Cap 9 - Unesp

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Cap 9 - Unesp
ELETROMAGNETISMO I
9
75
CAMPOS MAGNETOSTÁTICOS
PRODUZIDOS POR CORRENTE
ELÉTRICA
Nos capítulos anteriores estudamos diversos fenômenos envolvendo cargas elétricas, (forças de origem
eletrostática, campo elétrico, potencial escalar elétrico, corrente elétrica etc.). A partir deste capítulo
estudaremos fenômenos envolvendo correntes elétricas e campos magnéticos.
A relação entre a eletricidade e o magnetismo foi uma das primeiras descobertas do século XIX, no ano
de 1820, quando, durante uma aula sobre eletro termia, o cientista dinamarquês Hans Cristian Oersted
acidentalmente percebeu que a agulha de uma bússola sofria deflexões, quando colocada na presença
de um condutor percorrido por corrente elétrica. Como já se conhecia o fato de que campos magnéticos
produziam deflexões em bússolas, Oersted descobriu, portanto, que correntes elétricas também
produziam campos magnéticos. Oersted descobriu também que os campos magnéticos produzidos por
correntes elétricas em um fio retilíneo possuíam suas linhas de força fechadas, na forma de círculos
concêntricos, conforme mostra a figura 9.1.
I
Campo magnético
Figura 9.1 Linhas de campo magnético em torno de um condutor retilíneo percorrido por corrente
elétrica.
9.1 – O CAMPO MAGNÉTICO E A LEI DE BIOT-SAVART
Em nossos estudos da eletrostática, vimos que a lei de Coulomb, descrevendo o campo elétrico de
cargas puntiformes, foi o modo pelo qual as observações relativas a forças eletrostáticas em corpos
carregados poderiam ser expressas. A situação é a mesma em relação a campos magnéticos
produzidos por correntes elétricas. Não há meios para se deduzir analiticamente uma expressão para
esses campos. Tudo o que pode ser feito é observar experimentalmente as forças de origem magnética
criadas por correntes elétricas e a partir daí tentar encontrar uma expressão matemática que esteja em
acordo com os resultados obtidos.
Esse foi justamente o trabalho desenvolvido por Jean Baptiste Biot e Felix Savart. A partir de medidas
de torque em uma agulha magnética, descobriram em 1820 que a intensidade de um campo magnético
incremental ∆H devido a um pequeno elemento condutor com comprimento ∆L m, percorrido por uma
corrente I A, conforme mostrado na figura 9.2, poderia ser expressa por:
∆H=
1 I ∆L senθ
( A / m)
4π
R2
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(9.1)
ELETROMAGNETISMO I
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r
∆H
I
r
R
θ
∆L
I
Figura 9.2 Campo magnético produzido por um elemento de condutor.
Em termos diferenciais, substituindo ∆H por dH e ∆L por dL, chegamos à Lei de Biot-Savart:
dH=
1 I dL senθ
( A / m)
4π
R2
(9.2)
Em notação vetorial, a equação 9.2 pode ser escrita como:
r
r r
r 1 I(dL × â ) 1 I(dL × R)
r
( A / m)
dH=
=
4π R 3
4π R 2
(9.3)
onde temos então que:
I
r
dL
r
R
r
dH
(A)
(m)
(m)
(A/m)
Corrente elétrica.
Elemento vetorial de condutor, com a direção da corrente.
Vetor orientado para o ponto P, com magnitude da distância entre o elemento de
condutor e o referido ponto P.
r
r
Elemento vetorial da intensidade de campo magnético, ortogonal a dL e a R .
Subscritos podem ser utilizados para indicar o ponto ao qual cada grandeza em (9.3) se refere. Se
posicionarmos o elemento de corrente no ponto 1 e descrevermos o ponto P no qual o campo deve ser
determinado como ponto 2, então:
r
r
1 I(dL1 × âr12 )
( A / m)
dH 2 =
2
4π
R12
(9.4)
Observemos aqui a semelhança entre a lei de Biot-Savart e a lei de Coulomb, quando esta é escrita
para um elemento diferencial de carga:
r
dE 2 =
1 dQ1âr12
(C / m)
4πε0 R 2
12
Em ambos os casos a intensidade de campo (elétrico, no caso da lei de Coulomb, e magnético, no caso
da lei de Biot-Savart) apresentam uma relação com o inverso do quadrado da distancia. A principal
diferença aparece na direção do campo e suas linhas de força.
As equações (9.3) e (9.4) representam a formulação clássica da lei de Biot-Savart, ou seja, a forma
como ela é mais conhecida. Entretanto, é impossível verificá-la experimentalmente dessa forma, uma
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ELETROMAGNETISMO I
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vez que o elemento diferencial de corrente não pode ser isolado. Portanto, necessitamos da forma
integral da lei de Biot-Savart que pode ser escrita como:
r
H=
∫
r
IdL × âr
4πR 2
(9.5)
r
A lei de Biot-Savart pode também ser expressa em termos da densidade superficial de corrente J , ou
r
r
em termos de uma densidade laminar de corrente, K . A densidade de corrente J que tem como
unidade no Sistema Internacional A/m2 dispensa maiores comentários e já foi vista diversas vezes em
r
capítulos anteriores. A densidade laminar de corrente K é ilustrada na figura 9.3 abaixo. Ela aparece
em uma lâmina de corrente extremamente fina, medida no Sistema Internacional em A/m. No caso da
figura 9.3, se a largura da lâmina for b e a densidade de corrente laminar K for uniforme e normal a b, a
corrente total na lâmina é:
I = Kb
(9.6)
K
r r
IdL = KdS
b
Figura 9.3 Corrente laminar com densidade linear K (A/m).
r
r
r
Assim, podemos assumir o termo IdL substituído por termos como KdS ou Jdv , conforme a
distribuição de correntes apresentada. Assim sendo, formas alternativas para a lei de Biot-Savart são
obtidas. Para uma corrente laminar temos:
r
H=
∫s
(Kr × âr )dS
(9.7)
(Jr × âr )dv
(9.8)
4πR 2
Analogamente para uma corrente superficial:
r
H=
∫v
4πR 2
9.1.1 - Relação de Pyati - Uma Simplificação da Lei de Biot- Savart
r r
Podemos notar pela figura 9.2, que o produto vetorial dL × R da equação 9.3 produz um vetor na
r
r
r
direção de dH , perpendicular ao plano que contém R e dL . Desta forma, um caso particular pode ser
r
r
ilustrado na figura 9.4 em que os vetores R e dL são co-planares, pertencentes ao mesmo plano yz.
r
Com isto, o elemento vetorial de campo magnético dH resultará na direção x.
Considerando que o elemento de condutor dL = R dθ em que R é a distância do elemento de corrente
ao ponto P em que o campo é analisado sob um ângulo dθ, temos que:
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r r
dL × R
R
3
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r
r
R dθ
dL dL R
dθ
=
× = â i
× â r = â x
2
2
dL R
R
R
R
(9.9)
onde:
â i
â r
â x
dθ
Vetor unitário na direção da corrente I
r
Vetor unitário na direção de R
Vetor unitário, no caso na direção x, resultado de â i × â r
Ângulo com vértice em P, definido por dL (em radianos).
z
I
dL
θ2
dθ
r
dH
R
θ1
y
P
x
Figura 9.4 - Elemento condutor de corrente e ponto P situados no mesmo plano.
Assim, para os casos onde o condutor e o ponto P, onde se deseja conhecer o campo magnético,
estejam no mesmo plano, a lei de Biot-Savart se simplifica a:
r
I dθ
dH =
â n (A / m)
4π R
(9.10)
Para um condutor longo, compreendido entre os ângulos θ1 e θ2 (linha tracejada na figura 9.4), nós
temos um campo resultante em P no eixo normal ao plano (no caso o eixo x) de modo que:
θ
Hn =
I 2 dθ
( A / m)
4π θ∫ R
(9.11)
1
Esta é uma simplificação da lei de Biot-Savart proposta por V. Pyati na revista IEEE-Transactions on
Education, vol E-29, fev. de 1986.
Exemplo 9.1
Encontrar a intensidade do campo magnético H em A/m a uma distância a m de um fio retilíneo e
infinitamente longo, conforme pode ser mostrado pela figura 9.5, percorrido por uma corrente de
intensidade I A.
Solução
A lei de Biot-Savart garante que o campo magnético é perpendicular ao condutor e à linha da distância
entre ele e o ponto de interesse. De outra forma, vemos que o campo magnético possui linhas fechadas
circulares e concêntricas ao condutor retilíneo e infinito, concordando com a experiência de Oersted,
ilustrada na figura 9.1.
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H
θ
R
a
dL
Figura 9.5 Campo magnético em um pontoi, devido a um condutor retilíneo.
Considerando que o condutor e a distância dele
ao ponto de cálculo encontram-se no mesmo
plano, podemos lançar mão da relação de Pyati.
Assim teremos:
1 cos θ
=
R
a
π2
π2
I
dθ
H=
∫
4π −π 2 R
H=
a = R cos θ
R=
I
cos θdθ
∫
4π −π 2 a
H=
I
(A / m)
2πa
a
cos θ
Você pode verificar que a determinação deste campo pelo emprego direto da lei de Biot-Savart requer
cálculos muito mais trabalhosos do que estes simplificados pela relação de Pyati, que a condição
particular assim o permite.
Exemplo 9.2
Um anel circular de raio R centrado na origem encontra-se no plano xy, conforme mostra a figura 9.6,
sendo percorrido por uma corrente de intensidade I no sentido anti-horário. Desta forma
(a) Encontrar o campo magnético no centro do anel.
(b) Encontre também o campo H em um ponto z ao longo do eixo deste anel.
Solução
a) A situação planar permite que a relação de
Pyati seja empregada. Assim,
dH z =
2π
H=
I dθ
I
=
∫
4π 0 R 2R
dL = Rdφ
2π
b) Este caso implica num problema não planar e
a lei de Biot-Savart é indicada. Daí:
dH z =
1 IdL sen θ
cos γ
4π
r2
r r
θ =90o (ângulo entre id l e r )
cos γ =
R
r
IR
dL
4πr 3
Hz = ∫
0
IR 2 dφ
IR 2
=
4 πr 3
4π R 2 + z 2
Hz =
(
IR 2
2 (R 2 + z 2 ) 3
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)
32
( A / m)
No centro do anel, z = 0 e
Hz =
2π
I
(A / m)
2R
∫ dφ
0
z
dHz
γ
dH
r
θ = 90º
γ
y
R
dL
x
Figura 9.6 Campo magnético no eixo de um anel.
Podemos observar que a expressão geral para z = 0 inclui aquele onde o campo magnético no ponto
central localizado no plano do anel é aquele determinado também pela relação de Pyati.
9.2 - FLUXO MAGNÉTICO φm E DENSIDADE DE FLUXO MAGNÉTICO B
O campo magnético que é produzido pela passagem de uma corrente elétrica i em um condutor existirá
em toda a região em volta do condutor. Assim, podemos dizer que uma superfície de área S próxima ao
condutor é atravessada por um fluxo φ m do campo magnético criado pela corrente i, como pode ser
visto pela figura 9.7 abaixo. Este fluxo é determinado pelo escoamento das linhas de campo que
atravessam a superfície S. Em outras palavras, determina a quantidade de linhas de campo que cruzam
a secção de área A.
i
S
φm
Figura 9.7 Fluxo magnético atravessando uma superfície S.
Portanto, podemos definir a densidade de fluxo magnético (ou indução magnética) B como sendo:
B=
φ m ⎛ Wb ⎞
⎜
⎟
S ⎝ m2 ⎠
(9.12)
No Sistema Internacional de Unidades o fluxo magnético é definido em webbers (Wb) e a
correspondente unidade de densidade de fluxo pode também receber o nome de tesla (T), equivalente a
Wb/m2. Na equação (9.12) assume-se que as linhas de campo magnético são perpendiculares à área S.
ELETROMAGNETISMO I
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Caso as linhas de fluxo não atravessem a superfície perpendicularmente a ela (ver figura 9.8), o fluxo
que a atravessa pode ser expresso de modo geral por:
φ m =B S cos α
( Wb)
(9.13)
onde:
φm
B
α
(Wb)
2
(Wb/m ou T)
rad
fluxo magnético através de S
magnitude da densidade de fluxo magnético B.
ângulo entre a normal à área A e a direção de B.
Se B não é uniforme sobre a área considerada, o produto da equação 9.8 deve ser substituído por uma
integral de superfície de modo que::
φ m = ∫∫ B cos α dS
( Wb)
(9.14)
S
dS
B
α
S
Fig. 9.8 - Fluxo magnético atravessando uma área S segundo um ângulo α.
Finalmente, a equação (9.14) pode ser escrita na forma de um produto escalar. Assim:
r r
φ m = ∫∫ B ⋅ dS
( Wb)
(9.15)
S
9.4.1 - Fluxo Magnético Sobre uma Superfície Fechada - Lei de Gauss para o Magnetismo
As linhas de fluxo criadas por campos elétricos estáticos ou iniciam ou terminam em cargas elétricas,
indicando a existência de uma fonte, conforme pode ser visto na figura 9.9. (a). Por outro lado, as linhas
de fluxo provenientes de campos magnéticos são fechadas sobre si mesmas, isto é, são contínuas,
conforme podemos ver na figura 9.9 (b).
–
+
S
S
(a)
(b)
Figura 9.9 Linhas de campo, (a) campo elétrico, (b) campo magnético
A figura 9.9 (a) mostra que se uma carga elétrica é envolvida por uma superfície fechada S, vemos que
as linhas de fluxo, ou saem divergindo da fonte, ou entram convergindo para a fonte, sendo esta a
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ELETROMAGNETISMO I
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própria carga envolvida por S e o campo criado por ela dito conservativo. Por outro lado, a figura 9.9
(b) ilustra que as linhas de fluxo magnético que entram em uma superfície fechada S são as mesmas
que saem desta superfície.
Fisicamente, isso significa que embora existam cargas elétricas isoladas, não podemos definir o
conceito de cargas magnéticas como fontes para estes campos. Esta é uma diferença fundamental
entre campos elétricos e campos magnéticos.
Uma vez que o fluxo magnético é contínuo, a mesma quantidade de fluxo que entra em uma superfície
fechada deve deixá-lo. Em outras palavras, o fluxo líquido que atravessa uma superfície fechada é nulo.
Matematicamente isso pode ser expresso como:
r
r
∫sB ⋅ dS=0
(9.16)
Aplicando o teorema da divergência à equação (9.16) teremos:
∇ ⋅ B=0
(9.17)
A equação (9.16) na forma integral ou a equação (9.17) descrevem a natureza contínua do fluxo
magnético, característica principal de um campo solenoidal. Ela também faz parte do grupo
fundamental das equações de Maxwell.
Finalmente, por analogia com o campo elétrico, a relação constitutiva entre o vetor intensidade de
r
r
campo magnético, H , e o vetor densidade de fluxo magnético (ou vetor indução magnética) B , é dada
por:
r
r
B = µH
( Wb / m 2 )
(9.18)
onde µ é a permeabilidade magnética do meio, dado no Sistema Internacional de Unidades em H/m
(henry / m) ou Wb/(A.m).
No vácuo ou espaço livre a permeabilidade magnética vale µ0 = 4 π.10-7 H/m, valor este bastante
próximo no ar e nos meios não magnéticos em geral, como veremos mais adiante.
As linhas de fluxo de um campo magnético são fechadas, o que é indicado matematicamente pelo
divergente nulo deste campo vetorial, indicativo da ausência de cargas magnéticas. O campo magnético
pode ser criado também por uma corrente elétrica em um condutor, que por sua vez origina um campo
no espaço independente do meio. Já o número de linhas de campo ou o fluxo de suas linhas de campo
depende do meio, sendo o número de linhas de campo maior ou menor segundo sua permeabilidade
magnética.
Por outro lado, o campo elétrico, proveniente de cargas elétricas, possui suas linhas de força abertas,
ou seja, com origem ou término numa fonte, cuja densidade de fluxo depende da carga e não do meio.
O campo elétrico por sua vez, responsável pela ação da força elétrica depende da permissividade
elétrica do meio.
Em outras palavras, o campo elétrico e o fluxo magnético são dependentes do meio, enquanto que o
fluxo elétrico e o campo magnético não o são.
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EXERCÍCIOS
r
1) Aplicando a lei de Biot-Savart, determine a expressão do campo magnético H criado por um
filamento retilíneo e infinito, percorrido por uma corrente I ao longo do eixo z, fornecendo o
resultado em coordenadas cilíndricas. Compare este resultado com o do exemplo 9.1.
r
r
2) Determine o campo elementar dH criado por um elemento diferencial de corrente idL na
origem de um sistema de coordenadas esféricas (r,θ,φ) em um ponto genérico do espaço.
3) Mostre que o campo magnético devido a um elemento de corrente finito mostrado na figura
abaixo é dado por:
r
I
H=
(sen α1 −sen α 2 )â φ
4π r
I
α1
P
α2
r
Figura do problema 3.
r
4) Mostre a expressão para um campo magnético H no centro de uma espira na forma de um
triângulo eqüilátero com lados L, empregando a lei de Biot-Savart e a sua simplificação dada
pela relação de Piaty.
5) Três enrolamentos simples com 1 m de raio estão colocados a 1 m um do outro, com os seus
eixos coincidindo com o eixo z. Se todas estas espiras são percorridas pela mesma corrente
e no mesmo sentido, faça um gráfico normalizado da variação de B (fazendo Bmax = 1), ao
longo do eixo z, com o ponto inicial a 1 m abaixo do primeiro enrolamento, e o ponto final a 1
m acima do terceiro enrolamento.
6) Um fio flexível de comprimento L m é dobrado na forma de em um (a) círculo, (b) triângulo
eqüilátero e (c) um quadrado. Encontre o valor da indução magnética B no centro de cada
configuração, quando percorrido pela mesma corrente e compare suas intensidades em cada
caso.
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ELETROMAGNETISMO I
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7) Duas bobinas circulares com 500 mm de raio e 60 espiras cada uma são montadas
ortogonalmente entre si, com o objetivo de neutralizar o campo magnético gerado pela Terra
no centro comum estabelecido entre elas. Uma bobina está na horizontal e a outra na
vertical. Encontre a corrente em cada bobina, onde o campo magnético da Terra é de 1
gauss ( 10-4 T), a um ângulo de 60º formado com o plano horizontal na terra, e um ângulo na
horizontal de 15º para o oeste com referência à direção norte.
8) Determine o fluxo magnético que atravessa a porção do plano situado em φ = π/3, definida
por 0,05 < r < 0,10 m e 0 < z < 1 m, originado por um filamento de corrente ao longo do eixo z
com intensidade de 10 A no sentido positivo.
9) Calcule o fluxo magnético total que cruza o plano z = 0 em coordenadas cilíndricas para r ≤ 5
r
x 10-2 m, se B =
r
(
)
0,2
sen 2 φ â z T.
r
⎛ πx ⎞ − 2 y
⎟e â z T, calcule o fluxo magnético que cruza a faixa
⎝ 2 ⎠
10) Dado que B = 2,50 sen⎜
determinada por z = 0, y ≥ 0 e 0 ≤ x ≤ 2 m.
r
11) Se B = 3xâ x −3yâ y + â z , encontre o fluxo magnético que atravessa as superfícies de um
volume limitado pelos planos x = 1 m, x = 6 m, y = 0, y = 4 m, z = 1 m e z = 7 m.
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