Gabarito da lista de exercício 3

Termodinâmica II - FMT 259
Diurno e Noturno, primeiro semestre de 2009
Lista 3
GABARITO
(revisado em 22/04/10)
1. Se as moléculas contidas em 1,0 g de água fossem distribuídas uniformemente sobre a superfície da Terra,
quantas moléculas haveria em 1,0 cm2 da superfície do Planeta?
Resposta:
A massa molar da água é mH2 O = 18 g/mol, logo 1 g de água corresponde a 1/18 moles, o que dá 3, 34×1022
moléculas. O raio da Terra é aproximadamente RT = 6 700 km, assumindo um formato esférico para terra
então sua área de superfície é
A = 4 π RT2 = 5, 64 × 1018 cm2 ,
(1)
Dividindo o número de moléculas por essa área teremos 6 000 moléculas por cm2 aproximadamente.
2. Calcule as velocidades quadráticas médias das moléculas de Hélio e de Argônio a 40o C, a partir da
velocidade quadrática média das moléculas do oxigênio, que é 460 m/s a 0,0 o C. O peso molecular do
Oxigênio é 32 g/mol, o do argônio é 40 g/mol e o do hélio 4 g/mol.
Resposta:
Para cada grau de liberdade (ou termo quadrático na expressão da energia) temos uma energia de 1/2 kB T
(teorema da equipartição da energia). Portanto a energia cinética média de translação de uma molécula é
dada por:
3
1
m hv 2 i = kB T,
2
2
e a velocidade quadrática média das partículas é dada por:
√
vqm =
3 kB T
.
m
(2)
À mesma temperatura, duas partículas com massas diferentes m1 e m2 tem a mesma energia cinética média
de translação e vão ter velocidades quadráticas médias v1 e v2 respectivamente. Utilizando a equação (2)
obtemos a relação
√
m2
v1 = v2
.
(3)
m1
Partículas de mesmo tipo em temperaturas diferentes Ta e Tb , terão velocidades respectivamente va e vb .
Essas grandezas também podem ser relacionadas pela expressão da velocidade quadrática média (2) de
forma que
√
va = vb
Ta
.
Tb
Primeiramente, calculamos a vqm do O2 a 40o C:
√
vO2 ,40o C = vO2 ,0o C
313 K
= 492 m/s.
273 K
Agora podemos calcular a velocidade quadrática média do Hélio e do Argônio, a 40o C, tal que
1
(4)
√
vHe = vO2 ,40o C
32 g
= 1 392 m/s,
4g
√
vAr = vO2 ,40o C
32 g
= 440 m/s.
40 g
3. A temperatura na superfície da Lua chega a atingir 127o C. Calcule a velocidade quadrática média de
moléculas de hidrogênio a essa temperatura e compare-a com a velocidade de escape da superfície da Lua.
Que conclusão pode ser tirada dessa comparação 1 ?
Resposta:
Pelo teorema da equipartição de energia podemos estimar a velocidade quadrática média das partículas de
moléculas de hidrogênio tal que
3
1
m hv 2 i = kB T,
2
2
√
vqm =
√
hv 2 i =
3 kB T
,
m
a massa de uma molécula de H2 é 3, 32 × 10−27 kg, então
vqm ≈ 2233 m/s.
A velocidade de escape vesc da Lua é obtida através de
1
m vesc = m gL RL ,
2
vesc =
√
2 gL RL ,
onde gL = 1, 67 m/s2 é a gravidade na superfície da Lua e RL = 1, 74 × 106 m é o raio médio da Lua, então
vesc ≈ 2 410 m/s.
Como critério de comparação, a velocidade de escape da terra é ∼ 11 170 m/s.
Comprovamos que vqm < vesc . Portanto, de acordo com nossos cálculos, há moléculas de hidrogênio
na superfície da Lua. Na verdade existem 23% de Hidrogênio na atmosfera da lua. Sim, a Lua possue
atmosfera. E a atmosfera lunar é composta por outros elementos além de Hidrogênio, tais como: Hélio
25%, Neônio ou Néon 25%, Argônio ou Árgon e 20% de Metano, entre outros.
1
A velocidade de escape é a velocidade mínima necessária para que um objeto, lançado verticalmente para cima, escape do
campo gravitacional de um corpo celeste, como a Terra, ou seja, para que continue a subir indenidamente, sem nunca retornar
à superfície. Você pode recordar como a velocidade de escape pode ser calculada dando uma olhada em um livro de mecânica, por
exemplo o volume 1 do livro
astronômica.
Curso de física básica,
H. Moysés Nusseinsveig, cap.
2
7.5,
Energia potencial gravitacional na escala
4. Jean Perrin é um físico-químico francês, que cou famoso por realizar, em 1908, experiências que conrmaram as previsões de Einstein para o movimento browniano e determinaram com precisão o número
de Avogadro. Considere uma partícula esférica de 0,5 µm de raio e densidade 1,2 g/cm3 , como as que
foram utilizadas por Jean Perrin. Uma tal partícula, em suspensão num líquido, adquire um movimento
de agitação térmica que satisfaz à lei de equipartição de energia. De acordo com essa lei, qual seria a
velocidade quadrática média da partícula em suspensão à temperatura de 27o C?
Resposta:
O enunciado fala que as partículas estão em suspensão num líquido. Isso sugere que as partículas estão
restritas a se moverem na superfície desse líquido. Nessa situação, essas partículas tem apenas dois graus de
liberdade translacionais. Pode-se ainda interpretar "partículas em suspensão" como moléculas diluídas em
um soluto, sendo assim as moléculas são livres para se moverem livremente em três dimensões. Portanto,
as moléculas tem três graus de liberdade translacionais.
Vamos generalizar esse problema e assumir que as partículas imersas no líquido possuam q graus de liberdade translacionais. Pelo teorema da equipartição da energia podemos escrever a energia cinética média
das partículas como
1
1
m hv 2 i = q kB T.
2
2
Portanto
√
q kB T
.
m
vqm =
(5)
Considerando que a partícula tem formato esférico, com raio r = 0, 5 µm e densidade ρ = 1, 2 × 103 kg/m3 ,
a massa de uma partícula é dada por m = ρ 4 π r3 /3; portanto a expressão (5) ca
√
vqm =
3 q kB T
,
4 ρ π r3
(6)
na situação em que q = 2 obtemos
vqm = 3, 6 × 10−3 m/s, ou seja, da ordem de 0,36 cm/s.
Já na situação em que q = 3 obtemos
vqm = 4, 4 × 10−3 m/s, ou seja, da ordem de 0,44 cm/s.
Para que a velocidade fosse da ordem de grandeza da resposta do Moysés (1, 4 cm/s), o raio deveria ser
metade do fornecido no enunciado.
5. A lei de Dalton arma que, em uma mistura de gases que não interagem quimicamente, a pressão que
cada constituinte exerce, em uma dada temperatura, é a mesma que ele exerceria se ocupasse sozinho o
recipiente; e ainda que a pressão total é dada pela soma das pressões parciais de cada gás. Deduza essa lei
a partir da teoria cinética (Parta da equação P = 13 ρ < v 2 >).
Resposta:
Vimos em sala que a pressão total que um gás do tipo A exerce nas paredes de um reservatório é dada por
PA =
∑
1
1
mA
ni vi2 = mA nA hv 2 i
3
3
i
onde mA é massa das partículas constituintes do gás A e nA é a densidade de moléculas do tipo A.
Se estivermos lidando com uma mistura de vários gases a pressão total será
P =
1
ρ hv 2 i,
3
onde a densidade ρ = (NA mA + NB mB + NC mC + . . .)/V = (nA mA + nB mB + nC mC + . . .). Ni é o
número de moléculas do tipo i e ni = Ni /V a densidade de moléculas do tipo i. Temos então
3
P =
1
(nA mA + nB mB + nC mC + . . .) hv 2 i.
3
Rearranjando os termos teremos
(
P =
)
1
mA nA hv 2 i +
3
(
)
1
mB nB hv 2 i +
3
(
)
1
mC nC hv 2 i + . . . ,
3
portanto
P = PA + PB + PC + . . . ,
onde Pi = 13 mi ni hv 2 i é a pressão que o gás i exerceria se ocupasse sozinho o volume V, como prevê a lei
de Dalton das pressões parciais.
6. A lei de Avogadro estabelece que, sob as mesmas condições de temperatura e pressão, volumes iguais
de diferentes gases contém o mesmo número de moléculas. Como essa lei pode ser explicada pela teoria
cinética?
Resposta:
Lembrando que n = N/V , teremos
P =
1
m n hv 2 i
3
=⇒
2N
P
P
=
=
.
3V
hEc i
m hv 2 i/2
Como, no equilíbrio térmico, a energia cinética média das moléculas de dois gases A e B é a mesma, ou
seja,
1
1
2
2
mA hvA
i = mB hvB
i,
2
2
Então, para dois gases sob as mesmas condições de temperatura e pressão teremos
2 NA
P
P
2 NB
=
=
=
.
2
2
3 VA
3 VB
mA hvA i/2
mB hvB i/2
Se VA = VB então
2
2
NA = N B
3
3
=⇒
N A = NB .
Ou seja, nas mesmas condições de temperatura e pressão volumes iguais de dois gases quaisquer contém o
mesmo número de moléculas.
7. Um gás é formado de moléculas diatômicas com momento de inércia I = 6× 10−39 g.cm2 , calculado em
relação ao eixo perpendicular à linha que une os centros dos dois átomos que constituem a molécula.
Conhecendo a lei da equipartição de energia, calcule a velocidade de rotação quadrática média de uma
molécula do gás em torno desse eixo, nas condições normais de temperatura e pressão.
Resposta:
A energia cinética de rotação dessa molécula possuem dois termos quadráticos da velocidade de rotação.
Pela lei da equipartição de energia cada um desses termos contribui com 1/2 kB T para a energia interna
do sistema. Como estamos interessados na velocidade de rotação quadrática média em torno de um desses
eixo teremos
4
1
1
I hω 2 i = kB T,
2
2
√
ωqm =
√
hω 2 i =
kB T
I
Substituindo I = 6 × 10−46 kg . m2 e T = 273, 15 K chegamos em ωqm = 2, 5 × 1012 rad/s.
8. A massa de uma molécula de H2 é 3,32 × 10−24 g. Se 1023 moléculas de hidrogênio chocam-se por segundo
contra 2,0 cm2 de uma parede inclinada de 45o em relação à direção da velocidade, cujo módulo é 105
cm/s, qual a pressão que elas exercem nessa superfície?
Resposta:
O momento transferido por molécula é ∆p = 2mv cos θ. Se Φ for o uxo (partículas por unidade de tempo)
incidindo sobre a área A, então a pressão é
P =
2 m v Φ cos θ
A
substituindo os valores mH2 = 3, 32 × 10−24 g, v = 105 cm/s, θ = 45o , A = 2, 0 × 10−4 m2 , Φ = 1023
moléculas /s, então
P = 2, 35 × 103 Pa
9. O menor vácuo atingido no laboratório é de 10−10 mmHg . Quantas moléculas de um gás, por cm3 ,
permanecem nesse vácuo, a 20 o C ?
Resposta:
Sabendo que
1, 0 mmHg '
1
1
atm '
× 105 Pa,
760
760
então a pressão atingida no laboratório é P = 10−10 mmHg = 1/760 × 10−5 Pa. Denindo n como sendo
o número de partículas por unidade de volume. Teremos, pela lei dos gases ideais que
P V = N molec kB T ⇒
Nmolec
P
P
=
⇒n=
,
V
kB T
kB T
onde kB = 1, 38 × 10−23 J/K é a constante de Boltzmann. Substituindo T = 297 K, então
n = 3, 21 × 1012 moléculas/m3 .
Isso é cerca de 3 trimilhões de moléculas por m3 , um número ainda bastante grande! Entretanto, em um
gás nas condições normais de temperatura e pressão temos cerca de 3 × 1025 moléculas/m3 , um número
10 000 000 000 000 (dez trilhões !!!) de vezes maior do que o vácuo acima descrito. Dessa forma, realmente
faz sentido falarmos em `vácuo'.
5
10. Um dado grupo de partículas tem a distribuição de velocidades da tabela abaixo (Ni é o número de
partículas que tem velocidade vi ).
Ni
2
4
6
8
2
vi
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
Calcule a velocidade média <v> e a velocidade quadrática
média vqm para esse grupo de moléculas.
Resposta:
Podemos calcular os valores desejados a partir das denições. O número total de partículas é N =
22, sendo assim a velocidade média é
< v >=
1 ∑
Ni vi = 3, 18 m/s,
N i
e a média da velocidade ao quadrado é
< v 2 >=
1 ∑
Ni vi2 = 11, 36 m2 /s2 .
N i
Deste último resultado obtemos
vqm =
√
< v 2 > = 3, 371 m/s.
A velocidade mais provável é a velocidade vi com i tal que Ni é máximo, logo vp = 4.
Dados:
massa molar da água
densidade da água
raio médio da terra
massa de uma molécula de H2
18, 0 g/mol
1, 0 g/cm3
6, 7 × 106 m
3, 32 × 10−24 g
Um mol de qualquer gás, nas condições NTP, ocupa o volume de
6
22, 415 `
∑
i Ni
=