Exercícios de Geometria Analítica Ponto e Reta

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Exercícios de Geometria Analítica
Ponto e Reta
1) (FGV-2004) No plano cartesiano, o ponto P que pertence
à reta de equação y = x e é eqüidistante dos pontos A(-1,3)
e B(5,7) tem abscissa igual a:
a) 3,1
b) 3,3
c) 3,4
d) 3,5
e) 3,2
10
b) 3
2
2
c)
d)
10
2
e)
10
6) (Vunesp-2003) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de
vértices P = (0,0), Q = (6,0) e R = (3,5), é
2) (UFSCar-2004) Os pontos A(3, 6), B(1, 3) e C(xC, yC) são
vértices do triângulo ABC, sendo M(xM, yM) e N (4, 5)
pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente.
a) Calcule a distância entre os pontos M e N.
b) Determine a equação geral da reta suporte do lado BC do
triângulo ABC.
a) equilátero.
b) isósceles, mas não equilátero.
c) escaleno.
d) retângulo.
e) obtusângulo.
3) (Vunesp-2003) Dados dois pontos, A e B, com
coordenadas cartesianas (- 2,1) e (1,- 2), respectivamente,
conforme a figura,
7) (UEL-1998) Considere os pontos A(1; -2), B(2; 0) e C(0; 1).
O comprimento da mediana do triângulo ABC, relativa ao
lado AC, é:
a) 8 2
b) 6 2
c) 4 2
d) 3 2
3 2
e) 2
a) calcule a distância entre A e B.
b) Sabendo-se que as coordenadas cartesianas do baricentro
2
do triângulo ABC são (xG,yG) = (
,1), calcule as
3
coordenadas (xC,yC) do vértice C do triângulo.
4) (Vunesp-1998) Os vértices da base de um triângulo
isósceles são os pontos (1, -1) e (- 3, 4) de um sistema de
coordenadas cartesianas retangulares. Qual a ordenada do
terceiro vértice, se ele pertence ao eixo das ordenadas?
5) (UFSCar-2003) Dados os pontos A(2,0), B(2,3) e C(1,3),
vértices de um triângulo, o raio da circunferência
circunscrita a esse triângulo é
10
a) 3
1 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br
8) (UCDB-0) Um triângulo tem vértices A(15,10), B(6,0) e
(0,10). Então a mediana AM mede:
a) 10 u.c.
b) 11 u.c.
c) 12 u.c.
d) 13 u.c.
e) 9 u.c.
9) (UNIFOR-0) O triângulo de vértices (0,3), (–2,0) e (2,–
1
)
2
é:
a) inexistente
b) equilátero
c) isósceles
d) escaleno
e) retângulo
10) (Fuvest-1999) Uma reta passa pelo ponto P = (3,1) e é
tangente à circunferência de centro C = (1,1) e raio 1 num
ponto T. Então a medida do segmento PT é:
a) 3
b) 2
c)
5
e) (6,0)
d)
6
e)
7
15) (ITA-1995) Três pontos de coordenadas,
respectivamente, (0,0), (b,2b) e (5b,0), com b>0, são
vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto vértice
são dadas por:
a) (-b, -b)
b) (2b, -b)
c) (4b, -2b)
d) (3b, -2b)
e) (2b, -2b)
11) (UFMG-1995) Os pontos P e Q pertencem à reta de
equação y = mx, têm abscissas a e a + 1, respectivamente.
A distância entre P e Q é 10 . A ordenada do ponto dessa
reta que tem abscissa 5 é negativa.
Nessas condições, o valor de m é:
a) – 3
b) – 10
c) 3
d)
10 /10
e)
10
16) (Fuvest-2004) Duas irmãs receberam como herança um
terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado
abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem
dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado
AB e passando pelo ponto P = (a, 0). O valor de a para que
se obtenham dois lotes de mesma área é:
a)
12) (UNIFESP-2007) Quatro números complexos
representam, no plano complexo, vértices de um
paralelogramo. Três dos números são z1 = –3 –3i, z2 = 1 e z3
5
= –1 + ( )i. O quarto número tem as partes real e
2
imaginária positivas. Esse número é
a) 2 + 3i.
b) 3 + (11/2)i.
c) 3 + 5i.
d) 2 + (11/2)i.
e) 4 + 5i.
13) (UNIFESP-2004) Considere os gráficos das funções
definidas por f(x) = log10(x) e g(x) = 10x, conforme figura
(fora de escala).
5 -1
b) 5 - 2 2
c) 5 -
2
d) 2 +
5
e) 5 + 2 2
17) (Mack-2007) Os gráficos de y = x + 2 e x + y = 6
definem, com os eixos, no primeiro quadrante, um
quadrilátero de área
a) 12
b) 16
c) 10
d) 8
e) 14
18) (VUNESP-2007) Um triângulo tem vértices P = (2,1), Q
= (2,5) e R = (x0,4), com x0 > 0. Sabendo-se que a área do
triângulo é 20, a abscissa x0 do ponto R é:
a) 8.
b) 9.
c) 10.
d) 11.
e) 12.
a) Dê as coordenadas de M, ponto médio do segmento AB.
b) Mostre que (fog)(x) = x e (gof)(x) = x, para todo x >0.
14) (UNIFOR-0) No plano cartesiano, os pontos (0,0), (3,3) e
(7,–1) são vértices de um retângulo. O quarto vértice deste
retângulo é:
a) (–4,4)
b) (3,–3)
c) (4,2)
d) (4,–4)
19) (UNIFESP-2004) Considere a região sombreada na
figura, delimitada pelo eixo Ox e pelas retas de equações y
= 2x e x = k, k >0.
25) (Cesgranrio-1994) A área do triângulo cujos vértices
são os pontos (1,2), (3,5) e (4,-1) vale:
a) 4,5
b) 6
c) 7,5
d) 9
e) 15
Nestas condições, expresse, em função de k:
a) a área A(k) da região sombreada.
b) o perímetro do triângulo que delimita a região
sombreada.
20) (Unicamp-1999) Uma reta intersecciona nos pontos A
(3, 4) e B (-4, 3) uma circunferência centrada na origem.
a) Qual é o raio dessa circunferência?
b) Calcule a área do quadrilátero cujos vértices são os
pontos A e B e seus simétricos em relação à origem.
21) (Unifesp-2002) No triângulo QPP' do plano cartesiano,
temos Q = (a,0), com a < 0, P = (4,2) e P' o simétrico de P
em relação ao eixo x. Sabendo que a área desse triângulo é
16, o valor de a é:
a) – 5.
b) – 4.
c) – 3.
d) – 2.
e) – 1.
22) (Vunesp-2002) Sejam A = (2,0) e B = (5,0) pontos do
x
2
plano e r a reta de equação y = .
a) Represente geometricamente os pontos A e B e esboce o
gráfico da reta r.
x
b) Se C = (x, 2 ), com x > 0, é um ponto da reta r, tal que o
triângulo ABC tem área 6, determine o ponto C.
23) (U Passo Fundo-0) Os pontos A(-1,1), B(2,-2) e C(3,4):
a) estão alinhados
b) formam um triângulo retângulo
c) formam um triângulo isósceles
d) formam um triângulo escaleno de 42 u.a.
e) formam um triângulo escaleno de 10,5 u.a.
24) (Cesgranrio-1995) A área do triângulo, cujos vértices
são (1,2), (3,4) e (4,-1), é igual a:
a) 6.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 12.
26) (VUNESP-2007) Sejam P = (a, b), Q = (1, 3) e R = (–1, –
1) pontos do plano.
Se a + b = 7, determine P de modo que P, Q e R sejam
colineares.
27) (IBMEC-2005) Para que os pontos do plano cartesiano
de coordenadas (1: 1), (a: 2) e (2: b) estejam sobre uma
mesma reta é necessário e suficiente que
a) ab = a – b.
b) ab = a + b.
c) ab = b – a.
d) ab = a2 – b2.
e) ab = a2 + b2.
28) (UERJ-1998)
(O Estado de São Paulo, 16/08/97)
Considere os pontos A, B e C nas condições mencionadas
na tirinha.
a) Se A, B e C pertencem a uma mesma reta, calcule a
distância entre A e C quando:
» A está situado entre B e C;
» A está situado fora do segmento BC.
b) Se A, B e C estiverem no plano cartesiano, sendo A um
ponto móvel, B um ponto do semi-eixo positivo das
abscissas (x) e C a origem (0,0), determine a equação da
linha descrita pelo ponto A e identifique a curva
correspondente.
29) (Fuvest-2000) Se (m + 2n, m – 4) e (2 – m, 2n)
representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é
igual a:
a) –2
b) 0
c) 2
d) 1
1
e)
2
30) (Unifesp-2002) Um ponto do plano cartesiano é
representado pelas coordenadas (x + 3y, –x –y) e também
por (4 + y, 2x + y), em relação a um mesmo sistema de
coordenadas. Nestas condições, xy é igual a
a) – 8.
b) – 6.
c) 1.
d) 8.
e) 9.
31) (FUVEST-2007) Na figura abaixo, os pontos A1, A2, A3,
A4, A5, A6 são vértices de um hexágono regular de lado 3
com centro na origem O de um sistema de coordenadas no
plano. Os vértices A1 e A4 pertencem ao eixo x. São dados
também os pontos B = (2, 0) e C = (0, 1).
cada distrito. A figura à direita é uma representação
aproximada dos distritos de Campinas.
Distrito de
Campinas
População
(x1000 hab)
Casos de
dengue
Coeficiente de
incidência
(casos por
10000hab)
77,3
35,8
26,4
51,8
Norte
181
1399
Sul
283
1014
Leste
211
557
Sudoeste
215
1113
Noroeste
170
790
Total
1060
Fonte: Secretaria Municipal de Saúde de Campinas
Coordenadoria de Vigilância e Saúde Ambiental (dados
preliminares).
Responda às questões abaixo, tomando por base os dados
fornecidos na tabela e na figura mostradas acima.
Considere a reta que passa pela origem O e intersecta o
segmento BC no ponto P, de modo que os triângulos OPB e
OPC tenham a mesma área. Nessas condições, determine
a) a equação da reta OP
b) os pontos de interseção da reta OP com o hexágono.
32) (Fuvest-1996) Para cada número real m seja Pm=(xm,ym)
o ponto de intersecção das retas mx + y = 1 e x - my = 1.
Sabendo-se que todos os pontos Pm pertencem a uma
mesma circunferência, qual é o centro dessa circunferência?
a) (1/2, 1/2)
b) (0,0)
c) (-1/2, 1/2)
d) (-1/2, -1/2)
e) (1,1)
33) (UNICAMP-2008) O texto 2 da coletânea faz
referência ao combate à dengue. A tabela abaixo fornece
alguns dados relativos aos casos de dengue detectados no
município de Campinas na primeira metade do ano de
2007. A primeira coluna da tabela indica os distritos do
município, segundo a prefeitura. A segunda indica a
população aproximada de cada distrito. A terceira informa
os casos de dengue confirmados. Na última, são
apresentados os coeficientes de incidência de dengue em
a) Calcule a área total do município de Campinas, sabendo
que os distritos norte, leste, sul e noroeste da cidade têm,
respectivamente, 175 km2, 350 km2, 120 km2 e 75 km2.
b) Suponha que, como uma medida de combate à dengue, o
município de Campinas tenha decidido fazer uma
nebulização (ou pulverização) de inseticida. Na fase
inicial da nebulização, será atendido o distrito com
maior número de casos de dengue por km2. Reproduza o
diagrama ao lado em seu caderno de respostas. Em seu
diagrama, marque os pontos correspondentes aos cinco
distritos de Campinas. Identifique claramente o distrito
associado a cada ponto. Com base no gráfico obtido,
indique o distrito em que será feita essa nebulização inicial.
Justifique sua resposta.
34) (UNIFESP-2004) Na figura, estão representados, no
3
2
, a parábola de equação y = -x2 + 3x e os pontos O, P e Q de
intersecções da parábola com o eixo Ox e da reta com a
parábola. Nestas condições, o valor de k para que a área do
triângulo OPQ seja a maior possível é:
plano cartesiano xOy, a reta de equação y = 2kx, 0  k 
1
a) 2
b)
c)
d)
e)
3
4
9
8
11
8
3
2
Assinale a opção que corresponde à alternativa correta:
a) I, III e V são verdadeiras
b) somente III é verdadeira
c) III e V são verdadeiras
d) II é falsa
e) II, IV e V são verdadeiras
37) (Fuvest-2002) Sejam A = (0, 0), B = (8, 0) e C = (-1, 3)
os vértices de um triângulo e D = (u, v) um ponto do
segmento BC. Sejam E o ponto de intersecção de AB com a
reta que passa por D e é paralela ao eixo dos y e F o ponto
de intersecção de AC com a reta que passa por D e é
paralela ao eixo dos x.
a) Determine, em função de u, a área do quadrilátero
AEDF.
b) Determine o valor de u para o qual a área do quadrilátero
AEDF é máxima.
38) (Fuvest-1996) Considere no plano cartesiano, os pontos
P=(0,-5) e Q=(0,5). Seja X=(x,y) um ponto qualquer com
x>0.
a) Quais são os coeficientes angulares das retas PX e QX?
b) Calcule, em função de x e y, a tangente do ângulo PXQ.
c) Descreva o lugar geométrico dos pontos X=(x,y) tais que
x>0 e PXQ=/4 radianos.
39) (Mack-1996) Na figura a seguir, cotg  = 4, tg  =
M (2, 3) é o ponto médio de AB. Então o coeficiente
angular da reta que passa pelos pontos A e B é:
35) (FGV-2004) No plano cartesiano, o ponto P que pertence
à reta de equação y = x e é eqüidistante dos pontos A(-1,3)
e B(5,7) tem abscissa igual a:
a) 3,1
b) 3,3
c) 3,4
d) 3,5
e) 3,2
36) (Emescam-2002) Dados os pontos A(0,0) , B(–2,2) ,
C(0,3) e D(3,3), considere as seguintes afirmações:
I.
O quadrilátero ABCD é um trapézio.
II.
A equação da reta que passa pelos pontos A e B é
x + y = 0.
III.
A reta de equação x – 5y + 10 = 0 é perpendicular
à reta que passa pelos pontos B e D.
IV.
O ponto simétrico de D em relação ao eixo das
abscissas é o ponto S(3,–3).
V.
A área do triângulo ACD vale 4,5 u.a. (unidades
de área).
a) -1.
b) -2.
3
c) - .
5
d) -
4
.
5
e) -
5
.
2
2
e
3
40) (UFSCar-2009) Em relação a P(x), um polinômio de
terceiro grau, sabe-se que P(-1) = 2, P(0) = 1, P(1) = 2 e
P(2) = 7.
a) Determine a equação reduzida da reta que passa pelo
ponto em que o gráfico da função polinomial P(x) cruza o
eixo y, sabendo que essa reta tem coeficiente angular
numericamente igual à soma dos coeficientes de P(x).
b) Determine P(x).
3 p) um ponto de
41) (UFSCar-2005) Seja A = (p,
intersecção da reta (r) y = qx com a circunferência λ de
centro C = (0,0), com p real e diferente de 0.
a) Construa o gráfico da reta r e determine seu ângulo de
inclinação.
b) Sendo R a coroa circular definida pelas circunferências,
com as características de λ, tais que 1  p  9, calcule a área
da região formada pela intersecção de R com {(x,y) | y 
qx}.
42) (FGV-2004) a) No triângulo ABC da figura ao lado,
sabe-se que:
7
4 3
c
a = 3 , sen  = 7 , 90 < b < 180
Determine o valor do ângulo α.
b) Escreva a equação da bissetriz do maior ângulo formado
pelas retas y = 3 e y = 2
 x 3.
43) (AFA-1998) Seja P(3,1) o ponto médio do segmento AB,
onde A é intersecção da reta (t) com a reta (r) 3x - y = 0 e
B, a intersecção de (t) com a reta (s) x + 5y = 0. O
coeficiente angular de (t) é
a) negativo.
b) par positivo.
c) 5, pois (t) é perpendicular à (s).
d) nulo, isto é, a reta é do tipo y = k, k = constante.
44) (FMTM-2002) A figura representa um pentágono
regular ABCDE no sistema de coordenadas cartesianas de
origem O. O ponto A pertence ao eixo y e o segmento BC,
de medida 1, está contido no eixo x. A equação da reta que
contém o segmento AB é
a) y = tg 72o ·x + sen 72o.
b) y = tg 72o ·x  sen 36o.
c) y = tg 36o ·x  cos 36o.
d) y = tg 72o ·x + cos 72o.
e) y = tg 36o ·x + cos 72o.
45) (Fatec-2002) As dimensões do retângulo de área
máxima localizado no primeiro quadrante, com dois lados
nos eixos cartesianos e um vértice sobre o gráfico de f(x) =
12 - 2x são:
a) 2 e 9
b) 3 e 6
c) 3 e 6 3
d) 2 2 e 9 2 /2
e) 3 2 e 3 2
46) (FGV-2002) a) No plano cartesiano, qual o gráfico dos
pontos (x, y) que satisfazem a relação x2 – y2 = 0?
b) No plano cartesiano, qual a equação da circunferência de
raio 3, com centro pertencente à reta
x – y = 0 e tangente à reta 3x + 4y = 0?
47) (Fuvest-1998) Uma reta de coeficiente angular m > 0
passa pelo ponto (2,0) e é tangente à circunferência inscrita
no quadrado de vértices (1,1), (5,1), (5,5) e (1,5). Então:
1
a) 0 < m <
3
1
b) m =
3
1
c)
<m<1
3
d) m = 1
5
e) 1 < m <
3
48) (FUVEST-2009) Na figura ao lado, a reta r tem equação y
= 2 2 x + 1 no plano cartesiano Oxy. Além disso, os
pontos B0, B1, B2, B3 estão na reta r, sendo B0 = (0, 1).
Os pontos A0, A1, A2, A3 estão no eixo Ox, com A0 = O =
(0, 0). O ponto Di pertence ao segmento AiBi, para 1  i  3.
Os segmentos A1B1, A2B2, A3B3 são paralelos ao eixo Oy,
os segmentosB0D1, B1D2, B2D3 são paralelos ao eixo Ox, e
a distância entre Bi e Bi + 1 é igual a 9, para 0  i  2.
combustíveis torna o abastecimento mais vantajoso em cada
um dos estados. Justifique sua resposta. (3)
Nessas condições:
a) Determine as abscissas de A1, A2, A3.
b) Sendo Ri o retângulo de base Ai Ai + 1 e altura Ai + 1 Di + 1,
para 0  i  2, calcule a soma das áreas dos retângulos R0,
R1 e R2.
49) (Mack-2008) As retas y = 1 x , y = 3 e x = 0 definem
4
2
um triângulo, cuja raiz quadrada da área é
a) 3
4
2
6
3
c)
4
d) 3
8
3
e)
5
b)
50) (FGV-SP-2008) Os carros flex, com motores que
funcionam tanto a gasolina quanto a álcool, já representam
mais da metade dos veículos novos vendidos no País, mas
muitos consumidores ainda têm dúvidas sobre a
confiabilidade, o consumo, o funcionamento e a
manutenção dos motores bicombustíveis, bem como sobre
quando utilizar álcool ou gasolina para economizar.
Segundo informações de uma montadora a respeito de um
carro flex por ela lançado recentemente, o consumo médio
do veículo na cidade é de 10,0 km/l com gasolina e 7,3 km/l
quando abastecido com álcool.
a) A partir do consumo médio do veículo com gasolina e
com álcool, estabeleça uma função que forneça a distância
que o veículo percorre com álcool em relação à que
percorre com gasolina, considerando a mesma quantidade
de litros dos dois combustíveis.
Esboce o gráfico dessa função. (1)
b) Em que condição é mais vantajoso abastecer com
álcool? Justifique a sua resposta a partir da análise do
gráfico esboçado no item A.a). (2)
c) A tabela abaixo apresenta dados sobre o preço médio da
gasolina e do álcool, no período de 22 a 28/07/2007, em
alguns estados brasileiros. Analise qual dos dois
Preços praticados em alguns estados do Brasil, período de
22 a 28/07/2007
ESTADO
Preço médio
Preço médio álcool
gasolina
AMAPA
2,219
1,983
MATO
2,920
1,235
GROSSO
PIAUI
2,576
1,866
SÃO PAULO
2,399
1,176
(adaptado de http://www.anp.gov.br/i_preco/)
51) (Vunesp-2006) Num sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais, o coeficiente angular e a equação geral da
reta que passa pelos pontos P e Q, sendo P = (2, 1) e Q o
simétrico, em relação ao eixo y, do ponto Q’ = (1, 2) são,
respectivamente:
1
3
a)
; x - 3y - 5 = 0
2
b) 3 ; 2x - 3y -1 = 0
1
c) - 3 ; x + 3y - 5 = 0
1
d) 3 ; x + 3y - 5 = 0
1
3
e) - ; x + 3y + 5 = 0
52) (FUVEST-2006) O conjunto dos pontos (x, y) do plano
cartesiano que satisfazem t2 - t - 6 = 0, onde t = |x - y|,
consiste de
a) uma reta.
b) duas retas.
c) quatro retas.
d) uma parábola.
e) duas parábolas.
53) (FMTM-2005) Sejam (r) e (s) retas de equações 2x+y4=0 e x-2y+3=0, respectivamente. Em relação ao losango
ACBD, sabe-se que:
- os vértices A e B são os interceptos de (r) com os eixos
cartesianos;
- o vértice C pertence à reta (s) e dista 6 unidades da reta
(r);
- os vértices C e D não são consecutivos.
Em tais condições, a área do losango ACBD é
a) 12 5 .
b) 6 5 .
c) 4 5 .
d) 4 2 .
e) 5 2 .
54) (Mack-2005) Uma reta passa pelos pontos (, 0) e (0,
b), sendo que o seu coeficiente angular é a raiz de um
polinômio de grau 1 com coeficientes inteiros e não nulos.
Então, necessariamente, b é um número:
a) inteiro par.
b) inteiro ímpar.
c) racional positivo.
d) racional negativo.
e) irracional
55) (UFSCar-2004) Os pontos A(3, 6), B(1, 3) e C(xC, yC)
são vértices do triângulo ABC, sendo M(xM, yM) e N (4, 5)
pontos médios dos lados AB e AC, respectivamente.
a) Calcule a distância entre os pontos M e N.
b) Determine a equação geral da reta suporte do lado BC do
triângulo ABC.
b) circunferência de centro em B e raio 1 é x2 + y2 - 6x - 4y
+ 15 = 0.
c) reta horizontal que passa por A é y = 2.
d) reta que passa por C e é paralela à bissetriz do 1o
quadrante é x - y - 2 = 0.
e) reta que passa por C e é paralela à bissetriz do 1 o
quadrante é x + y - 2 = 0.
58) (Vunesp-1998) Num sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais xOy, considere a reta r de equação y = x + 1 e o
ponto P = (2,1). O lugar geométrico dos pontos do plano,
simétricos dos pontos de r em relação a P, é a reta de
equação:
a) y = x - 1.
b) y = - x + 1.
c) y = x + 3.
d) y = x - 3.
e) y = - x + 2.
59) (Mack-2002)
56) (FGV-2004) Seja r a reta 4x + 7y - 56 = 0 que intercepta
o eixo das ordenadas no ponto A e o eixo das abscissas no
ponto B. Considere uma reta s, que passa pela origem
O(0,0) e intercepta a reta r no ponto C, de modo que a área
do triângulo OCB seja igual à metade da área do triângulo
OAC.
a) Encontre a equação da reta s.
b) Determine as coordenadas do ponto C.
57) (Fatec-2003) Na figura abaixo os pontos A, B e C
estão representados em um sistema de eixos cartesianos
ortogonais entre si, de origem O.
É verdade que a equação da
a) circunferência de centro em B e raio 1 é x2 + y2 - 8x - 6y
+ 24 = 0.
Os pontos A e B estão no gráfico de y = 1/x, x > 0. A reta
r, determinada pelos pontos A e B, forma com os eixos
cartesianos um triângulo de área:
a)
3
2
b)
1
2
c)
7
4
d)
9
4
e)
5
2
60) (UFMG-1994) Observe a figura.
64) (UFPI-0) A reta r passa pelos pontos (1, 2) e (3, 1) e
intercepta os eixos coordenados nos pontos P e Q. O valor
numérico da distância entre P e Q é:
5
2
a)
5
b) 5
Nessa figura, M = (a, a) é ponto médio do segmento AC, A
= (2, 6), B = (0, a) e C = (c, 0). A equação da reta BC é:
a) 2y - 3x = 6
b) 2y + 3x = 6
c) 3x + 4y = 12
d) 3x - 4y = 12
e) 4x + 2y = 12
61) (Fuvest-2003) Duas retas s e t do plano cartesiano se
interceptam no ponto (2, 2). O produto de seus coeficientes
angulares é 1 e a reta s intercepta o eixo dos y no ponto (0,
3). A área do triângulo delimitado pelo eixo dos x e pelas
retas s e t é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
62) (Mack-2002) Pelo vértice da curva y = x2 – 4x + 3, e
pelo ponto onde a mesma encontra o eixo das ordenadas,
passa uma reta que define com os eixos um triângulo de
área:
a) 2
11
b)
4
3
c)
4
d) 3
9
e)
4
63) (Vunesp-2002) Sejam A = (2,0) e B = (5,0) pontos do
x
2
plano e r a reta de equação y = .
a) Represente geometricamente os pontos A e B e esboce o
gráfico da reta r.
x
b) Se C = (x, 2 ), com x > 0, é um ponto da reta r, tal que o
triângulo ABC tem área 6, determine o ponto C.
5 5
c) 2
25
d) 5
5 5
e) 4
65) (Fuvest-1982) Dados os pontos A (2, 3) e B (8, 5):
a) Achar a equação da reta AB.
b) Achar a equação da mediatriz do segmento AB.
66) (Fuvest-1999) Uma reta r determina, no primeiro
quadrante do plano cartesiano, um triângulo isósceles, cujos
vértices são a origem e os pontos onde a reta intercepta os
eixos Ox e Oy. Se a área desse triângulo é 18, a equação de
r é:
a) x – y = 4
b) x – y = 16
c) x + y = 2
d) x + y = 4
e) x + y = 6
67) (UFSCar-2000) Considere a reta r: (a+1)2x+(a2-a)y - 4a2
+ a -1 = 0
a) Mostre que essa reta passa por um ponto cujas
coordenadas não dependem do parâmetro a.
b) Determine a de modo que r seja perpendicular à reta s: x
- 1 = 0.
68) (UFSCar-2008) Admita os pontos A(2, 2) e B(–3, 4)
como sendo vértices opostos de um losango ACBD.
a) Determine a equação geral de cada uma das retas
suportes das diagonais do losango ACBD.
b) Calcule o comprimento do lado do losango ACBD,
admitindo-se que um de seus vértices esteja no eixo das
abscissas.
69) (UNICAMP-2007) Seja dada a reta x – 3y + 6 = 0 no
plano xy.
a) Se P é um ponto qualquer desse plano, quantas retas do
plano passam por P e formam um ângulo de 45º com a reta
dada acima?
b) Para o ponto P com coordenadas (2, 5), determine as
equações das retas mencionadas no item (a).
70) (Mack-2005) Na figura, se a equação da reta r é 3x + y 4 = 0 , a área do triângulo ABC é:
caso, a área do triângulo determinado pelas duas retas e o
eixo das abscissas é
4m 2
a) 2m  1
b) 4m2
8m
c) m  1
2m  10
d) 2m  1
76) (UFMG-2003) Considere a parábola de equação y = 8x 2x2 e a reta que contém os pontos (4,0) e (0,8). Sejam A e B
os pontos da interseção entre a reta e a parábola.
DETERMINE a equação da mediatriz do segmento AB.
a) 240
b) 220
c) 200
d) 260
e) 280
77) (AFA-1999) O eixo das ordenadas, a reta r: y = 2x -1 e s,
que é perpendicular a r e passa pela origem, determinam um
polígono cujo valor da área é
71) (Unicamp-2004) Os pontos A, B, C e D pertencem ao
gráfico da função y = 1/x, x > 0. As abcissas de A, B e C
são iguais a 2, 3 e 4, respectivamente, e o segmento AB é
paralelo ao segmento CD.
a) Encontre as coordenadas do ponto D.
b) Mostre que a reta que passa pelos pontos médios dos
segmentos AB e CD passa também pela origem.
72) (AFA-1998) A reta (s), simétrica de (r) x - y + 1 = 0 em
relação à reta (t) 2x + y + 4 = 0,
a) passa pela origem.
b) forma um ângulo de 60O com (r).
1
c) tem - 5 como coeficiente angular.
d) é paralela à reta de equação 7y - x + 7 = 0.
73) (Fuvest-2001) A hipotenusa de um triângulo retângulo
está contida na reta r : y = 5x - 13, e um de seus catetos está
contido na reta s : y = x - 1. Se o vértice onde está o ângulo
reto é um ponto da forma (k, 5) sobre a reta s, determine
a) todos os vértices do triângulo;
b) a área do triângulo.
1
a) 5 .
2
b) 5 .
5
c) 5 .
2 5
d) 5 .
78) (Mauá-2002) Precisa-se projetar um canal retilíneo para
a ligação entre dois rios situados numa região plana. Nessa
região, a representação matemática do curso de um dos rios
é dada pela equação y = x2 e a do outro, pela equação y = x2. Admitindo-se que o canal possa ser construído em
qualquer lugar entre os dois rios, qual seu menor
comprimento possível?
79) (ITA-1996) São dadas as parábolas p1:y=x24x1 e
p2:y=x23x+11/4 cujos vértices são denotados,
respectivamente, por V1 e V2. Sabendo que r é a reta que
contém V1 e V2, então a distância de r até à origem é:
a) 5/ 26
b) 7/ 26
74) (Fuvest-1999) A reta r tem equação 2x + y = 3 e
intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto
P=(1, 2) é perpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s
intercepta o eixo x e a reta r, respectivamente:
a) determine a equação de s.
b) calcule a área do triângulo ABC.
75) (UFMG-2003) Considere as retas cujas equações são y =
-x+4 e y = mx, em que m é uma constante positiva. Nesse
c) 7/ 50
d) 17/ 50
e) 11/ 74
80) (UNIFESP-2007) Em um plano cartesiano, seja T o
triângulo que delimita a região definida pelas inequações y
2, x 0 e x – y 2.
a) Obtenha as equações de todas as retas que são
eqüidistantes dos três vértices do triângulo T.
b) Obtenha a equação da circunferência circunscrita ao
triângulo T, destacando o centro e o raio.
81) (Vunesp-2006) Fixado um sistema de coordenadas
ortogonais em um plano, considere os pontos O(0, 0), A(0,
2) e a reta r de equação y = -1.
a) Se a distância do ponto Q(x0, 2) ao ponto A é igual à
distância de Q à reta r, obtenha o valor de x0, supondo x0 >
0.
b) Obtenha a equação do lugar geométrico dos pontos P(x,
y) desse plano, cuja distância até o ponto A é igual à
distância até a reta r.
82) (AFA-1999) A distância entre o ponto de interseção das
x  t  2

y  2t  1 
retas r: 2x - 3y + 4 = 0 e s: 
, t R e a reta q: y
1
1
x
8 é
= 2
centro de massa é, por definição, o ponto
a c e b d  f 
M
,

3
 3
 . Se os vértices dessa lâmina
estão nos pontos A (0 , 0), B (12 , 0) e C (0 , 9), a distância,
em unidades de comprimento, do seu centro de massa M à
reta que passa pelos pontos B e C , será:
4
a) 5
12
b) 5
3
c) 5
d) 5
e) 12
f) 4
85) (UNIFESP-2004) Considere a reta de equação 4x - 3y +
15 = 0, a senóide de equação y = sen(x) e o ponto P =
 
 ,3 
 2  conforme a figura. A soma das distâncias de P à
reta e de P à senóide é:
a) 4 5 .
3 7
b) 20 .
3 5
c) 10 .
5 7
d) 4 .
83) (VUNESP-2009) Determine as equações das retas que
formam um ângulo de 135º com o eixo dos x e estão à
distância
2 do ponto (– 4, 3).
84) (UFPB-2006) Em uma lâmina triangular homogênea,
com vértices nos pontos A (a, b ), B (c, d ) e C (e, f ), o seu
12  2
5
a)
13  2
5
b)
14  2
5
c)
15  2
5
d)
16  2
5
e)
86) (FGV-2005) No plano cartesiano, seja P o ponto situado
no 1º- quadrante e pertencente à reta de equação y = 3x.
Sabendo que a distância de P à reta de equação 3x + 4y = 0
é igual a 3, podemos afirmar que a soma das coordenadas
de P vale:
a) 5,6
b) 5,2
c) 4,8
d) 4,0
e) 4,4
87) (UFC-2004) Considere a reta r cuja equação é y = 3x.
Se Po é o ponto de r mais próximo do ponto Q(3, 3) e d é a
distância de Po a Q, então d 10 é igual a:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
88) (FGV-2003) No plano cartesiano, existem dois valores
de m de modo que a distância do ponto P(m, 1) à reta de
equação 3x + 4y + 4 = 0 seja 6; a soma destes valores é:
16
3
17
b) 3
18
c) 3
19
d) 3
20
e) 3
a) -
89) (Mack-2002) A equação de uma reta, paralela à reta x +
y - 4 = 0 e distante 3 2 do ponto P = (2,1), é:
a) x + y + 3 = 0
b) x + y + 9 = 0
c) x + y - 3 = 0
d) x - y - 6 = 0
e) x + y - 12 = 0
Gabarito
21) Alternativa: B
1) Alternativa: E
22) a)
17
2
2) a)
b) x - 4y + 11 = 0
3) a) AB = 3 2
b) C(3; 4)
4) y = 2,3
5) Alternativa: D
b) C(8,4)
6) Alternativa: B
23) Alternativa: E
7) Alternativa: E
24) Alternativa: A
8) Alternativa: D
25) Alternativa: C
9) Alternativa: C
26) Resposta: P = (2, 5)
10) Alternativa: A
27) Alternativa: B
11) Alternativa: A
28) a)
12) Alternativa: B
 11 11
 , 
2 2
13) a) M =
b) demonstração.
10
e 10cm respectivamente.
3
b)
.
14) Alternativa: D
15) Alternativa: C
16) Alternativa: B
Perceba que P está a direita de C. Perceba também que o
triângulo BPQ (sendo Q o encontro da perpendicular a AB
por P com o segmento BC) é isósceles e deve ter metade da
área da figura toda.
dAC = 2 dAB  3x2 + 3y2 - 40x + 100 = 0  circunferência
29) Alternativa: E
30) Alternativa: A
17) Alternativa: E
18) Alternativa: E
19) a) K2
b) K(3 +
31) a)y =
b)
5)
20) a) R = 5
b) 50 u.a.
x
2
 36  6 3 18  3 3   6 3  36 3 3  18 

 

 11 , 11  e  11 , 11 

 

32) Alternativa: A
33) a) 800 km2
b) Sudoeste: A reta tem maior inclinação, denunciando a
maior relação entre casos de dengue e área.
42) a) a = 60°
b) y =
3 x+4
N
43) Alternativa: A
SO
S
44) Alternativa: A
NO
L
45) Alternativa: B
34) Alternativa: B
35) Alternativa: E
36) Alternativa: E
46)
(x –
1 ( 17u2  128u 64)
54
37) a) A =
64
b) u =
17
y5
y 5
x
38) a) mPX =
e mQX = x
10x
2
2
b) tg  = x  y  25
c) O LG é um arco de circunferência de centro (5,0) e raio 5
2 cujos pontos tem abscissa positiva.
15 2
15 2
15 2
15 2
) +( y –
) = 9 ou (x +
) + (y +
) =9
7
7
7
7
47) Alternativa: C
48) a) 3, 6 e 9
b) 9 + 54 2
49) Alternativa: A
50) a) A = 0,73G (com G  0), em que G e A são as
distâncias percorridas em km com gasolina e com álcool,
respectivamente.
y
39) Alternativa: A
7,3
40) a) y = 2x + 1
1 3
1
b) P(x) =
x + x2 – x + 1
3
3
41) a) ângulo de inclinação  = 60º
x
10
b) Quando o preço do litro de álcool for inferior a 73% do
preço do litro de gasolina, e nesse caso, o coeficiente
angular m da reta A = m.G for menor que 0,73.
c) No Amapá, é mais vantajoso o uso da gasolina (m=0,89).
Em São Paulo (m = 0,49), Mato Grosso (m = 0,42) e Piauí
(m = 0,72), o álcool é melhor.
51) Alternativa: C
b) 160
52) Alternativa: B
53) Alternativa: A
54) Alternativa: E
17
2
55) a)
b) x - 4y + 11 = 0
2
x
7
 28 8 
 , 
b)  3 3 
56) a) y =
57) Alternativa: D
58) Alternativa: D
59) Alternativa: D
60) Alternativa: C
61) Alternativa: B
Assim, chutando dois valores quaisquer de “a” (aqui
cuidadosamente escolhidos para facilitar as contas), temos:
a = 0: r: x-1 = 0  x = 1
a = -1: r: 2y - 6 = 0  y = 3
Se o ponto único existir, ele terá que ser (1, 3) pois é a
intersecção obtida das duas retas acima.
Verificando o ponto (1, 3) na equação de r, temos que
(a+1)2.1+(a2-a).3 - 4a2 + a -1 = 0 
a2 - 2a + 1 + 3a2 - 3a - 4a2 + a -1 = 0  0 = 0 (verdadeiro)
ou seja, a reta passa por (1, 3) independentemente do valor
de a.
b) como a reta s é vertical, a reta r terá que ser horizontal
para ser perpendicular. Assim sendo, o coeficiente de x
deve ser zero: (a+1)2 = 0  a+1 = 0  a = -1
resp:
a) demostração
b) a = -1
68) a) 2x + 5y – 14 = 0 e 10x – 4y + 17 = 0
b)
1769
10
62) Alternativa: E
69) a) Duas retas.
63) a)
b) y = 2x + 1 e y –
1
x .
2
70) Alternativa: A
b) C(8,4)
64) Alternativa: C
3 2
D , 
2 3
71) a)
b) Calculemos pontos médios M e N dos segmentos AB e
CD, respectivamente:
5 5 
 11 11 
 , 
 , 
2 12 
4 24 

M=
e N= 
Calculemos o coeficiente angular m da reta MN:
5
65) a) x - 3y + 7 = 0
b) 3x + y - 19 = 0
66) Alternativa: E
67) a) Considerando os infinitos valores possíveis para “a”,
as infinitas retas dadas por (a+1)2x+(a2-a)y - 4a2 + a -1 = 0
teriam que se cruzar num único ponto para que exista um
ponto independente de “a” por onde elas passem.
12
5
m= 2


11
24
11
4
1
= 6
1
Obtendo a equação da reta MN, obtemos y = 6 x, o que
comprova que a reta MN passa pela origem.
72) Alternativa: D
os valores de m são 22/3 e -38/3.
73) a) (6, 5), (3, 2) e (4, 7)
b) A = 6
74) a) x - 2y = 3
81
b)
20
75) Alternativa: C
76) 2x- 4y+7 = 0
77) Alternativa: A
78) Resposta:
7 2
8 ( 1,24) unidades de comprimento.
79) Alternativa: E
80) a) As retas pedidas não podem passar por nenhum dos 3
vértices. Assim, as retas procuradas dividem o plano em
dois semiplanos, um deles com dois dos vértices do
triângulo e o outro com o outro vértice. E como cada reta
deve ser eqüidistante dos três vértices, cada reta precisa ser
paralela ao lado que contém os dois vértices contidos no
mesmo semiplano.
Portanto, as retas são x = 2, y = 0 e y = x
b) (x-2)2 + y2 = 8 com centro (2, 0) e raio 2 2
81) a) 3
1
2
b) y 6 ( x + 3)
82) Alternativa: C
83) Resposta: y = –x – 3 e y = –x + 1
OBS: Estamos considerando que “formar ângulo de 135º
com o eixo” equivale a ter inclinação de 135º, conforme a
figura. Desta forma, não estamos considerando como
resposta as retas com inclinação de 45º (e que, a bem da
verdade, também fazem ângulo de 135º com o eixo x)
84) Alternativa: B
85) Alternativa: E
86) Alternativa: D
87) Alternativa: D
88) Alternativa: A
89) Alternativa: A

Exercícios de Geometria Analítica Ponto e Reta

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