPONSIBILITY NOTICE
The authors are the only responsible for the printed material included in this paper.

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