Manual de Precificação

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Manual de Precificação – Custódia Qualificada
Manual de Precificação
Custódia Qualificada
Revisão: Maio de 2010
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Introdução
1 Objetivos
O objetivo deste manual é a descrição da estrutura, princípios e critérios dos serviços de marcação a
mercado prestados para os clientes da Custódia Qualificada do Banco Santander Brasil S.A.
A marcação a mercado é o processo pelo qual se faz a avaliação dos ativos e passivos presentes nas
carteiras e fundos de investimento pelo que podem ser transacionados no mercado. O objetivo desta prática
é evitar a transferência de recursos entre os diversos cotistas de um fundo.
No caso de fundo de investimentos exclusivos não existe a transferência de riquezas, porém de acordo com
a natureza do cotista é recomendável que seja aplicada para dar maior transparência à gestão,
administração e controladoria.
Todas as metodologias de marcação a mercado seguem as premissas da legislação vigente conforme os
normativos emitidos pelos órgãos reguladores (CVM, SPC, SUSEP).
Este manual segue, no que for aplicável, as Diretrizes de Marcação a Mercado publicadas pela ANBID,
anexo à Deliberação 14.
2 Princípios Gerais
Os seguintes princípios gerais norteiam as práticas descritas neste manual, de acordo com as Diretrizes de
Marcação a Mercado da ANBID:
2.1 Melhores Práticas
O processo e as metodologias de Marcação a Mercado seguem as melhores práticas de mercado.
2.2 Abrangência
As presentes diretrizes abrangem todos os fundos que possuam a atividade de Marcação a Mercado sob
responsabilidade da Custódia Qualificada Santander.
2.3 Comprometimento
O Banco Santander está comprometido em garantir que os preços reflitam preços de mercado, e na
impossibilidade da observação desses, despende seus melhores esforços para estimar o que seriam os
preços de mercado dos ativos pelos quais estes seriam efetivamente negociados.
2.4 Equidade
O critério preponderante do processo de escolha de metodologia, fontes de dados e/ou qualquer decisão de
Marcação a Mercado é o tratamento eqüitativo dos cotistas.
2.5 Freqüência
A Marcação a Mercado tem como freqüência mínima a periodicidade de divulgação das cotas.
2.6 Formalismo
O Banco Santander possui um processo padronizado de Marcação a Mercado, que está formalizado neste
manual. A Área de Risco da Custódia Qualificada é responsável pela qualidade do processo e metodologia.
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2.7 Objetividade
As informações de preços e/ou fatores utilizados no processo de Marcação a Mercado são obtidas de fontes
externas independentes.
2.8 Consistência
Os critérios de Marcação a Mercado são os mesmos para todas as carteiras que possuam esta atividade
delegada à Custódia Qualificada Santander.
2.9 Transparência
As metodologias de marcação a mercado são públicas, divulgadas através deste Manual.
3 Estrutura Organizacional e Visão Geral do Processo
O processo de marcação a mercado envolve diversas áreas dentro da Custódia Qualificada Santander,
porém duas são as responsáveis pela sua implementação: Análise de Risco e Operacional. Estas duas áreas
estão subordinadas a Superintendências distintas e possuem competências bem definidas e segregadas.
A área de Análise de Risco é responsável pela definição das políticas e metodologias de marcação a
mercado, pela verificação da adequação das metodologias às “melhores práticas”, pela revisão das
metodologias e deste manual. Além disso, nesta área também é realizado o levantamento dos dados
primários de mercado e o primeiro tratamento das informações.
Na área Operacional é realizada a aplicação dos dados de mercado já tratados aos sistemas de precificação,
além do levantamento de dados que não necessitam do tratamento primário. Após o processamento dos
sistemas, a área Operacional realiza a conferência dos valores gerados para verificar a sua adequação às
metodologias definidas. No caso de haver dúvidas sobre os valores gerados, a área de Análise de Risco é
consultada para verificação dos valores.
Caso existam dúvidas sobre políticas ou metodologias de marcação a mercado, o assunto é levado a um
Comitê composto pelo Superintendente da Custódia Qualificada, pelo Superintendente Operacional, pelo
Gerente de Risco e pelo Gerente Operacional.
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Conceitos Básicos
1 Conceitos
A marcação a mercado de um ativo consiste em determinar o seu “custo de reposição”, ou seja, o valor que
seria despendido em um dado dia para adquirir a mesma quantidade do ativo.
A forma mais simples de se realizar a marcação a mercado de um ativo é observar diretamente o preço que
ele está sendo negociado no mercado. Porém quando o ativo possui baixa liquidez, deve-se utilizar outros
métodos para estimar o “valor justo” (fair value) do ativo.
Como “valor justo” podemos definir o valor que um ativo pode ser transacionado entre duas partes sem que
nenhuma das partes seja favorecida. Existem duas formas principais de se determinar este valor para um
ativo que não possua liquidez: a observação de ativos que possuam características similares a ele ou a
modelagem matemática do preço do ativo, também conhecido como marcação a modelo (mark-to-model).
1.1 Avaliação de Ativos
Dada uma quantidade de numerário P na data atual e duas aplicações com as seguintes características:
a primeira paga um valor fixo V na data futura tal que a rentabilidade da aplicação é dada por r =(V/P)-1;
a segunda paga um valor não conhecido previamente mas que possui esperança matemática do valor igual a
E(V*) e conseqüentemente rentabilidade esperada E(r*) = (E(V*)/P)-1.
Para um mercado constituído de investidores racionais e se as duas aplicações possuem nível de risco de
crédito iguais, a rentabilidade esperada deve ser igual, ou seja:
E (r ) = E (r * )
logo,
V E (V * )
E (V * )
=
P=
P
P
1+ r
e
Pode-se observar que o valor presente de um investimento é igual à esperança matemática do seu valor
futuro (na data de resgate ou de venda) descontado pela rentabilidade de uma aplicação com rentabilidade
pré-fixada de mesmo prazo e mesmo nível de risco.
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Títulos de Renda Fixa
Títulos de Renda Fixa são basicamente empréstimos realizados por uma pessoa física ou jurídica, junto a
um ou vários credores. O título é a formalização deste empréstimo, onde são definidos os juros, prazos e
condições para devolução do capital.
Quanto aos emissores, os títulos podem ser públicos, quando emitidos pelo governo ou órgãos do governo,
ou privados, quando emitidos por instituições financeiras ou empresas. No tocante ao rendimento, podem ser
prefixados, pós-fixados, mistos ou atrelados a alguma moeda.
1 Taxas de Juros
Como qualquer outra mercadoria, o dinheiro também tem um preço. Os juros são o “preço” do dinheiro. Para
ser mais exato, é a compensação paga ao credor por adiar o seu consumo por um determinado período de
tempo. Esta taxa também é conhecida como “taxa de juros real”.
Existe também uma outra componente a ser considerada devido à compensação da perda do poder de
compra decorrente da inflação durante o mesmo período de tempo, conhecida como “prêmio de inflação”.
Caso exista algum risco das obrigações contratuais não serem cumpridas pelo devedor, ainda deve ser
considerada uma terceira componente para compensar este risco, conhecida como “prêmio de crédito” (ou
spread de crédito).
A composição destas componentes resulta na “taxa de juros nominal”, que é a taxa de juros efetivamente
expressa no contrato. De uma forma simples, podemos escrever:
i nominal = i real + sinflação + scrédito
1.1 Expressão das taxas de juros
A taxa de juros integral a ser paga em um título depende do seu prazo total. Geralmente, a compensação
deve ser maior para um prazo maior, mas nem sempre é o que ocorre.
Para uniformizar a expressão das taxas de juros e poder comparar duas taxas com prazos diferentes,
normalmente escolhe-se uma base de tempo em comum e calcula-se a taxa equivalente para aquele prazo.
A realização da mudança de base (do prazo total do título para o prazo de expressão da taxa) tem que levar
em conta a forma como o capital cresce ao longo do tempo de vida do título, ou como os juros são
apropriados.
1.1.1 Apropriação das taxas de juros
A apropriação dos juros pode ocorrer de três formas (principais):
a.
Apropriação Linear
Os juros são calculados sempre sobre o valor inicial do investimento. Deste modo, se um título possui um
investimento inicial Vi e paga i% (em forma decimal 100% = 1.0) de juros para um prazo total igual a a
períodos, em um certo momento de sua vida onde tenham decorrido p períodos (p<a), ele deve ter um valor
Vf igual a
p

Vf = V i ⋅  1 + i ⋅ 
a

b.
Apropriação Exponencial
Os juros são incorporados ao valor principal a cada período. Assim, os próximos juros são calculados
sempre sobre o novo valor principal.
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No caso exposto anteriormente, teremos:
p
Vf = Vi ⋅ (1 + i ) a
c.
Apropriação Linear/Exponencial
Neste caso, a composição da taxa nominal (aquela expressa no contrato) é realizada de modo linear, porém
a apropriação para encontrar a taxa efetiva (aquela realmente paga) é exponencial. Temos então:
i

Vf = V i ⋅ 1 + 
a

d.
p
Apropriação Contínua
Considerando que o tamanho de cada período tende a um valor infinitesimal, o valor principal cresce
continuamente no tempo (daí o nome).
Do mesmo modo, teremos:
Vf = Vi ⋅ e
i⋅
p
a
1.1.2 Contagem de dias
Além do tipo de apropriação, deve ser levado em conta também o modo como são “medidos” os períodos de
tempo. Para prazos medidos em anos, semestres, meses e outras unidades de tempo similares, a contagem
é simplesmente o número de unidades efetivamente decorridas entre os instantes considerados.
Para a contagem de prazos em dias existem diferentes convenções, como:
•
•
•
considerando o prazo real (actual) – são contados os dias que realmente existem entre as duas
datas;
considerando meses de 30 dias (30) – todos os meses do ano são considerados com 30 dias;
considerando apenas os dias úteis (business days) – não são considerados na contagem os finais de
semana nem feriados (cria dependência do local de negociação ou de apuração dos valores)
O efeito da contagem de dias também tem efeitos sobre o número de dias a serem considerados no ano
para determinação de suas frações. A contagem de dias real pode considerar ou não os anos bissextos,
gerando anos de 365 dias apenas ou também de 366 dias. A contagem feita com meses de 30 dias gera
anos com 360 dias. No caso da contagem de dias úteis, cada ano teria que ser analisado separadamente,
gerando números diferentes de dias em cada ano.
Um outro efeito a ser considerado na contagem de dias quando consideramos os meses com 30 dias é
quando uma das datas cai no final de um mês que possui mais ou menos que 30 dias. Existem duas
abordagens principais para este problema, conhecidos como conhecidas como Convenção Americana,
“Bond Basis” ou 30 e a Convenção Européia, “Eurobond Basis” ou 30E.
As convenções de contagem de dias mais comuns são apresentadas a seguir, onde a notação apresentada
para as convenções é d/y onde:
•
•
o numerador d é o número de dias em um mês
o denominador y é o número de dias em um ano
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Convenção
Regras
Real/Real
É utilizado o número real de dias entre as datas.
(Actual/Actual)
Anos bissextos são considerados com 366 dias e os outros com 365 dias.
Real/365 fixo
(Actual/365 fixed)
Todos os anos são considerados com 365 dias.
Real/360
(Actual/365)
Assume-se que o ano possui 12 meses de 30 dias, resultando em um ano de 360 dias.
30/360
Assume-se que todos os meses possuem 30 dias.
Se a primeira data cair no dia 31, é mudada para o dia 30. Se a segunda data cair em
um dia 31, é mudada para o dia 30, mas apenas se a primeira data cair no dia 30 ou
31.
30E/360
Assume-se que todos os meses possuem 30 dias.
Se a primeira data cair no dia 31, é mudada para o dia 30. Se a segunda data cair em
um dia 31, é mudada para o dia 1º e o mês é aumentado de 1.
Úteis/252
É utilizado o número de dias úteis entre as datas.
(Business/252)
Assume-se que todos os anos possuem 252 dias úteis.
1.2 Curvas de Juros
Curva de juros ou Estrutura a Termo de Taxas de Juros (ETTJ) é a relação entre os prazos dos ativos de
renda fixa de um mesmo nível de risco e a sua rentabilidade até o vencimento. Para uma certa data t, a ETTJ
pode ser representada por uma função f(t, p), que dá a rentabilidade de um ativo que possui pagamento
apenas no vencimento (zero coupon), adquirido nesta data, com prazo total p.
A determinação desta estrutura é realizada através da observação dos ativos negociados no mercado. Como
existe uma quantidade limitada de ativos, não é possível determinar as taxas para cada um dos prazos
futuros possíveis. São então determinadas as taxa apenas para um número limitado de vértices e, quando
necessárias para outros prazos, são determinadas através de interpolação.
1.2.1 Determinação dos Vértices e Interpolação
Os vértices das curvas de juros podem ser fixos ou móveis. Nos vértices fixos, os prazos são pré-fixados e
as taxas para cada um deles é determinada de modo que reflitam os preços dos ativos negociados no
mercado. Para vértices móveis, os prazos são determinados pelos vencimentos dos ativos utilizados para a
determinação das curvas.
As taxas intermediárias aos vértices devem ser determinadas através da interpolação das taxas. A
interpolação pode ser realizada através de uma grande variedade de métodos, mas os três mais utilizados
no mercado financeiro são o linear, o log-linear e a spline.
a.
Interpolação de Rentabilidades com Apropriação Linear
Dados dois vértices da ETTJ com prazos p1 e p2 com rentabilidades i1 e i2, expressas utilizando-se como
base o prazo a, um prazo intermediário p deve possuir rentabilidade i, expressa na mesma base, tal que
i⋅
p
p
p
p
− i1 ⋅ 1 i 2 ⋅ 2 − i1 ⋅ 1
a
a =
a
a
p − p1
p2 − p1
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logo,
i=
p − p1 
1
i 1 ⋅ p1 + (i 2 ⋅ p2 − i1 ⋅ p1 ) ⋅

p
p2 − p1 
b.
Interpolação de Rentabilidades com Apropriação Exponencial (Log-Linear)
A interpolação das rentabilidades com apropriação exponencial leva em conta a rentabilidade “a termo” entre
os prazos p1 e p2, apropriando-a ao longo do prazo existente entre p1 e p2. Assim, a rentabilidade no prazo
intermediário é dada por:

p1

i = (1 + i1 ) a


c.
p2

a
+
(
1
i
)
2
⋅
p1

 (1 + i1 ) a




p − p1
p2 − p1
a
p

 −1


Interpolação Utilizando Splines
A interpolação utilizando splines ainda não está sendo utilizada pela Custódia Qualificada do Banco
Santander.
2 Títulos de Renda Fixa Indexados
1
Apesar do nome “renda fixa” , alguns tipos de títulos podem ter sua rentabilidade atrelada a taxas de juros
pós-fixadas (como taxa CDI, SELIC, Libor) ou índices variáveis (como índices de preços ou taxas de
câmbio).
Os títulos indexados a taxas de juros futuras ou índices variáveis podem ser vistos como títulos emitidos em
outras moedas, que variam de acordo com estas taxas de juros ou índices.
Em uma certa data t0, uma moeda fictícia X tem o valor igual à PX,0 . Na data ti, esta moeda possui valor PX,1
que reflete a correção proporcionada pelas taxas de juros pós-fixadas ou pelos índices variáveis. Na data t0,
um título em reais com preço V0,R$ terá seu valor na moeda X dado por:
V0, X =
V0,R $
Px,0
Na data t1, o título terá preço na moeda X igual a V1,X , em reais igual a V1,R$ e a moeda X terá valor Px,0. A
rentabilidade do título na moeda X e em reais será dado por:
1+ rX =
V1,x
V0,x
Durante o período entre as datas t1 e t2, se o mesmo valor do título em reais V0,R$ fosse aplicado em um
título com taxa prefixada rR$, ao final do período ele teria o valor igual a
V1,R $ = V0,R $ (1 + rR $ )
1
Na verdade, “renda fixa” (fixed income) tem o sentido de remuneração pré-contratada ou fixada em
contrato.
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Em um mundo sem arbitragem, para o mesmo valor aplicado em reais, o valor final esperado em todas as
aplicações com o mesmo nível de risco e mesmo prazo deve ser igual, na mesma moeda. Assim temos
V0, X =
V0,R $
Px ,0
1+ rX =
V1, X =
V1,R $
Px ,1
V1,x
V0,x
substituindo,
1+ rX =
V1,R $ PX ,0
⋅
V0,R $ Px ,1
⇔
(1 + r X ) ⋅
PX ,1
Px ,0
=
V1,R $
V0,R $
porém,
V1,R $ = V0,R $ (1 + rR $ )
logo,
(1 + r X ) ⋅
(1 + r X ) ⋅
PX ,1
Px ,0
PX ,1
Px ,0
=
V0,R $ (1 + rR $ )
V0,R $
= (1 + rR $ )
Como não se sabe o valor de PX,1 utiliza-se uma projeção do valor da moeda. Este resultado indica que o
título indexado deve pagar uma rentabilidade a mais ou a menos (no caso de rx negativo) do que a variação
do indexador para que iguale a rentabilidade do título prefixado.
Estas taxas adicionais são também conhecidas como “cupons” da moeda a que está indexado (como cupom
de Dólar ou cupom de IGP-M) e formam também uma estrutura a termo, como as taxas de juros prefixadas.
O valor de um título indexado, em seu vencimento, será dado por:
V1,R $ = V0,R $ ⋅ (1 + r X ) ⋅
Px,1
Px,0
3 Títulos de Renda Fixa com Risco de Crédito
O risco de crédito (ou risco de inadimplência) é o grau de incerteza associada ao recebimento de um valor
previamente acordado entre duas (ou mais) partes.
Um ativo livre de risco (de crédito) é considerado como sendo aquele em que existe certeza absoluta que o
seu valor seja pago integralmente em seu vencimento ou em seus outros eventos de pagamento, como
cupons e amortizações. Existe muita controvérsia sobre quais ativos podem ser considerados como livre de
risco de crédito, porém podemos definir alguns como “ativos base” ou seja, que possuem a menor
probabilidade de inadimplência possível. Desta forma, para títulos emitidos em Reais podemos eleger como
ativos livres de risco de crédito os títulos emitidos pelo Governo Federal Brasileiro, já que ele pode emitir
moeda para honrar as suas dívidas.
Dados dois títulos com mesmas características de prazo e remuneração, porém apenas o segundo
apresentado risco de crédito, seus preços P1 e P2 possuem uma relação dada por:
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P2 = P1 ⋅ pi + D ⋅ (1 − pi )
onde pi é a probabilidade que o título 2 seja honrado em seu vencimento e D é o valor que pode ser
recuperado no caso em que haja o default do título.
O valor de D não é facilmente determinado. De um modo conservador, pode-se considerar como D =0 (não
existe recuperação). Ficamos então com:
P2 = P1 ⋅ pi
Como o fator pi depende do emissor (E) e do prazo do título (t), temos:
P2 = P1 ⋅ p(E, t )
Se representa o risco (probabilidade) de default do emissor E no prazo t, o valor de p(E,t) é igual a (1-).
Agrupando os emissores de papéis em categorias que possuam o mesmo risco de crédito (ou muito
próximos), criamos o conceito de rating de crédito. Existem várias agências classificadoras que realizam a
análise dos emissores e atribuem “notas” à sua capacidade de honrar seu compromisso, porém não indicam
o valor da função p(E, t), ou seja, realizam apenas uma análise qualitativa e não quantitativa. Porém, com
base nesta classificação pode-se aproximar o valor da probabilidade de inadimplência através de dados
históricos ou mesmo através do sentimento do mercado, refletido nos preços dos títulos negociados.
3.1 Spread de Crédito
Dado um título zero cupom que possui rentabilidade i (% a.a.) em um prazo t (anos), a relação entre valor o
investido P (preço) e valor recebido no final F é de:
V
(1 + i )t
P=
Se este título não possuir risco de crédito, um outro título com as mesmas características que possua
probabilidade de pagamento de p* até o seu vencimento, tem o seu preço dado por:
V
Pr =
(1 + i )t
⋅p*
Se considerarmos algumas hipóteses, como probabilidade de inadimplência constante ao longo do tempo, o
valor de p* pode ser dado por:
p* = p t
onde: p é a probabilidade de inadimplência em um período de um ano.
Ficamos então com:
Pr =
V
t
(1 + i )
⋅ pt
Fazendo uma transformação de p,
p=
1
(1 + s )
chegamos a:
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Pr =
V
t
1
⋅
=
t
(1 + i ) (1 + s )
V
[(1 + i )(1 + s )]t
A variável s pode ser vista como uma taxa de rentabilidade adicional que o investidor recebe por comprar um
título que não possua probabilidade de pagamento igual a 100%. Se o título fosse vendido pelo mesmo
preço, todos os investidores escolheriam aquele que não possuísse risco de crédito. Esta taxa adicional é
conhecida como spread de crédito.
Podemos estender este conceito para títulos com pagamentos intermediários de cupons e amortizações,
ficando com:
Vj
N
Pr = ∑
j =1
[(1 + i )(1 + s )]
j
j
tj
onde: N é o número total de eventos de pagamento, tj é o prazo (em anos) do j-ésimo evento de pagamento,
Vj é o valor do j-ésimo evento de pagamento, ij é a taxa de juros spot anualizada para o prazo tj e sj é o
spread de crédito anualizado para o prazo tj.
A existência de probabilidade de inadimplência variável com o prazo dos papéis pode gerar spreads de
crédito diferentes para diferentes prazos, criando uma Estrutura a Termo de Spread de Crédito.
4 Precificação de Títulos de Renda Fixa
Considerando um título de renda fixa genérico que seja indexado a uma moeda ou índice qualquer e com
risco de crédito, podemos escrever a sua equação de preço atual como:
P=
E (V )
[(1 + i )(1 + s )]t
mas
E (V ) = V0
E (PT )
(1 + r )T
P0
onde: T é o prazo total do título, P0 é o valor da moeda ou índice na data de início ou emissão e PT é o valor
da moeda ou índice na data de vencimento.
Se a data de precificação for diferente da data de emissão (ou compra) do título, podemos dividir o termo
E(V) em duas partes, entre o início e a data atual e entre a data atual e a data de vencimento, ficando com:
E (V ) = V0
P1
(1 + r )t1 E (PT ) (1 + r )t
P0
P1
onde: P1 é o valor da moeda ou índice na data atual, t1 é o prazo decorrido entre a data de início e a data
atual e t é o prazo restante até a data de vencimento (t1+t = T).
V0
P=
P1
(1 + r )t1 E (PT ) (1 + r )t
P0
P1
[(1 + i )(1 + s )]t
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P = V0
P1
(1 + r )t1
P0
E (PT )
(1 + r )t
P1
1
t
(1 + i ) (1 + s )t
Podemos notar que o primeiro termo representa o valor atualizado para a data da precificação, o segundo
termo é o termo de avaliação do valor presente a partir do valor futuro e o terceiro é a redução do preço
devido ao risco de crédito.
Parte do segundo termo pode ser escrito da seguinte forma:
E (PT )
P1
t
(1 + i )
1
=
⇔ C (t ) =
t
E (PT )
C (t ) (1 + i )
P1
Podemos escrever a equação do preço da seguinte forma:
t
P
1
t (1 + r )
P = V0 1 (1 + r ) 1
P0
C (t ) (1 + s )t
O termo C(t) é conhecido como “cupom” da moeda ou índice, conforme já explicado acima (em 2).
Como o cupom é uma taxa de juros, ela possui uma estrutura a termo e pode ser escrito como C(t) = (1+c)t.
Logo, ficamos com:
t
P = V0
P1
(1 + r )t1 (1 + r )t 1 t
P0
(1 + c ) (1 + s )
P
(1 + r ) 
t 
P = V0 1 (1 + r ) 1 

P0
 (1 + c )(1 + s )
t
Para títulos não-indexados, isto é, puramente pré-fixados, podemos eliminar o termo P1/P0 e utilizar a taxa de
juros pré-fixada pura como cupom, ficando com:
t1
P = V0 (1 + r )
 (1 + r ) 
 (1 + i )(1 + s )


t
Escrevendo de uma outra forma a equação de precificação, temos:
T
P
(1 + r )
P = V0 1
P0 [(1 + c )(1 + s )]t
T
O termo V0(P1/P0)(1+r) é o valor futuro do principal mais os juros atualizado pela variação da moeda ou
índice, no caso de haver apenas pagamento no final. Podemos estender este conceito para títulos que
possuam fluxos de pagamentos intermediários por:
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P = V0
P1
r1 + a1
P
r 2 + a2
P
r n + an
+ V1 1
+ L + Vn −1 1
t1
t2
P0 [(1 + c1 )(1 + s1 )]
P0 [(1 + c 2 )(1 + s2 )]
P0 [(1 + c n )(1 + sn )]tn
ou
n
P = ∑Vi −1
i =1
P1
r i + ai
P0 [(1 + c i )(1 + si )]ti
onde: Vn-1 é o valor principal antes do pagamento da n-ésima parcela de amortização, rn é o valor percentual
do n-ésimo pagamento de juros sobre o principal, an é o valor percentual da n-ésima parcela de amortização
sobre o principal, cn e sn são os valor do cupom e do spread de crédito, respectivamente, para o prazo do nésimo fluxo de pagamentos e tn é o prazo, em unidades coerentes com a expressão de cn e sn, para o nésimo fluxo de pagamentos.
5 Metodologias de Marcação a Mercado Aplicadas ao Mercado Brasileiro
No mercado brasileiro, para títulos de renda fixa, quando não indicado o contrário, são utilizadas as
seguintes convenções:
títulos indexados a moedas estrangeiras: contagem de dias considerando meses com 30 dias corridos e
anos com 360 dias e apropriação de juros linear;
outros títulos: contagem de dias úteis, anos com 252 dias e apropriação exponencial.
Podemos dividir os títulos do mercado brasileiro em duas espécies quanto ao emissor: públicos e privados.
Os títulos públicos podem ser de emissão dos governos federal, estadual, municipal ou de órgãos e
autarquias a eles subordinados.
5.1 Ativos e operações pré-fixadas em reais
5.1.1 Valor de mercado
Um ativo ou operação pré-fixada possui seu valor de resgate definido no início da operação. Dada uma
operação pré-fixada com valor inicial VI e uma taxa de juros txpre, o valor na data do resgate (VF), após pz
dias úteis é dado por:
VF = VI ⋅ (1 + tx pre )
pz
252
O valor de mercado de um ativo ou operação pré-fixada já iniciada é dado pelo valor investido na data de
valorização, às taxas pré-fixadas praticadas no mercado atual (txmerc), que iguale o valor futuro da operação
original em seu vencimento. Assim, faltando pzrest dias úteis para o vencimento da operação, temos:
pzrest
pz
VF = VP ⋅ (1 + txmerc ) 252 = VI ⋅ (1 + tx ) 252
pz
VP = VI ⋅
(1 + tx ) 252
pzrest
(1 + txmerc ) 252
A taxa de mercado para um ativo ou operação com um certo grau de risco é dada por:
(1 + txmerc ) = (1 + txlr ) ⋅ (1 + sc )
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onde txlr é a taxa de juros livre de risco e sc é o spread de crédito para o emissor ou contraparte.
Por conseguinte, chegamos a:
pz
(1 + tx ) 252
VP = VI ⋅
pzrest
pzrest
(1 + txlr ) 252 ⋅ (1 + sc ) 252
No caso de operações que possuam vários fluxos financeiros, podemos considerar cada fluxo como sendo
uma operação separada e o valor de mercado da operação será dado por:
n
VFi
VP = ∑
i =1
(1 + tx )
lr i
pzrest i
252
(
⋅ 1 + sc i
)
pzresti
252
onde: n é o número de fluxos de pagamento da operação, pzi é o prazo de vencimento do i-ésimo fluxo de
pagamento, txlr i é a taxa de juros pré-fixada livre de risco anualizada para o prazo do i-ésimo fluxo, VFi é o
valor futuro do i-ésimo fluxo da operação e sc i é o spread de crédito da operação para o prazo do i-ésimo
fluxo.
5.2 Ativos e Operações indexadas à variação cambial
As operações indexadas à variação cambial possuem correção do valor principal da operação corrigida pela
variação cambial e os juros, pagos sobre o principal corrigido.
Para a maior parte das operações no mercado brasileiro, a variação cambial é calculada utilizando-se o valor
do PTAX de venda do dia útil anterior à data de liquidação (ou da data-base).
5.2.1 Valor de Mercado
O valor futuro de uma operação pré-fixada indexada à variação cambial, visto da data de precificação, é
dado por:
VF = VI ⋅
PTAX d −1 
pz
⋅  1 + tx ant
PTAX 0 
360
pz pos 
 PTAX f −1 
 ⋅ PTAX ⋅ 1 + tx 360 

d −1 

onde:VI é o valor inicial da operação, PTAXf-1 é o valor do PTAX para o dia útil anterior à data de vencimento
da operação, PTAXd-1 é o valor do PTAX para o dia útil anterior à data de precificação, PTAX0 é o valor do
PTAX para o dia útil anterior à data de início da operação, tx é a taxa de juros da operação, pzant é o prazo
em dias corridos do início da operação até a data da precificação e pzpos é o prazo em dias corridos da data
da precificação até o final da operação.
Do mesmo modo que para as operações pré-fixadas, o valor de mercado (VP) de uma operação indexada à
variação cambial já iniciada é dado pelo valor investido na data de valorização, às taxas de cupom cambial
praticadas no mercado atual (txmerc), que iguale o valor futuro da operação original em seu vencimento.
Como:
VF = VP ⋅
PTAX f −1 
pz pos 
⋅  1 + txmerc

PTAX d −1 
360 
Chegamos a:
Página 14/80
VP ⋅
PTAX f −1 
pz pos 
PTAX d −1 
pz
⋅ 1 + txmerc
⋅  1 + tx ant
 = VI ⋅
PTAX d −1 
360 
PTAX 0 
360
pz pos 
 PTAX f −1 
 ⋅ PTAX ⋅ 1 + tx 360 


d −1 
pz 

1 + tx tot 

PTAX d −1 
360 
VP = VI ⋅
⋅
pz pos 
PTAX 0 
1 + txmerc

360 

onde: pztot é o prazo total da operação.
Utilizando o conceito apresentado anteriormente, a taxa de mercado para um ativo ou operação com um
certo grau de risco é dada por:
(1 + txmerc ) = (1 + txlr ) ⋅ (1 + sc )
Porém, como a apropriação das taxas em dólar é linear em dias corridos e o spread de crédito é calculado
exponencialmente em dias úteis, chegamos a
pzut  360

pz 
txmerc = 1 + txlr ⋅ cor  ⋅ (1 + sc ) 252  ⋅
360 

 pzcor
onde: txlr é taxa livre de risco, pzcor é o prazo em dias corridos, pzut é o prazo em dias úteis e sc é o spread
de crédito do emissor ou da contraparte.
Logo,
pz 

1 + tx tot 

PTAX d −1
360 

VP = VI ⋅
⋅
pz pos ut
pz pos cor 
PTAX 0 
252
1
1
+
tx
⋅
+
s

 (
lr
c)
360


onde:pztot é o prazo total da operação, pzpos cor é o prazo restante da operação em dias corridos, pzpos ut é o
prazo restante da operação em dias úteis.
No caso de operações que possuam vários fluxos financeiros, podemos considerar cada fluxo como sendo
uma operação separada e o valor de mercado da operação será dado por:
n
VP =
PTAX d −1
⋅ ∑ VI i ⋅
PTAX 0 i =1

1 + txlr i

pzi 

1 + tx

360 

pz pos cor i 
 ⋅ 1 + sc i
360 
(
)
pz pos ut i
252
onde: n é o número de fluxos do papel, VIi é o valor inicial do i-ésimo fluxo do papel, pzi é o prazo total em
dias corridos até o vencimento do i-ésimo fluxo do papel, pzpos cor i é o prazo restante em dias corridos até o
vencimento do i-ésimo fluxo do papel, pzpos ut i é o prazo restante em dias úteis até o vencimento do i-ésimo
fluxo do papel, txlr i é a taxa anualizada livre de risco para o prazo do i-ésimo fluxo e sc i é o spread de crédito
do papel para o prazo do i-ésimo fluxo
Página 15/80
5.3 Papéis pós-fixados em taxa SELIC e em taxa DI - Over Cetip
A taxa média dos financiamentos diários para os Títulos Federais no Selic, divulgada diariamente pelo Banco
Central do Brasil, conhecida como Taxa Selic tem validade diária, porém é divulgada em formato anualizado,
em dias úteis e ano base 252 dias.
A taxa média dos depósitos interfinanceiros de um dia, é calculada e divulgada pela Central de Custódia e de
Liquidação Financeira de Títulos -CETIP é denominada "Taxa DI" (over extra-grupo) ou simplesmente CDICETIP. Ela é expressa na forma percentual ao ano, base 252 dias úteis.
Estas duas taxas são calculadas para operações pré-fixadas de 1 dia e são utilizadas para a atualização de
operações financeiras. O mecanismo de precificação para operações atualizadas por estas taxas é
semelhante e será tratado em conjunto, sendo feitas ressalvas quando houver alguma diferença de
tratamento.
5.3.1 Taxa SELIC ou DI acumulada
Num certo período, a taxa SELIC ou CDI (ou um percentual dela) acumulada é dada por:
n
1
 
 
OVERacum = ∏ 1 + (1 + OVERi ) 252 − 1 ⋅ p  − 1

 
i =1 
onde: n é o número de dias no período considerado, p é o percentual da taxa e OVERi é a taxa SELIC/CDI
anualizada para o i-ésimo dia.
O valor futuro (VF) de uma operação indexada à taxa SELIC/CDI (ou um percentual dela) e com taxa de
juros tx, visto da data da precificação, será dada por:
VF = VI ⋅ OVERacum ant p ⋅ (1 + tx )
pzant
252
pz pos
⋅ OVERacum pos p ⋅ (1 + tx ) 252
onde: VI é o valor inicial da operação OVERacum ant p é a taxa SELIC/CDI (ou percentual dela) acumulada até a
data da precificação, OVERacum pos p é a taxa SELIC/CDI (ou percentual dela) acumulada projetada da data da
precificação até a data final, pzant é o prazo em dias úteis do início da operação até a data da precificação e
pzpos é o prazo em dias corridos da data da precificação até o vencimento da operação.
Para operações que utilizem um percentual da taxa SELIC/DI diferente de 100%, não é permitida a utilização
de taxas de juros, tornando-se simplesmente:
VF = VI ⋅ OVERacum ant p ⋅ OVERacum pos p
5.3.2 Spread de risco para operações em SELIC/CDI
A taxa SELIC em si, já representa a taxa livre de risco. Qualquer acréscimo, quer seja de juros ou percentual,
representa o valor do risco de crédito adicional. Estes dois tipos de operação, porém, terão tratamentos
distintos para precificação.
Se considerarmos que as taxas CDI e Selic possuem valores semelhantes, porém não iguais. Existe um
descolamento entre as taxas devido a diversos fatores de mercado. Para o longo prazo, porém, podemos
considerar que a projeção futura das duas se aproxima bastante para considerarmos a projeção de uma
delas como uma aproximação para a outra. Por este motivo, podemos considerar o futuro de DI negociado
na BM&F como uma boa aproximação para ambas.
Títulos públicos federais, mesmo sendo considerados de mínimo risco de crédito, geralmente pagam uma
taxa de juros diferente das taxas determinadas através dos derivativos da BM&F. Assim, um título público
federal indexado à taxa Selic deve ser negociado com um certo ágio ou deságio em relação às taxas futuras
projetadas.
Página 16/80
Assim, o valor deste tipo de título deve ser dado por:
VP = VI ⋅ OVERacum ant ⋅
1
(1 + s )
pz pos
252
tp
onde: VI é o valor inicial da operação, OVERacum ant é a taxa SELIC/CDI acumulada da data de início da
operação (ou data base) até a data da precificação, stp é o spread de negociação para o título público e pzpos
é o prazo em dias úteis da data de precificação até data final da operação
As LFTs são títulos públicos federais indexados à taxa Selic que não possuem pagamento intermediário de
juros, apenas pagamento final. Além disso, possuem um grande número de emissões com diferentes
vencimentos e os spreads de negociação (ou deságio) praticados pelo mercado são divulgados diariamente
pela Andima.
5.3.3 Valor a Mercado
a.
Operações a 100% do SELIC/CDI
O valor futuro (VF) de uma operação indexada a 100% da taxa SELIC/DI é dado por:
pz pos
pzant
VF = VI ⋅ OVERacum ant ⋅ (1 + tx ) 252 ⋅ OVERacum pos ⋅ (1 + tx ) 252
onde: VI é o valor inicial da operação, OVERacum ant é a taxa SELIC/CDI acumulada da data de início da
operação (ou data base) até a data da precificação, OVERacum pos é a taxa SELIC/CDI acumulada da data de
precificação até data final da operação, tx é a taxa de juros da operação, pzant é o prazo em dias úteis da
data de início da operação (ou data base) até a data da precificação e pzpos é o prazo em dias úteis da data
de precificação até data final da operação.
Para uma operação iniciada na data da precificação, temos:
pz pos
VF = VP ⋅ OVERacum pos ⋅ (1 + txmerc ) 252
onde: txmerc é a taxa de juros praticada na data de precificação para operações em SELIC/CDI da mesma
contraparte ou emissor e mesmo prazo restante.
Chegamos então a:
pztot
(1 + tx ) 252
pz pos
(1 + txmerc ) 252
onde: pztot é o prazo total da operação.
Mas a taxa de mercado para o papel pode ser determinada por:
(1 + txmerc ) = (1 + txlr ) ⋅ (1 + stp ) ⋅ (1 + sc )
onde: stp é o spread de um título publico público indexado ao Selic ou CDI com mesmo prazo que o papel e
sc é o spread de crédito para o ativo, determinado em um momento anterior.
Como qualquer taxa acima da Selic/CDI pode ser considerada apenas como resultante do risco de crédito,
txlr torna-se nula e temos:
Página 17/80
pztot
(1 + tx ) 252
(1 + s )
pz pos
252
tp
b.
pz pos
(1 + sc ) 252
Operações a uma porcentagem diferente de 100% do SELIC/CDI
Operações indexadas ao SELIC/CDI que possuam porcentagem do indexador diferente de 100% não podem
ter taxa de juros adicionada. Logo, o valor futuro (VF) é dado por:
onde: VI é o valor inicial da operação, OVERacum ant p é o percentual p da SELIC/CDI acumulada do início da
operação até a data da precificação e OVERacum pos p é o percentual p da SELIC/CDI acumulada da data da
precificação até o final da operação.
Uma operação iniciada na data da precificação terá valor final de:
VF = VP ⋅ OVERacum pos q
onde: OVERacum pos q é o percentual q (que se está praticando na data da precificação para o emissor ou
contraparte) da SELIC/CDI acumulada da data da precificação até o final da operação.
Chegamos então a:
VP = VI ⋅ OVERacum ant p ⋅
OVERacum pos p
OVERacum pos q
ou, de um modo alternativo, podemos seguir o raciocínio do item anterior e chegamos a:
OVERacum pos p
pz pos
OVERacum pos tp ⋅ (1 + sc ) 252
onde: OVERacum pos tp é a projeção do rendimento acumulado da data de precificação até o vencimento de um
título público indexado ao SELIC/CDI até o final da operação e sc é o spread de crédito do papel em relação
a este título público.
A projeção da taxa CDI acumulada até uma certa data pode ser determinada através dos contratos futuros
de DI negociados na BM&F ou pelas taxas indicativas de swap Pré x DI divulgadas também pela BM&F. A
projeção da taxa SELIC pode ser determinada através das taxas indicativas de swap Selic x Pré da BM&F ou
através da aplicação de um spread (descolamento) sobre a projeção da taxa CDI acumulada.
5.4 Operações indexadas à TR
A TR (Taxa Referencial), calculada pelo Banco Central do Brasil é baseada nas taxas de CDBs pré-fixados
negociados em uma certa data no mercado financeiro. Sua divulgação é diária e sua validade é data-a-data,
ou seja, a TR de um certo dia do mês representa a taxa efetiva daquele dia até o dia correspondente no
próximo mês.
As operações indexadas à TR possuem data de aniversário (data de valorização) baseadas no dia de
vencimento. Deste modo, se uma operação vence no dia 15 de um certo mês, as TRs consideradas para a
sua valorização serão as dos dias 15 do mês anterior.
Página 18/80
No caso da data de início da operação ser diferente da data de aniversário, a primeira valorização ocorrerá
pela TR da data de aniversário imediatamente anterior ao início da operação, pró-rateada pelos dias úteis até
a próxima data de aniversário.
A TR acumulada até um aniversário da operação é dada por
n
u
TRacum = (1 + TR0 ) t ⋅ ∏ (1 + TRi ) − 1
i =1
onde: TR0 é a TR da data do aniversário anterior ao início da operação, u é o número de dia úteis entre a
data de início e o primeiro aniversário da operação, t é o número de dia úteis entre a data de aniversário
anterior ao início da operação e a primeira data de aniversário, n é o número de aniversários do papel desde
seu início até a data de avaliação, TRi é a TR do i-ésimo aniversário da operação.
5.4.1 Valor de Mercado
A projeção do valor futuro (VF) de uma operação em TR, vista da data de precificação, é dada por:
pzant
pz1
pz1
pz2
pz2
pz pos
VF = VI ⋅ (1 + TRacum ant ) ⋅ (1 + tx ) 252 ⋅ (1 + TR ) pzTR ⋅ (1 + tx ) 252 ⋅ (1 + TR ) pzTR ⋅ (1 + tx ) 252 ⋅ (1 + TRacum pos ) ⋅ (1 + tx ) 252
onde: VI é o valor inicial da operação, TRacum ant é a TR acumulada do início da operação até o aniversário
anterior da operação, TRacum pos é a TR acumulada do aniversário posterior da operação até o vencimento,
TR é a TR do aniversário anterior da operação, tx é a taxa de juros da operação, pzant é o prazo em dia
úteis do início da operação até o seu aniversário anterior, pzpos é o prazo em dia úteis do aniversário
posterior até o vencimento, pz1 é o prazo em dias úteis do aniversário anterior até a data de precificação,
pz2 é o prazo em dias úteis da data de precificação até o aniversário posterior e pzTR é o prazo em dias
úteis do aniversário anterior até o aniversário posterior (validade da TR).
Para uma operação iniciada na data de precificação, temos:
pz2
pz pos
pz2
VF = VP ⋅ (1 + TR ) pzTR ⋅ (1 + tx ') 252 ⋅ (1 + TRacum pos ) ⋅ (1 + txmerc ) 252
onde: VP é o valor inicial na data da precificação e txmerc é a taxa de mercado praticada na data da
precificação para operações em TR com mesmo vencimento que a operação original.
Como o valor a mercado será dado pelo valor, na data da precificação, que replique o valor final da
operação, temos:
pztotal
VP = VI ⋅ (1 + TRacum ant ) ⋅ (1 + TR )
pz1
pzTR
⋅
(1 + tx ) 252
(1 + txmerc )
pz final
252
onde: pztotal é o prazo em dias úteis total da operação, pzfinal é o prazo em dias úteis da data da precificação
até o final da operação e txmerc é a taxa de mercado para operações em TR para o prazo pzfinal.
Decompondo a taxa de mercado em taxa livre de risco e spread de crédito, temos:
(1 + txmerc ) = (1 + txlr ) ⋅ (1 + sc )
e logo,
pztotal
VP = VI ⋅ (1 + TRacum ant ) ⋅ (1 + TR )
pz1
pzTR
⋅
(1 + tx ) 252
(1 + txlr )
pz final
252
⋅ (1 + sc )
pz final
252
Página 19/80
Para operações que possuam mais de um fluxo financeiro,
VP = (1 + TRacum ant ) ⋅ (1 + TR )
pz1
pzTR
(1 + tx )
n
⋅ ∑ VI i ⋅
i =1
(1 + tx )
lr i
pz final i
252
pztotal i
252
⋅ (1 + sc i )
pz final i
252
onde: VIi é o valor inicial do i-ésimo fluxo financeiro, txlr i é a taxa de mercado para operações em IGP-M com
prazo igual ao i-ésimo fluxo financeiro, sc i é o spread de crédito para este mesmo prazo e pztotal é o prazo
total do i-ésimo fluxo financeiro.
5.5 Operações indexadas ao IGP-M
O IGP-M (Índice Geral de Preços do Mercado) é um índice de preços calculado pela Fundação Getúlio
Vargas, que tem por objetivo registrar o ritmo evolutivo de preços como medida da inflação nacional e
compreende o período entre o dia 21 do mês anterior ao de referência e o dia 20 do mês de referência. A
divulgação do índice IGP-M ocorre de duas formas, em número-índice (pontos) e em variação percentual,
que nada mais é que a variação percentual entre os números-índice anterior e atual. O número-índice tem
como base o valor de 100 em agosto de 1994.
Assim, o valor futuro (VF) de uma operação em IGP-M, visto da data da precificação,será dado por:
dcant
pzant
 IGP − M t −1   IGP − M t  dcmes
VF = VI ⋅ 
⋅ (1 + tx ) 252
 ⋅

 IGP − M 0   IGP − M t −1 
dc pos
pz pos
 IGP − M t  dcmes
⋅
⋅ (1 + tx ) 252

 IGP − M t −1 
 IGP − M t final 
⋅

 IGP − M t 
Se o valor de mercado (VP) é dado pelo valor, na data da precificação, que replique o valor final da
operação, chegamos a:
 IGP − M t −1   IGP − M t 
VP = VI ⋅ 
⋅

 IGP − M 0   IGP − M t −1 
dcant
dcmes
pztotal
⋅
(1 + tx ) 252
pz final
(1 + txmerc ) 252
onde:VI é o valor inicial da operação, IGP-Mt-1 é o valor do número-índice do IGP-M do mês anterior ao da
precificação, IGP-M0 é o valor do número índice do IGP-M do mês anterior ao mês de início da operação,
IGP-Mt é valor do número-índice do IGP-M do mês corrente à precificação, dcant é o numero de dias corridos
decorridos dentro do mês de precificação, dcmes é o número de dias corridos totais dentro do mês de
precificação, pzant é o prazo em dias úteis já decorrido da operação, pzpos é o prazo em dia úteis a decorrer
até o final da operação, tx é a taxa de juros da operação, txmerc é a taxa de juros praticada no mercado para
operações em IGP-M e prazo até o vencimento.
O valor do número índice do IGP-M do mês corrente da precificação só será conhecido no final do mês. A
Andima divulga a variação esperada para o mês, baseado em pesquisas realizadas pela instituição, que é
revista periodicamente. Esta previsão será usada para o cálculo da marcação a mercado.
A taxa de mercado de uma operação depende do nível de risco da contraparte da operação. Esta taxa pode
ser decomposta em dois fatores:
(1 + txmerc ) = (1 + txlr )(1 + sc )
onde: txlr é a taxa de juros em IGP-M livre de risco e sc é o spread de crédito.
Assim, ficamos com:
Página 20/80
 IGP − M t −1   IGP − M t 
VP = VI ⋅ 
⋅

 IGP − M 0   IGP − M t −1 
dcant
dcmes
(1 + tx )
⋅
pztotal
252
pz pos
pz pos
(1 + txlr ) 252 ⋅ (1 + sc ) 252
Para operações que possuam mais de um fluxo financeiro,
pztotal i
dcant
 IGP − M t −1   IGP − M t  dcmes n
(1 + tx ) 252
VP = 
⋅
⋅
VI
⋅
 

∑
i
pz final i
i =1
 IGP − M 0   IGP − M t −1 
1 + txlr i 252 ⋅ 1 + sc i
(
)
(
)
pz final i
252
onde: n é o número total de fluxos financeiros, pztotal i é o prazo total do i-ésimo fluxo financeiro, pzfinal i é o
prazo restante para o vencimento do i-ésimo fluxo financeiro, txlr i é a taxa livre de risco para o i-ésimo fluxo
financeiro e sc i é o spread de crédito para o i-ésimo fluxo financeiro.
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Aplicações
1 Títulos da Dívida Pública Federal Interna
Os títulos públicos, como diz o nome são títulos emitidos pelo poder executivo ou por órgãos ligados a ele,
dos governos federal, estadual ou municipal, com o objetivo de financiar a dívida pública ou para fins de
política monetária.
Existem vários títulos públicos, com características diversas. Porém, o maior volume é representado por
alguns poucos títulos, principalmente LTNs, NTN-Cs, NTN-Ds, NBC-Es e LFTs. Para estes títulos, existe um
mercado secundário razoavelmente bem desenvolvido, com um grande número de participantes e preços
transparentes, além de contar com um conjunto de dealers que atuam direto com o Banco Central e
garantem a liquidez. Por este motivo, é possível obter uma média dos preços de negociação dos títulos
públicos (ou pelo menos uma expectativa) diariamente.
No Selic (Sistema Especial de Liquidação e Custódia), câmara de compensação do Banco Central do Brasil,
ficam custodiadas as LTNs, NBC-Es, LFTs, BTNs e NTNs (diversas séries).
1.1 Letra do Tesouro Nacional (LTN)
As Letras do Tesouro Nacional são papéis que possuem um único fluxo de pagamento (bullet) com valor de
R$1.000,00 no vencimento. A taxa de juros paga pelas LTNs é pré-fixada, dada implicitamente pelo deságio
do seu preço de negociação. Esta taxa de juros anualizada pode ser determinada através de:
252
 1000  pzu
tx = 
 −1
 PU 
onde:
tx = taxa de juros pré-fixada do papel;
PU = preço de negociação do papel;
pzu = prazo em dias úteis restante para o vencimento do papel.
O valor de mercado de uma LTN é dado por:
PU mtm =
1000
pzu
(1 + txmerc )252
onde: txmerc é a taxa de mercado de LTNs para o prazo pzu.
A taxa de mercado de LTNs pode ser expressa através de:
(1 + txmerc ) = (1 + txlr )(1 + sc )
onde:
txlr = taxa livre de risco para o prazo pzu;
sc = spread de crédito para LTNs de prazo pzu
A ANDIMA realiza diariamente pesquisa no mercado financeiro dos preços praticados para as LTNs e
informa a taxa média praticada, calculada através de metodologia de apuração disponível em seu site.
Através destas taxas podemos calcular diretamente o PU e o spread de crédito para os papéis.
Página 22/80
1.2 Notas do Tesouro Nacional - Série D (NTN-D) e Notas do Banco Central - Série Especial
(NBC-E)
As NTN-Ds e NBC-Es são papéis emitidos pelo Tesouro Nacional e pelo Banco Central do Brasil,
respectivamente, que possuem atualização do valor nominal de R$1.000,00 na emissão definida pela
variação cambial, dada pelo valor do PTAX, e pagamentos semestrais de juros. O resgate do principal é
realizado na data de vencimento do título.
As emissões de NTN-Ds realizadas antes de 1º de setembro de 2000 e de NBC-Es realizadas antes de 27
de julho de 2000, possuem juros calculados pelo Regime de Capitalização Composta e correção cambial a
partir da data de emissão. As emissões posteriores a estas datas possuem juros calculados pelo Regime de
Capitalização Simples e correção cambial a partir de uma data-base definida na emissão do papel. Além
disso, as emissões antigas possuem o primeiro cupom ajustado ao prazo entre a emissão e o seu
pagamento, se este prazo não coincidir com o aniversário do papel. As emissões novas possuem pagamento
do primeiro cupom integral, independente da data de sua emissão.
a.
Cálculo dos cupons de emissões antigas:
Valor nominal atualizado é dado por:
VNA = 1000 ⋅
PTAX d −1
PTAX emissão−1
onde:
PTAXd-1 = PTAX do dia útil anterior ao pagamento do cupom;
PTAXemissão-1 = PTAX do dia útil anterior à data de emissão do papel.
Valor dos juros na data de pagamento:
ns


12
i


M 1 = 1 +
  −1
 100  


onde:
M1 = multiplicador de juros para o período de meses completos;
i = taxa de juros do papel;
ns = prazo decorrido, em meses completos, desde a emissão do papel ou último pagamento de juros.
1 ds
⋅


12 dcts
i



 −1
M 2 = 1 +

 100 



onde:
M2 = multiplicador de juros para o cálculo pro rata dia;
ds é o número de dias corridos desde a emissão ou desde a última data calendário mensal até a data do
respectivo pagamento;
dcts = número de dias corridos entre a última data calendário e a próxima data calendário.
No caso do dia da emissão ser diferente do dia do vencimento, utiliza-se a data calendário imediatamente
anterior à data de emissão até a próxima data calendário.
O fator final será a multiplicação dos dois fatores acima descritos:
Página 23/80
M f = (1 + M 1 ) ⋅ (1 + M 2 )  − 1
O valor dos juros pagos será:
J = VNA ⋅ M f
b.
Cálculo dos cupons de emissões novas:
Valor nominal atualizado é dado por:
VNA = 1000 ⋅
PTAX d −1
PTAX emissão−1
onde:
PTAXd-1 = PTAX do dia útil anterior ao pagamento do cupom;
PTAXemissão-1 = PTAX do dia útil anterior à data-base do papel.
Valor dos juros na data de pagamento:
M=
i
n
⋅
100 12
onde:
M = multiplicador de juros;
i = taxa de juros do papel;
n = número de meses entre pagamentos de juros, igual a 6 para as NBC-Es e NTN-Ds.
O valor dos juros pagos será:
J = VNA ⋅ M
O valor de mercado de uma NBC-E ou NTN-D é a soma dos valores presentes dos fluxos financeiros do
pagamento de cupons e do principal.




VNA ⋅ M i
VNA
+
VP = ∑ 
pz 
pz


i =1  
1 + txmerc i ⋅ i   1 + txmerc final ⋅ final 

 
360   
360 
n
onde:
VNA = valor nominal atualizado do principal;
Mi = multiplicador de juros para o i-ésimo fluxo;
txmerc i = taxa de mercado de NTN-Ds ou NBC-Es para o i-ésimo fluxo;
pzi = prazo em dias corridos do i-ésimo fluxo;
txmerc final = taxa de mercado e NTN-Ds ou NBC-Es para o prazo de vencimento do papel (pagamento do
principal);
pzfinal = prazo até o vencimento do papel (pagamento do principal).
A taxa de mercado de NTN-Ds ou NBC-Es pode ser expressa por:
Página 24/80
pzu
pzc  
pzc 

1 + tx merc
 = 1 + tx lr
(1 + sc ) 252
360  
360 

onde:
pzc = prazo da taxa em dias corridos;
pzu = prazo da taxa em dias úteis;
txlr = taxa de juros livre de risco para o prazo pzc, dada pelos ativos da BM&F.
A ANDIMA realiza diariamente pesquisa no mercado financeiro a fim de determinar as taxas praticadas no
mercado de NBC-Es e NTN-Ds para os diversos vencimentos. As taxas informadas, porém, são as Taxas
Internas de Retorno (TIR) dos papéis (considerando a mesma taxa para todos os prazos). A partir destas
taxas pode-se calcular o preço dos papéis e, sabendo as taxas de juros livres de risco, o spread de crédito
para o papel.
A divulgação da TIR, porém, ocorre em formato anualizado através da fórmula:
1


txdivulg = (1 + TIR ) 2 − 1 ⋅ 2


E, invertendo:
2
 txdivulg 
TIR = 1 +
 −1
2 

A contagem dos dias para o cálculo do PU das NBC-Es e NTN-Ds através da TIR é feito utilizando-se o
critério de dias corridos com meses de 30 dias, apropriação exponencial e ano de 360 dias. Logo, o cálculo
torna-se:

VNA ⋅ M i
PU = ∑ 
pz360 i
i =1
 (1 + TIR ) 360
n

VNA
+
pz360 f

 (1 + TIR ) 360
onde:
pz360 i = prazo do i-ésimo cupom;
pz360 f = prazo até o pagamento do principal.
Todos prazos são calculados em dias corridos com meses de 30 dias.
A precificação é realizada utilizando-se as taxas divulgadas pela ANDIMA. Porém, caso não haja divulgação
em algum dia, a precificação será realizada utilizando-se as taxas de cupom cambial do dia e o spread de
crédito determinado no último dia em que houve divulgação do preço.
1.3 Letra Financeira do Tesouro (LFT)
As Letras Financeiras do Tesouro são papéis emitidos pelo Tesouro Nacional com valor nominal de R$
1.000,00 na data da emissão (ou na data-base), corrigido diariamente pela taxa Selic divulgada pelo Banco
Central do Brasil. O resgate do principal mais os juros ocorre apenas na data de vencimento, sem
pagamentos intermediários (bullet).
O seu valor nominal atualizado (VNA) é dado por:
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n
VNA = 1000 ⋅ ∏ (1 + SELICi )
1
252
i =1
onde: n é o número de dias úteis decorridos entre a data de emissão (ou data base) da LFT e a data de
precificação e SELICi é o valor da taxa SELIC anualizada para o i-ésimo dia útil.
O valor a mercado (VP) da LFT é dado pelo seu valor nominal atualizado aplicando o spread de crédito (sc)
do papel.
VP =
VNA
pz
(1 + sc ) 252
onde: pz é o prazo em dias úteis da data da precificação até a data de vencimento do papel.
A ANDIMA divulga diariamente as taxas do spread de crédito praticadas no mercado para os vários
vencimentos de LFTs. Estas taxas são utilizadas para a precificação das LFTs.
1.4 Nota do Tesouro Nacional - Série C (NTN-C)
As Notas do Tesouro Nacional - série C são papéis emitidos pelo Tesouro Nacional que possuem valor
nominal na data de emissão (ou na data-base) igual a R$ 1.000,00 e corrigido pela variação do IGP-M da
data de emissão (ou data-base) até o mês anterior. As NTN-Cs pagam cupom semestral, calculado através
do regime de capitalização composta.
O valor nominal atualizado é dado por:
VNA = 1000 ⋅
IGP − M t
IGP − M 0
onde:
IGP-Mt = valor do número índice do IGP-M do mês anterior à data considerada;
IGP-M0 = valor do número índice do IGP-M do mês anterior à data de emissão (ou data base).
Os cupons semestrais são calculados através das seguintes fórmulas:
ns


12
i



 −1
M1 = 1 +
 100  


onde:
ns = prazo decorrido em meses desde a emissão ou desde o último pagamento de juros;
i = taxa de juros do título em porcentagem ao ano.
Caso haja necessidade de ajuste pro rata dia dos juros que extrapolarem a série de meses completos,
utilizamos:
1 ds
⋅


12 dcts
i


 −1
M 2 =  1 +
 100 



onde:
Página 26/80
ds = número de dias efetivamente decorridos desde a emissão ou desde a última data calendário mensal até
a data do respectivo pagamento;
dcts = número de dias corridos entre a última data calendário e a próxima data calendário (no caso do dia da
emissão ser diferente do dia do vencimento, utiliza-se a data calendário imediatamente anterior a data da
emissão até a próxima data calendário)
M f = (1 + M 1 ) ⋅ (1 + M 2 )  − 1
onde:
M1 = multiplicador de juros para o período de meses completos;
M2 = multiplicador de juros para o cálculo pro rata dia;
Mf é o fator final de juros.
No caso de ser necessário o ajuste pro rata dia antes do pagamento do primeiro cupom, os juros são
calculados por:

i 

M 1 =  1 +
 100 

6
12




ns
N∗
−1
 1 ds 
⋅


dct s 
6

 N ∗
12
i



M 2 =  1 +
 100  


−1
M f = (1 + M 1 ) ⋅ (1 + M 2 )  − 1
onde:
i = taxa de juros do título em porcentagem ao ano;
ns = prazo decorrido, em meses inteiros, desde a emissão até a data do cálculo;
N* é o prazo decorrido, em meses, desde a emissão até a data do primeiro pagamento do cupom de juros.
O valor dos juros pagos numa certa data será:
J = VNA ⋅ MF
O valor de mercado de uma NTN-C é a soma dos valores presentes dos fluxos financeiros do pagamento de
cupons e do principal.
n
VP = ∑
i =1
VNA ⋅ M i
(1 + tx
merc i
)
pzi
252
+
VNA
(1 + tx
merc final
)
pzi
252
onde:
VNA = valor nominal atualizado do principal;
Mi = multiplicador de juros para o i-ésimo fluxo;
txmerc i = taxa de mercado de NTN-Cs para o i-ésimo fluxo;
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pzi = prazo em dias úteis do i-ésimo fluxo;
txmerc final = taxa de mercado e NTN-Cs para o prazo de vencimento do papel (pagamento do principal);
pzfinal = prazo em dias úteis até o vencimento do papel (pagamento do principal).
Fora da data de pagamento de cupons, porém, o valor nominal deve ser atualizado para refletir a expectativa
de variação do IGP-M até a data de precificação. Esta atualização é feita por:
VNA = 1000 ⋅
pzant
IGP − M t
⋅ (1 + IGP − M % proj ) pztot
IGP − M 0
onde:
IGP-M%proj = projeção da variação do IGP-M projetada para o mês corrente;
pzant = prazo em dias corridos decorridos dentro do mês corrente;
pztot = prazo em dias corridos total do mês corrente.
A projeção da variação do IGP-M do mês corrente é divulgada pela ANDIMA, que calcula esta projeção
através de pesquisa junto ao mercado financeiro. Esta projeção será utilizada para a precificação das NTNCs.
A taxa de mercado de NTN-Cs pode ser expressa por:
(1 + txmerc ) = (1 + txlr )(1 + sc )
onde:
txlr = taxa de juros livre de risco;
sc = spread de crédito para a NTN-C.
A ANDIMA realiza diariamente pesquisa no mercado financeiro a fim de determinar as taxas praticadas no
mercado de NTN-Cs para os diversos vencimentos. As taxas informadas, porém, são as Taxas Internas de
Retorno (TIR) dos papéis (considerando a mesma taxa para todos os prazos). A partir destas taxas pode-se
calcular o preço dos papéis e, sabendo as taxas de juros livres de risco, o spread de crédito para o papel.
2 Títulos da Dívida Pública Federal Externa
Este tipo de título é emitido pelo Governo Federal para captação de recursos ou renegociação de dívidas em
moeda estrangeira. As emissões destes títulos podem ser feitas em diversas moedas, como Ien Japonês,
Marco Alemão entre outras, porém a grande maioria é realizada em Dólares Americanos e em Euros.
As principais emissões realizadas e ainda em mercado são:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Brazil Investment Bond (BIB)
Debt Conversion Bond
Discount Bond
DM 2007
Eligible Interest (EI)
Euro 2004
Euro 2005
Euro 2006
Euro 2007
Euro 2009
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•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Euro 2010
Euro 2011
EuroDM 2008
Euroeuro 2003
Eurolibra 2007
Eurolira 2017
FLIRB
FLIRB "C"(C-Bond)
Global 03/2008
Global 2004
Global 2005
Global 2006
Global 2007
Global 2008
Global 2009
Global 2010
Global 2012
Global 2020
Global 2024
Global 2027
Global 2030
Global 2040
New Money Bond
Par Bond
Samurai 04/2003
Samurai 08/2003
Samurai 2006
Samurai 2007
A taxa livre de risco utilizada para a precificação destes títulos pode ser obtida pela taxa paga para os títulos
do governo do país emissor da moeda em que os títulos forma emitidos. Porém, devido ao risco de crédito
do Governo Brasileiro no mercado financeiro mundial, deve ser acrescido um spread de crédito para
determinarmos a taxa de mercado para cada vencimento.
Como existe um mercado razoavelmente ativo para estes títulos, podemos determinar sua marcação a
mercado através de ofertas de compra e venda obtidas por meio de corretoras ou bancos que intermedeiem
os negócios ou através de feeders de informação como Reuters e Bloomberg.
3 Títulos Privados
Os títulos privados são papéis emitidos por empresas privadas com o objetivo de captar recursos no
mercado. Existem vários tipo de instrumentos utilizados, alguns sendo restritos ao tipo de empresa que está
emitindo-os, como os CDBs que podem ser emitidos apenas por instituições financeiras.
3.1 Ativos registrados na CETIP (Central de Custódia e Liquidação Financeira de Títulos)
A maior parte dos títulos privados negociados no mercado financeiro são registrados na Cetip. O Sistema
Nacional de Ativos - SNA da Cetip (e o Sistema de Letras Hipotecárias - SLH, para Letras Hipotecárias)
aceita o registro dos seguintes ativos:
•
•
•
Certificado de Depósito Bancário - CDB;
Recibo de Depósito Bancário - RDB;
Letra de Câmbio - LC;
Página 29/80
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Depósito Interfinanceiro - DI;
Depósito a Prazo com Garantia Especial do Fundo Garantidor de Crédito – DPGE;
Cédula de Debêntures - CD;
Certificado de Recebíveis Imobiliários - CRI;
Letra Hipotecária - LH;
Para outros ativos, existem sistemas específicos na Cetip, como:
CINE - Sistema de Certificado de Investimento Audiovisual;
CPR - Sistema de Cédula de Produto Rural;
MOP - Sistema de Moedas de Privatização;
NOTA - Sistema de Notas Promissórias;
SAC - Sistema de Ativos Cambiais (Export Notes);
SCC - Sistema de Cessão de Crédito;
SCF - Sistema de Cotas de Fundo;
SCO - Sistema de Contrato de Opção;
SND - Sistema nacional de Debêntures.
O cálculo de ativos registrados na Cetip segue métodos padronizados em manual para atualização de
valores, cálculo de juros e de amortização.
A atualização do principal pode ser realizada pelos seguintes parâmetros:
•
•
•
•
IGP-M
IGP-DI
TJLP (Taxa de Juros de Longo Prazo)
TR (Taxa Referencial)
Podem existir três tipos de eventos para os ativos: incorporação (dos juros), pagamento de juros e
amortização.
A incorporação ocorre quando o valor dos juros devidos é incorporado ao valor do principal. O pagamento
dos juros, quando eles são efetivamente pagos e a amortização quando uma parte do principal é paga (junto
aos juros ou separadamente).
Quando ocorre incorporação dos juros ou pagamento de amortização, o saldo do valor nominal é alterado. O
cálculo dos próximos eventos ocorre, então, sobre o saldo do valor nominal (SVNA) atualizado.
O valor nominal remanescente após uma parcela da amortização ou incorporação de juros é dado por:
SVNA i = SVNA i −1 − Ai
SVNA i = SVNA i −1 + J i
onde:
SVNAi-1 = saldo do valor nominal atualizado antes do pagamento da i-ésima parcela da amortização;
Ai = valor da i-ésima parcela da amortização;
Ji = valor da i-ésima parcela de incorporação de juros.
O valor dos juros pode ser fixo, flutuante (pela taxa DI Over, taxa Selic ou taxa Anbid) ou composto (uma
parte fixa e uma parte flutuante).
3.2 Fórmulas de atualização do principal
O Valor Nominal Atualizado (VNA) será dado pelo Valor Nominal de Emissão ou Valor Inicial (VI) aplicado o
fator de atualização C.
Página 30/80
VNA = VI ⋅ C
Se houve amortização ou incorporação dos juros, a atualização é calculada sobre o saldo do valor nominal
atualizado.
SVNA i = SVNA i −1 ⋅ C
onde: SVNA i-1 é o saldo do valor nominal antes da atualização.
3.2.1 IGP-M e IGP-DI
A periodicidade de atualização do principal pelo IGP-M e pelo IGP-DI é mensal. A periodicidade do
agendamento de eventos (juros e amortizações, se houver) será anual, pelo critério data a data.
O fator de atualização (C) será dado por:
C=
IGPn
IGP0
onde:
IGP0 = valor do número índice do IGP-M ou IGP-DI do mês imediatamente anterior ao mês da emissão,
amortização ou incorporação;
IGPn = valor do número índice do IGP-M ou IGP-DI do mês imediatamente anterior ao mês de atualização,
pagamento ou vencimento.
No caso da precificação, geralmente será feita em datas distintas aos eventos, logo temos que fazer uma
atualização pró-rata até a data atual.
Logo, o Valor Nominal Atualizado para precificação será dado por:
pzdec
IGPn
C=
IGP0
 IGPproj  pztot
⋅

 IGPn 
onde:
IGPproj = valor da projeção do número índice do mês atual;
pzdec = prazo decorrido dentro do mês;
pztot = prazo total no mês.
3.2.2 TJLP
A periodicidade de atualização do principal pela TJLP é diária. O agendamento de eventos (juros e
amortizações) sempre será coincidente com a "data de aniversário" do ativo, entendida como o dia do mês
correspondente à data de vencimento em cada mês. A periodicidade, em número de meses, fica a critério do
emissor.
pz p


360
 TJLPp
 

C = ∏ 
+ 1 
p =1  100
 


n
onde:
TJLPp = Taxas de Juros de Longo Prazo vigentes entre a emissão, a última amortização ou incorporação e a
data de atualização, pagamento ou vencimento do ativo;
Página 31/80
n = número de TJLPs consideradas na atualização do ativo;
pzp = prazo em dias corridos entre a data de emissão, início de vigência das TJLPp, última amortização ou
incorporação, pagamento, vencimento ou final de vigência da TJLPp, o que ocorrer primeiro.
Para a precificação dos ativos com este índice de atualização, devemos considerar o prazo até a data de
precificação.
3.2.3 TR
A periodicidade de atualização do principal pela TR é diária. O agendamento de eventos (juros e
amortizações) sempre será coincidente com a "data de aniversário" do ativo, entendida como o dia do mês
da data de vencimento em cada mês. A periodicidade, em número de meses, fica a critério do emissor.
pz p


pz
 TR p
 tp 

C = ∏ 
+ 1 
p =1  100
 


n
onde:
n = número total de TRs consideradas entre a data de emissão e a data de atualização, pagamento ou
vencimento;
TRp = TRs das datas de emissão e de aniversários mensais com base no dia do mês da data de vencimento
do ativo, divulgadas pelo Banco Central do Brasil entre a data de emissão, última amortização ou
incorporação e a data de atualização, pagamento ou vencimento;
pzp = número de dias entre a data de emissão ou data de aniversário mensal anterior e a data de atualização
da TRp;
pzt p = número total de dias úteis do período de vigência da TRp.
Do mesmo modo que os índices anteriores, a atualização para a precificação deve ser feita até a data de
precificação.
3.3 Fórmulas de cálculo dos juros
3.3.1 Juros flutuantes
a.
Flutuação pelo DI Over ou Taxa Selic
A periodicidade de apropriação dos juros pela flutuação do DI Over ou Taxa Selic é diária. O valor dos juros
é calculado por:
J = SVNA ⋅ ( Fover ⋅ Fspread − 1)
onde:
SVNA = Saldo do Valor Nominal Atualizado;
Fover = fator de taxas DI Over ou Taxa Selic;
Fspread = Fator de Spread, conforme calculado no item Juros Fixos ou Spread.
O valor de Fover é dado por:
Página 32/80
1


 
 p  OVER p  252  
= ∏
⋅ 1 +
 − 1 + 1

100 
p =1 100

 

n
Fover
onde:
n = número de taxas DI Over ou Selic utilizadas;
p = percentual aplicado sobre as taxas, OVERp é a taxa DI Over ou Selic divulgada diariamente.
No caso do fator p ser diferente de 100%, não pode ser aplicado o fator de spread Fspread.
b.
Flutuação pela Taxa Anbid
A periodicidade de apropriação dos juros pela Taxa Anbid é diária. O valor dos juros é calculado por:
J = SVNA ⋅ ( FAnbid ⋅ Fspread − 1)
onde:
FAnbid = fator de taxas Anbid;
Até 01/10/2000, as taxas Anbid eram expressas em dias corridos e ano de 360 dias. A partir desta data, elas
passaram a ser expressas em dias úteis e anos de 252 dias.
Para taxas Anbid até esta data, o fator Anbid é dado por:
FAnbid
pzdec


pztot
pztot



n 
360

  Anbid p
= ∏  
+ 1 

 100

p =1  




 

onde:
n = número de taxas Anbid utilizadas;
Anbidp = taxa Anbid expressa ao ano de 360 dias;
pztot = número de dias corridos de vigência da taxa Anbidp;
pzdec = número de dias corridos do início da vigência da taxa Anbidp, ou último evento de juros e a data da
atualização ou final de vigência da taxa Anbidp, o que ocorrer primeiro.
Para taxas Anbid posteriores a esta data, o fator Anbid é dado por:
FAnbid
pzdec


pztot
pztot



n 
252

  Anbid p
= ∏  
+ 1 

 100

p =1  




 

onde:
Página 33/80
n = número de taxas Anbid utilizadas;
Anbidp = taxa Anbid expressa ao ano de 252 dias;
pztot = número de dias úteis de vigência da taxa Anbidp;
pzdec = número de dias úteis do início da vigência da taxa Anbidp, ou último evento de juros e a data da
atualização ou final de vigência da taxa Anbidp, o que ocorrer primeiro.
c.
Juros fixos ou spread
Os juros fixos referem-se à taxa de juros de um ativo pré-fixado ou à parcela de juro fixo acrescida ao
rendimento de um ativo referenciado em taxas flutuantes.
A fórmula genérica do fator de juros (Fjuros) ou fator de spread (Fspread) é:
Fjuros = Fspread
pzdec


n
 pztot 
  tx
N


=  
+ 1 

  100  



onde:
tx = taxa de juros ou taxa de spread informada;
N = número de dias de expressão da taxa (360 ou 365 dias corridos ou 252 dias úteis);
n = diferença entre a data de emissão, incorporação ou último pagamento e a data do próximo pagamento de
juros (em dias corridos ou úteis, de acordo com a expressão da taxa) ou expressa em número de meses,
determinando a periodicidade do pagamento multiplicado por 30 ou 21 (de acordo com a expressão da taxa);
pzdec = prazo decorrido (em número de dias úteis ou corridos, de acordo com a expressão da taxa) entre a
emissão, incorporação ou último pagamento e a data de atualização, pagamento ou vencimento e );
pztot = prazo total (em número de dias úteis ou corridos, de acordo com a expressão da taxa) entre a
emissão, incorporação ou último pagamento e o próximo pagamento de juros.
3.3.2 Fórmulas de cálculo de amortização
A amortização pode ser calculada de 3 (três) formas distintas:
•
•
•
a.
amortização programada;
amortização constante e
amortização variável.
Amortização programada
Consiste na aplicação de percentual fixo sobre o saldo do valor nominal atualizado, em períodos uniformes.

 tx  
Ai =  SVNA ⋅  am  
 100  

onde:
Ai = valor unitário da i-ésima amortização;
SVNA = saldo do valor nominal atualizado;
txam = taxa fixa definida para amortização.
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b.
Amortização constante
Consiste na aplicação de um percentual fixo sobre o valor nominal de emissão ou após incorporação, em
períodos uniformes.
  tx  
Ai = VI ⋅  am  ⋅ C 
  100  
onde:
VI = saldo do valor nominal atualizado;
txam = taxa fixa definida para amortização;
C = fator de atualização desde a data de emissão ou incorporação de juros até a data de pagamento ou
precificação.
c.
Amortização variável

 txam i
Ai =  SVNA ⋅ 
 100




onde:
SVNA = saldo do valor nominal atualizado;
txam i = taxa definida para a i-ésima amortização.
3.4 CDBs a Mercado
3.4.1 CDB pós-fixados em CDI
Descrição: CDB com juros pós-fixados indexados ao CDI.
Fontes de dados: Negócios realizados.
Obtenção: A marcação a mercado de um CDB indexado ao CDI é feita da seguinte maneira:
Vm =
VN i × J × Y
Z
sendo:
x
DU x
1



J = ∏ (CDI k + 1) 252 − 1 * %CDI + 1 × (1 + S 0 ) 252


k =1  
w
DU w
1



Y = ∏ (PREi + 1) 252 − 1 * %CDI + 1 × (1 + S 0 ) 252


m =0 
Página 35/80
DU w
1



Z = ∏ (PREi + 1) 252 − 1 * % MTM + 1 × (1 + S1 ) 252


m =0 
w
CDIk = taxa do CDI para a data k;
DUx = número de dias úteis entre a emissão do CDB e a data do cálculo;
DUw = número de dias úteis entre a data do cálculo e o vencimento do pagamento i;
PREBiB = taxa pré-fixada para até o vencimento do pagamento i;
%CDI = percentual do CDI ao qual o CDB foi emitido;
SB0B = sobretaxa (spread) ao qual o CDB foi emitido;
%MTM = percentual do CDI de mercado;
SB1B = sobretaxa (spread) de mercado;
Vm = valor de mercado;
Y, Z e J = taxa anual (exponencial para 252 dias úteis) em %;
VNBiB = valor nominal do fluxo “i” do CDB.
A determinação do spread de mercado em percentual do CDI (%MTM) ou em “sobretaxa” de mercado (S1) é
realizada da seguinte maneira:
a) CDB com liquidez diária (cláusula “S”)
Quando houver o registro da cláusula “S” de recompra para CDB’s na CETIP, o título será marcado por sua
taxa de emissão até o seu vencimento. Na fórmula anterior, %MTM = %CDI e S1 = S0.
b) CDB sem liquidez diária
Para esses títulos são utilizadas a curva de juros pré-fixada em reais e spreads de mercado obtidos segundo
a descrição do Apêndice III.
c) CDB subordinados
Para esses títulos, também são utilizadas a curva de juros pré-fixada em reais e spreads de mercado obtidos
segundo a descrição do Anexo V. A tabela gerada para a determinação dos spreads de mercado para os
CDB subordinados é diferente da tabela gerada para a precificação dos CDB sem liquidez diária.
Método Alternativo: Se, eventualmente, houver informações insuficientes ou irreais dos spreads de
mercado usados na precificação de tais títulos, será adotado procedimento alternativo. Em tal hipótese,
serão utilizados feeders como fonte de mercado e, em último caso, será utilizado um prêmio de risco definido
em Comitê de Risco de Crédito para o título em questão.
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3.4.2 CDB Pré-fixados
Descrição: CDB com juros pré-fixados.
Fontes de dados: Curva de Juros em Reais.
Obtenção: É calculado o valor presente do título para uma curva de S% da curva Pré. Para tal, utiliza-se a
seguinte fórmula:
Vm =
Vf
1



 (1 + Y ) 252 − 1 * S + 1



DU
Vf = valor futuro;
Y = taxa pré para o prazo (exponencial para 252 dias úteis) em % a.a.;
S = percentual da pré (já considerando prêmio de risco);
DU = dias úteis até o vencimento do título.
Para a determinação do prêmio de risco S, são utilizados os mesmos spreads de mercado obtidos segundo a
descrição do Apêndice III.
Método Alternativo: Se, eventualmente, houver informações insuficientes ou irreais dos spreads de
mercado usados na precificação de tais títulos, será adotado procedimento alternativo. Em tal hipótese,
serão utilizados feeders como fonte de mercado e, em último caso, será utilizado um prêmio de risco definido
em Comitê de Risco de Crédito para o título em questão.
3.5 Valor de mercado de Debêntures
O valor de mercado de um papel registrado no Cetip, calculado conforme os parâmetros apresentados, é
dado por:
n
i =1
(1 + txlr i )
pzi
252
(1 + sc i )
Aj
m
Ji
VP = ∑
pzi
252
+∑
j =1
pz j
pz j
252
252
(1 + tx ) (1 + s )
lr j
c j
onde:
n = número de pagamentos de juros;
m = número de amortizações;
Ji = valor do i-ésimo pagamento de juros;
pzi = prazo restante para o pagamento da i-ésima parcela de juros Ji;
txlr i = taxa de juros livre de risco para o prazo pzi;
sc i = spread de crédito para o prazo pzi;
Página 37/80
Aj = valor do j-ésimo pagamento de amortização;
pzj = prazo restante para o pagamento da j-ésima parcela de juros Aj;
txlr j = taxa de juros livre de risco para o prazo pzj;
sc j = spread de crédito para o prazo pzj.
As taxas de juros livres de risco são dadas pelas curvas de juros determinadas pela área de riscos.
Conforme explanado acima, os ativos privados possuem uma formação de preços pouco transparente,
sendo difícil o levantamento do seu spread de crédito. Para estes casos, exceto Debêntures, o spread de
crédito é determinado no início da operação e mantido constante até seu vencimento ou venda.
Para algumas debêntures, a Andima está realizando a divulgação da pesquisa que realiza junto a um certo
número de instituições financeiras e corretoras de valores sobre o preço justo dos títulos. Para estas
debêntures será utilizado o preço médio divulgado como preço de mercado.
Para as debêntures que não possuem o preço divulgado pela Andima, calcula-se o spread de crédito através
dos negócios realizados no SND (Sistema Nacional de Debêntures) e indicados no site da Internet
www.debentures.com.br, para o último dia em que foi registrada negociação com a debênture indicada e
mantido constante até a próxima negociação. Para debêntures que possuem pouca negociação, o spread de
crédito deve ser calculado na data de emissão ou repactuação e utilizado para a precificação.
No caso de haver revisão de rating de uma debênture, o spread de crédito deve ser reavaliado.
a.
Ativos referenciados em taxa DI - Over e Taxa Selic.
Conforme apresentado anteriormente, os ativos referenciados em taxa DI-Over e taxa Selic podem ser
analisados através de seu spread de risco em relação aos títulos públicos federais referenciados em taxa
Selic ou CDI. Deste modo, o preço do título é determinado por uma das duas formas (dependendo da
referência do título público):
pztot
(1 + tx ) 252
(1 + s )
pz pos
252
tp
pz pos
(1 + sc ) 252
OVERacum pos p
pz pos
OVERacum pos tp ⋅ (1 + sc ) 252
3.6 Depósito a Prazo com Garantia Especial do Fundo Garantidor de Crédito
O depósito a prazo com garantia especial proporcionado pelo Fundo Garantidor de Crédito (FGC) está
disposto pela Resolução 3.692/09 do CMN, alterada pela Resolução 3.793 do CMN.
Para a determinação do prêmio de risco S, são utilizados os mesmos spreads de mercado obtidos segundo a
descrição do Apêndice V.
3.6.1 DPGE pós-fixados em CDI
Descrição: DPGE com juros pós-fixados indexados ao CDI.
Página 38/80
Fontes de dados: Negócios realizados.
Obtenção: A marcação a mercado de um DPGE indexado ao CDI é feita da seguinte maneira:
Vm =
VN i × J × Y
Z
sendo:
x
DU x
1



J = ∏ (CDI k + 1) 252 − 1 * %CDI + 1 × (1 + S 0 ) 252


k =1  
w
DU w
1



Y = ∏ (PREi + 1) 252 − 1 * %CDI + 1 × (1 + S 0 ) 252


m =0 
w
DU w
1



Z = ∏ (PREi + 1) 252 − 1 * % MTM + 1 × (1 + S1 ) 252


m =0 
CDIk = taxa do CDI para a data k;
DUx = número de dias úteis entre a emissão do DPGE e a data do cálculo;
DUw = número de dias úteis entre a data do cálculo e o vencimento do pagamento i;
PREBiB = taxa pré-fixada para até o vencimento do pagamento i;
%CDI = percentual do CDI ao qual o DPGE foi emitido;
SB0B = sobretaxa (spread) ao qual o DPGE foi emitido;
%MTM = percentual do CDI de mercado;
SB1B = sobretaxa (spread) de mercado;
Y, Z e J = taxa anual (exponencial para 252 dias úteis) em %;
VNBiB = valor nominal do fluxo “i” do DPGE.
3.6.2 DPGE pós-fixados em Índices de Inflação
Descrição: DPGE com juros pós-fixados indexados a Índices de Inflação.
Fontes de dados: Negócios realizados e Curva de Juros em Reais da BM&F.
Obtenção: A marcação a mercado de um DPGE indexado a Índices de Inflação é feita da seguinte maneira:
sendo:
Página 39/80
VP = VI ⋅
pz
NI t
⋅ (1 + tx ) 252
NI 0
onde:
VI = o valor inicial da operação,
NI0 = último número índice do índice de preços de atualização disponível na data anterior ao início da
operação;
NIt = último número índice do índice de preço de atualização disponível na data anterior à valorização da
operação;
tx = taxa de juros da operação;
pz = o prazo decorrido, em dias úteis, da operação.
Marcação a mercado:
pzdec
NI
VP = VI ⋅ t
NI 0
pztotal
 NI  pz prox
(1 + tx ) 252
⋅  t +1 
⋅
pz final
pz final
 NI t 
252
1
+
tx
⋅
1
+
s
( lr )
( c ) 252
onde:
NIt+1 = previsão do próximo número índice divulgado;
pzdec = prazo decorrido em dias úteis da última divulgação do número índice até a data de precificação;
pzprox = prazo em dias úteis entre a data de divulgação de NIt até a data prevista para a divulgação do
próximo número índice;
pztotal = prazo total da operação;
txlr = cupom do índice de preços de atualização para o prazo restante da operação;
pzfinal = prazo restante até o final da operação;
sc = spread de crédito.
3.6.3 DPGE Pré-fixados
Descrição: DPGE com juros pré-fixados.
Fontes de dados: Curva de Juros em Reais da BM&F.
Obtenção: É calculado o valor presente do título para uma curva de S% da curva Pré. Para tal, utiliza-se a
seguinte fórmula:
Vm =
Vf
1



(1 + Y ) 252 − 1 * S + 1



DU
Vf = valor futuro;
Página 40/80
Y = taxa pré para o prazo (exponencial para 252 dias úteis) em % a.a.;
S = percentual da pré (já considerando prêmio de risco);
DU = dias úteis até o vencimento do título.
3.7 Direitos Creditórios
A definição de direitos creditórios abrange todos os créditos (e títulos representativos desses créditos)
originários de operações nos segmentos financeiro, comercial, industrial, imobiliário, de hipotecas, de
arrendamento mercantil e de prestação de serviços, bem como direitos e títulos representativos de créditos
de natureza diversa.
3.7.1 Pré-Fixados
A taxa de juros dada implicitamente pelo deságio do seu preço de negociação.
O valor atual da sessão do direito creditório é dado por:
VF
PU mtm =
(1 + txneg )
pz DU
252
onde:
VF = valor final a receber;
txneg = taxa negociada do Direito Creditório para o prazo pzdu;
pzdu = período em dias úteis restante para o vencimento do direito.
3.7.2 Pós-Fixados
O Valor Nominal Atualizado (VNA) será dado pelo Valor Nominal de Emissão da sessão ou Valor Inicial (VI)
aplicado o fator de atualização C.
VNA = VI ⋅ C
3.7.2.1 CDI - SELIC
a.
Acumulação do índice
Num certo período, a taxa SELIC ou CDI (ou um percentual dela) acumulada é dada por:
n
1
 
 
OVERacum = ∏ 1 + (1 + OVERi ) 252 − 1 ⋅ p  − 1

 
i =1 
onde:
n = número de dias no período considerado;
p = percentual da taxa;
OVERi = taxa SELIC/CDI anualizada para o i-ésimo dia.
O valor futuro (VF) de uma operação indexada à taxa SELIC/CDI (ou um percentual dela) e com taxa de
juros tx, visto da data da precificação, será dada por:
Página 41/80
pzant
pz pos
VF = VI ⋅ OVERacum ant p ⋅ (1 + tx ) 252 ⋅ OVERacum pos p ⋅ (1 + tx ) 252
onde:
VI = valor inicial da operação;
OVERacum ant p = taxa SELIC/CDI (ou percentual dela) acumulada até a data da precificação;
OVERacum pos p = taxa SELIC/CDI (ou percentual dela) acumulada projetada da data da precificação até a data
final;
pzant = prazo em dias úteis do início da operação até a data da precificação;
pzpos = prazo em dias corridos da data da precificação até o vencimento da operação.
Para operações que utilizem um percentual da taxa SELIC/DI diferente de 100%, não é permitida a utilização
de taxas de juros, tornando-se simplesmente:
b.
Cálculo do spread
Os juros fixos referem-se à taxa de juros de um ativo pré-fixado ou à parcela de juro fixo acrescida ao
rendimento de um ativo referenciado em taxas flutuantes.
A fórmula genérica do fator de juros (Fjuros) ou fator de spread (Fspread) é:
Fjuros = Fspread
pzdec


n
pztot


  tx

N

=  
+ 1 

  100  



onde:
tx = taxa de juros ou taxa de spread informada;
N = número de dias de expressão da taxa (360 ou 365 dias corridos ou 252 dias úteis);
n = diferença entre a data de emissão e a data do pagamento da sessão (em dias corridos ou úteis, de
acordo com a expressão da taxa) ou expressa em número de meses, determinando a periodicidade do
pagamento multiplicado por 30 ou 21 (de acordo com a expressão da taxa);
pzdec = prazo decorrido (em número de dias úteis ou corridos, de acordo com a expressão da taxa) entre a
emissão e a data de vencimento);
pztot = prazo total (em número de dias úteis ou corridos, de acordo com a expressão da taxa) entre a emissão
e a data do pagamento da sessão.
c.
Flutuação pelo DI Over ou Taxa Selic
A periodicidade de apropriação dos juros pela flutuação do DI Over ou Taxa Selic é diária. O valor dos juros
é calculado por:
J = SVNA ⋅ ( Fover ⋅ Fspread − 1)
onde:
Fover = fator de taxas DI Over ou Taxa Selic;
Página 42/80
3.7.2.2 Índices de Inflação
a.
Acumulação do índice
A periodicidade de atualização do principal pelos Índices de inflação é mensal.
O fator de atualização (C) será dado por:
C=
In
I0
onde:
I0 = valor do número índice do indexador do mês imediatamente anterior ao mês da emissão;
In = valor do número índice do mês imediatamente anterior ao mês de atualização ou vencimento.
No caso da precificação, geralmente será feita em datas distintas às datas de divulgação dos índices, logo
temos que fazer uma atualização pró-rata até a data atual.
Logo, o Valor Nominal Atualizado para precificação será dado por:
I I
C = n ×  proj
I0  In
pzdec
 pztot


VNA = VI × C
onde:
Iproj = valor da projeção do número índice do mês atual;
pzdec = prazo decorrido dentro do mês;
pztot = prazo total no mês.
b.
Cálculo do spread
Idem ao item 3.6.2.1.
c.
Valor Atual
O valor atualizado é dado pela união das rentabilidades do spread e do Valor Nominal Atualizado:
VA = VNA × Fspread
3.8 Debêntures
Debêntures são valores mobiliários representativos de dívida de médio e longo prazo que asseguram a seus
detentores (debenturistas) direito de crédito contra a companhia emissora. A captação de recursos no
mercado de capitais, via emissão de debêntures, pode ser feita por Sociedade por Ações (S.A.), de capital
fechado ou aberto. Entretanto, somente as companhias abertas, com registro na CVM – Comissão de
Valores Mobiliários, podem efetuar emissões públicas de debêntures.
Quanto à classificação, existem dois tipos de debêntures: simples e conversíveis em ações. As debêntures
simples são títulos da dívida tradicional, que pagam juros e são resgatadas em dinheiro na data do
vencimento. As debêntures conversíveis são aquelas que podem ser convertidas em ações, segundo
Página 43/80
condições estabelecidas previamente e reúne para o investidor as vantagens de dois tipos de aplicações
financeiras: renda fixa e renda variável.
As debêntures podem ser emitidas sob a forma de debêntures nominativas ou escriturais (as debêntures
endossáveis foram extintas com o advento da Lei 8.021/90, que extinguiu todos os títulos de captação ao
portador ou nominativos-endossáveis). Na realidade, as debêntures escriturais também são nominativas, no
entanto, convencionou-se chamar de nominativas as debêntures não escriturais, cujo registro e controle das
transferências são feitos pela companhia (ou por instituição financeira contratada para tanto) nos Livros de
Registro de Debêntures Nominativas.
Nominativas: No caso de debêntures nominativas, o crédito do debenturista pode ser representado pelo
certificado, mas a transmissão de sua propriedade se dá, efetivamente, pelo registro da operação no Livro de
Registro de Debêntures Nominativas da companhia, e não pela simples transferência do certificado. Em
geral se registra apenas um debenturista, o CETIP, e este sistema realiza as demais transferências.
Escriturais: As debêntures escriturais, por sua vez, são aquelas cuja custódia e escrituração é feita por
instituição financeira autorizada pela CVM para prestar tais serviços. A propriedade de debêntures escriturais
se transfere pelo lançamento efetuado pela instituição financeira, responsável pelo envio de extratos da
conta de depósito de debêntures aos respectivos debenturistas. As condições para concessão da
autorização para prestação de serviços de custódia e escrituração de valores mobiliários pela CVM
encontram-se previstas na Instrução CVM 89, de 8 de novembro de 1988.
Tanto debêntures nominativas como debêntures escriturais podem ser custodiadas na CETIP. Neste caso, a
CETIP constará do Livro de Registro de Debêntures Nominativas ou perante a instituição custodiante como
proprietária fiduciária das debêntures, em se tratando, respectivamente, de debêntures nominativas
registradas ou escriturais.
Certificado: É o título representativo do crédito e documento necessário e suficiente para a cobrança dos
direitos nele expressos. Como tal é autônomo, independendo da respectiva causa, valendo na exata
literalidade dos seus termos.
As debêntures ainda podem ser classificadas quanto ao tipo de garantia, sendo:
Subordinada - É aquela que reconhece preferência tão somente aos acionistas da empresa, no ativo
remanescente, em caso de haver liquidação da sociedade. Esta classe de debênture não possui limites para
emissão. Por tais características as debêntures subordinadas deverão contar com maiores vantagens para
os debenturistas no que concerne ao pagamento dos juros e prêmio face ao risco envolvido.
Quirografária - É aquela cujo título não goza de nenhuma garantia real sobre o ativo da empresa ou de
terceiros, nem mesmo qualquer tipo de privilégio geral ou especial sobre o ativo da empresa ou de empresa
da sociedade a que ela pertença. Esta classe de debênture tem seu limite fixado ao valor do capital social da
Companhia, igualando-se aos demais credores quirografários da Empresa, no caso de sua liquidação
Garantia Flutuante - Assegura à debênture privilégio geral sobre o ativo da emissora, não impedindo,
contudo, a negociação dos bens que compõem esse ativo. Tal garantia é constituída por todo o ativo da
companhia emitente, ativo este que pode ser alterado no curso dos negócios da companhia até o prazo de
vencimento das debêntures. Os bens objeto da garantia flutuante não ficam vinculados à emissão, de tal
sorte que a companhia poderá dispor dos mesmos, sem prévia autorização dos debenturistas. A garantia
flutuante assegura a estes, privilégio geral sobre o ativo da sociedade existente por ocasião do vencimento
do contrato de mútuo que se fez com a emissão das debêntures. Assim, os debenturistas terão direito ao
recebimento de seus respectivos créditos antes dos credores quirografários, subordinando-se, entretanto,
aos titulares de debêntures com garantia real. Saliente-se que as garantias poderão ser cumulativas, ou seja,
as debêntures poderão ser emitidas simultaneamente com garantia real e flutuante. As debêntures com
garantia flutuante são preferidas, em caso de liquidação da empresa:
Página 44/80
•
•
•
pelas debêntures de emissão ou emissões anteriores, estabelecendo-se a prioridade pela data da
inscrição na escritura de emissão, ocorrendo igualdade, para as séries de mesma emissão,
pelos créditos com direitos reais de garantia de credores hipotecários, pignoratícios e anticresistas,
quanto às hipotecas, aos penhores e às anticreses regularmente inscritas.
pelos créditos com privilégio especial sobre determinados bens, desde que anteriores e
regularmente inscritos.
Neste caso a emissão está limitada a até 70% do ativo (reduzido do montante das dívidas garantidas por
direitos reais), caso o valor da emissão supere o do capital social.
Garantia Real - São debêntures garantidas por hipoteca, caução, penhor ou anticrese sobre bens da própria
companhia ou oferecidos por terceiros e que ficarão vinculados à emissão.A hipoteca é direito real de
garantia em virtude do qual um bem imóvel assegura ao credor o pagamento de uma dívida. O penhor é
direito real de garantia através do qual um bem móvel (ou imóvel por acessão) é transferido ao credor (em
regra) para garantia de uma dívida, sendo a caução a espécie de penhor sobre direitos (bens incorpóreos),
tais como os títulos de crédito. Por fim, a anticrese é direito real sobre imóvel alheio, em virtude do qual o
credor detém a posse do bem para perceber-lhe os frutos (em regra, aluguéis) e imputá-los no pagamento de
sua dívida. Os bens oferecidos em garantia deverão estar detalhadamente descritos e especificados na
escritura de emissão, para perfeito conhecimento dos debenturistas, sendo que a garantia oferecida deverá
ser registrada perante o Cartório competente (Registro de Imóveis e/ou Registro de Títulos e Documentos).
Caso as debêntures tenham garantia real de terceiros, e conforme for expresso na escritura de emissão, elas
poderão ser, em relação à empresa, debêntures quirografárias ou subordinadas.
Em se tratando de garantia real, pode o valor do empréstimo ser superior ao capital social, porém, limitado a
80% (oitenta por cento) do valor dos bens gravados, já que a garantia real dá grande segurança ao credor,
respondendo pela dívida contraída pela empresa. A regra será observada, ainda mesmo que os bens dados
em garantia não sejam de propriedade da empresa emitente. Quando ultrapassar o total do Capital Social, o
limite de 80% (oitenta por cento) do valor dos bens dados em garantia para emissão de debêntures, poderá
ser determinado em relação à situação do patrimônio da empresa depois de investido o produto da emissão;
neste caso, os recursos ficarão sob o controle do agente fiduciário dos debenturistas e serão entregues à
empresa, observados os limites de 80% (oitenta por cento) do valor dos bens gravados, à proporção que for
sendo aumentado o valor da garantia, face às imobilizações ocorridas.
Garantia Fidejussória - Oferece ao título a coobrigação por fiança, de uma terceira pessoa, geralmente na
forma de garantia acessória. Muito embora não estejam previstas na Lei das Sociedades Anônimas,
juridicamente é possível a constituição de garantias fidejussórias quando da emissão de debêntures. O aval
não é instituto adequado para se assegurar uma emissão de debêntures, porquanto se trate de garantia de
natureza cambiária. A debênture, por seu turno, não é título de crédito de natureza cambiária, não tendo
requisitos quanto à forma de sua representação (podendo ser escritural e prescindir de certificado), ao
contrário do que ocorre com a nota promissória ou a letra de câmbio. A exemplo das ações, a debênture
apenas traduz a fração de participação de determinado sujeito em um crédito maior representado pela
escritura de emissão. Debêntures de qualquer espécie podem contar com garantia fidejussória por fiança. A
fiança é regida pelas normas gerais de direito civil e não implica qualquer modificação ou alteração do crédito
por debêntures em face da companhia, podendo ser conferida por pessoas físicas ou jurídicas, sociedades
integrantes ou não do mesmo grupo da companhia emissora. A fiança não se confunde com a solidariedade
entre devedores. Naquela, o devedor é subsidiariamente responsável pelo cumprimento da obrigação e o
credor é obrigado a excutir primeiramente os bens do devedor principal, a menos que, no instrumento da
fiança, o fiador renuncie a tal benefício, chamado benefício de ordem. Quando há solidariedade, por outro
lado, o devedor e o garantidor ficam na mesma situação perante o credor, que poderá demandar o
cumprimento da obrigação de um ou do outro, ou de ambos, a seu exclusivo critério. Esta espécie de
garantia oferece, efetivamente, uma maior responsabilidade por parte da emissora das debêntures, pela
liquidação das obrigações decorrentes da emissão. O mais usado no mercado é o caso em que a
coobrigação é assumida por uma pessoa jurídica, no caso uma instituição financeira, Banco de
Desenvolvimento ou de Investimento. Há casos, também, em que a concessão da fiança é dada por
acionistas da empresa ou até mesmo por outra empresa pertencente ao mesmo grupo.
Página 45/80
A emitente dos títulos pode, até mesmo, oferecer à coobrigação da dívida, garantias integrantes de seu ativo.
Se for oferecida à debênture a coobrigacão, por fiança, a uma debênture que prefira apenas aos acionistas,
em caso de liquidação da empresa, (debêntures subordinadas) não existirá limites para emissões destas
debêntures. Por outro lado, se as debêntures tiverem características quirografárias o valor de sua emissão
estará limitado ao valor do capital social da empresa.
A possibilidade de a emissora determinar o fluxo de amortizações e as formas de remuneração dos títulos é
o principal atrativo das debêntures. Essa flexibilidade permite que as parcelas de amortização e as condições
de remuneração se ajustem ao fluxo de caixa da companhia, ao projeto que a emissão está financiando - se
for o caso - e às condições de mercado no momento da emissão.
3.8.1 Debêntures à Mercado
Seguimos as escrituras das debêntures, entretanto com pequenas modificações, para os fundos de
investimentos ou para marcação à mercado, sendo elas:
•
Base de cálculo 252;
•
Para debêntures indexadas a índices de preços, usamos as projeções divulgadas no site da
ANBIMA.
Para definir a taxa de mercado, usaremos o preço médio de negociação da debênture divulgado no site
www.debentures.com.br , sempre que houver negociação, salvo, após análise, quando for identificado que a
operação não representa as expectativas do mercado.
3.9 Derivativos
De acordo com o IAS2 39 §10º, "derivativo é um instrumento financeiro:
•
Cujo valor muda em resposta a uma determinada taxa de juros, preço de ação, preço de
commodity, taxa de câmbio, índice de preços ou taxas, rating de crédito ou índice de crédito ou variável
similar (algumas vezes chamada base);
•
Que não requer investimento inicial ou apenas um pequeno investimento inicial em relação a
outros tipos de contratos que tenham uma resposta similar a mudanças nas condições de mercado; e
possui liquidação em uma data futura.”.
Entre os derivativos mais comumente negociados no mercado nacional estão:
•
•
•
Contratos futuros e a termo (forward)
Swaps
Opções
Devido às características dos derivativos, principalmente o baixo investimento e a não-linearidade do retorno
de alguns instrumentos em relação ao ativo-base, é possível que variações no mercado causem grandes
perdas nas carteiras em que estejam presentes.
Alguns tipos de derivativos que possuem negociação em mercados organizados (bolsas) podem ser
avaliados por seu preço de negociação, já que existe referencial. Aqueles que não possuem dados para uma
avaliação direta devem ser avaliados através de métodos matemáticos de modelagem e precificação através
do uso de outros dados disponíveis no mercado.
2
IAS - International Accounting Standards - Normatização Internacional de Contabilidade
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No caso de eventos extremos como, por exemplo, o circuit breaker, será utilizado o último preço negociado
antes do fechamento da bolsa (o circuit breaker). Caso não tenha havido negociação do ativo no dia, será
determinada uma curva - estrutura a termo e smile de volatilidade, por exemplo - para que se consiga
apreçar o ativo, cujos vértices não tenham havido negociação. Na hipótese de não abertura da bolsa, será
repetido os valores de seu último pregão.
4 Contratos Futuros e Contratos a Termo (Forward)
Um contrato futuro é o compromisso de comprar ou vender determinado ativo numa data específica no
futuro, por um preço previamente estabelecido. O que diferencia o contrato futuro do contrato a termo é o
pagamento de ajustes diários no primeiro, referentes à diferença entre a cotação do dia e a cotação do dia
anterior.
Podemos mostrar que tanto o preço futuro quanto o preço a termo de um ativo, com mesmo vencimento, são
iguais se não houver variação na taxa de juros ao longo do contrato.
Devido à maior facilidade de precificar os contratos a termo, fazemos a aproximação dos preços dos futuros
através dos preços a termo.
4.1 Precificação de contratos a Termo
4.1.1 Contratos a Termo sobre Títulos sem Rentabilidade
O contrato a termo mais fácil de avaliar é aquele lançado sobre um título que não fornece rentabilidade a seu
detentor, como ações sem dividendos e títulos de desconto (bullet).
(baseado em Hull, John. Introdução aos Mercados Futuros e de Opções. 5ª ed. São Paulo, SP: Bolsa de Mercadorias e Futuros e
Cultura Editores Associados, 1998)
Consideremos as seguintes carteiras:
Carteira A: um contrato a termo de um título, somado a uma quantia em dinheiro igual a:
K
(1 + tx )
pz
.
onde:
K = preço de entrega do contrato a termo;
tx = taxa de juros ao ano livre de risco;
pz = prazo em anos para o vencimento do contrato.
Carteira B: um título.
A quantia em dinheiro da carteira A aumentará para K no prazo pz, que pode ser usado para pagar o título
na data de entrega do contrato a termo. Assim, a carteira A será composta por um título na data da entrega,
equivalente a B. Como as duas são iguais na data de entrega, devem ter valores iguais hoje para não gerar
oportunidade de arbitragem. Logo, se f é o valor atual de um contrato a termo de compra,
f+
K
(1 + tx )
pz
=S
ou
f =S−
K
(1 + tx )
pz
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Quando um contrato a termo é aberto, seu preço iguala-se ao preço de entrega especificado no contrato e
ele é escolhido para que o valor do contrato seja zero. O preço a termo F é, portanto, o valor de K que torna
f=0. Assim,
F = S ⋅ (1 + tx )
pz
4.1.2 Contratos a Termo sobre Títulos com Rentabilidade
No caso de índices de ações e moedas, podemos considerá-los como ativos que pagam dividendos. Se um
ativo distribui dividendo a uma taxa txdiv ao ano, ficamos com a carteira B com o seguinte:
1
(1 + txdiv )
pz
do valor do título, com todo o rendimento reinvestido no título.
Logo, a equivalência no final se torna:
f+
K
(1 + tx )
pz
S
=
(1 + txdiv )
pz
,
e fazendo f igual a zero,
F =S⋅
(1 + tx )
pz
(1 + txdiv )
pz
,
Uma moeda estrangeira proporciona juros a seu detentor a uma taxa livre de risco em vigor no país de
origem (por exemplo, investindo em um título estrangeiro). Se txf é o valor desta taxa, temos:
F =S⋅
(1 + tx )
pz
(1 + tx )
f
pz
,
4.1.3 Contratos a Termo sobre Commodities
As teorias de arbitragem podem ser utilizadas para obter preços futuros exatos para commodities de
investimento. No entanto, para as de consumo, elas só podem ser usadas para estabelecer um limite
superior para os preços futuros.
Além disso, mesmo commodities de investimento possuem outros custos, como armazenagem, que devem
ser levados em conta.
No momento, não faremos a precificação de contratos a termo e futuros de commodities, que serão incluídos
conforme a necessidade.
4.2 Contratos Futuros e a Termo negociados na BM&F
No mercado brasileiro, a maior parte dos contratos futuros e a termo são negociados na BM&F (Bolsa de
Mercadorias e Futuros).
Diariamente a BM&F divulga os preços de fechamento e ajuste dos contratos. Para os contratos que tiveram
negociação no dia e para aqueles que, mesmo não tendo negociação no dia, apresentarem preços que não
estejam distorcidos, a marcação a mercado será feita pelos preços de ajuste da BM&F.
No caso de não haver liquidez para alguma série de futuros, é realizada a precificação por modelo
matemático através de dados atualizados disponíveis no mercado.
Página 48/80
Os seguintes contratos futuros e a termo são negociados na BM&F:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Contrato Futuro de Ibovespa
Contrato Futuro de IGP-M
Contrato Futuro de Dólar Comercial
Contrato Futuro de Euro
Contrato Futuro de DI
Contrato a Termo de DI (sem ajuste periódico)
Contrato a Termo de DI (com ajuste periódico)
Contrato Futuro de Cupom Cambial
Contrato Futuro de Cupom de IGP-M
Contrato a Termo de Cupom de IGP-M (com ajuste periódico)
Contrato Futuro de DI de Longo Prazo
Contrato Futuro de C-Bond
Contrato Futuro de EI
Contrato Futuro de Açucar Cristal*
Contrato Futuro de Álcool Anidro Carburante*
Contrato Futuro de Algodão*
Contrato Futuro de Bezerro*
Contrato Futuro de Boi Gordo*
Contrato Futuro de Café Arábica*
Contrato Futuro de Café Robusta Conillon*
Contrato futuro de Milho em Grão a Granel*
Contrato Futuro de Soja em Grão a Granel*
Contrato Futuro de Ouro*
Contrato a Termo de Ouro*
*Contratos sobre commodities, não serão precificados por modelo matemático.
4.3 Contratos a Termo de Moedas (NDF - Non Deliverable Forward) registrados no Cetip
Os contratos a termo de moedas registrados no Cetip, em sua forma mais simples, consistem em duas
instituições financeiras que realizam operações de compra e venda de moeda estrangeira sem entrega física,
em um preço acordado, em uma data futura específica.
Os participantes podem escolher qual a taxa de câmbio a ser utilizada para a liquidação dos contratos, em
que é feita a diferença entre a taxa de câmbio a termo contratada e a taxa vigente no dia do vencimento.
Podem ser utilizadas as taxas de câmbio divulgadas pelo Banco Central ou pelos feeders de mercado de
moedas, como Reuters e Bloomberg.
São aceitos registros de contratos nas seguintes moedas:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Peso Argentino
Dólar AustralianoB
Boliviano
Dólar Canadense
Peso Chileno
Peso Colombiano
EuroB
Coroa Dinamarquesa
Sucre
Dólar dos Estados Unidos
Iene Japonês
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•
•
•
•
•
•
•
Peso Mexicano
Coroa Norueguesa
Novo Sol
Libra EsterlinaB
Coroa Sueca
Franco Suiço
Bolívar
B - Moedas tipo B, com cotação em quantidades de Dólar dos Estados Unidos (USD) por unidade de moeda.
A avaliação do valor a mercado (F) deste tipo de operação é realizada como uma operação a termo de
moeda com entrega física, através de:
F =S⋅
(1 + tx )
pz
(1 + tx )
pz
f
onde:
S = valor futuro de liquidação da moeda;
pz = prazo restante da operação;
tx = taxa de juros em reais para o prazo pz;
txf = taxa de juros na moeda estrangeira para o prazo pz.
4.4 Contratos a Termo de Troca de Rentabilidade (Swaps)
Um contrato a termo de troca de rentabilidade, mais conhecido como swap, é um contrato entre duas partes
para a troca futura de fluxos de caixa, de acordo com regras pré-estabelecidas.
Num swap é determinado um valor inicial sobre o qual cada parte concorda em pagar à outra este valor
corrigido de formas distintas. No final da operação, apenas o diferencial é liquidado entre as partes.
Podemos considerar os swaps como duas operações em que as partes assumem posições contrárias em
cada "ponta" do swap. A precificação do swap pode ser realizada através marcação a mercado de cada uma
das "pontas". O valor do swap será a diferença entre a parte ativa e a parte passiva.
No mercado brasileiro, é normal que os swaps sejam registrados na BM&F, onde podem contar com garantia
de liquidação da bolsa para uma ou para as duas pontas e no Cetip, onde não contam com garantia de
liquidação.
4.4.1 Variáveis admitidas para negociação
Nos mercados organizados da BM&F e Cetip, apenas algumas variáveis de correção das pontas do swap
são permitidas. Apresentaremos aqui apenas a precificação de variáveis admitidas para negociação na
BM&F e Cetip.
Variável
Pré-fixada
DI-Over
Taxa Selic
TR
TBF
Taxa Anbid
TJLP
BM&F
X
X
X
X
X
X
X
Cetip
X
X
X
X
X
X
X
Página 50/80
Dólar Comercial (PTAX 800)
Dólar Flutuante (PTAX 800)
Euro (PTAX 800)
Iene (PTAX 800)
Peso Argentino (PTAX 800)
Índice Bovespa
Carteira de Ações
Ouro
IGP-M
IGP-DI
IPC
INPC
IPCA
Outros
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Tabela 1 - Variáveis admitidas para negociação nos mercados da BM&F e Cetip
4.4.2 Fórmulas de atualização e marcação a mercado
Apresentamos a seguir as fórmulas de atualização e de marcação a mercado para as diversas variáveis
admitidas para negociação na BM&F e Cetip, apontando as diferenças de cálculo, se houver.
a.
Taxa Pré-Fixada
Atualização:
pz
Vatual = VI ⋅ (1 + tx ) 252
onde:
VI = valor inicial;
tx = taxa pré-fixada;
pz = prazo decorrido, em dias úteis.
(1 + tx )
VP = VI ⋅
(1 + txlr )
pz final
252
pztotal
252
(1 + sc )
pz final
252
onde:
VI = valor inicial;
tx = taxa pré-fixada da operação;
pztotal = prazo total da operação, em dias úteis;
txlr = taxa livre de risco pré-fixada;
pzfinal = prazo restante da operação, em dias úteis;
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b.
DI - Over ou Selic
Atualização:
1
n



VP = VI ⋅ ∏  (1 + OVERi ) 252 − 1 ⋅ p + 1 ⋅ (1 + tx ) 252

i =1  

n
onde:
VI = valor inicial;
n = número de dias úteis decorridos;
OVERi = taxa DI-Over ou Selic do i-ésimo dia;
p = percentual do indexador;
tx = taxa de juros da operação.
Para swaps, utilizaremos o mesmo critério de precificação de ativos privados, ou seja, mantendo o risco
constante ao longo da operação; logo, o valor marcado a mercado será o mesmo valor atualizado ("na
curva") para o dia.
c.
TR
Atualização:
n
pz p i
pzdec
VP = VI ⋅ ∏ (1 + TRi ) pzTR i ⋅ (1 + tx ) 252
i =1
onde:
n = número de TRs decorridas até a data de atualização;
pzp i = prazo decorrido em dias úteis dentro do período de vigência da TRi;
pzTR i = prazo total em dias úteis do período de vigência da TRi;
pzdec = prazo decorrido em dias úteis da operação.
n
pz p i
VP = VI ⋅ ∏ (1 + TRi ) pzTR i ⋅
i =1
pztotal
(1 + tx ) 252
(1 + txlr )
pz final
252
(1 + sc )
pz final
252
onde:
pztotal = prazo total da operação em dias úteis;
pzfinal = prazo restante da operação em dias úteis;
txlr = cupom de TR livre de risco para o prazo pzfinal;
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d.
TBF
Atualização:
pz p i
n
VP = VI ⋅ ∏ (1 + TBFi ± R ) pzTBF i
i =1
onde:
n = número de TBFs decorridas até a data de atualização;
pzp i = prazo decorrido em dias úteis dentro do período de vigência da TBFi;
pzTBF i = prazo total em dias úteis do período de vigência da TBFi;
R = taxa de juros da operação;
pzdec = prazo decorrido em dias úteis da operação.
n
VP = VI ⋅ ∏ (1 + TBFi )
pz p i
pzTBF i
i =1
1
⋅
(1 + txlr )
pz final
252
(1 + sc )
pz final
252
onde:
pzfinal = prazo restante da operação em dias úteis;
txlr = cupom de TR livre de risco para o prazo pzfinal;
e.
Anbid
Atualização:
pz p i
n 
pzdec
  
 
VP = VI ⋅ ∏   (1 + Anbidi ) 252 − 1 ⋅ p  + 1 ⋅ (1 + tx ) 252
i =1 
  

onde:
n = número de taxas Anbid vigentes no período de atualização;
Anbidi = i-ésima taxa Anbid utilizada;
pzp i = número de dias úteis decorridos da operação no período de vigência de Anbidi;
p = percentual da taxa Anbid;
pzdec = prazo decorrido da operação.
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pztotal
pz p i
  
  
(1 + tx ) 252
VP = VI ⋅ ∏   (1 + Anbidi ) 252 − 1 ⋅ p  + 1 ⋅
pz final
pz final
i =1 
   (1 + tx ) 252 (1 + s ) 252

lr
c
n
onde:
pzfinal = prazo restante em dias úteis para o final da operação;
txlr = cupom de taxa Anbid para o prazo restante da operação;
f.
Dólar Comercial, Dólar Flutuante, Euro, Iene, Peso Argentino
Atualização:
Forma linear:
Forma exponencial:
 FX t


pz 
VP = VI ⋅ 
− 1 ⋅ p + 1 1 + tx ⋅

360 
 FX 0 
 
pz
 FX t


VP = VI ⋅ 
− 1 ⋅ p + 1 (1 + tx ) 360
 FX 0 

onde:
FX0 = valor em reais da moeda estrangeira contratada, divulgado pelo Banco Central do Brasil, do dia
anterior à data de início do contrato;
FXt = valor em reais da moeda estrangeira contratada, divulgado pelo Banco Central do Brasil, do dia
anterior à data de valorização;
p = percentual aplicado sobre a variação da moeda estrangeira contratada;
pz = prazo decorrido, em dias úteis, da operação.
Obs:
1) A forma de atualização é definida no momento de registro do contrato.
2) Na BM&F a taxa de juros tx é admitida apenas com cálculo linear (forma de atualização 1) e
sem utilização do fator p.
de FXo.
3) No Cetip, para o contrato de Dólar Comercial, é facultado aos participantes estipularem o valor
Forma linear:
pztotal 

1 + tx ⋅ 360 
 FX t




VP = VI ⋅ 
− 1 ⋅ p + 1
pz final
pz final
 FX 0 
 (1 + tx ) 252 ⋅ (1 + s ) 252
lr
c
Página 54/80
pztotal
Forma exponencial:
 FX t


(1 + tx ) 360
VP = VI ⋅ 
− 1 ⋅ p + 1
pz final
pz final
 FX 0 
 (1 + tx ) 252
1
s
⋅
+
( c ) 252
lr
onde:
txlr = cupom cambial para o prazo restante da operação;
g.
Índice Bovespa
Atualização:
VP = VI ⋅
pz
INDt
⋅ (1 + tx ) 252
IND0
onde:
IND0 = último número do índice Bovespa disponível na data anterior ao início da operação;
INDt = último número do índice Bovespa disponível na data anterior à valorização da operação;
pztotal
INDt
VP = VI ⋅
⋅
IND0
(1 + tx ) 252
(1 + txlr )
pz final
252
⋅ (1 + sc )
pz final
252
onde:
txlr = cupom do Ibovespa para o prazo restante da operação;
h.
Carteira de Ações
O valor de uma carteira de ações na data t (SBt) é dado por:
n
SBt = ∑ ( Pi ⋅ Qi )
i =1
onde:
n = número de ações que compõem a carteira;
Pi = preço do dia útil anterior à data t da i-ésima ação da carteira;
Página 55/80
Qi = quantidade teórica da ação na carteira da i-ésima ação no dia útil anterior à data t.
A quantidade teórica Qi é determinada no início do contrato por:
Qi =
P%i ⋅VI
Pi , db
onde:
P%i = participação percentual da i-ésima ação no valor total da carteira (informado pelas partes);
VI = valor inicial da carteira;
Pi,db = preço da i-ésima ação na data-base do contrato.
Atualização:
VP =
pz
SBt −1
⋅ (1 + tx ) 252
VI
onde:
SBt-1 = valor da carteira de ações na data t-1;
pz = prazo em dias úteis entre a data-base e a data de atualização.
VP =
SBt −1
⋅
VI
(1 + tx )
(1 + txlr )
pz final
252
pztotal
252
⋅ (1 + sc )
pz final
252
onde:
pztotal = prazo total em dias úteis da operação;
txlr = cupom livre de risco;
sc = spread de crédito;
pzfinal = prazo restante da operação em dias úteis.
i.
Ouro
Atualização:
 AU t
 

pz 
VP = VI ⋅ 
− 1 ⋅ p + 1 ⋅ 1 + tx ⋅

360 
 AU o 
 
onde:
AUt = preço do ouro divulgado pela BM&F relativo ao dia t-1;
AUo = preço do ouro divulgado pela BM&F relativo ao dia anterior à data-base da operação;
p = percentual da variação do ouro a considerar;
Página 56/80
pz = prazo decorrido em dias corridos da data-base até a data de atualização.
Obs: As operações registradas na BM&F não permitem a utilização do fator p.
pztotal 

1 + tx ⋅ 360 


 AU t


− 1 ⋅ p + 1 ⋅
VP = VI ⋅ 
 AU o 
 (1 + tx
lr
)
pz final
252
⋅ (1 + sc )
pz final
252
onde:
pztotal = prazo total em dias corridos da operação;
pzfinal = prazo em dias úteis restantes até o final da operação;
txlr = cupom de juros livre de risco;
j.
Índices de Preços (IGP-M, IGP-DI, IPC. INPC, IPCA)
Atualização:
VP = VI ⋅
pz
NI t
⋅ (1 + tx ) 252
NI 0
onde:
NI0 = último número índice do índice de preços de atualização disponível na data anterior ao início da
operação;
NIt = último número índice do índice de preço de atualização disponível na data anterior à valorização da
operação;
NI  NI 
VP = VI ⋅ t ⋅  t +1 
NI 0  NI t 
pzdec
pz prox
pztotal
(1 + tx ) 252
⋅
(1 + txlr )
pz final
252
⋅ (1 + sc )
pz final
252
onde:
NIt+1 = previsão do próximo número índice divulgado;
pzdec = prazo decorrido em dias úteis da última divulgação do número índice até a data de precificação;
pzprox = prazo em dias úteis entre a data de divulgação de NIt até a data prevista para a divulgação do
próximo número índice;
txlr = cupom do índice de preços de atualização para o prazo restante da operação;
pzfinal = prazo restante até o final da operação e sc é o spread de crédito.
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4.5 Opções
Opções são contratos que dão o direito, mas não a obrigação, ao seu comprador (ou detentor) de realizar
uma transação pré-determinada com o vendedor (ou lançador). Os dois principais tipos de opção são as de
compra e as de venda:
•
uma opção de compra dá direito ao seu comprador de, numa data futura, comprar um ativo (ou
derivativo) do vendedor da opção a um preço pré-determinado;
•
uma opção de venda dá direito ao seu comprador de, numa data futura, vender um ativo (ou
derivativo) ao vendedor da opção a um preço pré-determinado;
As opções podem ter dois tipos de exercício:
•
•
opções Americanas que podem ser exercidas a qualquer momento até a data de exercício;
opções Européias que podem ser exercidas apenas na data de exercício.
Existem ainda as opções Bermudenses, que podem ser exercidas apenas em determinados momentos antes
da data de exercício.
No mercado brasileiro, as opções normalmente são negociadas em bolsas organizadas, como Bovespa e
BM&F. Na Bovespa são negociadas as opções sobre ações, e apenas em séries padronizadas, com preço e
data de exercício definidos pela bolsa.
Na BM&F são negociadas opções sobre futuros de commodities agrícolas (açúcar cristal, álcool anidro
carburante, algodão, bezerro, boi gordo, café arábica, café robusta conillon e soja em grão), sobre futuro de
índice Ibovespa, sobre ouro à vista, sobre índices Ibovespa e IDI (índice de taxa média de DI) à vista e sobre
Dólar Americano à vista. Todas as opções da BM&F possuem séries padronizadas, porém as opções sobre
Dólar Americano e sobre Ibovespa à vista podem assumir a forma de opções flexíveis, que permitem que as
partes envolvidas na negociação definam data e preço de exercício diferentes das séries padronizadas.
4.5.1 Precificação de opções
Nos mercados organizados de negociação de opções (Bovespa e BM&F), uma forma de determinar o preço
justo de uma opção é observar os negócios registrados nestes mercados para as séries que desejamos
precificar.
No mercado de opções em geral, porém, uma série de opções que possui um grande volume de negociação
(por conseguinte, uma avaliação melhor do preço justo) pode rapidamente se tornar ilíquida devido à
variação no valor do ativo-objeto. Observa-se que as opções que estão at-the-money (com preço de
exercício mais próximo ao valor do ativo à vista descontado) são aquelas que possuem maior liquidez,
nestes casos usamos as cotações do arquivo BM&F/BOVESPA com as últimas cotações. Entretanto, mesmo
aquelas que possuam negociação podem apresentar liquidez insuficiente ou inconstante acarretando
deficiência na determinação do preço justo, seja pela utilização direta do preço de fechamento, seja pelo
cálculo da volatilidade implícita e, por conseqüência, da superfície de volatilidade. Para estas serão utilizados
os preços referenciais da BM&F.
Para opções flexíveis (não possuem padronização), é necessário que a precificação seja realizada através
de modelos matemáticos específicos.
4.5.1.1 Opções sobre ações
O modelo matemático para a precificação das opções européias sobre ações, que não pagam dividendos,
mais utilizado é o modelo de Black & Scholes. Segundo este modelo, o preço de uma opção de compra (C) e
de uma opção de venda (P) são dados, respectivamente, por:
C = S ⋅ N ( d1 ) − X ⋅ e− rT ⋅ N ( d 2 )
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P = X ⋅ e − rT ⋅ N ( −d 2 ) − S ⋅ N ( −d1 )
onde:
2
S  σ 
ln   +  r +
T
2 
X 
d1 =
σ T
d 2 = d1 − σ T
A função N(x) é a função de probabilidade cumulativa de uma variável normal padronizada. No MS- Excel em
português é dada por INV.NORMP(x) (NORMSDIST(x) em inglês);
onde:
S = preço do ativo objeto;
X = preço de exercício da opção;
r = taxa de juros livre de risco;
T = tempo restante até o exercício da opção;
σ = volatilidade do ativo objeto.
4.5.1.2 Opções sobre índices de ações
As opções sobre índices de ações não possuem exercício com entrega de ações, sua liquidação é apenas
financeira, pela diferença entre o preço de exercício e o valor do índice à vista.
Para avaliar as opções sobre índices de ações, particularmente o índice Ibovespa, tratamos o índice como
uma única ação. Logo, a precificação é realizada pela fórmula de Black & Scholes, utilizando a volatilidade
para o índice à vista.
4.5.1.3 Opções sobre moedas
Para avaliar opções sobre moedas, consideramos que uma moeda estrangeira é semelhante a uma ação
que paga dividendos iguais à sua taxa de juros livre de risco (rf). Assim, os preços das opções européias de
compra (C) e venda (P) são dados, respectivamente, por:
C = S ⋅e
− rf T
⋅ N ( d1 ) − X ⋅ e − rT ⋅ N ( d 2 )
P = X ⋅ e − rT ⋅ N ( −d 2 ) − S ⋅ e
− rf T
⋅ N ( −d1 )
onde:
d1 =
S
ln 
X
σ2 
 
+
r
−
r
+
T
 
f
2 
 
σ T
d 2 = d1 − σ T
A mesma observação sobre a transformação da taxa de juro livre de risco para a forma de capitalização
contínua é válida para a taxa de juro livre de risco da moeda estrangeira.
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4.5.1.4 Opções sobre futuros
As opções sobre futuros especificam a entrega de um contrato futuro quando são exercidas, e não de um
ativo à vista. Um futuro pode ser visto como uma ação que rende um dividendo contínuo à taxa r.
Se utilizarmos o preço do futuro (F) no lugar do preço do ativo à vista (S), temos os preços das opções
européias de compra (C) e de venda (P) dados por:
C = e − rT ⋅  F ⋅ N ( d1 ) − X ⋅ N ( d 2 ) 
P = e − rT ⋅  X ⋅ N ( −d 2 ) − S ⋅ N ( −d1 ) 
onde:
d1 =
F
ln 
X
2
 σ 
+
T
 
  2 
σ T
d 2 = d1 − σ T
4.5.1.5 Opções Exóticas
a.
Opções com Barreira
Em virtude da baixa liquidez, o preço da opção é determinado pelo modelo matemático de apreçamento
teórico desenvolvido por Merton (1973) e Reiner e Rubinstein (1991), apresentado a seguir:
Metodologia
Sejam :
A = φSe (b − r )T N (φx1 ) − φXe − rT N (φx1 − φσ T )
B = φSe ( b − r )T N (φx 2 ) − φXe − rT N (φx 2 − φσ T )
C = φSe
( b − r )T
D = φSe
( b − r )T
H
 
S 
2 ( µ +1)
H
 
S 
N (ηy1 ) − φXe
− rT
2 ( µ +1)
N (ηy 2 ) − φXe
− rT
H 
 
S
2µ
H 
 
S
N (ηy1 − ησ T )
2µ
N (ηy 2 − ησ T )
2µ


H
E = Ke − rT  N (ηx 2 − ησ T ) −   N ηy 2 − ησ T 
S


(
)
µ −λ
 H  µ +λ

H 
F = K   N (ηz ) +   N ηz − 2ηλσ T 
S
 S 

(
)
Página 60/80
Onde:
x1 =
T,
( H ) + (1 + µ )σ
T,
σ T
ln S
x2 =
σ T
(
ln H
y2 =
( S ) + (1 + µ )σ
ln H
σ T
( S ) + λσ
T,
ln H
σ T
b −σ 2
µ=
)
2
SX + (1 + µ )σ T ,
σ T
y1 =
z=
( X ) + (1 + µ )σ
ln S
σ
2
λ = µ2 +
T,
2,
2r
σ2
,
S = preço à vista do ativo-objeto ;
X = preço de exercício da opção;
H = preço de barreira da opção;
T = vencimento da opção;
R = cash rebate;
σ = volatilidade da opção (considerada constante no modelo);
b − r = taxa pré-fixada interpolada a partir dos vértices adjacentes.
η, φ = parâmetros do modelo específicos para cada tipo de opção que podem ser 1 ou –1;
b.
“In” Options
Down-and-in call
Payoff: Max(S − X ,0), se S ≤ H antes do vencimento T . R no vencimento, caso contrário (se S > H).
c di (X > H) = C + E , η = 1, φ = 1 (109)
Página 61/80
c di (X < H) = A – B + D + E, η = 1, φ = 1 (110)
Up-and-in call
Payoff: Max(S − X ,0), se S ≥ H antes do vencimento T , R no vencimento, caso contrário.
c ui( X > H) = A + E, η = −1, φ = 1 (111)
c ui (X < H) = B - C + D + E, η = −1, φ = 1 (112)
Down-and-in put
Payoff: Max(X - S,0), se S ≤ H antes do vencimento T , R no vencimento, caso contrário.
p di (X > H) = B - C + D + E, η = 1, φ = −1 (113)
p di (X < H) = A + E, η = 1, φ = −1 (114)
Up-and-in put
Payoff: Max(X − S,0), se S ≥ H antes do vencimento T , R no vencimento, caso contrário.
p ui (X > H) = A - B + D + E, η = −1, φ = −1 (115)
p ui (X < H) = C + E, η = −1, φ = −1 (116)
c.
“Out” Options
Down-and-out call
Payoff: : Max(S – X, 0), se S =H antes do vencimento T , R no instante em que S = H , caso contrário (se S
≤H )
c do (X > H) = A - C + F, η = 1, φ = 1 (117)
c do (X < H) = B - D + F, η = 1, φ = 1 (118)
Up-and-out call
Payoff: Max(S - X, 0), se S =H antes do vencimento T , R no instante em que S = H , caso contrário.
c uo (X > H) = F, η = −1, φ = 1 (119)
c uo (X < H) = A - B + C - D + F, η = −1, φ = 1 (120)
Down-and-out put
Payoff: Max(S – X, 0),se S = H antes do vencimento T , R no instante em que S = H , caso contrário.
p do (X > H) = A - B + C - D + F, η = 1, φ = −1 (121)
p do (X < H) = F, η = 1, φ = −1 (122)
Up-and-out put
Payoff: Max(X - S,0), se S ≥ H antes do vencimento T , R no instante em que S = H , caso contrário .
p uo (X > H) = B - D + F, η = −1, φ = −1 (123)
p uo (X < H) = A - C + F, η = −1, φ = −1 (124)
Fontes:
São descritas abaixo as fontes dos parâmetros utilizados no modelo de apreçamento:
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- Preço à vista do ativo objeto (S): são utilizadas as cotações referentes ao preço médio do dia do ativoobjeto no pregão da BOVESPA obtidas da própria BOVESPA através de arquivo enviado pela mesma.
- Volatilidade (σ): é utilizado o modelo EWMA (Exponential Weighted Moving Average), descrito no Anexo I,
para estimação da volatilidade.
- Taxa pré (b-r): é utilizada a taxa pré-fixada interpolada linearmente para a data de vencimento da opção a
partir da curva de taxas DI pré da BM&F.
5 Renda Variável
5.1 Ações
Ações podem ser definidas como títulos nominativos negociáveis que representam, para quem as possui,
uma fração do capital social de uma empresa. A maior parte das ações é negociada em mercados
organizados (bolsas de valores) como a Bovespa e a Soma.
O preço de mercado de uma ação pode ser determinado através de dados dos negócios realizados com
aquela ação nas bolsas de valores. Utilizaremos o preço de fechamento dos negócios realizados no dia
como o seu preço de mercado. No caso de não ter havido negociação na data de avaliação, será utilizado o
preço de fechamento do último dia em que houve negociação.
5.1.1 Para fundos de Pensão
De acordo com a Resolução CGPC nº 5, de 30 de janeiro de 2002,
“...as ações sem negociação em Bolsas de Valores ou mercado de Balcão organizado, por período superior
a 06(seis) meses, deverão ser avaliadas pelo custo ou pelo último valor patrimonial publicado, dos dois o
menor, ou poderão ainda, ser avaliadas pelo valor econômico determinado por empresa independente
especializada...”
5.1.2 Para os fundos abertos
De acordo com a Instrução CVM nº 438, de 12 de julho de 2006,
“Na hipótese de ativos sem negociação nos últimos 90 (noventa) dias, o valor do título deverá ser avaliado
pelo menor entre os seguintes valores:
a) Custo de aquisição;
b) Última cotação disponível;
c) Último valor patrimonial do título divulgado à CVM; ou
d) Valor líquido provável de realização obtido mediante adoção de técnica ou modelo de precificação.”
5.1.3 Para os fundos fechados
De acordo com a Instrução CVM nº 438, de 12 de julho de 2006,
“Os fundos de investimento constituídos sob a forma de condomínio fechado de prazo de duração igual ou
superior a 5 (cinco) anos poderão adotar o valor econômico determinado por empresa independente
especializada, para os valores mobiliários de companhias sem mercado ativo em bolsa ou em mercado de
balcão organizado.”
5.2 Direitos de Subscrição
O direito do acionista de subscrever novas ações tem um valor patrimonial, pelo fato de as novas ações
serem oferecidas à subscrição a um preço determinado com um desconto em relação ao preço de mercado,
sendo que este é negociável durante o período de subscrição.
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Nos dias em que há negociação, usaremos o preço de fechamento dos negócios realizados no dia como seu
preço de mercado. No caso de não haver negociação na data usaremos a seguinte fórmula:
Valor Teórico dos Direitos de Subscrição = Cotação da Ação – Preço de Subscrição
5.3 Recibos de Subscrição
É um documento que comprova o exercício do direito de subscrição de ações. Este ativo deve ser
precificado com o mesmo valor de mercado das ações
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Apêndice I – Determinação de Curvas de Juros e de Cupons
A determinação das taxas de juros praticadas no mercado pode ser realizada através da observação dos
negócios realizados com títulos remunerados a estas taxas ou, se não houverem negócios registrados, pela
expectativa dos participantes do mercado para estas taxas.
Além de títulos negociados, podemos obter os dados de taxas de mercado através de negócios realizados
com derivativos. Porém, devido às características de negociação e de risco diferenciadas dos títulos,
algumas taxas obtidas não devem ser consideradas diretamente para a determinação das taxas balizadoras
dos preços de títulos, podendo ser necessários ajustes para sua adequação. Estes ajustes são indicados
quando forem necessários.
As Estruturas a Termos das Taxas de Juros também são conhecidas como Curvas de Juros.
1 Fontes de Informação
A utilização de fontes de informação independentes, confiáveis e de conhecimento público é essencial para
que os valores calculados reflitam a realidade do mercado. Por este motivo, todas as fontes utilizadas pela
Custódia Qualificada do Banco Santander seguem estes requisitos.
Como forma de poder checar a consistência das informações colhidas e também para suprir a ausência das
informações das fontes primárias, são determinadas fontes secundárias.
As principais fontes de informação utilizadas são:
Feeders de dados:
•
•
•
Reuters
Broadcast
Bloomberg
Páginas da Internet:
•
•
•
•
•
•
BM&F (www.bmf.com.br)
Bovespa (www.bovespa.com.br)
Andima (www.andima.com.br)
Sistema Nacional de Debêntures – SND (www.debentures.com.br)
Banco Central do Brasil (www.bcb.gov.br)
Cetip (www.cetip.com.br)
outros sites
•
•
•
RTM (Rede de Telecomunicações do Mercado)
Andima (http://www.andima.rtm/site-andima/index.asp)
Selic (www.selic.rtm)
Corretoras externas e outros participantes do mercado.
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2 Metodologia de Determinação das Curvas de Juros
2.1 Taxas de Juros Pré-Fixadas
A determinação da curva de juros prefixada utiliza duas fontes de dados principais:
i) contratos futuros de DI negociados na BM&F
ii) Títulos Públicos Federais prefixados
De acordo com as características do ativo ou derivativo a ser precificado, utilizamos uma das ETTJs
determinadas.
a.
Curvas de Juros Prefixados “BM&F”
Os contratos futuros de DI possuem as características de títulos “zero cupom” que em seu vencimento
possuem valor igual a R$ 100.000,00. O resultado do contrato é dado diariamente pelos ajustes pagos ou
recebidos, de acordo com a diferença entre a taxa de juros negociada na compra e o rendimento da taxa
CDI, divulgada pela Cetip.
O valor presente ou PU de um contrato futuro de DI é dado por:
PU =
100.000
pz
(1 + i ) 252
onde:
i =taxa de juros negociada anualizada;
pz =prazo em dias úteis até o vencimento do contrato.
A partir do PU divulgado diariamente, podemos obter a taxa de juros por:
 100.000 
i =

 PU 
252
pz
A taxa de juros i é utilizada para compor a curva de juros prefixados para o prazo pz. Como os contratos
futuros de DI possuem vencimento no primeiro dia de cada mês para os quatro primeiros meses
subseqüentes à data-base e após isso no primeiro dia do mês de início de trimestre (janeiro, abril, julho e
outubro), os vértices da curva são móveis, isto é, com prazos diferentes para cada data-base. O único vértice
fixo é o de 1 dia útil, onde é utilizada a taxa CDI divulgada pela Cetip.
b.
Curva de Juros Prefixados de Títulos Públicos
A partir dos preços de mercado de títulos prefixados emitidos pelo Governo Federal também é possível de se
determinar a curva de juros prefixados.
Os títulos emitidos pelo Governo Federal que possuem juros prefixados são as LTNs (Letras do Tesouro
Nacional) e as NTN-Fs (Notas do Tesouro Nacional – série F).
As LTNs são títulos que possuem pagamento único do valor principal na data de vencimento, ou seja, é um
título conhecido como zero-coupon. A sua rentabilidade é determinada através do deságio em seu preço de
negociação. Como cada quantidade possui valor principal de R$ 1000,00, a sua rentabilidade é dada por:
252
 1.000  pz
i =

 PU 
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Onde pz é o prazo em dias úteis da data de determinação da taxa até a data de vencimento.
As NTN-Fs são títulos que pagam cupons semestrais, nas datas contadas retroativamente a partir do
vencimento, e o valor principal acrescido do último cupom no vencimento. Como o seu cupom anualizado é
de 10%, cada cupom pago é de:
1
c s = (1 + 10%) 2 − 1 = 4,880885 %
O preço unitário (PU) de uma NTN-F é dado por:
1
n

2 −1
(
1
c
)
1
+


PU = 1000 ⋅ ∑
+
pzx
pzn
 x =1

 (1 + i x ) 252 (1 + i n ) 252 
onde:
n = número de cupons que restam a serem pagos até o vencimento do título;
pzx = prazo em dias úteis para o pagamento do x-ésimo cupom;
ix = taxa de juros prefixada para o prazo pzx;
pzn = prazo em dias úteis para o pagamento do principal;
in = taxa de juros prefixada para o prazo pzn;
c = valor do cupom anualizado.
A curva de juros baseado nos títulos públicos é determinada através de uma técnica conhecida como
bootstraping. Basicamente ela determina uma curva de juros que, aplicada aos títulos, resulta nos preços de
mercado observados.
Os preços de mercado utilizados para a determinação da curva são obtidos através do site da ANDIMA.
Estes preços representam uma estimativa do mercado sobre os preços justos dos títulos e não preços reais
de negociação. Preços de negociação podem ser obtidos no site do Banco Central do Brasil, porém o
número de dados existente é muito menor, por este motivo o utilizamos como fonte de dados secundária.
Assim como os contratos futuros de DI, os vértices da curva obtida são móveis, correspondendo às datas de
vencimento dos cupons ou do principal. O único vértice fixo é o de 1 dia, que é dada pela taxa CDI divulgada
pelo Cetip.
2.2 Taxas de Cupom de Dólar Americano (Cupom Cambial)
A determinação da curva de cupom cambial utiliza também duas fontes de dados principais:
i) contratos futuros de dólar americano e operações estruturadas de FRA de cupom cambial negociados na
BM&F
ii) Títulos Públicos Federais indexados ao dólar americano
determinadas.
a.
Curva de Cupom Cambial “BM&F”
O valor de um contrato futuro de dólar americano é dado por:
Página 67/80
pzu
PU = S ⋅
(1 + i )252
pz
1+ i f ⋅ c
360
⋅ 1.000
onde:
S = valor do dólar americano à vista (spot);
pzc = prazo para o vencimento do contrato em dias corridos;
pzu = prazo para o vencimento do contrato em dias úteis;
if = taxa de juros em moeda estrangeira (o cupom cambial);
i = taxa de juros prefixada em reais.
O PU é multiplicado por 1.000, pois a cotação é divulgada em reais para cada 1000 dólares.
A taxa de cupom cambial pode ser determinada por:


 S
 360
pzu
if = 
⋅ (1 + i ) 252 − 1 ⋅
  PU 
 pzC
  1000 




Como a liquidação dos contratos futuros de dólar americano se dá pelo valor da taxa PTAX de venda do dia
anterior ao vencimento, divulgada pelo Banco Central do Brasil, utilizamos o valor desta taxa para determinar
o cupom cambial, ficando com:


 PTAX
 360
pzu
if = 
⋅ (1 + i ) 252 − 1 ⋅
  PU 
 pzC
  1000 




Esta taxa é conhecida como Cupom Cambial Sujo, pois não leva em conta o valor do dólar americano na
hora do fechamento do negócio e sim o PTAX do dia anterior. Podemos encontrar o Cupom Cambial Limpo
através de:
i f ,lim po = i f ⋅
S
PTAX
A liquidez dos contratos futuros de dólar americano com vencimento além do mês seguinte à data-base
(primeiro vencimento) é muito baixa. Para complementar a curva com prazos mais longos, utilizamos as
taxas das operações estruturadas de FRA de cupom cambial.
Este tipo de operação permite a negociação do cupom cambial a termo entre duas datas futuras. Ela gera
dois contratos futuros de cupom cambial (DDI), o primeiro com vencimento no mês imediatamente posterior à
data de negociação e o segundo com um vencimento mais longo. Desta forma, negocia-se o cupom cambial
válido para o período entre estes dois vencimentos. Como os vencimentos dos contratos de DDI coincidem
com os de dólar futuro, podemos realizar uma composição entre os cupons determinados pelo primeiro
contrato de dólar futuro e as taxas a termo para os vencimentos mais longos. Assim, temos que:

pz  
pz − pz1  360
i x = 1 + i f ,1 ⋅ 1  ⋅ 1 + i t ,x ⋅ x
 ⋅
360  
360  pz x

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onde:
ix = taxa de cupom cambial para o vencimento x;
if,1 = taxa de cupom cambial para o primeiro vencimento de dólar futuro;
it,x = cupom cambial a termo negociado entre o primeiro vencimento e o vencimento x;
pzx = prazo do vencimento x em dias corridos;
pz1 = prazo do primeiro vencimento de dólar futuro em dias corridos.
O vértice da curva de cupom cambial sujo com prazo de 1 dia útil é determinado pela variação do PTAX de
um dia para o próximo dia. Deste modo, ficamos com:
1
 PTAX 0
 360
if = 
⋅ (1 + i ) 252 − 1 ⋅
 PTAX −1
 pzC
onde:
PTAX0 = taxa PTAX de venda divulgada pelo Banco Central do Brasil para a data de determinação da curva;
PTAX-1 = mesma taxa divulgada para o dia útil anterior.
A “limpeza” do cupom cambial para este vértice é realizada da mesma forma que para as outras.
b.
Curva de Cupom Cambial de Títulos Públicos
A curva de cupom cambial pode ser também determinada a partir dos títulos públicos federais indexados ao
dólar americano, utilizando-se técnicas de bootstraping. Existem dois tipos de títulos com estas
características que são negociados no mercado, as NTN-Ds (Notas do Tesouro Nacional – Série D) e as
NBC-Es (Notas do Banco Central – Série Especial). Estes dois títulos possuem características semelhantes,
diferindo apenas no órgão emissor.
O preço unitário (PU) das NBC-Es e das NTN-Ds é dado por:


c
n

PTAX 
1
2

PU = 1000 ⋅
⋅ ∑
+
pz x  
pz n  
PTAX 0  x =1 
 1 + i f ,x ⋅ 360  1 + i f ,n ⋅ 360  
 

 
onde:
PTAX = taxa PTAX de venda divulgada pelo Banco Central do Brasil para a data de determinação do preço;
PTAX0 = mesma taxa divulgada para o dia útil anterior à data de emissão ou à data-base* do título;
pzx = prazo em dias corridos para o pagamento do x-ésimo cupom do título;
if,x = taxa de cupom cambial para o prazo pzx;
pzn = prazo em dias corridos para o pagamento do principal;
if,n = taxa de cupom cambial para o prazo pzn;
c = cupom anualizado do título.
* Os títulos emitidos a partir de 01/09/2000 são corrigidos utilizando-se como PTAX inicial a taxa do dia
anterior à data-base, que é uma data definida quando da emissão do título. Todos os títulos em mercado que
foram emitidos após esta data utilizam como data base 01/07/2000.
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Existem títulos em mercado com cupons de 6% e de 12%. Para estes títulos, os cupons pagos
semestralmente são dados por:
cs =
6%
12%
= 3,00% c s =
= 6,00%
2
2
e
O primeiro vértice da curva, de 1 dia útil é determinado da mesma forma que o da curva BM&F.
Da mesma forma que a curva de cupom de dólar determinada pelos futuros da BM&F, estas taxas são
“sujas”. Pode-se “limpar” a curva da mesma forma indicada anteriormente.
2.3 Taxas de Cupom de IGP-M
A determinação da curva de cupom de IGP-M utiliza também duas fontes de dados principais:
i) pool de taxas de cupom IGP-M da BM&F
ii) Títulos Públicos Federais indexados ao IGP-M
determinadas.
A correção dos títulos indexados ao IGP-M se dá através da variação do número-índice do IGP-M, que é
divulgado no penúltimo dia útil de cada mês pela Fundação Getúlio Vargas. Até a data de divulgação não se
tem conhecimento desta variação, logo a correção do título fica “congelada” durante 1 mês. Por este motivo,
taxas de cupom de IGP-M para períodos inferiores ao prazo até a data de divulgação do próximo númeroíndice do IGP-M sofrem um aumento conforme se aproxima a data de divulgação. A curva de cupom
determinada desta forma também é conhecida como curva de Cupom Sujo de IGP-M, pois não leva em
conta a variação do número-índice do IGP-M de um mês para o mês seguinte.
Para resolver o problema acima, a correção dos títulos é projetada através das expectativas para a variação
do número-índice do IGP-M divulgadas pelas entidades de mercado. A principal projeção utilizada é a
divulgada pela Andima em sua página da Internet. Consegue-se desta forma “limpar” o cupom de IGP-M
para os prazos até a data da próxima divulgação do número-índice.
As curvas determinadas a seguir sempre são “limpas”.
a.
Curva de Cupom IGP-M BM&F
A Bolsa de Mercadorias e Futuros divulga, diariamente no site www.bmf.com.br, as taxas de cupom IGP-M
esperadas para diversos prazos.
Estas taxas são utilizadas para a construção da curva de cupom IGP-M. Os prazos em dias são dados pelo
prazo do dia correspondente ao dia da divulgação das taxas nos prazos indicados, se for um dia útil, ou no
próximo dia útil caso não seja.
b.
Curva de Cupom IGP-M de Títulos Públicos
A curva de cupom IGP-M pode ser determinada através dos preços dos títulos públicos indexados ao IGP-M
emitidos pelo Governo Federal, utilizando-se técnicas de bootstraping. Existe um tipo de título com esta
característica, a NTN-C (Nota do Tesouro Nacional – Série C).
O preço unitário (PU) de uma NTN-C é dado por:
1

IGPM p  n (1 + c )2 − 1
1


PU = 1000 ⋅
⋅ ∑
+
pz x
pzn
IGPM 0  x =1 (1 + i )252
(1 + i n )252 

x
onde:
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IGPMp = número-índice do IGP-M projetado para a data de determinação do preço;
IGPM0 = último número-índice disponível na data de emissão ou à data-base* do título;
pzx = prazo em dias corridos para o pagamento do x-ésimo cupom do título;
ix = taxa de cupom de IGP-M para o prazo pzx;
pzn = prazo em dias corridos para o pagamento do principal;
in = taxa de cupom de IGPM para o prazo pzn;
c = cupom anualizado do título.
* Os títulos emitidos a partir de 01/09/2000 são corrigidos utilizando-se o número-índice do IGPM inicial,
aquele disponível na data-base, que é uma data definida quando da emissão do título. Todos os títulos em
mercado que foram emitidos após esta data utilizam como data base 01/07/2000.
O valor de IGPMp é dado por:
pzd
IGPM p = IGPM ⋅ (1+ p%IGPM ) pzt
onde:
IGPM = último número-índice do IGP-M divulgado;
p%IGPM = projeção da variação percentual do número-índice do IGP-M até a próxima divulgação.
Se considerarmos o dia db de um mês como o dia do mês correspondente ao dia do mês da data-base do
título, definimos
i) o prazo pzt como o prazo em dias úteis entre:
•
o dia útil posterior ao dia db no mês anterior e o dia útil posterior ao dia db no mês corrente, caso o
dia do mês seja inferior a db ou
•
o dia útil posterior ao dia db no mês corrente e o dia útil posterior ao dia db no mês posterior, caso o
dia do mês seja superior a db;
ii) o prazo pzd como o prazo em dias úteis entre:
•
o dia útil posterior ao dia db no mês anterior e a data de determinação da curva, caso o dia do mês
seja inferior a db ou
•
o dia útil posterior so dia db no mês corrente e a data de determinação da curva, caso o dia do mês
seja superior a db.
2.4 Taxas de Cupom de IPCA
Assim como o IGP-M, o IPCA é um índice de inflação que possui divulgação mensal de um número-índice.
Os títulos indexados ao IPCA utilizam-se deste número índice para realizar a sua correção. A principal
diferença em relação ao IGP-M (em termos de cálculos) é a data de sua divulgação, que não possui um dia
específico no mês, mas segue um calendário disponibilizado no site do IBGE (www.ibge.gov.br), que é o
órgão responsável pelo seu cálculo. Porém sabe-se que esta data é sempre antes do dia 15 de cada mês.
As fontes de dados para o cálculo da curva de cupom de IPCA também são semelhantes às utilizadas para o
cupom IGP-M:
i) pool de taxas de cupom IPCA da BM&F
ii) Títulos Públicos Federais indexados ao IPCA
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a.
Curva de Cupom IPCA BM&F
Assim como para as taxas de cupom de IGP-M, a BM&F divulga as taxas de cupom de IPCA, inclusive com
os mesmos prazos.
b.
Curva de Cupom IPCA de Títulos Públicos
Do mesmo modo que para a curva de cupom IGP-M, podemos utilizar os títulos públicos indexados ao IPCA
para determinar a curva de cupom IPCA. Existe um tipo de título com esta característica, a NTN-B (Nota do
Tesouro Nacional – Série B).
O procedimento de determinação da curva de cupom IPCA é equivalente à de IGP-M, substituindo-se os
elementos do IGP-M pelos do IPCA. Uma única diferença é a data-base dos títulos emitidos após
01/09/2000, que para as NTN-Bs é 15/07/2000.
2.5 Taxas de Cupom de TR
As fontes de informação utilizadas para a determinação da curva de cupom de TR são:
i) Taxas de cupom de TR divulgadas pela BM&F
a.
Curva de Cupom de TR “BM&F”
Diariamente a BM&F divulga as taxas utilizadas para a marcação a mercado das posições abertas de swaps
indexados à TR. Estas taxas são divulgadas para vários prazos e utilizadas para compor a curva de cupom
de TR.
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Apêndice II - O uso da fórmula de Black & Scholes.
1 A taxa de juros livre de risco (r)
Na fórmula de Black & Scholes apresentada, a taxa de juros livre de risco é utilizada na forma de
capitalização contínua, ou seja, para certo período T, a taxa de juros efetiva (i) deve ser dada por:
i = e rT
Esta taxa deve ser a taxa livre de risco projetada para o prazo restante até a data de exercício das opções.
Como a expressão da taxa de juros no mercado brasileiro é dada por capitalização composta em dias úteis,
temos que fazer a seguinte transformação:
e
r⋅
du
252
du
= (1 + tx ) 252
du
 r ⋅ du 


ln  e 252  = ln (1 + tx ) 252  `




r = ln (1 + tx )
2 O prazo restante até o exercício (T)
Deve haver consistência entre a contagem de tempo utilizada para as diversas variáveis utilizadas no cálculo
do preço das opções. Logo, se a contagem de tempo na taxa de juros for em dias úteis, e a expressão da
taxa for anualizada, o prazo T deve ser dado em fração de dias úteis do ano. Do mesmo modo, a volatilidade
também deve ser calculada em dias úteis e expressa na forma anualizada.
3 A volatilidade do ativo objeto (σ)
Existem várias formas de achar uma estimativa da volatilidade do ativo objeto, podendo ser através do
desvio padrão dos retornos (volatilidade histórica), através de método EWMA (exponentially weighted moving
average) ou métodos mais sofisticados como ARCH e GARCH.
Analisando os preços de negociação, porém, pode-se observar que existem certos desvios dos preços
esperados e dos preços efetivamente negociados. A volatilidade que, ao ser utilizada na fórmula de
precificação das opções, iguala o preço de negociação é conhecida como volatilidade implícita. Verificamos
ainda que para diferentes séries de opções existem diferentes volatilidades implícitas. Estas diferenças
podem ser explicadas pela existência de diferentes expectativas de volatilidade futura para o ativo objeto,
gerando o que é conhecido como smile de volatilidade.
Através da interpolação e da extrapolação do smile de volatilidade é possível ter uma estimativa mais
apurada das volatilidades para a precificação de cada série de opções.
Como apontado no item anterior, a forma de cálculo e de expressão da volatilidade deve ser consistente com
a forma de contagem de tempo e de expressão do prazo restante para o exercício das opções.
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Apêndice III - Determinação de Spreads de Crédito para a
Precificação de CDBs
4 CDBs sem cláusula S
O spread de crédito de mercado utilizado na marcação a mercado de um CDB sem liquidez diária ou
subordinado é determinado a partir de uma amostra de dados formada por:
•
Taxas de mercado obtidas das informações históricas de negociações definitivas divulgadas pela CETIP
e disponíveis em seu sítio (www.cetip.com.br) para uma janela histórica de 15 dias corridos.
•
Taxas de mercado obtidas das operações de CDB dos fundos/carteiras administradas pela Santander
Asset Management DTVM para uma janela histórica de 15 dias corridos.
A amostra final de taxas negociadas é então dividida em sub-amostras segundo as especificações da tabela
abaixo:
Prazo menor
Prazo entre
Prazo entre
Prazo entre
Prazo entre
Prazo
que 60 dias
61 e 90
91 e 180
181 e 360
361 e 720
maior que
dias
dias
dias
dias
721 dias
Nível 1 de rating
Nível 2 de rating
Nível 3 de rating
Nível 4 de rating
Nível 5 de rating
Nível 6 de rating
Nível 7 de rating
Nível 8 de rating
Nível 9 de rating
Nível 10 de rating
3
Cada sub-amostra obtida é filtrada para a exclusão de “outliers” e para a formação das sub-amostras de
testes. Para cada sub-amostra de testes, são calculados a média amostral e o desvio padrão amostral.
Nestas sub-amostras de testes, além de taxas reais de mercado, encontram-se taxas de negócios de CDB
3
O filtro considera como outliers os dados fora de um intervalo com posto pela média amostral +/- 1,65 desvios padrões.
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com liquidez diária, os quais são normalmente negociados na curva, e taxas de negócios entre fundos de
instituições que marcam esses títulos pela taxa de emissão. Todas essas taxas “ao par” trazem ruído à
amostra de mercado e não podem ser excluídas uma vez que não são identificadas pela fonte de
informações CETIP. Com isso, somos obrigados a trabalhar com taxas diferentes da média em cada subamostra, adotando um percentil relativo às caudas das distribuições. Acreditamos que se trabalharmos nas
caudas, conseguimos capturar as taxas de mercado mais conservadoras em um cenário de abertura de
spreads no mercado.
Mais especificamente, as taxas de cada célula da tabela anterior são determinadas pela seguinte fórmula:
Txi = µ i + α × σ i
onde:
Txi = taxa da sub-amostra i
µi = média dos dados da sub-amostra i
σi = desvio padrão dos dados da sub-amostra i
α = parâmetro que define o percentil x% da amostra, o qual é determinado pelo Comitê de Risco de
Mercado.
Os níveis de ratings dos emissores (todos em escala nacional) são determinados da seguinte maneira:
Nível 1
Nível 2
Nível 3
Nível 4
Nível 5
Nível 6
Nível 7
Nível 8
Nível 9
Nível 10
Moody’s
Aaa
Aa1
Aa2
Aa3
A1
A2
A3
Baa1
Baa2
Baa3
Ba
B
Caa
Ca
C
Ratings inferiores
S&P
AAA
AA+
AA
AAA+
A
ABBB+
BBB
BBBB+
B
BCCC
CC
C
Ratings inferiores
Fitch
AAA
AA+
AA
AAA+
A
ABBB+
BBB
BBBB+
B
BCCC
CC
C
Ratings inferiores
Caso haja mais de um rating para um emissor e eles sejam discordantes, é considerado o pior entre os
ratings existentes para a definição do nivel daquele emissor.
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5 CDBs com cláusula S
Para os CDB subordinados, a tabela gerada é um pouco diferente em função de sua característica de
possuir prazos mais longos. Seu formato é especificado a seguir.
Prazo menor que 6 anos
Prazo entre 6 e 7 anos
Prazo maior que 7 anos
Nível 1 de ratings
Nível 2 de ratings
Nível 3 de ratings
Nível 4 de ratings
Sua determinação é feita de maneira análoga à descrita anteriormente, porém a base de dados é formada
exclusivamente por negócios com CDB subordinados.
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Apêndice IV – Provisão de Perda para Títulos Privados
Inadimplentes
No caso de inadimplência de títulos privados em fundos de terceiros ou próprios, toda e qualquer
provisão de perda será discutida e acordada juntamente com o gestor e administrador do fundo.
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Apêndice V - Determinação de Spreads de Crédito para a
Precificação de DPGEs
1 DPGEs sem cláusula S
O spread de crédito de mercado utilizado na marcação a mercado de um DPGE sem liquidez diária é
determinado a partir de uma amostra de dados formada por:
•
Taxas de mercado obtidas das informações históricas de negociações definitivas divulgadas pela
Bovespa e disponíveis em seu sítio (www.bovespa.com.br).
A amostra final de taxas negociadas é então dividida em sub-amostras segundo as especificações da tabela
abaixo:
Prazo menor
Prazo entre
Prazo entre
Prazo entre
Prazo entre
que 12 meses
12 meses e
24 e 36
36 e 48
48 e 60
24 meses
meses
meses
meses
Nível 1 de rating
Nível 2 de rating
Nível 3 de rating
Nível 4 de rating
Nível 5 de rating
Nível 6 de rating
Nível 7 de rating
Nível 8 de rating
Nível 9 de rating
Nível 10 de rating
Cada sub-amostra obtida é filtrada por indexadores e prazos e para a formação das sub-amostras de testes.
Para cada sub-amostra de testes, são calculados a média amostral e o desvio padrão amostral. Nestas subamostras de testes, além de taxas reais de mercado, encontram-se taxas de negócios de DPGE com liquidez
diária, os quais são normalmente negociados na curva, e taxas de negócios entre fundos de instituições que
marcam esses títulos pela taxa de emissão. Todas essas taxas “ao par” trazem ruído à amostra de mercado
e não podem ser excluídas uma vez que não são identificadas pela fonte de informações BOVESPA. Com
isso, somos obrigados a trabalhar com taxas diferentes da média em cada sub-amostra, adotando um
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percentil relativo às caudas das distribuições. Acreditamos que se trabalharmos nas caudas, conseguimos
capturar as taxas de mercado mais conservadoras em um cenário de abertura de spreads no mercado.
Mais especificamente, as taxas de cada célula da tabela anterior são determinadas pela seguinte fórmula:
Txi = µ i + α × σ i
onde:
Txi = taxa da sub-amostra i
µi = média dos dados da sub-amostra i
σi = desvio padrão dos dados da sub-amostra i
α = parâmetro que define o percentil x% da amostra, o qual é determinado pelo Comitê de Risco de
Mercado.
Os níveis de ratings dos emissores (todos em escala nacional) são determinados da seguinte maneira:
Nível 1
Nível 2
Nível 3
Nível 4
Nível 5
Nível 6
Nível 7
Nível 8
Nível 9
Nível 10
Moody’s
Aaa
Aa1
Aa2
Aa3
A1
A2
A3
Baa1
Baa2
Baa3
Ba
B
Caa
Ca
C
Ratings inferiores
S&P
AAA
AA+
AA
AAA+
A
ABBB+
BBB
BBBB+
B
BCCC
CC
C
Ratings inferiores
Fitch
AAA
AA+
AA
AAA+
A
ABBB+
BBB
BBBB+
B
BCCC
CC
C
Ratings inferiores
Caso haja mais de um rating para um emissor e eles sejam discordantes, é considerado o pior entre os
ratings existentes para a definição do nível daquele emissor.
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Apêndice VI - Determinação de Spreads de Crédito para Títulos
Ilíquidos
Para títulos privados sem mercado secundário definido, como CCBs, CCCBs, CCIs, CRIs, CDCAs, CRAs,
CPAs, CPRs, entre outros de características similares, determinamos a taxa de mercado usando o spread de
crédito do último negócio registrado conforme abaixo:
(1 + txmerc ) = (1 + txlr )(1 + sc )
onde: txlr é a taxa de juros livre de risco e sc é o spread de crédito.
Cada emissão tem as propriedades de seus prospectos / escritura devidamente respeitados, com ajustes
para alocação em fundos de investimentos, que seguem regras específicas da CVM.
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Manual de Precificação

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