Análise do comportamento de vigas de concreto - LMC

Transcrição

JOSÉ UMBERTO ARNAUD BORGES
ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO
DE ALTO DESEMPENHO POR MEIO DA MECÂNICA DA
FRATURA
Texto apresentado à Escola
Politécnica da Universidade de
São Paulo para obtenção do Título
de Doutor em Engenharia.
São Paulo
2002
FRATURA
Politécnica da Universidade de São
Paulo para obtenção do Título de
Doutor em Engenharia.
São Paulo
2002
FRATURA
Politécnica da Universidade de São
Paulo para obtenção do Título de
Doutor em Engenharia.
Área de Concentração:
Engenharia de Estruturas
Orientador:
Prof. Dr. Túlio Nogueira Bittencourt
São Paulo
2002
Borges, José Umberto Arnaud
Análise do comportamento de vigas de concreto de alto desempenho
por meio da Mecânica da Fratura. São Paulo, 2002.
Tese (Doutorado) – Escola Politécnica da Universidade de São Paulo.
Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações.
1.Vigas de concreto de alto desempenho 2.Mecânica da Fratura.
I.Universidade de São Paulo. Escola Politécnica. Departamento de
Engenharia de Estruturas e Fundações II.t.
Dedico este trabalho aos meus pais, que têm sido a
grande razão e incentivo de meu aperfeiçoamento
técnico, e com os quais minha dívida é inesgotável.
AGRADECIMENTOS
Ao amigo e orientador Prof. Dr. Túlio Nogueira Bittencourt pelas diretrizes
encorajadoras e pela permanente dedicação ao longo do desenvolvimento da tese.
Aos meus pais, Umberto e Conceição, e à minha irmã, Gabriela, pelo estímulo e
apoio incondicionais que fizeram com que esse trabalho fosse possível.
A Viviane Cristina Morelli, pelo carinho e companheirismo nestes anos de
trabalho árduo.
Ao Eng. Ricardo Gaspar pela sincera amizade e solidariedade ao longo de nossa
trajetória na Pós-Graduação.
Aos Eng. Leandro Trautwein, Rafael Souza, Paola Torneri, Juliana Fernandes,
Carlos Henrique Cunha e todos os demais colegas do LEM pela amizade e
convivência ao longo dos últimos anos.
A José Antônio Santos Ribeiro de Queiroz, técnico de laboratório da Engemix,
pelo permanente suporte prestado ao longo do trabalho.
A Jorge Sakamoto, técnico do laboratório de Mecânica das Rochas da Escola
Politécnica da USP, pelo paciente auxílio na preparação de corpos-de-prova.
À FAPESP (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) pelos
recursos financeiros disponibilizados para a realização deste trabalho, sob o
Projeto FAPESP no 97/13012-2.
Aos funcionários do Laboratório de Estruturas e Materiais Estruturais da Escola
Politécnica da Universidade de São Paulo pelo suporte prestado durante a
execução dos ensaios.
A todos que, direta ou indiretamente, colaboraram na execução deste trabalho.
RESUMO
O presente trabalho busca analisar aspectos relevantes do comportamento de
vigas de concreto de alto desempenho utilizando conceitos de Mecânica da
Fratura. O texto descreve inicialmente as principais características do concreto de
alto desempenho e algumas de suas propriedades mecânicas mais relevantes, bem
como introduz brevemente os conceitos fundamentais da Mecânica da Fratura
aplicada ao concreto. O texto apresenta também uma metodologia recentemente
desenvolvida para a determinação da tenacidade ao fraturamento do concreto.
No contexto de aplicações práticas, o texto aborda algumas situações nas quais o
efeito de escala pode ser importante, como a capacidade resistente ao
cisalhamento, a taxa mínima de armadura de flexão e a deformabilidade de vigas
de concreto armado. O foco central do trabalho é o desenvolvimento de um
modelo de fraturamento para vigas de concreto armado sob flexão pura,
considerando explicitamente o fenômeno de localização de deformações na
compressão. O modelo, formulado inicialmente para o caso de compressão
uniaxial, leva em conta a influência do tamanho do corpo-de-prova na curva
tensão x deformação do material. O modelo é estendido à zona comprimida de
vigas armadas sob flexão pura com o intuito de estudar a influência do tamanho
da viga na sua deformabilidade pós-pico. O texto descreve ainda uma
investigação experimental e numérica com vigas de concreto armado de alto
desempenho de forma a avaliar a aplicabilidade do modelo proposto. Os
resultados da investigação experimental indicam claramente a presença do efeito
do tamanho da viga na ductilidade pós-pico. Além disso, a investigação numérica
mostra que o modelo de fraturamento proposto é capaz de simular de forma
suficientemente adequada este efeito.
ABSTRACT
The work presented herein aims at studying some relevant aspects of the flexural
behavior of high performance reinforced concrete beams from a Fracture
Mechanics point of view. Initially, the main characteristics of high performance
concretes as well as some of its mechanical properties are described. The
fundamental concepts of Fracture Mechanics applied to concrete are briefly
introduced. Also, a new methodology for the experimental determination of the
fracture toughness of concrete is presented in some detail. In the context of
practical applications, a number of design situations in which size effects may
play a major role are outlined in the text. These include shear strength of beams
without web reinforcement, minimum flexural reinforcement and deformability
of reinforced concrete beams. The key objective of this thesis is the development
of a flexural fracture model for beams subjected to uniform bending moment,
taking into account the strain localization phenomenon. The model is initially
formulated for the case of uniaxial compression and yields size dependent stressstrain curves. The model is then extended to the compression zone of a bent
beam with the purpose of studying the influence of the beam size on its
deformability. An experimental and numerical investigation of high performance
reinforced concrete beams is carried out to verify the validity of the proposed
model. The results of the experimental investigation clearly indicate an influence
of the beam size on its post-peak ductility. Furthermore, the numerical simulation
shows that the proposed model is able to capture reasonably well this size
dependence.
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS
LISTA DE TABELAS
LISTA DE ABREVIATURAS
LISTA DE SÍMBOLOS
RESUMO
ABSTRACT
1 INTRODUÇÃO
1
1.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS
1
1.2 POR QUE APLICAR A MECÂNICA DA FRATURA AO CONCRETO?
4
1.3 OBJETIVOS E ESTRUTURAÇÃO DA TESE
11
2 O CONCRETO DE ALTO DESEMPENHO
14
2.1 GENERALIDADES
14
2.1.1 Composição do concreto de alto desempenho
15
2.1.2 Classificação em termos de resistência
17
2.1.3 Vantagens e desvantagens
18
2.1.4 Aplicações
19
2.2 MATERIAIS COMPONENTES
25
2.2.1 Seleção de materiais
25
2.3 PROPRIEDADES MECÂNICAS
33
2.3.1 Considerações gerais
33
2.3.2 Influência do agregado graúdo
34
2.3.3 Resistência à compressão
36
2.3.4 Resistência à tração
38
2.3.5 Aumento da resistência com a idade
42
2.3.6 Módulo de elasticidade
43
2.3.7 Diagrama tensão x deformação
46
2.3.8 Coeficiente de Poisson
52
3 MECÂNICA DA FRATURA APLICADA AO CONCRETO
53
3.1 INTRODUÇÃO
53
3.2 CONCEITOS BÁSICOS DE MECÂNICA DA FRATURA
56
3.3 PRINCIPAIS MODELOS DE FRATURAMENTO DO CONCRETO
60
3.3.1 Modelo da Fissura Fictícia (Hillerborg et al., 1976)
60
3.3.2 Modelo da Banda de Fissuração (Bažant; Oh, 1983)
63
3.3.3 Modelo de Dois Parâmetros (Jenq; Shah, 1985)
64
3.3.4 Modelo do Efeito de Escala (Bažant; Kazemi, 1990)
66
3.4 MÉTODOS DE ENSAIO PARA A DETERMINAÇÃO DE PARÂMETROS DE
FRATURAMENTO DO CONCRETO
69
3.4.1 Método de Hillerborg et al., GF (RILEM, 1985)
69
3.4.2 Novo método para a determinação da tenacidade ao fraturamento KIc a
partir de corpos-de-prova cilíndricos
71
3.5 ALGUMAS APLICAÇÕES PRÁTICAS DA MECÂNICA DA FRATURA ÀS
ESTRUTURAS DE CONCRETO
84
3.5.1 Cisalhamento em vigas de concreto armado
84
3.5.2 Colapso de tubos de concreto simples
86
4 CONSIDERAÇÕES SOBRE O EFEITO DE ESCALA NA
RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO
88
4.1 INTRODUÇÃO
88
4.2 MECANISMOS BÁSICOS DE RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO
89
4.3 RECOMENDAÇÕES DE NORMAS DE PROJETO
92
4.3.1 Projeto de Revisão da NBR-6118 (2001)
92
4.3.2 Anexo da NBR-7197 (1989)
92
4.3.3 Norma americana ACI 318R-99 (1999)
92
4.3.4 Norma canadense CAN3 A23.3-94 (1994)
93
4.3.5 CEB-FIP Model Code MC90 (1993)
93
4.4 COMPARAÇÃO ENTRE RESULTADOS EXPERIMENTAIS E TEÓRICOS
94
4.4.1 Influência da resistência à compressão do concreto
97
4.4.2 Influência da taxa de armadura longitudinal
98
4.4.3 Efeito de escala
99
5 COMPORTAMENTO À FLEXÃO DE VIGAS ARMADAS
105
5.1 INTRODUÇÃO
105
5.2 COMPORTAMENTO À FLEXÃO DE UMA VIGA DE CONCRETO ARMADO
106
5.2.1 Hipóteses básicas da teoria de flexão
108
5.2.2 Hipóteses adicionais da teoria de flexão
109
5.2.3 Análise de vigas de concreto armado de seção retangular
112
5.3 CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROJETO ESTRUTURAL DE VIGAS DE
CONCRETO DE ALTO DESEMPENHO
115
5.3.1 Deformação máxima de compressão
116
5.3.2 Distribuição de tensões na seção transversal
117
5.3.3 Armadura mínima de flexão
119
5.3.4 Armadura mínima de cisalhamento
121
5.3.5 Cálculo de deslocamentos (flechas)
122
5.4 DEFORMABILIDADE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO
124
6 ARMADURA MÍNIMA DE FLEXÃO EM VIGAS
127
6.1 CONSIDERAÇÕES GERAIS
127
6.2 EXPRESSÕES DE NORMAS PARA ARMADURA MÍNIMA DE FLEXÃO
129
6.3 EXPRESSÕES DE MODELOS DE FRATURAMENTO PARA ARMADURA
MÍNIMA DE FLEXÃO
130
6.4 INVESTIGAÇÃO EXPERIMENTAL
133
6.4.1 Análise dos resultados experimentais
144
7 LOCALIZAÇÃO DE DEFORMAÇÕES NO COLAPSO POR
COMPRESSÃO
151
7.1 INTRODUÇÃO
151
7.2 COMPORTAMENTO PRÉ-PICO DO CONCRETO À COMPRESSÃO
153
7.2.1 Microfissuração e mecanismos de dano
155
7.2.2 Efeito da direção do carregamento
161
7.3 COMPORTAMENTO PÓS-PICO DO CONCRETO À COMPRESSÃO
163
7.3.1 Influência das condições de contorno
165
7.3.2 Proposta para ensaio padronizado de compressão uniaxial
167
7.3.3 Influência da altura do corpo-de-prova (efeito de escala)
173
7.3.4 Influência de gradientes de deformação
177
7.4 MODELOS DE LOCALIZAÇÃO DE DEFORMAÇÕES NA COMPRESSÃO
180
8 MODELO DE FRATURAMENTO PROPOSTO PARA O
CONCRETO COMPRIMIDO
184
8.1 INTRODUÇÃO
184
8.2 DESCRIÇÃO DO MODELO
185
8.3 ESTIMATIVA DO TAMANHO DA ZONA DE DANO
186
8.4 FORMULAÇÃO DO MODELO
187
8.5 DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DO PARÂMETRO εD
189
8.6 VERIFICAÇÃO DO MODELO
190
8.6.1 Ensaios de Jansen (1996)
190
8.6.2 Ensaios de Rokugo e Koyanagi (1992)
196
8.6.3 Ensaios de Markeset (1994)
200
8.6.4 Equação empírica para a determinação de εDC
202
8.7 EXTENSÃO DO MODELO A VIGAS ARMADAS SOB FLEXÃO PURA
203
8.7.1 Analogia entre a compressão uniaxial e a flexão
204
8.7.2 Tamanho da zona de dano na flexão
205
8.7.3 Hipóteses do modelo na flexão
206
8.7.4 Modelo numérico
210
9 INVESTIGAÇÃO EXPERIMENTAL E NUMÉRICA DE VIGAS
ARMADAS DE CONCRETO DE ALTO DESEMPENHO
214
9.1 INTRODUÇÃO
214
9.2 DESCRIÇÃO DA INVESTIGAÇÃO EXPERIMENTAL
215
9.3 ARRANJO DE ENSAIO E INSTRUMENTAÇÃO UTILIZADA
223
9.4 RESULTADOS EXPERIMENTAIS
226
9.4.1 Curvas carga x flecha
226
9.4.2 Capacidade resistente à flexão
232
9.4.3 Índices de ductilidade
234
9.4.4 Localização de deformações
236
9.4.5 Tamanho da zona de dano
238
9.4.6 Curvas de resposta momento x deformação
239
9.4.7 Comportamento geral das vigas
242
9.4.8 Panorama geral de fissuração até o colapso
243
9.5 SIMULAÇÃO NUMÉRICA
246
9.5.1 Parâmetros utilizados na análise
246
9.5.2 Resultados do modelo
247
9.6 DISCUSSÃO
252
9.6.1 Momento máximo teórico de acordo com a NBR-6118
252
9.6.2 Momento máximo teórico de acordo com o modelo proposto
255
9.6.3 Deformação crítica de dano na flexão
256
9.6.4 Localização de deformações e tamanho da zona de dano na flexão
256
9.6.5 Efeito de escala na ductilidade pós-pico
257
10 CONCLUSÕES
259
10.1 RESUMO E CONCLUSÕES
259
10.2 SUGESTÕES PARA NOVAS PESQUISAS
261
LISTA DE REFERÊNCIAS
263
LISTA DE FIGURAS
Fig. 1.1 – Superfícies de fraturamento do concreto
3
Fig. 1.2 – Curva típica carga-deslocamento de um material quase-frágil
6
Fig. 1.3 – Comportamento estrutural: (a) dúctil; (b) quase-frágil
7
Fig. 1.4 – Natureza progressiva do colapso de uma laje por cisalhamento na punção
8
Fig. 1.5 – Curvas tensão-deformação utilizadas na análise limite convencional
9
Fig. 1.6 – Efeito de escala em vigas de concreto submetidas a flexão
11
Fig. 2.1 – Ré Island Bridge, França
20
Fig. 2.2 – Joigny Bridge, França
20
Fig. 2.3 – Great Hassan II Mosque, Marrocos
21
Fig. 2.4 – Grand Arche de la Défense, França
22
Fig. 2.5 – Petronas Towers, Malásia
23
Fig. 2.6 – Torre norte do Centro Empresarial Nações Unidas, São Paulo
24
Fig. 2.7 – Trajetória de fraturamento no concreto de alto desempenho
35
Fig. 2.8 – Variação da resistência à tração indireta com a resistência à compressão
40
Fig. 2.9 – Variação do módulo de ruptura com a resistência à compressão
42
Fig. 2.10 – Variação do módulo de elasticidade com a resistência à compressão
45
Fig. 2.11 – Diagrama tensão-deformação do concreto
47
Fig. 2.12 – Comparação de resultados experimentais e teóricos – modelo de
Almusallam; Alsayed (1995)
50
Fig. 3.1 – Possíveis curvas tensão-deformação para diferentes materiais: a) material
frágil; b) material plástico; c) material quase-frágil
54
Fig. 3.2 – Distribuição de tensões no colapso de uma placa infinita para diferentes
materiais: a) colapso frágil; b) colapso dúctil (ou plástico); c) colapso quasefrágil
55
Fig. 3.3 – Distribuição de tensões na vizinhança de uma fissura
59
Fig. 3.4 – Zona de processos inelásticos no concreto
60
Fig. 3.5 – Conceitos básicos do Modelo da Fissura Fictícia
61
Fig. 3.6 – Composição de curvas no Modelo da Fissura Fictícia
62
Fig. 3.7 – Conceitos básicos do Modelo da Banda de Fissuração: (a) banda de
microfissuração e (b) curva tensão-deformação da banda de microfissuração
(Bažant; Oh, 1983)
63
Fig. 3.8 – Modelo de Dois Parâmetros: (a) respostas elástica e plástica ao fraturamento
e (b) ciclo de carregamento e descarregamento
65
Fig. 3.9 – Estruturas geometricamente similares
67
Fig. 3.10 – Efeito de escala na resistência nominal
68
Fig. 3.11 – Ensaio para determinação da energia de fraturamento GF
70
Fig. 3.12 – Corpo-de-prova do tipo CEV
72
Fig. 3.13 – Curvas carga x CMOD passíveis de serem observadas nos ensaios
73
Fig. 3.14 – Aplicação das forças de compressão e posicionamento do clip gauge em
corpo-de-prova do tipo CEV
75
Fig. 3.15 – Esquema de reação da força aplicada no ensaio de compressão em três
pontos
76
Fig. 3.16 – Posicionamento dos LVDT’s para medição do CMOD
76
Fig. 3.17 – Geometria do corpo-de-prova do tipo CEV
77
Fig. 3.18 – Placa de inserção para formação de entalhe em corpos-de-prova do tipo
CEV
78
Fig. 3.19 – Marcação de guias em corpo-de-prova capeado e com entalhe
79
Fig. 3.20 – Vista lateral (a) e superior (b) do aparato de ensaio com corpos-de-prova
do tipo CEV
79
Fig. 3.21 – Traçado de linhas de suavização
81
Fig. 3.22 – Traçado de linhas médias
82
Fig. 3.23 – Curva experimental carga x CMOD para um corpo-de-prova do tipo
CEV
83
Fig. 3.24 – Efeito de escala previsto pelas equações de Bažant-Kim-Sun, comparado a
461 resultados experimentais de vigas sem estribos
86
Fig. 3.25 – a) Mecanismos de colapso de tubos de concreto simples; b) Efeito de escala
na resistência nominal para os dois tipo de colapso
87
Fig. 4.1 – Forças atuantes em uma fissura diagonal numa viga de concreto armado
90
Fig. 4.2 – Influência de fc na resistência ao cisalhamento de vigas sem estribos
97
Fig. 4.3 – Influência de ρ na resistência ao cisalhamento de vigas sem estribos
99
Fig. 4.4 – Efeito de escala na resistência ao cisalhamento de vigas sem estribos
100
Fig. 4.5 – Efeito de escala na resistência ao cisalhamento (fc = 30 MPa; ρ = 1,35%)
102
102
103
103
Fig. 5.1 – Fissuras e deformações em uma viga fletida
106
Fig. 5.2 – Diagrama momento x curvatura da seção transversal de uma viga sob flexão
107
Fig. 5.3 – Descrição matemática do diagrama de tensões de compressão na seção
111
Fig. 5.4 – Valores de k1 e k2 para diversas distribuições de tensões
112
Fig. 5.5 – Diagrama retangular simplificado equivalente de tensões
112
Fig. 5.6 – Diagrama tensão x deformação da NBR-6118/2001
119
Fig. 5.7 – Possíveis curvas carga x flecha para vigas de concreto armado
126
Fig. 6.1 – Possíveis curvas carga x flecha para vigas levemente armadas
129
Fig. 6.2 – Comparações de valores teóricos e experimentais de armadura mínima em
vigas de seção retangular
133
Fig. 6.3 – Arranjo de ensaio e detalhe dos LVDT’s utilizados
137
Fig. 6.4 – Sistema de controle do ensaio e aquisição de dados
138
Fig. 6.5 – Curva carga x deslocamento da viga A1-1
138
139
139
140
140
Fig. 6.10 – Curva carga x deslocamento da viga B1-2
141
141
142
142
143
143
Fig. 6.16 – Curvas carga x deslocamento das vigas da série A1
146
Fig. 6.17 – Curvas carga x deslocamento das vigas da série B1
146
Fig. 6.18 – Curvas carga x deslocamento das vigas da série B2
147
Fig. 6.19 – Variação da taxa mínima de armadura com o tamanho da viga
148
Fig. 6.20 – Variação do comportamento com a altura da viga
148
Fig. 6.21 – Valores teóricos e experimentais de ρmin – série A2
149
Fig. 6.22 – Valores teóricos e experimentais de ρmin – série B2
149
Fig. 7.1 – Diferentes níveis do concreto de acordo com Zaitsev; Wittmann (1981): (a)
nível micro, (b) nível meso e (c) nível macro
153
Fig. 7.2 – Curva tensão x deformação do concreto sob compressão
154
Fig. 7.3 – Tensões atuantes ao redor de uma partícula de agregado embutido em uma
matriz de argamassa
156
Fig. 7.4 – Resultado de ensaio em discos de material fotoelástico para simular a
interação entre as partículas de agregado
157
Fig. 7.5 – Panoramas de fissuração de corpo-de-prova cilíndricos a diversos níveis de
tensão: (a) 83% da tensão máxima, (b) tensão máxima, (c) 93% da tensão
máxima no ramo pós-pico, (d) 81% da tensão máxima no ramo pós-pico
159
Fig. 7.6 – Estágios de fissuração no concreto sob compressão uniaxial
161
Fig. 7.7 – Efeito da direção de moldagem em relação à direção de aplicação da carga em
um corpo-de-prova submetido a compressão uniaxial
162
Fig. 7.8 – Mecanismos hipotéticos responsáveis pela anisotropia inicial do concreto
162
Fig. 7.9 – Exemplo de prato de aplicação de carga do tipo “escova”
164
Fig. 7.10 – Influência do tamanho do corpo-de-prova na curva tensão x deformação do
concreto sob compressão uniaxial
165
Fig. 7.11 – Curvas normalizadas carga x deslocamento para várias condições de
contorno e duas classes diferentes de concreto
167
Fig. 7.12 – Influência das diferentes condições de atrito entre os pratos de aplicação de
carga e as extremidades do corpo-de-prova
169
Fig. 7.13 – Zonas confinadas devido às forças de atrito entre o corpo-de-prova e os
pratos de aplicação de carga
170
Fig. 7.14 – Tensões máximas e correspondentes deformações para duas condições de
contorno e classes de concreto diferentes
171
Fig. 7.15 – Recomendação de ensaio padrão para a determinação da curva completa
tensão x deformação do concreto sob compressão uniaxial
172
Fig. 7.16 – Influência da altura do corpo-de-prova na curva tensão x deformação de um
concreto com resistência à compressão de 108 MPa
174
Fig. 7.17 – Curvas tensão x deformação para corpos-de-prova de concreto com diferentes
alturas
174
Fig. 7.18 – Zona de dano típica observada em ensaios de compressão uniaxial
175
Fig. 7.19 – Curvas tensão x deformação para um concreto de resistência média
176
Fig. 7.20 – Curvas tensão x deformação para um concreto de alta resistência
176
Fig. 7.21 – Modo típico de colapso de prismas de concreto sob compressão excêntrica
180
Fig. 7.22 – Critérios de localização de deformações: (a) localização gradual, (b)
localização em uma banda, (c) localização em uma linha
181
Fig. 7.23 – Modelo de localização sem descarregamento fora da zona de dano
182
Fig. 7.24 – Modelo de localização sem consideração da energia dissipada até o pico
183
Fig. 8.1 – Modelo proposto para localização de deformações na compressão uniaxial
186
Fig. 8.2 – Composição de curvas no modelo de localização proposto
188
Fig. 8.3 – Curvas tensão x deformação pós-pico: corpos-de-prova de resistência média
192
Fig. 8.4 – Curvas tensão x deformação pós-pico: corpos-de-prova de alta resistência
193
Fig. 8.5 – Curvas tensão x deformação para os corpos-de-prova de resistência média
193
Fig. 8.6 – Curvas tensão x deformação para os corpos-de-prova de alta resistência
194
Fig. 8.7 – Curvas de amolecimento da zona de dano: (a) racional; (b) linear
194
Fig. 8.8 – Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova
de concreto de resistência média de Jansen – amolecimento linear
195
Fig. 8.9 – Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova
de concreto de alta resistência de Jansen – amolecimento linear
196
Fig. 8.10 – Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-deprova de concreto simples de Rokugo e Koyanagi – amolecimento linear
197
Fig. 8.11 – Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-deprova de concreto com fibras de Rokugo e Koyanagi – amolecimento linear
198
Fig. 8.12 – Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-deprova de argamassa de Rokugo e Koyanagi – amolecimento linear
198
Fig. 8.13 – Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-deprova de concreto simples de Rokugo e Koyanagi – amolecimento racional
199
Fig. 8.14 – Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-deprova de concreto com fibras de Rokugo e Koyanagi – amolecimento
racional
199
Fig. 8.15 – Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-deprova de argamassa de Rokugo e Koyanagi – amolecimento racional
200
Fig. 8.16 – Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-deprova de concreto de alta resistência de Markeset – amolecimento linear
202
Fig. 8.17 – Variação de εDC com a resistência à compressão
203
Fig. 8.18 – Analogia do efeito de escala entre a compressão uniaxial e a flexão
205
Fig. 8.19 – Localização de deformações em uma viga sob momento uniforme
206
Fig. 8.20 – Distribuição de tensões e deformações ao longo do vão de momento uniforme
208
Fig. 8.21 – Curva de descarregamento do aço
209
Fig. 8.22 – Subdivisão da seção transversal da viga para integração numérica
212
Fig. 9.1 – Armadura das vigas da série HR
216
Fig. 9.2 – Armadura das vigas da série LR
217
Fig. 9.3 – Armaduras e seções transversais das vigas ensaiadas
218
Fig. 9.4 – Curvas típicas carga x deformação das barras de aço CA-50 utilizadas
222
Fig. 9.5 – Arranjo geral do ensaio e sistema de aquisição de dados
224
Fig. 9.6 – Esquema de instrumentação na zona de momento uniforme
225
Fig. 9.7 – Zona de momento uniforme – vista lateral (a) e perspectiva (b)
225
Fig. 9.8 – Detalhes dos sensores utilizados
226
Fig. 9.9 – Curva carga x flecha da viga HR-L1
227
Fig. 9.10 – Curva carga x flecha da viga HR-L2
227
Fig. 9.11 – Curva carga x flecha da viga HR-M1
228
Fig. 9.12 – Curva carga x flecha da viga HR-M2
228
Fig. 9.13 – Curva carga x flecha da viga HR-S2
229
Fig. 9.14 – Curva carga x flecha da viga LR-L1
229
Fig. 9.15 – Curva carga x flecha da viga LR-L2
230
Fig. 9.16 – Curva carga x flecha da viga LR-M1
230
Fig. 9.17 – Curva carga x flecha da viga LR-M2
231
Fig. 9.18 – Curva carga x flecha da viga LR-S1
231
Fig. 9.19 – Curva carga x flecha da viga LR-S2
232
Fig. 9.20 – Influência da esbeltez da zona de momento uniforme na ductilidade póspico
235
Fig. 9.21 – Perfil de deformações na zona de momento uniforme da viga HR-L1
237
Fig. 9.22 – Perfil de deformações na zona de momento uniforme da viga HR-L2
237
Fig. 9.23 – Zona de dano da viga HR-M2
238
Fig. 9.24 – Tamanho da zona de dano na flexão
239
Fig. 9.25 – Curvas experimentais momento x deformação da série HR
240
Fig. 9.26 – Curvas experimentais momento x deformação da série LR
241
Fig. 9.27 – Comparação entre curvas típicas momento x deformação de vigas com alta
taxa de armadura (HR) e baixa taxa de armadura (LR)
242
Fig. 9.28 – Fissuras verticais de flexão
244
Fig. 9.29 – Fissuras horizontais no nível da armadura
244
Fig. 9.30 – Início da formação da zona de dano
245
Fig. 9.31 – Desenvolvimento da zona de dano
245
Fig. 9.32 – “Destacamento” da zona de dano
246
Fig. 9.33 – Esmagamento do concreto comprimido
246
Fig. 9.34 – Comportamento das zonas de dano e descarregamento – série HR
248
Fig. 9.35 – Curvas momento x deformação experimentais e teóricas – série HR
249
Fig. 9.36 – Curvas normalizadas momento x deformação experimentais e teóricas –
série HR
250
Fig. 9.37 – Comportamento das zonas de dano e descarregamento – série LR
251
Fig. 9.38 – Curvas momento x deformação experimentais e teóricas – série LR
251
Fig. 9.39 – Curvas normalizadas momento x deformação experimentais e teóricas –
série LR
252
Fig. 9.40 – Seção de concreto armado quando a capacidade resistente à flexão é
atingida
253
LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1 – Classificação de concretos quanto à resistência à compressão
(MPa)
18
Tabela 2.2 – Resistência à compressão máxima estabelecida em normas de
projeto
37
Tabela 2.3 – Valores do coeficiente αβ para diversos tipos de agregado
45
Tabela 2.4 – Coeficientes Cca recomendados para diferentes agregados
46
Tabela 3.1 – Dimensões e tolerâncias para o corpo-de-prova do tipo CEV
78
Tabela 4.1 – Séries de ensaios da literatura analisados
94
Tabela 4.2 – Razão entre valores experimentais e teóricos (média)
95
Tabela 4.3 – Razão entre valores individuais experimentais e teóricos
96
Tabela 5.1 – Deformação máxima de compressão no concreto
116
Tabela 5.2 – Parâmetros do diagrama retangular segundo a NS 3473E-92
118
Tabela 5.3 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas
(NBR6118/2001)
120
Tabela 5.4 – Valores do coeficiente ξ segundo o ACI-318
123
Tabela 6.1 – Dosagens utilizadas (para 1 m3 de concreto)
134
Tabela 6.2 – Geometria das vigas
136
Tabela 6.3 – Propriedades mecânicas do concreto e do aço
137
Tabela 6.4 – Resultados teóricos e experimentais
144
Tabela 6.5 – Comparação de valores teóricos e experimentais
145
Tabela 8.1 – Valores dos parâmetros de amolecimento para os corpos-deprova ensaiados por Jansen (1996)
192
Tabela 8.2 – Valores dos parâmetros de amolecimento para os corpos-deprova ensaiados por Rokugo e Koyanagi (1992)
200
Tabela 8.3 – Valor do parâmetro de amolecimento linear para os corposde-prova ensaiados por Markeset (1994)
201
Tabela 9.1 – Dosagem utilizada (para 1 m3 de concreto)
219
Tabela 9.2 – Geometria e propriedades mecânicas das vigas
220
221
Tabela 9.4 – Desvio padrão e coeficiente de variação das propriedades do
concreto utilizado nos ensaios
221
Tabela 9.5 – Propriedades do concreto – comparação entre valores
experimentais e teóricos
223
Tabela 9.6 – Valores experimentais de momento fletor
233
Tabela 9.7 – Índices de ductilidade em termos de flechas
235
Tabela 9.8 – Resultados experimentais e teóricos (série HR)
248
Tabela 9.9 – Resultados experimentais e teóricos (série LR)
250
Tabela 9.10 – Valores teóricos (NBR6118) e experimentais do momento
máximo
255
Tabela 9.11 – Valores teóricos (modelo) e experimentais do momento
máximo
256
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ABNT
– Associação Brasileira de Normas Técnicas
ACI
– American Concrete Institute
ASTM
– American Society for Testing and Materials
CAD
– Concreto de Alto Desempenho
CAN
– Canadian Standard
CEB
– Comité Euro-International du Béton
CEV
– Cilindro com Entalhe em V
HR
– High Reinforcement
ISRM
– International Society for Rock Mechanics
LR
– Low Reinforcement
LVDT
– Linear Variable Differential Transformer
MFEL
– Mecânica da Fratura Elástica Linear
MFNL
– Mecânica da Fratura Não-Linear
NS
– Norwegian Standard
RILEM
– Reúnion Internationale des Laboratoires d’Essais et de
Recherches sur les Matériaux et les Constructions
ZMU
– Zona de Momento Uniforme
LISTA DE SÍMBOLOS
P
Carga aplicada
σ
Tensão aplicada
w
Deslocamento
wc
Deslocamento crítico
δ
Deslocamento vertical
σN, σNc
Resistência nominal
σy
Tensão de escoamento
σw
Tensão admissível
b, bw
Largura da viga
h
Altura da viga
L
Vão da viga; altura do corpo-de-prova
fc
Resistência à compressão do concreto
ε&
Taxa de deformação
αs
Fator de forma dependente do tamanho do corpo-de-prova
d
diâmetro do corpo-de-prova; altura útil da viga
fsp
Resistência indireta à tração (compressão diametral)
ft
Resistência direta à tração
fr
Resistência à tração na flexão (módulo de ruptura)
E, Ec
Módulo de elasticidade do concreto
αβ
Coeficiente dependente do tipo de agregado
Cca
Coeficiente dependente do tipo de agregado
ε
Deformação
ε ′c
Deformação correspondente à tensão máxima
σmax, σf
Tensão máxima
a1
maior raio de uma elipse
a2
menor raio de uma elipse
Kt
Fator de concentração de tensão
r
Distância a partir da ponta da fissura
KI
Fator de intensidade de tensão
GI
Taxa de liberação de energia de deformação
KIc
Tenacidade ao fraturamento
CMOD
Abertura da entrada do entalhe (abertura da “boca” da fissura)
COD
Abertura da fissura
GF
Energia de fraturamento no Modelo da Fissura Fictícia
lch
Índice de fragilidade do material (comprimento característico)
Gf
Energia de fraturamento no Modelo da Banda de Fissuração
hc
Largura da banda de fissuração
Et
Inclinação do ramo pós-pico da curva tensão x deformação no
Modelo da Banda de Fissuração
CMOD ec
Parcela elástica da abertura crítica da entrada do entalhe
CMOD e
Parcela elástica da abertura da entrada do entalhe
CMOD p
Parcela plástica da abertura da entrada do entalhe
CTOD ec
Parcela elástica da abertura crítica da ponta da fissura inicial
CTOD e
Parcela elástica da abertura da ponta da fissura inicial
CTOD p
Parcela plástica da abertura da ponta da fissura inicial
K sIc
Fator de intensidade de tensões crítico
ac
Extensão crítica da fissura
g1, g2, g3
Funções geométricas
Pc, Fc
Carga crítica de fraturamento
cn
Coeficiente dependente do tipo de estrutura
a0
Comprimento inicial da fissura
B
Parâmetro do Modelo do Efeito de Escala
Ag
Função geométrica
ν
Coeficiente de Poisson
KIQ
Tenacidade aparente ao fraturamento
p
Fator de correção inelástica
D
Espessura do ligamento
t
espessura do entalhe
*
Ymin
Função geométrica
Favg
Carga média
δL1, δL2
CMOD’s correspondentes à carga média
δU1, δU2
CMOD’s residuais
vu
Resistência ao cisalhamento
ρ
Taxa de armadura longitudinal
da
Diâmetro máximo do agregado
a
Vão de cisalhamento
Vn
Capacidade resistente ao cisalhamento
Vs
Parcela resistente ao cisalhamento devida à armadura de
cisalhamento
Vd
Parcela resistente ao cisalhamento devida ao efeito de pino
Vcz
Parcela resistente ao cisalhamento devida ao concreto não fissurado
Vay
Parcela resistente ao cisalhamento devida ao intertravamento dos
agregados
Vc
Parcela resistente ao cisalhamento devida ao concreto
C
Resultante de compressão no concreto
T
Resultante de tração na armadura
φ
Curvatura
x
Profundidade da linha neutra
M
Momento fletor
k1, k2, k3
Parâmetros do diagrama de tensões de compressão no concreto
α1, β1
Parâmetros do diagrama retangular simplificado
ω
Taxa mecânica de armadura de flexão
As
Armadura de flexão
ρb
Taxa de armadura correspondente ao limite entre os Domínios 3 e 4
fy
Tensão de escoamento do aço
εy
Deformação de escoamento do aço
εc
Deformação de compressão do concreto
εcu
Deformação última de compressão do concreto
σc
Tensão de compressão no concreto
As, min
Armadura mínima de flexão
s
Espaçamento de estribos
Mcr
Momento de fissuração
Ig
Momento de inércia da seção bruta
Icr
Momento de inércia da seção fissurada
yt
Distância do centróide da seção à fibra mais tracionada do concreto
λ
Multiplicador da flecha imediata
ξ
Coeficiente dependente da idade da estrutura
ρ′
Taxa de armadura de compressão
δu
deslocamento vertical último
δy
deslocamento vertical de escoamento
µ1, µ2
Índices de ductilidade em termos de flechas
Pcr
Carga de fissuração
Pu
Carga máxima
Np
Índice de fragilidade do modelo de Carpinteri
Npc
Índice de fragilidade crítico do modelo de Carpinteri
ρmin
Taxa mínima de armadura de flexão
c
Cobrimento de concreto da armadura de flexão
Es
Módulo de elasticidade do aço
δcr
Deslocamento vertical correspondente à carga de fissuração
Pcr
Carga de fissuração
LD
Comprimento da zona de dano
dD
Profundidade da zona de dano
δpost
Deslocamento pós-pico
δpre
Deslocamento pré-pico
δ0
Deslocamento correspondente à carga de pico
WU
Energia por unidade de volume dissipada até a carga de pico
WDC
Energia por unidade de volume dissipada dentro da zona de dano
εu
Deformação de descarregamento fora da zona de dano
εD
Deformação de dano
εDC
Deformação crítica de dano
ε0
Deformação correpondente à carga de pico
β
Parâmetro da curva tensão x deformação de Carreira; Chu
σs
Tensão no aço
εs
Deformação do aço
εs, peak
Deformação do aço correspondente à tensão máxima no concreto
σLD
Tensão na fibra mais comprimida dentro da zona de dano
εLD
Deformação da fibra mais comprimida dentro da zona de dano
εDC,f
Deformação crítica de dano na flexão
LMU
Comprimento da zona de momento fletor uniforme
z
Braço de alavanca
My
Momento de escoamento
Mu
Momento máximo
µLR, µHR
Índices de ductilidade em termos de flechas
εcy
Deformação de compressão no concreto correspondente ao
escoamento da armadura de tração
εc, pico
Deformação de compressão no concreto correspondente ao
momento máximo
1
INTRODUÇÃO
1
1.1
CONSIDERAÇÕES GERAIS
A Mecânica da Fratura é o ramo da ciência que descreve as condições de
tensão e deformação na vizinhança e à frente da ponta de uma fissura. Em
muitos casos o colapso de estruturas de concreto é governado pela iniciação e
propagação de fissuras, na presença de localização de deformações e de efeitos de
escala. O interesse pela aplicação da teoria de Mecânica da Fratura ao concreto
tem crescido bastante nos últimos anos, já havendo um consenso de que a
introdução de conceitos desta teoria na metodologia de análise e projeto poderia
gerar diversos benefícios, tanto para o concreto simples quanto para o concreto
armado. Estes conceitos podem prover uma base teórica consistente para alguns
critérios de normas de projeto baseados em regras puramente empíricas
(Gustafsson; Hillerborg, 1985); (Hawkins, 1985); (Tassios, 1985); (Elfgren, 1989);
(Walraven, 1994); (Hawkins, 1997). A aplicação dos conceitos de Mecânica da
Fratura ao concreto é capaz de prover metodologias de análise e projeto mais
2
sofisticadas e precisas. O conhecimento mais aprofundado sobre o
comportamento mecânico do material é de suma importância para o correto
entendimento do comportamento estrutural de peças de concreto e para a
formulação de modelos constitutivos mais realistas a serem implementados em
programas de simulação numérica baseados no Método dos Elementos Finitos,
por exemplo.
A Mecânica da Fratura, no seu estágio atual, já adquiriu a maturidade
necessária para que seu uso seja difundido. Atualmente os conceitos podem ser
aplicados de modo similar àqueles da Resistência dos Materiais. A princípio, uma
das maiores dificuldades para a utilização prática da Mecânica da Fratura era a
obtenção dos parâmetros necessários para tais aplicações. Nos últimos anos,
entretanto, os métodos experimentais aplicados na análise de fenômenos de
fraturamento do concreto vêm tendo uma grande evolução devido ao surgimento
de máquinas de ensaios mecânicos com controle digital, que permitem os ensaios
de deformação (e/ou deslocamento) controlada. Com isso, torna-se possível a
investigação de fenômenos de localização e amolecimento, assim como o
desenvolvimento de ensaios que garantam o controle e a qualidade das estruturas
sensíveis a esses fenômenos. No caso das estruturas de concreto, os fenômenos
de fraturamento são objeto de intensa pesquisa em todo o mundo.
Por outro lado, no aspecto material, nas últimas décadas tem ocorrido
uma notável mobilização por parte da comunidade científica e da indústria da
construção civil em torno da utilização de concretos com características elevadas
de desempenho. Inicialmente, era bastante utilizado o termo concreto de alta
resistência, uma vez que o concreto convencional sempre foi caracterizado
essencialmente por sua resistência à compressão. Porém, sabe-se que várias
outras propriedades do material, como a durabilidade, são bastante melhoradas,
podendo até ser decisivas na tomada de decisões em projetos de engenharia.
Parece então ser mais coerente denominar esse material de concreto de alto
desempenho (CAD), como já o fazem atualmente diversos profissionais e
pesquisadores da área.
3
O interesse pela utilização do CAD é derivado de razões técnicas e
econômicas. Do ponto de vista técnico, uma maior resistência à compressão em
geral é acompanhada de melhorias em outras propriedades mecânicas, tais como
resistência à tração, módulo de elasticidade, coeficiente de fluência, etc. Pode-se
citar alguns exemplos de aplicação: em edifícios altos, maiores resistências à
compressão podem reduzir as usualmente robustas seções dos pilares dos pisos
inferiores; em pisos de edifícios, vigas menores e lajes mais delgadas podem
reduzir a carga permanente da estrutura e a distância piso a piso, reduzindo a
altura total do prédio para um dado número de andares; em pontes, a
combinação do CAD para reduzir a carga permanente com a protensão para
controlar as flechas pode elevar bastante o vão máximo permitido. Em termos
econômicos, em muitas situações a utilização do CAD gera custos menores do
que aqueles equivalentes ao concreto convencional. Por exemplo, a elevada
durabilidade do CAD reduz os custos de manutenção ao longo da vida útil da
estrutura, custos estes que por vezes são altíssimos quando da utilização de
concretos convencionais.
Em contrapartida, a microestrutura mais densa e uniforme do CAD é
responsável por uma diminuição da ductilidade do material, como pode ser
notado pela superfície de fraturamento menos áspera do CAD (Fig. 1.1). Isso
gera uma elevação da característica contrária à ductilidade, que é a fragilidade do
material. Nesse caso, torna-se ainda mais pertinente a monitoração da propagação
de fissuras com o intuito de evitar o colapso frágil da peça estrutural.
Concreto
Convencional
Concreto de Alto
Desempenho
Fig. 1.1 - Superfícies de fraturamento do concreto (Bittencourt et al., 2000)
4
1.2
POR QUE APLICAR A MECÂNICA DA FRATURA AO CONCRETO ?
A aplicação dos conceitos da Mecânica da Fratura a materiais cerâmicos,
como o concreto, argamassas, cerâmicas avançadas, rochas, visa a uma melhor
caracterização da ruptura desse tipo de material. Além disso, vários modelos
teóricos e experimentais vêm sendo desenvolvidos de modo a integrar no futuro
estes conceitos nas normas de projeto e detalhamento de estruturas compostas de
tais materiais.
O projeto usual de estruturas de concreto armado consiste de uma análise
da estrutura considerando dois estágios distintos, quais sejam os chamados estado
limite último e estado limite de utilização. O primeiro utiliza critérios de colapso
baseados em tensões para a determinação da capacidade de carga das estruturas.
Em função de mecanismos de colapso observados experimentalmente, esse tipo
de análise permite determinar o comportamento de uma estrutura sob carga pela
combinação de três condições: o equilíbrio de forças, a compatibilidade de
deformações e a equação constitutiva do material na ruptura. Por outro lado, a
análise relativa ao estado limite de utilização é baseada em considerações de
elasticidade linear (para flechas) ou em formulações empíricas (para fissuração),
sob cargas de serviço.
Como esta prática de projeto tem sido adotada por muitos anos com
sucesso, poder-se-ia argumentar que não há necessidade de alteração (ou
melhoria) da mesma nas normas de projeto estrutural correntes. Entretanto, a
introdução de uma nova teoria baseada num critério de colapso energético e que
contempla a propagação progressiva do fraturamento ao longo da estrutura
poderia explicar, de acordo com sólidos princípios físicos, várias regras antigas de
projeto de natureza puramente empírica, assim como auxiliar no embasamento
do projeto de estruturas inovadoras e não usuais para as quais não existem nem
mesmo regras empíricas. Entende-se que esse é o principal papel da Mecânica da
Fratura no que diz respeito à sua aplicação ao concreto.
A teoria clássica de Mecânica da Fratura Elástica Linear (MFEL) foi
estabelecida a partir da década de 20 por Griffith (1921). Porém, esta teoria, na
5
sua forma clássica, é aplicável somente a materiais elásticos homogêneos de
comportamento frágil, caso do vidro, por exemplo. A partir da década de 60,
vários pesquisadores tentaram aplicar essa teoria clássica ao concreto, o que foi
constatado como um fracasso anos mais tarde, no início da década de 70.
Atualmente já são conhecidas as razões pelas quais a MFEL não pode ser
diretamente aplicada ao concreto. Tais razões se originam do fato de que a
resposta à tração de materiais cimentícios é diferente daquela de materiais frágeis
como o vidro e de materiais dúcteis como a maioria dos metais. A Fig. 1.2
esquematiza o diagrama carga-deslocamento dos materiais cimentícios, caso do
concreto. Existe uma região inicial praticamente elástica (até o ponto A) seguida
de uma região inelástica de encruamento de deformações (trecho AB). Após a
carga de pico, há um aumento da deformação com a diminuição da capacidade
resistente (trecho BCD). Esse tipo de resposta é denominado amolecimento de
deformações, ou simplesmente amolecimento. O amolecimento é causado pela
microfissuração localizada do concreto e pelo efeito de ponte entre os agregados
graúdos. Os materiais que apresentam a curva de resposta mostrada na Fig. 1.2
são denominados quase-frágeis.
O processo de microfissuração do concreto, a evolução estável de fissuras
e a energia dissipada no processo de fraturamento são aspectos característicos do
comportamento de materiais quase-frágeis. Os mecanismos que levam a este tipo
de resposta estrutural serão abordados no decorrer deste trabalho.
A utilização exclusiva dos critérios convencionais de projeto e
dimensionamento de peças e estruturas de concreto geram alguns inconvenientes
que podem ser eliminados pela utilização conjunta da Mecânica da Fratura e da
Resistência dos Materiais. A seguir estão brevemente expostos alguns dos
argumentos que conduzem à disposição da inclusão de conceitos de Mecânica da
Fratura nos critérios de análise e projeto das normas de concreto correntes.
Energia necessária para a evolução de uma fissura
A necessidade de um critério de colapso de estruturas de concreto
baseado em considerações energéticas parece óbvia devido ao fato da evolução
6
de qualquer fissura exigir o consumo de uma certa quantidade de energia, mesmo
que a fissura tenha sido formada como consequência de uma tensão atuante
superior à resistência à tração do material. Em outras palavras, é irrelevante a
causa da formação da fissura; o que é de fato fundamental é o conhecimento da
evolução da fissura sob a atuação do carregamento externo. Esse conhecimento
só pode ser adquirido por meio da introdução de critérios basedos em
considerações de dissipação de energia na zona de fraturamento.
P
w (σ)
B
A
C
wc
D
w
Fig. 1.2 - Curva típica carga-deslocamento de um material quase-frágil
Ausência de um patamar de escoamento
Em geral, a validade da análise em estado limite último requer a existência
de um patamar de escoamento na resposta carga-deslocamento da estrutura
(colapso dúctil), mostrado na Fig. 1.3a. A ausência de um patamar de escoamento
indica que o colapso não é plástico, e em geral implica em um amolecimento
(softening) do material devido ao processo de fraturamento ou outro tipo de
danificação, como ilustrado na Fig. 1.3b, resultando na propagação de uma zona
de fraturamento através da estrutura.
Como exemplo deste processo de fraturamento, pode-se observar o
colapso de uma laje submetida a punção. Tal situação está esquematizada na
Fig. 1.4, a qual mostra distribuições aproximadas de tensões de tração ao longo
7
da superfície de ruína. Se a laje fosse feita de um material elasto-plástico perfeito,
as diversas regiões numeradas 1, 2 e 3 plastificariam gradualmente até que toda a
superfície de ruína atingisse o escoamento. Entretanto, se o material apresenta
amolecimento, a tensão máxima de tração é deslocada através da superfície
deixando uma região amolecida no seu rastro. Se a superfície de ruína é pequena,
a redução da tensão na zona amolecida não é apreciável, o que significa que a
distribuição de tensões na superfície de ruína difere muito pouco daquela
resultante da análise limite convencional. Não obstante, se a laje apresenta
grandes dimensões, a redução de tensão na zona amolecida é acentuada, de forma
que a análise limite tende a superestimar a capacidade de carga da laje. Esse
exemplo mostra que o modo de colapso de uma laje de concreto sob punção
pode mudar de dúctil para frágil, dependendo do tamanho absoluto da mesma.
P
Patamar de escoamento
(a)
δ
P
Amolecimento
(b)
δ
Fig. 1.3 - Comportamento estrutural: (a) dúctil; (b) quase-frágil
Capacidade de absorção de energia e ductilidade
O diagrama completo de resposta carga-deslocamento do concreto é do
tipo mostrado na Fig. 1.2. A área sob esta curva representa a energia absorvida
pela estrutura durante o processo de fraturamento, desprezando a energia
dissipada nos apoios e nos pontos de aplicação do carregamento. A maior parte
desta energia é absorvida pela estrutura na região de amolecimento pós-pico, e
essa parcela de energia caracteriza a ductilidade da estrutura, sendo que, quanto
maior a energia absorvida na região de amolecimento, mais dúctil é a resposta da
8
estrutura. A análise convencional não leva em conta o amolecimento de
deformações, logo é incapaz de fornecer uma indicação da capacidade de
absorção de energia de uma peça ou estrutura de concreto.
(a)
(b)
Tamanho
da peça
σ
3
2
(c)
Material
plástico
2
(d)
1
3
grande
2
1
(e)
3
σ
1
3
pequena
2
Material com
amolecimento
σy
w
σ
σN
w
1
Fig. 1.4 - Natureza progressiva do colapso de uma laje por cisalhamento na punção
Objetividade nas simulações numéricas
O método dos elementos finitos tem sido aplicado à análise de seções
fissuradas de concreto desde o começo da década de 60 (Clough, 1962 apud
Karihaloo, 1995). Nessas análises, em geral, considerava-se que as fissuras eram
formadas quando a tensão atuante atingia a resistência à tração do concreto. Uma
vez atingido este limite, a tensão no elemento correspondente era anulada
instantaneamente, logo o concreto era considerado um material frágil. Isso gerava
uma forte dependência do tamanho dos elementos utilizados nos deslocamentos
calculados (fato conhecido como falta de objetividade numérica). Mesmo depois da
inclusão de uma resposta com amolecimento (permitindo uma queda gradual da
tensão até zero), a utilização de um critério de colapso baseado exclusivamente
em tensões produz resultados que não são objetivos com relação ao tamanho da
malha de elementos finitos utilizada (Bažant; Cedolin, 1980). Esse é um problema
9
sério, visto que tal método é largamente utilizado para a modelagem de estruturas
especiais, como por exemplo cascas de concreto armado e barragens. O critério
de energia da Mecânica da Fratura assegura a obtenção de soluções estáveis e
convergentes. Logo, do ponto de vista da simulação numérica, a aplicação dos
conceitos da Mecânica da Fratura é fundamental para a correta modelagem das
estruturas de concreto.
Validade das curvas tensão-deformação utilizadas
Curvas tensão-deformação como as mostradas na Fig. 1.5 são usualmente
utilizadas para a determinação das leis constitutivas para o concreto no estado
limite último. Entretanto, muitas pesquisas têm mostrado que o comportamento
do ramo de amolecimento (ramo descendente) não é uma propriedade do
material, e de fato depende da dimensão do corpo-de-prova ensaiado. Esse fato
pode ser adequadamente contemplado utilizando conceitos de Mecânica da
Fratura.
Tensão
Tração
Deformação
Compressão
Fig. 1.5 - Curvas tensão-deformação utilizadas na análise limite convencional
Efeito de escala
Sem dúvida o mais convincente argumento a favor da aplicação da teoria
de Mecânica da Fratura ao concreto é o efeito de escala que influencia vários
10
aspectos de análise e projeto, tais como a capacidade resistente e a ductilidade em
vigas submetidas a flexão e a cisalhamento, a resistência à tração na flexão
(módulo de ruptura), o colapso de vigas submetidas a torção, o colapso de lajes
submetidas a punção, entre diversas outras. Para ilustrar esse efeito de escala,
pode-se observar na Fig. 1.6 a resposta à flexão de três vigas de concreto, as quais
são geometricamente similares mas têm tamanhos diferentes. Todas as vigas têm
a mesma largura b e a mesma relação entre o vão e a altura (L/h), mas suas
alturas são diferentes, sendo h1 < h2 < h3. A tensão correspondente à carga P é
dada por σN = P/bh. Curvas típicas tensão-deslocamento para as três vigas estão
mostradas na Fig. 1.6. Dois aspectos são claramente notados nessa figura.
Primeiro, a tensão nominal última σN aumenta com a diminuição do tamanho da
viga. Segundo, há uma mudança de resposta, de colapso dúctil em uma viga
pequena (ou baixa) para colapso frágil em uma viga grande (ou alta). De acordo
com o critério de resistência no qual se baseiam as normas de projeto atuais,
como por exemplo o critério da máxima tensão admissível σw de uma análise
elástica ou o critério da tensão de escoamento de uma análise limite (plástica), a
tensão última deve ser igual à tensão σw (ou σy) independentemente da altura h
da viga. Isso quer dizer que, segundo o critério convencional de resistência, não
existe dependência do tamanho da peça e esse tamanho não exerce qualquer
efeito sobre a ductilidade da viga.
O efeito de escala e a ductilidade da viga podem ser corretamente
determinados pela teoria de Mecânica da Fratura.
De fato, devido à elevada importância do efeito de escala para as
estruturas de concreto e para as normas de projeto, esse efeito é tratado em
praticamente todos os assuntos abordados neste trabalho.
11
P
b
h1
1
L1
P
b
2
h2
L2
P
b
3
h3
L3
σN
1
2
3
δ
Fig. 1.6 - Efeito de escala em vigas de concreto submetidas a flexão
1.3
OBJETIVOS E ESTRUTURAÇÃO DA TESE
Em termos gerais, a presente tese visa à análise do comportamento de
vigas armadas de concreto de alto desempenho utilizando conceitos de Mecânica
da Fratura. Procura-se identificar em que situações a aplicação exclusiva da teoria
convencional atualmente utilizada em todas as normas de projeto pode não ser
suficiente para a previsão do comportamento estrutural de peças de concreto,
uma vez que alguns critérios de normas são puramente empíricos. Isto pode
12
levar, em certos casos, a estimativas não conservadoras da carga de colapso de
uma peça ou estrutura, em especial devido ao efeito de escala. Isto se torna ainda
mais relevante para o caso do concreto de alto desempenho, cuja utilização
prática antecedeu um profundo entendimento do comportamento mecânico
desse material, o qual é de natureza reconhecidamente mais frágil do que o
concreto convencional. Com efeito, é de fundamental importância se investigar o
comportamento do concreto de alto desempenho em vigas, pilares, lajes e outras
peças estruturais, com o intuito de verificar a aplicabilidade das regras de projeto
correntes (que foram concebidas a partir de ensaios com concretos convencionais
de resistência relativamente baixa) a estas peças, visto que a simples extrapolação
dos critérios correntes sem o devido suporte experimental parece ser imprudente.
Várias investigações vêm sendo conduzidas em vários centros de pesquisa
espalhados pelo mundo com esta finalidade. É importante salientar que a
utilização prática dos modelos estudados exige o desenvolvimento de métodos
padronizados de ensaio que permitam obter de forma inequívoca os parâmetros
de fraturamento a serem utilizados em tais modelos. Este trabalho fornece uma
descrição sucinta dos métodos experimentais existentes e apresenta uma nova
metodologia de ensaio recentemente desenvolvida e testada em conjunto com
diversos centros de pesquisa na área, os quais constituíram um plano de
colaboração internacional realizado durante o ano de 1999.
Em termos mais específicos, a presente tese visa à investigação
experimental do comportamento à flexão de vigas de concreto armado do ponto
de vista da quantidade mínima de armadura de flexão, do efeito de escala e da
localização de deformações.
Além disso, foi desenvolvido um modelo analítico baseado no fenômeno
de localização de deformações pós-pico na compressão uniaxial. Esse modelo é
capaz de capturar o efeito do tamanho do corpo-de-prova na curva tensãodeformação. O modelo é aplicado a resultados de ensaios uniaxiais de corpos-deprova cilíndricos e prismáticos de concreto com diferentes tamanhos com o
objetivo de avaliar sua capacidade de simular corretamente os resultados
experimentais. Como usualmente o comportamento da zona comprimida de uma
viga de concreto armado sob flexão está diretamente relacionado à curva tensão-
13
deformação do concreto obtida experimentalmente em corpos-de-prova
cilíndricos ou prismáticos, a curva gerada pelo modelo é utilizada para o cálculo
do diagrama momento-curvatura de vigas sob flexão pura, levando em conta o
tamanho (esbeltez) da viga. Os resultados obtidos são então comparados com
uma série de resultados experimentais recentes da literatura e com ensaios
realizados no Laboratório de Estruturas e Materiais Estruturais da EPUSP, a fim
de se avaliar a aplicabilidade do modelo a vigas fletidas e se ter uma idéia
aproximada dos parâmetros necessários à aplicação do mesmo.
A presente tese é estruturada de forma a seguir uma linha de
desenvolvimento coerente e de fácil entendimento. O Capítulo 1 é uma breve
introdução ao tema, procurando contextualizar e justificar o assunto abordado.
No Capítulo 2 são descritas as principais características e peculiaridades do
concreto de alto desempenho e algumas de suas propriedades mecânicas mais
relevantes. O Capítulo 3 introduz brevemente os conceitos fundamentais da
aplicação da Mecânica da Fratura ao concreto e os atuais métodos de ensaio para
determinação de parâmetros de fraturamento. O Capítulo 4 aborda os principais
parâmetros que influenciam o colapso ao cisalhamento de vigas sem estribos,
com ênfase no efeito de escala. O Capítulo 5 apresenta os principais aspectos do
comportamento de vigas armadas à flexão. Considerações teóricas e um estudo
experimental sobre a quantidade mínima de armadura de flexão em vigas são
tratados no Capítulo 6. O Capítulo 7 discute o fenômeno de localização de
deformações no colapso por compressão, o qual gera um comportamento póspico dependente do tamanho do corpo-de-prova. O modelo de fraturamento
proposto, baseado no conceito de localização de deformações na compressão, é
formulado no Capítulo 8. A investigação experimental e numérica de vigas de
concreto armado de alto desempenho é detalhada no Capítulo 9. Também nesse
capítulo é apresentada uma discussão dos resultados teóricos e experimentais
obtidos. O Capítulo 10 encerra o trabalho com o delineamento das conclusões e
sugestões para novas pesquisas.
14
O CONCRETO DE ALTO DESEMPENHO
2
2.1
GENERALIDADES
O concreto de alto desempenho (CAD) pode ser considerado como uma
evolução tecnológica dos concretos tradicionais. Esta evolução é fruto de amplas
pesquisas sobre o comportamento mecânico deste material, assim como da
introdução de dois tipos de aditivos na composição do mesmo: os de origem
mineral e os de origem química. No primeiro caso, pode-se citar o fumo de sílica
e as cinzas volantes, e no segundo, os superplastificantes. Considerações gerais
sobre a composição do CAD, sua classificação em termos de resistência
mecânica, suas principais propriedades mecânicas e algumas de suas vantagens e
desvantagens são brevemente introduzidas neste capítulo.
15
2.1.1 Composição do concreto de alto desempenho
A introdução dos aditivos minerais e químicos na composição do
concreto provoca alterações na sua microestrutura, tanto na pasta de cimento
quanto na interface agregado-pasta. Estas alterações geram modificações no
comportamento mecânico do material tanto no estado fresco quanto no estado
endurecido.
No CAD, a porosidade da pasta de cimento hidratado é muito baixa,
contrastante com a do concreto comum, no qual a água de mistura não
combinada ou absorvida na hidratação cria uma rede aberta de poros que reduz a
densidade da matriz, o que leva à obtenção de resistências mecânicas menores
que as obtidas no caso do CAD. Em termos fundamentais, quanto menor o
volume de vazios contidos na massa de concreto, maior é a resistência mecânica e
a durabilidade do material.
Os aditivos minerais atuam basicamente de duas formas: fisicamente,
preenchendo os vazios da massa de concreto (efeito de filler), e quimicamente,
transformando o hidróxido de cálcio em silicato de cálcio hidratado. No primeiro
caso, ocorre um fortalecimento da microestrutura devido à redução da
porosidade e da porometria, aumentando também a durabilidade da estrutura. A
resistência da interface também é melhorada devido à redução da espessura da
zona de transição agregado-pasta, colocando os agregados em contato direto com
uma fase mais resistente do concreto. A região da interface é porosa e frágil no
concreto convencional, pois apresenta uma alta concentração de cristais de
hidróxido de cálcio orientados preferencialmente numa direção perpendicular à
superfície dos agregados. Os aditivos minerais reduzem os espaços vazios,
aumentando a compacidade e funcionando como núcleos de cristalização do
hidróxido de cálcio, o qual passa a se formar em cristais menores que não mais
apresentam uma direção preferencial. Quimicamente, os aditivos minerais
transformam boa parte destes cristais em gel aglomerante de silicato de cálcio, no
que se chama reação pozolânica.
16
Os aditivos químicos, como por exemplo os superplastificantes, provocam
uma redução da porosidade total da massa devido à diminuição do fator a/c,
elevando significativamente a durabilidade e a resistência mecânica do concreto
como um todo.
Outras características que são bastante melhoradas com a utilização do
CAD são a elevada resistência à abrasão, a maior aderência entre o concreto e as
barras da armadura e a grande redução do fenômeno de fluência, chegando a
atingir valores inferiores a 1/5 daqueles medidos nos concretos convencionais.
Em termos de durabilidade, o CAD apresenta diversos aspectos
melhorados em relação aos concretos convencionais, como por exemplo:
• permeabilidade muito baixa, o que reduz extremamente a penetração de
agentes agressivos na massa de concreto;
• porosidade reduzida a até metade da dos concretos convencionais;
• porometria (diâmetro médio dos poros) reduzida, chegando a alguns casos à
eliminação total dos macroporos (diâmetro > 50 µm);
• aumento da resistência à carbonatação.
Com relação ao comportamento do CAD no estado fresco, pode-se
salientar algumas características peculiares, tais como:
• perda de abatimento com o tempo, demandando o menor intervalo de tempo
possível entre a mistura e o lançamento do concreto nas fôrmas;
• tempo de pega um pouco retardado em relação aos concretos tradicionais,
devido à atuação dos aditivos químicos;
• quase ausência de água de exsudação devido à baixa relação a/c, necessitando
de um processo de cura bastante criterioso.
Finalmente, algumas características do CAD ainda não foram bem
compreendidas, necessitando de mais pesquisas para se entender melhor o
comportamento do material. Entre essas características, podem-se citar:
• retração do concreto;
17
• resistência ao fogo;
• comportamento durante ciclos de congelamento e degelo;
• resistência à fadiga.
2.1.2 Classificação em termos de resistência
Embora a resistência à compressão não seja a única propriedade
delimitadora do CAD face aos concretos convencionais, é usual utilizar-se deste
parâmetro como o critério mais significativo, devido ao fato de já existirem
conhecimentos razoáveis de como manipular a composição do concreto para
atingir a resistência à compressão desejada, enquanto que a relação entre outros
atributos do concreto e sua composição ainda não está plenamente estabelecida
(Shah, 1997).
A classificação do CAD quanto à resistência à compressão vem se
alterando ao longo dos anos. Por exemplo, nos anos 50 eram considerados de
alta resistência concretos com resistência à compressão da ordem de 35 MPa. Já
na década de 60, concretos com resistência à compressão de aproximadamente
60 MPa já podiam ser produzidos com certa facilidade. Nos dias de hoje, pode-se
obter concretos com resistências da ordem de 130 MPa de maneira quase
rotineira em alguns países, como Noruega, França, Estados Unidos, Canadá e
Japão, por exemplo. Portanto, não existe um valor limite exato a partir do qual o
concreto deva ser considerado como sendo de alta resistência. O Comitê 363 do
American Concrete Institute (ACI-363R, 1992) estipula que concretos com
resistências acima de 41 MPa podem ser considerados de alto desempenho. Já o
Código Modelo MC-90 do Comité Euro-Internacional du Béton (CEB) estabelece
como limite inferior para o CAD uma resistência à compressão de 60 MPa (CEBFIP, 1990). A norma brasileira NBR-8953, que considera resistências à
compressão de até 80 MPa, permite, na falta de critérios estabelecidos na norma
de projeto brasileira NBR-6118, adotar as recomendações de normas
internacionais para concretos com resistência à compressão acima de 50 MPa,
desde que de comum acordo entre projetistas e proprietários (ABNT, 1992).
18
A Tabela 2.1 mostra uma possível classificação quanto à resistência à
compressão e à necessidade de aditivos para a obtenção de concretos de alto
desempenho∗.
Tabela 2.1 – Classificação de concretos quanto à resistência à compressão (MPa)
Convencional
Alto Desempenho
Ultra-alto Desempenho
Resistência à compressão
< 50
> 50 e < 100
> 200
Relação a/c
> 0,4
~ 0,30
< 0,2
Aditivo redutor de água
Não é
necessário
Necessário
Essencial
Aditivo mineral
Não é
necessário
Cinza volante e/ou
fumo de sílica
Fumo de sílica
Fibras
Vantajoso
Vantajoso
Essencial
Fonte: Shah (1997).
Neste trabalho, será considerado como limite inferior de resistência
característica à compressão para concretos de alto desempenho o valor de
50 MPa, estando esta classificação razoavelmente de acordo com a classificação
da maioria das normas de projeto internacionais.
2.1.3 Vantagens e desvantagens
Dentre as principais vantagens do CAD face aos concretos convencionais
pode-se citar as seguintes:
• elevada resistência à compressão, tanto final como inicial;
• alto módulo de elasticidade;
• elevada compacidade;
• baixas permeabilidade e porosidade ⇒ elevada durabilidade;
• facilidade de moldagem, devido à utilização de superplastificantes;
∗
Apesar deste trabalho se concentrar basicamente na resistência mecânica, será utilizado ao longo do
texto o termo concreto de alto desempenho, uma vez que, além de uma elevada resistência à
compressão, esse tipo de concreto apresenta melhorias em várias outras propriedades.
19
• boa resistência à abrasão, particularmente interessante na construção de
estradas e tubos;
Como desvantagens pode-se salientar a necessidade de um criterioso
processo de produção e procedimento de cura, o comportamento mais frágil do
material, as lacunas ainda existentes quanto aos critérios de projeto estrutural
vigentes nas normas atuais e o custo mais elevado, sendo que este último aspecto,
na verdade, pode ser compensado pela economia gerada na diminuição da
quantidade de material utilizada e no prolongamento da vida útil da estrutura.
2.1.4 Aplicações
As aplicações do CAD têm aumentado progressivamente nas últimas
décadas, na medida em que suas propriedades reológicas e mecânicas vêm sendo
melhor compreendidas e o seu processo de produção vem sendo aprimorado
cada vez mais. Além disso, a disponibilidade atual do CAD o torna
economicamente viável para ser utilizado nas estruturas.
O uso mais abrangente do CAD tem sido na construção de edifícios altos,
e mais recentemente em pontes, embora a sua utilização em estruturas marítimas,
pré-fabricados, túneis e estruturas nucleares venha crescendo nos últimos anos.
Em edifícios altos, a utilização do CAD permite a redução da seção transversal de
pilares e vigas; em pontes, onde por muitas vezes a resistência à tração é o fator
limitante, a maior resistência à tração do CAD reduz a fissuração das peças
protendidas, e a sua reduzida fluência diminui as perdas de protensão nas
longarinas. Em outras estruturas, o fator determinante para a utilização do CAD
é a necessidade de uma elevada durabilidade, como é o caso das estruturas
marítimas, por exemplo.
A seguir estão ilustradas algumas estruturas construídas com CAD.
A Fig. 2.1 mostra a Ré Island Bridge, na França, ponte que foi projetada em
1987 e utilizou 35000 m3 de um concreto de 60 MPa de resistência à compressão.
20
Foram também utilizados fumo de sílica e um superplastificante, com uma
relação a/c da ordem de 0,40.
Fig. 2.1 - Ré Island Bridge, França
A Fig. 2.2 apresenta a Joigny Bridge, na França, uma ponte construída em
1988 com um concreto de 68 MPa e sem a utilização de fumo de sílica.
Fig. 2.2 - Joigny Bridge, França
21
Outra estrutura interessante é a Mesquita de Hassan, no Marrocos, cuja
fundação e superestrutura foram projetadas com um concreto de 92 MPa e
utilizando fumo de sílica e superplastificante. Essa construção está ilustrada na
Fig. 2.3.
Fig. 2.3 - Great Hassan II Mosque, Marrocos
Na Fig. 2.4, pode-se observar uma magnífica estrutura projetada com
CAD. Trata-se do Grande Arco da Défense, em Paris, projetado em 1985 com
um concreto de 55 MPa de resistência à compressão.
22
Fig. 2.4 - Grand Arche de la Défense, França
A Fig. 2.5 mostra as torres Petronas de Kuala Lumpur, na Malásia, que
são atualmente os edifícios em concreto mais altos do mundo, com cerca de 450
metros de altura. O concreto utilizado tem resistência à compressão de 60 e
80 MPa.
23
Fig. 2.5 - Petronas Towers, Malásia
Apesar de ainda não serem utilizados de forma corriqueira no Brasil
concretos com resistência à compressão acima de 50 MPa, já existem algumas
construções nas quais foram empregados concretos considerados de alto
desempenho. Como exemplo, A Fig. 2.6 mostra a torre norte do complexo
Centro Empresarial Nações Unidas, em São Paulo, construída em 1999 com um
24
concreto de 50 MPa e adição de fumo de sílica. O edifício tem 156 metros de
altura distribuídos em 36 pavimentos.
Torre norte
Fig. 2.6 - Torre norte do Centro Empresarial Nações Unidas, São Paulo
25
2.2
MATERIAIS COMPONENTES
2.2.1 Seleção de materiais
A produção do concreto de alto desempenho (CAD) exige uma cuidadosa
seleção dos materiais componentes a fim de se obter um produto final com as
características desejadas de trabalhabilidade, resistência e durabilidade. O CAD
pode ser considerado como um material composto das seguintes fases: a pasta de
cimento endurecida, o agregado e a zona de transição agregado-pasta. Estas três
fases devem ser criteriosamente consideradas no processo de produção do
concreto.
As características da pasta dependem da composição do cimento, da
relação a/c, das propriedades e composição dos aditivos, e do procedimento de
cura. Por outro lado, a escolha dos agregados é de suma importância no controle
das propriedades do concreto fresco e endurecido. As propriedades do agregado
afetam a resistência da zona de transição, sendo diretamente relacionadas às
propriedades mecânicas do concreto endurecido.
Logo, torna-se necessário obter o máximo desempenho de todos os
materiais envolvidos na produção do CAD. A seguir são brevemente abordados
os constituintes do CAD e suas características mais relevantes.
Cimento
A escolha do cimento a ser utilizado para a produção do CAD é
extremamente importante, uma vez que o desenvolvimento da resistência
mecânica de concretos de alto desempenho depende da escolha do cimento. Os
fatores que influenciam as resistências inicial e final do concreto são a
composição do clínquer e a finura do cimento.
26
Quanto à composição do clínquer, os teores de C3S, C2S e C3A
apresentam forte influência no desenvolvimento da resistência da pasta de
cimento. Enquanto que o C3A tem particular influência na resistência inicial do
concreto, o C2S, cujo processo de hidratação é mais lento, contribui
significativamente para a resistência final. O C3S contribui tanto para uma boa
resistência inicial quanto para uma elevada resistência final (CEB-FIP, 1990).
Portanto, quando não é necessária uma elevada resistência inicial, pode-se optar
por uma redução do teor de C3A, o que contribuirá para resistências finais
elevadas e baixas taxas de geração de calor, uma vez que o C3A apresenta a maior
taxa de geração de calor dentre os minerais de clínquer acima citados, além de
levar a uma rápida perda de fluidez do concreto fresco. Alguns pesquisadores
sugerem que sejam evitados altos teores de C3A para o CAD.
A hidratação dos minerais de clínquer é influenciada pela finura do
cimento. Como a hidratação se inicia na superfície das partículas, é a área total da
superfície do cimento que representa o material disponível para hidratação.
Assim, a velocidade da hidratação depende da finura, com a resistência a longo
prazo não sendo influenciada. Uma maior velocidade inicial de hidratação,
depende também, naturalmente, de um maior desprendimento de calor de
hidratação. Por outro lado, é considerável o custo da moagem até uma finura
maior, e, também, quanto mais fino o cimento, mais rapidamente ele se deteriora
quando exposto ao ar. Cimentos mais finos resultam numa reação mais
energética com os agregados álcalis-reativos, e fazem com que a pasta de
cimento, embora não necessariamente o concreto, apresentem uma maior
retração e uma maior tendência à fissuração. Além disso, uma finura muito alta
pode ocasionar uma rápida perda de abatimento, o que prejudica a
trabalhabilidade e a compactação do concreto. No entanto, cimentos finos
apresentam menor exsudação do que cimentos mais grossos (Neville; Aitcin,
1998). Tipicamente, a maioria dos cimentos utilizados para a produção do CAD
apresenta uma finura entre 300 e 400 m2/kg, valores esses que variam de acordo
com o processo utilizado para medição.
27
Água
Os requisitos para a água a ser utilizada na produção do CAD são os
mesmos exigidos para a produção de concretos convencionais, ou seja,
preferencialmente deve ser utilizada água potável na mistura. Na falta desta,
devem ser efetuados ensaios no concreto a ser utilizado e comparados com
ensaios efetuados em corpos-de-prova de concretos produzidos com água
destilada. Se a resistência à compressão do concreto a ser utilizado não for
inferior a 90% daquela referente à utilização de água destilada, então a água
poderá ser considerada como aceitável (ACI-363R, 1992).
Agregados∗
As principais propriedades dos agregados pertinentes à sua utilização no
CAD são: forma geométrica, distribuição do tamanho dos grãos, propriedades
mecânicas, e interação química com a pasta de cimento. Esta última afeta
diretamente a condição de aderência entre a pasta e os agregados. É importante
salientar que no CAD a resistência do agregado pode ser o fator limitante da
resistência do concreto. Além disso, como o requisito principal para se obter altas
resistências é manter a relação a/c extremamente baixa, a granulação dos
agregados deve ser cuidadosamente controlada.
Agregado miúdo
A forma do agregado miúdo influencia na quantidade de água exigida,
sendo que agregados com forma arrendondada e textura suave são preferíveis na
produção do CAD por exigirem menor quantidade de água. Agregados com
módulo de finura aproximadamente igual a 3,0 são recomendados por permitirem
uma boa trabalhabilidade e uma elevada resistência à compressão.
Agregado graúdo
Dentre os vários tipos de agregado graúdo que têm sido utilizados para a
produção do CAD, pode-se citar o calcário, o diabásio, o granito e o seixo rolado.
∗
No presente trabalho, não serão abordados os agregados leves, os quais são materiais produzidos
industrialmente. Limitar-se-á a tratar aqui dos agregados naturais que são usualmente utilizados.
28
Um fator de fundamental importância no CAD é a resistência da zona de
transição, ou seja, a condição de aderência mecânica agregado-pasta. As melhores
condições de aderência são obtidas por meio da utilização de agregados britados,
não sendo recomendável a utilização do seixo rolado devido à sua superfície lisa
não oferecer uma boa aderência com a pasta. Agregados planos ou alongados
também devem ser evitados.
Para a obtenção de uma elevada resistência mecânica com alta quantidade
de cimento e baixa relação a/c, o tamanho máximo do agregado graúdo deve
situar-se num valor entre 10 e 14 mm. Além disso, agregados menores
proporcionam uma melhor trabalhabilidade e um menor nível de concentração
de tensões ao redor dos grãos.
A proporção entre os agregados graúdos e os agregados miúdos, para o
concreto convencional, situa-se usualmente entre 0,9 e 1,4. No entanto, para o
CAD, esta proporção é bem maior, em geral entre 1,5 e 1,8, sendo recomendada
uma proporção de até 2,0 (Mindess, 1994).
Aditivos
Fumo de sílica
O fumo de sílica é um aditivo mineral, sub-produto das ligas de silício e
ferrosilício, e que consiste de partículas esféricas ultrafinas, com diâmetro médio
de 100nm (da ordem de 100 vezes mais finas do que as partículas de cimento),
sendo classificado como uma pozolana altamente ativa (Nagataki, 1994).
Entretanto, o mesmo não está disponível em grandes quantidades, além de ser
mais caro do que outros aditivos minerais, como a cinza volante, por exemplo.
Ao contrário do que se pensa, o fumo de sílica não é componente essencial do
CAD. Em algumas obras, resistências de 60 MPa a 80 MPa foram obtidas sem
adição de fumo de sílica. No entanto, para resistências maiores, o uso do fumo de
sílica é essencial, o que eleva o custo do concreto.
Os primeiros estudos sobre a utilização do fumo de sílica no concreto
foram conduzidos em países do norte da Europa, incluindo a Noruega, um dos
29
principais países produtores de fumo de sílica. As primeiras aplicações deste
aditivo ao concreto tiveram o propósito somente de reduzir a quantidade de
cimento na mistura. Entretanto, uma vez que o fumo de sílica consiste de
partículas ultrafinas, a sua adição ao concreto tende a aumentar a quantidade de
água. Daí a razão pela qual pode-se obter um concreto bastante resistente e
durável pela utilização combinada de fumo de sílica e de um aditivo redutor de
água (superplastificante).
A influência do fumo de sílica no comportamento do concreto fresco é
evidenciada pelo aumento da viscosidade e da coesão e pela redução da
trabalhabilidade, resultando em valores menores de abatimento. Este fato faz
com que haja um aumento na quantidade de água necessária para se obter o
abatimento desejado, o que pode ser prevenido com o uso de um
superplastificante. Em outras palavras, a utilização de fumo de sílica como aditivo
para concreto é inviável sem a utilização em conjunto de um aditivo
superplastificante.
Com relação às suas propriedades mecânicas, concretos e argamassas
contendo fumo de sílica apresentam excelentes características no que diz respeito
ao desenvolvimento de resistências mecânicas. Resistências à compressão na faixa
de 60-80 MPa podem ser facilmente obtidas, embora estes valores possam variar
dependendo do tipo de fumo de sílica e cimento utilizados, teor de fumo de
sílica, procedimento de cura e idade do concreto. Esta elevada resistência
mecânica é atribuída à redução do volume de vazios e poros no concreto,
elevando bastante a compacidade do material e tornando a matriz de argamassa
bastante resistente. Além disso, o fumo de sílica reage com o hidróxido de cálcio
produzido durante a hidratação do cimento, originando silicatos de cálcio
hidratados (CSH), que elevam bastante a resistência da massa de concreto
(Breitenbücher, 1998).
A literatura relata também que o módulo de elasticidade de concretos com
fumo de sílica é menor do que a do concreto sem fumo de sílica, com a mesma
resistência à compressão. Isto deve-se ao aumento da quantidade relativa de pasta
30
de cimento com a adição de fumo de sílica, uma vez que o módulo de
elasticidade da pasta é menor do que o do agregado.
Vários engenheiros e pesquisadores têm hesitado em utilizar o fumo de
sílica devido à falta de uma especificação ou recomendação padronizada para este
material. Em outro casos, por falta de conhecimento técnico, o fumo de sílica é
utilizado em proporções que não apresentam praticamente nenhuma eficiência na
melhora do desempenho do concreto. Pesquisas nesta área indicam que a
eficiência do fumo de sílica no CAD é mais acentuada para maiores relações a/c,
não chegando a apresentar grandes vantagens para baixas relações a/c. Nos
últimos anos, têm sido feitas tentativas de estabelecer uma espeficicação padrão
para a utilização do fumo de sílica no concreto (Holland, 1995), de forma a se
obter o máximo rendimento do material a um custo mínimo.
Cinza volante
A cinza volante tem sido um aditivo mineral bastante utilizado na
produção do concreto por muito anos, e em geral, sua espeficicação de uso para
o CAD é a mesma para o concreto convencional. Entretanto, o limite de
resistência obtido com a utilização da cinza volante não costuma ultrapassar 70
MPa. Para a obtenção de resistências mais elevadas, a utilização de fumo de sílica
em conjunto com a cinza volante se mostra a melhor alternativa.
Em geral, para aplicações em CAD, a dosagem de cinza volante utilizada
está em torno de 15% da quantidade de cimento. O controle de qualidade é de
fundamental importância, pois a cinza volante apresenta grande variabilidade nas
suas características físicas e químicas.
Escória de alto-forno
A escória de alto forno é largamente encontrada na Europa, e sua
dosagem utilizada no CAD situa-se em geral na faixa de 15% a 30% da
quantidade de cimento. Para resistências muito altas, acima de 90 MPa, a
utilização do fumo de sílica em conjunto com a escória de alto forno é
fundamental, assim como no caso da cinza volante. Um possível incoveniente da
31
utilização de altas dosagens de escória de alto forno é a taxa mais baixa de
desenvolvimento de resistência do concreto fresco quando se utiliza este aditivo.
Quando uma alta resistência inicial for exigida, deverão ser reduzidos os teores de
escória de alto forno. Esta observação vale também para a cinza volante.
Superplastificantes
Os superplastificantes foram concebidos na década de 70, e são
usualmente utilizados com o intuito de melhorar algumas características do
concreto, tais como (Collepardi, 1994):
• aumentar a trabalhabilidade sem alterar a composição do concreto;
• reduzir a quantidade de água de mistura e o valor da relação água/cimento
(a/c) com a finalidade de elevar a resistência e a durabilidade;
• reduzir a fluência, a retração e as deformações térmicas causadas pelo calor de
hidratação.
Para a produção do CAD é necessária a adoção de uma relação
água/cimento extremamente baixa, aliada à trabalhabilidade adequada para
compactação. A necessidade do uso de um superplastificante na elaboração do
CAD é explicada pelo fato da redução da quantidade de água em um
determinado concreto fresco resultar em uma mistura não trabalhável. Os
principais problemas relacionados à trabalhabilidade do CAD estão descritos em
uma publicação recente da RILEM (RILEM, 1997). Simultaneamente, a
quantidade de cimento não pode ser aumentada excessivamente, não somente
pelo alto custo mas também porque uma grande quantidade de cimento levaria a
problemas térmicos.
Torna-se então necessário o conhecimento específico das propriedades
dos componentes do concreto e sua interação. Sem o uso do superplastificante, a
relação água/cimento não poderia ser reduzida a valores inferiores a 0,4 (Aitcin;
Neville, 1993). A trabalhabilidade do concreto diminui devido à tendência de
floculação entre os grãos de cimento e à consequente retenção de água entre
esses grãos, resultando em um aumento do atrito interno da mistura durante a
compactação. Devido às cargas elétricas superficiais nas partículas de cimento,
32
decorrente do uso dos superplastificantes, há uma separação dessas partículas,
que se defloculam e aumentam a fluidez da mistura de tal modo que uma relação
água/cimento (a/c) muito baixa pode ser suficiente para uma adequada
trabalhabilidade.
Do ponto de vista da trabalhabilidade, os aditivos superplastificantes
disponíveis são capazes de prover um aumento no valor do abatimento da ordem
de 200 mm. Porém, ainda existem algumas lacunas a serem preenchidas para
resolver determinados problemas ainda sem solução definitiva. Um destes
problemas é que o método de adição do superplastificante afeta diretamente o
efeito de aumento do abatimento. O procedimento de adição imediata produz
uma mistura menos trabalhável do que a adição após um período inicial de
mistura de 1 minuto, exigindo maior quantidade de água ou maior dosagem de
aditivo para se obter o mesmo abatimento. É necessário então o
desenvolvimento de novos superplastificantes cuja ação independa do método de
adição adotado.
Outro problema encontrado quando da utilização deste tipo de aditivo é a
rápida perda de abatimento com o tempo∗. Vários métodos têm sido adotados
para tentar controlar esta perda de abatimento, dentre os quais pode-se destacar a
inclusão de uma dosagem de superplastificante maior do que a necessária, a
utilização de algum tipo de aditivo retardador de pega, ou ainda a redosagem do
superplastificante em diferentes intervalos de tempo. No entanto, os métodos
citados acima apresentam várias limitações de ordem prática, sendo necessário
um novo tipo de superplastificante que seja capaz de manter o valor do
abatimento constante por um maior período de tempo (pelo menos 1 a 2 horas)
independentemente da temperatura e do tipo e quantidade de cimento utilizado.
Os superplastificantes podem também ser utilizados para reduzir o valor
da relação a/c, elevando desta forma tanto a resistência quanto a durabilidade do
concreto. Daí a terminologia técnica utilizada para estes aditivos químicos, os
quais são denominados de aditivos redutores de água de alto efeito (high-range
∗
Em geral, grande parte do efeito do superplastificante cessa após aproximadamente 30 minutos da
sua adição ao concreto.
33
water reducers admixtures). Resistências da ordem de até 70 MPa podem ser obtidas
pela redução da relação a/c com o uso de superplastificantes. Quando for
necessária a obtenção de resistências superiores, a utilização combinada de um
superplastificante e de fumo de sílica parece ser a melhor alternativa.
As tensões de origem térmica que surgem devidas ao calor de hidratação
do concreto fresco podem ser reduzidas por meio do aumento do tamanho
máximo do agregado e da utilização de aditivos redutores de água para uma dada
relação a/c. Até mesmo a redução de deformações por retração e fluência do
concreto, particularmente importante em estruturas de concreto protendido,
pode ocorrer a partir da modificação dos dois parâmetros acima citados.
Vários pesquisadores alertam para a necessidade de uma cuidadosa
verificação da compatibilidade do superplastificante com o cimento utilizado,
visto que diferentes superplastificantes comportam-se de forma bastante
diferente quando utilizados com diversos cimentos, e até mesmo com cimentos
do mesmo tipo (Mindess, 1994); (Gutiérrez; Canovas, 1996); (Neville; Aitcin,
1998). Essa incompatibilidade pode anular o efeito do aditivo e até mesmo gerar
condições adversas àquelas para as quais a adição foi inicialmente planejada.
2.3
PROPRIEDADES MECÂNICAS
2.3.1 Considerações gerais
As propriedades mecânicas do concreto de alto desempenho têm sido
extensivamente investigadas por vários pesquisadores nas duas últimas décadas
(Carrasquillo et al., 1981a); (Carrasquillo et al., 1981b); (Swamy, 1985); (Swartz et
al., 1985); (Glavind; Stang, 1991); (de Larrard; Malier, 1992); (de Larrard; Acker,
1992); (Gutiérrez; Canovas, 1995); (Iravani, 1996); (Wee et al., 1996); (Cetin;
Carrasquillo, 1998).
34
Dentre todas as propriedades mecânicas do concreto, a mais importante
indicadora da qualidade do material é a sua resistência, devido ao fato de que a
mesma está intimamente relacionada com a relação a/c e com a estrutura da
pasta de cimento endurecida. A relação a/c, por sua vez, controla a porosidade
do material, que é a principal característica ligada à durabilidade do concreto. Por
estes motivos, a resistência à compressão é usualmente utilizada para especificar,
controlar e avaliar a qualidade do concreto (Ahmad, 1994). A resistência do
concreto é influenciada pela proporção dos componentes utilizados na sua
produção e pelas condições sob as quais os ensaios com corpos-de-prova de
concreto são realizados.
Com relação aos componentes do concreto, as propriedades que
influenciam a resistência mecânica são a qualidade dos agregados, as
características da pasta de cimento e as condições de aderência pasta-agregados.
Tipicamente, a resistência à compressão é limitada pelas características do
agregado graúdo. No que diz respeito às condições de ensaio, são relevantes a
taxa de carregamento, o método de ensaio, a idade e a geometria do corpo-deprova.
2.3.2 Influência do agregado graúdo
Os parâmetros relevantes do agregado graúdo são a forma, a textura e o
tamanho máximo. No concreto convencional, o agregado é mais resistente do
que a pasta de cimento, não sendo, portanto, um fator limitante da resistência do
concreto. Por outro lado, no CAD, a pasta é tão ou mais resistente do que o
agregado, e o fraturamento ocorre através dos agregados, como mostrado na
Fig. 2.7.
35
Fig. 2.7 - Trajetória de fraturamento no concreto de alto desempenho
Deste modo, propriedades do agregado como textura superficial e
mineralogia, as quais afetam diretamente a ligação agregado-pasta, estão
intimamente relacionados à iniciação de microfissuras no material, bem como ao
módulo de elasticidade, à forma da curva tensão-deformação, à resistência à
compressão e à resistência à tração do concreto.
Quanto ao tipo de agregado, maiores resistências mecânicas são obtidas
quando são utilizados agregados britados originados do diabásio e do calcário.
Resistências menores são obtidas com o emprego de seixo rolado e granito
britado (Aitcin; Metha, 1990).
Com relação ao tamanho do agregado, melhores resultados são obtidos
com agregados de tamanho máximo 10 a 14 mm. Este fato é explicado pela
menor área superficial específica de agregados maiores, o que resulta em menor
área de contato com a pasta, menor aderência da zona de transição e,
consequentemente, menor resistência à compressão (Cetin; Carrasquillo, 1998).
Além disso, maiores agregados resultam em um menor volume de pasta, gerando
maior restrição a variações volumétricas e induzindo tensões adicionais. Como
consequência, estas tensões provocam microfissuras no material antes mesmo da
aplicação do carregamento externo. Portanto, em geral, quanto menor o tamanho
máximo do agregado graúdo, maior a resistência obtida para uma dada relação
a/c.
36
Estudos realizados por Giaccio et al. (1992) indicam que a presença de
agregados pouco resistentes reduz sensivelmente a resistência do concreto e que a
condição de aderência da zona de transição pasta-agregado exerce um papel mais
importante sob cargas de flexão do que sob cargas de compressão. Pode-se
concluir então que a influência das características dos agregados na resistência do
concreto aumenta para o caso do CAD.
2.3.3 Resistência à compressão
A resistência à compressão é a principal referência de projeto para a
maioria das estruturas de concreto. Em geral, as demais propriedades mecânicas
do concreto como por exemplo o módulo de elasticidade, a resistência à tração
ou à flexão e o diagrama tensão-deformação são expressos em função da
resistência à compressão.
A maioria das normas de projeto de estruturas de concreto são aplicáveis a
concretos com resistências da ordem de até 50-60 MPa. Por exemplo, o Projeto
de Revisão da NBR-6118 (ABNT, 2001) abrange concretos com até 50 MPa de
resistência à compressão. Apenas algumas normas já estipulam critérios e
especificações para concretos de alto desempenho com resistências à compressão
acima de 60 MPa. A Tabela 2.2 mostra alguns documentos selecionados com sua
respectiva faixa de aplicação quanto à resistência à compressão.
37
Tabela 2.2 – Resistência à compressão máxima estabelecida em normas de
projeto
Norma
CEB/FIP MC-90
País
Ano
Internacional 1993
Resistência máxima à
compressão
Tipo de
corpo-de-prova
80 MPa
Cilindro
150/300 mm
ACI 318R-99
Estados
Unidos
1999
Não especificada
Cilindro
152/304 mm
NBR-6118/2001
Brasil
2001
50 MPa
Cilindro
150/300 mm
105 MPa
Cubo
100 mm
NS 3473E-92
Noruega
1992
CAN3-A23.3-94
Canadá
1994
80 MPa
Cilindro
150/300 mm
Rak MK B483/84/89
Finlândia
1989
100 MPa
Cubo
150 mm
(94 MPa)
(Cilindro
150/300 mm)
As variáveis de ensaio, tais como o tipo de fôrma, a taxa de carregamento
e o tamanho do corpo-de-prova, exercem uma considerável influência na
resistência à compressão do concreto.
Pesquisas recentes indicam que, para corpos-de-prova cilíndricos com
dimensões de 150 mm x 300 mm, a utilização de fôrmas plásticas resulta em
resistências ligeiramente menores do que as obtidas com o emprego de fôrmas
metálicas (aproximadamente 5%). Para corpos-de-prova de 100 mm x 200 mm,
as diferenças tornam-se desprezíveis. Carrasquillo et al. (1981a) relatam pesquisas
onde a razão média entre a resistência à compressão medida em corpos-de-prova
cilíndricos de 150 mm x 300 mm e aquela medida em corpos-de-prova de 100
mm x 200 mm resultou em cerca de 0,90. Quanto à taxa de carregamento,
maiores taxas resultam em resistências mais elevadas. Ahmad; Shah (1985a)
38
propuseram a seguinte equação∗ para estimar a resistência à compressão sob altas
taxas de carregamento:
(f c )ε&

ε& 
= f c 0,95 + 0, 27 log  α s
fc 

(2.1)
onde ε& é a taxa de deformação em (µε/seg).
O fator de forma αs leva em conta os diferentes tamanhos de corpos-deprova utilizados nos diversos países, e é dado por:
α s = 0,85 + 0,95 ( d ) − 0,02 ( h )
(2.2)
onde d é igual ao diâmetro ou à menor dimensão lateral (em polegadas) e h é a
altura do corpo-de-prova (em polegadas).
2.3.4 Resistência à tração
A resistência à tração do concreto influencia diretamente o processo de
fissuração. Consequentemente, é uma propriedade importante para estimar as
deformações e a durabilidade da estrutura. Outros aspectos relacionados à
resistência à tração são o comprimento de ancoragem da armadura e a
contribuição do material na resistência a esforços de cisalhamento e torção (CEBFIP, 1990). A resistência à tração aumenta com a resistência à compressão,
porém a uma taxa menor. Para concretos convencionais, a resistência indireta à
tração medida pelo ensaio de compressão diametral situa-se em torno de 10% da
resistência à compressão. Para o CAD, esta relação cai para aproximadamente 5%
(ACI-363R, 1992).
∗
Esta equação não foi verificada para valores de resistência à compressão acima de 70 MPa.
39
Resistência indireta à tração (compressão diametral)
O ACI-363R (1992) adota a seguinte equação proposta por Carrasquillo et
al. (1981a) para estimar a resistência indireta à tração do CAD:
f sp = 0,54 f c
( MPa)
para : 21 MPa < f c < 83 MPa
(2.3)
Iravani (1996) realizou ensaios com corpos-de-prova cilíndricos de 150
mm x 300 mm e resistências à compressão de 65 MPa até 105 MPa, os quais
resultaram na seguinte equação para estimar os valores de resistência indireta à
tração:
f sp = 0,57 f c
( MPa)
(2.4)
Ahmad; Shah (1985b) propõem a seguinte equação empírica para estimar
a resistência à tração por compressão diametral:
f sp = 4 ,34 ( f c ) 0.55
( psi)
(2.5)
O Projeto de Revisão da NBR-6118 (2001) recomenda a seguinte
expressão para a estimativa da resistência indireta à tração:
f sp = 0,33 ( f c ) 2 / 3
(MPa)
(2.6)
A Fig. 2.8 mostra uma comparação entre os valores previstos por algumas
formulações.
40
fsp (MPa)
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
ACI 363R-92
NBR-6118/2001
Ahmad; Shah (1985)
0
20
40
60
80
100
120
140
fc (MPa)
Fig. 2.8 - Variação da resistência à tração indireta com a resistência à compressão
Resistência direta à tração
A resistência direta do concreto à tração é considerada como sendo cerca
de 2/3 da resistência indireta à tração medida por meio do ensaio de compressão
diametral. A resistência direta à tração é difícil de ser obtida devido às
dificuldades encontradas para a realização deste tipo de ensaio em corpos-deprova
de
concreto.
Investigações
realizadas
na
Northwestern
University
(Gopalaratnam; Shah, 1985) com concretos com resistência à compressão de
cerca de 48 MPa indicaram que uma estimativa da resistência direta à tração pode
ser feita por meio da seguinte fórmula empírica:
f t = 6,5 f c
(psi)
(2.7)
Thorenfeldt apud CEB-FIP (1990) propõe a seguinte equação aproximada
para o cálculo da resistência direta do concreto à tração:
f t = 0 , 3 ( f c ) 0. 6
(MPa)
(2.8)
O Projeto de Revisão da NBR-6118 (2001) adota a seguinte expressão
para a resistência média direta à tração:
41
f t = 0,3 ( f c ) 2 / 3
(2.9)
(MPa)
Não estão disponíveis na literatura resultados de ensaios de resistência
direta à tração para concretos com resistências à compressão acima de 55 MPa.
Módulo de ruptura (resistência à tração na flexão)
Costuma-se admitir que o módulo de ruptura do concreto seja
aproximadamente 15% da sua resistência à compressão.
O ACI-363R recomenda a seguinte fórmula para estimar o módulo de
ruptura, baseado em pesquisas de Carrasquillo et al. (1981a):
f r = 0,94 f c
( MPa)
(2.10)
Ensaios realizados por Iravani (1996) resultaram numa expressão
semelhante para a estimativa do módulo de ruptura:
f r = 0,97 f c
( MPa)
(2.11)
A norma canadense CAN3-A23.3 (1994) sugere uma expressão mais
conservadora:
f r = 0 ,6 f c
( MPa)
(2.12)
Ahmad; Shah (1985b), baseados em ensaios realizados com concretos
convencionais e de alto desempenho, propõem a seguinte equação empírica para
estimar o módulo de ruptura:
f r = 2,30 ( f c ) 2 / 3
( psi)
(2.13)
42
O Projeto de Revisão da NBR-6118 (2001) recomenda a seguinte
expressão para a estimativa da resistência à tração na flexão:
f r = 0,43 ( f c ) 2 / 3
(2.14)
(MPa)
A Fig. 2.9 mostra uma comparação das expressões anteriores, onde se
pode notar que a expressão da norma canadense é a mais conservadora,
especialmente para resistências à compressão mais elevadas.
12
ACI 363R-92
fr (MPa)
10
NBR-6118/2001
CAN A23.3-94
8
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
120
140
fc (MPa)
Fig. 2.9 - Variação do módulo de ruptura com a resistência à compressão
2.3.5 Aumento da resistência com a idade
A taxa de elevação da resistência do CAD é maior do que a de um
concreto convencional nos primeiros dias de idade. Para idades mais elevadas as
diferenças são desprezíveis. A relação entre a resistência aos 7 dias e a resistência
aos 95 dias de idade, de acordo com Carrasquillo et al. (1981a), situa-se em cerca
de 0,60 para concretos convencionais, 0,65 para concretos de resistência média, e
0,73 para concretos de alto desempenho. Parrott apud ACI-363R (1992) relata
proporções típicas entre a resistência aos 7 dias e a resistência aos 28 dias da
ordem de 0,8 a 0,9 para o CAD e de 0,7 a 0,75 para o concreto convencional. A
43
taxa de desenvolvimento de resistência mais elevada para o CAD nos primeiros
dias de idade deve-se provavelmente ao aumento da temperatura de cura interna
nos corpos-de-prova cilíndricos resultante de um maior calor de hidratação e à
menor distância entre as partículas hidratadas no CAD resultante da baixa relação
a/c.
2.3.6 Módulo de elasticidade∗
O módulo de elasticidade é usualmente relacionado à resistência à
compressão do concreto. Esta relação depende basicamente das propriedades da
pasta de cimento, do tipo de agregado, do procedimento de cura e do método de
ensaio adotado.
Os traços utilizados para o CAD têm como base aditivos minerais e
químicos, uma baixa relação a/c e agregados criteriosamente selecionados.
Consequentemente, a influência destas características no módulo de elasticidade é
considerável. O CAD apresenta um módulo de elasticidade mais elevado do que
o concreto convencional, devido à maior rigidez da pasta e da maior resistência
aderente da interface agregado-pasta. Várias expressões para estimar o módulo de
elasticidade do CAD estão disponíveis na literatura, algumas delas sendo
abordadas a seguir.
A equação proposta pelo ACI-318 (1999) para concretos convencionais é
a seguinte:
E c = 4730 f c
( MPa)
(2.15)
Para concretos com resistências à compressão acima de 40 MPa, a fórmula
acima superestima os valores do módulo de elasticidade. O comitê 363 do ACI
recomenda então a seguinte equação proposta por Carrasquillo et al. (1981a):
∗
Neste trabalho, será abordado apenas o módulo de elasticidade estático, uma vez que não existe na
literatura informação suficiente sobre o módulo de elasticidade dinâmico do concreto.
44
E c = 3320 f c + 6900 ( MPa)
(2.16)
A equação abaixo é considerada pela norma canadense CAN3-A23.3
(1994), para concretos com peso específico entre 1500 e 2500 kgf/m3:
(
)
 γ 
E c = 3300 f c + 6900  c 
 2300 
1, 5
( MPa)
(2.17)
onde γc é o peso específico do concreto em kgf/m3.
Segundo o Projeto de Revisão da NBR-6118 (2001), o módulo de
elasticidade inicial do concreto pode ser estimado pela seguinte expressão:
E c = 5600 ( f c ) 0 , 5
( MPa)
(2.18)
Na norma norueguesa NS-3473E (1992), para concretos com até 85 MPa
de resistência à compressão, o módulo de elasticidade é estimado por:
E c = 9500 ( f c ) 0 , 3
( MPa)
(2.19)
O Código Modelo MC-90 adota a seguinte equação para a determinação
do módulo de elasticidade do concreto aos 28 dias de idade:
E c = 10 4 ( f c )1/ 3
(MPa)
(2.20)
Na Fig. 2.10 estão comparadas algumas destas expressões. A expressão
recomendada pela nova NBR-6118 é a menos conservadora de todas,
especialmente para concretos de resistência mais elevada, enquanto que a norma
norueguesa é a mais conservadora.
Ec (GPa)
45
70
ACI 363R-92
60
NBR-6118/2001
50
ACI 318R-99
40
CEB-FIP MC-90
NS 3473E-92
30
20
10
0
0
20
40
60
80
100
120
140
fc (MPa)
Fig. 2.10 - Variação do módulo de elasticidade com a resistência à compressão
Como o módulo de elasticidade do concreto é afetado pelo tipo de
agregado graúdo utilizado, especialmente para o CAD, Gutiérrez; Canovas (1995)
propõem um coeficiente de correção αβ na fórmula utilizada pelo MC-90 para
levar em conta as características do agregado, resultando na equação simplificada:
E c = α β 8480 3 f c
(2.21)
(MPa)
onde os valores de αβ são dados pela Tabela 2.3.
Tabela 2.3 – Valores do coeficiente αβ para diversos tipos de agregado
Tipo de agregado graúdo
Coeficiente αβ
Quartzito
1,15
Arenito
0,60
Calcário
0,90
Ofito
1,20
Dacito
0,90
Granito
1,10
Diabásio
1,50
46
Iravani (1996) também propõe um coeficiente para levar em conta a
influência do tipo de agregado na estimativa do módulo de elasticidade, baseado
na equação inicialmente recomendada pelo ACI 318-99:
E c = 4700 C ca
fc
( MPa)
(2.22)
onde os valores de Cca são determinados a partir da Tabela 2.4.
Tabela 2.4 – Coeficientes Cca recomendados para diferentes agregados
Tipo de agregado graúdo
Coeficiente Cca
Cascalho (pedra britada)
0,71
Calcário
0,92
Dolomita
0,92
Quartzito
0,97
Granito
0,82
Diabásio
0,90
Arenito
0,61
2.3.7 Diagrama tensão x deformação
Vários pesquisadores têm estudado o comportamento do diagrama
tensão-deformação do CAD sob compressão uniaxial (Glavind; Stang, 1991);
(Pliskin, 1992); (Almusallam; Alsayed, 1995); (van Gysel; Taerwe, 1996); (Wee et
al., 1996); (Chin et al., 1997).
O comportamento do diagrama tensão-deformação do CAD é afetado
pela sua resistência à compressão da seguinte forma (Pliskin, 1992):
• o limite de proporcionalidade linear da curva tensão-deformação aumenta até
valores próximos do pico com o aumento da resistência;
• a deformação correspondente à tensão máxima aumenta com a resistência;
47
• o ramo descendente torna-se mais inclinado com o aumento da resistência;
• a deformação de compressão máxima diminuiu com o aumento da resistência.
Estas características da resposta do material são consequência de uma
melhor aderência entre a pasta e os agregados no CAD. O comportamento mais
linear é resultado de uma reduzida microfissuração a baixos níveis de tensão.
Carrasquillo et al. (1981b) demonstraram que, para um concreto de 31 MPa, as
microfissuras instáveis começam a se desenvolver na interface entre a pasta e o
agregado quando é atingido o valor de 65% da carga máxima. Com o aumento da
carga além desse valor, as fissuras se ramificam pela pasta, originando tensões
normais e de cisalhamento que causam o fraturamento final do material. Para um
concreto de 76 MPa, estas fissuras na interface agregado-pasta começam a se
propagar apenas quando é atingido o valor de 90% da carga máxima, o que
resulta numa relação tensão-deformação linear até este nível de carga. A Fig. 2.11
mostra curvas típicas tensão-deformação para concretos de resistência baixa,
média e alta (Carrasquillo et al., 1981b).
12
Alta resistência
10
Tensão (ksi)
Média resistência
6
40
Tensão (MPa)
60
8
4
20
Baixa resistência
2
0
0
1
2
3
4
5
Deformação (‰)
6
7
0
Fig. 2.11 - Diagrama tensão-deformação do concreto (Carrasquillo et al., 1981b)
48
Baseadas em investigações experimentais, diferentes formulações analíticas
para a curva tensão-deformação do CAD sob compressão uniaxial têm sido
propostas na literatura. Algumas dessas propostas são apresentadas a seguir.
Modelo de Ahmad; Shah (1982)
Este modelo utiliza a seguinte equação fracionária para caracterizar a curva
tensão-deformação do concreto na compressão:
f ε = (f c )
A f ( ε / ε ′c ) + ( B f − 1) ( ε / ε ′c ) 2
1 + ( A f − 2 ) ( ε / ε ′c ) + B f ( ε / ε ′c )
(2.23)
onde fε é a tensão correspondente à deformação ε, fc e ε′c a máxima tensão e a
correspondente deformação, respectivamente. Os parâmetros Af e Bf, os quais
determinam a forma do diagrama, podem ser estimados pelas expressões:
Af = Ec
ε′c
fc
(2.24)
B f = 0,88087 − 0,57 ⋅ 10 −4 ( f c )
(2.25)
ε ′c = 0,001648 + 1,14 ⋅ 10 −7 ( f c )
(2.26)
E c = 27,55 ω1.5 f c
(2.27)
onde fc é a resistência à compressão do concreto em psi (1 psi ~ 0,0069 MPa) e ω
é o peso próprio em pcf (1 pcf ~ 16 kg/m3).
Modelo de Almusallam; Alsayed (1995)
Este modelo propõe uma simples equação matemática para representar a
curva tensão-deformação de diversos tipos de concreto, podendo ser aplicado
49
tanto ao concreto convencional como ao CAD. O único parâmetro necessário é a
resistência à compressão do concreto. A equação representativa é a seguinte:
fc =
(K − K p ) εc
  (K − K p ) εc
1 + 
f0
 



n



+ K p εc
1/ n
(2.28)
onde fc é a tensão no concreto corrrespondente à deformação εc, K é a inclinação
inicial da curva, Kp é a inclinação final da curva, f0 é uma tensão de referência e n
é um fator de forma.
Os parâmetros da eq.(2.28) são determinados pelas seguintes expressões:
n=−
ln 2
f
Kp
ln 1 −
 f0 K − K p





 ε  ε 2 
f 1 = f c 2 1 −  1  
 ε 0  ε 0  
ε1 =
f0
K − Kp
(2.29)
(2.30)
(2.31)
f 0 = 5,6 + 1,02 f c − K p ε 0
(2.32)
para f c ≤ 55 MPa
K p = 5470 − 375 f c

para f c > 55 MPa
K p = 16398, 23 − 676,82 f c
(2.33)
A inclinação inicial K e a deformação correspondente à tensão máxima de
compressão podem ser estimadas, respectivamente, pelas expressões:
50
K = 3320 f c + 6900
(2.34)
ε 0 = ( 0, 2 f c + 13,06 ) ⋅ 10 −4
(2.35)
A Fig 2.12 mostra a boa aproximação dos valores obtidos com a utilização
deste modelo, os quais são bastante coerentes com alguns resultados
experimentais disponíveis na literatura.
Modelo
Tensão
Resultados
experimentais
Deformação
Fig. 2.12 - Comparação de resultados experimentais e teóricos – modelo de
Almusallam; Alsayed (1995)
Modelo de Wee et al. (1996)
A equação proposta neste modelo para representar a curva tensãodeformação é dada por:
51


 ε 


k 1 β  
ε


0
 
fc = fc 
k2 β 
 k β − 1 +  ε  
ε  
 1
 0 

(2.36)
Os parâmetros ε0 e β são determinados pelas seguintes expressões:
ε 0 = 0,00078 ( f c )1/ 4
(2.37)
1
1 − ( f c / ε 0 E it )
(2.38)
E it = 10200 ( f c )1/ 3
(2.39)
β=
Para concretos com resistência à compressão entre 50 e 120 MPa, deve-se
adotar o seguinte: para o ramo ascendente da curva tensão-deformação, os
valores de k1 e k2 devem ser tomados igual à unidade. Para o ramo descendente
da curva, estes valores são expressos por:
 50 
k 1 =  
 fc 
 50 
k 2 =  
 fc 
3
(2.40)
1, 3
(2.41)
Para concretos com resistência à compressão abaixo de 50 MPa, os
valores dos coeficientes acima devem ser tomados igual à unidade para todo o
diagrama.
52
2.3.8 Coeficiente de Poisson
Ensaios realizados por Carrasquillo et al. (1981a) com concretos na faixa
de 32 MPa a 77 MPa indicaram que o coeficiente de Poisson resulta em torno de
0,20, independentemente da resistência à compressão. Iravani (1996) relatou
valores do coeficiente de Poisson entre 0,15 e 0,20 para concretos com
resistências à compresão entre 65 MPa e 125 MPa. Por outro lado, pesquisas
realizadas por Perenchio; Klieger apud ACI-363R (1992) parecem indicar que o
coeficiente de Poisson tende a diminuir com o aumento da relação a/c. Esses
pesquisadores relataram valores de 0,20 a 0,28 para concretos com resistências na
faixa de 55 a 80 MPa. Baseado nos resultados experimentais disponíveis na
literatura, pode-se admitir que os valores do coeficiente de Poisson do CAD na
fase elástica são comparáveis àqueles dos concretos convencionais. Na fase
inelástica, o aumento relativo das deformações laterais é menor para o CAD. Isso
significa que o CAD apresenta uma variação volumétrica menor do que os
concretos convencionais, o que implica em uma reduzida microfissuração.
O presente capítulo apresentou generalidades sobre o concreto de alto
desempenho e introduziu brevemente as principais características e propriedades
mecânicas do material. Além disso, foram apresentadas diversas formulações de
normas para a previsão de algumas propriedades em termos da resistência à
compressão. Finalmente, foram mostrados alguns modelos propostos na
literatura para a curva tensão x deformação.
53
MECÂNICA DA FRATURA APLICADA AO CONCRETO
3
3.1
INTRODUÇÃO
Baseado na sua curva de resposta tensão-deformação, a maioria dos
materiais empregados na engenharia civil podem ser classificados como frágeis,
dúcteis, ou quase-frágeis, como mostrado na Fig. 3.1. A tensão cai instantaneamente
a zero quando um material frágil sofre ruptura (Fig. 3.1a), enquanto que a mesma
permanece constante quando um material dúctil escoa (Fig. 3.1b). Por outro lado,
um material quase-frágil é caracterizado por uma tensão que decresce de forma
gradual após a carga de pico (Fig. 3.1c). O colapso das estruturas depende
substancialmente das propriedades dos materiais que as compõem. Isso pode ser
conceitualmente entendido considerando-se uma placa infinitamente larga com
um furo elíptico submetida a uma tensão de tração, como ilustrado na Fig. 3.2. A
presença do furo na placa altera a distribuição de tensões, de tal forma que a
tensão máxima σmax ao longo da borda do furo é maior do que a tensão nominal
aplicada σN. A partir de uma análise elástica, a relação entre σmax e σN é dada por:
54

2a 
σ max =  1 + 1  σ N = K t σ N
a2 

(3.1)
onde a1 e a2 são os raios maior e menor da elipse, respectivamente, e Kt é o fator
Tensão
Tensão
de concentração de tensão.
Deformação
Deformação
(b)
Tensão
(a)
Deformação
(c)
Fig. 3.1 - Possíveis curvas tensão-deformação para diferentes materiais: a) material frágil;
b) material plástico; c) material quase-frágil
Se a placa é feita de um material frágil perfeito, a mesma rompe de forma
súbita tão logo o valor de σmax atinge a resistência à tração ft do material
(Fig. 3.2a). Do contrário, se a placa é feita de uma material dúctil, a carga de
tração aplicada pode aumentar continuamente após σmax = ft devido à
redistribuição plástica de tensões. A placa rompe quando a tensão normal na
55
seção inteira A-A alcança o valor ft (Fig. 3.2b). No caso da placa ser feita de um
material quase-frágil, uma zona inelástica se desenvolve na região de máxima
tensão quando a placa chega ao colapso. Essa zona inelástica é usualmente
denominada zona de processos inelásticos. A tensão normal diminui em direção à
ponta do furo nessa zona. O desenvolvimento da zona de processos inelásticos
induz ao ramo descendente com amolecimento na curva carga-deslocamento.
σN
σmax = ft
(a)
2 a2
A
A
2 a1
σN
σN
σmax = ft
(b)
A
A
σN
σN
σmax = ft
(c)
A
A
Extensão da zona inelástica
σN
Fig. 3.2 - Distribuição de tensões no colapso de uma placa infinita para diferentes materiais:
a) colapso frágil; b) colapso dúctil (ou plástico); c) colapso quase-frágil
56
O exemplo acima indica que a caracterização do colapso de estruturas em
geral é relacionada não apenas à geometria estrutural mas também ao tipo de
material utilizado. Quando um material dúctil é utilizado, a estrutura chega ao
colapso somente quando a tensão nominal em toda a seção crítica atinge a
resistência do material. Portanto, um critério de colapso baseado somente na
tensão nominal pode ser utilizado para descrever o colapso da estrutura. Quando
um material frágil perfeito é utilizado, a estrutura (ou peça) neste exemplo
simples rompe tão logo a tensão máxima atinge a resistência do material (em
qualquer ponto). Uma vez que a tensão máxima depende não somente da
resistência do material mas também da geometria estrutural e das condições de
contorno (valores de a1 e a2 neste exemplo), o critério baseado apenas na tensão
nominal máxima não é adequado para uma estrutura feita de uma material frágil.
De fato, o processo de fraturamento de um material frágil só pode ser
adequadamente descrito pela energia elástica dissipada na estrutura. Como apenas
a energia elástica está envolvida, um único critério de energia é suficiente para
descrever o colapso de estruturas feitas de materiais frágeis. Quando um material
quase-frágil é utilizado, o colapso da estrutura é acompanhado da formação de
uma zona de processos inelásticos na seção mais solicitada. Nesse caso, como o
colapso inclui dissipação tanto de energia elástica como inelástica (dentro da zona
de processos inelásticos), dois (ou mais) critérios ou condições são em geral
necessários para descrever completamente o colapso desse tipo de estrutura.
Apesar da relativa pouca familiarização do meio técnico com este assunto,
a formulação de modelos de fraturamento para o concreto (material quase-frágil)
baseados em conceitos de localização de deformações e dissipação de energia nas
zonas fissuradas pode ser estabelecida utilizando princípios da Mecânica da
Fratura.
3.2
CONCEITOS BÁSICOS DE MECÂNICA DA FRATURA
A Mecânica da Fratura estuda a resposta estrutural e o colapso de
estruturas em decorrência da iniciação e propagação de fissuras nas mesmas, e
pode ser utilizada para responder às seguintes perguntas (Broek, 1986):
57
• Qual a resistência da peça em função do tamanho da fissura?
• Qual tamanho de fissura pode ser tolerado para as cargas de serviço, isto é,
qual o tamanho crítico da fissura?
• Quanto tempo leva para uma fissura crescer de um tamanho inicial até o
tamanho crítico?
• De quanto em quanto tempo a estrutura deve ser inspecionada para
verificação de fissuras?
É importante ressaltar que estas idéias foram concebidas inicialmente para
materiais extremamente frágeis, tais como o vidro e alguns metais estruturais,
onde defeitos intrínsecos no material poderiam iniciar a propagação de uma única
fissura que levaria a peça ao colapso. Esses materiais são classificados como
elasto-frágeis e apresentam curvas tensão-deformação similares àquela mostrada
na Fig. 3.1a.
A maioria dos materiais contém “microdefeitos” iniciais, cuja propagação
resulta no colapso da estrutura. Os critérios de projeto convencionais consideram
a influência destes defeitos iniciais por meio da introdução de um fator de
concentração de tensão Kt, como no exemplo da eq.(3.1). Pode ser facilmente
observado que o valor de Kt tende ao infinito para uma elipse muito estreita (ou
uma fissura). Isso indica que a análise convencional baseada no fator de
concentração de tensão não é válida para uma estrutura com uma fissura estreita.
O fato de σmax tender ao infinito quando a2/a1 tende a zero leva a uma idéia
básica da Mecânica da Fratura Elástica Linear (MFEL): na vizinhança da ponta de
uma fissura, a distribuição de tensões é a mesma para todas as fissuras e todas as
cargas aplicadas. Essa idéia está ilustrada na Fig. 3.3 e conduz a:
σ( r ) = C F r −1/ 2
onde o fator CF é dado por:
(3.2)
58
CF =
KI
2π
(3.3)
KI
2 πr
(3.4)
Como resultado, a eq.(3.2) fica:
σ( r ) =
O coeficiente KI é denominado fator de intensidade de tensão e depende do
comprimento da fissura, da geometria estrutural e da carga aplicada. Fórmulas
para KI podem ser encontradas em muitas referências na literatura, como por
exemplo Barsom; Rolfe (1986). Para a placa infinitamente larga da Fig. 3.3, o
valor de KI é dado por:
K I = σ πa
(3.5)
O valor de KI pode ser relacionado à energia de deformação elástica
liberada durante a propagação da fissura por:
K I2
GI =
E′
(3.6)
onde E’ = E para o estado plano de tensão e E’ = E/(1-ν2) para o estado plano
de deformação e ν é o coeficiente de Poisson. O termo GI é denominado taxa de
liberação de energia de deformação e representa a quantidade de energia necessária para
a propagação de uma unidade de área da superfície da fissura.
59
σ(r)
σmax
σ(r)
r
Fissura elíptica
r
Fissura
(a)
(b)
Fig. 3.3 - Distribuição de tensões na vizinhança de uma fissura elíptica (a) e estreita (b)
Se a placa da Fig. 3.3 fosse solicitada até a tensão de colapso σf, então o
valor de KI associado aos valores de a e σf poderia ser determinado. Tal valor é
uma propriedade do material denominada tenacidade ao fraturamento KIc. Se essa
propriedade é conhecida para o material em questão, então a tensão de colapso
(ou resistência) da peça pode ser expressa por:
σf =
K Ic
πa
(3.7)
De acordo com a eq.(3.4), o valor de σ na ponta de uma fissura tende ao
infinito quando r tende a zero. Haja vista que nenhum material pode resistir
tensão infinita, sempre irá existir uma zona inelástica na ponta de uma fissura em
materiais reais.
Devido à própria heterogeneidade do material, no concreto a zona
inelástica na ponta de uma fissura tem um tamanho não desprezível. Em
decorrência disso, além da energia consumida na propagação da fissura, uma
quantidade adicional de energia é dissipada por outros mecanismos, tais como o
intertravamente dos agregados e a microfissuração do material (Fig. 3.4). Esses
mecanismos adicionais não permitem a aplicação direta da Mecânica da Fratura
Elástica Linear ao concreto, sendo necessários ajustes no modelo linear ou a
utilização de modelos não lineares. A evolução da aplicação da Mecânica da
60
Fratura ao concreto ao longo das últimas décadas pode ser encontrada em
Bažant; Planas (1998).
ft
Fissura livre
Intertravamento
dos agregados
Microfissuração
Zona de processos inelásticos
Fig. 3.4 - Zona de processos inelásticos no concreto
3.3
PRINCIPAIS MODELOS DE FRATURAMENTO DO CONCRETO
Os principais modelos de fraturamento para o concreto foram
desenvolvidos ao longo da década de 80 e situam-se em duas categorias distintas,
a saber: modelos coesivos e modelos elásticos equivalentes. Essas duas categorias diferem
essencialmente na abordagem considerada para as tensões na ponta de uma
fissura. Os conceitos básicos de alguns desses modelos são brevemente expostos
a seguir.
3.3.1 Modelo da Fissura Fictícia (Hillerborg et al., 1976)
Um dos marcos notáveis na aplicação da Mecânica da Fratura ao concreto
foi a introdução do Modelo da Fissura Fictícia por Hillerborg et al. (1976). Nesse
modelo, a zona de processos inelásticos é modelada como uma extensão da
fissura real submetida a esforços coesivos (Fig. 3.5).
61
Região de amolecimento
de deformações
Região intacta
CODcr
CMOD
COD
Zona de processos inelásticos
Fig. 3.5 - Conceitos básicos do Modelo da Fissura Fictícia (Hillerborg et al., 1976)
Uma curva típica tensão-alongamento de uma peça de concreto submetida
a tração uniaxial é mostrada na Fig. 3.6. O alongamento da peça é medido por
meio de dois extensômetros A e B. O extensômetro A mede o deslocamento na
seção fissurada, enquanto que o extensômetro B mede o deslocamento numa
região não fissurada. Após a carga de pico, o extensômetro A registra um
aumento contínuo de alongamento (Fig. 3.6c), enquanto que o extensômetro B
indica um descarregamento devido ao fenômeno de localização de deformações
(Fig. 3.6b). O Modelo da Fissura Fictícia propõe então a representação do
processo de fraturamento por meio de um diagrama tensão-deformação até a
carga de pico e, partir desse ponto, um diagrama tensão-deslocamento.
Os parâmetros do material considerados no modelo são a curva tensãoabertura da fissura (σ-CMOD) na zona coesiva, a curva tensão-deformação (σ-ε)
fora dessa zona, a resistência à tração ft e a energia de fraturamento GF. A energia
de fraturamento GF é a energia necessária para criar uma unidade de área de
fissura, e corresponde à área sob a curva tensão-abertura de fissura. A
implementação desse modelo em métodos de elementos finitos têm sido feita por
vários pesquisadores (Petersson, 1981); (Ingraffea; Gerstle, 1985); (Gustafsson,
1985); (Carpinteri, 1989); (Liang; Li, 1991); (Gerstle; Xi, 1992).
62
Tensão
Ext. A e B
σ
Fissura
Ext. A
fc
Ext. B
w
σ
Ext. B
Alongamento
Tensão
Tensão
fc
fc
Extensômetro A
Extensômetro B
GF
wc
Abertura da fissura
Deformação
Fig. 3.6 - Composição de curvas no Modelo da Fissura Fictícia (Hillerborg et al., 1976)
Uma das conveniências do Modelo da Fissura Fictícia é a definição de um
índice de fragilidade do material dado por:
l ch =
E GF
f t2
(3.8)
onde E é o módulo de elasticidade, GF é a energia de fraturamento e ft é a
resistência à tração do material. lch é denominado comprimento característico.
O índice de fragilidade tem a dimensão de comprimento e é proporcional
à extensão da zona de processos inelásticos. Portanto, quanto menor o valor de
lch, mais frágil é o material (menor é a extensão da zona de processos inelásticos).
Este índice é particularmente útil para caracterizar a redução da ductilidade com o
aumento da resistência à compressão do concreto. De fato, a microestrutura do
concreto de alto desempenho é menos heterogênea do que a de concretos
convencionais, além da superfície de fraturamento ser menos áspera no CAD.
63
Isso conduz a uma menor dissipação de energia na zona de processos inelásticos,
e conseqüentemente a um comportamento mais frágil do material.
3.3.2 Modelo da Banda de Fissuração (Bažant; Oh, 1983)
Nesse modelo coesivo, a zona de processos inelásticos é modelada por
uma banda de microfissuras uniformemente distribuídas em uma largura fixa hc,
como mostrado na Fig. 3.7a. A largura hc da banda é suposta proporcional ao
diâmetro máximo do agregado utilizado. A propagação estável da fissura é
simulada pela microfissuração progressiva dentro desta banda, a qual é descrita
pela relação tensão x deformação mostrada na Fig. 3.7b. Nesse modelo, a energia
de fraturamento Gf é definida como o produto da área sob a curva tensão x
deformação da Fig. 3.7b pela largura hc da banda de fissuração. Portanto:

E
G f = h c  1 +
 Et
 f t2

 2E
(3.9)
onde E é o módulo de elasticidade, Et é o módulo pós-pico e ft é a resistência à
tração do material.
P
Tensão
Microfissuras
ft
1
hc
a0
E
a
1
Et
Gf
Deformação
P
(a)
(b)
Fig. 3.7 - Conceitos básicos do Modelo da Banda de Fissuração: (a) banda de microfissuração
e (b) curva tensão-deformação da banda de microfissuração (Bažant; Oh, 1983)
Fazendo considerações matemáticas com relação à energia dissipada no
processo de fraturamento de uma placa de concreto, Bažant; Oh (1983)
64
utilizaram o Modelo da Banda de Fissuração para determinar a resistência ao
fraturamento de uma peça de concreto em função do tamanho da mesma. Da
mesma forma que o Modelo da Fissura Fictícia, o Modelo da Banda de
Fissuração é geralmente utilizado com o Método dos Elementos Finitos para a
previsão da capacidade de carga de peças de concreto.
3.3.3 Modelo de Dois Parâmetros (Jenq; Shah, 1985)
Jenq; Shah (1985) propuseram um modelo de dois parâmetros baseado na
resposta elástica ao fraturamento de uma estrutura. Para separar as respostas
elástica e plástica como mostrado na Fig. 3.8a, o corpo-de-prova deve ser
carregado até a carga máxima e, em seguida, um ciclo de descarregamentocarregamento deve ser efetuado conforme a Fig. 3.8b.
O valor medido de CMOD ec (parcela elástica da abertura crítica da
entrada do entalhe) assim como a tensão máxima σc são introduzidos nas
formulações de Mecânica da Fratura Elástica Linear para calcular o fator de
intensidade de tensões crítico K sIc e o comprimento crítico ac da fissura elástica
equivalente, resultando:
a 
K sIc = σ c π a c g 1  c 
h
CMOD ec =
4 σc a c  a c 
g2 
E
h
(3.10)
(3.11)
onde E é o módulo de elasticidade do material, h é a altura da viga e as funções
geométricas g1 e g2 podem ser encontradas em livros-texto sobre Mecânica da
Fratura Elástica Linear.
65
σ
Fissura inicial
(a)
CMOD =
CMODe + CMODp
CTOD =
CTODe + CTODp
σ
σc
Ci
Descarregamento
na carga de pico
(b)
Cu
CMODe
CMOD
CMODp
Fig. 3.8 - Modelo de Dois Parâmetros: (a) respostas elástica e plástica ao fraturamento e
(b) ciclo de carregamento e descarregamento (Jenq; Shah, 1985)
A parcela elástica da abertura crítica CTOD ec da ponta da fissura é
determinada pela seguinte expressão:
a a 
CTOD ec = CMOD ec g 3  c , 0 
h h
(3.12)
onde a0 é o comprimento da fissura inicial e a função geométrica g3 pode ser
encontrada em livros-texto sobre Mecânica da Fratura Elástica Linear.
Baseados em observações experimentais, John; Shah (1989) propuseram
as seguintes equações empíricas para K sIc , CTOD ec e E em função da resistência
à compressão do concreto:
66
K sIc = 0,06 ( f c ) 0 , 75
(3.13)
CTOD ec = 0,00602 ( f c ) 0 ,13
(3.14)
E = 4785 ( f c ) 0 , 5
(3.15)
com K sIc em MPa m , CTOD ec em mm, e E e fc em MPa.
O Modelo de Dois Parâmetros tem sido utilizado, por exemplo, para
simular o efeito de escala na resistência à tração na flexão (Jenq; Shah, 1991) e
para prever a capacidade resistente ao cisalhamento de vigas sem armadura de
cisalhamento (Jenq; Shah, 1989).
3.3.4 Modelo do Efeito de Escala (Bažant; Kazemi, 1990)
Bažant; Kazemi (1990) simularam o fraturamento de materiais quasefrágeis por meio de uma fissura elástica equivalente. Eles consideraram uma série
de estruturas geometricamente similares. Para similaridade em duas dimensões,
como visto na Fig. 3.9, as estruturas podem ter diferentes tamanhos, mas a
relação entre o comprimento inicial a0 da fissura e a dimensão característica h da
estrutura deve ser constante (a0/h = cte). Para estas estruturas geometricamente
similares, a resistência nominal é dada por:
σ Nc =
c n Pc
bh
(3.16)
onde Pc é a carga crítica de fraturamento (ou a carga de pico), b é a largura da
viga, cn é um coeficiente que depende do tipo de estrutura e h é a dimensão
característica da estrutura (altura da viga nesse caso). No caso de vigas, o valor de
cn é igual a 1,5 L/h, onde L é o vão da viga. É evidente que o valor de cn é
constante para vigas geometricamente similares.
67
h
a0
L
b
k1 h
k1 a0
k1 L
b
k2 h
k2 a0
k2 L
b
Fig. 3.9 - Estruturas geometricamente similares (Bažant; Kazemi, 1990)
Através de análise dimensional e argumentos de similitude, Bažant (1989a)
mostrou que a resistência nominal de uma série de estruturas geometricamente
similares mas de diferentes tamanhos pode ser expressa por:
σ Nc =
B ft
1 + h/h0
(3.17)
onde B e h0 são constantes e ft é a real resistência à tração do material
(independente do tamanho da peça).
68
Como o modelo considera uma fissura elástica equivalente, as constantes
B e h0 são determinadas a partir das formulações da Mecânica da Fratura Elástica
Linear. Para maiores detalhes sobre a derivação da eq.(3.17) bem como a
determinação das constantes B e h0, ver Bažant; Planas (1998).
A eq.(3.17) prevê uma redução da resistência nominal da peça com o
aumento do tamanho da mesma, conforme pode ser observado na Fig. 3.10. A
resistência nominal de uma peça de concreto é usualmente considerada como
sendo constante e independente do seu tamanho. No entanto, a eq.(3.17) indica
que a resistência nominal é constante somente para peças de pequeno tamanho.
Por outro lado, o critério baseado na Mecânica da Fratura Elástica Linear
(MFEL) prevê um acentuado efeito de escala, e só é válido para peças de
tamanho muito elevado. A eq.(3.17), a qual é baseada na Mecânica da Fratura
Não-Linear, é uma curva de transição e produz resultados intermediários entre os
dois extremos citados. O parâmetro h0 pode ser fisicamente interpretado como o
tamanho que caracteriza a interseção da reta horizontal do critério convencional
com a reta inclinada da MFEL.
log (σNc)
Teoria convencional
(resistência constante)
Mecânica da Fratura
Elástica Linear
log (Bft)
Lei do Efeito
de Escala
log (h0)
2
1
log (h)
Fig. 3.10 - Efeito de escala na resistência nominal (Bažant, 1989a)
Existem ainda outros modelos básicos de fraturamento do concreto,
como por exemplo o Modelo da Fissura Efetiva (Karihaloo; Nallathambi, 1989);
(Karihaloo; Nallathambi, 1990), o qual é fundamentado nas mesmas idéias do
Modelo de Dois Parâmetros. A descrição completa de todos os modelos está fora
do escopo desta tese.
69
É relevante salientar que, embora os parâmetros que descrevem a resposta
ao fraturamento do material sejam inerentes a cada modelo, os diversos modelos
produzem resultados consistentes entre si (Planas; Elices, 1990); (Elices; Planas,
1991).
3.4
MÉTODOS DE ENSAIO PARA A DETERMINAÇÃO DE PARÂMETROS DE
FRATURAMENTO DO CONCRETO
Os principais métodos de ensaio propostos pelo RILEM Committee on
Fracture Mechanics of Concrete – Test Methods (RILEM, 1991) para a medição de
parâmetros de fraturamento do concreto são baseados no Modelo da Fissura
Fictícia (RILEM, 1985), no Modelo de Dois Parâmetros (RILEM, 1990a) e no
Modelo do Efeito de Escala (RILEM, 1990b). Para fins de ilustração, o primeiro
método é descrito a seguir.
3.4.1 Método de Hillerborg et al., GF (RILEM, 1985)
Este método de ensaio, proposto em 1985 e baseado no Modelo da
Fissura Fictícia, recomenda a medição da energia de fraturamento GF do material
utilizando uma viga sob flexão em três pontos (Fig. 3.11). O tamanho da viga
depende do tamanho máximo do agregado. A altura do entalhe é igual à metade
da altura da viga ± 5 mm.
O ensaio deve ser executado com uma taxa de deformação
aproximadamente constante, o que permite que a carga máxima seja atingida 30 a
60 segundos após o início do ensaio. Durante o ensaio, é registrado o diagrama
carga-deslocamento no ponto central da viga (P x δ). Para esse ensaio, deve ser
utilizado um equipamento que possibilite o controle por meio do deslocamento,
com a finalidade de registrar o ramo de amolecimento do diagrama cargadeslocamento. Uma vez obtida a curva carga-deslocamento (P x δ) e assumindose que só há absorção de energia na zona de fraturamento, a energia de
fraturamento GF pode ser calculada por:
70
GF =
W + 2 Pw δ 0
Wt
= 0
(h − a 0 ) b
(h − a 0 ) b
(3.18)
onde Wt é a energia total de fraturamento levando-se em conta a influência do
peso próprio da viga, e h, a0, b estão mostrados na Fig. 3.11.
Pa
h
a0
a0
h
b
S
L
P
Pa
W0
W2
δ0
Pw
δ
δ
W1
Fig. 3.11 - Ensaio para determinação da energia de fraturamento GF (RILEM, 1985)
Vários ensaios realizados em diferentes laboratórios (Hillerborg, 1985)
mostraram que os valores de GF podem sofrer uma variação de até 30%
dependendo do tamanho da viga. Essa variação decorre do fato de ocorrer
dissipação de uma certa quantidade de energia fora da zona de fraturamento.
71
3.4.2 Novo método para a determinação da tenacidade ao fraturamento
KIc a partir de corpos-de-prova cilíndricos
Recentemente, uma proposta de metodologia padrão para a determinação
da tenacidade ao fraturamento do concreto utilizando corpos-de-prova
cilíndricos (Hanson, 2000) foi apresentada à ASTM (American Society for Testing and
Materials) como uma alternativa aos ensaios de vigas sob flexão em três pontos
recomendados pela RILEM. Uma síntese da metodologia em questão é
apresentada nesta seção, e um exemplo passo-a-passo é mostrado, a partir de
resultados experimentais obtidos na Escola Politécnica da Universidade de São
Paulo (EPUSP) e na Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP).
Características gerais do corpo-de-prova
O CEV (Fig. 3.12), sigla para Cilindro com Entalhe em V, foi desenvolvido
no final da década de 70 como uma alternativa de baixo custo para a
determinação da tenacidade ao fraturamento de diversos materiais, sendo
constituído por um corpo-de-prova cilíndrico com um entalhe central em forma
de V. Esse tipo de corpo-de-prova é atualmente bastante utilizado para a
determinação de parâmetros de fraturamento em rochas e outros materiais
cerâmicos.
Dentre as principais vantagens do CEV sobre outros tipos de corpos-deprova estão o baixo consumo de material utilizado na moldagem dos corpos-deprova, a facilidade de manuseio e estocagem dos corpos-de-prova em atividades
laboratoriais, a possibilidade de se conhecer previamente a extensão da fissura
por ocasião da carga máxima e a certeza da trajetória de crescimento da fissura,
uma vez que a mesma sempre tem início na ponta do entalhe
(Hanson; Ingraffea, 1997). Além disso, existe a possibilidade de adaptação dos
corpos-de-prova cilíndricos de 15 x 30 cm largamente utilizados nas atividades de
construção civil. Essas dimensões são usualmente utilizadas nos ensaios
convencionais de laboratório para medidas de propriedades mecânicas do
concreto. Isto permite que as fôrmas convencionais sejam adaptadas para a
72
moldagem dos corpos-de-prova destinados a ensaios de fraturamento, por meio
do encaixe de uma placa de inserção para a formação do entalhe.
Fig. 3.12 - Corpo-de-prova do tipo CEV (Hanson; Ingraffea, 1997)
Embasamento teórico da metodologia
O ensaio de tenacidade ao fraturamento com corpos-de-prova do tipo
CEV foi proposto inicialmente por Barker (1977). O ensaio consiste na aplicação
de uma carga na direção ortogonal ao plano de fraturamento, definido por um
entalhe em forma de V pré-executado em um plano diametral do corpo-de-prova.
Durante ciclos de carregamento e descarregamento, são medidos a carga aplicada
e a respectiva abertura da entrada do entalhe (CMOD).
A partir da relação entre a taxa de liberação de energia e o fator de
intensidade de tensão, pode-se definir o fator de intensidade de tensão crítico KIc,
sob a ótica da Mecânica da Fratura Elástica Linear (MFEL), como sendo
(Barker, 1979):
K Ic =
A g Fc
d 3 / 2 (1 − ν 2 )
(3.19)
onde Fc é a carga máxima, Ag = f (ac/d) é uma constante função apenas da
geometria do corpo-de-prova e do tipo de carregamento e que deve ser calibrada
numérica- ou experimentalmente, d é o diâmetro do corpo-de-prova e ν é o
coeficiente de Poisson do material.
73
O comportamento idealizado de um corpo-de-prova que obedeça à
Mecânica da Fratura Elástica Linear, descrito por Barker; Baratta (1980), está
representado na Fig. 3.13a. Com o acréscimo progressivo de carga sob
deslocamento controlado, atinge-se o ponto A, correspondente ao início da
propagação
da
fissura
e
conseqüentemente
da
não
linearidade
do
comportamento. Devido à configuração da fissura, sua propagação é estável e há
necessidade de se incrementar a carga para promover essa propagação até que a
fissura atinja um comprimento crítico, onde a carga passa por um valor máximo.
A partir daí, o acréscimo de CMOD só será possível com a diminuição da carga
Carga
aplicada.
A
Carregamento /
Descarregamento
CMOD
(b)
CMOD
(a)
Carga
∆x
p=
CMOD
(c)
∆x 0
∆x 0
∆x
CMOD
(d)
Fig. 3.13 - Curvas carga x CMOD passíveis de serem observadas nos ensaios
(Barker; Baratta, 1980)
No caso de validade da MFEL, o descarregamento total deve conduzir a
um CMOD nulo, ou seja, não deve haver deformação residual quando da
realização de ciclos de carregamento-descarregamento. No entanto, o que é
74
observado nos ensaios é que há um desvio em relação ao que foi descrito acima.
Algumas das variações mais comuns para materiais como o concreto são:
• Histerese nos ciclos de carregamento e descarregamento (Fig. 3.13b) → Essa
característica deve-se à presença de “pontes” de material conectando as
superfícies da fissura. No caso do concreto, essas “pontes” são devidas ao
engrenamento dos agregados. Como consequência da ocorrência da histerese,
há uma ambigüidade quanto à inclinação do trecho de descarregamento, o
que causa incertezas quanto à determinação do grau de inelasticidade do
material.
• Resposta elasto-plástica (Fig. 3.13d) → O concreto exibe um CMOD
residual após descarregamento completo, resultado da zona de processos
inelásticos na ponta da fissura. A medida do CMOD residual fornece uma
idéia do quanto as hipóteses da MFEL foram violadas.
Para levar em conta o comportamento inelástico do material, o valor
crítico do fator de intensidade de tensão deve ser corrigido por meio de um fator
de correção p, resultando em:
K Ic =
1+ p
⋅K IQ
1− p
(3.20)
KIQ, denominada de tenacidade aparente ao fraturamento, é obtida segundo os
critérios de ensaio da MFEL, e p pode ser calculado de acordo com a
metodologia proposta por Hanson (2000) ou por aquela sugerida pela International
Society for Rock Mechanics (ISRM, 1988).
Aparato de ensaio
O método de ensaio, denominado de Ensaio de Abertura Diametral por
Compressão em Três Pontos, consiste na aplicação de forças excêntricas de
compressão por meio de roletes apoiados sobre placas metálicas (Fig. 3.14), sob
condições de deslocamento controlado. Essas forças produzem um momento em
relação ao plano de simetria do corpo-de-prova, o que leva à abertura e
75
propagação da fissura. A Fig. 3.15 esquematiza a atuação do carregamento para a
abertura da fissura. O registro do CMOD é feito por um clip gage posicionado na
entrada do entalhe. Alternativamente, pode-se obter o registro do CMOD por
meio da utilização de dois LVDT’s posicionados na face superior do corpo-deprova, um em cada lado do entalhe, como mostrado na Fig. 3.16.
Corpo-de-prova
Clip gage
Placas de suporte
Roletes
Prisma de carga
Fig. 3.14 - Aplicação das forças de compressão e posicionamento do clip gauge em corpo-deprova do tipo CEV (Borges et al., 2000)
A célula de carga deve ser capaz de efetuar acréscimos de carga da ordem
de 1% da carga de pico. Exige-se que o controlador da máquina seja do tipo
closed-loop,
aquisitando
continuamente
retroalimentando a máquina de ensaios.
os
dados,
armazenando-os
e
76
F
M = z F/2
F/2
z
Fig. 3.15 - Esquema de reação da força aplicada no ensaio de compressão em três pontos
Fig. 3.16 - Posicionamento dos LVDT’s para medição do CMOD
Os sensores utilizados para medição dos deslocamentos devem ser
capazes de realizar medidas de 1% do valor correspondente à carga máxima
atingida no ensaio.
O sistema de aplicação de carga deve consistir de (ver Fig. 3.14):
• Viga de transferência de carga → Deve ser de aço, com espessura mínima
de 2d/3 e comprimento mínimo igual a d, onde d é o diâmetro do corpo-de-
77
prova; a viga deve ser a mais rígida possível, seu momento de inércia não
podendo ser inferior a (d/4)4.
• Roletes. Cilíndricos, de aço, com diâmetro mínimo de d/6 e comprimento de
2d/3.
• Placas de suporte. Devem ser prismáticas com as seguintes dimensões
mínimas: espessura d/12, largura d/6 e comprimento 2d/3.
• Apoio para o corpo-de-prova. O corpo-de-prova deve ser apoiado em uma
barra retangular de aço com largura d/12, espessura menor ou igual a d/12 e
comprimento maior ou igual a 1,1d.
De preferência, devem ser confeccionados gabaritos que permitam o
posicionamento das várias peças componentes do sistema de aplicação de carga.
Esses gabaritos devem ser facilmente removidos do conjunto quando da
realização do ensaio.
Os elementos de fixação dos aparelhos de medida de deslocamentos
devem ser de material não magnético, como aço inoxidável e alumínio. As
extremidades devem estar fixadas de forma segura em ambos os lados do entalhe.
Como limite, os eixos de medida de tais aparelhos não devem estar dispostos a
uma distância superior a d/6 contada a partir do topo do corpo-de-prova.
Dimensões do corpo-de-prova
A geometria do corpo-de-prova está mostrada na Fig. 3.17.
d
a0
d
L
D
t
D
Fig. 3.17 - Geometria do corpo-de-prova do tipo CEV
78
As dimensões recomendadas para o corpo-de-prova estão listadas na
Tabela 3.1.
Tabela 3.1 – Dimensões e tolerâncias para o corpo-de-prova do tipo CEV
* Os
Dimensão
Valor*
Tolerância*
d – diâmetro do corpo-de-prova
d
-
L – altura do corpo-de-prova
2d
0,01 d
a0 – comprimento inicial da fissura
0,49 d
0,005 d
D – espessura do ligamento
0,94 d
0,01 d
t – espessura do entalhe
≤ 0,03 d
-
valores e tolerâncias estão expressos em função do diâmetro d do corpo-de-prova.
Preparação do corpo-de-prova
O entalhe pode ser obtido diretamente na moldagem por meio de placas
metálicas de inserção (Fig. 3.18) ou pode ainda ser serrado depois da desforma do
corpo-de-prova.
Fig. 3.18 - Placa de inserção para formação de entalhe em corpos-de-prova do tipo CEV
(Borges et al., 2000)
Antes da execução do ensaio, devem ser tomadas as medidas externas do
corpo-de-prova. Com o auxílio de um gabarito deve ser marcado o espaçamento
das placas de suporte, que é de 2d/3 (Fig. 3.19).
79
Fig. 3.19 - Marcação de guias em corpo-de-prova capeado e com entalhe (Hanson, 2000)
Em seguida, os elementos de fixação dos transdutores de deslocamento
devem ser presos e então o corpo-de-prova é posicionado sobre o apoio, sendo
efetuado o seu alinhamento com relação à célula de carga, bem como do entalhe
em relação ao apoio. Finalmente, são corretamente posicionados os roletes e as
placas de suporte e o conjunto é alinhado como um todo (Fig. 3.20).
(a)
(b)
Fig. 3.20 - Vista lateral (a) e superior (b) do aparato de ensaio com corpos-de-prova do tipo
CEV (Hanson, 2000)
80
Procedimento de ensaio
Com o conjunto montado e corretamente posicionado na máquina de
ensaios, deve ser aplicada uma carga gradual até cerca de no máximo 10% da
carga máxima prevista e em seguida deve-se descarregar gradativamente o sistema
até aproximadamente 1% da carga máxima prevista. Esse procedimento visa
checar a resposta dos transdutores de deslocamento e da célula de carga. Uma
vez verificadas respostas apropriadas dos sensores, pode-se iniciar o ensaio
propriamente dito.
A taxa de deformação utilizada deve ser tal que a carga de pico seja
atingida entre 4 e 6 minutos a partir do início do carregamento.
Devem ser executados pelo menos dois ciclos de carregamentodescarregamento, mas o operador pode efetuar mais ciclos se assim desejar. No
caso de apenas dois ciclos, no primeiro ciclo deve-se descarregar o sistema um
pouco antes do atingimento da carga máxima e no segundo ciclo o
descarregamento deve ocorrer quando a curva carga x CMOD entrar no ramo
pós-pico. Os descarregamentos devem atingir cerca de 10% da carga prevista de
pico. O ensaio deve então continuar até a ruptura do corpo-de-prova ou quando
o CMOD atingir 1,5 vezes o valor do CMOD correspondente à carga de pico.
Como dado complementar, pode ser registrado o desvio do plano de
fraturamento daquele inicialmente previsto, a uma altura de 5d/6 da base do
corpo-de-prova.
Cálculo da tenacidade ao fraturamento
A tenacidade aparente ao fraturamento KIQ deve ser calculada por:
K IQ =
*
Fmax Ymin
d L
(3.21)
81
*
onde Fmax é a carga de pico, Ymin
é uma constante função da geometria do
corpo-de-prova e do tipo de carregamento, e d e L são o diâmetro e a altura do
corpo-de-prova, respectivamente.
Para a determinação da tenacidade “real” ao fraturamento KIc, é necessária
a obtenção da tenacidade aparente KIQ e do fator de correção inelástico p. A
primeira é calculada a partir da eq.(3.21), enquanto p é calculado por meio de um
processo gráfico, descrito suscintamente a seguir.
A partir do gráfico de ensaio carga x CMOD, une-se por meio de linhas
retas as “lacunas” entre os ciclos sucessivos de carregamento-descarregamento,
como mostrado na Fig. 3.21. Essas linhas são denominadas linhas de suavização.
Carga
Linhas de suavização
CMOD
Fig. 3.21 - Traçado de linhas de suavização
Selecionam-se então dois ciclos de carregamento-descarregamento
próximos à carga de pico, sobre os quais são traçadas retas que passam
aproximadamente pelo centro da histerese desses ciclos (linhas médias), de
acordo com a Fig. 3.22. Essas linhas médias estendem-se desde o eixo das
abscissas, onde F = 0, até a carga de pico.
82
F1
Carga
F2
Linhas médias
CMOD
Fig. 3.22 - Traçado de linhas médias
São então determinadas as cargas F1 e F2 correspondentes às respectivas
interseções entre as linhas médias e as linhas de suavização. Calcula-se a seguir,
Favg , cuja expressão é dada por:
Favg =
F1 + F2
2
(3.22)
Determinam-se então os CMOD’s de cada linha média correspondentes à
carga média Favg, denotados por δL1 e δL2. Finalmente, são obtidos os CMOD’s
residuais correspondentes às interseções das linhas médias com o eixo das
abscissas, denotados por δU1 e δU2. O fator de correção p é calculado então por:
p=
δ U 2 − δ U1
δ L 2 − δ L1
(3.23)
Finalmente, a tenacidade ao fraturamento KIc é determinada por:
K Ic =
1+ p
K IQ
1− p
(3.24)
83
Exemplo numérico
O exemplo em questão faz parte de uma série de ensaios realizados na
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (EPUSP) e na Universidade
Estadual de Campinas (UNICAMP) relativos a um programa de colaboração
internacional para a verificação da exeqüibilidade e reprodutibilidade dos
resultados obtidos por meio da nova metodologia.
O exemplo é relativo a um corpo-de-prova de concreto do tipo CEV com
dimensões de 15 cm x 30 cm, resistência média à compressão de 31 MPa e
diâmetro máximo do agregado igual a 25 mm. O ensaio foi preparado e
executado rigorosamente de acordo com a metodologia anteriormente
apresentada. O gráfico carga x CMOD obtido experimentalmente está mostrado
na Fig. 3.23.
Linhas de suavização
F1
Favg
Fmax
Linhas médias
P (Kgf)
F2
-0.1382
-0.1685
CMOD (mm)
-0.4749
-0.5660
Fig. 3.23 - Curva experimental carga x CMOD para um corpo-de-prova do tipo CEV
(Borges et al., 2000)
*
O valor da constante Ymin
foi determinado pela equipe da Universidade
de Cornell como sendo 2,42 para a geometria e o tipo de carregamento
84
considerados. Aplicando-se o processo gráfico descrito anteriormente à curva da
Fig. 3.23,
obtém-se
para
a
tenacidade
ao
fraturamento
o
valor
KIc = 1,27 MPa m . Maiores detalhes sobre os cálculos podem ser encontrados
em Bittencourt et al. (2000).
3.5
ALGUMAS APLICAÇÕES PRÁTICAS DA MECÂNICA DA FRATURA ÀS
ESTRUTURAS DE CONCRETO
Esta seção pretende mostrar de forma sucinta algumas situações práticas
nas quais a Mecânica da Fratura pode prover critérios de análise e/ou projeto
mais realistas, em especial no que diz respeito à previsão do efeito de escala em
estruturas e peças de concreto. A dedução da formulação dos modelos abordados
está fora do escopo deste trabalho. Procura-se mostrar diretamente a
aplicabilidade prática de tais modelos, por meio de comparações com resultados
experimentais da literatura. Estimula-se o leitor a consultar as fontes citadas, as
quais contemplam de forma minuciosa as hipóteses e formulações inerentes a
cada modelo.
3.5.1 Cisalhamento em vigas de concreto armado
É consensualmente aceito que a resistência ao cisalhamento de vigas com
armadura exclusivamente longitudinal consiste da resistência provida pelo
concreto intacto, pelo intertravamento dos agregados entre as faces das fissuras e
pelo efeito de pino da armadura longitudinal. Diversos modelos baseados na
Mecânica da Fratura têm sido propostos para descrever de forma aproximada o
efeito de escala presente no colapso por cisalhamento.
Bažant; Kim (1984); Bažant; Sun (1987) desenvolveram uma série de
equações com o intuito de descrever a influência da taxa de armadura
longitudinal, do tamanho e da forma da seção transversal na resistência ao
cisalhamento de vigas de concreto armado. Eles basicamente combinaram as
formulações existentes nas normas com a lei do efeito de escala (Bažant, 1984), e
estabeleceram as várias constantes empíricas estatisticamente a partir de um vasto
85
número de resultados de ensaios disponíveis. O trabalho de Bažant; Kim (1984)
resultou na seguinte fórmula para a resistência ao cisalhamento de vigas sem
estribos:
υu =
[f
1 + h /( 25 d )
k 1 ρ1/ 3
c
+ 3000 ρ /( a / h )5
]
(psi)
(3.25)
a
onde k1 é uma constante de valor igual a 10, ρ é a taxa de armadura longitudinal,
h é a altura da viga em mm, a é o vão de cisalhamento em mm, da é o diâmetro
máximo do agregado em mm e fc é a resistência à compressão do concreto em
psi (1 psi = 0,006895 MPa).
Bažant; Sun (1987) melhoraram esta fórmula ao fazer a constante k1 variar
com o diâmetro máximo do agregado da seguinte forma:
(
k 1 = 6,5 1 + 5,1/ d a
)
(3.26)
A Fig. 3.24 mostra uma comparação entre a formulação acima (curva
sólida) e uma extensa base de resultados experimentais (461 ensaios). A
correlação entre os valores teóricos e experimentais é bastante razoável,
resultando num coeficiente de variação da ordem de 25%, considerado
suficientemente pequeno face aos obtidos pelas fórmulas utilizadas nas normas.
Na figura, h é a altura da viga e da é o diâmetro máximo do agregado.
Bažant; Sun (1987) adicionaram também o efeito dos estribos na
resistência ao cisalhamento, resultando numa expressão que considera a redução
na capacidade resistente nominal ao cisalhamento com o aumento da altura da
viga. O efeito de escala teórico foi razoavelmente bem capturado quando
comparado a 87 resultados experimentais da literatura de vigas de seção
retangular contendo estribos verticais.
86
vu / vuP
Análise plástica
1.00
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
MFEL
h ⇒ altura da viga
da ⇒ diâmetro máximo do agregado
0.2
0.4 0.6 0.8 1
h / (25da)
3
5
Fig. 3.24 - Efeito de escala previsto pelas equações de Bažant-Kim-Sun, comparado a 461
resultados experimentais de vigas sem estribos (Bažant; Planas, 1998)
3.5.2 Colapso de tubos de concreto simples
Gustafsson; Hillerborg (1985) analisaram dois tipos básicos de colapso de
tubos de concreto simples, quais sejam: colapso do tipo “anel” e colapso do tipo
“viga”, como mostrado na Fig. 3.25a. Eles utilizaram o Modelo da Fissura Fictícia
(Hillerborg et al., 1976) para simular o efeito de escala para esses tipos de colapso
e obtiveram os resultados mostrados na Fig. 3.25b. Nessa figura, a razão entre a
resistência nominal à flexão fr e a resistência direta à tração ft varia em função do
diâmetro interno di do tubo (lch é um parâmetro do material já descrito no item
3.3.1). Os resultados indicam que o colapso do tipo “anel” é mais sensível ao
tamanho da peça do que o colapso do tipo “viga”, embora os dois tipos
apresentem claramente o efeito de escala. Em decorrência disso, a consideração
de um valor de resistência à flexão (módulo de ruptura) independente do
tamanho da peça, como adotado nas normas atuais, pode ser contra a segurança
para peças de grande tamanho.
87
F/L
Colapso do t
tipo “anel”
Colapso do tipo “anel”
3.5
3
r = di + t
2
2.5
f r / ft
θ
Colapso do
tipo “viga”
F
2
Colapso do
tipo “viga”
1.5
t
t
L
t
di
di do
1
0.1
0.1
di
0.2
0.2
di
0.1
= 0.3
0.2
0.3
0.5
1
2
5
10
di / lch
(a)
(b)
Fig. 3.25 - a) Mecanismos de colapso de tubos de concreto simples; b) Efeito de escala na
resistência nominal para os dois tipo de colapso (Gustafsson; Hillerborg, 1985)
Outros casos de aplicação da Mecânica da Fratura ao concreto são
encontrados no estudo da deformabilidade de vigas armadas sob flexão
(Hillerborg, 1988); (Bigaj; Walraven, 1993); (Borges et al., 2002), da punção em
lajes (Bažant; Cao, 1987), do arrancamento de ganchos de ancoragem
(Elfgren; Swartz, 1992), da capacidade resistente à flexão de vigas de concreto
armado (Borges; Bittencourt, 1999), da torção em vigas de concreto simples e
armado (Bažant et al., 1988), só para citar alguns exemplos.
Para um estudo mais aprofundado da teoria de Mecânica da Fratura e sua
aplicação ao concreto, são sugeridas, dentre outras, as seguintes fontes de
referência: Broek (1991), Carpinteri (1992), Anderson (1995), Shah et al. (1995),
Bažant; Planas (1998).
88
CONSIDERAÇÕES SOBRE O EFEITO DE ESCALA NA
RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO
4
4.1
INTRODUÇÃO
O problema da estimativa da capacidade resistente ao cisalhamento de
peças de concreto armado tem sido objeto de estudo de vários pesquisadores ao
longo das últimas décadas. Não obstante tal interesse, o colapso por cisalhamento
ainda não foi completamente destrinchado devido à complexidade do
comportamento global das estruturas de concreto e à dificuldade de se estimar
com precisão a parcela de contribuição de cada um dos diferentes mecanismos
resistentes à força cortante.
Além da resistência à compressão do concreto, as formulações de normas
nem sempre levam em conta a influência de outros parâmetros que exercem
significativa influência na resistência ao cisalhamento de uma viga de concreto
armado, como por exemplo a taxa de armadura de flexão, a distância entre as
seções de momento fletor máximo e momento fletor nulo (vão de cisalhamento)
89
e a altura da peça. Nesse último caso, vários resultados experimentais indicam a
ocorrência de um evidente efeito de escala, isto é, uma redução da resistência
nominal da peça à medida que sua altura é aumentada. Algumas normas, como
por exemplo o código modelo CEB-FIP MC90 (1993), a norma canadense
CAN3 A23.3-94 (1994) e a norma norueguesa NS 3473E-92 (1992), já incluem
explicitamente o efeito de escala nas suas formulações de resistência ao
cisalhamento, enquanto outras, como a norma americana ACI 318-99 (1999) e o
Projeto de Revisão da nova NBR-6118 (2001)∗ ainda ignoram esse efeito. Além
das formulações empíricas de normas, existem também algumas formulações
baseadas na Mecânica da Fratura para a previsão do efeito de escala no colapso
por cisalhamento (Gustafsson; Hillerborg, 1988); (Jenq; Shah, 1985); (Bažant;
Kim, 1984); (Bažant; Sun, 1987); (Gastebled; May, 2001).
4.2
MECANISMOS BÁSICOS DE RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO
A Fig. 4.1 apresenta as forças atuantes em uma fissura diagonal numa viga
de concreto armado. A capacidade resistente nominal Vn é em geral considerada
igual à soma das contribuições das diversas componentes resistentes individuais,
as quais incluem: a parcela Vs resistida pela armadura de cisalhamento, a parcela
Vd devida ao efeito de pino da armadura longitudinal, a parcela Vcz resistida pelo
concreto não fissurado acima da fissura diagonal, e a componente vertical Vay
devida ao intertravamento dos agregados entre as faces da fissura. Portanto:
Vn = Vs + Vcz + Vay + Vd
(4.1)
Para fins de projeto, os três últimos termos do lado direito da eq.(4.1) são
agrupados em um único termo Vc, atribuído à resistência ao cisalhamento devida
ao concreto. No caso de vigas altas (vigas-parede), além dos mecanismos
resistentes incluídos na eq.(4.1), a transferência de força cortante por compressão
inclinada na biela resulta no efeito de arco, o qual eleva substancialmente a carga
∗
Também chamado no texto de “nova NBR-6118”.
90
última de cisalhamento. É importante salientar que o efeito de arco está
condicionado a uma adequada ancoragem da armadura longitudinal de flexão nos
apoios.
Armadura de
cisalhamento
Fissuras
diagonais
Vcz
C
Va
T
Vn
Armadura
longitudinal
Vd Vs
Fig. 4.1 - Forças atuantes em uma fissura diagonal numa viga de concreto armado
Com relação aos mecanismos resistentes previamente citados, as seguintes
observações podem ser feitas:
• O mecanismo resistente efetivo na zona comprimida após a fissuração
diagonal está intimamente relacionado à resistência do concreto. O
confinamento gerado pela armadura de cisalhamento contribui para
aumentar a resistência do concreto, aumentando portanto a parcela Vcz.
• O mecanismo resistente devido ao intertravamento dos agregados entre as
faces da fissura é ativado somente após a ocorrência da fissuração diagonal
e se torna significativo à medida que ocorre deslizamento entre as faces da
fissura. Esse mecanismo está relacionado à microestrutura do concreto (e
consequentemente à sua resistência mecânica) e à energia de fraturamento
do concreto (responsável pelo grau de ductilidade do material). À medida
que a resistência do concreto aumenta, a superfície de fraturamento se
torna menos áspera (comportamento mais frágil), reduzindo a ductilidade
do material e consequentemente a parcela Vay em termos relativos. A
presença de armadura de cisalhamento limita a abertura da fissura,
91
aumentando a dissipação de energia devida ao intertravamento dos
agregados, o que eleva a parcela resistente Vay.
• O mecanismo resistente devido ao efeito de pino da armadura longitudinal
depende da aderência concreto-armadura e da rigidez à flexão das barras
da armadura. Esse mecanismo é mais significativo em lajes do que em
vigas. A presença de armadura de cisalhamento tem uma influência
positiva no efeito de pino da armadura longitudinal.
• De todos os mecanismos expressos na eq.(4.1), a contribuição direta da
armadura de cisalhamento (Vs) é a menos complicada de se determinar. A
sua contribuição indireta, no entanto, a qual afeta de forma benéfica as
outras três parcelas resistentes, é difícil de ser estimada com precisão. Por
conseguinte, essa contribuição indireta é ignorada na maioria das normas
de projeto, as quais consideram que a parcela Vc é a mesma para vigas com
ou sem armadura de cisalhamento.
Nas vigas sem armadura de cisalhamento, o colapso por tração diagonal
ocorre quando a primeira fissura inclinada é formada ou pouco após isso. A carga
correspondente à fissuração diagonal é influenciada por vários parâmetros, dos
quais os seguintes são analisados no presente trabalho: resistência à compressão
do concreto fc, taxa de armadura longitudinal ρ e altura útil d da viga. Como as
normas em geral não consideram explicitamente a influência de todos esses
parâmetros, as cargas de fissuração diagonal previstas muitas vezes resultam
maiores do que as experimentais, portanto contra a segurança. No entanto, como
ponderado anteriormente, a presença de armadura de cisalhamento propicia
indiretamente um aumento da parcela resistente devida ao concreto, o que de
certa forma acaba tendo um efeito compensatório, o que não justifica, entretanto,
a falta de uma adequada margem de segurança na determinação de Vc para vigas
sem armadura de cisalhamento.
92
4.3
RECOMENDAÇÕES DE NORMAS DE PROJETO
A seguir são apresentadas algumas das expressões de normas para a
resistência ao cisalhamento de vigas de concreto armado sem armadura de
cisalhamento.
4.3.1 Projeto de Revisão da NBR-6118 (2001)
Segundo o Projeto de Revisão da NBR-6118, para vigas sem armadura de
cisalhamento e na ausência de força normal, a resistência ao cisalhamento Vc é
dada pela expressão abaixo:
Vc = 0,6 f t b d = 0,126 ( f c ) 2 / 3 b d
(4.2)
onde ft e fc são a resistência à tração e à compressão do concreto,
respectivamente, b é a largura da alma e d é a altura útil da viga. A norma
brasileira é explicitamente válida para concretos com resistência à compressão de
até 50 MPa.
4.3.2 Anexo da NBR-7197 (1989)
Na flexão simples, a contribuição resistente ao cisalhamento Vc segundo o
anexo da NBR-7197 (1989) é dada por:
Vc = 0,15 f c b d
(4.3)
4.3.3 Norma americana ACI 318R-99 (1999)
O código do ACI inclui as seguintes expressões para o cálculo da parcela
Vc da resistência ao cisalhamento:
93

ρ Vu d 
b d ≤ 0, 29 f c b d
Vc =  0,16 f c + 17
M
u 

(4.4)
Vc = f c b d / 6
(4.5)
onde ρ é a taxa de armadura longitudinal, Mu/(Vud) representa o vão de
cisalhamento a/d, e os demais termos são como explicado anteriormente. Para
fins de generalização, o próprio comentário da norma sugere a utilização da
equação simplificada (eq.(4.5)), uma vez que a eq.(4.4) superestima a influência de
fc e subestima a influência de ρ e a/d.
4.3.4 Norma canadense CAN3 A23.3-94 (1994)
Para concretos de densidade normal, o método simplificado da norma
canadense estabelece as seguintes expressões para o cálculo da contribuição
resistente do concreto:
Vc = 0, 2 f c b d
(4.6)
 260 
Vc = 
 f c b d ≥ 0,10 f c b d
 1000 + d 
(4.7)
A eq.(4.6) é válida para vigas com altura útil d menor ou igual a 300 mm.
Caso contrário, a eq.(4.7) deve ser utilizada. Esta norma considera concretos com
resistência à compressão de até 80 MPa.
4.3.5 CEB-FIP Model Code MC90 (1993)
De acordo com o Código Modelo MC90, a resistência Vc para vigas sem
armadura de cisalhamento é dada por:
94
 3d 
Vc = 0,15  
 a 
1/ 3
1 + 200  (100 ρ f )1/ 3 b d
c
d 

(4.8)
Pode-se observar pelas expressões anteriores que cada norma tem suas
particularidades. Por exemplo, a norma brasileira leva em conta apenas a
resistência do concreto, ignorando a influência da taxa de armadura longitudinal e
o efeito de escala, enquanto que o CEB considera a influência de praticamente
todos os parâmetros relevantes. O ACI leva em conta a taxa de armadura
longitudinal mas ignora o efeito de escala, o qual é explicitamente considerado na
expressão da norma canadense. Na próxima seção vários resultados
experimentais são comparados aos valores previstos por estas normas.
4.4
COMPARAÇÃO ENTRE RESULTADOS EXPERIMENTAIS E TEÓRICOS
A seguir são apresentados resultados experimentais da literatura
envolvendo 136 vigas de concreto armado sem armadura de cisalhamento, cujas
principais váriaveis foram a resistência à compressão do concreto, a taxa de
armadura longitudinal, o vão de cisalhamento e a altura útil da viga. Na Tabela
4.1 estão expressas as variáveis investigadas por cada pesquisador, enquanto que a
Tabela 4.2 mostra o valor médio da razão entre os resultados experimentais e os
valores previstos pelas normas, para cada uma das séries de ensaios analisadas.
Tabela 4.1 – Séries de ensaios da literatura analisados
Pesquisador
Elzanaty et al. (1986) – EZ
Taylor (1972) – T
Yoon et al. (1996) – Y
Ahmad et al. (1986) – A
Kim e Park (1994) – KP
Sarkar et al. (1997a) – S
König et al. (1994) – K
Thorenfeldt e Drangsholt (1994) – TD
Variáveis investigadas
fc, ρ, a/d
d
fc
ρ, a/d
ρ, a/d, d
fc , ρ
ρ, a/d, d
fc, ρ, a/d, d
95
Tabela 4.2 – Razão entre valores experimentais e teóricos (média)
Pesquisador
EZ
T
Y
A
KP
S
K
TD
No de Vigas
Ensaiadas
15
15
3
36
20
5
14
28
Média Global
vc
/vc,NBR6118
0.73
0.86
0.62
1.50
1.01
1.23
0.87
1.35
1.02
vc
/vc,NBR7197
1.17
1.30
1.02
2.55
1.65
2.13
1.55
2.31
1.71
vc /vc,ACI
1.05
1.17
0.92
2.29
1.49
1.92
1.39
2.08
1.54
vc
/vc,CAN
0.86
0.99
0.97
1.77
1.25
1.50
1.15
1.66
1.27
vc
/vc,CEB
1.09
1.12
0.92
1.59
1.36
1.38
1.33
1.72
1.31
Como pode ser observado pela Tabela 4.2, cada norma apresenta um grau
de segurança diferente. Em termos médios, o anexo da NBR-7197 prevê valores
excessivamente conservadores em certos casos, o que leva à necessidade da
utilização de uma taxa de armadura de cisalhamento muito elevada. Por outro
lado, a expressão do Projeto de Revisão da NBR-6118 resulta contra a segurança
em várias das investigações aqui analisadas, como pode ser visto na Tabela 4.2.
Os piores resultados são obtidos para baixas taxas de armadura longitudinal,
concretos de alta resistência e vigas com alturas maiores. Isso é devido ao fato de
que a NBR-6118 não leva em conta o efeito de escala nem a influência da taxa de
armadura longitudinal e além disso superestima a influência da resistência à
compressão do concreto. Várias investigações têm mostrado que o valor de Vc é
proporcional a fc1/3, enquanto que a expressão do Projeto de Revisão da NBR6118 é proporcional a fc2/3. A Tabela 4.3 mostra alguns resultados individuais
selecionados, para os quais as cargas máximas experimentais resultaram muito
inferiores àquelas previstas pela eq.(4.2), com a carga máxima teórica sendo
superestimada entre 30% e 316% (vigas B7 e S3.1, respectivamente).
96
Tabela 4.3 – Razão entre valores individuais experimentais e teóricos
Pesquisador
Viga
ρ (%)
d (mm)
fc (MPa)
T
T
K
K
K
EZ
KP
Y
Y
TD
A
A1
B3
S2.1
S3.1
S3.3
F9
D915-1
N1-S
H1-S
B61
B7
1.35
1.35
0.60
0.42
0.83
1.60
1.12
2.80
2.80
1.82
2.25
930
465
360
720
720
273
915
655
655
442
208
34.6
38.0
94.4
91.3
94.4
79.3
53.7
36.0
87.0
77.7
72.8
vc
/vc,NBR6118
0.72
0.64
0.46
0.24
0.34
0.57
0.55
0.74
0.54
0.59
0.77
Na Tabela 4.3, pode-se observar valores bastante contra a segurança para
concretos de resistências mais elevadas, tendência essa obtida para todas as séries
de ensaios investigadas. Além disso, mesmo para concretos dentro da faixa de
atuação da NBR-6118 podem ser encontrados resultados teóricos bem acima dos
experimentais. Esse é o caso das vigas A1 e B3 ensaiadas por König et al., da viga
N1-S ensaiada por Yoon et al. e da viga D915-1 ensaiada por Kim e Park, as
quais tinham alturas relativamente elevadas. Portanto, pode ser necessária uma
revisão da expressão da nova NBR-6118 para levar em conta o efeito de escala.
A seguir, a influência das variáveis relevantes é analisada por meio de
gráficos comparativos entre valores experimentais e teóricos. Na avaliação do
efeito de uma variável específica, são tomadas para cada comparação vigas cujas
outras variáveis sejam aproximadamente similares entre si, de forma que sejam
minimizadas as diferenças induzidas pela discrepância de fc, ρ, a/d entre as
diversas investigações. Os valores do ACI mostrados nos gráficos são derivados
da eq.(4.5).
97
4.4.1 Influência da resistência à compressão do concreto
O valor absoluto de Vc aumenta com o aumento da resistência à
compressão do concreto, como esperado (Fig. 4.2). No entanto, para concretos
com
resistências
mais
elevadas,
o
mecanismo
resistente
devido
ao
intertravamento dos agregados é reduzido devido a superfície de fraturamento
menos áspera (comportamento mais frágil), ou seja, a resistência Vc não aumenta
na mesma proporção de fc.
Elzanaty
Sarkar
Kim
Konig
Taylor
Ahmad
NBR-6118/2002
NBR-7197
ACI-318
CEB-FIP
3.5
3.0
vc (MPa)
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0
20
40
60
80
100
120
fc (MPa)
Fig. 4.2 - Influência de fc na resistência ao cisalhamento de vigas sem estribos
A Fig. 4.2 mostra que a nova NBR-6118 superestima a influência de fc,
enquanto que o anexo da NBR-7197, o ACI-318 e o CEB-FIP MC90 produzem
resultados suficientemente conservadores. Parece então ser adequado adotar uma
variação de Vc com fc1/3 como no CEB-FIP ou fc1/2 como no ACI-318 e na
NBR-7197. As séries de ensaios mostradas na Fig. 4.2 englobam vigas de
pequena altura (250-350 mm) e taxas de armadura longitudinal moderadas (0.020.03). Como mencionado anteriormente, para taxas de armadura menores e vigas
de maior altura os resultados previstos pela nova NBR-6118 tornam-se ainda
mais desfavoráveis.
98
Os resultados de Sarkar mostrados na Fig. 4.2 são os mais elevados por
corresponderem a valores de a/d igual a 2, o que indica a presença de um certo
efeito de arco.
4.4.2 Influência da taxa de armadura longitudinal
O efeito da taxa de armadura longitudinal na resistência ao cisalhamento
para resistências à compressão do concreto de aproximadamente 20, 50, 70 e 95
MPa está mostrado na Fig. 4.3.
A taxa de armadura longitudinal exerce um efeito significativo nos
mecanismos básicos de resistência ao cisalhamento. A intensidade das tensões
principais na ponta de uma fissura inicial de flexão depende da extensão da
fissura ao longo da altura da viga. Quanto maior o valor de ρ, menor a extensão
da fissura de flexão. Quanto menor a extensão da fissura de flexão, menores as
tensões principais para uma determinada carga, e conseqüentemente maior a
tensão de cisalhamento que resultará na fissuração diagonal. O aumento de ρ
implica também no aumento da parcela resistente devida ao efeito de pino, uma
vez que as tensões de tração no concreto na vizinhança da armadura serão
reduzidas. Além disso, um maior valor de ρ reduz a abertura da fissura,
aumentando assim o efeito do intertravamento dos agregados. Pode-se observar
que para todos os valores de fc mostrados na Fig. 4.3, um aumento de ρ leva a
um aumento de Vc.
Pode-se notar que a nova NBR-6118 é a norma menos conservadora de
todas as aqui analisadas. De fato, para as vigas com fc de 20 e 50 MPa (portanto
contempladas pela NBR-6118) a norma produziu resultados em geral contra a
segurança para taxas de armadura menores do que 0,025. Para concretos com
resistência mais elevada (70 e 95 MPa), a faixa contra a segurança se estendeu até
uma taxa de armadura de cerca de 0,05. Além disso, o ACI-318 e a NBR-7197
apresentaram em geral valores conservadores, exceto para taxas de armadura
menores que 0,02, cujos resultados foram superestimados. Já a norma canadense
situa-se num patamar intermediário entre o ACI-318 e a NBR-6118. Por outro
99
lado, a expressão recomendada pelo CEB-FIP mostrou-se a mais adequada,
prevendo com suficiente precisão o efeito da taxa de armadura longitudinal na
resistência ao cisalhamento, para todos os valores de fc analisados.
Kim
Thorenfeldt
NBR-6118/2002
NBR-7197
CEB-FIP
CAN
ACI-318
Elzanaty
NBR-7197
1.4
CEB-FIP
2.5
CAN
1.2
ACI-318
1.0
2.0
vc (MPa)
vc (MPa)
3.0
NBR-6118/2002
1.6
0.8
0.6
1.5
1.0
0.4
fc = 20 MPa
0.2
fc = 50 MPa
0.5
0.0
0.0
0
0.01
0.02
0.03
0
0.04
0.02
ρ
Ahmad
Elzanaty
NBR-6118/2002
NBR-7197
CEB-FIP
CAN
ACI-318
3.5
3.0
0.06
2.0
1.5
Sarkar
Konig
Thorenfeldt
NBR-6118/2002
NBR-7197
CEB-FIP
CAN
ACI-318
4.0
3.5
3.0
vc (MPa)
2.5
vc (MPa)
0.04
ρ
1.0
2.5
2.0
1.5
1.0
fc = 70 MPa
0.5
fc = 95 MPa
0.5
0.0
0.0
0
0.02
0.04
0.06
0.08
ρ
0
0.02
0.04
0.06
ρ
Fig. 4.3 - Influência de ρ na resistência ao cisalhamento de vigas sem estribos
4.4.3 Efeito de escala
O efeito de escala na resistência ao cisalhamento de vigas de concreto foi
verificado experimentalmente por vários pesquisadores. A influência da altura útil
da viga está mostrada na Fig. 4.4 para diversas resistências à compressão do
concreto e taxas de armadura longitudinal.
100
Taylor
1.4
CAN
1.6
ACI-318
1.4
vc (MPa)
1.2
1.0
0.8
0.6
0.2
CEB-FIP
CAN
ACI-318
1.2
1.0
0.8
0.6
fc = 30 MPa
ρ = 1,35 %
0.4
NBR-7197
1.8
CEB-FIP
1.6
NBR-6118/2002
2.0
NBR-7197
1.8
vc (MPa)
Kim
NBR-6118/2002
2.0
fc = 50 MPa
ρ = 1,80 %
0.4
0.2
0.0
0.0
0
200
400
600
800 1000 1200
0
200
400
d (mm)
600
800 1000 1200
d (mm)
Konig
Konig
Thorenfeldt
3.0
Thorenfeldt
4.0
NBR-6118/2002
CEB-FIP
1.5
1.0
fc = 90 MPa
ρ = 1,80 %
0.5
vc (MPa)
vc (MPa)
ACI-318
NBR-7197
CEB-FIP
3.0
CAN
2.0
NBR-6118/2002
3.5
NBR-7197
2.5
CAN
ACI-318
2.5
2.0
1.5
fc = 90 MPa
ρ = 3,30 %
1.0
0.5
0.0
0.0
0
200
400
600
d (mm)
800 1000 1200
0
200
400
600
800 1000 1200
d (mm)
Fig. 4.4 - Efeito de escala na resistência ao cisalhamento de vigas sem estribos
Como mostrado na Fig. 4.4, a nova NBR-6118, a NBR-7197 e o ACI-318
ignoram o efeito de escala, apresentando valores constantes independentemente
da altura útil da viga. A expressão do CEB-FIP é a que melhor reproduz a
tendência observada experimentalmente com uma adequada margem de
segurança para todas as vigas analisadas, enquanto que a norma canadense
superestima o efeito de escala para vigas com d menor que 600 mm para
concretos de resistências moderadas (fc = 30 e 50 MPa). Para concretos de alto
desempenho (fc = 90 MPa) e taxas de armadura longitudinal mais baixas
(ρ = 0,018), a expressão da norma canadense produziu valores contra a
segurança, em concordância com os resultados da Fig. 4.3. Já a nova NBR-6118
apresentou valores sistematicamente contra a segurança para quase todas as vigas
incluídas na análise, em especial para maiores resistências à compressão e
101
menores taxas de armadura longitudinal. Apesar da norma ser explicitamente
válida para concretos com fc de até 50 MPa, a resistência ao cisalhamento é
superestimada mesmo para fc = 30 e 50 MPa.
Bažant; Kim (1984) propuseram uma expressão para o cálculo da
capacidade resistente ao cisalhamento de vigas de concreto armado sem estribos,
levando em conta a influência da altura da viga. Eles basicamente combinaram a
formulação do ACI-318 com o Modelo do Efeito de Escala (Bažant, 1984) e
determinaram as várias constantes empíricas estatisticamente a partir de um vasto
número de resultados de ensaios disponíveis. A fórmula resultante para o cálculo
da resistência ao cisalhamento é a seguinte:
υu =
[f
1 + h /( 25 d )
10 ρ 1/ 3
c
+ 3000 ρ /( a / h )5
]
(psi)
(4.9)
a
onde ρ é a taxa de armadura longitudinal, h é a altura da viga em mm, a é o vão
de cisalhamento em mm, da é o diâmetro máximo do agregado em mm e fc é a
resistência à compressão do concreto em psi (1 psi = 0,006895 MPa).
A derivação completa da eq.(4.9) está fora do escopo deste trabalho,
podendo ser encontrada em Bažant; Kim (1984), Bažant; Planas (1998).
Os resultados experimentais mostrados na Fig. 4.4 são repetidos nas
Fig. 4.5 a 4.8, juntamente com as previsões da eq.(4.9), da norma canadense e do
CEB-FIP MC90.
Pode-se observar pelas Fig. 4.5 a 4.8 que a expressão proposta por
Bažant; Kim (1984) representa bem o efeito de escala, com uma adequada
margem de segurança em todos os casos analisados.
102
Taylor (experimental)
2.0
CEB-FIP
1.8
CAN
1.6
Bazant-Kim
vc (MPa)
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
300
600
900
1200
d (mm)
Fig. 4.5 - Efeito de escala na resistência ao cisalhamento ( fc = 30 MPa; ρ = 1,35%)
Kim (experimental)
2.0
CEB-FIP
1.8
CAN
1.6
Bazant-Kim
vc (MPa)
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
300
600
900
1200
d (mm)
103
Konig (experimental)
Thorenfeldt (experimental)
CEB-FIP
CAN
Bazant-Kim
2.5
vc (MPa)
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0
300
600
900
1200
d (mm)
Konig (experimental)
Thorenfeldt (experimental)
CEB-FIP
CAN
Bazant-Kim
4.0
3.5
vc (MPa)
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
0
300
600
900
1200
d (mm)
104
Este capítulo salientou que, além do efeito da taxa de armadura e da
resistência à compressão do concreto, a resistência ao cisalhamento de vigas sem
estribos é significativamente influenciada pelo tamanho da viga. Este efeito de
escala, considerado por meio de expressões puramente empíricas em algumas
poucas normas (por exemplo o CEB-FIP MC90), pode ser adequadamente
capturado com a utilização de modelos baseados na Mecânica da Fratura. Foi
mostrado que a expressão proposta por Bažant; Kim (1984) fornece resultados
satisfatórios para uma ampla faixa de resistências à compressão e taxas de
armadura longitudinal.
105
COMPORTAMENTO À FLEXÃO DE VIGAS ARMADAS
5
5.1
INTRODUÇÃO
A teoria convencional de flexão para o concreto armado, apresentada em
critérios de análise e projeto contidos nas normas correntes, é fundamentada em
algumas hipóteses básicas, as quais são suficientes para permitir a determinação
do momento resistente de uma viga (MacGregor, 1997). Além das hipóteses
básicas, em geral são admitidas algumas hipóteses extras visando à simplificação
da análise sem perda expressiva da precisão dos resultados obtidos. No entanto,
questões relativas à influência de alguns parâmetros, como por exemplo o
tamanho da viga, na sua resistência e deformabilidade, têm sido levantadas em
investigações numéricas e experimentais recentes (Carpinteri, 1984); (Koike et al.,
1987); (Hillerborg, 1990); (Liang; Li, 1991); (Gerstle et al., 1992); (Baluch et al.,
1992); (Rokugo et al., 1994); (Adachi et al., 1996); (Bigaj, 1999). Neste capítulo
são brevemente apresentados os conceitos fundamentais da teoria de flexão de
106
vigas de concreto armado e algumas considerações sobre o projeto estrutural de
vigas de concreto de alto desempenho.
5.2
COMPORTAMENTO À FLEXÃO DE UMA VIGA DE CONCRETO ARMADO
A Fig. 5.1 mostra o panorama de fissuração e as deformações presentes
em uma viga de concreto normalmente armada (também dita subarmada)
submetida à flexão em quatro pontos, desde um estágio inicial sem fissuras
(Estádio I), passando pelas cargas de serviço (Estádio II) até o atingimento do
colapso (Estádio III).
P
P
Armadura
P
P
P
Deformações
P
(b) Estádio II
P
P
P
(a) Estádio I
Ruptura do
concreto
(c) Estádio III
P
Deformações
P
P
Deformações
Fig. 5.1 - Fissuras e deformações em uma viga fletida
As deformações podem ser utilizadas para calcular a curvatura φ da seção
transversal do meio do vão para cada estágio de carregamento, definida como a
mudança de ângulo sobre um determinado comprimento (Fig. 5.2), sendo dada
pela expressão:
107
φ=
ε
x
(5.1)
onde ε é a deformação da fibra mais comprimida e x é a altura da linha neutra.
M
E
Colapso
D
C
Escoamento
da armadura
Cargas de serviço
φ
ε
M
B
A
Fissuração inicial
Viga intacta
dS
x
M
Linha neutra
φ
Fig. 5.2 - Diagrama momento x curvatura da seção transversal de uma viga sob flexão
A Fig. 5.2 relaciona o momento fletor no meio da viga à curvatura naquela
seção. Esse diagrama é o conhecido diagrama momento x curvatura.
Inicialmente, a viga não apresenta nenhuma fissura, como mostrado na
Fig. 5.1a, uma vez que as deformações nesse estágio são muito pequenas e as
tensões são distribuídas de forma essencialmente linear (ponto A na Fig. 5.2).
Quando as tensões na face inferior da viga atingem a resistência à tração
do concreto, ocorrem as primeiras fissuras de flexão. A partir desse momento, a
força de tração no concreto é transferida para a armadura e a rigidez da viga é
108
reduzida devido à redução da seção resistente de concreto, o que faz com que a
inclinação do diagrama momento x curvatura seja alterada (trecho B-C-D na
Fig. 5.2).
As deformações e o panorama de fissuração mostrados na Fig. 5.1b
correspondem ao comportamento usual sob cargas de serviço (ponto C na
Fig. 5.2). Nesse estágio, a distribuição de tensões no concreto ainda é
aproximadamente linear.
Com o aumento do carregamento externo, a armadura atinge o
escoamento (ponto D na Fig. 5.2), e a partir daí a curvatura aumenta de forma
rápida com um aumento relativamente pequeno no momento fletor. Finalmente,
a viga chega ao colapso por esmagamento do concreto comprimido na face
superior da mesma.
5.2.1 Hipóteses básicas da teoria de flexão
As três seguintes hipóteses básicas permeiam a teoria convencional de
flexão:
1) Seções inicialmente planas permanecem planas após a deformação.
2) A deformação na armadura é igual à deformação do concreto no
mesmo nível (compatibilidade de deformações).
3) As tensões na armadura e no concreto podem ser calculadas a partir das
correspondentes deformações, por meio da utilização dos diagramas
tensão x deformação de cada material.
A primeira hipótese é a mais tradicional no desenvolvimento da teoria de
viga. Esta hipótese é reconhecidamente comprovada por um grande número de
109
resultados de ensaios, os quais mostram que a distribuição das deformações ao
longo da altura de uma viga é essencialmente linear∗.
A segunda hipótese é necessária porque o concreto e a armadura devem
atuar em conjunto para resistir aos esforços solicitantes. Essa hipótese implica
uma condição de aderência perfeita entre o concreto e a armadura.
Quanto à terceira hipótese, o carregamento atuante na viga é
adequadamente equilibrado pelo momento fletor resistente calculado utilizando
as curvas teóricas tensão x deformação do concreto e da armadura.
5.2.2 Hipóteses adicionais da teoria de flexão
Além das hipóteses básicas acima expostas, as seguintes hipóteses são
consideradas para simplificar o problema, sem perda expressiva de precisão dos
resultados:
4) A resistência à tração do concreto é desprezada no cálculo da
capacidade resistente à flexão.
Em geral, o valor da resistência à tração do concreto é 1/10 da resistência
à compressão, e a força resistida pelo concreto tracionado é pequena em relação
àquela resistida pela armadura. Por esse motivo, a contribuição do concreto
tracionado na resistência à flexão da viga é desprezada. No entanto, vale salientar
que a resistência à tração do concreto é considerada em várias outras situações,
tais como cisalhamento, aderência, flechas. Além disso, se o concreto
apresentasse resistência nula à tração, um dos mecanismos básicos do concreto
armado, qual seja a aderência entre concreto e armadura, seria impossível de
existir.
5) O concreto chega ao colapso quando a deformação de compressão
atinge um valor limite.
∗
Esta hipótese não é válida para vigas com vão menor do que cerca de quatro vezes sua altura (vigasparede), uma vez que tais peças tendem a atuar mais como arcos atirantados do que como vigas.
110
A rigor, não existe um valor limite para a deformação de compressão do
concreto. Como mostrado na Fig. 5.2, uma viga de concreto armado atinge a sua
capacidade resistente quando a inclinação do diagrama momento x curvatura é
anulada (ponto E na Fig. 5.2). O colapso ocorre na região pós-pico, onde a
inclinação desse diagrama se torna negativa, resultando em deformaçães
adicionais com a redução da carga aplicada (amolecimento). Entretanto, a adoção
de um limite para a deformação de compressão do concreto simplifica bastante
os cálculos de projeto. Uma vez que o momento fletor máximo corresponde a
um valor particular de deformação de compressão da fibra extrema da viga no
diagrama momento x curvatura, o momento correspondente a qualquer outro
valor de deformação da fibra extrema será menor. Como resultado, essa hipótese
sempre resultará em estimativas conservadoras (e seguras, portanto) da
capacidade resistente à flexão. O valor da deformação limite de compressão da
fibra extrema de uma viga fletida é adotado igual a 0,003 no ACI-318, enquanto
que o CEB-FIP MC90 e o projeto de revisão da NBR-6118 estipulam o valor de
0,0035 para vigas e pilares sob carga excêntrica. É importante salientar que
valores bem mais elevados de deformação podem ser obtidos para peças nas
quais o concreto é confinado por meio de espirais ou estribos pouco espaçados.
6) A forma do diagrama tensão x deformação do concreto na compressão
pode ser escolhida como retangular, trapezoidal, triangular, parabólica, ou
qualquer outra forma que proporcione uma estimativa correta da capacidade
resistente à flexão da viga.
Essa hipótese permite a utilização de um diagrama tensão x deformação
simplificado para a determinação do momento resistente, desde que sejam
obtidos valores compatíveis com resultados experimentais. A distribuição de
tensões ao longo da altura da seção transversal de uma viga pode ser expressa
matematicamente em termos de três constantes (Fig. 5.3):
k3 → razão entre a tensão máxima na região comprimida da seção e a resistência à
compressão uniaxial
k1 → razão entre a tensão média de compressão e a tensão máxima
111
k2 → razão entre a distância da fibra extrema à resultante de compressão e a
profundidade da linha neutra
k3 fc
k2 x
C = k1 k3 fc b x
x
Linha neutra (L.N.)
Fig. 5.3 - Descrição matemática do diagrama de tensões de compressão na seção
Para uma zona comprimida retangular de largura b e profundidade da
linha neutra x, a resultante de compressão na seção é dada por:
C = k 1 k 3 fc b x
(5.2)
Valores de k1 e k2 para algumas distribuições de tensões usualmente
adotadas são mostrados na Fig. 5.4. As normas de projeto correntes, como o
ACI-318 e a NBR-6118, permitem utilizar um diagrama retangular simplificado
equivalente para o cálculo da capacidade resistente à flexão (Fig. 5.5). Este
diagrama é definido segundo o ACI pelos parâmetros α1 e β1 da seguinte forma:
uma tensão de compressão uniforme de valor (α1 fc) atua de forma distribuída
sobre uma zona de compressão equivalente delimitada pelas bordas da seção e
por uma reta paralela à linha neutra situada a uma distância y = β1 x da fibra
extrema da seção. Tanto o ACI-318 quanto a NBR-6118 adotam para α1 o valor
0,85. Quanto a β1, a NBR-6118 adota o valor fixo de 0,80, enquanto que o valor
do ACI depende da resistência à compressão do concreto.
112
k 3 fc
k2 x
C
x
L.N.
k1 = 0,85
k2 = 0,425
k1 = 0,5
k2 = 0,333
k1 = 0,67
k2 = 0,375
Fig. 5.4 - Valores de k1 e k2 para diversas distribuições de tensões
α1 fc
x
k2 x = (β1/2) x
y = β1 x
C = α1 fc β1 b x
L.N.
T
Fig. 5.5 - Diagrama retangular simplificado equivalente de tensões
5.2.3 Análise de vigas de concreto armado de seção retangular
A análise e o projeto de vigas de concreto armado deve satisfazer às
condições de compatibilidade de tensões e deformações expressas pelas hipóteses
1 e 2 descritas anteriormente neste capítulo, bem como à condição de equilíbrio
de forças na seção transversal, com os esforços internos equilibrando o
carregamento externo. Dependendo das propriedades geométricas e mecânicas
da viga, três modos distintos de colapso podem ocorrer, a saber:
113
Colapso por tração → a armadura tracionada escoa antes do concreto atingir a
deformação máxima de compressão (viga normalmente armada ou subarmada),
correspondente aos Domínios 2 e 3 de deformação. Esse caso ocorre quando a
taxa de armadura mecânica ω = ρ fy/fc é pequena.
Colapso por compressão → o concreto comprimido é esmagado antes da armadura
atingir o escoamento (viga superarmada), correspondente ao Domínio 4 de
deformação.
Colapso equilibrado → o concreto é esmagado simultaneamente ao início do
escoamento da armadura (viga com armadura “equilibrada”), correspondente ao
limite entre os Domínios 3 e 4 de deformação.
Para vigas pertencentes aos Domínios 2 e 3 de deformação (normalmente
armadas), a consideração da distribuição de tensões na seção transversal ilustrada
na Fig. 5.5 conduz aos seguintes valores das resultantes de compressão no
concreto e de tração na armadura:
C = α 1 f c b (β1 x )
(5.3)
T = As fy
(5.4)
O equilíbrio de forças horizontais leva a C = T, portanto a profundidade
da linha neutra pode ser calculada igualando-se as eq.(5.3) e (5.4), resultando:
x=
As fy
α 1 f c b β1
(5.5)
Uma forma rápida de verificar se a viga é normalmente armada consiste
em comparar a taxa geométrica de armadura ρ = As/bd com a taxa de armadura
“equilibrada” ρb, que corresponde ao início do escoamento da armadura
tracionada simultaneamente ao esmagamento do concreto comprimido. Para a
distribuição simplificada de tensões adotada na Fig. 5.5, o valor de ρb é dado por:
114
ρb =
α 1 β1 f c
fy
 ε cu

 ε cu + ε y





(5.6)
onde εy é a deformação da armadura correspondente ao início do escoamento e
εcu é a deformação última de compressão no concreto (adotado igual a 0,0035 na
NBR-6118 e 0,003 no ACI-318). Para valores de outras normas, ver Tabela 5.1.
Uma vez verificada a condição da viga como subarmada (ρ < ρb), o
momento resistente pode então ser determinado multiplicando-se as resultantes
pelo braço de alavanca entre elas, podendo ser utilizada uma das duas expressões
seguintes:
β x

M n = α 1 f c b (β1 x )  d − 1 
2 

(5.7)
β x

Mn = As fy  d − 1 
2 

(5.8)
Introduzindo-se As = ρbd na eq.(5.5), obtém-se:
x=
ρfy  d 


f c  α 1 β 1 
(5.9)
onde ω = ρ fy/fc é a taxa mecânica de armadura. O termo ω representa bem o
comportamento de uma viga uma vez que incorpora três das principais variáveis
que influenciam tal comportamento (ρ, fy e fc). Combinando-se as eq.(5.7) e (5.9),
o momento resistente também pode ser calculado por:
M n = f c b d 2 ϖ (1 − 0,59ϖ )
(5.10)
115
5.3
CONSIDERAÇÕES SOBRE O PROJETO ESTRUTURAL DE VIGAS DE
CONCRETO DE ALTO DESEMPENHO
É notável o fato de que a utilização do concreto de alto desempenho
(CAD) antecedeu um claro entendimento das suas propriedades materiais e do
comportamento estrutural das peças projetadas com este material. As peças
estruturais projetadas com CAD apresentam, sob vários aspectos, um
comportamento diferente daquelas projetadas com concretos convencionais,
devido basicamente aos traços utilizados serem bastante diferentes e à introdução
de diversos tipos de aditivos no CAD (Nilson, 1994). Sabe-se que a
microfissuração interna no CAD se manifesta somente quando uma fração maior
da carga última é atingida, o que resulta numa faixa maior de resposta elástica do
material. Por outro lado, a ductilidade exibida pelas peças de concretos de
resistências mais baixas após a carga máxima, com as microfissuras se espalhando
e formando uma rede interconectada, é menor para as peças de CAD. A resposta
às cargas de longa duração também é diferente, uma vez que o CAD apresenta
um coeficiente de fluência bem menor do que os concretos convencionais.
Tradicionalmente, a metodologia de projeto de vigas, lajes e pilares é
baseada essencialmente em resultados experimentais, em sua quase maioria
relativos a concretos com resistências à compressão de até 40 MPa. Devido à
natureza empírica de muitas regras e equações estabelecidas em normas de
projeto estrutural de concreto, é necessária uma reavaliação destas regras e
equações a fim de assegurar uma utilização segura, racional e econômica do
CAD. Este tema tem atraído a atenção de grande parte da comunidade técnica e
científica da área, e muitas pesquisas têm sido desenvolvidas com o intuito de
gerar o conhecimento fundamental do comportamento estrutural do CAD.
Embora
muitos
aspectos
ainda
não
estejam
desmistificados
e
bem
compreendidos, várias recomendações já foram adotadas por algumas normas de
projeto para levar em consideração as características inerentes aos concretos de
alto desempenho.
116
Em muitos casos, as vigas de CAD se comportam essencialmente de
acordo com as mesmas regras válidas para as vigas de concreto convencional,
porém algumas diferenças devem ser levadas em conta, como por exemplo a
determinação das flechas da estrutura, a distribuição de tensões na seção
transversal e a taxa de armadura mínima de flexão e de cisalhamento. Esta seção
trata brevemente destas e de outras considerações relativas ao projeto de vigas de
concreto armado de alto desempenho.
5.3.1 Deformação máxima de compressão
Embora o CAD atinja a tensão máxima com uma deformação
ligeiramente maior do que aquela para o concreto convencional, a sua
deformação última é menor, como pode ser observado na Fig. 2.11. No entanto,
para concretos na faixa de 28 até 83 MPa, as diferenças são pequenas, sendo que
o limite de 0,003 recomendado pelo ACI-318 mostra-se conservador de acordo
com resultados experimentais disponíveis na literatura (Nilson, 1985); (Collins et
al., 1993); (Ibrahim; McGregor, 1997); (Sarkar et al., 1997b); (Mansur et al., 1997).
A Tabela 5.1 mostra a deformação máxima de compressão na fibra de
concreto mais comprimida da seção transversal como considerado em diversas
normas.
Tabela 5.1 – Deformação máxima de compressão no concreto
Norma
Deformação última de compressão
NBR-6118/2001
0,0035
ACI 318R-99
0,003
CEB-FIP MC-90
NS 3473E-92
CAN3 A23.3-94
0,0035 para fc ≤ 50 MPa
0,0035 (50/fc) para 50 MPa < fc ≤ 80 MPa
0,0035 para fc ≤ 55 MPa
(2,5m – 1,5) εcn para 55 MPa < fc ≤ 85 MPa
0,0035
117
Os parâmetros utilizados na expressão da norma norueguesa na Tabela 5.1
são dados por:
m = ε co / ε cn
ε cn = f cn / E c
ε co = ( 0,004 f cn + 1,9 ) ⋅ 10
(5.11)
−3
onde fcn = k3 fc e k3 varia de 0,84 para um concreto de 20 MPa até 0,65 para um
concreto de 94 MPa∗.
5.3.2 Distribuição de tensões na seção transversal
A forma do diagrama de distribuição de tensões na seção transversal em
vigas está diretamente relacionada à forma do diagrama tensão x deformação sob
compressão uniaxial. Considerando então as diferenças nas curvas relativas ao
CAD, é razoável admitir que a distribuição de tensões numa seção submetida à
flexão também apresente diferenças em relação aos concretos convencionais,
especialmente para cargas próximas da máxima. Para o CAD, o qual apresenta
uma resposta mais linear à compressão, e a uma fração maior da tensão última, a
distribuição de tensões na seção transversal da viga pode ser melhor caracterizada
por um diagrama trapezoidal ou triangular. Essas diferenças na distribuição de
tensões na seção são particularmente evidentes em vigas superarmadas (Domínio
4). Entretanto, para as vigas usuais subarmadas (dimensionadas nos Domínios 2
ou 3) cujo colapso está relacionado ao escoamento da armadura de tração, vários
estudos indicam que o diagrama retangular simplificado fornece resultados
satisfatórios mesmo para vigas executadas com CAD. Portanto, o diagrama
retangular simplificado (Fig. 5.5) pode ser adotado também para vigas de
concreto armado de alto desempenho, adotando-se coeficientes α1 e β1 que
dependem da resistência à compressão do concreto utilizado. Na Tabela 5.2 estão
indicados os coeficientes recomendados pela norma norueguesa NS 3473E-92 de
acordo com a resistência à compressão do concreto.
∗
Valores intermediários podem ser encontrados na Tabela 5 da NS 3473E-92.
118
Tabela 5.2 – Parâmetros do diagrama retangular segundo a NS 3473E-92
Parâmetro
Resistência à compressão do concreto (MPa)
20
28
36
44
54
64
74
84
94
α1
1,00 1,00 1,00 1,00 0,97 0,96 0,95 0,67 0,65
β1
0,80 0,80 0,80 0,80 0,80 0,78 0,76 ------ ------
εcu (‰)
3,5
3,5
3,5
3,5
3,2
3,05
2,9
------ ------
A norma canadense CAN3 A23.3-94 considera os seguintes coeficientes:
α 1 = 0,85 − 0,0015 f c ≥ 0,67
β 1 = 0,97 − 0,0025 f c ≥ 0,67
(5.12)
O ACI 318R-99 recomenda um valor constante para α1 igual a 0,85,
enquanto que o valor de β1 varia conforme a resistência do concreto. Para
concretos com resistências de até 28 MPa, este coeficiente vale 0,85, e é reduzido
continuamente a uma taxa de 0,05 a aproximadamente cada 7 MPa acima de 28
MPa, com um valor mínimo de 0,65.
Ibrahim; McGregor (1997) propõem os seguintes parâmetros para o
diagrama retangular simplificado:
α 1 = 0,85 − 0,00125 f c ≥ 0,725
β 1 = 0,95 − 0,0025 f c ≥ 0,70
(5.13)
O projeto de revisão da NBR-6118, no item 7.1.10.1, sugere, para análises
no estado limite último, o diagrama tensão x deformação ilustrado na Fig. 5.6.
Alternativamente, pode-se utilizar sem perda significativa de precisão o diagrama
retangular com α1 e β1 iguais a 0,85 e 0,80, respectivamente. Pode-se notar que a
NBR-6118 ignora o efeito da resistência do concreto. De qualquer forma, a
norma só é valida para concretos de até 50 MPa.
119
σc
fck
0,85 fcd
2‰
3,5 ‰
εc
σc = 0,85 fcd [ 1- (1- εc/0,002)2 ]
Fig. 5.6 - Diagrama tensão x deformação da NBR-6118/2001
5.3.3 Armadura mínima de flexão
Em vigas pouco armadas, se a resistência à flexão de uma seção for menor
do que o momento de fissuração, a viga pode atingir o colapso de forma súbita
após a formação da primeira fissura de flexão. Para evitar isto, é necessário o
estabelecimento de uma taxa mínima de armadura de flexão. O cálculo dessa
armadura é feito igualando-se o momento de fissuração à capacidade resistente da
seção fissurada. Segundo o ACI 318R-99, a armadura mínima para seções
retangulares é dada por:
A s , min =
3 fc
fy
b w d ≥ 200
bw d
fy
(fc e fy em psi)
(5.14)
A norma norueguesa NS 3473E-92 estabelece a equação abaixo para o
cálculo da armadura de flexão mínima para vigas de seção retangular:
A s , min = 0,35 k w b h
ft
fy
(5.15)
120
k w = 1,5 − h / h 1 ≥ 1,0
(5.16)
onde ft é a resistência à tração do concreto, fy é a tensão de escoamento da
armadura e h1 = 1,0 m.
A norma canadense CAN3 A23.3-94 recomenda a seguinte armadura
mínima longitudinal de flexão:
A s , min =
0, 2 f c
fy
bw h
(5.17)
A armadura mínima de flexão estipulada pelo CEB-FIP MC-90 é:
A s , min = 0,0015 b w d
(5.18)
Os valores da taxa mínima de armadura de flexão de acordo com o
Projeto de Revisão da NBR-6118 estão apresentados na Tabela 5.3.
Tabela 5.3 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (NBR-6118/2001)
Valores de ρmin (%) para aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15
Forma da seção
fc
20
25
30
35
40
45
50
ρmin
Retangular
0,035 0,115 0,144 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
T (mesa comprimida)
0,024 0,100 0,100 0,118 0,138 0,158 0,177 0,197
T (mesa tracionada)
0,031 0,102 0,127 0,153 0,178 0,204 0,229 0,255
Circular
0,070 0,230 0,288 0345 0,403 0,460 0,518 0,575
A partir dos valores expressos na Tabela 5.3, a seguinte expressão pode
ser utilizada para o cálculo da armadura mínima de flexão para seção retangular:
A s , min = 0,0000575 f c b w d
(5.19)
121
5.3.4 Armadura mínima de cisalhamento
Segundo o ACI 318R-99, a armadura mínima de cisalhamento para peças
não protendidas pode ser calculada por:
A sw , min = 50
bw s
fy
(5.20)
onde s é o espaçamento entre os estribos.
A armadura mínima recomendada pela CAN3 A23.3-94 é dada por:
A sw , min = 0,06 f c
bw s
fy
(5.21)
A NS 3473E-92 estipula a seguinte armadura mínima de cisalhamento:
A sw , min = 0, 2 A c
f t senα
fy
(5.22)
onde α é o ângulo entre os estribos e o eixo longitudinal da viga, devendo ser
tomado maior ou igual a 45o.
O CEB-FIP MC-90 recomenda uma taxa mínima de armadura de
cisalhamento de acordo com a resistência característica à compressão do
concreto∗. Para um estudo detalhado do comportamento ao cisalhamento de
vigas de concreto de alto desempenho, recomenda-se a leitura do trabalho
elaborado por Duthinh; Carino (1996), o qual constitui um excelente relatório
sobre o estado-da-arte do dimensionamento à força cortante de vigas de CAD.
∗
Ver tabela na seção 9.2.2.2 do Código Modelo MC-90 (CEB-FIP, 1993).
122
5.3.5 Cálculo de deslocamentos (flechas)
O valor da flecha elástica imediata de uma viga de concreto armado
depende basicamente de três fatores: o módulo de elasticidade, o módulo de
ruptura e o momento de inércia efetivo. Os valores do módulo de elasticidade e
do módulo de ruptura de acordo com diversos pesquisadores e normas de
projeto já foram expostos no Capítulo 2. O valor do momento de inércia efetivo,
segundo o ACI 318R-99, é dado por:
M
I e =  cr
 Ma
3
 M

 I g + 1 −  cr
  M a




3

 I cr ≤ I g

(5.23)
onde Mcr é o momento de fissuração, Ma é o momento máximo, Ig é o momento
de inércia da seção bruta e Icr é o momento de inércia da seção fissurada.
O momento de fissuração é calculado por:
M cr =
fr Ig
yt
(5.24)
onde yt é a distância do centróide da seção bruta à fibra mais tracionada do
concreto.
Várias pesquisas indicam que este procedimento é válido também para
vigas de concreto de alto desempenho.
No caso das flechas devidas a cargas de longa duração, costuma-se
calcular seus valores por meio da aplicação de multiplicadores às flechas
imediatas, para levar em conta o efeito da fluência e da retração do concreto. Este
procedimento também pode ser aplicado ao CAD. No entanto, o coeficiente de
fluência do CAD é significativamente inferior àquele dos concretos
convencionais, como já verificado por vários estudos experimentais (Ngab et al.,
1981); (de Larrard; Acker, 1992); (Han; Walraven, 1995). Portanto, as flechas
123
devidas à fluência são menores para as vigas de CAD, e a influência de uma
eventual armadura de compressão também é reduzida.
O ACI 318R-99, a NS 3473E-92 e a CAN3 A23.3-94 não consideram a
redução da flecha por fluência devida ao aumento da resistência à compressão do
concreto. Porém, segundo resultados experimentais, a flecha de longo prazo
devida à fluência e à retração pode ser estimada multiplicando-se a flecha
imediata por (Nilson, 1985):
λ=
µξ
1 + 50 µ ρ′
(5.25)
onde ρ′ é a taxa de armadura de compressão e ξ varia de acordo com a Tabela
5.4.
Tabela 5.4 – Valores do coeficiente ξ segundo o ACI-318
Tempo decorrido
Coeficiente ξ
5 anos ou mais
2,0
12 meses
1,4
6 meses
1,2
3 meses
1,0
O parâmetro µ é calculado por:
µ = 1,4 − f c / 10000
(5.26)
onde o valor de µ deve ser maior que 0,4 e menor que 1,0.
Fica claro então que a aplicação deste parâmetro (µ) ao numerador da
eq.(5.25) tem como objetivo considerar o menor coeficiente de fluência do CAD,
enquanto que a sua aplicação ao denominador da referida equação visa reduzir a
influência da armadura de compressão nas flechas de vigas de CAD. A flecha
final resulta então:
124
a = (1 + λ ) a i
(5.27)
O Código Modelo MC-90 considera, para o caso do CAD, o cálculo das
flechas de vigas devidas a cargas de longa duração por meio da equação seguinte,
onde o coeficiente φ leva em conta o valor da resistência à compressão do
concreto∗:
a = (1 + φ ) a i
5.4
(5.28)
DEFORMABILIDADE DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO
Na prática, as estruturas de concreto armado têm sido projetadas por meio
de dois métodos possíveis. Até a metade dos anos 60, era utilizando o chamado
método das tensões admissíveis, segundo o qual as cargas admissíveis eram
calculadas considerando uma distribuição linear de tensões para o concreto
comprimido e as cargas de serviço. Desde então, os cálculos têm sido feitos no
estágio correspondente ao colapso, utilizando cargas majoradas, sendo feitas
verificações quanto a flechas e fissuração sob cargas de serviço. Esse método
(Método dos Estados Limites) considera uma capacidade resistente maior do que
aquela resultante de uma análise elástica linear, devido à considerável rotação
plástica apresentada por elementos unidimensionais de concreto armado
submetidos à flexão. As atuais normas de projeto permitem considerar essa
capacidade de deformação plástica de duas formas: por meio de uma análise nãolinear da estrutura, ou pela introdução de uma capacidade de redistribuição de
esforços que uma estrutura estaticamente indeterminada apresenta em relação aos
métodos de análise linear. Além disso, a magnitude da rotação das rótulas
plásticas tem que ser controlada de forma a assegurar a compatibilidade de
deformações em toda a estrutura. Portanto, uma vez que as rótulas plásticas em
estruturas de concreto armado têm uma ductilidade limitada, é de grande
importância avaliar corretamente se a capacidade de rotação plástica (ductilidade)
∗
Ver seção 7.5.2.2 do Código Modelo MC-90.
125
é suficientemente alta para que o mecanismo de colapso previsto ocorra de fato.
Uma das medidas possíveis para avaliar a ductilidade é o diagrama
momento x curvatura (Fig. 5.2). No entanto, esse diagrama corresponde aos
esforços em uma seção transversal e não à viga como um todo, haja vista que a
curvatura varia ao longo da peça devido à presença de seções fissuradas e outras
não fissuradas. Numa seção fissurada a profundidade da linha neutra é menor do
que em uma seção não fissurada, conseqüentemente a curvatura da seção não
fissurada é menor. Uma medida mais adequada para avaliar a ductilidade da viga
como um todo é o índice de ductilidade em termos de flecha. Considerando a
Fig. 5.7, pode-se considerar dois índices de ductilidade distintos dependendo da
taxa de armadura de flexão. Para as vigas com menor quantidade de armadura, as
quais apresentam um patamar de escoamento bem definido, a ductilidade pode
ser traduzida em termos da razão entre a flecha máxima no instante da ruptura e
a flecha no início do escoamento da armadura. Para as vigas com quantidade de
armadura elevada, é mais conveniente definir o índice de ductilidade como a
razão entre a flecha a um determinado nível no ramo pós-pico e a flecha
correspondente ao início do escoamento.
Os dois índices de ductilidade citados são utilizados para medir a
deformabilidade das vigas de concreto de alto desempenho investigadas
experimentalmente nesta tese (ver Capítulo 9, item 9.4.3), e são definidos então
por:
Para vigas com baixa taxa de armadura:
µ1 = δ u δ y
(5.29)
onde δu é a flecha máxima atingida pela viga e δy é a flecha correspondente ao
ponto de início do escoamento da armadura.
Para as vigas com alta taxa de armadura:
126
µ2 = δX δy
(5.30)
onde δX é a flecha correspondente a X% da carga máxima no ramo pós-pico.
δy
δy
δu
Carga
Carga
δX
Taxa de armadura baixa
Taxa de armadura alta
Deslocamento Vertical
Deslocamento Vertical
Fig. 5.7 - Possíveis curvas carga x flecha para vigas de concreto armado
Este capítulo apresentou as hipóteses que permeiam a teoria convencional
de flexão em vigas de concreto armado. Além disso, foram feitas considerações
quanto aos critérios de projeto adicionais para vigas de concreto de alto
desempenho. Finalmente, foi brevemente apresentada uma abordagem para a
determinação de índices de ductilidade para vigas com baixa e alta taxa de
armadura de flexão.
127
ARMADURA MÍNIMA DE FLEXÃO EM VIGAS
6
6.1
CONSIDERAÇÕES GERAIS
Os requisitos de armadura mínima de flexão em vigas de concreto visam
limitar a um valor aceitável a abertura de fissuras sob cargas de serviço bem como
assegurar um adequado grau de ductilidade para a peça. Dependendo da
quantidade de armadura presente, uma viga de concreto pode apresentar um
comportamento extremamente frágil, resultando num colapso repentino e
catastrófico tão logo a carga de fissuração (ou carga de primeira fissura) é atingida
e podendo causar graves danos aos ocupantes da estrutura. No intuito de evitar
tal colapso frágil, quando o concreto não mais pode resistir aos esforços de
tração a carga deve ser resistida completamente pela armadura longitudinal de
flexão. No entanto, nem todos os parâmetros que influenciam o comportamento
de vigas levemente armadas são contemplados na maioria das normas de projeto,
as quais se utilizam essencialmente de fórmulas empíricas para determinar a taxa
mínima de armadura de flexão levando em conta alguns parâmetros relevantes,
128
como por exemplo a resistência à compressão do concreto e a tensão de
escoamento da armadura, mas por outro lado negligenciando outros que parecem
ser igualmente importantes, tais como o tamanho da viga e as propriedades de
fraturamento do concreto.
Basicamente a armadura mínima deve ser determinada de forma a
satisfazer duas condições: limitar a abertura de fissuras sob cargas de serviço a
um valor aceitável (critério estético e de durabilidade a longo prazo) e evitar o
colapso frágil da peça (critério de resistência e ductilidade). O critério relevante
para o presente trabalho é o de resistência e ductilidade, estando fora do escopo
desta investigação a questão da abertura máxima de fissuras. Além disso, limita-se
a tratar aqui do caso particular de vigas de seção retangular.
De fato, as normas atuais são enfocadas apenas na resistência mecânica da
viga, ignorando a sua fragilidade ou ductilidade. Para fins ilustrativos, a Fig. 6.1
mostra os possíveis comportamentos de vigas levemente armadas submetidas a
flexão em três pontos, em termos de curvas carga x deslocamento. A curva A
denota uma viga com armadura excessivamente reduzida para a qual um colapso
frágil e repentino é inevitável, uma vez que a carga de fissuração Pcr da viga é
maior do qua a carga última Pu provida pela seção armada, isto é, a viga chega ao
colapso tão logo a carga de fissuração é atingida. A curva B representa uma
condição “balanceada”, com a carga última sendo aproximadamente igual à carga
de fissuração. A quantidade de armadura nesse caso é aquela limite acima da qual
o colapso muda de frágil para dúctil. Finalmente, a curva C representa o caso de
colapso dúctil, com a carga última da seção armada sendo claramente superior à
carga de fissuração. Essa é a situação desejável na prática.
Recentemente várias tentativas têm sido feitas visando prever o
comportamento de vigas de concreto levemente armadas e determinar de forma
racional a quantidade mínima de armadura para evitar o colapso frágil da peça.
Estas tentativas são fruto de recentes formulações teóricas e evidências
experimentais que revelaram a influência do tamanho da viga na transição de
comportamento frágil para dúctil (Bosco et al., 1990); (Rokugo et al., 1992);
(Baluch et al., 1992); (Bosco e Carpinteri, 1992); (Hawkins e Hjorteset, 1992);
129
(Ruiz et al., 1998) e do sentimento entre o meio técnico que tal problema deveria
ser abordado por meio da Mecânica da Fratura, uma vez que o colapso de vigas
levemente armadas em geral é causado pela propagação de uma única fissura
cortando a seção crítica da peça. Como a transição de frágil para dúctil é
governada pelo processo de fissuração do concreto, alguns modelos teóricos
baseados em conceitos da Mecânica da Fratura foram desenvolvidos, cujos
resultados dependem, dentre outros fatores, do tamanho da estrutura (altura da
viga nesse caso).
Pu
P
ρ > ρmin
C
Pcr
Pu
ρ = ρmin
B
A
Pu
ρ < ρmin
Concreto simples
ρ=0
δ
Fig. 6.1 - Possíveis curvas carga x flecha para vigas levemente armadas
6.2
EXPRESSÕES DE NORMAS PARA ARMADURA MÍNIMA DE FLEXÃO
Algumas das expressões de normas para a determinação da quantidade
mínima de armadura de flexão em vigas de concreto já foram apresentadas no
Capítulo 5, item 5.3.3. As seguintes normas são consideradas: norma americana
ACI 318R-99, código modelo europeu CEB-FIP Model Code MC90, norma
canadense CAN3 A23.3-94, norma norueguesa NS 3473E-92 e o Projeto de
Revisão da norma brasileira NBR-6118/2001, dentre as quais somente a norma
130
norueguesa leva em conta a influência do tamanho da peça na taxa mínima de
armadura.
6.3
EXPRESSÕES DE MODELOS DE FRATURAMENTO PARA ARMADURA
MÍNIMA DE FLEXÃO
Carpinteri (1984) formulou um modelo de comportamento à flexão para
vigas de concreto levemente armadas baseado na Mecânica da Fratura Elástica
Linear levando em conta a tenacidade ao fraturamento do concreto KIc. Este
modelo foi mais tarde incrementado de forma a melhorar os resultados obtidos
para o caso da armadura ainda não ter atingido o escoamento quando a fissura
principal começa a propagar (Bosco e Carpinteri, 1992). Segundo este modelo, o
que determina o tipo de comportamento da peça (se frágil ou dúctil) é o índice de
fragilidade Np dado por:
Np =
fy
h As
K Ic A
(6.1)
onde fy é a tensão de escoamento da armadura, h é a altura da viga, KIc é a
tenacidade ao fraturamento do concreto, As é a área de armadura longitudinal de
flexão e A é a área bruta da seção de concreto.
Baseados em resultados experimentais, Bosco e Carpinteri (1992)
propuseram a seguinte expressão para estimar o valor crítico de Np (aquele
correspondente à taxa mínima de armadura) em função da resistência à
compressão do concreto:
N pc = 0,1 + 0,0023 f c
(fc em MPa)
(6.2)
Segundo Carpinteri (1984), vigas com o mesmo Np apresentarão o mesmo
tipo de comportamento, por exemplo em termos da curva carga x flecha.
131
Considerando-se a taxa de armadura ρmin = As,min/A, o rearranjo da eq.(6.1)
conduz a:
ρ min =
N pc K Ic
fy
(6.3)
h
Claramente, segundo este modelo a taxa mínima de armadura varia com o
inverso da raiz quadrada da altura da viga, ou seja, a taxa mínima necessária para
evitar o colapso frágil diminui com o aumento do tamanho da viga. Este efeito de
escala foi observado experimentalmente em ensaios de vigas sob flexão em três
pontos (Carpinteri et al., 1999) e flexão em quatro pontos (Rokugo et al., 1996).
Baseado no Modelo da Fissura Fictícia (Hillerborg et al., 1976) e em
análises pelo Método dos Elementos Finitos, Hawkins e Hjorteset (1992)
propuseram a seguinte expressão para o cálculo da taxa mínima de armadura de
flexão, a qual leva em conta o efeito de escala na resistência à tração na flexão
(módulo de ruptura) do concreto:
ρ min


1
= 0,17 5 ζ  1 +

h
 0,85 + 2,3
α l ch



 ft h
 fy d


(6.4)
onde ft é a resistência direta à tração do concreto e ζ , α e lch são dados por:
ζ =1,
para flexão em três pontos
h
ζ = 1 − 0,1773 , para flexão em quatro pontos
L
α=
d max
8
170
65 + 15
(6.5)
(6.6)
132
l ch =
Ec GF
(6.7)
f t2
Nas expressões acima, L é o vão da viga, dmax é o diâmetro máximo do
agregado em mm e GF é a energia de fraturamento do concreto.
Mais recentemente, Ruiz et al. (1999) estabeleceram um modelo de
fraturamento que descreve o fraturamento do concreto por meio de uma fissura
coesiva e incorpora o efeito das condições de aderência entre o concreto e a
armadura. Esse modelo gera a seguinte expressão para a determinação da taxa
mínima de armadura de flexão:
−1
ρ min

h 

1 +  0,85 + 2,3
α l ch 
0,174

=
1 − c/ h fy
 h  0 , 25
c 


− 3,61
− η1 
ft
α l ch 
 α l ch 

(6.8)
onde c é o cobrimento da armadura, α e lch são dados pelas eq.(6.6) e (6.7),
respectivamente, e η1 é o parâmetro que representa as condições de aderência
entre o concreto e a armadura. Para os casos práticos, o valor de η1 varia de 15
(condição de baixa aderência) a 50 (condição de alta aderência).
A Fig. 6.2 mostra uma comparação entre dois dos modelos de
fraturamento citados, diversas formulações de normas de projeto e resultados
experimentais obtidos por Bosco et al. (1989). Os resultados da Fig. 6.2a foram
obtidos utilizando-se os seguintes dados: fc = 30 MPa, fy = 500 MPa, ft =
2,3 MPa, Ec = 23 GPa, dmax = 10 mm, GF = 134 N/m, d = 0,9 h e L = 6 h. Os
resultados da Fig. 6.2b foram obtidos a partir dos seguintes valores: fc = 80 MPa,
fy = 569 MPa, ft = 5,3 MPa, Ec = 34 GPa, dmax = 10 mm, GF = 90 N/m, d =
0,9 h e L = 6 h. Para as curvas de Ruiz et al. foi considerada condição de baixa
aderência.
133
Pode-se observar que, excetuando-se a norma norueguesa, todas as outras
ignoram o efeito de escala na taxa mínima de armadura de flexão, enquanto que
os modelos de fraturamento indicam uma redução desta taxa com o aumento do
tamanho da viga. Para os limitados resultados experimentais mostrados na figura,
esta tendência parece ocorrer de fato. Além disso, Rokugo et al. (1992) ensaiaram
vigas de diversos tamanhos executadas com concreto convencional (~ 32 MPa) e
obtiveram resultados que indicaram claramente uma redução da quantidade
mínima de armadura de flexão com o aumento do tamanho da viga. Outro fato
importante a ser mencionado é que a nova NBR-6118/2001 parece ser muito
conservadora para o caso de concretos de alta resistência.
0.004
0.005
Ensaios (Bosco et al., 1991)
Ensaios (Bosco et al., 1991)
0.004
0.003
NBR6118-2002
ACI 318R-99
CAN3 A23.3-94
CAN3 A23.3-94
0.003
NS 3473E-92
ρmin
NS 3473E-92
0.002
ACI 318R-99
NBR6118-2002
0.002
Ruiz et al.
0.001
Bosco e Carpinteri
Ruiz et al.
0.001
Bosco e Carpinteri
fc = 30 MPa
0
0.2
0.4
0.6
0.8
fc = 80 MPa
1
h (m)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
h (m)
Fig. 6.2 - Comparações de valores teóricos e experimentais de armadura mínima em vigas de
seção retangular
6.4
INVESTIGAÇÃO EXPERIMENTAL
Para analisar a questão da taxa mínima de armadura de flexão, dezesseis
vigas foram planejadas e moldadas para essa investigação. As variáveis foram a
resistência à compressão do concreto (30 MPa e 80 MPa), a taxa de armadura
134
utilizada (quatro valores diferentes) e o tamanho da viga (dois tamanhos
diferentes). Com essa combinação é possível verificar as diferenças de
comportamento entre um concreto de resistência mais baixa e um de resistência
elevada (o qual tende a ser mais frágil). Das dezesseis vigas moldadas, quatro
foram danificadas no transporte, restando então doze resultados válidos. As vigas
foram dimensionadas de forma a se obter, para cada resistência do concreto e
tamanho de viga, os quatro comportamentos distintos mostrados na Fig. 6.1. A
armadura mínima de cada viga foi calculada de acordo com a eq.(6.3). Adotou-se
mais duas taxas de armadura para cada viga, uma menor e outra maior do que a
mínima teórica, além de vigas sem armadura. Além disso, foram moldados doze
corpos-de-prova cilíndricos de 15 x 30 cm para ensaios de compressão simples,
seis para cada classe de concreto. Na Tabela 6.1 estão mostradas as dosagens de
concreto utilizadas e nas Tabelas 6.2 e 6.3 são apresentados, respectivamente, os
dados geométricos das vigas e as propriedades mecânicas do aço e do concreto.
Tabela 6.1 – Dosagens utilizadas (para 1 m3 de concreto)
fc
30 MPa
80 MPa
Relação água/cimento (a/c)
0,53
0,24
Cimento (CP2E-40) (kg)
312
652,8
Areia artificial (kg)
270
804
Areia média natural (quartzo) (kg)
632
-----
Pedrisco (kg)
-----
122,4
Brita 1 (kg)
429
1105,6
Brita 2 (kg)
631
-----
Água (litros)
165
173,6
Aditivo plastificante redutor (litros)
1,13
-----
Aditivo superplastificante (litros)
-----
14 (2%)
Aditivo mineral (fumo de sílica) (kg)
-----
65
Slump obtido (mm)
70
125
Na Tabela 6.3, o módulo de ruptura fr de acordo com o ACI 318R-99, e o
módulo de deformação longitudinal do concreto Ec e a energia de fraturamento
GF de acordo com o CEP-FIP MC90 são dados por:
135
f r = 7,5 f c
E c = 10 4 ( f c )1/ 3
(6.9)
(psi)
(MPa)
G F = 2,828 e 0 , 0454 d max ( f c ) 0 ,7
(N/mm)
(6.10)
(6.11)
onde dmax é o diâmetro máximo do agregado em mm.
A tenacidade ao fraturamento KIc foi determinada pela Mecânica da
Fratura Elástica Linear como:
K Ic = E c G F
(N/mm3/2)
(6.12)
Para o concreto de 30 MPa foi utilizado um aditivo plastificante
multidosagem redutor de água da marca MBT tipo Mastermix 390N. Para o
concreto de 80 MPa foram utilizados um aditivo superplastificante de pega
normal da marca MBT tipo Reobeton 700 e fumo de sílica do tipo amorfa da
marca Silmix.
O arranjo de ensaio utilizado (flexão em três pontos) está ilustrado na
Fig. 6.3, na qual também é mostrado um detalhe dos LVDT’s utilizados para
medir o deslocamento vertical no meio do vão (um de cada lado da viga).
O ensaio foi executado por meio de uma máquina digital de ensaios servocontrolada da marca Dartec e controlado pelo deslocamento vertical do atuador
da máquina a uma taxa de 0,0025 mm/s para as vigas armadas e 0,001 mm/s para
as vigas sem armadura. Os sinais da célula de carga, do deslocamento vertical do
atuador e dos LVDT’s na face inferior das vigas foram aquisitados de forma
contínua a uma frequência de 2 Hz por um sistema de aquisição de dados
composto por um microcomputador e um condicionador de sinais da marca
Lynx tipo ADS2000. Os equipamentos de controle do ensaio e aquisição de
dados estão mostrados na Fig. 6.4.
136
Tabela 6.2 – Geometria das vigas
Código da viga
Geometria
b (mm) h (mm) d (mm) L (mm)
A1-1
120
150
-----
900
A1-2
120
150
132,9
900
A1-3
120
150
132,5
900
A1-4
120
150
132,9
900
A2-1
120
200
-----
1200
A2-2
120
200
182,9
1200
A2-3
120
200
182,5
1200
A2-4
120
200
182,9
1200
B1-1
120
150
-----
900
B1-2
120
150
132,5
900
B1-3
120
150
132,5
900
B1-4
120
150
120
900
B2-1
120
200
-----
1200
B2-2
120
200
182,9
1200
B2-3
120
200
182,5
1200
B2-4
120
200
182,5
1200
As curvas experimentais carga x deslocamento das vigas ensaiadas estão
mostradas nas Fig. 6.5 a 6.15, juntamente com um detalhe do panorama de
fissuração desenvolvido na região central das vigas ao final dos ensaios. As vigas
A2-2, A2-4, B1-1 e B2-2 foram danificadas antes do início dos ensaios, sendo
descartadas. A curva carga x deslocamento da viga A2-1 (sem armadura) não
pôde ser registrada de forma satisfatória devido a um problema na leitura dos
LVDT’s durante o ensaio correspondente, tendo sido registrada apenas a carga
máxima nesse caso.
Em relação ao panorama de fissuração, a maioria das vigas chegaram ao
colapso com a propagação de uma única fissura na região central, enquanto que
em algumas outras mais de uma fissura foi observada (tipicamente três).
137
Viga
fc
Ec
fr
dmax
GF
KIc
fy
Es
(MPa) (MPa) (MPa) (mm) (N/m) (MPa.m1/2) (MPa) (MPa)
A1-1
34,5
32554
3,66
19
79,9
1,61
-----
-----
A1-2
34,5
32554
3,66
19
79,9
1,61
681,9
201900
A1-3
34,5
32554
3,66
19
79,9
1,61
707,8
180100
A1-4
34,5
32554
3,66
19
79,9
1,61
681,9
201900
A2-1
34,5
32554
3,66
19
79,9
1,61
-----
-----
A2-2
34,5
32554
3,66
19
79,9
1,61
681,9
201900
A2-3
34,5
32554
3,66
19
79,9
1,61
707,8
180100
A2-4
34,5
32554
3,66
19
79,9
1,61
681,9
201900
B1-1
72,2
41640
5,29
19
134,0
2,36
-----
-----
B1-2
72,2
41640
5,29
19
134,0
2,36
707,8
180100
B1-3
72,2
41640
5,29
19
134,0
2,36
681,9
201900
B1-4
72,2
41640
5,29
19
134,0
2,36
707,8
180100
B2-1
72,2
41640
5,29
19
134,0
2,36
-----
-----
B2-2
72,2
41640
5,29
19
134,0
2,36
681,9
201900
B2-3
72,2
41640
5,29
19
134,0
2,36
707,8
180100
B2-4
72,2
41640
5,29
19
134,0
2,36
707,8
180100
Fig. 6.3 - Arranjo de ensaio e detalhe dos LVDT’s utilizados
138
Controlador digital Dartec M9500
Microcomputador de controle
Microcomputador de aquisição
Condicionador de sinais ADS2000
Fig. 6.4 - Sistema de controle do ensaio e aquisição de dados
9,0
Viga A1-1
fc = 34,5 MPa
ρ = 0,0 %
120 mm
8,0
7,0
150 mm
P (kN)
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
δ (mm)
Fig. 6.5 - Curva carga x deslocamento da viga A1-1
0,7
0,8
139
10,0
120 mm
9,0
Viga A1-2
fc = 34,5 MPa
ρ = 0,08 %
8,0
150 mm
7,0
P (kN)
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
δ (mm)
9,0
8,0
7,0
Viga A1-3
fc = 34,5 MPa
ρ = 0,11 %
P (kN)
6,0
5,0
120 mm
4,0
3,0
150 mm
2,0
1,0
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
δ (mm)
3,0
3,5
140
12,0
10,0
Viga A1-4
fc = 34,5 MPa
ρ = 0,15 %
P (kN)
8,0
6,0
120 mm
4,0
150 mm
2,0
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
δ (mm)
10,0
9,0
8,0
7,0
120 mm
Viga A2-3
fc = 34,5 MPa
ρ = 0,08 %
P (kN)
6,0
5,0
200 mm
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
δ (mm)
3,5
4,0
141
12,0
Viga B1-2
fc = 72,2 MPa
ρ = 0,11 %
10,0
P (kN)
8,0
120 mm
6,0
150 mm
4,0
2,0
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
δ (mm)
Fig. 6.10 - Curva carga x deslocamento da viga B1-2
25,0
20,0
Viga B1-3
fc = 72,2 MPa
ρ = 0,26 %
P (kN)
15,0
120 mm
10,0
150 mm
5,0
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
δ (mm)
3,0
3,5
142
35,0
30,0
Viga B1-4
fc = 72,2 MPa
ρ = 0,44 %
P (kN)
25,0
20,0
120 mm
15,0
10,0
150 mm
5,0
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
δ (mm)
12,0
Viga B2-1
fc = 72,2 MPa
ρ = 0,0 %
120 mm
10,0
P (kN)
8,0
200 mm
6,0
4,0
2,0
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
δ (mm)
1,0
1,2
143
25,0
20,0
120 mm
Viga B2-3
fc = 72,2 MPa
ρ = 0,22 %
P (kN)
15,0
200 mm
10,0
5,0
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
δ (mm)
40,0
35,0
30,0
Viga B2-4
fc = 72,2 MPa
ρ = 0,33 %
P (kN)
25,0
120 mm
20,0
15,0
200 mm
10,0
5,0
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
δ (mm)
4,0
4,5
144
6.4.1 Análise dos resultados experimentais
A Tabela 6.4 indica os valores teóricos e experimentais de carga de
fissuração e deslocamento correspondente, carga última e deslocamento
correspondente.
Tabela 6.4 – Resultados teóricos e experimentais
Código
da viga
Resultados Teóricos
Resultados Experimentais
ρ
Pcr
Pu
Pcr
Pu
δcr
δu
(%)
(kN)
(kN)
(kN)
(kN)
(mm)
(mm)
Tipo de
Colapso
A1-1
-----
7,32
7,32
8,18
8,18
0,34
0,34
FRÁGIL
A1-2
0,08
7,35
5,50
9,04
5,65
0,28
2,69
FRÁGIL
A1-3
0,11
7,35
8,05
7,29
8,02
0,22
3,07
DÚCTIL
A1-4
0,15
7,37
10,89
7,58
10,97
0,20
2,96
DÚCTIL
A2-1
-----
9,75
9,75
8,20
8,20
0,63
0,63
FRÁGIL
A2-3
0,08
9,80
8,35
9,21
8,28
0,21
2,28
FRÁGIL
B1-2
0,11
10,62
8,11
10,35
9,99
0,41
1,58
FRÁGIL
B1-3
0,26
10,69
18,64
13,06
21,09
0,32
2,93
DÚCTIL
B1-4
0,44
10,66
28,67
9,70
31,29
0,27
3,27
DÚCTIL
B2-1
-----
14,11
14,11
11,31
11,31
0,48
0,48
FRÁGIL
B2-3
0,22
14,24
22,50
15,36
23,45
0,30
3,09
DÚCTIL
B2-4
0,33
14,29
33,06
15,82
35,41
0,57
3,71
DÚCTIL
Na tabela acima, Pcr é a carga de fissuração de acordo com o ACI 318R99, Pu é a carga última (máxima) resistida pela seção armada de acordo com o
ACI 318R-99, δcr é o deslocamento vertical no meio do vão correspondente à
carga de fissuração e δu é o deslocamento vertical no meio do vão
correspondente à carga última. Com relação ao tipo de colapso, todas as vigas se
comportaram de acordo com o previsto.
A Tabela 6.5 mostra uma comparação entre os valores teóricos e
experimentais de carga de fissuração e carga última, além da taxa mínima
“experimental” de armadura. Essa taxa “experimental” foi obtida calculando-se a
145
armadura necessária para que a carga última resistida pela seção armada fosse
igual à carga de fissuração experimental.
Tabela 6.5 – Comparação de valores teóricos e experimentais
Código da viga Pcr, exp / Pcr, teor Pu, exp / Pu, teor ρmin (%)
A1-1
1,12
1,12
-----
A1-2
1,23
1,03
0,13
A1-3
0,99
1,00
0,10
A1-4
1,03
1,01
0,11
A2-1
0,84
0,84
-----
A2-3
0,94
0,99
0,09
B1-2
0,97
1,23
0,14
B1-3
1,22
1,13
0,18
B1-4
0,91
1,09
0,14
B2-1
0,80
0,80
-----
B2-3
1,08
1,04
0,15
B2-4
1,11
1,07
0,15
A Fig. 6.16 mostra uma comparação das curvas experimentais da série A1,
onde
podem
ser
claramente
observados
todos
os
comportamentos
esquematizados na Fig. 6.1. Para essa série, a taxa mínima de armadura resultou
igual a 0,11 %.
A Fig. 6.17 mostra as curvas experimentais da série B1, cuja taxa mínima
de armadura resultou em 0,15 %, superior portanto às vigas de mesmas
dimensões da série A1. Isso ratifica o fato de que a taxa mínima de armadura de
flexão tende a aumentar com a resistência à compressão do concreto.
A Fig. 6.18 mostra as curvas experimentais da série B2. A taxa mínima de
armadura para esta série resultou igual a 0,15 %, mesmo valor da série B1.
146
12,0
ρ min= 0,11 %
ρ = 0,15 %
10,0
ρ = 0,11 %
P (kN)
8,0
ρ = 0,08 %
6,0
4,0
ρ = 0,0 %
2,0
Série A1
fc = 34,5 MPa
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
δ (mm)
Fig. 6.16 - Curvas carga x deslocamento das vigas da série A1
35,0
ρ min= 0,15 %
30,0
ρ = 0,44 %
25,0
P (kN)
ρ = 0,26 %
20,0
15,0
ρ = 0,11 %
10,0
5,0
Série B1
fc = 72,2 MPa
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
δ (mm)
Fig. 6.17 - Curvas carga x deslocamento das vigas da série B1
3,0
3,5
147
40,0
ρ min= 0,15 %
35,0
ρ = 0,33 %
30,0
ρ = 0,22 %
P (kN)
25,0
20,0
15,0
10,0
5,0
ρ = 0,0 %
Série B2
fc = 72,2 MPa
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
δ (mm)
Fig. 6.18 - Curvas carga x deslocamento das vigas da série B2
Tomando como exemplo as vigas da série A, pode-se observar uma
redução de cerca de 22% no valor da taxa mínima de armadura com um aumento
de 33% na altura da viga, como mostrado na Fig. 6.19 (os valores indicados na
figura são os valores médios para cada série). Essa redução está diretamente
relacionada ao efeito de escala na resistência à tração na flexão (módulo de
ruptura). De fato, para as vigas não-armadas de tamanho maior (série 2), as cargas
nominais de fissuração experimentais resultaram 16% e 20% inferiores às
teóricas, para as vigas com um concreto de 34,5 MPa e 72,2 MPa,
respectivamente.
Na Fig. 6.20 podem-se notar as diferenças de comportamento com o
aumento do tamanho da viga, para uma mesma taxa de armadura.
É importante salientar que o número de ensaios realizados e as alturas de
vigas utilizadas (150 e 200 mm) são insuficientes para traçar conclusões
definitivas sobre o assunto. Para distinguir de forma mais clara o efeito de escala,
seria necessário uma variação maior na altura das vigas ensaiadas, o que não foi
possível na presente investigação.
148
0,12
0,11
(%)
0,09
m in
0,10
0,08
0,07
Série A
fc = 34,5 M Pa
0,06
0,05
0
50
100
150
200
250
h (mm)
Fig. 6.19 - Variação da taxa mínima de armadura com o tamanho da viga
1,2
1,0
hh== 150
mm
120 mm
P / Pcr
0,8
150 mm
hh== 120
mm
0,6
0,4
Série A
fc = 34,5 MPa
ρ = 0,08 %
0,2
0,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
δ / δcr
Fig. 6.20 - Variação do comportamento com a altura da viga
As Fig. 6.21 e 6.22 ilustram as diferenças entre as taxas mínimas de
armadura previstas por diversas normas e pelas expressões dos modelos de
149
fraturamento apresentadas no item 6.3. No entanto, há de se convir que os
motivos que regem a fixação de valores mínimos nem sempre são os mesmos
para as diferentes normas.
Experimental
0.09%
NBR-6118/2001
0.20%
CAN A23.3-94
0.19%
NS 3473E-92
0.20%
ACI 318R-99
0.21%
Ruiz
0.11%
Hawkins
0.10%
Carpinteri
0.10%
0.0%
fc = 34,5 MPa
0.1%
0.2%
0.3%
ρmin
Fig. 6.21 - Valores teóricos e experimentais de ρmin – série A2
Experimental
0.15%
NBR-6118/2001
0.42%
CAN A23.3-94
0.27%
NS 3473E-92
0.30%
ACI 318R-99
0.30%
Ruiz
0.17%
Hawkins
Carpinteri
0.0%
fc = 72,2 MPa
0.15%
0.22%
0.1%
0.2%
0.3%
0.4%
ρmin
Fig. 6.22 - Valores teóricos e experimentais de ρmin – série B2
0.5%
150
Pode-se observar que as diversas normas produziram em geral valores
bem acima dos experimentais. Nesse aspecto, a presente investigação ratifica o
excessivo conservadorismo do Projeto de Revisão da NBR-6118 para o caso de
concretos de resistência mais elevada (Fig. 6.22). Para concretos convencionais
(Fig. 6.21), os valores previstos pelas diversas normas são similares entre si,
apresentando uma adequada margem de segurança. Por outro lado, os modelos
de fraturamento produziram em geral valores precisos para ambas as classes de
concreto investigadas. Além disso, tais modelos são capazes de prever o efeito de
escala na taxa mínima de armadura de flexão.
O presente capítulo discorreu sobre os possíveis comportamentos de vigas
levemente armadas e apresentou várias expressões de normas e modelos de
fraturamento para a determinação da quantidade mínima de armadura de flexão.
Foi descrita em detalhes uma investigação experimental conduzida no
Laboratório de Estruturas e Fundações da Escola Politécnica da USP para a
avaliação do efeito de escala na taxa mínima de armadura. Os resultados
mostraram que os modelos de fraturamento são capazes de capturar este efeito.
151
LOCALIZAÇÃO DE DEFORMAÇÕES NO COLAPSO POR
COMPRESSÃO
7
7.1
INTRODUÇÃO
Devido à sua composição heterogênea, o concreto contêm várias
imperfeições, tais como poros, vazios e microfissuras, mesmo antes da atuação
do carregamento externo. Sob a atuação deste, as microfissuras se propagam e
novas são formadas. Após a carga máxima, a capacidade resistente do material
diminui gradativamente com o aumento das deformações. Esse fenômeno é
denominado amolecimento de deformações, e ocorre quando as microfissuras coalecem
e formam uma zona de dano localizada, enfraquecendo o material de tal forma
que sua capacidade de carga é reduzida. Deformações adicionais na zona de dano
enfraquecem ainda mais o material, continuando o processo de amolecimento. O
desenvolvimento de macrofissuras gera um colapso localizado no concreto.
Devido a esse processo de localização de deformações, o comportamento do
concreto se torna bastante sensível às propriedades estruturais, como o tamanho
e a forma do corpo-de-prova.
152
A recente evolução das ferramentas computacionais para a análise nãolinear de estruturas de concreto impulsionou o interesse pelo conhecimento da
curva completa tensão x deformação, incluindo o ramo pós-pico dessa curva, o
qual deve ser incluído na equação constitutiva do material para a correta
descrição do processo de fissuração e fraturamento. Além disso, o entendimento
do fenômeno de localização de deformações é fundamental para a determinação
do efeito de escala na resposta à flexão de vigas de concreto armado. A questão
da capacidade de deformação plástica (ductilidade) é particularmente importante
devido à desejável redistribuição de momentos fletores em peças de concreto
armado. Os modelos que levam em conta o fenômeno de localização de
deformações são capazes de capturar a redução da capacidade de deformação
plástica com o aumento do tamanho da peça.
Fenômenos de localização de deformações pós-pico só podem ser
capturados com a utilização de uma máquina de ensaio suficientemente robusta e
que permita o controle do ensaio por meio do deslocamento axial do corpo-deprova. Além disso, no caso de concretos de alto desempenho com um
comportamento muito frágil, muitas vezes ocorre o fenômento de snap-back, no
qual tanto a carga quanto o deslocamento axial diminuem logo após o pico.
Nessa situação, outro tipo de controle deve ser utilizado, como por exemplo a
deformação circunferencial do corpo-de-prova, a qual aumenta de forma
contínua com o tempo. Esse tipo de controle foi introduzido por Shah; Gokoz;
Ansari (1981) e depois utilizado por outros pesquisadores (Dahl; Brincker, 1989);
(Taerwe, 1993); (Markeset, 1994).
Além da localização de deformações, outro fator que influencia
significativamente o comportamento pós-pico do concreto sob compressão
uniaxial é o grau de confinamento existente entre os pratos de aplicação de carga
e as faces do corpo-de-prova (Kotsovos, 1983); (Vonk et al., 1989); (Choi et al.,
1996). Esses trabalhos mostraram que o efeito de confinamento das regiões do
corpo-de-prova em contato com os pratos de ensaio desloca o ramo pós-pico da
curva tensão x deformação para cima, de tal forma que essa parte da curva não
pode ser caracterizada como uma propriedade do material e sim como uma
propriedade estrutural do conjunto. Como consequência, hoje sabe-se que o
153
comportamento pós-pico do concreto submetido a compressão uniaxial é
influenciado tanto pelo tamanho do corpo-de-prova como por efeitos de
confinamento nas extremidades do mesmo (Vonk, 1992); (van Vliet; van Mier,
1996); (van Mier, 1997). Esse aspectos são importantes no que diz respeito à
aplicação prática dos conceitos aqui tratados, como por exemplo na análise de
vigas
de
concreto
armado,
uma
vez
que,
historicamente,
a
curva
tensão x deformação do concreto sob compressão uniaxial é considerada
representativa do comportamento da zona comprimida da seção transversal de
uma viga.
7.2
COMPORTAMENTO PRÉ-PICO DO CONCRETO À COMPRESSÃO
O comportamento mecânico do concreto está intimamente relacionado à
sua estrutura interna e às mudanças que podem ocorrer nessa estrutura. Como a
estrutura interna do concreto é bastante complexa, é vantajoso subdividí-la em
um número limitado de fases, as quais podem ser entendidas como materiais
também compostos. Zaitsev; Wittmann (1981) introduziram a idéia de três níveis
de observação e modelagem relacionados a fases distintas, a saber: micro, meso e
macro. Esses três níveis estão representados na Fig. 7.1.
(a)
(b)
(c)
Fig. 7.1 - Diferentes níveis do concreto de acordo com Zaitsev; Wittmann (1981):
(a) nível micro, (b) nível meso e (c) nível macro
A análise de um fenômeno num nível mais baixo fornece subsídios para o
entendimento e a modelagem de fenômenos num nível superior.
154
O nível micro leva em conta os processos físicos e químicos em um nível
molecular na pasta de cimento endurecida, a qual por si só é bastante heterogênea
(Fig. 7.1a). No nível meso, contempla-se o comportamento da estrutura complexa
do concreto, um compósito constituído de agregados, vazios e microfissuras
mergulhados em uma matriz de pasta de cimento endurecida (Fig. 7.1b). Já o
nível macro considera um material homogêneo cujo comportamento é descrito
por leis fenomenológicas simples, as quais são concebidas para aplicação à
engenharia estrutural (Fig. 7.1c).
Para estabelecer um modelo realista capaz de simular o colapso do
concreto à compressão, é importante o entendimento dos mecanismos de
fraturamento do material. O conhecimento de como as zonas de danificação
evoluem antes do colapso final ajuda a explicar os efeitos observados no
comportamento global de uma peça de concreto. Um exemplo disso são os
efeitos de confinamento e de escala na curva tensão x deformação do material.
Quando um corpo-de-prova de concreto é solicitado à compressão, a
curva de resposta tensão x deformação da Fig. 7.2 é obtida.
σ
fc
Ramo de amolecimento
0,3 fc
Ei
Deformação
transversal
Deformação
axial
ε
Fig. 7.2 - Curva tensão x deformação do concreto sob compressão
Tipicamente, pode ser observado um ramo ascendente seguido de um
pico que é comumente denominado resistência à compressão do concreto, e
finalmente um ramo descendente denominado ramo de amolecimento. A parte
155
inicial da curva é aproximadamente linear (até cerca de 30% da tensão de pico), e
a inclinação desse trecho denota o módulo de elasticidade tangente na origem.
O processo de fraturamento do concreto sob compressão uni- e multiaxial
é um complicado processo tridimensional de propagação de fissuras internas.
Diversos mecanismos atuantes no nível meso do concreto conduzem a um
comportamento macroscópico não linear. Na região pré-pico da curva
tensão x deformação a energia dissipada por tais mecanismos é pequena em
comparação com a energia total armazenada no corpo-de-prova, permitindo
tratar o material como um contínuo. Na região pós-pico, entretanto, os efeitos
geométricos e a interação do corpo-de-prova com a máquina de ensaio tornam-se
importantes, e a utilização da “deformação” como propriedade do material não é
mais possível (van Mier, 1998).
7.2.1 Microfissuração e mecanismos de dano
Embora a parte inicial da curva tensão x deformação mostrada na Fig. 7.2
seja aparentemente linear, medições detalhadas têm mostrado que uma leve
curvatura está presente desde o início do carregamento (van Mier, 1986). A
explicação para essa curvatura inicial é que a microfissuração ocorre na
microestrutura logo que o carregamento externo é aplicado, e além disso, como já
mencionado, o material já apresenta vazios e microfissuras mesmo antes da
aplicação do carregamento externo. De fato, concentrações de tensão existem ao
redor de qualquer tipo de heterogeneidade na estrutura do material. Uma
explicação plausível dos processos que ocorrem ao redor de uma partícula de
agregado está ilustrada na Fig. 7.3 (van Mier, 1997). A figura mostra uma
partícula rígida de agregado embutida numa matriz de argamassa menos rígida.
Duas fissuras de interface estão presentes, devidas por exemplo à retração
diferencial. Por causa da diferença entre os coeficientes de Poisson da argamassa
e do agregado, as regiões da matriz de argamassa logo acima e logo abaixo da
partícula de agregado ficam confinadas, ou seja, um estado de compressão triaxial
se desenvolve nessas regiões. Baseado na Fig. 7.3, pode-se identificar
qualitativamente uma sequência de mecanismos de fraturamento. De início
156
existem as fissuras de aderência, provavelmente nucleadas durante a fase de
endurecimento do concreto. Em seguida, dependendo do fluxo de pasta ao longo
da partícula de agregado, as fissuras de aderência ficam submetidas a esforços
laterais de tração e se propagam. A propagação dessas fissuras cessa quando as
regiões cônicas solicitadas triaxialmente são atingidas, e o processo de danificação
só pode ser continuado por meio da nucleação e propagação de fissuras na matriz
de argamassa. A existência dessas regiões cônicas acima e abaixo das partículas de
agregado foi observada experimentalmente (Fig. 7.3).
matriz
região
confinada
tração
agregado
fissuras
iniciais
fluxo de
pasta
Fig. 7.3 - Tensões atuantes ao redor de uma partícula de agregado embutido em uma matriz
de argamassa (van Mier, 1997)
Evidentemente, interações entre as partículas de agregado devem ocorrer.
As forças de tração ao redor dessas partículas são supostas responsáveis pelo
início do processo de fraturamento. Ensaios realizados por Wischers; Lusche
apud van Mier (1997) em discos de material fotoelástico para simular a interação
entre as partículas de agregado indicam claramente uma concentração de tensões
nos pontos de contato entre os discos (Fig. 7.4), fato que suporta o mecanismo
idealizado.
157
O módulo de elasticidade tangente inicial do concreto depende das
rigidezes e volumes relativos das suas fases constituintes. A quantidade de
agregado, argamassa, zona de transição agregado-pasta e o volume de poros são
os principais fatores determinantes do módulo de elasticidade do concreto. Com
a propagação de fissuras isoladas, a rigidez global do concreto é gradualmente
reduzida. Essa redução é maior quando o número de microfissuras aumenta, ou
quando as fissuras individuais aumentam de tamanho. É importante notar que
também ocorrem mecanismos que previnem a propagação descontrolada de
fissuras no material. Por exemplo, uma fissura pode ter sua propagação
interrompida quando atinge um poro ou vazio na massa de concreto. Tais efeitos
conduzem a uma propagação estável de fissuras no ramo pré-pico. Além disso, a
não linearidade da curva tensão x deformação pré-pico é menor quando as
rigidezes do agregado, da pasta e da zona de transição têm a mesma ordem de
grandeza, ou ainda quando a quantidade de poros e vazios é reduzida. Esta é uma
característica típica do concreto de alto desempenho.
Fig. 7.4 - Resultado de ensaio em discos de material fotoelástico para simular a interação
entre as partículas de agregado (Wischers; Lusche apud van Mier, 1997)
Shah; Sankar (1987) ensaiaram uma série de corpos-de-prova cilíndricos
de concreto à compressão uniaxial em uma máquina de ensaios servo-controlada
(ensaio de malha fechada). Os corpos-de-prova tinham 75 mm de largura e
150 mm de altura e uma resistência à compressão de cerca de 30 MPa. Esses
pesquisadores monitoraram o panorama de fissuração interna do material nas
direções transversal e longitudinal utilizando técnicas petrográficas. Os corpos-
158
de-prova foram carregados até níveis de tensão pré-determinados e em seguida
descarregados. Várias fatias de cerca de 12 mm de espessura foram cortadas da
região central de cada corpo-de-prova para análise em microscópio (ampliação
máxima de 40x) após tratamento com tinta especial para permitir a observação
das microfissuras. Os panoramas de fissuração obtidos para diversas etapas de
carregamento estão mostrados na Fig. 7.5. Os resultados indicaram que a
extensão da fissuração até cerca de 83% da carga máxima é essencialmente
limitada a fissuras na interface agregado-pasta (Fig. 7.5a). Para esse nível de carga,
as fissuras de interface (fissuras de aderência) são distribuídas uniformemente
tanto na direção transversal como na longitudinal. Quando a tensão aplicada
aumenta continuamente, algumas dessas fissuras de interface se juntam e formam
macrofissuras contínuas que podem ser notadas na Fig. 7.5b,c. A partir de um
certo ponto na região pós-pico, a fissuração volta a ser uniforme e extensa em
ambas as direções (Fig. 7.5d).
Baseado nessas observações experimentais, o processo de fraturamento de
um corpo-de-prova de concreto submetido a compressão uniaxial pode ser
esquematizado como na Fig. 7.6. A curva tensão x deformação pode ser dividida
em várias etapas. Inicialmente, a tensão aumenta de forma aproximadamente
linear com a deformação. As microfissuras começam a abrir no ponto A, a cerca
de 30% da tensão máxima. As fissuras de aderência agregado-pasta começam a se
propagar no ponto B, a aproximadamente 50% da tensão máxima. Essas fissuras
de aderência, que são inicialmente isoladas e distribuídas uniformemente em todo
o corpo-de-prova, se propagam em diferentes direções baseadas na forma dos
agregados. Quando a tensão atinge cerca de 80% da tensão máxima, as fissuras de
aderência invadem a matriz de argamassa a começam a formar várias fissuras
principais na direção do carregamento aplicado (ponto C). Essas fissuras
principais crescem de forma estável até o atingimento da tensão máxima no
ponto D. Desse ponto em diante, as fissuras são propagadas automaticamente
mesmo com a diminuição da tensão (ramo de amolecimento), até o fraturamento
final do corpo-de-prova.
159
Fissuras de aderência
Fatia transversal
Fatia longitudinal
(a)
Fissuras contínuas
Fatia transversal
Fatia longitudinal
(b)
Fig. 7.5 - Panoramas de fissuração de corpo-de-prova cilíndricos a diversos níveis de tensão:
(a) 83% da tensão máxima, (b) tensão máxima, (c) 93% da tensão máxima no ramo pós-pico,
(d) 81% da tensão máxima no ramo pós-pico (Shah; Sankar, 1987)
160
Macrofissuras localizadas
Fatia transversal
Fatia longitudinal
(c)
Fissuração intensa e distribuída
Fatia transversal
Fatia longitudinal
(d)
Fig. 7.5 - Panoramas de fissuração de corpo-de-prova cilíndricos a diversos níveis de tensão:
(a) 83% da tensão máxima, (b) tensão máxima, (c) 93% da tensão máxima no ramo pós-pico,
(d) 81% da tensão máxima no ramo pós-pico (Shah; Sankar, 1987) (Contin.)
161
D
Tensão
fc
Início da localização de deformações
C
Propagação de fissuras na matriz
B
Abertura de fissuras de aderência
A Fissuras
desprezíveis
Deformação
Fig. 7.6 - Estágios de fissuração no concreto sob compressão uniaxial
Pode-se então concluir que o fenômento de localização de deformações
tem início logo antes da tensão de pico e se estende até um certo ponto no ramo
pós-pico. A partir daí, o processo de danificação do material aumenta e a
deformação volta a ser distribuída, uma vez que a zona de dano cresce e passa a
englobar praticamente todo o corpo-de-prova.
7.2.2 Efeito da direção do carregamento
Como citado anteriormente, a microfissuração inicial pode ocorrer devido
à retração diferencial, acúmulo de água sob os agregados e segregação durante a
compactação.
Como
conseqüência,
camadas
frágeis
se
desenvolvem
preferencialmente sob as partículas maiores de agregado, o que leva a diferentes
valores de rigidez do corpo-de-prova quando a direção do carregamento é
alterada em relação à direção de moldagem, uma vez que a orientação dessas
camadas frágeis afetará sem dúvida o mecanismo de colapso. Na Fig. 7.7 são
mostradas curvas tensão x deformação sob compressão uniaxial para um
concreto de resistência média. As diferenças observadas na rigidez inicial são
devidas à orientação das microfissuras iniciais em relação à direção do
carregamento. Outra diferença que pode ser notada no ramo pré-pico é uma
curvatura mais acentuada quando o carregamento é aplicado paralelamente à
direção de moldagem, fato que sugere uma propagação mais lenta de fissuras
nesse caso.
162
σ (MPa)
Influência da direção
do carregamento
50
40
30
20
perpendicular
paralelo
10
0
0
2
4
6
8
ε (‰)
Fig. 7.7 - Efeito da direção de moldagem em relação à direção de aplicação da carga em um
corpo-de-prova submetido a compressão uniaxial
Essas diferenças podem ser explicadas pelo mecanismo hipotetizado na
Fig. 7.8 (van Mier, 1997).
Direção de
moldagem
Dano inicial
Agregados
maiores
Direção de
moldagem
Dano inicial
Direção de
carregamento
Direção de
carregamento
Fissuras devidas
ao carregamento
(a) Paralelo
Fissuras devidas
ao carregamento
(b) Perpendicular
Fig. 7.8 - Mecanismos hipotéticos responsáveis pela anisotropia inicial do concreto
(van Mier, 1997)
163
Quando o carregamento é aplicado paralelamente à direção de moldagem,
a orientação das microfissuras iniciais é bastante desfavorável à sua propagação.
Por outro lado, quando a carga é aplicada perpendicularmente à direção de
moldagem, as fissuras são orientadas de forma mais favorável à sua propagação, a
qual ocorre mais rapidamente, em especial quando a tensão máxima é atingida. A
situação muda sensivelmente quando agregados de baixa resistência e rigidez são
usados, como no caso do concreto com agregados leves (concreto leve). Nesse
caso, as fissuras tendem a atravessar as partículas de agregado de forma parecida
com o que ocorre num ensaio de compressão diametral. No concreto de alto
desempenho uma parte das fissuras também tende a atravessar os agregados,
devido às diferenças entre as rigidezes e resistências entre os agregados e a matriz
de argamassa serem relativamente pequenas.
7.3
COMPORTAMENTO PÓS-PICO DO CONCRETO À COMPRESSÃO
Como já destacado, quando um deslocamento uniforme é aplicado às
faces superior e inferior de um corpo-de-prova pequeno (escala usual de
laboratório) de concreto, nota-se uma gradual diminuição da capacidade de carga
após o atingimento da carga máxima. Esta redução gradual da carga com o
aumento do deslocamento aplicado é representada pelo ramo de amolecimento
da curva carga-deslocamento. A área sob esta curva está associada com a
quantidade de energia necessária para a ruptura total do corpo-de-prova (energia
de fraturamento). Até a carga máxima, o comportamento não-linear do material é
devido a um processo de microfissuração, alternando para um processo severo de
abertura de macrofissuras após a carga de pico.
van Mier (1984, 1986) foi um dos primeiros pesquisadores a estudar
experimentalmente de forma detalhada o comportamento de corpos-de-prova de
concreto submetidos a compressão uniaxial e a compressão triaxial. Nesses
experimentos, foram utilizados corpos-de-prova cúbicos de 100 mm de lado e
prismáticos com seção transversal de 100 mm x 100 mm e altura variável (relação
de esbeltez L/d = 0,5, 1,0 e 2,0), a fim de determinar o efeito do tamanho do
164
corpo-de-prova e das condições de contorno do ensaio no diagrama
tensão x deformação do concreto. Os resultados para determinação da resistência
à compressão de corpos-de-prova de alturas diferentes mostraram dois
comportamentos distintos, dependendo das condições de contorno do ensaio.
No caso de pratos de compressão rígidos (ou não lubrificados), a resistência à
compressão aumentou com a redução da altura do corpo-de-prova, enquanto que
com a utilização de pratos de compressão flexíveis o valor da resistência à
compressão se manteve constante independentemente do tamanho do corpo-deprova. Nos ensaios de van Mier foi utilizado um tipo flexível de prato metálico de
aplicação de carga denominado de “escova”, mostrado na Fig. 7.9. Cada “cerda”
da escova tem uma seção tranversal de 5 mm x 5 mm e um comprimento efetivo
de 85 mm. Esse tipo de dispositivo reduz a restrição à deformação lateral das
extremidades do corpo-de-prova, porém não a elimina completamente. A
influência das condições de contorno será discutida com mais detalhes mais
85 mm
adiante.
Corpo-de-prova
“Cerdas” metálicas
(5x5 mm)
Atuador da máquina
Fig. 7.9 - Exemplo de prato de aplicação de carga do tipo “escova” (van Mier, 1984)
Na Fig. 7.10 são comparadas as curvas tensão x deformação obtidas para
os diferentes tamanhos de corpos-de-prova. Pode-se notar claramente que a
165
diminuição da altura do corpo-de-prova resulta num aumento da ductilidade, ou
seja, numa menor inclinação do ramo descendente da curva tensão x deformação,
enquanto que na região pré-pico as curvas são praticamente idênticas,
independentemente do tamanho do corpo-de-prova.
Tensão
L = 50 mm
L = 200 mm
L = 100 mm
Deformação
Fig. 7.10 - Influência do tamanho do corpo-de-prova na curva tensão x deformação do concreto
sob compressão uniaxial (van Mier, 1984)
Os experimentos de van Mier indicaram que tanto o tamanho do corpode-prova quanto as tensões na região de aplicação da carga (topo e base do
corpo-de-prova) têm uma notável influência sobre a curva completa
tensão x deformação e que o fraturamento do concreto sob compressão é um
fenômeno altamente localizado (van Mier, 1997).
7.3.1 Influência das condições de contorno
Quando pratos metálicos rígidos e não lubrificados são utilizados para
aplicação de carga em um corpo-de-prova de concreto, a deformação lateral do
corpo-de-prova nas regiões em contato com os pratos da máquina de ensaio é
restringida. Em conseqüência disso, tensões de cisalhamento atuam entre o
corpo-de-prova e o prato de aplicação de carga e causam um estado de tensões
triaxial nas extremidades do corpo-de-prova. Essa situação é similar àquela
encontrada nas regiões acima e abaixo das partículas de agregado mostrada na
Fig. 7.3. Uma situação bem diferente ocorre quando pratos de aplicação de carga
166
flexíveis ou dispositivos redutores de atrito são utilizados. Nesse caso, a
influência das condições de contorno na curva tensão x deformação do concreto
pode ser bastante reduzida. Naturalmente que nenhum sistema de aplicação de
carga pode ser qualificado como o sistema “perfeito”. O sistema “perfeito” seria
composto de um tipo de prato de compressão que tivesse exatamente a mesma
deformação lateral do corpo-de-prova ao longo de todo o ensaio. Isto implicaria
no fato de que somente pratos de compressão fabricados com o mesmo concreto
do corpo-de-prova poderiam eliminar o confinamento nas extremidades do
mesmo. Na verdade, essa é a medida tomada na prática: uma relação de esbeltez
mínima é padronizada para os corpos-de-prova, reduzindo dessa forma o
tamanho relativo das zonas afetadas pelas condições de contorno.
Kotsovos (1983) investigou experimentalmente o efeito do tipo de sistema
de aplicação de carga na curva de resposta de concretos de resistências à
compressão baixa e média. Os corpos-de-prova eram cilíndricos com uma relação
de esbeltez de 2,5. Os resultados obtidos estão mostrados na Fig. 7.11. Kotsovos
utilizou os seguintes dispositivos (em ordem decrescente de confinamento nas
extremidades): pratos metálicos rígidos, “escovas” metálicas, camadas de
neoprene entre o corpo-de-prova e os pratos de aplicação de carga, e camadas de
MGA (um material redutor de atrito de alta performance). Como pode ser
observado na Fig. 7.11, para ambos os concretos investigados o comportamento
pré-pico não foi influenciado pelo tipo de dispositivo utilizado. No entanto, após
a carga de pico as curvas resultaram mais íngremes à medida que o atrito nas
extremidades do corpo-de-prova foi sendo reduzido. Isso levou Kotsovos a
conlcuir que a melhor descrição do comportamento pós-pico do concreto sob
compressão uniaxial seria um modelo puramente frágil, com um esgotamento
total e imediato da capacidade resistente ao ser atingida a carga de pico. Parece
óbvio que tal conclusão é exageradamente radical (Smith et al., 1989). Além disso,
existem indicações de que os materiais anti-atrito utilizados por Kotsovos podem
ter exercido um efeito inverso ao confinamento nas extremidades, gerando ao
invés disso tensões de tração nessas regiões e precipitando o colapso do corpode-prova. De qualquer forma, esses resultados tiveram bastante relevância por
revelar a influência das condições de contorno na curva tensão x deformação do
167
concreto comprimido. A influência das condições de contorno foi confirmada
posteriormente em outras investigações (Vonk et al., 1989); (Choi et al., 1996).
1,2
P/PU
1,2
fc = 29 MPa
1,0
pratos rígidos
“escovas”
neoprene
MGA
fc = 50 MPa
1,0
0,8
0,8
1
0,6
2
3
0,4
4
0,2
0
P/PU
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
δ/δU
0,6
0,4
4
3
2
1
0,2
0
0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
δ/δU
Fig. 7.11 - Curvas normalizadas carga x deslocamento para várias condições de contorno e
duas classes diferentes de concreto (Kotsovos, 1983)
A partir do exposto, pode-se concluir que a ductilidade do corpo-de-prova
certamente muda de acordo com o tipo de dispositivo de aplicação de carga
utilizado, enquanto que o valor da resistência à compressão não varia para
corpos-de-prova com esbeltez mínima de aproximadamente 2,0 (altura igual a
duas vezes a dimensão característica da seção transversal do corpo-de-prova).
7.3.2 Proposta para ensaio padronizado de compressão uniaxial
Dada a importância dos fenômenos anteriormente citados, em 1993 o
comitê TC 148-SSC da RILEM promoveu um amplo programa experimental
contando com a participação de dez universidades dos seguintes países: Estados
Unidos, Holanda, Alemanha, Grécia, Austrália, Noruega, Itália, Inglaterra e
França. Esse programa teve como principal objetivo o desenvolvimento de um
método de ensaio padrão confiável para a determinação do diagrama completo
tensão x deformação do concreto sob compressão uniaxial, incluindo o ramo de
amolecimento (RILEM, 1997).
168
Como resultado, foi constatado que os principais parâmetros que
influenciam o ramo de amolecimento do concreto comprimido são os seguintes:
composição do concreto;
forma e tamanho do corpo-de-prova (esbeltez);
condições de atrito entre os pratos de aplicação de carga e o corpo-deprova;
tipo de sinal de resposta obtido no ensaio;
rigidez da máquina de ensaio.
A resistência característica à compressão dos concretos ensaiados variou
entre 43 MPa e 109 MPa, incluindo, portanto, tanto concretos convencionais
quanto concretos de alto desempenho.
Foram ensaiados corpos-de-prova cilíndricos e prismáticos, de acordo
com a prática corrente em cada país. A dimensão característica padrão da seção
transversal adotada foi de 100 mm, e a faixa de esbeltez (relação entre altura e
dimensão padrão da seção transversal) variou de 0,25 até 4,0.
Quanto ao atrito entre a superfície do corpo-de-prova e os pratos de
aplicação de carga, foram adotadas duas opções. A primeira foi a utilização de
pratos metálicos rígidos, enquanto que a segunda consistiu na utilização de
dispositivos redutores de atrito, especialmente camadas simples ou duplas de
teflon e graxa entre os pratos de aplicação de carga e o corpo-de-prova, sendo que
a espessura da camada de teflon variou de um laboratório para outro. É
importante salientar que a aplicação de graxa em excesso pode gerar resultados
não confiáveis, devido às tensões de tração que surgem em decorrência do
deslocamento lateral diferenciado entre o prato de aplicação de carga e o corpode-prova. Esse efeito é contrário ao efeito da utilização de pratos metálicos
rígidos, que ocasionam um estado triaxial de tensões nas zonas extremas do
corpo-de-prova, como mostrado na Fig. 7.12.
169
σ
σ
τ
Pratos
rígidos
τ
Graxa em
excesso
Zonas de
confinamento
triaxial
τ
τ
σ
σ
Fig. 7.12 - Influência das diferentes condições de atrito entre os pratos de aplicação de carga e
as extremidades do corpo-de-prova (RILEM, 1997)
O tipo de sinal de retorno padrão adotado para controlar o ensaio foi a
deformação axial do corpo-de-prova. No entanto, para corpos-de-prova de
concreto de alto desempenho, algumas vezes esse tipo de controle não consegue
manter a estabilidade do ensaio durante o ramo de amolecimento, devido à
ocorrência do fenômeno de snap-back, ou seja, tanto a carga quanto a deformação
axial diminuem continuamente com o tempo. Nesse caso, foram utilizados outros
tipos de sinais de resposta para controlar o ensaio, como por exemplo uma
combinação de carga axial e deformação axial ou a deformação circunferencial,
no caso de corpos-de-prova cilíndricos. Esse último sistema foi utilizado pela
primeira vez por Shah et al. (1981) para a obtenção da curva completa
tensão x deformação de concretos de alto desempenho sob compressão uniaxial,
sendo também utilizado com sucesso por outros pesquisadores, como por
exemplo Jansen (1996). Outros utilizaram ainda uma combinação de deformação
axial e expansão circunferencial (Glavind; Stang, 1991).
Em relação à rigidez da máquina de ensaio, os participantes desse
programa foram orientados a medir a rigidez axial da máquina utlizada para os
170
ensaios, porém poucos efetuaram essa medição, tornando impossível uma
avaliação da influência de tal parâmetro.
Os resultados confirmaram que a resistência à compressão obtida depende
do atrito entre os pratos de carga e o corpo-de-prova. No caso de pratos
metálicos rígidos, a resistência aumentou com a diminuição da esbeltez do corpode-prova. Essa redução cessou quando a esbeltez ultrapassou o valor L/d = 2,5.
Quando foram utilizados dispositivos redutores de atrito, a resistência apresentou
um valor praticamente constante, independente do tamanho do corpo-de-prova.
Como já explicado, a variação de resistência no caso de pratos metálicos rígidos é
causada pela restrição ao deslocamento lateral do corpo-de-prova imposta pelos
pratos, os quais apresentam rigidez muito maior. As zonas confinadas abrangem
quase todo o corpo-de-prova no caso de pequena esbeltez, enquanto que nos
corpos-de-prova de maior esbeltez as áreas não confinadas ocupam a maior
parte, como pode ser notado na Fig. 7.13. Essa diferença faz com que os corposde-prova menores apresentem uma resistência superior, uma vez que a resistência
à compressão sob um estado triaxial de tensões é mais elevada do que aquela sob
um estado uniaxial de tensões.
σ
τ
σ
τ
σ
σ
τ
τ
σ
τ
σ
τ
τ
τ
σ
σ
Fig. 7.13 - Zonas confinadas devido às forças de atrito entre o corpo-de-prova e os pratos de
aplicação de carga (RILEM, 1997)
A Fig. 7.14 mostra os resultados obtidos por uma das instituições que
fizeram parte do programa experimental (van Vliet; van Mier, 1996), em termos
de tensão máxima e a correspondente deformação. As Fig. 7.14a e b comprovam
171
claramente o aumento da tensão de pico com a redução da altura do corpo-deprova quando pratos metálicos rígidos são utilizados. Isso é observado tanto para
o concreto de média como para o de alta resistência. Quando uma fina camada
de teflon (da ordem de 0,2 mm) é utilizada para reduzir o atrito nas extremidades
do corpo-de-prova, a tensão máxima independe da esbeltez do mesmo. As
deformações correspondentes à tensão máxima seguem a mesma tendência,
como mostrado nas Fig. 7.14c e d. De forma semelhante, a deformação na tensão
máxima se mantém inalterada quando a camada de teflon á utilizada, enquanto
que a utilização de pratos metálicos rígidos leva a uma redução da deformação
com o aumento da esbeltez do corpo-de-prova. Os resultados das investigações
das outras instituições participantes do programa apresentaram as mesmas
tendências.
Tensão máxima (MPa)
Tensão máxima (MPa)
concreto de resistência média
sem teflon
com teflon
150
100
100
50
50
0
0
(a)
16
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Esbeltez (L/d)
Deformação no pico (‰)
concreto de resistência média
sem teflon
com teflon
12
0
16
4
4
(c)
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Esbeltez (L/d)
0,5
0
1,0
1,5
2,0
2,5
Esbeltez (L/d)
Deformação no pico (‰)
concreto de alta resistência
sem teflon
com teflon
12
8
0
0
(b)
8
0
concreto de alta resistência
sem teflon
com teflon
150
0
(d)
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Esbeltez (L/d)
Fig. 7.14 - Tensões máximas e correspondentes deformações para duas condições de contorno e
classes de concreto diferentes (van Vliet; van Mier, 1996)
172
Tendo em vista todos esses resultados, parece tomar força a idéia de que a
curva tensão x deformação completa do concreto sob compressão é um
comportamento estrutural, e não uma propriedade inequívoca do material. Tudo
parece depender das condições sob as quais o ensaio é realizado, em especial o
tipo de prato de aplicação de carga utilizado. Vonk (1992) mostrou também que a
curva tensão x deformação é afetada pelo grau de rotação dos pratos de aplicação
de carga.
Baseado no conjunto dos resultados obtidos, o comitê TC 148-SSC da
RILEM elaborou uma recomendação de ensaio padronizado para medir a curva
tensão x deformação do concreto sob compressão uniaxial, incluindo o ramo
pós-pico (RILEM, 2000). O esquema de ensaio está mostrado na Fig. 7.15. A
idéia do procedimento sugerido é obter resultados consistentes e com a menor
variabilidade possível.
aço
teflon (100 µm)
(duas camadas)
graxa (50 µm)
concreto
L
L
L/d = 2
d = 100 mm
(a)
(b)
d
d
Fig. 7.15 - Recomendação de ensaio padrão para a determinação da curva completa
tensão x deformação do concreto sob compressão uniaxial (RILEM, 2000)
173
7.3.3 Influência da altura do corpo-de-prova (efeito de escala)
Os ensaios de van Mier (1984) com corpos-de-prova de diferentes alturas
(Fig. 7.10) revelaram pela primeira vez a influência do esbeltez do corpo-de-prova
no comportamento pós-pico à compressão (efeito de escala). No entanto, os
corpos-de-prova utilizados tinham alturas bastante reduzidas (L/d = 0,5, 1,0 e
2,0) e algum efeito das condições de contorno também estava presente e se
confundia com o efeito de escala. Vonk (1992) mostrou que as diferenças nas
curvas tensão x deformação obtidas por van Mier resultaram devido não só ao
efeito de escala mas também à influência das condições de contorno para os
corpos-de-prova menos esbeltos, e acrescentou que a utilização de camadas de
teflon para reduzir o atrito nas extremidades do corpo-de-prova reduz tal
influência, porém não a elimina completamente. Para tornar desprezível a
influência das condições de contorno e avaliar com maior precisão o efeito de
escala, são necessários corpos-de-prova com esbeltez maior ou igual a 2,0. A Fig.
7.16 mostra a influência da altura do corpo-de-prova no ramo pós-pico da curva
tensão x deformação para um concreto com resistência à compressão de
108 MPa (Markeset, 1994). Os corpos-de-prova tinham um diâmetro de 100 mm
e alturas de 200, 300 e 400 mm. As relações de esbeltez utilizadas foram,
portanto, L/d = 2,0, 3,0 e 4,0. Pode ser observado um comportamento pós-pico
mais frágil com o aumento da altura do corpo-de-prova.
A influência da esbeltez no comportamento pós-pico foi investigada por
Rokugo; Koyanagi (1992) utilizando corpos-de-prova prismáticos de concreto
simples, concreto com fibras e argamassa. A seção transversal dos corpos-deprova tinha dimensões de 75 x 75 mm e as relações de esbeltez adotadas foram
L/d = 1,0, 2,0, 4,0 e 6,0. Os resultados relativos à menor esbeltez (L/d = 1,0) são
inúteis para a avaliação do efeito de escala devido à ausência de dispositivos
redutores de atrito na região de contato do corpo-de-prova com a máquina de
ensaio (pratos de aplicação de carga rígidos e sem lubrificação foram utilizados).
As curvas tensão x deformação para os corpos-de-prova de concreto simples
estão mostradas na Fig. 7.17, evidenciando mais uma vez o efeito de escala.
Tensão (MPa)
174
120
100
80
60
40
L = 400 mm
300 mm
200 mm
20
0
0
1
2
3
4
Deformação (‰)
Tensão (MPa)
Fig. 7.16 - Influência da altura do corpo-de-prova na curva tensão x deformação de um
concreto com resistência à compressão de 108 MPa (Markeset, 1994)
L/d = 1
40
L/d = 2
20
L/d = 4
L/d = 6
0
2
4
6
Deformação (‰)
Fig. 7.17 - Curvas tensão x deformação para corpos-de-prova de concreto com diferentes alturas
(Rokugo; Koyanagi, 1992)
Rokugo; Koyanagi observaram ao final dos ensaios a típica zona de dano
ilustrada na Fig. 7.18 e reportaram, para o concreto simples, o comprimento
dessa zona como tendo um valor constante igual a cerca de 2,0 a 2,5 vezes a
175
dimensão característica da seção transversal ao final dos ensaios. Outros
pesquisadores também indicaram valores similares (Kotsovos, 1983); (Markeset,
1994); (Jansen, 1996); (Jansen; Shah, 1997). No entanto, algumas pesquisas
indicam que essa zona é menor durante os primeiros estágios de localização,
atingindo os valores previamente citados somente após o fraturamento completo
do corpo-de-prova (Taerwe, 1993); (Aulia, 2000). Assim sendo, para a
modelagem efetuada no Capítulo 8, é considerada uma zona de dano com um
comprimento igual a 1,5 vezes a dimensão característica da seção transversal do
Argamassa
Concreto simples
Zona de dano
Zona de dano
Zona de dano
corpo-de-prova.
Concreto com fibras
Fig. 7.18 - Zona de dano típica observada em ensaios de compressão uniaxial
(Rokugo; Koyanagi, 1992)
Jansen (1996) ensaiou corpos-de-prova cilíndricos de concreto com
tamanhos diferentes (taxas de esbeltez L/d = 2,0, 2,5, 3,5, 4,5 e 5,5). As curvas
tensão x deformação normalizadas obtidas para os corpos-de-prova de concreto
de resistência média (50 MPa) e alta (90 MPa) estão mostradas nas Fig. 7.19 e
7.20, respectivamente. Como visto nessas figuras, fica claro que o ramo
descendente se torna mais íngreme com o aumento da esbeltez do corpo-deprova.
Para o caso do concreto de alta resistência, pode ser observado o chamado
comportamento snap-back (inclinação negativa do ramo pós-pico), o que significa
que os corpos-de-prova maiores não poderiam ser ensaiados sob carga ou
deslocamento controlado, sendo necessário que o ensaio seja controlado por
176
meio de um sinal adequado de retorno para assegurar um ramo descendente
estável. Tal sinal de retorno poderia ser, por exemplo, a deformação
Tensão / Tensão Máxima
circunferencial do corpo-de-prova, a qual é sempre crescente com o tempo.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
L/d = 2.0
fc = 50 MPa
L/d = 2.5
L/d = 3.5
L/d = 4.5
L/d = 5.5
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
Deformação (mm/mm)
Tensão / Tensão Máxima
Fig. 7.19 - Curvas tensão x deformação para um concreto de resistência média (Jansen, 1996)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
L/d = 2.0
fc = 90 MPa
L/d = 2.5
L/d = 3.5
L/d = 4.5
L/d = 5.5
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
Deformação (mm/mm)
Fig. 7.20 - Curvas tensão x deformação para um concreto de alta resistência (Jansen, 1996)
177
As figuras mostram também que os corpos-de-prova de concreto de alta
resistência atingem um valor maior de deformação no ponto de máxima tensão.
Por outro lado, as deformações pós-pico são substancialmente menores para o
concreto de alta resistência, denotando um menor grau de ductilidade desse
material em relação ao concreto convencional.
7.3.4 Influência de gradientes de deformação
Várias investigações podem ser encontradas na literatura com o objetivo
de avaliar a influência de gradientes de deformação ao longo da seção transversal
na curva tensão x deformação do concreto comprimido. Essa é a situação, por
exemplo, de uma viga de concreto armado sob flexão. Nesse caso, é usual admitir
que a curva tensão x deformação obtida em ensaios de compressão uniaxial seja
representativa da zona comprimida de uma viga fletida. No entanto, os resultados
de algumas investigações são contraditórios, sendo então relevante discutir
brevemente esse efeito.
Na verdade, em peças sob compressão excêntrica ou flexão dois
mecanismos estão presentes no que diz respeito à curva tensão x deformação das
fibras comprimidas, a saber: um gradiente de deformações ao longo da altura da
seção e diferentes taxas de deformação das fibras.
Rüsch (1960) sugeriu que as diferenças nas curvas tensão x deformação do
concreto sob compressão uniaxial e compressão excêntrica eram devidas
exclusivamente às diferentes taxas de deformação das fibras ao longo da altura da
peça. Considerando a hipótese de seções planas permanecerem planas após a
deformação, a taxa de deformação é diretamente proporcional à distância até a
linha neutra, ou seja, as fibras mais próximas da face superior comprimida
apresentam maiores taxas de deformação do que as fibras mais próximas da linha
neutra. O resultado é basicamente uma elevação da tensão máxima em
comparação com aquela obtida em ensaios de compressão uniaxial.
178
Por outro lado, na presença de um gradiente de deformações, as fibras
comprimidas da seção transversal são submetidas a diferentes níveis de
solicitação. Como conseqüência, a deformação lateral da fibra extrema de
compressão é parcialmente restringida pelas fibras menos solicitadas. Isso leva a
um certo grau de confinamento na fibra extrema, gerando uma elevação da
tensão máxima e deformação correspondente nas fibras extremas.
Sturman et al. (1965) foram alguns dos primeiros pesquisadores a estudar
experimentalmente a influência de gradientes de deformação na curva
tensão x deformação. Eles ensaiaram prismas de concreto com dimensões de
152,4 x 152,4 x 584,2 mm com resistência à compressão de cerca de 26 MPa,
variando o grau de excentricidade da carga axial aplicada. Suas principais
conclusões foram que para as vigas de tamanho usual (com gradientes de
deformação similares àqueles impostos nos ensaios) o comportamento do
concreto na zona comprimida difere daquele obtido em ensaios de compressão
uniaxial. Eles observaram um aumento de 20% na tensão máxima e 50% na
deformação correspondente à tensão máxima em relação aos valores da curva
uniaxial. Nota-se que um efeito conjunto de gradientes de deformação e
diferentes taxas de deformação foram responsáveis por esse aumento, uma vez
que esses dois efeitos não foram avaliados de forma isolada.
Por outro lado, algumas investigações realizadas com o intuito de avaliar o
efeito do gradiente de deformações isoladamente, mantendo a mesma taxa de
deformação para todas as fibras da seção transversal, indicaram que as
deformações tendem a crescer devido à presença de gradientes de deformação,
especialmente no ramo pós-pico, enquanto que a variação da tensão máxima
pode ser desprezível (Clarke et al., 1967); (Ghosh; Handa, 1970); (Karsan; Jirsa,
1970). Essas investigações indicaram que, na ausência de diferentes taxas de
deformação, a influência de gradientes de deformação na região pré-pico é muito
pequena, tornando-se porém significativa após a tensão máxima.
Meyer (1996) realizou uma série de ensaios em prismas de concreto de
diferentes tamanhos sob compressão excêntrica. A razão entre a altura e a largura
dos corpos-de-prova foi mantida constante, isto é, a taxa de esbeltez permaneceu
179
inalterada, porém os mesmos tinham tamanhos diferentes. Os corpos-de-prova
ensaiados eram supostos representativos da zona comprimida de uma viga sob
flexão pura. Foram ensaiados concretos com três diferentes resistências a
compressão, a saber: 25, 35 e 60 MPa. Os ensaios foram controlados pela
deformação, medida por meio de dois LVDTs, da fibra mais comprimida do
corpo-de-prova. Quando a carga atingia metade da carga máxima no ramo póspico, o ensaio era finalizado. Os resultados experimentais mostraram que a
capacidade de deformação do concreto comprimido é levemente reduzida com o
aumento do tamanho do corpo-de-prova e com a elevação da resistência à
compressão.
Markeset (1996a) conduziu ensaios de prismas de concreto de alta
resistência (85 MPa de resistência à compressão) sob compressão excêntrica. O
grau de excentricidade variou entre h/18 e h/6, onde h é a largura do corpo-deprova. Os ensaios foram controlados pela deformação da fibra mais comprimida
e finalizados imediatamente após o atingimento da carga máxima.
Markeset concluiu que o gradiente de deformações (somado às diferentes
taxas de deformação das fibras) afeta tanto a resistência quanto a ductilidade.
Como já mencionado, a deformação lateral da fibra mais comprimida é resistida
pela fibra imediatamente adjacente, a qual está menos solicitada, o que leva a um
certo grau de confinamento da fibra extrema, elevando a tensão e a deformação
últimas. Foi observado o modo típico de colapso ilustrado na Fig. 7.21. A razão
entre o comprimento e a profundidade da zona de dano no colapso variou entre
4,3 e 5,5.
Nos experimentos de Markeset, os valores da tensão máxima e da
deformação correspondente tiveram que ser aumentados em cerca de 5% a 8%
em relação àqueles determinados em ensaios de compressão uniaxial, de forma a
obter curvas teóricas carga-deformação de acordo com as determinadas
experimentalmente. É importante lembrar que o concreto de alto desempenho
apresenta uma deformação lateral menor do que aquela dos concretos
convencionais, sendo portanto menos suscetível ao confinamento exercido pelas
180
fibras menos solicitadas. Isso explica a menor influência de gradientes de
deformação na curva tensão x deformação do concreto de alto desempenho.
e
P
Zona de dano
L
LD
LD / dD = 4,3 a 5,5
dD
Fig. 7.21 - Modo típico de colapso de prismas de concreto sob compressão excêntrica
(Markeset, 1996a)
7.4
MODELOS DE LOCALIZAÇÃO DE DEFORMAÇÕES NA COMPRESSÃO
Quando são eliminados os efeitos de confinamento nas extremidades do
corpo-de-prova,
o
efeito
de
escala
no
ramo
pós-pico
da
curva
tensão x deformação é devido exclusivamente ao fenômento de localização de
deformações. Como no caso do fraturamento por tração, o colapso por
compressão também apresenta esse fenômento, com a danificação sendo
localizada numa região denominada de zona de dano, ou simplesmente zona de
dano. No entanto, essa zona de dano não está concentrada numa região de
tamanho desprezível (uma linha) como no caso de tração. Ao invés disso, essa
zona se estende a uma determinada fração do comprimento do corpo-de-prova, e
pode até mesmo englobar todo o corpo-de-prova para corpos-de-prova muito
curtos.
181
Tanto na tração como na compressão, é natural admitir que as
deformações localizam de maneira gradual, como mostrado na Fig. 7.22a. Porém,
as dificuldades para implementar essa localização gradual levaram a critérios de
localização simplificados como os mostrados nas Fig. 7.22b e c, representando
localização em uma banda finita (Bažant; Oh, 1983) ou em uma linha (Hillerborg
et al., 1976).
(a)
(b)
(c)
Fig. 7.22 - Critérios de localização de deformações: (a) localização gradual, (b) localização em
uma banda, (c) localização em uma linha (Elfgren, 1989)
A idéia essencial é que o amolecimento do material ocorre em uma região
de dano localizado, enquanto que o material fora dessa zona é descarregado. Um
modelo de fraturamento completo deve então estabelecer: comportamento fora
da zona de dano, comportamento dentro da zona de dano e o critério de
localização.
Para compressão, alguns pesquisadores adotaram o modelo de localização
em uma banda (Bažant, 1989b); (Markeset, 1993); (Markeset; Hillerborg, 1995);
(Borges et al., 2002) e outros em uma linha (Hillerborg, 1989); (Hillerborg, 1991);
(Jansen, 1996) para modelar o comportamento global do corpo-de-prova. A
principal razão da consideração do modelo de linha é que esse tipo de abordagem
não exige o conhecimento do tamanho da zona de dano, contanto que a mesma
seja menor do que o tamanho do corpo-de-prova. Entretanto, a localização em
uma linha é uma hipótese não realista, uma vez que uma zona finita de dano é
claramente observada nos ensaios (ver Fig. 7.18).
182
Outro aspecto da modelagem do comportamento global do corpo-deprova está relacionado à consideração do tipo de descarregamento adotado para
o material fora da zona de dano. van Mier (1984) calculou o deslocamento póspico (suposto independente do tamanho do corpo-de-prova) subtraindo do
deslocamento total o deslocamento correspondente à carga máxima do ensaio, de
acordo com a Fig. 7.23. Segundo esse modelo de localização, não há
descarregamento fora da zona de dano do corpo-de-prova.
σ
fc
δpost = δ – δ0
δ
δpost
δ0
δ
Fig. 7.23 - Modelo de localização sem descarregamento fora da zona de dano
Para as reduzidas relações de esbeltez adotadas (L/d = 0,5, 1,0 e 2,0) e
concreto de resistência normal, van Mier concluiu que os resultados obtidos
estavam de acordo com a descrição mostrada na Fig. 7.23. No entanto, os
resultados de van Mier foram influenciados não só pelo tamanho do corpo-deprova mas também pelas condições de contorno. Além disso, esse método de
modelagem da resposta pós-pico não é adequado para concretos de alta
resistência e/ou corpos-de-prova com altas relações de esbeltez, uma vez que não
consegue capturar o fenômeno de snap-back (redução simultânea da carga e do
deslocamento) que pode ocorrer em tais casos.
Um outro tipo de modelagem foi adotado por Rokugo; Koyanagi (1992),
no qual é considerado um descarregamento elástico não-linear fora da zona de
dano, como mostrado na Fig. 7.24. Esse modelo foi utilizado por eles para prever
o efeito do tamanho do corpo-de-prova no comportamento pós-pico, bem como
para calcular a energia de fraturamento do concreto na compressão uniaxial.
183
Dahl; Brincker (1989) também utilizaram tal abordagem para calcular a energia de
fraturamento na compressão para o concreto de alta resistência. Esse tipo de
modelagem possui a desvantagem de não considerar a energia dissipada na
microfissuração do concreto até a tensão máxima.
σ
fc
δpre
δpost
δpost = δ – δpre
δ
δ0
δ
Fig. 7.24 - Modelo de localização sem consideração da energia dissipada até o pico
O modelo de localização proposto na presente tese utiliza o conceito de
localização em uma banda e descarregamento linear das regiões não danificadas.
O modelo está detalhadamente apresentado no Capítulo 8.
Neste capítulo foi efetuada uma descrição do comportamento do concreto
à compressão, incluindo os ramos pré- e pós-pico da curva tensão x deformação.
A influência das condições de contorno, do tamanho do corpo-de-prova e de
gradientes de deformação foi destacada, e uma proposta recente de ensaio para
obtenção da curva completa tensão x deformação foi apresentada. Além disso,
foram brevemente mostradas algumas abordagens da literatura para a modelagem
da localização de deformações na compressão.
184
MODELO DE FRATURAMENTO PROPOSTO PARA O
CONCRETO COMPRIMIDO
8
8.1
INTRODUÇÃO
Um dos objetivos principais dessa tese é o desenvolvimento e a
implementação de um modelo de localização de deformações para o concreto
comprimido, com o intuito de simular o efeito de escala no comportamento póspico. Os conceitos básicos desse modelo são baseados nos conceitos do Modelo da
Fissura Fictícia (Hillerborg et al., 1976) para carregamento de tração. Entretanto,
no modelo de Hillerborg et al. todo o processo de danificação é considerado
concentrado em uma única fissura (uma zona de dano de comprimento
infinitesimal), o que é uma boa aproximação para o caso de tração, porém, como
discutido no Capítulo 7, na compressão o processo de danificação é mais
distribuído, ocupando uma zona de tamanho finito. Na verdade, Hillerborg
(1988) aplicou o conceito de localização de deformações de acordo com o
modelo da fissura fictícia para calcular a capacidade de rotação plástica de uma
185
viga de concreto armado. Ele considerou que a zona comprimida de uma viga
sob flexão apresenta o mesmo comportamento de corpos-de-prova sob
compressão uniaxial do ponto de vista da localização de deformações pós-pico.
Bažant (1989b) sugeriu um modelo de acoplamento em série para simular o efeito
de escala na tração uniaxial. Nesse modelo, a curva tensão x deformação de uma
região finita de dano é considerada uma propriedade do material. O modelo de
localização desenvolvido no presente capítulo também considera essa hipótese.
8.2
DESCRIÇÃO DO MODELO
Para ilustrar o modelo de localização aqui proposto, considere-se o corpode-prova relativamente esbelto da Fig. 8.1. Na ausência da influência das
condições de contorno, a deformação longitudinal pode ser considerada
uniforme ao longo de todo o corpo-de-prova até a carga de pico. O modelo é
formulado admitindo-se o desenvolvimento de uma zona localizada de dano
quando a tensão máxima é atingida, de tal forma que a partir do pico todo o
processo de danificação e amolecimento se concentra na zona de dano, enquanto
que nas regiões fora dessa zona o material é descarregado linearmente, com uma
inclinação igual ao módulo tangente na origem.
Após o pico, o deslocamento total do corpo-de-prova é obtido pela soma
dos deslocamentos dentro e fora da zona de dano. Isso significa que os
comportamentos pós-pico da zona de dano e da zona de descarregamento
podem ser separados e tratados de forma independente.
Na Fig. 8.1, a área WU sob a curva de descarregamento é a energia
dissipada por volume do material carregado até o pico e então descarregado. Essa
área corresponde à energia consumida na microfissuração do concreto até a
tensão máxima. A energia adicional dissipada na zona de dano devido ao
processo de fraturamento é aqui denominada WDC, e corresponde à energia de
fraturamento por volume da zona de dano, considerada como uma propriedade
do material. Alguns pesquisadores calcularam a energia de fraturamento do
concreto na compressão por unidade de área (equivalente a multiplicar WDC pelo
186
comprimento da zona de dano) e encontraram valores crescentes com o aumento
do tamanho do corpo-de-prova (Dahl; Brincker, 1989); (Vonk, 1992). Isso não
causa surpresa, pois na compressão a energia de fraturamento por unidade de
área só é constante para corpos-de-prova com o mesmo diâmetro (mesma
dimensão característica da seção transversal), uma vez que o comprimento da
zona de dano é suposto diretamente proporcional ao diâmetro do corpo-deprova.
σ
σ
fc
Área WU
εu
E
1
ε0
L
ε
LD
σ
fc
Área WU
εu
εD
σ
Área WDC
ε
Fig. 8.1 - Modelo proposto para localização de deformações na compressão uniaxial
8.3
ESTIMATIVA DO TAMANHO DA ZONA DE DANO
É necessário então adotar um valor para o comprimento da zona de dano
ou tentar estimá-lo por meio de observações visuais do corpo-de-prova na carga
de pico ou no colapso. Como visto no capítulo anterior, alguns pesquisadores
apresentaram valores variando de 2,0 a 2,5 vezes o diâmetro do corpo-de-prova
ao final dos ensaios, baseados em observações visuais (Rokugo; Koyanagi, 1992);
187
(Jansen, 1996). Outros sugeriram que essa zona é menor durante a etapa mais
relevante da localização, atingindo os valores previamente citados somente após a
ruptura completa do corpo-de-prova (Taerwe, 1993); (Aulia, 2000). Essa hipótese
parece ser validada por observações experimentais da distribuição interna de
fissuras ao longo da altura do corpo-de-prova antes e após a carga de pico, feitas
por meio do fatiamento transversal dos corpos-de-prova e posterior análise em
microscópio (Shah; Sankar, 1987).
Na presente tese, o comprimento LD da zona de dano é tomado igual a 1,5
vezes o diâmetro do corpo-de-prova durante o processo de localização de
deformações.
A seguir, o modelo proposto é detalhado e um roteiro passo-a-passo para
o cálculo da deformação global pós-pico do corpo-de-prova é apresentado.
8.4
FORMULAÇÃO DO MODELO
O comportamento do corpo-de-prova como um todo é dado pela
composição das curvas relativas às zonas de descarregamento e de dano. Esse
procedimento é mostrado esquematicamente na Fig. 8.2 (ver também Fig. 8.1).
Para qualquer corpo-de-prova contendo uma zona de dano, o
deslocamento pós-pico do mesmo é dado por:
δ = ε L = εu L + εD L D
(8.1)
onde ε é a deformação média global do corpo-de-prova medida nos ensaios, εu é
a deformação relativa à zona de descarregamento, L é a altura do corpo-de-prova,
LD é o comprimento da zona de dano e εD é a deformação inelástica adicional da
zona de dano, a qual é considerada o parâmetro característico do material
introduzido no modelo. Devido à hipótese de que a localização ocorre a partir da
tensão máxima, até o pico o corpo-de-prova pode ser tratado como um contínuo
e a deformação é considerada uniforme ao longo do mesmo. Para o
188
descarregamento linear adotado, a deformação pós-pico na zona de
descarregamento é:
εu = ε0 −
fc − σ
E
(8.2)
onde ε0 é a deformação correspondente à carga de pico; fc e E são a resistência à
compressão e o módulo de elasticidade inicial do concreto, respectivamente.
σ
σ
fc
fc
ε
ε0
ε D LD
L
σ
Comportamento global
do corpo-de-prova
fc
εu
εD LD/L
ε = ε u + ε D LD
L
Fig. 8.2 - Composição de curvas no modelo de localização proposto
Combinando-se as eq.(8.1) e (8.2), a deformação axial global do corpo-deprova para L ≥ LD , é dada por:
ε = ε0 −
fc − σ εD L D
+
L
E
(8.3)
189
Para L < LD, o efeito de escala desaparece e a deformação é dada por:
ε = ε0 −
fc − σ
+ εD
E
(8.4)
Portanto, conhecendo-se o extensão LD da zona de dano e o parâmetro
característico εD do material, obtém-se a curva completa tensão x deformação,
cujo efeito de escala está evidenciado no último termo do lado direito da eq.(8.3),
o qual depende da altura L do corpo-de-prova. Pode-se notar que a eq.(8.3) prevê
deformações pós-pico menores com o aumento da altura do corpo-de-prova,
condizente com o que é observado experimentalmente.
8.5
DETERMINAÇÃO EXPERIMENTAL DO PARÂMETRO εD
Para aplicar o modelo de localização formulado, é necessário o
conhecimento dos parâmetros LD e εD. Como discutido no item 8.3, o
comprimento LD é adotado igual a 1,5 vezes o diâmetro do corpo-de-prova. O
parâmetro εD para um dado material pode ser determinado a partir de ensaios de
compressão uniaxial onde se deve medir a deformação (ou o encurtamento) do
corpo-de-prova ao longo de todo o ensaio, incluindo o ramo pós-pico. A medida
deve ser efetuada de extremidade a extremidade do corpo-de-prova.
De acordo com a eq.(8.3), a deformação inelástica pós-pico da zona de
dano para um corpo-de-prova contendo uma zona de localização (L ≥ LD) pode
ser expressa por:
εD = (ε − ε0 +
fc − σ L
)
E LD
(8.5)
Para o caso no qual a altura do corpo-de-prova é menor do que a extensão
adotada para a zona de dano (L ≤ LD), o valor de εD resulta:
190
εD = ε − ε0 +
fc − σ
E
(8.6)
O último caso acima resulta da hipótese que, se todo o corpo-de-prova
está sendo danificado, não há localização de deformações e o material pode ser
tratado como um contínuo.
Um vez determinado experimentalmente o valor de εD para vários
concretos, é desejável estabelecer, se possível, uma relação entre εD e a resistência
à compressão fc. Dessa forma, pode-se aplicar o valor de εD para um
determinado concreto na eq.(8.3) para simular o efeito de escala na ductilidade
pós-pico. Para esse fim, é necessário estabelecer a forma da curva de
amolecimento εD-σ da zona de dano. O item seguinte mostra como isso pode ser
feito.
8.6
VERIFICAÇÃO DO MODELO
Nessa seção, o modelo formulado é avaliado por meio da sua aplicação a
resultados experimentais da literatura com corpos-de-prova de diferentes relações
de esbeltez. Com isso, espera-se validar as hipóteses do modelo e ter uma idéia
do parâmetro εD para os materiais em questão.
8.6.1 Ensaios de Jansen (1996)
Os conceitos e procedimentos descritos nos itens 8.4 e 8.5 foram
aplicados aos resultados de ensaios à compressão uniaxial de corpos-de-prova
cilíndricos de concreto de média e alta resistência com relações de esbeltez L/d =
2,0, 2,5, 3,5, 4,5 e 5,5 (Jansen, 1996). Os corpos-de-prova tinham diâmetro de
100 mm e alturas de 200, 250, 350, 450 e 550 mm, respectivamente. Nessa
investigação foram utilizados pratos de aplicação de carga rígidos sem nenhuma
camada redutora de atrito, o que indica que os resultados dos corpos-de-prova de
191
menor esbeltez (L/d = 2,0) foram influenciados pelas condições de contorno e
apresentam um comportamento mais dúctil do que o esperado, sendo portanto
descartados da presente verificação.
As curvas tensão x deformação pós-pico da zona de dano calculadas de
acordo com a eq.(8.5) são mostradas nas Fig. 8.3 e 8.4, respectivamente. Essas
curvas foram obtidas a partir dos resultados de ensaios mostrados nas Fig 7.19 e
7.20, adotando-se LD = 150 mm, ou seja, 1,5 vezes o diâmetro do corpo-deprova.
Pode ser observado que as curvas são bastante próximas umas das outras,
pelo menos até uma tensão de 40% da tensão máxima no ramo pós-pico. Isso
indica claramente a presença do fenômeno de localização de deformações,
comprovando que a relação tensão x deformação da zona de dano (σ-εD) é a
mesma para todos os corpos-de-prova, podendo ser considerada uma
propriedade do material. De fato, o coeficiente de variação médio de εD é de
apenas 5,9% para os corpos-de-prova de concreto de média resistência e 7,3%
para os de concreto de alta resistência, valores esses que são bastante razoáveis
face aos valores encontrados em ensaios usuais de resistência, os quais são da
ordem de 10%.
Além disso, pode-se perceber claramente pelas Fig. 8.3 e 8.4 que após o
pico a tensão cai mais rapidamente no caso concreto de alto desempenho,
denotando o comportamento mais frágil desse material.
As curvas tensão x deformação completas σ x ε dos corpos-de-prova com
diferentes relações de esbeltez podem então ser calculadas por meio da eq.(8.3),
utilizando-se a curva média σ-εD obtida previamente (linhas grossas nas Fig. 8.3 e
8.4). Como mencionado no item 8.5, é necessário adotar uma forma para a curva
de amolecimento σ-εD da zona de dano. Algumas análises preliminares indicaram
que essa curva é bem representada por uma função racional da forma:
192

σ
A  1 − 
 fc 
εD =
 σ  σ 2 
1 + B  −   
 f c  f c  
(8.7)
Para os ensaios de Jansen, as constantes A e B são dadas na Tabela 8.1.
Tabela 8.1 – Valores dos parâmetros de amolecimento para os corpos-de-prova
ensaiados por Jansen (1996)
Material
fc
A
B
εDC
Concreto simples
50 MPa
0,018
7,272
0,0067
Concreto simples
90 MPa
0,006
2,902
0,0038
1.0
L/d = 2,5
fc = 50 MPa
0.8
L/d = 3,5
σ / fc
L/d = 4,5
0.6
L/d = 5,5
Média
0.4
0.2
0.0
0.000
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
εD (mm/mm)
Fig. 8.3 - Curvas tensão x deformação pós-pico: corpos-de-prova de resistência média
193
1.0
L/d = 2,5
fc = 90 MPa
σ / fc
0.8
L/d = 3,5
L/d = 4,5
0.6
L/d = 5,5
0.4
Média
0.2
0.0
0.000
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
εD (mm/mm)
Fig. 8.4 - Curvas tensão x deformação pós-pico: corpos-de-prova de alta resistência
As curvas tensão x deformação experimentais (exp) e teóricas (cal) para os
corpos-de-prova de concreto de média e alta resistência estão mostradas,
respectivamente, nas Fig. 8.5 e 8.6. Como pode ser visto, a concordância entre as
curvas é notável.
1
L/d = 2.5 (exp)
fc = 50 MPa
L/d = 2.5 (cal)
0.8
L/d = 3.5 (exp)
L/d = 3.5 (cal)
0.6
σ / fc
L/d = 4.5 (exp)
L/d = 4.5 (cal)
0.4
L/d = 5.5 (exp)
L/d = 5.5 (cal)
0.2
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
ε (mm/mm)
Fig. 8.5 - Curvas tensão x deformação para os corpos-de-prova de resistência média
194
1
L/d = 2.5 (exp)
fc = 90 MPa
L/d = 2.5 (cal)
0.8
L/d = 3.5 (exp)
L/d = 3.5 (cal)
0.6
σ / fc
L/d = 4.5 (exp)
L/d = 4.5 (cal)
0.4
L/d = 5.5 (exp)
L/d = 5.5 (cal)
0.2
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
ε (mm/mm)
Fig. 8.6 - Curvas tensão x deformação para os corpos-de-prova de alta resistência
A forma racional admitida para a curva σ-εD está mostrada na Fig. 8.7a,
com as constantes A e B para os ensaios de Jansen expressas na Tabela 8.1. Para
fins de simplificação, entretanto, é evidente que a utilização de uma curva de
amolecimento linear como a mostrada na Fig. 8.7b é uma opção interessante,
uma vez que apenas um parâmetro (εDC) precisa ser determinado para cada
material. O parâmetro característico εDC deve ser entendido como a deformação
crítica da zona de dano quando a tensão é anulada no ramo pós-pico.
σ
fc
 σ
A  1 − 
 fc 
εD =
 σ  σ 2 
1 + B  −   
 fc  fc  
εD
(a)
σ
fc
 σ
ε D = ε DC  1 − 
 fc 
εDC
εD
(b)
Fig. 8.7 - Curvas de amolecimento da zona de dano: (a) racional; (b) linear
195
A simulação dos ensaios de Jansen considerando amolecimento linear é
mostrada nas Fig. 8.8 e 8.9 para os concretos de média e alta resistência,
respectivamente. Como pode ser observado, para fins práticos a curva de
amolecimento linear pode ser adotada de forma satisfatória, e o efeito de escala
pode ser corretamente captado. Os valores do parâmetro εDC estão expressos na
Tabela 8.1.
1
fc = 50 MPa
L/d = 2.5 (exp)
0.8
L/d = 2.5 (cal)
L/d = 3.5 (exp)
L/d = 3.5 (cal)
σ / fc
0.6
L/d = 4.5 (exp)
L/d = 4.5 (cal)
0.4
L/d = 5.5 (exp)
L/d = 5.5 (cal)
0.2
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
ε (mm/mm)
Fig. 8.8 - Curvas tensão x deformação teóricas e experimentais para os corpos-de-prova de
concreto de resistência média de Jansen – amolecimento linear
196
1
fc = 90 MPa
0.8
L/d = 2.5 (exp)
L/d = 2.5 (cal)
L/d = 3.5 (exp)
L/d = 3.5 (cal)
0.6
σ / fc
L/d = 4.5 (exp)
L/d = 4.5 (cal)
0.4
L/d = 5.5 (exp)
L/d = 5.5 (cal)
0.2
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
ε (mm/mm)
concreto de alta resistência de Jansen – amolecimento linear
8.6.2 Ensaios de Rokugo e Koyanagi (1992)
O efeito de escala no ramo pós-pico da curva tensão x deformação foi
investigado por Rokugo e Koyanagi (1992) por meio de ensaios de corpos-deprova prismáticos de concreto simples, concreto reforçado com fibras de aço
(2% de fibras) e argamassa. A seção transversal dos corpos-de-prova era de
75 x 75 mm e as relações de esbeltez utilizadas foram L/d = 1,0, 2,0, 4,0 e 6,0.
Os corpos-de-prova com esbeltez igual a 1,0 não foram analisados aqui, devido à
significativa influência das condições de contorno nesse caso (ver Fig. 7.17).
Rokugo e Koyanagi não utilizaram nenhum dispositivo redutor de atrito entre os
pratos da máquina de ensaios e as extremidades do corpo-de-prova. A base de
medida L era 20 mm menor do que a altura do corpo-de-prova.
Nas Fig. 8.10 a 8.12 as curvas geradas pelo modelo, utilizando uma função
de amolecimento linear, são comparadas às curvas experimentais para os corposde-prova de concreto simples, concreto com fibras e argamassa, respectivamente.
197
Nas Fig. 8.13 a 8.15 as curvas geradas pelo modelo, utilizando uma função
de amolecimento racional, são comparadas às curvas experimentais para os
corpos-de-prova de concreto simples, concreto com fibras e argamassa,
respectivamente.
As figuras evidenciam a notável influência da adição de fibras ao concreto,
levando a um comportamento significativamente mais dúctil. O parâmetro εDC é
notadamente maior nesse caso, o que pode ser constatado na Tabela 8.2, na qual
estão expressos os parâmetros de amolecimento para os ensaios de Rokugo e
Koyanagi.
Para esses ensaios, as diferenças entre a utilização de uma curva de
amolecimento linear ou racional são pouco significativas, o que indica que a curva
linear pode ser adotada em prol da simplicidade.
1
fc = 40 MPa
0.8
L/d = 2.0 (exp)
L/d = 2.0 (cal)
L/d = 4.0 (exp)
L/d = 4.0 (cal)
L/d = 6.0 (exp)
σ / fc
0.6
L/d = 6.0 (cal)
0.4
0.2
0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
ε (mm/mm)
concreto simples de Rokugo e Koyanagi – amolecimento linear
198
1
fc = 48 MPa
0.8
L/d = 2.0 (exp)
L/d = 2.0 (cal)
L/d = 4.0 (exp)
L/d = 4.0 (cal)
L/d = 6.0 (exp)
σ / fc
0.6
L/d = 6.0 (cal)
0.4
0.2
0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
ε (mm/mm)
concreto com fibras de Rokugo e Koyanagi – amolecimento linear
1
fc = 65 MPa
0.8
L/d = 2.0 (exp)
L/d = 2.0 (cal)
L/d = 4.0 (exp)
L/d = 4.0 (cal)
L/d = 6.0 (exp)
σ / fc
0.6
L/d = 6.0 (cal)
0.4
0.2
0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
ε (mm/mm)
argamassa de Rokugo e Koyanagi – amolecimento linear
199
1
fc = 40 MPa
0.8
L/d = 2.0 (exp)
L/d = 2.0 (cal)
L/d = 4.0 (exp)
L/d = 4.0 (cal)
L/d = 6.0 (exp)
σ / fc
0.6
L/d = 6.0 (cal)
0.4
0.2
0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
ε (mm/mm)
concreto simples de Rokugo e Koyanagi – amolecimento racional
1
fc = 48 MPa
0.8
L/d = 2.0 (exp)
L/d = 2.0 (cal)
L/d = 4.0 (exp)
L/d = 4.0 (cal)
L/d = 6.0 (exp)
σ / fc
0.6
L/d = 6.0 (cal)
0.4
0.2
0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
ε (mm/mm)
concreto com fibras de Rokugo e Koyanagi – amolecimento racional
200
1
L/d = 2.0 (exp)
fc = 65 MPa
L/d = 2.0 (cal)
0.8
L/d = 4.0 (exp)
L/d = 4.0 (cal)
L/d = 6.0 (exp)
σ / fc
0.6
L/d = 6.0 (cal)
0.4
0.2
0
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
ε (mm/mm)
argamassa de Rokugo e Koyanagi – amolecimento racional
Tabela 8.2 – Valores dos parâmetros de amolecimento para os corpos-de-prova
ensaiados por Rokugo e Koyanagi (1992)
Material
fc
A
B
εDC
Concreto simples
40 MPa
0,018
4,363
0,0083
Concreto com
fibras
48 MPa
0,020
1,038
0,0150
Argamassa
65 MPa
0,008
1,046
0,0061
8.6.3 Ensaios de Markeset (1994)
A influência da altura do corpo-de-prova no ramo pós-pico da curva
tensão x deformação também foi observada por Markeset (1994) para um
concreto de alto desempenho com resistência à compressão da ordem de
100 MPa (ver Fig. 7.16). Os corpos-de-prova tinham um diâmetro de 100 mm e
alturas de 200, 300 e 400 mm, resultando em relações de esbeltez L/d = 2,0, 3,0 e
4,0, respectivamente.
201
As curvas geradas pelo modelo são comparadas às determinadas
experimentalmente na Fig. 8.16. Nessa simulação, foi utilizada uma curva de
amolecimento linear. O valor de εDC está mostrado na Tabela 8.3.
Tabela 8.3 – Valor do parâmetro de amolecimento linear para os corpos-deprova ensaiados por Markeset (1994)
Material
fc
εDC
Concreto simples
100 MPa
0,0043
Comparando-se o valor de εDC nas Tabelas 8.1 e 8.3 para os corpos-deprova com resistências à compressão similares de Jansen (90 MPa) e Markeset
(100 MPa), encontram-se os valores 0,0038 e 0,0043, respectivamente, o que
indica a validade do parâmetro característico introduzido no modelo.
Haja vista os bons resultados obtidos pelo modelo e a sua capacidade de
captar corretamente a redução da ductilidade pós-pico com o aumento do
tamanho do corpo-de-prova, o modelo de localização de deformações aqui
desenvolvido se mostra uma ferramenta útil e simples para simular o efeito de
escala no comportamento pós-pico do concreto comprimido.
202
1
L/d = 2.0 (exp)
L/d = 2.0 (cal)
fc = 100 MPa
0.8
L/d = 3.0 (exp)
L/d = 3.0 (cal)
L/d = 4.0 (exp)
σ / fc
0.6
L/d = 4.0 (cal)
0.4
0.2
0
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
ε (mm/mm)
concreto de alta resistência de Markeset – amolecimento linear
8.6.4 Equação empírica para a determinação de εDC
Para as três séries de ensaios analisadas, a variação de εDC com a
resistência à compressão está mostrada na Fig. 8.17. A partir desses resultados, os
quais abrangem concretos com resistências à compressão variando entre 40 e
100 MPa, a seguinte equação empírica é proposta para a determinação do
parâmetro característico εDC do material:
ε DC = 0,0129 e ( −0.012 fc )
(8.8)
A equação proposta prevê um comportamento mais frágil com o aumento
da resistência a compressão, de acordo com o observado experimentalmente.
Há de se admitir que esses poucos resultados experimentais utilizados para
obter a eq.(8.8) ainda são insuficientes para estabelecer uma equação definitiva,
porém até o presente momento essas são as únicas séries de ensaios de corposde-prova com diferentes tamanhos voltados à investigação do efeito de escala. À
203
medida que novos resultados experimentais forem sendo divulgados a equação
proposta poderá ser melhor avaliada.
0.010
Jansen (1996)
0.009
Markeset (1995)
0.008
Rokugo e Koyanagi (1992)
εDC
0.007
0.006
0.005
0.004
(-0.012 fc)
εDC = 0.0129 e
0.003
0.002
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
Resistência à compressão fc (MPa)
Fig. 8.17 - Variação de εDC com a resistência à compressão
8.7
EXTENSÃO DO MODELO A VIGAS ARMADAS SOB FLEXÃO PURA
Nesta seção, o modelo de localização de deformações desenvolvido é
aplicado a situações onde há um gradiente de deformações, como é o caso da
compressão excêntrica e da flexão.
Assim como no caso de compressão uniaxial, também ocorre localização
de deformações na zona comprimida de uma viga de concreto armado sob flexão
pura (momento fletor uniforme). Naturalmente, algumas diferenças em relação à
solicitação de compressão uniaxial podem ser destacadas, dentre as quais as
diferentes taxas de deformação das fibras ao longo da altura da peça e a restrição
à deformação lateral das fibras extremas pelas fibras menos solicitadas. Como
visto no Capítulo 7, isso gera uma elevação da tensão máxima e da
correspondente deformação e uma maior ductilidade pós-pico. Além disso, a
204
presença de armadura de cisalhamento (estribos) provoca um confinamento
adicional significativo da zona comprimida. O efeito benéfico dos estribos não é
contemplado pelo modelo de localização desenvolvido, devendo ser objeto de
futuras investigações.
A concepção de análise e projeto de vigas de concreto armado é permeada
pela combinação da mecânica com informações experimentais pertinentes (ver
Capítulo 5). Uma das hipóteses da teoria de flexão é a de admitir que a curva
tensão x deformação de um corpo-de-prova submetido a compressão uniaxial
representa de forma satisfatória o campo de tensões na zona comprimida de uma
viga sob flexão. Muito embora seja usual admitir simplificações para a forma do
bloco de tensões (por exemplo, o diagrama retangular simplificado), esforços
significativos vêm sendo dedicados à obtenção da curva tensão x deformação que
melhor represente o estado de tensões na zona comprimida de uma viga. Por
exemplo, para levar em conta o comportamento mais frágil do concreto de alto
desempenho são introduzidos coeficientes que ajustam o valor da resultante de
compressão e a sua posição. Além disso, a análise não-linear de estruturas de
concreto pelo Método dos Elementos Finitos exige o conhecimento da curva
completa tensão x deformação do material.
8.7.1 Analogia entre a compressão uniaxial e a flexão
Considerando o efeito de escala na curva pós-pico do concreto sob
compressão uniaxial (como mostrado no Capítulo 7 e modelado anteriormente
neste capítulo), parece razoável traçar uma analogia entre as situações ilustradas
nas Fig. 8.18a,b. Se as curvas tensão x deformação mostradas na Fig. 8.18a forem
utilizadas para estimar a resposta à flexão de vigas com seções transversais
idênticas mas com diferentes comprimentos da região de momento fletor
uniforme (isto é, diferentes relações de esbeltez do vão de momento uniforme),
diferentes respostas momento-curvatura após o pico são obtidas (Fig. 8.18b),
com as vigas mais esbeltas apresentando uma redução na ductilidade pós-pico. É
importante lembrar que a curvatura de uma seção transversal é igual à
deformação da fibra mais comprimida dividida pela altura da linha neutra, que é
205
usualmente considerada a mesma para vigas com geometria da seção transversal e
propriedades materiais semelhantes.
Vigas
Tensão
Momento
Cilindros
Deformação
(a)
Curvatura
(b)
Fig. 8.18 - Analogia do efeito de escala entre a compressão uniaxial e a flexão
8.7.2 Tamanho da zona de dano na flexão
O processo de localização de deformações na zona comprimida de uma
viga está ilustrado na Fig. 8.19. Uma das diferenças essenciais em relação à
solicitação de compressão uniaxial é o tamanho da zona de dano. Como visto no
item 8.3, o comprimento LD da zona de dano nesse caso é proporcional ao
diâmetro do corpo-de-prova. No caso de compressão excêntrica e/ou flexão,
admite-se que o comprimento LD da zona de dano seja proporcional à
profundidade da linha neutra. Essa hipótese também foi sugerida por Hillerborg
(1988) e Markeset (1996b). Em uma investigação experimental recente com vigas
de diversos tamanhos submetidas a flexão em quatro pontos, Weiss et al. (1999)
encontraram experimentalmente um valor de LD igual a quatro vezes a
profundidade da linha neutra na carga de pico. Esse valor foi confirmado nos
ensaios realizados no âmbito desta tese, como será visto no Capítulo 9.
206
Além disso, a presença do gradiente de deformações leva a um
comportamento mais dúctil, aumentando as deformações pós-pico. Esse
aumento da ductilidade se reflete num aumento do tamanho da zona de dano em
comparação àquele relativo à compressão uniaxial.
LD
M
dD
d
dD
x
M
LD ≈ x
Fig. 8.19 - Localização de deformações em uma viga sob momento uniforme
8.7.3 Hipóteses do modelo na flexão
Os conceitos do modelo de localizações proposto podem então ser
estendidos ao vão de momento uniforme considerando-se seções transversais
com dois comportamentos distintos (Fig. 8.20).
As hipóteses básicas são as seguintes:
1. Seções planas permanecem planas após a deformação. Isso é suposto válido
dentro e fora da zona de dano, logo a deformação na armadura de tração não
é constante ao longo do comprimento da região de momento uniforme (aqui
denominado vão de momento uniforme).
2. A curva tensão x deformação a ser utilizada na zona de dano é aquela obtida
de ensaios à compressão uniaxial, devidamente ajustada para levar em conta a
influência de gradientes de deformação, se necessário.
3. O comprimento L sobre o qual a deformação global pós-pico deve ser
medida é igual ao vão de momento uniforme.
207
4. A deformação global pós-pico no topo da viga (fibra mais comprimida) é
dada pela somatória dos deslocamentos dentro e fora da zona de dano,
dividida pelo vão de momento uniforme.
5. Para simplificar os cálculos, é adotada para a zona de dano uma curva de
amolecimento linear (Fig. 8.7b).
6. A resposta da armadura é considerada elasto-plástica perfeita, isto é, uma
curva tensão x deformação bilinear é adotada. Para as seções fora da zona de
dano, é adotado um descarregamento linear da armadura de acordo com a
Fig. 8.21.
Até a carga de pico, a curva tensão x deformação para o concreto
comprimido adotada neste trabalho é a proposta por Carreira; Chu (1984), dada
por:

 ε 
 β  

 ε0 
σ = fc 
 β − 1 +  ε
ε

 0




β
 

 
(8.9)
O parâmetro β é dado por:
β=
1
1 − (f c / ε 0 E )
onde:
fc → resistência à compressão do concreto
ε0 → deformação correspondente à tensão máxima
E → módulo de elasticidade inicial tangente do concreto
(8.10)
208
σ
fc
σ
fc
ε0
ε
Tensões
ε0
ε
M
M
εc
εc
Deformações
εs
Zona de
descarregamento
εs
Zona de
dano
Fig. 8.20 - Distribuição de tensões e deformações ao longo do vão de momento uniforme
Para as regiões fora da zona de dano, considera-se que o concreto é
descarregado linearmente de acordo com a eq.(8.2), enquanto que a armadura é
descarregada linearmente com uma inclinação igual ao seu módulo de
elasticidade, de acordo com a Fig. 8.21. Isso resulta na seguinte expressão para a
tensão pós-pico na armadura nas seções fora da zona de dano:
σ s = E s ( ε s − ε s , peak + ε y )
onde:
Es → módulo de elasticidade do aço
εy → deformação de escoamento do aço
εs,peak → deformação no aço correspondente à tensão máxima no concreto
comprimido
(8.11)
209
σ
fy
σs
εy
εs
εs,peak
ε
Fig. 8.21 - Curva de descarregamento do aço
A resposta pós-pico do concreto dentro da zona de dano é determinada
inserindo-se L = LD na eq.(8.3). Combinando-se a curva de amolecimento linear
da Fig. 8.7b com a eq.(8.3), a relação tensão x deformação na fibra mais
comprimida de uma seção transversal contida na zona de dano pode ser escrita
como:
σ LD

 f c − σ LD
ε
−
ε
+

LD
0

E


= fc 1 −
ε DC ,f









(8.12)
Isolando-se σLD na eq.(8.12), chega-se a:
σ LD =
ε DC,f − ε LD + ε 0 −
ε DC ,f
fc
fc
E
1
−
E
onde:
εDC,f → deformação crítica da zona de dano na flexão
ε0 → deformação correspondente à tensão máxima
εLD = (εu + εD,f) → deformação da fibra mais comprimida na zona de dano
(8.13)
210
σLD → tensão na fibra mais comprimida na zona de dano
Para levar em conta o aumento de ductilidade no ramo pós-pico devido à
presença de um gradiente de deformações, o valor da deformação crítica de dano
na flexão é tomado igual a duas vezes o valor relativo à compressão uniaxial, ou
seja, εDC,f = 2 εDC. Essa modificação está de acordo com os resultados de
diversas investigações experimentais sobre a influência de gradientes de
deformação na curva tensão x deformação do concreto (ver Capítulo 7, item
7.3.4), os quais indicam que a ductilidade pós-pico na flexão é cerca de duas vezes
maior que na compressão uniaxial.
A deformação εL-LD da fibra mais comprimida nas seções fora da zona de
dano é determinada pelo atendimento simultâneo das condições de equilíbrio de
forças e compatibilidade de deformações, como será visto adiante.
Para um dado momento fletor, a deformação global equivalente na fibra
mais comprimida da viga é determinada pela soma dos deslocamentos dentro e
fora da zona de dano, dividida pelo vão de momento uniforme LMU. Portanto:
ε=
ε LD L D + ε L − LD ( L − L D )
L MU
(8.14)
8.7.4 Modelo numérico
A simulação numérica do comportamento de uma viga submetida a flexão
pura é efetuada por meio de um procedimento iterativo da seguinte forma:
Até a carga de pico:
1. Adota-se um valor para a deformação ε da fibra mais comprimida e
calcula-se a tensão correspondente por meio da eq.(8.9);
2. Calcula-se iterativamente o valor de εs e x de tal forma que as condições
de equilíbrio de forças e compatibilidade de deformações sejam satisfeitas;
211
3. A partir do valor de x ou εs calculado anteriormente, determina-se o valor
do momento fletor resistente para o valor de ε adotado;
4. Incrementa-se o valor de ε e procede-se novamente a partir do passo 2,
determinando-se outro ponto do diagrama M-ε, e assim por diante, até o
atingimento da tensão máxima fc na eq.(8.9).
Após a tensão máxima:
5. Adota-se um valor para a deformação εLD dentro da zona de dano e
calcula-se o valor correspondente de σ a partir da eq.(8.13);
6. Calcula-se iterativamente o valor de εs e x de tal forma que as condições
de equilíbrio de forças e compatibilidade de deformações dentro da zona
de dano sejam satisfeitas;
7. A partir do valor de x ou εs calculado no passo 6, determina-se o valor do
momento fletor resistente para o valor de εLD adotado;
8. Para o valor do momento fletor obtido no passo anterior, determina-se de
forma iterativa o valor da deformação εL-LD, de tal forma que sejam
satisfeitas as condições de equilíbrio de forças e compatibilidade de
deformações também fora da zona de dano;
9. Determina-se então pela eq.(8.14) o valor da deformação global
equivalente ε correspondente ao momento fletor calculado no passo 7;
10. Incrementa-se o valor de εLD e procede-se novamente a partir do passo 6,
determinando-se outro ponto do diagrama M-ε, e assim por diante, até a
obtenção do diagrama completo momento-deformação (ou momentocurvatura).
O procedimento iterativo dos passos 2 e 6 são executados por meio da
integração numérica do diagrama de tensões na zona comprimida da viga, como
esquematicamente ilustrado na Fig. 8.22. A resultante de compressão Fc é
calculada pela integração numérica das tensões atuantes nas várias camadas
individuais, de tal forma que:
212
Fc = b ∆x ∑ σ i
(8.15)
i
O índice i refere-se a cada camada de concreto da zona comprimida, como
mostrado na Fig. 8.22. A resistência à tração do concreto é desprezada nesse
procedimento. O equilíbrio interno é obtido utilizando um procedimento
iterativo, com o momento fletor M a cada passo sendo calculado por:

∑ σi xi 


M = Fc z = Fc ( d − x ) + i

∑ σ i 

i

(8.16)
Camada de concreto no. i
∆x
σc
xi
d
x
σi
Fc
Fs
b
Fig. 8.22 - Subdivisão da seção transversal da viga para integração numérica
No Capítulo 9, são descritos em detalhes a investigação experimental de
vigas armadas de concreto de alto desempenho realizada nesta tese, bem como a
aplicação do modelo de localizações formulado neste capítulo à simulação
numérica do comportamento à flexão das vigas ensaiadas, incluindo o ramo póspico.
O presente capítulo apresentou detalhadamente o modelo de fraturamento
proposto para a curva tensão x deformação do concreto sob compressão uniaxial.
O modelo considera explicitamente o fenômeno de localização de deformações
pós-pico, o que leva a curvas tensão x deformação dependentes do tamanho do
213
corpo-de-prova. A verificação do modelo foi feita por meio da comparação com
vários resultados experimentais da literatura, e foi estabelecida uma expressão
empírica para o cálculo da deformação crítica de dano em função da resistência à
compressão. Finalmente, o modelo foi estendido à zona comprimida de vigas de
concreto armado sob flexão pura.
214
INVESTIGAÇÃO EXPERIMENTAL E NUMÉRICA DE VIGAS
ARMADAS DE CONCRETO DE ALTO DESEMPENHO
9
9.1
INTRODUÇÃO
Neste capítulo, o comportamento à flexão de vigas armadas de concreto
de alto desempenho é estudado experimentalmente e em seguida simulado
numericamente por meio do modelo de localizações proposto. Como o objetivo
desses ensaios era estudar a resposta do concreto não confinado sob flexão pura,
não foram utilizados estribos nem armadura de compressão ao longo da região
de momento fletor uniforme. Dessa forma, o modelo desenvolvido no Capítulo 8
pode ser utilizado para investigar a ocorrência de um efeito de escala na
ductilidade das vigas.
A descrição dos materiais utilizados e propriedades geométricas e
mecânicas das vigas ensaiadas são apresentados no item 9.2. O arranjo de ensaio
e a instrumentação utilizada são apresentados no item 9.3. Os resultados dos
ensaios de flexão são apresentados no item 9.4. Os resultados da simulação
215
numérica obtida com a utilização do modelo proposto são apresentados no item
9.5. Os resultados experimentais e numéricos são discutidos no item 9.6.
9.2
DESCRIÇÃO DA INVESTIGAÇÃO EXPERIMENTAL
Doze vigas foram planejadas e moldadas para esta investigação. A
dosagem do concreto utilizado teve como objetivo atingir uma resistência à
compressão de 80 MPa aos 56 dias de idade, e surpreendentemente a resistência
média à compressão resultou em cerca de 110 MPa, o que enriqueceu ainda mais
o trabalho, por se tratar de um concreto cujo comportamento numa viga ainda
foi muito pouco investigado experimentalmente, especialmente no Brasil. Esta
maior resistência deveu-se em parte à ligeiramente mais elevada quantidade de
fumo de sílica utilizada do que a inicialmente prevista.
As variáveis dos ensaios de flexão foram o tamanho da viga (três
tamanhos diferentes – séries S, M e L), e a taxa de armadura de flexão utilizada
(baixa e alta – LR e HR). Para cada combinação única, os ensaios foram
duplicados para obter resultados confiáveis, resultando num total de doze vigas.
Com essa combinação é possível verificar as diferenças de comportamento entre
vigas normalmente armadas (que apresentam um patamar de escoamento mais
longo e bem definido) e aquelas com altas taxas de armadura (nas quais o
patamar de escoamento é relativamente curto ou até mesmo inexistente). Das
doze vigas moldadas, uma foi acidentalmente danificada no transporte da
concreteira até o laboratório, restando então onze resultados válidos. As vigas
foram dimensionadas de forma a se obter o colapso por flexão seja no Domínio
3, com o escoamento da armadura e posterior esmagamento do concreto
comprimido, seja na vizinhança do Domínio 4, com a ruptura brusca da zona
comprimida imediatamente após a armadura entrar no escoamento. Para isso, as
regiões sujeitas a força cortante foram dimensionadas com uma elevada taxa de
estribos de forma a evitar o colapso por cisalhamento. A armadura das vigas está
esquematizada nas Fig. 9.1 e 9.2, para as séries HR e LR, respectivamente.
216
Vigas HR-S
Vigas HR-M
Vigas HR-L
Fig. 9.1 - Armadura das vigas da série HR
217
Vigas LR-S
Vigas LR-M
Vigas LR-L
Fig. 9.2 - Armadura das vigas da série LR
218
A Fig. 9.3 ilustra de forma simplificada as armaduras e seções tranversais
das vigas ensaiadas, as quais eram todas bi-apoiadas. O cobrimento de concreto
na face inferior das vigas foi de 15 mm.
φ 6,3 c/ 6 cm
A
CL
4 φ 16,0 mm
B
200
150
A
a = 650 mm
B
LMU/2
φ 6,3 c/ 10 cm
A
100
200
100
Vigas HR
CL
LMU = comprimento da ZMU
ZMU = zona de momento uniforme
a = vão de cisalhamento
2 φ 12,5 mm
B
200
150
A
a = 650 mm
B
LMU/2
100
200
100
Vigas LR
Fig. 9.3 - Armaduras e seções transversais das vigas ensaiadas
Para a determinação das propriedades mecânicas relevantes, foram
moldados doze corpos-de-prova cilíndricos de 10 x 20 cm para ensaios de
compressão simples e módulo de elasticidade, três corpos-de-prova cilíndricos de
15 x 30 cm para ensaios de compressão diametral e cinco corpos-de-prova
prismáticos de 10 x 10 x 40 cm para ensaios de flexão em quatro pontos para a
determinação do módulo de ruptura. Os corpos-de-prova cilíndricos foram
desmoldados após 24 horas, sendo então mantidos em um tanque de água por 7
dias e posteriormente numa câmara de cura com temperatura de 23 ± 2 ºC e
umidade relativa do ar maior ou igual a 95%. Os corpos-de-prova de controle
foram ensaiados aos 56 dias de idade. Os corpos-de-prova prismáticos para
determinação do módulo de ruptura foram desmoldados após 7 dias, sendo então
mantidos ao ar livre cobertos com sacos de aniagem e lonas plásticas, as quais
foram molhadas em intervalos regulares. A temperatura ambiente durante a fase
219
de cura foi de aproximadamente 30 ºC. Esses corpos-de-prova também foram
ensaiados aos 56 dias de idade.
Na Tabela 9.1 está mostrada a dosagem do concreto utilizado e nas
Tabelas 9.2 e 9.3 são apresentados, respectivamente, os dados geométricos e
mecânicos das vigas e as propriedades mecânicas do aço e do concreto. O desvio
padrão e o coeficiente de variação obtidos para os ensaios de controle do
concreto estão expressos na Tabela 9.4. Na Tabela 9.2, ρb é a taxa de armadura
correspondente ao limite entre os Domínios 3 e 4, calculada utilizando-se o
diagrama retangular simplificado da NBR-6118, e a é a distância entre o apoio e a
carga concentrada mais próxima, como visto na Fig. 9.3. Na Tabela 9.3 a energia
de fraturamento GF de acordo com o CEP-FIP MC90 é dada por:
G F = 2,828 e 0 , 0454 d max ( f c ) 0 , 7
(9.1)
(N/mm)
onde dmax é o diâmetro máximo do agregado (igual a 19 mm nesta investigação).
Tabela 9.1 – Dosagem utilizada (para 1 m3 de concreto)
fc
110 MPa
Relação água/cimento (a/c)
0,26
Cimento (CP2E-40) (kg)
653,0
Areia artificial (kg)
804,0
Pedrisco (kg)
122,0
Brita 1 (kg)
1105,0
Água (litros)
192,0
Aditivo superplastificante (litros)
5,0
Aditivo mineral (fumo de sílica) (kg)
75,0
Slump obtido (mm)
115,0
O aditivo superplastificante utilizado era da marca MBT tipo Glenium 51
e o fumo de sílica era do tipo amorfa da marca Silmix, utilizado numa proporção
de 11,5 % do peso de cimento. O concreto e o superplastificante foram doados
220
pela Engemix S.A., enquanto que o fumo de sílica foi doado pela Camargo
Corrêa Cimentos S.A.
Na Tabela 9.3, fc é a resistência à compressão do concreto, Ec é o módulo
de elasticidade inicial do concreto, fr é a resistência à tração na flexão (módulo de
ruptura) do concreto, fsp é a resistência à tração indireta (compressão diametral)
do concreto, GF é a energia de fraturamento do concreto, fy é a tensão de
escoamento do aço e Es é o módulo de elasticidade do aço. As normas cujos
procedimentos foram utilizados para a medição de fc, Ec, fr e fsp foram,
respectivamente, a NBR-5738/94, NBR-8522/84, NBR-12142/92 e NBR7222/94. Para efeito de comparação, são mostrados na Tabela 9.5 os valores
experimentais de Ec, fr e fsp e os valores previstos pelo Projeto de Revisão da
NBR-6118/2001 e pelo ACI 363R-92 (ver expressões correspondentes no
Capítulo 2, item 2.3). Pode-se observar que a NBR-6118 superestimou os valores
de Ec, fr e fsp em 29%, 24% e 47%, respectivamente. Já o ACI 363R-92 forneceu
valores adequados para Ec e fsp e superestimou em 24% o valor de fr.
Tabela 9.2 – Geometria e propriedades mecânicas das vigas
Taxa de
Armadura
Dimensões
Viga
b (mm) h (mm) d (mm) a (mm) L (mm)
ρ (%)
ρ / ρb
HR-L1
100
200
125,2
650
2000
6,67
0,96
HR-L2
100
200
125,2
650
2000
6,67
0,96
HR-M1
100
200
125,2
650
1800
6,67
0,96
HR-M2
100
200
125,2
650
1800
6,67
0,96
HR-S2
100
200
125,2
650
1600
6,67
0,96
LR-L1
100
200
172,3
650
2000
1,42
0,21
LR-L2
100
200
172,3
650
2000
1,42
0,21
LR-M1
100
200
172,3
650
1800
1,42
0,21
LR-M2
100
200
172,3
650
1800
1,42
0,21
LR-S1
100
200
172,3
650
1600
1,42
0,21
LR-S2
100
200
172,3
650
1600
1,42
0,21
221
O aço utilizado tanto para a armadura de flexão como para os estribos foi
o CA-50. Para a série HR, foram utilizadas barras de 16,0 mm de diâmetro para a
armadura longitudinal de flexão, enquanto que para a série LR barras de 12,5 mm
foram utilizadas. O diâmetro dos estribos para todas as vigas foi de 6,3 mm. Nos
ensaios de tração uniaxial, todas as barras apresentaram um patamar de
escoamento bem definido. A resposta típica das barras de aço nos ensaios de
tração uniaxial está mostrada na Fig. 9.4.
fc
Ec
(MPa)
(MPa)
HR-L1
107,5
45021
7,85
5,08
177,0
560
183688
HR-L2
107,5
45021
7,85
5,08
177,0
560
183688
HR-M1
107,5
45021
7,85
5,08
177,0
560
183688
HR-M2
107,5
45021
7,85
5,08
177,0
560
183688
HR-S2
107,5
45021
7,85
5,08
177,0
560
183688
LR-L1
107,5
45021
7,85
5,08
177,0
587
195234
LR-L2
107,5
45021
7,85
5,08
177,0
587
195234
LR-M1
107,5
45021
7,85
5,08
177,0
587
195234
LR-M2
107,5
45021
7,85
5,08
177,0
587
195234
LR-S1
107,5
45021
7,85
5,08
177,0
587
195234
LR-S2
107,5
45021
7,85
5,08
177,0
587
195234
Viga
fr
fsp
GF
fy
Es
(MPa) (MPa) (N/m) (MPa)
(MPa)
Tabela 9.4 – Desvio padrão e coeficiente de variação das propriedades do
concreto utilizado nos ensaios
Propriedade do
material
Valor médio
(MPa)
Desvio padrão
(MPa)
Coeficiente de
variação (%)
fc
107,5
6,2
5,8
Ec
45021
3675,2
8,2
fr
7,85
0,4
5,7
fsp
5,08
0,3
5,6
222
Tabela 9.5 – Propriedades do concreto – comparação entre valores experimentais
e teóricos
fc = 107,7 MPa
Exp.
NBR-6118/2001
ACI 363R-92
Ec (MPa)
45021
58055
41319
fr (MPa)
7,85
9,72
9,75
fsp (MPa)
5,08
7,46
5,60
140
120
φ 16,0 mm
Carga (kN)
100
80
φ 12,5 mm
60
40
φ 6,3 mm
20
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Deformação (o/oo)
Fig. 9.4 - Curvas típicas carga x deformação das barras de aço CA-50 utilizadas
As vigas foram moldadas em uma camada e a compactação foi feita com
um vibrador mecânico de imersão. A desforma foi efetuada após 7 dias,
mantendo-se então as vigas ao ar livre cobertas com sacos de aniagem e lonas
plásticas, as quais foram constantemente molhadas para obter uma boa cura para
o concreto. A temperatura ambiente durante a fase de cura foi de
aproximadamente 30 ºC. As vigas foram instrumentadas 1 dia antes dos ensaios,
os quais foram realizados aos 120 dias de idade.
223
9.3
ARRANJO DE ENSAIO E INSTRUMENTAÇÃO UTILIZADA
O ensaio foi executado por meio de uma máquina digital de ensaios servocontrolada da marca Dartec com capacidade de 250 kN e controlado pelo
deslocamento vertical do atuador da máquina a uma taxa de 0,01 mm/s até o
atingimento do patamar de escoamento e 0,001 mm/s daí por diante.
Dependendo das características mecânicas e geométricas da viga ensaiada, a
duração de cada ensaio situou-se entre 3 e 5 horas.
Além dos sinais da célula de carga e do deslocamento vertical do atuador
da máquina (stroke), diversos sensores posicionados na região de momento fletor
constante foram utilizados para coletar informações sobre o comportamento da
viga ensaiada, num total de 23 sinais aquisitados por ensaio. Os sensores foram
distribuídos da seguinte forma:
• 9 extensômetros elétricos de resistência (strain gages) com comprimento de
20 mm, colados ao longo da face superior da viga para verificar o fenômeno de
localização de deformações no concreto comprimido;
• 3 extensômetros elétricos de resistência (strain gages) com comprimento de
5 mm, colados numa das barras da armadura longitudinal em três pontos
distintos;
• 7 LVDT’s (sensores para medição de deslocamentos lineares) fixados na face
lateral da viga para medir as deformações ao longo da altura da viga em três
seções transversais distintas;
• 1 LVDT posicionado na face superior da viga com base de medida
(comprimento inicial) igual ao comprimento da região de momento fletor
constante, com o intuito de obter a deformação global da fibra superior;
• 1 LVDT posicionado sob a viga para medir o deslocamento vertical no meio
do vão (flecha).
224
Todos os sinais foram aquisitados de forma contínua a uma frequência de
5 Hz por um sistema de aquisição de dados composto de um microcomputador e
um condicionador de sinais da marca Lynx tipo ADS2000. O arranjo geral do
ensaio bem como o sistema de aquisição de dados estão mostrados na Fig. 9.5. O
esquema de instrumentação na região de momento fletor uniforme está mostrado
na Fig. 9.6. A Fig. 9.7 apresenta a vista lateral e uma perspectiva da região de
momento uniforme com a instrumentação já posicionada, enquanto que a
Fig. 9.8 mostra detalhes dos LVDT’s e strain gages utilizados.
Atuador
Aquisição de dados
Viga de transmissão
de carga
Corpo-de-prova
Fig. 9.5 - Arranjo geral do ensaio e sistema de aquisição de dados
225
Carga
Vista Geral
650
Variável (mm)
300, 500, 700
650
Strain Gages (L = 20 mm)
Vista Superior
Carga
Carga
LVDTs (L = 100 mm)
Vista Lateral
Fig. 9.6 - Esquema de instrumentação na zona de momento uniforme
(a)
Fig. 9.7 - Zona de momento uniforme – vista lateral (a) e perspectiva (b)
(b)
226
Strain
gages
LVDT’s
Fig. 9.8 - Detalhes dos sensores utilizados
9.4
RESULTADOS EXPERIMENTAIS
Os itens a seguir descrevem aspectos individuais da resposta à flexão das
vigas ensaiadas.
9.4.1 Curvas carga x flecha
As Fig. 9.9 a 9.19 mostram as curvas experimentais carga x flecha obtidas
para todas as vigas. Pode-se notar claramente o patamar de escoamento nas vigas
com taxa de armadura mais baixa (vigas da série LR), enquanto que as vigas com
elevada taxa de armadura (vigas da série HR) atingiram a carga última
imediatamente após o escoamento da armadura de flexão. De fato, essas vigas
tinham uma armadura praticamente “equilibrada” (ρ/ρb = 0,96).
Em alguns casos, no início do ensaio houve problemas na leitura dos
valores aquisitados pelo LVDT posicionado sob a viga, como pode ser notado
pelas Fig. 9.13, 9.17, 9.18 e 9.19. Isso no entanto não afetou a validade dos
resultados, uma vez que essa parte da curva é relevante apenas para a
determinação do momento de fissuração da viga e não exerce qualquer influência
na ductilidade pós-escoamento (ou pós-pico) da peça.
227
140
120
Carga (kN)
100
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Deslocamento Vertical (mm)
Fig. 9.9 - Curva carga x flecha da viga HR-L1
140
120
Carga (kN)
100
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
30
Fig. 9.10 - Curva carga x flecha da viga HR-L2
35
40
228
140
120
Carga (kN)
100
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
35
40
Fig. 9.11 - Curva carga x flecha da viga HR-M1
140
120
Carga (kN)
100
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
30
Fig. 9.12 - Curva carga x flecha da viga HR-M2
229
140
120
Carga (kN)
100
80
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Fig. 9.13 - Curva carga x flecha da viga HR-S2
70
60
Carga (kN)
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
Fig. 9.14 - Curva carga x flecha da viga LR-L1
30
35
230
70
60
Carga (kN)
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Fig. 9.15 - Curva carga x flecha da viga LR-L2
70
60
Falha no LVDT responsável
pela medida do deslocamento
Carga (kN)
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
Fig. 9.16 - Curva carga x flecha da viga LR-M1
30
35
231
70
60
Carga (kN)
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
30
35
30
35
Fig. 9.17 - Curva carga x flecha da viga LR-M2
70
60
Carga (kN)
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
Fig. 9.18 - Curva carga x flecha da viga LR-S1
232
60
Carga (kN)
50
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
30
35
Fig. 9.19 - Curva carga x flecha da viga LR-S2
Além da inexistência de um patamar de escoamento, as vigas da série HR
apresentaram uma menor redução de rigidez em relação às vigas da série LR
quando a carga de primeira fissura foi atingida (ver Fig. 9.12 e 9.15). Quando o
concreto tracionado fissurou, a perda de rigidez das vigas da série HR foi menos
significante devido à alta quantidade de armadura de flexão presente.
9.4.2 Capacidade resistente à flexão
Na Tabela 9.6 estão expressos os valores do momento de fissuração (Mcr),
momento de escoamento (My), e momento máximo (Mu). O momento de
fissuração corresponde ao ponto onde o trecho inicial da curva carga x flecha
muda de inclinação devido à perda de rigidez causada pela fissuração da peça. O
momento de escoamento corresponde ao ponto onde a curva carga x flecha se
torna significativamente não linear. Nesse ponto, as deformações medidas pelos
strain gages na armadura tracionada atingiram um valor de cerca de 3‰, o qual está
de acordo com os ensaios de tração uniaxial mostrados na Fig. 9.4.
233
Tabela 9.6 – Valores experimentais de momento fletor
Viga
Mcr (kN.m)
My (kN.m)
Mu (kN.m)
M u / My
HR-L1
-----
39,74
41,78
1,051
HR-L2
2,44
39,02
41,11
1,054
HR-M1
2,68
34,98
38,61
1,104
HR-M2
2,57
35,65
38,75
1,087
HR-S2
-----
37,89
41,70
1,101
LR-L1
3,97
19,68
21,16
1,075
LR-L2
2,95
19,74
20,43
1,035
LR-M1
-----
18,92
19,65
1,039
LR-M2
-----
18,43
19,52
1,059
LR-S1
-----
20,00
20,51
1,026
LR-S2
-----
16,71
17,79
1,065
Como pode ser visto pela Tabela 9.6, os momentos de escoamento e
máximos para as vigas de uma mesma série parecem ser independentes do
tamanho da zona de momento uniforme. Esse resultado já era esperado, uma vez
que o fenômeno de localização de deformações (e o conseqüente efeito de escala)
se manifesta somente na região pós-pico, de acordo com as hipóteses do modelo
proposto no Capítulo 8. Por outro lado, as diferenças no comportamento póspico são evidentes, como será visto adiante neste capítulo.
Para a série HR, os valores médios dos momentos de escoamento e
máximo foram, respectivamente, 37,46 e 40,39 kN.m, enquanto que para a série
LR esse valores resultaram 18,91 e 19,84 kN.m, respectivamente. Levando em
conta todas as vigas, o momento máximo foi de 2,6% a 10,4% superior ao
momento de escoamento, com a razão média Mu/My sendo de 1,079 e 1,050 para
as séries HR e LR, respectivamente.
234
9.4.3 Índices de ductilidade
A ductilidade de uma viga de concreto é bem representada em termos de
flechas. No presente trabalho, são considerados os dois índices de ductilidade
distintos introduzidos no item 5.4 (Capítulo 5). Para as vigas da série LR, as quais
apresentaram um patamar de escoamento bem definido (comportamento dúctil),
o seguinte índice de ductilidade é considerado:
µ LR = δ u δ y
(9.2)
onde δu é a flecha máxima atingida pela viga e δy é a flecha correspondente ao
ponto de início do escoamento da armadura.
Para as vigas da série HR, as quais se comportaram de modo
significativamente frágil e sem apresentar um patamar de escoamento bem
definido, o seguinte índice de ductilidade é adotado:
µ HR = δ 80 δ y
(9.3)
onde δ80 é a flecha correspondente a 80% da carga máxima no ramo pós-pico.
Na Tabela 9.7 estão expressos os índices de ductilidade das vigas
ensaiadas. Devido a uma falha no LVDT responsável pela medida do
deslocamento vertical da viga LR-M1 (Fig. 9.16), não foi possível a obtenção do
valor de δu para essa viga.
Para cada uma das séries ensaiadas, pode ser claramente detectado um
aumento do índice de ductilidade com a redução da esbeltez da zona de
momento uniforme (ZMU), denotando o efeito de escala na ductilidade pós-pico.
Esse efeito está ilustrado na Fig. 9.20. Para a série LR, o índice de ductilidade
aumentou de 2,55 para 3,55 quando o comprimento LMU da ZMU foi reduzido
de 700 para 300 mm. Para essa mesma redução do comprimento da ZMU, o
índice de ductilidade aumentou de 1,20 para 1,43 para a série HR. Em termos
percentuais, uma redução de 57% no comprimento da ZMU resultou num
235
aumento no índice de ductilidade de aproximadamente 39% e 19% para as séries
LR e HR, respectivamente.
Tabela 9.7 – Índices de ductilidade em termos de flechas
δy (mm)
δu (mm)
δ80 (mm)
µLR
µHR
HR-L1
19,58
-----
26,65
-----
1,361
HR-L2
15,74
-----
18,90
-----
1,201
HR-M1
12,52
-----
17,87
-----
1,427
HR-M2
12,05
-----
17,04
-----
1,414
HR-S2
10,54
-----
15,10
-----
1,433
LR-L1
11,86
30,29
-----
2,554
-----
LR-L2
12,24
30,04
-----
2,454
-----
LR-M1
8,65
-----
-----
-----
-----
LR-M2
9,60
27,83
-----
2,899
-----
LR-S1
8,60
30,58
-----
3,556
-----
LR-S2
7,88
24,85
-----
3,154
-----
Índice de ductilidade
Viga
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
Série LR
Série HR
ZMU =
700 mm
ZMU =
500 mm
ZMU =
300 mm
Fig. 9.20 - Influência da esbeltez da zona de momento uniforme na ductilidade pós-pico
236
9.4.4 Localização de deformações
Por meio da monitoração das deformações locais na superfície superior da
viga medidas pelos strain gages mostrados na Fig. 9.6, é possível verificar a
ocorrência do fenômento de localização de deformações na zona de momento
uniforme. O traçado do perfil de deformações medidas na fibra superior da viga
revela uma clara localização de deformações, como pode ser tipicamente
observado nas Fig. 9.21 e 9.22 para as vigas HR-L1 e HR-L2, respectivamente.
Nessas figuras, a identificação (p) corresponde a deformações no ramo pós-pico
do diagrama momento x curvatura (ou carga x deformação).
Como pode ser observado, até 90% da carga máxima no ramo pré-pico
todos os strain gages apresentam essencialmente a mesma deformação. A partir da
carga de pico, alguns strain gages começam a descarregar enquanto outros sofrem
grande deformação e são “destacados” da superfície da viga devido à formação
de uma zona de dano nessa região. Portanto, a deformação nos gages contidos
nessa zona de dano aumenta rapidamente e depois cai a zero logo após a
formação completa da mesma. Dessa forma, pode-se estimar o tamanho da zona
de dano, cujo valor é utilizado no modelo desenvolvido nesta tese. A Fig. 9.23
mostra a zona de dano localizado da viga HR-M2 ao final do ensaio.
Deformação (o/oo)
237
10
0.2 Pmax
9
0.4 Pmax
8
0.6 Pmax
7
0.8 Pmax
6
0.9 Pmax
5
Pmax
4
Posição
0
0.9 Pmax (p)
700
3
0.8 Pmax (p)
2
1
0
0
100
200
300
400
500
600
700
Posição (mm)
Deformação (o/oo)
Fig. 9.21 - Perfil de deformações na zona de momento uniforme da viga HR-L1
10
0.2 Pmax
9
0.4 Pmax
8
0.6 Pmax
7
0.8 Pmax
6
0.9 Pmax
Pmax
5
Posição
0
4
700
0.9 Pmax (p)
0.8 Pmax (p)
3
2
1
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
Posição (mm)
Fig. 9.22 - Perfil de deformações na zona de momento uniforme da viga HR-L2
238
LD
Zona de momento uniforme
Fig. 9.23 - Zona de dano da viga HR-M2
9.4.5 Tamanho da zona de dano
O tamanho da zona de dano, estimado de acordo com o perfil de
deformações na superfície superior das vigas, está ilustrado na Fig. 9.24.
Pode-se notar que o tamanho da zona de dano é significativamente maior
para as vigas com altas taxas de armadura. Isso é devido à maior profundidade da
linha neutra nesse caso, o que faz com que a profundidade de zona de dano
também seja maior. Além disso, de acordo com a Fig. 9.24, o comprimento LD da
zona de dano parece ser independente do comprimento ZMU da zona de
momento uniforme, o que valida as hipóteses do modelo proposto no Capítulo 8.
239
O valor médio de LD resultou igual a 218 mm para a série HR e 79 mm para a
Comprimento da zona de dano
série LR.
250
200
150
ZMU = 300 mm
ZMU = 500 mm
ZMU = 700 mm
100
50
0
Série HR
Série LR
Fig. 9.24 - Tamanho da zona de dano na flexão
9.4.6 Curvas de resposta momento x deformação
Na Fig. 9.25 estão mostradas as curvas experimentais típicas momento x
deformação para as vigas da série HR. A deformação é aquela medida pelo
LVDT posicionado horizontalmente junto à face superior da viga, e deve ser
entendida como a deformação global equivalente do concreto na fibra mais
comprimida. Na Fig. 9.25, o momento é normalizado em relação ao momento
máximo e a deformação é normalizada em relação à deformação correspondente
ao momento máximo.
Apesar da viga HR-L2 ter apresentado um comportamento mais linear até
o momento máximo, as vigas não apresentaram diferença significativa no ramo
pré-pico, com os valores de momento máximo sendo similares entre si (ver
Tabela 9.6). Não obstante as semelhanças na resposta pré-pico, o efeito de escala
na ductilidade pós-pico pode ser claramente notado pela Fig. 9.25, a qual denota
uma redução da ductilidade com o aumento do tamanho da viga. Ao nível de
240
60% do momento máximo no ramo pós-pico, a viga maior (HR-L2) apresenta
apenas metade da ductilidade da viga menor (HR-S2).
1.2
HR-S2
HR-M1
1.0
HR-L2
M/M pico
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
εc/εc pico
Fig. 9.25 - Curvas experimentais momento x deformação da série HR
As curvas experimentais típicas momento x deformação para as vigas com
menor quantidade de armadura de flexão (série LR) estão mostradas na Fig. 9.26.
Nessa figura, o momento é normalizado em relação ao momento de escoamento
da armadura e a deformação é normalizada em relação à deformação
correspondente ao momento de escoamento. Note-se que as curvas das vigas
LR-M2 e LR-S1 foram deslocadas no eixo das abscissas para uma melhor
visualização.
Da mesma forma que as vigas da série HR, as vigas da série LR não
apresentaram diferença notável até o momento de escoamento, com os valores
de momento sendo similares entre si (ver Tabela 9.6). Entretanto, o efeito de
escala na ductilidade pós-pico também pode ser notado pela Fig. 9.26. A viga
menor (LR-S1) apresenta uma deformação última maior do que a viga maior (LRL2). Fica então mais uma vez evidenciada a redução da ductilidade com o
aumento do tamanho da viga.
241
A influência do tamanho da viga na sua ductilidade, já indicada pelos
índices de ductilidade em termos de flechas apresentados no item 9.4.3, é então
confirmada pelas Fig. 9.25 e 9.26. De fato, se a curva momento x deformação (ou
momento x curvatura) apresenta o efeito de escala, a curva carga x flecha também
deve apresentar o mesmo efeito, uma vez que a flecha de uma viga está
intimamente relacionada à curvatura das suas seções transversais.
1.2
LR-S (Ensaio)
1.0
LR-M (Ensaio)
M / My
0.8
LR-L (Ensaio)
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
εc / εcy
Fig. 9.26 - Curvas experimentais momento x deformação da série LR
A Fig. 9.27 mostra uma comparação das vigas maiores de cada uma das
séries, ilustrando as diferenças no comportamento pós-pico devidas às distintas
taxas de armadura utilizadas. Enquanto as vigas normalmente armadas (série LR)
apresentaram a capacidade de se deformar após o pico sem perda expressiva de
resistência, as vigas com alta taxa de armadura (série HR) tiveram sua capacidade
resistente significativamente reduzida logo após o atingimento do momento
máximo.
242
1.2
LR-L1
HR-L2
1.0
M/My
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
εc/εcy
Fig. 9.27 - Comparação entre curvas típicas momento x deformação de vigas com alta taxa de
armadura (HR) e baixa taxa de armadura (LR)
9.4.7 Comportamento geral das vigas
Como pode ser observado nas Fig. 9.9 a 9.19, as vigas apresentaram um
comportamento distinto dependendo da taxa de armadura de flexão. No instante
em que o momento de fissuração foi atingido houve uma mudança de inclinação
das curvas devido à redução da rigidez à flexão, redução essa que depende da taxa
de armadura presente, sendo mais significativa para as vigas com menor
quantidade de armadura. Além disso, a taxa de armadura também exerceu
influência na relação entre a carga de fissuração e a carga máxima. Para as vigas
da série LR, as primeiras fissuras de flexão surgiram para uma carga de cerca de
15% da carga máxima, enquanto que para a série HR a carga de fissuração
resultou aproximadamente 6% da carga máxima. Algumas das possíveis causas
para isso são a maior restrição à deformação por retração do concreto para as
vigas da série HR devido à maior quantidade de armadura presente, e uma
possível alteração da posição da armadura de flexão para as vigas da série LR
(aumento do cobrimento) devido ao manuseio e transporte das vigas. A partir do
momento de fissuração, as vigas se comportaram de modo praticamente linear
243
até o escoamento da armadura tracionada. Para as vigas com taxa de armadura
mais baixa (série LR), é notável a presença do patamar de escoamento. Após o
atingimento da carga máxima, essas vigas apresentaram uma razoável capacidade
de se deformar sem redução expressiva da carga, até o atingimento da flecha
última. Por outro lado, nas vigas com alta taxa de armadura (série HR) o patamar
de escoamento é praticamente inexistente, com a carga última sendo atingida
imediatamente após o escoamento da armadura tracionada. Nesse caso, a carga
caiu de forma acentuada após o pico e as vigas apresentaram uma baixa
capacidade de deformação.
Todas as vigas chegaram ao colapso final com a armadura no escoamento
e o posterior esmagamento do concreto comprimido na zona de dano.
9.4.8 Panorama geral de fissuração até o colapso
As Fig. 9.28 a 9.33 ilustram alguns aspectos típicos do panorama de
fissuração e formação da zona de dano nas vigas ensaiadas.
Todas as vigas apresentaram basicamente apenas fissuras verticais de
flexão na zona de momento uniforme até o escoamento (Fig. 9.28). A partir daí,
surgiram algumas fissuras horizontais na região inferior das vigas no nível da
armadura tracionada (Fig. 9.27). Com o aumento do deslocamento vertical
algumas fissuras verticais se curvaram para formar a zona de dano na região
comprimida (Fig. 9.30 e 9.31). Quando a capacidade de deformação do concreto
comprimido foi esgotada, ocorreu o colapso explosivo por esmagamento do
concreto, com a zona de dano sendo “destacada” por inteiro do corpo da viga
(Fig. 9.32 e 9.33).
244
Fissuras verticais
LR-M1
Fig. 9.28 - Fissuras verticais de flexão
Fissuras horizontais
HR-L2
Fig. 9.29 - Fissuras horizontais no nível da armadura
245
LR-M1
Fissura curvada
Fig. 9.30 - Início da formação da zona de dano
Desenvolvimento da zona de dano
HR-L2
Fig. 9.31 - Desenvolvimento da zona de dano
246
HR-L2
HR-L2
Fig. 9.32 - “Destacamento” da zona de dano
LR-L2
HR-L1
Fig. 9.33 - Esmagamento do concreto comprimido
9.5
SIMULAÇÃO NUMÉRICA
Nesta seção, o modelo de localização de deformações desenvolvido no
Capítulo 8 é utilizado para simular o comportamento das vigas ensaiadas.
9.5.1 Parâmetros utilizados na análise
Para efetuar a análise, o modelo requer a entrada da geometria da viga
(valores na Tabela 9.2), dos parâmetros de resistência do aço e do concreto
247
(valores na Tabela 9.3), e das curvas tensão-deformação dos dois materiais (ver
Capítulo 8, item 8.7.3). Além disso, os parâmetros de amolecimento do concreto
εDC,f e LD são também necessários.
Conforme já discutido no item 8.7.3, o valor εDC,f da deformação crítica de
dano na flexão é tomado igual a duas vezes o valor relativo à compressão
uniaxial, ou seja, εDC,f = 2 εDC. Portanto, de acordo com a eq.(8.8):
ε DC ,f = 2 ⋅ 0,0129 e ( −0.012 fc ) = 0,0071
De acordo com o exposto no item 8.7.2, o valor LD da zona de dano na
flexão é considerado igual a 4 vezes a profundidade da linha neutra quando o
momento máximo é atingido. Para as vigas ensaiadas, a análise teórica utilizando
o modelo desenvolvido indica que a profundidade da linha neutra na carga
máxima é igual a 54,19 mm e 19,87 mm para as vigas da série HR e LR,
respectivamente. Isto resulta em valores de LD de cerca de 216,8 mm e 79,5 mm,
respectivamente. Esses valores teóricos resultaram surpreendentemente idênticos
àqueles determinados experimentalmente a partir do traçado do perfil de
deformações na face superior das vigas (ver item 9.4.5). Essa constatação
confirma, portanto, a hipótese do comprimento da zona de dano na flexão ser
igual a 4 vezes a profundidade da linha neutra na carga máxima. Como
conseqüência, o valor de LD será maior para maiores taxas de armadura de flexão,
uma vez que a profundidade da linha neutra aumenta com o aumento da taxa de
armadura.
9.5.2 Resultados do modelo
Vigas com alta taxa de armadura (série HR)
Os resultados experimentais e teóricos das vigas representativas da série
HR estão mostrados na Tabela 9.8. Nessa tabela, Mu é o momento máximo, εc é a
deformação da fibra superior na carga máxima e σc é a tensão correspondente.
248
Tabela 9.8 – Resultados experimentais e teóricos (série HR)
Viga
Mu, exp
(kN.m)
Mu, modelo
(kN.m)
εc, exp
(‰)
εc, modelo
(‰)
σc, modelo
(MPa)
σc / fc
HR-L2
41,11
42,98
3,85
3,68
79,54
0,74
HR-M1
38,61
42,98
3,92
3,68
79,54
0,74
HR-S2
41,70
42,98
4,02
3,68
79,54
0,74
Pode-se observar pela Tabela 9.8 que a deformação εc da fibra superior na
carga máxima apresenta uma ligeira redução com o aumento do tamanho da viga.
Isto indica que a localização de deformações tem início um pouco antes da carga
máxima. Apesar disso, em termos práticos a hipótese de localização a partir da
carga de pico é suficientemente adequada.
O grau de ductilidade pós-pico depende do tamanho da zona de dano em
relação ao tamanho da zona de momento uniforme. A Fig. 9.34 ilustra as curvas
momento x deformação geradas pelo modelo dentro e fora da zona de dano. A
curva momento x deformação global equivalente da viga situar-se-á entre estas
duas curvas.
50.0
Zona de dano
45.0
Zona de descarregamento
40.0
M (kN.m)
35.0
30.0
25.0
20.0
15.0
10.0
5.0
0.0
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
0.016
εc
Fig. 9.34 - Comportamento das zonas de dano e descarregamento – série HR
249
A Fig. 9.35 mostra as curvas representativas momento x deformação
experimentais e teóricas. Note-se que as curvas das vigas HR-M e HR-S foram
deslocadas no eixo das abscissas para uma melhor visualização.
HR-S (Ensaio)
50.0
HR-M (Ensaio)
45.0
HR-L (Ensaio)
40.0
HR-S (Modelo)
M (kN.m)
35.0
HR-M (Modelo)
30.0
HR-L (Modelo)
25.0
20.0
15.0
10.0
5.0
0.0
0.0
5.0
10.0
15.0
20.0
25.0
30.0
35.0
εc (‰)
Fig. 9.35 - Curvas momento x deformação experimentais e teóricas – série HR
Pode-se observar que as curvas geradas pelo modelo estão de acordo com
as obtidas experimentalmente, embora o momento máximo tenha sido
ligeiramente superestimado. O modelo capturou de forma adequada o ramo póspico, simulando corretamente a redução da ductilidade com o aumento do
tamanho da viga.
Para uma melhor comparação, a Fig. 9.36 apresenta as curvas momento x
deformação normalizadas em relação ao momento máximo e correspondente
deformação. As curvas mostradas confirmam os bons resultados obtidos pela
aplicação do modelo proposto.
250
HR-S (Ensaio)
1.2
HR-M (Ensaio)
HR-L (Ensaio)
1.0
HR-S (Modelo)
M/M pico
0.8
HR-M (Modelo)
HR-L (Modelo)
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
εc/εc pico
Fig. 9.36 - Curvas normalizadas momento x deformação experimentais e teóricas – série HR
Vigas com baixa taxa de armadura (série LR)
Os resultados experimentais e teóricos das vigas representativas da série
LR estão mostrados na Tabela 9.9. Na tabela, Mu é o momento máximo, εc é a
deformação da fibra superior na carga máxima e σc é a tensão correspondente.
Tabela 9.9 – Resultados experimentais e teóricos (série LR)
Viga
Mu, exp
(kN.m)
Mu, modelo
(kN.m)
εc, exp
(‰)
εc, modelo
(‰)
σc, modelo
(MPa)
σc / fc
LR-L2
20,43
20,58
2,73
3,68
79,54
0,74
LR-M2
19,52
20,58
3,15
3,68
79,54
0,74
LR-S1
20,51
20,58
3,54
3,68
79,54
0,74
Pode-se observar pela Tabela 9.9 que a deformação εc da fibra superior na
carga máxima apresenta uma redução com o aumento do tamanho da viga. Isto
confirma que a localização de deformações tem início um pouco antes da carga
máxima.
A Fig. 9.37 ilustra as curvas momento x deformação geradas pelo modelo
dentro e fora da zona de dano para a série LR.
251
25.0
Zona de dano
Zona de descarregamento
M (kN.m)
20.0
15.0
10.0
5.0
0.0
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
0.016
εc
Fig. 9.37 - Comportamento das zonas de dano e descarregamento – série LR
A Fig. 9.38 mostra as curvas representativas momento x deformação
experimentais e teóricas. Note-se que as curvas das vigas LR-M2 e LR-S1 foram
deslocadas no eixo das abscissas para uma melhor visualização.
LR-S (Ensaio)
25.0
LR-M (Ensaio)
LR-L (Ensaio)
M (kN.m)
20.0
LR-S (Modelo)
LR-M (Modelo)
15.0
LR-L (Modelo)
10.0
5.0
0.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
εc (‰)
Fig. 9.38 - Curvas momento x deformação experimentais e teóricas – série LR
252
Pode-se observar que as curvas geradas pelo modelo estão de acordo com
as obtidas experimentalmente.
Para uma melhor comparação, a Fig. 9.39 apresenta as curvas momento x
deformação normalizadas em relação ao momento de escoamento e
correspondente deformação. As curvas mostradas confirmam os bons resultados
obtidos pela aplicação do modelo, embora as curvas teóricas sejam um pouco
conservadoras do ponto de vista da ductilidade pós-pico.
LR-S (Ensaio)
1.2
LR-M (Ensaio)
LR-L (Ensaio)
1.0
LR-S (Modelo)
M / My
0.8
LR-M (Modelo)
LR-L (Modelo)
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
14.0
16.0
εc / εcy
Fig. 9.39 - Curvas normalizadas momento x deformação experimentais e teóricas – série LR
9.6
DISCUSSÃO
9.6.1 Momento máximo teórico de acordo com a NBR-6118
Quando as barras da armadura de flexão são dispostas em uma ou mais
camadas e as camadas são posicionadas próximas umas das outras, a tensão na
armadura pode em geral ser considerada atuando no centróide das barras da
253
armadura, e nesse caso a determinação do momento máximo pode ser feita
utilizando as expressões apresentadas no item 5.2.3 (ver Capítulo 5). No entanto,
quando a diferença entre os níveis de tensão das diversas camadas for
significativa, pode ser desejável efetuar uma análise mais rigorosa, de forma a
avaliar com mais precisão a capacidade resistente à flexão da peça. Esse tipo de
análise é feito por um procedimento iterativo satisfazendo as condições de
equilíbrio de forças e compatibilidade de deformações. A Fig. 9.40 ilustra uma
seção transversal contendo duas camadas de armadura, cuja capacidade resistente
à flexão é dada pelos diagramas de deformações e tensões mostrados.
b
As2
β1 x
x
d2
d1
α 1 fc
εc
εs2
fs2
T2
fs1
As1
εs1
Seção
Deformações
C
T1
Tensões
Fig. 9.40 - Seção de concreto armado quando a capacidade resistente à flexão é atingida
Para que seja atendida a compatibilidade de deformações, as seguintes
relações são válidas:
ε s1 = ε cu
d1 − x
x
(9.4)
ε s 2 = ε cu
d2 − x
x
(9.5)
Para que haja o equilíbrio de forças, a seguinte relação é necessária:
254
α 1 β 1 f c b x = A s1 f s 1 + A s 2 f s 2
(9.6)
A seção pode então ser analisada por um procedimento iterativo de
tentativa e erro da seguinte forma:
• Escolher um valor para x..
• Calcular εs1 e εs2 pelas eq.(9.4) e (9.5) e determinar o valor de fs1 e fs2 a partir
da curva tensão-deformação do aço.
• Verificar se a eq.(9.6) é satisfeita.
• Se não, repetir os passos 1), 2) e 3) até que se obtenha o valor de x que
satisfaz a eq.(9.6).
Uma vez determinado o valor correto de x, o momento resistente da
seção pode ser calculado por:
M u = A s 1f s 1 ( d 1 − 0 , 5 β 1 x ) + A s 2 f s 2 ( d 2 − 0 , 5 β 1 x )
(9.7)
Para as vigas com altas taxas de armadura de flexão (série HR - 4φ16 mm),
as barras foram dispostas em duas camadas distantes cerca de 90,5 cm entre si,
como pode ser visto na Fig. 9.3. Esse afastamento vertical foi devido aos ganchos
de ancoragem nas extremidades das barras da camada inferior, executados de
acordo com a NBR-6118 de forma a eliminar a possibilidade de escorregamento
da armadura sobre os apoios. Portanto, para um cálculo mais preciso do
momento resistente destas vigas foi utilizado o procedimento descrito
anteriormente pelas eq.(9.4) a (9.7), utilizando para α1, β1 e εcu os valores
expressos na NBR-6118. Por outro lado, para as vigas da série LR, o cálculo do
momento resistente foi efetuado segundo a formulação convencional da teoria de
flexão para vigas no Domínio 3 (item 5.2.3), utilizando o diagrama retangular
simplificado de tensões da NBR-6118. Os valores teóricos de Mu de acordo com
a NBR-6118 são mostrados na Tabela 9.10. Nessa tabela, também são mostrados
os valores de Mu calculados utilizando os coeficientes α1 e β1 propostos por
Ibrahim; MacGregor (1997) determinados a partir das eq.(5.13) (Mu, modificado), e os
valores experimentais médios.
255
Tabela 9.10 – Valores teóricos (NBR6118) e experimentais do momento máximo
Série
Mu, NBR-6118
(kN.m)
Mu, modificado
(kN.m)
Mu, exp.med.
(kN.m)
Mu, exp.med.
Mu, modificado
HR
43,61
39,41
40,39
1,02
LR
23,70
23,32
19,84
0,85
A utilização dos coeficientes propostos por Ibrahim; MacGregor, os quais
levam em conta a resistência à compressão do concreto, geraram valores um
pouco mais próximos dos experimentais. No entanto, ainda assim o momento
máximo experimental foi cerca de 15% inferior ao teórico para as vigas da série
LR. Após uma análise cuidadosa dos valores utilizados no cálculo de Mu, não foi
encontrada uma razão evidente para essa discrepância, haja vista que para essas
vigas a resistência do concreto não exerce influência significativa no valor de Mu.
Portanto, as possíveis explicações para isso incluem uma alteração da posição da
armadura de flexão (redução da altura útil) devido ao manuseio e transporte das
vigas, ou ainda uma variabilidade na resistência ao escoamento do aço utilizado.
De fato, tomando-se, por exemplo, fy = 550 MPa e d = 160 mm, o valor de Mu
resulta igual a 20,60 kN.m, situando-se então bem próximo do experimental. Para
as vigas da série HR, o momento teórico resultou praticamente igual ao
experimental.
Pode-se então concluir que os valores de momento máximo são
adequadamente previstos pela NBR-6118, com a ressalva de que a utilização de
coeficientes α1 e β1 dependentes da resistência `a compressão do concreto
conduz a resultados mais satisfatórios.
9.6.2 Momento máximo teórico de acordo com o modelo proposto
A Tabela 9.11 mostra os valores experimentais médios de momento
máximo, assim como os previstos pelo modelo. A diferença entre os valores
experimentais e teóricos é de apenas 6% para as vigas com alta taxa de armadura
e 4% para as vigas com baixa taxa de armadura. Na verdade, até o momento
máximo a análise é efetuada de acordo com a teoria convencional de flexão,
256
porém utilizando a curva tensão x deformação considerada no modelo. Como se
sabe, para vigas normalmente armadas o diagrama tensão x deformacão do
concreto comprimido pouco influencia o valor do momento máximo. Portanto,
pode-se admitir que o modelo prevê resultados de momento máximo de acordo
com os experimentais.
Tabela 9.11 – Valores teóricos (modelo) e experimentais do momento máximo
Série
Mu, modelo
(kN.m)
Mu, exp.med.
(kN.m)
Mu, exp.med.
Mu, modelo
HR
42,98
40,39
0,94
LR
20,58
19,84
0,96
9.6.3 Deformação crítica de dano na flexão
Em face aos efeitos de gradientes de deformação na curva
tensão x deformação do concreto, o valor εDC,f da deformação crítica de dano na
flexão é tomado igual a duas vezes o valor relativo à compressão uniaxial, ou seja,
εDC,f = 2 εDC. Esse valor pode ser diretamente calculado pela eq.(8.8), a qual foi
estabelecida a partir de diversos resultados experimentais de ensaios de
compressão uniaxial.
É necessário se admitir que a eq.(8.8) foi estabelecida a partir de um
número bastante limitado de resultados experimentais. No entanto, há uma
escassez de resultados de ensaios com corpos-de-prova de vários tamanhos,
incluindo o ramo pós-pico. À medida que novos resultados forem sendo
divulgados, a eq.(8.8) poderá ser melhor avaliada.
9.6.4 Localização de deformações e tamanho da zona de dano na flexão
Muito embora os strain gages colados na fibra superior da viga não
forneçam um perfil contínuo das deformações ao longo da zona de momento
uniforme, as Fig. 9.21 e 9.22 mostram que as deformações no concreto não são
distribuídas uniformemente no ramo pós-pico. Existe uma zona (aqui
257
denominada zona de dano) na qual toda a deformação pós-pico é localizada,
enquanto que fora dessa zona o material é descarregado. A estimativa
experimental do comprimento dessa zona revelou um valor de aproximadamente
4 vezes a profundidade da linha neutra na carga máxima (Fig. 9.24). Esse valor
confirma então a hipótese adotada no modelo proposto.
As Tabelas 9.8 e 9.9 indicam que, quando a carga máxima é atingida, a
deformação global equivalente do concreto na fibra superior da viga diminui
ligeiramente com o aumento do tamanho da zona de momento uniforme. Por
conseguinte, conclui-se que o início do fenômeno de localização ocorre um
pouco antes da carga de pico. Para fins práticos, no entanto, a hipótese de
localização a partir da carga de pico parece ser suficientemente adequada.
9.6.5 Efeito de escala na ductilidade pós-pico
Os índices de ductilidade em termos de flecha apresentados na Tabela 9.7
e na Fig. 9.20 indicam uma tendência de redução da ductilidade com o aumento
do tamanho da viga (comprimento da zona de momento uniforme). Uma
redução de 57% no comprimento da ZMU resultou num aumento no índice de
ductilidade de aproximadamente 39% e 19% para as séries LR e HR,
respectivamente.
A influência do tamanho da viga na ductilidade pós-pico foi claramente
detectada experimentalmente, como pode ser visto nas Fig. 9.25 e 9.26. É
importante salientar que a curva tensão x deformação pós-pico do concreto
exerce maior influência nas vigas com alta taxa de armadura. Nesse caso, ao nível
de 60% do momento máximo no ramo pós-pico, uma redução de 57% no
comprimento da ZMU (de 700 mm para 300 mm) dobrou a deformação atingida.
O efeito do tamanho da viga na ductilidade pós-pico, denotado pelos
índices de ductilidade em termos de flecha e pelas deformações pós-pico, pode
ser importante no sentido de que a deformabilidade da viga pode ser menor do
que prevista. É importante lembrar que diversas considerações de projeto de
258
vigas de concreto armado exigem que a peça apresente um grau adequado de
ductilidade. Um exemplo claro é a redistribuição de momento fletores em
estruturas estaticamente indeterminadas, que depende de uma adequada
capacidade de rotação plástica. A capacidade de rotação plástica, por sua vez, está
intimamente relacionada à curva tensão x deformação do concreto na zona
comprimida da viga. Quanto menos dúctil for essa curva, menor será a
capacidade de rotação plástica da viga.
Como o modelo de localizações proposto prevê uma redução da
deformação global pós-pico do concreto com o aumento do tamanho da viga,
segundo este modelo a capacidade de rotação plástica deveria ser influenciada
pelo tamanho da viga. Essa questão ainda é bastante controversa, porém várias
investigações experimentais e numéricas têm mostrado claramente a presença do
efeito de escala na deformabilidade e na capacidade de rotação plástica de vigas
de concreto armado (Hillerborg, 1988); (Eligehausen; Langer, 1987); (Koike et al.,
1989); (Bosco et al., 1992); (Bosco; Debernardi, 1993); (Rokugo et al., 1994);
(Adachi et al., 1996); (Henriksen et al., 1996); (Bigaj, 1999); (Brincker et al., 1999);
(Weiss et al., 1999); (Borges et al., 2002). No caso particular da deformação global
da zona de momento fletor uniforme, a presente investigação experimental
confirmou os resultados obtidos na investigação realizada por Weiss et al. (1999),
cujo arranjo de ensaio foi similar ao adotado neste trabalho.
Considerando a presença do efeito de escala, vigas muito grandes podem
apresentar muito pouca ou nenhuma capacidade de deformação plástica após o
atingimento do momento máximo. Finalmente, vale salientar que a presença de
estribos e armadura de compressão conferem à viga um maior grau de ductilidade
devido ao confinamento do concreto na zona comprimida da viga.
259
CONCLUSÕES
10
10.1 RESUMO E CONCLUSÕES
A presente tese buscou analisar o comportamento de vigas de concreto de
alto desempenho por meio dos conceitos de Mecânica da Fratura. Foram
apresentadas algumas situações nas quais o efeito de escala pode ser importante,
como a capacidade resistente ao cisalhamento e a taxa mínima de armadura de
flexão. O fenômeno de localização de deformações na compressão foi destacado.
Um modelo de fraturamento para vigas de concreto armado sob flexão pura foi
desenvolvido. O modelo, formulado inicialmente para o caso de compressão
uniaxial, leva em conta a influência do tamanho do corpo-de-prova na curva
tensão x deformação do material. Uma expressão para o cálculo da deformação
crítica de dano foi estabelecida. Foi realizada uma investigação experimental com
vigas de concreto armado de alto desempenho de forma a avaliar a aplicabilidade
do modelo proposto.
260
Como resultado do trabalho apresentado nesta tese, podem ser traçadas as
seguintes conclusões:
• Em diversos casos, a utilização conjunta da Resistência dos Materiais e da
Mecânica da Fratura pode prover critérios de análise e projeto mais realistas
para vigas de concreto de alto desempenho. Isto é especialmente verdadeiro
na presença de efeitos de escala. Podem-se citar, dentre outras, questões
como a capacidade resistente ao cisalhamento, a taxa mínima de armadura
de flexão e a dutilidade pós-pico de vigas com alta taxa de armadura (ver
Capítulos 3, 4, 6 e 9).
• A taxa mínima de armadura de flexão diminui com o aumento do tamanho
da viga. Essa redução é devida essencialmente ao efeito de escala na
resistência à tração na flexão (módulo de ruptura). Alguns modelos de
fraturamento baseados na Mecânica da Fratura Elástica Linear fornecem
expressões mais realistas para o cálculo da armadura mínima do que aquelas
estabelecidas em normas, como visto no Capítulo 6.
• O fenômeno de localização de deformações pós-pico se faz presente tanto
na compressão uniaxial como na flexão. Como discutido no Capítulo 7, este
fenômeno conduz a efeitos de escala.
• No caso de corpos-de-prova submetidos a compressão uniaxial, a inclinação
do ramo pós-pico é maior à medida que a esbeltez do corpo-de-prova é
aumentada. Portanto, a dutilidade pós-pico diminui com o aumento da
esbeltez do corpo-de-prova, conforme mostrado no Capítulo 8.
• No caso de vigas armadas submetidas a flexão pura (momento fletor
uniforme ao longo da peça), também ocorre o fenômento de localização de
deformações. Por conseguinte, a dutilidade pós-pico da viga diminui com o
aumento do tamanho (esbeltez) da zona de momento uniforme, conforme
demonstrado experimentalmente no Capítulo 9.
• A simulação numérica apresentrada no Capítulo 9 mostrou que o modelo de
fraturamento
proposto,
o
qual
considera
separadamente
os
261
comportamentos dentro e fora da zona de dano, é capaz de simular
adequadamente o efeito de escala na dutilidade pós-pico, tanto para a
compressão uniaxial como para a flexão.
• Os resultados da simulação numérica indicaram que a expressão proposta
para o cálculo da deformação crítica de dano (eq.(8.8)) fornece valores de
acordo com os experimentais.
• Devido a efeitos de gradientes de deformação, o valor da deformação crítica
de dano na flexão é cerca de o dobro daquele na compressão uniaxial.
• Quando a carga máxima é atingida, o tamanho da zona de dano é de cerca
de 1,5 vezes o diâmetro do corpo-de-prova na compressão uniaxial, e 4
vezes a profundidade da linha neutra na flexão pura, conforme visto nos
Capítulos 8 e 9, respectivamente.
10.2 SUGESTÕES PARA NOVAS PESQUISAS
A escassez de curvas experimentais tensão x deformação (corpos-de-prova
sob compressão uniaxial) e momento x deformação (vigas sob flexão pura),
incluindo o ramo pós-pico, inibe a confimação definitiva dos parâmetros de
amolecimento utilizados no modelo proposto, em especial a deformação crítica
de dano e o tamanho da zona de dano. São necessários então mais ensaios para
que se possa estabelecer de forma inequívoca a magnitude destes parâmetros e
corroborar os bons resultados obtidos neste trabalho.
Sugere-se então a realização de ensaios de compressão uniaxial com
corpos-de-prova abrangendo uma ampla faixa de esbeltez, por exemplo
L/d variando de 1,0 até 6,0 (L é a altura do corpo-de-prova e d o seu diâmetro).
A utilização de valores de L/d superiores a 6,0 conduzem a problemas de
instabilidade que invalidam os resultados obtidos. No caso de vigas sob flexão
pura, sugere-se a realização de ensaios com uma ampla faixa de esbeltez da zona
de momento uniforme, por exemplo LMU/d variando de 2,0 até 10,0 (LMU é o
262
comprimento da zona de momento uniforme e d é a altura útil da viga). Na
presente investigação, o valor de LMU/d variou de 1,7 a 4,0.
Com relação ao tipo de carregamento, o presente trabalho trata
exclusivamente da compressão uniaxial e da flexão pura. Portanto, são
necessários estudos complementares para extender o modelo desenvolvido a
outros tipos de carregamento.
Finalmente, parece ser de suma importância a realização de investigações
experimentais com o objetivo específico de avaliar o efeito de escala na
capacidade de rotação plástica de vigas de concreto armado.
263
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