Distribuição Normal de Probabilidade

Distribuição Normal de Probabilidade
1 Aspectos Gerais
2 A Distribuição Normal Padronizada
3 Determinação de Probabilidades
4 Cálculo de Valores
5 Teorema Central do Limite
1
1
Aspectos Gerais
™ Variável aleatória contínua
™ Distribuição Normal
A curva tem forma de um
sino e é simétrica
Figura 5-1
µ
Valor
Fórmula 5-1
y=
e
1
2
σ
x-µ
2
( σ )
2π
2
2
Distribuição Normal
Padronizada
3
Definições
™Curva de Densidade (ou função
densidade de probabilidade)
gráfico de uma distribuição contínua de
probabilidade
1, A área total sob a curva deve ser 1,
2, Todo ponto da curva deve ter uma altura
vertical não inferior a 0,
4
Como a área total sob a curva
de densidade é igual a 1, há
uma correspondência entre
área e probabilidade,
5
Alturas de mulheres e homens adultos
Mulheres:
µ = 1,615
σ = 0,0635
Figura 5-4
Homens:
µ = 1,753
σ = 0,0711
1,615
1,753
Alturas (m)
6
Definição
Distribuição Normal Padronizada
uma distribuição normal de probabilidades que
tem média 0 e desvio-padrão 1
Área lida
na Tabela
Área = 0,3413
0,4429
-3
-2
-1
0
1
Escore (z )
Figura 5-5
2
3
0
z = 1,58
Figura 5-6
7
Tabela A-2
Distribuição Normal Padrão
σ=1
µ=0
0
x
z
8
Tabela A-2 Distribuição Normal Padrão (z)
z
,00
,01
,02
,03
,04
,05
,06
,07
,08
,09
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
,0000
,0398
,0793
,1179
,1554
,1915
,2257
,2580
,2881
,3159
,3413
,3643
,3849
,4032
,4192
,4332
,4452
,4554
,4641
,4713
,4772
,4821
,4861
,4893
,4918
,4938
,4953
,4965
,4974
,4981
,4987
,0040
,0438
,0832
,1217
,1591
,1950
,2291
,2611
,2910
,3186
,3438
,3665
,3869
,4049
,4207
,4345
,4463
,4564
,4649
,4719
,4778
,4826
,4864
,4896
,4920
,4940
,4955
,4966
,4975
,4982
,4987
,0080
,0478
,0871
,1255
,1628
,1985
,2324
,2642
,2939
,3212
,3461
,3686
,3888
,4066
,4222
,4357
,4474
,4573
,4656
,4726
,4783
,4830
,4868
,4898
,4922
,4941
,4956
,4967
,4976
,4982
,4987
,0120
,0517
,0910
,1293
,1664
,2019
,2357
,2673
,2967
,3238
,3485
,3708
,3907
,4082
,4236
,4370
,4484
,4582
,4664
,4732
,4788
,4834
,4871
,4901
,4925
,4943
,4957
,4968
,4977
,4983
,4988
,0160
,0557
,0948
,1331
,1700
,2054
,2389
,2704
,2995
,3264
,3508
,3729
,3925
,4099
,4251
,4382
,4495
,4591
,4671
,4738
,4793
,4838
,4875
,4904
,4927
,4945
,4959
,4969
,4977
,4984
,4988
,0199
,0596
,0987
,1368
,1736
,2088
,2422
,2734
,3023
,3289
,3531
,3749
,3944
,4115
,4265
,4394
,4505
,4599
,4678
,4744
,4798
,4842
,4878
,4906
,4929
,4946
,4960
,4970
,4978
,4984
,4989
,0239
,0636
,1026
,1406
,1772
,2123
,2454
,2764
,3051
,3315
,3554
,3770
,3962
,4131
,4279
,4406
,4515
,4608
,4686
,4750
,4803
,4846
,4881
,4909
,4931
,4948
,4961
,4971
,4979
,4985
,4989
,0279
,0675
,1064
,1443
,1808
,2157
,2486
,2794
,3078
,3340
,3577
,3790
,3980
,4147
,4292
,4418
,4525
,4616
,4693
,4756
,4808
,4850
,4884
,4911
,4932
,4949
,4962
,4972
,4979
,4985
,4989
,0319
,0714
,1103
,1480
,1844
,2190
,2517
,2823
,3106
,3365
,3599
,3810
,3997
,4162
,4306
,4429
,4535
,4625
,4699
,4761
,4812
,4854
,4887
,4913
,4934
,4951
,4963
,4973
,4980
,4986
,4990
,0359
,0753
,1141
,1517
,1879
,2224
,2549
,2852
,3133
,3389
,3621
,3830
,4015
,4177
,4319
,4441
,4545
,4633
,4706
,4767
,4817
,4857
,4890
,4916
,4936
,4952
,4964
,4974
,4981
,4986
,4990
9
Exemplo:
A vida média de uma marca e de um tipo
de bateria (para determinado equipamento em uso
contínuo) é 20 horas, com desvio-padrão de 0,5 h, Qual a
probabilidade de que essa bateria não dure mais do que 21
horas?
Area = 0,4772
P ( x > 2,00 ) = 0,0228
0
2,00
Há 2,28% de baterias que duram mais de 21 horas,
logo, 97,72% que não duram mais de 21 horas,
10
Utilização da Simetria para Achar a Área
à Esquerda da Média
Pela simetria, estas áreas são iguais,
Figura 5-7
(a)
(b)
0,4925
0,4925
0
z = - 2,43
0
Distâncias iguais a contar de 0
z = 2,43
NOTA: Embora um escore z possa ser negativo, a área
sob a curva (ou a probabilidade correspondente)
nunca pode ser negativa,
11
A Regra Empírica
Distribuição Normal Padrão: µ = 0 e σ = 1
99,7% dos dados estão dentro de 3 desvios-padrão a contar da média
95% estão
dentro de 2 desvios-padrão
68% estão
dentro de 1 desvio-padrão
34%
34%
2,4%
2,4%
0,1%
0,1%
13,5%
x - 3s
x - 2s
13,5%
x-s
x
x+s
x + 2s
x + 3s
12
Determinação da Área à Direita de z = 1,27
Valor lido
na Tabela A-2
0,3980
0
Esta área é
0,5 – 0,3980 = 0,1020
z = 1,27
Figura 5-8
13
Notação
P(a < z < b)
denota a probabilidade de o valor de z estar
entre a e b
P(z > a)
denota a probabilidade de o valor de z ser
maior do que a
P (z < a)
denota a probabilidade de o valor de z ser
menor do que a
14
Interpretação Correta das Áreas
Figura 5-10
‘maior do que x’
‘pelo menos x’
Subtrair
de 0,5
Adicionar a
0,5
‘mais do que x’
‘não menos do
que x’
0,5
x
Somar a
0,5
x
‘menos do que x’
‘no máximo x’
Subtrair
de 0,5
‘não mais do que x’
‘não maior do que x’
0,5
x
‘entre
x
Somar
C
Tomar
A=C-B
x 1 e x 2’
A
x1
x2
B
x1 x2
15
Determinação dos Escores z
(Dadas as Probabilidades)
95%
5%
5% ou 0,05
0,45
0,50
0
z = 1,645
(valor de z será positivo )
FIGURA 5-11
Determinação do 95º percentil
16
Determinação dos Escores z
(Dadas as Probabilidades)
90%
10%
10% inferiores
0,10
0,40
z = -1,28 0
(O valor de z será negativo)
FIGURA 5-12
Determinação do 10º percentil
17
Outras Distribuições Normais
µ≠0
σ ≠1
Se
ou
(ou ambos), os valores
são convertidos para os valores padronizados
através da expressão abaixo (Fórmula 5-2),
Podendo utilizar então os mesmos procedimentos
tomados com a distribuição normal padrão,
Fórmula 5-2
x-µ
z= σ
18
Convertendo na Distribuição Normal
Padrão
x-µ
z=
σ
P
P
(a)
µ
x
(b)
0
z
Figura 5-13
19
Probabilidade de Peso
entre 64,9 kg e 91,2 kg
Há uma probabilidade de
0,4772 de escolher ao acaso
uma mulher com peso entre
64,9 e 91,2 kg, ou 47,72%
das mulheres têm peso entre
64,9 e 91,2 kg
Valor lido na Tabela
0,4772
x = 64,9
s = 13,15
64,9
91,2
Peso
z
Figura 5-14
0
2,00
20
Definição
Distribuição Amostral da Média:
é a distribuição de probabilidade
das médias amostrais, com todas
as amostras de mesmo tamanho n,
da mesma população,
21
Teorema Central do Limite
Dado:
1, A variável aleatória x tem distribuição (que
pode ser normal, ou não) com média µ e desviopadrão σ,
2, Amostras de tamanho n são extraídas
aleatoriamente dessa população,
22
Teorema Central do Limite
Conclusões:
1, Na medida que o tamanho da amostra
aumenta, a distribuição das médias
amostrais x tende para uma distribuição
normal,
2, A média das médias amostrais será a média
populacional µ,
3, O desvio-padrão das médias amostrais será
σ/ n.
23
Regras Práticas de Uso Comum:
1, Para amostras de tamanho n > 30, a distribuição das
médias amostrais pode ser aproximada satisfatoriamente
por uma distribuição normal, A aproximação melhora na
medida em que aumenta o tamanho da amostra n,
2, Se a própria distribuição original tem distribuição normal,
então as médias amostrais terão distribuição normal para
qualquer tamanho amostral qualquer tamanho amostral
n
(não apenas para os valores de n > 30),
24
Notação
média das médias amostrais
µx = µ
desvio-padrão das médias amostrais
σ
σx = n
(comumente chamado erro-padrão da média)
25
Freqüência
Distribuição de 50 Médias
Amostrais de 50 Estudantes
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Figura 5-20
26
Exemplo: Certa
população de mulheres tem pesos
normalmente distribuídos com média de 64,9 kg e desviopadrão de 13,15 kg,
a,) se uma mulher é escolhida aleatoriamente, determine a
probabilidade de seu peso ser maior que 68,0 kg,
z = 68,0 – 64,9 = 0,24
13,15
0,5 – 0,0948 = 0,4052
0,0948
µ = 64,9
σ = 29
0
68,0
0,24
27
Exemplo: Certa
população de mulheres tem pesos
normalmente distribuídos com média de 64,9 kg e desviopadrão de 13,15 kg,
b,) se 36 mulheres diferentes forem escolhidas ao acaso,
determine a probabilidade de seu peso médio ser maior que
68,0 kg,
z = 68,0-64,9 = 1,45
13,15
36
0,5 – 0,4265 = 0,0735
0,4265
µx = 64,9
σx = 2,1917
0
68,0
1,45
28
Exemplo: Certa
população de mulheres tem pesos
normalmente distribuídos com média de 64,9 kg e desviopadrão de 13,15 kg,
a,) se uma mulher é escolhida aleatoriamente, determine a
probabilidade de seu peso ser maior que 68,0 kg,
P(x > 150) = 0,4052
b,) se 36 mulheres diferentes forem escolhidas ao acaso,
determine a probabilidade de seu peso médio ser maior
que 68,0 kg,
P(x > 150) = 0,0735
É muito mais fácil um elemento se desviar da média que
para um grupo de 36 se desviar da média,
29